1. www.VNMATH.com 1
. .
` ˆ
BAI TAP PHU O NG TR`
. ˆ
INH VI PHAN
. .
1) '
Gia i phu o ng tr
nh: 2xy y” = y 2 − 1
’
HD giai: -
Dat
. y =p: 2xpp = p2 − 1
. 2 2pdp dx √
V i x(p − 1) = 0 ta co :
o = ⇔ p2 − 1 = C1 ⇔ p = ± C1 x + 1
p2 − 1 x
dy √ 2 3
p= = C1 + 1 ⇒ y = (C1 x + 1) 2 + C2
dx 3C1
. . √
2) '
Gia i phu o ng tr
nh: y.y” = y
dp . . √ dp
’
HD giai: -
Dat
. y = p ⇒ y” = p (ham theo y). Phu o ng tr
'.
nh tro thanh:
yp =p
dy dy
. . . . . dy √ dy √
V i
o p=0 ta d u o c phu o ng tr
. nh: dp = √ ⇒ p = 2 y + C1 ⇔ = 2 y + C1 ⇒
y dx
dy
dx = √
2 y + C1
. '
√ C1 √
T d nghi^m t^ ng qua t:
u o e
. o x= y− ln |2 y + C1 | + C2
2
Ngoai ra
y = c: ~
h ng cu ng la nghi^m.
a e
.
. .
3) '
Gia i phu o ng tr
nh: a(xy + 2y) = xyy
’
HD giai: a(xy + 2y) = xyy ⇒ x(a − y)y = −2ay
. . . . . . . a−y 2a
N^ u
e y = 0, ta co phu o ng tr
nh tu o ng d u o ng v i
o dy = − dx ⇔ x2a y a e−y = C
y x
Ngoai ra
y=0 ~
cu ng la nghi^m.
e
.
. .
4) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” = y ey
dp . . dp
’
HD giai: -
Dat
. y = p ⇒ y” = p thay vao phu o ng tr
nh: p = pey
dy dy
. dp dy dy
V ip
o =0: = ey ⇔ p = ey + C1 ⇒ = ey + C1 ⇔ y = dx
dy dx e + C1
. dy 1 ey + C1 − ey 1 ey dy y
V i
o C1 = 0 ta co:
= dy = (y − ) = −
ey + C1 C1 ey + 1 C1 ey + C1 C1
1
ln(ey + C1 )
C1 
dx −e−y ´
nˆ u C1 = 0
e
.
nhu v^y:
a
. = 1
ey + C1  (y − ln |ey + C1 |) ´
nˆ u C1 = 0.
e
C1
Ngoai ra y = C : h ng la m^ t nghi^m
a o e
. .
. . .
5) '
Gia i phu o ng tr
nh: xy = y(1 + ln y − ln x) v i
o y(1) = e

2. 2 www.VNMATH.com
- . . . y y
’
HD giai: Du a phu o ng tr
nh v^:
e (1 + ln ), d at y = zx d u.o.c: xz = z ln z
y = . .
x x
dz dx y
• z ln z = 0 ⇒ = ⇒ ln z = Cx hay ln = Cx ⇔ y = xeCx
z ln z x x
y(1) = e → C = 1. V^y y = xex
a
.
. .
6) '
Gia i phu o ng tr
nh: y”(1 + y) = y 2 + y
-
dz . . dz dy
’
HD giai: Dat
. y = z(y) ⇒ z = z thay vao phu o ng tr
nh: =
dy z+1 y+1
dy
⇒ z + 1 = C1 (y + 1) ⇒ z = C1 y + C1 − 1 ⇔ = dx (∗)
C1 y + C1 − 1
• C1 = 0 ⇒ (∗) cho y =C −x
1
• C1 = 0 ⇒ (∗) cho ln |C1 y + C1 − 1| = x + C2
C1
Ngoai ra
y=C la nghi^m.
e
.
1
e o'
To m lai nghi^m t^ ng qua t:
y = C, y = C − x; ln |C1 y + C1 − 1| = x + C2
. .
C1
. .
2
7) '
Gia i phu o ng tr
nh: y = y2 −
x2
HD giai: Bi^ n d o i (3) v^ dang: x2 y = (xy)2 − 2 (∗)
’
e ^'
e .
- at z = xy ⇒ z = y + xy thay vao (∗) suy ra:
D
.
dz dx z−1
xz = z 2 + z − 2 ⇔ = ⇔ 3
= Cx
z2 +z−2 x z+x
xy − 1
V^y TPTQ:
a
. = Cx3 .
xy + 2
. .
8) '
Gia i phu o ng tr
nh: yy” + y 2 = 1
-
dz
’
HD giai: Dat
. y = z(y) ⇒ y” = z.
dy
. . z dy C1
'
Bi^ n d o i phu o ng tr
e ^
nh v^:
e
2
dz = ⇔ z2 = 1 + 2
1−z y y
dy C1 dy
⇒ =± 1+ 2 ⇔± = dx ⇒ y 2 + C1 = (x + C2 )2
dx y C1
1+ 2
y
' 2 2
Nghi^m t^ ng qua t: y + C1 = (x + C2 )
e
. o
. .
√
9) '
Gia i phu o ng tr
nh: 2x(1 + x)y − (3x + 4)y + 2x 1 + x = 0
3x + 4 1
’
HD giai: y − .y = − √ ; x = 0, x = −1
2x(x + 1) x+1
' ' . .
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
. o nh thu^ n nh^ t:
a a
dy 3x + 4 2 1 Cx2
= dx = ( − )dx ⇔ y = √
y 2x(x + 1) x 2(x + 1) x+1

3. www.VNMATH.com 3
1 1
Bi^ n thi^n h ng s^ :
e e a o C =− 2
⇒ C = − + ε.
x x
x2 1
. e
. o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a y=√ ( + ε)
x+1 x
. .
y(0) = 0
10) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” = e2y '
thoa
y (0) = 0
dz . . dz z2 e2y
’
HD giai: -
Dat
. z = y → y” = z. phu o ng tr '.
nh tro thanh
z. = e2y ⇔ = +ε
dy dy 2 2
1
y (0) = y(0) = 0 ⇒ ε = − . V^y z 2 = e2y − 1. T. d :
a
. u o
2
dy √ 2y dy √
z= = e −1⇒ √ ’ ´
= x + ε. d ˆ i biˆ n t = e2y − 1
¯o e
dx e2y − 1
√
arctg e2y − 1 = x + ε
1
y(0) = 0 ⇒ ε = 0. V^y nghi^m ri^ng thoa d i^u ki^n d bai: y = ln(tg 2 x + 1).
a
. e
. e ' e e
. ^
e
2
. .
11) m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr
T e
. e ' nh: xy + 2y = xyy
~
thoa ma n d u ki^n d u
' i^
e e
. ^
a y(−1) = 1.
’ . . - .
HD giai:
Vi^ t phu o ng tr
e nh lai:
. x(1 − y)y = −2y ; do y(−1) = 1 n^n
e y ≡ 0.
Du a v^
e
. . 1−y dx
phu o ng tr
nh ta ch bi^ n:
e dy = −2
y x
. . 1
t '
ch ph^n t^ ng qua t:
a o x2 ye−y = C .
Thay d i^u ki^n vao ta d u o c
e e
. . C= . V^y t
a
. ch ph^n
a
e
e
ri^ng c^n t
a m la:
x2 ye1−y = 1.
. .
12)
B ng ca ch d a t
a . y = ux, ~ '
ha y gia i phu o ng tr
nh: xdy − ydx − x2 − y 2 dx = 0. (x 0)
’ - . . . .
√ HD giai: Dat y = ux; du = udx + xdu thay vao phu o ng tr . .va
. nh '
gia n u o c
x: xdu −
1 − u2 dx = 0. Ro rang u − ±1 la nghi^m. khi u ≡ ±1 d u.a phu o ng
~ e
. tr
nh v^ ta ch bi^ n:
e e
du dx
= . TPTQ: arcsin u − ln x = C (do x 0).
1 − u2 x
. . y
'
V^y NTQ cu a phu o ng tr
a
. nh: y = ±x; arcsin = ln x + C .
x
. .
13) m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr
T e
. e ' nh: xy = x2 − y 2 + y
~
thoa ma n d u ki^n d u
' i^
e e
. ^
a y(1) = 0.
’
HD giai:
y2 y
xy = x2 − y 2 + y ⇐⇒ y = 1− +
x2 x
y
d at
. u= hay y = ux y = xu + u
suy ra
x
. .
√ du dx
phu o ng tr
nh thanh:
xu = 1 − u2 ⇐⇒ √ =
1 − u2 x

4. 4 www.VNMATH.com
⇐⇒ arcsin u = ln Cx
' ~
thoa ma n d i^u ki^n d u
e e
. a
^ y(1) = 0 khi C = 1. V^y nghi^m
a
. e
. y = ±x.
. .
14) m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr
T e
. e ' nh: y sin x = y ln y
π
~
thoa ma n d u ki^n d u
' i^
e e
. ^
a y( ) = e.
2
’
HD giai:
dy dx
y sin x = y ln y ⇐⇒ =
y ln y sin x
x
x C tan
⇐⇒ ln y = C tan ⇐⇒ y = e 2
2
x
π tan
' ~
thoa ma n d i^u ki^n
e e
. d u y( ) = e khi C = 1. V^y y = e
a
^ a
.
2.
2
. .
15) T '
m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr
e
. e nh: (x + y + 1)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0
~
thoa ma n d u ki^n d u
' i^
e e
. ^
a y(0) = 1.
’
HD giai: -
Dat x + y = z =⇒ dy = dz − dx
.
. .
phu o ng tr
nh thanh:
(2 − z)dx + (2z − 1)dz = 0; '
gia i ra x − 2z − 3 ln |z − 2| = C . V^y
a
.
x + 2y + 3 ln |x + y − 2| = C
' ~
thoa ma n d i^u ki^n d u y(0) = 1 khi C = 2.
e e a
^
.
1
16)
B ng ca ch d a t
a . y= r^i d a t z = ux,ha y gia i
o .
~ '
. .
z
phu o ng tr
nh: (x2 y 2 − 1)dy + 2xy 3 dx = 0
1 . . . .
’
HD giai: -
Dat
. y =
d u o c:
. (z 2 − x2 )dz + 2zxdx = 0;
r^i d at
o . z = ux, du o c
.
z
(u2 − 1)(udx + xdu) + 2udx = 0
dx u2 − 1
⇐⇒ + 3 du = 0
x u +u
u2 + 1 x(u2 + 1)
⇐⇒ ln |x| + ln = ln C ⇐⇒ =C
|u| u
1 . .
thay u= d u o c nghi^m
. e
. 1 + x2 y 2 = Cy .
xy
. .
17) m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
T e
. o' ' nh sau: y − xy = x + x3
’
HD giai:
- ^ . . '
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 1 va co nghi^ m t^ ng qua t la
a e
. o
x2 x2
y = Ce 2 . +1
2
.

5. www.VNMATH.com 5
. .
18) T e
. o' '
m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr
nh sau: y − y = y2.
’ - ^ . . '
HD giai: Day la phu o ng tr
nh ta ch bi^ n va co nghi^ m t^ ng qua t la
e e
. o
y
ln | | = x + C.
y+1
. .
y
19) T '
m nghi^m cu a ca c phu o ng tr
e
. nh sau: y + = ex
x
’
HD giai:
- ^ . . C x ex
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e '
nh c^ p 1 va co nghi^ m t^ ng qua t la
a e o y = +e − .
.
x x
. .
20) T '
m nghi^m cu a ca c phu o ng tr
e
. nh sau: y − y = y3.
’ - ^ . . '
HD giai: Day la phu o ng tr
nh ta ch bi^ n va co nghi^ m t^ ng qua t la
e e
. o
C + x = ln |y| − arctgy.
. .
y y . π
21) '
Gia i phu o ng tr
nh: y = + sin , v i
o y(1) =
x x 2
’ . . '.
HD giai: y = zx ⇒ y = z x + z , nh tro thanh:
phu o ng tr
dz dx z z
z x = sin x ⇔ = ⇔ ln |tg | = ln |x| + ln C ⇔ tg = Cx
sin z x 2 2
y π
a e o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
tg = Cx; y(1) = ⇒ C = 1.
. .
2x 2
y
V^y:
a
. tg = x.
2x
. .
y y
22) '
Gia i phu o ng tr
nh: (x − y cos )dx + x cos dy = 0
x x
-
y . . . . .
’
HD giai: Dat
. =z ⇒y =zx+z
nh d u o c d u a v^ dang:
phu o ng tr . e .
x
dx
x cos z.z + 1 = 0 ⇔ cos zdz = − + C ⇔ sin z = − ln |x| + C
x
y
V^y TPTQ:
a
. sin = − ln |x| + C
x
. .
23) '
Gia i phu o ng tr
nh: (y 2 − 1)x2 y 2 + y (x4 − y 4 ) = 0
’ . . ' . .
HD giai: La phu o ng tr
a '
nh d a ng c^ p nhu ng gia i kha ph c tap.
u .

6. 6 www.VNMATH.com
. . . y2 x2
Xem phu o ng tr
nh b^ c hai d o i v i
a
. ^ o y: = (x4 + y 4 )2 ⇒ y1 = 2 ; y2 = − 2 .
x y
. x 3 3
u o e o'
T d co hai ho nghi^m t^ ng qua t:
y= ; x + y = C2
. .
C1 x + 1
. .
24) '
Gia i phu o ng tr
nh: y 2 + x2 y = xyy
y2
’ . . x2 . .
HD giai: Vi^ t phu o ng tr
e nh lai
. y = y d ay la phu o ng tr
^ '
nh thu^ n nh^ t, gia i
a a
x
−1
y
. .
e
. o'
ra d u o c nghi^m t^ ng qua t:
. y 2 = Cxe x
. .
25) T '
m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr
e
. e nh: (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0
~
thoa ma n d u ki^n d u
' i^
e e
. ^
a y(1) = 0.
-
x =u−1 . . . .
’
HD giai: Dat
. thay vao phu o ng tr
nh d u o c:
.
y = v + 3.
. . '
(u + v)du + (u − v)dv = 0, d ay la phu o ng tr
^
a
nh thu^ n nh^ t co t
a ch ph^n t^ ng qua t la:
a o
u + 2uv − v 2 = C .
2
. .
V^y t
a
. a o' ' nh ban d u la:
ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr a
^ x2 + 2xy − y 2 − 4x + 8y = C
. .
26) '
Gia i phu o ng tr
nh (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0.
-
x =X −1 . .
’
HD giai: Dat
. , phu o ng tr
nh thanh:
y =Y +3
(X + Y )dX + (X − Y )dY = 0
. . . dX 1−u
d at
. Y = uX d u a phu o ng tr
nh v^
e + du = 0.
X 1 + 2u − u2
'
Gia i ra X 2 (1 + 2u − u2 ) = C hay x2 + 2xy − y 2 − 4x + 8y = C .
. .
2xy
27) m t ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr
T a o' ' nh sau: b) y = .
x2− y2
- ^ . . y . .
’
HD giai: Day la phu o ng tr
'
nh d a ng c^ p, ta d a t
a . z= . Khi d phu o ng tr
o nh tr^n
e
z
z(1 + z 2 ) 1 2z dx
'.
tro thanh
xz = . Hay ( − )dz = . Suy ra nghi^m
e
. ' . .
cu a phu o ng tr
nh
1−z 2 z 1+z 2 x
z
nay la
= Cx, C = 0.
1 + z2
. . 2 2
. e
. '
V^y nghi^m cu a phu o ng tr
a nh d ~ cho la x + y = C1 y, C1 = 0.
a
. .
2x + y − 1
28) T ' '
m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr
e
. o nh sau: y = .
4x + 2y + 5
’ - . . .
HD giai: Dat
. u = 2x + y phu o ng tr
nh d u a v^ dang
e .
du 5u + 9
= .
dx 2u + 5

