4. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
NÕu x < y cã: 2 x + x 3 < 2 y + y 3
Nh− vËy, tõ ph−¬ng tr×nh trªn ta cã x = y.
x = y = 1
Thay vµo (2) ta cã
x = y = −1
11.Bµi 11.
x 2 + y 2 = 17
x 2 + y 2 = 17
x 2 + y 2
⇔
⇔
xy
log 2 x + log 2 y = 2
log 2 ( x. y ) = 2
Gi¶i ra ta ®−îc c¸c cÆp nghiÖm (1, 4); (4, 1).
= 17
=4
12.Bµi 12.
x 2 = y 4
(1)
x
log 2 = log y x
y
§iÒu kiÖn: x > 0, 0 < y ≠ 1.
log x 2 = log y 4
log 2 x = 2 log 2 y
2
2
(1) ⇔
2 log 2 y
log 2 x ⇔
log 2 x − log 2 y =
2 log 2 y − log 2 y = log y
log 2 y
2
x =1
log 2 x = 2 log 2 y
log 2 x = 2 log 2 y
y =1
⇔
⇔ y =1
⇔
x = 16
log 2 y − 2 log 2 y = 0
2
y=4
y =4
13.Bµi 13.
4 x 2 − y 2 = 2
(1)
log 2 (2 x + y ) − log 2 (2 x − y ) = 1
§iÒu kiÖn: 2x+y > 0, 2x − y > 0.
log (2 x + y ) + log 2 (2 x − y ) = 1
(1) ⇔ 2
log 2 (2 x + y ) − log 2 (2 x − y ) = 1
2. log 2 (2 x + y ) = 2
2 x + y = 2
x = 3 / 4
⇔
⇔
⇔
2 x − y = 1
y = 1/ 2
2. log 2 (2 x − y ) = 0
4
www.mathvn.com
5. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
14.Bµi 14 (§HM§C 99).
log ( x 2 + y 2 ) − log (2 x) + 1 = log ( x + 3 y )
4
4
4
(1)
x
log 4 ( xy + 1) − log 4 (4 y 2 + 2 y − 2 x + 4) = log 4 − 1
y
§iÒu kiÖn:
x > 0
x + 3 y > 0
(*)
xy + 1 > 0
2
4 y + 2 y − 2 x + 4 > 0
y > 0
4( x 2 + y 2 )
4( x 2 + y 2 )
= log 4 ( x + 3 y )
= x + 3y
log 4
2x
2x
(1) ⇔
⇔
xy + 1
xy + 1
x
x
log 4
= log 4
=
4 y 2 + 2 y − 2x + 4 4 y
4y
4 y 2 + 2 y − 2x + 4
x = y
x = y
x 2 − 3xy + 2 y 2 = 0
( x − y )( x − 2 y ) = 0
⇔
⇔
⇔ x = 2 y ⇔ x = 2
( x − y )( x − 2) = 0
x 2 − 2 xy + 4 y − 4 x = 0
x = 2
y = 1
KiÓm tra l¹i ®iÒu kiÖn (*) ta cã nghiÖm:
x = y ∈ R
x = 2
y = 1
15.Bµi 15 (§HQG Khèi −D 95).
x+ y
y x
= 32
4
log ( x − y ) = 1 − log ( x + y )
3
3
§iÒu kiÖn:
x − y > 0
x + y > 0
xy ≠ 0
5
www.mathvn.com
(1)
6. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
x y
x y
( x − 2 y )(2 y − x) = 0
2( y + x ) = 5
2( + ) = 5
(1) ⇔
⇔ y x
⇔ 2
x − y 2 = 3
log ( x 2 − y 2 ) = 1 2
2
x − y = 3
3
x = 2 y
2
3 y = 3
x = 2
⇔
⇔
y = 1
y = 2 x
(V« nghiÖm)
− 3 y 2 = 3
(do (*))
16.Bµi 16 (§HBK 94).
x + log 3 y = 3
(1)
(2 y 2 − y + 12).3 x = 81y
§iÒu kiÖn: y > 0.
x = − log3 y + 3
x = − log3 y + 3
(1) ⇔
⇔
(2 y 2 − y + 12).27. y −1 = 81y
y 2 + y − 12 = 0
x = − log 3 y + 3
x = 2
⇔ y = 3
⇔
y = 3
y = −4 < 0 (lo¹i )
17.Bµi 17 (§HTL 2000).
3x
x. log 2 3 + log 2 y = y + log 2 2
x. log 2 + log x = y + log 2 y
3
3
3
3
(1)
§iÒu kiÖn: x, y > 0.
x 3x y
2 y.3 x = 3x.2 y
2 y.3 x = 3x.2 y
y.3 = 2 .2
(1) ⇔
⇔
⇔
2 y.3 y = 3x.2 x
3 x − y = 2 y − x
x.2 x = 2 y .3 y
3
6
www.mathvn.com
7. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
3 x 3
2 y.3 x = 3x.2 y
x = 1
=
⇔
⇔ 2
2⇔
y =1
6 x − y = 1
x = y
18.Bµi 18 (§HTCKT 2000).
x log8 y + y log8 x = 4
log 4 x − log 4 y = 1
(1)
§iÒu kiÖn: x, y > 0.
x log8 y + y log8 x = 4
x log8 y + y log8 x = 4
(1) ⇔
⇔
x
x = 4 y
log 4 = 1
y
1
x = 2 3
x log8 x = 2
log 2 x = log x 2
⇔
⇔ 3
⇔
x = 4 y
x = 4 y
y = 2 3 −2
( do x = 1 kh«ng lµ nghiÖm)
19.Bµi 19.
