Downloaded 52 times
![ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ∆ΕΥΤΕΡΗ ΕΚ∆ΟΣΗ
Μου είπαν πολλές φορές ότι ο τίτλος του βιβλίου αυτού θα έπρεπε να ήταν κάτι σαν
«Μια Εισαγωγή στην Ανάλυση», αφού χρησι οποιείται συνήθως στις παραδόσεις όπου
οι σπουδαστές έχουν ήδη άθει τη ηχανική πλευρά του Λογισ ού· τέτοια αθή ατα εί-
ναι καθιερω ένα πλέον στην Ευρώπη και συνηθίζονται τελευταία όλο και πιο πολύ στις
ΗΠΑ. Μετά από 13 χρόνια ου φαίνεται πολύ αργά να αλλάξω τον τίτλο, αλλά χρειαζόταν
άλλες αλλαγές πέρα από τις διορθώσεις της πληθώρας των τυπογραφικών και η σφαλ-
άτων. Υπάρχουν τώρα στο βιβλίο ξεχωριστά Παραρτή ατα για πολλά θέ ατα, που στην
πρώτη έκδοση είχαν υποτι ηθεί: πολικές συντεταγ ένες, ο οιό ορφη συνέχεια, παρα ε-
τρικοποίηση κα πυλών, αθροίσ ατα Riemann, και η χρήση των ολοκληρω άτων για τον
υπολογισ ό ηκών, όγκων και ε βαδών. Μερικά θέ ατα, όπως ο χειρισ ός των δυνα-
οσειρών, εξετάζονται πιο αναλυτικά στο παρόν σύγγρα α και υπάρχουν επίσης πολλά
νέα προβλή ατα σε σχέση ε αυτά τα θέ ατα, ενώ άλλα θέ ατα, όπως η έθοδος New-
ton, ο Κανόνας του Τραπεζίου και του Simpson, αναπτύσσονται έσω των προβλη ά-
των. Υπάρχουν συνολικά 160 περίπου νέα προβλή ατα, πολλά από τα οποία είναι έσης
δυσκολίας, κάπου ανά εσα στα λίγα προβλή ατα ρουτίνας στην αρχή κάθε κεφαλαίου
και σε εκείνα τα δυσκολότερα που ε φανίζονται αργότερα.
Πολλά από τα νέα προβλή ατα τα εκπόνησε ο Ted Shifrin. Ο Frederick Gordon επι-
σή ανε αρκετά σοβαρά λάθη στα προβλή ατα της 1ης έκδοσης, και υπέδειξε ορισ ένες
η τετρι ένες διορθώσεις, όπως εκείνη της κο ψής απόδειξης του Θεωρή ατος 12-2,
η οποία κατελά βανε δύο Λή ατα και δύο σελίδες στην πρώτη έκδοση. Ο Joseph Lip-
man ου ίλησε επίσης για αυτή την απόδειξη, και για ένα παρό οιο τέχνασ α στην
απόδειξη του τελευταίου θεωρή ατος στο παράρτη α του Κεφαλαίου 11, το οποίο είχε
αφεθεί αναπόδεικτο στην πρώτη έκδοση. Ο Roy O. Davies ου πρότεινε το τέχνασ α για
το Πρόβλη α 11-66 το οποίο προηγου ένως αποδεικνυόταν όνο στο Πρόβλη α 20-8
[21-8 στην τρίτη έκδοση] και η Marina Ratner πρότεινε αρκετά ενδιαφέροντα προβλή-
ατα, ειδικά κάποια για την ο οιό ορφη συνέχεια και τις σειρές. Σε όλους αυτούς τους
ανθρώπους απευθύνω τις ευχαριστίες ου, και εύχο αι κατά τη δη ιουργία της νέας έκ-
δοσης η συνεισφορά τους να ην έχει ενσω ατωθεί ε αδέξιο τρόπο.
[1980] MICHAEL SPIVAK
ix](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-9-320.jpg)
![ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΗ ΕΚ∆ΟΣΗ
Η πιο ση αντική αλλαγή σε αυτήν την τρίτη έκδοση είναι η συ περίληψη ενός νέου ( ε
αστερίσκο) Κεφαλαίου 17 για τις κινήσεις των πλανητών, στο οποίο ο Απειροστικός Λογι-
σ ός εφαρ όζεται σε ένα πραγ ατικό πρόβλη α Φυσικής.
Σε προετοι ασία αυτού, το παλαιό Παράρτη α του Κεφαλαίου 4 αντικαταστάθηκε
από τρία Παραρτή ατα: τα δύο πρώτα καλύπτουν τα διανύσ ατα και τις κωνικές το ές,
ενώ οι πολικές συντεταγ ένες ετατέθηκαν στο τρίτο Παράρτη α, το οποίο περιλα -
βάνει και τις εξισώσεις των κωνικών το ών σε πολικές συντεταγ ένες. Επιπλέον, το
Παράρτη α του Κεφαλαίου 12 επεκτάθηκε και πραγ ατεύεται διανυσ ατικές πράξεις σε
διανυσ ατικές κα πύλες.
Μια ακό η εγάλη αλλαγή είναι απλώς η αναδιοργάνωση του παλαιού υλικού. «Το
κοσ οπολίτικο ολοκλήρω α», το οποίο προηγου ένως ήταν το δεύτερο Παράρτη α του
Κεφαλαίου 13, είναι πια Παράρτη α του κεφαλαίου «Στοιχειώδεις έθοδοι ολοκλήρω-
σης» (το πρώην Κεφάλαιο 18 και νυν Κεφάλαιο 19). Επιπλέον, τα προβλή ατα του κεφα-
λαίου εκείνου που χρησι οποιούσαν ύλη του Παραρτή ατος ε φανίζονται τώρα στο ανα-
τοποθετη ένο Παράρτη α.
Ορισ ένες άλλες αλλαγές και κάποιες εταβολές στην αρίθ ηση των Προβλη άτων
προέκυψαν από διορθώσεις και την απάλειψη λανθασ ένων προβλη άτων.
Ξαφνιάστηκα αλλά και απογοητεύτηκα όταν συνειδητοποίησα ότι αφού άφησα να
περάσουν 13 χρόνια εταξύ της πρώτης και της δεύτερης έκδοσης του βιβλίου, άφησα να
περάσουν άλλα 14 έχρι την τρίτη αυτή έκδοση. Όλο αυτόν τον καιρό φαίνεται πως συγ-
κέντρωσα έναν όχι και τόσο ικρό κατάλογο διορθώσεων. Στην Προτεινό ενη Βιβλιο-
γραφία είχα χρόνο να κάνω όνο λίγες αλλαγές, η οποία ύστερα από όλα αυτά τα χρόνια
πιθανόν να χρειάζεται ια πλήρη αναθεώρηση· αυτό θα πρέπει να περι ένει έχρι την
επό ενη έκδοση, την οποία ελπίζω να κάνω πιο έγκαιρα.
[1994] MICHAEL SPIVAK
x](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-10-320.jpg)
![ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗΝ ΤΕΤΑΡΤΗ ΕΚ∆ΟΣΗ
Όλο υποσχέσεις! Στον πρόλογο της τρίτης έκδοσης ση είωσα ότι εσολάβησαν 13 χρόνια
εταξύ της πρώτης και της δεύτερης έκδοσης, και στη συνέχεια άλλα 14 χρόνια έχρι την
τρίτη, εκφράζοντας την ελπίδα η επό ενη έκδοση να κυκλοφορήσει πιο σύντο α. Λοιπόν,
να που πέρασαν άλλα 14 χρόνια έχρι την τέταρτη, και άλλον τελική, έκδοση.
Παρ’ ότι έγιναν ικρές αλλαγές σε ορισ ένα τ ή ατα της ύλης, ιδιαίτερα στα Κεφά-
λαια 5 και 20, η έκδοση αυτή διαφέρει κυρίως όσον αφορά στην εισαγωγή πρόσθετων
προβλη άτων, την πλήρη ενη έρωση της Προτεινό ενης Βιβλιογραφίας, και τη διόρ-
θωση πολυάριθ ων λαθών.
Τα παραπάνω είχαν τεθεί υπόψιν ου εδώ και χρόνια, εταξύ άλλων από τον Nils
von Barth, τον Philip Loewen, τον Fernndo Mejias, τον Lance Miller που ου έδωσε
έναν ακρύ κατάλογο από τέτοια, ειδικά για το βιβλίο των απαντήσεων, και τον Michael
Maltenfort που ου έδωσε έναν απίστευτα εκτενή κατάλογο ε τυπογραφικά σφάλ ατα,
λάθη και κριτική.
Περισσότερο απ’ όλα ό ως εί αι υπόχρεος στον φίλο ου Ted Shifrin ο οποίος όλα
αυτά τα χρόνια χρησι οποιεί το βιβλίο ου για το ανανεω ένο άθη ά του στο University
of Georgia, και ο οποίος ε παρακίνησε και εντέλει ε βοήθησε να πραγ ατοποιήσω
αυτή την απαραίτητη αναθεώρηση. Πρέπει επίσης να ευχαριστήσω τους φοιτητές του
αθή ατός του τα τελευταία ακαδη αϊκά χρόνια, που λειτούργησαν ως πειρα ατόζωα
για τη νέα έκδοση, η οποία είχε ως αποτέλεσ α, συγκεκρι ένα, την απόδειξη που υπάρχει
στο Πρόβλη α 8-20 για το Λή α του Ανατέλλοντος Ηλίου, η οποία είναι κατά πολύ
απλούστερη από την πρωτότυπη απόδειξη του Reisz, ή ακό η και την απόδειξη του [38]
της Προτεινό ενης Βιβλιογραφίας, που τώρα έχει ολοκληρωτικά αναθεωρηθεί και αυτή,
και πάλι ε εγάλη βοήθεια από τον Ted.
[2008] MICHAEL SPIVAK
xi](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-11-320.jpg)
![4. Γραφικές παραστάσεις 65
(ii) f .x/ D x
1
x
.
(iii) f .x/ D x2
C
1
x2
.
(iv) f .x/ D x2 1
x2
.
11. Περιγράψτε τη γενική εικόνα της γραφικής παράστασης της f αν
(i) η f είναι άρτια.
(ii) η f είναι περιττή.
(iii) η f είναι η αρνητική.
(iv) f .x/ D f .x Ca/ για κάθε x. (Μια συνάρτηση ε αυτήν την ιδιότητα λέγεται
περιοδική ε περίοδο a.)
12. Σχεδιάστε τις συναρτήσεις f .x/ D m
p
x για m D 1, 2, 3, 4. (Υπάρχει ένας εύκολος
τρόπος να το κάνετε, χρησι οποιώντας το Σχή α 14. Μην ξεχνάτε, ό ως, ότι ε
m
p
x εννοού ε τη θετική m-οστή ρίζα του x όταν ο m είναι άρτιος. Θα πρέπει
ακό α να ση ειώσετε ότι υπάρχει ια ση αντική διαφορά ανά εσα στη γραφική
παράσταση όταν ο m είναι άρτιος και όταν ο m είναι περιττός.)
13. (α) Σχεδιάστε την f .x/ D jxj και την f .x/ D x2
.
(β) Σχεδιάστε την f .x/ D j sin xj και την f .x/ D sin2
x. (Υπάρχει ια ση αν-
τική διαφορά ανά εσα στις γραφικές παραστάσεις, που δεν πορού ε για την
ώρα να την περιγράψου ε αυστηρά. ∆είτε αν πορείτε να την ανακαλύψετε·
το έρος (α) δίνεται ως ένδειξη.)
14. Περιγράψτε τη γραφική παράσταση της g ε τη βοήθεια της γραφικής παράστασης
της f αν
(i) g.x/ D f .x/ C c.
(ii) g.x/ D f .x C c/. (Είναι εύκολο να κάνετε λάθος εδώ.)
(iii) g.x/ D cf .x/.
(iv) g.x/ D f .cx/.
(∆ιακρίνετε τις περιπτώσεις c D 0, c 0, c 0.)
(v) g.x/ D f .1=x/.
(vi) g.x/ D f .jxj/.
(vii) g.x/ D jf .x/j.
(viii) g.x/ D max.f; 0/.
(ix) g.x/ D min.f; 0/.
(x) g.x/ D max.f; 1/.
15. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f .x/ D ax2
C bx C c. Υπόδειξη: Χρησι-
οποιήστε τις εθόδους του Προβλή ατος 1-18.
16. Έστω ότι τα A και C δεν είναι και τα δύο ηδέν. ∆είξτε ότι το σύνολο όλων των
.x; y/ που ικανοποιούν την εξίσωση
Ax2
C Bx C Cy2
C Dy C E D 0
είναι ή παραβολή ή έλλειψη ή υπερβολή (ή ια «εκφυλισ ένη περίπτωση»: δύο
ευθείες [είτε τε νό ενες είτε παράλληλες], ία ευθεία, ένα ση είο, ή το ;). Υπό-
δειξη: Η περίπτωση C D 0 είναι ουσιαστικά το Πρόβλη α 15, και η περίπτωση
A D 0 είναι απλώς ια ικρή παραλλαγή. Θεωρήστε τώρα ξεχωριστά τις περιπτώ-
σεις που τα A και B είναι και τα δύο θετικά ή αρνητικά ή το ένα θετικό και το άλλο
αρνητικό. Πότε έχου ε κύκλο;](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-79-320.jpg)
![70 Θεµέλια
Το Σχή α 6(α) δείχνει το v και ένα βέλος «w v» που είναι παράλληλο στο w v, αλλά
που ξεκινά από το ση είο στο οποίο καταλήγει το v. Όπως διαπιστώσα ε στο Σχή α 4,
το διάνυσ α που ξεκινά από την αρχή των αξόνων και καταλήγει στο ση είο στο οποίο
καταλήγει αυτό το βέλος είναι απλώς το v C .w v/ D w (Σχή α 6(β)). Με άλλα λόγια,
πορού ε να απεικονίσου ε γεω ετρικά το w v ως το βέλος που πηγαίνει από το v στο
w ( ε τη διαφορά ότι ετά θα πρέπει να το ετακινήσου ε στην αρχή των αξόνων).
Υπάρχει και ένας τρόπος να πολλαπλασιάσου ε έναν αριθ ό ε ένα διάνυσ α: Για
έναν αριθ ό a και ένα διάνυσ α v D .v1; v2/, ορίζου ε
a v D .av1; av2/
(Ορισ ένες φορές γράφου ε απλώς av αντί για a v. Στην περίπτωση αυτή είναι φυσικά
ιδιαίτερα ση αντικό να θυ ό αστε ότι το v συ βολίζει ένα διάνυσ α, και όχι έναν αριθ-
ό.) Το διάνυσ α a v έχει την ίδια φορά ε το v όταν a 0, και την αντίθετη φορά όταν
a 0 (Σχή α 7).
Μπορείτε εύκολα να ελέγξετε τις εξής σχέσεις:
(α)
(β)
Σ Χ Η Μ Α 6
a .b v/ D .ab/ v;
1 v D v;
0 v D O;
1 v D v:
Παρατηρήστε ότι ορίσα ε όνο το γινό ενο αριθ ού ε διάνυσ α· δεν ορίσα ε κά-
ποιον τρόπο «πολλαπλασιασ ού» δύο διανυσ άτων που να δίνει ένα νέο διάνυσ α.*
Υπάρχουν, ωστόσο, διάφοροι τρόποι «πολλαπλασιασ ού» διανυσ άτων που δίνουν αριθ-
ούς, οι οποίοι διερευνώνται στα προβλή ατα που ακολουθούν.
Σ Χ Η Μ Α 7
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
1. Αν v είναι ένα δοθέν ση είο του επιπέδου, έστω ότι R .v/ είναι το αποτέλεσ α της
περιστροφής του v γύρω από την αρχή των αξόνων κατά γωνία (Σχή α 8). Στόχος
αυτού του προβλή ατος είναι να βρείτε έναν τύπο για το R , ε τους ελάχιστους
δυνατούς υπολογισ ούς.
Σ Χ Η Μ Α 8
(α) ∆είξτε ότι
R .1; 0/ D .cos ; sin /;
R .0; 1/ D . sin ; cos /:
[Στην πραγ ατικότητα θα έπρεπε να γράψου ε R ..1; 0//, κτλ.]
(β) Εξηγήστε γιατί ισχύει
R .v C w/ D R .v/ C R .w/;
R .a w/ D a R .w/:
(γ) Τώρα δείξτε ότι για οποιοδήποτε ση είο .x; y/ έχου ε
R .x; y/ D .x cos y sin ; x sin C y cos /:
(δ) Χρησι οποιήστε αυτό το αποτέλεσ α για να δώσετε ια άλλη λύση στο Πρό-
βλη α 4-23.
*Εάν πάτε στο Κεφάλαιο 25, θα διαπιστώσετε ότι υπάρχει ένας ση αντικός τρόπος ορισ ού ενός γινο ένου, ο
οποίος ό ως αφορά ειδικά και όνο στο επίπεδο —δεν επεκτείνεται, για παράδειγ α, για διανύσ ατα σε χώρους
τριών διαστάσεων, σε αντίθεση ε τις υπόλοιπες πράξεις.](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-84-320.jpg)
![4. Παράρτηµα 3. Πολικές συντεταγµένες 77
παράσταση της f σε πολικές συντεταγ ένες είναι το σύνολο όλων των ση είων ε πολι-
κές συντεταγ ένες .f ./; /. ∆εν πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη βαρύτητα στο γεγονός ότι
θεωρού ε ζεύγη .f ./; / ε το f ./ πρώτο, σε αντίθεση προς τα ζεύγη .x; f .x// στη
συνηθισ ένη γραφική παράσταση της f . Είναι απλώς θέ α σύ βασης να θεωρείται το r
ως πρώτη πολική συντεταγ ένη και η ως δεύτερη.
Η γραφική παράσταση της f σε πολικές συντεταγ ένες περιγράφεται συχνά ως «η
γραφική παράσταση της εξίσωσης r D f ./». Για παράδειγ α, ας υποθέσου ε ότι η
f είναι ια σταθερή συνάρτηση, f ./ D a για όλα τα . Η γραφική παράσταση της
εξίσωσης r D a είναι απλώς ένας κύκλος ε κέντρο O και ακτίνα a (Σχή α 3). Αυτό
Σ Χ Η Μ Α 3
το παράδειγ α δείχνει, ξεκάθαρα, ότι οι πολικές συντεταγ ένες άλλον απλοποιούν τα
πράγ ατα σε περιπτώσεις που υπάρχει συ ετρία ως προς την αρχή O.
Η γραφική παράσταση της εξίσωσης r D δείχνεται στο Σχή α 4. Η παχιά γρα ή
αντιστοιχεί σε όλες τις τι ές 0, ενώ η διακεκο ένη στις τι ές 0.
Η σπείρα του Αρχι ήδη
Σ Χ Η Μ Α 4
Ως ένα άλλο παράδειγ α που ε πλέκει και θετικά και αρνητικά r, θεωρήστε τη γραφι-
κή παράσταση της εξίσωσης r D cos . Το Σχή α 5(α) δείχνει το έρος που αντιστοιχεί
στο 0 =2. Το Σχή α 5(β) δείχνει το έρος που αντιστοιχεί στο =2 (εδώ
r 0). Μπορείτε να ελέγξετε ότι δεν προστίθενται νέα ση εία αν ή 0. Είναι
εύκολο να περιγράψου ε την ίδια γραφική παράσταση ε τις Καρτεσιανές συντεταγ έ-
νες των ση είων. Αφού οι πολικές συντεταγ ένες του τυχαίου ση είου της γραφικής
παράστασης ικανοποιούν την
r D cos ;
και άρα
r2
D r cos ;
οι Καρτεσιανές συντεταγ ένες του ικανοποιούν την εξίσωση
x2
C y2
D x
η οποία περιγράφει έναν κύκλο (Πρόβλη α 4-16). [Αντιστρόφως, είναι φανερό ότι, εάν
οι Καρτεσιανές συντεταγ ένες ενός ση είου ικανοποιούν την x2
C y2
D x, τότε αυτό
βρίσκεται πάνω στη γραφική παράσταση της εξίσωσης r D cos .]
Παρ’ ότι έχου ε πλέον προσδιορίσει την εξίσωση του κύκλου ε δύο διαφορετικούς
τρόπους, θα ή ασταν άλλον διστακτικοί να προσπαθήσου ε να βρού ε την εξίσωση της
έλλειψης σε πολικές συντεταγ ένες. Όπως ό ως προκύπτει, πορού ε να πάρου ε ια
πολύ ό ορφη εξίσωση αν διαλέξου ε ως αρχή των αξόνων ια από τις εστίες. Το Σχή α 6
δείχνει ια έλλειψη η ια εστία της οποίας είναι στο O, και της οποίας το άθροισ α των
(α)
(β)
Σ Χ Η Μ Α 5 αποστάσεων όλων των ση είων από το O και την άλλη εστία f είναι 2a. Επιλέξα ε το f
να βρίσκεται αριστερά του O, ε συντεταγ ένες που γράφονται
. 2a; 0/:](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-91-320.jpg)
![102 Θεµέλια
(v) lim
x!1
p
x2 C 2x x.
(vi) lim
x!1
x.
p
x C 2
p
x /.
(vii) lim
x!1
p
jxj
x
.
40. (α) Βρείτε την περί ετρο ενός κανονικού n-γώνου εγγεγρα ένουσε κύκλο ακτί-
νας r. [Απάντηση: 2rn sin.=n/.]
(β) Σε ποια τι ή τείνει η περί ετρος αυτή όταν το n γίνεται πολύ εγάλο;
(γ) Ποιο όριο πορείτε να αντέψετε από αυτό;
41. (α) Για c 1, δείξτε ότι το c1=n
D n
p
c τείνει στο 1 καθώς το n γίνεται πολύ
εγάλο. Υπόδειξη: ∆είξτε ότι για οποιοδήποτε 0 δεν πορού ε να έχου ε
c1=n
1 C για εγάλο n.
(β) Πιο γενικά, αν c 0, τότε το c1=n
τείνει στο 1 καθώς το n γίνεται πολύ
εγάλο.
42. Αφού είχα στείλει τα κεί ενα της πρώτης έκδοσης αυτού του βιβλίου στον εκδότη,
σκέφτηκα έναν πολύ πιο απλό τρόπο να δείξου ε ότι lim
x!a
x2
D a2
και lim
x!a
x3
D a3
χωρίς να περάσου ε από όλα τα τεχνάσ ατα παραγοντοποίησης της σελίδας 83. Ας
υποθέσου ε, για παράδειγ α πως θέλου ε να αποδείξου ε ότι lim
x!a
x2
D a2
, όπου
a 0. ∆οθέντος 0, απλώς διαλέγου ε για ı τον ικρότερο των
p
a2 C a
και a
p
a2 (βλ. Σχή α 20): τότε το jx aj ı συνεπάγεται ότι
p
a2
x
p
a2 C , δηλαδή, a2
x2
a2
C , ή jx2
a2
j . Ευτυχώς που
οι πρώτες σελίδες είχαν ήδη σταλεί και δεν πορούσα ε να κάνου ε αυτήν την
αλλαγή, ια και η «απόδειξη» είναι εντελώς εσφαλ ένη. Πού βρίσκεται το λάθος;
Σ Χ Η Μ Α 2 0](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-116-320.jpg)
![106 Θεµέλια
πάρου ε το ı0
ως το (!) στον ορισ ό της συνέχειας της g στο a. Συ περαίνου ε ότι
υπάρχει ı 0 τέτοιο ώστε, για κάθε x,
.3/ αν jx aj ı, τότε jg.x/ g.a/j ı0
.
Συνδυάζοντας τις (2) και (3) βλέπου ε ότι για κάθε x,
αν jx aj ı, τότε jf .g.x// f .g.a//j .
Μπορού ε τώρα να θεωρήσου ε ξανά τη συνάρτηση
f .x/ D
x sin 1=x; x ¤ 0
0; x D 0:
Έχου ε ήδη παρατηρήσει ότι η f είναι συνεχής στο 0. Μερικές εφαρ ογές των Θεω-
ρη άτων 1 και 2, αζί ε τη συνέχεια της sin, δείχνουν ότι η f είναι συνεχής και σε
κάθε a, ε a ¤ 0. Μπορεί κανείς να αναλύσει εξίσου εύκολα συναρτήσεις σαν την
f .x/ D sin.x2
C sin.x C sin2
.x3
///.
Τα λίγα θεωρή ατα αυτού του κεφαλαίου σχετίζονται όλα ε τη συνέχεια συναρτή-
σεων σε ένα όνο ση είο, αλλά η έννοια της συνέχειας θα αρχίσει να γίνεται πραγ ατικά
ενδιαφέρουσα όνο όταν συγκεντρώσου ε την προσοχή ας σε συναρτήσεις που είναι
συνεχείς σε όλα τα ση εία κάποιου διαστή ατος. Αν η f είναι συνεχής στο x για κάθε
x στο .a; b/, τότε η f λέγεται συνεχής στο .a; b/· ως ια «ειδική περίπτωση», η f είναι
συνεχής στο R D . 1; 1/ [βλ. σελίδα 52] αν είναι συνεχής στο x για κάθε x στο R.
Η συνέχεια σε ένα κλειστό διάστη α πρέπει να οριστεί λίγο διαφορετικά· ια συνάρτηση
f λέγεται συνεχής στο Œa; b αν
.1/ η f είναι συνεχής στο x για κάθε x στο .a; b/,
.2/ lim
x!aC
f .x/ D f .a/ και lim
x!b
f .x/ D f .b/.
(Συχνά λέ ε επίσης απλώς ότι ια συνάρτηση είναι συνεχής αν είναι συνεχής στο x για
κάθε x στο πεδίο ορισ ού της.)
Θεωρού ε συνήθως ότι οι συναρτήσεις που είναι συνεχείς σε ένα διάστη α συ πε-
ριφέρονται εξαιρετικά καλά· πραγ ατικά, η συνέχεια θα πορούσε να θεωρηθεί η πρώτη
συνθήκη που ια «λογική» συνάρτηση πρέπει να ικανοποιεί. Μια συνεχής συνάρτηση
περιγράφεται ερικές φορές, διαισθητικά, ως ια συνάρτηση της οποίας τη γραφική παρά-
σταση πορεί κανείς να σχεδιάσει χωρίς να σηκώσει το ολύβι του από το χαρτί. Αν
φέρου ε στο υαλό ας τη συνάρτηση
f .x/ D
x sin 1=x; x ¤ 0
0; x D 0
βλέπου ε ότι αυτή η περιγραφή είναι υπερβολικά αισιόδοξη. Παρ’ όλα αυτά, είναι αλή-
θεια ότι υπάρχουν πολλά ση αντικά αποτελέσ ατα που αφορούν συναρτήσεις συνεχείς
σε ένα διάστη α. Αυτά τα θεωρή ατα είναι γενικά πολύ δυσκολότερα από τα θεωρή-
ατα του παρόντος κεφαλαίου, αλλά υπάρχει ένα απλό θεώρη α που σχη ατίζει τη γέ-
φυρα ανά εσα στα δύο είδη αποτελεσ άτων. Η υπόθεση αυτού του θεωρή ατος απαιτεί
τη συνέχεια σε ένα όνο ση είο, ενώ το συ πέρασ α περιγράφει τη συ περιφορά της
συνάρτησης σε κάποιο διάστη α που περιέχει το ση είο. Αν και το θεώρη α αυτό είναι
στην ουσία ένα λή α για εταγενέστερα θεωρή ατα, το συ περιλα βάνου ε εδώ ως
εισαγωγή σε αυτά που θα ακολουθήσουν.
ΘΕΩΡΗΜΑ 3 Έστω ότι η f είναι συνεχής στο a, και f .a/ 0. Τότε f .x/ 0 για κάθε x σε κάποιο
διάστη α που περιέχει το a· πιο συγκεκρι ένα υπάρχει ένας αριθ ός ı 0 τέτοιος ώστε
f .x/ 0 για κάθε x που ικανοποιεί την jx aj ı. Ο οίως, αν f .a/ 0, τότε υπάρχει
ένας αριθ ός ı 0 τέτοιος ώστε f .x/ 0 για κάθε x που ικανοποιεί την jx aj ı.](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-120-320.jpg)
![124 Θεµέλια
τότε η f είναι φραγ ένη και στο Œx0; x1, τότε η f είναι φραγ ένη στο Œa; x1, άρα ο
x1 ανήκει στο A, πράγ α που αντιτίθεται στο γεγονός ότι το είναι άνω φράγ α του A.
Σ Χ Η Μ Α 5
Αυτή η αντίφαση δείχνει ότι D b. Πρέπει να αναφέρου ε ια λεπτο έρεια: η απόδειξή
ας σιωπηλά υποθέτει ότι a [ώστε η f να πορεί να οριστεί σε κάποιο διάστη α
. ı; Cı/]· η πιθανότητα a D πορεί να αποκλειστεί ό οια, αν χρησι οποιήσου ε
την ύπαρξη ενός ı 0 τέτοιου ώστε η f να είναι φραγ ένη στο fx W a x a C ıg.
Η απόδειξη δεν είναι τελείως πλήρης —ξέρου ε όνο ότι η f είναι φραγ ένη στο
Œa; x για κάθε x b, όχι αναγκαστικά ότι η f είναι φραγ ένη στο Œa; b. Παρ’ όλα
αυτά, όνο ένα ικρό επιχείρη α χρειάζεται να προστεθεί.
Υπάρχει ı 0 τέτοιο ώστε η f να είναι φραγ ένη στο fx W b ı x bg. Υπάρχει
ένα x0 στο A τέτοιο ώστε b ı x0 b. Έτσι η f είναι φραγ ένη στο Œa; x0 και
ακό α στο Œx0; b, άρα η f είναι φραγ ένη στο Œa; b.
Για να αποδείξου ε το τρίτο σπουδαίο θεώρη α, καταφεύγου ε σε ένα τέχνασ α.
ΘΕΩΡΗΜΑ 7-3 Αν η f είναι συνεχής στο Œa; b, τότε υπάρχει ένας αριθ ός y στο Œa; b τέτοιος ώστε
f .y/ f .x/ για κάθε x στο Œa; b.
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ξέρου ε ήδη ότι η f είναι φραγ ένη στο Œa; b, που ση αίνει ότι το σύνολο
˚
f .x/ W x στο Œa; b
«
είναι φραγ ένο. Αυτό το σύνολο είναι ε φανώς όχι ;, άρα έχει ένα ελάχιστο άνω φράγ α
. Αφού f .x/ για x στο Œa; b αρκεί να δείξου ε ότι D f .y/ για κάποιο y στο
Œa; b.
Ας υποθέσου ε αντίθετα ότι ˛ ¤ f .y/ για κάθε y στο Œa; b. Τότε η συνάρτηση g
που ορίζεται από την
g.x/ D
1
˛ f .x/
; x στο Œa; b
είναι συνεχής στο Œa; b, αφού ο παρονο αστής του δεξιού έλους δεν είναι ποτέ 0. Από
την άλλη πλευρά, είναι το ελάχιστο άνω φράγ α του
˚
f .x/ W x στο Œa; b
«
· αυτό ση αί-
νει ότι
για κάθε 0 υπάρχει x στο Œa; b ε f .x/ .
Αυτό, ε τη σειρά του ση αίνει ότι
για κάθε 0 υπάρχει x στο Œa; b ε g.x/ 1=.
Αλλά αυτό ση αίνει ότι η g δεν είναι φραγ ένη στο Œa; b, που αντιφάσκει στο προηγού-
ενο θεώρη α.
Στην αρχή αυτού του κεφαλαίου, δώσα ε το σύνολο των φυσικών αριθ ών N ως
παράδειγ α η φραγ ένου συνόλου. Πρόκειται τώρα να αποδείξουµε ότι το N είναι η
φραγ ένο. Μετά τα δύσκολα θεωρή ατα που αποδείξα ε σε αυτό το κεφάλαιο, πορεί να
εκπλαγεί κανείς βρίσκοντας ένα τόσο «προφανές» θεώρη α να τερ ατίζει τη συζήτησή
ας. Αν ό ως συ βαίνει αυτό, ίσως να είναι επειδή αφήνει τη γεω ετρική εικόνα του R
να τον επηρεάζει πολύ ισχυρά. «Κοίτα», πορεί να πει, «οι πραγ ατικοί αριθ οί είναι
κάπως έτσι
άρα κάθε αριθ ός x είναι ανά εσα σε δύο ακέραιους n, n C 1 (εκτός αν το x είναι ο ίδιος
ακέραιος)». Το να βασίζει ό ως κανείς τον ισχυρισ ό του σε ια γεω ετρική εικόνα
δεν είναι απόδειξη, και ακό α και αυτή η εικόνα περιέχει ια παραδοχή: ότι, αν τοπο-
θετείς οναδιαία διαστή ατα το ένα δίπλα στο άλλο, στο τέλος θα πάρεις ένα διάστη α
εγαλύτερο από οποιοδήποτε δοθέν διάστη α. Αυτό το αξίω α, που συχνά παραλείπεται
από ια πρώτη εισαγωγή στη Γεω ετρία, συνήθως αποδίδεται (όχι τελείως δίκαια) στον
Αρχι ήδη, και η αντίστοιχη ιδιότητα για αριθ ούς, ότι το N δεν είναι φραγ ένο, λέγεται](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-138-320.jpg)
![8. Ελάχιστα άνω φράγµατα 125
η Αρχιµήδεια ιδιότητα των πραγ ατικών. Αυτή η ιδιότητα δεν είναι συνέπεια των Ι1–Ι12
(βλ. την παραπο πή [14] στη Προτεινό ενη Βιβλιογραφία), αν και ισχύει βέβαια για το
Q. Αφού ό ως έχου ε την Ι13, δεν υπάρχουν πια προβλή ατα.
ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Το N δεν είναι άνω φραγ ένο.
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ας υποθέσου ε ότι το N είναι άνω φραγ ένο. Αφού N ¤ ;, θα υπήρχε ένα ελάχιστο άνω
φράγ α για το N. Τότε
n για κάθε n στο N.
Συνεπώς,
n C 1 για κάθε n στο N,
αφού το n C 1 ανήκει στο N αν το n ανήκει στο N. Αλλά αυτό ση αίνει ότι
1 n για κάθε n στο N,
και αυτό ση αίνει ότι το 1 είναι επίσης άνω φράγ α για το N, αντιφάσκοντας ε ότι
το είναι το ελάχιστο άνω φράγ α.
Υπάρχει ια συνέπεια του Θεωρή ατος 2 (στην πραγ ατικότητα ια ισοδύνα η δια-
τύπωση) που έχου ε σιωπηρά υποθέσει πολύ συχνά.
ΘΕΩΡΗΜΑ 3 Για κάθε 0 υπάρχει ένας φυσικός αριθ ός n ε 1=n .
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ας υποθέσου ε πως όχι· τότε 1=n για κάθε n στο N. Άρα n 1= για κάθε n
στο N. Αλλά αυτό ση αίνει ότι το 1= είναι άνω φράγ α για το N, που αντιφάσκει στο
Θεώρη α 2.
Μια σύντο η ατιά στο Κεφάλαιο 6 θα δείξει ότι το αποτέλεσ α του Θεωρή ατος 3
χρησι οποιήθηκε πολλές φορές στη συζήτηση. Βέβαια, το Θεώρη α 3 δεν ήταν διαθέ-
σι ο εκείνη τη στιγ ή, αλλά τα παραδείγ ατα ήταν τόσο ση αντικά ώστε, προκει ένου
να τα δώσου ε, κάποια ατασθαλία επιτρεπόταν. Ως ερική δικαιολογία για αυτήν την
ατι ία πορού ε να ισχυριστού ε ότι αυτό το αποτέλεσ α δεν χρησι οποιήθηκε ποτέ
στην απόδειξη κάποιου θεωρήµατος, αλλά αν η πίστη οποιουδήποτε έχει κλονιστεί, ια
αναδρο ή σε όλες τις αποδείξεις που έχουν γίνει έως τώρα, επιβάλλεται. Ευτυχώς, τέ-
τοια ατασθαλία δεν θα χρειαστεί ξανά. Έχου ε πια διατυπώσει όλες τις ιδιότητες των
πραγ ατικών αριθ ών που πορεί να χρειαστού ε. Από εδώ και πέρα, όχι άλλα ψέ ατα.
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
1. Βρείτε το ελάχιστο άνω φράγ α και το έγιστο κάτω φράγ α (αν υπάρχουν) των
ακόλουθων συνόλων. Εξετάστε ακό α ποια σύνολα έχουν έγιστο ή ελάχιστο στοι-
χείο (δηλαδή εξετάστε αν το ελάχιστο άνω φράγ α ή το έγιστο κάτω φράγ α συ -
βαίνει να ανήκει στο σύνολο).
(i)
1
n
W n στο N
.
(ii)
1
n
W n στο Z και n ¤ 0
.
(iii) fx W x D 0 ή x D 1=n για κάποιο n στο Ng.
(iv) fx W 0 x
p
2 και ο x είναι ρητόςg.
(v) fx W x2
C x C 1 0g.
(vi) fx W x2
C x 1 0g.
(vii) fx W x 0 και x2
C x 1 0g.](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-139-320.jpg)
![8. Ελάχιστα άνω φράγµατα 127
7. Αποδείξτε ότι, αν η f είναι συνεχής και f .x C y/ D f .x/ C f .y/ για κάθε x
και y, τότε υπάρχει ένας αριθ ός c τέτοιος ώστε f .x/ D cx για κάθε x. (Η από-
δειξη είναι ά εση αν συνδυάσετε τα αποτελέσ ατα δύο προηγου ένων προβλη ά-
των). Μια πληροφορία: υπάρχουν µη συνεχείς συναρτήσεις f που ικανοποιούν την
f .x Cy/ D f .x/Cf .y/ για κάθε x και y, αλλά δεν πορού ε να το αποδείξου ε
τώρα· πράγ ατι, αυτό το απλό ερώτη α απαιτεί έννοιες που συνήθως δεν συναν-
τώνται ποτέ σε ένα προπτυχιακό άθη α (βλ. την αναφορά [7] στην Προτεινό ενη
Βιβλιογραφία).
8. Έστω ότι f είναι συνάρτηση τέτοια ώστε f .a/ f .b/ όποτε a b (Σχή α 6).
(α) Αποδείξτε ότι το lim
x!a
f .x/ και το lim
x!aC
f .x/ υπάρχουν και τα δύο. Υπό-
δειξη: Γιατί αυτό το πρόβλη α βρίσκεται σε αυτό το κεφάλαιο;
(β) Αποδείξτε ότι η f δεν έχει ποτέ αιρό ενη ασυνέχεια (η ορολογία προέρχεται
από το Πρόβλη α 6-17).
(γ) Αποδείξτε ότι, αν η f ικανοποιεί τα συ περάσ ατα του Θεωρή ατος Ενδιά-
εσης Τι ής, τότε η f είναι συνεχής.
9. Αν f είναι συνάρτηση φραγ ένη στο Œ0; 1, θέτου ε jjjf jjj D sup
˚
jf .x/j W
x στο Œ0; 1
«
. Αποδείξτε ιδιότητες της k k ανάλογες ε αυτές του Προβλή ατος 7-
14.
Σ Χ Η Μ Α 6
10. Έστω ότι ˛ 0. Αποδείξτε ότι κάθε αριθ ός x γράφεται κατά οναδικό τρόπο στη
ορφή x D k˛ C x0
, όπου k είναι ακέραιος, και 0 x0
˛.
11. (α) Έστω ότι a1; a2; a3; : : : είναι ακολουθία θετικών αριθ ών ε anC1 an=2.
Αποδείξτε ότι για κάθε 0 υπάρχει κάποιο n ε an .
(β) Έστω ότι P είναι κανονικό πολύγωνο εγγεγρα ένο έσα σε ένα κύκλο. Αν
P 0
είναι το εγγεγρα ένο κανονικό πολύγωνο ε διπλάσιο αριθ ό πλευρών,
δείξτε ότι η διαφορά ανά εσα στο ε βαδόν του κύκλου και το ε βαδόν του P 0
είναι λιγότερη από το ισό της διαφοράς ανά εσα στο ε βαδόν του κύκλου
και το ε βαδόν του P (χρησι οποιήστε το Σχή α 7).
(γ) Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα κανονικό πολύγωνο P εγγεγρα ένο σε έναν κύ-
κλο ε ε βαδόν όσο κοντά θέλου ε στο ε βαδόν του κύκλου. Για να κάνετε
το έρος (γ) θα χρειαστείτε το έρος (α). Αυτό ήταν σαφές για τους αρχαίους
Έλληνες, που χρησι οποιούσαν το έρος (α) ως τη βάση για τις έρευνές τους
γύρω από τις αναλογίες και τα ε βαδά. Με υπολογισ ό του ε βαδού πολυγώ-
νων, αυτή η έθοδος («η έθοδος της εξάντλησης») επιτρέπει υπολογισ ούς
του ε όση ακρίβεια θέλου ε· ο Αρχι ήδης τη χρησι οποίησε για να δείξει
ότι 223
71 22
7 . Αλλά έχει πολύ εγαλύτερη θεωρητική ση ασία:
(δ) Χρησι οποιώντας το γεγονός ότι τα ε βαδά δύο κανονικών πολυγώνων ε το
ίδιο πλήθος πλευρών έχουν τον ίδιο λόγο ε τα τετράγωνα των πλευρών τους,
ία πλευρά του
πλευρέ̋ του
Σ Χ Η Μ Α 7 αποδείξτε ότι τα ε βαδά δύο κύκλων έχουν τον ίδιο λόγο ε τα τετράγωνα
των ακτίνων τους. Υπόδειξη: Καταλήξτε σε αντίφαση, κάνοντας την υπόθεση
ότι ο λόγος των ε βαδών είναι εγαλύτερος, ή ικρότερος, από το λόγο των
τετραγώνων των ακτίνων, και εγγράφοντας κατάλληλα πολύγωνα.
12. Έστω ότι A και B είναι δύο η κενά σύνολα αριθ ών τέτοια ώστε x y για κάθε
x στο A και κάθε y στο B.
(α) Αποδείξτε ότι sup A y για κάθε y στο B.
(β) Αποδείξτε ότι sup A inf B.
13. Έστω A και B δύο η κενά σύνολα αριθ ών που είναι άνω φραγ ένα, και ας
συ βολίσου ε ε A C B το σύνολο όλων των αριθ ών x C y ε x στο A και](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-141-320.jpg)
![11. Η σηµασία της παραγώγου 171
αφού η f έχει έγιστο στο .a; b/ στο x. Αυτό ση αίνει ότι
f .x C h/ f .x/ 0:
Έτσι, αν h 0 έχου ε
f .x C h/ f .x/
h
0:
άρα και
Σ Χ Η Μ Α 2
lim
h!0C
f .x C h/ f .x/
h
0:
Από την άλλη πλευρά, αν h 0, έχου ε
f .x C h/ f .x/
h
0;
άρα
lim
h!0
f .x C h/ f .x/
h
0:
Από την υπόθεση, η f είναι παραγωγίσι η στο x, άρα αυτά τα δύο όρια πρέπει να
είναι ίσα, και ασφαλώς ίσα ε την f 0
.x/. Αυτό ση αίνει ότι
f 0
.x/ 0 και f 0
.x/ 0;
από όπου έπεται ότι f 0
.x/ D 0.
Η περίπτωση στην οποία η f έχει ελάχιστο στο x αφήνεται σε σας (δώστε ια από-
δειξη σε ια γρα ή).
Παρατηρήστε (Σχή α 3) ότι δεν πορού ε να αντικαταστήσου ε το .a; b/ ε το Œa; b
στην εκφώνηση του θεωρή ατος (εκτός αν προσθέσου ε στις υποθέσεις τον όρο ότι το x
βρίσκεται στο .a; b/).
Σ Χ Η Μ Α 3 Επειδή η f 0
.x/ εξαρτάται όνο από τις τι ές της f κοντά στο x, είναι σχεδόν προφα-
νές το πώς πορού ε να πάρου ε ια ισχυρότερη έκδοση του Θεωρή ατος 1. Αρχίζου ε
ε έναν ορισ ό που εξηγείται στο Σχή α 4.
ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f ια συνάρτηση, και A ένα σύνολο αριθ ών που περιέχεται στο πεδίο ορι-
σ ού της f . Ένα ση είο x στο A λέγεται ση είο τοπικού εγίστου [ελαχίστου]
για την f στο A, αν υπάρχει κάποιο ı 0 τέτοιο ώστε το x να είναι ση είο
εγίστου [ελαχίστου] για την f στο A .x ı; x C ı/.
ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Αν το x είναι ένα τοπικό έγιστο ή ελάχιστο για την f στο .a; b/ και η f είναι παραγω-
γίσι η στο x, τότε f 0
.x/ D 0.
ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θα έπρεπε να είστε σε θέση να δείτε γιατί αυτή είναι ια απλή εφαρ ογή του Θεωρή α-
τος 1.
Το αντίστροφο του Θεωρή ατος 2 σαφώς δεν ισχύει — πορεί η f 0
.x/ να είναι 0,
ακό α και αν το x δεν είναι ση είο τοπικού εγίστου ή ελαχίστου για την f . Το απλού-
στερο παράδειγ α δίνεται από τη συνάρτηση f .x/ D x3
· Τότε f 0
.0/ D 0, αλλά η f δεν
έχει τοπικό έγιστο ή ελάχιστο πουθενά.
Τα περισσότερο ίσως διαδεδο ένα σφάλ ατα στον Απειροστικό Λογισ ό έχουν
σχέση ε τη συ περιφορά ιας συνάρτησης f κοντά σε ένα x στο οποίο f 0
.x/ D 0. Το
σχόλιο που κάνα ε στην προηγού ενη παράγραφο ξεχνιέται τόσο γρήγορα από αυτούς
που θέλουν τον κόσ ο απλούστερο από ό,τι είναι, που θα το επαναλάβου ε: το αντί-
στροφο του Θεωρή ατος 2 δεν ισχύει —η συνθήκη f 0
.x/ D 0 δεν αρκεί για να είναι](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-185-320.jpg)
![186 Παράγωγοι και ολοκληρώµατα
(γ) Έστω a 0. ∆είξτε ότι η έγιστη τι ή της
f .x/ D
1
1 C jxj
C
1
1 C jx aj
είναι .2 C a/=.1 C a/. (Μπορείτε να βρείτε την παράγωγο σε καθένα από τα
διαστή ατα . 1; 0/, .0; a/ και .a; 1/ χωριστά.)
5. Για καθε ιά από τις συναρτήσεις που ακολουθούν, βρείτε όλα τα ση εία τοπικού
εγίστου ή ελαχίστου.
(i) f .x/ D
8
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆ:
x; x ¤ 3; 5; 7; 9
5; x D 3
3; x D 5
9; x D 7
7; x D 9:
(ii) f .x/ D
0; x άρρητος
1=q; x D p=q που p=q ανάγωγο.
(iii) f .x/ D
x; x ρητός
0; x άρρητος.
(iv) f .x/ D
1; x D 1=n για κάποιο n στο N
0; αλλιώς.
(v) f .x/ D
1; αν το δεκαδικό ανάπτυγ α του x περιέχει ένα 5
0; αλλιώς.
6. Αποδείξτε το εξής (το οποίο υπονοού ε συχνά): Αν η f είναι αύξουσα στο .a; b/
και συνεχής στα a και b, τότε η f είναι αύξουσα στο Œa; b. Πιο συγκεκρι ένα, αν
η f είναι συνεχής στο Œa; b και f 0
0 στο .a; b/, τότε η f είναι αύξουσα στο
Œa; b.
7. Φέρνου ε ια ευθεία από το ση είο .0; a/ στον οριζόντιο άξονα, και ετά πίσω
στο .1; b/, όπως στο Σχή α 23. Αποδείξτε ότι το συνολικό ήκος γίνεται ελάχιστο
όταν οι γωνίες ˛ και ˇ είναι ίσες. (Φυσικά πρέπει να φέρετε ια συνάρτηση στο
σκηνικό: εκφράστε το ήκος συναρτήσει του x, όπου .x; 0/ είναι το ση είο στον
οριζόντιο άξονα. Η διακεκο ένη γρα ή στο Σχή α 23 προτείνει ια εναλλακτι-
κή γεω ετρική απόδειξη· και στις δύο περιπτώσεις, το πρόβλη α λύνεται χωρίς να
χρειαστεί να βρείτε το ση είο .x; 0/.)
8. (α) Έστω .x0; y0/ ένα ση είο του επιπέδου και L η γραφική παράσταση της
Σ Χ Η Μ Α 2 3 f .x/ D mx C b. Βρείτε το Nx έτσι ώστε η απόσταση εταξύ του .x0; y0/
και του . Nx; f . Nx// να είναι ελάχιστη. [Ση ειώστε ότι η ελαχιστοποίηση αυτής
της απόστασης είναι το ίδιο ε την ελαχιστοποίηση του τετραγώνου της. Αυτό
κάπως απλοποιεί τους υπολογισ ούς.]
(β) Βρείτε επίσης το Nx λα βάνοντας υπόψη ότι η ευθεία που διέρχεται από το
.x0; y0/ και το . Nx; f . Nx// είναι κάθετη στην L.
(γ) Βρείτε την απόσταση του .x0; y0/ από την L, δηλαδή την απόσταση από το
.x0; y0/ έως το . Nx; f . Nx//. [Οι υπολογισ οί θα γίνουν ευκολότεροι αν υπο-
θέσετε πρώτα ότι b D 0· ετά εφαρ όστε το αποτέλεσ ά σας στη γραφική
παράσταση της f .x/ D mx και το ση είο .x0; y0 b/.] Συγκρίνετε ε το
Πρόβλη α 4-22.
(δ) Θεωρήστε την ευθεία ε εξίσωση AxCBy CC D 0 (Πρόβλη α 4-7). ∆είξτε
ότι η απόσταση του .x0; y0/ από την εν λόγω ευθεία είναι .Ax0 C By0 C
C/=
p
A2 C B2.](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-200-320.jpg)
![196 Παράγωγοι και ολοκληρώµατα
(γ) Χρησι οποιώντας το γεγονός ότι .2 C y2
/=
p
4 C y4 1, δείξτε ότι, αν ˛ D
1, τότε η f δεν είναι αύξουσα σε κανένα διάστη α γύρω από το 0.
(δ) Χρησι οποιώντας το γεγονός ότι lim
y!1
.2 Cy2
/=
p
4 C y4 D 1, δείξτε ότι, αν
˛ 1, τότε η f είναι αύξουσα σε κάποιο διάστη α γύρω από το 0.
69. Μια συνάρτηση f λέγεται αύξουσα στο a αν υπάρχει ένας αριθ ός ı 0, τέτοιος
ώστε
f .x/ f .a/ αν a x a C ı
και
f .x/ f .a/ αν a ı x a:
Παρατηρήστε πως αυτό δεν ση αίνει ότι η f είναι αύξουσα στο διάστη α
.a ı; a C ı/· για παράδειγ α, η συνάρτηση που βλέπετε στο Σχή α 34 είναι αύ-
ξουσα στο 0, αλλά δεν είναι αύξουσα σε κανένα ανοικτό διάστη α που να περιέχει
το 0.
(α) Έστω ότι η f είναι συνεχής στο Œ0; 1 και ότι η f είναι αύξουσα στο a για κάθε
a στο Œ0; 1. Αποδείξτε ότι η f είναι αύξουσα στο Œ0; 1. (Πεισθείτε πρώτα
ότι υπάρχει κάτι που να χρειάζεται απόδειξη.) Υπόδειξη: Για 0 b 1,
αποδείξτε ότι το ελάχιστο της f στο Œb; 1 πρέπει να ε φανίζεται στο b.
(β) Αποδείξτε το έρος (α) χωρίς να υποθέσετε ότι η f είναι συνεχής, εξε-
τάζοντας για κάθε b στο Œ0; 1 το σύνολο Sb D
˚
x W f .y/
f .b/ για κάθε y στο Œb; x
«
. (Αυτό το έρος του προβλή ατος δεν χρειάζε-
ται για τα υπόλοιπα.) Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι Sb D fx W b x 1g
παίρνοντας το sup Sb.
(γ) Αν η f είναι αύξουσα στο a και η f είναι παραγωγίσι η στο a, αποδείξτε ότι
f 0
.a/ 0 (αυτό είναι εύκολο).
(δ) Αν f 0
.a/ 0, αποδείξτε ότι η f είναι αύξουσα στο a (επιστρέψτε στον ορι-
σ ό του f 0
.a/).
(ε) Χρησι οποιήστε το (α) και (δ) για να δείξετε, χωρίς χρήση του Θεωρή ατος
Μέσης Τι ής, ότι, αν η f είναι συνεχής στο Œ0; 1 και f 0
.a/ 0 για κάθε a
στο Œ0; 1, τότε η f είναι αύξουσα στο Œ0; 1.
(στ) Έστω ότι η f είναι συνεχής στο Œ0; 1 και ότι f 0
.a/ D 0 για κάθε a στο .0; 1/.
Εφαρ όστε το έρος (ε) στη συνάρτηση g.x/ D f .x/ C x για να δείξετε
ότι f .1/ f .0/ . Ο οίως, δείξτε ότι f .1/ f .0/ εξετάζοντας την
h.x/ D x f .x/. Συ περάνετε ότι f .0/ D f .1/.
Η συγκεκρι ένη αυτή απόδειξη του ότι ια συνάρτηση ε παράγωγο ηδέν πρέπει
να είναι σταθερή έχει πολλά κοινά ση εία ε ια απόδειξη του H. A. Schwarz, που
είναι ίσως η πρώτη αυστηρή απόδειξη που δόθηκε. Τουλάχιστον, ο δη ιουργός
της έτσι νό ιζε. ∆είτε την ενθουσιώδη επιστολή του στην παραπο πή [54] της
Προτεινό ενης Βιβλιογραφίας.
70. (α) Αν f είναι ια σταθερή συνάρτηση, τότε κάθε ση είο είναι ση είο τοπικού
εγίστου της f . Είναι πολύ πιθανό να συ βαίνει κάτι τέτοιο, ακό α και αν η
f δεν είναι σταθερή συνάρτηση: για παράδειγ α, αν f .x/ D 0 για x 0 και
f .x/ D 1 για x 0. Αποδείξτε, ό ως, χρησι οποιώντας το Πρόβλη α 8-4
ότι αν η f είναι συνεχής στο Œa; b και κάθε ση είο του Œa; b είναι ση είο
τοπικού εγίστου, τότε η f είναι σταθερή συνάρτηση. Το ίδιο ισχύει, φυσικά,
όταν κάθε ση είο του Œa; b είναι ση είο τοπικού ελαχίστου.
(β) Υποθέστε τώρα ότι κάθε ση είο είναι είτε τοπικό ελάχιστο ή τοπικό έγι-
στο για τη συνεχή συνάρτηση f (χωρίς να αποκλείου ε την εκδοχή ερικά
ση εία να είναι τοπικά ελάχιστα και άλλα τοπικά έγιστα). Αποδείξτε ότι η](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-210-320.jpg)
![11. Παράρτηµα. Κυρτές και κοίλες συναρτήσεις 207
13. Ένα σύνολο A ση είων του επιπέδου καλείται κυρτό αν το A περιέχει το ευθύ-
γρα ο τ ή α που ενώνει οποιαδήποτε δύο ση εία του (Σχή α 14). Για ία συνάρ-
τηση f , έστω Af το σύνολο των ση είων .x; y/ ε y f .x/, έτσι ώστε το Af
είναι το ση ειοσύνολο στην, ή πάνω από την, γραφική παράσταση της f . ∆είξτε
ότι το Af είναι κυρτό αν και όνο αν η f είναι ασθενώς κυρτή, ε την ορολογία
του προηγου ένου προβλή ατος. Για άλλες πληροφορίες πάνω στα κυρτά σύνολα
συ βουλευθείτε την αναφορά [18] της Προτεινό ενης Βιβλιογραφίας.
(α) κυρτό υποσύνολο του επιπέδου (β) η κυρτό υποσύνολο του επιπέδου
Σ Χ Η Μ Α 1 4](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-221-320.jpg)
![224 Παράγωγοι και ολοκληρώµατα
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
1. (α) Για ια συνάρτηση f , η « ορφή ση είου-κλίσης» (Πρόβλη α 4-6) της εφα-
πτο ένης στο .a; f .a// γράφεται ως y f .a/ D .x a/f 0
.a/, έτσι ώστε η
εφαπτο ένη να αποτελείται από όλα τα ση εία της ορφής
x; f .a/ C .x a/f 0
.a/
:
Συ περάνετε ότι η εφαπτο ένη αποτελείται από όλα τα ση εία της ορφής
a C s; f .a/ C sf 0
.a/
:
(β) Αν c είναι η κα πύλη c.t/ D .t; f .t//, συ περάνετε ότι η εφαπτο ένη της
c στο .a; f .a// [χρησι οποιώντας τον νέο ας ορισ ό] είναι η ίδια ε την
εφαπτο ένη της f στο .a; f .a//.
2. Έστω c.t/ D .f .t/; t2
/, όπου f είναι η συνάρτηση που φαίνεται στο Σχή α 21
του Κεφαλαίου 9. ∆είξτε ότι η c κείται κατά ήκος της γραφικής παράστασης της
η παραγωγίσι ης συνάρτησης h.x/ D jxj, αλλά c0
.0/ D .0; 0/. Με άλλα λόγια, η
ανα-παρα ετροποίηση πορεί να «κρύψει» ια γωνία. Για αυτόν το λόγο, συνήθως
ας ενδιαφέρουν όνο κα πύλες c ε c0
που δεν ισούται ποτέ ε .0; 0/.
3. Έστω ότι x D u.t/, y D v.t/ είναι η παρα ετρική παράσταση ιας κα πύλης και
ότι η u είναι 1-1 σε κάποιο διάστη α.
(α) ∆είξτε ότι σε αυτό το διάστη α η κα πύλη κείται κατά ήκος της γραφικής
παράστασης της f D v B u 1
.
(β) Αν η u είναι παραγωγίσι η σε αυτό το διάστη α και u0
.t/ ¤ 0, δείξτε ότι στο
ση είο x D u.t/ έχου ε
f 0
.x/ D
v0
.t/
u0.t/
:
Με τον συ βολισ ό του Leibniz, συχνά αυτό γράφεται πιο παραστατικά ως
dy
dx
D
dy
dt
dx
dt
:
(γ) Επίσης έχου ε ότι
f 00
.x/ D
u0
.t/v00
.t/ v0
.t/u00
.t/
.u0.t//3
:
4. Θεωρήστε ια συνάρτηση f που ορίζεται ε πεπλεγ ένο τρόπο έσω της εξίσωσης
x2=3
C y2=3
D 1. Υπολογίστε την f 0
.x/ ε δύο τρόπους:
(i) Με πεπλεγ ένη παραγώγιση.
(ii) Θεωρώντας την παρα ετρική παράσταση x D cos3
t, y D sin3
t.
5. Έστω x D u.t/, y D v.t/ η παρα ετρική παράσταση ιας κα πύλης ε u και
v παραγωγίσι ες, και έστω P D .x0; y0/ ση είο του επιπέδου. ∆είξτε ότι αν το
ση είο Q D .u.Nt/; v.Nt// στην κα πύλη είναι το πλησιέστερο στο .x0; y0/ και οι
u0
.Nt/ και v0
.Nt/ δεν είναι και οι δύο 0, τότε η ευθεία που διέρχεται από τα P και
Q είναι κάθετη προς την εφαπτο ένη της κα πύλης στο Q (Σχή α 6). Το ίδιο
αποτέλεσ α ισχύει αν το Q είναι το πλέον ακρινό ση είο από το .x0; y0/.
Σ Χ Η Μ Α 6
Έχου ε δει ότι η «γραφική παράσταση της f σε πολικές συντεταγ ένες» είναι η
κα πύλη
.f e/.t/ D .f .t/ cos t; f .t/ sin t/:](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-238-320.jpg)
![252 Παράγωγοι και ολοκληρώµατα
29. Έστω ότι η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b. Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας αριθ ός
x στο Œa; b τέτοιος ώστε
R x
a f D
R b
x f . ∆είξτε ε ένα παράδειγ α ότι δεν είναι
πάντα δυνατόν να διαλέξου ε το x στο .a; b/.
30. Ο σκοπός αυτού του προβλή ατος είναι να δείξει ότι, αν η f είναι ολοκληρώσι η
στο Œa; b, τότε η f πρέπει να είναι συνεχής σε πολλά ση εία του Œa; b.
(α) Έστω P D ft0; : : : ; tng ια δια έριση του Œa; b ε U.f; P / L.f; P /
b a. Αποδείξτε ότι για κάποιο i είναι Mi mi 1.
(β) Αποδείξτε ότι υπάρχουν αριθ οί a1 και b1 ε a a1 b1 b και
supff .x/ W a1 x b1g infff .x/ W a1 x b1g 1. (Μπορείτε να
διαλέξετε Œa1; b1 D Œti 1; ti από το έρος (α) εκτός αν i D 1 ή n· αλλά και
σε αυτές τις δύο περιπτώσεις ένα πολύ απλό τέχνασ α λύνει το πρόβλη α.)
(γ) Αποδείξτε ότι υπάρχουν αριθ οί a2 και b2 ε a1 a2 b2 b1 και
supff .x/ W a2 x b2g infff .x/ W a2 x b2g 1
2 .
(δ) Συνεχίστε ε αυτόν τον τρόπο και βρείτε ια ακολουθία διαστη άτων In D
Œan; bn τέτοιων ώστε supff .x/ W x στο Ing infff .x/ W x στο Ing 1=n.
Εφαρ όστε το Θεώρη α Κιβωτισ ένων ∆ιαστη άτων (Πρόβλη α 8-14) για
να βρείτε ένα ση είο x στο οποίο η f είναι συνεχής.
(ε) Αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής σε άπειρα ση εία του Œa; b.
31. Έστω ότι η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b. Θυ ηθείτε, από το Πρόβλη α 13,
ότι
R b
a f 0 αν f .x/ 0 για κάθε x στο Œa; b.
(α) ∆ώστε ένα παράδειγ α όπου f .x/ 0 για κάθε x, και f .x/ 0 για κάποιο
x στο Œa; b, και
R b
a f D 0.
(β) Έστω ότι f .x/ 0 για κάθε x στο Œa; b και ότι η f είναι συνεχής στο x0 στο
Œa; b, για το οποίο f .x0/ 0. Αποδείξτε ότι
R b
a f 0. Υπόδειξη: Αρκεί να
βρείτε ένα κάτω άθροισ α L.f; P / που να είναι θετικό.
(γ) Έστω ότι η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b και f .x/ 0 για κάθε x στο
Œa; b. Αποδείξτε ότι
R b
a f 0. Υπόδειξη: Θα χρειαστείτε το Πρόβλη α 30·
και άλιστα, αυτός είναι ένας λόγος για τον οποίο συ περιλάβα ε το Πρό-
βλη α 30 σε αυτές τις ασκήσεις.
32. (α) Έστω ότι η f είναι συνεχής στο Œa; b και
R b
a fg D 0 για όλες τις συνεχείς
συναρτήσεις g που ορίζονται στο Œa; b. Αποδείξτε ότι f D 0. (Αυτό είναι
εύκολο· υπάρχει ια προφανής g που πορείτε να διαλέξετε.)
(β) Έστω ότι η f είναι συνεχής στο Œa; b και ότι
R b
a fg D 0 για εκείνες τις
συνεχείς συναρτήσεις g στο Œa; b που ικανοποιούν την επιπλέον συνθήκη
g.a/ D g.b/ D 0. Αποδείξτε ότι f D 0. (Αυτό το αθώο στην όψη γεγονός
αποτελεί ένα σπουδαίο λή α στον λογισ ό εταβολών· βλ. την αναφορά
[22] στην Προτεινό ενη Βιβλιογραφία.) Υπόδειξη: Καταλήξτε σε αντίφαση
ξεκινώντας ε την υπόθεση f .x0/ 0 ή f .x0/ 0. Η g που θα διαλέξετε
εξαρτάται από τη συ περιφορά της f κοντά στο x0.
33. Έστω f .x/ D x για x ρητό και f .x/ D 0 για x άρρητο.
(α) Υπολογίστε το L.f; P / για όλες τις δια ερίσεις P του [0,1].
(β) Βρείτε το inffU.f; P / W P δια έριση του Œ0; 1g.
34. Έστω f .x/ D 0 αν x άρρητος, και 1=q αν x D p=q ανάγωγο. ∆είξτε ότι η f είναι
ολοκληρώσι η στο Œ0; 1 και ότι
R 1
0 f D 0. (Κάθε κάτω άθροισ α προφανώς είναι
0· πρέπει να βρείτε έναν τρόπο για να κάνετε τα άνω αθροίσ ατα ικρά.)](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-266-320.jpg)
![15. Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις 287
10. Αποδείξτε ότι
arcsin˛ C arcsin ˇ D arcsin ˛
p
1 ˇ2 C ˇ
p
1 ˛2
;
επιση αίνοντας τυχόν περιορισ ούς στα ˛ και ˇ.
11. Αποδείξτε ότι, αν m και n είναι τυχαίοι αριθ οί, τότε
sin mx sin nx D 1
2 Œcos.m n/x cos.m C n/x;
sin mx cos nx D 1
2 Œsin.m C n/x C sin.m n/x;
cos mx cos nx D 1
2 Œcos.m C n/x C cos.m n/x:
12. Αποδείξτε ότι, αν m και n είναι φυσικοί αριθ οί, τότε
Z
sin mx sin nx dx D
0; m ¤ n
; m D n;
Z
cos mx cos nx dx D
0; m ¤ n
; m D n;
Z
sin mx cos nx dx D 0:
Αυτές οι σχέσεις είναι πολύ ση αντικές στη θεωρία των σειρών Fourier. Αν και
σε αυτό το θέ α θα δώσου ε προσοχή όνο στην Προτεινό ενη Βιβλιογραφία (βλ.
την αναφορά [26]), το επό ενο πρόβλη α είναι ια ένδειξη για τη ση ασία τους.
13. (α) Αν η f είναι ολοκληρώσι η στο Œ ; , δείξτε ότι η ελάχιστη τι ή του
Z
.f .x/ a cos nx/2
dx
συ βαίνει όταν
a D
1
Z
f .x/ cos nx dx;
και η ελάχιστη τι ή του
Z
.f .x/ a sin nx/2
dx
όταν
a D
1
Z
f .x/ sin nx dx:
(Σε κάθε περίπτωση, φέρτε το a έξω από το σύ βολο της ολοκλήρωσης, παίρ-
νοντας ια τετραγωνική παράσταση ως προς a.)
(β) Ορίζου ε
an D
1
Z
f .x/ cos nx dx; n D 0; 1; 2; : : : ;
bn D
1
Z
f .x/ sin nx dx; n D 1; 2; 3; : : : :
∆είξτε ότι, αν ci και di είναι οποιοιδήποτε αριθ οί, τότε
Z
f .x/
c0
2
C
NX
nD1
cn cosnx C dn sin nx
#!2
dx](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-301-320.jpg)
![300 Παράγωγοι και ολοκληρώµατα
και σε συνδυασ ό ε την (1), αζί ε τους τύπους του Προβλή ατος 6 του Παραρτή α-
τος 1 του Κεφαλαίου 4, λα βάνου ε
det c.t/; c0
.t/
D r.t/r0
.t/ det e..t//; e..t//
C r.t/2
0
.t/ det e..t//; e0
..t//
D r.t/2
0
.t/ det e..t//; e0
..t//
;
αφού η det.v; v/ είναι πάντα 0. Χρησι οποιώντας την (2) λα βάνου ε στη συνέχεια
(4) det.c; c0
/ D r2
0
:
Όπως θα δού ε, το r2
0
έχει τελικά ια άλλη ση αντική ερ ηνεία.
Σ Χ Η Μ Α 3
Έστω ότι A.t/ είναι το ε βαδόν που διαγράφεται από τη χρονική στιγ ή 0 έως την t
(Σχή α 3). Θέλου ε να βρού ε έναν τύπο για την A0
.t/, και, κατά τη λογική του Newton,
θα ξεκινήσου ε κάνοντας ια βάσι η υπόθεση. Το Σχή α 4 δείχνει το A.t C h/ A.t/,
αζί ε ένα ευθύγρα ο τ ή α ανά εσα στο c.t/ και το c.t C h/. Είναι εύκολο να
γράψου ε έναν τύπο για το ε βαδόν του τριγώνου .h/ ε κορυφές O, c.t/ και c.t Ch/:
σύ φωνα ε τα Προβλή ατα 4 και 5 του Παραρτή ατος 1 του Κεφαλαίου 4, το ε βαδόν
είναι
ε βαδόν..h// D 1
2 det c.t/; c.t C h/ c.t/
:
Αφού το τρίγωνο .h/ έχει στην πράξη το ίδιο ε βαδόν ε το χωρίο A.t C h/ A.t/,
αυτό ας δείχνει (ή στην πράξη ας δείχνει) ότι
A0
.t/ D lim
h!0
A.t C h/ A.t/
h
D lim
h!0
ε βαδόν.h/
h
D 1
2 det
c.t/; lim
h!0
c.t C h/ c.t/
h
D 1
2 det c.t/; c0
.t/
:
Σ Χ Η Μ Α 4
Το αποτέλεσ α αυτό πορού ε να το αποδείξου ε ε αυστηρό τρόπο, ο οποίος απο-
δίδει περισσότερο έσω αυτής της διαδικασίας, χρησι οποιώντας το Πρόβλη α 13-24,
το οποίο δίνει το ε βαδόν ενός χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση ιας
συνάρτησης σε πολικές συντεταγ ένες. Σύ φωνα ε αυτό το παράδειγ α, πορού ε να
γράψου ε
() A.t/ D
1
2
Z .t/
.0/
./2
d
αν η παρα ετρική ας κα πύλη c.t/ D r.t/ e..t// είναι η γραφική παράσταση της
συνάρτησης σε πολικές συντεταγ ένες (εδώ χρησι οποιήσα ε το για τη γωνιακή
πολική συντεταγ ένη για να αποφύγου ε τη σύγχυση ε τη συνάρτηση που χρησι ο-
ποιήσα ε για να περιγράψου ε την κα πύλη c).
Η συνάρτηση είναι ό ως απλώς η
D r B 1
[για κάθε συγκεκρι ένη γωνία , 1
./ είναι η χρονική στιγ ή κατά την οποία η κα -
πύλη c έχει γωνιακή πολική συντεταγ ένη , άρα r. 1
.t// είναι η ακτινική συντεταγ-
ένη που αντιστοιχεί στην ]. Παρ’ όλο που η παρουσία της αντίστροφης συνάρτησης
φαντάζει λίγο απειλητική, στην πραγ ατικότητα είναι άλλον αθώα: Εφαρ όζοντας το
Πρώτο Θε ελιώδες Θεώρη α του Απειροστικού Λογισ ού και τον Κανόνα της Αλυσίδας
στην () λα βάνου ε α έσως
A0
.t/ D 1
2
..t//2
0
.t/
D 1
2 r.t/2
0
.t/; αφού D r B 1
.](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-314-320.jpg)
![302 Παράγωγοι και ολοκληρώµατα
τέτοιων τ η άτων δεν πορού ε να τα προσδιορίζου ε ακριβώς.* Αυτό ση αίνει ότι
πρέπει να προσδιορίζου ε το σχήµα της τροχιάς c.t/ D r.t/ e..t// χωρίς να βρού ε
την παρα ετροποίησή της! Αφού το σχή α της τροχιάς σε πολικές συντεταγ ένες το
καθορίζει στην πραγ ατικότητα η r B 1
, δεν θα πρέπει να εκπλαγού ε αν βρού ε το
1
να ε φανίζεται στην απόδειξη.
Με βάση το Θεώρη α 1, από την υπόθεση της κεντρικής δύνα ης έπεται ότι
(K2) r2
0
D det.c; c0
/ D M
για κάποια σταθερά M . Η υπόθεση ενός νό ου αντιστρόφου τετραγώνου γράφεται ως
() c00
.t/ D
H
r.t/2
e..t//
για κάποια σταθερά H. Χρησι οποιώντας την (K2), αυτό πορού ε να το γράψου ε ως
c00
.t/
0.t/
D
H
M
e..t//:
Παρατηρού ε ότι το αριστερό έλος της εξίσωσης είναι
Œc0
B 1
0
..t//:
Αν επο ένως θέσου ε
D D c0
B 1
(αυτό είναι το βασικό τέχνασ α —«θεωρού ε την c0
συνάρτηση της »), τότε η εξίσωση
πορεί να γραφεί ως
D0
..t// D
H
M
e..t// D
H
M
cos .t/; sin .t/
;
την οποία πορού ε να γράψου ε απλά ως
D0
.u/ D
H
M
.cos u; sin u/ D
H
M
cos u;
H
M
sin u
[για κάθε u της ορφής .t/ για κάποιο t], απαλείφοντας πλήρως την .
Η εξίσωση που όλις πήρα ε είναι απλώς ένα ζεύγος εξισώσεων για τις συνιστώσες
της D, τις οποίες πορού ε να επιλύσου ε ανεξάρτητα τη ία από την άλλη. Βρίσκου ε
επο ένως ότι
D.u/ D
H sin u
M
C A;
H cos u
M
C B
για δύο σταθερές A και B. Αν θέσου ε ξανά u D .t/ λα βάνου ε έναν ακριβή τύπο για
την c0
:
c0
D
H sin
M
C A;
H cos
M
C B
:
[Εδώ γράφου ε sin αντί για sin B , κτλ. Πρόκειται για συντο ογραφίες τις οποίες θα
χρησι οποιήσου ε στη συνέχεια.]
Παρ’ ότι δεν πορού ε να πάρου ε έναν ακριβή τύπο για την ίδια την c, αν αντικα-
ταστήσου ε αυτήν την εξίσωση, αζί ε την c D r.cos ; sin /, στην εξίσωση
det.c; c0
/ D M (εξίσωση (K2));
λα βάνου ε
r
H
M
cos2
C B cos C
H
M
sin2
A sin
D M;
*Ακριβέστερα, δεν πορού ε να γράψου ε τη λύση συναρτήσει γνωστών «κλασικών συναρτήσεων», όπως οι
sin, arcsin, κτλ.](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-316-320.jpg)
![304 Παράγωγοι και ολοκληρώµατα
ή
M D
2.ε βαδόν της έλλειψης/
T
D
2ab
T
από το Πρόβλη α 13-17.
Επο ένως η σταθερά M 2
=ƒ στην () είναι
M 2
ƒ
D
42
a2
b2
T 2ƒ
D
42
a3
T 2
; χρησι οποιώντας την (γ).
Έτσι ολοκληρώνεται το τελευταίο βή α της ανάλυσης του Newton:
ΘΕΩΡΗΜΑ 3 Ο τρίτος νό ος του Kepler ισχύει αν και όνο αν οι επιταχύνσεις c00
.t/ των διαφόρων
πλανητών, οι οποίοι κινούνται σε ελλείψεις, ικανοποιούν την
c00
.t/ D G
1
r2
e..t//
για κάποια σταθερά G που δεν εξαρτάται από τον πλανήτη.
Πρέπει να αναφέρου ε ότι ισχύει και το αντίστροφο του Θεωρή ατος 2. Για να το
αποδείξου ε, θέλου ε πρώτα να αποδείξου ε ια επιπλέον συνέπεια του δεύτερου νό ου
του Kepler. Θυ ηθείτε ότι για
e.t/ D .cos t; sin t/
έχου ε
e0
.t/ D . sin t; cos t/:
Επο ένως,
e00
.t/ D . cos t; sin t/ D e.t/:
Αν παραγωγίσου ε την (3), λα βάνου ε
c00
.t/ D r00
.t/ e..t// C r0
.t/0
.t/ e0
..t//
C r0
.t/0
.t/ e0
..t// C r.t/00
.t/ e0
..t// C r.t/0
.t/0
.t/ e00
..t//:
Χρησι οποιώντας την e00
.t/ D e.t/ λα βάνου ε
c00
.t/ D
r00
.t/ r.t/0
.t/2
e..t// C
2r0
.t/0
.t/ C r.t/00
.t/
e0
..t//:
Αφού ο δεύτερος νό ος του Kepler συνεπάγεται κεντρικές δυνά εις, επο ένως το c00
.t/
είναι πάντα πολλαπλάσιο του c.t/, και άρα πάντα πολλαπλάσιο του e..t//, ο συντελε-
στής του e0
..t// πρέπει να είναι 0 [στην πραγ ατικότητα αυτό πορού ε να το δού ε
ά εσα παίρνοντας την παράγωγο της σχέσης (K2)]. Επο ένως, από τον δεύτερο νό ο
του Kepler προκύπτει ότι
(6) c00
.t/ D
r00
.t/ r.t/0
.t/2
e..t//:
ΘΕΩΡΗΜΑ 4 Αν η τροχιά ενός πλανήτη που κινείται υπό την επίδραση ιας κεντρικής βαρυτικής δύ-
να ης είναι ια κωνική το ή που έχει τον ήλιο ως εστία, η δύνα η πρέπει να ικανοποιεί
έναν νό ο αντιστρόφου τετραγώνου.](https://image.slidesharecdn.com/calculusspivac-150706201149-lva1-app6891/85/Calculus-spivac-318-320.jpg)
More Related Content
Calculus spivac
- 1.
- 3. Michael Spivak ∆ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ϗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ηαναθεωρηµένη και επαυξηµένη έκδοση Μετάϕραση: Απόστολος Γιαννόπουλος Συµπλήρωση µετάϕρασης και προσαρµογή στην τέταρτη αµερικανική έκδοση: Αλέξανδρος Χορταράς Επιµέλεια: Μιχάλης Λάµπρου, ∆ηµήτρης Καραγιαννάκης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚ∆ΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ, 2010
- 4. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚ∆ΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ Ίδρυα Τεχνολογίας & Έρευνας Αθήνα: Μάνης 5, 106 81, Εξάρχεια, Αθήνα. Τηλ. 210 3849020-22, Fax 210 3301583 Ηράκλειο: Νικ. Πλαστήρα 100, Βασιλικά Βουτών 700 13, Ηράκλειο Κρήτης. Τηλ. 2810 391097 Fax 2810 391085 info@cup.gr, www.cup.gr ΣΕΙΡΑ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ / ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ∆ιευθυντής σειράς: Στέφανος Τραχανάς Τίτλος πρωτοτύπου: Calculus, Fourth Edition, Publish or Rerish, Inc. c : 1967, 1980, 1994, 2008 by Michael Spivak c για την ελληνική γλώσσα: 1991, 2008 Πανεπιστη ιακές Εκδόσεις Κρήτης Απόδοση στα ελληνικά: Απόστολος Γιαννόπουλος Συ πλήρωση ετάφρασης και προσαρ ογή στην 4η α ερικανική έκδοση: Αλέξανδρος Χορταράς Επιστη ονική επι έλεια: Μιχάλης Λά πρου, ∆η ήτρης Καραγιαννάκης Μακέτα εξωφύλλου: Κωνσταντίνος Καρνίκης Εκτύπωση - βιβλιοδεσία: ΛΥΧΝΙΑ Πρώτη ελληνική έκδοση: 1991 ∆εύτερη αναθεωρη ένη και επαυξη ένη ελληνική έκδοση: Ιούλιος 2010 Η έκδοση στοιχειοθετήθηκε ε Times New Roman της Monotype και Garamond Premier Pro της Adobe. Για τα αθη ατικά χρησι οποιήθηκαν τα MathTime Pro 2 (MathTime is a trademark of Publish or Perish, Inc. – Personal TeX, Inc. www.pctex.com, November 2009). Την προσαρ ογή σε LATEX και τη σελιδοποίηση έκανε ο David J. McClurkin. ISBN 978-960-524-302-9
- 5. Αφιερωµένο στη µνήµητου Y. P.