7. www.VNMATH.com 7
. . . .
'
Gia i phu o ng trnh nay ta d u o c nghi^m 10u + 7 ln |5u + 9| =
. e
. 25x + C.
. . ~ cho la 10y + 7 ln |10x + 5y
. . '
V^y nghi^m cu a phu o ng tr
a e nh d a = 9| − 5x = C.
. .
29) T a o' '
m t ch ph^n t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr
nh sau:
(x − y + 4)dy + (y + x − 2)dx = 0
’ - ^ . . . ' . .
HD giai: Day la phu o ng tr
nh d u a v^ dang d a ng c^ p d u o c b ng ca ch d a t
e . a . a . x =
. . dv u+v . . . .
u + 1, y = v − 3, ta d u o c
. = . '
Gia i phu o ng tr '
nh ta co nghi^ m cu a phu o ng
e
.
du −u + v
tr
nh la
v 2 − 2uv − v 2 = C.
. .
. e
. ' nh d ~ cho la
V^y nghi^m cu a phu o ng tr
a a y 2 − x2 − 2xy − 8y + 4x = C1 .
. .
30) a) T o e
.
' '
m mi^n ma trong d nghi^ m cu a bai toa n Cauchy cu a phu o ng tr
e
√ nh
^
o .
sau d ay t^ n tai va duy nh^ t
a y = x − y.
. .
a o' '
m t ch ph^n t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr
b) T nh sau: (x2 − y 2 )dy − 2xydx = 0.
’
HD giai:
a e
.
a) Bai toa n Cauchy co duy nh^ t nghi^m trong mi^n
e
2 .
D = {(x, y) ∈ R |x − y ≥ δ} v i δ 0 tuy .
o y
- . . . dy xy - ^ . .
b) Du a phu o ng tr
nh v^ dang
e = 2 . Day la phu o ng tr
'
nh d a ng c^ p, ta d a t
a
. .
dx x − y2
y . .
z= . Khi d phu o ng tr
o '.
nh tr^n tro thanh
e
x
z(1 + z 2 )
xz = .
1 − z2
1 2z dx
Hay ( − 2
)dz = .
z 1+z x
. . z
. '
Suy ra nghi^m cu a phu o ng tr
e nh nay la
= Cx, C = 0.
1 + z2
. . 2 2
. e
. ' nh d ~ cho
V^y nghi^m cu a phu o ng tr
a a la x + y = C1 y, C1 = 0.
. . 2x 2x 2
31)
a) Ch ng minh r ng h^ ca c vecto
u a e
. {e , xe , x } la h^ d oc l^p tuy^ n t nh.
e ^
. . a
.
e
. .
a o' '
m t ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr
b) T nh sau: (x − y)dy − (x + y)dx = 0;
’
HD giai:
i ~ e' e ^ a
a) Dung d. nh ngh a ki^ m tra h^ d oc l^p tuy^ n t
e nh .
. . .
- . . . x+y - ^ . .
b) Du a phu o ng tr
nh v^ dang
e y = . Day la phu o ng tr
'
nh d a ng c^ p, ta d a t
a
. .
x−y
y . .
z= . Khi d phu o ng tr
o '.
nh tr^n tro thanh
e
x
1 + z2
xz = .
1−z
' . . . .
Gia i phu o ng tr
nh nay ta d u o c
.
y
x2 + y 2 = Cearctg x .
. . 2 2
32)
a) Ch ng minh r ng h^ ca c vecto
u a e
. {cos 2x, sin 2x, 2}
e
. . o
.
la h^ phu thu^ c tuy^ n t nh.
e
.
i u '
T nh d .nh th c Wronski cu a chu ng.
. .
b) T a o' '
m t ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr
nh sau: (x − 2y + 1)dy − (x + y)dx = 0.

8. 8 www.VNMATH.com
’
HD giai:
2 2
. . o
.
a) H^ nay phu thu^c tuy^ n t
e e nh v 2 cos 2x + 2 sin 2x − 2 = 0.
. . ' . ' . .
b) Phu o ng tr
nh nay co th^ d u a v^ dang d a ng c^ p, ta d u o c
e e . a .
x+y
y = .
x − 2y + 1
1 1 . .
-
Dat
. u=x− , v =y+ , khi d phu o ng tr
o '.
nh tr^n tro thanh
e
3 3
u+v
v = .
u − 2v
. . . .
√ 1
√ arctg(
√
2u)
'
Gia i phu o ng tr
nh nay ta d u o c
. u2 + 2v 2 = Ce
√
2 v
.
√ arctg( 2 3x−1 )
1
Hay (3x − 1)2 + 2(3y + 1)2 = C1 e 2 3y+1
.
. .
33) '
Gia i phu o ng tr
nh: y 2 + x2 y = xyy
’ . .
HD giai: Phu o ng tr y = zx → y = z x + z
nh thu^ n nh^ t: d a t
a a .
. . z−1 dx
'.
nh tro thanh
Phu o ng tr dz = → z − ln |z| = ln |x| + C
z x y y
− ln | | = ln |x| + C
x x
. .
34) '
Gia i phu o ng tr
nh y 2 + x2 y = xyy .
y2
’ . . x2 . .
HD giai: Vi^ t phu o ng tr
e nh lai
. y = y d ay la phu o ng tr
^ '
nh thu^ n nh^ t, gia i
a a
x
−1
y
. .
e
. o'
ra d u o c nghi^m t^ ng qua t:
. y 2 = Cxe x
. .
35) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” cos y + (y )2 sin y = y
’
HD giai: y = C :
h ng la m^ t nghi^m.
a o
. e
.
-
dp
y=C
(h ng). Dat
a . y = p ⇒ y” = p (ham theo
y)
dy
dp . .
thay vao (2):
cos y + p sin y = 1: phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh.
dy
. . '
Phu o ng tr
nh thu^ n nh^ t co nghi^m t^ ng qua t:
a a e
. o p = C cos y.
n thi^n h ng s^ d u.o.c C = tgy + C1 .
bi^
e e
a .
o
. dy dy
t d
u o p= = sin y + C1 cos y ⇔ = dx
dx sin y + C1 cos y
y 1 1
tg + 1 + 2 −
1 2 C1 C1
t
ch ph^n
a
d i d^ n:
e ln = x + C2
2
C1 + 1 y 1 1
−tg + 1 + 2 +
2 C1 C1
. .
1
36) '
Gia i phu o ng tr
nh: y + =0
2x − y 2
1 . .
’
HD giai: Coi x = x(y) '
la ham cu a
y ta co :
y = thay vao phu o ng tr
nh:
x

9. www.VNMATH.com 9
1 1 . .
+ = 0 ⇔ x + 2x = y 2 : phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh.
x 2x − y 2
. .
e
. o' '
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
nh thu^ n nh^ t:
a a x = Ce−2y
2 2y 1 1 1
Bi^ n thi^n h ng s^ : C (y) = y e
e e a o ⇒ C(y) = y 2 e2y − ye2y + e2y + C
2 2 4
. . −2y 1 2 1 1
' ' nh: x = Ce
V^y nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
a e o + y − y+
. .
2 2 4
. .
37) '
Gia i phu o ng tr
nh: xy” = y + x2
’
HD giai: -
Dat
. y = p, '.
(1) tro thanh:
xp − p = x2
tuy^ n t
e nh
' . .
. '
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e o nh thu^ n nh^ t:
a a p = Cx
Bi^ n thi^n h ng s^ →
e e
a
o C(x) = x + C1
dy x3 x2
Suy ra: = x(x + C1 ) →y= + C1 . + C2
dx 3 2
. .
38) '
Gia i phu o ng tr
nh: y 2 + yy” = yy
. . . . . . . dp
’
HD giai: -
Dat
. p = y (p = 0), phu o ng tr
nh tu o ng d u o ng v i:
o p2 + yp = yp
dy
dp . . . dp p
⇔p+y = y, xe t
y=0 d u a phu o ng tr
nh v^:
e + =1
(tuy^ n t
e nh)
dy dy y
. . C
'
NTQ cu a phu o ng tr
nh thu^ n nh^ t:
a a p= ,
bi^ n thi^n h ng s^
e e a o
y
y2
⇒ C(y) = + C1
2
. y 2 + 2C1 dy y 2 + 2C1 2ydy
Nhu v^y:
a
. p= ⇒ = ⇒ 2 = dx
2y dx 2y y + 2C1
⇒ y 2 = A1 ex + A2 .
x x 2 x
Chu : V^ tra i (yy ) = yy ⇔ yy = C1 e ⇔ ydy = C1 e dx ⇔ y = 2C1 e + C2
y e
. . .
39) '
Gia i phu o ng tr
nh: yey = y (y 3 + 2xey ) v i
o y(0) = −1
1 . . 2
’
HD giai: yx = '
bi^ n d o i phu o ng tr
e ^
nh v^:
e x − x = y 2 e−y
xy y
e
. o'
Nghi^m t^ ng qua t:
x = y 2 (C − e−y )
y(0) = −1 ⇒ C = e.
2 −y
V^y x = y (e − e
a
. )
. .
40) '
Gia i phu o ng tr
nh: xy” = y + x
. . 1
’
HD giai: -
Dat
. y = p; '.
nh tro thanh:
phu o ng tr p − p=1
x
o'
Nghi^m t^ ng qua t:
e p = Cx
bi^ n thi^n h ng
e e a : C = ln |x| + C1
s^
o
.

10. 10 www.VNMATH.com
dy
⇒p= = (ln |x| + C1 )x ⇒ y = (ln |x| + C1 )xdx + C2
dx
x2 x2
= C1 x2 + ln |x| − + C2
2 4
. .
41) '
Gia i phu o ng tr
nh: y + xy = x3
x2
. .
’
HD giai: ' '
Nghi^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
. o
nh thu^ n nh^ t
a a y = Ce− 2
x2
2 −
bi^ n thi^n h ng s^ : C(x) = (x − 2)e 2 + ε
e e
a
o
x2
. e
. o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a y = εe− 2 + x2 − 2.
. .
42) '
Gia i phu o ng tr
nh: (x2 − y)dx + xdy = 0
’ . . 2 . .
HD giai: nh vi^ t lai: xy − y = −x , phu o ng tr
Phu o ng tr e .
nh thu^ n nh^ t:
a a xy − y = 0
e o'
co nghi^m t^ ng qua t: y = Cx bi^ n thi^n h ng s^ suy ra C = −x + ε
e e
a
o
.
V^y nghi^m t^
a e o'ng qua t : y = −x2 + εx
. .
. .
2 3 .
43) '
Gia i phu o ng tr
nh: y − y= 2 v i
o y(1) = 1
x x
. . 3 1
’
HD giai: Phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh: y = Cx2 ; C = 4
⇒C =− 3 +ε
x x
1
y = εx2 − ; y(1) = 1 ⇒ ε = 2
x
1
. e
. o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a y = 2x2 −
x
. .
44) '
Gia i phu o ng tr
nh: (x + 1)(y + y 2 ) = −y
. . 1
’
HD giai: Xe t
y = 0, '
bi^ n d o i phu o ng tr
e ^
nh v^ dang
e . y + .y = −y 2
x+1
1 z . . . 1
-
Dat
. = z ⇒ y = − 2 = −y 2 z d u a phu o ng
nh v^ z −
tr
e .z = 1.
y z x+1
' . .
e
. o '
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
nh thu^ n
a nh^ t: z = C1 (x + 1) bi^ n thi^n
a e e h ng s^
a o
C1 = ln |x + 1| + ε.
V^y nghi^m: z = (x + 1)(ln |x + 1| + ε)
a. e
.
~
ngoai ra y = 0 cu ng la nghi^m.
e
.
1
o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a e y= va
y=0 nghi^m k di .
e .
. . .
(x + 1)(ln |x + 1| + ε)
. .
1
45) '
Gia i phu o ng tr
nh: 2xy + y =
1−x
- . . . 1 1 . .
’
HD giai: Du a phu o ng tr
nh v^ dang
e . y + y = phu o ng tr
nh tuy^ n
e
2x 2x(1 − x)
t
nh c^ p 1
a

11. www.VNMATH.com 11
C
. o'
Nghi^m t^ ng qua t:
e y=√ ,
bi^ n thi^n h ng s^ :
e e a o
x
√ √
x 1 x+1
C (x) = ⇒ C = ln | √ |+ε
2x(1 − x) 2 x−1
√
1 1 x+1
a
. e
. o'
V^y nghi^m t^ ng qua t: y = √
ln | √ |+ε
x 2 x−1
. .
46) '
Gia i phu o ng tr
nh: xy − y = x2 sin x
y . .
’
HD giai: y − = x sin x, phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh. NTQ: y = Cx
bi^ n thi^n h ng
e e a
x
s^ :
o
e o'
Nghi^m t^ ng qua t:
y = (C − cos x)x
.
. .
47) '
Gia i phu o ng tr
nh: y cos2 x + y = tgx '
thoa y(0) = 0
. .
’
HD giai: Phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh → NTQ y = Ce−tgx ; y = tgx − 1 (m^t nghi^m
o
. e
.
ri^ng)
e
⇒ NTQ: y = Ce−tgx + tgx − 1
y(0) = 0 ⇒ C = 1. V^y nghi^m
a
. e
.
ri^ng c^n t
e a m: y = tgx − 1 + e−tgx .
. .
√
48) '
Gia i phu o ng tr
nh: y 1 − x2 + y = arcsin x '
thoa y(0) = 0
. .
’
HD giai: e
. o' '
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
nh tuy^ n t
e
nh thu^n nh^ t:
a a y = Ce−arcsinx
~
e
D^ th^ y nghi^m ri^ng:
a e
. e y = arcsinx − 1
−arcsinx
⇒ NTQ: y = Ce + arcsinx − 1
y(0) = 0 ⇒ C = 1 ⇒ e
. e
nghi^m ri^ng c^n t
a m: y = e−arcsinx + arcsinx − 1
. .
1
49) m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr
T e
. e ' nh: y =
2x − y 2
~
thoa ma n d u ki^n d u
' i^
e e
. ^
a y(1) = 0.
1 . .
’
HD giai: Xem x '
la a n ham, thay
^ y = , phu o ng tr
nh thanh
x
1 1
= 2
⇐⇒ x − 2x = −y 2
x 2x − y
- ^ . . ' ' . .
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p m^t, nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
a o
. e
. o nh tuy^ n
e
. . . −2y ng s^ d u.o.c NTQ:
nh thu^n nh^ t tu o ng u ng la x = Ce
t a a . Bi^ n thi^n h
e e a o .
y2 y 1
x = Ce−2y +
− +
2 2 4
3
'
thoa ~
ma n d i^u ki^n d u y(1) = 0 khi C =
e e a
^ .
.
4
3 −2y y2 y 1
V^y
a
. e
. ' ~
nghi^m tho a ma n d i^u ki^n d u: x =
e e
. a
^ e + − + .
4 2 2 4

12. 12 www.VNMATH.com
. .
z . .
50) '
Gia i phu o ng tr
e
nh sau d ay, bi^ t r ng sau khi d a t
^ a . y= , ta nh^n d o c
a. u .
x2
. . ∗ 1 x
m^t phu o ng tr
o
.
nh vi ph^n c^ p hai co m^ t nghi^m
a a o
. e
. ri^ng y =
e e :
2
x2 y + 4xy + (x2 + 2)y = ex .
z x − 2z z x2 − 4z x + 6z . .
’
HD giai: -
Dat
. y = zx2 =⇒ y = ;y = . Phu o ng tr
nh thanh
x3 x
x4
∗ e . .
: z + z = ex , co m^ t nghi^m
o
. e
. ri^ng la y =
e '
, NTQ cu a phu o ng trnh thu^ n
a
nh^ t:
a
2
. .
z = C1 cos x + C2 sin x. a
. ' nh ban d u la:
V^y NTQ cu a phu o ng tr a
^
cos x sin x ex
y = C1 2 + C2 2 + 2
x x 2x
. .
51) T '
m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr
e
. e nh: yey = y (y 3 + 2xey )
~
thoa ma n d u ki^n d u
' i^
e e
. ^
a y(0) = −1.
1 . . 2
’
HD giai: Xem x '
la a n ham, thay
^ y = , phu o ng tr
nh thanh
x − x = y 2 e−y .
x y
. . . . . C
'
NTQ cu a phu o ng tr
nh tuy^ n t
e
nh thu^n nh^ t tu o ng u ng la
a a x= ;
bi^ n thi^n h ng
e e a
y
. . . C 1
s^ d u o c
o . C(y) = −e−y + C . Nhu v^y NTQ la
a
. x= − y. Thay d i^u ki^n d u xa c d. nh
e e
. a
^ i
y ye
. . 1 .
du o c
. C= . T d KL.
u o
e
. .
52) T '
m nghi^m cu a phu o ng tr
e
. nh y − y = cos x − sin x.
tho a d u ki^n
' i^
e e
. y bi chn khi
. a
. x→∞
. .
’
HD giai: '
Gia i phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh ra y = Cex + sin x
'
tho a d i^u ki^n
e e
. y bi chn khi
. a
. x→∞ khi C=0
. .
53) m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr
T e
. e ' nh: y + sin y + x cos y + x = 0
π
~
thoa ma n d u ki^n d u
' i^
e e
. ^
a y(0) = .
2
’
HD giai:
y y y
y + sin y + x cos y + x = 0 ⇐⇒ y + 2 sin cos + x.2 cos2 = 0
2 2 2
y y
⇐⇒ y + tan 2 + x = 0
2 cos2
2
y y . . . .
d at
z = tan =⇒ z =
.
2 y , phu o ng tr
nh thanh phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh
2 cos2
2
−x
z + z = −x. '
Gia i ra: z = 1 − x + Ce
π
' ~
thoa ma n d i^u
e ki^n d u y(0) =
e
. a
^ khi C = 0. V^y nghi^m ri^ng y = 2 arctan(1 − x).
a
. e
. e
2