x
x
2
x
1 − x x
1 −1
x
9
2y
=
=9
x
3 x = 3 y
y=
y
3
⇔
⇔
⇔ 1− x
x+3 y 2x
3 y = 2 x − 5 3 y = 2 x − 5 3 x = 2 (1 − x ) − 5
1 − x
x = y −4 x
x
y
y
x
20.Bµi 20 (§HXD 94). Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:
(1)
x+2 y=a
2 y=a− x
2 y=a− x
2 y=a− x
⇔ x
⇔ x
⇔ x
x
y
2y
a− x
a −x
=1 2 + 2 2 =1 ( 2 )
2 + 4 =1 2 + 2 =1 2 + 2
§Æt t = 2 x , t > 0 thay vµo (2) ta cã: t 2 − t + 2 a = 0 (3)
∆ =1− 4.2 a .
NÕu ∆ < 0 ⇔1− 4.2 a < 0 ⇔ a > −2 : Ph−¬ng tr×nh(3) v« nghiªm ⇔ hÖ v«
nghiÖm.
7
www.mathvn.com
8. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
NÕu ∆ = 0 ⇔1− 4.2 a = 0 ⇔ a = −2 : Ph−¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm t = 1/2, suy ra
x = −1, y= −1/2.
NÕu ∆ > 0 ⇔1− 4.2 a > 0 ⇔ a > −2 : Ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm:
1 − 1 − 4. 2 a
t=
2 x
2
⇒
a
1+ 1− 4.2
2 x
t=
2
1− 1− 4.2
=
2
a
1+ 1− 4.2
=
2
a
a
1 − 1 − 4. 2
x = log 2
2
⇔
a
x = log 1+ 1− 4.2
2
2
Thay vµo (1) ta tÝnh ®−îc y.
21.Bµi 21 (§HM§C 2000). Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:
x + y + a =1
y =1 − a − x
⇔
a 2 x + y − xy
2
2 ( x +1− a − x − x ( 1− a − x ))
1− a
2 .4
=2 2
=2
y = 1− a − x
⇔
2 ( x +1− a − x − x ( 1− a − x )) = 1− a 2
(1)
(2)
22.Bµi 22 (§Ò 135). Cho hÖ ph−¬ng tr×nh:
1
2
2 log 3 x − log 3 y = 0
(1)
3
2
x + y − my = 0
a) Gi¶i hÖ víi m = 2.
b) T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm.
x ≠ 0
§iÒu kiÖn:
(*)
y > 0
log 3 x = log 3 y
(2)
x =y
(1) ⇔ 3
⇔
2
2
x + y − my = 0 f ( y ) = y + y − m = 0 ( do (*)) ( 3 )
a) Víi m = 2, gi¶i ra ta cã c¸c cÆp nghiÖm (1, 1); (−1, 1).
b) (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi (3) cã nghiÖm y > 0. Do (3) cã −b/a= −1 nªn
(3) cã nghiÖm d−¬ng khi vµ chØ khi f(0) < 0 ⇔ −m < 0 ⇔ m > 0.
8
www.mathvn.com
9. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
23.Bµi 23.
log x (3x + ky) = 2
log y (3 y + kx) = 2
(1)
§iÒu kiÖn:0 <x, y ≠ 1, 3x + ky > 0, 3y + kx > 0 (*).
3x + ky = x 2
3x + ky = x 2
(1) ⇔
⇔
( x − y )(3 − k − x − y ) = 0
3y + kx = y 2
3x + ky = x 2
2
( 2)
3x + ky = x
x = y
⇔ x = y
⇔
3x + ky = x 2
y =3−k − x
(3)
y = 3 − k − x
a) Víi k = 2.
x = 5
x 2 − 5x = 0
(2) ⇔
⇔
x = y
y = 5
x = −1
x 2 − x − 2 = 0
(3) ⇔
⇔ x = 2 (lo¹i)
y =1 − y
y =1 − x
b) BiÖn luËn:
x = 0 (lo¹i )
x( x − 3 − k ) = 0
x = 3 + k
(2) ⇔
⇔ x = 3 + k
⇔
x = y
x = y
x = y
lµ nghiÖm cña hÖ khi vµ chØ khi tho¶ m·n (*), hay 0 < 3+k ≠ 1⇔ −3 < k ≠ −2.
x 2 + (k − 3) x + (k − 3)k = 0
( 4)
(3) ⇔
y = 3 − k − x
(5)
XÐt ph−¬ng tr×nh (4) f ( x) = x 2 + (k − 3) x + k (k − 3) = 0 cã:
’ = −3(k − 3)(k + 1).
+ NÕu
’< 0 ⇔ k > 3 ho¨c k < −1: (4) v« nghiÖm ⇔ (3) v« nghiÖm.
+ NÕu
’= 0 ⇔ k = 3 ho¨c k = −1:
+ k = 3: (4) cã nghiÖm x = 0 kh«ng tho¶ m·n (*) ⇔ (3) v« nghiÖm.
+ k = −1: (4) cã nghiÖm x = 2, thay vµo (5) cã y = 2 ⇔ (2,2) lµ
nghiÖm cña (3).
9
www.mathvn.com
10. www.MATHVN.com
+ NÕu
H phương trình mũ và logarit
’> 0 ⇔ −1 < k < 3 (**): (4) cã 2:
3 − k + − 3(k − 3)(k + 1)
x = x1 =
2
3 − k − − 3(k − 3)(k + 1)
x = x2 =
2
Víi x = x1, thay vµo (5) ta cã y1 = x2.