- 6. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Θεωρώ ότι οιάνθρωποι έχουν χρέος προς το επάγγελµά τους —από το οποίο φυσικά ζητούν εύνοια και κέρδος— να προσπαθούν από καθήκον να το βελτιώσουν, ώστε να είναι βοήθεια και στολίδι τους. FRANCIS BACON
- 7. ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗΕΚ∆ΟΣΗ Το βιβλίο αυτό είναι επηρεασ ένο, σε όλες τις πλευρές του, από την επιθυ ία να παρου- σιάσει τον Λογισ ό όχι απλώς ως εισαγωγή, αλλά ως ια ουσιαστική πρώτη συνάντηση ε τα Μαθη ατικά. Από την εποχή που τα θε έλια της Ανάλυσης προσέφεραν το πεδίο στο οποίο αναπτύχθηκαν οι σύγχρονοι τρόποι της αθη ατικής σκέψης, ο Λογισ ός πρέ- πει να είναι ο τόπος όπου χρειάζεται να επιδιώκου ε, παρά να αποφεύγου ε, να ενισχύεται η διαίσθηση ε τη λογική. Εκτός από την ανάπτυξη της διαίσθησης των σπουδαστών σε σχέση ε τις ό ορφες έννοιες της Ανάλυσης, σίγουρα είναι εξίσου ση αντικό να τους πείσου ε ότι η ακρίβεια και η αυστηρότητα δεν αποτελούν ούτε ε πόδιο στη διαίσθηση ούτε αυτοσκοπό, αλλά το φυσικό έσον ε το οποίο δια ορφώνου ε και σκεπτό αστε τις αθη ατικές ερωτήσεις. Αυτός ο στόχος συνεπάγεται και ια αντίληψη για τα Μαθη ατικά, την οποία, κατά κάποιον τρόπο, όλο το βιβλίο προσπαθεί να υπερασπίσει. Ανεξάρτητα του πόσο καλά έχουν αναπτυχθεί συγκεκρι ένα θέ ατα, οι στόχοι ας θα έχουν υλοποιηθεί αν το βιβλίο πετύχει στο σύνολό του. Για αυτόν το λόγο, δεν θα είχε αξία να αναφέρου ε απλώς τα θέ- ατα που καλύπτονται ή να αναφερθού ε σε παιδαγωγικές πρακτικές και άλλες καινοτο- ίες. Ακό α και η γρήγορη ατιά, που συνήθως επιδαψιλεύεται στα νέα βιβλία Λογισ ού, κατά πάσα πιθανότητα πορεί να πει πολύ περισσότερα από ια εκτετα ένη διαφή ιση, και ο κάθε διδάσκων που έχει ισχυρές προτι ήσεις σε συγκεκρι ένες όψεις του Λογισ ού γνωρίζει πού να κοιτάξει για να δει αν το βιβλίο αυτό εκπληρώνει τις απαιτήσεις του. Εν τούτοις, ορισ ένα χαρακτηριστικά του βιβλίου απαιτούν έναν αναλυτικό σχολια- σ ό. Από τα 29 κεφάλαιά του, τα 2 ( ε αστερίσκο) είναι προαιρετικά, και τα 3 κεφάλαια που αποτελούν το 5ο Μέρος περιελήφθησαν όνο χάριν εκείνων των σπουδαστών που θα ήθελαν να εξετάσουν από όνοι τους ια κατασκευή των πραγ ατικών αριθ ών. Επι- πλέον, τα Παραρτή ατα των Κεφαλαίων 3 και 11 επίσης περιέχουν προαιρετικό υλικό. Η διάταξη των υπολοίπων κεφαλαίων είναι επί τούτου τελείως ανελαστική, αφού ο σκοπός του βιβλίου είναι να παρουσιάσει τον Λογισ ό ως εξέλιξη ιας ιδέας και όχι ως ια συλλογή «θε άτων». Μια και οι πλέον συναρπαστικές έννοιες του Λογισ ού δεν ε φανίζονται έως το 3ο Μέρος, θα πρέπει να επιση άνω ότι το 1ο και το 2ο Μέρος πιθα- νόν να απαιτήσουν λιγότερο χρόνο από ό,τι δείχνει η έκτασή τους —αν και όλο το βιβλίο καλύπτει το διδακτικό πρόγρα α ενός έτους, τα διάφορα κεφάλαια δεν στοχεύουν στο να καλυφθούν ε ο οιό ορφο ρυθ ό. Ένα άλλον φυσικό ση είο διαχωρισ ού ε φα- νίζεται εταξύ του 2ου και του 3ου Μέρους, και έτσι είναι δυνατόν να φτάσου ε στην παραγώγιση και την ολοκλήρωση πιο γρήγορα αν αντι ετωπίσου ε το 2ο Μέρος συνοπτι- κά, και πιθανόν επιστρέψου ε αργότερα για ια πιο λεπτο ερή θεώρηση. Αυτή η διάταξη της ύλης αντιστοιχεί στην παραδοσιακή παρουσίαση στα περισσότερα βιβλία Λογισ ού, αλλά αισθάνο αι ότι θα ελαττώσει την αξία του βιβλίου για σπουδαστές που ξέρουν από πριν λίγο Λογισ ό, καθώς και για τους ικανούς σπουδαστές ε κάπως αξιόλογο υπόβα- θρο. Τα προβλή ατα έχουν σχεδιαστεί λα βάνοντας υπόψη αυτήν την πιο πάνω ειδική κατηγορία ακροατηρίου. Κυ αίνονται από εκείνα που λύνονται απευθείας χωρίς να είναι υπεραπλουστευ ένα, δηλαδή ασκήσεις που αναπτύσσουν τις βασικές εθόδους και ελέγ- χουν την κατανόηση των εννοιών, έχρι προβλή ατα ουσιαστικής δυσκολίας και, ελπίζω, σχετικού ενδιαφέροντος. Υπάρχουν συνολικά περίπου 625 προβλή ατα. Εκείνα που δί- νουν έ φαση στους αθη ατικούς χειρισ ούς συνήθως περιέχουν πολλά παραδείγ ατα, αριθ η ένα ε ικρούς λατινικούς αριθ ούς, ενώ τα ικρά ελληνικά γρά ατα συνήθως χρησι οποιούνται για να ση ατοδοτήσουν αλληλοσχετιζό ενα έρη σε άλλα προβλή- ατα. Μια ένδειξη της σχετικής δυσκολίας παρέχει το σύστη α του ονού και διπλού αστερίσκου, αλλά υπάρχουν τόσα πολλά κριτήρια για να θεωρηθεί κάτι δύσκολο, που αυτός ο οδηγός δεν είναι τελείως αξιόπιστος. Μερικά προβλή ατα είναι τόσο δύσκολα, vii
- 8. viii ειδικά αν δενσυ βουλευτού ε τις υποδείξεις, που και οι καλοί σπουδαστές θα πρέπει άλλον να προσπαθήσουν όνο εκείνα που τους ενδιαφέρουν πολύ. Από τα λιγότερο δύσκολα προβλή ατα θα είναι άλλον εύκολο να επιλεγεί ένα έρος τους που θα δώσει ενασχόληση σε ια καλή τάξη χωρίς να την απογοητεύσει. Το Μέρος των Απαντήσεων περιέχει λύσεις περίπου των ισών ασκήσεων που προσφέρονται ως παραδείγ ατα, ώστε να γίνει ια καλή εξέταση της εθοδολογικής ικανότητας των σπουδαστών. Υπάρχει και ξεχωριστό βιβλίο απαντήσεων που περιέχει τις λύσεις των υπολοίπων προβλη άτων. Τέλος, υπάρχει ια Προτεινό ενη Βιβλιογραφία στην οποία συχνά αναφέρονται τα προ- βλή ατα, καθώς και Ευρετήριο Συ βόλων. Εί αι ευγνώ ων που ου δίνεται η ευκαιρία να αναφέρω τους πολλούς ανθρώπους στους οποίους οφείλω ευχαριστίες. Η Jane Bjorkgren έφερε εις πέρας το κολοσιαίο έργο της στοιχειοθεσίας, αναπληρώνοντας την ακανόνιστη παραγωγή του χειρογράφου ου. Ο Richard Serkey βοήθησε να συγκεντρωθεί το υλικό ε ση αντικές ιστορικές πληροφο- ρίες που υπάρχει στα προβλή ατα, και ο Richard Weiss ου έδωσε τις απαντήσεις που υπάρχουν στο τέλος του βιβλίου. Εί αι ιδιαίτερα ευγνώ ων στους φίλους ου Michael Freeman, Jay Goldman, Anthony Phillips και Robert Wells για τη φροντίδα ε την οποία διάβασαν τις προκαταρκτικές ορφές του βιβλίου, και τον αλύπητο τρόπο ε τον οποίο διατύπωσαν την κριτική τους. ∆εν χρειάζεται να πω ότι δεν ευθύνονται για ελαττώ ατα που έχουν απο είνει, ειδικά αφού κάποιες φορές απέρριψα υποδείξεις τους που θα πο- ρούσαν να κάνουν το βιβλίο κατάλληλο για ια ευρύτερη ο άδα φοιτητών. Πρέπει να εκφράσω τον θαυ ασ ό ου προς τους εκδότες και το προσωπικό του W.A. Benjamin, Inc., που πάντοτε προσπαθούσαν να αυξήσουν τη θελκτικότητα του βιβλίου, αν και γνώ- ριζαν το κοινό για το οποίο προοριζόταν. Οι ατέλειες που πάντοτε περιέχουν οι πρώτες εκδόσεις έγιναν ανεκτές ε λεβεντιά από ια σκληροτράχηλη ο άδα πρωτοετών στο Πανεπιστή ιο του Brandeis, κατά τη διάρκεια του ακαδη αϊκού έτους 1965-1966, στις παραδόσεις για ένα τ ή α αριστούχων. Η ισή ύλη αφιερώθηκε στην Άλγεβρα και την Τοπολογία και η άλλη ισή στον Λογισ ό, ε κύ- ριο σύγγρα α το παρόν βιβλίο. Υποχρεώνο αι υπό τις παρούσες συνθήκες να αναφέρω ότι είχε επιτυχία που ε αντά ειψε. Βεβαίως, όλα αυτά εκ του ασφαλούς —στο κάτω- κάτω, είναι απίθανο ια τάξη να εγερθεί σύσσω η και να δια αρτυρηθεί δη οσίως— αλλά και οι ίδιοι οι σπουδαστές ού φάνηκε ότι αξίζουν συγχαρητηρίων, αφού απορ- ρόφησαν ε προσοχή ια εντυπωσιακά εγάλη ύλη. Ευελπιστώ ότι και κάποιοι άλλοι σπουδαστές θα πορέσουν να χρησι οποιήσουν το βιβλίο ε τον ίδιο καλό σκοπό και ε τον ίδιο ενθουσιασ ό. Waltman, Massachusetts Φεβρουάριος 1967 MICHAEL SPIVAK
- 9. ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ∆ΕΥΤΕΡΗΕΚ∆ΟΣΗ Μου είπαν πολλές φορές ότι ο τίτλος του βιβλίου αυτού θα έπρεπε να ήταν κάτι σαν «Μια Εισαγωγή στην Ανάλυση», αφού χρησι οποιείται συνήθως στις παραδόσεις όπου οι σπουδαστές έχουν ήδη άθει τη ηχανική πλευρά του Λογισ ού· τέτοια αθή ατα εί- ναι καθιερω ένα πλέον στην Ευρώπη και συνηθίζονται τελευταία όλο και πιο πολύ στις ΗΠΑ. Μετά από 13 χρόνια ου φαίνεται πολύ αργά να αλλάξω τον τίτλο, αλλά χρειαζόταν άλλες αλλαγές πέρα από τις διορθώσεις της πληθώρας των τυπογραφικών και η σφαλ- άτων. Υπάρχουν τώρα στο βιβλίο ξεχωριστά Παραρτή ατα για πολλά θέ ατα, που στην πρώτη έκδοση είχαν υποτι ηθεί: πολικές συντεταγ ένες, ο οιό ορφη συνέχεια, παρα ε- τρικοποίηση κα πυλών, αθροίσ ατα Riemann, και η χρήση των ολοκληρω άτων για τον υπολογισ ό ηκών, όγκων και ε βαδών. Μερικά θέ ατα, όπως ο χειρισ ός των δυνα- οσειρών, εξετάζονται πιο αναλυτικά στο παρόν σύγγρα α και υπάρχουν επίσης πολλά νέα προβλή ατα σε σχέση ε αυτά τα θέ ατα, ενώ άλλα θέ ατα, όπως η έθοδος New- ton, ο Κανόνας του Τραπεζίου και του Simpson, αναπτύσσονται έσω των προβλη ά- των. Υπάρχουν συνολικά 160 περίπου νέα προβλή ατα, πολλά από τα οποία είναι έσης δυσκολίας, κάπου ανά εσα στα λίγα προβλή ατα ρουτίνας στην αρχή κάθε κεφαλαίου και σε εκείνα τα δυσκολότερα που ε φανίζονται αργότερα. Πολλά από τα νέα προβλή ατα τα εκπόνησε ο Ted Shifrin. Ο Frederick Gordon επι- σή ανε αρκετά σοβαρά λάθη στα προβλή ατα της 1ης έκδοσης, και υπέδειξε ορισ ένες η τετρι ένες διορθώσεις, όπως εκείνη της κο ψής απόδειξης του Θεωρή ατος 12-2, η οποία κατελά βανε δύο Λή ατα και δύο σελίδες στην πρώτη έκδοση. Ο Joseph Lip- man ου ίλησε επίσης για αυτή την απόδειξη, και για ένα παρό οιο τέχνασ α στην απόδειξη του τελευταίου θεωρή ατος στο παράρτη α του Κεφαλαίου 11, το οποίο είχε αφεθεί αναπόδεικτο στην πρώτη έκδοση. Ο Roy O. Davies ου πρότεινε το τέχνασ α για το Πρόβλη α 11-66 το οποίο προηγου ένως αποδεικνυόταν όνο στο Πρόβλη α 20-8 [21-8 στην τρίτη έκδοση] και η Marina Ratner πρότεινε αρκετά ενδιαφέροντα προβλή- ατα, ειδικά κάποια για την ο οιό ορφη συνέχεια και τις σειρές. Σε όλους αυτούς τους ανθρώπους απευθύνω τις ευχαριστίες ου, και εύχο αι κατά τη δη ιουργία της νέας έκ- δοσης η συνεισφορά τους να ην έχει ενσω ατωθεί ε αδέξιο τρόπο. [1980] MICHAEL SPIVAK ix
- 10. ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΗΕΚ∆ΟΣΗ Η πιο ση αντική αλλαγή σε αυτήν την τρίτη έκδοση είναι η συ περίληψη ενός νέου ( ε αστερίσκο) Κεφαλαίου 17 για τις κινήσεις των πλανητών, στο οποίο ο Απειροστικός Λογι- σ ός εφαρ όζεται σε ένα πραγ ατικό πρόβλη α Φυσικής. Σε προετοι ασία αυτού, το παλαιό Παράρτη α του Κεφαλαίου 4 αντικαταστάθηκε από τρία Παραρτή ατα: τα δύο πρώτα καλύπτουν τα διανύσ ατα και τις κωνικές το ές, ενώ οι πολικές συντεταγ ένες ετατέθηκαν στο τρίτο Παράρτη α, το οποίο περιλα - βάνει και τις εξισώσεις των κωνικών το ών σε πολικές συντεταγ ένες. Επιπλέον, το Παράρτη α του Κεφαλαίου 12 επεκτάθηκε και πραγ ατεύεται διανυσ ατικές πράξεις σε διανυσ ατικές κα πύλες. Μια ακό η εγάλη αλλαγή είναι απλώς η αναδιοργάνωση του παλαιού υλικού. «Το κοσ οπολίτικο ολοκλήρω α», το οποίο προηγου ένως ήταν το δεύτερο Παράρτη α του Κεφαλαίου 13, είναι πια Παράρτη α του κεφαλαίου «Στοιχειώδεις έθοδοι ολοκλήρω- σης» (το πρώην Κεφάλαιο 18 και νυν Κεφάλαιο 19). Επιπλέον, τα προβλή ατα του κεφα- λαίου εκείνου που χρησι οποιούσαν ύλη του Παραρτή ατος ε φανίζονται τώρα στο ανα- τοποθετη ένο Παράρτη α. Ορισ ένες άλλες αλλαγές και κάποιες εταβολές στην αρίθ ηση των Προβλη άτων προέκυψαν από διορθώσεις και την απάλειψη λανθασ ένων προβλη άτων. Ξαφνιάστηκα αλλά και απογοητεύτηκα όταν συνειδητοποίησα ότι αφού άφησα να περάσουν 13 χρόνια εταξύ της πρώτης και της δεύτερης έκδοσης του βιβλίου, άφησα να περάσουν άλλα 14 έχρι την τρίτη αυτή έκδοση. Όλο αυτόν τον καιρό φαίνεται πως συγ- κέντρωσα έναν όχι και τόσο ικρό κατάλογο διορθώσεων. Στην Προτεινό ενη Βιβλιο- γραφία είχα χρόνο να κάνω όνο λίγες αλλαγές, η οποία ύστερα από όλα αυτά τα χρόνια πιθανόν να χρειάζεται ια πλήρη αναθεώρηση· αυτό θα πρέπει να περι ένει έχρι την επό ενη έκδοση, την οποία ελπίζω να κάνω πιο έγκαιρα. [1994] MICHAEL SPIVAK x
- 11. ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗΝ ΤΕΤΑΡΤΗΕΚ∆ΟΣΗ Όλο υποσχέσεις! Στον πρόλογο της τρίτης έκδοσης ση είωσα ότι εσολάβησαν 13 χρόνια εταξύ της πρώτης και της δεύτερης έκδοσης, και στη συνέχεια άλλα 14 χρόνια έχρι την τρίτη, εκφράζοντας την ελπίδα η επό ενη έκδοση να κυκλοφορήσει πιο σύντο α. Λοιπόν, να που πέρασαν άλλα 14 χρόνια έχρι την τέταρτη, και άλλον τελική, έκδοση. Παρ’ ότι έγιναν ικρές αλλαγές σε ορισ ένα τ ή ατα της ύλης, ιδιαίτερα στα Κεφά- λαια 5 και 20, η έκδοση αυτή διαφέρει κυρίως όσον αφορά στην εισαγωγή πρόσθετων προβλη άτων, την πλήρη ενη έρωση της Προτεινό ενης Βιβλιογραφίας, και τη διόρ- θωση πολυάριθ ων λαθών. Τα παραπάνω είχαν τεθεί υπόψιν ου εδώ και χρόνια, εταξύ άλλων από τον Nils von Barth, τον Philip Loewen, τον Fernndo Mejias, τον Lance Miller που ου έδωσε έναν ακρύ κατάλογο από τέτοια, ειδικά για το βιβλίο των απαντήσεων, και τον Michael Maltenfort που ου έδωσε έναν απίστευτα εκτενή κατάλογο ε τυπογραφικά σφάλ ατα, λάθη και κριτική. Περισσότερο απ’ όλα ό ως εί αι υπόχρεος στον φίλο ου Ted Shifrin ο οποίος όλα αυτά τα χρόνια χρησι οποιεί το βιβλίο ου για το ανανεω ένο άθη ά του στο University of Georgia, και ο οποίος ε παρακίνησε και εντέλει ε βοήθησε να πραγ ατοποιήσω αυτή την απαραίτητη αναθεώρηση. Πρέπει επίσης να ευχαριστήσω τους φοιτητές του αθή ατός του τα τελευταία ακαδη αϊκά χρόνια, που λειτούργησαν ως πειρα ατόζωα για τη νέα έκδοση, η οποία είχε ως αποτέλεσ α, συγκεκρι ένα, την απόδειξη που υπάρχει στο Πρόβλη α 8-20 για το Λή α του Ανατέλλοντος Ηλίου, η οποία είναι κατά πολύ απλούστερη από την πρωτότυπη απόδειξη του Reisz, ή ακό η και την απόδειξη του [38] της Προτεινό ενης Βιβλιογραφίας, που τώρα έχει ολοκληρωτικά αναθεωρηθεί και αυτή, και πάλι ε εγάλη βοήθεια από τον Ted. [2008] MICHAEL SPIVAK xi
- 12. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ vi ΜΕΡΟΣ IΕισαγωγή 1 Βασικές ιδιότητες των αριθ ών 3 2 Αριθ οί διαφόρων ειδών 19 ΜΕΡΟΣ II Θεµέλια 3 Συναρτήσεις 35 Παράρτηµα. Διατεταγµένα ζεύγη 49 4 Γραφικές παραστάσεις 51 Παράρτηµα 1. Διανύσµατα 68 Παράρτηµα 2. Οι κωνικές τοµές 73 Παράρτηµα 3. Πολικές συντεταγµένες 76 5 Όρια 81 6 Συνεχείς συναρτήσεις 103 7 Τρία δύσκολα θεωρή ατα 110 8 Ελάχιστα άνω φράγ ατα 120 Παράρτηµα. Οµοιόµορφη συνέχεια 130 ΜΕΡΟΣ III Παράγωγοι και ολοκληρώµατα 9 Παράγωγοι 135 10 Παραγώγιση 152 11 Η ση ασία της παραγώγου 170 Παράρτηµα. Κυρτές και κοίλες συναρτήσεις 198 12 Αντίστροφες συναρτήσεις 208 Παράρτηµα. Παραµετρική παράσταση καµπυλών 220 13 Ολοκληρώ ατα 228 Παράρτηµα. Αθροίσµατα Riemann 255 14 Το Θε ελιώδες Θεώρη α του Απειροστικού Λογισ ού 257 15 Τριγωνο ετρικές συναρτήσεις 274 *16 Ο είναι άρρητος 293 *17 Κινήσεις των πλανητών 298 18 Η λογαριθ ική και η εκθετική συνάρτηση 306 19 Στοιχειώδεις έθοδοι ολοκλήρωσης 327 Παράρτηµα. Το «κοσµοπολίτικο» ολοκλήρωµα 364 xii
- 13. Περιεχόµενα xiii ΜΕΡΟΣ IVΑκολουθίες και σειρές 20 Προσέγγιση ε πολυωνυ ικές συναρτήσεις 373 *21 Ο e είναι υπερβατικός 401 22 Ακολουθίες 410 23 Σειρές 427 24 Ο οιό ορφη σύγκλιση και δυνα οσειρές 452 25 Μιγαδικοί αριθ οί 475 26 Μιγαδικές συναρτήσεις 488 27 Μιγαδικές δυνα οσειρές 501 ΜΕΡΟΣ V Επίλογος 28 Σώ ατα 525 29 Κατασκευή των πραγ ατικών αριθ ών 531 30 Μοναδικότητα των πραγ ατικών αριθ ών 543 Προτεινόµενη βιβλιογραφία 550 Απαντήσεις σε επιλεγµένα προβλήµατα 560 Πίνακας Συµβόλων 604 Ευρετήριο 608
- 15.
- 16. Το να έχειςσυνείδηση της άγνοιάς σου είναι ένα µεγάλο βήµα προς τη γνώση. BENJAMIN DISRAELI
- 17. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣΙ∆ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ο τίτλος του κεφαλαίου εκφράζει ε λίγα λόγια τις αθη ατικές γνώσεις που απαιτούν- ται για να διαβάσει κάποιος αυτό το βιβλίο. Πραγ ατικά, σε αυτό το σύντο ο κεφά- λαιο απλώς εξηγού ε τι εννοού ε ε τον όρο «βασικές ιδιότητες των αριθ ών»· όλες τους —πρόσθεση και πολλαπλασιασ ός, αφαίρεση και διαίρεση, λύσεις εξισώσεων και ανισοτήτων, παραγοντοποίηση και άλλοι αλγεβρικοί ετασχη ατισ οί— ας είναι ήδη γνωστές. Ό ως, το κεφάλαιο αυτό δεν είναι ια ανασκόπηση. Παρ’ όλο που το θέ α είναι οικείο, η παρουσίαση που πρόκειται να κάνου ε πιθανότατα θα φανεί αρκετά πρωτότυπη· δεν είναι σκοπός ας να δώσου ε ια εκτετα ένη ανασκόπηση παλιού υλικού, αλλά να συ πυκνώσου ε αυτές τις γνώσεις σε ερικές απλές και προφανείς ιδιότητες των αριθ- ών. Ορισ ένες πορεί να φανούν τελείως προφανείς, ό ως ένας εντυπωσιακά εγάλος αριθ ός από ποικίλα και ση αντικά αποτελέσ ατα είναι συνέπεια των ιδιοτήτων που θα τονίσου ε. Από τις δώδεκα ιδιότητες που θα ελετήσου ε σε αυτό το κεφάλαιο, οι πρώτες εννιά σχετίζονται ε τις βασικές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασ ού. Προς το παρόν, θα ασχοληθού ε όνο ε την πρόσθεση: η πράξη αυτή εκτελείται πάνω σε ένα ζεύγος αριθ ών —το άθροισ α a C b υπάρχει οποτεδήποτε ας δοθούν δύο αριθ οί a και b (που βέβαια δεν αποκλείεται να είναι ο ίδιος αριθ ός). Φαίνεται ίσως λογικό να θεωρήσει κανείς την πρόσθεση σαν ια πράξη που πορεί να εκτελεστεί ε τη ία για πολλούς αριθ ούς, και να πάρει ως βασική έννοια το άθροισ α a1 C C an των n αριθ ών a1; : : : ; an. Είναι ό ως πιο βολικό να εξετάσου ε την πρόσθεση όνο για ζεύγη αριθ ών, και να ορίσου ε τα άλλα αθροίσ ατα συναρτήσει των αθροισ άτων αυτού του τύπου. Για το άθροισ α τριών αριθ ών a, b και c, πορού ε να ακολουθήσου ε δύο διαφορετικούς δρό ους. Μπορού ε να προσθέσου ε πρώτα τους b και c, παίρνοντας τον b Cc και έπειτα να προσθέσου ε τον a σε αυτόν τον αριθ ό, παίρνοντας τον aC.b Cc/· ή να προσθέσου ε πρώτα τους a και b, και έπειτα το άθροισ α a C b στον c, παίρνοντας τον .a C b/ C c. Τα δύο σύνθετα αθροίσ ατα που θα πάρου ε είναι βέβαια ίσα, και αυτή είναι η πρώτη ιδιότητα που θα καταγράψου ε: (Ι1) Αν a, b και c είναι οποιοιδήποτε αριθ οί, τότε a C .b C c/ D .a C b/ C c: Είναι σαφές ότι η ιδιότητα αυτή ας απαλλάσσει από το να ορίσου ε ξεχωριστά την έν- νοια του αθροίσ ατος τριών αριθ ών: απλώς συ φωνού ε ότι το a C b C c συ βολίζει τον αριθ ό a C .b C c/ D .a C b/ C c. Για την πρόσθεση τεσσάρων αριθ ών απαιτούν- ται παρό οιοι, αν και κάπως περισσότερο πολύπλοκοι, συλλογισ οί. Ο συ βολισ ός a C b C c C d ορίζεται να ση αίνει (1) ..a C b/ C c/ C d; ή (2) .a C .b C c// C d; ή (3) a C ..b C c/ C d/; ή (4) a C .b C .c C d//; ή (5) .a C b/ C .c C d/: Αυτός ο ορισ ός είναι σαφής γιατί οι παραπάνω αριθ οί είναι όλοι ίσοι. Ευτυχώς, αυτό το γεγονός δεν χρειάζεται να καταγραφεί ως ξεχωριστή ιδιότητα, γιατί πορεί να αποδειχθεί 3
- 18. 4 Εισαγωγή από τηνιδιότητα Ι1 που έχου ε ήδη αναφέρει. Για παράδειγ α, ξέρου ε από την Ι1 ότι .a C b/ C c D a C .b C c/; από όπου έπεται α έσως ότι οι (1) και (2) είναι ίσοι. Η ισότητα των (2) και (3) είναι ά εση συνέπεια της Ι1, αν και ίσως δεν φαίνεται ε την πρώτη ατιά (πρέπει να αφήσου ε τον b C c να παίξει τον ρόλο του b στην Ι1, και τον d τον ρόλο του c). Οι ισότητες .3/ D .4/ D .5/ αποδεικνύονται επίσης εύκολα. Είναι ίσως προφανές ότι αρκεί να καταφύγου ε στην Ι1 για να αποδείξου ε την ισό- τητα των 14 διαφορετικών τρόπων ε τους οποίους αθροίζονται πέντε αριθ οί, αλλά δεν είναι και τόσο φανερό πώς γίνεται να δοθεί ια λογική απόδειξη αυτού του πράγ ατος χωρίς να καταγράψου ε και τα 14 αυτά αθροίσ ατα. Μια τέτοια διαδικασία είναι εφικτή, αλλά θα γινόταν ιδιαίτερα επίπονη αν εξετάζα ε συλλογές από έξι, επτά, ή περισσότερους αριθ ούς· θα ήταν τελείως ανεπαρκής για την απόδειξη της ισότητας όλων των δυνατών αθροισ άτων ιας τυχαίας πεπερασ ένης συλλογής από αριθ ούς a1; : : : ; an. Αυτό πο- ρού ε να το θεωρήσου ε δεδο ένο, αλλά για αυτούς που θα ήθελαν να καταπιαστούν ε την απόδειξη (και αξίζει τον κόπο να το κάνει κανείς τουλάχιστον ία φορά), ια προ- σέγγιση περιγράφεται στο Πρόβλη α 24. Από δω και πέρα, θα υποθέτου ε πάντοτε, χωρίς να το αναφέρου ε, ότι είναι γνωστά τα αποτελέσ ατα αυτού του προβλή ατος και θα γράφου ε αθροίσ ατα της ορφής a1 C C an αδιαφορώντας για τη διάταξη των παρενθέσεων. Ο αριθ ός 0 έχει ια ιδιότητα τόσο ση αντική που θα την καταγράψου ε ως δεύτερη: (Ι2) Αν a είναι οποιοσδήποτε αριθ ός, τότε a C 0 D 0 C a D a: Ο αριθ ός 0 παίζει έναν επίσης σπουδαίο ρόλο στην τρίτη ιδιότητα του καταλόγου ας: (Ι3) Για κάθε αριθ ό a, υπάρχει ένας αριθ ός, ο a, τέτοιος ώστε a C . a/ D . a/ C a D 0: Η ιδιότητα Ι2 θα έπρεπε να ας δίνει ένα χαρακτηριστικό γνώρισ α του αριθ ού 0, και εί αστε στην ευχάριστη θέση να αποδείξου ε κάτι τέτοιο, και άλιστα α έσως: Πραγ- ατικά, αν ένας αριθ ός x ικανοποιεί την a C x D a για οποιονδήποτε αριθ ό a, τότε x D 0 (και επο ένως αυτή η ισότητα ισχύει για όλους τους αριθ ούς a). Η απόδειξη αυτού του ισχυρισ ού δεν απαιτεί τίποτα περισσότερο από το να αφαιρέσου ε το a και από τα δύο έλη της ισότητας· ε άλλα λόγια, να προσθέ- σου ε το a και στα δύο έλη. Όπως δείχνει και η λεπτο ερής απόδειξη που ακολουθεί, χρειάζονται και οι τρεις ιδιότητες Ι1–Ι3 για να δικαιολογηθεί αυτή η πράξη: Αν a C x D a; τότε . a/ C .a C x/ D . a/ C a D 0· άρα .. a/ C a/ C x D 0· άρα 0 C x D 0· άρα x D 0: Όπως διαφαίνεται, είναι βολικό να θεωρού ε την αφαίρεση ως ια πράξη παράγωγη της πρόσθεσης: θεωρού ε το a b ως ια σύντ ηση για το a C . b/. Μπορού ε τότε να βρού ε τη λύση ερικών απλών εξισώσεων κάνοντας ια σειρά από βή ατα (καθένα αιτιολογη ένο από τις Ι1, Ι2 ή Ι3), ό οια ε αυτά που ε φανίστηκαν για την εξίσωση
- 19. 1. Βασικές ιδιότητεςτων αριθµών 5 a C x D a. Για παράδειγ α: Αν x C 3 D 5; τότε .x C 3/ C . 3/ D 5 C . 3/· άρα x C .3 C . 3// D 5 3 D 2· άρα x C 0 D 2· άρα x D 2: Αυτές οι λεπτο ερείς λύσεις έχουν βέβαια ενδιαφέρον όνο έχρι να πεισθείτε ότι είναι πάντοτε δυνατές. Στην πράξη, συνήθως είναι χάσι ο χρόνου να προσπαθεί κανείς να λύσει ια εξίσωση δείχνοντας ε τόσο αναλυτικό τρόπο την εξάρτηση από τις ιδιότητες Ι1, Ι2 και Ι3 (ή και από τις επό ενες ιδιότητες που θα αναφέρου ε). Μένει ια ακό α ιδιότητα της πρόσθεσης που πρέπει να αναφερθεί. Όταν εξετάζα ε τα αθροίσ ατα τριών αριθ ών a, b και c, όνο δύο αθροίσ ατα καταγράφηκαν: το .a C b/Cc και το aC.b Cc/. Ασφαλώς πορού ε να πάρου ε και άλλες πολλές περιπτώσεις αν εταβάλλου ε τη διάταξη των a, b και c. Το ότι όλα αυτά τα αθροίσ ατα είναι ίσα, βασίζεται στην (Ι4) Αν a και b είναι δύο αριθ οί, τότε a C b D b C a: Η διατύπωση της Ι4 έχει σκοπό να τονίσει το γεγονός ότι, αν και η πράξη της πρό- σθεσης ενός ζεύγους αριθ ών θα πορούσε, ενδεχο ένως, να εξαρτάται από τη σειρά των δύο αριθ ών, στην πραγ ατικότητα είναι ανεξάρτητη από αυτήν. Είναι χρήσι ο να θυ ό αστε ότι δεν συ περιφέρονται όλες οι πράξεις το ίδιο καλά. Για παράδειγ α, η αφαίρεση δεν έχει αυτήν την ιδιότητα: συνήθως a b ¤ b a. Παρε πιπτόντως, θα πορούσα ε να ρωτήσου ε πότε το a b είναι ίσο ε το b a, και είναι ενδιαφέρον το ότι θα ανακαλύψου ε πόσο αδύνα οι εί αστε αν βασιστού ε στις ιδιότητες Ι1–Ι4 για να δικαιολογήσου ε τα βή ατά ας. Με τελείως στοιχειώδη άλγεβρα πορού ε να δείξου ε ότι a b D b a όνο αν a D b. Και ό ως, είναι αδύνατο να το αποδείξου ε όνο από τις ιδιότητες Ι1–Ι4· είναι διδακτικό να εξετάσετε προσεκτικά τη στοιχειώδη αλγεβρική από- δειξη και να προσδιορίσετε το βή α ή τα βή ατα που δεν πορούν να δικαιολογηθούν από τις Ι1–Ι4. Βέβαια, όταν θα έχου ε αναφέρει ερικές ακό α ιδιότητες, θα εί αστε σε θέση να αιτιολογήσου ε όλα τα βή ατα ε λεπτο έρειες. Κατά έναν περίεργο ό ως τρόπο, η επί αχη ιδιότητα έχει να κάνει ε τον πολλαπλασιασ ό. Οι βασικές ιδιότητες του πολλαπλασιασ ού οιάζουν ευτυχώς τόσο πολύ ε αυτές της πρόσθεσης, που θα χρειαστούν πολύ λίγα σχόλια· τόσο η έννοια όσο και οι συνέπειές τους θα είναι προφανείς. (Όπως και στη στοιχειώδη άλγεβρα, το γινό ενο των a και b θα συ βολίζεται ε a b, ή πιο απλά ε ab.) (Ι5) Αν a, b και c είναι οποιοιδήποτε αριθ οί, τότε a .b c/ D .a b/ c: (Ι6) Αν a είναι οποιοσδήποτε αριθ ός, τότε a 1 D 1 a D a: Επίσης 1 ¤ 0. (Φαίνεται ίσως παράξενο το να καταγράφου ε τον ισχυρισ ό 1 ¤ 0, αλλά εί αστε υποχρεω ένοι να το κάνου ε, γιατί δεν υπάρχει τρόπος να τον αποδείξου ε ε βάση τις υπόλοιπες ιδιότητες —αυτές οι ιδιότητες θα ίσχυαν όλες και αν υπήρχε ένας όνο αριθ ός, ο 0.) (Ι7) Για κάθε αριθ ό a ¤ 0, υπάρχει ένας αριθ ός a 1 τέτοιος ώστε a a 1 D a 1 a D 1:
- 20. 6 Εισαγωγή (Ι8) Ανa και b είναι τυχαίοι αριθ οί, τότε a b D b a: Μια λεπτο έρεια που αξίζει να υπογρα ίσου ε είναι η ε φάνιση της συνθήκης a ¤ 0 στην Ι7. Αυτή η συνθήκη είναι εντελώς απαραίτητη: αφού 0 b D 0 για όλους τους αριθ ούς b, δεν υπάρχει αριθ ός 0 1 που να ικανοποιεί την 0 0 1 D 1. Αυτός ο περιορισ ός έχει ια ση αντική συνέπεια σε σχέση ε τη διαίρεση. Ακριβώς όπως η αφαίρεση ορίστηκε έσω της πρόσθεσης, έτσι και η διαίρεση ορίζεται ε βάση τον πολ- λαπλασιασ ό: ο συ βολισ ός a=b ση αίνει a b 1 . Αφού το 0 1 δεν έχει έννοια, το a=0 επίσης δεν έχει έννοια —η διαίρεση ε 0 είναι πάντα αόριστη. Η ιδιότητα Ι7 έχει δύο ση αντικές συνέπειες. Αν ab D ac, δεν έπεται αναγκαστικά ότι b D c, γιατί αν a D 0, τότε και το a b και το a c είναι 0, ανεξάρτητα από το ποια είναι τα b και c. Ό ως, αν a ¤ 0, τότε b D c. Αυτό αποδεικνύεται από την Ι7 ως εξής: Αν a b D a c και a ¤ 0; τότε a 1 .a b/ D a 1 .a c/· άρα .a 1 a/ b D .a 1 a/ c· άρα 1 b D 1 c· άρα b D c: Συνέπεια της Ι7 είναι και το γεγονός ότι, αν a b D 0, τότε a D 0 ή b D 0. Πράγ ατι, αν a b D 0 και a ¤ 0; τότε a 1 .a b/ D 0· άρα .a 1 a/ b D 0· άρα 1 b D 0· άρα b D 0: (Μπορεί να συ βεί να ισχύει και η a D 0 και η b D 0. Αυτό το ενδεχό ενο δεν αποκλεί- εται όταν λέ ε «a D 0 ή b D 0»· στα αθη ατικά το «ή» χρησι οποιείται πάντοτε ε την έννοια του «το ένα ή το άλλο, ή και τα δύο»). Η τελευταία αυτή συνέπεια της Ι7 χρησι οποιείται συνεχώς για τη λύση εξισώσεων. Ας υποθέσου ε, για παράδειγ α, ότι για έναν αριθ ό x είναι γνωστό πως επαληθεύει την .x 1/.x 2/ D 0: Τότε θα είναι x 1 D 0 ή x 2 D 0. Άρα x D 1 ή x D 2. Με βάση τις οκτώ ιδιότητες που έχου ε αναφέρει ώς τώρα, δεν εί αστε ακό α σε θέση να αποδείξου ε και πολλά πράγ ατα. Η επό ενη ιδιότητα, που συνδυάζει τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασ ού, θα εταβάλλει ουσιαστικά αυτήν την κατάσταση. (Ι9) Αν a, b και c είναι οποιοιδήποτε αριθ οί, τότε a .b C c/ D a b C a c: (Παρατηρήστε ότι από την Ι8 ισχύει και η ισότητα .b C c/ a D b a C c a.) Ως παράδειγ α της χρησι ότητας της Ι9, θα προσδιορίσου ε τώρα πότε ακριβώς a b D b a: Αν a b D b a; τότε .a b/ C b D .b a/ C b D b C .b a/· άρα a D b C b a· άρα a C a D .b C b a/ C a D b C b: Επο ένως a .1 C 1/ D b .1 C 1/; και άρα a D b:
- 21. 1. Βασικές ιδιότητεςτων αριθµών 7 Μια δεύτερη εφαρ ογή της Ι9 συναντά ε στην αιτιολόγηση του ισχυρισ ού a 0 D 0, που έχου ε ήδη διατυπώσει, και τον οποίο χρησι οποιήσα ε κιόλας λίγο νωρίτερα σε ια απόδειξη στη σελίδα 6 ( πορείτε να εντοπίσετε πού;). Αυτό το γεγονός δεν αναφέρθηκε ως ια από τις βασικές ιδιότητες, αν και δεν το αποδείξα ε όταν το αναφέρα ε για πρώτη φορά. Με τις Ι1–Ι8 όνο δεν ήταν δυνατόν να δώσου ε ια απόδειξη, γιατί ο αριθ ός 0 ε φανίζεται όνο στις Ι2 και Ι3, που αφορούν την πρόσθεση, ενώ ο ισχυρισ ός για τον οποίο ιλά ε έχει σχέση ε τον πολλαπλασιασ ό. Με την Ι9 η απόδειξη είναι απλή, αν και πορεί να ην είναι τελείως προφανής. Έχου ε a 0 C a 0 D a .0 C 0/ D a 0: Όπως έχου ε ήδη ση ειώσει, αυτό ση αίνει αυτο άτως (αν προσθέσου ε το .a 0/ και στα δύο έλη) ότι a 0 D 0. Μια σειρά από άλλες συνέπειες της Ι9 ίσως ας βοηθήσουν να εξηγήσου ε τον κάπως περίεργο κανόνα που ας βεβαιώνει ότι το γινό ενο δύο αρνητικών αριθ ών είναι θετικός αριθ ός. Για να ξεκινήσου ε, θα αποδείξου ε τον πιο εύλογο ισχυρισ ό ότι . a/ b D .a b/. Για να τον αποδείξου ε, ση ειώνου ε ότι . a/ b C a b D Œ. a/ C a b D 0 b D 0: Έπεται α έσως (προσθέτοντας το .a b/ και στα δύο έλη) ότι . a/ b D .a b/. Παρατηρού ε τώρα ότι . a/ . b/ C Œ .a b/ D . a/ . b/ C . a/ b D . a/ Œ. b/ C b D . a/ 0 D 0: Επο ένως, αν προσθέσου ε το .a b/ και στα δύο έλη, παίρνου ε . a/ . b/ D a b: Το γεγονός ότι το γινό ενο δύο αρνητικών αριθ ών είναι θετικό, είναι επο ένως συνέπεια των Ι1–Ι9. Με άλλα λόγια, αν θέλουµε να ισχύουν οι Ι1 έως και Ι9, τότε ο κανόνας για το γινόµενο δύο αρνητικών αριθµών µάς επιβάλλεται. Οι διάφορες συνέπειες της Ι9 που εξετάσα ε ώς τώρα, αν και είναι ενδιαφέρουσες και ση αντικές, δεν δείχνουν την πραγ ατική της ση ασία· στο κάτω-κάτω θα πορούσα ε να έχου ε αναφέρει όλες αυτές τις ιδιότητες χωριστά. Στην πραγ ατικότητα, η Ι9 δικαιο- λογεί σχεδόν όλους τους αλγεβρικούς ετασχη ατισ ούς. Για παράδειγ α, ενώ έχου ε δει πώς να λύνου ε την εξίσωση .x 1/.x 2/ D 0; δεν πορού ε να περι ένου ε ότι ας δίνονται οι εξισώσεις σε αυτή τη ορφή. Πιο πιθανό είναι να συναντήσου ε την ίδια εξίσωση στη ορφή x2 3x C 2 D 0: Η «παραγοντοποίηση» x2 3x C 2 D .x 1/.x 2/ είναι ουσιαστικά ια τριπλή χρήση της Ι9: .x 1/ .x 2/ D x .x 2/ C . 1/ .x 2/ D x x C x . 2/ C . 1/ x C . 1/ . 2/ D x2 C xŒ. 2/ C . 1/ C 2 D x2 3x C 2:
- 22. 8 Εισαγωγή Ένα τελευταίοπαράδειγ α για τη ση ασία της Ι9 είναι το γεγονός ότι αυτή η ιδιότητα χρησι οποιείται ουσιαστικά κάθε φορά που πολλαπλασιάζου ε αραβικούς αριθ ούς. Για παράδειγ α, ο υπολογισ ός 13 24 52 26 312 είναι ένας συνοπτικός τρόπος γραφής των εξής ισοτήτων: 13 24 D 13 .2 10 C 4/ D 13 2 10 C 13 4 D 26 10 C 52: (Ση ειώστε πως, το ότι ετακινήσα ε το 26 ια θέση αριστερά στον παραπάνω υπο- λογισ ό, είναι το ίδιο ε το να γράφου ε 26 10). Ο πολλαπλασιασ ός 13 4 D 52 χρησι οποιεί και αυτός την Ι9: 13 4 D .1 10 C 3/ 4 D 1 10 4 C 3 4 D 4 10 C 12 D 4 10 C 1 10 C 2 D .4 C 1/ 10 C 2 D 5 10 C 2 D 52: Οι ιδιότητες Ι1–Ι9 έχουν συγκεκρι ένα ονό ατα που δεν είναι απαραίτητο να τα θυ ό αστε, αλλά συχνά είναι βολικά όταν αναφερό αστε σε αυτές. Με αυτήν την ευκαι- ρία θα κάνου ε έναν κατάλογο των ιδιοτήτων Ι1–Ι9 αναφέροντας ταυτόχρονα και τα ονό ατα που τους αποδίδονται συνήθως. (Ι1) (Προσεταιριστικός νό ος της a C .b C c/ D .a C b/ C c. πρόσθεσης) (Ι2) (Ύπαρξη προσθετικού ταυτοτικού a C 0 D 0 C a D a. στοιχείου) (Ι3) (Ύπαρξη προσθετικού a C . a/ D . a/ C a D 0: αντίστροφου) (Ι4) (Αντι εταθετικός νό ος της a C b D b C a. πρόσθεσης) (Ι5) (Προσεταιριστικός νό ος του a .b c/ D .a b/ c. πολλαπλασιασ ού) (Ι6) (Ύπαρξη πολλαπλασιαστικού a 1 D 1 a D a· 1 ¤ 0. ταυτοτικού στοιχείου) (Ι7) (Ύπαρξη πολλαπλασιαστικού a a 1 D a 1 a D 1; για a ¤ 0. αντίστροφου) (Ι8) (Αντι εταθετικός νό ος του a b D b a. πολλαπλασιασ ού) (Ι9) (Επι εριστικός νό ος) a .b C c/ D a b C a c. Οι τρεις βασικές ιδιότητες των αριθ ών που απο ένουν αφορούν στις ανισότητες. Αν και οι ανισότητες σπάνια ε φανίζονται στα στοιχειώδη Μαθη ατικά, παίζουν εξέχοντα ρόλο στο Λογισ ό. Οι δύο ορφές ανισότητας, a b (ο a είναι ικρότερος από τον b) και a b (ο a είναι εγαλύτερος από τον b), συνδέονται στενά: η a b ση αίνει το ίδιο ακριβώς πράγ α ε την b a (έτσι, η 1 3 και η 3 1 είναι απλώς δύο τρόποι για να γράψου ε την ίδια πρόταση). Οι αριθ οί a για τους οποίους a 0 λέγονται
- 23. 1. Βασικές ιδιότητεςτων αριθµών 9 θετικοί, ενώ εκείνοι οι αριθ οί a για τους οποίους a 0 λέγονται αρνητικοί. Ενώ λοιπόν η θετικότητα γίνεται να οριστεί ε βάση την , είναι δυνατόν να αντιστρέψου ε τη διαδικασία: πορού ε να ορίσου ε την a b έτσι ώστε να ση αίνει ότι ο b a είναι θετικός. Και άλιστα, είναι πιο βολικό να πάρου ε ως βασική έννοια το σύνολο όλων των θετικών αριθ ών, που συ βολίζεται ε P , και να διατυπώσου ε όλες τις άλλες ιδιότητες ε τη βοήθεια του P : (Ι10) (Νό ος της Τριχοτό ησης) Για κάθε αριθ ό a ισχύει ία και όνο ία από τις: (i) a D 0 (ii) ο a ανήκει στο σύνολο P , (iii) ο a ανήκει στο σύνολο P . (Ι11) (Κλειστότητα ως προς την πρόσθεση) Αν ο a και ο b είναι στο P , τότε και ο a C b είναι στο P . (Ι12) (Κλειστότητα ως προς τον πολλαπλασιασ ό) Αν ο a και ο b είναι στο P , τότε και ο a b είναι στο P . Αυτές οι τρεις ιδιότητες πρέπει να συ πληρωθούν ε τους εξής ορισ ούς: a b αν a b ανήκει στο P · a b αν b a· a b αν a b ή a D b· a b αν a b ή a D b:* Ση ειώστε, ειδικότερα, ότι a 0 αν και όνο αν ο a ανήκει στο P . Όλες οι γνωστές ιδιότητες των ανισοτήτων, όσο στοιχειώδεις και αν φαίνονται, είναι συνέπειες των Ι10–Ι12. Για παράδειγ α, αν a και b είναι οποιοιδήποτε αριθ οί, τότε ισχύει ακριβώς ία από τις: i. a b D 0, ii. ο a b ανήκει στο σύνολο P , iii. ο .a b/ D b a ανήκει στο σύνολο P . Χρησι οποιώντας τους ορισ ούς που όλις δώσα ε, παίρνου ε ότι ισχύει ακριβώς ία από τις: i. a D b, ii. a b, iii. b a. Ένα κάπως πιο ενδιαφέρον στοιχείο προκύπτει από τις εξής πράξεις: αν a b, οπότε ο b a είναι στο P , τότε σίγουρα ο .b C c/ .a C c/ είναι στο P , άρα αν a b, τότε a C c b C c. Ο οίως, έστω ότι a b και b c. Τότε ο b a είναι στο P; και ο c b είναι στο P; άρα ο c a D .c b/ C .b a/ είναι στο P: Αυτό δείχνει ότι, αν a b και b c, τότε a c. (Οι δύο ανισότητες a b και b c γράφονται συνήθως πιο σύντο α στη ορφή a b c, που ουσιαστικά περιέχει και την τρίτη ανισότητα a c.) *Υπάρχει ένα κάπως σκοτεινό ση είο σε σχέση ε τα σύ βολα και . Οι προτάσεις 1 C 1 3 1 C 1 2 είναι και οι δύο αληθείς, αν και ξέρου ε ότι το θα πορούσε να αντικατασταθεί ε στην πρώτη, και ε D στη δεύτερη. Τέτοιες καταστάσεις είναι αναπόφευκτες όταν το χρησι οποιείται ε συγκεκρι ένους αριθ ούς· η χρησι ότητα του συ βόλου αποκαλύπτεται από ια πρόταση σαν το Θεώρη α 1 —εδώ έχου ε ισότητα για κάποιες τι ές των a και b, και ανισότητα για κάποιες άλλες.
- 24. 10 Εισαγωγή Ο επόενος ισχυρισ ός είναι λιγότερο προφανής. Αν a 0 και b 0, τότε ab 0. Η όνη δυσκολία που παρουσιάζει η απόδειξη είναι ότι απαιτεί ια ευχέρεια στη χρήση των ορισ ών. Το σύ βολο a 0 ση αίνει, εξ ορισ ού, 0 a, το οποίο ση αίνει ότι ο 0 a D a ανήκει στο P . Ο οίως ο b είναι στο P , επο ένως, από την Ι12, ο . a/. b/ D ab ανήκει στο P . Άρα ab 0. Το γεγονός ότι ab 0 αν a 0, b 0 καθώς και αν a 0, b 0, έχει ια ξεχωριστή συνέπεια: a2 0 αν a ¤ 0. Έτσι, τα τετράγωνα η ηδενικών αριθ ών είναι πάντα θετικά, και ειδικότερα έχου ε αποδείξει ένα αποτέλεσ α που θα πορούσε να είχε συ περιληφθεί στον κατάλογο των ιδιοτήτων ας, ως αρκετά στοιχειώδες: 1 0 (αφού 1 D 12 ). Το γεγονός ότι a 0 αν a 0 είναι η βάση για ια έννοια που θα παίξει εξαιρετικά σπουδαίο ρόλο σε αυτό το βιβλίο. Για κάθε αριθ ό a, ορίζου ε την απόλυτη τι ή jaj του a ως εξής: jaj D a; a 0 a; a 0: Παρατηρήστε ότι το jaj είναι πάντα θετικό, εκτός αν a D 0. Για παράδειγ α, έχου ε j 3j D 3, j7j D 7, j1 C p 2 p 3j D 1 C p 2 p 3 και j1 C p 2 p 10j D p 10p 2 1. Γενικά, η πιο ά εση προσέγγιση σε οποιοδήποτε πρόβλη α που έχει να κάνει ε απόλυτες τι ές απαιτεί να διακρίνου ε διάφορες περιπτώσεις χωριστά, γιατί οι απόλυτες τι ές ορίζονται και αυτές ε περιπτώσεις. Χρησι οποιού ε αυτήν την προσέγγιση για να αποδείξου ε ια πολύ ση αντική ιδιότητα των απολύτων τι ών. ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Για τυχαίους αριθ ούς a και b, έχου ε ja C bj jaj C jbj: ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θα εξετάσου ε 4 περιπτώσεις: .1/ a 0; b 0· .2/ a 0; b 0· .3/ a 0; b 0· .4/ a 0; b 0: Στην περίπτωση (1) είναι και a C b 0, και το θεώρη α είναι προφανές. Μάλιστα έχου ε ja C bj D a C b D jaj C jbj; δηλαδή σε αυτήν την περίπτωση ισχύει ισότητα. Στην περίπτωση (4) έχου ε a C b 0, και πάλι ισχύει ισότητα: ja C bj D .a C b/ D a C . b/ D jaj C jbj: Στην περίπτωση (2), όπου a 0 και b 0, πρέπει να αποδείξου ε ότι ja C bj a b: Μπορού ε λοιπόν να χωρίσου ε αυτήν την περίπτωση σε δύο υποπεριπτώσεις. Αν a C b 0, τότε πρέπει να αποδείξου ε ότι a C b a b; δηλαδή, b b; που προφανώς ισχύει, αφού b 0 και επο ένως b 0. Από την άλλη πλευρά, αν a C b 0, πρέπει να αποδείξου ε ότι a b a b; δηλαδή, a a;
- 25. 1. Βασικές ιδιότητεςτων αριθµών 11 η οποία προφανώς ισχύει, αφού a 0 και επο ένως a 0. Ση ειώστε, τέλος, ότι η απόδειξη της περίπτωσης (3) είναι ά εση, αν εναλλάξου ε τα a και b και εφαρ όσου ε την περίπτωση (2). Αν και η παραπάνω έθοδος για να εργαζό αστε ε απόλυτες τι ές (να εξετάζου ε δηλαδή χωριστά διάφορες περιπτώσεις) είναι ερικές φορές η όνη δυνατή, συχνά υπάρ- χουν απλούστερες έθοδοι που πορού ε να χρησι οποιήσου ε. Μπορού ε, συγκεκρι- ένα, να δώσου ε ια πολύ πιο σύντο η απόδειξη του Θεωρή ατος 1· αυτή η απόδειξη πηγάζει από την παρατήρηση ότι jaj D p a2: (Εδώ, και στο υπόλοιπο βιβλίο, όταν γράφου ε p x εννοού ε τη θετική τετραγωνική ρίζα του x. Αυτό το σύ βολο έχει έννοια όνο όταν x 0.) Μπορού ε τώρα να δού ε ότι .ja C bj/2 D .a C b/2 D a2 C 2ab C b2 a2 C 2jaj jbj C b2 D jaj2 C 2jaj jbj C jbj2 D .jaj C jbj/2 : Από αυτό συ περαίνου ε ότι ja C bj jaj C jbj γιατί από την x2 y2 έπεται η x y, αρκεί τα x και y να είναι και τα δύο η αρνητικά· η απόδειξη αυτού του γεγονότος αφήνεται στον αναγνώστη (Πρόβλη α 5). Ας κάνου ε και ια τελευταία παρατήρηση για το θεώρη α που όλις αποδείξα ε: αν εξετάσου ε προσεκτικά οποιαδήποτε από τις δύο αποδείξεις, βλέπου ε ότι ja C bj D jaj C jbj αν οι a και b έχουν το ίδιο πρόση ο (δηλαδή είναι και οι δύο θετικοί ή και οι δύο αρνη- τικοί), ή αν ο ένας από τους δύο είναι 0, ενώ ja C bj jaj C jbj αν οι a και b έχουν αντίθετα πρόση α. Θα ολοκληρώσου ε αυτό το κεφάλαιο ε ένα λεπτό ση είο που παρα ελήσα ε ώς τώρα, και το οποίο πρέπει να περιλα βάνεται σε ια σοβαρή παρουσίαση των ιδιοτήτων των αριθ ών. Αφού διατυπώσα ε την ιδιότητα Ι9, αποδείξα ε ότι από την a b D b a έπεται η a D b. Η απόδειξη άρχιζε ε την επαλήθευση της a .1 C 1/ D b .1 C 1/; από όπου συ περάνα εότι a D b. Σε αυτό το συ πέρασ α καταλήγου ε από την ισότητα a .1 C 1/ D b .1 C 1/ διαιρώντας και τα δύο έλη ε 1 C 1. Όντας ευσυνείδητοι, θα πρέπει να αποφεύγου ε τη διαίρεση ε 0. Πρέπει επο ένως να παραδεχθού ε ότι, η ισχύς του συλλογισ ού ας εξαρτάται από το αν ισχύει η 1 C 1 ¤ 0. Το Πρόβλη α 25 έχει σχεδιαστεί για να σας πείσει ότι κάτι τέτοιο δεν πορεί να αποδειχθεί από τις ιδιότητες Ι1–Ι9 όνο! Αφού ό ως έχου ε στη διάθεσή ας τις Ι10, Ι11, και Ι12, η απόδειξη είναι πολύ απλή: Έχου ε ήδη δει ότι 1 0· έπεται ότι 1 C 1 0, ειδικότερα ότι 1 C 1 ¤ 0. Αυτή η τελευταία απόδειξη ίσως ενισχύει την άποψη ότι είναι παράλογο να προσπα- θού ε να αποδείξου ε τόσο προφανή πράγ ατα· ια πιο προσεκτική ό ως εκτί ηση της τωρινής ας κατάστασης θα δικαιολογήσει το γιατί ασχολού αστε τόσο σοβαρά ε τέ- τοιες λεπτο έρειες. Σε αυτό το κεφάλαιο έχου ε υποθέσει ότι οι αριθ οί είναι γνώρι α αντικεί ενα, και ότι οι Ι1–Ι12 δεν είναι τίποτα παραπάνω από σαφώς διατυπω ένες προ- φανείς, πολύ γνωστές ιδιότητες των αριθ ών. Θα ήταν ό ως δύσκολο να δικαιολογή- σου ε αυτήν την υπόθεση. Αν και όλοι αθαίνου ε πώς να «δουλεύου ε ε» τους αριθ- ούς στο σχολείο, το τι είναι οι αριθ οί ακριβώς παρα ένει άλλον απροσδιόριστο. Ένα εγάλο έρος αυτού του βιβλίου αφιερώνεται στο ξεκαθάρισ α της έννοιας του αριθ ού,
- 26. 12 Εισαγωγή και έχριτο τέλος θα έχου ε εξοικειωθεί πολύ αζί τους. Αλλά, εν τω εταξύ, θα χρεια- στεί να εργαστού ε ε αριθ ούς. Είναι λοιπόν λογικό να παραδεχθού ε ε ειλικρίνεια ότι δεν καταλαβαίνου ε ακό α πλήρως τους αριθ ούς· πορού ε, ωστόσο, να λέ ε ότι, όπως και αν οριστούν τελικά οι αριθ οί, θα πρέπει σίγουρα να έχουν τις ιδιότητες Ι1–Ι12. Το εγαλύτερο έρος αυτού του κεφαλαίου ήταν ια προσπάθεια να δοθούν πειστι- κά στοιχεία για το ότι οι Ι1–Ι12 είναι πράγ ατι βασικές ιδιότητες που θα πρέπει να τις υποθέσου ε για να πάρου ε τις άλλες γνωστές ιδιότητες των αριθ ών. Μερικά από τα προβλή ατα (που περιγράφουν πώς παίρνου ε άλλες ιδιότητες των αριθ ών από τις Ι1– Ι12) προσφέρονται ως πρόσθετη αρτυρία. Ένα κρίσι ο ερώτη α που παρα ένει είναι αν οι Ι1–Ι12 ισοδυνα ούν τελικά ε όλες τις ιδιότητες των αριθ ών. Σύντο α θα δού ε ότι δεν είναι έτσι. Στο επό ενο κεφάλαιο οι αδυνα ίες των ιδιοτήτων Ι1–Ι12 θα γίνουν τελείως φανερές, αλλά το κατάλληλο έσο ε το οποίο διορθώνονται αυτές οι αδυνα ίες δεν ανακαλύπτεται και τόσο εύκολα. Η κρίσι η πρόσθετη βασική ιδιότητα των αριθ ών που ζητά ε είναι βαθιά και λεπτή, σε αντίθεση ε τις Ι1–Ι12. Η ανακάλυψη αυτής της κρίσι ης ιδιότητας θα απαιτήσει όλη την εργασία που κάνου ε στο 2ο Μέρος αυτού του βιβλίου. Στο υπόλοιπο του 1ου Μέρους θα αρχίσου ε να βλέπου ε γιατί χρειάζεται κά- ποια πρόσθετη ιδιότητα. Για να ελετήσου ε κάτι τέτοιο, θα πρέπει να εξετάσου ε λίγο πιο προσεκτικά τι εννοού ε λέγοντας «αριθ οί». ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Αποδείξτε τα εξής: (i) Αν ax D a για κάποιον αριθ ό a ¤ 0, τότε x D 1. (ii) x2 y2 D .x y/.x C y/. (iii) Αν x2 D y2 , τότε x D y ή x D y. (iv) x3 y3 D .x y/.x2 C xy C y2 /. (v) xn yn D .x y/.xn 1 C xn 2 y C C xyn 2 C yn 1 /. (vi) x3 C y3 D .x C y/.x2 xy C y2 /. (Υπάρχει ένας πολύ εύκολος τρόπος για να το κάνετε αυτό, χρησι οποιώντας το (iv), και θα σας δείξει πώς να παραγοντοποιήσετε το xn C yn όταν ο n είναι περιττός.) 2. Πού είναι το λάθος στην «απόδειξη» που ακολουθεί; Έστω x D y. Τότε x2 D xy; x2 y2 D xy y2 ; .x C y/.x y/ D y.x y/; x C y D y; 2y D y; 2 D 1: 3. Αποδείξτε τα εξής: (i) a b D ac bc , αν b; c ¤ 0. (ii) a b C c d D ad C bc bd , αν b; d ¤ 0. (iii) .ab/ 1 D a 1 b 1 , αν a; b ¤ 0. (Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να θυ ηθείτε την ιδιότητα που ορίζει τον .ab/ 1 .) (iv) a b c d D ac db , αν b; d ¤ 0.
- 27. 1. Βασικές ιδιότητεςτων αριθµών 13 (v) a b c d D ad bc , αν b; c; d ¤ 0. (vi) Αν b; d ¤ 0, τότε a b D c d αν και όνο αν ad D bc. Εξετάστε επίσης πότε a b D b a . 4. Βρείτε όλους τους αριθ ούς x για τους οποίους (i) 4 x 3 2x. (ii) 5 x2 8. (iii) 5 x2 2. (iv) .x 1/.x 3/ 0. (Πότε είναι θετικό το γινό ενο δύο αριθ ών;) (v) x2 2x C 2 0. (vi) x2 C x C 1 2. (vii) x2 x C 10 16. (viii) x2 C x C 1 0. (ix) .x /.x C 5/.x 3/ 0. (x) .x 3 p 2 /.x p 2 / 0. (xi) 2x 8. (xii) x C 3x 4. (xiii) 1 x C 1 1 x 0. (xiv) x 1 x C 1 0. 5. Αποδείξτε τα εξής: (i) Αν a b και c d, τότε a C c b C d. (ii) Αν a b, τότε b a. (iii) Αν a b και c d, τότε a c b d. (iv) Αν a b και c 0, τότε ac bc. (v) Αν a b και c 0, τότε ac bc. (vi) Αν a 1, τότε a2 a. (vii) Αν 0 a 1, τότε a2 a. (viii) Αν 0 a b και 0 c d, τότε ac bd. (ix) Αν 0 a b, τότε a2 b2 . (Χρησι οποιήστε την (viii).) (x) Αν a; b 0 και a2 b2 , τότε a b. (Χρησι οποιήστε την (ix), αντιστρό- φως.) 6. (α) Αποδείξτε ότι αν 0 x y, τότε xn yn , n D 1; 2; 3; : : : : (β) Αποδείξτε ότι αν x y και ο n είναι περιττός, τότε xn yn . (γ) Αποδείξτε ότι αν xn D yn και ο n είναι περιττός, τότε x D y. (δ) Αποδείξετε ότι αν xn D yn και ο n είναι άρτιος, τότε x D y ή x D y. 7. Αποδείξτε ότι, αν 0 a b, τότε a p ab a C b 2 b: Παρατηρήστε ότι η ανισότητα p ab .a C b/=2 ισχύει για κάθε a, b 0. Μια γενίκευση αυτού του γεγονότος ε φανίζεται στο Πρόβλη α 2-22.
- 28. 14 Εισαγωγή 8. Ανκαι οι βασικές ιδιότητες των ανισοτήτων διατυπώθηκαν ε βάση το σύνολο P όλων των θετικών αριθ ών, και η ορίστηκε ε τη βοήθεια του P , πορού ε να αντιστρέψου ε τη διαδικασία. Έστω ότι αντικαθιστού ε τις Ι10–Ι12 ε τις (Ι0 10) Για οποιουσδήποτε αριθ ούς a και b, ισχύει ία, και όνο ία, από τις: i. a D b, ii. a b, iii. b a. (Ι0 11) Για οποιουσδήποτε αριθ ούς a, b και c, αν a b και b c, τότε a c. (Ι0 12) Για οποιουσδήποτε αριθ ούς a, b και c, αν a b, τότε a C c b C c. (Ι0 13) Για οποιουσδήποτε αριθ ούς a, b και c, αν a b και 0 c, τότε ac bc. ∆είξτε ότι τότε οι Ι10–Ι12 αποδεικνύονται σαν θεωρή ατα. 9. Εκφράστε καθένα από τα επό ενα, ε τουλάχιστον ένα ζεύγος απόλυτης τι ής λιγό- τερο. (i) j p 2 C p 3 p 5 C p 7j. (ii) j.ja C bj jaj jbj/j. (iii) j.ja C bj C jcj ja C b C cj/j. (iv) jx2 2xy C y2 j. (v) j.j p 2 C p 3j j p 5 p 7j/j. 10. Εκφράστε καθένα από τα επό ενα χωρίς απόλυτες τι ές, διακρίνοντας περιπτώσεις όπου χρειάζεται. (i) ja C bj jbj. (ii) j.jxj 1/j. (iii) jxj jx2 j. (iv) a j.a jaj/j. 11. Βρείτε όλους τους αριθ ούς x για τους οποίους (i) jx 3j D 8. (ii) jx 3j 8. (iii) jx C 4j 2. (iv) jx 1j C jx 2j 1. (v) jx 1j C jx C 1j 2. (vi) jx 1j C jx C 1j 1. (vii) jx 1j jx C 1j D 0. (viii) jx 1j jx C 2j D 3. 12. Αποδείξτε τα εξής: (i) jxyj D jxj jyj. (ii) ˇ ˇ ˇ ˇ 1 x ˇ ˇ ˇ ˇ D 1 jxj , αν x ¤ 0. (Ο καλύτερος τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι να θυ ηθείτε τι είναι το jxj 1 .) (iii) jxj jyj D ˇ ˇ ˇ ˇ x y ˇ ˇ ˇ ˇ, αν y ¤ 0. (iv) jx yj jxj C jyj. (∆ώστε ια πολύ σύντο η απόδειξη.)
- 29. 1. Βασικές ιδιότητεςτων αριθµών 15 (v) jxj jyj jx yj. (Μπορείτε να κάνετε ια πολύ σύντο η απόδειξη, αν γράψετε τα πράγ ατα ε τον σωστό τρόπο.) (vi) j.jxj jyj/j jx yj. (Γιατί αυτό είναι ά εση συνέπεια του (v);) (vii) jx C y C ´j jxj C jyj C j´j. Υποδείξτε πότε ισχύει ισότητα, και αποδείξτε τον ισχυρισ ό σας. 13. Ο εγαλύτερος από τους δύο αριθ ούς x και y συ βολίζεται ε max.x; y/. Έτσι, max. 1; 3/ D max.3; 3/ D 3 και max. 1; 4/ D max. 4; 1/ D 1. Ο ικρότερος από τους x και y συ βολίζεται ε min.x; y/. Αποδείξτε ότι max.x; y/ D x C y C jy xj 2 ; min.x; y/ D x C y jy xj 2 : Εξαγάγετε έναν τύπο για το max.x; y; ´/ και το min.x; y; ´/, χρησι οποιώντας, για παράδειγ α, την max.x; y; ´/ D max.x; max.y; ´//: 14. (α) Αποδείξτε ότι jaj D j aj. (Το θέ α είναι να ην περδευτείτε ε πάρα πολλές περιπτώσεις. Πρώτα αποδείξτε τον ισχυρισ ό για a 0. Γιατί τότε είναι προφανής για a 0;) (β) Αποδείξτε ότι b a b αν και όνο αν jaj b. Ειδικότερα, έπεται ότι jaj a jaj. (γ) Χρησι οποιήστε αυτό το γεγονός για να δώσετε ια νέα απόδειξη της ja C bj jaj C jbj. 15. Αποδείξτε ότι αν ο x και ο y δεν είναι και οι δύο 0, τότε x2 C xy C y2 0; x4 C x3 y C x2 y2 C xy3 C y4 0: Υπόδειξη: Χρησι οποιήστε το Πρόβλη α 1. 16. (α) ∆είξτε ότι .x C y/2 D x2 C y2 όνο όταν x D 0 ή y D 0, .x C y/3 D x3 C y3 όνο όταν x D 0 ή y D 0 ή x D y. (β) Χρησι οποιώντας το γεγονός ότι x2 C 2xy C y2 D .x C y/2 0; αποδείξτε ότι 4x2 C 6xy C 4y2 0 εκτός και αν ο x και ο y είναι και οι δύο 0. (γ) Χρησι οποιήστε το έρος (β) για να βρείτε πότε .x C y/4 D x4 C y4 . (δ) Βρείτε πότε .x C y/5 D x5 C y5 . Υπόδειξη: Από την υπόθεση .x C y/5 D x5 C y5 πρέπει να είστε σε θέση να αποδείξετε την ισότητα x3 C 2x2 y C 2xy2 C y3 D 0, αν xy ¤ 0. Από αυτό έπεται ότι .x C y/3 D x2 y C xy2 D xy.x C y/. Θα πρέπει τώρα να πορείτε να κάνετε ια καλή πρόβλεψη για το πότε .x Cy/n D xn C yn · η απόδειξη περιέχεται στο Πρόβλη α 11-63. 17. (α) Βρείτε τη ικρότερη δυνατή τι ή του 2x2 3xC4. Υπόδειξη: «Συ πληρώστε το τετράγωνο», δηλαδή γράψτε 2x2 3x C 4 D 2.x 3=4/2 CI
- 30. 16 Εισαγωγή (β) Βρείτετη ικρότερη δυνατή τι ή του x2 3x C 2y2 C 4y C 2. (γ) Βρείτε τη ικρότερη δυνατή τι ή του x2 C 4xy C 5y2 4x 6y C 7. 18. (α) Έστω ότι b2 4c 0. Αποδείξτε ότι οι αριθ οί b C p b2 4c 2 ; b p b2 4c 2 ικανοποιούν και οι δύο την εξίσωση x2 C bx C c D 0. (β) Έστω ότι b2 4c 0. ∆είξτε ότι δεν υπάρχουν αριθ οί x που να ικανοποιούν την x2 C bx C c D 0· και άλιστα ισχύει x2 C bx C c 0 για κάθε x. Υπόδειξη: «Συ πληρώστε το τετράγωνο». (γ) Χρησι οποιήστε το παραπάνω για να δώσετε ια άλλη απόδειξη του ότι, αν ο x και ο y δεν είναι και οι δύο 0, τότε x2 C xy C y2 0. (δ) Για ποιους αριθ ούς a είναι αλήθεια ότι x2 C axy C y2 0 όταν ο x και ο y δεν είναι και οι δύο 0; (ε) Βρείτε τη ικρότερη δυνατή τι ή του x2 C bx C c και του ax2 C bx C c, για a 0. 19. Το γεγονός ότι a2 0 για κάθε αριθ ό a, αν και οιάζει στοιχειώδες, είναι ωστόσο η θε ελιώδης ιδέα που βρίσκεται τελικά πίσω από τις πιο ση αντικές ανισότητες. Ο πρόγονος όλων των ανισοτήτων είναι η ανισότητα του Schwarz: x1y1 C x2y2 p x1 2 C x2 2 p y1 2 C y2 2: (Μια πιο γενική ορφή ε φανίζεται στο Πρόβλη α 2-21.) Οι τρεις αποδείξεις της ανισότητας Schwarz που σκιαγραφούνται παρακάτω έχουν ένα όνο κοινό ση είο —το ότι βασίζονται στο γεγονός πως a2 0 για κάθε a. (α) Αποδείξτε ότι, αν x1 D y1 και x2 D y2 για κάποιον αριθ ό 0, τότε ισχύει ισότητα στην ανισότητα του Schwarz. Αποδείξτε το ίδιο πράγ α αν y1 D y2 D 0. Έστω τώρα ότι ο y1 και ο y2 δεν είναι και οι δύο 0, και ότι δεν υπάρχει αριθ ός τέτοιος ώστε x1 D y1 και x2 D y2. Τότε 0 .y1 x1/2 C .y2 x2/2 D 2 .y1 2 C y2 2 / 2.x1y1 C x2y2/ C .x1 2 C x2 2 /: Χρησι οποιώντας το Πρόβλη α 18, ολοκληρώστε την απόδειξη της ανισότη- τας του Schwarz. (β) Αποδείξτε την ανισότητα του Schwarz χρησι οποιώντας την 2xy x2 C y2 (πώς βγαίνει αυτή;) ε x D xi p x1 2 C x2 2 ; y D yi p y1 2 C y2 2 ; πρώτα για i D 1 και ετά για i D 2. (γ) Αποδείξτε την ανισότητα του Schwarz αποδεικνύοντας πρώτα ότι .x1 2 C x2 2 /.y1 2 C y2 2 / D .x1y1 C x2y2/2 C .x1y2 x2y1/2 : (δ) Συ περάνετε, από καθε ιά από αυτές τις τρεις αποδείξεις, ότι η ισότητα ισχύει όνο όταν y1 D y2 D 0 ή όταν υπάρχει ένας αριθ ός 0 τέτοιος ώστε x1 D y1 και x2 D y2.
- 31. 1. Βασικές ιδιότητεςτων αριθµών 17 Αργότερα, θα ας φανούν πολύ χρήσι α τρία πράγ ατα που έχουν σχέση ε τις ανισότη- τες. Αν και θα δώσου ε τις αποδείξεις έσα στο κεί ενο όταν έρθει η ώρα, η προσωπική τριβή ε αυτά τα προβλή ατα είναι απείρως πιο διαφωτιστική από την ανάγνωση ιας τέλεια επεξεργασ ένης απόδειξης. Στη διατύπωση αυτών των προτάσεων ανα ιγνύονται κάποιοι αλλόκοτοι αριθ οί, το βασικό τους ό ως ήνυ α είναι πολύ απλό: αν το x είναι αρκετά κοντά στο x0, και το y είναι αρκετά κοντά στο y0, τότε το x C y θα είναι κοντά στο x0 C y0, το xy κοντά στο x0y0, και το 1=y κοντά στο 1=y0. Το σύ βολο «» που ε φανίζεται σε αυτές τις προτάσεις θα πορούσε θαυ άσια να αντικατασταθεί ε ένα οποιοδήποτε άλλο γρά α. Ό ως, η παράδοση έχει καταστήσει τη χρήση του σχεδόν ιερή (ακό η και στην ξένη βιβλιογραφία) στις περιπτώσεις που εφαρ όζονται αυτά τα θεωρή ατα. 20. Αποδείξτε ότι, αν jx x0j 2 και jy y0j 2 ; τότε j.x C y/ .x0 C y0/j ; j.x y/ .x0 y0/j : 21. Αποδείξτε ότι, αν jx x0j min 2.jy0j C 1/ ; 1 και jy y0j 2.jx0j C 1/ ; τότε jxy x0y0j . (Το σύ βολο «min» ορίστηκε στο Πρόβλη α 13, αλλά ο τύπος που δίνεται σε εκείνο το πρόβλη α δεν ας βοηθά στην προκει ένη περίπτωση. Η πρώτη ανι- σότητα στην υπόθεση ση αίνει απλούστατα ότι jx x0j 2.jy0j C 1/ και jx x0j 1: Σε ένα ση είο της απόδειξης θα χρειαστείτε την πρώτη ανισότητα, και σε ένα άλλο ση είο θα χρειαστείτε τη δεύτερη. Μια τελευταία συ βουλή: αφού οι υποθέσεις δίνουν πληροφορίες όνο για το x x0 και το y y0, είναι προφανές ότι για την απόδειξη θα χρειαστεί να γράψετε το xy x0y0 ε τέτοιο τρόπο ώστε να ε φανι- στούν τα x x0 και y y0.) 22. Αποδείξτε ότι, αν y0 ¤ 0 και jy y0j min jy0j 2 ; jy0j2 2 ; τότε y ¤ 0 και ˇ ˇ ˇ ˇ 1 y 1 y0 ˇ ˇ ˇ ˇ : 23. Αντικαταστήστε τα ερωτη ατικά στην πρόταση που ακολουθεί ε εκφράσεις που περιέχουν τα , x0 και y0 έτσι ώστε το συ πέρασ α να ισχύει: Αν y0 ¤ 0 και jy y0j I και jx x0j I τότε y ¤ 0 και ˇ ˇ ˇ ˇ x y x0 y0 ˇ ˇ ˇ ˇ : Αυτό το πρόβλη α είναι τετρι ένο, ε την έννοια ότι η λύση του έπεται από τα Προβλή ατα 21 και 22 σχεδόν χωρίς κόπο (παρατηρήστε ότι x=y D x 1=y). Το κρίσι ο ση είο είναι να ην τα χάσετε· αποφασίστε ποιο από τα δύο προβλή ατα πρέπει να χρησι οποιήσετε πρώτο και ην πανικοβληθείτε αν η απάντησή σας δεν οιάζει και πολύ πιθανή.
- 32. 18 Εισαγωγή 24. Αυτότο πρόβλη α δείχνει ότι το να τοποθετού ε παρενθέσεις σε ένα άθροισ α δεν έχει επιπτώσεις. Οι αποδείξεις χρησι οποιούν « αθη ατική επαγωγή»· αν δεν είστε εξοικειω ένοι ε τέτοιες αποδείξεις αλλά θέλετε να ασχοληθείτε ε αυτό το πρόβλη α, αναβάλλετέ το για ετά το Κεφάλαιο 2, όπου θα εξηγηθούν οι αποδεί- ξεις ε επαγωγή. Ας συ φωνήσου ε, για να εί αστε σαφείς, ότι ε a1 C Can θα συ βολίζου ε το a1 C .a2 C .a3 C C .an 2 C .an 1 C an/// /: Έτσι, ε a1 C a2 C a3 συ βολίζου ε το a1 C .a2 C a3/, ε a1 C a2 C a3 C a4 το a1 C .a2 C .a3 C a4//, κτλ. (α) Αποδείξτε ότι .a1 C C ak/ C akC1 D a1 C C akC1: Υπόδειξη: Κάντε επαγωγή στο k. (β) Αποδείξτε ότι, αν n k, τότε .a1 C C ak/ C .akC1 C C an/ D a1 C C an: Υπόδειξη: Χρησι οποιήστε το έρος (α) για να δώσετε ια απόδειξη ε επα- γωγή στο k. (γ) Έστω s.a1; : : : ; ak/ κάποιο άθροισ α που σχη ατίζεται από τα a1; : : : ; ak. ∆είξτε ότι s.a1; : : : ; ak/ D a1 C C ak: Υπόδειξη: Πρέπει να υπάρχουν δύο αθροίσ ατα s0 .a1; : : : ; al / και s00 .alC1; : : : ; ak/ τέτοια ώστε s.a1; : : : ; ak/ D s0 .a1; : : : ; al / C s00 .alC1; : : : ; ak/: 25. Ας υποθέσου ε ότι ε τη λέξη «αριθ ός» εννοού ε το 0 ή το 1, και ότι ορίζου ε δύο πράξεις C και ε τους εξής δύο πίνακες Ελέγξτε ότι οι ιδιότητες Ι1–Ι9 ισχύουν όλες, αν και 1 C 1 D 0.
- 33. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΡΙΘΜΟΙ∆ΙΑΦΟΡΩΝ ΕΙ∆ΩΝ Στο Κεφάλαιο 1 χρησι οποιήσα ε τη λέξη «αριθ ός» πολύ χαλαρά, αν και ασχοληθήκα ε ε τις βασικές ιδιότητες των αριθ ών. Θα χρειαστεί τώρα να διακρίνου ε προσεκτικά διάφορα είδη αριθ ών. Οι απλούστεροι αριθ οί είναι οι «αριθ οί έτρησης» 1; 2; 3; : : : : Η θε ελιώδης ση ασία αυτού του συνόλου αριθ ών τονίζεται από το σύ βολό του N (που προέρχεται από το natural numbers = φυσικοί αριθ οί. Μια σύντο η ατιά στις Ι1–Ι12 δείχνει ότι οι βασικές για ας ιδιότητες των «αριθ ών» δεν ισχύουν στο N —για παράδειγ α, οι Ι2 και Ι3 δεν έχουν έννοια στο N. Από αυτήν την άποψη, το σύστη α N έχει πολλές αδυνα ίες. Είναι ό ως και αρκετά ση αντικό ώστε να του αξίζουν κάποια σχόλια, πριν ελετήσου ε εγαλύτερα σύνολα αριθ ών. Η πιο βασική ιδιότητα του N είναι η αρχή της « αθη ατικής επαγωγής». Υποθέτου ε ότι P.x/ ση αίνει ότι η ιδιότητα P ισχύει για τον αριθ ό x. Τότε η αρχή της αθη ατικής επαγωγής είναι ο ισχυρισ ός ότι η P.x/ ισχύει για κάθε φυσικό αριθ ό x, αν (1) Η P.1/ ισχύει. (2) Όποτε ισχύει η P.k/, ισχύει και η P.k C 1/. Παρατηρήστε ότι η συνθήκη (2) ισχυρίζεται την ισχύ της P.k C 1/ ε την υπόθεση ότι ισχύει η P.k/· αν ισχύει και η συνθήκη (1) αυτό αρκεί για να εξασφαλίσει την ισχύ της P.x/ για κάθε x. Πραγ ατικά, αν η P.1/ ισχύει, έπεται ότι και η P.2/ ισχύει (χρησι ο- ποιού ε την (2) στην ειδική περίπτωση k D 1). Τώρα, αφού η P.2/ ισχύει, έπεται ότι και η P.3/ ισχύει (χρησι οποιού ε την (2) στην ειδική περίπτωση k D 2). Είναι φανερό ότι, ε κατάλληλο πλήθος βη άτων αυτού του είδους, πορού ε να φτάσου ε οποιονδήποτε αριθ ό, άρα η P.k/ ισχύει για όλους τους αριθ ούς k. Μπορεί να δώσει κανείς ια ωραία εικόνα της λογικής που βρίσκεται πίσω από τη αθη ατική επαγωγή, ε ια άπειρη γρα ή από ανθρώπους άνθρωπος Νο. 1, άνθρωπος Νο. 2, άνθρωπος Νο. 3, .... Αν σε κάθε άνθρωπο έχει δοθεί η οδηγία να λέει κάθε υστικό που ακούει στον προστινό του (αυτόν ε τον α έσως εγαλύτερο αριθ ό) και πού ε ένα υστικό στον άνθρωπο Νο. 1, είναι σαφές ότι τελικά όλοι οι άνθρωποι θα άθουν το υστικό. Αν P.x/ είναι ο ισχυρισ ός ότι ο άνθρωπος Νο. x θα άθει το υστικό, τότε οι οδηγίες που δώσα ε (ο καθένας να λέει τα υστικά που αθαίνει στον επό ενο) ας εξασφαλίζουν ότι η συνθήκη (2) ισχύει, και το ότι είπα ε το υστικό στον άνθρωπο Νο. 1 κάνει και την (1) αληθή. Το επό ενο παράδειγ α είναι ια ουσιαστικότερη εφαρ ογή της αθη ατικής επαγωγής. Υπάρχει ένας χρήσι ος και εντυπωσιακός τύπος που εκφράζει το άθροισ α των πρώτων n αριθ ών ε έναν απλό τρόπο: 1 C C n D n.n C 1/ 2 : Για να αποδείξου ε αυτόν τον τύπο, παρατηρού ε πρώτα ότι προφανώς ισχύει για n D 1. Υποθέτουµε τώρα ότι για κάποιον ακέραιο k έχου ε 1 C C k D k.k C 1/ 2 : 19
- 34. 20 Εισαγωγή Τότε 1 C C k C .k C 1/ D k.k C 1/ 2 C k C 1 D k.k C 1/ C 2k C 2 2 D k2 C 3k C 2 2 D .k C 1/.k C 2/ 2 ; άρα ο τύπος ισχύει και για kC1. Με βάση την αρχή της επαγωγής, αποδεικνύει ότι ο τύπος ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθ ούς n. Το συγκεκρι ένο παράδειγ α παρουσιάζει ένα φαινό ενο που συ βαίνει συχνά, ιδιαίτερα σε σχέση ε τύπους σαν και αυτόν που ήδη αποδείξα ε. Αν και η απόδειξη ε επαγωγή είναι συχνά πολύ απλή και ά εση, η έθοδος ε την οποία ανακαλύφθηκε ο τύπος παρα ένει υστήριο. Τα Προβλή ατα 5 και 6 δείχνουν ε ποιον τρόπο βρίσκονται ερικοί τύποι αυτού του είδους. Η αρχή της αθη ατικής επαγωγής πορεί να διατυπωθεί ε έναν ισοδύνα ο τρόπο χωρίς να ιλά ε για «ιδιότητες» ενός αριθ ού, έναν όρο που είναι αρκετά αόριστος για να σταθεί σε ια αθη ατική συζήτηση. Μια πιο ακριβής διατύπωση ας λέει ότι αν A είναι ένα σύνολο από φυσικούς αριθ ούς και (1) ο 1 ανήκει στο A, (2) ο k C 1 ανήκει στο A, όποτε ο k ανήκει στο A, τότε A είναι το σύνολο όλων των φυσικών αριθ ών. Πρέπει να έγινε φανερό ότι αυτή η διατύπωση αντικαθιστά τη λιγότερο τυπική που δώσα ε πιο πριν, και είναι ισοδύνα η ε αυτήν —απλώς θεωρού ε το σύνολο A των φυσικών αριθ ών x που ικανοποιούν την P.x/. Για παράδειγ α, ας υποθέσου ε ότι A είναι το σύνολο των φυσικών αριθ ών n για τους οποίους ισχύει ότι 1 C C n D n.n C 1/ 2 : Η απόδειξη που δώσα ε πιο πάνω για αυτόν τον τύπο έδειξε ότι το A περιέχει τον 1, και ότι και ο k C 1 είναι στο A, αν ο k είναι στο A. Έπεται ότι A είναι το σύνολο όλων των φυσικών αριθ ών, δηλαδή, ότι ο τύπος ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθ ούς n. Υπάρχει ό ως και άλλη ια αυστηρή ορφή της αρχής της αθη ατικής επαγωγής, που οιάζει πολύ διαφορετική. Αν A είναι ένα σύνολο από φυσικούς αριθ ούς, βρισκό- αστε σε πειρασ ό να πού ε ότι το A πρέπει να έχει ένα ελάχιστο στοιχείο. Στην πραγ- ατικότητα, αυτός ο ισχυρισ ός πορεί να ην είναι σωστός όνο σε ια περίπτωση, άλλον ειδική ό ως. Ένα εξαιρετικά ση αντικό σύνολο φυσικών αριθ ών είναι το σύ- νολο A που δεν περιέχει κανέναν φυσικό αριθ ό, η «κενή συλλογή» ή το «κενό σύνολο»* που συ βολίζεται ε ;. Το κενό σύνολο ; είναι ένα σύνολο φυσικών αριθ ών που δεν έχει ελάχιστο στοιχείο —αφού δεν έχει κανένα στοιχείο. Αυτή ό ως είναι και η όνη δυνατή εξαίρεση· αν A είναι ένα η κενό σύνολο φυσικών αριθ ών, τότε το A έχει ελά- χιστο στοιχείο. Αυτή η «διαισθητικά προφανής» πρόταση, γνωστή ως «αρχή της καλής διάταξης» αποδεικνύεται από την αρχή της επαγωγής ως εξής: Υποθέτου ε ότι το A δεν έχει ελάχιστο στοιχείο. Έστω B το σύνολο των φυσικών αριθ ών n ε την ιδιότητα οι 1; : : : ; n όλοι να µην βρίσκονται στο A. Προφανώς, ο 1 ανήκει στο B (γιατί αν ο 1 ήταν στο A, τότε το A θα είχε τον αριθ ό 1 ως ελάχιστο στοιχείο). Ακό α, αν οι 1; : : : ; k δεν ανήκουν στο A, σίγουρα και ο k C 1 δεν ανήκει στο A (αλλιώς ο k C 1 θα ήταν ελάχιστο στοιχείο του A), άρα οι 1, ..., k C 1 όλοι δεν ανήκουν στο A. Αυτό αποδεικνύει ότι αν ο k ανήκει στο B, τότε και ο k C1 ανήκει στο B. Έπεται ότι κάθε αριθ ός n ανήκει στο B, *Αν και δεν θα σας κάνει εντύπωση ως σύνολο, ε τη συνηθισ ένη έννοια της λέξης, το κενό σύνολο ε φανί- ζεται πολύ φυσικά σε πολλές περιπτώσεις. Συχνά θεωρού ε το σύνολο A, που αποτελείται από όλα τα x που ικανοποιούν κάποια ιδιότητα P · συχνά, τίποτε δεν ας εγγυάται ότι η P ικανοποιείται από κάποιον αριθ ό, άρα το A πορεί να είναι το ; —και άλιστα συχνά αποδεικνύου ε ότι η P δεν ισχύει ποτέ, αποδεικνύοντας ότι A D ;.
