1. Khảo sát hàm số
KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. Kiến thức cơ bản
Giả sử hàm số y = f ( x ) có tập xác định D.
· Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Nếu y ' = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) thì:
+ y ' ³ 0, "x Î R Û í a > 0 + y ' £ 0, "x Î R Û í a < 0
ì ì
îD £ 0 îD £ 0
· Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) :
+ Nếu D < 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a.
b
+ Nếu D = 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a (trừ x = - )
2a
+ Nếu D > 0 thì g( x ) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g( x ) khác dấu
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g( x ) cùng dấu với a.
· So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c với số 0:
ìD ³ 0 ìD ³ 0
ï ï
+ x1 £ x2 < 0 Û í P > 0 + 0 < x1 £ x2 Û í P > 0 + x1 < 0 < x2 Û P < 0
ïS < 0
î ïS > 0
î
· g( x ) £ m, "x Î (a; b) Û max g( x ) £ m ; g( x ) ³ m, "x Î (a; b) Û min g( x ) ³ m
( a;b ) ( a;b )
B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
1. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng
xác định).
· Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Nếu y ' = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) thì:
+ y ' ³ 0, "x Î R Û í a > 0 + y ' £ 0, "x Î R Û í a < 0
ì ì
îD £ 0 îD £ 0
2. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d đơn điệu trên khoảng (a ; b ) .
Ta có: y¢ = f ¢( x ) = 3ax 2 + 2bx + c .
a) Hàm số f đồng biến trên (a ; b ) Û y¢ ³ 0, "x Î (a ; b ) và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm thuộc (a ; b ) .
Trường hợp 1:
· Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 Û h(m) ³ g( x ) (*)
thì f đồng biến trên (a ; b ) Û h(m) ³ max g( x )
(a ; b )
Trang 1 www.MATHVN.com