Víi x = x2, thay vµo (5) ta cã y1 = x1.
Do ®ã, (3) cã nghiÖm tho¶ m·n 0 < x, y ≠ 1 khi vµ chØ khi:
x1 x 2 > 0
k (k − 3) > 0
k < 0
x1 + x 2 > 0 ⇔ 3 − k > 0
⇔
k ≠ 1 − 3
f (1) ≠ 0
1 − 3 + k + k (k − 3) ≠ 0
− 1 < k < 0
KÕt hîp (**) ta cã
k ≠ 1 − 3
KÕt luËn:
+ Víi k ≤ −3 hoÆc k = −2 hÖ v« nghiÖm.
+ Víi k ∈ (−3,−1] ∪ {1 − 3} ∪ [0,+∞) {−2} hÖ cã nghiÖm x=y=3+k.
+ Víi k ∈ (−1,0) {1 − 3} hÖ cã 3 nghiÖm:
x = x2
x = 3 + k x = x1
;
vµ
y = 3 + k y = x2
y = x1
10
www.mathvn.com
11. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
B. Ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô
I. Ph−¬ng ph¸p:
B−íc 1: §Æt ®iÖu kiÖn cho c¸c biÓu thøc trong hÖ cã nghÜa.
B−íc 2: Lùa chän Èn phô ®Ó biÕn ®æi hÖ ban ®Çu vÒ hÖ ®¹i sè
®· biÕt (hÖ ®èi xøng, hÖ ®¼ng cÊp, ...).
B−íc 3: Gi¶i hÖ.
B−íc 4: KÕt luËn.
II. Bµi tËp. Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh sau:
24.Bµi 24.
3 2 x + 2 + 2 2 y + 2 = 17
2.3 x +1 + 3.2 y = 8
(1)
u = 3 x
§Æt:
, u , v > 0 ( 2 ) ,thay vµo (1) ta cã:
v = 2 y
9 u 2 + 4 v 2 = 17
, gi¶i ra ta ®−îc:
6u + 3v = 8
u = 1/ 3 x = −1
⇒
v=2
y =1
25.Bµi 25.
2 2 x +1 − 3.2 x = y 2 − 2
2
2 x
2 y −3 y =2
−2
x
§Æt u = 2 , u ≥ 1 , thay vµo hÖ ta cã:
2 u 2 − 3u = y 2 − 2
, gi¶i ra ta ®−îc y = u = 2, suy ra hÖ cã c¸c cÆp
2 y 2 −3 y =u 2 − 2
nghiÖm: (0, 1); (1, 2); (−1, 2).
26.Bµi 26.
4 2 x 2 − 2 − 2 2 x 2 + y + 4 y = 1 4 2 ( x 2 −1 ) − 4.4 x 2 −1 .2 y + 2 2 y = 1
⇔
(1)
2 y+2
2 x2 +y
2y
x 2 −1 y
2
2 − 3.4
− 3.2
= 16
.2 = 4
11
www.mathvn.com
12. www.MATHVN.com
x 2 −1
u = 4
§Æt:
,
v = 2 y
H phương trình mũ và logarit
u , v > 0 (*) , thay vµo (1) ta cã:
2
2
2
4
2
2
u 2 − 4 uv + v 2 = 1 ( v − 4 ) − 12 v ( v − 4 ) + 9 v − 9 v = 0
2
⇔
2
v −4
v − 3 uv = 4
u =
3v
4
2
2 v − 31 v − 16 = 0 v 2 = 16
v = 4
2
2
⇔
⇔
⇔
v −4
v −4
u =1
u =
u =
3v
3v
Thay vµo (*) ta ®−îc c¸c cÆp nghiÖm: (1, 2); (−1, 2).
27.Bµi 27.
9 log 2 ( xy ) − 3 = 2 ( xy ) log 2 3
(1)
( x + 1 ) 2 + ( y +1 ) 2 = 1
(2)
§iÒu kiªn: xy > 0.
§Æt: log 2 ( xy ) = t ⇒ xy = 2 t , thay vµo (1) ta cã:
9 − 3 = 2.( 2 )
t
t
log 2 3
⇔3
2t
− 2.3 − 3 = 0 ⇔ 3 = 3 ⇔ t = 1 ⇒ xy = 2 (3)
t
t
( 2 ) ⇔ ( x + y ) + 2 ( x + y ) − 2 xy +1 = 0 ⇔ ( x + y ) + 2 ( x + y ) − 3 = 0
x + y =1
(4)
⇔
x + y = −3
KÕt hîp (3) vµ (4) ta cã c¸c cÆp nghiÖm: 1, 2); (2, 1).
2
2
28.Bµi 28.
4 log 3 ( xy ) = 2 + ( xy ) log 3 2
(1)
2
x + y 2 −3 x −3 y = 2
(2)
§iÒu kiªn: xy > 0.
t
§Æt: log 3 ( xy ) = t ⇒ xy = 3 , thay vµo (1) ta cã:
4 = 2+ (3 )
t
t
log 3 2
⇔2
2t
− 2 − 2 = 0 ⇔ 2 = 2 ⇔ t = 1 ⇒ xy = 3 ( 3 )
t
t
( 2 ) ⇔ ( x + y ) − 3 ( x + y ) − 2 xy −12 = 0 ⇔ ( x + y ) − 3 ( x + y ) −18 = 0
x+ y =6
⇔
(4)
x + y = −3
Tõ (3) vµ (4) ta cã c¸c cÆp nghiÖm ( 3 + 6 , 3 − 6 ) , ( 3 − 6 , 3 + 6 ) .