- 35. 2. Αριθµοί διαφόρωνειδών 21 δηλαδή, οι αριθ οί 1, ..., n δεν ανήκουν στο A για κάθε φυσικό αριθ ό n. Άρα A D ;, που ολοκληρώνει την απόδειξη. Μπορού ε ακό α να αποδείξου ε την αρχή της επαγωγής από την αρχή της καλής διάταξης (Πρόβλη α 10). Οποιαδήποτε από τις δύο αρχές πορεί λοιπόν να θεωρηθεί ως ια βασική υπόθεση για τους φυσικούς αριθ ούς. Υπάρχει και άλλη ια ορφή επαγωγής που θα έπρεπε να αναφερθεί. Μερικές φορές προσπαθώντας να αποδείξου ε την P.k C 1/ δεν αρκεί να υποθέσου ε όνο την P.k/, αλλά και την P.l/ για όλους τους φυσικούς αριθ ούς l k. Σε αυτήν την περίπτωση ιλά ε για την «αρχή της πλήρους επαγωγής». Συγκεκρι ένα, αν A είναι ένα σύνολο φυσικών αριθ ών και (1) ο 1 ανήκει στο A, (2) ο k C 1 ανήκει στο A, αν οι 1, ..., k ανήκουν στο A, τότε το A είναι το σύνολο όλων των φυσικών αριθ ών. Αν και η αρχή της πλήρους επαγωγής οιάζει πολύ πιο ισχυρή από τη συνηθισ ένη αρχή της επαγωγής, δεν είναι παρά συνέπειά της. Η απόδειξη αυτού του γεγονότος αφή- νεται στον αναγνώστη, ε ια υπόδειξη (Πρόβλη α 11). Εφαρ ογές δίνονται στα Προ- βλή ατα 7, 17, 20 και 22. Στενά συνδεδε ένοι ε τις αποδείξεις ε επαγωγή είναι οι «αναδρο ικοί ορισ οί». Για παράδειγ α, ο αριθ ός nŠ (διαβάζεται «n παραγοντικό») ορίζεται ως το γινό ενο όλων των φυσικών αριθ ών που είναι ικρότεροι ή ίσοι του n: nŠ D 1 2 : : : .n 1/ n: Αυτό το εκφράζου ε αυστηρότερα ως εξής: (1) 1Š D 1 (2) nŠ D n .n 1/Š. Αυτή η ορφή του ορισ ού ε φανίζει τη σχέση ανά εσα στο nŠ και στο .n 1/Š ε έναν σαφή τρόπο, ιδανικό για αποδείξεις ε επαγωγή. Το Πρόβλη α 23 ανακεφαλαιώνει έναν ορισ ό που σας είναι ήδη γνωστός, αλλά που πορεί να δοθεί πιο σύντο α ως ανα- δρο ικός ορισ ός· όπως δείχνει αυτό το πρόβλη α, ο αναδρο ικός ορισ ός είναι στην πραγ ατικότητα απαραίτητος για ια αυστηρή απόδειξη των βασικών ιδιοτήτων του ορι- σ ού. Ένας ορισ ός που ίσως δεν είναι γνωστός εισάγει και έναν εύχρηστο συ βολισ ό που θα τον χρησι οποιού ε συνεχώς. Αντί να γράφου ε a1 C C an; χρησι οποιού ε συνήθως το γρά α † και γράφου ε nX iD1 ai : Με άλλα λόγια, ε nX iD1 ai συ βολίζου ε το άθροισ α των αριθ ών που παίρνου ε θέ- τοντας i D 1; 2; : : : ; n. Έτσι, nX iD1 i D 1 C 2 C C n D n.n C 1/ 2 : Ση ειώνου ε ότι το γρά α i δεν έχει στην ουσία τίποτα να κάνει ε τον αριθ ό nX iD1 i, και πορεί να αντικατασταθεί από οποιοδήποτε κατάλληλο σύ βολο (εκτός από το n φυσικά!):
- 36. 22 Εισαγωγή nX jD1 j D n.nC 1/ 2 ; iX jD1 j D i.i C 1/ 2 ; jX nD1 n D j.j C 1/ 2 : Για να ορίσου ε το nX iD1 ai αυστηρά, χρειαζό αστε έναν αναδρο ικό ορισ ό: (1) 1X iD1 ai D a1, (2) nX iD1 ai D n 1X iD1 ai C an. Αλλά όνο οι θαυ αστές της αθη ατικής αυστηρότητας θα επέ εναν τόσο πολύ σε τόση ακρίβεια. Στην πράξη, χρησι οποιούνται διάφορες παραλλαγές αυτού του συ βολισ ού και κανένας δεν αισθάνεται την ανάγκη να δώσει κάποιες εξηγήσεις. Το σύ βολο nX iD1 i¤4 ai ; για παράδειγ α, είναι ένας προφανής τρόπος γραφής του a1 C a2 C a3 C a5 C a6 C C an; ή ακριβέστερα του 3X iD1 ai C nX iD5 ai : Οι αδυνα ίες των φυσικών αριθ ών που ανακαλύψα ε στην αρχή αυτού του κεφα- λαίου θεραπεύονται εν έρει αν επεκτείνου ε αυτό το σύστη α στο σύνολο των ακε- ραίων : : : ; 2; 1; 0; 1; 2; : : : : Αυτό το σύνολο συ βολίζεται ε Z (από τη Γερ ανική λέξη «Zahl», αριθ ός). Από τις ιδιότητες Ι1–Ι12, όνο η Ι7 δεν ισχύει στο Z. Παίρνου ε ένα ακό α εγαλύτερο σύστη α αριθ ών, αν θεωρήσου ε τα πηλίκα m=n ακεραίων ( ε n ¤ 0). Αυτοί οι αριθ οί λέγονται ρητοί αριθ οί, και το σύνολο όλων των ρητών αριθ ών συ βολίζεται ε Q (από το «quotients» = πηλίκα). Σε αυτό το σύ- στη α αριθ ών όλες οι Ι1–Ι12 ισχύουν. Μπαίνου ε στον πειρασ ό να συ περάνου ε ότι οι «ιδιότητες των αριθ ών», που ελετήσα ε ε αρκετές λεπτο έρειες στο Κεφά- λαιο 1, αναφέρονται ακριβώς σε αυτό το σύνολο, το Q. Υπάρχει ό ως ένα ακό α εγα- λύτερο σύνολο αριθ ών στο οποίο εφαρ όζονται οι ιδιότητες Ι1–Ι12 —το σύνολο όλων των πραγ ατικών αριθ ών, που συ βολίζεται ε R. Οι πραγ ατικοί αριθ οί περιέχουν εκτός από τους ρητούς αριθ ούς και άλλους αριθ ούς (τους άρρητους αριθ ούς) που παριστάνονται ε άπειρα δεκαδικά ψηφία· ο και ο p 2 είναι και οι δύο παραδείγ ατα άρρητων αριθ ών. Η απόδειξη ότι ο είναι άρρητος δεν είναι εύκολη —θα αφιερώσου ε ολόκληρο το Κεφάλαιο 16 του 3ου Μέρους σε ια απόδειξη αυτού του γεγονότος. Το ότι ο p 2 είναι άρρητος, βέβαια, είναι πολύ απλό, και ήταν γνωστό στους αρχαίους Έλλη- νες. (Αφού το Πυθαγόρειο θεώρη α αποδεικνύει ότι ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο,
- 37. 2. Αριθµοί διαφόρωνειδών 23 ε πλευρές ήκους 1, έχει υποτείνουσα ήκους p 2, δεν είναι έκπληξη το ότι οι αρχαίοι είχαν εξετάσει αυτό το πρόβλη α.) Η απόδειξη βασίζεται σε ερικές παρατηρήσεις για τους φυσικούς αριθ ούς. Κάθε φυσικός αριθ ός n γράφεται είτε στη ορφή 2k για κά- ποιον ακέραιο k, ή αλλιώς στη ορφή 2kC1 για κάποιον ακέραιο k (αυτό το «προφανές» αποδεικνύεται εύκολα ε επαγωγή (Πρόβλη α 8)). Οι φυσικοί αριθ οί της ορφής 2k λέγονται άρτιοι· αυτοί της ορφής 2k C 1 λέγονται περιττοί. Παρατηρού ε ότι άρτιοι αριθ οί έχουν άρτια τετράγωνα, και περιττοί αριθ οί έχουν περιττά τετράγωνα: .2k/2 D 4k2 D 2 .2k2 /; .2k C 1/2 D 4k2 C 4k C 1 D 2 .2k2 C 2k/ C 1: Έπεται ότι ισχύει και το αντίστροφο: αν ο n2 είναι άρτιος, τότε ο n είναι άρτιος· αν ο n2 είναι περιττός, τότε ο n είναι περιττός. Η απόδειξη ότι ο p 2 είναι άρρητος είναι τώρα πολύ απλή. Υποθέτου ε ότι ο p 2 είναι ρητός· δηλαδή, υποθέτου ε ότι υπάρχουν φυσικοί αριθ οί p και q τέτοιοι ώστε p q 2 D 2: Μπορού ε να υποθέσου ε ότι οι p και q δεν έχουν κοινό διαιρέτη (γιατί θα πορούσα ε να διαιρέσου ε ε όλους τους κοινούς διαιρέτες πριν αρχίσου ε). Τώρα έχου ε p2 D 2q2 : Αυτό αποδεικνύει ότι ο p2 είναι άρτιος, επο ένως ο p πρέπει να είναι άρτιος· δηλαδή, p D 2k για κάποιον φυσικό αριθ ό k. Τότε p2 D 4k2 D 2q2 ; άρα 2k2 D q2 : Αυτό αποδεικνύει ότι ο q2 είναι άρτιος, άρα και ο q είναι άρτιος. Επο ένως οι p και q είναι και οι δύο άρτιοι, πράγ α που αντιφάσκει ε το ότι οι p και q δεν έχουν κοινό διαιρέτη. Αυτή η αντίφαση ολοκληρώνει την απόδειξη. Έχει ση ασία να καταλάβου ε ακριβώς τι ας δείχνει αυτή η απόδειξη. Αποδείξα ε ότι δεν υπάρχει ρητός αριθ ός x τέτοιος ώστε x2 D 2. Αυτός ο ισχυρισ ός εκφράζεται πιο σύντο α ε το να πού ε ότι ο p 2 είναι άρρητος. Παρατηρήστε ό ως ότι η χρήση του συ βόλου p 2 προϋποθέτει την ύπαρξη κάποιου αριθ ού (οπωσδήποτε άρρητου) του οποίου το τετράγωνο είναι 2. ∆εν έχου ε αποδείξει ότι υπάρχει τέτοιος αριθ ός και πο- ρού ε να σας διαβεβαιώσου ε ότι, προς το παρόν, ια τέτοια απόδειξη ας είναι αδύνατη. Κάθε απόδειξη σε αυτό το στάδιο θα πρέπει να βασίζεται στις Ι1–Ι12 (τις όνες ιδιότητες του R που έχου ε αναφέρει)· αφού οι Ι1–Ι12 ισχύουν και για το Q, ο ίδιος ακριβώς ισχυ- ρισ ός θα έδειχνε ότι υπάρχει ένας ρητός αριθ ός ε τετράγωνο 2, και αυτό όπως ξέρου ε δεν ισχύει. (Ση ειώνου ε ότι ο αντίστροφος συλλογισ ός δεν λειτουργεί —η απόδειξή ας ότι δεν υπάρχει ρητός αριθ ός ε τετράγωνο 2 δεν πορεί να χρησι οποιηθεί για να δείξου ε ότι δεν υπάρχει πραγ ατικός αριθ ός ε τετράγωνο 2, γιατί η απόδειξη χρησι- οποίησε εκτός από τις Ι1–Ι12 και ια ακό α ιδιότητα χαρακτηριστική του Q, ότι κάθε αριθ ός στο Q γράφεται p=q για ακεραίους p και q.) Αυτή η συγκεκρι ένη αδυνα ία στον κατάλογό ας των ιδιοτήτων των πραγ ατικών αριθ ών θα πορούσε βέβαια να διορθωθεί αν προσθέτα ε ια καινούργια ιδιότητα που να ισχυρίζεται την ύπαρξη τετραγωνικών ριζών για τους θετικούς αριθ ούς. Το να κατα- φύγου ε ό ως σε ένα τέτοιο έτρο δεν είναι ούτε αισθητικά ευχάριστο ούτε αθη ατικά ικανοποιητικό· θα συνεχίζα ε να ην ξέρα ε ότι κάθε αριθ ός έχει ια n-οστή ρίζα, αν ο n είναι περιττός, και ότι κάθε θετικός αριθ ός έχει ια n-οστή ρίζα αν ο n είναι άρτιος. Ακό α και αν υποθέτα ε κάτι τέτοιο, δεν θα πορούσα ε να αποδείξου ε την ύπαρξη ενός αριθ ού x που να ικανοποιεί την x5 C x C 1 D 0 (ενώ πράγ ατι υπάρχει), για- τί δεν ξέρου ε πώς να γράψου ε τη λύση της εξίσωσης συναρτήσει των n-οστών ριζών
- 38. 24 Εισαγωγή (και άλιστα,αποδεικνύεται ότι η λύση δεν πορεί να γραφεί σε αυτήν τη ορφή). Και βέβαια, δεν θα πορούσα ε να υποθέσου ε ότι όλες οι εξισώσεις έχουν λύση, γιατί αυτό δεν ισχύει (για παράδειγ α, δεν υπάρχει αριθ ός x που να ικανοποιεί την x2 C 1 D 0). Στην πραγ ατικότητα, αυτή η κατεύθυνση δεν είναι και πολύ αποδοτική. Οι πιο χρήσι- ες υποδείξεις για την ιδιότητα που διαχωρίζει το R από το Q, η πιο πιεστική ένδειξη για να διευκρινιστεί αυτή η ιδιότητα, δεν έρχονται από τη ελέτη των αριθ ών και όνο. Για να ελετήσου ε τις ιδιότητες των πραγ ατικών αριθ ών βαθύτερα, πρέπει να ελε- τήσου ε κάτι παραπάνω από τους πραγ ατικούς αριθ ούς. Σε αυτό το ση είο πρέπει να αρχίσου ε ε τα θε έλια του ΑπειροστικούΛογισ ού, συγκεκρι ένα ε τη βασική έννοια στην οποία στηρίζεται ο Απειροστικός Λογισ ός – τις συναρτήσεις. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Αποδείξτε ε επαγωγή τους εξής τύπους. (i) 12 C C n2 D n.n C 1/.2n C 1/ 6 : (ii) 13 C C n3 D .1 C C n/2 : 2. Βρείτε έναν τύπο για το (i) nX iD1 .2i 1/ D 1 C 3 C 5 C C .2n 1/: (ii) nX iD1 .2i 1/2 D 12 C 32 C 52 C C .2n 1/2 : Υπόδειξη: Ποια σχέση έχουν αυτές οι παραστάσεις ε το 1 C 2 C 3 C C 2n και ε το 12 C 22 C 32 C C .2n/2 ; 3. Αν 0 k n, ο «διωνυ ικός συντελεστής» n k ! ορίζεται από την n k ! D nŠ kŠ.n k/Š D n.n 1/ .n k C 1/ kŠ ; αν k ¤ 0; n n 0 ! D n n ! D 1 ( ια ειδική περίπτωση του πρώτου τύπου αν ορίσου ε 0Š D 1), και για k 0 ή k n ορίζου ε τον διωνυ ικό συντελεστή να είναι 0. (α) Αποδείξτε ότι n C 1 k ! D n k 1 ! C n k ! : (Η απόδειξη δεν απαιτεί επιχείρη α επαγωγής.) Αυτή η σχέση οδηγεί στο ακόλουθο σχή α, γνωστό ως «τρίγωνο του Pascal» —ένας αριθ ός που δεν βρίσκεται πάνω σε ια από τις πλευρές είναι το άθροι- σ α των δύο αριθ ών από πάνω του· ο διωνυ ικός συντελεστής n k ! είναι ο .k C 1/-οστός αριθ ός στην .n C 1/-οστή σειρά. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ...
- 39. 2. Αριθµοί διαφόρωνειδών 25 (β) Παρατηρήστε ότι όλοι οι αριθ οί στο τρίγωνο του Pascal είναι φυσικοί αριθ- οί. Χρησι οποιήστε το έρος (α) για να αποδείξετε ε επαγωγή ότι ο n k ! είναι πάντα φυσικός αριθ ός. (Ολόκληρη η απόδειξή σας θα πρέπει, κατά κάποιον τρόπο, να συνοψίζεται σε ια ατιά στο τρίγωνο του Pascal.) (γ) ∆ώστε ια άλλη απόδειξη του ότι ο n k ! είναι φυσικός αριθ ός, δείχνοντας ότι n k ! είναι το πλήθος των συνόλων από k ακριβώς ακεραίους, που κάθε φορά τους διαλέγου ε από τους 1, ..., n. (δ) Αποδείξτε το «διωνυ ικό θεώρη α»: Αν a και b είναι τυχαίοι αριθ οί και n είναι ένας φυσικός αριθ ός, τότε .a C b/n D an C n 1 ! an 1 b C n 2 ! an 2 b2 C C n n 1 ! abn 1 C bn D nX jD0 n j ! an j bj : (ε) Αποδείξτε ότι (i) nX jD0 n j ! D n 0 ! C C n n ! D 2n . (ii) nX jD0 . 1/j n j ! D n 0 ! n 1 ! C ˙ n n ! D 0. (iii) X l περιττός n l ! D n 1 ! C n 3 ! C D 2n 1 . (iv) X l άρτιος n l ! D n 0 ! C n 2 ! C D 2n 1 . 4. (α) Αποδείξτε ότι lX kD0 n k ! m l k ! D n C m l ! : Υπόδειξη: Εφαρ όστε το διωνυ ικό θεώρη α στο .1 C x/n .1 C x/m . (β) Αποδείξτε ότι nX kD0 n k !2 D 2n n ! : 5. (α) Αποδείξτε ε επαγωγή στο n ότι 1 C r C r2 C C rn D 1 rnC1 1 r αν r ¤ 1 (αν r D 1, ο υπολογισ ός του αθροίσ ατος προφανώς δεν παρου- σιάζει κανένα πρόβλη α). (β) Αποδείξτε αυτό το αποτέλεσ α θέτοντας S D 1 C r C C rn , πολλαπλα- σιάζοντας αυτήν την εξίσωση ε r, και λύνοντας τις δύο εξισώσεις ως προς S.
- 40. 26 Εισαγωγή 6. Οτύπος για το 12 C C n2 λα βάνεται και ε τον εξής τρόπο. Ξεκινά ε από τον τύπο .k C 1/3 k3 D 3k2 C 3k C 1: Αν γράψου ε αυτόν τον τύπο για k D 1, ..., n και προσθέσου ε, παίρνου ε 23 13 D 3 12 C 3 1 C 1 33 23 D 3 22 C 3 2 C 1 : : : .n C 1/3 n3 D 3 n2 C 3 n C 1 .n C 1/3 1 D 3Œ12 C C n2 C 3Œ1 C C n C n: Έτσι πορού ε να βρού ε το nX kD1 k2 αν ας είναι ήδη γνωστό το nX kD1 k (το οποίο θα πορούσα ε να το έχου ε βρει ε παρό οιο τρόπο). Χρησι οποιήστε αυτήν τη έθοδο για να βρείτε τα (i) 13 C C n3 : (ii) 14 C C n4 : (iii) 1 1 2 C 1 2 3 C C 1 n.n C 1/ : (iv) 3 12 22 C 5 22 32 C C 2n C 1 n2.n C 1/2 : 7. Χρησι οποιήστε τη έθοδο του Προβλή ατος 6 για να δείξετε ότι το nX iD1 kp γρά- φεται πάντα στη ορφή npC1 p C 1 C Anp C Bnp 1 C Cnp 2 C : (Οι δέκα πρώτες τέτοιες εκφράσεις είναι nX kD1 k D 1 2 n2 C 1 2 n nX kD1 k2 D 1 3 n3 C 1 2 n2 C 1 6 n nX kD1 k3 D 1 4 n4 C 1 2 n3 C 1 4 n2 nX kD1 k4 D 1 5 n5 C 1 2 n4 C 1 3 n3 1 30 n nX kD1 k5 D 1 6 n6 C 1 2 n5 C 5 12 n4 1 12 n2 nX kD1 k6 D 1 7 n7 C 1 2 n6 C 1 2 n5 1 6 n3 C 1 42 n nX kD1 k7 D 1 8 n8 C 1 2 n7 C 7 12 n6 7 24 n4 C 1 12 n2
- 41. 2. Αριθµοί διαφόρωνειδών 27 nX kD1 k8 D 1 9 n9 C 1 2 n8 C 2 3 n7 7 15 n5 C 2 9 n3 1 30 n nX kD1 k9 D 1 10 n10 C 1 2 n9 C 3 4 n8 7 10 n6 C 1 2 n4 3 20 n2 nX kD1 k10 D 1 11 n11 C 1 2 n10 C 5 6 n9 1n7 C 1n5 1 2 n3 C 5 66 n: Παρατηρήστε ότι οι συντελεστές στη δεύτερη στήλη είναι πάντοτε 1 2 , και ότι ετά την τρίτη στήλη οι δυνά εις του n ε η ηδενικούς συντελεστές ελαττώνονται κατά 2 έχρι να φτάσου ε το n2 ή το n. Οι συντελεστές σε όλες, εκτός από τις δύο πρώτες στήλες οιάζουν άλλον τυχαίοι, υπάρχει ό ως στην πραγ ατικότητα κά- ποιο είδος τύπου· το να τον βρείτε θα πορούσε να θεωρηθεί ένδειξη πολύ ισχυρής διαίσθησης. Βλ. το Πρόβλη α 27-17 για τη συνέχεια και το τέλος της ιστορίας.) 8. Αποδείξτε ότι κάθε φυσικός αριθ ός είναι ή άρτιος ή περιττός. 9. Αποδείξτε ότι, αν ένα σύνολο A φυσικών αριθ ών περιέχει το n0 και περιέχει το k C 1 όποτε περιέχει το k, τότε το A περιέχει όλους τους φυσικούς αριθ ούς που είναι n0. 10. Αποδείξτε την αρχή της αθη ατικής επαγωγής από την αρχή της καλής διάταξης. 11. Αποδείξτε την αρχή της πλήρους επαγωγής από τη συνήθη αρχή της επαγωγής. Υπόδειξη: Αν το A περιέχει το 1 και το A περιέχει το n C 1 όποτε περιέχει τα 1; : : : ; n, θεωρήστε το σύνολο B όλων των k για τα οποία οι 1; : : : ; k βρίσκονται όλοι στο A. 12. (α) Αν ο a είναι ρητός και ο b άρρητος, είναι ο a C b αναγκαστικά άρρητος; Τί γίνεται αν και ο a και ο b είναι άρρητοι; (β) Αν ο a είναι ρητός και ο b είναι άρρητος, είναι ο ab αναγκαστικά άρρητος; (Προσοχή!) (γ) Υπάρχει αριθ ός a τέτοιος ώστε ο a2 να είναι άρρητος, αλλά ο a4 να είναι ρητός; (δ) Υπάρχουν δύο άρρητοι αριθ οί των οποίων το άθροισ α και το γινό ενο να είναι και οι δύο ρητοί; 13. (α) Αποδείξτε ότι οι p 3, p 5 και p 6 είναι άρρητοι. Υπόδειξη: για να εργαστείτε ε τον p 3, για παράδειγ α, χρησι οποιήστε το γεγονός ότι κάθε ακέραιος είναι της ορφής 3n ή 3n C 1 ή 3n C 2. Γιατί δεν λειτουργεί αυτή η απόδειξη και για τον p 4; (β) Αποδείξτε ότι οι 3 p 2 και 3 p 3 είναι άρρητοι. 14. Αποδείξτε ότι (α) ο p 2 C p 6 είναι άρρητος. (β) ο p 2 C p 3 είναι άρρητος. 15. (α) Αποδείξτε ότι, αν x D p C p q όπου ο p και ο q είναι ρητοί, και m είναι φυσικός αριθ ός, τότε xm D a C b p q για κάποιους ρητούς a και b. (β) Αποδείξτε επίσης ότι .p p q /m D a b p q.
- 42. 28 Εισαγωγή 16. (α)Αποδείξτε ότι, αν m και n είναι φυσικοί αριθ οί και m2 =n2 2, τότε .m C 2n/2 =.m C n/2 2· δείξτε, ακό α, ότι .m C 2n/2 .m C n/2 2 2 m2 n2 : (β) Αποδείξτε τα ίδια αποτελέσ ατα ε όλες τις ανισότητες αντεστρα ένες. (γ) Αποδείξτε ότι, αν m=n p 2, τότε υπάρχει ένας άλλος ρητός αριθ ός m0 =n0 ε m=n m0 =n0 p 2. 17. Φαίνεται σωστό ότι η p n είναι άρρητος αριθ ός όποτε ο φυσικός αριθ ός n δεν είναι το τετράγωνο κάποιου άλλου φυσικού αριθ ού. Αν και πορού ε να χρησι- οποιήσου ε τη έθοδο του Προβλή ατος 13 σε οποιαδήποτε ειδική περίπτωση, δεν είναι φανερό εκ των προτέρων ότι λειτουργεί πάντα, και η απόδειξη για τη γενι- κή περίπτωση απαιτεί κάποιες πρόσθετες πληροφορίες. Ένας φυσικός αριθ ός p λέγεται πρώτος αριθ ός αν είναι αδύνατο να γράψου ε p D ab για φυσικούς αριθ ούς a και b, εκτός αν ο ένας από αυτούς είναι p και ο άλλος 1· επίσης, θα συ φωνήσου ε για ευκολία ότι ο 1 δεν είναι πρώτος αριθ ός. Μερικοί πρώτοι αριθ οί στη σειρά είναι οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Αν ο n 1 δεν είναι πρώτος, τότε n D ab, όπου οι a και b είναι και οι δύο n· αν ο a ή ο b δεν είναι πρώτος, πορού ε ε τον ίδιο τρόπο να τον γράψου ε ως γινό ενο· συνεχίζοντας ε αυτόν τον τρόπο αποδεικνύου ε ότι ο n γράφεται ως γινό ενο πρώτων. Για παράδειγ α, 28 D 4 7 D 2 2 7. (α) Μετατρέψτε αυτό το επιχείρη α σε αυστηρή απόδειξη ε πλήρη επαγωγή. (Είναι σίγουρο ότι κάθε λογικός αθη ατικός θα δεχόταν το παράτυπο αυτό επιχείρη α, άλλον ό ως γιατί θα ήταν φανερό για αυτόν πώς να το διατυ- πώσει αυστηρά.) Ένα θε ελιώδες θεώρη α για τους ακεραίους, που δεν θα το αποδείξου ε εδώ, ας λέει ότι αυτή η παραγοντοποίηση είναι οναδική, αν δεν λάβου ε υπόψη τη σειρά των παραγόντων. Έτσι, για παράδειγ α, ο 28 δεν πορεί ποτέ να γραφεί ως γινό ενο πρώτων ο ένας από τους οποίους να είναι ο 3, ούτε πορεί να γραφεί ε έναν τρόπο που να περιέχει το 2 όνο ία φορά (θα έπρεπε τώρα να εκτι ήσετε το ότι δεν επιτρέψα ε στον 1 να είναι πρώτος). (β) Χρησι οποιώντας αυτό το γεγονός, αποδείξτε ότι ο p n είναι άρρητος, εκτός αν n D m2 για κάποιον φυσικό αριθ ό m. (γ) Αποδείξτε πιο γενικά ότι ο k p n είναι άρρητος, εκτός αν n D mk . (δ) ∆εν πορού ε να κλείσου ε τη συζήτηση για τους πρώτους αριθ ούς χωρίς να συ περιλάβου ε την ό ορφη απόδειξη του Ευκλείδη για το ότι υπάρχουν άπειροι ως προς το πλήθος πρώτοι αριθ οί. Αποδείξτε ότι δεν πορούν να υπάρχουν όνο πεπερασ ένοι το πλήθος πρώτοι αριθ οί p1, p2, p3, ..., pn θεωρώντας τον p1 p2 : : : pn C 1. 18. (α) Αποδείξτε ότι, αν ο x ικανοποιεί την xn C an 1xn 1 C C a0 D 0; για κάποιους ακέραιους an 1, ..., a0, τότε ο x είναι άρρητος, εκτός αν ο x είναι ακέραιος (Γιατί αυτό γενικεύει το Πρόβλη α 17;) (β) Αποδείξτε ότι ο p 6 p 2 p 3 είναι άρρητος. (γ) Αποδείξτε ότι ο p 2C 3 p 2 είναι άρρητος. Υπόδειξη: Ξεκινήστε υπολογίζοντας τις πρώτες 6 δυνά εις αυτού του αριθ ού.
- 43. 2. Αριθµοί διαφόρωνειδών 29 19. Αποδείξτε την ανισότητα του Bernoulli: Αν h 1, τότε .1 C h/n 1 C nh για κάθε φυσικό αριθ ό n. Γιατί αυτό είναι τετρι ένο αν h 0; 20. Η ακολουθία του Fibonacci a1; a2; a3; : : : ορίζεται ως εξής: a1 D 1; a2 D 1; an D an 1 C an 2 για n 3: Αυτή η ακολουθία, που αρχίζει ε τους 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., ανακαλύφθηκε από τον Fibonacci (περίπου 1175 - 1250), ε αφορ ή ένα πρόβλη α σχετικό ε κουνέλια. Ο Fibonacci υπέθετε ότι ένα αρχικό ζευγάρι κουνελιών γεννούσε ένα καινούργιο ζευγάρι κουνελιών το ήνα, και ότι ετά από δύο ήνες κάθε καινούργιο ζευγάρι συ περιφερόταν ό οια. Το πλήθος an των ζευγαριών που γεννιούνται το n-οστό ήνα είναι an 1 C an 2, γιατί ένα ζευγάρι κουνελιών γεννιέται για κάθε ζευγάρι που γεννήθηκε τον προηγού ενο ήνα, και ακό α κάθε ζευγάρι που γεννήθηκε πριν δύο ήνες δίνει τώρα ζωή σε ένα άλλο ζευγάρι. Το πλήθος των ενδιαφερόντων αποτελεσ άτων που αφορούν αυτήν την ακολουθία είναι πραγ ατικά απίστευτο — υπάρχει ακό α και ένας Ό ιλος Fibonacci που εκδίδει ένα έντυπο, το The Fibonacci Quarterly. Αποδείξτε ότι an D 1 C p 5 2 !n 1 p 5 2 !n p 5 : Ένας τρόπος απόδειξης του εκπληκτικού αυτού τύπου παρουσιάζεται στο Πρό- βλη α 24-16. 21. Η ανισότητα του Schwarz (Πρόβλη α 1-19)έχει στην πραγ ατικότητα ια πιο γενι- κή ορφή: nX iD1 xi yi v u u t nX iD1 xi 2 v u u t nX iD1 yi 2: ∆ώστε τρεις αποδείξεις αυτής, ανάλογες προς τις τρεις αποδείξεις του Προβλή α- τος 1-19. 22. Το αποτέλεσ α του Προβλή ατος 1-7 έχει ια ση αντική γενίκευση: Αν a1; : : : ; an 0 τότε ο «αριθ ητικός έσος» An D a1 C C an n και ο «γεω ετρικός έσος» Gn D n p a1 : : : an ικανοποιούν την Gn An: (α) Έστω ότι a1 An. Τότε κάποια ai ικανοποιούν την ai An· για ευκολία ας θεωρήσου ε ότι a2 An. Έστω Na1 D An και Na2 D a1 C a2 Na1. Αποδείξτε ότι Na1 Na2 a1a2:
- 44. 30 Εισαγωγή Γιατί ανεπαναλάβου ε αυτήν τη διαδικασία αρκετές φορές τελικά αποδει- κνύου ε ότι Gn An; (Να ια περίπτωση, όπου είναι καλή άσκηση το να δώσετε ια τυπική απόδειξη ε επαγωγή, καθώς και ένα άτυπο επιχείρη α.) Πότε ισχύει η ισότητα στη σχέση Gn An; Η αιτιολόγηση στην προηγού ενη απόδειξη συνδέεται στενά ε ια άλλη ενδιαφέ- ρουσα απόδειξη. (β) Χρησι οποιώντας το γεγονός ότι Gn An για n D 2, αποδείξτε, ε επαγωγή στο k, ότι Gn An για n D 2k . (γ) Για τυχαίο n, έστω 2m n. Εφαρ όστε το (β) έρος στους 2m αριθ ούς a1; : : : ; an; An; : : : ; An „ ƒ‚ … 2m n φορές για να αποδείξετε ότι Gn An. 23. ∆ίνου ε έναν αναδρο ικό ορισ ό του an : a1 D a; anC1 D an a: Αποδείξτε, ε επαγωγή, ότι anCm D an am ; .an /m D anm : (Μην προσπαθήσετε να κάνετε ευφυολογή ατα: χρησι οποιήστε επαγωγή στο n ή επαγωγή στο m, όχι και στα δύο αζί.) 24. Ας υποθέσου ε ότι οι ιδιότητες Ι1 και Ι4 είναι γνωστές για τους φυσικούς αριθ ούς, αλλά ότι ο πολλαπλασιασ ός δεν έχει ποτέ αναφερθεί. Τότε πορού ε να δώσου ε έναν αναδρο ικό ορισ ό του πολλαπλασιασ ού ως εξής: 1 b D b; .a C 1/ b D a b C b: Αποδείξτε τα εξής ( ε τη σειρά που σας προτείνου ε!): a .b C c/ D a b C a c (χρησι οποιήστε επαγωγή στο a), a 1 D a; a b D b a ( όλις αποδείξατε την περίπτωση b D 1). 25. Σε αυτό το κεφάλαιο αρχίσα ε ε τους φυσικούς αριθ ούς και σιγά-σιγά φτάσα ε έως τους πραγ ατικούς αριθ ούς. Για να ελετήσου ε αυστηρά αυτήν τη διαδικα- σία θα χρειαζό ασταν ένα ολόκληρο ικρό βιβλίο (δείτε το 5ο Μέρος). Κανένας δεν έχει καταφέρει να βρει έναν τρόπο για να φτάσει στους πραγ ατικούς αριθ ούς χωρίς να περάσει έσα από αυτήν τη διαδικασία, αλλά αν δεχθού ε τους πραγ α- τικούς αριθ ούς ως δοθέντες, τότε πορού ε να ορίσουµε τους φυσικούς αριθ ούς σαν τους πραγ ατικούς αριθ ούς της ορφής 1, 1 C1, 1 C1 C1, κτλ. Όλη η ουσία αυτού του προβλή ατος είναι να δείξου ε ότι υπάρχει ένας αυστηρός αθη ατικός τρόπος για να πού ε το «κτλ.». (α) Ένα σύνολο A πραγ ατικών αριθ ών λέγεται επαγωγικό αν (1) ο 1 ανήκει στο A, (2) ο k C 1 ανήκει στο A, όποτε ο k ανήκει στο A. Αποδείξτε ότι
- 45. 2. Αριθµοί διαφόρωνειδών 31 (i) το R είναι επαγωγικό. (ii) το σύνολο των θετικών πραγ ατικών αριθ ών είναι επαγωγικό. (iii) το σύνολο των θετικών πραγ ατικών αριθ ών που δεν είναι ίσοι ε 1 2 είναι επαγωγικό. (iv) το σύνολο των θετικών πραγ ατικών αριθ ών που δεν είναι ίσοι ε 5 δεν είναι επαγωγικό. (v) αν το A και το B είναι επαγωγικά, τότε το σύνολο C των πραγ ατικών αριθ ών που ανήκουν και στο A και στο B είναι επίσης επαγωγικό. (β) Ένας πραγ ατικός αριθ ός n θα λέγεται φυσικός αριθ ός αν ο n ανήκει σε κάθε επαγωγικό σύνολο. (i) Αποδείξτε ότι ο 1 είναι φυσικός αριθ ός (ii) Αποδείξτε ότι, αν ο k είναι φυσικός αριθ ός, τότε και ο k C1 είναι φυσι- κός αριθ ός. 26. Υπάρχει ια «σπαζοκεφαλιά» που συνίσταται από τρεις πασσάλους ε n ο όκεν- τρους κρίκους τοποθετη ένοι ο ένας πάνω στον άλλο κατά φθίνουσα διά ετρο, περασ ένοι έσα σε ένα πάσσαλο (Σχή α 1). Ένας κρίκος επιτρέπεται από την κορυφή της στοίβας να περάσει σε άλλο πάσσαλο υπό τον όρο να ην τοποθετηθεί πάνω σε ικρότερο κρίκο. Για παράδειγ α, αν ο ικρότερος κρίκος ετακινηθεί στον 2ο πάσσαλο και ο α έσως επό ενος στον 3ο, τότε ο ικρότερος κρίκος πο- ρεί να τοποθετηθεί επίσης στον 3ο, πάνω από τον άλλο κρίκο. Αποδείξτε ότι η όλη στοίβα των n κρίκων πορεί να ετακινηθεί στον 3ο πάσσαλο σε 2n 1 κινήσεις και όχι λιγότερες. Σ Χ Η Μ Α 1 27. Το πανεπιστή ιο Β ήταν υπερήφανο για τους 17 όνι ους καθηγητές του στα αθη- ατικά. Η παράδοση επέβαλλε, σε κάθε εβδο αδιαίο ο αδικό γεύ α όπου πιστά έδιναν το παρόν και οι 17, κάθε έλος που είχε βρει λάθος σε κάποια δη οσίευσή του να το ανακοίνωνε και α έσως να παραιτείτο. Τέτοιο πράγ α δεν είχε ποτέ συ - βεί, ια και κανείς καθηγητής δεν είχε υπόψη του τα λάθη στη δουλειά του. Αυτό δεν σή αινε ότι δεν υπήρχαν λάθη. Με το πέρασ α των ετών, στη δουλειά του κάθε έλους του τ ή ατος είχε βρεθεί τουλάχιστον ένα λάθος από άλλους συναδέλφους του. Αυτό το λάθος είχε αναφερθεί σε όλους τους άλλους καθηγητές εκτός από τον α έσως ενδιαφερό ενο, για να ε ποδισθούν τυχόν παραιτήσεις. Μια οιραία χρονιά, το τ ή α ενισχύθηκε ε έναν επισκέπτη καθηγητή από άλλο πανεπιστή ιο, κάποιον κ. Χ, ο οποίος ήλπιζε να ονι οποιηθεί στο τέλος του ακαδη αϊκού έτους. Όπως είναι φυσικό, τα διάφορα έλη του τ ή ατος τον πληροφόρησαν για τα δη οσιευ ένα λάθη που είχαν ανακαλυφθεί. Όταν η ονι ο- ποίηση στην οποία ήλπιζε τελικά δεν πραγ ατοποιήθηκε, ο κ. Χ πήρε την εκδίκησή του στο τελευταίο γεύ α του έτους. «Ευχαριστήθηκα την επίσκεψη ου εδώ πάρα πολύ» είπε, «αλλά υπάρχει κάτι που θέλω να σας πω. Τουλάχιστον ένας από εσάς έχει δη οσιεύσει λάθος αποτέλεσ α το οποίο ερικοί άλλοι στο τ ή α το έχουν ανακαλύψει». Τί συνέβη την επό ενη χρονιά; 28. Αφού βρείτε, ή δείτε, την απάντηση στο Πρόβλη α 27, εξετάστε το εξής: Κάθε έλος του τ ή ατος ήδη γνώριζε αυτό που ισχυρίστηκε ο κ. Χ. Πώς, επο ένως, η δήλωσή του πορεί να άλλαξε κάτι;
- 47.
- 48. Συχνά διατυπώνεται ηάποψη ότι ο Διαφορικός Λογισµός ασχολείται µε µια συνεχή ποσότητα, κι όµως µια ερµηνεία αυτής της συνέχειας δεν δίνεται πουθενά· ακόµα και οι πιο αυστηρές µελέτες πάνω στον Διαφορικό Λογισµό δεν στηρίζουν τις αποδείξεις τους πάνω στη συνέχεια, αλλά, µε µικρότερη ή µεγαλύτερη συνείδηση αυτού του πράγµατος, είτε αναφέρονται σε γεωµετρικές έννοιες ή σε αυτές που υποδεικνύει η γεωµετρία, ή βασίζονται σε θεωρήµατα που ποτέ δεν αποδείχθηκαν µε γνήσια αριθµητικό τρόπο. Ανάµεσα σε αυτά, για παράδειγµα, ανήκει το θεώρηµα που αναφέραµε πιο πάνω, και µια πιο προσεκτική διερεύνηση µε έπεισε ότι αυτό το θεώρηµα, ή οποιοδήποτε ισοδύναµο µε αυτό, µπορεί να θεωρηθεί κατά κάποιον τρόπο σαν µια καλή βάση για την Απειροστική Ανάλυση. Δεν έµενε παρά να ανακαλύψω την αληθινή του καταγωγή στην αριθµητική και ταυτόχρονα να εξασφαλίσω έναν πραγµατικό ορισµό της ουσίας της συνέχειας. Τα κατάφερα στις 24 Νοεµβρίου του 1858, και λίγες µέρες αργότερα ανακοίνωσα τα αποτελέσµατα των συλλογισµών µου στον αγαπητό µου φίλο Dur`ege µε τον οποίο είχα µια µεγάλη και ζωηρή συζήτηση. RICHARD DEDEKIND
- 49. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Χωρίςα φιβολία, η πιο ση αντική έννοια σε ολόκληρα τα αθη ατικά είναι αυτή της συνάρτησης —σε όλους σχεδόν τους κλάδους των σύγχρονων αθη ατικών οι συναρτή- σεις αποδεικνύονται το κεντρικό αντικεί ενο έρευνας. Ίσως λοιπόν να ην εκπλαγείτε αν άθετε ότι η έννοια της συνάρτησης είναι πολύ γενική. Πιθανόν να σας ανακουφίσει η είδηση ότι, προς το παρόν, θα περιοριστού ε σε συναρτήσεις ενός πολύ ειδικού τύπου· ακό α και αυτή η ικρή κλάση συναρτήσεων, παρουσιάζει αρκετά εγάλη ποικιλία για να τραβήξει την προσοχή ας για κά ποσο καιρό. Αρχικά δεν θα δώσου ε καν ούτε έναν αυστηρό ορισ ό. Για την ώρα, ένας προκαταρκτικός ορισ ός θα ας δώσει τη δυνατό- τητα να συζητήσου ε πλατιά τις συναρτήσεις, και θα περιγράψει τη διαισθητική έννοια της συνάρτησης, όπως την αντιλα βάνονται οι αθη ατικοί. Αργότερα, θα ελετήσου ε και θα συζητήσου ε τα πλεονεκτή ατα του σύγχρονου αθη ατικού ορισ ού. Ας αρχί- σου ε λοιπόν ε τον ακόλουθο: ∆ΟΚΙΜΑΣΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Συνάρτηση είναι ένας κανόνας που απεικονίζει, σε καθέναν από κάποιους πραγ ατικούς αριθ ούς, κάποιον άλλον πραγ ατικό αριθ ό. Τα επό ενα παραδείγ ατα συναρτήσεων δίνονται για να εξηγήσουν και να ενισχύσουν αυτόν τον ορισ ό, ο οποίος, ο ολογου ένως, χρειάζεται κάποιες διευκρινίσεις. Παράδειγµα 1 Ο κανόνας που απεικονίζει κάθε αριθ ό στο τετράγωνό του. Παράδειγµα 2 Ο κανόνας που απεικονίζει κάθε αριθ ό y στον αριθ ό y3 C 3y C 5 y2 C 1 : Παράδειγµα 3 Ο κανόνας που απεικονίζει κάθε αριθ ό c ¤ 1; 1 στον αριθ ό c3 C 3c C 5 c2 1 : Παράδειγµα 4 Ο κανόνας που απεικονίζει κάθε αριθ ό x που ικανοποιεί την 17 x =3 στον αριθ ό x2 . Παράδειγµα 5 Ο κανόνας που απεικονίζει κάθε αριθ ό a στον αριθ ό 0 αν ο a είναι άρρητος, και στον αριθ ό 1 αν ο a είναι ρητός. Παράδειγµα 6 Ο κανόνας που απεικονίζει το 2 στον αριθ ό 5, το 17 στον αριθ ό 36 , το 2 17 στον αριθ ό 28, το 36 στον αριθ ό 28, και κάθε y ¤ 2, 17, 2 =17 ή 36=, στον αριθ ό 16 αν ο y είναι της ορφής a C b p 2 ε a, b στο Q. 35
- 50. 36 Θεµέλια Παράδειγµα 7Ο κανόνας που απεικονίζει κάθε αριθ ό t στον αριθ ό t3 Cx. (Αυτός ο κανόνας εξαρτάται βέβαια από την εκλογή του αριθ ού x· στην ουσία δηλαδή περιγρά- φου ε άπειρες το πλήθος διαφορετικές συναρτήσεις, ια για κάθε αριθ ό x.) Παράδειγµα 8 Ο κανόνας που απεικονίζει κάθε αριθ ό ´ στο πλήθος των ψηφίων 7 στο δεκαδικό ανάπτυγ α του ´, αν αυτό είναι πεπερασ ένος αριθ ός, και στο αν υπάρχουν άπειρα ψηφία 7 στο δεκαδικό ανάπτυγ α του ´. Υπάρχει κάτι που θα πρέπει να είναι τελείως καθαρό ετά από αυτά τα παραδείγ ατα: Μια συνάρτηση είναι οποιοσδήποτε κανόνας που απεικονίζει αριθ ούς σε κάποιους άλ- λους αριθ ούς, όχι όνο ένας κανόναςπου πορεί να παρασταθεί ε έναν αλγεβρικό τύπο, ούτε ακό α από ια ο οιό ορφη συνθήκη που να εφαρ όζεται σε όλους τους αριθ ούς· ούτε είναι αναγκαστικά ένας κανόνας που εσείς, ή κάποιος άλλος, πορείτε να εφαρ ό- σετε στην πράξη (κανένας, για παράδειγ α, δεν ξέρει πού απεικονίζει ο κανόνας 8 τον ). Επίσης, πορεί ο κανόνας να παραλείπει κάποιους αριθ ούς και ακό α, να ην είναι σαφές σε ποιους ακριβώς αριθ ούς εφαρ όζεται η συνάρτηση (προσπαθήστε, για παρά- δειγ α, να διαπιστώσετε αν η συνάρτηση του Παραδείγ ατος 6 εφαρ όζεται στον ). Το σύνολο των αριθ ών στους οποίους ορίζεται ια συνάρτηση λέγεται πεδίο ορισµού της συνάρτησης. Πριν πού ε οτιδήποτε άλλο για τις συναρτήσεις, χρειαζό αστε επειγόντως κάποιο συ βολισ ό. ∆εδο ένου ότι σε αυτό το βιβλίο θα ιλά ε συχνά για συναρτήσεις (στην πραγ ατικότητα δεν θα ιλήσου ε και για τίποτε άλλο), χρειαζό αστε έναν κατάλληλο τρόπο για να ονο άζου ε τις συναρτήσεις, και για να αναφερό αστε σε αυτές γενικά. Η συνηθισ ένη πρακτική είναι να συ βολίζου ε ια συνάρτηση ε ένα γρά α. Για προφανείς λόγους, το γρά α «f » (function = συνάρτηση) είναι το επικρατέστερο, καθι- στώντας έτσι και τα «g», «h» προφανείς υποψήφιους, αλλά και κάθε γρά α (καθώς και οποιοδήποτε λογικό σύ βολο) ας κάνει, χωρίς να αποκλείονται και τα «x», «y», αν και αυτά τα γρά ατα συνήθως χρησι οποιούνται για να συ βολίσουν αριθ ούς. Αν f είναι ια συνάρτηση, τότε ο αριθ ός στον οποίο απεικονίζει η f τον αριθ ό x, συ βολίζεται ε f .x/ —αυτό το σύ βολο διαβάζεται «f του x» και συνήθως λέγεται η τι ή της f στο x. Φυσικό είναι, αν συ βολίζου ε ια συνάρτηση ε x, να διαλέξου ε κάποιο άλλο γρά α ως σύ βολο για τον αριθ ό ( ια απόλυτα νό ι η, αν και κάπως ιδιότροπη, επι- λογή θα πορούσε να είναι το «f », δίνοντάς ας το σύ βολο x.f //. Ση ειώνου ε ότι το σύ βολο f .x/ έχει έννοια όνο για x στο πεδίο ορισ ού της f · για τα άλλα x, το σύ βολο f .x/ δεν ορίζεται. Αν συ βολίσου ε τις συναρτήσεις των Παραδειγ άτων 1–8 ε f , g, h, r, s, , ˛x και y, τότε πορού ε να ξαναγράψου ε τους ορισ ούς τους ως εξής: (1) f .x/ D x2 για κάθε x. (2) g.y/ D y3 C 3y C 5 y2 C 1 για κάθε y. (3) h.c/ D c3 C 3c C 5 c2 1 για κάθε c ¤ 1; 1. (4) r.x/ D x2 για κάθε x τέτοιο ώστε 17 x =3. (5) s.x/ D 0; αν x άρρητος 1; αν x ρητός. (6) .x/ D 8 ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ: 5; x D 2 36 ; x D 17 28; x D 2 17 28; x D 36 16; x ¤ 2, 17, 2 17 , ή 36 , και x D a C b p 2 για a, b στο Q.
- 51. 3. Συναρτήσεις 37 (7)˛x.t/ D t3 C x για κάθε αριθ ό t. (8) y.x/ D n; αν ε φανίζονταν ακριβώς n ψηφία 7 στο δεκαδικό ανάπτυγ α του x ; αν ε φανίζονταν άπειρα ψηφία 7 στο δεκαδικό ανάπτυγ α του x. Αυτοί οι ορισ οί υποδεικνύουν τη συνηθισ ένη διαδικασία που ακολουθού ε για να ορίσου ε ια συνάρτηση f — ας λένε ποιο είναι το f .x/ για κάθε αριθ ό x στο πεδίο ορισ ού της f . (Παρατηρήστε ότι είναι ακριβώς το ίδιο ε το να ας πουν ποιο είναι το f .a/ για κάθε αριθ ό a, ή το f .b/ για κάθε αριθ ό b, κτλ.) Στην πράξη, κάποιες συντ ήσεις είναι ανεκτές. Ο ορισ ός (1) θα πορούσε να γραφεί απλώς .1/ f .x/ D x2 ε τη διευκρινιστική φράση «για κάθε x» να εννοείται. Βέβαια, για τον ορισ ό (4) η όνη δυνατή σύντ ηση είναι η .4/ r.x/ D x2 ; 17 x =3: ∆εχό αστε συνήθως ότι ένας ορισ ός σαν τον k.x/ D 1 x C 1 x 1 ; x ¤ 0; 1 γίνεται να περικοπεί στον k.x/ D 1 x C 1 x 1 : Με άλλα λόγια, αν δεν περιορίσουµε το πεδίο ορισµού, θεωρούµε ότι αποτελείται από όλους τους αριθµούς για τους οποίους ο ορισµός έχει έννοια. ∆εν είναι δύσκολο να επαληθεύσετε τους ακόλουθους ισχυρισ ούς για τις συναρτή- σεις που ορίστηκαν πιο πάνω: f .x C 1/ D f .x/ C 2x C 1· g.x/ D h.x/ αν x3 C 3x C 5 D 0· r.x C 1/ D r.x/ C 2x C 1 αν 17 x 3 1· s.x C y/ D s.x/ αν y ρητός· 2 17 D 36 · ˛x.x/ D x Œf .x/ C 1· y 1 3 D 0; y 7 9 D : Αν η παράσταση f .s.a// σας φαίνεται παράλογη, τότε ξεχνάτε ότι ο s.a/ είναι ένας αριθ ός σαν όλους τους άλλους, άρα το f .s.a// έχει έννοια. Και άλιστα, f .s.a// D s.a/ για κάθε a. Γιατί; Είναι εύκολο, ετά από ια πρώτη ατιά, να διευκρινίσου ε και άλλες, ακό α πιο πολύπλοκες παραστάσεις από την f .s.a//. Η παράσταση f .r.s..˛3.y.1 3 //////; όσο και να οιάζει τρο ερή, υπολογίζεται πολύ εύκολα ε λίγη υπο ονή: f .r.s..˛3.y.1 3 ////// D f .r.s..˛3.0///// D f .r.s..3//// D f .r.s.16/// D f .r.1// D f .1/ D 1:
- 52. 38 Θεµέλια Τα πρώταπροβλή ατα στο τέλος αυτού του κεφαλαίου σάς προσφέρουν και άλλη εξά- σκηση πάνω σε αυτόν τον συ βολισ ό. Η συνάρτηση που ορίζεται στην (1) είναι ένα άλλον ειδικό παράδειγ α ιας πολύ σπουδαίας κλάσης συναρτήσεων, των πολυωνυ ικών συναρτήσεων. Μια συνάρτηση f λέγεται πολυωνυ ική συνάρτηση αν υπάρχουν πραγ ατικοί αριθ οί a0, ..., an τέτοιοι ώστε f .x/ D anxn C an 1xn 1 C C a2x2 C a1x C a0; για κάθε x (όταν η f .x/ γράφεται σε αυτήν τη ορφή, συνήθως υποθέτου ε σιωπηρά ότι an ¤ 0). Η έγιστη δύνα η του x ε η ηδενικό συντελεστή λέγεται ο βαθ ός της f · για παράδειγ α, η πολυωνυ ική συνάρτηση f ε f .x/ D 5x6 C 137x4 έχει βαθ ό 6. Οι συναρτήσεις που ορίζονται στις (2) και (3) ανήκουν σε ια κάπως εγαλύτερη κλάση συναρτήσεων, τις ρητές συναρτήσεις· αυτές είναι οι συναρτήσεις της ορφής p=q όπου οι p και q είναι πολυωνυ ικές συναρτήσεις (και η q δεν παίρνει παντού την τι ή 0). Οι ρητές συναρτήσεις, ε τη σειρά τους, είναι άλλον ειδικά παραδείγ ατα από ια ακό α εγαλύτερη κλάση συναρτήσεων, που είναι απλούστερες από αρκετές από τις συναρτήσεις που αναφέρθηκαν στην αρχή του κεφαλαίου και ελετώνται σε βάθος στον Απειροστικό Λογισ ό. Τα ακόλουθα, είναι παραδείγ ατα συναρτήσεων αυτού του είδους: (9) f .x/ D x C x2 C x sin2 x x sin x C x sin2 x (10) f .x/ D sin.x2 /. (11) f .x/ D sin.sin.x2 //. (12) f .x/ D sin2 .sin.sin2 .x sin2 x2 /// sin x C sin.x sin x/ x C sin x . Με ποιο κριτήριο, θα αναρωτηθείτε ίσως, πορού ε να θεωρήσου ε απλές τέτοιες συναρ- τήσεις, ειδικά κάτι τερατουργή ατα σαν την (12); Η απάντηση είναι ότι πορού ε να τις κατασκευάσου ε από ερικές απλές συναρτήσεις χρησι οποιώντας ορισ ένους απλούς τρόπους για να τις συνδυάζου ε. Για να κατασκευάσου ετις συναρτήσεις (9)–(12)χρεια- ζό αστε αρχικά την «ταυτοτική συνάρτηση» I, για την οποία I.x/ D x, και τη «συνάρ- τηση η ιτόνου» sin, που η τι ή της sin.x/ στο x συχνά γράφεται πιο απλά sin x. Μερι- κοί από τους πιο ση αντικούς τρόπους ε τους οποίους συνδυάζου ε συναρτήσεις για να παράγου ε νέες συναρτήσεις είναι οι εξής: Αν f και g είναι δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις, πορού ε να ορίσου ε ια καινούρ- για συνάρτηση f C g, που λέγεται το άθροισ α των f και g, ε την ισότητα .f C g/.x/ D f .x/ C g.x/: Ση ειώστε ότι σύ φωνα ε τις συ βάσεις που έχου ε υιοθετήσει, το πεδίο ορισ ού της f C g αποτελείται από όλα τα x για τα οποία το «f .x/ C g.x/» έχει έννοια, δηλαδή, το σύνολο των x που ανήκουν και στο πεδίο ορισ ού της f και το πεδίο ορισ ού της g. Αν A και B είναι τυχαία σύνολα, τότε ε A B (διαβάζεται «A το ή B» ή «η το ή των A και B») συ βολίζου ε το σύνολο των x που ανήκουν και στο A και στο B· αυτός ο συ βολισ ός άς επιτρέπει να γράψου ε πεδίο ορισ ού.f C g/ D πεδίο ορισ ού f πεδίο ορισ ού g. Στο ίδιο πνεύ α, ορίζου ε το γινό ενο f g και το πηλίκο f g (ή f=g) των f και g ε .f g/.x/ D f .x/ g.x/ και f g .x/ D f .x/ g.x/ : Ακό α, αν g είναι ια συνάρτηση και c ένας αριθ ός, ορίζου ε ια καινούργια συνάρ- τηση c g ε .c g/.x/ D c g.x/:
- 53. 3. Συναρτήσεις 39 Αυτήείναι ια ειδική περίπτωση του συ βολισ ού f g, αν συ φωνήσου ε ότι το σύ - βολο c παριστάνει και τη συνάρτηση f ε f .x/ D c· ια τέτοια συνάρτηση, που παίρνει την ίδια τι ή για όλους τους αριθ ούς x, λέγεται σταθερή συνάρτηση. Το πεδίο ορισ ού της f g είναι το πεδίο ορισ ού f πεδίο ορισ ού g, και το πεδίο ορισ ού της c g είναι απλώς το πεδίο ορισ ού της g. Από την άλλη πλευρά, το πεδίο ορισ ού της f=g είναι άλλον πολύπλοκο — πορεί να γραφεί πεδίο ορισ ού f πεδίο ορισ ού g fx W g.x/ ¤ 0g, όπου το σύ βολο fx W g.x/ ¤ 0g συ βολίζει το σύ- νολο των αριθ ών x για τους οποίους g.x/ ¤ 0. Γενικά, το fx W : : : g συ βολίζει το σύνολο όλων των x για τους οποίους ισχύει η «...». Έτσι ε fx W x3 C 3 11g συ βολί- ζου ε το σύνολο όλων των αριθ ών x ε x3 8, οπότε fx W x3 C3 11g D fx W x 2g. Καθένα από αυτά τα σύ βολα θα πορούσε κάλλιστα να γραφεί ε χρήση του y παντού στη θέση του x. Συνηθίζονται διάφορες παραλλαγές αυτού του συ βολισ ού, που δεν απαιτούν ιδιαίτερη συζήτηση. Καθένας πορεί να αντέψει ότι το fx 0 W x3 8g συ βολίζει το σύνολο των θετικών αριθ ών που ο κύβος τους είναι ικρότερος από 8· θα πορούσα ε, πιο τυπικά, να το εκφράσου ε ως fx W x 0 και x3 8g. Παρε πι- πτόντως, αυτό το σύνολο είναι το ίδιο ε το σύνολο fx W 0 x 2g. Υπάρχει άλλη ια παραλλαγή, λιγότερο διαυγής αλλά πολύ κοινή. Το σύνολο f1; 3; 2; 4g, για παρά- δειγ α, περιέχει ακριβώς τους τέσσερις αριθ ούς 1, 2, 3 και 4· συ βολίζεται επίσης ε fx W x D 1 ή x D 3 ή x D 2 ή x D 4g. Μερικά πράγ ατα για το άθροισ α, το γινό ενο, και το πηλίκο συναρτήσεων είναι προφανείς συνέπειες αντίστοιχων ιδιοτήτων του αθροίσ ατος, του γινο ένου και του πηλίκου αριθ ών. Για παράδειγ α, είναι πολύ εύκολο να αποδειχθεί ότι .f C g/ C h D f C .g C h/: Η απόδειξη είναι χαρακτηριστική για όλες σχεδόν τις αποδείξεις ισότητας εταξύ δύο συναρτήσεων —πρέπει να δείξου ε ότι οι δύο συναρτήσεις έχουν το ίδιο πεδίο ορισ ού, και την ίδια τι ή για κάθε αριθ ό στο πεδίο ορισ ού. Για παράδειγ α, για να δείξου ε ότι .f C g/ C h D f C .g C h/, παρατηρού ε ότι, αν εφαρ όσου ε τον ορισ ό και στα δύο έλη, παίρνου ε Œ.f C g/ C h.x/ D .f C g/.x/ C h.x/ D Œf .x/ C g.x/ C h.x/ και Œf C .g C h/.x/ D f .x/ C .g C h/.x/ D f .x/ C Œg.x/ C h.x/; και η ισότητα των Œf .x/ C g.x/ C h.x/ και f .x/ C Œg.x/ C h.x/ είναι ια ιδιότητα των αριθ ών. Σε αυτήν την απόδειξη η ισότητα των δύο πεδίων ορισ ού δεν αναφέρ- θηκε ρητά γιατί είναι προφανής, από τη στιγ ή που θα αρχίσου ε να γράφου ε αυτές τις εξισώσεις· το πεδίο ορισ ού της .f C g/ C h καθώς και της f C .g C h/ είναι προφα- νώς το πεδίο ορισ ού f πεδίο ορισ ού g πεδίο ορισ ού h. Γράφου ε, φυσιολογικά, f C g C h για την .f C g/ C h D f C .g C h/, ακριβώς όπως κάνα ε και για τους αριθ ούς. Είναι το ίδιο εύκολο να αποδείξου ε ότι .f g/h D f .gh/, και αυτή η συνάρτηση συ βολίζεται ε f g h. Οι ισότητες f C g D g C f και f g D g f , ε τη σειρά τους, δεν παρουσιάζουν κα ία δυσκολία. Χρησι οποιώντας τις πράξεις +, , / πορού ε τώρα να εκφράσου ε τη συνάρτηση f που ορίστηκε στην (9) σαν f D I C I I C I sin sin I sin CI sin sin : Είναι ό ως σαφές ότι δεν πορού ε να εκφράσου ε τη συνάρτηση (10) ε αυτόν τον τρόπο. Χρειαζό αστε λοιπόν έναν άλλο τρόπο για να συνδυάζου ε συναρτήσεις. Αυτός ο συνδυασ ός, η σύνθεση δύο συναρτήσεων, είναι τελικά ο πιο σπουδαίος.
- 54. 40 Θεµέλια Αν fκαι g είναι τυχαίες συναρτήσεις, ορίζου ε ια νέα συνάρτηση f Bg, τη σύνθεση των f και g, ε .f B g/.x/ D f .g.x//· το πεδίο ορισ ού της f B g είναι το fx W x στο πεδίο ορισ ού της g και g.x/ στο πεδίο ορισ ού της f g: Το σύ βολο «f B g» συχνά διαβάζεται «f κύκλος g».. Αν συγκριθεί ε τη φράση «η σύνθεση των f και g» έχει το πλεονέκτη α της συντο ίας, ασφαλώς, υπάρχει ό ως και άλλο ένα πλεονέκτη α πολύ εγαλύτερης ση ασίας: υπάρχει πολύ ικρότερος κίνδυνος σύγχυσης της f Bg ε την gBf , και αυτές οι δύο δεν πρέπει να συγχέονται, γιατί συνήθως δεν είναι ίσες· πράγ ατι, οποιοδήποτε σχεδόν ζεύγος f και g και αν διαλέξετε στην τύχη, θα σας επιβεβαιώσει αυτό που λέ ε (δοκι άστε, ας πού ε, f D II και g D sin). Προτού να αρχίσετε να παίρνετε από φόβο την πράξη της σύνθεσης, σπεύδου ε να δηλώσου ε ότι η σύνθεση είναι προσεταιριστική: .f B g/ B h D f B .g B h/ (και η απόδειξη είναι τετρι ένη)· αυτή η συνάρτηση συ βολίζεται ε f B g B h. Μπο- ρού ε τώρα να γράψου ε τις συναρτήσεις (10), (11), (12) στη ορφή (10) f D sin B .I I/, (11) f D sin B sin B .I I/, (12) f D .sin sin/ B sin B .sin sin/ B .I Œ.sin sin/ B .I I// sin B I C sin B .I sin/ I C sin . Υπάρχει ένα πράγ α που ίσως έχει ήδη γίνει σαφές. Αν και αυτή η έθοδος γραφής των συναρτήσεων αποκαλύπτει τη «δο ή» τους πολύ καθαρά, δεν είναι ούτε σύντο η ούτε εύχρηστη. Το ικρότερο όνο α για τη συνάρτηση f ε f .x/ D sin.x2 / για κάθε x, φαίνεται δυστυχώς ότι είναι «η συνάρτηση f ε f .x/ D sin.x2 / για κάθε x». Η ανάγκη σύντ ησης αυτού του αδέξιου ορισ ού ήταν φανερή εδώ και διακόσια χρόνια, αλλά κα ία λογική σύντ ηση δεν απέσπασε τη γενική αποδοχή. Προς το παρόν, ο ισχυρότερος υπο- ψήφιος για αυτήν την τι ή είναι κάτι σαν x ! sin.x2 / (διαβάζεται «το x πάει στο sin.x2 /» ή απλώς «x βέλος sin.x2 /»), αλλά δεν είναι καθόλου δη οφιλής ανά εσα στους συγγραφείς διδακτικών βιβλίων Απειροστικού Λογισ ού. Σε αυτό το βιβλίο θα ανεχτού ε έναν βαθ ό ασάφειας, και θα ιλά ε για «τη συνάρτηση f .x/ D sin.x2 /». Ακό α πιο δη οφιλής είναι η σύντ ηση «η συνάρτηση sin.x2 /». Στο όνο α της ακρίβειας δεν θα χρησι οποιήσου ε ποτέ αυτήν την περιγραφή, που, για να ακριβολογήσου ε, συγχέει έναν αριθ ό ε ια συνάρτηση, αλλά είναι τόσο βολική που εσείς πιθανόν να την υιοθετήσετε για προσωπική χρήση. Όπως και σε κάθε σύ βαση, η χρησι ότητα είναι πάντα το κίνητρο, και αυτό το κριτήριο είναι εύλογο όσο τα διάφορα ικρά λογικά ειονεκτή ατα δεν προκαλούν σύγχυση. Περιστασιακά, θα δη ιουργηθεί σύγχυση, εκτός αν χρησι οποιήσου ε ια πιο ακριβή περιγραφή. Για παράδειγ α, «η συνάρτηση x C t3 » είναι διφορού ενη φράση· θα πορούσε να ση αίνει είτε x ! x C t3 , δηλαδή, τη συνάρτηση f ε f .x/ D x C t3 για κάθε x ή t ! x C t3 , δηλαδή, τη συνάρτηση f ε f .t/ D x C t3 για κάθε t. Όπως ό ως θα δού ε, για πολλές ση αντικές έννοιες που σχετίζονται ε συναρτήσεις, ο Απειροστικός Λογισ ός έχει ένα συ βολισ ό που ε περιέχει το «x !». Ως τώρα έχου ε κάνει ια αρκετά εκτετα ένη εξερεύνηση των συναρτήσεων για να οδηγηθού ε στην αναθεώρηση του ορισ ού ας. Ορίσα ε τη συνάρτηση ως έναν
- 55. 3. Συναρτήσεις 41 «κανόνα»,αλλά δεν είναι καθόλου φανερό τι εννοού ε. Αν ρωτήσου ε «τι συ βαίνει αν παραβού ε αυτόν τον κανόνα;» δεν είναι καθόλου εύκολο να πού ε αν αυτή η ερώτηση είναι απλώς αστεία ή αν έχει πραγ ατικά κάποιο βάθος. Μια πιο ουσιώδης αντίρρηση στη χρήση της λέξης «κανόνας» είναι ότι οι f .x/ D x2 και f .x/ D x2 C 3x C 3 3.x C 1/ είναι ασφαλώς διαφορετικοί κανόνες, αν ε έναν κανόνα εννοού ε τις οδηγίες που δίνον- ται για τον προσδιορισ ό του f .x/· παρ’ όλα αυτά, θέλου ε οι f .x/ D x2 και f .x/ D x2 C 3x C 3 3.x C 1/ να ορίζουν την ίδια συνάρτηση. Για αυτόν το λόγο, ια συνάρτηση ορίζεται ερικές φορές ως «σχέση» ανά εσα σε αριθ ούς· δυστυχώς η λέξη «σχέση» γλιτώνει από τις αντιρρή- σεις που διατυπώθηκαν εναντίον του «κανόνα», όνο επειδή είναι ακό α πιο αόριστη. Υπάρχει βέβαια ένας ικανοποιητικός τρόπος για να ορίσου ε τις συναρτήσεις, αλλιώς δεν θα παίνα ε ποτέ στον κόπο να κριτικάρου ε τον αρχικό ας ορισ ό. Αλλά ένας ικανοποιητικός ορισ ός δεν γίνεται ποτέ να κατασκευαστεί ε το να βρίσκου ε συνώνυ α για λέξεις που είναι ασαφείς. Ο ορισ ός τον οποίο δέχθηκαν τελικά οι αθη ατικοί για τη «συνάρτηση» είναι ένα ό ορφο παράδειγ α του τρόπου ε τον οποίο οι διαισθητικές ιδέες εξελίχθηκαν σε αυστηρά αθη ατικά. Η σωστή ερώτηση που θα έπρεπε να κάνει κάποιος για ια συνάρτηση δεν είναι «Τί είναι κανόνας;» ή «Τί είναι σχέση;» αλλά «Τί πρέπει να ξέρω για ια συνάρτηση αν θέλω να ξέρω τα πάντα για αυτή;». Η απάντηση σε αυτήν την τελευταία ερώτηση είναι εύκολη —για κάθε αριθ ό x πρέπει κανείς να ξέρει τον αριθ ό f .x/· πορού ε να φανταστού ε έναν πίνακα όπου να αναγράφονται όλες οι πληροφορίες που θα ήθελε κανείς να έχει για τη συνάρτηση f .x/ D x2 : x f .x/ 1 1 1 1 2 4 2 4 p 2 2 p 2 2 2 2 ∆εν είναι καν ανάγκη να διατάξου ε τους αριθ ούς σε έναν πίνακα (το οποίο πρακτικά θα ήταν αδύνατο αν θέλα ε να τους αναφέρου ε όλους). Αντί για έναν πίνακα ε δύο στήλες πορού ε να θεωρήσου ε ζεύγη αριθ ών .1; 1/; . 1; 1/; .2; 4/; . 2; 4/; .; 2 /; . p 2; 2/; : : : που όλα αζί απλώς αποτελούν ένα σύνολο.* Για να βρού ε το f .1/ παίρνου ε τον δεύτερο αριθ ό από το ζεύγος που ως πρώτο στοιχείο έχει τον 1· για να βρού ε το f ./ *Τα ζεύγη που ε φανίζονται εδώ συχνά λέγονται «διατεταγ ένα ζεύγη», για να τονιστεί ότι, για παράδειγ α, το .2; 4/ δεν είναι το ίδιο ζεύγος ε το .4; 2/. Προειδοποιού ε εδώ ότι πρόκειται να ορίσου ε τη συνάρτηση ε τη βοήθεια των διατεταγ ένων ζευγών, έννοια που επίσης δεν έχει οριστεί. Τα διατεταγ ένα ζεύγη µπορούν ό ως να οριστούν και αυτό γίνεται σε ένα παράρτη α στο τέλος του κεφαλαίου, για τους δύσπιστους.
- 56. 42 Θεµέλια παίρνου ετον δεύτερο αριθ ό από το ζεύγος που ως πρώτο στοιχείο έχει τον . Είναι σαν να λέ ε ότι ια συνάρτηση θα πορούσε να οριστεί ως ένα σύνολο από ζεύγη αριθ ών. Για παράδειγ α, αν ας έδιναν το εξής σύνολο (που περιέχει ακριβώς 5 ζεύγη): f D f .1; 7/; .3; 7/; .5; 3/; .4; 8/; .8; 4/g; τότε f .1/ D 7, f .3/ D 7, f .5/ D 3, f .4/ D 8, f .8/ D 4 και οι 1, 3, 4, 5, 8 είναι οι όνοι αριθ οί στο πεδίο ορισ ού της f . Αν εξετάσου ε το σύνολο f D f .1; 7/; .3; 7/; .2; 5/; .1; 8/; .8; 4/ g; τότε f .3/ D 7, f .2/ D 5, f .8/ D 4· αλλά είναι αδύνατο να αποφασίσου ε αν f .1/ D 7 ή f .1/ D 8. Με άλλα λόγια, ια συνάρτηση δεν πορεί να οριστεί ως ένα τυχαίο σύνολο από ζεύγη αριθ ών· πρέπει να αποκλείσου ε την εκδοχή που ε φανίστηκε σε αυτήν την περίπτωση. Οδηγού αστε έτσι στον εξής ορισ ό. ΟΡΙΣΜΟΣ Συνάρτηση είναι ένα σύνολο από ζεύγη αριθ ών ε την εξής ιδιότητα: αν τα .a; b/ και .a; c/ είναι και τα δύο στο σύνολο, τότε b D c· ε άλλα λόγια το σύνολο δεν πρέπει να περιέχει δύο διαφορετικά ζεύγη ε το ίδιο πρώτο στοιχείο. Αυτός είναι ο πρώτος ας πλήρης ορισ ός, και παρουσιάζει το σχή α που θα ακο- λουθού ε πάντα για να ορίσου ε σπουδαίες νέες έννοιες. Αυτοί οι ορισ οί είναι τόσο ση αντικοί (τουλάχιστον όσο τα θεωρή ατα) ώστε είναι ουσιώδες να ξέρου ε πότε τους έχου ε ολοκληρω ένους στη διάθεσή ας και να τους διακρίνου ε από τα σχόλια, τις επεξηγη ατικές παρατηρήσεις και τις περιστασιακές ερ ηνείες. Για αυτό θα προηγεί- ται η λέξη ΟΡΙΣΜΟΣ, η έννοια που ορίζεται θα γράφεται ε παχύτερα γρά ατα, και ο ορισ ός θα αποτελεί από όνος του ξεχωριστή παράγραφο. Υπάρχει ένας ακό α ορισ ός (που στην ουσία ορίζει δύο πράγ ατα ταυτόχρονα) που πορού ε τώρα να δώσου ε αυστηρά. ΟΡΙΣΜΟΣ Αν f είναι ια συνάρτηση, το πεδίο ορισ ού της f είναι το σύνολο όλων των a για τα οποία υπάρχει κάποιο b τέτοιο ώστε το .a; b/ να ανήκει στην f . Αν το a είναι στο πεδίο ορισ ού της f , έπεται από τον ορισ ό της συνάρτησης ότι υπάρχει, πράγ ατι, ένας µοναδικός αριθ ός b τέτοιος ώστε το .a; b/ να ανήκει στην f . Αυτό το οναδικό b συ βολίζεται ε f.a/. Με αυτόν τον ορισ ό φτάσα ε στον σκοπό ας: το ση αντικό στοιχείο σε ια συνάρ- τηση f είναι ότι για κάθε αριθ ό x στο πεδίο ορισ ού της ορίζεται ένας αριθ ός f .x/. Μπορεί να αισθάνεστε ότι φτάσα ε στο ση είο όπου ια διαισθητική έννοια αντικατα- στάθηκε από ια αφαίρεση καθόλου χειροπιαστή. Μπορού ε να σας προσφέρου ε δύο λόγια παρηγοριάς. Πρώτον, αν και οι συναρτήσεις ορίστηκαν ως σύνολα ζευγών, δεν σας ε ποδίζει τίποτα να σκέφτεστε τη συνάρτηση ως έναν κανόνα. Έπειτα, ούτε ο διαισθητικός ούτε ο τυπικός ορισ ός δίνει τον ιδανικό τρόπο για να αντι ετωπίζου ε τις συναρτήσεις. Ο καλύτερος τρόπος είναι να σχεδιάζου ε σχή ατα· αλλά για αυτό ας χρειάζεται ένα ολόκληρο κεφάλαιο. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Θέτου ε f .x/ D 1=.1 C x/. Βρείτε τα: (i) f .f .x// (Για ποια x έχει έννοια αυτό;). (ii) f 1 x .
- 57. 3. Συναρτήσεις 43 (iii)f .cx/. (iv) f .x C y/. (v) f .x/ C f .y/. (vi) Για ποιους αριθ ούς c υπάρχει ένας αριθ ός x τέτοιος ώστε f .cx/ D f .x/; Υπόδειξη: Υπάρχουν πολύ περισσότεροι από όσους θα φαντάζεστε ε την πρώτη ατιά. (vii) Για ποιους αριθ ούς c αληθεύει ότι f .cx/ D f .x/ για δύο διαφορετικούς αριθ ούς x; 2. Θέτου ε g.x/ D x2 , και h.x/ D 0; αν x ρητός 1; αν x άρρητος. (i) Για ποια y είναι h.y/ y; (ii) Για ποια y είναι h.y/ g.y/; (iii) Ποιο είναι το g.h.´// h.´/; (iv) Για ποια w είναι g.w/ w; (v) Για ποια είναι g.g.// D g./; 3. Βρείτε το πεδίο ορισ ού των συναρτήσεων που ορίζονται ε τους εξής τύπους: (i) f .x/ D p 1 x2. (ii) f .x/ D q 1 p 1 x2: (iii) f .x/ D 1 x 1 C 1 x 2 : (iv) f .x/ D p 1 x2 C p x2 1: (v) f .x/ D p 1 x C p x 2: 4. Θέτου ε S.x/ D x2 , P.x/ D 2x , και s.x/ D sin x. Βρείτε τα ακόλουθα. Σε κάθε περίπτωση η απάντησή σας θα πρέπει να είναι ένας αριθµός. (i) .S B P /.y/. (ii) .S B s/.y/. (iii) .S B P B s/.t/ C .s B P /.t/. (iv) s.t3 /. 5. Εκφράστε καθε ιά από τις συναρτήσεις που ακολουθούν έσω των S, P , s, χρη- σι οποιώντας όνο τα C, και B (για παράδειγ α, η απάντηση στο (i) είναι P B s). Σε κάθε περίπτωση η απάντησή σας θα πρέπει να είναι ια συνάρτηση. (i) f .x/ D 2sin x . (ii) f .x/ D sin 2x . (iii) f .x/ D sin x2 . (iv) f .x/ D sin2 x (θυ ηθείτε ότι το sin2 x είναι ια σύντ ηση του .sin x/2 /. (v) f .t/ D 22t . (Ση είωση: το abc πάντα ση αίνει a.bc/ · αυτή η σύ βαση υιο- θετείται γιατί το .ab /c γράφεται πιο απλά ως abc .) (vi) f .u/ D sin.2u C 2u2 /. (vii) f .y/ D sin sin sin 222sin y .