13. www.VNMATH.com 13
. .
x
54) T e
. o' '
m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr
nh sau: y − x tan y =
cos y
’ - . . '. - ^
HD giai: Dat
. z = sin y, o nh d ~ cho tro thanh
khi d phu o ng tr a z − xz = x. Day la
x2
. . '
phu o ng tr
nh tuy^ n t
e
nh c^ p 1 va co nghi^ m t^ ng qua t la
a e
. o z = Ce − 1.
2
x2
. .
. e
. '
V^y nghi^m cu a phu o ng tr
a nh d ~ cho la sin y = z = Ce 2
a −1
. .
55) T e
. o' '
m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr
nh sau: y − xy = x
’
HD giai:
. . 1 2
- ^
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e '
nh c^ p 1 va co nghi^ m t^ ng qua t la
a e
. o y = Ce 2 x − 1.
. .
y √
56) m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr
T e
. o' ' nh sau: y + = x y.
x
’ - ^ . . '
HD giai: Day la phu o ng tr
nh Bernoulli va co nghi^ m t^ ng qua t la
e
. o
√ C 1
y = √ + x2 .
x 5
. .
y
57) m nghi^m cu a ca c phu o ng tr
T e
.
' nh sau: y − = x3
x
’
HD giai:
- ^ . . '
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 1 va co nghi^ m t^ ng qua t la
a e
. o
1
y = Cx + x4 .
3
. .
58) T '
m nghi^m cu a ca c phu o ng tr
e
. nh sau: y − y = y2.
’
HD giai:
- ^ . . '
Day la phu o ng tr
nh Bernoulli va co nghi^ m t^ ng qua t la
e
. o
1
y2 = .
Ce−2x −1
. .
y
59) T '
m nghi^m cu a ca c phu o ng tr
e
. nh sau: y + = sin x
x
’
HD giai:
- ^ . . '
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 1 va co nghi^ m t^ ng qua t la
a e
. o
C sin x
y= + − cos x.
x x

14. 14 www.VNMATH.com
. . √
60) T '
m nghi^m cu a ca c phu o ng tr
e
. nh sau: y − y = x y.
’
HD giai:
- ^ . . '
Day la phu o ng tr
nh Bernoulli va co nghi^ m t^ ng qua t la
e
. o
√ 1
y = Ce 2 x − x − 2.
2
61) m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr
T e
. o' '
. .
nh sau: y + 2xy = xe−x
’
HD giai:
- ^ . .
Day la phu o ng tr
nh vi ph^n tuy^ n t
a e nh c^ p 1.
a
x2 −x2
e o'
Nghi^m t^ ng qua t la y = (C +
)e .
.
2
. .
y √
62) T ' '
m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr
e
. o nh sau: y −4 = x y.
x
’ - ^ . .
HD giai: Day la phu o ng tr
nh Bernoulli va co nghi^ m la
e
.
√ 1
y= ln x + Cx2 .
2
. .
63) o e
.
'
m mi^n ma trong d nghi^ m cu a bai toa n Cauchy cu a phu o ng tr
a) T e ' nh sau
^
o .
d ay t^n tai va duy nh^ t
a
 = y + 3x.
y
1
y” − y = x

b) T e
.
'
m nghi^m cu a bai toa n Cauchy sau d ay
^ x
y(x = 1) = 1 va y (x = 1) = 2.
`
’
HD giai:
- ^ . .
a) Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e '
nh c^ p 1 tho a d. nh ly d i^u ki^n t^n tai duy nh^ t
a i e e
. o . a
2
nghi^m tr^n R .
e
. e
. . y . .
'
b) Gia i phu o ng tr
nh y” − = x, '
ta d u o c nghi^m t^ ng qua t
. e o
.
x
x2
y = C1 + C2 x + .
2
a
. e
. '
V^y nghi^m cu a bai toa n Cauchy la
1 x2
y =− +x+ .
2 2
. .
64) T '
m nghi^m cu a phu o ng tr
e
. nh sau: y + ytgx = cos x
’
HD giai:
- ^ . .
Day la phu o ng tr
nh vi ph^n tuy^ n t
a e nh c^ p 1.
a
o'
Nghi^m t^ ng qua t la:
e
.
y = (C + x) cos x.

15. www.VNMATH.com 15
. .
y ex
65) '
m nghi^m cu a phu o ng tr
T e
. nh sau: y + = x( x )y 2 .
x e +1
’
HD giai:
- ^ . . ' ' . .
Day la phu o ng tr
nh vi ph^n Bernoulli va co nghi^ m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
a e
. o nh la
1
y= .
Cx − x ln(ex + 1)
. .
66) '
Gia i phu o ng tr
nh: (x + 1)y” + x(y )2 = y
’ - . . '. . . .
HD giai: Dat
. y = p, phu o ng tr
nh tro thanh phu o ng tr
nh Bernouili (v i
o x = −1)
1 x 2
p − p=− p (∗)
x+1 x+1
. . .
-
Dat
. z = p−1 = 0, du a
(∗)
v^ phu o ng tr
e
nh tuy^ n t
e
nh c^ p m^t:
a o
.
1 x
z + z=
1+x x+1
. . C
e o' '
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
nh thu^ n nh^ t:
a a z=
.
x+1
. . x2 + C1 1 2(x + 1)
e e
a
o
Bi^ n thi^n h ng s^ cu^ i cung d u o c:
o . z= ⇒y = = 2
2(x + 1) z x + C1
' ' . .
Suy ra nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
. o nh:

ln |x2 + C | + √2 arctg √x + C ´
nˆ u C1 0
e
 1 2
C1 C1√

ln |x2 + C1 | + √ 1 ln | x − √−C1 | + C2
 ´
nˆ u C1 0
e
−C1 x + −C1

Chu
y y=C la NKD
. .
67) '
Gia i phu o ng tr
nh: x2 y = y(x + y)
1 1
HD giai: x2 y = y(x + y) ⇔ y −
’ = 2 y 2 : phu.o.ng tr
nh Bernouilli
y x
- −1 1 1
Dat z = y
. (y = 0) : −z − z = 2 .
x x
. .
'
NTQ cu a phu o ng tr nh thu^ n nh^ t:
a a z = Cx
1 1
bi^ n thi^n h ng s^ C: C(x) = ε −
e e
a
o . V^y z = x(ε − 2 )
a
.
2x 2 2x
2x
e o'
V^y nghi^m t^ ng qua t la: y =
a
. .
εx2 − 1
. .
68) '
Gia i phu o ng tr
 nh: yy” − (y )2 = y 3
1
y(0) = −

'
thoa 2
y (0) = 0

16. 16 www.VNMATH.com
’ - . .
HD giai: Dat
. y = p(y); y = p.py thay vao phu o ng tr
nh
dp
py − p2 = y 3 ,
dy
. . .
d at ti^ p:
. e p(y) = y.z(y) d u a phu o ng tr
nh v^
e
dz 1 dy
= ⇒ z 2 = 2(y + C1 ) ⇔ =y |2y + C|
dy z dx
1
Do d i^u ki^n
e e
. y(0) = − ; y (0) = 0 ⇒ C = 1. T. d suy
u o ra:
2
dy |2y + 1| − 1
= y |2y + 1| ⇒ ln = x + C2 .
dx |2y + 1| + 1
1
do y(0) = − ⇒ C2 = 0.
2
|2y + 1| − 1
a. e
. e
V^y nghi^m ri^ng c^n t
a m thoa : ln
' = x.
|2y + 1| + 1
√
. .
2y x
69) '
Gia i phu o ng tr
nh: ydx + 2xdy = dy '
thoa d i^u ki^n
e e
. y(0) = π
cos2 y
- . . . 2 2 1
’
HD giai: Du a phu o ng tr
nh v^ dang
e . x + x= 2y
.x 2 (Bernoulli) (∗)
y cos
1 1 1
-
Dat
. z = x2 ta co
z = x + x− 2 x thay vao
(∗)
2
1 1
z + z=
y cos2 y
c
o'
Nghi^m t^ ng qua t:
e z=
bi^ n thi^n h ng s^ :
e e a o
.
y
y
C = ⇒ C(y) = ytgy + ln | cos y| + ε
cos2 y
1 ε
V^y
a
. Z = tgy + ln | cos y| +
y y
. . 1 ε √
'
Va TPTQ cu a phu o ng tr
nh: tgy + ln | cos y| + = x
y y
1 √
y(0) = π ⇒ ε = 0 v^y TPR :
a
. tgy + ln | cos y| = x
y
. .
70) '
Gia i phu o ng tr
nh: xydy = (y 2 + x)dx
’ ' . .
HD giai: Do y=0 '
kh^ng pha i la nghi^m, chia hai v^ cho
o e
. e xy bi^ n d o i phu o ng tr
e ^ nh
1 . . .
v^ dang:
e . y − y = y −1 -
Bernouilli; Dat
. z = y2 d u a phu o ng tr
nh v^ dang:
e .
x
2
z − z = 2 → z = −2x + Cx2
x
2 2
V^y TPTQ:
a
. y = −2x + Cx
. . √
71) '
Gia i phu o ng tr
nh: (y + xy)dx = xdy

17. www.VNMATH.com 17
- . . . 1 1 1
’
HD giai: Du a phu o ng tr
nh v^ dang
e . y − y = √ .y 2 ; x = 0
x x
1 1 √
z = √ phu.o.ng tr
1
-
Dat z = y2 : z − nh
tuy^ n t
e '
nh gia i ra z= x(ln x + C)
.
2x x
' 2
V^y nghi^m
a
. e
. t^ ng qua t: y = x(ln x + C)
o
. . √
72) '
Gia i phu o ng tr
nh: xy − 2x2 y = 4y
. . √ 1
’
HD giai: Phu o ng tr
nh Bernouilli, d a t
. z = y 1−α = y⇒z = √
2 y
. . 4
phu o ng tr '.
nh tro thanh:
z − z = 2x → NTQ z = Cx4 − x2
x
. e
. o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a y = (Cx2 − 1)2 x4 .
. .
73) '
Gia i phu o ng tr
nh: 2x2 y = y 2 (2xy − y)
HD giai: Xem x la ham theo bi^ n y : x y 3 − 2xy 2 = −2x2 Bernouilli
’ e
1 . . 2z 2
-
Dat z =
. , phu o ng tr '.
nh tro thanh: z +
= 3 → TPTQ: y 2 = x ln Cy 2 , nghi^m
e
.
x y y
ky di y = 0.
.
. .
74) m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr
T e
. e ' nh: x2 y = y(x + y)
~
thoa ma n d u ki^n d u
' i^
e e
. ^
a y(−2) = −4.
’
HD giai: Do y(−2) = −4 n^n y ≡ 0.
e - . . .
Du a phu o ng tr . .
nh v^ phu o ng tr
e nh Bernouilli:
y2 1 1
y − 1y = 2 . Ti^ p tuc d at z = y −1 d u.a
e . .
. .
phu o ng tr
nh v^ PT tuy^ n t
e e nh z + z = − 2.
x x x
. . . . . . .
'
NTQ cu a phu o ng tr
nh thu^ n nh^ t tu o ng u ng:
a a z = Cx, bi^ n thi^n h ng s^ d u o c
e e a o .
1 . . . 2x -
C(x) = Cx − . . ' nh ban d u
. Nhu v^y nghi^m cu a phu o ng tr
a e a
^ la:
y= . Di^u ki^n
e e
.
2x Cx2 − 1
1 4x
d u cho
a
^ C = . V^y nghi^m ri^ng c^n t la y = 2
a
. e
. e
a m
2 x −1
. .
75) '
Gia i phu o ng tr
nh: y − xy = −xy 3
HD giai: Phu.o.ng
’ tr
nh: y − xy = −xy 3 . .
la phu o ng tr
' . .
nh Bernouilli, gia i ra d u o c
.
y (1 + Ce−x ) = 1
2
. .
76) '
Gia i phu o ng tr
nh: xy + y = y 2 ln x.
HD giai: Phu.o.ng
’ tr
nh xy + y = y 2 ln x . .
la phu o ng tr
' . .
nh Bernouilli, gia i ra d u o c
.
1
y= .
1 + Cx + ln x
. .
y √
77) T ' '
m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr
e
. o nh sau: y −4 =x y
x

18. 18 www.VNMATH.com
- ^ . . √ . . .
’
HD giai: Day la phu o ng tr
nh Bernoulli, b ng ca ch d a t
a . z = y ta d u a phu o ng
2 x
tr
nh v^ dang
e z − z= '
va co nghi^m t^ ng qua t la
e o
. .
x 2
1
z = x2 ( ln |x| + C).
2
' ' . .
V^y nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
a
. e
. o nh la
1
y = x4 ( ln |x| + C)2 .
2
. .
y
78) m nghi^m t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr
T e
. o' ' nh sau: y + = y 2 xtgx.
x
’ - ^ . . '
HD giai: Day la phu o ng tr
nh Bernoulli va co nghi^ m t^ ng qua t la
e
. o
1
y= .
Cx + x ln | cos x|
. .
79) '
Gia i phu o ng tr
nh: y 2 dx + (2xy + 3)dy = 0
∂P ∂Q
HD giai: P (x, y) = y 2 , Q(x, y) = 2xy + 3;
’ = = 2y
∂y ∂x
(1) ⇔ d(xy 2 + 3y) = 0. V^y
a
. xy 2 + 3y = C
. .
80) '
Gia i phu o ng tr
nh: ex (2 + 2x − y 2 )dx − yex dy = 0
∂P ∂Q . . . . . . .
’
HD giai: = = −2yex suy ra phu o ng tr
nh tu o ng d u o ng v i:
o d ex (2x − y 2 ) =
∂y ∂x
0.
V^y
a
. ex (2x − y 2 ) = C.
. .
3
81) '
Gia i phu o ng tr
nh: (y 2 + 1) 2 dx + (y 2 + 3xy 1 + y 2 )dy = 0
3 ∂P ∂Q
HD giai: p = (y 2 + 1) 2 ; Q = y 2 + 3xy
’ 1 + y2 ⇒ = = 3y 1 + y2 (∗)
∂y ∂x
e o' '
Suy ra nghi^m t^ ng qua t cu a (∗) la:
.
x y
P (x, 0)dx + Q(x, y)dy = C
0 0
y3 3
⇔ + x(1 + y 2 ) 2 = C
3
. .
82) '
Gia i phu o ng tr
nh: (y cos2 x − sin x)dy = y cos x(y sin x + 1)dx
∂P ∂Q
’
HD giai: = = y sin 2x + cos x
∂y ∂x