2
2
12
www.mathvn.com
13. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
29.Bµi 29.
3 x − 2 y 2 = 7
2
x
y
2
2 =7
3 − 2
30.Bµi 30.
9 2 cot gx + sin y = 3
9 2 cot gx .9 sin y = 3
⇔
sin y
cot gx
sin y
2 cot gx
9
− 81
= 2 9
−9
=2
(1)
u = 9 2 cot gx
§Æt:
, u , v > 0 , thay vµo (1) ta cã:
v = 9 sin y
u .v = 3
u ( u + 2 ) = 3 u = 1 cot gx = 0
⇔
⇔
⇒
v −u = 2 v =u + 2
v = 3 sin y = 1/ 2
31.Bµi 21 (§HDL TL 98).
x + 2 lg y = 3 x + 2 lg y = 3
⇔
( 1 ) ®iÒu kiÖn:x ≥ 0, y > 0.
2
x − 6 lg y = 1
x − 3 lg y = 1
§Æt Èn phô, gi¶i ra ta ®−îc cÆp nghiÖm: ( 4 , 10 ) .
32.Bµi 32 (§HNN I 98).
3 lg x = 4 lg y
(1)
lg 4
lg y
( 4 x)
=(3 y )
§iÒu kiÖn: x, y > 0.
lg( 3 lg x ) = lg( 4 lg y )
lg x .lg 3 − lg y .lg 4 = 0
(1) ⇔
(2)
⇔
2
2
lg x .lg 4 − lg y .lg 3 = lg 3 − lg 4
lg( 4 x ) lg 4 = lg( 3 y ) lg 3
u = lg x
§Æt:
, thay vµo (2) ta cã:
v = lg y
u .lg 3 − v .lg 4 = 0
.
2
2
u .lg 4 − v .lg 3 = lg 3 − lg 4
Gi¶i ra b»ng ph−¬ng ph¸p ®Þnh thøc ta ®−îc:
u = − lg 4 x = 1/ 4
⇒
v = − lg 3 y = 1/ 3
13
www.mathvn.com
14. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
33.Bµi 33 (§HQG TPHCM 97).
log 1+ x ( 1 − 2 y + y 2 ) + log 1− y ( 1 + 2 x + x 2 ) = 4
log 1+ x ( 1 + 2 y ) + log 1− y ( 1 + 2 x ) = 2
(1)
(2)
§iÒu kiÖn:x > −1/2, x ≠ 0, −1/2 < y < 1, y ≠ 0.
( 1 ) ⇔ log 1+ x ( 1 − y ) + log 1− y ( 1 + x ) = 2 ⇔ log 1+ x ( 1 − y ) +
1
=2
log 1+ x ( 1 − y )
⇔ log 1+ x ( 1 − y ) = 1 ⇔ 1 + x = 1 − y ⇔ x = − y . Thay vµo (2) ta cã:
log 1+ x ( 1 − 4 x 2 ) = 2 ⇔ 1 − 4 x 2 = ( 1 + x ) 2 ⇔ x =
−2
2
⇒ y=
5
5
34.Bµi 34 (§HTCKT 2000).
x log 8 y + y log 8 x = 4
(1)
log 4 x − log 4 y = 1
§iÒu kiÖn:x, y > 0.
1
1 log 2 y
log 2 x
x3
+ y3
=4
(1) ⇔
(2)
log x − log y = 1
2
2
2
u
u = log 2 x x = 2
§Æt:
, thay vµo (2) ta cã:
⇒
v = log 2 y y = 2 v
1
1
v
u
u 3
v 3
( 2 ) + ( 2 )
u − v = 1
2
1
x=
−3
8
u =
uv
2
1
uv = 3
3 =2
y = 2
= 4 2
v = −2 ⇒
⇔
⇔
1 ⇔
1
u = −2
u − v = 1 u − v = 2
x=
2
2
−3
v=
2
y = 1
8
14
www.mathvn.com
15. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
35.Bµi 35 (§Ò 56). Cho hÖ ph−¬ng tr×nh:
log x ( ax + by ) + log y ( ay + bx ) = 4
log x ( ax + by ).log y ( ay + bx ) = 4
a) Gi¶i hÖ khi a = 3, b = 5.
b) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ khi a, b > 0.
(1)
§iÒu kiÖn: 0 < x, y ≠ 1, ax + by > 0, ay + bx > 0.
u = log x ( ax + by )
, thay vµo (1) ta cã:
§Æt:
v = log y ( ay + bx )
u + v = 4 u = 2 log x ( ax + by ) = 2
⇔
⇒
(2)
u .v = 4
v = 2 log y ( ay + bx ) = 2
a) Víi a = 3, b = 5:
§iÒu kiÖn: §iÒu kiÖn: 0 < x, y ≠ 1.
Tõ (2) ta cã:
2
3 x + 5 y = x 2
log x ( 3 x + 5 y ) = 2 3 x + 5 y = x
⇔
⇔
log y ( 3 y + 5 x ) = 2 3 y + 5 x = y 2
( x − y )( x + y + 2 ) = 0
x= y
2
x =8
x −8 x =0
⇔
⇔
y=−x−2
y =8
( VN )
2
x + 8 x + 10 = 0
b) Víi a, b > 0:
§iÒu kiÖn: §iÒu kiÖn: 0 < x, y ≠ 1 (*).