- 58. 44 Θεµέλια (viii) f.a/ D 2sin2 a C sin.a2 / C 2sin.a2Csin a/ : Οι πολυωνυ ικές συναρτήσεις, επειδή είναι πολύ απλές, επο ένως εύχρηστες, παίζουν έναν προνο ιακό ρόλο στις περισσότερες ελέτες των συναρτήσεων. Τα επό ενα δύο προβλή ατα υπογρα ίζουν την ευελιξία τους, και σας καθοδηγούν για να αποδείξετε τις πιο ση αντικές στοιχειώδεις ιδιότητές τους. 6. (α) Αν x1, ..., xn είναι διαφορετικοί αριθ οί, βρείτε ια πολυωνυ ική συνάρτηση fi βαθ ού n 1 που να είναι 1 στο xi και 0 στο xj για j ¤ i. Υπόδειξη: Το γινό ενο όλων των .x xj / για j ¤ i, είναι 0 στο xj αν j ¤ i. (Αυτό το γινό ενο συνήθως συ βολίζεται ε nY jD1 j¤i .x xj /; όπου το σύ βολο … παίζει τον ίδιο ρόλο για τα γινό ενα ε αυτόν που παίζει το † για τα αθροίσ ατα.) (β) Βρείτε τώρα ια πολυωνυ ική συνάρτηση f βαθ ού n 1 τέτοια ώστε f .xi / D ai όπου a1, ..., an είναι δοθέντες αριθ οί. (Θα πρέπει να χρη- σι οποιήσετε τις συναρτήσεις fi από το έρος (α). Ο τύπος που θα πάρετε λέγεται «τύπος παρε βολής του Lagrange».) 7. (α) Αποδείξτε ότι για κάθε πολυωνυ ική συνάρτηση f , και κάθε αριθ ό a, υπάρ- χουν ια πολυωνυ ική συνάρτηση g, και ένας αριθ ός b, έτσι ώστε f .x/ D .x a/g.x/ C b για κάθε x. (Η ιδέα είναι να διαιρέσετε το f .x/ ε .x a/, έχρι να είνει ως υπόλοιπο ια σταθερά. Για παράδειγ α, ο υπολογισ ός x3 3x C1 x 1 x3 x2 x2 Cx 2 x2 3x x2 x 2x C1 2x C2 1 δείχνει ότι x3 3x C 1 D .x 1/.x2 C x 2/ 1. Μια αυστηρή απόδειξη γίνεται ε επαγωγή στο βαθ ό της f .) (β) Αποδείξτε ότι αν f .a/ D 0, τότε f .x/ D .x a/g.x/ για κάποια πολυωνυ- ική συνάρτηση g. (Το αντίστροφο είναι προφανές.) (γ) Αποδείξτε ότι αν η f είναι πολυωνυ ική συνάρτηση βαθ ού n, τότε η f έχει το πολύ n ρίζες, δηλαδή υπάρχουν το πολύ n αριθ οί a ε f .a/ D 0. (δ) ∆είξτε ότι για κάθε n υπάρχει πολυωνυ ική συνάρτηση βαθ ού n ε n ρίζες. Αν ο n είναι άρτιος βρείτε ία πολυωνυ ική συνάρτηση βαθ ού n που να ην έχει ρίζες, και αν ο n είναι περιττός βρείτε ία που να έχει όνο ία ρίζα. 8. Για ποιους αριθ ούς a, b, c και d η συνάρτηση f .x/ D ax C b cx C d ικανοποιεί την f .f .x// D x για όλα τα x (για τα οποία η εξίσωση έχει νόη α);
- 59. 3. Συναρτήσεις 45 9.(α) Αν A είναι ένα σύνολο πραγ ατικών αριθ ών, ορίζου ε ια συνάρτηση CA ως εξής: CA.x/ D 1; x στο A 0; x όχι στο A: Βρείτε εκφράσεις για τις CAB, CA[B και CR A, συναρτήσει των CA και CB. (Το σύ βολο AB ορίστηκε σε αυτό το κεφάλαιο, αλλά τα άλλα δύο πορεί να σας είναι άγνωστα. Μπορού ε να τα ορίσου ε ως εξής: A [ B D fx W το x ανήκει στο A ή το x ανήκει στο Bg; R A D fx W το x ανήκει στο R αλλά όχι στο Ag:/ (β) Έστω ότι f είναι συνάρτηση τέτοια ώστε f .x/ D 0 ή 1 για κάθε x. Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα σύνολο A τέτοιο ώστε f D CA. (γ) ∆είξτε ότι f D f 2 αν και όνο αν f D CA για κάποιο σύνολο A. 10. (α) Για ποιες συναρτήσεις f υπάρχει συνάρτηση g τέτοια ώστε f D g2 ; Υπό- δειξη: Μπορείτε βέβαια να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση αν αντικατα- στήσου ε το «συνάρτηση» ε το «αριθ ός». (β) Για ποιες συναρτήσεις f υπάρχει συνάρτηση g τέτοια ώστε f D 1=g; (γ) Για ποιες συναρτήσεις b και c πορού ε να βρού ε συνάρτηση x τέτοια ώστε .x.t//2 C b.t/x.t/ C c.t/ D 0 για κάθε αριθ ό t ; (δ) Ποιες συνθήκες πρέπει να ικανοποιούν οι συναρτήσεις a και b ώστε να υπάρ- χει συνάρτηση x τέτοια ώστε a.t/x.t/ C b.t/ D 0 για όλους τους αριθ ούς t; Πόσες τέτοιες συναρτήσεις x θα υπάρχουν; 11. (α) Έστω ότι H είναι συνάρτηση και y είναι ένας αριθ ός τέτοιος ώστε H.H.y// D y. Βρείτε το H.H.H. .H.y/ / „ ƒ‚ … 80 φορές : (β) Το ίδιο ερώτη α αν αντικαταστήσου ε το 80 ε το 81. (γ) Το ίδιο ερώτη α αν H.H.y// D H.y/. (δ) Βρείτε συνάρτηση H τέτοια ώστε H.H.x// D H.x/ για κάθε αριθ ό x, και H.1/ D 36, H.2/ D =3, H.13/ D 47, H.36/ D 36, H.=3/ D =3, H.47/ D 47. (Μην προσπαθήσετε να «λύσετε» ως προς H.x/· υπάρχουν πολλές συναρτήσεις H ε H.H.x// D H.x/. Οι πρόσθετες συνθήκες για την H υποτίθεται ότι σας υποδεικνύουν τον τρόπο για να βρείτε κατάλληλη H.) (ε) Βρείτε ια συνάρτηση H τέτοια ώστε H.H.x// D H.x/ για κάθε x, και H.1/ D 7, H.17/ D 18. 12. Μια συνάρτηση f λέγεται άρτια αν f .x/ D f . x/, και περιττή αν f .x/ D f . x/. Για παράδειγ α, η f είναι άρτια αν f .x/ D x2 ή f .x/ D jxj ή f .x/ D cos x, ενώ η f είναι περιττή αν f .x/ D x ή f .x/ D sin x. (α) Εξετάστε αν η f C g είναι άρτια, περιττή, ή τίποτα από τα δύο αναγκαστι- κά, στις τέσσερις περιπτώσεις που παίρνου ε αν διαλέξου ε την f άρτια ή περιττή, και τη g άρτια ή περιττή. (Μπορείτε για ευκολία να εκθέσετε τις απαντήσεις σας σε έναν 2 2 πίνακα.)
- 60. 46 Θεµέλια (β) Κάντετο ίδιο για την f g. (γ) Κάντε το ίδιο για την f B g. (δ) Αποδείξτε ότι κάθε άρτια συνάρτηση f γράφεται f .x/ D g.jxj/, για άπειρες το πλήθος συναρτήσεις g. 13. (α) Αποδείξτε ότι κάθε συνάρτηση f ε πεδίο ορισ ού το R γράφεται f D E C O, όπου η E είναι άρτια και η O περιττή. (β) Αποδείξτε ότι αυτός ο τρόπος γραφής της f είναι οναδικός. (Αν προσπαθή- σετε να κάνετε το έρος (β) πρώτα, «λύνοντας» ως προς E και O, θα βρείτε πιθανότατα και τη λύση του (α).) 14. Αν f είναι οποιαδήποτε συνάρτηση, ορίζου ε ια καινούργια συνάρτηση jf j ε jf j.x/ D jf .x/j. Αν f και g είναι συναρτήσεις, ορίζου ε δυο καινούργιες συναρ- τήσεις, max.f; g/ και min.f; g/, ε max.f; g/.x/ D max.f .x/; g.x//; min.f; g/.x/ D min.f .x/; g.x//: Βρείτε ια έκφραση των max.f; g/ και min.f; g/ ε τη βοήθεια της j j. 15. (α) ∆είξτε ότι f D max.f; 0/Cmin.f; 0/. Αυτός ο ειδικός τρόπος γραφής της f είναι εξαιρετικά χρήσι ος· οι συναρτήσεις max.f; 0/ και min.f; 0/ λέγονται το θετικό και το αρνητικό έρος της f . (β) Μια συνάρτηση f λέγεται η αρνητική αν f .x/ 0 για κάθε x. Αποδείξτε ότι κάθε συνάρτηση f γράφεται f D g h, όπου η g και η h είναι η αρνη- τικές, ε άπειρους τρόπους. (Ο «συνηθισ ένος τρόπος» είναι g D max.f; 0/ και h D min.f; 0/.) Υπόδειξη: Κάθε αριθµός σίγουρα γράφεται ως διαφο- ρά δύο η αρνητικών αριθµών ε άπειρους τρόπους. 16. Έστω ότι η f ικανοποιεί την f .x C y/ D f .x/ C f .y/ για κάθε x και y. (α) Αποδείξτε ότι f .x1 C C xn/ D f .x1/ C C f .xn/. (β) Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας αριθ ός c τέτοιος ώστε f .x/ D cx για κάθε ρητό αριθ ό x (σε αυτό το ση είο δεν προσπαθού ε να πού ε τίποτα για το f .x/ όταν ο x είναι άρρητος). Υπόδειξη: Πρώτα σκεφτείτε ποιο πρέπει να είναι το c. Τώρα αποδείξτε ότι f .x/ D cx, πρώτα όταν ο x είναι φυσικός αριθ ός, ετά όταν ο x είναι ακέραιος, ετά όταν ο x είναι ο αντίστροφος ενός ακεραίου, και, τέλος, για κάθε ρητό x. 17. Αν f .x/ D 0 για κάθε x, τότε η f ικανοποιεί την f .x C y/ D f .x/ C f .y/ για κάθε x και y, καθώς και την f .x y/ D f .x/ f .y/ για κάθε x και y. Έστω τώρα ότι η f ικανοποιεί αυτές τις δυο σχέσεις, αλλά ότι το f .x/ δεν είναι πάντα 0. Αποδείξτε ότι f .x/ D x για κάθε x, ως εξής: (α) Αποδείξτε ότι f .1/ D 1. (β) Αποδείξτε ότι f .x/ D x αν ο x είναι ρητός. (γ) Αποδείξτε ότι f .x/ 0 αν x 0. (Αυτό το κο άτι είναι πονηρό, αλλά αν προσέξατε τις «φιλοσοφικές» παρατηρήσεις που συνόδευαν τα προβλή ατα στα τελευταία δύο κεφάλαια, θα ξέρετε τι να κάνετε.) (δ) Αποδείξτε ότι f .x/ f .y/ αν x y. (ε) Αποδείξτε ότι f .x/ D x για κάθε x. Υπόδειξη: Χρησι οποιήστε το γεγονός ότι ανά εσα σε δύο τυχαίους αριθ ούς υπάρχει ρητός αριθ ός. 18. Ποιες ακριβώς συνθήκες πρέπει να ικανοποιούν οι f, g, h και k έτσι ώστε να ισχύει f .x/g.y/ D h.x/k.y/ για κάθε x και y;
- 61. 3. Συναρτήσεις 47 19.(α) Αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν συναρτήσεις f και g ε ια από τις εξής ιδιότη- τες: (i) f .x/ C g.y/ D xy για κάθε x και y. (ii) f .x/ g.y/ D x C y για κάθε x και y. Υπόδειξη: Προσπαθήστε να πάρετε κάποιες πληροφορίες για την f ή την g δίνοντας συγκεκρι ένες τι ές στα x και y. (β) Βρείτε συναρτήσεις f και g τέτοιες ώστε f .x C y/ D g.xy/ για κάθε x και y. 20. (α) Βρείτε ια συνάρτηση f , όχι σταθερή, τέτοια ώστε jf .y/ f .x/j jy xj. (β) Έστω ότι f .y/ f .x/ .y x/2 για κάθε x και y. (Γιατί αυτό ση αίνει ότι jf .y/ f .x/j .y x/2 ;). Αποδείξτε ότι η f είναι σταθερή συνάρτηση. Υπόδειξη: Χωρίστε το διάστη α από το x έως στο y σε n ίσα έρη. 21. Αποδείξτε ή δώστε αντιπαράδειγ α για καθέναν από τους ακόλουθουςισχυρισ ούς: (α) f B .g C h/ D f B g C f B h. (β) .g C h/ B f D g B f C h B f . (γ) 1 f B g D 1 f B g. (δ) 1 f B g D f B 1 g . 22. (α) Έστω ότι g D h B f . Αποδείξτε ότι αν f .x/ D f .y/, τότε g.x/ D g.y/. (β) Αντίστροφα, ας υποθέσου ε ότι f και g είναι δύο συναρτήσεις τέτοιες ώστε g.x/ D g.y/ όποτε f .x/ D f .y/. Αποδείξτε ότι g D hBf για κάποια συνάρ- τηση h. Υπόδειξη: ∆εν έχετε παρά να προσπαθήσετε να ορίσετε το h.´/ όταν το ´ είναι της ορφής ´ D f .x/ (αυτά είναι τα όνα ´ που ας ενδιαφέρουν) και να χρησι οποιήσετε τις υποθέσεις για να δείξετε ότι ο ορισ ός σας δεν θα συναντήσει ε πόδια. 23. Έστω ότι f B g D I, όπου I.x/ D x. Αποδείξτε ότι (α) αν x ¤ y, τότε g.x/ ¤ g.y/· (β) κάθε αριθ ός b γράφεται b D f .a/ για κάποιον αριθ ό a. 24. (α) Έστω ότι g είναι ια συνάρτηση ε την ιδιότητα ότι g.x/ ¤ g.y/ αν x ¤ y. Αποδείξτε ότι υπάρχει συνάρτηση f τέτοια ώστε f B g D I. (β) Έστω ότι f είναι συνάρτηση τέτοια ώστε κάθε αριθ ός b να γράφεται b D f .a/ για κάποιον αριθ ό a. Αποδείξτε ότι υπάρχει συνάρτηση g τέτοια ώστε f B g D I. 25. Βρείτε ια συνάρτηση f τέτοια ώστε g B f D I για κάποια g, αλλά τέτοια ώστε να ην υπάρχει συνάρτηση h ε f B h D I. 26. Υποθέτου ε ότι f B g D I και h B f D I. Αποδείξτε ότι g D h. Υπόδειξη: Χρησι οποιήστε το γεγονός ότι η σύνθεση είναι προσεταιριστική. 27. (α) Έστω ότι f .x/ D xC1. Υπάρχουν συναρτήσεις g τέτοιες ώστε f Bg D gBf ; (β) Έστω ότι η f είναι σταθερή συνάρτηση. Για ποιες συναρτήσεις g ισχύει f B g D g B f ; (γ) Έστω ότι f B g D g B f για όλες τις συναρτήσεις g. ∆είξτε ότι η f είναι η ταυτοτική συνάρτηση, f .x/ D x.
- 62. 48 Θεµέλια 28. (α)Έστω ότι F είναι το σύνολο όλων των συναρτήσεων ε πεδίο ορισ ού το R. Αποδείξτε, χρησι οποιώντας τις C και όπως ορίστηκαν σε αυτό το κεφάλαιο, ότι όλες οι ιδιότητες Ι1–Ι9 εκτός από την Ι7 ισχύουν στο F , όπου ως 0 και 1 παίρνου ε τις αντίστοιχες σταθερές συναρτήσεις. (β) ∆είξτε ότι η Ι7 δεν ισχύει. (γ) ∆είξτε ότι οι Ι10–Ι12 δεν πορούν να ισχύουν. Με άλλα λόγια, δείξτε ότι δεν υπάρχει σύνολο P από συναρτήσεις στο F , τέτοιο ώστε οι Ι10–Ι12 να ισχύουν για το P . (Αρκεί, και θα απλοποιήσει τα πράγ ατα, να θεωρήσετε όνο συναρτήσεις που είναι 0 εκτός από δύο ση εία, το x0 και το x1.) (δ) Έστω ότι ορίζου ε το f g να ση αίνει ότι f .x/ g.x/ για κάθε x. Ποιες από τις Ι0 10–Ι0 13 (του Προβλή ατος 1-8) ισχύουν τώρα; (ε) Αν f g, είναι h B f h B g; Είναι f B h g B h ;
- 63. 3. Παράρτηµα. Διατεταγµέναζεύγη 49 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. ∆ΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΑ ΖΕΥΓΗ Όχι όνο στον ορισ ό της συνάρτησης, αλλά και σε άλλα έρη αυτού του βιβλίου, θα χρειαστεί να χρησι οποιήσου ε την έννοια του διατεταγ ένου ζεύγους αντικει ένων. Ως τώρα δεν έχου ε δώσει κάποιον ορισ ό, ούτε έχου ε αναφέρει ε σαφήνεια ποιες ιδιότητες υποτίθεται ότι έχει ένα διατεταγ ένο ζεύγος. Η οναδική ιδιότητα που θα απαι- τήσου ε διατυπώνει ε τυπικό τρόπο το ότι το διατεταγ ένο ζεύγος .a; b/ θα πρέπει να καθορίζεται από τα a και b, καθώς και από τη σειρά ε την οποία δίνονται: αν .a; b/ D .c; d/, τότε a D c και b D d. Μπορού ε να χειριστού ε τα διατεταγ ένα ζεύγη πιο εύκολα, αν απλώς εισάγου ε το .a; b/ χωρίς να το ορίσου ε και υιοθετήσου ε τη βασική ιδιότητα σαν αξίω α — αφού αυτή η ιδιότητα είναι το όνο πράγ α που έχει ση ασία στα διατεταγ ένα ζεύγη, δεν υπάρχει σοβαρός λόγος να ανησυχού ε για το τι είναι «στην πραγ ατικότητα» ένα διατεταγ ένο ζεύγος. Αυτοί που ικανοποιούνται από αυτήν τη θέση δεν χρειάζεται να διαβάσουν παραπέρα. Το υπόλοιπο αυτού του σύντο ου παραρτή ατος απευθύνεται σε εκείνους τους ανα- γνώστες που δεν θα αισθανθούν άνετα αν τα διατεταγ ένα ζεύγη δεν οριστούν ε κάποιον τρόπο έτσι ώστε αυτή η βασική ιδιότητα να γίνει θεώρη α. ∆εν υπάρχει λόγος να περιο- ριστού ε σε διατεταγ ένα ζεύγη αριθ ών· είναι το ίδιο λογικό, και το ίδιο ση αντικό, να έχου ε διαθέσι η την έννοια ενός διατεταγ ένου ζεύγους οποιωνδήποτε δύο αθη ατι- κών αντικει ένων. Αυτό ση αίνει ότι ο ορισ ός ας θα πρέπει να περιέχει όνο έννοιες κοινές σε όλους τους κλάδους των αθη ατικών. Η οναδική έννοια που διαπερνά όλες τις περιοχές των αθη ατικών είναι αυτή του συνόλου, και τα διατεταγ ένα ζεύγη (όπως και κάθε τι στα αθη ατικά) πορούν να οριστούν σε αυτό το πλαίσιο· ένα διατεταγ ένο ζεύγος θα είναι τελικά κάποιο άλλον ειδικό σύνολο. Το σύνολο fa; bg, που περιέχει τα δύο στοιχεία a και b, είναι ια προφανής πρώτη επιλογή, αλλά δεν ας κάνει ως ορισ ός του .a; b/, γιατί δεν υπάρχει τρόπος να καθορί- σου ε από το fa; bg ποιο από τα a, b εννοού ε ως πρώτο στοιχείο. Ένας πιο ελπιδοφόρος υποψήφιος είναι το άλλον εντυπωσιακό σύνολο: f fag; fa; bg g: Αυτό το σύνολο έχει δύο στοιχεία, καθένα από τα οποία είναι ένα σύνολο· το ένα στοιχείο είναι το σύνολο fag, που περιέχει όνο το στοιχείο a, το άλλο είναι το σύνολο fa; bg. Όσο παράξενο και αν φαίνεται, θα ορίσου ε ως .a; b/ αυτό το σύνολο. Η αιτιολόγηση αυτής της επιλογής δίνεται από το θεώρη α που ακολουθεί α έσως ετά τον ορισ ό —ο ορισ ός λειτουργεί, και δεν υπάρχει ουσιαστικά τίποτε άλλο που να αξίζει να πού ε. ΟΡΙΣΜΟΣ .a; b/ D f fag; fa; bg g: ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Αν .a; b/ D .c; d/, τότε a D c και b D d. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Η υπόθεση ση αίνει ότι f fag; fa; bg g D f fcg; fc; dg g: Τώρα το f fag; fa; bg g περιέχει ακριβώς δύο στοιχεία, το fag και το fa; bg· και το a είναι το οναδικό κοινό στοιχείο αυτών των δύο στοιχείων του f fag; fa; bg g. Ο οίως, το c είναι το οναδικό κοινό στοιχείο των δύο στοιχείων του f fcg; fc; dg g. Άρα a D c. Επο ένως έχου ε f fag; fa; bg g D f fag; fa; dg g; και απο ένει να δείξου ε ότι b D d. Βολεύει να διακρίνου ε 2 περιπτώσεις.
- 64. 50 Θεµέλια Περίπτωση 1.b D a. Σε αυτήν την περίπτωση, fa; bg D fag, άρα το σύνολο f fag; fa; bg g έχει στην πραγ ατικότητα όνο ένα στοιχείο, το fag. Το ίδιο πρέπει να ισχύει και για το f fag; fa; dg g, άρα fa; dg D fag, που ση αίνει ότι d D a D b. Περίπτωση 2. b ¤ a. Σε αυτήν την περίπτωση, το b ανήκει σε κάποιο στοιχείο του f fag; fa; bg g αλλά όχι στο άλλο. Επο ένως πρέπει να ισχύει ότι το b ανήκει σε κάποιο στοιχείο του f fag; fa; dg g αλλά όχι στο άλλο. Αυτό πορεί να συ βαίνει όνο αν το b ανήκει στο fa; dg, αλλά όχι στο fag· άρα b D a ή b D d, αλλά b ¤ a· άρα b D d.
- 65. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΓΡΑΦΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Αν αναφέρετε τους πραγ ατικούς αριθ ούς σε έναν αθη ατικό, είναι πολύ πιθανό να σχη ατιστεί, τελείως ασυνείδητα, στο υαλό του η εικόνα ιας ευθείας γρα ής. Αλλά πολύ πιο πιθανό είναι ότι ούτε θα αποδοκι άσει ούτε θα σπεύσει να ενστερνιστεί αυτήν τη νοητική εικόνα των πραγ ατικών αριθ ών. Η «γεω ετρική» διαίσθηση θα του επιτρέψει να ερ ηνεύσει προτάσεις που αφορούν τους αριθ ούς ε τη βοήθεια αυτής της εικόνας, πορεί ακό α και να του υποδείξει εθόδους για να τις αποδείξει. Αν και οι ιδιότητες των πραγ ατικών αριθ ών που ελετήσα ε στο 1ο Μέρος δεν φωτίζονται ιδιαίτερα από ένα γεω ετρικό σχή α, ια τέτοια ερ ηνεία θα ας βοηθήσει πολύ στο 2ο Μέρος. Είναι πιθανό να σας είναι ήδη γνωστή η καθιερω ένη έθοδος ε την οποία θεωρού ε την ευθεία ως εικόνα των πραγ ατικών αριθ ών, ε την οποία, δηλαδή, σε κάθε πραγ- ατικό αριθ ό αντιστοιχού ε ένα ση είο ιας ευθείας. Για να το κάνου ε αυτό (Σχή α 1) διαλέγου ε, τυχαία, ένα ση είο που το βαφτίζου ε 0, και ένα ση είο στα δεξιά του, που του δίνου ε το όνο α 1. Το ση είο που βρίσκεται δύο φορές πιο ακριά στα δεξιά ονο άζεται 2, το ση είο που απέχει όσο και το 1 από το 0, αλλά βρίσκεται στα αριστερά του 0, ονο άζεται 1, κτλ. Με αυτήν την τοποθέτηση, αν a b, τότε το ση είο που αντιστοιχεί στο a βρίσκεται στα αριστερά του ση είου που αντιστοιχεί στο b. Μπορού ε Σ Χ Η Μ Α 1 ακό α να σχεδιάσου ε ρητούς αριθ ούς, όπως το 1 2 ε τον προφανή τρόπο. Συνήθως θεωρείται δεδο ένο ότι και οι άρρητοι αριθ οί ε κάποιον τρόπο ταιριάζουν σε αυτό το σχή α, έτσι ώστε κάθε πραγ ατικός αριθ ός να πορεί να σχεδιαστεί ως ένα ση είο πάνω στην ευθεία. ∆εν θα ασχοληθού ε και πολύ ε την αιτιολόγηση αυτής της υπόθεσης, αφού αυτή η έθοδος «σχεδίασης» των αριθ ών, αποκλειστικό σκοπό έχει να χρησι εύ- σει ως ια έθοδος απεικόνισης κάποιων αφηρη ένων ιδεών, και οι αποδείξεις ας δεν θα εξαρτώνται από αυτά τα σχή ατα (αν και συχνά θα χρησι οποιού ε ένα σχή α για να υποδείξου ε ή να βοηθήσου ε να γίνει κατανοητή ια απόδειξη). Επειδή αυτή η γεω ε- τρική εικόνα παίζει έναν εξέχοντα, αν και η ουσιώδη ρόλο, όταν ιλά ε για αριθ ούς θα χρησι οποιού ε συχνά τη γεω ετρική ορολογία —έτσι ένας αριθ ός λέγεται ερικές φορές και σηµείο, και το R συχνά αποκαλείται η πραγµατική ευθεία. Ο αριθ ός ja bj έχει ια απλή ερ ηνεία έσω αυτής της γεω ετρικής εικόνας: είναι η απόσταση του a από το b, το ήκος του ευθυγρά ου τ ή ατος που έχει το a ως το ένα άκρο του και το b ως το άλλο. Αυτό ση αίνει —για να διαλέξου ε ένα παράδειγ α που η συχνή του ε φάνιση δικαιολογεί κάποια ειδική αναφορά σε αυτό— ότι το σύνολο των αριθ ών x που ικανοποιούν την jx aj πορεί να θεωρηθεί ως το σύνολο των ση είων που η απόστασή τους από το a είναι ικρότερη από . Αυτό το σύνολο ση είων είναι το «διάστη α» από το a στο a C , που περιγράφεται και ως το σύνολο των ση είων που αντιστοιχούν σε αριθ ούς x ε a x a C (Σχή α 2). Σ Χ Η Μ Α 2 Τα σύνολα αριθ ών που αντιστοιχούν σε διαστή ατα ε φανίζονται τόσο συχνά που θα θέλα ε να έχου ε ειδικά ονό ατα για αυτά. Το σύνολο fx W a x bg συ βολίζεται ε .a; b/ και λέγεται το ανοικτό διάστη α από το a στο b. Αυτός ο συ βολισ ός προκα- λεί βέβαια κάποιες παρεξηγήσεις, αφού το .a; b/ χρησι οποιείται και ως σύ βολο ενός ζεύγους αριθ ών, αλλά από τα συ φραζό ενα είναι πάντα σαφές (ή πορεί εύκολα να γίνει σαφές) το αν ιλά ε για ένα ζεύγος ή για ένα διάστη α. Ση ειώστε ότι, αν a b, τότε .a; b/ D ;, το κενό σύνολο· στην πράξη ό ως πάντοτε υποθέτου ε (και το δηλώ- νου ε αν εί αστε προσεκτικοί) πως, όταν αναφέρου ε ένα διάστη α .a; b/, ο αριθ ός a είναι ικρότερος από τον b. 51
- 66. 52 Θεµέλια Το σύνολοfx W a x bg συ βολίζεται ε Œa; b και λέγεται το κλειστό διάστη α από το a στο b. Συνήθως κρατά ε αυτό το σύ βολο για την περίπτωση a b, ερικές ό ως φορές χρησι οποιείται και όταν a D b. Ο συνηθισ ένος τρόπος απεικόνισης των το ανοικτό διάστη α το κλειστό διάστη α το διάστη α το διάστη α το διάστη α το διάστη α Σ Χ Η Μ Α 3 διαστη άτων .a; b/ και Œa; b δίνεται στο Σχή α 3· δεδο ένου ότι κανένα σχή α ε λογικό βαθ ό ακρίβειας δεν θα πορούσε να υποδεικνύει τη διαφορά ανά εσα στα δυο διαστή- ατα, έχουν υιοθετηθεί διάφορες συ βάσεις. Το Σχή α 3 δείχνει και κάποια «άπειρα» διαστή ατα. Το σύνολο fx W x ag συ βολίζεται ε .a; 1/, ενώ το σύνολο fx W x ag ε Œa; 1/· τα σύνολα . 1; a/ και . 1; a ορίζονται ε τον ίδιο τρόπο. Στο ση είο αυτό πρέπει να σας απευθύνου ε την καθιερω ένη προειδοποίηση: τα σύ βολα 1 και 1, αν και συνήθως διαβάζονται «άπειρο» και «πλην άπειρο», έχουν ια έννοια γνήσια συ - βολική· δεν υπάρχει αριθ ός «1» που να ικανοποιεί την 1 a για όλους τους αριθ ούς a. Καθώς τα σύ βολα 1 και 1, θα ε φανίζονται σε διάφορες περιστάσεις, θα είναι πάντα απαραίτητο να ορίζου ε τη χρήση τους ε τέτοιο τρόπο ώστε να αναφερό αστε όνο σε αριθ ούς. Το σύνολο R όλων των πραγ ατικών αριθ ών θεωρείται ε τη σειρά του ως «διάστη α», και ερικές φορές συ βολίζεται ε . 1; 1/. Σ Χ Η Μ Α 4 Ακό α εγαλύτερο ενδιαφέρον από τη έθοδο σχεδίασης αριθ ών, παρουσιάζει για ας ία έθοδος σχεδίασης ζευγών από αριθ ούς. Αυτή η διαδικασία, που πορεί να σας είναι επίσης γνωστή, απαιτεί ένα «σύστη α συντεταγ ένων», δύο ευθείες που τέ νονται κάθετα. Για να διακρίνου ε αυτές τις ευθείες, λέ ε οριζόντιο άξονα τη ία, και κατακό- ρυφο άξονα την άλλη. (Μια πιο πεζή ορολογία, όπως ο «πρώτος» και ο «δεύτερος» άξο- νας, ίσως είναι προτι ότερη από λογική άποψη, αλλά οι περισσότεροι άνθρωποι κρατούν τα βιβλία τους, ή τουλάχιστον τους αυροπίνακές τους, ε τον ίδιο τρόπο, οπότε οι όροι «οριζόντιος» και «κατακόρυφος» είναι πιο παραστατικοί.) Σε καθένα από τους δύο άξο- νες πορού ε να «τοποθετήσου ε» τους πραγ ατικούς αριθ ούς, πορού ε ό ως και να βαφτίσου ε τα ση εία του οριζόντιου άξονα ε ζεύγη .a; 0/, τα δε ση εία του κατακόρυ- φου άξονα ε ζεύγη .0; b/, έτσι ώστε η το ή των δύο αξόνων, η «αρχή» του συστή ατος συντεταγ ένων, να έχει το όνο α .0; 0/. Κάθε ση είο .a; b/ σχεδιάζεται τώρα όπως στο Σχή α 4, έτσι ώστε να βρίσκεται στην κορυφή του ορθογωνίου του οποίου οι άλλες τρεις κορυφές έχουν τα ονό ατα .0; 0/, .a; 0/ και .0; b/. Οι αριθ οί a και b λέγονται η πρώτη και η δεύτερη συντεταγµένη, αντίστοιχα, του ση είου που καθορίζεται ε αυτόν τον τρόπο. Σ Χ Η Μ Α 5 Αυτό που ας ενδιαφέρει πραγ ατικά, θυ ηθείτε, είναι να βρού ε ια έθοδο για να σχεδιάζου ε συναρτήσεις. Αφού ια συνάρτηση δεν είναι τίποτε άλλο από ένα σύνολο ζευγών από αριθ ούς, πορού ε να σχεδιάσου ε ια συνάρτηση σχεδιάζοντας καθένα από τα ζεύγη της συνάρτησης. Το σχή α που παίρνου ε ε αυτόν τον τρόπο λέγεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης. Με άλλα λόγια, η γραφική παράσταση της f περιέχει όλα τα ση εία που αντιστοιχούν σε ζεύγη .x; f .x//. Αφού οι περισσότερες συναρτήσεις περιέχουν άπειρα το πλήθος ζεύγη, η σχεδίαση ιας γραφικής παράστασης προβλέπεται επίπονο εγχείρη α, αλλά, στην πράξη, πολλές συναρτήσεις έχουν γραφικές παραστάσεις που σχεδιάζονται πολύ εύκολα. ∆εν προκαλεί κα ία έκπληξη το γεγονός ότι οι απλούστερες συναρτήσεις, οι σταθερές συναρτήσεις f .x/ D c, έχουν τις απλούστερες γραφικές παραστάσεις. Είναι εύκολο να διαπιστώσετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f .x/ D c είναι ια ευθεία παράλληλη ε τον οριζόντιο άξονα, σε απόσταση c από αυτόν (Σχή α 5). Σ Χ Η Μ Α 6 Οι συναρτήσεις f .x/ D cx έχουν και αυτές πολύ απλές γραφικές παραστάσεις — ευθείες που περνούν από το .0; 0/, όπως στο Σχή α 6. Μια απόδειξη αυτού του γεγονότος άς υποδεικνύει το Σχή α 7: Έστω x κάποιος αριθ ός όχι ίσος ε 0, και L η ευθεία που περνά από την αρχή O, που αντιστοιχεί στο .0; 0/, και από το ση είο A, που αντιστοιχεί στο .x; cx/. Ένα ση είο A0 , ε πρώτη συντεταγ ένη y, θα ανήκει στην L αν το τρίγωνο A0 B0 O είναι ό οιο ε το τρίγωνο ABO δηλαδή αν A0 B0 OB0 D AB OB D c· αλλά αυτό συ βαίνει ακριβώς όταν το A0 αντιστοιχεί στο ζεύγος .y; cy/, δηλαδή όταν το A0 βρίσκεται στη γραφική παράσταση της f . Για την απόδειξη υποθέσα ε σιωπηρά ότι c 0, πορού ε ό ως αρκετά εύκολα να χειριστού ε και τις άλλες περιπτώσεις. Σ Χ Η Μ Α 7
- 67. 4. Γραφικές παραστάσεις53 Ο αριθ ός c, που ετρά τον λόγο των πλευρών των τριγώνων που ε φανίζονται στην απόδειξη, λέγεται κλίση της ευθείας, και για κάθε ευθεία παράλληλη ε αυτή λέ ε ότι έχει την ίδια κλίση c. ήκο̋ ήκο̋ Σ Χ Η Μ Α 8 Το επιχείρη α που χρησι οποιήσα ε δεν πορού ε ούτε να το ονο άσου ε, ούτε να το θεωρήσου ε τυπική απόδειξη. Πραγ ατικά, για να δώσου ε ια αυστηρή απόδειξη θα ήταν αναγκαίο να κάνου ε ια παρέκβαση που δεν εί αστε καθόλου έτοι οι να ακο- λουθήσου ε. Η αυστηρή απόδειξη οποιασδήποτε πρότασης που συνδέει γεω ετρικές και αλγεβρικές έννοιες θα απαιτούσε πρώτα απ’ όλα ια πραγ ατική απόδειξη ( ε ακριβώς διατυπω ένες υποθέσεις) του ότι τα ση εία ιας ευθείας αντιστοιχούν ε συγκεκρι ένο τρόπο στους πραγ ατικούς αριθ ούς. Εκτός απ’ αυτό, θα ήταν αναγκαίο να ελετήσου ε την επιπεδο ετρία στο ίδιο βάθος που σκοπεύου ε να ελετήσου ε τις ιδιότητες των πραγ ατικών αριθ ών. Βέβαια η λεπτο ερής ανάπτυξη της επιπεδο ετρίας είναι ένα ωραιότατο θέ α, αλλά σε κα ία περίπτωση δεν προαπαιτείται για τη ελέτη του Απει- ροστικού Λογισ ού. Θα χρησι οποιού ε τα γεω ετρικά σχή ατα όνο ως βοήθεια στη διαίσθησή ας· για τους σκοπούς ας (και για τα περισσότερα αθη ατικά) είναι καθόλα ικανοποιητικό να ορίσουµε το επίπεδο ως το σύνολο όλων των ζευγών πραγ ατικών αριθ- ών, και να ορίσουµε τις ευθείες ως κάποια σύνολα ζευγών, που περιλα βάνουν, ανά εσα σε άλλα, τα σύνολα f.x; cx/ W x πραγ ατικός αριθ όςg. Για να εφοδιάσου ε αυτήν την τεχνητά κατασκευασ ένη γεω ετρία ε όλη τη δο ή της γεω ετρίας που διδαχθήκα ε στο Λύκειο, χρειάζεται ένας ακό α ορισ ός. Αν .a; b/ και .c; d/ είναι δύο ση εία του επιπέδου, δηλαδή ζεύγη πραγ ατικών αριθ ών, ορίζουµε ως απόσταση των .a; b/ και .c; d/ το p .a c/2 C .b d/2: Αν το κίνητρο για αυτόν τον ορισ ό δεν σας είναι φανερό, το Σχή α 8 δίνει τις απαραίτη- τες εξηγήσεις — ε αυτόν τον ορισ ό κατασκευάσα ε στη γεω ετρία ας το Πυθαγόρειο Θεώρη α.* Σ Χ Η Μ Α 9 Επιστρέφοντας για άλλη ια φορά στο άτυπο γεω ετρικό ας σχή α, δεν είναι δύ- σκολο να δού ε (Σχή α 9) ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f .x/ D cx Cd εί- ναι ια ευθεία ε κλίση c, που περνά από το ση είο .0; d/. Για αυτόν το λόγο οι συναρτή- σεις f .x/ D cx Cd λέγονται γρα ικές συναρτήσεις. Απλές καθώς είναι, οι γρα ικές συναρτήσεις ε φανίζονται συχνά, και θα πρέπει να τις χειρίζεστε ε άνεση. Το επό ενο είναι ένα τυπικό πρόβλη α του οποίου η λύση λογικά δεν παρουσιάζει κα ία δυσκολία. Αν σας δοθούν δύο διακεκρι ένα ση εία .a; b/ και .c; d/, βρείτε τη γρα ική συνάρτηση f που η γραφική της παράσταση περνά από τα .a; b/ και .c; d/. Αυτό ισοδυνα εί ε το να πού ε ότι f .a/ D b και f .c/ D d. Αν η f είναι της ορφής f .x/ D px C q, τότε πρέπει να έχου ε pa C q D b; pc C q D d· επο ένως p D .d b/=.c a/ και q D b Œ.d b/=.c a/a, άρα f .x/ D d b c a x C b d b c a a D d b c a .x a/ C b; έναν τύπο που πορείτε να απο νη ονεύσετε εύκολα χρησι οποιώντας τη « ορφή ση- είου-κλίσης» (βλ. Πρόβλη α 6). Φυσικά, αυτή η λύση είναι δυνατή όνο αν a ¤ c· οι γραφικές παραστάσεις των γρα ικών συναρτήσεων αντιστοιχούν όνο σε εκείνες τις ευθείες που δεν είναι παράλ- ληλες ε τον κατακόρυφο άξονα. Οι κατακόρυφες ευθείες δεν είναι γραφική παράσταση καµίας συνάρτησης· πραγ ατικά, η γραφική παράσταση ιας συνάρτησης δεν πορεί *Ο δύστροπος αναγνώστης ίσως προβάλει αντιρρήσεις σε αυτόν τον ορισ ό, στη βάση του ότι δεν ξέρου ε ακό α ότι οι η αρνητικοί αριθ οί έχουν τετραγωνική ρίζα. Για την ώρα, είναι αλήθεια ότι δεν πορού ε να απαντήσου ε σε αυτήν την αντίρρηση —θα πρέπει να δεχθείτε αυτόν τον ορισ ό ε επιφυλάξεις, έχρι να διευκρινιστεί αυτό το ικρό ση είο.
- 68. 54 Θεµέλια ποτέ ναπεριέχει δύο διαφορετικά ση εία πάνω στην ίδια κατακόρυφη. Αυτό το συ πέ- ρασ α είναι ά εσο από τον ορισ ό της συνάρτησης —δύο ση εία πάνω στην ίδια κατα- κόρυφη ευθεία αντιστοιχούν σε ζεύγη της ορφής .a; b/ και .a; c/ και, εξ ορισ ού, ια συνάρτηση δεν πορεί να περιέχει το .a; b/ και το .a; c/ αν b ¤ c. Αντίστροφα, αν ένα σύνολο ση είων στο επίπεδο έχει την ιδιότητα να ην υπάρχουν δύο ση εία του στην ίδια κατακόρυφη, τότε είναι σίγουρα η γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. Έτσι τα πρώτα δύο σύνολα στο Σχή α 10 δεν είναι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων, και τα τελευταία δύο είναι· παρατηρήστε ότι το τέταρτο είναι η γραφική παράσταση ιας συνάρ- τησης που το πεδίο ορισ ού της δεν είναι ολόκληρο το R, αφού ερικές κατακόρυφες δεν περιέχουν κανένα ση είο του. (α) (β) (γ) (δ) Σ Χ Η Μ Α 1 0 Η απλούστερη συνάρτηση, ετά τις γρα ικές, είναι ίσως η συνάρτηση f .x/ D x2 . Αν σχεδιάσου ε ερικά από τα ζεύγη της f , δηλαδή ερικά από τα ζεύγη της ορφής .x; x2 /, παίρνου ε ια εικόνα σαν αυτή στο Σχή α 11. Σ Χ Η Μ Α 1 1 ∆εν είναι δύσκολο να πεισθείτε ότι όλα τα ζεύγη .x; x2 / βρίσκονται πάνω σε ια κα πύλη σαν αυτή στο Σχή α 12· αυτή η κα πύλη είναι γνωστή ως παραβολή. Με δεδο ένο το ότι ια γραφική παράσταση δεν είναι παρά ένα σχέδιο πάνω σε χαρτί, φτιαγ ένο (στην περίπτωσή ας) ε ελάνι, είναι δύσκολο να διατυπωθεί ένα ερώτη α της ορφής «Έτσι είναι στην πραγ ατικότητα η γραφική παράσταση;» έτσι ώστε να έχει κάποιο νόη α. Όχι, ένα σχέδιο δεν είναι ποτέ πραγµατικά σωστό γιατί η γρα ή έχει πάχος. Παρ’ όλα αυτά, υπάρχουν κάποια ερωτή ατα τα οποία µπορεί κανείς να θέσει: για παράδειγ α, πώς είστε βέβαιοι ότι η γραφική παράσταση δεν οιάζει ε ένα από τα σχέδια στο Σχή α 13; Είναι εύκολο να δείτε, και ακό α να αποδείξετε, ότι η γραφική παράσταση δεν πορεί να οιάζει ε το (α)· γιατί αν 0 x y τότε x2 y2 , άρα η γραφική παράσταση θα έπρεπε να είναι ψηλότερα στο y από ό,τι στο x, κάτι που δεν συ βαίνει στο (α). Είναι επίσης εύκολο να δείτε, σχεδιάζοντας ια πολύ ακριβή γραφική παράσταση, σχεδιάζοντας δηλαδή πολλά ζεύγη .x; x2 /, ότι η γραφική παράσταση δεν πορεί να έχει ένα εγάλο «άλ α» όπως στο (β) ή ια «γωνία» όπως στο (γ). Για να αποδείξου ε ό ως αυτούς τους ισχυρισ ούς, χρειάζεται να πού ε πρώτα ε αθη ατικό τρόπο, τι εννοού ε όταν λέ ε ότι ια συνάρτηση δεν έχει «άλ α» ή «γωνία»· αυτές οι ιδέες περιέχουν ήδη κάποιες από τις θε ελιώδεις έννοιες του Απειροστικού Λογισ ού. Τελικά, θα πετύχου ε Σ Χ Η Μ Α 1 2 να τις ορίσου ε αυστηρά, εν τω εταξύ ό ως διασκεδάστε προσπαθώντας να ορίσετε αυτές τις έννοιες, και ετά να εξετάσετε τους ορισ ούς σας κριτικά. Αργότερα, θα έχετε την ευκαιρία να συγκρίνετε τους ορισ ούς σας ε αυτούς στους οποίους συ φώνησαν οι αθη ατικοί. Αν η σύγκριση είναι ευνοϊκή, ασφαλώς θα σας αξίζουν συγχαρητήρια!
- 69. 4. Γραφικές παραστάσεις55 Οι συναρτήσεις f .x/ D xn , για τους διάφορους φυσικούς αριθ ούς n, λέγονται ερι- κές φορές και συναρτήσεις δύνα ης. Μπορού ε να συγκρίνου ε πιο εύκολα τις γραφικές τους παραστάσεις, αν σχεδιάσου ε πολλές αζί, όπως στο Σχή α 14. (α) (β) (γ) Σ Χ Η Μ Α 1 3 Σ Χ Η Μ Α 1 4 (α) (β) Σ Χ Η Μ Α 1 5 Οι συναρτήσεις δύνα ης είναι ειδικές όνο περιπτώσεις των πολυωνυ ικών συναρτή- σεων, που εισαγάγα ε στο προηγού ενο κεφάλαιο. Στο Σχή α 15 έχου ε σχεδιάσει δύο συγκεκρι ένες πολυωνυ ικές συναρτήσεις, ενώ στο Σχή α 16 προσπαθού ε να δώσου ε ια γενική εικόνα της γραφικής παράστασης της πολυωνυ ικής συνάρτησης f .x/ D anxn C an 1xn 1 C C a0; στην περίπτωση που an 0. (α) (β) άρτιο̋ περιττό̋ Σ Χ Η Μ Α 1 6 Γενικά, η γραφική παράσταση της f θα έχει το πολύ n 1 «κορυφές» ή «κοιλάδες» («κορυφή» είναι ένα ση είο σαν το .x; f .x// στο Σχή α 16, ενώ «κοιλάδα» είναι ένα ση είο σαν το .y; f .y//. Το πλήθος των κορυφών και των κοιλάδων πορεί στην πραγ- ατικότητα να είναι πολύ ικρότερο (οι συναρτήσεις δύνα ης, για παράδειγ α, έχουν το πολύ ια κοιλάδα). Αν και πορού ε εύκολα να διατυπώνου ε τέτοιους ισχυρισ ούς, δεν θα ας περάσει καν από το υαλό να δώσου ε αποδείξεις έχρι να φτάσου ε στο 3ο
- 70. 56 Θεµέλια Μέρος (απότη στιγ ή που οι ισχυρές έθοδοι του 3ου Μέρους θα είναι στη διάθεσή ας, οι αποδείξεις θα είναι πολύ εύκολες). Το Σχή α 17 περιγράφει τις γραφικές παραστάσεις ερικών ρητών συναρτήσεων. Οι ρητές συναρτήσεις ε φανίζουν ακό α εγαλύτερη ποικιλία από τις πολυωνυ ικές συναρ- τήσεις, αλλά η συ περιφορά τους αναλύεται επίσης εύκολα αν πορού ε να χρησι οποι- ήσου ε την παράγωγο, το βασικό εργαλείο του 3ου Μέρους. (α) (β) (δ)(γ) Σ Χ Η Μ Α 1 7 Σ Χ Η Μ Α 1 8
- 71. 4. Γραφικές παραστάσεις57 Πολλές ενδιαφέρουσες γραφικές παραστάσεις κατασκευάζονται αν «συγκολλή- σου ε» τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων που έχου ε ήδη ελετήσει. Η γραφική παράσταση του Σχή ατος 18 αποτελείται εξ ολοκλήρου από ευθείες. Η συνάρτηση f ε αυτήν τη γραφική παράσταση ικανοποιεί τις f 1 n D . 1/nC1 ; f 1 n D . 1/nC1 ; f .x/ D 1; jxj 1; και είναι γρα ική σε κάθε διάστη α Œ1=.nC1/; 1=n και Œ 1=n; 1=.nC1/. (Ο αριθ ός 0 δεν περιέχεται στο πεδίο ορισ ού της f .) Βέβαια, πορεί κανείς να γράψει έναν ακριβή τύπο για το f .x/, όταν το x είναι στο Œ1=.nC1/; 1=n· αυτή είναι ια καλή άσκηση πάνω στη χρήση των γρα ικών συναρτήσεων, και εκτός από αυτό θα σας πείσει ότι ια εικόνα αξίζει όσο χίλιες λέξεις. Είναι επίσης δυνατόν να ορίσου ε, ε έναν πολύ πιο απλό τρόπο, ια συνάρτηση που να παρουσιάζει ακριβώς αυτήν την ιδιότητα, δηλαδή να ταλαντώνεται άπειρες φορές κοντά στο 0, χρησι οποιώντας τη συνάρτηση η ιτόνου, την οποία θα ελετήσου ε ε λεπτο έρειες στο Κεφάλαιο 15. Ως συνήθως ετρού ε τις γωνίες σε ακτίνια, οπότε ια γωνία 2 ση αίνει ια γωνία «που διαγράφει έναν ολόκληρο» κύκλο, ια γωνία ση αί- νει ια γωνία «που διαγράφει ισό» κύκλο (ή 180ı στη καθη ερινή ορολογία), ια γωνία =2 ση αίνει ια ορθή γωνία, κτλ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης η ιτόνου φαίνεται στο Σχή α 19. Σ Χ Η Μ Α 1 9 Σ Χ Η Μ Α 2 0 Ας πάρου ε τώρα τη συνάρτηση f .x/ D sin 1=x. Βλέπετε τη γραφική παράσταση της f στο Σχή α 20. Για να ζωγραφίσετε αυτήν τη γραφική παράσταση θα βοηθήσει να παρατηρήσετε πρώτα ότι
- 72. 58 Θεµέλια f .x/D 0 για x D 1 ; 1 2 ; 1 3 ; : : : ; f .x/ D 1 για x D 1 1 2 ; 1 1 2 C 2 ; 1 1 2 C 4 ; : : : ; f .x/ D 1 για x D 1 3 2 ; 1 3 2 C 2 ; 1 3 2 C 4 ; : : : : Σ Χ Η Μ Α 2 1 Σ Χ Η Μ Α 2 2 Παρατηρήστε πως, όταν το x είναι εγάλο, οπότε το 1=x είναι ικρό, το f .x/ είναι επίσης ικρό· όταν το x είναι «πολύ αρνητικό», δηλαδή, όταν το jxj είναι εγάλο για
- 73. 4. Γραφικές παραστάσεις59 αρνητικό x, πάλι το f .x/ είναι κοντά στο 0, αν και f .x/ 0. Μια ενδιαφέρουσα παραλλαγή αυτής της συνάρτησης είναι η f .x/ D x sin 1=x. Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης έχει σχεδιαστεί πρόχειρα στο Σχή α 21. Αφού το sin 1=x ταλαντώνεται άπειρες φορές κοντά στο 0, εταξύ του 1 και του 1, η συνάρ- τηση f .x/ D x sin 1=x ταλαντώνεται άπειρες φορές εταξύ του x και του x. Η συ - περιφορά της γραφικής παράστασης για εγάλα θετικά ή εγάλα αρνητικά x είναι κάπως δυσκολότερο να αναλυθεί. Αφού το sin 1=x πλησιάζει το 0, ενώ το x γίνεται όλο και πιο εγάλο, δεν υπάρχει κάτι που να ας λέει τι θα κάνει το γινό ενο. Είναι δυνατόν να το εξακριβώσου ε, αλλά αυτό είναι άλλο ζήτη α που καλύτερα είναι να το αναβάλλου ε για το 3ο Μέρος. Στο Σχή α 22 δίνου ε και τη γραφική παράσταση της f .x/ D x2 sin 1=x. Για αυτές τις συναρτήσεις ε άπειρη ταλάντωση είναι φανερό ότι η γραφική παρά- σταση δεν έχει κα ία ελπίδα να είναι πραγ ατικά «ακριβής». Το καλύτερο που πορού ε να κάνου ε είναι να δείξου ε ένα τ ή α της και να αφήσου ε κενό το τ ή α κοντά στο 0 (που είναι το ενδιαφέρον τ ή α). Και άλιστα, είναι εύκολο να βρού ε πολύ πιο απλές συναρτήσεις που η γραφική τους παράσταση να η σχεδιάζεται « ε ακρίβεια». ∆εν πο- ρού ε να διακρίνου ε τις γραφικές παραστάσεις των f .x/ D x2 ; x 1 2; x 1 και g.x/ D x2 ; x 1 2; x 1 παρά όνο αν δεχθού ε κάποια σύ βαση ανάλογη ε αυτήν που χρησι οποιήσα ε για τα ανοικτά και κλειστά διαστή ατα (Σχή α 23). (α) (β) Σ Χ Η Μ Α 2 3 Το τελευταίο ας παράδειγ α είναι ια συνάρτηση που η γραφική της παράσταση είναι αδύνατον να σχεδιαστεί, και άλιστα ε έναν πολύ θεα ατικό τρόπο: f .x/ D 0; x άρρητος 1; x ρητός. άρρητο̋ ρητό̋ Σ Χ Η Μ Α 2 4 Η γραφική παράσταση της f πρέπει να περιέχει άπειρα ση εία στον οριζόντιο άξονα καθώς και άπειρα ση εία πάνω σε ια ευθεία παράλληλη στον οριζόντιο άξονα, αλλά δεν πρέπει να περιέχει κα ία από αυτές τις ευθείες ολόκληρη. Στο Σχή α 24 βλέπετε την εικόνα που δίνουν συνήθως στα βιβλία για τη γραφική της παράσταση. Για να ξεχωρί- σου ε τα δύο έρη της γραφικής παράστασης, οι κουκκίδες είναι πιο πυκνά τοποθετη- ένες στην ευθεία που αντιστοιχεί στους άρρητους x. (Υπάρχει βέβαια ια αθη ατική αιτιολόγηση αυτής της σύ βασης, αλλά βασίζεται σε πιο λεπτές έννοιες, που εισάγονται στα Προβλή ατα 21-5 και 21-6.) Οι ιδιαιτερότητες που ε φανίζονται σε ερικές συναρτήσεις είναι τόσο ελκυστικές, που είναι εύκολο να ξεχάσου ε ερικά από τα πιο απλά, και πιο ση αντικά, υποσύνολα του επιπέδου, που δεν είναι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων. Το σπουδαιότερο παρά- δειγ α από όλα είναι ο κύκλος. Ο κύκλος ε κέντρο .a; b/ και ακτίνα r 0 περιέχει, εξ ορισ ού, όλα τα ση εία .x; y/ που η απόστασή τους από το .a; b/ είναι ίση ε r. Ο κύκλος αποτελείται επο ένως (Σχή α 25) από όλα τα ση εία .x; y/ ε Σ Χ Η Μ Α 2 5 p .x a/2 C .y b/2 D r
- 74. 60 Θεµέλια ή .x a/2 C.y b/2 D r2 : Ο κύκλος ε κέντρο το .0; 0/ και ακτίνα 1, ο οποίος θεωρείται συχνά κάτι σαν ο εκπρό- σωπος της οικογένειας, λέγεται ο µοναδιαίος κύκλος. Ένας στενός συγγενής του κύκλου είναι η έλλειψη. Αυτή ορίζεται ως το σύνολο των ση είων που το άθροισµα των αποστάσεών τους από δύο «εστιακά» ση εία είναι σταθε- ρό. (Όταν οι δύο εστίες ταυτίζονται, παίρνου ε έναν κύκλο.) Αν, για ευκολία, συ φωνή- σου ε οι δύο εστίες να είναι το . c; 0/ και το .c; 0/, και ως άθροισ α των αποστάσεων πάρου ε το 2a (ο παράγοντας 2 απλουστεύει κάποιους υπολογισ ούς), τότε το .x; y/ βρίσκεται πάνω στην έλλειψη αν και όνο αν p .x . c//2 C y2 C p .x c/2 C y2 D 2a ή p .x C c/2 C y2 D 2a p .x c/2 C y2 ή x2 C 2cx C c2 C y2 D 4a2 4a p .x c/2 C y2 C x2 2cx C c2 C y2 ή 4.cx a2 / D 4a p .x c/2 C y2 ή c2 x2 2cxa2 C a4 D a2 .x2 2cx C c2 C y2 / ή .c2 a2 /x2 a2 y2 D a2 .c2 a2 / ή x2 a2 C y2 a2 c2 D 1: Αυτή η σχέση γράφεται πιο απλά x2 a2 C y2 b2 D 1; όπου b D p a2 c2 (αφού προφανώς πρέπει να διαλέξου ε a c, έπεται ότι a2 c2 0). Βλέπετε την εικόνα ιας έλλειψης στο Σχή α 26. Η έλλειψη τέ νει τον οριζόντιο άξονα όταν y D 0, άρα όταν x2 a2 D 1; x D ˙a; Σ Χ Η Μ Α 2 6 και τον κατακόρυφο άξονα όταν x D 0, δηλαδή y2 b2 D 1; y D ˙b:
- 75. 4. Γραφικές παραστάσεις61 Η υπερβολή ορίζεται ανάλογα, όνο που απαιτού ε η διαφορά των δύο αποστάσεων να είναι σταθερή. ∆ιαλέγοντας και πάλι τα ση εία . c; 0/ και .c; 0/, και ως σταθερή απόσταση το 2a, παίρνου ε, ως συνθήκη για να ανήκει το .x; y/ στην υπερβολή, την p .x C c/2 C y2 p .x c/2 C y2 D ˙2a; η οποία παίρνει την απλούστερη ορφή x2 a2 C y2 a2 c2 D 1: Σε αυτήν την περίπτωση ό ως, πρέπει προφανώς να διαλέξου ε c a, οπότε a2 c2 0. Αν b D p c2 a2, τότε το .x; y/ βρίσκεται πάνω στην υπερβολή αν και όνο αν x2 a2 y2 b2 D 1: Η εικόνα της φαίνεται στο Σχή α 27. Αποτελείται από δύο κο άτια, γιατί η διαφορά Σ Χ Η Μ Α 2 7 των αποστάσεων του .x; y/ από τα . c; 0/ και .c; 0/ παίρνεται ε δύο δυνατές διατάξεις. Η υπερβολή τέ νει τον οριζόντιο άξονα όταν y D 0, οπότε x D ˙a, αλλά δεν τέ νει πουθενά τον κατακόρυφο άξονα. Παρουσιάζει ενδιαφέρον το να συγκρίνου ε (Σχή α 28) την υπερβολή ε a D b Dp 2 και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f .x/ D 1=x. Τα σχή ατα φαίνονται ό οια, και τα δύο σύνολα πραγ ατικά ταυτίζονται, αρκεί να κάνου ε ια στροφή κατά γωνία =4 (Πρόβλη α 23). (α) (β) Σ Χ Η Μ Α 2 8 Προφανώς, κα ία στροφή του επιπέδου δεν είναι ικανή να ετα ορφώσει έναν κύ- κλο ή ια έλλειψη σε γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. Παρ’ όλα αυτά, η ελέτη αυτών των σπουδαίων γεω ετρικών σχη άτων γίνεται να αναχθεί στη ελέτη συναρτή- σεων. Οι ελλείψεις, για παράδειγ α, αποτελούνται από τις γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων, της f .x/ D b p 1 .x2=a2/; a x a και της g.x/ D b p 1 .x2=a2/; a x a: Υπάρχουν, βέβαια, πολλά άλλα ζεύγη συναρτήσεων ε την ίδια ακριβώς ιδιότητα. Για παράδειγ α, πορού ε να πάρου ε f .x/ D 8 : b p 1 .x2=a2/; 0 x a b p 1 .x2=a2/; a x 0
- 76. 62 Θεµέλια και g.x/ D 8 : b p 1.x2=a2/; 0 x a b p 1 .x2=a2; a x 0: πορούσα ε επίσης να διαλέξου ε f .x/ D 8 : b p 1 .x2=a2/; x ρητός, a x a b p 1 .x2=a2/; x άρρητος, a x a και g.x/ D 8 : b p 1 .x2=a2/; x ρητός, a x a b p 1 .x2=a2/; x άρρητος, a x a: Αλλά όλα αυτά τα άλλα ζεύγη περιέχουν αναγκαστικά παράλογες συναρτήσεις ε άλ- ατα εδώ και εκεί. Για την ώρα, είναι δύσκολο να δώσου ε ια απόδειξη, ή ακό α και ια ακριβή διατύπωση αυτού του γεγονότος. Αν και είναι πιθανό να έχετε ήδη αρχίσει να διακρίνετε τις συναρτήσεις που έχουν φυσιολογικές γραφικές παραστάσεις, από αυτές που έχουν αφύσικες γραφικές παραστάσεις, ίσως σας είναι πολύ δύσκολο να διατυπώσετε ένα λογικό ορισ ό των «λογικών» συναρτήσεων. Ο αθη ατικός ορισ ός αυτής της έν- νοιας δεν είναι καθόλου εύκολο να δοθεί, και εγάλο έρος αυτού του βιβλίου θα πο- ρούσε να θεωρηθεί ως ια διαδικασία ε διαδοχικές απόπειρες να επιβάλλου ε όλο και περισσότερες συνθήκες που θα πρέπει να ικανοποιεί ια «λογική» συνάρτηση. Καθώς θα ορίζου ε διάφορες τέτοιες συνθήκες, θα έχου ε την ευκαιρία να αναρωτηθού ε αν έχου ε πραγ ατικά καταφέρει να απο ονώσου ε τις συναρτήσεις που αξίζουν το χαρα- κτηρισ ό «λογικές». Η απάντηση, δυστυχώς, θα είναι πάντοτε «όχι» ή στην καλύτερη περίπτωση, ένα επιφυλακτικό «ναι». ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. ∆είξτε σε ια ευθεία το σύνολο όλων των x που ικανοποιούν τις παρακάτω συν- θήκες. Επίσης ονο άστε κάθε σύνολο, χρησι οποιώντας τον συ βολισ ό για τα διαστή ατα (σε ερικές περιπτώσεις θα χρειαστείτε και το σύ βολο [). (i) jx 3j 1. (ii) jx 3j 1. (iii) jx aj . (iv) jx2 1j 1 2 . (v) 1 1 C x2 1 5 . (vi) 1 1 C x2 a (δώστε ια απάντηση συναρτήσει του a, διακρίνοντας διάφορες περιπτώσεις). (vii) x2 C 1 2. (viii) .x C 1/.x 1/.x 2/ 0. 2. Υπάρχει ένας πολύ χρήσι ος τρόπος περιγραφής των ση είων του κλειστού δια- στή ατος Œa; b (όπου υποθέτου ε, ως συνήθως, ότι a b). (α) Θεωρήστε πρώτα το διάστη α Œ0; b, για b 0. Αποδείξτε ότι αν το x είναι στο Œ0; b, τότε x D tb για κάποιο t ε 0 t 1. Ποια η ση ασία του αριθ ού t; Ποιο είναι το εσαίο ση είο του Œ0; b;
- 77. 4. Γραφικές παραστάσεις63 (β) Τώρα αποδείξτε ότι αν το x είναι στο Œa; b, τότε x D .1 t/a C tb για κάποιο t ε 0 t 1. Υπόδειξη: Η έκφραση αυτή γράφεται επίσης ε τη ορφή a Ct.b a/. Ποιο είναι το έσον του Œa; b; Ποιο είναι το ση είο που βρίσκεται στο 1/3 της απόστασης του a από το b; (γ) Αποδείξτε, αντιστρόφως, ότι αν 0 t 1, τότε το .1 t/a C tb είναι στο Œa; b. (δ) Τα ση εία του ανοικτού διαστή ατος .a; b/ είναι αυτά της ορφής .1 t/a C tb για 0 t 1. 3. Σχεδιάστε το σύνολο όλων των ση είων .x; y/ που ικανοποιούν τις παρακάτω συν- θήκες. (Στις περισσότερες περιπτώσεις το σχή α σας θα είναι ένα αρκετά εγάλο κο άτι του επιπέδου, όχι όνο ια ευθεία ή κα πύλη.) (i) x y. (ii) x C a y C b. (iii) y x2 . (iv) y x2 . (v) jx yj 1. (vi) jx C yj 1. (vii) Ο x C y είναι ακέραιος. (viii) Ο 1 x C y είναι ακέραιος. (ix) .x 1/2 C .y 2/2 1. (x) x2 y x4 . 4. Σχεδιάστε το σύνολο όλων των ση είων .x; y/ που ικανοποιούν τις εξής συνθήκες: (i) jxj C jyj D 1. (ii) jxj jyj D 1. (iii) jx 1j D jy 1j. (iv) j1 xj D jy 1j. (v) x2 C y2 D 0. (vi) xy D 0. (vii) x2 2x C y2 D 4. (viii) x2 D y2 . 5. Σχεδιάστε το σύνολο όλων των ση είων .x; y/ που ικανοποιούν τις εξής συνθήκες: (i) x D y2 . (ii) y2 a2 x2 b2 D 1. (iii) x D jyj. (iv) x D sin y. Υπόδειξη: Αν εναλλάξου ε τα x και y, οι απαντήσεις σάς είναι ήδη γνωστές. 6. (α) ∆είξτε ότι η ευθεία που περνά από το .a; b/ και έχει κλίση m είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f .x/ D m.x a/ C b. Αυτός ο τύπος, γνωστός ως « ορφή ση είου-κλίσης» είναι πολύ πιο εύχρηστος από την ισοδύνα η έκφραση f .x/ D mx C .b ma/. Είναι α έσως φανερό από τη ορφή ση είου-κλίσης ότι η κλίση είναι m, και ότι η τι ή της f στο a είναι b.
- 78. 64 Θεµέλια (β) Γιαa ¤ c, δείξτε ότι η ευθεία που περνά από τα .a; b/ και .c; d/ είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f .x/ D d b c a .x a/ C b: (γ) Πότε οι γραφικές παραστάσεις των f .x/ D mx C b και g.x/ D m0 x C b0 είναι παράλληλες ευθείες; 7. (α) Για οποιουσδήποτε αριθ ούς A, B και C, ε τους A και B όχι ταυτόχρονα 0, δείξτε ότι το σύνολο όλων των .x; y/ που ικανοποιούν την Ax CBy CC D 0 είναι ια ευθεία (πιθανόν κατακόρυφη). Υπόδειξη: Εξετάστε πρώτα, πότε η σχέση περιγράφει ια κατακόρυφη ευθεία. (β) Αντίστροφα, δείξτε ότι κάθε ευθεία, συ περιλα βανο ένων και των κατακό- ρυφων, πορεί να περιγραφεί ως το σύνολο όλων των .x; y/ που ικανοποιούν την Ax C By C C D 0. 8. (α) Αποδείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f .x/ D mx C b; g.x/ D nx C c; είναι κάθετες αν mn D 1, υπολογίζοντας τα τετράγωνα των ηκών των πλευρών του τριγώνου στο Σχή α 29. (Γιατί αυτή η ειδική περίπτωση, όπου οι ευθείες τέ νονται στην αρχή των αξόνων, είναι το ίδιο καλή ε τη γενική περίπτωση;) Σ Χ Η Μ Α 2 9 (β) Αποδείξτε ότι οι δύο ευθείες που αποτελούνται από όλα τα .x; y/ που ικανο- ποιούν τις συνθήκες Ax C By C C D 0; A0 x C B0 y C C0 D 0; είναι κάθετες αν και όνο αν AA0 C BB0 D 0. 9. (α) Αποδείξτε, χρησι οποιώντας το Πρόβλη α 1-19, ότι p .x1 C y1/2 C .x2 C y2/2 p x1 2 C x2 2 C p y1 2 C y2 2: (β) Αποδείξτε ότι p .x3 x1/2 C .y3 y1/2 p .x2 x1/2 C .y2 y1/2 C p .x3 x2/2 C .y3 y2/2: Ερ ηνεύστε αυτήν την ανισότητα γεω ετρικά (ονο άζεται «τριγωνική ανι- σότητα»). Πότε ισχύει γνήσια ανισότητα; 10. Σχεδιάστε πρόχειρα τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που ακολουθούν, βρίσκοντας αρκετά ση εία για να πάρετε ια καλή ιδέα του πώς είναι περίπου. (Εί- ναι έρος του προβλή ατος να πάρετε ια απόφαση για το πόσα είναι τα «αρκετά»· τα ερωτή ατα που θέτου ε πιο κάτω έχουν σκοπό να δείξουν ότι λίγη σκέψη είναι συχνά πιο ση αντική από εκατοντάδες ε ονω ένων ση είων.) (i) f .x/ D x C 1 x . (Τί συ βαίνει για x κοντά στο 0, και για εγάλα x; Πού βρίσκεται η γραφική παράσταση σε σχέση ε τη γραφική παράσταση της ταυ- τοτικής συνάρτησης; Γιατί αρκεί να θεωρήσου ε όνο θετικά x αρχικά;)
- 79. 4. Γραφικές παραστάσεις65 (ii) f .x/ D x 1 x . (iii) f .x/ D x2 C 1 x2 . (iv) f .x/ D x2 1 x2 . 11. Περιγράψτε τη γενική εικόνα της γραφικής παράστασης της f αν (i) η f είναι άρτια. (ii) η f είναι περιττή. (iii) η f είναι η αρνητική. (iv) f .x/ D f .x Ca/ για κάθε x. (Μια συνάρτηση ε αυτήν την ιδιότητα λέγεται περιοδική ε περίοδο a.) 12. Σχεδιάστε τις συναρτήσεις f .x/ D m p x για m D 1, 2, 3, 4. (Υπάρχει ένας εύκολος τρόπος να το κάνετε, χρησι οποιώντας το Σχή α 14. Μην ξεχνάτε, ό ως, ότι ε m p x εννοού ε τη θετική m-οστή ρίζα του x όταν ο m είναι άρτιος. Θα πρέπει ακό α να ση ειώσετε ότι υπάρχει ια ση αντική διαφορά ανά εσα στη γραφική παράσταση όταν ο m είναι άρτιος και όταν ο m είναι περιττός.) 13. (α) Σχεδιάστε την f .x/ D jxj και την f .x/ D x2 . (β) Σχεδιάστε την f .x/ D j sin xj και την f .x/ D sin2 x. (Υπάρχει ια ση αν- τική διαφορά ανά εσα στις γραφικές παραστάσεις, που δεν πορού ε για την ώρα να την περιγράψου ε αυστηρά. ∆είτε αν πορείτε να την ανακαλύψετε· το έρος (α) δίνεται ως ένδειξη.) 14. Περιγράψτε τη γραφική παράσταση της g ε τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της f αν (i) g.x/ D f .x/ C c. (ii) g.x/ D f .x C c/. (Είναι εύκολο να κάνετε λάθος εδώ.) (iii) g.x/ D cf .x/. (iv) g.x/ D f .cx/. (∆ιακρίνετε τις περιπτώσεις c D 0, c 0, c 0.) (v) g.x/ D f .1=x/. (vi) g.x/ D f .jxj/. (vii) g.x/ D jf .x/j. (viii) g.x/ D max.f; 0/. (ix) g.x/ D min.f; 0/. (x) g.x/ D max.f; 1/. 15. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f .x/ D ax2 C bx C c. Υπόδειξη: Χρησι- οποιήστε τις εθόδους του Προβλή ατος 1-18. 16. Έστω ότι τα A και C δεν είναι και τα δύο ηδέν. ∆είξτε ότι το σύνολο όλων των .x; y/ που ικανοποιούν την εξίσωση Ax2 C Bx C Cy2 C Dy C E D 0 είναι ή παραβολή ή έλλειψη ή υπερβολή (ή ια «εκφυλισ ένη περίπτωση»: δύο ευθείες [είτε τε νό ενες είτε παράλληλες], ία ευθεία, ένα ση είο, ή το ;). Υπό- δειξη: Η περίπτωση C D 0 είναι ουσιαστικά το Πρόβλη α 15, και η περίπτωση A D 0 είναι απλώς ια ικρή παραλλαγή. Θεωρήστε τώρα ξεχωριστά τις περιπτώ- σεις που τα A και B είναι και τα δύο θετικά ή αρνητικά ή το ένα θετικό και το άλλο αρνητικό. Πότε έχου ε κύκλο;
- 80. 66 Θεµέλια 17. Τοσύ βολο Œx παριστάνει τον εγαλύτερο ακέραιο που είναι x. Έτσι Œ2; 1 D Œ2 D 2, και Œ 0; 9 D Œ 1 D 1. Σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων. (Είναι όλες πολύ ενδιαφέρουσες, και αρκετές από αυτές θα ε φανίζονται συχνά σε άλλα προβλή ατα.) (i) f .x/ D Œx. (ii) f .x/ D x Œx. (iii) f .x/ D p x Œx. (iv) f .x/ D Œx C p x Œx. (v) f .x/ D 1 x . (vi) f .x/ D 1 1 x . 18. Σχεδιάστε τις συναρτήσεις: (i) f .x/ D fxg, όπου ως fxg ορίζου ε την απόσταση του x από τον πλησιέστερο ακέραιο. (ii) f .x/ D f2xg. (iii) f .x/ D fxg C 1 2 f2xg. (iv) f .x/ D f4xg. (v) f .x/ D fxg C 1 2 f2xg C 1 4 f4xg. Πολλές συναρτήσεις περιγράφονται ε βάση το δεκαδικό ανάπτυγ α ενός αριθ ού. Αν και δεν θα έχου ε τη δυνατότητα να περιγράψου ε αυστηρά τα άπειρα δεκαδικά ψηφία έχρι το Κεφάλαιο 23, η διαισθητική σας αντίληψη για τα άπειρα δεκαδικά ψηφία πρέπει να αρκεί για να ανταπεξέλθετε στο επό ενο πρόβλη α, και σε άλλα που θα ε φα- νιστούν πριν από το Κεφάλαιο 23. Υπάρχει ια ασάφεια γύρω από τα άπειρα δεκαδικά ψηφία που πρέπει να τη διευκρινίσου ε: κάθε δεκαδικός αριθ ός που καταλήγει σε ια αλυσίδα από 9 είναι ίσος ε έναν άλλο που τελειώνει σε ια αλυσίδα από 0 (π.χ. 1; 23999 : : : D 1; 24000 : : :). Θα χρησι οποιού ε πάντα αυτήν που λήγει σε 9. 19. Περιγράψτε, όσο πιο καλά πορείτε, τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συν- αρτήσεων. (Συνήθως δεν συζητά ε καθόλου για ένα πλήρες σχή α.) (i) f .x/ D ο πρώτος αριθ ός στο δεκαδικό ανάπτυγ α του x. (ii) f .x/ D ο δεύτερος αριθ ός στο δεκαδικό ανάπτυγ α του x. (iii) f .x/ D το πλήθος των 7 στο δεκαδικό ανάπτυγ α του x, αν αυτός ο αριθ ός είναι πεπερασ ένος, αλλιώς 0. (iv) f .x/ D 0 αν το πλήθος των 7 στο δεκαδικό ανάπτυγ α του x είναι πεπερα- σ ένο, αλλιώς 1. (v) f .x/ D ο αριθ ός που παίρνου ε αν αντικαταστήσου ε όλα τα ψηφία του δεκαδικού αναπτύγ ατος του x που έρχονται ετά το πρώτο 7 (αν υπάρχουν τέτοια) ε 0. (vi) f .x/ D 0 αν το 1 δεν ε φανίζεται καθόλου στο δεκαδικό ανάπτυγ α του x, και n αν το 1 ε φανίζεται για πρώτη φορά στη n-οστή θέση. 20. Θέτου ε f .x/ D 8 : 0; x άρρητος 1 q ; x D p q ρητός, όπου p=q ανάγωγο.
- 81. 4. Γραφικές παραστάσεις67 (Ένα κλάσ α p=q λέγεται ανάγωγο αν οι p και q είναι ακέραιοι που δεν έχουν κοι- νό διαιρέτη, και q 0). Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f όσο πιο καλά πο- ρείτε ( ην αραδιάσετε στην τύχη ση εία στο χαρτί· θεωρήστε πρώτα τους ρητούς αριθ ούς ε q D 2, ετά αυτούς ε q D 3, κτλ.) 21. (α) Τα ση εία στη γραφική παράσταση της f .x/ D x2 είναι αυτά της ορφής .x; x2 /. Αποδείξτε ότι κάθε τέτοιο ση είο απέχει εξίσου από το ση είο .0; 1 4 / και από τη γραφική παράσταση της g.x/ D 1 4 . (Βλ. Σχή α 30.) (β) Αν δοθεί ια οριζόντια ευθεία L, η γραφική παράσταση της g.x/ D , και ένα ση είο P D .˛; ˇ/ που δεν ανήκει στην L, έτσι ώστε ¤ ˇ, δείξτε ότι το σύνολο όλων των ση είων .x; y/ που ισαπέχουν από το P και την L είναι η γραφική παράσταση ιας συνάρτησης της ορφής f .x/ D ax2 C bx C c. Ποιο είναι αυτό το σύνολο αν D ˇ; Σ Χ Η Μ Α 3 0 22. (α) ∆είξτε ότι το τετράγωνο της απόστασης του .c; d/ από το .x; mx/ είναι x2 .m2 C 1/ C x. 2md 2c/ C d2 C c2 : Χρησι οποιώντας το Πρόβλη α 1-18 για να βρείτε τον ελάχιστο από αυτούς τους αριθ ούς, δείξτε ότι η απόσταση του .c; d/ από τη γραφική παράσταση της f .x/ D mx είναι jcm dj= p m2 C 1: (β) Βρείτε την απόσταση του .c; d/ από τη γραφική παράσταση της f .x/ D mx C b. (Αναγάγετε αυτήν την περίπτωση στο έρος (α).) 23. (α) Χρησι οποιώντας το Πρόβλη α 22, δείξτε ότι οι αριθ οί x0 και y0 που δεί- χνου ε στο Σχή α 31 δίνονται από τις x0 D 1 p 2 x C 1 p 2 y; y0 D 1 p 2 x C 1 p 2 y: ήκο̋ ήκο̋ 45 Σ Χ Η Μ Α 3 1 (β) ∆είξτε ότι το σύνολο όλων των .x; y/ ε .x0 = p 2 /2 .y0 = p 2 /2 D 1 είναι το ίδιο ε το σύνολο όλων των .x; y/ ε xy D 1.
- 82. 68 Θεµέλια ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1.∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω ότι το v είναι ένα ση είο του επιπέδου· ε άλλα λόγια, το v είναι ένα ζεύγος αριθ- ών v D .v1; v2/: Για ευκολία, θα χρησι οποιήσου ε αυτήν τη σύ βαση και θα υποδηλώνου ε ε τη βοή- θεια των δεικτών το πρώτο και το δεύτερο στοιχείο του ση είου που περιγράφεται από ένα και όνο γρά α. Έτσι, όταν αναφερό αστε στα ση εία w και ´, θα εννοού ε ότι το w είναι το ζεύγος .w1; w2/, ενώ το ´ είναι το ζεύγος .´1; ´2/. Αντί για το ζεύγος των αριθ ών .v1; v2/, συχνά αναπαριστού ε το v ε τη ορφή ενός βέλους που ξεκινά από την αρχή των αξόνων O και καταλήγει σε αυτό το ση είο (Σχή α 1), και αναφερό αστε σε αυτά τα βέλη ως διανύσµατα του επιπέδου. Προς το παρόν, δεν έχου ε πει φυσικά τίποτα καινούργιο. Εισαγάγα ε απλώς έναν εναλλακτικό όρο για ένα ση είο του επιπέδου και ια άλλη νοητή εικόνα. Ο πραγ ατικός στόχος της νέας ορολογίας είναι να τονίσει ότι ε τα ση εία του επιπέδου πρόκειται να κάνου ε κάποια καινούργια πράγ ατα. Για παράδειγ α, έστω ότι έχου ε δύο διανύσ ατα (δηλαδή ση εία) του επιπέδου, τα v D .v1; v2/; w D .w1; w2/: Τότε πορού ε να ορίσου ε ένα νέο διάνυσ α (ένα νέο ση είο του επιπέδου) v C w Σ Χ Η Μ Α 1 έσω της εξίσωσης (1) v C w D .v1 C w1; v2 C w2/: Παρατηρήστε ότι όλα τα γρά ατα στο δεξιό έλος της εξίσωσης είναι αριθ οί και ότι το σύ βολο C είναι απλώς η συνηθισ ένη πρόσθεση αριθ ών. Από την άλλη πλευρά, το σύ βολο C στο αριστερό έλος είναι καινούργιο: προηγου ένως, το άθροισ α δύο ση είων του επιπέδου δεν είχε οριστεί· την εξίσωση (1) τη χρησι οποιήσα ε απλώς ως ορισµό. Ένας πολύ σχολαστικός αθη ατικός πιθανόν να θελήσει να χρησι οποιήσει ένα και- νούργιο σύ βολο για τη νέα πράξη που ορίσα ε, όπως το v C w; ή ίσως το v ˚ w; αλλά δεν υπάρχει κανένας λόγος να επι είνου ε σε αυτό. Αφού το v Cw δεν είχε οριστεί προηγου ένως, δεν υπάρχει πιθανότητα σύγχυσης και επο ένως πορού ε να κρατή- σου ε απλό τον συ βολισ ό. Ασφαλώς, οποιοσδήποτε πορεί να κατασκευάσει καινούργιους συ βολισ ούς. Για παράδειγ α, αφού πρόκειται για δικό ας ορισ ό, θα πορούσα ε κάλλιστα να είχα ε ορίσει το v C w ως .v1 C w1 w2; v2 C w1 2 /, ή χρησι οποιώντας κάποιον άλλο αλλό- κοτο τύπο. Το πραγ ατικό ερώτη α είναι: έχει το καινούργιο ας κατασκεύασ α κάποια ιδιαίτερη ση ασία; Το Σχή α 2 δείχνει δύο διανύσ ατα v και w, καθώς επίσης και το ση είο .v1 C w1; v2 C w2/; το οποίο, προς το παρόν, ση ειώσα ε ε τον συνηθισ ένο τρόπο, χωρίς να σχεδιάσου ε κάποιο βέλος. Παρατηρήστε ότι είναι εύκολο να υπολογίσου ε την κλίση της ευθείας L που διέρχεται από το v και το νέο ας ση είο. Όπως φαίνεται στο Σχή α 2, η κλίση είναι απλώς .v2 C w2/ v2 .v1 C w1/ v1 D w2 w1 ; και αυτή είναι, φυσικά, η κλίση του διανύσ ατος w, από την αρχή των αξόνων O έως το Μ Σ Χ Η Μ Α 2 .w1; w2/, Με άλλα λόγια, η ευθεία L είναι παράλληλη στο w.