19. www.VNMATH.com 19
NTQ:
y
x y2
P (x, y0 )dx + Q(x, y)dy = C ⇔ y sin x − cos2 x = C
x0 =0 y0 =0 2
. .
83) '
Gia i phu o ng tr
nh: (2x + 3x2 y)dx = (3y 2 − x3 )dy
. .
’
HD giai: Phu o ng tr
nh vi ph^n toan ph^ n:
a a x2 + x3 y − y 3 = C
. .
x (x2 + 1) cos y
84) '
Gia i phu o ng tr
nh: ( + 2)dx − dy = 0
sin y 2 sin2 y
∂P ∂Q x cos y
’
HD giai: = =−
∂y ∂x sin2 y
TPTQ:
x y
π x2 (x2 + 1) 1
P (x, )dx + Q(x, y)dy = C ⇔ + 2x − ( − 1) = C
2 2 2 sin y
0 π
2
. .
85) '
Gia i phu o ng tr
nh: (y + ex sin y)dx + (x + ex cos y)dy = 0
. .
’
HD giai: Phu o ng tr a
a e
. o'
nh vi ph^n toan ph^ n, nghi^m t^ ng qua t:
xy + ex sin y = C.
. .
86) '
Gia i phu o ng tr
nh: (x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0
. .
’
HD giai: Phu o ng tr
nh vi ph^n toan ph^ n: NTQ
a a x2 + 2(x sin y − cos y) = C.
. .
x3
87) '
Gia i phu o ng tr
nh: 3x2 (1 + ln y)dx = (2y − )dy
y
. .
’
HD giai: Phu o ng tr a
a e
. o'
nh vi ph^n toan ph^ n: Nghi^m t^ ng qua t:
x3 (1 + ln y) − y 2 = C
. .
x3
88) T ' '
m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
. o nh vi ph^n:
a 3x2 (1 + ln y)dx = (2y − )dy
y
’ - ^ . . '
HD giai: Day la phu o ng tr
nh vi ph^n toan ph^ n co t
a a ch ph^n t^ ng qua t la:
a o
x3 (1 + ln y) − y 2 = C
. .
89) ~
Ha y t ' '
m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
. o nh: (x + sin y)dx + (x cos y + sin y)dy = 0
’
HD giai: PTVPTP co t '
ch ph^n t^ ng qua t:
a o x2 + 2(x sin y − cos y) = C

20. 20 www.VNMATH.com
. .
90) ~
Ha y t ' '
m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
. o nh:
1 y2 x2 1
− dx + − dy = 0
x (x − y)2 (x − y)2 y
x xy
’
HD giai: PTVPTP co t '
ch ph^n t^ ng qua t:
a o ln + =C
y x−y
. .
91) T e
. o' '
m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
nh vi ph^n:
a
(sin xy + xy cos xy)dx + x2 cos xydy = 0
’ . . '
HD giai: Phu o ng tr
nh vi ph^n toan ph^ n co nghi^m t^ ng qua t la
a a e
. o x sin(xy) = C .
. . .
92) ~
Ha y t '
m th a s^ t ch ph^n cu a phu o ng tr
u o a nh: (x + y 2 )dx − 2xydy = 0
' . .
o '
suy ra nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e nh.
.
. . . 1
’
HD giai: u
Th a s^ t '
o ch ph^n cu a phu o ng tr
a nh la
µ(x) = . '
Nh^n hai v^ cu a
a e
x2
y2
. . .
phu o ng tr
nh cho th a s^ t
u '
o ch ph^n r^ i gia i ra
a o x = Ce x .
. .
93) '
Gia i phu o ng tr
nh: 2xy ln ydx + (x2 + y 2 y 2 + 1)dy = 0
- ^ . . . 1
’
HD giai: Day la phu o ng tr
a
a u
nh vi ph^n toan ph^ n, th a s^ t
o ch ph^n:
a µ(y) = nh^n
a
y
. . . . . 1 3
u
th a s^ t '
o ch ph^n vao hai v^ cu a phu o ng tr
a e '
nh r^i gia i ra d u o c:
o . x2 ln y + (y 2 +1) 2 = 0
3
. .
94) m nghi^m cu a phu o ng tr
T e
.
' nh (x3 + xy 2 )dx + (x2 y + y 3 )dy = 0.
tho a d u
' i^
e ki^n y(0) = 1.
e
.
’ - ^ . .
HD giai: Day la phu o ng tr
nh vi ph^n toan ph^ n NTQ la:
a a
x4 + 2x2 y 2 + y 4 = C
.
'
tho a d i^u ki^n
e e
. y(0) = 1 khi C = 1.
. .
95) T a o' '
m t ch ph^n t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr
nh sau: a) − 2xydy + (y 2 + x2 )dx = 0
. . . 1 - . . .
’
HD giai: Ta t . u
m d u o c th a s^ t
o ch ph^n
a µ(x) = 2
. Du a phu o ng nh d ~ cho v^
tr a
e
x
' 2 2
. a
dang vi ph^n toan ph^ n. Khi d nghi^ m t^ ng qua t
a o e
. o la x − y = Cx.

21. www.VNMATH.com 21
. . 2x −x
96)
a) Ch ng minh r ng h^ ca c vecto
u a e
. {e , e , cos x}
e ^
. . a
.
la h^ d o c l^p tuy^ n t nh.
e
.
i u ' a chu ng.
T nh d .nh th c Wronski cu
' . .
b) T a o '
m t ch ph^n t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr
nh sau:
x2 − ydy − 2x(1 + x2 − y)dx = 0.
’
HD giai:
i ~ e' e ^ a
a) Dung d. nh ngh a ki^ m tra h^ d oc l^p tuy^ n t
e nh.
. . .
- inh th.c Wronski W [y , y , y ](x) = 3ex (3 cos x − sin x).
D. u 1 2 3
- ^ . . ' ' . .
b) Day la phu o ng tr
nh vi ph^n toan ph^ n. T
a a ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr
a o nh
la
2 3
x2 + (x2 − y) 2 = C
3
. .
x2
97) T ' '
m t ch ph^n t^ ng qua t cu a ca c phu o ng tr
a o nh sau: ( − y 2 )dy − 2xdx = 0.
y
. . . 1 - . . .
’
HD giai: . u
m d u o c th a s^ t
Ta t o ch ph^n
a µ(x) = . Du a phu o ng nh d ~ cho v^
tr a
e
y
. o e
. o'
dang vi ph^n toan ph^ n. Khi d nghi^ m t^ ng qua t la
a a 2x2 + y 3 = Cy.
. . x 2x 2
98)
a) Ch ng minh r ng h^ ca c vecto
u a e
. {e , e , x } e ^
. . a
.
la h^ d o c l^p tuy^ n t nh.
e
. .
a o' '
m t ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr
b) T nh sau: (x − y)dy + (x + y)dx = 0.
’
HD giai:
' . .
a) Ki^ m tra h^ phu o ng tr
e e
. nh la d o c l^p tuy^ n t
^. a
. e nh .
- ^ . . y 2 x2
b) Day la phu o ng tr
nh vi ph^n toan ph^ n n^n ta co
a a e d(xy − + ) = 0.
2 2
V^y t
a
. a o'
ch ph^n t^ ng qua t la
x2 − y 2 + 2xy = C.
. . x
99)
a) Ch ng minh r ng h^ ca c vecto
u a e
. {1, x, e }
e ^
. . a
.
la h^ d o c l^p tuy^ n t nh.
e
. . 2
b) T
m t ch ph^n t^
a o'ng qua t cu a phu o ng tr
' nh sau: (x − y)dx + xdy = 0
’
HD giai:
i ~ e' e ^ a
a) Dung d. nh ngh a ki^ m tra h^ d oc l^p tuy^ n t
e nh .
. . .
. . . 1 . . . . .
b) T
m th a s^ t
u o ch ph^n, ta d u o c
a . µ(x) = . nh d ~ cho d u a d u o c v^
Phu o ng tr a .
e
x2
. .
dang phu o ng tr
. nh vi ph^n toan ph^ n
a a
y 1
(1 − 2
)dx + dy = 0.
x x
. . . .
'
Gia i phu o ng tr
nh nay ta d u o c
. y = Cx − x2 .
. . 2x x
100)
a) Ch ng minh r ng h^ ca c vecto
u a e
. {e , e , x} e ^
. . a
.
la h^ d o c l^p tuy^ n t nh.
e
. .
b) T a o' '
m t ch ph^n t^ ng qua t cu a phu o ng tr
nh sau: (x − y)dx − (x + y)dy = 0.
’
HD giai:

22. 22 www.VNMATH.com
' . .
a) Ki^ m tra h^ phu o ng tr
e e
. nh la d o c l^p tuy^ n t
^. a
. e nh.
- ^ . . '
b) Day la phu o ng tr
nh vi ph^n toan ph^ n. Suy ra t
a a ch ph^n t^ ng qua t co dang:
a o .
x2 + y 2 − 2xy = C.

23. www.VNMATH.com 1
. .
` ˆ
BAI TAP PHU O NG TR`
. ˆ ´
INH VI PHAN (tiˆ p theo)
e
101) '
. .
Gia i phu o ng tr
nh: y” + y = x + e−x
’ . . . 2
HD giai: nh d a c tru ng λ + λ = 0 ⇔ λ1 = 0; λ2 = −1
Phu o ng tr .
' . . −x
. o '
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e nh thu^ n nh^ t: y = C1 + C2 e
a a
. . . . .
Tm nghi^m ri^ng du o i dang y = y1 + y2 , trong d y1 , y2 la ca c nghi^m tu o ng u ng
e
. e . o e
.
. . −x
' nh: y” + y = x va y” + y = e
cu a ca c phu o ng tr
• V λ1 = 0 la nghi^m cu
e
. ' a phu.o.ng tr .
.
nh d a c tru ng n^n y1 = x(Ax + B)
e
. . . . 1
a e o
. a i
B ng phu o ng pha p h^ s^ b^ t d. nh d u o c:
. y1 = x2 − x
2
. . .
• λ2 = −1 e
. '
la nghi^m cu a phu o ng tr
nh d a c tru ng n^n:
. e y2 = Axe−x
−x
Thay vao va dung h^ s^ b^ t d. nh suy ra: y2 = −xe
e o
. a i
1
Cu^ i cung NTQ:
o y = C1 + C2 e−x + x2 − x − xe−x
2
. .
102) '
Gia i phu o ng tr
nh: 2y” + 5y = 29x sin x
. . . 5
’
HD giai: Phu o ng tr
nh d a c tru ng:
. 2λ2 + 5λ = 0 ⇔ λ1 = 0, λ2 = −
2
5x
−
. .
e
. o ' '
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng nh thu^ n nh^ t y = C1 + C2 e 2
tr
a
a
. . .
V ±i kh^ng pha i la nghi^m cu a phu o ng tr
o ' e
. ' nh d a c tru ng n^n t
. e m nghi^ m ri^ng dang:
e
. e .
y = (Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x
. . . . 185 16
Thay vao phu o ng tr
nh d u o c:
. A = −2; B = ; C = −5; D = −
29 29
. .
103) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” − 2y + 5y = x sin 3x
’ . . . 2
HD giai: nh d a c tru ng: λ − 2λ + 5 = 0 ⇔ λ1 = 1 − 2i; λ2 = 1 + 2i
Phu o ng tr .
. . x
'
NTQ cu a phu o ng tr nh thu^ n nh^ t: y = e (C1 cos 2x + C2 sin 2x)
a a
. . .
Do ±3i kh^ng pha i la nghi^m cu a phu o ng tr
o ' e
. ' '
nh d a c tru ng n^n nghi^m ri^ng cu a (2)
. e e
. e
. . . .
. m du o i dang: y = (Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x
d u o c t .
. . 3 57 1 41
Thay vao (2) ta d u o c:
. A= ; B= ; C=− ; D=
26 26 13 13
. .
104) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” − 2y − 3y = xe4x + x2
’ . . . 2
HD giai: nh d a c tru ng: λ − 2λ − 3 = 0 ⇔ λ1
Phu o ng tr . = −1; λ2 = 3.
. . −x
'
NTQ cu a phu o ng tr
a
nh thu^ n nh^ t: y = C1 e
a + C2 e3x
.
m nghi^m ri^ng dang y = y1 + y2 v i y1 la nghi^m cu a
T e
. e . o e
. ' y” − 2y − 3y = xe4x
x 6
y1 = e4x (Ax + B) = e4x −
5 25
con
y2 e
. e '
la nghi^m ri^ng cu a y” − 2y − 3y = x2 co dang:
.
2 4 14
y2 = A1 x2 + B1 x + C1 = − x2 + x − .
3 9 27
e4x 6 1 4 14
. e
. o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a y = C1 e−x + C2 e3x + (x − ) − (x2 − x + )
5 5 3 3 9

24. 2 www.VNMATH.com
. .
105) '
Gia i phu o ng tr
nh: x2 y” − 2y = x3 cos x
. .
o
. e
.
'
bi^ t m^t nghi^m cu a phu o ng tr
e
nh thu^n nh^ t la
a a y1 = x2
2
’
HD giai:
Chia 2 v^ cho
e x2 (x = 0): y” − y = x cos x.
x2
. ' . .
T
m nghi^m ri^ng th hai cu a phu o ng tr
e
. e u nh thu^ n nh^ t dang:
a a .
2
p(x) = 0; q(x) = − .
x2
1 − p(x)dx dx 1
y2 = y1 2
e dx = x2 4
=−
y1 x 3x
. . 1
a
. e
. o' '
V^y nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
nh thu^ n nh^ t la:
a a y = C1 x2 − C2 .
3x
Coi C1 , C2 '
la ham cu a x, p dung phu.o.ng phap h ng
a .
a
s^ bi^ n thi^n:
o e e

C1 x2 + C2 (− 1 ) = 0

3x
C 2x + C ( 1 ) = x cos x
 1 2
3x2

cos x sin x
C1 = ⇒ C1 = + K1

Gia' i ra: 3 3
C = x3 cos x ⇒ C = x3 sin x + 3x2 cos x − 6x sin x + 6 cos x + K
2 2 2
2
x sin x 1 K2
V^y NTQ: y =
a
. − (x3 sin x + 3x2 cos x − 6x sin x + 6 cos x) + K1 x2 − .
3 3x 3x
. .
2 cotgx
106) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” + y + y =
x x
. .
sin x
o
. e
.
'
bi^ t m^t nghi^m cu a phu o ng
e nh thu^n nh^ t la y1 =
tr a a
x
x cotgx .
’
HD giai: p(x) = , q(x) = 1, f (x) = . T m nghi^m ri^ng th hai:
e
. e u
2 x
1 − p(x)dx sin x x2 − 2 dx sin x dx cos x
y2 = y1 2
e dx = 2 e
x dx = 2 =−
y1 x sin x x sin x x
. . sin x cos x
'
NTQ cu a phu o ng tr
a
nh thu^ n nh^ t: y = C1
a − C2
 x x
 sin x
C1 cos x
+ C2 ( )=0
Bi^ n thi^n h ng s^ :
e e a o x x
C x cos x − sin x + C x sin x + cos x = cotgx
 1 2
x2 x2 x
cos2 x cos2 x 1 − sin2 x
⇒ C1 = ⇒ C1 (x) = dx + K1 = dx + K1
sin x sin x sin x
dx x
= − sin xdx + K1 = ln |tg | + cos x + K1
sin x 2
C2 = cos x → C2 = sin x + K2
e o'
V^y nghi^m t^ ng qua t: y = · · ·
a
. .
. .
ex
107) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” − 2y + y = 1 +
x

25. www.VNMATH.com 3
’ . . . 2
HD giai: nh d a c tru ng: λ − 2λ + 1 = 0 ⇔ λ = 1
Phu o ng tr .
. . x
'
NTQ cu a phu o ng tr nh thu^ n nh^ t: y = e (C1 x + C2 )
a a
. .
Dung phu o ng pha p bi^ n thi^n h ng s^ t
e e a o m nghi^m ri^ng dang:
e
. e .
x x
y = α1 (x).xe + α2 (x).e .
 