Tõ (2) ta cã:
2
ax + by = x 2
log x ( ax + by ) = 2 ax + by = x
⇔
⇔
2
log y ( ay + bx ) = 2 ay + bx = y
( x − y )( x + y − a + b ) = 0
ax + by = x 2
2
(3)
ax + by = x
x= y
⇔
x= y
ax + by = x 2
x+ y −a+b=0
(4)
x+ y −a+b=0
15
www.mathvn.com
16. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
x= y
x= y
x=a+b
⇔
(3) ⇔ 2
⇔ x=a+b
x − ( a + b ) x = 0 x = 0 ( lo¹i ) y = a + b
NghiÖm cña (3) lµ nghiÖm cña (1) khi vµ chØ khi tho¶ m·n (*), hay a + b ≠1
y =a −b − x
(4)⇔ 2
2
x + ( b − a ) x − ab + b = 0 ( 5 )
Do 0 < x, y ≠ 1 nªn a − b > x > 0. Khi ®ã nÕu (5) cã:
2
2
2
∆ = ( b − a ) + 4 ( ab − b ) = ( a + 3 b )( a − b ) > 0 , − ab + b < 0 , nªn (5) cã
hai nghiÖm tr¸i dÊu:
a − b + ( a + 3 b )( a − b )
>0
x1 =
2
⇒ y1 = x 2 < 0 .
a − b − ( a + 3 b )( a − b )
x2 =
< 0 ( lo ¹ i )
2
VËy hÖ (4) kh«ng cã nghiÖm tho¶ m·n (*).
KÕt luËn:
+ Víi a + b = 1 hÖ v« nghiÖm.
+ Víi a + b ≠1, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt x = y = a + b.
36.Bµi 36. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:
2 x + m .3 y = 3 m
(1)
x
y
m .2 + 3 = 2 m + 1
x
u = 2
u + mv = 3 m
§Æt:
, u , v > 0 (*) .Thay vµo (1) ta cã:
( 2)
y
mu + v = 2 m + 1
v =3
2
2
2
D = 1 − m , D u = −2 m + 2 m , D v = −3 m + 2 m + 1
+ NÕu D ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 vµ m ≠ −1: HÖ (2) cã nghiÖm duy nhÊt:
2
−2m + 2m
2m
u =
u=
2
1− m
m +1
⇔
2
− 3 m + 2 m +1 v = 3 m +1
v =
1+ m
2
1− m
V× ®iÒu kiÖn (*) nªn ®Ó u, v lµ nghiÖm cña (2) ta ph¶i cã:
16
www.mathvn.com
17. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
m < −1
2m
m>0
m +1 > 0
m < −1
. Khi ®ã (1) cã nghiÖm:
⇔
⇔
3 m +1
m < −1
m>0
1 + m > 0 m > −1/ 3
2m
x = log 2
m +1
y = log 3 m + 1
2
1+ m
m =1
+ NÕu D = 0 ⇔ 1 − m 2 = 0 ⇔
m = −1
+ Víi m = 1: Dx ≠ 0 nªn hÖ (2) v« nghiÖm.
+ Víi m = −1: D = Du = Dv = 0: Mäi cÆp (u, v) tho¶ m·n u + v = 3 lµ
nghiÖm cña (2), suy ra mäi cÆp (x, y) tho¶ m·n x + y = 3 lµ nghiÖm cña (1).
KÕt luËn:
2m
x = log 2
m < −1
m +1
∗ Víi
, hÖ cã nghiªm duy nhÊt:
m>0
y = log 3 m + 1
2
1+ m
∗ Víi m = −1: mäi cÆp (x, y) tho¶ m·n x + y = 3 lµ nghiÖm cña (1).
∗ Víi −1 < m < 0: hÖ (1) v« nghiÖm.
37.Bµi 37. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh:
m .3 x +1 + 2 y = 2 m
3 x +1 + m .2 y = m + 1
(1)
a) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. (−2≤ m < −1)
b) T×m m nguyªn ®Ó nghiÖm duy nhÊt cña hÖ lµ nghiÖm nguyªn. (m = −2)
38.Bµi 38. Gi¶i vµ biªn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:
2 2 x + y .2 x +1 = m .2 x + y 2 2 x + 2 y .2 x = m .2 x + y
⇔
2
y + y .2 x +1 = my + 2 x
y 2 + 2 y .2 x = my + 2 x
x
§Æt: t = 2 , t > 0 (*). Thay vµo (1) ta cã:
17
www.mathvn.com
(1)
19. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
t1 + t 2 = m −1> 0 t1 > 0
⇒
, nªn hÖ (3) cã c¸c cÆp nghiÖm:
t1 .t 2 = m −1> 0
t 2 > 0
t = t1
t = t 2
vµ
y =t2
y = t1
m=5
+ NÕu ∆ = 0 ⇔ ( m − 1 )( m − 5 ) = 0 ⇔
m =1
Víi m = 5, ph−¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm duy nhÊt t = 4 ⇒ y = 4 ⇒ hÖ (3) cã
nghiªm duy nhÊt x = log 2 4 = 2 , y = 4 .
Víi m = 1, ph−¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm duy nhÊt t = 0 (kh«ng tho¶ m·n (*))
⇒ hÖ (3) v« nghiÖm.
+ NÕu ∆ < 0 ⇔ ( m − 1 )( m − 5 ) < 0 ⇔ 1 < m < 5 , ph−¬ng tr×nh (4) v« nghiÖm
⇒ hÖ (3) v« nghiÖm.