- 83. 4. Παράρτηµα 1.Διανύσµατα 69 Με ό οιο τρόπο, η κλίση της ευθείας M που διέρχεται από το .w1; w2/ και το νέο ας ση είο είναι .v2 C w2/ w2 .v1 C w1/ v2 D v2 v1 ; η οποία είναι η κλίση του διανύσ ατος v. Άρα η M είναι παράλληλη στο v. Με δυο λόγια, το νέο ση είο v Cw βρίσκεται επάνω στο παραλληλόγρα ο που έχει ως πλευρές του τα v και w. Όταν σχεδιάζου ε το vCw ε τη ορφή βέλους (Σχή α 3), αυτό βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο του παραλληλογρά ου. Στη Φυσική τα διανύσ ατα χρησι οποιούνται για τον συ βολισ ό των δυνά εων, και το άθροισ α δύο διανυσ άτων αντιπροσωπεύει τη συνιστα ένη τους, δηλαδή τη συνολική δύνα η που προκύπτει όταν στο ίδιο αντικεί ενο εφαρ όζονται δύο διαφορετικές δυνά εις ταυτόχρονα. Σ Χ Η Μ Α 3 Το Σχή α 4 παρουσιάζει έναν άλλον τρόπο οπτικής αναπαράστασης του αθροίσ ατος v C w. Αν χρησι οποιήσου ε το «w» για να συ βολίσου ε ένα βέλος που είναι παράλ- ληλο και έχει το ίδιο ήκος ε το w, αλλά που ξεκινά από το v αντί από την αρχή των αξόνων, τότε το v C w είναι το διάνυσ α που ξεκινά από την αρχή των αξόνων O και καταλήγει στο τελικό ση είο. Το v C w το λα βάνου ε, δηλαδή, ακολουθώντας πρώτα το v, και στη συνέχεια το w. Σ Χ Η Μ Α 4 Πολλές από τις ιδιότητες του C για τους συνήθεις αριθ ούς ισχύουν και για το νέο αυτό C για τα διανύσ ατα. Για παράδειγ α, ο «αντι εταθετικός νό ος» v C w D w C v; είναι προφανής από τη γεω ετρική εικόνα, αφού το παραλληλόγρα ο που σχη ατίζουν τα v και w είναι το ίδιο ε το παραλληλόγρα ο που σχη ατίζουν τα w και v. Αυτό πορού ε να το διαπιστώσου ε εύκολα και αναλυτικά, αφού δηλώνει ότι .v1 C w1; v2 C w2/ D .w1 C v1; w2 C v2/; και επο ένως εξαρτάται απλώς από τον αντι εταθετικό νό ο των αριθ ών: v1 C w1 D w1 C v1; v2 C w2 D w2 C v2: Με ό οιο τρόπο, εφαρ όζοντας τους ορισ ούς, διαπιστώνου ε τον «προσεταιριστικό νό ο» Œv C w C ´ D v C Œw C ´: Το Σχή α 5 παρουσιάζει έναν τρόπο εύρεσης του v C w C ´. Σ Χ Η Μ Α 5 Η αρχή των αξόνων O D .0; 0/ είναι το «προσθετικό ταυτοτικό στοιχείο» O C v D v C O D v; και αν ορίσου ε v D . v1; v2/; έχου ε επίσης ότι v C . v/ D v C v D O: Φυσικά πορού ε ακό η να ορίσου ε w v D w C . v/; ακριβώς όπως και ε τους αριθ ούς· ισοδύνα α, w v D .w1 v1; w2 v2/: Όπως και ε τους αριθ ούς, ο ορισ ός που δώσα ε για το w v ση αίνει απλώς ότι ικανοποιεί την v C .w v/ D w:
- 84. 70 Θεµέλια Το Σχήα 6(α) δείχνει το v και ένα βέλος «w v» που είναι παράλληλο στο w v, αλλά που ξεκινά από το ση είο στο οποίο καταλήγει το v. Όπως διαπιστώσα ε στο Σχή α 4, το διάνυσ α που ξεκινά από την αρχή των αξόνων και καταλήγει στο ση είο στο οποίο καταλήγει αυτό το βέλος είναι απλώς το v C .w v/ D w (Σχή α 6(β)). Με άλλα λόγια, πορού ε να απεικονίσου ε γεω ετρικά το w v ως το βέλος που πηγαίνει από το v στο w ( ε τη διαφορά ότι ετά θα πρέπει να το ετακινήσου ε στην αρχή των αξόνων). Υπάρχει και ένας τρόπος να πολλαπλασιάσου ε έναν αριθ ό ε ένα διάνυσ α: Για έναν αριθ ό a και ένα διάνυσ α v D .v1; v2/, ορίζου ε a v D .av1; av2/ (Ορισ ένες φορές γράφου ε απλώς av αντί για a v. Στην περίπτωση αυτή είναι φυσικά ιδιαίτερα ση αντικό να θυ ό αστε ότι το v συ βολίζει ένα διάνυσ α, και όχι έναν αριθ- ό.) Το διάνυσ α a v έχει την ίδια φορά ε το v όταν a 0, και την αντίθετη φορά όταν a 0 (Σχή α 7). Μπορείτε εύκολα να ελέγξετε τις εξής σχέσεις: (α) (β) Σ Χ Η Μ Α 6 a .b v/ D .ab/ v; 1 v D v; 0 v D O; 1 v D v: Παρατηρήστε ότι ορίσα ε όνο το γινό ενο αριθ ού ε διάνυσ α· δεν ορίσα ε κά- ποιον τρόπο «πολλαπλασιασ ού» δύο διανυσ άτων που να δίνει ένα νέο διάνυσ α.* Υπάρχουν, ωστόσο, διάφοροι τρόποι «πολλαπλασιασ ού» διανυσ άτων που δίνουν αριθ- ούς, οι οποίοι διερευνώνται στα προβλή ατα που ακολουθούν. Σ Χ Η Μ Α 7 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Αν v είναι ένα δοθέν ση είο του επιπέδου, έστω ότι R .v/ είναι το αποτέλεσ α της περιστροφής του v γύρω από την αρχή των αξόνων κατά γωνία (Σχή α 8). Στόχος αυτού του προβλή ατος είναι να βρείτε έναν τύπο για το R , ε τους ελάχιστους δυνατούς υπολογισ ούς. Σ Χ Η Μ Α 8 (α) ∆είξτε ότι R .1; 0/ D .cos ; sin /; R .0; 1/ D . sin ; cos /: [Στην πραγ ατικότητα θα έπρεπε να γράψου ε R ..1; 0//, κτλ.] (β) Εξηγήστε γιατί ισχύει R .v C w/ D R .v/ C R .w/; R .a w/ D a R .w/: (γ) Τώρα δείξτε ότι για οποιοδήποτε ση είο .x; y/ έχου ε R .x; y/ D .x cos y sin ; x sin C y cos /: (δ) Χρησι οποιήστε αυτό το αποτέλεσ α για να δώσετε ια άλλη λύση στο Πρό- βλη α 4-23. *Εάν πάτε στο Κεφάλαιο 25, θα διαπιστώσετε ότι υπάρχει ένας ση αντικός τρόπος ορισ ού ενός γινο ένου, ο οποίος ό ως αφορά ειδικά και όνο στο επίπεδο —δεν επεκτείνεται, για παράδειγ α, για διανύσ ατα σε χώρους τριών διαστάσεων, σε αντίθεση ε τις υπόλοιπες πράξεις.
- 85. 4. Παράρτηµα 1.Διανύσµατα 71 2. Για δοθέντα v και w, ορίζου ε τον αριθµό v w D v1w1 C v2w2; ο οποίος συχνά ονο άζεται «εσωτερικό γινό ενο» ή «βαθ ωτό γινό ενο» των v και w. (Το επίθετο «βαθ ωτό» σε αντιδιαστολή ε το «διανυσ ατικό».) (α) Για δοθέν v, βρείτε ένα διάνυσ α w τέτοιο ώστε v w D 0. Στη συνέχεια περιγράψτε το σύνολο όλων αυτών των διανυσ άτων w. (β) ∆είξτε ότι v w D w v v .w C ´/ D v w C v ´ και ότι a .v w/ D .a v/ w D v .a w/: Παρατηρήστε ότι η τελευταία εξίσωση ε πλέκει τρία γινό ενα: το εσωτερι- κό γινό ενο δύο διανυσ άτων, το γινό ενο αριθ ού ε διάνυσ α, και το συνηθισ ένο γινό ενο δύο αριθ ών. (γ) ∆είξτε ότι v v 0, και ότι v v D 0 όνο όταν v D O. Μπορού ε επο ένως να ορίσου ε τη νόρµα kvk ως kvk D p v v; η οποία είναι 0 όνο για v D O. Ποια είναι η γεω ετρική ερ ηνεία της νόρ ας; (δ) ∆είξτε ότι kv C wk kvk C kwk; και ότι η ισότητα ισχύει αν και όνο αν v D 0 ή w D 0 ή w D a v για κάποιον αριθ ό a 0. (ε) ∆είξτε ότι v w D kv C wk2 kv wk2 4 : 3. (α) Έστω ότι R είναι η περιστροφή κατά γωνία (Πρόβλη α 1). ∆είξτε ότι R .v/ R .w/ D v w: (β) Έστω ότι e D .1; 0/ είναι το διάνυσ α ήκους 1 κατά τη φορά του πρώ- του άξονα, και έστω w D .cos ; sin /. Αυτό είναι ένα διάνυσ α ήκους 1 που σχη ατίζει γωνία ε τον πρώτο άξονα (συγκρίνετε ε το Πρόβλη α 1). Υπολογίστε ότι e w D cos : Συ περάνετε ότι γενικά v w D kvk kwk cos ; όπου είναι η γωνία ανά εσα στο v και το w. 4. Για δύο δοθέντα διανύσ ατα v και w, θα περι ένα ε να έχου ε έναν απλό τύπο, ο οποίος να ε πλέκει τις συντεταγ ένες v1; v2; w1; w2, για το ε βαδόν του παραλ- ληλογρά ου που σχη ατίζουν. Το Σχή α 9 υποδεικνύει ια στρατηγική για την εύρεση ενός τέτοιου τύπου: αφού το τρίγωνο ε κορυφές w; A; v C w είναι ίσο ε το τρίγωνο OBv, πορού ε να αναγάγου ε το πρόβλη α σε ένα ευκολότερο, Σ Χ Η Μ Α 9 στο οποίο η ία πλευρά του παραλληλογρά ου βρίσκεται επάνω στον οριζόντιο άξονα:
- 86. 72 Θεµέλια (α) Ηευθεία L περνά από το v και είναι παράλληλη στο w, άρα έχει κλίση w2=w1. Συ περάνετε ότι το ση είο B έχει συντεταγ ένη v1w2 w1v2 w2 ; και, επο ένως, ότι το ε βαδόν του παραλληλογρά ου είναι det.v; w/ D v1w2 w1v2: Ο τύπος αυτός, που ορίζει την ορίζουσα det, φαίνεται να είναι αρκετά απλός, αλλά στην πραγ ατικότητα δεν πορεί να αληθεύει ότι η det.v; w/ δίνει πάντα το ε βα- δόν. Στο κάτω-κάτω, είναι φανερό ότι det.w; v/ D det.v; w/; δηλαδή ερικές φορές η det θα είναι αρνητική! Πράγ ατι, είναι εύκολο να δού ε ότι κατά τον «υπολογισ ό» του τύπου ας κάνα ε ένα σωρό υποθέσεις (ότι ο w2 είναι θετικός, ότι το B είχε θετική συντεταγ ένη, κτλ.) Παρ’ όλα αυτά, φαίνεται πιθανόν η det.v; w/ να είναι ˙ το ε βαδόν. Το επό ενο πρόβλη α δίνει ια ανε- ξάρτητη απόδειξη. 5. (α) Αν το v έχει τη φορά του θετικού οριζόντιου άξονα, δείξτε ότι det.v; w/ εί- ναι το ε βαδόν του παραλληλογρά ου που σχη ατίζουν τα v και w αν το w βρίσκεται επάνω από τον οριζόντιο άξονα (w2 0), και το ε βαδόν ε αρνητικό πρόση ο αν το w βρίσκεται κάτω από τον άξονα. (β) Αν R είναι η περιστροφή κατά γωνία (Πρόβλη α 1), δείξτε ότι det.R v; R w/ D det.v; w/: Συ περάνετε ότι det.v; w/ είναι το ε βαδόν του παραλληλογρά ου που σχη ατίζουν τα v και w όταν η περιστροφή από το v στο w γίνεται κατά φορά αντίθετη της φοράς των δεικτών του ρολογιού, και το ε βαδόν ε αρνητικό πρόση ο όταν η περιστροφή γίνεται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού. 6. ∆είξτε ότι det.v; w C ´/ D det.v; w/ C det.v; ´/ det.v C w; ´/ D det.v; ´/ C det.w; ´/ και ότι a det.v; w/ D det.a v; w/ D det.v; a w/: 7. Χρησι οποιώντας τη έθοδο του Προβλή ατος 3, δείξτε ότι det.v; w/ D kvk kwk sin ; το οποίο είναι προφανές και από τη γεω ετρική ερ ηνεία (Σχή α 10). Σ Χ Η Μ Α 1 0
- 87. 4. Παράρτηµα 2.Οι κωνικές τοµές 73 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2. ΟΙ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Αν και θα ας απασχολήσουν σχεδόν αποκλειστικά σχή ατα στο επίπεδο, το οποίο τυπικά ορίζεται ως το σύνολο όλων των ζευγών πραγ ατικών αριθ ών, σε αυτό το Παράρτη α θέλου ε να ελετήσου ε τον χώρο των τριών διαστάσεων, τον οποίο πορού ε να περι- γράψου ε ε τη βοήθεια τριάδων πραγ ατικών αριθ ών, χρησι οποιώντας ένα «τριδιά- στατο σύστη α συντεταγ ένων», αποτελού ενο από τρεις ευθείες που τέ νονται κάθετα εταξύ τους. (Σχή α 1). Ο οριζόντιος και ο κάθετος άξονάς ας εταλλάσσονται τώρα σε δύο άξονες επάνω σε ένα οριζόντιο επίπεδο, ε τον τρίτο άξονα να είναι κάθετος και στους δύο. Σ Χ Η Μ Α 1 Ένα από τα απλούστερα υποσύνολα αυτού του τριδιάστατου χώρου είναι ο (άπειρος) κώνος που παρουσιάζεται στο Σχή α 2. Τον κώνο αυτόν πορού ε να τον δη ιουργή- σου ε περιστρέφοντας ια «γενέτειρα ευθεία», κλίσης ας πού ε C, γύρω από τον τρίτο άξονα.κλίση Σ Χ Η Μ Α 2 Για οποιεσδήποτε δοθείσες δύο πρώτες συντεταγ ένες x και y, το ση είο .x; y; 0/ του οριζόντιου επιπέδου απέχει p x2 C y2 από την αρχή των αξόνων, και άρα (1) το .x; y; ´/ βρίσκεται πάνω στον κώνο αν και όνο αν ´ D ˙C p x2 C y2: Από αυτήν την τριδιάστατη εικόνα πορού ε να εταπέσου ε στην πιο γνώρι η διδιάστατη, αν αναρωτηθού ε τι συ βαίνει όταν ο κώνος τ ηθεί ε κάποιο επίπεδο P (Σχή α 3). κώνο̋ επίπεδο Σ Χ Η Μ Α 3 Αν το επίπεδο είναι παράλληλο ε το οριζόντιο επίπεδο, δεν υπάρχει απολύτως κανένα υστήριο —η το ή είναι απλώς ένας κύκλος. Σε διαφορετική περίπτωση, η το ή του επιπέδου P ε το οριζόντιο επίπεδο είναι ια ευθεία. Μπορού ε να απλοποιήσου ε πολύ τα πράγ ατα αν περιστρέψου ε τα πάντα γύρω από τον κάθετο άξονα, έτσι ώστε η ευθεία αυτή της το ής να δείχνει προς τα έξω από το επίπεδο του χαρτιού, ενόσω ο πρώτος άξονας παρα ένει στη συνηθισ ένη του, γνώρι ή ας θέση. Αυτό που βλέπου ε από το επίπεδο P (Σχή α 4) είναι τότε η το ή του L ε το επίπεδο του πρώτου και του τρίτου άξονα. Από αυτήν την οπτική γωνία ο κώνος φαίνεται σαν δύο ευθείες γρα ές. Αν αυτή η ευθεία L τύχει να είναι κατακόρυφη και να αποτελείται από όλα τα ση εία .a; ´/ για κάποιο a, τότε η εξίσωση (1) ας λέει ότι η το ή του κώνου ε το επίπεδο αποτελείται από όλα τα ση εία .a; y; ´/ ε ´2 C2 y2 D C2 a2 ; το οποίο είναι ια υπερβολή. κλίσηκλίση Σ Χ Η Μ Α 4 Σε διαφορετική περίπτωση, στο επίπεδο του πρώτου και του τρίτου άξονα, η ευθεία L πορεί να περιγραφεί ως το σύνολο όλων των ση είων της ορφής .x; M x C B/; όπου M είναι η κλίση της L. Για ένα τυχαίο ση είο .x; y; ´/ έπεται ότι (2) το .x; y; ´/ βρίσκεται στο επίπεδο P αν και όνο αν ´ D M x C B: Συνδυάζοντας τις (1) και (2), διαπιστώνου ε ότι το .x; y; ´/ βρίσκεται στην το ή του κώνου ε το επίπεδο αν και όνο αν () M x C B D ˙C p x2 C y2: Τώρα πρέπει να επιλέξου ε τους άξονες συντεταγ ένων του επιπέδου P . Μπορού ε να επιλέξου ε την L ως τον πρώτο άξονα, και να ετρά ε τις αποστάσεις από την το ή Q ε το οριζόντιο επίπεδο (Σχή α 5)· ως δεύτερο άξονα επιλέγου ε απλώς την ευθεία που διέρχεται από την Q και είναι παράλληλη ε τον αρχικό ας δεύτερο άξονα. Αν η πρώτη συντεταγ ένη ενός ση είου του P ως προς αυτούς τους άξονες είναι x, τότε η
- 88. 74 Θεµέλια πρώτη συντεταγένη αυτού του ση είου ως προς τους αρχικούς άξονες πορεί να γραφεί ε τη ορφή ˛x C ˇ για κάποια ˛ και ˇ. Από την άλλη πλευρά, αν η δεύτερη συντεταγ ένη του ση είου ως προς αυτούς τους άξονες είναι y, τότε y είναι η δεύτερη συντεταγ ένη και ως προς τους αρχικούς άξονες. Συνεπώς, η () ας λέει ότι το ση είο βρίσκεται στην το ή του επιπέδου ε τον κώνο Σ Χ Η Μ Α 5 αν και όνο αν M.˛x C ˇ/ C B D ˙C p .˛x C ˇ/2 C y2: Αν και αυτό φαίνεται αρκετά περίπλοκο, παίρνοντας τα τετράγωνα πορού ε να το γρά- ψου ε ως C2 y2 ˛2 .M 2 C2 /x2 C Ex C F D 0 για κάποια E και F τα οποία δεν θα κάνου ε τον κόπο να γράψου ε αναλυτικά. Το Πρόβλη α 4-16 δείχνει ότι αυτό είναι ή παραβολή, ή έλλειψη, ή υπερβολή. Αν κοιτάξου ε λίγο πιο προσεκτικά τη λύση, θα δού ε ότι οι τι ές των E και F είναι αδιά- φορες: (1) Αν M D ˙C προκύπτει παραβολή· (2) Αν C2 M 2 προκύπτει έλλειψη· (3) Αν C2 M 2 προκύπτει υπερβολή. Τις αναλυτικές αυτές συνθήκες πορού ε εύκολα να τις ερ ηνεύσου ε γεω ετρικά (Σχή α 6): (1) αν το επίπεδό ας είναι παράλληλο ε κάποια από τις γενέτειρες ευθείες του κώνου προκύπτει παραβολή· (2) αν η κλίση του επιπέδου ας είναι ικρότερη από την κλίση της γενέτειρας ευθείας του κώνου (έτσι ώστε η το ή ας να ην περιλα βάνει το ένα ισό του κώνου) προκύπτει έλλειψη· (3) αν η κλίση του επιπέδου ας είναι εγαλύτερη από την κλίση της γενέτειρας ευθείας του κώνου προκύπτει υπερβολή. Σ Χ Η Μ Α 6 Στην πράξη, τα ίδια τα ονό ατα αυτών των «κωνικών το ών» είναι και η περιγραφή τους. Στα Ελληνικά, το συνθετικό παρα- της λέξης παραβολή έχει την ίδια έννοια ε τις λέξεις παράδειγ α, παράδοξο, παράγραφος, παράλληλο, κλπ., η λέξη έλλειψη υποδηλώνει κάτι ελαττω ατικό ή κάποια παράλειψη, ενώ η λέξη υπερβολή ση αίνει κάτι επιπλέον του κανονικού, όπως στις λέξεις υπερδραστήριος, υπερευαίσθητος.* *Παρόλο που η αντιστοιχία των νοη άτων των ελληνικών λέξεων ε τη γεω ετρική εικόνα είναι πολύ ό ορφη, οι Έλληνες τις υιοθέτησαν αρχικά για να περιγράψουν τα γνωρίσ ατα συγκεκρι ένων εξισώσεων που συνδέ- ονταν ε τις κωνικές το ές.
- 89. 4. Παράρτηµα 2.Οι κωνικές τοµές 75 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Θεωρήστε έναν κύλινδρο ε γενέτειρα κάθετη στο οριζόντιο επίπεδο (Σχή α 7)· η όνη απαίτηση για να βρίσκεται ένα ση είο .x; y; ´/ σε αυτόν τον κύλινδρο είναι το .x; y/ να βρίσκεται σε έναν κύκλο: x2 C y2 D C2 : ∆είξτε ότι η το ή ενός επιπέδου ε αυτόν τον κύλινδρο πορεί να περιγραφεί από ια εξίσωση της ορφής Σ Χ Η Μ Α 7 .˛x C ˇ/2 C y2 D C2 : Τί δυνατότητες υπάρχουν; 2. Στο Σχή α 8, η σφαίρα S1 έχει την ίδια διά ετρο ε τον κύλινδρο έτσι ώστε ο ιση- ερινός της C1 να βρίσκεται επάνω στον κύλινδρο· επίσης εφάπτεται στο επίπεδο P στο ση είο F1. Ο οίως, ο ιση ερινός C2 της S2 βρίσκεται επάνω στον κύλινδρο, και η S2 εφάπτεται στο P στο ση είο F2. (α) Έστω ότι ´ είναι ένα οποιοδήποτε ση είο στην το ή του P ε το κύλινδρο. Εξηγήστε γιατί το ήκος της ευθείας από το ´ στο F1 ισούται ε το ήκος της κατακόρυφης ευθείας L από το ´ στο C1. Σ Χ Η Μ Α 8 (β) Αποδεικνύοντας το αντίστοιχο για το ήκος της ευθείας από το ´ στο F2, δείξτε ότι η απόσταση από το ´ στο F1 συν την απόσταση από το ´ στο F2 είναι σταθερή, ε αποτέλεσ α η το ή να είναι ια έλλειψη, ε εστίες τα F1 και F2. 3. Ο οίως, χρησι οποιήστε το Σχή α 9(α) για να αποδείξετε γεω ετρικά ότι η το ή ενός επιπέδου ε έναν κώνο είναι έλλειψη όταν το επίπεδο τέ νει το ένα όνο ισό του κώνου. Ο οίως, χρησι οποιήστε το (β) για να αποδείξετε ότι η το ή είναι υπερβολή όταν το επίπεδο τέ νει και τα δύο ισά του κώνου. (α) (β) Σ Χ Η Μ Α 9
- 90. 76 Θεµέλια ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 3.ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Σε αυτό το Κεφάλαιο συ περιφερό ασταν σαν να υπήρχε όνο ένας τρόπος να ονο ά- ζου ε ση εία στο επίπεδο ε ζεύγη αριθ ών. Στην πραγ ατικότητα, υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι, που ο καθένας δη ιουργεί ένα διαφορετικό «σύστη α συντεταγ έ- νων». Οι συνήθεις συντεταγ ένες ενός ση είου καλούνται Καρτεσιανές συντεταγ ένες, από τον Γάλλο αθη ατικό και φιλόσοφο Ren´e Descartes (1596-1650), ο οποίος πρώ- τος εισήγαγε την ιδέα του συστή ατος συντεταγ ένων. Σε πολλές περιπτώσεις είναι πιο βολικό να εισάγου ε πολικές συντεταγ ένες, οι οποίες απεικονίζονται στο Σχή α 1. Στο ση είο P αντιστοιχού ε τις πολικές συντεταγ ένες .r; /, όπου r είναι η απόσταση από την αρχή των αξόνων O έχρι το P , και είναι το έτρο της γωνίας, σε ακτίνια, της γωνίας εταξύ του οριζόντιου άξονα και της ευθείας από το O στο P . Η γωνία δεν εί- ήκο̋ Σ Χ Η Μ Α 1 ναι ξεκάθαρα ορισ ένη. Για παράδειγ α, ση εία στη δεξιά πλευρά του οριζόντιου άξονα πορεί να έχουν D 0 ή D 2. Επιπλέον, η είναι τελείως ασαφής στην αρχή των αξόνων O. Επο ένως, είναι αναγκαίο να αποκλείσου ε κάποια ακτίνα που διέρχεται από την αρχή, αν θέλου ε να αντιστοιχού ε ένα οναδικό ζεύγος .r; / σε κάθε ση είο που εξετάζου ε. Από την άλλη, δεν υπάρχει κανένα πρόβλη α να αντιστοιχήσου ε ένα οναδικό ση είο σε κάθε ζεύγος .r; /. Μάλιστα, πορού ε (αν και αυτό δεν το εγκρίνουν όλοι) να αντιστοιχήσου ε ένα ση είο στο .r; / όταν r 0, σύ φωνα ε τον τρόπο που υπο- δεικνύεται στο Σχή α 2. Επο ένως, έχει πάντοτε νόη α να ιλά ε για «το ση είο ε πολικές συντεταγ ένες .r; /» ( ε ή χωρίς τη δυνατότητα να είναι r 0), ακό α και αν υπάρχει κάποια ασάφεια όταν ιλά ε για «τις πολικές συντεταγ ένες» ενός δοθέντος ση είου. ήκο̋ Ρ είναι το ση είο ε πολικέ̋ συντεταγ ένε̋ και επίση̋ το ση είο ε πολικέ̋ συντεταγ ένε̋ 0 Σ Χ Η Μ Α 2 Είναι φανερό, από το Σχή α 1 (και το Σχή α 2), ότι το ση είο ε πολικές συντεταγ- ένες .r; / έχει Καρτεσιανές συντεταγ ένες .x; y/ που δίνονται από τις σχέσεις x D r cos ; y D r sin : Αντιστρόφως, αν ένα ση είο έχει Καρτεσιανές συντεταγ ένες .x; y/, τότε οι (οποιεσδή- ποτε από τις) πολικές συντεταγ ένες του .r; / ικανοποιούν τις r D ˙ p x2 C y2 tan D y x αν x ¤ 0: Τώρα, έστω ότι f είναι ια συνάρτηση. Τότε, λέγοντας η γραφική παράσταση της f σε πολικές συντεταγ ένες, εννοού ε το σύνολο όλων των ση είων P ε πολικές συν- τεταγ ένες .r; / που ικανοποιούν την εξίσωση r D f ./. Με άλλα λόγια, η γραφική
- 91. 4. Παράρτηµα 3.Πολικές συντεταγµένες 77 παράσταση της f σε πολικές συντεταγ ένες είναι το σύνολο όλων των ση είων ε πολι- κές συντεταγ ένες .f ./; /. ∆εν πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη βαρύτητα στο γεγονός ότι θεωρού ε ζεύγη .f ./; / ε το f ./ πρώτο, σε αντίθεση προς τα ζεύγη .x; f .x// στη συνηθισ ένη γραφική παράσταση της f . Είναι απλώς θέ α σύ βασης να θεωρείται το r ως πρώτη πολική συντεταγ ένη και η ως δεύτερη. Η γραφική παράσταση της f σε πολικές συντεταγ ένες περιγράφεται συχνά ως «η γραφική παράσταση της εξίσωσης r D f ./». Για παράδειγ α, ας υποθέσου ε ότι η f είναι ια σταθερή συνάρτηση, f ./ D a για όλα τα . Η γραφική παράσταση της εξίσωσης r D a είναι απλώς ένας κύκλος ε κέντρο O και ακτίνα a (Σχή α 3). Αυτό Σ Χ Η Μ Α 3 το παράδειγ α δείχνει, ξεκάθαρα, ότι οι πολικές συντεταγ ένες άλλον απλοποιούν τα πράγ ατα σε περιπτώσεις που υπάρχει συ ετρία ως προς την αρχή O. Η γραφική παράσταση της εξίσωσης r D δείχνεται στο Σχή α 4. Η παχιά γρα ή αντιστοιχεί σε όλες τις τι ές 0, ενώ η διακεκο ένη στις τι ές 0. Η σπείρα του Αρχι ήδη Σ Χ Η Μ Α 4 Ως ένα άλλο παράδειγ α που ε πλέκει και θετικά και αρνητικά r, θεωρήστε τη γραφι- κή παράσταση της εξίσωσης r D cos . Το Σχή α 5(α) δείχνει το έρος που αντιστοιχεί στο 0 =2. Το Σχή α 5(β) δείχνει το έρος που αντιστοιχεί στο =2 (εδώ r 0). Μπορείτε να ελέγξετε ότι δεν προστίθενται νέα ση εία αν ή 0. Είναι εύκολο να περιγράψου ε την ίδια γραφική παράσταση ε τις Καρτεσιανές συντεταγ έ- νες των ση είων. Αφού οι πολικές συντεταγ ένες του τυχαίου ση είου της γραφικής παράστασης ικανοποιούν την r D cos ; και άρα r2 D r cos ; οι Καρτεσιανές συντεταγ ένες του ικανοποιούν την εξίσωση x2 C y2 D x η οποία περιγράφει έναν κύκλο (Πρόβλη α 4-16). [Αντιστρόφως, είναι φανερό ότι, εάν οι Καρτεσιανές συντεταγ ένες ενός ση είου ικανοποιούν την x2 C y2 D x, τότε αυτό βρίσκεται πάνω στη γραφική παράσταση της εξίσωσης r D cos .] Παρ’ ότι έχου ε πλέον προσδιορίσει την εξίσωση του κύκλου ε δύο διαφορετικούς τρόπους, θα ή ασταν άλλον διστακτικοί να προσπαθήσου ε να βρού ε την εξίσωση της έλλειψης σε πολικές συντεταγ ένες. Όπως ό ως προκύπτει, πορού ε να πάρου ε ια πολύ ό ορφη εξίσωση αν διαλέξου ε ως αρχή των αξόνων ια από τις εστίες. Το Σχή α 6 δείχνει ια έλλειψη η ια εστία της οποίας είναι στο O, και της οποίας το άθροισ α των (α) (β) Σ Χ Η Μ Α 5 αποστάσεων όλων των ση είων από το O και την άλλη εστία f είναι 2a. Επιλέξα ε το f να βρίσκεται αριστερά του O, ε συντεταγ ένες που γράφονται . 2a; 0/:
- 92. 78 Θεµέλια (Έχου εότι 0 1, αφού πρέπει να ισχύει 2a απόσταση του f από το O). Σ Χ Η Μ Α 6 Η απόσταση r του .x; y/ από το O είναι (1) r2 D x2 C y2 : Από την υπόθεση, η απόσταση από το .x; y/ έχρι το f είναι 2a r, άρα .2a r/2 D .x Œ 2a/2 C y2 ; ή (2) 4a2 4ar C r2 D x2 C 4ax C 42 a2 C y2 : Αφαιρώντας την (1) από την (2), και διαιρώντας ε 4a, λα βάνου ε a r D x C 2 a; ή r D a x 2 a D .1 2 /a x; το οποίο πορού ε να γράψου ε ως (3) r D ƒ x; για ƒ D .1 2 /a. Αντικαθιστώντας το x ε r cos , έχου ε r D ƒ r cos ; r.1 C cos / D ƒ; και άρα (4) r D ƒ 1 C cos : Στο Κεφάλαιο 4 βρήκα ε ότι η (5) x2 a2 C y2 b2 D 1 είναι η εξίσωση σε Καρτεσιανές συντεταγ ένες της έλλειψης ε άθροισ α αποστάσεων από τις εστίες 2a, αλλά ε τις εστίες στα . c; 0/ και .c; 0/, όπου b D p a2 c2:
- 93. 4. Παράρτηµα 3.Πολικές συντεταγµένες 79 Αφού η απόσταση εταξύ των εστιών είναι 2c, αν ετακινήσου ε αυτήν την έλλειψη προς τα αριστερά κατά c ονάδες, έτσι ώστε η εστία .c; 0/ να βρεθεί στην αρχή των αξόνων, λα βάνου ε την έλλειψη (4) αν πάρου ε c D a ή D c=a ( ε την εξίσωση (3) να καθορίζει το ƒ). Αντιστρόφως, δοθείσης της έλλειψης που περιγράφει η (4), η τι ή του a για την αντίστοιχη εξίσωση (5) καθορίζεται από την (3), a D ƒ 1 2 ; και χρησι οποιώντας και πάλι το ότι c D a, λα βάνου ε b D p a2 c2 D p a2 2a2 D a p 1 2 D ƒ p 1 2 : Τα a και b, τα ήκη του εγάλου και του ικρού άξονα, πορού ε δηλαδή να τα προσ- διορίσου ε α έσως από τα και ƒ. Ο αριθ ός D c a D p a2 b2 a D s 1 b a 2 ; η εκκεντρότητα της έλλειψης, καθορίζει το «σχή α» της έλλειψης (τον λόγο του εγάλου προς τον ικρό άξονα), ενώ ο αριθ ός ƒ καθορίζει το « έγεθός» της, όπως φαίνεται από την (4). ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Αν δύο ση εία έχουν πολικές συντεταγ ένες .r1; 1/ και .r2; 2/, δείξτε ότι η από- σταση d εταξύ τους δίνεται από τη σχέση d2 D r1 2 C r2 2 2r1r2 cos.1 2/: Ποια η γεω ετρική της ση ασία; 2. Περιγράψτε τα γενικά χαρακτηριστικά της γραφικής παράστασης της f σε πολικές συντεταγ ένες, αν (i) η f είναι άρτια. (ii) η f είναι περιττή. (iii) f ./ D f . C /. 3. Σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις των πιο κάτω εξισώσεων: (i) r D a sin . (ii) r D a sec . Υπόδειξη: Είναι πολύ απλό! (iii) r D cos 2. Καλή τύχη! (iv) r D cos 3. (v) r D j cos2j. (vi) r D j cos3j. 4. Βρείτε εξισώσεις για τις Καρτεσιανές συντεταγ ένες των ση είων των γραφικών παραστάσεων (i), (ii) και (iii) του Προβλή ατος 3. 5. Θεωρήστε την υπερβολή όπου η διαφορά των αποστάσεων εταξύ των δύο εστιών είναι η σταθερά 2a, και επιλέξετε τη ια εστία στο O και την άλλη στο . 2a; 0/. (Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να έχου ε 1). ∆είξτε ότι λα βάνου ε ακρι- βώς την ίδια εξίσωση σε πολικές συντεταγ ένες r D ƒ 1 C cos που λάβα ε και για την έλλειψη.
- 94. 80 Θεµέλια 6. Θεωρήστετο σύνολο των ση είων .x; y/ για τα οποία η απόσταση του .x; y/ από το O είναι ίση ε την απόσταση του .x; y/ από την ευθεία y D a (Σχή α 7). ∆είξτε ότι η απόσταση από την ευθεία είναι a r cos , και συ περάνετε ότι η εξίσωση πορεί να γραφεί ως a D r.1 C cos /: Παρατηρήστε ότι αυτή η εξίσωση της παραβολής έχει και πάλι την ίδια ορφή ε την (4). 7. Τώρα, για οποιαδήποτε ƒ και , θεωρήστε τη γραφική παράσταση σε πολικές συν- Σ Χ Η Μ Α 7 τεταγ ένες της εξίσωσης (4), από την οποία προκύπτει η (3). ∆είξτε ότι τα ση εία που ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση ικανοποιούν την .1 2 /x2 C y2 D ƒ2 2ƒx: Χρησι οποιώντας το Πρόβλη α 4-16, δείξτε ότι αυτό είναι έλλειψη για 1, παραβολή για D 1, και υπερβολή για 1. 8. (α) Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της καρδιοειδούς r D 1 sin . (β) ∆είξτε ότι αυτή αποτελεί επίσης και τη γραφική παράσταση της r D 1 sin . (γ) ∆είξτε ότι πορεί να περιγραφεί από την εξίσωση x2 C y2 D p x2 C y2 y; και συ περάνετε ότι πορεί να περιγραφεί από την εξίσωση .x2 C y2 C y/2 D x2 C y2 : 9. Σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις των επο ένων εξισώσεων: (i) r D 1 1 2 sin . (ii) r D 1 2 sin . (iii) r D 2 C cos . 10. (α) Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση του ληµνίσκου r2 D 2a2 cos 2: (β) Βρείτε ια εξίσωση για τις Καρτεσιανές του συντεταγ ένες. (γ) ∆είξτε ότι είναι το σύνολο όλων των ση είων P του Σχή ατος 8 που ικανο- ποιούν την d1d2 D a2 . Σ Χ Η Μ Α 8 (δ) Προσπαθήστε να αντέψετε το σχή α των κα πυλών που σχη ατίζονται από το σύνολο όλων των P που ικανοποιούν την d1d2 D b, όταν b a2 και όταν b a2 .
- 95. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΟΡΙΑ Ηέννοια του ορίου είναι οπωσδήποτε η πιο ση αντική, και ίσως η πιο δύσκολη σε ολό- κληρο τον Απειροστικό Λογισ ό. Στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι ο ορισ ός των ορίων, θα ξεκινήσου ε ό ως για ια ακό α φορά ε έναν δοκι αστικό ορισ ό· αυτό που θα ορίσου ε δεν είναι η λέξη «όριο» αλλά η έννοια ιας συνάρτησης που τείνει σε κάποιο όριο. ∆ΟΚΙΜΑΣΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Η συνάρτηση f τείνει στο όριο l κοντά στο a, αν πορού ε να φέρου ε το f .x/ όσο κοντά θέλου ε στο l απαιτώντας το x να είναι αρκετά κοντά στο, αλλά όχι ίσο ε το, a. Από τις έξι συναρτήσεις που σχεδιάσα ε στο Σχή α 1, όνο οι πρώτες τρεις τείνουν στο l κοντά στο a. Παρατηρήστε ότι, αν και το g.a/ δεν ορίζεται και το h.a/ είναι ορι- σ ένο « ε λάθος τρόπο», ισχύει και πάλι ότι η g και η h τείνουν στο l κοντά στο a. Αυτό γιατί, στον ορισ ό ας, αποκλείσα ε ρητά την ανάγκη να εξετάσου ε την τι ή της συνάρτησης στο a —αρκεί το f .x/ να είναι κοντά στο l για x κοντά στο a, αλλά όχι ίσο µε το a. Απλώς, δεν ενδιαφερό αστε για την τι ή f .a/, ούτε καν θέτου ε το ερώτη α αν το f .a/ ορίζεται. Σ Χ Η Μ Α 1 Ένας βολικός τρόπος για να απεικονίσου ε τον ισχυρισ ό ότι η f τείνει στο l κον- τά στο a παρέχεται από ια έθοδο σχεδίασης συναρτήσεων που δεν αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο 4. Σύ φωνα ε αυτήν τη έθοδο, ζωγραφίζου ε δύο ευθείες, που καθε ιά παριστάνει το R, και βέλη από ένα ση είο x της ιας, στο f .x/ της άλλης. Στο Σχή α 2 δίνου ε ια τέτοια εικόνα για δύο διαφορετικές συναρτήσεις. 81
- 96. 82 Θεµέλια (β)(α) Σ ΧΗ Μ Α 2 Ας θεωρήσου ε τώρα ια συνάρτηση f που η γραφική της παράσταση οιάζει ε αυτή στο Σχή α 3. Ας υποθέσου ε ότι ζητά ε το f .x/ να βρίσκεται κοντά στο l, ας πού ε έσα στο ανοικτό διάστη α B που έχου ε σχεδιάσει στο Σχή α 3. Αυτό εξασφαλίζεται αν θεωρήσου ε όνο τους αριθ ούς x στο διάστη α A του Σχή ατος 3. (Σε αυτό το διάγρα α διαλέξα ε το εγαλύτερο διάστη α που δουλεύει· θα πορούσα ε αντί για αυτό να διαλέξου ε οποιοδήποτε ικρότερο διάστη α που περιέχει το a.) Αν διαλέξου ε ένα ικρότερο διάστη α B0 (Σχή α 4) θα πρέπει, συνήθως, να διαλέξου ε ένα ικρότερο A0 αλλά όσο ικρό και αν πάρου ε το ανοικτό διάστη α B, υποτίθεται ότι πάντα θα υπάρχει κάποιο ανοικτό διάστη α A που θα δουλεύει. Σ Χ Η Μ Α 3 Σ Χ Η Μ Α 4 Μια παρό οια οπτική ερ ηνεία είναι δυνατή ε βάση τη γραφική παράσταση της f , αλλά σε αυτήν την παράσταση το διάστη α B πρέπει να σχεδιαστεί στον κατακόρυφο άξονα, και το σύνολο A στον οριζόντιο άξονα. Το γεγονός ότι το f .x/ ανήκει στο B όταν το x είναι στο A ση αίνει ότι το έρος της γραφικής παράστασης που βρίσκεται πάνω από το A περιέχεται στο χωρίο που περικλείεται από τις οριζόντιες ευθείες που περνούν από τα άκρα του B· συγκρίνετε το Σχή α 5(α) όπου έχου ε διαλέξει κατάλληλο διάστη α A, ε το Σχή α 5(β), όπου το A είναι πολύ εγάλο. (α) (β) Σ Χ Η Μ Α 5 Για να πάρου ε ένα συγκεκρι ένο απλό παράδειγ α, ας θεωρήσου ε τη συνάρτηση f .x/ D 3x ε a D 5 (Σχή α 6). Η f ανα ένεται προφανώς να τείνει στο όριο 15 κοντά στο 5 —θα πρέπει να εί αστε σε θέση να πάρου ε το f .x/ όσο κοντά στο 15 θέλου ε, αν απαιτήσου ε να είναι το x αρκετά κοντά στο 5. Για να εί αστε συγκεκρι ένοι, ας υποθέσου ε ότι θέλου ε να εξασφαλίσου ε ότι το 3x θα βρίσκεται έσα στο 1 10 γύρω από το 15. Αυτό ση αίνει ότι θέλου ε να ισχύει Σ Χ Η Μ Α 6
- 97. 5. Όρια 83 15 1 10 3x 15 C 1 10 ; το οποίο πορού ε να γράψου ε και ως 1 10 3x 15 1 10 : Για να το κάνου ε αυτό πρέπει απλώς να απαιτήσου ε ότι 1 30 x 5 1 30 ; ή απλώς ότι jx 5j 1 30 . ∆εν υπάρχει τίποτα το ιδιαίτερο σε σχέση ε τον αριθ ό 1 10 . Είναι το ίδιο εύκολο να εξασφαλίσου ε ότι j3x 15j 1 100 · αρκεί να απαιτήσου ε ότι jx 5j 1 300 . Αν πάρου ε οποιονδήποτε θετικό αριθ ό , πορού ε να εξασφαλίσου ε ότι j3x 15j απαιτώντας απλώς ότι jx 5j =3. ∆εν υπάρχει τίποτα το ιδιαίτερο ούτε σε σχέση ε την επιλογή a D 5. Είναι το ίδιο εύ- κολο να δού ε ότι η f τείνει στο όριο 3a στο a για οποιοδήποτε a: Για να εξασφαλίσου ε ότι j3x 3aj αρκεί να απαιτήσου ε ότι jx aj 3 : Όπως είναι φυσικό, ο ίδιος συλλογισ ός δουλεύει και ε τη συνάρτηση f .x/ D 3:000:000x. Πρέπει όνο να εί αστε 1:000:000 φορές πιο προσεκτικοί, επιλέγοντας jx aj =3:000:000 προκει ένου να εξασφαλίσου ε ότι jf .x/ aj . Η συνάρτηση f .x/ D x2 είναι λίγο πιο ενδιαφέρουσα. Θα πρέπει προφανώς να εί αστε σε θέση να δείξου ε ότι η f .x/ τείνει στο 9 κοντά στο 3. Πρέπει δηλαδή να δείξου ε πώς πορού ε να εξασφαλίσου ε την ανισότητα jx2 9j για οποιονδήποτε δοθέντα θετικό αριθ ό απαιτώντας να είναι το jx 3j αρκετά ικρό. Το προφανές πρώτο βή α είναι να γράψου ε jx2 9j D jx 3j jx C 3j; το οποίο ας δίνει τον χρήσι ο παράγοντα jx 3j. Σε αντίθεση ό ως ε την κατάσταση στα προηγού ενα παραδείγ ατα, εδώ ο επιπλέον παράγοντας είναι ο jx C 3j, ο οποίος δεν είναι ια βολική σταθερά όπως το 3 ή το 3:000:000. Το όνο κρίσι ο ση είο, ό ως, είναι να εξασφαλίσου ε ότι πορού ε να πού ε κάτι σχετικά ε το πόσο εγάλο είναι το jx C 3j. Έτσι, το πρώτο πράγ α που θα κάνου ε είναι να απαιτήσου ε ότι jx 3j 1. Έχοντας καθορίσει ότι jx 3j 1, ή 2 x 4, έχου ε ότι 5 x C 3 7 και έχου ε εξασφαλίσει ότι jx C 3j 7. Επο ένως, έχου ε jx2 9j D jx 3j jx C 3j 7jx 3j; το οποίο ας δείχνει ότι jx2 9j για jx 3j =7, ε την προϋπόθεση ότι έχου ε επι- πλέον απαιτήσει ότι jx 3j 1. Ή, για να το κάνου ε να φανεί πιο αυστηρό: απαιτού ε ότι jx 3j min.=7; 1/. Την αρχική επιλογή jx 3j 1 την κάνα ε απλώς για ευκολία. Θα πορούσα ε κάλ- λιστα να έχου ε καθορίσει ότι jx 3j 1 10 ή jx 3j 10 ή οποιονδήποτε άλλο βολικό αριθ ό. Για να είστε σίγουροι ότι καταλάβατε τον συλλογισ ό της προηγού ενης παρα- γράφου, ια καλή άσκηση είναι να διαπιστώσετε ποια ορφή θα λά βανε ο συλλογισ ός αν επιλέγα ε jx 3j 10. Ο συλλογισ ός ας που δείχνει ότι η f τείνει στο 9 κοντά στο 3 επεκτείνεται για να δείξου ε ότι η f τείνει στο a2 κοντά στο a για οποιοδήποτε a, ε τη διαφορά ότι θα
- 98. 84 Θεµέλια πρέπει ναπροβλη ατιστού ε λίγο περισσότερο για το πώς θα λάβου ε την κατάλληλη ανισότητα για το jx C aj. Πρώτα απαιτού ε ότι jx aj 1, και πάλι ε την προσδοκία πως αυτό θα ας εξασφαλίσει ότι το jx C aj δεν είναι υπερβολικά εγάλο. Το Πρόβλη α 1-12 δείχνει ότι jxj jaj jx aj 1; άρα jxj 1 C jaj; και επο ένως jx C aj jxj C jaj 2jaj C 1; έτσι ώστε να έχου ε jx2 a2 j D jx aj jx C aj jx aj .2jaj C 1/; το οποίο δείχνει ότι jx2 a2 j για jx aj =.2jajC1/, ε την προϋπόθεση ότι έχου ε επιπλέον ότι jx aj 1. Πιο αυστηρά: απαιτού ε ότι jx aj min.=.2jaj C 1/; 1/. Σε αντίθεση ε αυτό το παράδειγ α, θα θεωρήσου ε τώρα τη συνάρτηση f .x/ D 1=x (για x ¤ 0), και θα προσπαθήσου ε να δείξου ε ότι η f τείνει στο 1=3 κοντά στο 3. Πρέπει δηλαδή να δείξου ε πώς πορού ε να εξασφαλίσου ε την ανισότητα ˇ ˇ ˇ ˇ 1 x 1 3 ˇ ˇ ˇ ˇ για οποιονδήποτε δοθέντα θετικό αριθ ό απαιτώντας να είναι το jx 3j αρκετά ικρό. Ξεκινά ε γράφοντας ˇ ˇ ˇ ˇ 1 x 1 3 ˇ ˇ ˇ ˇ D ˇ ˇ ˇ ˇ 3 x 3x ˇ ˇ ˇ ˇ D 1 3 1 jxj jx 3j; το οποίο ας δίνει τον χρήσι ο παράγοντα jx 3j, και ακό α ένα επιπλέον 1 3 για ια καλή έτρηση, αζί ε τον παράγοντα του προβλή ατος 1=jxj. Σε αυτήν την περίπτωση, πρώτα πρέπει να εξασφαλίσου ε ότι το jxj δεν είναι υπερβολικά µικρό, ώστε το 1=jxj να ην είναι υπερβολικά εγάλο. Μπορού ε πρώτα να απαιτήσου ε ότι jx 3j 1, διότι αυτό δίνει 2 x 4, έτσι ώστε 1 4 1 x 1 2 ; το οποίο όχι όνο ας λέει ότι 1 x 1 2 , αλλά και ότι x 0, που είναι ση αντικό για να συ περάνου ε ότι 1 jxj 1 2 . Στη συνέχεια έχου ε ˇ ˇ ˇ ˇ 1 x 1 3 ˇ ˇ ˇ ˇ D 1 3 1 jxj jx 3j 1 6 jx 3j; το οποίο ας δείχνει ότι j1=x 1=3j για jx 3j 6, ε την προϋπόθεση ότι έχου ε επιπλέον απαιτήσει ότι jx 3j 1. Ή, για να το κάνου ε και πάλι να φανεί πιο αυστηρό: απαιτού ε ότι jx 3j min.6; 1/. Αν αντί για αυτό θέλα ε να δείξου ε ότι η f τείνει στο 1=3 κοντά στο 3, θα ξεκι- νούσα ε καθορίζοντας ότι jx . 3/j 1, το οποίο δίνει 4 x 2, απ’ όπου προκύπτει ότι j1=xj 1=2, έτσι ώστε όλα να δουλεύουν όπως πριν. Για να δείξου ε γενικά ότι η f τείνει στο 1=a κοντά στο a για οποιοδήποτε a προ- χωρού ε κατά βάση ε τον ίδιο τρόπο, ε τη διαφορά, και πάλι, ότι πρέπει να εί αστε λίγο πιο προσεκτικοί όταν δια ορφώνου ε την αρχική ας προϋπόθεση. ∆εν αρκεί να απαιτήσου ε απλώς ότι το jx aj πρέπει να είναι ικρότερο από 1, ή από οποιονδήποτε
- 99. 5. Όρια 85 άλλοσυγκεκρι ένο αριθ ό, διότι αν το a είναι κοντά στο 0 αυτό θα επέτρεπε αρνητικές τι ές για το x (για να ην αναφέρου ε τη δυσάρεστη πιθανότητα να έχου ε x D 0, ώστε η f .x/ να ην ορίζεται καν!). Το τέχνασ α σε αυτήν την περίπτωση είναι να απαιτήσου ε πρώτα ότι jx aj jaj 2 : Με άλλα λόγια, απαιτού ε το x να απέχει από το a λιγότερο από το ισό της απόστασης δυνατέ̋ τι έ̋ του Σ Χ Η Μ Α 7 του a από το 0 (Σχή α 7). Θα πρέπει να είστε σε θέση να ελέγξετε πρώτα ότι x ¤ 0 και 1=jxj 2=jaj, και στη συνέχεια να αναπτύξετε το υπόλοιπο έρος του συλλογισ ού. Με όλη την εργασία που απαιτήθηκε για τα απλά αυτά παραδείγ ατα, ίσως να έχετε αρχίζει να τρο άζετε ε την προοπτική να καταπιαστείτε ε πιο πολύπλοκες συναρτήσεις. Αυτό ό ως δεν θα είναι πραγ ατικά απαραίτητο, αφού τελικά θα έχου ε στη διάθεσή ας ερικά βασικά θεωρή ατα στα οποία θα πορού ε να βασιζό αστε. Αντί να ανησυχή- σου ε για τις δυσάρεστες πράξεις που πιθανόν να ε πλέκονται σε συναρτήσεις όπως η f .x/ D x3 ή η f .x/ D 1=x3 , θα στρέψου ε την προσοχή ας σε ορισ ένα παραδείγ ατα που ίσως φαίνονται ακό α πιο τρο ακτικά. Σ Χ Η Μ Α 8 Θεωρήστε πρώτα τη συνάρτηση f .x/ D x sin 1=x (Σχή α 8). Παρ’ όλο που η συ - περιφορά αυτής της συνάρτησης κοντά στο 0 είναι αλλόκοτη, είναι φανερό, τουλάχιστον διαισθητικά, ότι η f τείνει στο l D 0 κοντά στο a D 0 (θυ ηθείτε ότι ο δοκι αστικός ορισ ός εξαιρεί από τη ελέτη ειδικά το x D a, και άρα δεν πειράζει που η συνάρτηση αυτή δεν είναι καν ορισ ένη στο 0. Θέλου ε να δείξου ε ότι πορού ε να κάνου ε το f .x/ D x sin 1=x να έρθει όσο κοντά θέλου ε στο 0 αν απαιτήσου ε το x να είναι αρκε- τά κοντά στο 0, αλλά ¤ 0. Με άλλα λόγια, για οποιονδήποτε αριθ ό 0, θέλου ε να δείξου ε πως πορού ε να εξασφαλίσου ε ότι jf .x/ 0j D ˇ ˇ ˇ ˇ x sin 1 x ˇ ˇ ˇ ˇ απαιτώντας το jxj D jx 0j να είναι ικανοποιητικά ικρό (αλλά ¤ 0). Αυτό είναι ό ως εύκολο. Αφού ˇ ˇ ˇ ˇsin 1 x ˇ ˇ ˇ ˇ 1; για κάθε x ¤ 0, έχου ε ˇ ˇ ˇ ˇ x sin 1 x ˇ ˇ ˇ ˇ jxj; για κάθε x ¤ 0, οπότε πορού ε να εξασφαλίσου ε ότι jx sin 1=xj απαιτώντας απλώς jxj και ¤ 0. Για τη συνάρτηση f .x/ D x2 sin 1=x (Σχή α 9) οιάζει ακό α πιο φανερό ότι η f τείνει στο 0 κοντά στο 0. Αν, για παράδειγ α, θέλου ε ˇ ˇ ˇ ˇ x2 sin 1 x ˇ ˇ ˇ ˇ 1 10 ; τότε σίγουρα αρκεί να απαιτήσου ε jxj 1 10 και x ¤ 0, γιατί από αυτό έπεται ότι jx2 j 1 100 και επο ένως ˇ ˇ ˇ ˇ x2 sin 1 x ˇ ˇ ˇ ˇ jx2 j 1 100 1 10 : (Θα πορούσα ε να πετύχου ε κάτι ακό α καλύτερο, και να επιτρέψου ε jxj 1= p 10 Σ Χ Η Μ Α 9 και x ¤ 0, αλλά δεν υπάρχει κάποιο συγκεκρι ένο όφελος από το να εί αστε όσο γίνεται οικονο ικότεροι.) Γενικά, αν 0, για να βεβαιωθού ε ότι ˇ ˇ ˇ ˇ x2 sin 1 x ˇ ˇ ˇ ˇ ;
- 100. 86 Θεµέλια αρκεί νααπαιτήσου ε ότι jxj και x ¤ 0; ε την προϋπόθεση ότι 1. Αν ας δοθεί ένα που είναι εγαλύτερο από 1 (θα πο- ρούσε, αν και τα « ικρά» είναι αυτά που ας ενδιαφέρουν), τότε δεν αρκεί να ζητήσου ε jxj , σίγουρα ό ως αρκεί να ζητήσου ε jxj 1 και x ¤ 0. Ως τρίτο παράδειγ α, ας πάρου ε τη συνάρτηση f .x/ D p jxj sin 1=x (Σχή α 10). Προκει ένου να κάνου ε το j p jxj sin 1=xj πορού ε να απαιτήσου ε jxj 2 και x ¤ 0 (οι πράξεις αφήνονται σε σας). Σ Χ Η Μ Α 1 0 Τέλος, ας εξετάσου ε τη συνάρτηση f .x/ D sin 1=x (Σχή α 11). Για αυτήν τη συνάρτηση δεν ισχύει ότι η f τείνει στο 0 κοντά στο 0. Αυτό ισοδυνα εί ε το να πού ε ότι δεν ισχύει για κάθε αριθ ό 0, ότι πορού ε να κάνου ε το jf .x/ 0j διαλέ- γοντας x αρκετά ικρά και ¤ 0. Για να το αποδείξου ε αυτό, δεν έχου ε παρά να βρού ε ένα 0 για το οποίο η συνθήκη jf .x/ 0j να ην εξασφαλίζεται, όσο ικρό και αν απαιτήσου ε να είναι το jxj. Και το D 1 2 ας κάνει: δεν πορού ε να εί αστε βέβαιοι ότι jf .x/j 1 2 όσο ικρό και αν ζητήσου ε να είναι το jxj. ∆ιότι, αν A είναι οποιοδήποτε διάστη α που περιέχει το 0, υπάρχει κάποιος αριθ ός x D 1=.1 2 C 2n/ που βρίσκεται σε αυτό το διάστη α και για αυτό το x έχου ε f .x/ D 1. Σ Χ Η Μ Α 1 1 Το ίδιο επιχείρη α πορεί να χρησι οποιηθεί (Σχή α 12) για να δείξου ε ότι η f δεν τείνει σε κανέναν αριθ ό κοντά στο 0. Για να το δείξου ε αυτό πρέπει να βρού ε, για οποιοδήποτε τώρα δοθέν l, κάποιον αριθ ό 0 τέτοιον ώστε η jf .x/ lj να µην ισχύει, όσο ικρό και αν απαιτήσου ε να είναι το x. Η επιλογή D 1 2 δουλεύει για οποιονδήποτε αριθ ό l· δηλαδή, όσο ικρό και αν ζητήσου ε να είναι το jxj, δεν πορού ε να εξασφαλίσου ε ότι jf .x/ lj 1 2 . Ο λόγος είναι ότι, σε κάθε διάστη α A που περιέχει το 0, πορού ε να βρού ε x1 και x2, τέτοια ώστε Σ Χ Η Μ Α 1 2 f .x1/ D 1 και f .x2/ D 1; δηλαδή x1 D 1 1 2 C 2n και x2 D 1 3 2 C 2m για αρκετά εγάλα n και m. Αλλά το διάστη α από το l 1 2 έχρι το l C 1 2 δεν πορεί να περιέχει και το 1 και το 1, αφού το συνολικό του ήκος είναι όνο 1· άρα δεν πορού ε να έχου ε j1 lj 1 2 και επίσης j 1 lj 1 2 ; όποιο και αν είναι το l.
- 101. 5. Όρια 87 Τοφαινό ενο που παρουσιάζει η f .x/ D sin 1=x κοντά στο 0 πορεί να ε φανιστεί ε πολλούς τρόπους. Αν θεωρήσου ε τη συνάρτηση f .x/ D 0; x άρρητος 1; x ρητός, τότε, όποιο και αν είναι το a, η f δεν τείνει σε κανέναν αριθ ό l κοντά στο a. Πράγ ατι, δεν πορού ε να κάνου ε το jf .x/ lj 1 4 όσο κοντά και αν φέρου ε το x στο a, γιατί σε κάθε διάστη α γύρω από το a υπάρχουν αριθ οί x ε f .x/ D 0, καθώς και αριθ οί x ε f .x/ D 1, οπότε θα χρειαζό αστε j0 lj 1 4 και ταυτόχρονα j1 lj 1 4 . Μια ενδιαφέρουσα παραλλαγή αυτής της συ περιφοράς παρουσιάζει η συνάρτηση που βλέπετε στο Σχή α 13: f .x/ D x; x ρητός 0; x άρρητος. Η συ περιφορά αυτής της συνάρτησης είναι «αντίθετη» από αυτήν της g.x/ D sin 1=x. Τείνει στο 0 κοντά στο 0, αλλά δεν τείνει σε κανέναν αριθ ό a, αν a ¤ 0. Με ό,τι έχετε δει, δεν θα πρέπει να δυσκολευτείτε να πεισθείτε ότι αυτό είναι αλήθεια. ρητό̋ άρρητο̋ Σ Χ Η Μ Α 1 3 Θα ολοκληρώσου ε ε ένα πολύ απλό παράδειγ α (Σχή α 14): f .x/ D 1; x 0 1; x 0: Αν a 0, τότε η f τείνει στο 1 κοντά στο a: πράγ ατι, για να εξασφαλίσου ε ότι jf .x/ 1j αρκεί να απαιτήσου ε ότι jx aj a, αφού αυτό ση αίνει ότι a x a ή 0 x έτσι ώστε f .x/ D 1. Με ό οιο τρόπο, αν b 0, τότε η f τείνει στο 1 κοντά στο b: Σ Χ Η Μ Α 1 4 για να εξασφαλίσου ε ότι jf .x/ . 1/j αρκεί να απαιτήσου ε ότι jx bj b. Τέλος, όπως εύκολα πορείτε να ελέγξετε, η f δεν τείνει σε κανέναν αριθ ό κοντά στο 0. Ήρθε η στιγ ή να υπογρα ίσου ε ότι από τις πολλές «αποδείξεις» που δώσα ε για διάφορα όρια, ούτε ία δεν ήταν πραγ ατική απόδειξη. Το λάθος δεν βρίσκεται στους συλλογισ ούς ας, αλλά στον ορισ ό ας. Αν ο δοκι αστικός ορισ ός που δώσα ε για τη συνάρτηση ήταν ανοιχτός σε επικρίσεις, ο δοκι αστικός ας ορισ ός για τα όρια εί- ναι πολύ περισσότερο τρωτός. Αυτός ο ορισ ός, απλούστατα, δεν είναι αρκετά ακριβής για να χρησι οποιηθεί σε αποδείξεις. ∆εν είναι καθόλου σαφές πώς πορεί κανείς να «φέρει» το f .x/ κοντά στο l (οτιδήποτε και αν ση αίνει το «κοντά») «απαιτώντας» το x να είναι αρκετά κοντά στο a (όσο κοντά και αν υποτίθεται ότι είναι το «αρκετά» κον- τά). Παρά τις επικρίσεις στον ορισ ό ας, θα πρέπει να αισθάνεστε (ελπίζου ε) ότι οι «αποδείξεις» ας ήταν τουλάχιστον αρκετά πειστικές. Για να δώσου ε κάποιου τύπου απόδειξη, αναγκαστήκα ε στην πράξη να επινοήσου ε τον πραγ ατικό ορισ ό. Είναι δυνατόν να φτάσου ε σε αυτόν τον ορισ ό σε διάφορα βή ατα, που το καθένα να διευ- κρινίζει κάποια ασαφή φράση που παρα ένει. Ας αρχίσου ε, για ια ακό α φορά, ε τον δοκι αστικό ορισ ό: Η συνάρτηση f τείνει στο όριο l κοντά στο a, αν πορού ε να φέρου ε το f .x/ όσο κοντά θέλου ε στο l απαιτώντας το x να είναι αρκετά κοντά στο, αλλά όχι ίσο ε το, a. Η πρώτη-πρώτη αλλαγή που κάνα ε σε αυτόν τον ορισ ό, ήταν να ση ειώσου ε ότι το να φέρου ε το f .x/ κοντά στο l ση αίνει να κάνου ε το jf .x/ lj ικρό, και ό οια για το x και το a: Η συνάρτηση f τείνει στο όριο l κοντά στο a, αν πορού ε να κάνου ε το jf .x/ lj όσο ικρό θέλου ε απαιτώντας το jx aj να είναι αρκετά ικρό, και x ¤ a.
- 102. 88 Θεµέλια Η δεύτερη,πιο ουσιαστική, αλλαγή ήταν να ση ειώσου ε ότι το να κάνου ε το jf .x/ lj «όσο ικρό θέλου ε» ση αίνει να κάνου ε το jf .x/ lj για οποιοδήποτε 0 που πορεί να ας δοθεί: Η συνάρτηση f τείνει στο όριο l κοντά στο a, αν για κάθε αριθ ό 0 πορού ε να κάνου ε το jf .x/ lj απαιτώντας το jx aj να είναι αρκετά ικρό, και x ¤ a. Υπάρχει κάτι το κοινό σε όλες τις αποδείξεις για όρια που δώσα ε. Για κάθε αριθ ό 0 βρήκα ε κάποιον άλλο θετικό αριθ ό, ας πού ε ı, ε την ιδιότητα ότι αν x ¤ a και jx aj ı, τότε jf .x/ lj . Για τη συνάρτηση f .x/ D x sin 1=x ( ε a D 0, l D 0), ο αριθ ός ı ήταν ακριβώς το · για την f .x/ D p jxj sin 1=x, ήταν το 2 · για την f .x/ D x2 ήταν ο ικρότερος από τους 1 και =.2jaj C 1/. Γενικά, πορεί να ην είναι καθόλου φανερό πώς να βρού ε τον αριθ ό ı, για δοθέν , αλλά είναι η συνθήκη jx aj ı που εκφράζει πόσο ικρό πρέπει να είναι το «αρκετά» ικρό: Η συνάρτηση f τείνει στο όριο l κοντά στο a, αν για κάθε 0 υπάρχει ı 0 τέτοιο ώστε, για κάθε x, αν jx aj ı και x ¤ a, τότε jf .x/ lj . Αυτός είναι τελικά ο ορισ ός που θα υιοθετήσου ε. Θα κάνου ε όνο ια τετρι ένη αλλαγή, ση ειώνοντας ότι πορού ε να εκφράσου ε το «jx aj ı και x ¤ a» εξίσου καλά ε το «0 jx aj ı». ΟΡΙΣΜΟΣ Η συνάρτηση f τείνει στο όριο l κοντά στο a αν: για κάθε 0 υπάρχει κάποιο ı 0 τέτοιο ώστε, για κάθε x, αν 0 jx aj ı, τότε jf .x/ lj . Αυτός ο ορισ ός είναι τόσο ση αντικός (οτιδήποτε θα κάνου ε από δω και πέρα βασί- ζεται σε αυτόν) που δεν έχετε κα ία ελπίδα να προχωρήσετε πιο πέρα αν δεν τον ξέρετε. Εν ανάγκη αποστηθίστε τον, σαν ποίη α! Αυτό, τουλάχιστον, είναι καλύτερο από το να τον διατυπώνετε λανθασ ένα· αν το κάνετε αυτό, είστε καταδικασ ένοι να δίνετε λαν- θασ ένες αποδείξεις. Μια καλή άσκηση στο να δίνετε σωστές αποδείξεις είναι να επα- ναλάβετε όλες τις «αποδείξεις» για όρια που δώσα ε έως τώρα, δίνοντας πραγ ατικές αποδείξεις για το καθένα. Στις περισσότερες περιπτώσεις, αυτό θα απαιτήσει να γράψετε τον σωστό ορισ ό του τι ακριβώς αποδεικνύεται, και τίποτα παραπάνω —όλη η αλγε- βρική εργασία έχει ήδη γίνει. Όταν αποδεικνύετε ότι η f δεν τείνει στο l κοντά στο a, βεβαιωθείτε ότι γράφετε σωστά την άρνηση του ορισ ού: Αν δεν είναι αλήθεια ότι για κάθε 0 υπάρχει κάποιο ı 0 τέτοιο ώστε, για κάθε x, αν 0 jx aj ı, τότε jf .x/ lj , τότε υπάρχει κάποιο 0 τέτοιο ώστε για κάθε ı 0 υπάρχει κάποιο x που ικανοποιεί την 0 jx aj ı αλλά όχι την jf .x/ lj . Έτσι, για να δείξου ε ότι η συνάρτηση f .x/ D sin 1=x δεν τείνει στο 0 κοντά στο 0, παίρνου ε D 1 2 και βλέπου ε ότι για κάθε ı 0 υπάρχει κάποιο x ε 0 jx 0j ı αλλά όχι j sin 1=x 0 j 1 2 —συγκεκρι ένα, ένα x της ορφής 1=.=2 C 2n/, όπου το n είναι τόσο εγάλο ώστε 1=.=2 C 2n/ ı. Για να υπογρα ίσου ε τη χρήση του ορισ ού του ορίου ιας συνάρτησης, αφήσα ε τελευταία τη συνάρτηση που φαίνεται στο Σχή α 15 —ένα γνωστό παράδειγ α αλλά από τα πιο πολύπλοκα: f .x/ D 0; x άρρητος, 0 x 1 1=q; x D p=q ανάγωγο, 0 x 1. (Θυ ηθείτε ότι το p=q λέγεται ανάγωγο αν οι p και q είναι ακέραιοι που δεν έχουν κοινό διαιρέτη και q 0.)
- 103. 5. Όρια 89 άρρητο̋ ανάγωγο ΣΧ Η Μ Α 1 5 Για κάθε αριθ ό a, ε 0 a 1, η συνάρτηση f τείνει στο 0 στο a. Για να το αποδεί- ξου ε, παίρνου ε έναν τυχαίο αριθ ό 0. Έστω n ένας φυσικός αριθ ός τόσο εγάλος ώστε 1=n . Παρατηρού ε ότι οι όνοι αριθ οί x για τους οποίους θα πορούσε να ην ισχύει η jf .x/ 0j , είναι οι: 1 2 · 1 3 ; 2 3 · 1 4 ; 3 4 · 1 5 ; 2 5 ; 3 5 ; 4 5 · : : : · 1 n ; : : : ; n 1 n : (Αν ο a είναι ρητός, τότε ο a θα πορούσε να είναι ένας από αυτούς τους αριθ ούς.) Όσο πολλοί και αν είναι αυτοί οι αριθ οί, το πλήθος τους θα είναι οπωσδήποτε πεπερασ ένο. Επο ένως, από όλους αυτούς τους αριθ ούς, κάποιος είναι ο πλησιέστερος στον a. ∆ηλα- δή, το jp=q aj γίνεται ελάχιστο για κάποιο p=q ανά εσα σε αυτούς τους αριθ ούς. (Αν ο a συ βαίνει να είναι ένας από αυτούς τους αριθ ούς, τότε θεωρού ε όνο τις τι ές jp=q aj για p=q ¤ a.) Αυτήν τη ικρότερη απόσταση διαλέγου ε ως ı. Γιατί, αν 0 jx aj ı, τότε ο x δεν είναι ένας από τους 1 2 ; : : : ; n 1 n και επο ένως η jf .x/ 0j ισχύει. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. Παρατηρήστε ότι η περιγραφή που δώσα ε για το ı που λειτουργεί για δοθέν είναι πλήρως επαρκής —δεν υπάρχει κανένας λόγος που να ας αναγκάζει να δώσου ε έναν τύπο για το ı ως συνάρτηση του . Εφοδιασ ένοι ε τον ορισ ό ας, εί αστε τώρα έτοι οι να αποδείξου ε το πρώτο ας θεώρη α. Είναι πολύ πιθανό να έχετε ήδη υποθέσει το αποτέλεσ α, κάτι που είναι απόλυτα φυσιολογικό. Αυτό το θεώρη α είναι στην πραγ ατικότητα ένας έλεγχος του ορισ ού ας: αν δεν πορούσα ε να αποδείξου ε το θεώρη α, ο ορισ ός ας θα ήταν άχρηστος. ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Μια συνάρτηση δεν πορεί να συγκλίνει σε δύο διαφορετικά όρια κοντά στο a. Με άλλα λόγια, αν η f τείνει στο l κοντά στο a, και η f τείνει στο m κοντά στο a, τότε l D m. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Επειδή αυτό είναι το πρώτο ας θεώρη α για τα όρια, είναι απαραίτητο να εταφράσου ε τις υποθέσεις σύ φωνα ε τον ορισ ό. Αφού η f τείνει στο l κοντά στο a, ξέρου ε ότι για κάθε 0 υπάρχει κάποιος αριθ ός ı1 0 τέτοιος ώστε, για κάθε x, αν 0 jx aj ı1, τότε jf .x/ lj . Ξέρου ε ακό α, ότι αφού η f τείνει στο m κοντά στο a, υπάρχει κάποιο ı2 0 τέτοιο ώστε, για κάθε x, αν 0 jx aj ı2, τότε jf .x/ mj .
- 104. 90 Θεµέλια Εί αστευποχρεω ένοι να χρησι οποιήσου ε δύο αριθ ούς, ı1 και ı2, γιατί τίποτα δεν ας εγγυάται ότι το ı που δουλεύει στον έναν ορισ ό θα δουλεύει και στον άλλο. Ό ως, είναι τώρα εύκολο να συ περάνου ε ότι για κάθε 0 υπάρχει κάποιο ı 0 τέτοιο ώστε, για κάθε x, αν 0 jx aj ı, τότε jf .x/ lj και jf .x/ mj · δεν έχου ε παρά να διαλέξου ε ı D min.ı1; ı2/. Για να ολοκληρώσου ε την απόδειξη πρέπει να βρού ε ένα συγκεκρι ένο 0 για το οποίο οι δύο συνθήκες jf .x/ lj και jf .x/ mj να ην πορούν να ισχύουν και οι δύο, αν l ¤ m. Η κατάλληλη επιλογή υποδεικνύεται στο Σχή α 16. Αν l ¤ m, οπότε jl mj 0, πορού ε να διαλέξου ε ως το jl mj=2. Έπεται ότι υπάρχει κάποιο ı 0 τέτοιο ώστε, για κάθε x, αν 0 jx aj ı; τότε jf .x/ lj jl mj 2 και jf .x/ mj jl mj 2 : Αυτό ση αίνει ότι για 0 jx aj ı έχου εήκο̋ ήκο̋ Σ Χ Η Μ Α 1 6 jl mj D jl f .x/ C f .x/ mj jl f .x/j C jf .x/ mj jl mj 2 C jl mj 2 D jl mj; που είναι άτοπο. Ο αριθ ός l στον οποίο τείνει η f κοντά στο a συ βολίζεται ε lim x!a f .x/ (διαβάζεται: το όριο της f .x/ καθώς το x τείνει στο a). Ο ορισ ός αυτός είναι δυνατός όνο λόγω του Θεωρή ατος 1, το οποίο εξασφαλίζει ότι το lim x!a f .x/ δεν πορεί ποτέ να παριστάνει δύο διαφορετικούς αριθ ούς. Η ισότητα lim x!a f .x/ D l έχει ακριβώς το ίδιο νόη α ε τη φράση η f τείνει στο l κοντά στο a. ∆εν αποκλείεται το ενδεχό ενο η f να ην τείνει στο l κοντά στο a, για κανένα l, οπότε η lim x!a f .x/ D l να είναι ψευδής για κάθε αριθ ό l. Συνήθως εκφράζου ε ια τέτοια κατάσταση λέγοντας ότι «το lim x!a f .x/» δεν υπάρχει». Παρατηρήστε ότι ο καινούργιος συ βολισ ός ας εισάγει ένα πρόσθετο, τελείως άσχετο γρά α x, που πορού ε να το αντικαταστήσου ε ε t, y, ή οποιοδήποτε άλλο γρά α που δεν έχει ήδη ε φανιστεί —τα σύ βολα lim x!a f .x/; lim t!a f .t/; lim y!a f .y/; όλα συ βολίζουν τον ίδιο ακριβώς αριθ ό, που εξαρτάται από την f και το a, και δεν έχει τίποτα να κάνει ε το x, το t ή το y (αυτά τα γρά ατα στην πραγ ατικότητα δεν συ βο- λίζουν τίποτα απολύτως). Ένα πιο λογικό σύ βολο θα ήταν κάτι σαν lim a f αλλά αυτός ο συ βολισ ός, παρ’ όλη τη συντο ία του, είναι τόσο εξοργιστικά αυστηρός που σχεδόν κανείς δεν προσπάθησε σοβαρά να τον χρησι οποιήσει. Ο συ βολισ ός lim x!a f .x/ είναι
- 105. 5. Όρια 91 πολύπιο χρήσι ος γιατί ια συνάρτηση f συχνά δεν έχει κάποιο απλό όνο α, ακό α και αν θα πορούσα ε να εκφράσου ε το f .x/ ε έναν απλό τύπο που να περιέχει το x. Έτσι, το σύντο ο σύ βολο lim x!a .x2 C sin x/ θα πορούσε να παραφραστεί όνο ε την αδέξια έκφραση lim a f; όπου f .x/ D x2 C sin x: Ένα άλλο πλεονέκτη α του καθιερω ένου συ βολισ ού άς υποδεικνύουν οι εκφράσεις lim x!a x C t3 ; lim t!a x C t3 : Η πρώτη ση αίνει τον αριθ ό στον οποίο τείνει η f κοντά στο a, όταν f .x/ D x C t3 ; για κάθε x·; ενώ η δεύτερη ση αίνει τον αριθ ό στον οποίο τείνει η f κοντά στο a, όταν f .t/ D x C t3 ; για κάθε t. ∆εν θα πρέπει να συναντήσετε δυσκολίες (ειδικά αν συ βουλευτείτε το Θεώρη α 2) στο να αποδείξετε ότι lim x!a x C t3 D a C t3 ; lim t!a x C t3 D x C a3 : Αυτά τα παραδείγ ατα υπογρα ίζουν το βασικό πλεονέκτη α του συ βολισ ού ας, που είναι η ευελιξία του. Και άλιστα ο συ βολισ ός lim x!a f .x/ είναι τόσο ευέλικτος που υπάρχει κίνδυνος να ξεχάσου ε τι στ’ αλήθεια ση αίνει. Να ια απλή άσκηση πάνω στη χρήση αυτού του συ βολισ ού, που θα είναι πολύ ση αντική αργότερα: πρώτα ερ ηνεύ- στε ακριβώς, και ετά αποδείξτε την ισότητα των εκφράσεων lim x!a f .x/ και lim h!0 f .a C h/: Ένα ση αντικό έρος αυτού του κεφαλαίου αφιερώνεται στην απόδειξη ενός θεω- ρή ατος που θα ας διευκολύνει να βρίσκου ε διάφορα όρια, όπως υποσχεθήκα ε πολύ νωρίτερα. Η απόδειξη βασίζεται σε κάποιες ιδιότητες των ανισοτήτων και των απολύ- των τι ών, που δεν προκαλούν κα ία έκπληξη σε κάποιον που ελέτησε τον ορισ ό του ορίου. Αν και αυτά τα στοιχεία έχουν ήδη διατυπωθεί στα Προβλή ατα 1-20, 1-21 και 1- 22, λόγω της ση ασίας τους θα παρουσιαστούν για άλλη ια φορά ε τη ορφή ενός λή ατος (λή α είναι ένα βοηθητικό θεώρη α, ένα αποτέλεσ α που δικαιολογεί την ύπαρξή του όνο χάρη στον εξέχοντα ρόλο που παίζει στην απόδειξη ενός άλλου θεωρή- ατος). Το λή α λέει, πάνω-κάτω, ότι αν το x είναι κοντά στο x0, και το y είναι κοντά στο y0, τότε το x C y θα βρίσκεται κοντά στο x0 C y0, το xy κοντά στο x0y0 και το 1=y κοντά στο 1=y0. Μπορεί κανείς πολύ πιο εύκολα να θυ άται αυτήν τη διαισθητι- κή διατύπωση παρά τις ακριβείς εκτι ήσεις του λή ατος, και δεν θα ήταν παράλογο να διαβάσετε πρώτα την απόδειξη του Θεωρή ατος 2, για να δείτε πώς ακριβώς χρησι ο- ποιούνται αυτές οι εκτι ήσεις. ΛΗΜΜΑ (1) Αν jx x0j 2 και jy y0j 2 ; τότε j.x C y/ .x0 C y0/j :
- 106. 92 Θεµέλια (2) Αν jxx0j min 1; 2.jy0j C 1/ και jy y0j 2.jx0j C 1/ ; τότε jxy x0y0j : (3) Αν y0 ¤ 0 και jy y0j min jy0j 2 ; jy0j2 2 ; τότε y ¤ 0 και ˇ ˇ ˇ ˇ 1 y 1 y0 ˇ ˇ ˇ ˇ : ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ (1) j.x C y/ .x0 C y0/j D j.x x0/ C .y y0/j jx x0j C jy y0j 2 C 2 D : (2) Αφού jx x0j 1 έχου ε jxj jx0j jx x0j 1; οπότε jxj 1 C jx0j: Άρα jxy x0y0j D jx.y y0/ C y0.x x0/j jxj jy y0j C jy0j jx x0j .1 C jx0j/ 2.jx0j C 1/ C jy0j 2.jy0j C 1/ 2 C 2 D : (3) Έχου ε jy0j jyj jy y0j jy0j 2 ; άρα jyj jy0j=2. Ειδικότερα, y ¤ 0, και 1 jyj 2 jy0j : Άρα ˇ ˇ ˇ ˇ 1 y 1 y0 ˇ ˇ ˇ ˇ D jy0 yj jyj jy0j 2 jy0j 1 jy0j jy0j2 2 D : ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Αν lim x!a f .x/ D l και lim x!a g.x/ D m, τότε .1/ lim x!a .f C g/.x/ D l C m, .2/ lim x!a .f g/.x/ D l m: Ακό α, αν m ¤ 0, τότε .3/ lim x!a 1 g .x/ D 1 m :
- 107. 5. Όρια 93 ΑΠΟ∆ΕΙΞΗΗ υπόθεση ση αίνει ότι για κάθε 0 υπάρχουν ı1; ı2 0 τέτοια ώστε, για κάθε x, αν 0 jx aj ı1, τότε jf .x/ lj , και αν 0 jx aj ı2, τότε jg.x/ mj . Αυτό ση αίνει (αφού, σαφώς, και ο =2 είναι θετικός αριθ ός) ότι υπάρχουν ı1; ı2 0 τέτοια ώστε, για κάθε x, αν 0 jx aj ı1, τότε jf .x/ lj 2 , και αν 0 jx aj ı2, τότε jg.x/ mj 2 . Τώρα θέτου ε ı D min.ı1; ı2/. Αν 0 jx aj ı, τότε η 0 jx aj ı1 και η 0 jx aj ı2 ισχύουν και οι δύο, άρα οι jf .x/ lj 2 και jg.x/ mj 2 ισχύουν και οι δύο. Αλλά από το έρος (1) του λή ατος αυτό ση αίνει ότι j.f Cg/.x/ .l C m/j . Αυτό αποδεικνύει το (1). Για να αποδείξου ε το (2) εργαζό αστε ό οια, αφού πρώτα συ βουλευτού ε το έ- ρος (2) του λή ατος. Αν 0, υπάρχουν ı1; ı2 0 τέτοια ώστε, για κάθε x, αν 0 jx aj ı1, τότε jf .x/ lj min 1; 2.jmj C 1/ , και αν 0 jx aj ı2, τότε jg.x/ mj 2.jlj C 1/ . Πάλι θέτου ε ı D min.ı1; ı2/. Αν 0 jx aj ı, τότε jf .x/ lj min 1; 2.jmj C 1/ και jg.x/ mj 2.jlj C 1/ : Άρα, από το λή α, j.f g/.x/ l mj , και αυτό αποδεικνύει το (2). Τέλος, αν 0 υπάρχει ı 0 τέτοιο ώστε, για κάθε x, αν 0 jx aj ı; τότε jg.x/ mj min jmj 2 ; jmj2 2 : Αλλά σύ φωνα ε το έρος (3) του λή ατος αυτό ση αίνει, πρώτα, ότι g.x/ ¤ 0, άρα ότι το .1=g/.x/ έχει έννοια, και έπειτα ότι ˇ ˇ ˇ ˇ 1 g .x/ 1 m ˇ ˇ ˇ ˇ : Αυτό αποδεικνύει το (3). Χρησι οποιώντας το Θεώρη α 2 πορού ε να αποδείξου ε, τετρι ένα, κάτι σαν το lim x!a x3 C 7x5 x2 C 1 D a3 C 7a5 a2 C 1 ; χωρίς να περάσου ε από την επίπονη διαδικασία να βρού ε ένα ı, για δοθέν . Πρέπει να αρχίσου ε ε τα lim x!a 7 D 7; lim x!a 1 D 1; lim x!a x D a;
- 108. 94 Θεµέλια αλλά αυτάείναι εύκολο να αποδειχθούν απευθείας. Αν ό ως θέλουµε να βρού ε το ı, η απόδειξη του Θεωρή ατος 2 ας δίνει τη συνταγή για να το κάνου ε. Ας υποθέσου ε, για να πάρου ε ένα απλούστερο παράδειγ α, ότι θέλου ε να βρού ε ένα ı τέτοιο ώστε, για κάθε x, αν 0 jx aj ı, τότε jx2 C x .a2 C a/j . Συ βουλευό ενοι την απόδειξη του Θεωρή ατος 2(1), βλέπου ε ότι πρέπει πρώτα να βρού ε ı1 και ı2 0 τέτοια ώστε, για κάθε x, αν 0 jx aj ı1, τότε jx2 a2 j 2 και αν 0 jx aj ı2, τότε jx aj 2 . Αφού έχου ε ήδη δώσει αποδείξεις των lim x!a x2 D a2 και lim x!a x D a, ξέρου ε πώς να το κάνου ε αυτό: ı1 D min 0 B @1; 2 2jaj C 1 1 C A ; ı2 D 2 : Έτσι, πορού ε να πάρου ε ı D min.ı1; ı2/ D min 0 B @min 0 B @1; 2 2jaj C 1 1 C A ; 2 1 C A : Αν a ¤ 0, πορού ε να χρησι οποιήσου ε την ίδια έθοδο για να βρού ε ένα ı 0 τέτοιο ώστε, για κάθε x, αν 0 jx aj ı, τότε ˇ ˇ ˇ ˇ 1 x2 1 a2 ˇ ˇ ˇ ˇ . Η απόδειξη του Θεωρή ατος 2(3) δείχνει ότι η δεύτερη συνθήκη έπεται αν βρού ε ένα ı 0 τέτοιο ώστε, για κάθε x, αν 0 jx aj ı, τότε jx2 a2 j min jaj2 2 ; jaj4 2 . Έτσι, πορού ε να πάρου ε ı D min 0 B B @1; min jaj2 2 ; jaj4 2 2jaj C 1 1 C C A : Φυσικά, πορού ε να απλουστεύσου ε αρκετά τέτοιες πολύπλοκες εκφράσεις του ı, αφού πρώτα τις βρού ε. Μια τεχνική λεπτο έρεια στην απόδειξη του Θεωρή ατος 2 αξίζει κάποια συζήτηση. Για να οριστεί το lim x!a f .x/ δεν είναι, όπως ξέρου ε, αναγκαίο να ορίζεται η f στο a, ούτε είναι αναγκαίο να ορίζεται η f σε όλα τα ση εία x ¤ a. Ό ως, πρέπει να υπάρχει κάποιο ı 0 τέτοιο ώστε το f .x/ να ορίζεται για x που ικανοποιούν την 0 jx aj ı· αλλιώς η πρόταση «αν 0 jx aj ı, τότε jf .x/ lj »
- 109. 5. Όρια 95 δενθα είχε κανένα νόη α, αφού το σύ βολο f .x/ δεν θα είχε έννοια για κάποια x. Αν f και g είναι δύο συναρτήσεις για τις οποίες ο ορισ ός έχει έννοια, είναι εύκολο να δού ε ότι το ίδιο ισχύει και για τις f C g και f g. Αλλά αυτό δεν είναι και τόσο φανερό για την 1=g, αφού η 1=g δεν ορίζεται για x ε g.x/ D 0. Ό ως, αυτό εξασφαλίζεται στην απόδειξη του Θεωρή ατος 2(3). Υπάρχουν φορές που θα θέλα ε να ιλά ε για το όριο στο οποίο τείνει η f στο a, αν και δεν υπάρχει ı 0 τέτοιο ώστε το f .x/ να ορίζεται για όλα τα x που ικανοποιούν την 0 jx aj ı. Για παράδειγ α, θέλου ε να εξετάσου ε τη συ περιφορά των δύο συν- αρτήσεων που φαίνονται στο Σχή α 17, αν και δεν ορίζονται για αριθ ούς ικρότερους από a. Για τη συνάρτηση του Σχή ατος 17(α) γράφου ε lim x!aC f .x/ D l ή lim x#a f .x/ D l: (Τα σύ βολα στα αριστερά διαβάζονται: το όριο του f .x/ καθώς το x τείνει στο a από πάνω). Αυτά τα «όρια από πάνω» προφανώς συνδέονται στενά ε τα συνηθισ ένα όρια, και ο ορισ ός οιάζει πολύ: lim x!aC f .x/ D l ση αίνει ότι για κάθε 0 υπάρχει ένα ı 0 τέτοιο ώστε, για κάθε x, αν 0 x a ı, τότε jf .x/ lj . (Η συνθήκη «0 x a ı» είναι ισοδύνα η ε την «0 jx aj ı και x a»). (α) (β) Σ Χ Η Μ Α 1 7 «Τα όρια από κάτω» (Σχή α 18) ορίζονται ό οια: lim x!a f .x/ D l (ή lim xa f .x/ D l) ση αίνει ότι για κάθε 0 υπάρχει ένα ı 0 τέτοιο ώστε, για κάθε x, αν 0 a x ı, τότε jf .x/ lj . Σ Χ Η Μ Α 1 8 Μπορού ε κάλλιστα να θεωρήσου ε όρια από πάνω και από κάτω, ακό α και αν η f ορίζεται για αριθ ούς και ικρότερους και εγαλύτερους από τον a. Έτσι, για τη συνάρτηση f του Σχή ατος 14, έχου ε lim x!0C f .x/ D 1 και lim x!0 f .x/ D 1: Είναι ια εύκολη άσκηση (Πρόβλη α 29) να δείξετε ότι το lim x!a f .x/ υπάρχει αν και όνο αν τα lim x!aC f .x/ και lim x!a f .x/ υπάρχουν και τα δύο, και είναι ίσα. Σαν τους ορισ ούς των ορίων από πάνω και από κάτω, που πέρασαν έσα στο κεί ενο λαθραία και χωρίς αυστηρότητα, υπάρχουν και άλλες παραλλαγές της έννοιας του ορίου που θα φανούν χρήσι ες. Στο Κεφάλαιο 4 ισχυριστήκα ε ότι όταν το x είναι εγάλο, τότε το sin 1=x είναι κοντά στο 0. Αυτός ο ισχυρισ ός συνήθως γράφεται lim x!1 sin 1=x D 0: Το σύ βολο lim x!1 f .x/ διαβάζεται «το όριο του f .x/ καθώς το x τείνει στο 1», ή «καθώς το x γίνεται άπειρο», και κάθε όριο της ορφής lim x!1 f .x/ συχνά λέγεται όριο στο άπειρο. Σ Χ Η Μ Α 1 9 Στο Σχή α 19 περιγράφεται ια γενική περίπτωση όπου lim x!1 f .x/ D l. Τυπικά, lim x!1 f .x/ D l ση αίνει ότι για κάθε 0 υπάρχει ένας αριθ ός N τέτοιος ώστε, για κάθε x, αν x N , τότε jf .x/ lj .