α1 (x).xex + α2 (x).ex = 0 1
α1 = e−x +

ex ⇔ x
α1 (x)(ex + xex ) + α2 (x).ex = 1 + α = −(xex + 1)
x 2
V^y
a
.
α1 = −e−x + ln |x|
α2 = xe−x + e−x − x
. −x
Nhu v^y nghi^m ri^ng: y = (ln |x| − e
a
. e
. e )xex + (xe−x + e−x − x)ex
' x x x
Va nghi^m t^ ng qua t: y = e (C1 x + C2 ) + xe ln |x| − xe + 1
e
. o
108) '
. .
Gia i phu o ng tr
nh: y” + y = xe−x
’ . . . 2
HD giai: nh d a c tru ng: λ + λ = 0 ⇔
Phu o ng tr
. λ1 = 0; λ2 = −1
. .
e
. o' '
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
nh thu^ n nh^ t:
a a y = C1 + C2 e−x
−x
m nghi^m ri^ng dang: y = xe
T e. e . (Ax + B)
2
−x x
K^ t qua : y = C1 + C2 e
e ' − ( + x)e−x
2
. .
109) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” − 4y + 5y = e2x + cos x
’ . . . 2
HD giai: Phu o ng trnh d a c tru ng: λ − 4λ + 5
. = 0 ⇔ λ1 = 2 − i; λ2 = 2 + i
' 2x
Nghi^m t^ ng qua t: y = e (C1 cos x + C2 sin x)
e
. o
.
m nghi^m ri^ng dang: y = y1 + y2 v i y1 =
T e
. e . o Ae2x ; y2 = A cos x + B sin y ⇒ y1 =
1 1
e2x ; y2 = cos x − sin x
8 8
2x 2x 1
e o'
Nghi^m t^ ng qua t: y = e (C1 cos x + C2 sin x) + e
+ (cos x − sin x)
.
8
110) '
. .
Gia i phu o ng tr
nh: y” + 4y + 4y = 1 + e−2x ln x
HD giai: Phu.o.ng tr
’ . 2
nh d a c tru ng: λ + 4λ + 4 = 0 ⇔ λ = −2
.
−2x
NTQ : y = e (C1 x + C2 )
−2x
m nghi^m ri^ng dang: y = α1 (x).xe
T e
. e . + α2 e−2x .
α1 (x).xe−2x + α2 e−2x = 0
α (e−2x − 2xe−2x ) + α2 (−2e−2x ) = 1 + e−2x ln x
 1
α = e−2x + ln x → α = 1 e−2x + x ln |x| − x
 1 1
2 2 2
α = −x(e−2x + ln x) → α = 1 e2x + x − 1 xe2x − x ln x
2
 2
4 4 2 2
⇒ nghi^m ri^ng ⇒ nghi^m t^ ng quat:
e e e o'
. .
2
−2x −2x 1 2x 3x x2
y = e (C1 x + C2 ) + e ( e − + ln x)
4 4 2
111) '
. .
Gia i phu o ng tr
nh: y” + y = e−x (sin x − cos x)

26. 4 www.VNMATH.com
. . . .
’
HD giai: -
Dat
. y = e−x z
thay vao phu o ng tr
nh d u o c:
. z” − z = sin x − cos x.
. . . 2
nh d a c tru ng: λ − λ = 0 ⇔ λ = 0, λ = 1
Phu o ng tr .
' x
Nghi^m t^ ng qua t: z = C1 + C2 e .
e
. o
m nghi^m ri^ng dang: z = A cos x + B sin x ⇒ A =
T e. e . 1, B = 0.
−x
. . o'
V^y nghi^m t^ ng qua t la: y = e
a e (C1 + C2 ex + cos x)
. .
112) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” − 4y + 8y = e2x + sin 2x
’ . . . 2
HD giai: nh d a c tru ng: λ − 4λ + 8 = 0 ⇔ λ1 = 2 − 2i; λ2 = 2 + 2i
Phu o ng tr .
. . 2x
e
. ' nh thu^ n nh^ t: y = e (C1 cos 2x + C2 sin 2x)
Nghi^m cu a phu o ng tr a a
. 2x
Nghi^m ri^ng dang y = y1 + y2 v i y1 la nghi^m ri^ng cu a y” − 4y + 8y = e
e
. e . o e
. e '
1
dang
. y1 = Ae2x → A = ; y2 la nghi^m ri^ng cu a y” − 4y + 8y = sin 2x
e
. e '
4
1 1
dang
. y2 = A cos 2x + B sin 2x → A = , B = .
10 20
e o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a
. .
1 1
y = e2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) + e2x − (2 cos 2x + sin 2x)
4 20
.
. .
1
113) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” + y =
sin x
HD giai: Phu.o.ng tr
’ . 2
nh d a c tru ng: λ + 1 = 0 ⇔ λ = ±i
.
NTQ : y = C1 cos x + C2 sin x
m nghi^m ri^ng dang: y = α1 (x) cos x + α2 (x) sin x
T e
. e .
a
e e
a
B ng ca ch bi^ n thi^n h ng s^
o

α1 cos x + α2 sin x = 0 α1 = −1 α1 = −x
1 ⇒ cos x ⇒
α1 (− sin x) + α2 cos x = α2 = α2 = ln sin x
sin x sin x
a e o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
y = C1 cos x + C2 sin x − x cos x + sin x ln sin x
. .
. .
x
114) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” − 3y + 2y = 2x2 − 5 + 2ex cos
2
HD giai: λ2 − 3λ + 2 = 0 ⇔ λ1 = 1; λ2 = 2
’
x 2x
NTQ: y = C1 e + C2 e
x 2x
m nghi^m ri^ng dang: y = α1 (x)e + α2 (x)e
T e
. e . b ng ca ch bi^ n thi^n h ng s^ :
a e e a o
x 2x
α1 e + α2 e = 0
x
α1 ex + α2 (2e2x ) = 2x2 − 5 + 2ex cos
2
α1 = −e−x (2x2 − 5) − 2 cos x

2
α2 = e−2x (2x2 − 5) + 2e−x cos x
2
 x
α1 = e−x (2x2 − 4x − 1) − 4 sin
⇒ 2
α2 = − 1 [e−2x (2x2 − 5) + 2(xe−2x + 1 e−2x )] + 8 (−e−2x cos x + 1 e−x sin x )
2 2 3 2 2 2
. ' ' . .
T d co nghi^ m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
u o e
. o nh.

27. www.VNMATH.com 5
. .
115) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” − 4y = (2 − 4x)e2x
’
HD giai: ' y = C1 e−2x + C2 e2x
Nghi^m t^ ng qua t:
e
. o
2x 2 2
Nghi^m ri^ng dang: y = xe (Ax + B); A = − , B =
e
. e .
3 3
−2x 2x 2 2x
e o'
→ Nghi^m t^ ng quat: y = C1 e
+ C2 e + xe (1 − x)
.
3
. .
ex
116) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” − 2y + y = + cos x
x
’ ' x
HD giai: Nghi^m t^ ng qua t: y = e (C1 x + C2 )
e
. o
∗ x x
nghi^m ri^ng dang: y = α1 xe + α2 e bi^ n thi^n h ng s^ :
e
. e . e e a o

α1 = ln |x| + 1 e−x (sin x − cos x)

1
α1 = e−x cos x
 
x → 2
α = −(1 + xe−x cos x) α = −x − 1 (xe−x (sin x − cos x) + e−x sin x)
 2
2
2
⇒ e o'
Nghi^m t^ ng qua t
.
. .
117) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” − 2y + 2y = x(ex + 1)
’ . . . 2
HD giai: nh d a c tru ng: λ − 2λ + 2 = 0 ⇔ λ1 = 1
Phu o ng tr
. − i λ2 = 1 + i
' ' . . . . .
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
. o nh thu^ n nh^ t tu o ng u ng:
a a
y = ex (C1 cos x + C2 sin x)
. x
Nghi^m ri^ng dang y = y1 + y2 v i y1 la nghi^m ri^ng cu a y” − 2y + 2y = xe
e
. e . o e
. e '
x
co dang y1 = e (Ax + B) → A = 1, B = 0; Va y2 la nghi^m ri^ng cu a y” − 2y + 2y
. e
. e ' =x
1
y2 = Ax + B → A = B = .
2
' ' . .
V^y nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
a
. e
. o nh:
1
y = ex (C1 cos x + C2 sin x) + xex + (x + 1)
2
.
. .
e−x
118) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” + 2y + y = sin x +
x
’ . . . 2
HD giai: nh d a c tru ng λ + 2λ + 1 = 0 ⇔
Phu o ng tr . λ = −1 (b^i 2)
o
.
' −x
Nghi^m t^ ng qua t: y = e
e
. o (C1 x + C2 ).
−x
m nghi^m ri^ng dang: y = α1 (x)xe
T e. e . + α2 (x)xe−x
e e
a
Bi^ n thi^n h ng s^ :
o
 x
α = ex sin x + 1 α = e (sin x − cos x) + ln |x|

 1
1 2 x
x ⇒
α = −xex sin x − x
x 2
α = −[ xe (sin x − cos x) + e cos x] − x
2  2
2 2 2 4
2 −x
cos x x e
e
. o'
Suy ra nghi^m t^ ng qua t:
y = e−x (C1 x + C2 ) + xe−x ln |x| − − .
2 4

28. 6 www.VNMATH.com
. .
1
119) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” + y =
sin x
’ . . . 2
HD giai: Phu o ng trnh d a c tru ng λ + 1
. = 0 ⇔ λ = ±i
e o'
Nghi^m t^ ng qua t: y = A1 cos x + A2 sin x.
.
A1 = −1 A1 = −x
Bi^ n thi^n h ng s^ :
e e a o ⇒
A2 = cotgx A2 = ln | sin x|.
a e o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
y = (C1 − x) cos x + (C2 + ln | sin x|) sin x.
. .
120) '
. .
Gia i phu o ng tr
nh: y” + y = xex + 2e−x
’ . . . 2
HD giai: Phu o ng trnh d a c tru ng λ + 1
. = 0 ⇔ λ = ±i
e o'
Nghi^m t^ ng qua t: y = C1 cos x + C2 sin x.
.
T
m nghi^m ri^ng dang:
e
. e .
A = 1


2A = 1 
2
 

y = (Ax + B)ex + Ce−x → A+B =0 → B = −1
C = 1 2

2C = 2 


1
. e
. o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a y = C1 cos x + C2 sin x + (x − 1)ex + e−x
2
. .
121) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” − y − 2y = cos x − 3 sin x
’ . . . 2
HD giai: Phu o ng trnh d a c tru ng λ
. + λ − 2 = 0 ⇔ λ1 = −2; λ2 = 1
−2x
e
. o'
Nghi^m t^ ng qua t: y = C1 e
+ C2 ex
T
m nghi^m ri^ng dang:
e
. e .
B − 3A = 1 A=0
y = A cos x + B sin x → →
−A − 3B = −3 B=1
. e
. o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a y = C1 e−2x + C2 ex + sin x
. .
122) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” − 2y = 2 cos2 x
. . .
’
HD giai: Phu o ng trnh d a c tru ng
. λ2 − 2λ = 0 ⇔ λ1 = 0; λ2 = 2
' 2x
Nghi^m t^ ng qua t: y = C1 + C2 e .
e
. o
T
m nghi^m ri^ng dang:
e
. e .
y = Ax + B cos 2x + C sin 2x
A = − 1


−2A = 1


 2
1
 
. .
Thay vao d u o c:
. −4(B + C) = 1 → B=−

4(B − C) = 0  8
C = − 1



8
2x x 1
a e o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
y = C1 + C2 e − − (cos 2x + sin 2x)
. .
2 8
. .
123) '
Gia i phu o ng tr
nh: y” + y = sin x + cos 2x

29. www.VNMATH.com 7
’ . . . 2
HD giai: nh d a c tru ng λ + 1 = 0 ⇔ λ = ±i
Phu o ng tr
.
' . .
. o ' nh thu^ n nh^ t: y = C1
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e a a cos x + C2 sin x.
T
m nghi^m ri^ng dang:
e
. e .
y = x(A cos x + B sin x) + C cos 2x + D sin 2x
. . . . 1 1
nh va d ng nh^ t d u o c:
Thay vao phu o ng tr o
^
a . A = − ; B = 0; C = − ; D = 0
2 3
1 1
a e o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
y = C1 cos x + C2 sin x − x cos x − cos 2x.
. .
2 3
. .
124) T e
. o' '
m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
nh vi ph^n:
a y − 2y = 2 cos2 x
’
HD giai:
. . . 2 '
Phu o ng trnh d a c tru ng λ − 2λ = 0 ⇐⇒ λ1
. = 0; λ2 = 2. Nghi^m t^ ng quat cu a
e
. o '
. . . . . 2x
phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh thu^n nh^ t tu o ng u ng:
a a y = C1 + C2 e . T nghi^m ri^ng
m e
. e
dang:
.
y ∗ = Ax + B cos 2x + C sin 2x
- . .
1 1 1
Du o c
. A = − ;B = − ;C = − . V^y NTQ:
a
.
2 8 8
x 1
y = C1 + C2 e2x − − (cos 2x + sin 2x)
2 8
. .
125) e
. o' '
m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
T nh vi ph^n:
a
x x x
(x + e )dx + e (1 − )dy = 0.
y y
y
. . x2 x
’
HD giai: Phu o ng tr a
nh vi ph^n toan ph^ n co t
a '
ch ph^n t^ ng qua t;
a o + ye y = C .
2
. .
126) '
Gia i phu o ng tr
nh: y − 6y + 9y = 25ex sin x.
’ . . . . . 3x
HD giai: '
NTQ cu a phu o ng tr nh thu^n nh^ t tu o ng u ng y = (C1 +C2 x)e .
nh tuy^ n t
e a a
∗ x . .
m nghi^m ri^ng dang: y = e (A cos x + B sin x); d u o c A = 4; B = 3. V^y NTQ:
T e
. e . . a
.
y = (C1 + C2 x)e3x + ex (3 cos x + 4 sin x)
. .
127) ~ m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
Ha y t e
. o' ' nh: y − 2y + 2y = x(ex + 1)
’ . . . 2 '
HD giai: Phu o ng trnh d a c tru ng λ − 2λ + 2 = 0 ⇐⇒ λ1 = 1 ± i. Nghi^m t^ ng
. e
. o qua t
' a phu.o.ng tr
cu nh tuy^ n t
e nh thu^ n nh^ t tu o.ng u.ng: y = ex (C1 cos x + C2 sin x).
a
a
.
T
m
∗ . x
nghi^m ri^ng dang: y = y1 + y2 ; v i y1 la nghi^m ri^ng cu a y − 2y + 2y = xe , co
e
. e . o e
. e ' dang
.
x ' a y − 2y + 2y = x, co
y1 = e (Ax + B) =⇒ A = 1; B = 0 va y2 la nghi^m ri^ng cu
e. e dang
.
1
y2 = A x + B =⇒ A = B = . a e o'
v^y nghi^m t^ ng qua t:
. .
2
1
y = ex (C1 cos x + C2 sin x) + xex + (x + 1)
2