KÕt luËn:
m −1+ m 2 − 6 m + 5
x = log 2
2
NÕu m ≤ −1, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt:
2
m −1 − m − 6 m + 5
y=
2
NÕu −1 < m < 1 hÖ cã 2 nghiÖm:
2
m +1
m −1 + m − 6 m + 5
x = log 2
x = log 2
3
2
vµ
y = m +1
m −1− m 2 − 6 m + 5
y=
3
2
m +1
x = log 2
3
NÕu 1 < m < 5, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt:
y = m +1
3
x =1
x=2
NÕu m = 5, hÖ cã hai nghiÖm:
vµ
y=2
y=4
19
www.mathvn.com
20. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
m +1
x = log 2
3
NÕu m > 5, hÖ ph−¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm:
y = m +1
3
m −1+ m 2 − 6 m + 5
m −1 − m 2 − 6 m + 5
x = log 2
x = log 2
2
2
vµ
2
2
m −1 − m − 6 m + 5
m −1+ m − 6 m + 5
y=
y=
2
2
39.Bµi 39. Gi¶i vµ biªn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:
x− y
x− y
m 2 −m 4 =m 2 −m
(1)
x+ y
x+ y
3
2
n
−n 6 =n −n
XÐt víi m, n > 0.
x− y
u = m 4
(*). Thay vµo (1) ta cã:
§Æt:
x+ y
v = n 6
u 2 − u = m 2 − m
(2)
2
v − v = n 2 − n
XÐt hµm sè: f ( x ) = x 2 − x lµ hµm ®ång biÕn trªn (0, +∞), nªn víi x≠y th×
f ( x ) ≠ f ( y ) . Do ®ã
u = m
. Thay vµo (*) ta cã:
(2)⇔
v = n
x− y
4 =1
x− y
m =1
x− y
x− y
m 4 =m x + y
=1
=1
⇔
= 1 hoÆc 4
hoÆc 6
hoÆc n = 1
x− y
6
6
m ≠ 1, n = 1
m = 1, n ≠ 1
x , y ∈R
n
=n
m ≠ 1, n ≠ 1
20
www.mathvn.com
21. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
x=5
m =1
x− y=4
x− y=6
⇔ y =1
hoÆc
hoÆc
hoÆc n = 1
m ≠ 1, n = 1
m = 1, n ≠ 1
m ≠ 1, n ≠ 1
x , y ∈r
KÕt luËn: XÐt víi m, n > 0
+ Víi m = n = 1: Mäi x, y ∈ R lµ nghiÖm cña hÖ.
+ Víi m = 1, n ≠ 1: Mäi (x, y) tho¶ m·n x − y = 6 lµ nghiÖm cña hÖ.
+ Víi m ≠ 1, n = 1: Mäi (x, y) tho¶ m·n x − y = 4 lµ nghiÖm cña hÖ.
+ Víi 0 < m, n ≠ 1: HÖ cã nghiªm duy nhÊt (5,1).
40.Bµi 40. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh:
2 x +1 = y −
y −1 = 2 2
y −1 + m +1
x+2
−2
x +1
+m
(1)
a) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh víi m = 0.
b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiªm.
c) T×m m ®Ó hÖ coa nghiªm duy nhÊt.
Gi¶i.
u = 2 x +1
§Æt:
, u ≥ 2 , v ≥ 0 (*), thay vµo (1) ta cã:
v = y −1
u = v 2 − v + m u = v 2 − v + m
⇔
v = u 2 − u + m u − v = − ( u − v )( u + v ) + ( u − v )
u = v 2 − v + m
( 2)
u = v 2 − v + m
u = v
⇔
⇔
( u − v )( u + v ) = 0 u = v 2 − v + m
( kh«ng cã nghiÖm t/m (*))
u = − v
a) Víi m = 0, (2) trë thµnh:
u = v
u = v
u = v = 0 ( lo¹i )
⇔
⇔
2
u = v − v u (u − 2 ) = 0 u = v = 2
Thay u = v = 2 vµo (*) ta cã:
21
www.mathvn.com
22. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
x ≥ 0 , y ≥1 x ≥ 0 , y ≥1
2 x +1 = 2
x =1
⇔ x =1
⇔ x =1
⇔
y −1 = 2
y =5
y =5
y −1= 4
u = v
u = v
b) ( 2 ) ⇔ 2
⇔
2
v − v + m = v f ( v ) = v − 2 v + m = 0 (3)
HÖ cã nghiÖm khi vµ chØ khi (3) cã nghiÖm v ≥ 2
f (2)≤0
∆ '≥ 0
⇔ m≤0
f ( 2 ) > 0 ( VN )
− b =1 > 2
2a
VËy víi m ≤ 0 th× hÖ cã nghiÖm.
u = v
u = v
⇔
c) ( 2 ) ⇔ 2
2
v − v + m =v f (v) =v − 2v + m = 0 ( 4)
HÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi (3) chØ cã 1 nghiÖm v ≥ 2
f (2)=0
−b
=1≤ 2 ⇔ m ≤ 0
2a
f (2)<0
VËy víi m ≤ 0 th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.
41.Bµi 41. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh:
22 x + 42 y =m
( 2 x + 4 y ) 2 − 2.2 x .4 y = m
⇔
x
y
x+2 y
x
y
x
y
2 + 4 + 2
= m 2 + 4 + 2 .4 = m
a) Gi¶i hÖ víi m = 1.
b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm.