- 110. 96 Θεµέλια Η αναλογίαε τον ορισ ό των συνηθισ ένων ορίων πρέπει να είναι φανερή: ενώ η συν- θήκη «0 jx aj ı» εκφράζει το γεγονός ότι το x είναι κοντά στο a, η συνθήκη «x N » εκφράζει το γεγονός ότι το x είναι εγάλο. Αφιερώσα ε λίγο όνο χρόνο στα όρια από πάνω και από κάτω, και στο άπειρο, γιατί η γενική φιλοσοφία πίσω από τους ορισ ούς γίνεται φανερή αν καταλάβετε τον ορισ ό των συνηθισ ένων ορίων (που είναι ασύγκριτα πιο ση αντικά). Πολλές ασκήσεις πάνω σε αυτούς τους ορισ ούς δίνονται στα Προβλή ατα, όπου περιέχονται και διάφοροι άλλοι τύποι ορίων που ερικές φορές είναι χρήσι οι. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Βρείτε τα εξής όρια. (Όλα αυτά τα όρια έπονται, ετά από κάποιους αλγεβρικούς χειρισ ούς, από τα διάφορα έρη του Θεωρή ατος 2· βεβαιωθείτε ότι ξέρετε ποια χρησι οποιούνται σε κάθε περίπτωση, η πείτε ό ως στον κόπο να τα αναφέρετε.) (i) lim x!1 x2 1 x C 1 : (ii) lim x!2 x3 8 x 2 : (iii) lim x!3 x3 8 x 2 : (iv) lim x!y xn yn x y : (v) lim y!x xn yn x y : (vi) lim h!0 p a C h p a h : 2. Βρείτε τα εξής όρια. (i) lim x!1 1 p x 1 x : (ii) lim x!0 1 p 1 x2 x : (iii) lim x!0 1 p 1 x2 x2 : 3. Σε καθε ιά από τις επό ενες περιπτώσεις, προσδιορίστε το όριο l για το δοθέν a, και αποδείξετε ότι αυτό είναι το όριο δείχνοντας πώς πορεί να βρεθεί ένα ı τέτοιο ώστε jf .x/ lj για κάθε x που ικανοποιεί την 0 jx aj ı. (i) f .x/ D x 3 cos.x2 / , a D 0. (ii) f .x/ D x2 C 5x 2, a D 2. (iii) f .x/ D 100 x , a D 1. (iv) f .x/ D x4 , τυχαίο a. (v) f .x/ D x4 C 1 x , a D 1. (vi) f .x/ D x 2 sin2 x , a D 0. (vii) f .x/ D p jxj, a D 0.
- 111. 5. Όρια 97 (viii)f .x/ D p x, a D 1. 4. Για καθε ιά από τις συναρτήσεις στο Πρόβλη α 4-17, εξετάστε για ποιους αριθ- ούς a υπάρχει το όριο lim x!a f .x/. 5. (α) Κάντε το ίδιο για όλες τις συναρτήσεις στο Πρόβλη α 4-19. (β) Το ίδιο πρόβλη α, αν χρησι οποιήσου ε άπειρα δεκαδικά ψηφία που κατα- λήγουν σε ια αλυσίδα από 0 αντί για αυτές που καταλήγουν σε ια αλυσίδα από 9. 6. Έστω ότι οι συναρτήσεις f και g έχουν την εξής ιδιότητα: για κάθε 0 και για κάθε x, αν 0 jx 2j sin2 2 9 C , τότε jf .x/ 2j , αν 0 jx 2j 2 , τότε jg.x/ 4j . Για κάθε 0 βρείτε ένα ı 0 τέτοιο ώστε, για κάθε x, (i) αν 0 jx 2j ı, τότε jf .x/ C g.x/ 6j . (ii) αν 0 jx 2j ı, τότε jf .x/g.x/ 8j . (iii) αν 0 jx 2j ı, τότε ˇ ˇ ˇ ˇ 1 g.x/ 1 4 ˇ ˇ ˇ ˇ . (iv) αν 0 jx 2j ı, τότε ˇ ˇ ˇ ˇ f .x/ g.x/ 1 2 ˇ ˇ ˇ ˇ . 7. ∆ώστε παράδειγ α ιας συνάρτησης f για την οποία ο ακόλουθος ισχυρισ ός να είναι ψευδής: Αν jf .x/ lj όταν 0 jx aj ı, τότε jf .x/ lj =2 όταν 0 jx aj ı=2. 8. (α) Αν το lim x!a f .x/ και το lim x!a g.x/ δεν υπάρχουν, είναι δυνατόν να υπάρχει το lim x!a Œf .x/ C g.x/ ή το lim x!a f .x/g.x/; (β) Αν το lim x!a f .x/ υπάρχει και το lim x!a Œf .x/Cg.x/ υπάρχει, πρέπει να υπάρχει και το lim x!a g.x/; (γ) Αν το lim x!a f .x/ υπάρχει και το lim x!a g.x/ δεν υπάρχει, πορεί να υπάρχει το lim x!a Œf .x/ C g.x/; (δ) Αν το lim x!a f .x/ υπάρχει και το lim x!a f .x/g.x/ υπάρχει, έπεται ότι υπάρχει και το lim x!a g.x/; 9. Αποδείξτε ότι lim x!a f .x/ D lim h!0 f .a C h/. (Αυτή είναι ια άσκηση που ελέγχει κυρίως αν έχετε καταλάβει καλά την ορολογία.) 10. (α) Αποδείξτε ότι lim x!a f .x/ D l αν και όνο αν lim x!a Œf .x/ l D 0. (∆είτε πρώτα γιατί αυτός ο ισχυρισ ός είναι προφανής· δώστε ετά ια αυστηρή απόδειξη. Σε αυτό το κεφάλαιο, τα πιο πολλά προβλή ατα που ζητούν αποδείξεις πρέπει να τα χειριστείτε ε αυτόν τον τρόπο.) (β) Αποδείξτε ότι lim x!0 f .x/ D lim x!a f .x a/. (γ) Αποδείξτε ότι lim x!0 f .x/ D lim x!0 f .x3 /. (δ) ∆ώστε ένα παράδειγ α όπου το lim x!0 f .x2 / να υπάρχει, αλλά το lim x!0 f .x/ όχι.
- 112. 98 Θεµέλια 11. Έστωότι υπάρχει ένα ı 0 τέτοιο ώστε f .x/ D g.x/ όταν 0 jx aj ı. Αποδείξτε ότι lim x!a f .x/ D lim x!a g.x/. Με άλλα λόγια, το lim x!a f .x/ εξαρτάται όνο από τις τι ές του f .x/ για x κοντά στο a —συχνά εκφράζου ε αυτό το γεγονός λέγοντας ότι τα όρια είναι «τοπική ιδιότητα». (Θα σας βοηθήσει οπωσδήποτε να χρησι οποιήσετε το ı0 , ή κάποιο άλλο γρά α, αντί για το ı, στον ορισ ό των ορίων.) 12. (α) Έστω ότι f .x/ g.x/ για κάθε x. Αποδείξτε ότι lim x!a f .x/ lim x!a g.x/, αρκεί βέβαια να υπάρχουν αυτά τα όρια. (β) Πώς πορού ε να κάνου ε την υπόθεση ασθενέστερη; (γ) Αν f .x/ g.x/ για κάθε x, έπεται αναγκαστικά ότι lim x!a f .x/ lim x!a g.x/; 13. Έστω ότι f .x/ g.x/ h.x/ και ότι lim x!a f .x/ D lim x!a h.x/. Αποδείξτε ότι το lim x!a g.x/ υπάρχει, και ότι lim x!a g.x/ D lim x!a f .x/ D lim x!a h.x/. (Κάντε ένα σχή α!) 14. (α) Αποδείξτε ότι αν lim x!0 f .x/=x D l και b ¤ 0, τότε lim x!0 f .bx/=x D bl. Υπόδειξη: Γράψτε f .bx/=x D bŒf .bx/=bx. (β) Τί συ βαίνει αν b D 0; (γ) Το έρος (α) ας επιτρέπει να βρού ε το lim x!0 .sin 2x/=x ως συνάρτηση του lim x!0 .sin x/=x. Βρείτε αυτό το όριο ε έναν άλλο τρόπο. 15. Υπολογίστε τα εξής όρια συναρτήσει του αριθ ού ˛ D lim x!0 .sin x/=x. (i) lim x!0 sin 3x x . (ii) lim x!0 sin ax sin bx . (iii) lim x!0 sin2 2x x . (iv) lim x!0 sin2 2x x2 . (v) lim x!0 1 cos x x2 . (vi) lim x!0 tan2 x C 2x x C x2 . (vii) lim x!0 x sin x 1 cos x . (viii) lim h!0 sin.x C h/ sin x h . (ix) lim x!1 sin.x2 1/ x 1 . (x) lim x!0 x2 .3 C sin x/ .x C sin x/2 . (xi) lim x!1 .x2 1/3 sin 1 x 1 3 . 16. (α) Αποδείξτε ότι, αν lim x!a f .x/ D l, τότε lim x!a jf j.x/ D jlj.
- 113. 5. Όρια 99 (β)Αποδείξτε ότι, αν lim x!a f .x/ D l και lim x!a g.x/ D m, τότε lim x!a max.f; g/.x/ D max.l; m/ και ό οια για το min. 17. (α) Αποδείξτε ότι το lim x!0 1=x δεν υπάρχει, δηλαδή, δείξτε ότι για κάθε αριθ ό l δεν ισχύει lim x!0 1=x D l. (β) Αποδείξτε ότι το lim x!1 1=.x 1/ δεν υπάρχει. 18. Αποδείξτε ότι, αν lim x!a f .x/ D l, τότε υπάρχει ένας αριθ ός ı 0 και ένας αριθ ός M τέτοιος ώστε jf .x/j M αν 0 jx aj ı. (Τί ση αίνει αυτό σε ένα σχή α;) Υπόδειξη: Γιατί είναι αρκετό να αποδείξου ε ότι l 1 f .x/ l C 1 για 0 jx aj ı; 19. Αποδείξτε ότι, αν f .x/ D 0 για x άρρητο, και f .x/ D 1 για x ρητό, τότε το lim x!a f .x/ δεν υπάρχει για κανένα a. 20. Αποδείξτε ότι, αν f .x/ D x για x ρητό, και f .x/ D x για x άρρητο, τότε το lim x!a f .x/ δεν υπάρχει αν a ¤ 0. 21. (α) Αποδείξτε ότι, αν lim x!0 g.x/ D 0, τότε lim x!0 g.x/ sin 1=x D 0. (β) Γενικεύστε το παραπάνω ως εξής: Αν lim x!0 g.x/ D 0 και jh.x/j M για κάθε x, τότε lim x!0 g.x/h.x/ D 0. (Φυσικά δεν υπάρχει λόγος να κάνετε το έρος (α) αν κατορθώσετε να κάνετε το έρος (β)· στην πραγ ατικότητα η διατύπωση του έρους (β) πορεί να το κάνει ευκολότερο από το (α) —αυτή είναι ια από τις αρετές της γενίκευσης.) 22. Θεωρού ε ια συνάρτηση f ε την εξής ιδιότητα: αν g είναι ια συνάρτηση για την οποία το lim x!0 g.x/ δεν υπάρχει, τότε και το lim x!0 Œf .x/ C g.x/ δεν υπάρχει. Αποδείξτε ότι αυτό συ βαίνει αν και όνο αν το lim x!0 f .x/ υπάρχει. Υπόδειξη: Αυτό στην πραγ ατικότητα είναι πολύ εύκολο: η υπόθεση ότι το lim x!0 f .x/ δεν υπάρχει οδηγεί α έσως σε αντίφαση αν πάρετε την κατάλληλη g. 23. Αυτό το πρόβλη α είναι το ανάλογο του Προβλή ατος 22 αν αντικαταστήσου ε την f C g ε f g. Σε αυτήν την περίπτωση η κατάσταση είναι πολύ πιο σύνθετη, και η ανάλυση απαιτεί αρκετά βή ατα (αυτοί που ψάχνουν για ένα εξαιρετικά προ- κλητικό πρόβλη α, ας επιχειρήσουν ια ανεξάρτητη λύση). (α) Έστω ότι το lim x!0 f .x/ υπάρχει και είναι ¤ 0. Αποδείξτε ότι αν το lim x!0 g.x/ δεν υπάρχει, τότε και το lim x!0 f .x/g.x/ δεν υπάρχει. (β) Αποδείξτε το ίδιο αποτέλεσ α αν lim x!0 jf .x/j D 1. (Ο ακριβής ορισ ός αυτού του ορίου δίνεται στο Πρόβλη α 37.) (γ) Αποδείξτε ότι, αν δεν ισχύει κα ία από αυτές τις δύο συνθήκες, τότε υπάρ- χει ια συνάρτηση g τέτοια ώστε το lim x!0 g.x/ να ην υπάρχει, αλλά το lim x!0 f .x/g.x/ να υπάρχει. Υπόδειξη: Εξετάστε χωριστά τις εξής δύο περιπτώσεις: (1) Για κάποιο 0 έχου ε jf .x/j για όλα τα αρκετά ικρά x. (2) Για κάθε 0, υπάρ- χουν οσοδήποτε ικρά x ε jf .x/j . Στη δεύτερη περίπτωση, αρχίστε διαλέγοντας ση εία xn ε jxnj 1=n και jf .xn/j 1=n. 24. Έστω ότι, για κάθε φυσικό αριθ ό n, το An είναι ένα πεπερασµένο σύνολο από αριθ ούς στο Œ0; 1, και ότι τα An και Am δεν έχουν κοινά στοιχεία αν m ¤ n.
- 114. 100 Θεµέλια Ορίζου εια f ως εξής: f .x/ D 1=n; x στο An 0; x δεν ανήκει στο An για κανένα n: Αποδείξτε ότι lim x!a f .x/ D 0 για κάθε a στο Œ0; 1. 25. Εξηγήστε γιατί οι ακόλουθοι ορισ οί του lim x!a f .x/ D l είναι όλοι σωστοί: Για κάθε ı 0 υπάρχει ένα 0 τέτοιο ώστε, για κάθε x, (i) αν 0 jx aj , τότε jf .x/ lj ı. (ii) αν 0 jx aj , τότε jf .x/ lj ı. (iii) αν 0 jx aj , τότε jf .x/ lj 5ı. (iv) αν 0 jx aj =10, τότε jf .x/ lj ı. 26. ∆ώστε παραδείγ ατα για να δείξετε ότι οι ακόλουθοι ορισ οί του lim x!a f .x/ D l δεν είναι σωστοί. (α) Για κάθε ı 0 υπάρχει 0 τέτοιο ώστε αν 0 jx aj ı, τότε jf .x/ lj . (β) Για κάθε 0 υπάρχει ı 0 τέτοιο ώστε αν jf .x/ lj , τότε 0 jx aj ı. 27. Για καθε ιά από τις συναρτήσεις στο Πρόβλη α 4-17 βρείτε για ποιους αριθ ούς a υπάρχουν τα πλευρικά όρια lim x!aC f .x/ και lim x!a f .x/. 28. (α) Κάντε το ίδιο για τις συναρτήσεις του Προβλή ατος 4-19. (β) Εξετάστε ακό α τι συ βαίνει αν χρησι οποιήσου ε δεκαδικά έρη που λή- γουν σε 0 αντί για δεκαδικά έρη που λήγουν σε 9. 29. Αποδείξτε ότι το lim x!a f .x/ υπάρχει αν lim x!aC f .x/ D lim x!a f .x/. 30. Αποδείξτε ότι (i) lim x!0C f .x/ D lim x!0 f . x/. (ii) lim x!0 f .jxj/ D lim x!0C f .x/. (iii) lim x!0 f .x2 / D lim x!0C f .x/. (Αυτές οι εξισώσεις, και άλλες σαν και αυτές, είναι ανοιχτές σε διάφορες ερ ηνείες. Μπορεί να ση αίνουν απλώς ότι τα δύο όρια είναι ίσα αν υπάρχουν και τα δύο· ή ότι, αν κάποιο από τα δύο όρια υπάρχει, τότε υπάρχει και το άλλο και είναι ίσο ε αυτό· ή ότι, αν οποιοδήποτε από τα δύο όρια υπάρχει, τότε υπάρχει και το άλλο και είναι ίσο ε αυτό. Αποφασίστε όνοι σας κάθε φορά ποια ερ ηνεία είναι η κατάλληλη.) 31. Έστω ότι lim x!a f .x/ lim x!aC f .x/. (Κάντε ένα σχή α για να περιγράψετε αυτήν την κατάσταση.) Αποδείξτε ότι υπάρχει κάποιο ı 0 τέτοιο ώστε f .x/ f .y/ όποτε x a y και jx aj ı και jy aj ı. Ισχύει το αντίστροφο; 32. Αποδείξτε ότι το lim x!1 .anxn C Ca0/=.bmxm C Cb0/ ( ε an ¤ 0 και bm ¤ 0) υπάρχει αν και όνο αν m n. Ποιο είναι το όριο αν m D n; Αν m n; Υπόδειξη: Ένα εύκολο όριο είναι το lim x!1 1=xk D 0· κάντε λίγες αλγεβρικές πράξεις ώστε αυτή να είναι η όνη πληροφορία που χρειάζεστε.
- 115. 5. Όρια 101 33.Βρείτε τα εξής όρια. (i) lim x!1 x C sin3 x 5x C 6 . (ii) lim x!1 x sin x x2 C 5 . (iii) lim x!1 p x2 C x x. (iv) lim x!1 x2 .1 C sin2 x/ .x C sin x/2 . 34. Αποδείξτε ότι lim x!0C f .1=x/ D lim x!1 f .x/. 35. Βρείτε τα εξής όρια συναρτήσει του αριθ ού ˛ D lim x!0 .sin x/=x. (i) lim x!1 sin x x . (ii) lim x!1 x sin 1 x . 36. (α) Ορίστε το « lim x! 1 f .x/ D l». (β) Βρείτε το lim x! 1 .anxn C C a0/=.bmxm C C b0/. (γ) Αποδείξτε ότι lim x!1 f .x/ D lim x! 1 f . x/. (δ) Αποδείξτε ότι lim x!0 f .1=x/ D lim x! 1 f .x/. 37. Ορίζου ε το lim x!a f .x/ D 1 να ση αίνει ότι για κάθε N υπάρχει ένα ı 0 τέτοιο ώστε, για κάθε x, αν 0 jx aj ı, τότε f .x/ N . (Ζωγραφίστε ένα σχή α που να ταιριάζει!) (Φυσικά, παρ’ όλα αυτά πορού ε να πού ε ότι το « lim x!a f .x/» δεν υπάρχει κατά τη συνήθη έννοια.) (α) ∆είξτε ότι lim x!3 1=.x 3/2 D 1. (β) Αποδείξτε ότι αν f .x/ 0 για κάθε x, και lim x!a g.x/ D 0, τότε lim x!a f .x/=jg.x/j D 1: 38. (α) Ορίστε τα lim x!aC f .x/ D 1 και lim x!a f .x/ D 1. (Ή τουλάχιστον πεισθείτε ότι θα πορούσατε να γράψετε τους ορισ ούς αν δεν βαριόσασταν. Πόσα άλλα τέτοια σύ βολα πορείτε να ορίσετε;) (β) Αποδείξτε ότι lim x!0C 1=x D 1. (γ) Αποδείξτε ότι lim x!0C f .x/ D 1, αν και όνο αν lim x!1 f .1=x/ D 1. 39. Βρείτε τα εξής όρια, όταν υπάρχουν. (i) lim x!1 x3 C 4x 7 7x2 x C 1 . (ii) lim x!1 x.1 C sin2 x/. (iii) lim x!1 x sin2 x. (iv) lim x!1 x2 sin 1 x .
- 116. 102 Θεµέλια (v) lim x!1 p x2C 2x x. (vi) lim x!1 x. p x C 2 p x /. (vii) lim x!1 p jxj x . 40. (α) Βρείτε την περί ετρο ενός κανονικού n-γώνου εγγεγρα ένουσε κύκλο ακτί- νας r. [Απάντηση: 2rn sin.=n/.] (β) Σε ποια τι ή τείνει η περί ετρος αυτή όταν το n γίνεται πολύ εγάλο; (γ) Ποιο όριο πορείτε να αντέψετε από αυτό; 41. (α) Για c 1, δείξτε ότι το c1=n D n p c τείνει στο 1 καθώς το n γίνεται πολύ εγάλο. Υπόδειξη: ∆είξτε ότι για οποιοδήποτε 0 δεν πορού ε να έχου ε c1=n 1 C για εγάλο n. (β) Πιο γενικά, αν c 0, τότε το c1=n τείνει στο 1 καθώς το n γίνεται πολύ εγάλο. 42. Αφού είχα στείλει τα κεί ενα της πρώτης έκδοσης αυτού του βιβλίου στον εκδότη, σκέφτηκα έναν πολύ πιο απλό τρόπο να δείξου ε ότι lim x!a x2 D a2 και lim x!a x3 D a3 χωρίς να περάσου ε από όλα τα τεχνάσ ατα παραγοντοποίησης της σελίδας 83. Ας υποθέσου ε, για παράδειγ α πως θέλου ε να αποδείξου ε ότι lim x!a x2 D a2 , όπου a 0. ∆οθέντος 0, απλώς διαλέγου ε για ı τον ικρότερο των p a2 C a και a p a2 (βλ. Σχή α 20): τότε το jx aj ı συνεπάγεται ότι p a2 x p a2 C , δηλαδή, a2 x2 a2 C , ή jx2 a2 j . Ευτυχώς που οι πρώτες σελίδες είχαν ήδη σταλεί και δεν πορούσα ε να κάνου ε αυτήν την αλλαγή, ια και η «απόδειξη» είναι εντελώς εσφαλ ένη. Πού βρίσκεται το λάθος; Σ Χ Η Μ Α 2 0
- 117. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΣΥΝΕΧΕΙΣΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν f είναι ια τυχαία συνάρτηση, δεν ισχύει αναγκαστικά ότι lim x!a f .x/ D f .a/: Πράγ ατι, το παραπάνω πορεί να ην ισχύει για πολλούς λόγους. Για παράδειγ α, η f πορεί να ην ορίζεται καν στο a, οπότε σε αυτήν την περίπτωση η εξίσωση δεν έχει νόη α (Σχή α 1). Σ Χ Η Μ Α 1 Μπορεί πάλι να ην υπάρχει το lim x!a f .x/ (Σχή α 2). Τέλος, όπως φαίνεται στο Σχή α 3, ακό α και αν η f ορίζεται στο a και το lim x!a f .x/ υπάρχει, το όριο πορεί να ην είναι ίσο ε f .a/. (α) (γ)(β) Σ Χ Η Μ Α 2 Θα θέλα ε να χαρακτηρίσου ε αφύσικη κάθε συ περιφορά αυτού του τύπου και να τι ήσου ε, ε έναν τίτλο ευγενείας, εκείνες τις συναρτήσεις που δεν παρουσιάζουν τέ- τοιες ιδιαιτερότητες. Ο όρος που έχει γίνει αποδεκτός είναι «συνεχής». ∆ιαισθητικά, ια συνάρτηση f είναι συνεχής αν η γραφική της παράσταση δεν παρουσιάζει χάσ ατα, άλ- ατα ή απότο ες ταλαντώσεις. Αν και αυτή η περιγραφή συνήθως επιτρέπει στον καθένα να αποφανθεί για το αν ια συνάρτηση είναι συνεχής κοιτάζοντας απλώς τη γραφική της παράσταση ( ια ικανότητα που αξίζει να καλλιεργήσει κανείς), πορεί εύκολα να οδηγή- σει σε πλάνη, για αυτό ο ακριβής ορισ ός είναι πολύ ση αντικός. ΟΡΙΣΜΟΣ Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο a αν lim x!a f .x/ D f .a/: ∆εν υπάρχει κα ία δυσκολία στο να βρού ε πολλά παραδείγ ατα συναρτήσεων που είναι, ή δεν είναι, συνεχείς σε κάποιο ση είο a —κάθε παράδειγ α που έχει να κάνει ε όρια ας παρέχει ένα παράδειγ α σχετικό ε τη συνέχεια, και το Κεφάλαιο 5 ας δίνει αρκετά τέτοια. Σ Χ Η Μ Α 3 Η συνάρτηση f .x/ D sin 1=x δεν είναι συνεχής στο 0, γιατί δεν ορίζεται καν στο 0, και το ίδιο ισχύει για τη συνάρτηση g.x/ D x sin 1=x. Εξ άλλου, αν έχει κανείς τη διάθεση να επεκτείνει τη δεύτερη από αυτές τις συναρτήσεις, που ση αίνει, αν θέλει να 103
- 118. 104 Θεµέλια ορίσει ιακαινούργια συνάρτηση G ε G.x/ D x sin 1=x; x ¤ 0 a; x D 0; τότε η εκλογή του a D G.0/ πορεί να γίνει ε τέτοιο τρόπο ώστε η G να είναι συνεχής στο 0 —για να το πετύχου ε αυτό πορού ε (στην πραγ ατικότητα πρέπει) να ορίσου ε G.0/ D 0 (Σχή α 4). Αυτού του είδους η επέκταση δεν είναι δυνατή για την f · αν ορίσου ε F.x/ D sin 1=x; x ¤ 0 a; x D 0; τότε η F δεν θα είναι συνεχής στο 0, ανεξάρτητα από το a, γιατί το lim x!0 f .x/ δεν υπάρχει. Η συνάρτηση f .x/ D x; x ρητός 0; x άρρητος δεν είναι συνεχής στο a, αν a ¤ 0, αφού το lim x!a f .x/ δεν υπάρχει. Ό ως lim x!0 f .x/ D 0 D f .0/, άρα η f είναι συνεχής σε ένα ακριβώς ση είο, το 0. Οι συναρτήσεις f .x/ D c, g.x/ D x και h.x/ D x2 είναι συνεχείς σε κάθε αριθ ό a, επειδή lim x!a f .x/ D lim x!a c D c D f .a/; lim x!a g.x/ D lim x!a x D a D g.a/; lim x!a h.x/ D lim x!a x2 D a2 D h.a/: (α) (β) Σ Χ Η Μ Α 4 Τέλος, ας θεωρήσου ε τη συνάρτηση f .x/ D 0; x άρρητος 1=q; x D p=q όπου p=q ανάγωγο. Στο Κεφάλαιο 5 αποδείξα ε ότι lim x!a f .x/ D 0 για κάθε a (στην πραγ ατικότητα όνο για 0 a 1, αλλά πορείτε εύκολα να δείτε ότι ισχύει για κάθε a). Αφού 0 D f .a/ όνο όταν ο a είναι άρρητος, αυτή η συνάρτηση είναι συνεχής στο a αν ο a είναι άρρητος, αλλά δεν είναι συνεχής αν ο a είναι ρητός. Είναι ακό α ευκολότερο να δώσου ε παραδείγ ατα συνέχειας αν αποδείξου ε δύο απλά θεωρή ατα. ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Αν οι f είναι g είναι συνεχείς στο a, τότε .1/ η f C g είναι συνεχής στο a, .2/ η f g είναι συνεχής στο a. Επιπλέον, αν g.a/ ¤ 0, τότε .3/ η 1=g είναι συνεχής στο a. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Αφού οι f και g είναι συνεχείς στο a, lim x!a f .x/ D f .a/ και lim x!a g.x/ D g.a/: Από το Θεώρη α 2(1) του Κεφαλαίου 5, συνεπάγεται ότι lim x!a .f C g/.x/ D f .a/ C g.a/ D .f C g/.a/;
- 119. 6. Συνεχείς συναρτήσεις105 που είναι ακριβώς ο ισχυρισ ός ότι η f Cg είναι συνεχής στο a. Αφήνου ε τις αποδείξεις των (2) και (3) σε σας. Ξεκινώντας ε τις συναρτήσεις f .x/ D c και f .x/ D x, που είναι συνεχείς στο a, για κάθε a, πορού ε να χρησι οποιήσου ε το Θεώρη α 1 για να συ περάνου ε ότι ια συνάρτηση της ορφής f .x/ D bnxn C bn 1xn 1 C C b0 cmxm C cm 1xm 1 C C c0 είναι συνεχής σε κάθε ση είο του πεδίου ορισ ού της. Αλλά είναι πιο δύσκολο να πετύ- χου ε κάτι περισσότερο από αυτό. Όταν θα εξετάσου ε τη συνάρτηση η ιτόνου ε λεπτο έρειες, θα είναι εύκολο να αποδείξου ε ότι η sin είναι συνεχής στο a για κάθε a· ας το υποθέσου ε εν τω εταξύ. Μπορού ε τώρα να αποδείξου ε ότι κάθε συνάρτηση της ορφής f .x/ D sin2 x C x2 C x4 sin x sin27 x C 4x2 sin2 x είναι συνεχής σε κάθε ση είο του πεδίου ορισ ού της. Αλλά δεν εί αστε ακό α σε θέση να αποδείξου ε τη συνέχεια ιας συνάρτησης σαν την f .x/ D sin.x2 /· προφανώς χρεια- ζό αστε ένα θεώρη α για τη σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Πριν να διατυπώσου ε αυτό το θεώρη α, αξίζει να παρατηρήσου ε το εξής για τον ορισ ό της συνέχειας. Αν εταφράσου ε την εξίσωση lim x!a f .x/ D f .a/ σύ φωνα ε τον ορισ ό του ορίου, παίρ- νου ε ότι για κάθε 0 υπάρχει ı 0 τέτοιο ώστε, για κάθε x, αν 0 jx aj ı, τότε jf .x/ f .a/j . Αλλά σε αυτήν την περίπτωση, όπου το όριο είναι f .a/, η φράση 0 jx aj ı πορεί να ετατραπεί στην απλούστερη συνθήκη jx aj ı; αφού για x D a είναι βέβαια σωστό ότι jf .x/ f .a/j . ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Αν η g είναι συνεχής στο a, και η f είναι συνεχής στο g.a/, τότε η f B g είναι συνεχής στο a. (Παρατηρού ε ότι απαιτού ε η f να είναι συνεχής στο g.a/, όχι στο a.) ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω 0. Θέλου ε να βρού ε ένα ı 0 τέτοιο ώστε για κάθε x, αν jx aj ı, τότε j.f B g/.x/ .f B g/.a/j , δηλαδή jf .g.x// f .g.a//j . Χρησι οποιού ε πρώτα τη συνέχεια της f για να εκτι ήσου ε πόσο κοντά πρέπει να βρίσκεται το g.x/ στο g.a/ ώστε να ισχύει η ανισότητα. Αφού η f είναι συνεχής στο g.a/, υπάρχει ένα ı0 0 τέτοιο ώστε για κάθε y, .1/ αν jy g.a/j ı0 , τότε jf .y/ f .g.a//j . Ειδικότερα, αυτό ση αίνει ότι .2/ αν jg.x/ g.a/j ı0 , τότε jf .g.x// f .g.a//j . Χρησι οποιού ε τώρα τη συνέχεια της g για να εκτι ήσου ε πόσο κοντά πρέπει να βρί- σκεται το x στο a για να ισχύει η ανισότητα jg.x/ g.a/j ı0 . Ο αριθ ός ı0 είναι ένας θετικός αριθ ός σαν όλους τους άλλους θετικούς αριθ ούς· επο ένως πορού ε να
- 120. 106 Θεµέλια πάρου ετο ı0 ως το (!) στον ορισ ό της συνέχειας της g στο a. Συ περαίνου ε ότι υπάρχει ı 0 τέτοιο ώστε, για κάθε x, .3/ αν jx aj ı, τότε jg.x/ g.a/j ı0 . Συνδυάζοντας τις (2) και (3) βλέπου ε ότι για κάθε x, αν jx aj ı, τότε jf .g.x// f .g.a//j . Μπορού ε τώρα να θεωρήσου ε ξανά τη συνάρτηση f .x/ D x sin 1=x; x ¤ 0 0; x D 0: Έχου ε ήδη παρατηρήσει ότι η f είναι συνεχής στο 0. Μερικές εφαρ ογές των Θεω- ρη άτων 1 και 2, αζί ε τη συνέχεια της sin, δείχνουν ότι η f είναι συνεχής και σε κάθε a, ε a ¤ 0. Μπορεί κανείς να αναλύσει εξίσου εύκολα συναρτήσεις σαν την f .x/ D sin.x2 C sin.x C sin2 .x3 ///. Τα λίγα θεωρή ατα αυτού του κεφαλαίου σχετίζονται όλα ε τη συνέχεια συναρτή- σεων σε ένα όνο ση είο, αλλά η έννοια της συνέχειας θα αρχίσει να γίνεται πραγ ατικά ενδιαφέρουσα όνο όταν συγκεντρώσου ε την προσοχή ας σε συναρτήσεις που είναι συνεχείς σε όλα τα ση εία κάποιου διαστή ατος. Αν η f είναι συνεχής στο x για κάθε x στο .a; b/, τότε η f λέγεται συνεχής στο .a; b/· ως ια «ειδική περίπτωση», η f είναι συνεχής στο R D . 1; 1/ [βλ. σελίδα 52] αν είναι συνεχής στο x για κάθε x στο R. Η συνέχεια σε ένα κλειστό διάστη α πρέπει να οριστεί λίγο διαφορετικά· ια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο Œa; b αν .1/ η f είναι συνεχής στο x για κάθε x στο .a; b/, .2/ lim x!aC f .x/ D f .a/ και lim x!b f .x/ D f .b/. (Συχνά λέ ε επίσης απλώς ότι ια συνάρτηση είναι συνεχής αν είναι συνεχής στο x για κάθε x στο πεδίο ορισ ού της.) Θεωρού ε συνήθως ότι οι συναρτήσεις που είναι συνεχείς σε ένα διάστη α συ πε- ριφέρονται εξαιρετικά καλά· πραγ ατικά, η συνέχεια θα πορούσε να θεωρηθεί η πρώτη συνθήκη που ια «λογική» συνάρτηση πρέπει να ικανοποιεί. Μια συνεχής συνάρτηση περιγράφεται ερικές φορές, διαισθητικά, ως ια συνάρτηση της οποίας τη γραφική παρά- σταση πορεί κανείς να σχεδιάσει χωρίς να σηκώσει το ολύβι του από το χαρτί. Αν φέρου ε στο υαλό ας τη συνάρτηση f .x/ D x sin 1=x; x ¤ 0 0; x D 0 βλέπου ε ότι αυτή η περιγραφή είναι υπερβολικά αισιόδοξη. Παρ’ όλα αυτά, είναι αλή- θεια ότι υπάρχουν πολλά ση αντικά αποτελέσ ατα που αφορούν συναρτήσεις συνεχείς σε ένα διάστη α. Αυτά τα θεωρή ατα είναι γενικά πολύ δυσκολότερα από τα θεωρή- ατα του παρόντος κεφαλαίου, αλλά υπάρχει ένα απλό θεώρη α που σχη ατίζει τη γέ- φυρα ανά εσα στα δύο είδη αποτελεσ άτων. Η υπόθεση αυτού του θεωρή ατος απαιτεί τη συνέχεια σε ένα όνο ση είο, ενώ το συ πέρασ α περιγράφει τη συ περιφορά της συνάρτησης σε κάποιο διάστη α που περιέχει το ση είο. Αν και το θεώρη α αυτό είναι στην ουσία ένα λή α για εταγενέστερα θεωρή ατα, το συ περιλα βάνου ε εδώ ως εισαγωγή σε αυτά που θα ακολουθήσουν. ΘΕΩΡΗΜΑ 3 Έστω ότι η f είναι συνεχής στο a, και f .a/ 0. Τότε f .x/ 0 για κάθε x σε κάποιο διάστη α που περιέχει το a· πιο συγκεκρι ένα υπάρχει ένας αριθ ός ı 0 τέτοιος ώστε f .x/ 0 για κάθε x που ικανοποιεί την jx aj ı. Ο οίως, αν f .a/ 0, τότε υπάρχει ένας αριθ ός ı 0 τέτοιος ώστε f .x/ 0 για κάθε x που ικανοποιεί την jx aj ı.
- 121. 6. Συνεχείς συναρτήσεις107 ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θεωρού ε την περίπτωση f .a/ 0. Αφού η f είναι συνεχής στο a, για κάθε 0 υπάρχει ı 0 τέτοιο ώστε, για κάθε x, αν jx aj ı, τότε jf .x/ f .a/j , δηλαδή f .x/ f .a/ . Συγκεκρι ένα, αυτό πρέπει να ισχύει για D 1 2 f .a/, αφού 1 2 f .a/ 0 (Σχή α 5). Άρα υπάρχει ı 0 τέτοιο ώστε για κάθε x, αν jx aj ı, τότε 1 2 f .a/ f .x/ f .a/ 1 2 f .a/, και από αυτό έπεται ότι f .x/ 1 2 f .a/ 0. (Θα πορούσα ε να έχου ε επιλέξει ως ακό α και το ίδιο το f .a/, κάτι το οποίο θα ας οδηγούσε σε ια απόδειξη που θα ήταν πιο κο ψή, αλλά ε λιγότερο ξεκάθαρη νοητή εικόνα.) Μια ό οια απόδειξη πορεί να δοθεί για την περίπτωση όπου f .a/ 0· παίρνου ε D 1 2 f .a/. Θα πορούσε επίσης να εφαρ όσει κανείς την πρώτη περίπτωση στη Σ Χ Η Μ Α 5 συνάρτηση f . ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Για ποιες από τις επό ενες συναρτήσεις f υπάρχει ια συνεχής συνάρτηση F ε πεδίο ορισ ού το R τέτοια ώστε F.x/ D f .x/ για κάθε x στο πεδίο ορισ ού της f ; (i) f .x/ D x2 4 x 2 . (ii) f .x/ D jxj x . (iii) f .x/ D 0, x άρρητος. (iv) f .x/ D 1=q, x D p=q ρητός όπου p=q ανάγωγο. 2. Σε ποια ση εία είναι συνεχείς οι συναρτήσεις των Προβλη άτων 4-17 και 4-19; 3. (α) Έστω ότι f είναι συνάρτηση τέτοια ώστε jf .x/j jxj για κάθε x. ∆είξτε ότι η f είναι συνεχής στο 0. (Παρατηρήστε ότι το f .0/ πρέπει να είναι ίσο ε 0.) (β) ∆ώστε ένα παράδειγ α ιας τέτοιας συνάρτησης f που να ην είναι συνεχής σε κανένα a ¤ 0. (γ) Έστω ότι η g είναι συνεχής στο 0 και g.0/ D 0, και jf .x/j jg.x/j. Απο- δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο 0. 4. ∆ώστε παράδειγ α συνάρτησης f που να ην είναι πουθενά συνεχής, αλλά η jf j να είναι παντού συνεχής. 5. Για κάθε αριθ ό a, βρείτε ια συνάρτηση που να είναι συνεχής στο a, αλλά σε κανένα άλλο ση είο. 6. (α) Βρείτε ια συνάρτηση f που να είναι ασυνεχής στα 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , ...αλλά συνεχής σε όλα τε άλλα ση εία. (β) Βρείτε ια συνάρτηση f που να είναι ασυνεχής στα 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , ...και στο 0, αλλά συνεχής σε όλα τα άλλα ση εία. 7. Έστω ότι η f ικανοποιεί την f .x C y/ D f .x/ C f .y/, και ότι η f είναι συνεχής στο 0. Αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής στο a για κάθε a.
- 122. 108 Θεµέλια 8. Έστωότι η f είναι συνεχής στο a και f .a/ D 0. Αποδείξτε ότι αν ¤ 0, τότε η f C είναι η ηδενική σε κάποιο ανοικτό διάστη α που περιέχει το a. 9. (α) Έστω ότι η f ορίζεται στο a αλλά δεν είναι συνεχής στο a. Αποδείξτε ότι για κάποιον αριθ ό 0 υπάρχουν αριθ οί x οσοδήποτε κοντά στο a ε jf .x/ f .a/j . Εξηγήστε ε ένα σχή α. (β) Συ περάνετε ότι για κάποιον αριθ ό 0, είτε υπάρχουν αριθ οί x οσοδή- ποτε κοντά στο a ε f .x/ f .a/ είτε υπάρχουν αριθ οί x οσοδήποτε κοντά στο a ε f .x/ f .a/ C . 10. (α) Αποδείξτε ότι, αν η f είναι συνεχής στο a, τότε το ίδιο ισχύει και για την jf j. (β) Αποδείξτε ότι κάθε συνάρτηση f συνεχής στο R γράφεται f D E CO, όπου η E είναι άρτια και συνεχής και η O είναι περιττή και συνεχής. (γ) Αποδείξτε ότι, αν η f και η g είναι συνεχείς, τότε είναι συνεχείς και οι max.f; g/ και min.f; g/. (δ) Αποδείξτε ότι κάθε συνεχής f γράφεται f D g h, όπου η g και η h είναι η αρνητικές και συνεχείς. 11. Αποδείξτε το Θεώρη α 1(3) χρησι οποιώντας το Θεώρη α 2 και τη συνέχεια της συνάρτησης f .x/ D 1=x. 12. (α) Αποδείξτε ότι, αν η f είναι συνεχής στο l και lim x!a g.x/ D l, τότε lim x!a f .g.x// D f .l/. (Μπορείτε να ανατρέξετε στους ορισ ούς, αλλά εί- ναι ευκολότερο να πάρετε τη συνάρτηση G ε G.x/ D g.x/ για x ¤ a, και G.a/ D l.) (β) ∆είξτε ότι, αν δεν υποτεθεί η συνέχεια της f στο l, τότε δεν ισχύει γενικά ότι lim x!a f .g.x// D f . lim x!a g.x//. Υπόδειξη: ∆οκι άστε f .x/ D 0 για x ¤ l, και f .l/ D 1. 13. (α) Αποδείξτε ότι αν η f είναι συνεχής στο Œa; b, τότε υπάρχει ια συνάρτηση g συνεχής στο R, τέτοια ώστε g.x/ D f .x/ για κάθε x στο Œa; b. Υπόδειξη: Αφού είναι φανερό ότι έχετε πλήθος επιλογών, προσπαθήστε να κάνετε τη g σταθερή στα . 1; a και Œb; 1/. (β) ∆ώστε ένα παράδειγ α που να δείχνει ότι αυτός ο ισχυρισ ός δεν είναι σωστός αν αντικαταστήσου ε το Œa; b ε .a; b/. 14. (α) Έστω ότι η g και η h είναι συνεχείς στο a, και ότι g.a/ D h.a/. Ορίζου ε το f .x/ να είναι g.x/ αν x a και h.x/ αν x a. Αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής στο a. (β) Έστω ότι η g είναι συνεχής στο Œa; b και η h συνεχής στο Œb; c και g.b/ D h.b/. Θέτου ε f .x/ να είναι g.x/ για x στο Œa; b και h.x/ για x στο Œb; c. ∆είξτε ότι η f είναι συνεχής στο Œa; c. (Έτσι, δύο συνεχείς συναρτήσεις πορούν να «συγκολληθούν».) 15. Αποδείξτε ότι αν η f είναι συνεχής στο a, τότε για οποιοδήποτε 0 υπάρχει ı 0 έτσι ώστε όποτε jx aj ı και jy aj ı, να έχου ε jf .x/ f .y/j . 16. (α) Αποδείξτε την ακόλουθη παραλλαγή του Θεωρή ατος 3 για την «συνέχεια από τα δεξιά»: Έστω ότι lim x!aC f .x/ D f .a/, και f .a/ 0. Τότε υπάρχει ένας αριθ ός ı 0 τέτοιος ώστε f .x/ 0 για κάθε x που ικανοποιεί την 0 x a ı. Ο οίως, αν f .a/ 0, τότε υπάρχει ένας αριθ ός ı 0 τέτοιος ώστε f .x/ 0 για κάθε x που ικανοποιεί την 0 x a ı. (β) Αποδείξτε την αντίστοιχη παραλλαγή του Θεωρή ατος 3 όταν lim x!b f .x/ D f .b/.
- 123. 6. Συνεχείς συναρτήσεις109 17. Αν το lim x!a f .x/ υπάρχει, αλλά είναι ¤ f .a/, τότε λέ ε ότι η f έχει «αιρό ενη ασυνέχεια» στο a. (α) Αν f .x/ D sin 1=x για x ¤ 0 και f .0/ D 1, έχει η f αιρό ενη ασυνέχεια στο 0; Το ίδιο ερώτη α αν f .x/ D x sin 1=x για x ¤ 0, και f .0/ D 1. (β) Έστω ότι η f έχει αιρό ενη ασυνέχεια στο a. Θέτου ε g.x/ D f .x/ για x ¤ a, και g.a/ D lim x!a f .x/. Αποδείξτε ότι η g είναι συνεχής στο a. (Μην κουραστείτε πολύ· αυτό είναι άλλον εύκολο.) (γ) Θέτου ε f .x/ D 0 αν ο x είναι άρρητος, και f .p=q/ D 1=q αν το p=q είναι ανάγωγο. Ποια είναι η συνάρτηση g που ορίζεται από την g.x/ D lim y!x f .y/; (δ) Έστω f ια συνάρτηση ε την ιδιότητα ότι σε κάθε ση είο ασυνέχειας έχου ε αιρό ενη ασυνέχεια. Αυτό ση αίνει ότι το lim y!x f .y/ υπάρχει για κάθε x, αλλά η f πορεί να είναι ασυνεχής για κάποιους (ίσως άπειρους το πλήθος) αριθ ούς x. Ορίζου ε g.x/ D lim y!x f .y/. Αποδείξτε ότι η g είναι συνεχής. (Αυτό δεν είναι τόσο εύκολο όπως το έρος (β).) (ε) Υπάρχει συνάρτηση f που να είναι ασυνεχής σε κάθε ση είο, και να έχει όνο αιρό ενες ασυνέχειες; (Αξίζει να ασχοληθείτε τώρα ε αυτό το πρό- βλη α, αλλά κυρίως σαν ια δοκι ή για τη διαίσθησή σας· ακό α και αν υποψιάζεστε τη σωστή απάντηση, είναι σχεδόν βέβαιο ότι δεν θα πορείτε να τη δικαιολογήσετε αυτήν τη στιγ ή. Βλ. Πρόβλη α 22-33.)
- 124. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΤΡΙΑ∆ΥΣΚΟΛΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ Αυτό το κεφάλαιο είναι αφιερω ένο σε τρία θεωρή ατα σχετικά ε τις συνεχείς συναρ- τήσεις και σε κάποιες από τις συνέπειές τους. ∆εν θα δώσου ε τις αποδείξεις αυτών των τριών θεωρη άτων τώρα, παρά όνο στο επό ενο κεφάλαιο, για λόγους που εξηγού ε στο τέλος αυτού του κεφαλαίου. ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Αν η f είναι συνεχής στο Œa; b και f .a/ 0 f .b/, τότε υπάρχει κάποιο x στο Œa; b τέτοιο ώστε f .x/ D 0. (Γεω ετρικά, αυτό ση αίνει ότι η γραφική παράσταση ιας συνεχούς συνάρτησης που ξεκινά κάτω από τον οριζόντιο άξονα και τελειώνει πάνω από αυτόν, πρέπει να τέ νει αυτόν τον άξονα σε κάποιο ση είο, όπως στο Σχή α 1.) ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Αν η f είναι συνεχής στο Œa; b, τότε η f είναι άνω φραγ ένη στο Œa; b, δηλαδή, υπάρχει κάποιος αριθ ός N τέτοιος ώστε f .x/ N για κάθε x στο Œa; b. (Γεω ετρικά, αυτό το θεώρη α ση αίνει ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από κάποια ευθεία παράλληλη στον οριζόντιο άξονα, όπως στο Σχή α 2.) ΘΕΩΡΗΜΑ 3 Αν η f είναι συνεχής στο Œa; b, τότε υπάρχει κάποιος αριθ ός y στο Œa; b τέτοιος ώστε f .y/ f .x/ για κάθε x στο Œa; b (Σχή α 3). Σ Χ Η Μ Α 1 Σ Χ Η Μ Α 2 Σ Χ Η Μ Α 3 Αυτά τα τρία θεωρή ατα διαφέρουν σαφώς από τα θεωρή ατα του Κεφαλαίου 6. Οι υποθέσεις εκείνων των θεωρη άτων πάντοτε αφορούσαν τη συνέχεια σε ένα όνο ση είο, ενώ οι υποθέσεις των τωρινών θεωρη άτων απαιτούν τη συνέχεια σε ένα ολόκληρο διά- στη α Œa; b —αν η συνέχεια, έστω και σε ένα ση είο, δεν εξασφαλίζεται, τα συ περά- σ ατα πορεί να ην ισχύουν. Για παράδειγ α, έστω f η συνάρτηση που φαίνεται στο 110
- 125. 7. Τρία δύσκολαθεωρήµατα 111 Σχή α 4, f .x/ D ( 1; 0 x p 2 1; p 2 x 2: Τότε η f είναι συνεχής σε κάθε ση είο του Œ0; 2 εκτός από το p 2, και f .0/ 0 f .2/, Σ Χ Η Μ Α 4 αλλά δεν υπάρχει ση είο x στο Œ0; 2 τέτοιο ώστε f .x/ D 0· η ασυνέχεια στο ση είο p 2 και όνο είναι ικανή να καταστρέψει το συ πέρασ α του Θεωρή ατος 1. Ο οίως, έστω ότι f είναι η συνάρτηση που φαίνεται στο Σχή α 5, f .x/ D 1=x; x ¤ 0 0; x D 0: Τότε, η f είναι συνεχής σε κάθε ση είο του Œ0; 1 εκτός από το 0, αλλά η f δεν είναι άνω φραγ ένη στο Œ0; 1. Πράγ ατι, για κάθε αριθ ό N 0, έχου ε f .1=2N / D 2N N . Αυτό το παράδειγ α δείχνει επίσης ότι το κλειστό διάστη α Œa; b στο Θεώρη α 2 δεν πορεί να αντικατασταθεί από το ανοικτό διάστη α .a; b/, γιατί η συνάρτηση f είναι συνεχής στο .0; 1/, αλλά δεν είναι φραγ ένη σε αυτό. Τέλος, ας θεωρήσου ε τη συνάρτηση που φαίνεται στο Σχή α 6, f .x/ D x2 ; x 1 0; x 1: Στο διάστη α Œ0; 1 η συνάρτηση f είναι άνω φραγ ένη, άρα η f ικανοποιεί το Σ Χ Η Μ Α 5 συ πέρασ α του Θεωρή ατος 2, αν και η f δεν είναι συνεχής στο Œ0; 1. Αλλά η f δεν ικανοποιεί το συ πέρασ α του Θεωρή ατος 3 —δεν υπάρχει y στο Œ0; 1, τέτοιο ώστε f .y/ f .x/ για κάθε x στο Œ0; 1· πράγ ατι, πρώτα απ’ όλα σίγουρα δεν είναι αλήθεια ότι f .1/ f .x/ για κάθε x στο Œ0; 1, οπότε δεν πορού ε να διαλέξου ε y D 1, ούτε πορού ε να διαλέξου ε 0 y 1 γιατί f .y/ f .x/ αν x είναι οποιοσδήποτε αριθ ός ε y x 1. Αυτό το παράδειγ α δείχνει ότι το Θεώρη α 3 είναι ση αντικά πιο ισχυρό από το Θεώρη α 2. Συχνά παραφράζου ε το Θεώρη α 3 λέγοντας ότι ια συνεχής συνάρτηση ορισ ένη σε ένα κλειστό διάστη α «παίρνει τη έγιστη τι ή της» σε αυτό το διάστη α. Σ Χ Η Μ Α 6 Ως α οιβή για την αυστηρότητα των υποθέσεων των τριών θεωρη άτων ας, τα συ - περάσ ατα είναι τελείως διαφορετικής φύσης από αυτά των προηγού ενων θεωρη άτων. Περιγράφουν τη συ περιφορά ιας συνάρτησης όχι όνο κοντά σε ένα ση είο, αλλά σε ένα ολόκληρο διάστη α· τέτοιες «καθολικές» ιδιότητες ιας συνάρτησης είναι πάντοτε πολύ πιο δύσκολο να αποδειχθούν από τις «τοπικές» ιδιότητες, κατά συνέπεια είναι πολύ πιο ισχυρές. Για να σκιαγραφήσου ε τη χρησι ότητα των Θεωρη άτων 1, 2 και 3, θα εξα- γάγου ε σύντο α κάποια σπουδαία συ περάσ ατα, αλλά θα βοηθήσει να αναφέρου ε πρώτα κάποιες απλές γενικεύσεις αυτών των θεωρη άτων. ΘΕΩΡΗΜΑ 4 Αν η f είναι συνεχής στο Œa; b και f .a/ c f .b/ τότε υπάρχει κάποιο x στο Œa; b τέτοιο ώστε f .x/ D c. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω g D f c. Τότε η g είναι συνεχής, και g.a/ 0 g.b/. Από το Θεώρη α 1 υπάρχει x στο Œa; b, τέτοιο ώστε g.x/ D 0. Αλλά αυτό ση αίνει ότι f .x/ D c. ΘΕΩΡΗΜΑ 5 Αν η f είναι συνεχής στο Œa; b και f .a/ c f .b/, τότε υπάρχει κάποιο x στο Œa; b τέτοιο ώστε f .x/ D c. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Œa; b και f .a/ c f .b/. Από το Θεώ- ρη α 4 έπεται ότι υπάρχει κάποιο x στο Œa; b τέτοιο ώστε f .x/ D c, που ση αίνει ότι f .x/ D c. Τα Θεωρή ατα 4 και 5 αζί δείχνουν ότι η f παίρνει κάθε τι ή ανά εσα στο f .a/ και το f .b/. Μπορού ε να πετύχου ε κάτι ακό α καλύτερο από αυτό: αν τα c και d
- 126. 112 Θεµέλια ανήκουν στοŒa; b, τότε η f παίρνει κάθε τι ή ανά εσα στο f .c/ και το f .d/. Η από- δειξη είναι απλή· αν, για παράδειγ α, c d, τότε απλώς εφαρ όζου ε τα Θεωρή ατα 4 και 5 στο διάστη α Œc; d. Ανακεφαλαιώνοντας, αν ια συνάρτηση συνεχής σε ένα διά- στη α παίρνει δύο τι ές, παίρνει και κάθε τι ή ανά εσά τους· αυτή η ικρή γενίκευση του Θεωρή ατος 1 συχνά αποκαλείται Θεώρη α Ενδιά εσης Τι ής. ΘΕΩΡΗΜΑ 6 Αν η f είναι συνεχής στο Œa; b, τότε η f είναι κάτω φραγ ένη στο Œa; b, δηλαδή, υπάρχει κάποιος αριθ ός N τέτοιος ώστε f .x/ N για κάθε x στο Œa; b. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Œa; b, άρα από το Θεώρη α 2 υπάρχει ένας αριθ ός M τέτοιος ώστε f .x/ M για κάθε x στο Œa; b. Αυτό ό ως ση αίνει ότι f .x/ M για κάθε x στο Œa; b, οπότε πορού ε να θέσου ε N D M . Τα Θεωρή ατα 2 και 6 αζί δείχνουν ότι ια συνάρτηση f συνεχής στο Œa; b είναι φραγ ένη στο Œa; b, δηλαδή, υπάρχει ένας αριθ ός N τέτοιος ώστε jf .x/j N για κάθε x στο Œa; b. Πράγ ατι, αφού το Θεώρη α 2 βεβαιώνει την ύπαρξη ενός αριθ ού N1, τέτοιου ώστε f .x/ N1 για κάθε x στο Œa; b, το δε Θεώρη α 6 βεβαιώνει την ύπαρξη ενός αριθ ού N2 τέτοιου ώστε f .x/ N2 για κάθε x στο Œa; b, πορού ε να πάρου ε N D max.jN1j; jN2j/. ΘΕΩΡΗΜΑ 7 Αν η f είναι συνεχής στο Œa; b, τότε υπάρχει κάποιο y στο Œa; b τέτοιο ώστε f .y/ f .x/ για κάθε x στο Œa; b. (Μια συνάρτηση συνεχής σε ένα κλειστό διάστη α παίρνει την ελάχιστη τι ή της σε αυτό το διάστη α.) ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Œa; b· από το Θεώρη α 3 υπάρχει κάποιο y στο Œa; b τέτοιο ώστε f .y/ f .x/ για κάθε x στο Œa; b, που ση αίνει ότι f .y/ f .x/ για κάθε x στο Œa; b. Τώρα που έχου ε στη διάθεσή ας τις τετρι ένες συνέπειες των Θεωρη άτων 1, 2 και 3, πορού ε να αρχίσου ε να αποδεικνύου ε ερικά ενδιαφέροντα πράγ ατα. ΘΕΩΡΗΜΑ 8 Κάθε θετικός αριθ ός έχει ια τετραγωνική ρίζα. Με άλλα λόγια, αν ˛ 0, τότε υπάρχει κάποιος αριθ ός x τέτοιος ώστε x2 D ˛. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θεωρού ε τη συνάρτηση f .x/ D x2 , που είναι βέβαια συνεχής. Παρατηρού ε ότι το ζητού ενο του θεωρή ατος πορεί να εκφραστεί έσω της f : «ο αριθ ός ˛ έχει ια τετραγωνική ρίζα» ση αίνει ότι η f παίρνει την τι ή ˛. Η απόδειξη αυτού του γεγονότος για την f είναι ια απλή συνέπεια του Θεωρή ατος 4. Υπάρχει προφανώς ένας αριθ ός b 0 τέτοιος ώστε f .b/ ˛ (όπως φαίνεται στο Σχή α 7)· πράγ ατι, αν ˛ 1 πορού ε να πάρου ε b D ˛, ενώ αν ˛ 1 πορού ε να πάρου ε b D 1. Αφού f .0/ ˛ f .b/, αν εφαρ όσου ε το Θεώρη α 4 στο Œ0; b συ περαίνου ε ότι για κάποιο x (στο Œ0; b), έχου ε f .x/ D ˛, δηλαδή x2 D ˛. Το ίδιο ακριβώς επιχείρη α πορεί να χρησι οποιηθεί για να αποδείξου ε ότι ένας θετικός αριθ ός έχει ια n-οστή ρίζα, για κάθε φυσικό αριθ ό n. Αν ο n συ βαίνει να είναι περιττός, πορού ε να πετύχου ε κάτι καλύτερο: κάθε αριθ ός έχει ια n-οστή ρίζα. Για να το αποδείξου ε, παρατηρού ε απλώς ότι, αν ο θετικός αριθ ός ˛ έχει τη n-οστή ρίζα x, δηλαδή, αν xn D ˛, τότε . x/n D ˛ (επειδή ο n είναι περιττός), άρα ο ˛ έχει τη n-οστή ρίζα x. Ο ισχυρισ ός, ότι για περιττό n κάθε αριθ ός ˛ έχει ια n-οστή ρίζα, είναι ισοδύνα ος ε την πρόταση ότι η εξίσωση xn ˛ D 0 έχει ια ρίζα αν n είναι περιττός. Αν διατυπωθεί ε αυτόν τον τρόπο το αποτέλεσ α Σ Χ Η Μ Α 7 επιδέχεται εγάλη γενίκευση.
- 127. 7. Τρία δύσκολαθεωρήµατα 113 ΘΕΩΡΗΜΑ 9 Αν ο n είναι περιττός, τότε κάθε εξίσωση xn C an 1xn 1 C C a0 D 0 έχει ια ρίζα. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Προφανώς θέλου ε να ελετήσου ε τη συνάρτηση f .x/ D xn C an 1xn 1 C C a0: Θα θέλα ε να αποδείξου ε ότι η f είναι ερικές φορές θετική και ερικές φορές αρνη- τική. Η διαισθητική ιδέα είναι ότι για εγάλα jxj, η συνάρτηση οιάζει πολύ ε την g.x/ D xn και, αφού ο n είναι περιττός, αυτή η συνάρτηση είναι θετική για εγάλα θετι- κά x και αρνητική για εγάλα αρνητικά x. Το όνο που χρειαζό αστε για να θέσου ε αυτήν τη διαισθητική ιδέα σε εφαρ ογή είναι λίγες αλγεβρικές πράξεις. Η κατάλληλη ανάλυση της συνάρτησης f είναι να γράψου ε f .x/ D xn C an 1xn 1 C C a0 D xn 1 C an 1 x C C a0 xn : Παρατηρού ε ότι ˇ ˇ ˇ an 1 x C an 2 x2 C C a0 xn ˇ ˇ ˇ jan 1j jxj C C ja0j jxnj : Συνεπώς, αν διαλέξου ε το x να ικανοποιεί την () jxj 1; 2njan 1j; : : : ; 2nja0j; τότε jxk j jxj και jan kj jxkj jan kj jxj jan kj 2njan kj D 1 2n ; επο ένως ˇ ˇ ˇ an 1 x C an 2 x2 C C a0 xn ˇ ˇ ˇ 1 2n C C 1 2n„ ƒ‚ … n όροι D 1 2 : Με άλλα λόγια, 1 2 an 1 x C C a0 xn 1 2 ; που συνεπάγεται ότι 1 2 1 C an 1 x C C a0 xn : Άρα, αν διαλέξου ε ένα x1 0 που ικανοποιεί την (), τότε .x1/n 2 .x1/n 1 C an 1 x1 C C a0 .x1/n D f .x1/; οπότε f .x1/ 0. Από την άλλη εριά, αν το x2 0 ικανοποιεί την (), τότε .x2/n 0 και .x2/n 2 .x2/n 1 C an 1 x2 C C a0 .x2/n D f .x2/; οπότε f .x2/ 0. Τώρα, εφαρ όζοντας το Θεώρη α 1 στο διάστη α Œx2; x1, συ περαίνου ε ότι υπάρ- χει ένα x στο Œx2; x1 τέτοιο ώστε f .x/ D 0. Το Θεώρη α 9 ας απαλλάσσει από το πρόβλη α των εξισώσεων περιττού βαθ ού τόσο επιτυχη ένα, που θα ήταν απογοητευτικό να αφήσου ε το πρόβλη α των εξισώσεων άρτιου βαθ ού χωρίς να το συζητήσου ε καθόλου. Με την πρώτη ατιά, πάντως, το
- 128. 114 Θεµέλια πρόβλη αοιάζει αξεπέραστο. Κάποιες εξισώσεις, όπως η x2 1 D 0, έχουν ια λύση, ενώ κάποιες, όπως η x2 C 1 D 0, δεν έχουν —τί περισσότερο πορεί να πει κανείς; Αν ό ως έχου ε τη διάθεση να θεωρήσου ε ένα πιο γενικό πρόβλη α, µπορούµε να πού ε κάτι ενδιαφέρον. Αντί να προσπαθού ε να λύσου ε την εξίσωση xn C an 1xn 1 C C a0 D 0; ας δού ε αν έχου ε τη δυνατότητα να λύσου ε τις εξισώσεις xn C an 1xn 1 C C a0 D c για όλους τους πιθανούς αριθ ούς c. Είναι σαν να επιτρέπου ε στον σταθερό όρο a0 να Σ Χ Η Μ Α 8 ποικίλλει. Η πληροφορία που πορεί να δοθεί όσον αφορά στη λύση τέτοιων εξισώσεων βασίζεται σε ένα στοιχείο που φαίνεται στο Σχή α 8. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f .x/ D xn C an 1xn 1 C C a0, ε n άρτιο, περιέχει, τουλάχιστον, όπως την έχου ε σχεδιάσει, ένα «χα ηλότατο» ση είο. Με άλλα λόγια, υπάρχει ένας αριθ ός y τέτοιος ώστε f .y/ f .x/ για όλους τους αριθ ούς x —η συνάρτηση f παίρνει ελάχιστη τι ή, όχι απλώς σε κάθε κλειστό διάστη α, α σε ολόκληρη την ευθεία. (Παρατηρού ε ότι αυτό είναι λάθος αν ο n είναι περιττός.) Η απόδειξη βασίζεται στο Θεώρη α 7, αλλά θα χρειαστεί ια περίπλοκη εφαρ ογή του. Μπορού ε να εφαρ όσου ε το Θεώρη α 7 σε κάθε διάστη α Œa; b, και να πάρου ε ένα ση είο y0 τέτοιο ώστε το f .y0/ να είναι η ελάχιστη τι ή της f στο Œa; b· αλλά αν το Œa; b συ βαίνει να είναι το διάστη α που φαίνεται στο Σχή α 8, για παράδειγ α, τότε το ση είο y0 δεν θα είναι αυτό όπου η f έχει την ελάχιστη τι ή της σε ολόκληρη την ευθεία. Στο επό ενο θεώρη α, όλη η ουσία της απόδειξης είναι να διαλέξου ε ένα διάστη α Œa; b ε τέτοιο τρόπο ώστε αυτό να ην πορεί να συ βαίνει. ΘΕΩΡΗΜΑ 10 Αν ο n είναι άρτιος και f .x/ D xn C an 1xn 1 C C a0, τότε υπάρχει ένας αριθ ός y τέτοιος ώστε f .y/ f .x/ για κάθε x. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Όπως και στην απόδειξη του Θεωρή ατος 9, αν M D max.1; 2njan 1j; : : : ; 2nja0j/; τότε για κάθε x ε jxj M , έχου ε 1 2 1 C an 1 x C C a0 xn : Αφού ο n είναι άρτιος, xn 0 για όλα τα x, άρα xn 2 xn 1 C an 1 x C C a0 xn D f .x/; ε τον όρο ότι jxj M . Θεωρού ε τώρα τον αριθ ό f .0/. Έστω b 0 ένας αριθ ός τέτοιος ώστε bn 2f .0/ και ακό α b M Τότε, αν x b, έχου ε (Σχή α 9) f .x/ xn 2 bn 2 f .0/: Ο οίως, αν x b, τότε Σ Χ Η Μ Α 9 f .x/ xn 2 . b/n 2 D bn 2 f .0/: Ανακεφαλαιώνοντας: αν x b ή x b, τότε f .x/ f .0/. Εφαρ όζου ε τώρα το Θεώρη α 7 για τη συνάρτηση f στο διάστη α Œ b; b. Συ - περαίνου ε ότι υπάρχει ένας αριθ ός y τέτοιος ώστε (1) αν b x b, τότε f .y/ f .x/.
- 129. 7. Τρία δύσκολαθεωρήµατα 115 Ειδικότερα, f .y/ f .0/. Έτσι, (2) αν x b ή x b, τότε f .x/ f .0/ f .y/. Συνδυάζοντας τις (1) και (2) βλέπου ε ότι f .y/ f .x/ για κάθε x. Το Θεώρη α 10 ας επιτρέπει τώρα να αποδείξου ε το ακόλουθο συ πέρασ α. ΘΕΩΡΗΜΑ 11 Θεωρού ε την εξίσωση () xn C an 1xn 1 C C a0 D c; και υποθέτου ε ότι ο n είναι άρτιος. Τότε υπάρχει ένας αριθ ός m τέτοιος ώστε η () να έχει λύση για c m και κα ία λύση για c m. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω f .x/ D xn C an 1xn 1 C C a0 (Σχή α 10). Σύ φωνα ε το Θεώρη α 10 υπάρχει ένας αριθ ός y τέτοιος ώστε f .y/ f .x/ για κάθε x. Έστω m D f .y/. Αν c m, τότε η εξίσωση () προφανώς δεν έχει λύση, αφού η αριστερή πλευρά έχει πάντοτε τι ή m. Αν c D m, τότε η () έχει τον y ως λύση. Τέλος, έστω ότι c m. Έστω b ένας αριθ ός τέτοιος ώστε b y και f .b/ c. Τότε f .y/ D m c f .b/. Επο ένως, από το Θεώρη α 4, υπάρχει κάποιος αριθ ός x στο Œy; b τέτοιος ώστε f .x/ D c, έτσι ο x είναι ια λύση της (). Αυτές οι συνέπειες των Θεωρη άτων 1, 2 και 3 είναι οι όνες που θα αποκο ίσου ε εδώ (αν και αυτά τα θεωρή ατα θα διαδρα ατίσουν έναν θε ελιώδη ρόλο σε οτιδήποτε σχεδόν κάνου ε αργότερα). Μόνο ία δουλειά απο ένει —να αποδείξου ε τα Θεωρή- ατα 1, 2 και 3. ∆υστυχώς, δεν έχου ε κα ία ελπίδα να τα καταφέρου ε — ε βάση τη γνώση που έχου ε έχρι τώρα για τους πραγ ατικούς αριθ ούς (δηλαδή τις Ι1–Ι12) ια απόδειξη είναι αδύνατη. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να πειστού ε ότι αυτό το ελαγχολικό συ πέρασ α είναι οιραίο. Για παράδειγ α, η απόδειξη του Θεωρή ατος 8 στηρίζεται όνο στην απόδειξη του Θεωρή ατος 1· αν πορούσα ε να αποδείξου ε Σ Χ Η Μ Α 1 0 το Θεώρη α 1, τότε η απόδειξη του Θεωρή ατος 8 θα ήταν πλήρης, και θα είχα ε ια απόδειξη ότι κάθε θετικός αριθ ός έχει ια τετραγωνική ρίζα. Όπως ση ειώσα ε στο 1ο Μέρος, είναι αδύνατο να αποδείξου ε κάτι τέτοιο βασισ ένοι στις Ι1–Ι12. Ακό α, ας υποθέσου ε ότι θεωρού ε τη συνάρτηση f .x/ D 1 x2 2 : Αν δεν υπήρχε αριθ ός x τέτοιος ώστε x2 D 2, τότε η f θα ήταν συνεχής, αφού ο παρο- νο αστής δεν θα ήταν ποτέ D 0. Αλλά η f δεν είναι φραγ ένη στο Œ0; 2. Άρα το Θεώ- ρη α 2 στηρίζεται ουσιαστικά στην ύπαρξη αριθ ών άλλων από τους ρητούς αριθ ούς, επο ένως σε κάποια ιδιότητα των πραγ ατικών άλλη από τις Ι1–Ι12. Παρά την αδυνα ία ας να αποδείξου ε τα Θεωρή ατα 1, 2 και 3, το βέβαιο είναι ότι πρόκειται για αποτελέσ ατα που θέλου ε να είναι αληθή. Αν οι εικόνες που σχε- διάσα ε έχουν κάποια σχέση ε τα αθη ατικά που κάνου ε, αν η έννοια της συνεχούς συνάρτησης που δεχθήκα ε αντιστοιχεί, σε κάποιο βαθ ό, στη διαισθητική ας ιδέα, τα Θεωρή ατα 1, 2 και 3 πρέπει να είναι αληθή. Αφού ια απόδειξη οποιουδήποτε από αυτά τα θεωρή ατα πρέπει να απαιτεί ια καινούργια ιδιότητα του R που έως τώρα την έχου ε παραβλέψει, οι τωρινές ας δυσκολίες προτείνουν ένα δρό ο για να ανακαλύψου εαυτήν την ιδιότητα: ας προσπαθήσου ε να κατασκευάσου ε ια απόδειξη του Θεωρή ατος 1, για παράδειγ α, και να δού ε τι πηγαίνει στραβά. Σ Χ Η Μ Α 1 1 Μια ιδέα που φαίνεται να υπόσχεται κάτι είναι να εντοπίσου ε το πρώτο ση είο για το οποίο f .x/ D 0, δηλαδή, το ικρότερο x στο Œa; b τέτοιο ώστε f .x/ D 0. Για να βρού ε αυτό το ση είο, θεωρού ε πρώτα το σύνολο A που περιέχει όλους τους αριθ ούς x στο Œa; b για τους οποίους η f είναι αρνητική στο Œa; x. Στο Σχή α 11, το x είναι ένα τέτοιο ση είο, ενώ το x0 όχι. Το ίδιο το σύνολο A ση ειώνεται ε ια παχειά γρα ή. Αφού η f είναι αρνητική στο a και θετική στο b, το σύνολο A περιέχει κάποια ση εία εγαλύτερα
- 130. 116 Θεµέλια από τοa, ενώ όλα τα ση εία που βρίσκονται αρκετά κοντά στο b δεν ανήκουν στο A. (Εδώ χρησι οποιού ε τη συνέχεια της f στο Œa; b, καθώς και το Πρόβλη α 6-16.) Έστω τώρα ότι ο είναι ο ικρότερος αριθ ός που είναι εγαλύτερος από όλα τα στοιχεία του A· προφανώς a b. Ισχυριζό αστε ότι f ./ D 0, και για να το αποδείξου ε πρέπει απλώς να αποκλείσου ε τις εκδοχές f ./ 0 και f ./ 0. Υποθέτου ε πρώτα ότι f ./ 0. Τότε, από το Θεώρη α 6-3, το f .x/ θα ήταν ικρό- τερο από 0 για κάθε x σε ένα ικρό διάστη α που περιέχει το , ειδικότερα για κάποιους αριθ ούς εγαλύτερους από τον (Σχή α 12)· αλλά αυτό αντιτίθεται στο γεγονός ότι ο είναι εγαλύτερος από κάθε στοιχείο του A, αφού οι εγαλύτεροί του αριθ οί θα ήταν επίσης στο A. Επο ένως, δεν ισχύει η f ./ 0. για κάθε x σε αυτό το διάστη α Το Α θα περιείχε επίση̋ όλα αυτά τα ση εία λ Σ Χ Η Μ Α 1 2 Από την άλλη εριά, έστω ότι f ./ 0. Εφαρ όζοντας ξανά το Θεώρη α 6-3, βλέπου ε ότι το f .x/ θα ήταν θετικό για κάθε x σε ένα ικρό διάστη α που περιέχει το , ειδικότερα για κάποιους αριθ ούς ικρότερους από τον (Σχή α 13). Αυτό ση αίνει ότι όλοι αυτοί οι ικρότεροι αριθ οί δεν είναι στο A. Επο ένως, θα πορούσα ε να έχου ε διαλέξει ένα ακό α πιο ικρό που να είναι εγαλύτερο από όλα τα στοιχεία του A. Έχου ε πάλι αντίφαση· δεν ισχύει λοιπόν ούτε η f ./ 0. Άρα f ./ D 0 και παίνου ε στον πειρασ ό να πού ε Ο.Ε.∆. Ξέρου ε ό ως ότι κάτι πρέπει να πηγαίνει στραβά, αφού δεν χρησι οποιήσα ε κα ία καινούργια ιδιότητα του R, και δεν χρειάζεται εγάλος έλεγχος για να βρού ε το α φι- σβητήσι ο ση είο. Είναι φανερό ότι πορού ε να διαλέξου ε έναν αριθ ό που να είναι εγαλύτερος από όλα τα στοιχεία του A (για παράδειγ α, πορού ε να διαλέξου ε D b), αλλά δεν είναι και τόσο φανερό ότι πορού ε να διαλέξου ε έναν ελάχιστο. Πράγ ατι, ας υποθέσου ε ότι το A αποτελείται από όλους τους αριθ ούς x 0 για τους οποίους x2 2. Αν ο αριθ ός p 2 δεν υπήρχε, δεν θα υπήρχε ένας ελάχιστος αριθ ός εγαλύτερος από όλα τα στοιχεία του A· για κάθε y p 2 που θα παίρνα ε, θα πορού- σα ε πάντοτε να βρού ε ένα ακό α ικρότερο. για κάθε Το Α θα πορούσε πράγ ατι να είναι όνο τόσο σε αυτό το διάστη α λ Σ Χ Η Μ Α 1 3 Τώρα που έχου ε ανακαλύψει την πλάνη ας είναι σχεδόν φανερό ποια πρόσθετη ιδιότητα των πραγ ατικών αριθ ών χρειαζό αστε. Το όνο που έχου ε να κάνου ε, είναι να τη διατυπώσου ε καθαρά και να τη χρησι οποιήσου ε. Με αυτά ασχολού αστε στο επό ενο κεφάλαιο. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Για καθε ιά από τις συναρτήσεις που ακολουθούν, ελέγξτε ποιες είναι άνω ή κάτω φραγ ένες στο διάστη α που σας υποδεικνύου ε, και ποιες παίρνουν τη έγιστη ή την ελάχιστη τι ή τους. (Παρατηρήστε ότι ια f θα µπορούσε να έχει αυτές τις ιδιότητες ακό α και αν δεν είναι συνεχής, και ακό α και αν το διάστη α δεν είναι κλειστό.) (i) f .x/ D x2 στο . 1; 1/. (ii) f .x/ D x3 στο . 1; 1/. (iii) f .x/ D x2 στο R. (iv) f .x/ D x2 στο Œ0; 1/. (v) f .x/ D x2 ; x a a C 2; x a στο . a 1; a C 1/. (Υποθέτου ε ότι a 1, έτσι ώστε a 1 a C 1· θα χρειαστεί να διακρίνετε διάφορες περιπτώσεις για το a.) (vi) f .x/ D x2 ; x a a C 2; x a στο Œ a 1; a C 1. (Υποθέστε και πάλι ότι a 1.) (vii) f .x/ D 0; x άρρητος 1=q; x D p=q και p=q ανάγωγο στο Œ0; 1.