30. 8 www.VNMATH.com
. .
128) T ' '
m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
. o nh:
2
x y − 2y = x3 cos x
. .
e o
. e. e '
bi^ t m^t nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr
nh thu^n nh^ t la
a a y1 = x2 .
1
HD giai: T NR dang y2 = uy1 = ux2 d u.o.c y2 = − . Nhu.
’ m . . v^y NTQ:
a
. y =
3x
2 C2 . . 1 3
C1 x + . Bi^ n thi^n h ng s^ d u o c C 1 = − cos x; C 2 = x cos x ...
e e
a
o .
x 3
. .
129) '
Gia i phu o ng tr ^
e
e o
. e
. e '
nh vi ph^n sau d ay n^ u bi^ t m^t nghi^m ri^ng cu a no
a
. 2
co dang d
. a th c:
u (x + 1)y − 2y = 0
. .
’
HD giai: ~
D^ th^ y
e a y1 = x2 + 1 la m^t
o
. '
nghi^m ri^ng cu a phuu o ng tr
e
. e nh, nghi^ m ri^ng
e
. e
. .
th hai d o c l^p
u ^. a
. nh v i y1 la:
tuy^ n t
e o
1 − 0.dx dx 1 x
y2 = y1 e dx = (x2 + 1) = (x2 + 1)( 2 + arctan x)
y1 2 + 1)(x2
2 2 x +1
x
V^y NTQ:
a
. y = C1 (x2 + 1) + C2 (x2 + 1)( 2 + arctan x)
x +1
. .
130) m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
T e
. o' ' nh: y + y = sin x + cos 2x.
’ . . . 2 '
HD giai: nh d a c tru ng λ + 1 = 0 ⇐⇒ λ1 = ±i. Nghi^m t^ ng qua t cu a
Phu o ng tr . e
. o '
. . . . .
phu o ng tr nh thu^n nh^ t tu o ng u ng: y = C1 cos x + C2 sin x. T
nh tuy^ n t
e a a m nghi^m
e
.
. 1
ri^ng dang:
e . y ∗ = y1 + y2 ; v i
o y1 'y + y = sin x, d u.o.c y1 = − x cos x
la nghi^m ri^ng cu a
e
. e .
2
. . 1
va
y2 la nghi^m ri^ng
e e cu a y + y = cos 2x, d u o c y2 = − cos 2x. V^y nghi^m t^
' . a e o'ng qua t:
. . .
3
1 1
y = C1 cos x + C2 sin x − x cos x − cos 2x
2 3
131) T ' '
. .
m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
. o nh vi ph^n:
a y + 10y + 25y = 4e−5x
’ . . . 2
HD giai: nh d a c tru ng r
Phu o ng tr
. + 10r + 25 = 0 gia i ra r1 = r2 = 5
'
. . −5x . .
'
NTQ cu a phu o ng trnh thu^ n nh^ t:
a a y = (C1 + C2 x)e '
va NR cu a phu o ng
tr
nh
∗ 2 −5x
kh^ng thu^n nh^ t: y = 2x e
o a a . V^y
a
.
−5x
NTQ: y = (C1 + C2 x)e + 2x2 e−5x
. .
sin x
132)
Bi^ t r ng phu o ng tr
e a nh xy + 2y + xy = 0 co nghi^m ri^ng dang
e
. e . y= .
x
' . .
~ e o '
m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
Ha y t nh.
.
. sin x cos x
’
HD giai: e
. e ^. a
.
Nghi^m ri^ng d o c l^p tuy^ n t
e nh v i
o y= la
y= . V^y nghi^m
a
. e
.
x x
' ' . .
t^ ng qua t cu a phu o ng tr
o nh la
sin x cos x
y = C1 . + C2 .
x x

31. www.VNMATH.com 9
. .
133) T e
. o' '
m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
nh vi ph^n:
a y + y = 4x2 ex
. . . . .
’
HD giai: e. o' '
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
nh thu^ n nh^ t tu o ng u ng:
a a y = C1 +C2 e−x
∗ 2 −x
m nghi^m ri^ng dang: y = (A1 x + A2 x + A3 )e
T e
. e . , gia i ra A1 = 2; A2
' = −6; A3 = 7.
. .
134) T e
. o' '
m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
nh vi ph^n:
a y + 3y + 2y = x sin x
HD giai: Nghi^m t^ ng quat cu a phu.o.ng tr
’ e
. o' '
a
a
. .
.
nh thu^ n nh^ t tu o ng u ng: y = C1 e
−x
+
−2x . . . . . .
C2 e . Nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr
e
. e ' nh kh^ng thu^ n nh^ t d u o c t
o a a . m du o i dang: y =
.
. . 3 17 1 3
(A1 x + A2 ) cos x + (B1 x + B2 ) sin x va t d u o c A1 = − ; A2 = ; B1 = ; B2 = .
m .
10 50 10 25
. . .
135) '
Gia i phu o ng tr
nh tuy^ n t nh c^ p 2 v i h^ s^ h ng
e a o e
. o a y” − 2y + 2y = xex
’ - ^ . . . a
HD giai: Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 2 kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng.
a o a a o e o
.
o'
Nghi^m t^ ng qua t la:
e
.
1
y = ex (C1 cos x + C2 sin x) + (x + 1) + ex
2
. . .
136) '
Gia i phu o ng tr
nh tuy^ n t nh c^ p 2 v i h^ s^ h ng
e a o e
. o a y” + y = cos 2x.
’ - ^ . . . a
HD giai: Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 2 kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng.
a o a a o e o
.
o'
Nghi^m t^ ng qua t la:
e
.
1 1
y = C1 cos x + C2 sin x + − cos 2x.
2 6
. .
137) m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
T e
. o' ' nh: (1 − x2 )y” − 2xy + 2y = 0
khi bi^ t m^t nghi^m ri^ng
e o
. e
. e y1 = x.
. 2x
’
HD giai: e'
Chuy^ n v^ dang
e . y” + p1 (x)y + p2 (x)y = 0. V i
o p1 (x) = − n^n nghi^m
e e
.
1 − x2
' . .
o ' nh d ~ cho la
t^ ng qua t cu a phu o ng tr a
2x
dx
e 1−x2 dx
y = x{ C1 dx + C2 } = x{C1 + C2 }
x2 x2 (1
− x2 )
1 1 1+x x 1+x
= x{(− + ln ) + C2 } = C2 x + C1 ( ln − 1).
x 2 1−x 2 1−x
. . .
138) '
Gia i phu o ng tr
nh tuy^ n t nh c^ p 2 v i h^ s^ h ng
e a o e
. o a y” − 3y + 2y = 2 + ex
’ - ^ . . . a
HD giai: Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 2 kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng.
a o a a o e o
.
Nghi^m t^
e o'ng qua t la:
.

32. 10 www.VNMATH.com
y = C1 ex + C2 e2x − 2xex .
139) '
. .
Gia i phu o ng tr
.
nh tuy^ n t nh c^ p 2 v i h^ s^ h ng
e a o e
. o a y” − y = sin2 x.
’ - ^ . . . a
HD giai:
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 2 kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng.
a o a a o e o
.
o'
Nghi^m t^ ng qua t la:
e
.
1 1
y = C1 + C2 ex + cos x − ln x.
2 2
. . .
140) '
Gia i phu o ng tr
nh tuy^ n t nh c^ p 2 v i h^ s^ h ng
e a o e
. o a y” − 2y + 10y = xex
’ - ^ . . . a
HD giai:
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 2 kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng.
a o a a o e o
.
o'
Nghi^m t^ ng qua t la:
e
.
1
y = C1 ex cos 3x + C2 ex sin 3x − xex .
9
. . .
141) '
Gia i phu o ng tr
nh tuy^ n t nh c^ p 2 v i h^ s^ h ng
e a o e
. o a y” + y = cos 2x + sin x.
’ - ^ . . . a
HD giai:
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 2 kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng.
a o a a o e o
.
o'
Nghi^m t^ ng qua t la:
e
.
1 1
y = C1 ex cos x + C2 ex sin x − cos 2x − x cos x.
3 2
. . .
142) '
Gia i phu o ng tr
e
a o e
.
o
nh tuy^ n t nh c^ p 2 v i h^ s^ h ng
a
y” − 2y + y = xex
’ - ^ . . . a
HD giai:
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 2 kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng.
a o a a o e o
.
Nghi^m t^
e o'ng qua t la:
.
x3 x
y = C1 ex + C2 xex + e .
6
. . .
143) '
Gia i phu o ng tr
e
a o e
.
o
nh tuy^ n t nh c^ p 2 v i h^ s^ h ng
a
y” + y = cos 2x.
’ - ^ . . . a
HD giai:
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 2 kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng.
a o a a o e o
.
Nghi^m t^
e o'ng qua t la:
.
1 1
y = C1 + C2 e−x + sin 2x − cos 2x.
10 5
. .
3 1
144) T ' '
m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
. o nh y” + y + 2 y = 0,
x x
1
khi bi^ t m^t nghi^m ri^ng co dang
e o
. e
. e . y1 = .
x

33. www.VNMATH.com 11
’ . . . . . . . . . 2
HD giai: Phu o ng tr nh d ~ cho tu o ng d u o ng v i phu o ng tr
a o nh x y” + 3xy + y = 0.
- ^ . . ' . . . .
Day la phu o ng tr
nh Euler n^n ta co th^ d u a v^ phu o ng tr
e e e nh tuy^ n t
e nh v i h^ s^
o e o
.
t . .
ng b ng ca ch d a t x = e . Khi d phu o ng tr
.
~ cho tro thanh yt ” + 2y + y = 0.
'
h
a a . o nh d a
t
. .
Phu o ng trnh nay co nghi^ m la y = C1 e
e.
−t
+ C2 te−t . V^y nghi^m cu a phu.o.ng tr
a
. e
. ' nh
C1 ln |x|
d~ cho la
a y= + C2 .
x x
. . .
145) '
Gia i phu o ng tr
e
a o e
.
o
nh tuy^ n t nh c^ p 2 v i h^ s^ h ng
a
a) y” − 3y + 2y = 2e2x
’ - ^ . . . a
HD giai: Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 2 kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng.
a o a a o e o
.
o'
Nghi^m t^ ng qua t la:
e
.
y = C1 ex + C2 e2x + 2e2x .
. . .
146) '
Gia i phu o ng tr
e
a o e
.
o
nh tuy^ n t nh c^ p 2 v i h^ s^ h ng
a
1
a) y” + y =
cos2 x
’ . . . .
HD giai: . '
Nghi^m cu a phu o ng tr
e nh thu^ n nh^ t
a a y = C1 cos x + C2 sin x. Dung phu o ng
. . sin x 1
e e
a
pha p bi^ n thi^n h ng s^ ta d u o c
o . C1 (x) = − 2 va C2 (x) =
.
cos x cos x
' . .
V^y nghi^m cu a phu o ng tr
a
. e
. nh la
sin x 1 + sin x
y = C1 cos x + C2 sin x − 1 + ln | |.
2 1 − sin x
. . .
147) '
Gia i phu o ng tr
e
a o e
.
o
nh tuy^ n t nh c^ p 2 v i h^ s^ h ng
a
y” − 2y + 2y = x + ex
’ - ^ . . . a
HD giai: Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 2 kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng.
a o a a o e o
.
Nghi^m t^
e o'ng qua t la:
.
1
y = ex (C1 cos x + C2 sin x) + (x + 1) + ex .
2
. . .
148) '
Gia i phu o ng tr
e
a o e
.
o
nh tuy^ n t nh c^ p 2 v i h^ s^ h ng
a
y” + y = cos2 x.
’ - ^ . . . a
HD giai: Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 2 kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng.
a o a a o e o
.
1 1
e o'
Nghi^m t^ ng qua t la:
y = C1 cos x + C2 sin x + − cos 2x.
.
2 6
. .
1
149) T ' '
m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
. o nh xy” + y − y = 0,
a x
khi bi^ t m^t nghi^m ri^ng co dang
e o
. e
. e . y1 = .
x

34. 12 www.VNMATH.com
1 . . 1
’
HD giai: y1 = o
. e
. '
la m^ t nghi^m cu a phu o ng tr
nh. Ta t
m nghi^ m ri^ng
e
. e y2 = u(x) .
x x
. . . . ' . .
Thay vao phu o ng tr
nh ta t
m d u o c
. y2 = x. '
V^y nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
a
. e
. o nh
la
C1
y= + C2 x.
x
. . .
150) '
Gia i phu o ng tr
e
a o e
.
o
nh tuy^ n t nh c^ p 2 v i h^ s^ h ng
a
a) y” − 3y + 2y = 2ex
’
HD giai:
- ^ . . . a
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 2 kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng. Nghi^m
a o a a o e o
. e
.
t^
o'ng qua t la:
y = C1 ex + C2 e2x − 2xex .
. . .
151) '
Gia i phu o ng tr
e
a o e
.
o
nh tuy^ n t nh c^ p 2 v i h^ s^ h ng
a
y” − y = sin x.
’
HD giai:
- ^ . . . a
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 2 kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng. Nghi^m
a o a a o e o
. e
.
t^
o'ng qua t la:
1 1
y = C1 + C2 ex + cos x − sin x.
2 2
. .
152) T ' '
m nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
. o nh x2 y” − 2xy − 4y = 0,
1
khi bi^ t m^t nghi^m ri^ng co dang
e o
. e
. e . y1 = .
x
1 . . 1
’
HD giai: y1 = o
. e
. '
la m^ t nghi^m cu a phu o ng tr
nh. Ta t
m nghi^ m ri^ng
e
. e y2 = u(x) .
x x
. . . . . .
Thay vao phu o ng tr
nh ta t
m d u o c
. y2 = x4 . ' '
V^y nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
a
. e
. o nh
la
C1
y= + C2 x4 .
x
. . .
153) '
Gia i phu o ng tr
nh tuy^ n t nh c^ p 2 v i h^ s^ h ng
e a o e
. o a y” + y = x + 2ex
’
HD giai:
- ^ . . . a
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 2 kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng. Nghi^m
a o a a o e o
. e
.
t^
o'ng qua t la:
y = C1 cos x + C2 sin x + x + ex .
. . .
154) '
Gia i phu o ng tr
nh tuy^ n t nh c^ p 2 v i h^ s^ h ng
e a o e
. o a y” − y + y = x.

35. www.VNMATH.com 13
’
HD giai:
- ^ . . . a
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 2 kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng. Nghi^m
a o a a o e o
. e
.
o'
t^ ng qua t la:
√ √
x 3 3
y = e (C1 cos
2 x + C2 sin x) + 1 + x.
2 2
. . .
155) '
Gia i phu o ng tr
nh tuy^ n t nh c^ p 2 v i h^ s^ h ng
e a o e
. o a y” − 2y + y = x + ex
’ - ^ . . . a
HD giai: Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 2 kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng.
a o a a o e o
.
o'
Nghi^m t^ ng qua t la:
e
.
1
y = C1 ex + C2 xex + 2 + x2 ex .
2
156) '
. .
Gia i phu o ng tr
.
nh tuy^ n t nh c^ p 2 v i h^ s^ h ng
e a o e
. o a y” + y = sin2 x.
’ - ^ . . . a
HD giai: Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 2 kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng.
a o a a o e o
.
Nghi^m t^
e o'ng qua t la:
.
1 1
y = C1 cos x + C2 sin x + + cos 2x.
2 6
. .
1
157) '
Gia i phu o ng tr
nh tuy^ n t nh c^ p 2 sau:
e a xy” − y − y = 0.
x
’ - ^ . . ' . . .
HD giai: Day la phu o ng tr
nh Euler n^n ta co th^ d u a v^ phu o ng tr
e e e nh tuy^ n
e
. t . . .
t o e o
. a a . o nh d ~ cho tro thanh
nh v i h^ s^ h ng b ng ca ch d a t x = e . Khi d phu o ng tr a '
yt ” − 2yt − y = 0.
. .
Phu o ng tr
nh nay co nghi^ m la
e
.
√ √
y = C1 e(1+ 2)t
+ C2 e(1− 2)t
.
. .
. e
. ' nh d ~ cho la
V^y nghi^m cu a phu o ng tr
a a
√ √
y = C1 x1+ 2
+ C2 x1− 2 .
. . .
158) '
Gia i phu o ng tr
nh tuy^ n t nh c^ p 2 v i h^ s^ h ng sau:
e a o e
. o a y” − 3y + 2y = 2 cos x
’ - ^ . . . a
HD giai: Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 2 kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng.
a o a a o e o
.
o'
Nghi^m t^ ng qua t la:
e
.
1 3
y = C1 ex + C2 e2x + cos x − sin x.
5 5
. . .
159) '
Gia i phu o ng tr
nh tuy^ n t nh c^ p 2 v i h^ s^ h ng sau:
e a o e
. o a y” − y = sin x + ex .