Gi¶i.
u = 2 x + 4 y
§Æt:
, u , u > 0 (*).Thay vµo (1) ta cã:
v = 2 x .4 y
22
www.mathvn.com
(1)
23. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
( u + v ) 2 − 2 uv = m 2 uv = m 2 − m 2 v ( − v + m ) = m 2 − m
⇔
⇔
u+v=m
u =−v+ m
u = − v + m
f ( v ) = 2 v 2 − 2 mv + m 2 − m = 0 ( 2 )
⇔
u = − v + m
a) Víi m = 1 ta cã:
v = 0 ( lo¹i )
2v 2 − 2v =0
v =1
⇔ v =1
⇔
( lo¹i )
u =0
u = − v +1
u = − v +1
VËy víi m = 1, hÖ v« nghiÖm.
b) NhËn xÐt: Víi m ≤ 0, ph−¬ng tr×nh thø hai cña (1) v« nghiÖm nªn hÖ v«
nghiÖm. Ta xÐt víi m > 0. Khi ®ã hÖ (1) cã nghiªm khi vµ chØ khi ph−¬ng
tr×nh (2) cã nghiªm v tho¶ m·n 0 < v < m
f ( 0 ). f ( m ) < 0
(m 2 −m) 2 <0
∆ '> 0
m 2 − m<0
2
2
m − 2(m − m) >0 2
f (0)>0
⇔
⇔ 2
⇔ m − m > 0 ( vn )
m −m>0
m > 1/ 2
f (m)>0
m > 1/ 2
0 < −b = 1 < m
2a 2
VËy kh«ng cã gi¸ trÞ cña m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm.
42.Bµi 42. Gi¶i vµ biªn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:
4 lg x − m lg y = − m − 1
( m + 6 ) lg x + 2 lg y = m + 3
Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p ®Þnh thøc.
(1)
43.Bµi 43.T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt:
lg 2 x + lg y = 1
lg 2 x + lg y = 1
⇔
x
lg x − lg y = m
lg y = m
§iÒu kiÖn: x, y > 0.
u = lg x
§Æt:
, thay vµo (1) ta cã:
v = lg y
(1)
23
www.mathvn.com
24. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
u 2 + v 2 =1 ( − v + m ) 2 + v 2 =1 2 v 2 − 2 v + m 2 −1 = 0 ( 2 )
⇔
⇔
u −v=m
u =−v+ m
u = − v + m
HÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi ph−¬ng tr×nh (2) cã nghiªm duy nhÊt
2
2
2
⇔ ∆ ' = 0 ⇔ m − 2 ( m − 1 ) = 0 ⇔ − m + 4 m − 2 = 0 ⇔ m = −2 ± 2
Bµi 43.T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:
ln( xy ) = ln 2 x + m ln x + ln y = ln 2 x + m
⇔
(1)
ln( xy ) = ln 2 y + m ln x + ln y = ln 2 y + m
§iÒu kiÖn: x, y > 0
u = lg x
§Æt:
, thay vµo (1) ta cã:
v = lg y
u = v
(I)
u + v = u 2 + m 2
u + v = u 2 + m
u − 2u + m = 0 ( 2 )
⇔ u = v
⇔
u =−v
u + v = v 2 + m
( II )
u = −v
2
u = − m (3)
( i ) cã nghiÖm
(2) cã nghiÖm
HÖ (1) cã nghiªm khi vµ chØ khi
⇔
(Ii ) cã nghiÖm ( 3 ) cã nghiÖm
∆ ' ( 2 ) ≥ 0 1 − m ≥ 0 m ≤ 1
⇔
⇔
⇔
⇔ m ≤1
m≤0
m≤0
m≤0
44.Bµi 44.T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã 2 nghiÖm:
log 2 ( x + y ) ( x 2 + y 2 ) = 1
( x + y ) 2 = m
0 < x + y ≠ 1/ 2
§iÒu kiÖn: 2
2
x + y >0
(1)
x 2 + y 2 = 2 ( x + y ) ( x + y ) 2 − 2 xy − 2 ( x + y ) = 0
(1) ⇔
⇔
( x + y ) 2 = m
( x + y ) 2 = m
+ Víi m ≤ 0, (2) v« nghiÖm, suy ra (1) v« nghiÖm.
+ Víi m > 0:
24
www.mathvn.com
(2)
25. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
2 m−m
xy =
(2)⇔
(3)
2
x+ y= m
(1) cã nghiªm khi vµ chØ khi (3) cã nghiÖm
( x + y ) 2 ≥ 2 xy m ≥ 4 m − 2 m 3 m − 4 m ≥ 0
16
⇔
⇔
⇔
⇔m>
9
m>0
m >0
m >0
C. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh b»ng ph−¬ng ph¸p hµm sè.
Ph−¬ng ph¸p:
B−íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn cho c¸c biÓu thøc trong hÖ cã nghÜa.
B−íc 2: Rót ra tõ hÖ mét ph−¬ng tr×nh d¹ng f(x) = f(y).
B−íc 3: Sö dông ph−¬ng ph¸p hµm sè: NÕu f(x) lµ hµm sè lu«n
®ång biÕn hoÆc nghÞch biÕn th× tõ ph−¬ng tr×nh f(x) = f(y) ta cã
x = y.
B−íc 4: Sö dông kÕt qu¶ trªn ®Ó gi¶i hÖ.
Bµi tËp: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:
45.Bµi 45.
2 x + 2 x =3+ y 2 x + 2 x =3+ y
2 x + 2 x =3+ y
(I )
⇔
⇔
y
x
y
x
y
2 + 2 y =3+ x 2 − 2 + 2 x − 2 y = − x + y 2 + 3 x = 2 +3 y ( 2)
x
XÐt hµm sè: f ( x ) = 2 + 3 x lµ hµm sè ®ång biÕn trªn R, nªn tõ ph−¬ng
tr×nh (2) ta cã: f(x) = f(y) ⇔ x = y.