- 131. 7. Τρία δύσκολαθεωρήµατα 117 (viii) f .x/ D 1; x άρρητος 1=q; x D p=q και p=q ανάγωγο στο Œ0; 1. (ix) f .x/ D 1; x άρρητος 1=q; x D p=q και p=q ανάγωγο στο Œ0; 1. (x) f .x/ D x; x ρητός 0; x άρρητος στο Œ0; a. (xi) f .x/ D sin2 .cos x C p a C a2 / στο Œ0; a3 . (xii) f .x/ D Œx στο Œ0; a. 2. Για κάθε ία από τις πολυωνυ ικές συναρτήσεις f που ακολουθούν, βρείτε έναν ακέραιο n τέτοιον ώστε f .x/ D 0 για κάποιο x ανά εσα στα n και n C 1. (i) f .x/ D x3 x C 3. (ii) f .x/ D x5 C 5x4 C 2x C 1. (iii) f .x/ D x5 C x C 1. (iv) f .x/ D 4x2 4x C 1. 3. Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας αριθ ός x τέτοιος ώστε (i) x179 C 163 1 C x2 C sin2 x D 119. (ii) sin x D x 1. 4. Αυτό το πρόβλη α είναι συνέχεια του Προβλή ατος 3-7. (α) Αν ο n k είναι άρτιος και 0, βρείτε ια πολυωνυ ική συνάρτηση βαθ ού n ε k ρίζες ακριβώς. (β) Λέ ε ότι η ρίζα a της πολυωνυ ικής συνάρτησης f έχει πολλαπλότητα m αν f .x/ D .x a/m g.x/, όπου η g είναι ια πολυωνυ ική συνάρτηση που δεν έχει τον a ως ρίζα. Έστω f ια πολυωνυ ική συνάρτηση βαθ ού n. Έστω ότι η f έχει k ρίζες, συνυπολογίζοντας τις πολλαπλότητες, υποθέτου ε δηλαδή ότι k είναι το άθροισ α των πολλαπλοτήτων όλων των ριζών. ∆είξτε ότι ο n k είναι άρτιος. 5. Έστω ότι η f είναι συνεχής στο Œa; b και ότι το f .x/ είναι πάντοτε ρητός αριθ ός. Τί πορείτε να πείτε για την f ; 6. Έστω ότι f είναι ια συνεχής συνάρτηση στο Œ 1; 1 τέτοια ώστε x2 C.f .x//2 D 1 για κάθε x. (Αυτό ση αίνει ότι το .x; f .x// βρίσκεται πάντα πάνω στον οναδιαίο κύκλο.) ∆είξτε ότι είτε f .x/ D p 1 x2 για κάθε x, ή αλλιώς f .x/ D p 1 x2 για κάθε x. 7. Πόσες συνεχείς συναρτήσεις f υπάρχουν που να ικανοποιούν την .f .x//2 D x2 για κάθε x; 8. Έστω ότι η f και η g είναι συνεχείς, ότι f 2 D g2 , και ότι f .x/ ¤ 0 για κάθε x. Αποδείξτε ότι, είτε f .x/ D g.x/ για κάθε x, ή αλλιώς f .x/ D g.x/ για κάθε x. 9. (α) Έστω ότι η f είναι συνεχής, ότι f .x/ D 0 όνο για x D a, και ότι f .x/ 0 για κάποιο x a καθώς και για κάποιο x a. Τί πορού ε να πού ε για το f .x/ για όλα τα x ¤ a; (β) Έστω και πάλι ότι η f είναι συνεχής και ότι f .x/ D 0 όνο για x D a, αλλά υποθέτου ε, αντίθετα, ότι f .x/ 0 για κάποιο x a και f .x/ 0 για κάποιο x a. Τί πορού ε να πού ε τώρα για το f .x/ για x ¤ a; (γ) Εξετάστε το πρόση ο του x3 C x2 y C xy2 C y3 όταν το x και το y δεν είναι και τα δύο 0.
- 132. 118 Θεµέλια 10. Έστωότι η f και η g είναι συνεχείς στο Œa; b και ότι f .a/ g.a/, αλλά f .b/ g.b/. Αποδείξτε ότι f .x/ D g.x/ για κάποιο x στο Œa; b. (Αν η απόδειξή σας δεν είναι πολύ σύντο η, τότε δεν είναι αυτή που θα έπρεπε.) 11. Έστω ότι f είναι συνεχής συνάρτηση στο Œ0; 1 και ότι το f .x/ ανήκει στο Œ0; 1 για κάθε x (κάντε ένα σχή α). Αποδείξτε ότι f .x/ D x για κάποιον αριθ ό x. 12. (α) Το Πρόβλη α 11 δείχνει ότι η f τέ νει τη διαγώνιο του τετραγώνου στο Σχή α 14 (τη συνεχή γρα ή). ∆είξτε ότι η f πρέπει να τέ νει και την άλλη (τη διακεκο ένη) διαγώνιο. Σ Χ Η Μ Α 1 4 (β) Αποδείξτε το εξής γενικότερο αποτέλεσ α: Αν η g είναι συνεχής στο Œ0; 1 και g.0/ D 0, g.1/ D 1 ή g.0/ D 1, g.1/ D 0, τότε f .x/ D g.x/ για κάποιο x. 13. (α) Έστω f .x/ D sin 1=x για x ¤ 0 και f .0/ D 0. Είναι η f συνεχής στο Œ 1; 1; ∆είξτε ότι η f ικανοποιεί το συ πέρασ α του Θεωρή ατος Ενδιά- εσης Τι ής στο Œ 1; 1· ε άλλα λόγια, αν η f παίρνει δύο τι ές κάπου στο Œ 1; 1, παίρνει και κάθε τι ή ανά εσά τους. (β) Έστω ότι η f ικανοποιεί το συ πέρασ α του Θεωρή ατος Ενδιά εσης Τι ής, και ότι η f παίρνει κάθε τι ή µόνο µια φορά. Αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής. (γ) Γενικεύστε στην περίπτωση που η f παίρνει κάθε τι ή πεπερασ ένες όνο φορές. 14. Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο Œ0; 1, θέτου ε kf k τη έγιστη τι ή της jf j στο Œ0; 1. (α) Αποδείξτε ότι για κάθε αριθ ό c έχου ε kcf k D jcj kf k. (β) Αποδείξτε ότι kf C gk kf k C kgk. ∆ώστε ένα παράδειγ α στο οποίο kf C gk ¤ kf k C kgk. (γ) Αποδείξτε ότι kh f k kh gk C kg f k. 15. Έστω ότι η είναι συνεχής και lim x!1 .x/=xn D 0 D lim x! 1 .x/=xn . (α) Αποδείξτε ότι, αν ο n είναι περιττός, τότε υπάρχει αριθ ός x τέτοιος ώστε xn C .x/ D 0. (β) Αποδείξτε ότι, αν ο n είναι άρτιος, τότε υπάρχει αριθ ός y τέτοιος ώστε yn C .y/ xn C .x/ για κάθε x. Υπόδειξη: Αυτό το πρόβλη α ελέγχει αν έχετε κατανοήσει κάποιες αποδεί- ξεις. Ποιες; 16. (α) Έστω ότι η f είναι συνεχής στο .a; b/ και lim x!aC f .x/ D lim x!b f .x/ D 1. Αποδείξτε ότι η f έχει ένα ελάχιστο σε όλο το .a; b/. (β) Αποδείξτε το αντίστοιχο αποτέλεσ α όταν a D 1 και/ή b D 1. 17. Έστω f ια πολυωνυ ική συνάρτηση. Αποδείξτε ότι υπάρχει κάποιος αριθ ός y τέτοιος ώστε jf .y/j jf .x/j για κάθε x. 18. Έστω ότι f είναι συνεχής συνάρτηση ε f .x/ 0 για κάθε x, και lim x!1 f .x/ D 0 D lim x! 1 f .x/. (Κάντε ένα σχή α.) Αποδείξτε ότι υπάρχει αριθ ός y τέτοιος ώστε f .y/ f .x/ για κάθε x. 19. (α) Έστω ότι η f είναι συνεχής στο Œa; b, και έστω x οποιοσδήποτε αριθ ός. Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα ση είο στη γραφική παράσταση της f που είναι Σ Χ Η Μ Α 1 5 το πλησιέστερο στο .x; 0/· ε άλλα λόγια, υπάρχει κάποιο y στο Œa; b τέτοιο ώστε η απόσταση του .x; 0/ από το .y; f .y// να είναι από την απόσταση του .x; 0/ από το .´; f .´// για κάθε ´ στο Œa; b. (Βλ. Σχή α 15.)
- 133. 7. Τρία δύσκολαθεωρήµατα 119 (β) ∆είξτε ότι, ο ίδιος αυτός ισχυρισ ός δεν είναι αναγκαστικά σωστός αν το Œa; b αντικατασταθεί ε το .a; b/. (γ) ∆είξτε ότι η πρόταση ισχύει αν το Œa; b αντικατασταθεί ε το R. (δ) Στις περιπτώσεις (α) και (γ), θέτου ε g.x/ την ελάχιστη απόσταση του .x; 0/ από ση είο της γραφικής παράστασης της f . Αποδείξτε ότι g.y/ g.x/ C jx yj, και συ περάνετε ότι η g είναι συνεχής. (ε) Αποδείξτε ότι υπάρχουν αριθ οί x0 και x1 στο Œa; b τέτοιοι ώστε η απόσταση του .x0; 0/ από το .x1; f .x1// να είναι από την απόσταση του .x0 0 ; 0/ από το .x1 0 ; f .x1 0 // για κάθε x0 0 ; x1 0 στο Œa; b. 20. (α) Έστω ότι η f είναι συνεχής στο Œ0; 1 και f .0/ D f .1/. Έστω n τυχαίος φυσικός αριθ ός. Αποδείξτε ότι υπάρχει κάποιος αριθ ός x τέτοιος ώστε f .x/ D f .x C 1=n/, όπως φαίνεται στο Σχή α 16 για n D 4. Υπόδειξη: Θεωρήστε τη συνάρτηση g.x/ D f .x/ f .xC1=n/· τί θα ίσχυε αν g.x/ ¤ 0 για κάθε x; Σ Χ Η Μ Α 1 6 (β) Έστω ότι 0 a 1, αλλά ότι ο a δεν είναι ίσος ε 1=n για κανέναν φυσικό αριθ ό n. Βρείτε ια συνάρτηση f που να είναι συνεχής στο Œ0; 1 και να ικανοποιεί την f .0/ D f .1/, αλλά να ην ικανοποιεί την f .x/ D f .x C a/ για κανένα x. 21. (α) Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f ορισ ένη στο R που να παίρνει κάθε τι ή ακριβώς δυο φορές. Υπόδειξη: Αν f .a/ D f .b/ για a b, τότε είτε f .x/ f .a/ για κάθε x στο .a; b/, ή f .x/ f .a/ για κάθε x στο .a; b/. Γιατί; Στην πρώτη περίπτωση, όλες οι τι ές που είναι κοντά στο f .a/, αλλά είναι λίγο εγαλύτερες από το f .a/, παίρνονται κάπου στο .a; b/· αυτό ση αίνει ότι f .x/ f .a/ για x a και x b. (β) Ισχυροποιήστε το έρος (α) αποδεικνύοντας ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρ- τηση f που να παίρνει κάθε τι ή 0 ή 2 φορές, δηλαδή που να παίρνει ακριβώς δύο φορές κάθε τι ή της. Υπόδειξη: Στην προηγού ενη υπόδειξη περιέχεται η πληροφορία ότι η f έχει έγιστη ή ελάχιστη τι ή (που πρέπει να την παίρνει δύο φορές). Τί πορού ε να πού ε για τις τι ές που βρίσκονται κοντά στη έγιστη τι ή; (γ) Βρείτε ια συνεχή συνάρτηση f που να παίρνει κάθε τι ή ακριβώς 3 φορές. Πιο γενικά, βρείτε ία που να παίρνει κάθε τι ή ακριβώς n φορές, αν ο n είναι περιττός. (δ) Αποδείξτε ότι, αν ο n είναι άρτιος, τότε δεν υπάρχει συνεχής f που να παίρνει κάθε τι ή ακριβώς n φορές. Υπόδειξη: Στην περίπτωση n D 4, για παρά- δειγ α, έστω f .x1/ D f .x2/ D f .x3/ D f .x4/. Τότε, ή θα είναι f .x/ 0 για κάθε x σε δύο από τα τρία διαστή ατα .x1; x2/, .x2; x3/, .x3; x4/, ή f .x/ 0 για όλα τα x σε δύο από αυτά τα τρία διαστή ατα.
- 134. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΕΛΑΧΙΣΤΑΑΝΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Αυτό το κεφάλαιο αποκαλύπτει την πιο ση αντική ιδιότητα των πραγ ατικών αριθ ών. Ό ως είναι απλώς και όνο η συνέχεια του Κεφαλαίου 7· το ονοπάτι που πρέπει να ακολουθήσου ε έχει ήδη υποδειχθεί, οποιαδήποτε λοιπόν περαιτέρω συζήτηση θα ήταν άσκοπη καθυστέρηση. ΟΡΙΣΜΟΣ Ένα σύνολο A από πραγ ατικούς αριθ ούς είναι άνω φραγ ένο αν υπάρχει αριθ- ός x τέτοιος ώστε x a για κάθε a στο A. Κάθε τέτοιος αριθ ός x λέγεται άνω φράγ α του A. Προφανώς, το A είναι άνω φραγ ένο αν και όνο αν υπάρχει ένας αριθ ός x που είναι άνω φράγ α για το A (και σε αυτήν την περίπτωση θα υπάρχουν πολλά άνω φράγ ατα για το A)· λέ ε συχνά, ότι το «A έχει ένα άνω φράγ α» ε το οποίο εννοού ε ότι υπάρχει ένας αριθ ός που είναι άνω φράγ α για το A. Πρέπει να παρατηρήσει κανείς ότι ο όρος «άνω φραγ ένο» έχει έχρι τώρα χρησι ο- ποιηθεί ε δύο τρόπους —πρώτα, στο Κεφάλαιο 7, αναφερό ενος σε συναρτήσεις, και τώρα αναφερό ενος σε σύνολα. Αυτή η διπλή χρήση δεν θα πρέπει να προξενεί σύγχυση, αφού θα γίνεται πάντοτε σαφές το αν ιλά ε για ένα σύνολο από αριθ ούς ή για ια συνάρτηση. Επιπλέον, οι δύο ορισ οί είναι στενά συνδεδε ένοι: αν A είναι το σύνολο ff .x/ W a x bg, τότε η συνάρτηση f είναι άνω φραγ ένη στο Œa; b, αν και όνο αν το σύνολο A είναι άνω φραγ ένο. Ολόκληρο το σύνολο R των πραγ ατικών αριθ ών και οι φυσικοί αριθ οί N είναι δύο παραδείγ ατα συνόλων που δεν είναι άνω φραγ ένα. Ένα παράδειγ α συνόλου που είναι άνω φραγ ένο, είναι το A D fx W 0 x 1g: Για να δείξου ε ότι το A είναι άνω φραγ ένο χρειάζεται όνο να ονο άσου ε κάποιο άνω φράγ α του A, πράγ α που είναι αρκετά εύκολο. Για παράδειγ α, το 138 είναι ένα άνω φράγ α του A, και το ίδιο συ βαίνει ε τους 2, 11 2 , 11 4 και 1. Προφανώς, ο 1 είναι το ελάχιστο άνω φράγ α του A· αν και η φράση που όλις τώρα εισάγου ε εξηγεί η ίδια το νόη ά της, προκει ένου να αποφύγου ε κάθε πιθανή σύγχυση (ειδικότερα, για να βεβαιωθού ε ότι όλοι ξέρου ε τι ση αίνει ο υπερθετικός του « ικρό»), την ορίζου ε αναλυτικά. ΟΡΙΣΜΟΣ Ένας αριθ ός x είναι ένα ελάχιστο άνω φράγ α του A αν .1/ ο x είναι άνω φράγ α του A, και .2/ αν ο y είναι άνω φράγ α του A, τότε x y. Η χρήση του αορίστου άρθρου «ένα» σε αυτόν τον ορισ ό, ήταν απλώς ια παρα- χώρηση στην προσωρινή άγνοια. Τώρα που έχου ε δώσει έναν ακριβή ορισ ό, πορεί 120
- 135. 8. Ελάχιστα άνωφράγµατα 121 κανείς να δει εύκολα ότι, αν οι x και y είναι και οι δύο ελάχιστα άνω φράγ ατα του A, τότε x D y. Πράγ ατι, σε αυτήν την περίπτωση x y; αφού ο y είναι άνω φράγ α και ο x είναι ελάχιστο άνω φράγ α, και y x, αφού ο x είναι άνω φράγ α και ο y είναι ελάχιστο άνω φράγ α· απ’ όπου προκύπτει ότι x D y. Για αυτόν το λόγο ιλά ε για το ελάχιστο άνω φράγ α του A. Ο όρος supremum του A είναι συνώνυ ος και έχει ένα πλεονέκτη α. Συντο εύεται πολύ ό ορφα στο sup A (προφέρεται «σουπ A») και ας σώζει από τη σύντ ηση lub A (least upper bound) (που πάντως χρησι οποιείται από ερικούς συγγραφείς). Υπάρχει ια σειρά από ση αντικούς ορισ ούς, ανάλογους ε αυτούς που όλις δώ- σα ε, που τώρα πορού ε να χειριστού ε πιο συνοπτικά. Ένα σύνολο A από πραγ ατι- κούς αριθ ούς είναι κάτω φραγ ένο, αν υπάρχει ένας αριθ ός x τέτοιος ώστε x a για κάθε a στο A. Ένας τέτοιος αριθ ός x λέγεται κάτω φράγ α για το A. Ένας αριθ ός x είναι το έγιστο κάτω φράγ α του A αν .1/ ο x είναι κάτω φράγ α του A, και .2/ αν ο y είναι κάτω φράγ α του A, τότε x y. Το έγιστο κάτω φράγ α του A λέγεται επίσης infimum του A, συντετ η ένα inf A: Μερικοί συγγραφείς χρησι οποιούν τη σύντ ηση glb A (greatest lower bound): Από την έως τώρα συζήτηση ας λείπει ια λεπτο έρεια —το πρόβλη α «ποια σύ- νολα έχουν τουλάχιστον ένα, επο ένως ακριβώς ένα, ελάχιστο άνω φράγ α ή έγιστο κάτω φράγ α». Θα εξετάσου ε όνο τα ελάχιστα άνω φράγ ατα, ια και το πρόβλη α για τα έγιστα κάτω φράγ ατα πορεί ετά να απαντηθεί εύκολα (Πρόβλη α 2). Αν το A δεν είναι άνω φραγ ένο, τότε το A δεν έχει ούτε ένα άνω φράγ α, επο ένως είναι βέβαιο ότι δεν πορού ε να περι ένου ε το A να έχει ελάχιστο άνω φράγ α. Είναι δελεαστικό να πει κανείς ότι το A έχει ελάχιστο άνω φράγ α αν έχει κάποιο άνω φράγ α, αλλά, όπως συ βαίνει και ε την αρχή της αθη ατικής επαγωγής, αυτός ο ισχυρισ ός πορεί να ην είναι σωστός για έναν άλλον ειδικό λόγο. Αν A D ;, τότε το A είναι άνω φραγ ένο. Πράγ ατι, κάθε αριθ ός x είναι άνω φράγ α του ;: x y για κάθε y στο ; απλώς γιατί δεν υπάρχει y στο ;. Αφού κάθε αριθ ός είναι άνω φράγ α του ;, σίγουρα δεν υπάρχει ελάχιστο άνω φράγ α του ;. Με αυτήν την τετρι ένη εξαίρεση πάντως, ο ισχυρισ ός ας είναι σωστός —και πολύ ση αντικός, οπωσδήποτε αρκετά ση αντικός για να ασχολού αστε ε τέτοιες λεπτο έρειες. Εί αστε επιτέλους έτοι οι να διατυπώ- σου ε την τελευταία ιδιότητα των πραγ ατικών αριθ ών που χρειαζό αστε: (Ι13) (Η ιδιότητα του ελαχίστου άνω φράγ ατος) Αν A είναι ένα σύνολο από πραγ ατικούς αριθ ούς, A ¤ ;, και το A είναι άνω φραγ ένο, τότε το A έχει ελάχιστο άνω φράγ α.
- 136. 122 Θεµέλια Η ιδιότηταΙ13 ίσως παραξενεύει σαν εκτός κλί ατος, αλλά αυτή είναι στην πραγ- ατικότητα ια από τις αρετές της. Για να ολοκληρώσου ε τον κατάλογό ας ε τις βασικές ιδιότητες των πραγ ατικών αριθ ών δεν απαιτού ε κάποια εξαιρετικά δυσνόητη πρόταση, παρά όνο ια ιδιότητα τόσο απλή που θα έπρεπε να αισθανθού ε αφελείς που την είχα ε παραβλέψει. Βέβαια, η ιδιότητα του ελαχίστου άνω φράγ ατος δεν είναι στ’ αλήθεια τόσο αθώα όσο την περιγράφου ε· στο κάτω-κάτω δεν ισχύει για τους ρητούς αριθ ούς Q. Για παράδειγ α, αν A είναι το σύνολο όλων των ρητών αριθ ών x που ικα- νοποιούν την x2 2, τότε δεν υπάρχει ρητός αριθ ός y που να είναι άνω φράγ α του A και ικρότερος ή ίσος από οποιονδήποτε άλλο ρητό αριθ ό που είναι άνω φράγ α του A. Μόνο σταδιακά θα γίνει καθαρό το πόσο σπουδαία είναι η Ι13, αλλά ήδη βρισκό α- λ Σ Χ Η Μ Α 1 στε σε θέση να αποδείξου ε τη δύνα ή της, συ πληρώνοντας τις αποδείξεις που είχα ε παραλείψει στο Κεφάλαιο 7. ΘΕΩΡΗΜΑ 7-1 Αν η f είναι συνεχής στο Œa; b και f .a/ 0 f .b/, τότε υπάρχει κάποιος αριθ ός x στο Œa; b τέτοιος ώστε f .x/ D 0. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Η απόδειξή ας είναι απλώς ια αυστηρή έκδοση του περιγρά ατος που αναπτύξα εστο τέλος του Κεφαλαίου 7 —θα εντοπίσου ε τον ικρότερο αριθ ό x στο Œa; b ε f .x/ D 0. Ορίζου ε το σύνολο A, που φαίνεται στο Σχή α 1, ως εξής: A D ˚ x W a x b; και η f είναι αρνητική στο διάστη α Œa; x « : Προφανώς A ¤ ;, αφού το a ανήκει στο A· στην πραγ ατικότητα, υπάρχει κάποιο ı 0 τέτοιο ώστε το A να περιέχει όλα τα ση εία x που ικανοποιούν την a x a C ı· αυτό προκύπτει από το Πρόβλη α 6-16, αφού η f είναι συνεχής στο Œa; b και f .a/ 0. Ο οίως, το b είναι ένα άνω φράγ α για το A και, στην ουσία, υπάρχει ένα ı 0 τέτοιο ώστε όλα τα ση εία x που ικανοποιούν την b ı x b να είναι άνω φράγ ατα του A· αυτό προκύπτει επίσης από το Πρόβλη α 6-16, αφού f .b/ 0. Από αυτές τις παρατηρήσεις έπεται ότι το A έχει ένα ελάχιστο άνω φράγ α και ότι a b. Θέλου ε τώρα να δείξου ε ότι f ./ D 0, αποκλείοντας την εκδοχή να ισχύει f ./ 0 ή f ./ 0. σε αυτό το διάστη α για κάθε x λ Σ Χ Η Μ Α 2 Ας υποθέσου ε πρώτα ότι f ./ 0. Από το Θεώρη α 6-3, υπάρχει ένα ı 0 τέτοιο ώστε f .x/ 0 για ı x C ı (Σχή α 2). Τώρα, υπάρχει κάποιος αριθ ός x0 στο A που ικανοποιεί την ı x0 (γιατί αλλιώς το δεν θα ήταν το ελάχιστο άνω φράγ α του A). Αυτό ση αίνει ότι η f είναι αρνητική σε ολόκληρο το διάστη α Œa; x0. Αλλά, αν x1 είναι ένας αριθ ός ανά εσα στο και στο C ı, τότε η f είναι επίσης αρνητική σε ολόκληρο το διάστη α Œx0; x1. Επο ένως η f είναι αρνητική στο διάστη α Œa; x1, οπότε το x1 ανήκει στο A. Αλλά αυτό αντίκειται στο γεγονός ότι το είναι ένα άνω φράγ α του A· η αρχική ας υπόθεση ότι f ./ 0 πρέπει να είναι λανθασ ένη. Ας υποθέσου ε, από την άλλη εριά, ότι f ./ 0. Τότε υπάρχει ένας αριθ ός ı 0 τέτοιος ώστε f .x/ 0 για ı x C ı (Σχή α 3). Για ια ακό α φορά ξέρου ε ότι υπάρχει ένα x0 στο A που ικανοποιεί την ı x0 · αλλά αυτό ση αίνει ότι η f είναι αρνητική στο Œa; x0, το οποίο είναι αδύνατο, αφού f .x0/ 0. Άρα η υπόθεση f ./ 0 οδηγεί επίσης σε αντίφαση, αφήνοντας όνη δυνατότητα την f ./ D 0. για κάθε x σε αυτό το διάστη α λ Σ Χ Η Μ Α 3 Οι αποδείξεις των Θεωρη άτων 2 και 3 του Κεφαλαίου 7 απαιτούν ένα απλό προκα- ταρκτικό αποτέλεσ α, που θα παίξει περίπου τον ίδιο ρόλο ε αυτόν που το Θεώρη α 6-3 έπαιξε στην προηγού ενη απόδειξη. ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Αν η f είναι συνεχής στο a, τότε υπάρχει ένας αριθ ός ı 0 τέτοιος ώστε η f να είναι άνω φραγ ένη στο διάστη α .a ı; a C ı/ (βλ. Σχή α 4). ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Αφού lim x!a f .x/ D f .a/, υπάρχει, για κάθε 0, ένα ı 0 τέτοιο ώστε, για κάθε x, αν jx aj ı, τότε jf .x/ f .a/j .
- 137. 8. Ελάχιστα άνωφράγµατα 123 Το όνο που χρειάζεται είναι να εφαρ όσου ε αυτήν την πρόταση για κάποιο συγκεκρι- ένο (οποιοδήποτε ας κάνει), για παράδειγ α, D 1. Συ περαίνου ε ότι υπάρχει ı 0 τέτοιο ώστε, για κάθε x, αν jx aj ı, τότε jf .x/ f .a/j 1. Έπεται, ειδικότερα, ότι αν jx aj ı, τότε f .x/ f .a/ 1. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη: στο διάστη α .a ı; a C ı/ η συνάρτηση f είναι άνω φραγ ένη από το f .a/ C 1. Σ Χ Η Μ Α 4 ∆εν χρειάζεται καν να προσθέσου ε ότι πορού ε επίσης να αποδείξου ε πως η f είναι κάτω φραγ ένη σε κάποιο διάστη α .a ı; a C ı/, και, τελικά, πως η f είναι φραγ ένη σε κάποιο ανοικτό διάστη α που περιέχει το a. Ένα πιο ση αντικό ση είο είναι η παρατήρηση ότι αν lim x!aC f .x/ D f .a/, τότε υπάρ- χει ı 0 τέτοιο ώστε η f να είναι φραγ ένη στο σύνολο fx W a x a C ıg, και ια παρό οια παρατήρηση ισχύει αν lim x!b f .x/ D f .b/. Έχοντας κάνει αυτές τις παρατη- ρήσεις (και υποθέτοντας ότι θα δώσετε τις αποδείξεις), καταπιανό αστε ε το δεύτερο κύριο θεώρη ά ας. ΘΕΩΡΗΜΑ 7-2 Αν η f είναι συνεχής στο Œa; b, τότε η f είναι άνω φραγ ένη στο Œa; b. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω A D ˚ x W a x b και η f είναι άνω φραγ ένη στο Œa; x « : Προφανώς A ¤ ; (αφού a ανήκει στο A), και το A είναι άνω φραγ ένο (από το b), άρα το A έχει ελάχιστο άνω φράγ α το . Πρέπει να παρατηρήσει κανείς ότι εδώ χρησι οποιού ε τον όρο «άνω φράγ α» τόσο για το σύνολο A, που πορεί να θεωρη- θεί ότι βρίσκεται πάνω στον οριζόντιο άξονα, όσο και για την f , δηλαδή τα σύνολα ff .y/ W a y xg, που πορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκονται πάνω στον κατακόρυφο άξονα (Σχή α 5). Το πρώτο βή α είναι να αποδείξου ε ότι στην πραγ ατικότητα έχου ε D b. Ας υποθέσου ε, αντίθετα, ότι b. Από το Θεώρη α 1 υπάρχει ı 0 τέτοιο ώστε η f να είναι φραγ ένη στο . ı; C ı/. Αφού είναι το ελάχιστο άνω φράγ α του A υπάρχει κάποιο x0 στο A που ικανοποιεί την ı x0 . Αυτό ση αίνει ότι η f είναι φραγ ένη στο Œa; x0. Αλλά, αν x1 είναι οποιοσδήποτε αριθ ός ε x1 Cı,
- 138. 124 Θεµέλια τότε ηf είναι φραγ ένη και στο Œx0; x1, τότε η f είναι φραγ ένη στο Œa; x1, άρα ο x1 ανήκει στο A, πράγ α που αντιτίθεται στο γεγονός ότι το είναι άνω φράγ α του A. Σ Χ Η Μ Α 5 Αυτή η αντίφαση δείχνει ότι D b. Πρέπει να αναφέρου ε ια λεπτο έρεια: η απόδειξή ας σιωπηλά υποθέτει ότι a [ώστε η f να πορεί να οριστεί σε κάποιο διάστη α . ı; Cı/]· η πιθανότητα a D πορεί να αποκλειστεί ό οια, αν χρησι οποιήσου ε την ύπαρξη ενός ı 0 τέτοιου ώστε η f να είναι φραγ ένη στο fx W a x a C ıg. Η απόδειξη δεν είναι τελείως πλήρης —ξέρου ε όνο ότι η f είναι φραγ ένη στο Œa; x για κάθε x b, όχι αναγκαστικά ότι η f είναι φραγ ένη στο Œa; b. Παρ’ όλα αυτά, όνο ένα ικρό επιχείρη α χρειάζεται να προστεθεί. Υπάρχει ı 0 τέτοιο ώστε η f να είναι φραγ ένη στο fx W b ı x bg. Υπάρχει ένα x0 στο A τέτοιο ώστε b ı x0 b. Έτσι η f είναι φραγ ένη στο Œa; x0 και ακό α στο Œx0; b, άρα η f είναι φραγ ένη στο Œa; b. Για να αποδείξου ε το τρίτο σπουδαίο θεώρη α, καταφεύγου ε σε ένα τέχνασ α. ΘΕΩΡΗΜΑ 7-3 Αν η f είναι συνεχής στο Œa; b, τότε υπάρχει ένας αριθ ός y στο Œa; b τέτοιος ώστε f .y/ f .x/ για κάθε x στο Œa; b. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ξέρου ε ήδη ότι η f είναι φραγ ένη στο Œa; b, που ση αίνει ότι το σύνολο ˚ f .x/ W x στο Œa; b « είναι φραγ ένο. Αυτό το σύνολο είναι ε φανώς όχι ;, άρα έχει ένα ελάχιστο άνω φράγ α . Αφού f .x/ για x στο Œa; b αρκεί να δείξου ε ότι D f .y/ για κάποιο y στο Œa; b. Ας υποθέσου ε αντίθετα ότι ˛ ¤ f .y/ για κάθε y στο Œa; b. Τότε η συνάρτηση g που ορίζεται από την g.x/ D 1 ˛ f .x/ ; x στο Œa; b είναι συνεχής στο Œa; b, αφού ο παρονο αστής του δεξιού έλους δεν είναι ποτέ 0. Από την άλλη πλευρά, είναι το ελάχιστο άνω φράγ α του ˚ f .x/ W x στο Œa; b « · αυτό ση αί- νει ότι για κάθε 0 υπάρχει x στο Œa; b ε f .x/ . Αυτό, ε τη σειρά του ση αίνει ότι για κάθε 0 υπάρχει x στο Œa; b ε g.x/ 1=. Αλλά αυτό ση αίνει ότι η g δεν είναι φραγ ένη στο Œa; b, που αντιφάσκει στο προηγού- ενο θεώρη α. Στην αρχή αυτού του κεφαλαίου, δώσα ε το σύνολο των φυσικών αριθ ών N ως παράδειγ α η φραγ ένου συνόλου. Πρόκειται τώρα να αποδείξουµε ότι το N είναι η φραγ ένο. Μετά τα δύσκολα θεωρή ατα που αποδείξα ε σε αυτό το κεφάλαιο, πορεί να εκπλαγεί κανείς βρίσκοντας ένα τόσο «προφανές» θεώρη α να τερ ατίζει τη συζήτησή ας. Αν ό ως συ βαίνει αυτό, ίσως να είναι επειδή αφήνει τη γεω ετρική εικόνα του R να τον επηρεάζει πολύ ισχυρά. «Κοίτα», πορεί να πει, «οι πραγ ατικοί αριθ οί είναι κάπως έτσι άρα κάθε αριθ ός x είναι ανά εσα σε δύο ακέραιους n, n C 1 (εκτός αν το x είναι ο ίδιος ακέραιος)». Το να βασίζει ό ως κανείς τον ισχυρισ ό του σε ια γεω ετρική εικόνα δεν είναι απόδειξη, και ακό α και αυτή η εικόνα περιέχει ια παραδοχή: ότι, αν τοπο- θετείς οναδιαία διαστή ατα το ένα δίπλα στο άλλο, στο τέλος θα πάρεις ένα διάστη α εγαλύτερο από οποιοδήποτε δοθέν διάστη α. Αυτό το αξίω α, που συχνά παραλείπεται από ια πρώτη εισαγωγή στη Γεω ετρία, συνήθως αποδίδεται (όχι τελείως δίκαια) στον Αρχι ήδη, και η αντίστοιχη ιδιότητα για αριθ ούς, ότι το N δεν είναι φραγ ένο, λέγεται
- 139. 8. Ελάχιστα άνωφράγµατα 125 η Αρχιµήδεια ιδιότητα των πραγ ατικών. Αυτή η ιδιότητα δεν είναι συνέπεια των Ι1–Ι12 (βλ. την παραπο πή [14] στη Προτεινό ενη Βιβλιογραφία), αν και ισχύει βέβαια για το Q. Αφού ό ως έχου ε την Ι13, δεν υπάρχουν πια προβλή ατα. ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Το N δεν είναι άνω φραγ ένο. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ας υποθέσου ε ότι το N είναι άνω φραγ ένο. Αφού N ¤ ;, θα υπήρχε ένα ελάχιστο άνω φράγ α για το N. Τότε n για κάθε n στο N. Συνεπώς, n C 1 για κάθε n στο N, αφού το n C 1 ανήκει στο N αν το n ανήκει στο N. Αλλά αυτό ση αίνει ότι 1 n για κάθε n στο N, και αυτό ση αίνει ότι το 1 είναι επίσης άνω φράγ α για το N, αντιφάσκοντας ε ότι το είναι το ελάχιστο άνω φράγ α. Υπάρχει ια συνέπεια του Θεωρή ατος 2 (στην πραγ ατικότητα ια ισοδύνα η δια- τύπωση) που έχου ε σιωπηρά υποθέσει πολύ συχνά. ΘΕΩΡΗΜΑ 3 Για κάθε 0 υπάρχει ένας φυσικός αριθ ός n ε 1=n . ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ας υποθέσου ε πως όχι· τότε 1=n για κάθε n στο N. Άρα n 1= για κάθε n στο N. Αλλά αυτό ση αίνει ότι το 1= είναι άνω φράγ α για το N, που αντιφάσκει στο Θεώρη α 2. Μια σύντο η ατιά στο Κεφάλαιο 6 θα δείξει ότι το αποτέλεσ α του Θεωρή ατος 3 χρησι οποιήθηκε πολλές φορές στη συζήτηση. Βέβαια, το Θεώρη α 3 δεν ήταν διαθέ- σι ο εκείνη τη στιγ ή, αλλά τα παραδείγ ατα ήταν τόσο ση αντικά ώστε, προκει ένου να τα δώσου ε, κάποια ατασθαλία επιτρεπόταν. Ως ερική δικαιολογία για αυτήν την ατι ία πορού ε να ισχυριστού ε ότι αυτό το αποτέλεσ α δεν χρησι οποιήθηκε ποτέ στην απόδειξη κάποιου θεωρήµατος, αλλά αν η πίστη οποιουδήποτε έχει κλονιστεί, ια αναδρο ή σε όλες τις αποδείξεις που έχουν γίνει έως τώρα, επιβάλλεται. Ευτυχώς, τέ- τοια ατασθαλία δεν θα χρειαστεί ξανά. Έχου ε πια διατυπώσει όλες τις ιδιότητες των πραγ ατικών αριθ ών που πορεί να χρειαστού ε. Από εδώ και πέρα, όχι άλλα ψέ ατα. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Βρείτε το ελάχιστο άνω φράγ α και το έγιστο κάτω φράγ α (αν υπάρχουν) των ακόλουθων συνόλων. Εξετάστε ακό α ποια σύνολα έχουν έγιστο ή ελάχιστο στοι- χείο (δηλαδή εξετάστε αν το ελάχιστο άνω φράγ α ή το έγιστο κάτω φράγ α συ - βαίνει να ανήκει στο σύνολο). (i) 1 n W n στο N . (ii) 1 n W n στο Z και n ¤ 0 . (iii) fx W x D 0 ή x D 1=n για κάποιο n στο Ng. (iv) fx W 0 x p 2 και ο x είναι ρητόςg. (v) fx W x2 C x C 1 0g. (vi) fx W x2 C x 1 0g. (vii) fx W x 0 και x2 C x 1 0g.
- 140. 126 Θεµέλια (viii) 1 n C .1/n W n στο N . 2. (α) Έστω ότι το A ¤ ; είναι κάτω φραγ ένο. Ας συ βολίσου ε ε A το σύνολο όλων των x για x στο A. Αποδείξτε ότι A ¤ ;, ότι το A είναι άνω φραγ ένο, και ότι το sup. A/ είναι το έγιστο κάτω φράγ α του A. (β) Αν το A ¤ ; είναι κάτω φραγ ένο, έστω B το σύνολο όλων των κάτω φραγ- άτων του A. ∆είξτε ότι B ¤ ;, ότι το B είναι άνω φραγ ένο, και ότι το sup B είναι το έγιστο κάτω φράγ α του A. 3. Έστω f συνεχής συνάρτηση στο Œa; b ε f .a/ 0 f .b/. (α) Η απόδειξη του Θεωρή ατος 7-1 έδειξε ότι υπάρχει ένα ελάχιστο x στο Œa; b ε f .x/ D 0. Αν υπάρχουν περισσότερα από ένα x στο Œa; b ε f .x/ D 0, υπάρχει αναγκαστικά ένα δεύτερο ελάχιστο; ∆είξτε ότι υπάρχει ένα έγιστο x στο Œa; b ε f .x/ D 0. (Προσπαθήστε να δώσετε ια εύκολη απόδειξη θεωρώντας ια καινούργια συνάρτηση που έχει στενή σχέση ε την f .) (β) Η απόδειξη του Θεωρή ατος 7-1 βασίστηκε στο σύνολο A D ˚ x W a x b και η f είναι αρνητική στο Œa; x « . ∆ώστε ια άλλη απόδειξη του Θεωρή ατος 7-1, ε βάση το σύνολο B D ˚ x W a x b και f .x/ 0 « . Ποιο ση είο x του Œa; b ε f .x/ D 0 εντοπίζει αυτή η απόδειξη; ∆ώστε ένα παράδειγ α στο οποίο τα σύνολα A και B να ην είναι ίσα. 4. (α) Έστω ότι η f είναι συνεχής στο Œa; b και ότι f .a/ D f .b/ D 0. Έστω ακό α ότι f .x0/ 0 για κάποιο x0 στο Œa; b. Αποδείξτε ότι υπάρχουν αριθ οί c και d ε a c x0 d b τέτοιοι ώστε f .c/ D f .d/ D 0, αλλά f .x/ 0 για κάθε x στο .c; d/. Υπόδειξη: Το προηγού ενο πρόβλη α σας δίνει εγάλη βοήθεια. (β) Έστω ότι η f είναι συνεχής στο Œa; b και ότι f .a/ f .b/. Αποδείξτε ότι υπάρχουν αριθ οί c και d ε a c d b τέτοιοι ώστε f .c/ D f .a/ και f .d/ D f .b/ και f .a/ f .x/ f .d/ για κάθε x στο .c; d/. 5. (α) Έστω ότι y x 1. Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας ακέραιος k τέτοιος ώστε x k y. Υπόδειξη: Έστω l ο εγαλύτερος ακέραιος που ικανοποιεί την l x, και πάρτε τον l C 1. (β) Υποθέτου ε ότι x y. Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας ρητός αριθ ός r τέτοιος ώστε x r y. Υπόδειξη: Αν 1=n y x, τότε ny nx 1. (Ερώτη α: Γιατί τα (α) και (β) είχαν αναβληθεί έχρι αυτό το σύνολο των προβλη άτων;) (γ) Έστω ότι r s είναι ρητοί αριθ οί. ∆είξτε ότι υπάρχει ένας άρρητος αριθ ός ανά εσα στον r και στον s. Υπόδειξη: Ως αρχή, ξέρετε ότι υπάρχει ένας άρρητος αριθ ός ανά εσα στον 0 και τον 1. (δ) Έστω ότι x y. Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας άρρητος αριθ ός ανά εσα στον x και τον y. Υπόδειξη: ∆εν χρειάζεται να κάνετε πρόσθετη δουλειά· αυτό έπεται από τα (β) και (γ). 6. Ένα σύνολο A πραγ ατικών αριθ ών λέγεται πυκνό αν κάθε ανοικτό διάστη α περιέχει ένα ση είο του A. Για παράδειγ α, το Πρόβλη α 5 δείχνει ότι το σύνολο των ρητών αριθ ών και το σύνολο των άρρητων αριθ ών είναι το καθένα πυκνό. (α) Αποδείξτε ότι, αν η f είναι συνεχής και f .x/ D 0 για όλους τους αριθ ούς x σε ένα πυκνό σύνολο A, τότε f .x/ D 0 για κάθε x. (β) Αποδείξτε ότι, αν η f και η g είναι συνεχείς και f .x/ D g.x/ για κάθε x σε ένα πυκνό σύνολο A, τότε f .x/ D g.x/ για κάθε x. (γ) Αν αντί για αυτό υποθέσου ε ότι f .x/ g.x/ για κάθε x στο A, δείξτε ότι f .x/ g.x/ για κάθε x. Μπορού ε να αντικαταστήσου ε παντού το ε ;
- 141. 8. Ελάχιστα άνωφράγµατα 127 7. Αποδείξτε ότι, αν η f είναι συνεχής και f .x C y/ D f .x/ C f .y/ για κάθε x και y, τότε υπάρχει ένας αριθ ός c τέτοιος ώστε f .x/ D cx για κάθε x. (Η από- δειξη είναι ά εση αν συνδυάσετε τα αποτελέσ ατα δύο προηγου ένων προβλη ά- των). Μια πληροφορία: υπάρχουν µη συνεχείς συναρτήσεις f που ικανοποιούν την f .x Cy/ D f .x/Cf .y/ για κάθε x και y, αλλά δεν πορού ε να το αποδείξου ε τώρα· πράγ ατι, αυτό το απλό ερώτη α απαιτεί έννοιες που συνήθως δεν συναν- τώνται ποτέ σε ένα προπτυχιακό άθη α (βλ. την αναφορά [7] στην Προτεινό ενη Βιβλιογραφία). 8. Έστω ότι f είναι συνάρτηση τέτοια ώστε f .a/ f .b/ όποτε a b (Σχή α 6). (α) Αποδείξτε ότι το lim x!a f .x/ και το lim x!aC f .x/ υπάρχουν και τα δύο. Υπό- δειξη: Γιατί αυτό το πρόβλη α βρίσκεται σε αυτό το κεφάλαιο; (β) Αποδείξτε ότι η f δεν έχει ποτέ αιρό ενη ασυνέχεια (η ορολογία προέρχεται από το Πρόβλη α 6-17). (γ) Αποδείξτε ότι, αν η f ικανοποιεί τα συ περάσ ατα του Θεωρή ατος Ενδιά- εσης Τι ής, τότε η f είναι συνεχής. 9. Αν f είναι συνάρτηση φραγ ένη στο Œ0; 1, θέτου ε jjjf jjj D sup ˚ jf .x/j W x στο Œ0; 1 « . Αποδείξτε ιδιότητες της k k ανάλογες ε αυτές του Προβλή ατος 7- 14. Σ Χ Η Μ Α 6 10. Έστω ότι ˛ 0. Αποδείξτε ότι κάθε αριθ ός x γράφεται κατά οναδικό τρόπο στη ορφή x D k˛ C x0 , όπου k είναι ακέραιος, και 0 x0 ˛. 11. (α) Έστω ότι a1; a2; a3; : : : είναι ακολουθία θετικών αριθ ών ε anC1 an=2. Αποδείξτε ότι για κάθε 0 υπάρχει κάποιο n ε an . (β) Έστω ότι P είναι κανονικό πολύγωνο εγγεγρα ένο έσα σε ένα κύκλο. Αν P 0 είναι το εγγεγρα ένο κανονικό πολύγωνο ε διπλάσιο αριθ ό πλευρών, δείξτε ότι η διαφορά ανά εσα στο ε βαδόν του κύκλου και το ε βαδόν του P 0 είναι λιγότερη από το ισό της διαφοράς ανά εσα στο ε βαδόν του κύκλου και το ε βαδόν του P (χρησι οποιήστε το Σχή α 7). (γ) Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα κανονικό πολύγωνο P εγγεγρα ένο σε έναν κύ- κλο ε ε βαδόν όσο κοντά θέλου ε στο ε βαδόν του κύκλου. Για να κάνετε το έρος (γ) θα χρειαστείτε το έρος (α). Αυτό ήταν σαφές για τους αρχαίους Έλληνες, που χρησι οποιούσαν το έρος (α) ως τη βάση για τις έρευνές τους γύρω από τις αναλογίες και τα ε βαδά. Με υπολογισ ό του ε βαδού πολυγώ- νων, αυτή η έθοδος («η έθοδος της εξάντλησης») επιτρέπει υπολογισ ούς του ε όση ακρίβεια θέλου ε· ο Αρχι ήδης τη χρησι οποίησε για να δείξει ότι 223 71 22 7 . Αλλά έχει πολύ εγαλύτερη θεωρητική ση ασία: (δ) Χρησι οποιώντας το γεγονός ότι τα ε βαδά δύο κανονικών πολυγώνων ε το ίδιο πλήθος πλευρών έχουν τον ίδιο λόγο ε τα τετράγωνα των πλευρών τους, ία πλευρά του πλευρέ̋ του Σ Χ Η Μ Α 7 αποδείξτε ότι τα ε βαδά δύο κύκλων έχουν τον ίδιο λόγο ε τα τετράγωνα των ακτίνων τους. Υπόδειξη: Καταλήξτε σε αντίφαση, κάνοντας την υπόθεση ότι ο λόγος των ε βαδών είναι εγαλύτερος, ή ικρότερος, από το λόγο των τετραγώνων των ακτίνων, και εγγράφοντας κατάλληλα πολύγωνα. 12. Έστω ότι A και B είναι δύο η κενά σύνολα αριθ ών τέτοια ώστε x y για κάθε x στο A και κάθε y στο B. (α) Αποδείξτε ότι sup A y για κάθε y στο B. (β) Αποδείξτε ότι sup A inf B. 13. Έστω A και B δύο η κενά σύνολα αριθ ών που είναι άνω φραγ ένα, και ας συ βολίσου ε ε A C B το σύνολο όλων των αριθ ών x C y ε x στο A και
- 142. 128 Θεµέλια y στοB. Αποδείξτε ότι sup.A C B/ D sup A C sup B. Υπόδειξη: Η ανισό- τητα sup.A C B/ sup A C sup B είναι εύκολη. Γιατί; Για να αποδείξου ε ότι sup A C sup B sup.A C B/ αρκεί να αποδείξου ε ότι sup A C sup B sup.A C B/ C για κάθε 0· ξεκινήστε διαλέγοντας x στο A και y στο B ε sup A x =2 και sup B y =2. Σ Χ Η Μ Α 8 14. (α) Θεωρού ε ια ακολουθία κλειστών διαστη άτων I1 D Œa1; b1; I2 D Œa2; b2; : : : Έστω ότι an anC1 και bnC1 bn για κάθε n (Σχή α 8). Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα ση είο x που ανήκει σε κάθε In. (β) Αποδείξτε ότι αυτό το συ πέρασ α δεν ισχύει αν πάρου ε ανοικτά διαστή- ατα αντί για κλειστά. Το απλό αποτέλεσ α του Προβλή ατος 14(α) λέγεται «Θεώρη α των Κιβωτισ ένων ∆ιαστη άτων». Μπορού ε να το χρησι οποιήσου ε για να δώσου ε εναλλακτικές απο- δείξεις των Θεωρη άτων 1 και 2. Οι συλλογισ οί που χρειάζονται, και που περιγράφον- ται στα επό ενα δύο προβλή ατα, ας δίνουν ια ιδέα ιας γενικής εθόδου που λέγεται «επιχείρη α της διχοτό ησης». 15. Έστω ότι η f είναι συνεχής στο Œa; b και f .a/ 0 f .b/. Τότε, ή f ..a C b/=2/ D 0, ή η f έχει διαφορετικά πρόση α στα άκρα του διαστή ατος Œa; .a C b/=2, ή η f έχει διαφορετικά πρόση α στα άκρα του Œ.a C b/=2; b. Γιατί; Αν f ..a Cb/=2/ ¤ 0, έστω I1 το διαστή ατα στο οποίο η f αλλάζει πρόση ο. Τώρα διχοτο ού ε το I1. Ή η f είναι 0 στο έσον, ή η f αλλάζει πρόση ο σε ένα από τα δύο διαστή ατα. Έστω I2 αυτό το διάστη α. Συνεχίστε ε αυτόν τον τρόπο, ορίζοντας το In για κάθε n (εκτός αν η f είναι 0 σε κάποιο έσον). Χρησι οποιήστε το Θεώρη α των Κιβωτισ ένων ∆ιαστη άτων για να βρείτε ένα ση είο x στο οποίο f .x/ D 0. 16. Έστω ότι η f είναι συνεχής στο Œa; b αλλά όχι φραγ ένη στο Œa; b. Τότε η f δεν θα ήταν φραγ ένη είτε στο Œa; .a C b/=2 είτε στο Œ.a C b/=2; b. Γιατί; Έστω I1 ένα από αυτά τα διαστή ατα στο οποίο η f δεν είναι φραγ ένη. Συνεχίστε όπως στο Πρόβλη α 15 για να καταλήξετε σε άτοπο. 17. (α) Έστω A D fx W x ˛g. Αποδείξτε τα ακόλουθα (όλα είναι εύκολα): (i) Αν το x ανήκει στο A και y x, τότε το y ανήκει στο A. (ii) A ¤ ;. (iii) A ¤ R. (iv) Αν το x ανήκει στο A, τότε υπάρχει κάποιος αριθ ός x0 στο A τέτοιος ώστε x x0 . (β) Έστω, αντίστροφα, ότι το A ικανοποιεί τα (i)-(iv). Αποδείξτε ότι A D fx W x sup Ag. 18. Ένας αριθ ός x λέγεται σχεδόν άνω φράγ α του A αν υπάρχουν πεπερασ ένοι όνο το πλήθος αριθ οί y στο A ε y x. Ένα σχεδόν κάτω φράγ α ορίζεται ό οια. (α) Βρείτε όλα τα σχεδόν άνω και τα σχεδόν κάτω φράγ ατα των συνόλων του Προβλή ατος 1.
- 143. 8. Ελάχιστα άνωφράγµατα 129 (β) Έστω ότι A είναι ένα φραγ ένο άπειρο σύνολο. Αποδείξτε ότι το σύνολο B όλων των σχεδόν άνω φραγ άτων του A είναι η κενό, και κάτω φραγ ένο. (γ) Από το έρος (β) έπεται ότι το inf B υπάρχει· αυτός ο αριθ ός λέγεται το άνω όριο του A, και συ βολίζεται ε lim A ή lim sup A (limit superior). Βρείτε το lim A για κάθε σύνολο A στο Πρόβλη α 1. (δ) Ορίστε το lim A, και βρείτε το για κάθε A στο Πρόβλη α 1. 19. Αν A είναι ένα άπειρο φραγ ένο σύνολο αποδείξτε ότι (α) lim A lim A. (β) lim A sup A. (γ) Αν lim A sup A, τότε το A περιέχει ένα έγιστο στοιχείο. (δ) Τα ανάλογα των (β) και (γ) για το lim. ση εία σκιά̋ Σ Χ Η Μ Α 9 20. Έστω f ια συνάρτηση συνεχής στο R. Ένα ση είο x λέγεται ση είο σκιάς της f αν υπάρχει ένας αριθ ός y x ε f .y/ f .x/. Η εξήγηση για αυτήν την ορολογία φαίνεται στο Σχή α 9· οι παράλληλες γρα ές είναι οι ακτίνες του ήλιου που ανατέλλει (κοιτάξτε προς τον βορρά). Ας υποθέσου ε ότι όλα τα ση εία του .a; b/ είναι ση εία σκιάς, αλλά ότι το a και το b δεν είναι ση εία σκιάς. Προφανώς, f .a/ f .b/. (α) Έστω ότι f .a/ f .b/. ∆είξετε ότι το ση είο στο οποίο η f παίρνει τη έγιστη τι ή της στο Œa; b πρέπει να είναι το a. (β) Στη συνέχεια δείξτε ότι αυτό οδηγεί σε αντίφαση, έτσι ώστε τελικά να πρέπει να ισχύει f .a/ D f .b/. Αυτό το ικρό αποτέλεσ α, γνωστό ως Λή α του Ανατέλλοντος Ηλίου, εί- ναι πολύ λειτουργικό στην απόδειξη διαφόρων ό ορφων θεωρη άτων που δεν ε φανίζονται σε αυτό το βιβλίο· βλ. σελίδα 409.
- 144. 130 Θεµέλια ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗΣΥΝΕΧΕΙΑ Τώρα που φτάσα ε στο τέλος των «θε ελίων», ίσως είναι η κατάλληλη στιγ ή να παρε - βάλλου ε ία ακό η θε ελιώδη έννοια. Η έννοια αυτή δεν είναι σε εγάλη χρήση στο υπόλοιπο του βιβλίου, αλλά πορεί να βοηθήσει τη διευκρίνιση πολλών ση είων αργό- τερα. Γνωρίζου ε ότι η συνάρτηση f .x/ D x2 είναι συνεχής στο a για κάθε a. Με άλλα λόγια, αν ο a είναι τυχαίος αριθ ός, τότε για κάθε 0, υπάρχει κάποιο ı 0 τέτοιο ώστε, για όλα τα x, αν jx aj ı, τότε jx2 a2 j . Φυσικά, το ı εξαρτάται από το . Αλλά το ı εξαρτάται επίσης και από το a —το ı που κάνει για το a πορεί να ην κάνει για το b (Σχή α 1). Πράγ ατι, είναι φανερό ότι αν δοθεί το 0, δεν υπάρχει κανένα ı 0 που να κάνει για όλα τα a, ή ακό α για όλα τα θετικά a. Όντως, ο αριθ ός a C ı=2 σίγουρα ικανοποιεί την jx aj ı, αλλά αν a 0, τότε ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ a C ı 2 2 a2 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D ˇ ˇ ˇ ˇ aı C ı2 4 ˇ ˇ ˇ ˇ aı; και αυτό δεν θα είναι όταν a =ı. (Αυτός είναι ένας, κατά τεκ ήριο συγκεχυ ένος, υπολογιστικός τρόπος να πού ε ότι η f εγαλώνει όλο και πιο γρήγορα!). Από την άλλη, για κάθε 0 θα υπάρχει ένα ı 0 το οποίο να κάνει για όλα τα a σε κάθε διάστη α Œ N; N . Στην πράξη, το ı που κάνει για N ή N θα κάνει επίσης για οποιαδήποτε άλλη τι ή στο διάστη α. για για Σ Χ Η Μ Α 1 Ως τελευταίο παράδειγ α, θεωρήστε τη συνάρτηση f .x/ D sin 1=x, ή τη συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση ε φανίζεται στο Σχή α 18 της σελίδας 57. Είναι εύκολο να δού ε ότι, όσο έχου ε 1, δεν θα υπάρχει ούτε ένα ı 0, το οποίο να κάνει για αυτές τις συναρτήσεις σε όλα τα ση εία a του ανοικτού διαστή ατος .0; 1/. Αυτά τα παραδείγ ατα περιγράφουν ση αντικές διαφορές στη συ περιφορά διαφό- ρων συνεχών συναρτήσεων πάνω σε συγκεκρι ένα διαστή ατα, και υπάρχει ένας ειδικός όρος που ση ατοδοτεί αυτήν τη διάκριση. ΟΡΙΣΜΟΣ Η συνάρτηση f είναι ο οιό ορφα συνεχής σε ένα διάστη α A αν για κάθε 0 υπάρχει κάποιο ı 0 έτσι ώστε, για όλα τα x και y στο A, αν jx yj ı, τότε jf .x/ f .y/j . Είδα ε ότι ια συνάρτηση πορεί να είναι συνεχής σε όλη την ευθεία, ή σε ένα ανοι- κτό διάστη α, χωρίς να είναι ο οιό ορφα συνεχής εκεί. Από την άλλη, η συνάρτηση f .x/ D x2 προέκυψε ο οιό ορφα συνεχής σε κάθε κλειστό διάστη α. Αυτό δεν θα έπρεπε να ας εκπλήσσει πολύ —είναι το ίδιο πράγ α που ε φανίζεται όταν ρωτά ε αν ια συνάρτηση είναι φραγ ένη πάνω σε ένα διάστη α— και θα έπρεπε να οδηγηθού ε στην υποψία ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε κλειστό διάστη α είναι επίσης και ο οιό- ορφα συνεχής σε αυτό. Για να το αποδείξου ε, πρέπει πρώτα να αντι ετωπίσου ε ένα λεπτό ση είο. Έστω πως έχου ε δύο διαστή ατα Œa; b και Œb; c ε κοινό το άκρο b, και ια συνάρ- τηση f που είναι συνεχής στο Œa; c. Έστω 0 και ας υποθέσου ε ότι οι εξής δύο προτάσεις ισχύουν: (i) αν τα x και y είναι στο Œa; b και jx yj ı1, τότε jf .x/ f .y/j , (ii) αν τα x και y είναι στο Œb; c και jx yj ı2, τότε jf .x/ f .y/j . Θα θέλα ε να γνωρίζου ε αν υπάρχει κάποιο ı 0 τέτοιο ώστε jf .x/ f .y/j όποτε τα x και y είναι ση εία του Œa; c ε jx yj ı. Το πρώτο πράγ α που ας έρχεται στο υαλό είναι να διαλέξου ε το ı ως το ικρότερο των ı1 και ı2. Αλλά εύκολα βλέπου ε
- 145. 8. Παράρτηµα. Οµοιόµορφησυνέχεια 131 τι πορεί να πάει στραβά (Σχή α 2): Μπορεί να έχου ε το x στο Œa; b και το y στο Œb; c και τότε ούτε το (i) ούτε το (ii) ας λένε τίποτε για το jf .x/ f .y/j. Έτσι, πρέπει να Σ Χ Η Μ Α 2 εί αστε λίγο πιο πονηροί, και να χρησι οποιήσου ε επίσης τη συνέχεια της f στο b. ΛΗΜΜΑ Έστω a b c και f συνεχής στο διάστη α Œa; c. Έστω 0, και υποθέτου ε ότι οι προτάσεις (i) και (ii) ισχύουν. Τότε υπάρχει ένα ı 0 τέτοιο ώστε, αν τα x και y είναι στο Œa; c και jx yj ı, τότε jf .x/ f .y/j . ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Επειδή η f είναι συνεχής στο b, υπάρχει ένα ı3 0, τέτοιο ώστε αν jx bj ı3, τότε jf .x/ f .b/j 2 . Έπεται ότι (iii) αν jx bj ı3 και jy bj ı3, τότε jf .x/ f .y/j . ∆ιαλέγου ε για ı το ικρότερο από τα ı1, ı2 και ı3. Ισχυριζό αστε ότι αυτό το ı είναι το κατάλληλο. Πράγ ατι, υποθέτου ε ότι τα x, y είναι οποιαδήποτε δύο ση εία του Œa; c ε jx yj ı. Αν τα x και y είναι και τα δύο στο Œa; b, τότε jf .x/ f .y/j λόγω της (i). Αν τα x και y είναι και τα δύο στο Œb; c, τότε jf .x/ f .y/j , λόγω της (ii). Η όνη άλλη δυνατότητα είναι ότι x b y ή y b x: Και στις δύο περιπτώσεις, αφού υποθέσα ε ότι jx yj ı, έχου ε επίσης jx bj ı και jy bj ı. Άρα jf .x/ f .y/j , λόγω της (iii). ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Αν η f είναι συνεχής στο Œa; b, τότε η f είναι ο οιό ορφα συνεχής στο Œa; b. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θα κάνου ε το συνηθισ ένο τέχνασ α, πρέπει ό ως να εί αστε λίγο πιο προσεκτικοί στον ηχανισ ό της απόδειξης. Για 0 θα λέ ε ότι η f είναι -καλή στο Œa; b αν υπάρχει κάποιο ı 0 έτσι ώστε, για όλα τα y και ´ στο Œa; b, αν jy ´j ı, τότε jf .y/ f .´/j . Τότε, προσπαθού ε να αποδείξου ε ότι η f είναι -καλή στο Œa; b για κάθε 0. Θεωρήστε ένα οποιοδήποτε 0. Έστω A D fx W a x b και η f είναι -καλή στο Œa; xg: Τότε, A ¤ ; (αφού το a είναι στο A), και το A είναι άνω φραγ ένο (από το b), οπότε το A έχει ελάχιστο άνω φράγ α . Στην πραγ ατικότητα θα έπρεπε να γράψου ε , ια και το A και το πορεί να εξαρτώνται από το . Αλλά δεν θα το κάνου ε, αφού σκοπεύου ε να αποδείξου ε ότι D b, ανεξάρτητα από το ποιο είναι το . Ας υποθέσου ε ότι είχα ε b. Επειδή η f είναι συνεχής στο , υπάρχει κάποιο ı0 0, τέτοιο ώστε, αν jy j ı0, τότε jf .y/ f ./j =2. Συνεπώς, αν jy j ı0 και j´ j ı0, τότε jf .y/ f .´/j . Έτσι, η f είναι σίγουρα -καλή στο διάστη α Œ ı0; C ı0. Από την άλλη, αφού το είναι το ελάχιστο άνω φράγ α του A, είναι επίσης φανερό ότι η f είναι -καλή στο Œa; ı0. Επο ένως, από το Λή α προκύπτει ότι η f είναι -καλή στο Œa; Cı0, άρα το Cı0 είναι στο A, σε αντίφαση ε το γεγονός ότι το είναι ένα άνω φράγ α. Για να ολοκληρώσου ε την απόδειξη ένει ακό η να δείξου ε ότι το D b είναι πράγ ατι στο A. Ο συλλογισ ός και σε αυτήν την περίπτωση είναι στην πράξη ο ίδιος: Αφού η f είναι συνεχής στο b, υπάρχει κάποιο ı0 0, έτσι ώστε, αν b ı0 y b, τότε jf .y/ f .b/j =2. Επο ένως, η f είναι -καλή στο Œb ı0; b. Αλλά η f είναι
- 146. 132 Θεµέλια επίσης -καλήστο Œa; b ı0, έτσι ώστε από το Λή α να έχου ε ότι η f είναι -καλή στο Œa; b. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. (α) Για ποιες από τις ακόλουθες τι ές του είναι η συνάρτηση f .x/ D x ο οιό- ορφα συνεχής στο Œ0; 1/: D 1=3, 1/2, 2, 3; (β) Βρείτε ια συνάρτηση f που να είναι συνεχής και φραγ ένη στο .0; 1, αλλά όχι ο οιό ορφα συνεχής στο .0; 1. (γ) Βρείτε ια συνάρτηση f που να είναι συνεχής και φραγ ένη στο Œ0; 1/ αλλά να ην είναι ο οιό ορφα συνεχής στο Œ0; 1/. 2. (α) Αποδείξτε ότι, αν οι f και g είναι ο οιό ορφα συνεχείς στο A, τότε είναι και η f C g. (β) Αποδείξτε ότι, αν οι f και g είναι ο οιό ορφα συνεχείς και φραγ ένες στο g, τότε η fg είναι ο οιό ορφα συνεχής στο A. (γ) ∆είξτε ότι αυτό το συ πέρασ α δεν ισχύει αν ία από αυτές δεν είναι φραγ- ένη. (δ) Υποθέτου ε ότι η f είναι ο οιό ορφα συνεχής στο A, ότι η g είναι ο οιό- ορφα συνεχής στο B, και ότι η f .x/ είναι στο B για όλα τα x στο A. Απο- δείξτε ότι η g B f είναι ο οιό ορφα συνεχής στο A. 3. Χρησι οποιήστε ένα «επιχείρη α διχοτό ησης» (σελίδα 128) για να δώσετε ια άλλη απόδειξη του Θεωρή ατος 1. 4. Συνάγετε το Θεώρη α 7-2 ως συνέπεια του Θεωρή ατος 1.
- 147.
- 148. Στα 1604, στοαπόγειο της επιστηµονικής του καριέρας, ο Γαλιλαίος ισχυρίστηκε ότι για µια ευθύγραµµη κίνηση στην οποία η ταχύτητα αυξάνει ανάλογα µε την απόσταση που έχει διανυθεί, ο νόµος της κίνησης θα έπρεπε να είναι ο εξής (x D ct2 ), κάτι που είχε ανακαλύψει µελετώντας σώµατα που πέφτουν. Ανάµεσα στα 1695 και 1700 ούτε ένα από τα µηνιαία τεύχη των Acta Eruditorum της Λειψίας δεν εκδόθηκε χωρίς άρθρα του Leibniz, των αδελφών Bernoulli ή του Marquis de l’Hˆopital, που µελετούσαν, µε έναν συµβολισµό ελάχιστα διαφορετικό από αυτόν που χρησιµοποιούµε σήµερα, τα πιο ποικίλα προβλήµατα του διαφορικού λογισµού, του ολοκληρωτικού λογισµού και του λογισµού µεταβολών. Έτσι, σε διάστηµα ενός σχεδόν αιώνα, ο Απειροστικός Λογισµός ή Λογισµός, όπως τον λέµε τώρα, το κατ’ εξοχήν υπολογιστικό εργαλείο, είχε σφυρηλατηθεί· και τρεις σχεδόν αιώνες συνεχούς χρήσης δεν έχουν ξεθωριάσει εντελώς αυτό το ασύγκριτο όργανο. NICHOLAS BOURBAKI
- 149. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ηπαράγωγος ιας συνάρτησης είναι η πρώτη από τις δύο κύριες έννοιες αυτού του έ- ρους. Μαζί ε το ολοκλήρω α, αποτελούν την πηγή από όπου αντλεί την ιδιαίτερη γοη- τεία του ο Απειροστικός Λογισ ός. Όσο και αν είναι αλήθεια ότι η έννοια της συνάρτη- σης είναι θε ελιώδης, ότι είναι αδύνατο να εργαστεί κανείς χωρίς τα όρια και τη συνέ- χεια, και ότι τα ελάχιστα άνω φράγ ατα είναι απαραίτητα, όσα έχου ε κάνει έως τώρα ήταν η προπαρασκευή —και αν ήταν αρκετή, αυτό το τ ή α θα είναι ευκολότερο από τα προηγού ενα— για τις συναρπαστικές ιδέες που θα ακολουθήσουν, δηλαδή τις ση αντι- κές έννοιες που χαρακτηρίζουν τον Απειροστικό Λογισ ό. Ίσως ( ερικοί θα έλεγαν «ασφαλώς») το ενδιαφέρον των ιδεών που εισάγονται σε αυτό το κεφάλαιο να οφείλεται στη στενή σχέση που υπάρχει ανά εσα στις αθη ατικές έννοιες και κάποιες ιδέες από τη Φυσική. Πολλοί ορισ οί, ακό α και ερικά θεωρή ατα, πορούν να περιγραφούν ε τη βοήθεια φυσικών προβλη άτων, ε έναν συχνά αποκα- λυπτικό τρόπο. Πράγ ατι, οι απαιτήσεις της Φυσικής ήταν η αρχική πηγή έ πνευσης για αυτές τις θε ελιώδεις έννοιες του Απειροστικού Λογισ ού, και θα αναφέρου ε συχνά τις φυσικές ερ ηνείες. Θα ορίζου ε ό ως πάντα τις έννοιες πρώτα σε αυστηρή αθη ατική ορφή, και θα ελετά ε τη ση ασία τους όσον αφορά στα αθη ατικά προβλή ατα. Το σύνολο όλων των συναρτήσεων παρουσιάζει τέτοια ποικιλία που δεν υπάρχει σχε- δόν κα ία ελπίδα να ανακαλύψου ε κάποιες ενδιαφέρουσες γενικές ιδιότητες που να τις αφορούν όλες. Επειδή οι συνεχείς συναρτήσεις απαρτίζουν ια αρκετά περιορισ ένη κλάση, θα πορούσε να περι ένει κανείς κάποια η τετρι ένα θεωρή ατα σχετικά ε αυτές, και η ξαφνική αφθονία θεωρη άτων ετά το Κεφάλαιο 6 δείχνει ότι αυτή η προσ- δοκία ήταν δικαιολογη ένη. Αλλά τα πιο ενδιαφέροντα και ισχυρά αποτελέσ ατα για τις συναρτήσεις θα έρθουν όνο αν περιορίσου ε την προσοχή ας ακό α περισσότερο σε συναρτήσεις που έχουν ένα λόγο παραπάνω να λέγονται «λογικές», και που συ περιφέ- ρονται ακό α καλύτερα από τις περισσότερες συνεχείς συναρτήσεις. (α) (β) (γ) Σ Χ Η Μ Α 1 Το Σχή α 1 παρουσιάζει είδη κακής συ περιφοράς που πορούν να ε φανίσουν οι συνεχείς συναρτήσεις. Οι γραφικές παραστάσεις αυτών των συναρτήσεων «λυγίζουν» στο .0; 0/, σε αντίθεση ε τη γραφική παράσταση του Σχή ατος 2, όπου είναι δυνατόν να σχεδιάσου ε ια «εφαπτο ένη» σε κάθε ση είο. Χρησι οποιήσα ε τα εισαγωγικά για να η νο ισθεί ότι έχου ε ορίσει τι είναι «λύγισ α» και τι «εφαπτο ένη», αν και υπονο- Σ Χ Η Μ Α 2 ού ε ότι η γραφική παράσταση «λυγίζει» σε ένα ση είο όπου δεν πορού ε να φέρου ε 135
- 150. 136 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα «εφαπτο ένη». Ίσως έχετε ήδη παρατηρήσει ότι η εφαπτο ένη δεν πορεί να οριστεί ως ευθεία που τέ νει τη γραφική παράσταση όνο ία φορά —ένας τέτοιος ορισ ός θα ήταν ταυτόχρονα πολύ περιοριστικός και πολύ ανεκτικός. Με έναν τέτοιον ορισ ό, η ευθεία που δείχνου ε στο Σχή α 3 δεν θα ήταν εφαπτο ένη της γραφικής παράστασης στην ίδια εικόνα, ενώ η παραβολή θα είχε δύο εφαπτό ενες σε κάθε ση είο (Σχή α 4), και οι τρεις συναρτήσεις στο Σχή α 5 θα είχαν περισσότερες από ία εφαπτό ενες στα ση εία όπου «λυγίζουν». Σ Χ Η Μ Α 3 (α) (β) (γ) Σ Χ Η Μ Α 5 Μια προσέγγιση στον ορισ ό της εφαπτο ένης που υπόσχεται περισσότερα πράγ ατα ξεκινά ε «τέ νουσες» και χρησι οποιεί την έννοια του ορίου. Αν h ¤ 0, τότε τα δύο διακεκρι ένα ση εία .a; f .a// και .a C h; f .a C h// καθορίζουν, όπως φαίνεται στο Σχή α 6, ια ευθεία ε κλίση Σ Χ Η Μ Α 4 f .a C h/ f .a/ h : Σ Χ Η Μ Α 6 Όπως δείχνει το Σχή α 7, η «εφαπτο ένη» στο .a; f .a// οιάζει να είναι το όριο, ε κάποια έννοια, αυτών των «τε νουσών», καθώς το h τείνει στο 0. ∆εν έχου ε ιλήσει ποτέ έως τώρα για το «όριο» ευθειών, αλλά µπορούµε να ιλήσου ε για το όριο των κλίσεών τους: η κλίση της εφαπτο ένης στο .a; f .a// θα πρέπει να είναι ίση ε lim h!0 f .a C h/ f .a/ h : Εί αστε τώρα έτοι οι για έναν ορισ ό και κάποια σχόλια. ΟΡΙΣΜΟΣ Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσι η στο a αν το lim h!0 f .a C h/ f .a/ h υπάρχει. Σε αυτήν την περίπτωση, το όριο συ βολίζεται ε f 0 .a/ και λέγεται η παράγωγος της f στο a. (Λέ ε ακό α ότι η f είναι παραγωγίσι η, αν η f είναι παραγωγί- σι η στο a για κάθε a στο πεδίο ορισ ού της f .)
- 151. 9. Παράγωγοι 137 Τοπρώτο σχόλιο πάνω στον ορισ ό ας είναι στην πραγ ατικότητα ια προσθήκη: ορίζου ε την εφαπτο ένη στη γραφική παράσταση της f στο .a; f .a// να είναι η ευθεία που περνά από το .a; f .a// και έχει κλίση f 0 .a/. Αυτό ση αίνει ότι η εφαπτο ένη στο .a; f .a// ορίζεται όνο αν η f είναι παραγωγίσι η στο a. Σ Χ Η Μ Α 7 Το δεύτερο σχόλιο αναφέρεται στον συ βολισ ό. Το σύ βολο f 0 .a/ θυ ίζει βέβαια συνάρτηση. Πραγ ατικά, για κάθε συνάρτηση f , συ βολίζου ε ε f 0 τη συνάρτηση που έχει πεδίο ορισ ού το σύνολο των αριθ ών a για τους οποίους η f είναι παραγωγίσι η στο a, και τι ή σε κάθε τέτοιον αριθ ό a το lim h!0 f .a C h/ f .a/ h : (Για να γίνου ε πολύ ακριβείς: η f 0 είναι το σύνολο των ζευγών a; lim h!0 f .a C h/ f .a/ h για τα οποία υπάρχει το lim h!0 Œf .aCh/ f .a/=h.) Η συνάρτηση f 0 λέγεται η παράγωγος της f . Το τρίτο ας σχόλιο, κατά τι ακρύτερο από τα προηγού ενα δύο, αναφέρεται στη φυσική ερ ηνεία της παραγώγου. Ας θεωρήσου ε ένα σω ατίδιο που κινείται κατά ή- κος ιας ευθείας (Σχή α 8(α)), πάνω στην οποία έχου ε επιλέξει ένα «αρχικό» ση είο O, και ια κατεύθυνση στην οποία οι αποστάσεις από το O θα γράφονται ως θετικοί αριθ οί, ενώ η απόσταση από το O ενός ση είου στην άλλη κατεύθυνση θα γράφεται ως αρνητικός αριθ ός. Ας συ βολίσου ε ε s.t/ την απόσταση του σώ ατος από το O, τη χρονική στιγ ή t. ∆ιαλέξα ε επίτηδες τον συ βολισ ό s.t/· αφού σε κάθε αριθ ό t αντιστοιχεί ια απόσταση s.t/, η φυσική πραγ ατικότητα ας εφοδιάζει αυτο άτως ε κάποια συγκεκρι ένη συνάρτηση s. Η γραφική παράσταση της s ε φανίζει την απόσταση του σώ ατος από το O, στον κατακόρυφο άξονα, συναρτήσει του χρόνου στον οποίο δια- τρέχει τον οριζόντιο άξονα (Σχή α 8(β)). κίνηση του σω ατιδίου το σω ατίδιο κινείται κατά ήκο̋ τη̋ ευθεία̋ Σ Χ Η Μ Α 8 ( α ) Το πηλίκο s.a C h/ s.a/ h έχει ια φυσική ερ ηνεία. Είναι η « έση ταχύτητα» του σώ ατος στο χρονικό διάστη α εταξύ a και a C h. Για κάθε συγκεκρι ένο a, αυτή η έση ταχύτητα εξαρτάται βέβαια από το h. Από την άλλη πλευρά, το όριο lim h!0 s.a C h/ s.a/ h εξαρτάται όνο από το a (καθώς και από τη συγκεκρι ένη συνάρτηση s) και υπάρχουν γραφική παράσταση τη̋ «χρόνο̋» «απόσταση» Σ Χ Η Μ Α 8 ( β ) ση αντικοί, από πλευράς Φυσικής, λόγοι για να εξετάσου ε αυτό το όριο. Θα θέλα ε να ιλά ε για «την ταχύτητα του σώ ατος τη χρονική στιγ ή a», αλλά ο συνηθισ ένος ορι- σ ός της ταχύτητας είναι στην πραγ ατικότητα ένας ορισ ός έσης ταχύτητας· ο όνος εύλογος ορισ ός της «ταχύτητας τη στιγ ή a» (της λεγό ενης «στιγ ιαίας ταχύτητας») είναι το όριο lim h!0 s.a C h/ s.a/ h
- 152. 138 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα Έτσι, ορίζουµε ως (στιγ ιαία) ταχύτητα του σώ ατος τη στιγ ή a, την παράγωγο s0 .a/. Παρατηρήστε ότι το s0 .a/ θα πορούσε κάλλιστα να είναι αρνητικό. Είναι ση αντικό να καταλάβου ε ότι η στιγ ιαία ταχύτητα είναι ια θεωρητική έν- νοια, ια αφαίρεση που δεν αντιστοιχεί ακριβώς σε κάποια παρατηρήσι η ποσότητα. Αν και θα ήταν άδικο να υποστηρίξου ε ότι η στιγ ιαία ταχύτητα δεν έχει κα ία σχέση ε τη έση ταχύτητα, πρέπει να θυ ό αστε ότι η s0 .t/ δεν είναι s.t C h/ s.t/ h για κάποιο συγκεκρι ένο h, αλλά απλώς το όριο αυτών των έσων ταχυτήτων καθώς το h τείνει στο 0. Έτσι, όταν ετρώνται ταχύτητες στη Φυσική, αυτό που ετρά στην πραγ ατικότητα ένας φυσικός είναι ια έση ταχύτητα πάνω σε ένα (πολύ ικρό) χρονικό διάστη α· ια τέτοια διαδικασία δεν ανα ένεται να δώσει ακριβές αποτέλεσ α, αλλά αυτό δεν ση αίνει ότι είναι ελαττω ατική, διότιοι φυσικές ετρήσεις έτσι και αλλιώς δεν πορούν ποτέ να είναι ακριβείς. Η ταχύτητα ενός σώ ατος λέγεται συχνά και «ρυθ ός εταβολής της θέσης του». Αυτή η έννοια της παραγώγου, ως ρυθ ός δηλαδή εταβολής, εφαρ όζεται σε οποια- δήποτε άλλη κατάσταση όπου κάποιο φυσικό έγεθος εταβάλλεται ε τον χρόνο. Για παράδειγ α, ως «ρυθ ό εταβολής της άζας» ενός αντικει ένου που εγαλώνει, θεω- ρού ε την παράγωγο της συνάρτησης m, όπου m.t/ είναι η άζα τη χρονική στιγ ή t. Για να εξοικειωθού ε ε τους βασικούς ορισ ούς αυτού του κεφαλαίου, θα αφιερώ- σου ε αρκετό χρόνο εξετάζοντας τις παραγώγους συγκεκρι ένων συναρτήσεων. Πριν να αποδείξου ε τα σπουδαία θεωρητικά αποτελέσ ατα του Κεφαλαίου 11, θέλου ε να είναι κατανοητό το πώς οιάζει η παράγωγος ιας συνάρτησης. Το επό ενο κεφάλαιο αφιε- ρώνεται αποκλειστικά σε ια πλευρά αυτού του προβλή ατος —στον υπολογισ ό της παραγώγου πολύπλοκων συναρτήσεων. Σε αυτό το κεφάλαιο θα δώσου ε βάρος περισ- σότερο στις έννοιες παρά στους υπολογισ ούς, ελετώντας ερικά απλά παραδείγ ατα. Το απλούστερο από όλα είναι ια σταθερή συνάρτηση, f .x/ D c. Σε αυτήν την περί- πτωση lim h!0 f .a C h/ f .a/ h D lim h!0 c c h D 0: Άρα, η f είναι παραγωγίσι η στο a για κάθε αριθ ό a, και f 0 .a/ D 0. Αυτό ση αίνει ότι η εφαπτο ένη της γραφικής παράστασης της f έχει πάντα κλίση 0, άρα η εφαπτο ένη πάντα συ πίπτει ε τη γραφική παράσταση. Οι σταθερές συναρτήσεις δεν είναι οι όνες για τις οποίες η γραφική παράσταση συ πίπτει ε την εφαπτο ένη της σε κάθε ση είο —αυτό συ βαίνει για κάθε γρα ι- κή συνάρτηση f .x/ D cx C d. Πράγ ατι, f 0 .a/ D lim h!0 f .a C h/ f .a/ h D lim h!0 c.a C h/ C d Œca C d h D lim h!0 ch h D c· η κλίση της εφαπτο ένης είναι c, η ίδια ε την κλίση της γραφικής παράστασης της f .