36. 14 www.VNMATH.com
’ - ^ . . . a
HD giai:
Day la phu o ng tr
nh tuy^ n t
e nh c^ p 2 kh^ng thu^ n nh^ t v i h^ s^ h ng.
a o a a o e o
.
Nghi^m t^
e o'ng qua t la:
.
1 1
y = C1 + C2 ex + xex + cos x − sin x.
2 2
z . .
160) ^ '
Dung phe p d o i ham
y= 2
' '
d e gia i phu o ng
^ tr
nh vi ph^n:
a
x
x2 y” + 4xy + (x2 + 2)y = ex
z z x − 2z z”x2 − 4z x + 6z
’
HD giai: y = ⇒y = ; y” =
x2 x3 x4
. . ex
'. x
nh tro thanh: z” + z = e co m^ t nghi^m ri^ng y =
Phu o ng tr o. e
. e
2
. . . . . 2
Phu o ng tr
a
nh thu^ n nh^ t co phu o ng tr
a nh d a c tru ng λ + 1 = 0 ⇔ λ = ±i
.
ex
V^y nghi^m t^
a e o'ng qua t: z = C1 cos x + C2 sin x +
. .
2
cos x sin x ex
V^y y = C1
a
. + C2 2 + 2
x2 x 2x
. .
161) '
Gia i phu o ng tr
nh y” cos x + y sin x − y cos3 x = 0 '
b ng phe p bi^ n d o i
a e ^ t = sin x
’
HD giai: t = sin x : yx = yt .tx = yt cos x
y”xx = y”tt cos2 x − yt sin x
. . −t
Thay vao phu o ng tr
t
nh: y”tt − y = 0 → y = C1 e + C2 e = C1 esin x + C2 e− sin x
. .
x x x
162) m nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr
T e
. e ' nh (x + e y )dx + e y (1 − ) = 0
y
thoa d u ki^n y(0) = 2
' i^
e e
.
∂P ∂Q x x x2 x
’
HD giai: = = − 2 ey , y = 0 TPTQ: + ye y = C
∂y ∂x y 2
y(0) = 2 ⇒ C = 2.
. .
163) '
Gia i phu o ng tr
nh vi ph^n
a y” + y tgx − y cos2 x = 0 '
b ng phe p bi^ n d o i
a e ^ t = sin x
’ . . .
HD giai: Tu o ng tu bai 2
.
.
1 1
164) e'
Cho bi^ u th c:
u h(x) ( − ln(x + y))dx + dy .
x+y x+y
. .
~
Ha y t
m ham s^
o h(x) ' ' '
sao cho bi^ u th c tr^n tro thanh vi ph^n toan ph^ n cu a
e u e a a
m^t ham
o
. F (x, y) va t
m ham s^ d .
o o
-
1
’
HD giai: Dat
. P = h(x) ln (x + y)
x+y
1
Q = h(x).
x+y
-
(Di^u ki^n x+y 0) d^
e e e' P dx + Qdy
la vi ph^n toan ph^ n:
a a
.
∂P ∂Q −h(x)(x + y + 1) h (x)(x + y) − h(x)
= ⇔ 2
=
∂y ∂x (x + y) (x + y)2

37. www.VNMATH.com 15
⇔ h (x + y) + h(x + y) = 0 ⇔ h + h = 0 ⇔ h(x) = e−x
−x
Va F (x, y) = e
ln(x + y)
165) '
. .
Gia i phu o ng tr
nh vi ph^n :
a xy” + 2(1 − x)y + (x − 2)y = e−x
a ^ '
b ng phe p d o i ^ n ham z = yx
a'
z zx−z . . .
’
HD giai: z = yx ⇔ y = ; y = = ...; y” = ... tu o ng tu bai 1
.
x x2
166) Cho P (x, y) = ex sin y + 2m2 x cos y; Q(x, y) = ex cos y + mx2 sin y .
T
m m d e P (x, y)dx + Q(x, y)dy la vi ph^n toan ph^ n cu a ham s^
^ ' a
a '
o
F (x, y) nao d va t ham ^ y.
o m a
∂P ∂Q
’
HD giai: = ⇔ 2x sin y(m2 + m) = 0 Chon
. m = 0V m = −1.
∂y ∂x
. .
y 1
167) '
Gia i phu o ng tr
nh x2 y” + 2xy + =0 '
b ng phe p bi^ n d o i
a e ^ x=
x2 t
’
HD giai:
168) T
m ham
µ(x2 + y 2 ) sao choµ(x2 + y 2 ) (x − y)dx + (x + y)dy
ph^ n cu a m^t ham F (x, y) nao d . T
√ √ o m ham F (x, y)
la vi ph^n toan
a a ' o
.
n^ u bi^ t µ(1, 1) = 0; µ(
e
e 2, 2) = ln 2
HD giai: P (x, y) = h(x2 + y 2 )(x − y); Q(x, y) = h(x2 + y 2 )(x + y)
’
- e
∂P ∂Q
'
D^ h(x − y)dx + h(x + y)dy la vi ph^n toan ph^ n ta pha i co :
a
a ' =
∂y ∂x
- 2 2
Dat t = x + y ⇒ ht .2y(x − y) − h = ht .2y(x + y) + h
.
C1 C1
⇔ −ht (x2 + y 2 ) = h ⇔ ht t = h ⇒ h = ⇒h= 2 .
t x + y2
x x−0 y
x+y y C1
⇒ F (x, y) = C1 2 + 02
dx + C1 2 + y2
dy = C1 arctg + ln(x2 + y 2 ) + C2
1 x 0 x 2 2
√ √ π
F (1, 1) = 0; F ( 2, 2) = ln 2 Cho: C1 = 2; C2 = −( + ln 2)
2
. .
169) '
Gia i phu o ng tr
nh x2 y” + xy + y = x '
b ng phe p d o i bi^ n
a ^ e x = et
1 1
HD giai: x = et
’ yx = yt . ; y”xx = (y”tt − yt ) 2
ta co :
x x
. . t
nh: y”tt + y = e
Thay vao phu o ng tr
' . .
. o '
Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e nh thu^ n nh^ t: y = C1 cos t + C2 sin t
a a
t 1
m nghi^m ri^ng dang: y + Ae ; A =
T e. e .
2
x
V^y nghi^m t^
a e o'ng qua t: y = C1 cos (ln x) + C2 sin (ln x) +
. .
2

38. 16 www.VNMATH.com
. .
170) '
Gia i phu o ng tr
nh vi ph^n:
a xy” − (x + 1)y − 2(x − 1)y + x2 = 0
. . . . .
bi^ t r ng phu o ng tr
e a
a
nh thu^n nh^ t tu o ng u ng co m^ t nghi^m ri^ng
a o. e
. e y1 = eαx
.
v i
o α
a
la h ng s^ c^n xa c d .nh.
o a i
. . . .
’
HD giai: Thay nghi^m
e
. y1 = eαx nh r^i d ng nh^ t d u o c
vao phu o ng tr
o
o ^
a . α=2
- . . . x+1 2(x − 1)
Du a phu o ng tr
nh v^ dang:
e . y” − y − y = −x; x = 0
x x
x+1 2(x − 1)
p(x) = − ; q(x) = − ; f (x) = −x
x x
x+1
dx 1
T
m nghi^m ri^ng: y2 = e
e
. e
2x
e−4x e x dx = − (3x + 1)e−x .
9
' ' . .
Suy ra nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
e
. o nh thu^ n nh^ t:
a a
y = C1 e2x + C2 (3x + 1)e−x
e e
a
Bi^ n thi^n h ng s^ :
o
 
C1 = − 1 (3x + 1)e−2x
 C1 = 1 (6x + 5)e−2x

9 → 36
C = 1 ex
 2 C = 1 ex
 2
9 9
⇒ NTQ.
. .
171) '
Gia i phu o ng tr
nh vi ph^n
a x2 y − 4xy + 6y = 0 '
b ng phe p d o i bi^ n
a ^ e x = et .
1 1
HD giai: x = et ,
’ yx = yt . , y”xx = (y”tt − yt ) 2
ta co :
x x
. . '. 2 3
Phu o ng tr
nh tro thanh: y”tt − 5yt + 6y = 0 ⇒ NTQ: y = C1 x + C2 x
. .
172) '
Gia i phu o ng tr
nh vi ph^n:
a y” − (2ex + 1)y + e2x y = e3x
x
'
b ng phe p d o i
a ^ bi^ n t = e .
e
x x 2x
’
HD giai: - ^'
Do i bi^ n t = e ⇒ yx = yt .e , y”xx = y”tt .e
e + yt .ex
. . 3
Thay vao phu o ng tr
nh: y”tt − 2yt + y = t
Nghi^m t^
e o'ng qua t cu a phu.o.ng tr
'
a
a
t
nh thu^ n nh^ t: y = e (C1 t + C2 )
.
3 2 3 2
m nghi^m ri^ng dang y = At + Bt + Ct + D → y = t + 6t +
T e
. e . 18t + 24 '
K^ t qua
e
x
y = ee (C1 ex + C2 ) + e3x + 6e2x + 18ex + 24.
. .
173) '
Gia i phu o ng tr
nh vi ph^n:
a (x − 1)y” − xy + y = (x − 1)2 e2x
. . . . . αx
e o
. e
. e '
bi^ t m^t nghi^m ri^ng cu a phu o ng tr
nh thu^n nh^ t tu o ng u ng co dang y = e
a
a .
( α
c^n xa c d .nh).
a i
- . . . x 1
’
HD giai: Du a phu o ng tr
nh v^:
e y” − .y + .y = (x − 1)e2x
x−1 x−1
. x 1
V i
o p(x) = ; q(x) = ; f (x) = (x − 1)e2x
x−1 x−1
. . . . .
Thay y1 = eαx nh thu^ n nh^ t tu o ng u ng r^i d ng nh^ t suy ra
vao phu o ng tr
a
a o
o ^
a α=1
x
x −2x dx
m nghi^m ri^ng y2 = e
T e
. e e e x−1 dx = −x

39. www.VNMATH.com 17
⇒ NTQ: y = C1 ex + C2 (−x)
e e
a
Bi^ n thi^n h ng s^ :
o

C1 = xe x C1 = xex − ex + K1
→ 1
C2 = e2x C2 = e2x + K2
2
x
. e
. o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a y = ( − 1)e2x + K1 ex − K2 x
2
. .
1
174) '
Gia i phu o ng tr
nh vi ph^n:
a x2 (x + 1)y” = 2y
bi^ t m^t nghi^m
e o
. e
. y1 = 1 + .
x
- . . . 2
’
HD giai: Du a phu o ng tr
nh v^:
e y − .y = 0; p(x) = 0; f (x) = 0.
x2 (x + 1)
T
m NR dang
.
1 x2 1 1
y2 = (1 + ) 2
.e− 0dx dx = (1 + )(x − 2 ln |x + 1| − )
x(x + 1) x 1+x
x+1 1
=x+1− ln(x + 1)2 − .
x x
1 1 x+1
. e
. o'
V^y nghi^m t^ ng qua t: y =
a C1 (1 + ) + C2 (x − − 1 + ln(x + 1)2 + 1).
x x x
. .
175) '
Gia i phu o ng tr
nh vi ph^n
a (x2 + 1)y” − 2y = 0
.
o e '
n^ u bi^ t m^t nghi^m cu a no co dang d
e e a th c.
u
. . .
’
HD giai: ~
D^ th^ y
e a y1 = x2 + 1 '
la m^ t nghi^m ri^ng cu a (1).
o
. e
. e
1 − dx
Nghiˆm th´. hai: y2 = y1
e
. u 2
.e p(x)dx
dx = (x2 + 1)
y1 (x2 + 1)2
1 x
= (x2 + 1)( 2 + arctgx)
2 x +1
x
. e
. o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a y = C1 (x2 + 1) + C2 (x2 + 1)( 2 + arctgx).
x +1
. .
176) '
Gia i phu o ng tr
nh vi ph^n
a xy” + 2y − xy = ex '
b ng phe p d o i ham
a ^ z = xy .
’ - . .
HD giai: Dat
. z = xy ⇒ z = y + xy ; z = 2y + xy . Thay vao phu o ng tr
nh:
z − z = ex → NTQ z = C1 + C2 ex
1
Nghi^m ri^ng dang:
e
. e . y = Axex → A =
2
z 1 x 1 x
V^y:
a
. y = = (C1 + C2 e + xe )
x x 2
.
xn+1
∞
177) '
Ch ng to r ng ham:
u a f (x) =
n=0 n!
. .
e
.
'
la nghi^m cu a phu o ng tr
nh xf (x) − (x + 1)f (x) = 0.

40. 18 www.VNMATH.com
.
∞ xn+1 .
’
HD giai: Dung t
' ' ~
nh ch^ t D'Alembert d^ ch ng to chu^ i
a e u o h^i tu v i moi
o x
. . o .
n=0 n!
. xn+1
∞
.
Nhu v^y ham
a
. f (x) = xa c d. nh v i moi x.
i o .
n=0 n!
∞ xn
. .
Ho n n~ a: f (x) = x
u = xex
n=0 n!
.
⇒ xf (x) − (x + 1)f (x) = x(x + 1)ex − (x + 1)xex = 0, ∀x '
d i^u pha i ch ng minh.
e u
. .
178) '
Gia i phu o ng tr
nh x(x2 + 6)y” − 4(x2 + 3)y + 6xy = 0
.
bi^ t r ng no co nghi^ m dang d
e a e a th c.
u
. .
. . 2
’
HD giai: m nghi^m ri^ng du o i dang y1 = Ax + Bx + C
Ta t e
. e . ⇒ y1 = x2 + 2
2 +3)
. 1 − − 4(x dx
nghi^m ri^ng th hai: y2 = y1
e
. e u e x(x+6) dx
2
y1
x2 (x2 + 6) 2x √ x
= (x2 + 2) dx = (x2 + 2)(x + 2 + 2 2arctg √ )
(x2 + 2)2 (x + 2) 2
2 3
√ 2 x
V^y NTQ:
a
. y = C1 (x + 2) + C2 [x + 4x + 2 2(x + 2)arctg √ ]
2
. .
179) '
Gia i phu o ng tr
nh (2x + 1)y” + (2x − 1)y − 2y = x2 + x bi^ t
e
r ng
a
2 2
x + 4x − 1 x +1
no co hai
nghi^ m ri^ng y1 =
e
. e ; y2 = .
2 2
’ . . .
HD giai: T hai nghi^m ri^ng y1 , y2 cu a phu o ng tr
u e
. e ' '
nh ta suy ra nghi^ m ri^ng cu a
e
. e
. .
nh thu^ n nh^ t la y1 = y1 − y2 = 2x − 1
phu o ng tr
a
a
.
Suy ra nghi^m th hai:
e
. u
1 − 1 2x−1
y2 = y1 e p(x)dx
dx = (2x − 1) e− 2x+1 dx dx
y1 2 (2x − 1)2
−x
(2x + 1)e 1 (2x + 1)e−x e−x (1 − 2x)
= 2(x − 1) dx = (2x − 1)[− + dx]
(2x − 1)2 2 (2x − 1)2 2x − 1
= −e−x
Suy ra NTQ: y = C1 (2x − 1) + C2 e−x
. . x2 + 1
e
. o' ' nh ban d u:
Va nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr
a
^ y = C1 (2x − 1) + C2 e−x +
2
2
180) α sao cho y = eαx la m^t nghi^m ri^ng cu a phu.o.ng tr
Xa c d .nh h ng s^
i a o o
. e. e ' nh vi ph^n:
a
2 . .
y” + 4xy + (4x + 2)y = 0. T nghi^m t^
m e. o'ng qua t cu a phu o ng tr
'
nh ^ y.
a
. . 2 . .
’
HD giai: Ta t
m nghi^m ri^ng du o i dang
e
. e . y = eαx thay vao d u o c
. α = −1 va nghi^m
e
.
−x2
ri^ng y1 = e
e
. 1 − P (x)dx 2 2 2
Nghi^m th hai:
e
. u y2 = y1 2
e dx = e−x e2x e− 4xdx
dx = xe−x .
y1
2 2
V^y NTQ:
a
. y = C1 e−x + C2 xe−x .

 dx
 = 3x − y
181) '
. .
Gia i h^ phu o ng tr
e
. nh:
dt
 dy = 4x − y

dt

41. www.VNMATH.com 19
. . . 3−λ −1
’
HD giai: Phu o ng tr
nh d a c tru ng
. = (λ − 1)2 = 0 ⇔ λ = 1 (b^i 2)
o
.
4 −1 − λ

a = 3a − c

t

a + b = 3b − d
x (at + b)e . .
T
m nghi^m dang
e
. . = thay vao h^ r^i d ng nh^ t d u o c:
e o
. o ^
a .
y (ct + d)et c = 4a − c


c + d = 4b − d

Cho a = C1 , b = C2 ⇒ c = 2C1 , d = 2C2 − C1
x = (C1 t + C2 )et
V^y nghi^m t^
a e o'ng qua t:
. .
y = (2C1 t + 2C2 − C1 )et .