Khi ®ã hÖ (I) trë thµnh:
2 x + 2 x =3+ y x = y
x= y
⇔ x
⇔ x
( II )
x= y
2 + 2 x = 3 + x 2 = − x + 3(3)
Gi¶i ph−¬ng tr×nh (3):
NhËn xÐt: + x = 1 lµ nghiªm cña (3).
+ Víi x > 1: VT(3) > 2, TP(3) < 2 nªn ph−¬ng tr×nh (3) kh«ng cã
nghiÖm x > 1.
+ Víi x < 1: VT(3) < 2, TP(3) > 2 nªn ph−¬ng tr×nh (3) kh«ng cã
nghiÖm x < 1.
VËy ph−¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm duy nhÊt x = 1, do ®ã tõ hÖ ph−¬ng tr×nh (II)
ta cã (1, 1) lµ nghiªm cña hÖ (1).
25
www.mathvn.com
26. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
46.Bµi 46.
3 x − 3 y = y − x
3 x + x = 3 y + y
(1)
⇔
2
x + xy + y 2 = 12 x 2 + xy + y 2 = 12 ( 2 )
x
XÐt hµm sè: f ( x ) = 3 + x lµ hµm sè ®ång biÕn trªn R, nªn tõ ph−¬ng tr×nh
(1) ta cã: f(x) = f(y) ⇔ x = y.
Khi ®ã hÖ (1) vµ (2) trë thµnh:
x= y
x= y
x= y
⇔
⇔ 2
2
2
x + xy + y = 12 3 x = 12 x = ±2
VËy nghiªm cña hÖ ph−¬ng tr×nh lµ (2, 2) vµ −2, −2).
47.Bµi 47.
2 x = 2 y 2 x = 2 y
(1)
⇔
y
2 = 2 x 2 x + 2 x = 2 y + 2 y (2)
x
XÐt hµm sè f ( x ) = 2 + 2 x lµ hµm sè ®ång biÕn trªn R, nªn tõ (2) ta cã:
f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y . KÕt hîp víi (1) ta cã hÖ:
x= y
x= y
x= y
⇔ x
⇔ x =1 (
do
hµm
sè
x
2 = 2 y 2 − 2 x =0 x = 2
x
f ( x ) = 2 − 2 x lµ hµm låi, nªn ph−¬ng tr×nh: 2 x − 2 x = 0 cã ®óng hai
nghiÖm.
D. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh b»ng ph−¬ng ph¸p ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ.
Ph−¬ng ph¸p:
¸p dông co c¸c bµi to¸n:
1. T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt.
2. T×m ®iÒu kiÖn ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ
cña mét tham sè.
C¸c b−íc:
B−íc 1. §Æt ®iÒu kiÖn cho c¸c biÓu thøc trong hÖ cã nghÜa.
B−íc 2. T×m ®iÒu kiÖn cÇn cho hÖ dõa vµo tÝnh ®èi xøng hoÆc ®¸nh gi¸.
26
www.mathvn.com
27. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
B−íc 3. KiÓm tra ®iÒu kiªn ®ñ.
Bµi tËp.
48.Bµi 48. T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt.
2 x − 2 y = y − x ( m + 1)
(1)
2
2
x + y=m
NhËn xÐt: NÕu x0 lµ nghiÖm cña hÖ th× − x0 còng µ nghiÖm cña hÖ. Do ®ã ®Ó
hÖ cã nghiÖm duy nhÊt th× x0 = − x0 ⇔ x0 = 0.
Víi x = 0, thay vµo hÖ ta cã:
1 − 2 y = y ( 2 ) y = 0
⇔
( do VP(2) d«ng biÕn, VT(2) nghÞch biÕn )
y=m2
m =0
Víi m = 0 thay vµo (1) ta cã:
2 x −2 y = y − x
2 x + x = 2 y + y ( 3)
⇔
y=x2
x2 + y =0
(4)
XÐt hµm sè: f ( t ) = 2 t + t lµ hµm sè ®ång biÕn trªn R. Nªn tõ (3) ta cã:
f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y , kÕt hîp (4) ta cã:
x =y
⇔ x = y =0.
2
x + y =0
VËy víi m = 0 hÖ cã nghiÖm duy nhÊt.
49.Bµi 49. T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm duy nhÊt:
2 x + x = y + x 2 + m
(1)
2
2
x + y =1
NhËn xÐt: NÕu x0 lµ nghiÖm cña hÖ th× − x0 còng µ nghiÖm cña hÖ. Do ®ã ®Ó
hÖ cã nghiÖm duy nhÊt th× x0 = − x0 ⇔ x0 = 0.
Víi x = 0, thay vµo hÖ ta cã:
m=0
1 = y + m y = 1
⇔
2
m=2
y =1
y = −1
Víi m = 0 thay vµo (1) ta cã:
27
www.mathvn.com
28. www.MATHVN.com
H phương trình mũ và logarit
2 x + x = y + x 2
2
x + y 2 =1
(2)
(3)
2
0 ≤ x ≤1 x ≥ x
⇒
⇒2
Tõ (3) ta cã:
−1≤ y ≤1 2 x ≥1≥ y
x
+ x ≥ y + x 2 . Do ®ã:
x =x2
x=0
(2)⇔
⇔
, tho¶ m·n (3), suy ra m = 0 tho¶ m·n.
2 x = y =1 y =1
Víi m = 2 thay vµo (1) ta cã:
2 x + x = y + x 2 + 2
2
x + y 2 =1
28
www.mathvn.com