 dx
 = 2x + y
182) '
. .
Gia i h^ phu o ng tr
e
. nh:
dt
 dy = 4y − x

dt
’ . . . . . .
HD giai: Tu o ng tu bai 1), phu o ng tr
. nh d a c tru ng co nghi^m
. e
. λ=3 (b^i 2)
o
.
3t
(at + b)e
T
m nghi^m dang
e
. . ⇒ a = C1 , c = C1 , b = C2 , d = C1 + C2
(ct + d)e3t
x = (C1 t + C2 )e3t
V^y NTQ:
a
.
y = (2C1 t + C1 + C2 )e3t .
 dx = x − 2y − z


 dt

dy

. .
183) '
Gia i h^ phu o ng tr
e
. nh: =y−x+z
 dt
 dz

 =x−z

dt
1 − λ −2 −1
. . .
’
HD giai: Phu o ng tr
nh d a c tru ng
. −1 1 − λ 1 = 0 ⇔ λ(λ2 − λ − 2) = 0
1 0 −1 − λ
⇔ λ1 = 0, λ2 = −1, λ3 = 2   
1 − λi −2 −1 P1i
.  −1 1 − λi
V i ca c
o λi ; i = 1, 2, 3 '
gia i h^:
e
. 1  P2i  = 0
1 0 −1 − λi P3i
- e m nghi^m ri^ng tu.o.ng u.ng. T. d suy ra h^ nghi^m co. ba n:
'
D^ t e e u o e e '
. . .
−t −t 2t
x1 = 1, y1 = 0, z1 = 1; x2 = 0, y2 = e , z2 = −2e ; x3 = 3e ,
y3 = −2e−2t , z3 = e2t . 
x = C1 + 3C3 e2t

. . e
. o'
V^y h^ nghi^m t^ ng qua t:
a e y = C2 e−t − 2C3 e2t
z = C − 2C e−t + C e2t

1 2 3

 dx
 − 5x − 3x = 0
184) '
. .
Gia i h^ phu o ng tr
e
. nh:
dt
 dy + 3x + y = 0

dt
. . . 5−λ 3
’
HD giai: Phu o ng tr
nh d a c tru ng
. =0⇔λ=2 (b^i 2)
o
.
−3 −λ − 1

42. 20 www.VNMATH.com

a − 3b = 3d
at + b 2t

⇒ nghi^m co dang
e
. . e thay vao h^
e
. ⇒ a+c=0
ct + d 
c + 3b = −3d
C1
Cho a = C1 , b = C2 ⇒ c = −C1 , d = − C2
 3
x = (C1 t + C2 )e2t
V^y
a e o'
nghi^m t^ ng qua t:
C
. .
y = (−C1 t + 1 − C2 )e2t .
3

 dx
 = 2x − 3y
185) '
. .
Gia i h^ phu o ng tr
e
. nh:
dt
 dy = x − 2y + 2 sin t

dt
’ . . .
HD giai: Phu o ng tr
nh d a c tru ng co hai nghi^ m
. e
. λ1,2 = ±1
0 3 −3 γ11
+ λ1 = −1 '
gia i h^:
e
. = ⇒ γ11 = γ12 = 1.
0 1 −1 γ12
1 −3 γ21 0
+ λ2 = 1 '
gia i h^:
e
. = ⇒ γ21 = 3; γ22 = 1.
1 −3 γ22 0
. ' ' . . .
H^ nghi^m co ba n cu a h^ thu^n nh^ t tu o ng u ng la:
e
. e
. e
. a a
x1 = e−t x2 = 3et
;
y1 = e−t y2 = et
x(t) = C1 e−t + 3C2 et
. ' e
.
a
V^y NTQ cu a h^ thu^n nh^ t:
a a
y(t) = C1 e−t + C2 et
e e
a
Bi^ n thi^n h ng s^ :
o

C1 e−t + 3C2 et = 0 C1 = 3et sin t C1 (t) = 3 et (sin t − cos t)

⇒ ⇒ 2
C1 e−t + C2 et = 2 sin t C2 = e−t sin t C (t) = − 1 e−t (sin t + cos t)
 2
2
x(t) = C1 e−t + 3C2 et − 3 cos t
V^y NTQ:
a
.
y(t) = C1 e−t + C2 et + sin t − 2 cos t
 dx = 2x − y + z


 dt

dy

. .
186) '
Gia i h^ phu o ng tr
e
. nh: = x + 2y − z
 dt
 dz

 = x − y + 2z

dt
HD giai: Phu.o.ng tr
’
.
.
nh d a c tru ng: (λ − 1)(λ − 2)(λ − 3) = 0 co 3 nghi^m λ1 = 1;
e
.
λ2 = 2; λ3 = 3.     
2 − λi −1 1 P1i 0
. .
u ng v i λi gia i h^: 
o ' e
. 1 2 − λi −1  P2i  = 0
1 −1 2 − λi P3i 0
         2t   3t 
0 1 1 0 e e
- . . . ' t
Du o c 1 ; 1 ; 0. Suy ra h^ nghi^m co ba n e  ; e  ;  0 
e e
2t
. . .
1 1 1 et e2t e3t

43. www.VNMATH.com 21

x = C2 e2t + C3 e3t

V^y NTQ:
a
. y = C1 et + C2 e2t
z = C et + C e2t + C e3t .

1 2 3

 dx
 = y − 5 cos t
187) '
. .
Gia i h^ phu o ng tr
e
. nh:
dt
 dy = 2x + y

dt
’ . . '. . . .
HD giai: Dung phu o ng pha p khu :
L^ y d ao ham theo t phu o ng tr
a . nh th hai:
u
y” = 2x + y
- e y
' . . .
D^ phu o ng trnh d u, d u a v^: y” = 2(y − 5 cos t) + y ⇔ y” − y − 2y = −10 cos t.
a^
e
- ay la phu.o.ng tr
D^
nh tuy^ n t
e ' . . '
nh c^ p hai, gia i ra d u o c nghi^m t^ ng qua t:
a . e o
.
y = C1 e2t + C2 e−t + 3 cos t + sin t
. . 1
nh d u:
Thay vao phu o ng tr a
^ x = C1 e2t − C2 e−t − cos t − 2 sin t
2
2t −t
x = A1 e + A2 e − cos t − 2 sin t
V^y NTQ:
a
.
y = 2A1 e2t − A2 e−t + 3 cos t + sin t.
. .
y = 3y + 2z + 4e5x
188) '
Gia i h^ phu o ng tr
e
. nh:
z = y + 2z
. . . y = C1 ex + 2C2 e4x
’
HD giai: Nghi^m phu o ng tr
e
. nh d a c tru ng
. λ1 = 1; λ2 = 4; NTQ:
z = −C1 ex + C2 e4x

C1 = 4 e4x

y = C1 ex + 2C2 e4x + 3e5x
Bi^ n thi^n h ng s^ :
e e a o 3 → NTQ
C = 4 ex
 2 z = −C1 ex + C2 e4x + e5x
3
. .
y = 2y − z + 2ex
189) '
Gia i h^ phu o ng tr
e
. nh:
z = 3y − 2z + 4ex
y = C1 ex + C2 e−x
’
HD giai: ' '
Nghi^m t^ ng qua t cu a h^ thu^n nh^ t:
e o e a a
. .
z = C1 ex + 3C2 e−x
y ∗ = xex
. ' e
. o
a
Nghi^m ri^ng cu a h^ kh^ng thu^n nh^ t:
e e a
z ∗ = (x + 1)ex .
y = C1 ex + C2 e−x + xex
e o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a
. .
z = C1 ex + 3C2 e−x + (x + 1)ex .
. .
y = 2y − 4z + 4e−2x
190) '
Gia i h^ phu o ng tr
e
. nh:
z = 2y − 2z

44. 22 www.VNMATH.com
y = C1 (cos 2x − sin 2x) + C2 (cos 2x + sin 2x)
’
HD giai: '
Nghi^m t^ ng qua t:
e o
.
z = C1 cos 2x + C2 sin 2x + e−2x .

 dy
 =y+z
191) '
. .
Gia i h^ phu o ng
e
. tr
nh:
dx
 dz
 = z − 4y.
dx
. . .
’
HD giai: Phu o ng tr
nh d a c tru ng
. λ2 − 2λ + 5 = 0. Khi d
o λ1 = 1 + 2i, λ2 = 1 − 2i.
.
H^ thu^n nh^ t co nghi^m
e a a e
.
y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = 2ex (C2 cos 2x − C1 sin 2x).

 dy
 = y + z + ex
192) '
. .
Gia i h^ phu o ng
e
. tr
nh:
dx
 dz
 = z − 4y.
dx
. . .
’
HD giai: Phu o ng tr
nh d a c tru ng
. λ2 − 2λ + 5 = 0. Khi d
o λ1 = 1 + 2i, λ2 = 1 − 2i.
.
H^ thu^n nh^ t co nghi^m
e a a e
.
y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = 2ex (C2 cos 2x − C1 sin 2x).
. ' e
. o
a
Va nghi^m cu a h^ kh^ng thu^n nh^ t
e a
y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = 2ex (C2 cos 2x − C1 sin 2x) − ex .

 dy
 = 2y − z
193) '
. .
Gia i h^ phu o ng
e
. tr
nh:
dx
 dz
 = 2z + 4y + e2x .
dx
. . .
’
HD giai:
Phu o ng tr
nh d a c tru ng
. λ2 − 4λ + 8 = 0. Khi d
o λ1 = 2 + 2i, λ2 = 2 − 2i.
.
H^ thu^n nh^ t co nghi^m
e a a e
.
y = e2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = −2e2x (C2 cos 2x − C1 sin 2x).
. ' e
. o
a
Va nghi^m cu a h^ kh^ng thu^n nh^ t
e a
1
y = e2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) − e2x , z = −2e2x (C2 cos 2x − C1 sin 2x).
4

 dy
 = 2y + z + ex
194) '
. .
Gia i h^ phu o ng
e
. tr
nh:
dx
 dz
 = z − 4y.
dx
’
HD giai:
. . .
Phu o ng tr
nh d a c tru ng
. λ2 − 2λ + 5 = 0. Khi d
o λ1 = 1 + 2i,

45. www.VNMATH.com 23
λ2 = 1 − 2i. .
a
H^ thu^n nh^ t co nghi^m
e a e
.
y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = 2ex (C2 cos 2x − C1 sin 2x).
. ' e
. o
a
Va nghi^m cu a h^ kh^ng thu^n nh^ t
e a
y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x), z = 2ex (C2 cos 2x − C1 sin 2x) − ex .

 dx
 = x + 2y
195) '
. .
Gia i h^ phu o ng tr
e
. nh:
dt
 dy
 = x − 5 sin t.
dt
’ ' . .
HD giai: e
. o '
Nghi^m t^ ng qua t cu a h^ phu o ng tr
e
. nh thu^ n nh^ t:
a a
x = C1 e−t + 2C2 e2t
y = −C1 et + C2 e2t .
' . .
Bi^ n thi^n h ng s^ d^ d u o c nghi^m:
e e a o e . e
.
x = C1 e−t + 2C2 e2t + 3 sin t + 4 cos t
8
3
y = −C1 et + C2 e2t + 2 cos t − sin t.

 dx
 = x − 2y + et
196) '
. .
Gia i h^ phu o ng tr
e
. nh:
dt
 dy
 = x + 4y + e2t .
dt
’ . . . . . .
HD giai: e
. ' nh d a c tru ng: r1 = 2; r2
Nghi^m cu a phu o ng tr . = 3; '
t d d u o c NTQ cu a
u o .
. . x = 2C1 e2t + C2 e3t
h^ phu o ng tr
e
.
nh thu^ n nh^ t la:
a a
y = −C1 e2t − C2 e3t .
' . . ' '
Bi^ n thi^n h ng s^ d^ d u o c nghi^m t^ ng qua t cu a h^ kh^ng thu^n nh^ t:
e e a o e . e
. o e
. o a a

3
x = 2C1 e2t + C2 e3t − et + 2te2t

2
1
y
 2t 3t
= −C1 e − C2 e + et − (t + 1)e2t .
2

 dx
 = 2x + y
197) '
. .
Gia i h^ phu o ng tr
e
. nh:
dt
 dy
 = 4y − z.
dt
’ . . .
HD giai: Nghi^m e
. '
cu a phu o ng tr
nh d a c tru ng:
. r1 = r2 = 3. V^y NTQ co dang:
a
. .
3t
x = (λ1 + µ1 t)e .
v i
o λ2 = λ 1 + µ1 ; µ2 = µ1
y = (λ2 + µ2 t)e3t .
. x = (C1 + C2 t)e3t
T c la:
u
y = (C1 + C2 + C2 t)e3t .

46. 24 www.VNMATH.com

 dx
 = 3x + 8y
198) T e
.
'
m nghi^m cu a h^
e
.
. .
phu o ng tr
nh:
dt
 dy = −x − 3y

dt
~
tho a ma n ca c d u
' i^
e ki^n:
e
. x(0) = 6; y(0) = −2
. . . . dy
’
HD giai: T phu o ng tr
u nh th hai:
u x=− − 3y , l^ y d ao ham theo t hai v^ , r^i
.
a
e o
dt
. . . . . d2 y
thay vao phu o ng tr
'
nh th nh^ t cu a h^
u a e
. d u o c:
. − y = 0, gia i ra: y = C1 et − C2 e−t ,
'
dt
suy ra x = −4C1 et − 2C2 e−t
' ~
tho a ma n ca c d i^u ki^n
e e
. x(0) = 6; y(0) = −2, suy ra C1 = C2 = −1. '
V^y nghi^m cu a
a
. e
.
h^:
e
.
x = 4et + 2e−t
y = −et − e−t
 dx


 dt = 3x − y + z

dy

. .
199) '
Gia i h^ phu o ng tr
e
. nh: = −x + 5y − z
 dt
 dz

= x − y + 3z.


dt
HD giai: Phu.o.ng tr
’ . 3 2
nh d a c tru ng: λ − 11λ + 36λ − 36 = 0,
. '
gia i ra λ1 = 2; λ2 =
. . . . '
3; λ3 = 6. T d d u o c ba h^ nghi^m co ba n:
u o . e
. e
.
 2t     
e 0 −e2t
 e3t  ;  e3t  ;  e3t  .
e6t −2e6t e6t
e o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a
. .

x
 = C1 e2t + C2 e3t + C3 e6t
y = C2 e3t − 2C3 e6t
= −C1 e2t + C2 e2t + C3 e6t .

z

 dy
 =y+z
200) e
. o' ' e
.
. .
m nghi^m t^ ng qua t cu a h^ phu o ng tr
T nh:
dx
 dz
 = z − 4y.
dx
HD giai: Phu.o.ng tr
’ .
nh d a c tru ng:
. (λ − 1)(λ − 2) = 0, '
gia i ra λ1 = 1; λ2 = 2. .
T d
u o
. . . '
d u o c ba h^ nghi^m co ba n:
. e
. e
.
ex 2e2x
; .
−ex −3e2x
e o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a
. .
y = C1 ex + 2C2 e3x
z = −C1 ex − 3C2 e2x .

47. www.VNMATH.com 25

 dx
 = 2x − 3y
201) '
. .
Gia i h^ phu o ng tr
e
. nh:
dt
 dy
 = x − 2y + 2 sin t.
dt
’ . . . . . .
HD giai: Phu o ng trnh d a c tru ng co ca c nghi^ m
. e
. λ1 = −1; λ2 = 1. T d d u o c h^
u o . e
.
. ' e−t 3et
nghi^m co ba n:
e
. −t ; t .
e e
x = C1 e−t + 3C2 et
e o'
V^y nghi^m t^ ng qua t:
a
. .
y = C1 e−t + C2 et .
C 1 e−t + 3C 2 et =0 C 1 = 3et sin t
Bi^ n thi^n h ng s^ :
e e a o ⇐⇒
C 1 e−t + C 2 et = 2 sin t. C
2 = e−t sin t.

C1 (t) = 3 et (sin t − cos t)

'
Gia i ra: 2
C (t) = − 1 e−t (sin t + cos t).
 2
2
x(t) = C1 e−t + 3C2 et − 3 cos t
e o ' '
V^y nghi^m t^ ng qua t cu a h^:
a e
. . .
y(t) = C1 e−t + C2 et + sin t − 2 cos t.