- 153. 9. Παράγωγοι 139 Ηκατάσταση είναι διαφορετική αν f .x/ D x2 . Τότε, f 0 .a/ D lim h!0 f .a C h/ f .a/ h D lim h!0 .a C h/2 a2 h D lim h!0 a2 C 2ah C h2 a2 h D lim h!0 .2a C h/ D 2a: Μερικές από τις εφαπτό ενες στη γραφική παράσταση της f φαίνονται στο Σχή α 9. Σε αυτήν την εικόνα κάθε εφαπτο ένη φαίνεται να τέ νει τη γραφική παράσταση σε ένα όνο ση είο, και αυτό πορού ε να το ελέγξου ε πολύ εύκολα: Αφού η εφαπτο ένη στο .a; a2 / έχει κλίση 2a, είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g.x/ D 2a.x a/ C a2 D 2ax a2 : Τώρα, αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέ νονται σε ένα ση είο .x; f .x// D κλίση Σ Χ Η Μ Α 9 .x; g.x//, τότε x2 D 2ax a2 ή x2 2ax C a2 D 0· άρα .x a/2 D 0 ή x D a: Με άλλα λόγια, το .a; a2 / είναι το οναδικό ση είο το ής. Η συνάρτηση f .x/ D x2 οιάζει να αποτελεί εξαίρεση από αυτήν την άποψη· συνή- θως ια εφαπτο ένη τέ νει τη γραφική παράσταση περισσότερο από ία φορές. Ας πά- ρου ε, για παράδειγ α, τη συνάρτηση f .x/ D x3 . Σε αυτήν την περίπτωση f 0 .a/ D lim h!0 f .a C h/ f .a/ h D lim h!0 .a C h/3 a3 h D lim h!0 a3 C 3a2 h C 3ah2 C h3 a3 h D lim h!0 3a2 h C 3ah2 C h3 h D lim h!0 .3a2 C 3ah C h2 / D 3a2 : Άρα, η εφαπτο ένη της γραφικής παράστασης της f στο .a; a3 / έχει κλίση 3a2 . Αυτό ση αίνει ότι η εφαπτο ένη είναι η γραφική παράσταση της g.x/ D 3a2 .x a/ C a3 D 3a2 x 2a3 : Οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέ νονται στο ση είο .x; f .x// D .x; g.x// όταν x3 D 3a2 x 2a3 ή x3 3a2 x C 2a3 D 0:
- 154. 140 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα Αυτή η εξίσωση λύνεται εύκολα αν θυ ηθού ε ότι ια λύση της πρέπει να είναι το x D a, άρα το .x a/ πρέπει να είναι παράγοντας του αριστερού έλους· τότε, ο άλλος παρά- γοντας πορεί να βρεθεί ε διαίρεση. Παίρνου ε .x a/.x2 C ax 2a2 / D 0: Τυχαίνει το x a να είναι παράγοντας και του x2 C ax 2a2 · τελικά παίρνου ε .x a/.x a/.x C 2a/ D 0: Έτσι, όπως φαίνεται στο Σχή α 10, η εφαπτο ένη στο .a; a3 / τέ νει τη γραφική παρά- κλίση Σ Χ Η Μ Α 1 0 σταση και στο ση είο . 2a; 8a3 /. Αυτά τα δύο ση εία είναι πάντα διαφορετικά, εκτός αν a D 0. Έχου ε ήδη βρει την παράγωγο αρκετών συναρτήσεων για να παρουσιάσου ε τον κλασικό, και πολύ δη οφιλή ακό α και σή ερα, συ βολισ ό για τις παραγώγους. Για δοθείσα συνάρτηση f , η παράγωγος f 0 συ βολίζεται συχνά ε df .x/ dx : Για παράδειγ α, το σύ βολο dx2 dx συ βολίζει την παράγωγο της συνάρτησης f .x/ D x2 . Είναι περιττό να πού ε ότι τα διάφορα σύ βολα στην παράσταση df .x/ dx δεν έχουν κάποια ανεξάρτητη ση ασία το καθένα —τα d δεν είναι αριθ οί, δεν µπορούν να διαγραφούν, και αυτή καθ’ αυτή η παράσταση δεν είναι το πηλίκο δύο άλλων αριθ ών «df .x/» και «dx». Αυτός ο συ βολισ ός οφείλεται στον Leibniz (που γενικά θεωρεί- ται ότι συν-ανακάλυψε τον Απειροστικό Λογισ ό αζί ε τον Newton, ο ένας ανεξάρ- τητα από τον άλλον), και για συναισθη ατικούς λόγους αναφέρεται ως ο συ βολισ ός του Leibniz.* Αν και ο συ βολισ ός df .x/=dx οιάζει πολύπλοκος, σε συγκεκρι ένες περιπτώσεις ίσως είναι συντο ότερος· στο κάτω-κάτω, το σύ βολο dx2 =dx είναι σαφώς συντο ότερο από τη φράση «η παράγωγος της συνάρτησης f .x/ D x2 ». Οι παρακάτω τύποι δίνουν, ε τον συ βολισ ό του Leibniz, τα αποτελέσ ατα στα οποία έχου ε καταλήξει έως τώρα: dc dx D 0; d.ax C b/ dx D a; dx2 dx D 2x; dx3 dx D 3x2 : Αν και η ση ασία αυτών των τύπων είναι αρκετά σαφής, η προσπάθεια για ια κατά λέξη ερ ηνεία τους σκοντάφτει στην εύλογη αντίρρηση ότι ια εξίσωση δεν πορεί να περιέχει ια συνάρτηση στη ια πλευρά και έναν αριθ ό στην άλλη. Για παράδειγ α, αν θέλου ε η τρίτη εξίσωση να είναι σωστή, τότε ή το df .x/=dx πρέπει να συ βολίζει τον αριθ ό f 0 .x/, και όχι τη συνάρτηση f 0 , ή, αλλιώς, το 2x πρέπει να συ βολίζει όχι έναν *Ο Leibniz οδηγήθηκε σε αυτό το σύ βολο από τη διαισθητική του αντίληψη για την παράγωγο, την οποία θεωρούσε, όχι το όριο των πηλίκων Œf .x Ch/ f .x/=h, αλλά την «τι ή» αυτού του πηλίκου όταν ο h είναι ένας «απειροστός» αριθ ός. Αυτή η «απειροστή» ποσότητα συ βολιζόταν ε dx και η αντίστοιχη «απειροστή» διαφορά f .x C dx/ f .x/ ε df .x/. Αν και αυτή η άποψη είναι ασυ βίβαστη ε τις ιδιότητες (Ι1)–(Ι13) των πραγ ατικών αριθ ών, ερικοί άνθρωποι βρίσκουν αυτήν την έννοια της παραγώγου βολική.
- 155. 9. Παράγωγοι 141 αριθό, αλλά τη συνάρτηση που η τι ή της στο x είναι 2x. Είναι πραγ ατικά αδύνατο να ισχυριστεί κανείς ότι υπάρχει κάποια ένδειξη υπέρ της ιας ή της άλλης λύσης· στην πράξη, το df .x/=dx ερικές φορές συ βολίζει την f 0 και ερικές φορές το f 0 .x/, ενώ το 2x πορεί να ση αίνει είτε κάποιον αριθ ό είτε ια συνάρτηση. Εξ αιτίας αυτής της ασάφειας, οι περισσότεροι συγγραφείς είναι απρόθυ οι να χρησι οποιήσουν τον συ βο- λισ ό f 0 .a/ για το df .x/ dx .a/· αντί για αυτό, το f 0 .a/ συ βολίζεται συνήθως ε το βάρβαρο, αλλά σαφές, σύ βολο df .x/ dx ˇ ˇ ˇ ˇ xDa : Πέρα από αυτές τις δυσκολίες, ο συ βολισ ός του Leibniz ε πλέκεται σε ια ακό α ασά- φεια. Αν και ο συ βολισ ός dx2 =dx είναι τελείως αποδεκτός, το σύ βολο df .x/=dx αντικαθίσταται συχνά ε το df=dx. Αυτό βέβαια, οδηγεί στην πρακτική τού να συγχέει κανείς ια συνάρτηση ε την τι ή της στο x. Είναι τόσο ισχυρή αυτή η τάση, που πολλές φορές οι συναρτήσεις συνοδεύονται ε ια φράση του τύπου: «θεωρού ε τη συνάρτηση y D x2 ». Θα ακολουθήσου ε και ε είς κα ιά φορά την κλασική πρακτική τού να επε- κτείνου ε τη χρήση του y και ως όνο α συνάρτησης, αλλά θα εί αστε προσεκτικοί στη διάκριση ιας συνάρτησης από τις τι ές της —θα λέ ε δηλαδή πάντοτε κάτι σαν «θεω- ρού ε τη συνάρτηση (που ορίζεται από την) y.x/ D x2 .» Ο συ βολισ ός του Leibniz, παρά τις πολλές του ασάφειες, χρησι οποιείται σχε- δόν αποκλειστικά στα παλαιότερα αθη ατικά κεί ενα, και χρησι οποιείται πολύ συχνά ακό α και σή ερα. Οι πιο ε παθείς αντίπαλοι του συ βολισ ού του Leibniz παραδέχον- ται ότι θα χρησι οποιείται για αρκετό καιρό ακό α, ενώ οι πιο φλογεροί θαυ αστές του θα έλεγαν ότι θα ζει για πάντα, και ότι είναι ευχής έργον! Όπως και να έχει το πράγ α, ο συ βολισ ός του Leibniz δεν πορεί να αγνοηθεί εντελώς. Η πολιτική που υιοθετού ε σε αυτό το βιβλίο είναι να αποκλείσου ε τον συ βολι- σ ό του Leibniz από το κεί ενο, αλλά να τον συ περιλάβου ε στα Προβλή ατα· αρκετά κεφάλαια περιέχουν ερικά (α έσως αναγνωρίσι α) προβλή ατα που έχουν σχεδιαστεί ακριβώς για να τονίσουν τις ιδιοτροπίες του συ βολισ ού του Leibniz. Όντας πεπεισ έ- νοι ότι αυτά τα προβλή ατα προσφέρουν αρκετή εξάσκηση σε αυτόν τον συ βολισ ό, επιστρέφου ε στο κύριο έργο ας, να εξετάσου ε δηλαδή ερικά απλά παραδείγ ατα παραγώγων. Οι λιγοστές συναρτήσεις που έχου ε εξετάσει έως τώρα ήταν όλες παραγωγίσι ες. Για να εκτι ήσου ε πλήρως τη ση ασία της παραγώγου, είναι εξίσου ση αντικό να γνω- ρίζου ε ερικά παραδείγ ατα συναρτήσεων που δεν είναι παραγωγίσι ες. Οι προφανείς υποψήφιοι είναι οι τρεις συναρτήσεις που πρώτες συζητήθηκαν σε αυτό το κεφάλαιο, και απεικονίζονται στο Σχή α 1· αν τελικά αποδειχθούν παραγωγίσι ες στο 0, κάτι θα έχει σίγουρα πάει στραβά. Ας δού ε πρώτα την f .x/ D jxj. Σε αυτήν την περίπτωση f .0 C h/ f .0/ h D jhj h : Τώρα jhj=h D 1 για h 0, και jhj=h D 1 για h 0. Αυτό αποδεικνύει ότι το lim h!0 f .h/ f .0/ h δεν υπάρχει. Στην πραγ ατικότητα, lim h!0C f .h/ f .0/ h D 1 και lim h!0 f .h/ f .0/ h D 1:
- 156. 142 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα (Αυτά τα δύο όρια λέγονται ερικές φορές η δεξιά παράγωγος και η αριστερή παράγω- γος, αντίστοιχα, της f στο 0.) Αν a ¤ 0, τότε η f 0 .a/ υπάρχει. Και άλιστα, f 0 .x/ D 1 αν x 0; f 0 .x/ D 1 αν x 0: Η απόδειξη αυτού του πράγ ατος αφήνεται σε σας (είναι εύκολη αν θυ άστε την παρά- γωγο ιας γρα ικής συνάρτησης). Οι γραφικές παραστάσεις των f και f 0 φαίνονται στο Σχή α 11. Σ Χ Η Μ Α 1 1 Για τη συνάρτηση f .x/ D x2 ; x 0 x; x 0; ε φανίζεται ια παρό οια δυσκολία όσον αφορά στην f 0 .0/. Έχου ε f .h/ f .0/ h D 8 ˆˆ ˆˆ: h2 h D h; h 0 h h D 1; h 0: Επο ένως, lim h!0 f .h/ f .0/ h D 0; αλλά lim h!0C f .h/ f .0/ h D 1: Άρα η f 0 .0/ δεν υπάρχει· η f δεν είναι παραγωγίσι η στο 0. Και πάλι, ό ως, η f 0 .x/ υπάρχει για x ¤ 0 —είναι εύκολο να δού ε ότι f 0 .x/ D 2x; x 0 1; x 0: Οι γραφικές παραστάσεις των f και f 0 φαίνονται στο Σχή α 12. Σ Χ Η Μ Α 1 2 Τα πράγ ατα είναι ακό α χειρότερα ε την f .x/ D p jxj. Για αυτήν τη συνάρτηση f .h/ f .0/ h D 8 ˆˆˆ ˆˆˆ: p h h D 1 p h ; h 0 p h h D 1 p h ; h 0: Σε αυτήν την περίπτωση, το από δεξιά όριο lim h!0C f .h/ f .0/ h D lim h!0C 1 p h δεν υπάρχει· αντίθετα, το 1= p h γίνεται οσοδήποτε εγάλο καθώς το h τείνει στο 0. Και, ακό α χειρότερα, το 1= p h γίνεται οσοδήποτε εγάλο κατ’ απόλυτη τι ή, αλλά αρνη- τικό (Σχή α 13). Σ Χ Η Μ Α 1 3 Η συνάρτηση f .x/ D 3 p x, αν και δεν είναι παραγωγίσι η στο 0, συ περιφέρεται τουλάχιστον κάπως καλύτερα από την προηγού ενη. Το πηλίκο f .h/ f .0/ h D 3 p h h D h1=3 h D 1 h2=3 D 1 3 p h 2 απλώς γίνεται οσοδήποτε εγάλο καθώς το h τείνει στο 0. Λέ ε ερικές φορές ότι η f έχει «άπειρη» παράγωγο στο 0. Γεω ετρικά, αυτό ση αίνει ότι η γραφική παράσταση
- 157. 9. Παράγωγοι 143 τηςf έχει ια «εφαπτο ένη που είναι παράλληλη στον κατακόρυφο άξονα» (Σχή α 14). Φυσικά, η f .x/ D 3 p x έχει την ίδια γεω ετρική ιδιότητα, αλλά θα λέγα ε ότι η f έχει παράγωγο «αρνητικά άπειρη» στο 0. Θυ ηθείτε ότι η παραγωγισι ότητα υποτίθεται ότι είναι ια βελτίωση σε σχέση ε την απλή συνέχεια. Αυτή η άποψη ενισχύεται από τα τόσα παραδείγ ατα συναρτήσεων που είναι συνεχείς αλλά όχι παραγωγίσι ες· ένει ό ως ένα ση αντικό ση είο που πρέπει να αναφερθεί: ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Αν η f είναι παραγωγίσι η στο a, τότε η f είναι συνεχής στο a. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ lim h!0 f .a C h/ f .a/ D lim h!0 f .a C h/ f .a/ h h D lim h!0 f .a C h/ f .a/ h lim h!0 h D f 0 .a/ 0 D 0: Όπως ση ειώσα ε στο Κεφάλαιο 5, η ισότητα lim h!0 .f .aCh/ f .a// D 0 είναι ισοδύνα η Σ Χ Η Μ Α 1 4 ε την lim x!a f .x/ D f .a/· άρα η f είναι συνεχής στο a. Είναι πολύ ση αντικό να θυ άται κανείς το Θεώρη α 1, και εξίσου ση αντικό να θυ άται ότι το αντίστροφο δεν ισχύει. Μια παραγωγίσι η συνάρτηση είναι συνεχής, αλλά ια συνεχής συνάρτηση πορεί να ην είναι παραγωγίσι η (έχετε στο νου σας τη συνάρ- τηση f .x/ D jxj, και δεν θα ξεχάσετε ποτέ ποια από τις δύο προτάσεις είναι αληθής και ποια όχι). Σ Χ Η Μ Α 1 5 Οι συνεχείς συναρτήσεις που εξετάσα ε έχρι τώρα ήταν παραγωγίσι ες σε όλα τα ση εία ε ία το πολύ εξαίρεση, αλλά είναι εύκολο να δώσου ε παραδείγ ατα συνε- χών συναρτήσεων που δεν παραγωγίζονται σε πολλά ση εία, ακό α και απείρου πλή- θους (Σχή α 15). Στην πραγ ατικότητα, πορεί κανείς να πετύχει κάτι ακό α χειρότερο από αυτό. Υπάρχει ια συνάρτηση που είναι παντού συνεχής και πουθενά παραγωγίσιµη! ∆υστυχώς, δεν είναι δυνατόν να δώσου ε τον ορισ ό αυτής της συνάρτησης πριν να φτά- σου ε στο Κεφάλαιο 24, και δεν τα κατάφερα να πείσω τον σχεδιαστή να τη ζωγραφίσει (σκεφτείτε προσεκτικά πώς θα έπρεπε να είναι η γραφική παράσταση και θα συ ερι- στείτε την άποψή του). Είναι ό ως δυνατόν να σχεδιάσου ε κάποιες αδρές προσεγγίσεις της γραφικής της παράστασης· οι πρώτες, όλο και πιο ολοκληρω ένες προσεγγίσεις, φαί- νονται στο Σχή α 16.
- 158. 144 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα (α) (β) (γ) (δ) Σ Χ Η Μ Α 1 6 Παρ’ όλο που πρέπει να αναβάλου ε αυτά τα θεα ατικά παραδείγ ατα η παραγωγι- σι ότητας, πορού ε, ε κάποια ευστροφία, να βρού ε ια συνεχή συνάρτηση που δεν είναι παραγωγίσι η σε άπειρα ση εία, που όλα βρίσκονται στο Œ0; 1. Μια τέτοια συνάρ- τηση φαίνεται στο Σχή α 17. Αφήνου ε ως άσκηση για τον αναγνώστη τον ακριβή της ορισ ό· είναι ια «γρα ική» εκδοχή της συνάρτησης f .x/ D 8 : x sin 1 x ; x ¤ 0 0; x D 0: Αυτή η συγκεκρι ένη συνάρτηση f είναι από όνη της αρκετά χαρακτηριστική όσον Σ Χ Η Μ Α 1 7 αφορά στο πρόβλη α της παραγωγισι ότητας. Πράγ ατι, για h ¤ 0 έχου ε f .h/ f .0/ h D h sin 1 h 0 h D sin 1 h : Έχου ε ήδη αποδείξει ότι το lim h!0 sin 1=h δεν υπάρχει, άρα η f δεν είναι παραγωγίσι η στο 0. Γεω ετρικά, πορεί να δει κανείς ότι δεν είναι δυνατόν να υπάρχει εφαπτο ένη, παρατηρώντας ότι η τέ νουσα που περνά από τα .0; 0/ και .h; f .h// στο Σχή α 18 πορεί να έχει οποιαδήποτε κλίση εταξύ του 1 και του 1, οσοδήποτε ικρό και αν απαιτήσου ε να είναι το h.
- 159. 9. Παράγωγοι 145 ΣΧ Η Μ Α 1 8 Αυτή η ανακάλυψη αποτελεί θρία βο κατά κάποιον τρόπο: αν και συνεχής, η συνάρ- τηση f φαίνεται αρκετά περίεργη, και πορού ε τώρα να αναφέρου ε ένα από αθη α- τική άποψη ανεπιθύ ητο χαρακτηριστικό της —δεν είναι παραγωγίσι η στο 0. ∆εν θα έπρεπε ό ως να γίνου ε θαυ αστές του κριτηρίου της παραγωγισι ότητας. Για παρά- δειγ α, η συνάρτηση g.x/ D 8 : x2 sin 1 x ; x ¤ 0 0; x D 0 είναι παραγωγίσι η στο 0· πράγ ατι g0 .0/ D 0: lim h!0 g.h/ g.0/ h D lim h!0 h2 sin 1 h h D lim h!0 h sin 1 h D 0: Η εφαπτο ένη στη γραφική παράσταση της g από το .0; 0/ είναι επο ένως ο οριζόντιος άξονας (Σχή α 19). Από αυτό το παράδειγ α φαίνεται ότι θα έπρεπε να ζητά ε ακό α πιο περιοριστικές συνθήκες για ια συνάρτηση από την απλή παραγωγισι ότητα. Μπορού ε πράγ ατι να χρησι οποιήσου ε την παράγωγο για να διατυπώσου ε τέτοιες συνθήκες, αν εισάγου ε ερικούς ορισ ούς ακό α, τους τελευταίους αυτού του κεφαλαίου. Σ Χ Η Μ Α 1 9 Για κάθε συνάρτηση f , παίρνου ε, ε την παράγωγο, ια νέα συνάρτηση f 0 (που το πεδίο ορισ ού της ίσως είναι αρκετά ικρότερο από αυτό της f ). Η έννοια της παραγω- γισι ότητας πορεί βέβαια να εφαρ οστεί στη συνάρτηση f 0 , δίνοντας ια άλλη συνάρ- τηση .f 0 /0 , που το πεδίο ορισ ού της αποτελείται από όλα τα ση εία a για τα οποία η f 0 είναι παραγωγίσι η στο a. Η συνάρτηση .f 0 /0 γράφεται συνήθως πιο απλά f 00 και
- 160. 146 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα λέγεται η δεύτερη παράγωγος της f . Αν υπάρχει το f 00 .a/, τότε λέ ε ότι η f είναι δυο φορές παραγωγίσι η στο a, και ο αριθ ός f 00 .a/ λέγεται η δεύτερη παράγωγος της f στο a. Στη Φυσική η δεύτερη παράγωγος είναι πολύ ση αντική. Αν s.t/ είναι η θέση, τη χρονική στιγ ή t, ενός σώ ατος που κινείται πάνω σε ια ευθεία γρα ή, τότε η s00 .t/ είναι η επιτάχυνση τη χρονική στιγ ή t. Η επιτάχυνση παίζει έναν ειδικό ρόλο στη Φυσι- κή, γιατί, όπως διατυπώνεται στους νό ους του Νεύτωνα, η δύνα η που ασκείται σε ένα σω ατίδιο είναι το γινό ενο της άζας επί την επιτάχυνσή του. Επο ένως, όταν κάθεται κάποιος σε ένα αυτοκίνητο που επιταχύνει, αισθάνεται τη δεύτερη παράγωγο. ∆εν υπάρχει κανένας λόγος να στα ατήσου ε στη δεύτερη παράγωγο — πορού ε να ορίσου ε τις f 000 D .f 00 /0 , f 0000 D .f 000 /0 , κτλ. Αυτός ο συ βολισ ός σύντο α γίνεται δύ- σχρηστος, για αυτό συνήθως υιοθετού ε την ακόλουθη σύντ ηση (στην πραγ ατικότητα είναι ένας αναδρο ικός ορισ ός). f .1/ D f 0 ; f .kC1/ D .f .k/ /0 : Άρα f .1/ D f 0 f .2/ D f 00 D .f 0 /0 ; f .3/ D f 000 D .f 00 /0 ; f .4/ D f 0000 D .f 000 /0 ; κτλ. Οι διάφορες συναρτήσεις f .k/ , για k 2, λέγονται ερικές φορές οι εγαλύτερης τάξης παράγωγοι της f . Συνήθως, καταφεύγου ε στο σύ βολο f .k/ όνο για k 4, αλλά είναι βολικό να ορίσου ε την f .k/ και για ικρότερα k. Μπορού ε να δώσου ε έναν λογικό ορισ ό και για την f .0/ , συγκεκρι ένα, f .0/ D f: Πρέπει να αναφέρου ε και τον συ βολισ ό του Leibniz για εγαλύτερης τάξης παρα- γώγους. Το φυσιολογικό σύ βολο του Leibniz για το f 00 .x/, δηλαδή d df .x/ dx dx ; συντο εύεται σε d2 f .x/ .dx/2 ; ή πιο συχνά σε d2 f .x/ dx2 Παρό οιος συ βολισ ός χρησι οποιείται για το f .k/ .x/. Το επό ενο παράδειγ α παρουσιάζει τον συ βολισ ό f .k/ και δείχνει, σε ια πολύ (α) (β) (γ) (δ) Σ Χ Η Μ Α 2 0 απλή περίπτωση, τον τρόπο ε τον οποίο οι διάφορες εγαλύτερης τάξης παράγωγοι σχε- τίζονται ε την αρχική συνάρτηση. Έστω f .x/ D x2 . Τότε, όπως έχου ε ήδη επαληθεύ- σει, f 0 .x/ D 2x; f 00 .x/ D 2; f 000 .x/ D 0; f .k/ .x/ D 0; αν k 3: Το Σχή α 20 δείχνει τη συνάρτηση f , αζί ε τις διάφορες παραγώγους της.
- 161. 9. Παράγωγοι 147 Έναάλλον πιο διαφωτιστικό παράδειγ α δίνεται από την ακόλουθη συνάρτηση, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο Σχή α 21(α): f .x/ D x2 ; x 0 x2 ; x 0: Είναι εύκολο να δει κανείς ότι f 0 .a/ D 2a αν a 0; f 0 .a/ D 2a αν a 0: Επίσης, f 0 .0/ D lim h!0 f .h/ f .0/ h D lim h!0 f .h/ h : Τώρα lim h!0C f .h/ h D lim h!0C h2 h D 0 και lim h!0 f .h/ h D lim h!0 h2 h D 0; άρα (α) (β) (γ) Σ Χ Η Μ Α 2 1 f 0 .0/ D lim h!0 f .h/ h D 0: Όλες οι παραπάνω πληροφορίες πορούν να συνοψιστούν στην ακόλουθη: f 0 .x/ D 2jxj: Έπεται ότι η f 00 .0/ δεν υπάρχει! Άρα η ύπαρξη της δεύτερης παραγώγου είναι από τα ισχυρά κριτήρια που πορεί να ικανοποιεί ια συνάρτηση. Ακό α και ια «ο αλή στην όψη» συνάρτηση f πορεί να ε φανίσει ανω αλίες αν την εξετάσου ε ως προς τη δεύ- τερη παράγωγο. Αυτό ας δίνει την ιδέα να αναζητήσου ε τυχόν ανώ αλη συ περιφορά της συνάρτησης g.x/ D 8 : x2 sin 1 x ; x ¤ 0 0; x D 0 στη δεύτερη παράγωγο. Προς το παρόν, ξέρου ε ότι g0 .0/ D 0, αλλά δεν ξέρου ε την g0 .a/ για κανένα a ¤ 0, άρα δεν εί αστε σε θέση να υπολογίσου ε την g00 .0/. Θα επι- στρέψου ε σε αυτό το πρόβλη α προς το τέλος του επο ένου κεφαλαίου, όταν θα έχου ε τελειοποιήσει την τεχνική ας για τον υπολογισ ό παραγώγων. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. (α) Αποδείξτε, δουλεύοντας ε βάση τον ίδιο τον ορισ ό, ότι, αν f .x/ D 1=x, τότε f 0 .a/ D 1=a2 , για a ¤ 0. (β) Αποδείξτε ότι η εφαπτο ένη της γραφικής παράστασης της f στο .a; 1=a/ δεν τέ νει τη γραφική παράσταση της f , παρά όνο στο .a; 1=a/. 2. (α) Αποδείξτε ότι, αν f .x/ D 1=x2 , τότε f 0 .a/ D 2=a3 για a ¤ 0. (β) Αποδείξτε ότι η εφαπτο ένη στην f στο .a; 1=a2 / τέ νει την f και σε ένα άλλο ση είο, που βρίσκεται στην αντίθετη πλευρά του κατακόρυφου άξονα.
- 162. 148 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα 3. Αποδείξτε ότι, αν f .x/ D p x, τότε f 0 .a/ D 1=.2 p a/, για a 0. (Η παράσταση που θα πάρετε για το Œf .a C h/ f .a/=h ίσως χρειαστεί κάποια αλγεβρική περι- ποίηση, αλλά η απάντηση θα πρέπει να σας οδηγήσει στο κατάλληλο τέχνασ α.) 4. Για κάθε φυσικό αριθ ό n, θέτου ε Sn.x/ D xn . Φέρνοντας στο υαλό σας ότι S1 0 .x/ D 1, S2 0 .x/ D 2x και S3 0 .x/ D 3x2 , αντέψτε τον τύπο για την Sn 0 .x/. Αποδείξτε την εικασία σας. (Μπορείτε να αναπτύξετε την παράσταση .xCh/n από το διωνυ ικό θεώρη α.) 5. Βρείτε την f 0 αν f .x/ D Œx. 6. Αποδείξτε, ξεκινώντας από τον ορισ ό (και κάνοντας ένα σχή α για να εξηγήσετε), ότι: (α) αν g.x/ D f .x/ C c; τότε g0 .x/ D f 0 .x/· (β) αν g.x/ D cf .x/; τότε g0 .x/ D cf 0 .x/. 7. Υποθέτου ε ότι f .x/ D x3 . (α) Ποια είναι η f 0 .9/, f 0 .25/, f 0 .36/; (β) Ποια είναι η f 0 .32 /, f 0 .52 /, f 0 .62 /; (γ) Ποια είναι η f 0 .a2 /, f 0 .x2 /; Αν δεν βρείτε αυτό το πρόβλη α ανόητο, σας λείπει ένα πολύ ση αντικό ση είο: η f 0 .x2 / είναι η παράγωγος της f στον αριθ ό που τυχαίνει να αποκαλού ε x2 · δεν είναι η παράγωγος στο x της συνάρτησης g.x/ D f .x2 /. Για να ξεκαθαρίσουν τα πράγ ατα: (δ) Για την f .x/ D x3 , συγκρίνετε την f 0 .x2 / ε την g0 .x/ όπου g.x/ D f .x2 /. 8. (α) Έστω ότι g.x/ D f .x C c/. Αποδείξτε (αρχίζοντας από τον ορισ ό) ότι g0 .x/ D f 0 .x C c/. Σχεδιάστε ένα σχή α για να εξηγήσετε. Για να λύσετε αυτό το πρόβλη α, πρέπει να γράψετε σωστά τους ορισ ούς των g0 .x/ και f 0 .x C c/. Ο σκοπός του Προβλή ατος 7 ήταν να σας πείσει πως, αν και αυτό το πρόβλη α είναι εύκολο, δεν είναι τελείως τετρι ένο, και υπάρχει κάτι για να αποδείξετε: δεν πορείτε απλώς να βάλετε τόνους στην ισότητα g.x/ D f .x C c/. Για να τονίσου ε αυτό το ση είο: (β) Αποδείξτε ότι αν g.x/ D f .cx/, τότε g0 .x/ D c f 0 .cx/. Προσπαθήστε να δείτε τι ση αίνει αυτό σε ένα σχή α. (γ) Υποθέτου ε ότι η f είναι παραγωγίσι η και περιοδική, ε περίοδο a (δηλαδή, f .x C a/ D f .x/ για κάθε x). Αποδείξτε ότι η f 0 είναι επίσης περιοδική. 9. Βρείτε την f 0 .x/ καθώς και την f 0 .x C 3/ στις παρακάτω περιπτώσεις. Να είστε πολύ εθοδικοί, αλλιώς ενδέχεται να κάνετε λάθος. Συ βουλευτείτε τις απαντήσεις (αφού, βέβαια, λύσετε το πρόβλη α). (i) f .x/ D .x C 3/5 . (ii) f .x C 3/ D x5 . (iii) f .x C 3/ D .x C 5/7 . 10. Βρείτε την f 0 .x/ όταν f .x/ D g.t Cx/, και όταν f .t/ D g.t Cx/. Οι απαντήσεις δεν θα είναι ίδιες. 11. (α) Αποδείξτε ότι ο Γαλιλαίος έκανε λάθος: αν ένα σώ α πέφτει σε απόσταση s.t/ σε t δευτερόλεπτα, και η s0 είναι ανάλογη ε την s, τότε η s δεν πορεί να είναι συνάρτηση της ορφής s.t/ D ct2 .
- 163. 9. Παράγωγοι 149 (β)Αποδείξτε ότι, αν s.t/ D .a=2/t2 , τότε για την s ισχύουν τα ακόλουθα: (το πρώτο θα δείξει γιατί αλλάξα ε το c σε a=2/: (i) s00 .t/ D a (η επιτάχυνση είναι σταθερή). (ii) Œs0 .t/2 D 2as.t/. (γ) Όταν ετρά ε το s σε πόδια, η τι ή του a είναι 32. Πόσα δευτερόλεπτα έχετε στη διάθεσή σας για να φύγετε από τον δρό ο ενός πολυελαίου που πέφτει από ένα ταβάνι ύψους 400 ποδιών; Αν δεν τα καταφέρετε, πόσο γρήγορα θα κινείται ο πολυέλαιος όταν θα σας χτυπήσει; Σε ποιο ση είο βρισκόταν ο πολυέλαιος όταν είχε τη ισή από αυτήν την ταχύτητα; 12. Φανταστείτε έναν δρό ο στον οποίο το όριο ταχύτητας καθορίζεται σε κάθε ση είο. Με άλλα λόγια, υπάρχει κάποια συνάρτηση L τέτοια ώστε το όριο ταχύτητας στα x ίλια από την αρχή του δρό ου να είναι L.x/. ∆ύο αυτοκίνητα, A και B, κινούνται σε αυτόν τον δρό ο· τη χρονική στιγ ή t η θέση του A είναι a.t/ και η θέση του B είναι b.t/. (α) Ποια εξίσωση περιγράφει το γεγονός ότι το αυτοκίνητο A κινείται συνεχώς ε το όριο ταχύτητας; (Η απάντηση δεν είναι a0 .t/ D L.t/.) (β) Έστω ότι το A πηγαίνει συνεχώς ε το όριο ταχύτητας, και ότι η θέση του B τη χρονική στιγ ή t είναι η θέση του A τη χρονική στιγ ή t 1. ∆είξτε ότι και το B κινείται διαρκώς ε το όριο ταχύτητας. (γ) Έστω ότι το B βρίσκεται συνέχεια πίσω από το A σε σταθερή απόσταση από αυτό. Κάτω από ποιες συνθήκες το B θα κινείται και τώρα ε το όριο ταχύ- τητας; 13. Έστω ότι f .a/ D g.a/ και ότι η αριστερή παράγωγος της f στο a είναι ίση ε τη δεξιά παράγωγο της g στο a. Ορίζου ε h.x/ D f .x/ για x a, και h.x/ D g.x/ για x a. Αποδείξτε ότι η h είναι παραγωγίσι η στο a. 14. Θέτου ε f .x/ D x2 αν ο x είναι ρητός, και f .x/ D 0 αν ο x είναι άρρητος. Αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσι η στο 0. (Μη σας τρο άζει αυτή η συνάρτηση. Απλώς γράψτε τον ορισ ό της f 0 .0/:/ 15. (α) Έστω f ια συνάρτηση τέτοια ώστε jf .x/j x2 για κάθε x. Αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσι η στο 0. (Αν έχετε λύσει το Πρόβλη α 14 θα πρέπει να πορείτε να λύσετε και αυτό.) (β) Αυτό το αποτέλεσ α γενικεύεται αν αντικαταστήσου ε τη x2 ε jg.x/j, όπου η g πρέπει να έχει ποια ιδιότητα; 16. Έστω ˛ 1. Αν η f ικανοποιεί την jf .x/j jxj˛ , αποδείξτε ότι η f παραγωγί- ζεται στο 0. 17. Έστω 0 ˇ 1. Αποδείξτε ότι αν η f ικανοποιεί την jf .x/j jxjˇ και f .0/ D 0, τότε η f δεν παραγωγίζεται στο 0. 18. Θέτου ε f .x/ D 0 για άρρητο x, και 1=q για x D p=q όπου το p=q είναι ανάγωγο. Αποδείξτε ότι η f δεν παραγωγίζεται στο a για κανένα a. Υπόδειξη: Προφανώς αρκεί να το αποδείξου ε για άρρητο a. Γιατί; Αν a D m; a1a2a3 : : : είναι το δεκαδικό ανάπτυγ α του a, θεωρήστε το Œf .a C h/ f .a/=h για h ρητό, καθώς και για h D 0; 00 : : : 0anC1anC2 : : : : 19. (α) Έστω ότι f .a/ D g.a/ D h.a/, ότι f .x/ g.x/ h.x/ για κάθε x, και ότι f 0 .a/ D h0 .a/. Αποδείξτε ότι η g παραγωγίζεται στο a, και ότι f 0 .a/ D g0 .a/ D h0 .a/. (Ξεκινήστε ε τον ορισ ό της g0 .a/.)
- 164. 150 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα (β) ∆είξτε ότι το συ πέρασ α δεν ισχύει αν παραλείψου ε την υπόθεση f .a/ D g.a/ D h.a/. 20. Έστω f ια πολυωνυ ική συνάρτηση· θα δού ε στο επό ενο κεφάλαιο ότι η f είναι παραγωγίσι η. Η εφαπτο ένη στην f στο .a; f .a// είναι η γραφική παρά- σταση της g.x/ D f 0 .a/.x a/ C f .a/. Έτσι η f .x/ g.x/ είναι η πολυωνυ ική συνάρτηση d.x/ D f .x/ f 0 .a/.x a/ f .a/. Έχου ε ήδη δει ότι αν f .x/ D x2 , τότε d.x/ D .x a/2 , και αν f .x/ D x3 , τότε d.x/ D .x a/2 .x C 2a/. (α) Βρείτε την d.x/ όταν f .x/ D x4 και δείξτε ότι διαιρείται ε .x a/2 . (β) Από ό,τι φαίνεται υπάρχουν αρκετές ενδείξεις ότι η d.x/ διαιρείται πάντοτε ε .x a/2 . Το Σχή α 22 ας δίνει ια διαισθητική απόδειξη: συνήθως, οι ευθείες οι παράλληλες ε την εφαπτό ενη θα τέ νουν τη γραφική παράσταση σε δύο ση εία· η εφαπτο ένη τέ νει τη γραφική παράσταση όνο ία φορά κοντά στο ση είο, άρα αυτή η το ή θα πρέπει να είναι «διπλή το ή». Για να δώσετε ια αυστηρή απόδειξη, ση ειώστε πρώτα ότι d.x/ x a D f .x/ f .a/ x a f 0 .a/: Τώρα απαντήστε στις εξής ερωτήσεις. Γιατί το f .x/ f .a/ διαιρείται ε Σ Χ Η Μ Α 2 2 .x a/; Γιατί υπάρχει ια πολυωνυ ική συνάρτηση h τέτοια ώστε h.x/ D d.x/=.x a/ για x ¤ a; Γιατί είναι lim x!a h.x/ D 0; Γιατί είναι h.a/ D 0; Γιατί αυτό λύνει το πρόβλη α; 21. (α) ∆είξτε ότι f 0 .a/ D lim x!a Œf .x/ f .a/=.x a/. (∆εν υπάρχει τίποτα το βαθύ εδώ.) (β) Αποδείξτε ότι η παράγωγος είναι «τοπική ιδιότητα»: αν f .x/ D g.x/ για κάθε x σε ένα ανοικτό διάστη α που περιέχει το a, τότε f 0 .a/ D g0 .a/. (Αυτό ση αίνει ότι για τον υπολογισ ό της f 0 .a/, πορείτε να αγνοήσετε το f .x/ για κάθε συγκεκρι ένο x ¤ a. Φυσικά δεν πορείτε να αγνοήσετε το f .x/ για όλα αυτά τα x ταυτόχρονα!) 22. (α) Έστω ότι η f παραγωγίζεται στο x. Αποδείξτε ότι f 0 .x/ D lim h!0 f .x C h/ f .x h/ 2h : Υπόδειξη: Θυ ηθείτε ένα παλιό αλγεβρικό τέχνασ α —ένας αριθ ός δεν εταβάλλεται αν του προσθέσου ε και του αφαιρέσου ε την ίδια ποσότητα. (β) Αποδείξτε, πιο γενικά, ότι f 0 .x/ D lim h;k!0C f .x C h/ f .x k/ h C k : Παρ’ όλο που δεν έχου ε συναντήσει κάτι σαν το lim h;k!0 έχρι τώρα, θα πρέπει να είναι ξεκάθαρο τι ση αίνει και θα πρέπει να είστε σε θέση να φτιάξετε έναν κατάλληλο -ı ορισ ό. Το ση αντικό εδώ είναι πως έχου ε lim h;k!0C , επο ένως θεωρού ε όνο θετικά h και k. 23. Αποδείξτε ότι αν η f είναι άρτια, τότε f 0 .x/ D f 0 . x/. (Για να περιορίσετε τη σύγχυση, θέστε g.x/ D f . x/· βρείτε την g0 .x/ και µετά θυ ηθείτε τι άλλο πράγ α είναι η g.) Κάντε ένα σχή α! 24. Αποδείξτε ότι αν η f είναι περιττή, τότε f 0 .x/ D f 0 . x/. Και πάλι, κάντε ένα σχή α.
- 165. 9. Παράγωγοι 151 25.Τα Προβλή ατα 23 και 24 λένε ότι η f 0 είναι άρτια αν η f είναι περιττή, και περιττή αν η f είναι άρτια. Τί πορού ε λοιπόν να πού ε για την f .k/ ; 26. Βρείτε την f 00 .x/ αν (i) f .x/ D x3 . (ii) f .x/ D x5 . (iii) f 0 .x/ D x4 . (iv) f .x C 3/ D x5 . 27. Αν Sn.x/ D xn , και 0 k n, αποδείξτε ότι Sn .k/ .x/ D nŠ .n k/Š xn k D kŠ n k ! xn k : 28. (α) Βρείτε την f 0 .x/ αν f .x/ D jxj3 . Βρείτε την f 00 .x/. Υπάρχει η f 000 .x/ για κάθε x; (β) Αναλύστε ό οια την f αν f .x/ D x4 για x 0 και f .x/ D x4 για x 0. 29. Θέτου ε f .x/ D xn για x 0 και f .x/ D 0 για x 0. Αποδείξτε ότι η f .n 1/ υπάρχει (και βρείτε έναν τύπο για αυτήν), αλλά ότι η f .n/ .0/ δεν υπάρχει. 30. Ερ ηνεύστε τα παρακάτω δείγ ατα συ βολισ ού του Leibniz· καθένα είναι ια αναδιατύπωση κάποιου στοιχείου που ε φανίστηκε σε προηγού ενο πρόβλη α. (i) dxn dx D nxn 1 . (ii) d´ dy D 1 y2 αν ´ D 1 y . (iii) dŒf .x/ C c dx D df .x/ dx . (iv) dŒcf .x/ dx D c df .x/ dx . (v) d´ dx D dy dx αν ´ D y C c. (vi) dx3 dx ˇ ˇ ˇ ˇ xDa2 D 3a4 . (vii) df .x C a/ dx ˇ ˇ ˇ ˇ xDb D df .x/ dx ˇ ˇ ˇ ˇ xDbCa . (viii) df .cx/ dx ˇ ˇ ˇ ˇ xDb D c df .x/ dx ˇ ˇ ˇ ˇ xDcb . (ix) df .cx/ dx D c df .y/ dy ˇ ˇ ˇ ˇ yDcx . (x) dk xn dxk D kŠ n k ! xn k .
- 166. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Ηδιαδικασία που ακολουθού ε για να βρού ε την παράγωγο ιας συνάρτησης λέγεται παραγώγιση. Ίσως από το προηγού ενο κεφάλαιο να δη ιουργήθηκε η εντύπωση ότι αυτή η διαδικασία συνήθως είναι επίπονη, ότι πρέπει κάθε φορά να επικαλεστού ε τον ορισ ό της παραγώγου και να καταφέρου ε να υπολογίσου ε κάποιο όριο. Είναι αλήθεια ότι ερικές φορές αυτή είναι η όνη δυνατή προσέγγιση —αν ξεχάσει κανείς τον ορισ ό της παραγώγου είναι πολύ πιθανό να πελαγοδρο ήσει. Παρ’ όλα αυτά, σε αυτό το κεφάλαιο θα άθου ε να παραγωγίζου ε έναν εγάλο αριθ ό συναρτήσεων, χωρίς να χρειαστεί καν να ανατρέξου ε στον ορισ ό. Μερικά θεωρή ατα θα ας εφοδιάσουν ε ια ηχα- νική διαδικασία για να παραγωγίζου ε ια εγάλη κλάση συναρτήσεων, που προκύπτουν από λίγες απλές συναρτήσεις ε τις πράξεις της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασ ού, της διαίρεσης και της σύνθεσης. Αυτή η περιγραφή δείχνει ποια περίπου είναι τα θεωρή ατα που θα αποδείξου ε. Πρώτα θα βρού ε την παράγωγο ερικών απλών συναρτήσεων, και ετά θα αποδείξου ε θεωρή ατα για το άθροισ α, το γινό ενο, το πηλίκο και τη σύνθεση παραγωγίσι ων συναρτήσεων. Το πρώτο θεώρη α είναι απλώς ια τυπική επανάληψη ενός υπολογισ ού που κάνα ε στο προηγού ενο κεφάλαιο. ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Αν f είναι ια σταθερή συνάρτηση, f .x/ D c, τότε f 0 .a/ D 0 για κάθε αριθ ό a: ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ f 0 .a/ D lim h!0 f .a C h/ f .a/ h D lim h!0 c c h D 0: Το δεύτερο θεώρη α είναι και αυτό ια ειδική περίπτωση ενός υπολογισ ού από το προηγού ενο κεφάλαιο. ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Αν f είναι η ταυτοτική συνάρτηση, f .x/ D x, τότε f 0 .a/ D 1 για κάθε αριθ ό a: ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ f 0 .a/ D lim h!0 f .a C h/ f .a/ h D lim h!0 a C h a h D lim h!0 h h D 1: Η παράγωγος του αθροίσ ατος δύο συναρτήσεων είναι ακριβώς αυτό που θα ήλπιζε κανείς —το άθροισ α των παραγώγων. ΘΕΩΡΗΜΑ 3 Αν οι f και g είναι παραγωγίσι ες στο a, τότε η f C g είναι επίσης παραγωγίσι η στο a, και .f C g/0 .a/ D f 0 .a/ C g0 .a/: 152
- 167. 10. Παραγώγιση 153 ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ.f C g/0 .a/ D lim h!0 .f C g/.a C h/ .f C g/.a/ h D lim h!0 f .a C h/ C g.a C h/ Œf .a/ C g.a/ h D lim h!0 f .a C h/ f .a/ h C g.a C h/ g.a/ h D lim h!0 f .a C h/ f .a/ h C lim h!0 g.a C h/ g.a/ h D f 0 .a/ C g0 .a/: Ο τύπος για την παράγωγο γινο ένου δεν είναι τόσο απλός όσο θα ευχόταν κανείς, είναι ό ως εξαιρετικά συ ετρικός, και η απόδειξη απαιτεί όνο ένα απλό αλγεβρικό τέχνασ α, που ας έχει και σε άλλη περίπτωση φανεί χρήσι ο —ένας αριθ ός δεν ετα- βάλλεται αν η ίδια ποσότητα προστεθεί και αφαιρεθεί από αυτόν. ΘΕΩΡΗΜΑ 4 Αν οι f και g είναι παραγωγίσι ες στο a, τότε η f g είναι επίσης παραγωγίσι η στο a, και .f g/0 .a/ D f 0 .a/ g.a/ C f .a/ g0 .a/: ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ .f g/0 .a/ D lim h!0 .f g/.a C h/ .f g/.a/ h D lim h!0 f .a C h/g.a C h/ f .a/g.a/ h D lim h!0 f .a C h/Œg.a C h/ g.a/ h C Œf .a C h/ f .a/g.a/ h D lim h!0 f .a C h/ lim h!0 g.a C h/ g.a/ h C lim h!0 f .a C h/ f .a/ h lim h!0 g.a/ D f .a/ g0 .a/ C f 0 .a/ g.a/: Παρατηρήστε ότι χρησι οποιήσα ε το Θεώρη α 9-1 για να συ περάνου ε ότι lim h!0 f .a C h/ D f .a/: Σε ια ειδική περίπτωση, το Θεώρη α 4 απλοποιείται ση αντικά: ΘΕΩΡΗΜΑ 5 Αν g.x/ D cf .x/ και η f είναι παραγωγίσι η στο a, τότε η g είναι παραγωγίσι η στο a, και g0 .a/ D c f 0 .a/: ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Αν h.x/ D c, οπότε g D h f , τότε από το Θεώρη α 4, g0 .a/ D .h f /0 .a/ D h.a/ f 0 .a/ C h0 .a/ f .a/ D c f 0 .a/ C 0 f .a/ D c f 0 .a/: Παρατηρήστε, ειδικότερα, ότι . f /0 .a/ D f 0 .a/, επο ένως .f g/0 .a/ D .f C Œ g/0 .a/ D f 0 .a/ g0 .a/. Για να δείξου ε τη χρησι ότητα των όσων έχου ε καταφέρει έως τώρα, θα υπολογί- σου ε την παράγωγο ερικών ακό α ειδικών συναρτήσεων. ΘΕΩΡΗΜΑ 6 Αν f .x/ D xn για κάποιον φυσικό αριθ ό n, τότε f 0 .a/ D nan 1 για κάθε a:
- 168. 154 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Η απόδειξη θα γίνει ε επαγωγή πάνω στο n. Για n D 1 παίρνου ε απλώς το Θεώρη α 2. Ας υποθέσου ε τώρα ότι το θεώρη α ισχύει για n, δηλαδή ότι, αν f .x/ D xn , τότε f 0 .a/ D nan 1 για κάθε a: Έστω g.x/ D xnC1 . Αν I.x/ D x, η ισότητα xnC1 D xn x πορεί να γραφεί g.x/ D f .x/ I.x/ για κάθε x· άρα g D f I. Από το Θεώρη α 4 έπεται ότι g0 .a/ D .f I/0 .a/ D f 0 .a/ I.a/ C f .a/ I0 .a/ D nan 1 a C an 1 D nan C an D .n C 1/an ; για κάθε a: Αυτή είναι ακριβώς η περίπτωση n C 1 που θέλα ε να αποδείξου ε. Αν εφαρ όσου ε αζί τα θεωρή ατα που έχου ε ήδη αποδείξει, πορού ε να βρού ε τώρα την f 0 για f της ορφής f .x/ D anxn C an 1xn 1 C C a2x2 C a1x C a0: Παίρνου ε f 0 .x/ D nanxn 1 C .n 1/an 1xn 2 C C 2a2x C a1: Μπορού ε επίσης να βρού ε την f 00 : f 00 .x/ D n.n 1/anxn 2 C .n 1/.n 2/an 1xn 3 C C 2a2: Αυτή η διαδικασία πορεί εύκολα να συνεχιστεί. Κάθε παραγώγιση ειώνει τη έγιστη δύνα η του x κατά 1, και εξαφανίζει ένα ακό α ai . Είναι καλή ιδέα να δουλέψει κανείς ε λεπτο έρειες τις παραγώγους f 000 , f .4/ , ίσως και την f .5/ , έχρις ότου η διαδικασία γίνει καθαρή. Η τελευταία ενδιαφέρουσα παράγωγος είναι η f .n/ .x/ D nŠan: Για k n έχου ε f .k/ .x/ D 0: Προφανώς, το επό ενο βή α στο πρόγρα ά ας θα είναι να βρού ε την παράγωγο ενός πηλίκου f=g. Είναι κάπως πιο απλό και, λόγω του Θεωρή ατος 4, αρκετό να βρού ε την παράγωγο της 1=g. ΘΕΩΡΗΜΑ 7 Αν η g είναι παραγωγίσι η στο a και g.a/ ¤ 0, τότε η 1=g είναι παραγωγίσι η στο a, και 1 g 0 .a/ D g0 .a/ Œg.a/2 : ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Πριν καν γράψου ε το 1 g .a C h/ 1 g .a/ h πρέπει να σιγουρευτού ε ότι αυτή η παράσταση έχει νόη α —είναι απαραίτητο να ελέγ- ξου ε ότι η .1=g/.a C h/ ορίζεται για αρκετά ικρό h. Για τον σκοπό αυτό αρκεί να παρατηρήσου ε δύο όνο πράγ ατα. Αφού η g είναι, από την υπόθεση, παραγωγίσι η στο a, συ περαίνου ε από το Θεώρη α 9-1 ότι η g είναι συνεχής στο a. Αφού g.a/ ¤ 0,
- 169. 10. Παραγώγιση 155 απότο Θεώρη α 6-3 έπεται ότι υπάρχει ı 0 τέτοιο ώστε g.a C h/ ¤ 0 για jhj ı. Επο ένως, το .1=g/.a C h/ έχει νόη α για αρκετά ικρό h, και πορού ε να γράψου ε lim h!0 1 g .a C h/ 1 g .a/ h D lim h!0 1 g.a C h/ 1 g.a/ h D lim h!0 g.a/ g.a C h/ hŒg.a/ g.a C h/ D lim h!0 Œg.a C h/ g.a/ h 1 g.a/g.a C h/ D lim h!0 Œg.a C h/ g.a/ h lim h!0 1 g.a/ g.a C h/ D g0 .a/ 1 Œg.a/2 : (Παρατηρήστε ότι χρησι οποιήσα ε άλλη ια φορά τη συνέχεια της g στο a.) Μπορού ε τώρα εύκολα να βρού ε τον γενικό τύπο για την παράγωγο πηλίκου. Αν και δεν είναι ιδιαίτερα ελκυστικός, είναι ση αντικός, και θα πρέπει να τον απο νη ονεύ- σου ε. (Χρησι οποιώ πάντα το ξόρκι: «το κάτω επί την παράγωγο του επάνω, είον το επάνω επί την παράγωγο του κάτω, δια το τετράγωνο του κάτω»). ΘΕΩΡΗΜΑ 8 Αν οι f και g είναι παραγωγίσι ες στο a και g.a/ ¤ 0, τότε η f=g είναι παραγωγίσι η στο a, και f g 0 .a/ D g.a/ f 0 .a/ f .a/ g0 .a/ Œg.a/2 : ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Αφού f=g D f .1=g/ έχου ε f g 0 .a/ D f 1 g 0 .a/ D f 0 .a/ 1 g .a/ C f .a/ 1 g 0 .a/ D f 0 .a/ g.a/ C f .a/. g0 .a// Œg.a/2 D f 0 .a/ g.a/ f .a/ g0 .a/ Œg.a/2 : Εί αστε τώρα σε θέση να παραγωγίσου ε ερικές ακό α συναρτήσεις. Για παρά- δειγ α, αν f .x/ D x2 1 x2 C 1 ; τότε f 0 .x/ D .x2 C 1/.2x/ .x2 1/.2x/ .x2 C 1/2 D 4x .x2 C 1/2 · αν f .x/ D x x2 C 1 ; τότε f 0 .x/ D .x2 C 1/ x.2x/ .x2 C 1/2 D 1 x2 .x2 C 1/2 · αν f .x/ D 1 x ; τότε f 0 .x/ D 1 x2 D . 1/x 2 : Παρατηρήστε ότι το τελευταίο παράδειγ α πορεί να γενικευτεί: αν f .x/ D x n D 1 xn ; για κάποιον φυσικό αριθ ό n, τότε f 0 .x/ D nxn 1 x2n D . n/x n 1 ·
- 170. 156 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα άρα το Θεώρη α 6 ισχύει τελικά και για θετικούς και για αρνητικούς ακέραιους. Αν ερ ηνεύσου ε την f .x/ D x0 ως f .x/ D 1, και την f 0 .x/ D 0 x 1 ως f 0 .x/ D 0, τότε το Θεώρη α 6 ισχύει και για n D 0. (Η λέξη «ερ ηνεύου ε» είναι αναγκαία γιατί δεν είναι σαφές το πώς θα πρέπει να οριστεί το 00 και, σε τελική ανάλυση, το 0 0 1 δεν έχει έννοια.) Για να προχωρήσου ε ακό α πιο πέρα στην παραγώγιση, πρέπει να γνωρίζου ε τις παραγώγους κάποιων ειδικών συναρτήσεων που θα ελετήσου ε αργότερα. Μια από αυτές είναι η συνάρτηση η ιτόνου. Για την ώρα θα αποκαλύψου ε, και θα χρησι οποιή- σου ε χωρίς απόδειξη, τα εξής: sin0 .a/ D cos a για κάθε a; cos0 .a/ D sin a για κάθε a; Αυτή η πληροφορία άς επιτρέπει να παραγωγίσου ε πολλές άλλες συναρτήσεις. Για παράδειγ α, αν f .x/ D x sin x; τότε f 0 .x/ D x cos x C sin x; f 00 .x/ D x sin x C cos x C cos x D x sin x C 2 cos x· αν g.x/ D sin2 x D sin x sin x; τότε g0 .x/ D sin x cos x C cos x sin x D 2 sin x cos x; g00 .x/ D 2Œ.sin x/. sin x/ C cos x cos x D 2Œcos2 x sin2 x· αν h.x/ D cos2 x D cos x cos x; τότε h0 .x/ D .cos x/. sin x/ C . sin x/ cos x D 2 sin x cos x; h00 .x/ D 2Œcos2 x sin2 x: Παρατηρήστε ότι g0 .x/ C h0 .x/ D 0; κάτι που ελάχιστα ας εκπλήσσει, ια και .g C h/.x/ D sin2 x C cos2 x D 1. Όπως θα περί ενε κανείς, ισχύει επίσης g00 .x/ C h00 .x/ D 0. Στα παραδείγ ατα που είδα ε πιο πάνω, είχα ε να κάνου ε όνο ε γινό ενα δύο συναρτήσεων. Με βάση το Θεώρη α 4 πορού ε να αντι ετωπίσου ε και συναρτήσεις που περιέχουν τριπλά γινό ενα· στην πράξη αυτό πορεί να γίνει ε δύο τρόπους. Θυ η- θείτε ότι το f g h είναι ια σύντ ηση του .f g/ h ή f .g h/:
- 171. 10. Παραγώγιση 157 Ανδιαλέξου ε, για παράδειγ α, την πρώτη από τις δύο ορφές, έχου ε .f g h/0 .x/ D .f g/0 .x/ h.x/ C .f g/.x/h0 .x/ D Œf 0 .x/g.x/ C f .x/g0 .x/h.x/ C f .x/g.x/h0 .x/ D f 0 .x/g.x/h.x/ C f .x/g0 .x/h.x/ C f .x/g.x/h0 .x/: Αν διαλέγα ε την f .gh/ θα καταλήγα ε, φυσικά, στο ίδιο αποτέλεσ α ε διαφορετικό το ενδιά εσο βή α. Το τελικό συ πέρασ α είναι απόλυτα συ ετρικό και εύκολο να αποστηθιστεί: Η .f g h/0 είναι το άθροισ α των τριών όρων που παίρνου ε αν παραγωγίσου ε κάθε ία από τις f , g και h και την πολλαπλασιάσου ε ε τις άλλες δύο. Για παράδειγ α, αν f .x/ D x3 sin x cos x; τότε f 0 .x/ D 3x2 sin x cos x C x3 cos x cos x C x3 .sin x/. sin x/: Γινό ενα περισσοτέρων των τριών συναρτήσεων αντι ετωπίζονται ε τον ίδιο τρόπο. Για παράδειγ α, δεν θα πρέπει να συναντήσετε δυσκολίες για να δείξετε τον τύπο .f g h k/0 .x/ D f 0 .x/g.x/h.x/k.x/ C f .x/g0 .x/h.x/k.x/ C f .x/g.x/h0 .x/k.x/ C f .x/g.x/h.x/k0 .x/: Μπορείτε ακό α, να προσπαθήσετε να αποδείξετε ( ε επαγωγή) τον γενικό τύπο: .f1 : : : fn/0 .x/ D nX iD1 f1.x/ : : : fi 1.x/fi 0 .x/fiC1.x/ : : : fn.x/: Για να εί αστε σε θέση να παραγωγίζου ε τις πραγ ατικά ενδιαφέρουσες συναρτή- σεις, πρέπει οπωσδήποτε να έχου ε έναν τύπο για την .f B g/0 .x/ συναρτήσει των f 0 και g0 . Για να βεβαιωθού ε ότι η f B g είναι παραγωγίσι η στο a, φαίνεται αρχικά λογικό να υποθέσου ε την παραγωγισι ότητα της g στο a. Αφού η συ περιφορά της f B g κοντά στο a εξαρτάται από τη συ περιφορά της f κοντά στο g.a/ (όχι κοντά στο a), φαίνεται επίσης λογικό να υποθέσου ε ότι η f παραγωγίζεται στο g.a/. Πραγ ατικά, θα αποδεί- ξου ε ότι, αν η g παραγωγίζεται στο a και η f παραγωγίζεται στο g.a/, τότε η f B g παραγωγίζεται στο a, και .f B g/0 .a/ D f 0 .g.a// g0 .a/: Αυτός ο εξαιρετικά ση αντικός τύπος λέγεται Κανόνας της Αλυσίδας, πιθανόν γιατί ια σύνθεση συναρτήσεων θα πορούσε να λέγεται και «αλυσίδα» συναρτήσεων. Παρατη- ρήστε ότι η .f B g/0 είναι στην πράξη το γινό ενο των f 0 και g0 , αλλά όχι ακριβώς αυτό: η f 0 πρέπει να υπολογιστεί στο g.a/ και η g0 στο a. Πριν επιχειρήσου ε να αποδείξου ε αυτό το θεώρη α, θα ασχοληθού ε ε ερικές εφαρ ογές. Ας υποθέσου ε ότι f .x/ D sin x2 : Ας χρησι οποιήσου ε, προσωρινά, το σύ βολο S για τη συνάρτηση («τετραγωνισ ού») S.x/ D x2 . Τότε, f D sin B S: Επο ένως, έχου ε f 0 .x/ D sin0 .S.x// S0 .x/ D cos x2 2x:
- 172. 158 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα Το αποτέλεσ α είναι τελείως διαφορετικό αν f .x/ D sin2 x: Σε αυτήν την περίπτωση f D S B sin; άρα f 0 .x/ D S0 .sin x/ sin0 .x/ D 2 sin x cos x: Παρατηρήστε ότι αυτό βρίσκεται σε συ φωνία (όπως πρέπει) ε το αποτέλεσ α που παίρ- νου ε αν γράψου ε f D sin sin και χρησι οποιήσου ε τον τύπο του γινο ένου. Αν και επινοήσα ε ένα ειδικό σύ βολο, το S, για να ονο άσου ε τη συνάρτηση «τετραγωνισ ού», δεν χρειάζεται και εγάλη εξάσκηση για να πορεί κανείς να λύνει προβλή ατα σαν και αυτό χωρίς να γράφει ειδικά σύ βολα για συναρτήσεις, και ακό α, χωρίς να γράφει την ακριβή σύνθεση που δίνει την f —σύντο α συνηθίζει κανείς να αναλύει την f έσα στο υαλό του. Οι επό ενες παραγωγίσεις δίνονται ως άσκηση για ια τέτοια διανοητική εξάσκηση —αν θεωρήσετε αναγκαίο να δουλέψετε λίγο και πάνω στο χαρτί, προς Θεού κάντε το, αλλά προσπαθήστε να αναπτύξετε την ευχέρεια του να γράφετε την f 0 α έσως όλις σας δοθεί ο ορισ ός της f . Τα προβλή ατα αυτού του εί- δους είναι τόσο εύκολα που, αν απλώς θυ άστε τον Κανόνα της Αλυσίδας, δεν χρειάζεται να σκεφτείτε καθόλου. αν f .x/ D sin x3 τότε f 0 .x/ D cos x3 3x2 f .x/ D sin3 x f 0 .x/ D 3 sin2 x cos x f .x/ D sin 1 x f 0 .x/ D cos 1 x 1 x2 f .x/ D sin.sin x/ f 0 .x/ D cos.sin x/ cos x f .x/ D sin.x3 C 3x2 / f 0 .x/ D cos.x3 C 3x2 / .3x2 C 6x/ f .x/ D .x3 C 3x2 /53 f 0 .x/ D 53.x3 C 3x2 /52 .3x2 C 6x/: Μια συνάρτηση όπως η f .x/ D sin2 x2 D Œsin x2 2 ; που είναι η σύνθεση τριών συναρτήσεων f D S B sin B S; πορεί επίσης να παραγωγιστεί ε εφαρ ογή του Κανόνα της Αλυσίδας. Αρκεί να θυ η- θεί κανείς ότι ια τριπλή σύνθεση f B g B h ση αίνει .f B g/ B h ή f B .g B h/. Έτσι, αν f .x/ D sin2 x2 πορού ε να γράψου ε f D .S B sin/ B S; f D S B .sin B S/: Η παράγωγος της καθε ιάς από τις δύο εκφράσεις βρίσκεται ε διπλή εφαρ ογή του Κανόνα της Αλυσίδας· το όνο συζητήσι ο ση είο είναι αν οι δύο εκφράσεις θα οδηγή- σουν σε εξίσου απλούς υπολογισ ούς. Βέβαια, όπως είναι γνωστό σε κάθε εξοικειω ένο ε παραγωγίσεις, είναι προτι ότερο να χρησι οποιήσου ε τη δεύτερη: f D S B .sin B S/:
- 173. 10. Παραγώγιση 159 Μπορούε τώρα να βρού ε την f 0 .x/ ε ια καίρια κίνηση. Για να ξεκινήσου ε, ση ειώ- νου ε ότι η πρώτη συνάρτηση που πρέπει να παραγωγίσου ε είναι η S, άρα ο τύπος για την f 0 .x/ αρχίζει ε f 0 .x/ D 2. / : Μέσα στην παρένθεση πρέπει να θέσου ε το sin x2 , την τι ή της δεύτερης συνάρτησης, sin B S, στο x. Έτσι αρχίζου ε γράφοντας f 0 .x/ D 2 sin x2 (η παρένθεση δεν χρειαζόταν τελικά). Πρέπει τώρα να πολλαπλασιάσου ε αυτό το κο - άτι της απάντησης ε την παράγωγο της sin B S στο x· αυτό το βή α είναι εύκολο —έχου ε τη σύνθεση δύο συναρτήσεων, κάτι που πορού ε να το αντι ετωπίσου ε. Ως τελικό αποτέλεσ α, έχου ε f 0 .x/ D 2 sin x2 cos x2 2x: Στο επό ενο παράδειγ α, εργαζό αστε ε τον ίδιο τρόπο. Υποθέτου ε f .x/ D sin.sin x2 /: Χωρίς καν να χρειαστεί να γράψου ε την f ως σύνθεση g B h B k τριών συναρτήσεων, βλέπου ε ότι η αριστερότερη θα είναι η sin, άρα η παράσταση που θα βρού ε για την f 0 .x/ αρχίζει ε f 0 .x/ D cos. / : Μέσα στην παρένθεση πρέπει να βάλου ε την τι ή του hBk.x/· αυτή δεν είναι άλλη από το sin x2 (αυτό που παίρνου ε από την sin.sin x2 / αν απαλείψου ε το πρώτο sin). Άρα η παράσταση της f 0 .x/ αρχίζει ε f 0 .x/ D cos.sin x2 / : Μπορού ε τώρα να ξεχάσου ε το πρώτο sin στην sin.sin x2 /· θα πρέπει να πολλαπλασιά- σου ε αυτό που έχου ε βρει έως τώρα ε την παράγωγο της συνάρτησης που η τι ή της στο x είναι sin x2 —αλλά αυτό είναι πάλι ένα πρόβλη α που ήδη ξέρου ε να λύνου ε: f 0 .x/ D cos.sin x2 / cos x2 2x: Τέλος, να οι παράγωγοι ερικών άλλων συναρτήσεων που είναι συνθέσεις των sin και S, καθώς και κάποιων άλλων τριπλών συνθέσεων. Πιθανόν να «βλέπετε» α έσως ότι οι απαντήσεις είναι σωστές —αν όχι, προσπαθήστε να γράψετε την f ως σύνθεση: αν f .x/ D sin..sin x/2 / τότε f 0 .x/ D cos..sin x/2 / 2 sin x cos x f .x/ D Œsin.sin x/2 f 0 .x/ D 2 sin.sin x/ cos.sin x/ cos x f .x/ D sin.sin.sin x// f 0 .x/ D cos.sin.sin x// cos.sin x/ cos x f .x/ D sin2 .x sin x/ f 0 .x/ D 2 sin.x sin x/ cos.x sin x/ Œsin x C x cos x f .x/ D sin.sin.x2 sin x// f 0 .x/ D cos.sin.x2 sin x// cos.x2 sin x/ Œ2x sin x C x2 cos x: Ο κανόνας για τις συνθέσεις τεσσάρων (ή και περισσότερων) συναρτήσεων είναι εύ- κολος —πάντα (νοερά) βάλτε παρενθέσεις αρχίζοντας από τα δεξιά f B .g B .h B k//; και αρχίστε να ανάγετε τον υπολογισ ό στην παραγώγιση ιας σύνθεσης ικρότερου αριθ ού συναρτήσεων: f 0 .g.h.k.x//// :
- 174. 160 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα Για παράδειγ α, αν f .x/ D sin2 .sin2 .x// Œf D S B sin B S B sin D S B .sin B .S B sin// τότε f 0 .x/ D 2 sin.sin2 x/ cos.sin2 x/ 2 sin x cos x· αν f .x/ D sin..sin x2 /2 / Œf D sin B S B sin B S D sin B .S B .sin B S// τότε f 0 .x/ D cos..sin x2 /2 / 2 sin x2 cos x2 2x· αν f .x/ D sin2 .sin.sin x// Œσυ πληρώστε το εσείς, αν χρειάζεται τότε f 0 .x/ D 2 sin.sin.sin x// cos.sin.sin x// cos.sin x/ cos x: Με αυτά τα παραδείγ ατα ως υπόβαθρο, χρειάζεστε ένα όνο πράγ α για να γίνετε ένας τέλειος «παραγωγιστής» —εξάσκηση. Μπορείτε σίγουρα να τελειοποιηθείτε ε τις ασκήσεις στο τέλος του κεφαλαίου, τώρα ό ως ήρθε η εγάλη στιγ ή να αποδείξου ε τον Κανόνα της Αλυσίδας. Οι επό ενοι συλλογισ οί, αν και δεν αποτελούν απόδειξη, υποδεικνύουν ερικά από τα τεχνάσ ατα που θα πορούσε να χρησι οποιήσει κανείς, καθώς και ερικές από τις δυσκολίες που θα αντι ετώπιζε. Αρχίζου ε, βέβαια, ε τον ορισ ό: .f B g/0 .a/ D lim h!0 .f B g/.a C h/ .f B g/.a/ h D lim h!0 f .g.a C h// f .g.a// h : Κάπου εδώ θα θέλα ε να ε φανιστεί η παράσταση για την g0 .a/. Μια άποψη είναι να το κάνου ε στα ίσα: lim h!0 f .g.a C h// f .g.a// h D lim h!0 f .g.a C h// f .g.a// g.a C h/ g.a/ g.a C h/ g.a/ h : Αυτό δεν οιάζει άσχη ο, και φαίνεται ακό α καλύτερο αν γράψου ε lim h!0 .f B g/.a C h/ .f B g/.a/ h D lim h!0 f .g.a/ C Œg.a C h/ g.a// f .g.a// g.a C h/ g.a/ lim h!0 g.a C h/ g.a/ h : Το δεύτερο όριο είναι ο παράγοντας g0 .a/ που θέλου ε. Αν θέσου ε g.aCh/ g.a/ D k (για να εί αστε ακριβείς θα έπρεπε να γράψου ε k.h/), τότε το πρώτο όριο είναι lim h!0 f .g.a/ C k/ f .g.a// k : Το όριο αυτό θα έπρεπε ίσως να είναι το f 0 .g.a//, γιατί από τη συνέχεια της g στο a, το k πηγαίνει στο 0 όταν πηγαίνει το h. Πραγ ατικά, πορεί κανείς, και θα το κάνου ε και ε είς σε λίγο, να κάνει το συλλογισ ό αυτό ακριβή. Υπάρχει ήδη, ό ως, ένα πρόβλη α, που θα έχετε και εσείς παρατηρήσει αν είστε το είδος του ανθρώπου που δεν διαιρεί στα τυφλά. Ακό α και για h ¤ 0 θα πορούσε να είναι g.a C h/ g.a/ D 0, πράγ α που κάνει τη διαίρεση και τον πολλαπλασιασ ό ε g.a C h/ g.a/ να ην έχει έννοια. Είναι
- 175. 10. Παραγώγιση 161 αλήθειαότι ενδιαφερό αστε όνο για ικρό h, αλλά το g.a C h/ g.a/ θα πορούσε να είναι 0 για οσοδήποτε ικρά h. Ο ευκολότερος τρόπος για να συ βεί κάτι τέτοιο είναι να έχου ε την g σταθερή συνάρτηση, g.x/ D c. Τότε g.a C h/ g.a/ D 0 για κάθε h. Σε αυτήν την περίπτωση, η f B g είναι επίσης σταθερή συνάρτηση, .f B g/.x/ D f .c/, άρα ο Κανόνας της Αλυσίδας ισχύει στ’ αλήθεια: .f B g/0 .a/ D 0 D f 0 .g.a// g0 .a/: Υπάρχουν ό ως και η σταθερές συναρτήσεις g για τις οποίες g.a C h/ g.a/ D 0 για οσοδήποτε ικρά h. Για παράδειγ α, αν a D 0, η συνάρτηση g θα πορούσε να είναι η g.x/ D 8 : x2 sin 1 x ; x ¤ 0 0; x D 0: Σε αυτήν την περίπτωση, g0 .0/ D 0 όπως αποδείξα ε στο Κεφάλαιο 9. Αν ο Κανόνας της Αλυσίδας είναι σωστός, θα πρέπει να έχου ε .f B g/0 .0/ D 0 για κάθε παραγωγί- σι η f , και αυτό δεν είναι και τόσο προφανές. Μια απόδειξη του Κανόνα της Αλυσίδας πορεί να γίνει αν ελετήσου ε αυτές τις ιδιότροπες συναρτήσεις χωριστά, αλλά είναι ευκολότερο να εγκαταλείψου ε απλώς αυτήν την προσέγγιση και να χρησι οποιήσου ε ένα τέχνασ α. ΘΕΩΡΗΜΑ 9 (Ο ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΗΣ ΑΛΥΣΙ∆ΑΣ) Αν η g είναι παραγωγίσι η στο a, και η f είναι παραγωγίσι η στο g.a/, τότε η f B g παραγωγίζεται στο a, και .f B g/0 .a/ D f 0 .g.a// g0 .a/: ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ορίζου ε ια συνάρτηση ως εξής. .h/ D 8 : f .g.a C h// f .g.a// g.a C h/ g.a/ ; αν g.a C h/ g.a/ ¤ 0 f 0 .g.a//; αν g.a C h/ g.a/ D 0: ∆ιαισθητικά, πρέπει να είναι καθαρό ότι η είναι συνεχής στο 0. Όταν το h είναι ικρό, το g.a C h/ g.a/ είναι επίσης ικρό, άρα αν το g.a C h/ g.a/ δεν είναι ηδέν, τότε το .h/ θα βρίσκεται κοντά στο f 0 .g.a//· και αν είναι ηδέν, τότε το .h/ ισούται ε f 0 .g.a//, κάτι ακό α καλύτερο. Μια και η συνέχεια της είναι η καρδιά όλης της απόδειξης, θα δώσου ε ια προσεκτική ετάφραση αυτού του διαισθητικού ισχυρισ ού. Γνωρίζου ε ότι η f είναι παραγωγίσι η στο g.a/. Αυτό ση αίνει ότι lim k!0 f .g.a/ C k/ f .g.a// k D f 0 .g.a//: Έτσι, αν 0 υπάρχει κάποιος αριθ ός ı0 0 τέτοιος ώστε, για κάθε k, .1/ αν 0 jkj ı0 ; τότε ˇ ˇ ˇ ˇ f .g.a/ C k/ f .g.a// k f 0 .g.a// ˇ ˇ ˇ ˇ : Τώρα, η g είναι παραγωγίσι η στο a, άρα συνεχής στο a, επο ένως υπάρχει ı 0 τέτοιο ώστε, για κάθε h, .2/ αν jhj ı; τότε jg.a C h/ g.a/j ı0 : Πάρτε τώρα οποιοδήποτε h ε jhj ı. Αν k D g.a C h/ g.a/ ¤ 0, τότε .h/ D f .g.a C h// f .g.a// g.a C h/ g.a/ D f .g.a/ C k/ f .g.a// k ·
- 176. 162 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα από την (2) έπεται ότι jkj ı0 , άρα από την (1) j.h/ f 0 .g.a//j : Από την άλλη πλευρά, αν g.aCh/ g.a/ D 0, τότε .h/ D f 0 .g.a//, άρα είναι σίγουρα σωστό ότι j.h/ f 0 .g.a//j : Έχου ε επο ένως αποδείξει ότι lim h!0 .h/ D f 0 .g.a//; άρα η είναι συνεχής στο 0. Το υπόλοιπο της απόδειξης είναι εύκολο. Αν h ¤ 0, τότε έχου ε f .g.a C h// f .g.a// h D .h/ g.a C h/ g.a/ h ακό α και αν g.a C h/ g.a/ D 0 (γιατί σε αυτήν την περίπτωση και οι δύο πλευρές είναι 0). Επο ένως .f B g/0 .a/ D lim h!0 f .g.a C h// f .g.a// h D lim h!0 .h/ lim h!0 g.a C h/ g.a/ h D f 0 .g.a// g0 .a/: Τώρα που πορού ε να παραγωγίζου ε τόσες πολλές συναρτήσεις ε ευκολία, πο- ρού ε να ρίξου ε άλλη ια ατιά στη συνάρτηση f .x/ D 8 : x2 sin 1 x ; x ¤ 0 0; x D 0: Στο Κεφάλαιο 9 αποδείξα ε ότι f 0 .0/ D 0, δουλεύοντας απευθείας ε τον ορισ ό (ο όνος δυνατός τρόπος). Για x ¤ 0 πορού ε να χρησι οποιήσου ε τις εθόδους αυτού του κεφαλαίου. Έχου ε f 0 .x/ D 2x sin 1 x C x2 cos 1 x 1 x2 : Έτσι f 0 .x/ D 8 : 2x sin 1 x cos 1 x ; x ¤ 0 0; x D 0: Όπως δείχνει αυτός ο τύπος, η πρώτη παράγωγος f 0 συ περιφέρεται πραγ ατικά άσχη α στο 0 —δεν είναι ούτε καν συνεχής. Αν αντί για αυτή θεωρήσου ε την f .x/ D 8 : x3 sin 1 x ; x ¤ 0 0; x D 0; τότε f 0 .x/ D 8 : 3x2 sin 1 x x cos 1 x ; x ¤ 0 0; x D 0: Σε αυτήν την περίπτωση η f 0 είναι συνεχής στο 0, αλλά η f 00 .0/ δεν υπάρχει (γιατί η παράσταση 3x2 sin 1=x ορίζει ια συνάρτηση παραγωγίσι η στο 0, αλλά η παράσταση x cos 1=x όχι).
- 177. 10. Παραγώγιση 163 Όπωςίσως υποψιάζεστε, αν εγαλώσου ε και άλλο τη δύνα η του x παίρνου ε ακό α ια βελτίωση. Αν f .x/ D 8 : x4 sin 1 x ; x ¤ 0 0; x D 0; τότε f 0 .x/ D 8 : 4x3 sin 1 x x2 cos 1 x ; x ¤ 0 0; x D 0: Είναι εύκολο να υπολογίσου ε, απευθείας από τον ορισ ό, ότι .f 0 /0 .0/ D 0, και η f 00 .x/ βρίσκεται εύκολα για x ¤ 0: f 00 .x/ D 8 : 12x2 sin 1 x 4x cos 1 x 2x cos 1 x sin 1 x ; x ¤ 0 0; x D 0: Σε αυτήν την περίπτωση, η δεύτερη παράγωγος f 00 δεν είναι συνεχής στο 0. Έως τώρα θα έχετε αντέψει το οντέλο που δύο από τα προβλή ατα σας ζητούν να αποδείξετε: αν f .x/ D 8 : x2n sin 1 x ; x ¤ 0 0; x D 0; τότε οι f 0 .0/, ..., f .n/ .0/ υπάρχουν, αλλά η f .n/ δεν είναι συνεχής στο 0· αν f .x/ D 8 : x2nC1 sin 1 x ; x ¤ 0 0; x D 0; τότε οι f 0 .0/; : : : ; f .n/ .0/ υπάρχουν, και η f .n/ ) είναι συνεχής στο 0, αλλά η f .n/ δεν παραγωγίζεται στο 0. Αυτά τα παραδείγ ατα δείχνουν ίσως ότι οι «λογικές» συναρτήσεις χαρακτηρίζονται από το αν έχουν υψηλής τάξης παραγώγους —όσο και αν προσπαθή- σου ε να ετα φιέσου ε την άπειρη ταλάντωση της f .x/ D sin 1=x, ια παράγωγος αρκετά υψηλής τάξης είναι ικανή να αποκαλύψει την κρυ ένη ανω αλία. ∆υστυχώς, θα δού ε αργότερα ότι πολύ χειρότερα πράγ ατα πορούν να συ βούν. Μετά από όλους αυτούς τους πολύπλοκους υπολογισ ούς, θα κλείσου ε αυτό το κεφάλαιο ε ια ικρή παρατήρηση. Συχνά είναι δελεαστικό και φαίνεται κο ψότερο να γράψου ε ερικά από τα θεωρή ατα αυτού του κεφαλαίου ως ισότητες ανά εσα σε συναρτήσεις, και όχι τις τι ές τους. Έτσι, το Θεώρη α 3 θα πορούσε να γραφεί .f C g/0 D f 0 C g0 ; το Θεώρη α 4 θα πορούσε να γραφεί .f g/0 D f g0 C f 0 g; και το Θεώρη α 9 συχνά ε φανίζεται στη ορφή .f B g/0 D .f 0 B g/ g0 : Μιλώντας αυστηρά, αυτές οι ισότητες πορεί να ην ισχύουν, γιατί οι συναρτήσεις στην αριστερή πλευρά πορεί να έχουν εγαλύτερο πεδίο ορισ ού από αυτές στη δεξιά. ∆εν αξίζει ό ως να ανησυχού ε για αυτό. Αν οι f και η g είναι παραγωγίσι ες παντού στα πεδία ορισ ού τους, τότε αυτές οι ισότητες, και άλλες σαν και αυτές, ισχύουν, και αυτή είναι η όνη περίπτωση για την οποία ενδιαφερό αστε.
- 178. 164 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Για προθέρ ανση, βρείτε το f 0 .x/ για κάθε ία από τις f που ακολουθούν. (Μη σας νοιάζει το πεδίο ορισ ού της f ή της f 0 · βρείτε όνο έναν τύπο για το f 0 .x/, που να δίνει τη σωστή απάντηση όταν έχει νόη α.) (i) f .x/ D sin.x C x2 /. (ii) f .x/ D sin x C sin x2 . (iii) f .x/ D sin.cos x/. (iv) f .x/ D sin.sin x/. (v) f .x/ D sin cos x x . (vi) f .x/ D sin.cos x/ x . (vii) f .x/ D sin.x C sin x/. (viii) f .x/ D sin.cos.sin x//. 2. Βρείτε το f 0 .x/ για κάθε ία από τις f που ακολουθούν. (Ο συγγραφέας έκανε 20 λεπτά για να υπολογίσει τις παραγώγους για το παράρτη α ε τις απαντήσεις, και εσείς δεν θα πρέπει να κάνετε πολύ περισσότερο. Αν και ο στόχος των αθη ατικών δεν είναι η ταχύτητα στους υπολογισ ούς, αν θέλετε να ελπίζετε ότι θα αντι ετωπί- σετε τις θεωρητικές εφαρ ογές του Κανόνα της Αλυσίδας, αυτές οι συγκεκρι ένες εφαρ ογές θα πρέπει να είναι παιχνίδι για σας —οι αθη ατικοί έχουν την τάση να υποκρίνονται ότι δεν πορούν ούτε να προσθέσουν, αλλά οι περισσότεροι από αυτούς πορούν όταν πρέπει.) (i) f .x/ D sin..x C 1/2 .x C 2//. (ii) f .x/ D sin3 .x2 C sin x/. (iii) f .x/ D sin2 ..x C sin x/2 /. (iv) f .x/ D sin x3 cos x3 . (v) f .x/ D sin.x sin x/ C sin.sin x2 /. (vi) f .x/ D .cos x/312 . (vii) f .x/ D sin2 x sin x2 sin2 x2 . (viii) f .x/ D sin3 .sin2 .sin x//. (ix) f .x/ D .x C sin5 x/6 . (x) f .x/ D sin.sin.sin.sin.sin x////. (xi) f .x/ D sin..sin7 x7 C 1/7 /. (xii) f .x/ D ...x2 C x/3 C x/4 C x/5 . (xiii) f .x/ D sin.x2 C sin.x2 C sin x2 //. (xiv) f .x/ D sin.6 cos.6 sin.6 cos6x///. (xv) f .x/ D sin x2 sin2 x 1 C sin x . (xvi) f .x/ D 1 x 2 x C sin x . (xvii) f .x/ D sin 0 B B @ x3 sin x3 sin x 1 C C A.
- 179. 10. Παραγώγιση 165 (xviii)f .x/ D sin 0 B @ x x sin x x sin x 1 C A. 3. Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων tan, cotan , sec, cosec . (∆εν χρειάζεται να θυ άστε αυτούς τους τύπους, αν και θα τους χρειάζεστε κάθε τόσο· αν εκφρά- σετε τα αποτελέσ ατά σας ε τον κατάλληλο τρόπο, θα είναι απλά και κατά κάποιον τρόπο συ ετρικά.) 4. Για καθε ιά από τις παρακάτω συναρτήσεις f , βρείτε την f 0 .f .x// (όχι την .f B f /0 .x/ /. (i) f .x/ D 1 1 C x . (ii) f .x/ D sin x. (iii) f .x/ D x2 . (iv) f .x/ D 17. 5. Για καθε ιά από τις παρακάτω συναρτήσεις f , βρείτε την f .f 0 .x//. (i) f .x/ D 1 x . (ii) f .x/ D x2 . (iii) f .x/ D 17. (iv) f .x/ D 17x. 6. Βρείτε την f 0 συναρτήσει της g0 αν (i) f .x/ D g.x C g.a//. (ii) f .x/ D g.x g.a//. (iii) f .x/ D g.x C g.x//. (iv) f .x/ D g.x/.x a/. (v) f .x/ D g.a/.x a/. (vi) f .x C 3/ D g.x2 /. 7. (α) Ένα στρογγυλό αντικεί ενο αυξάνει σε έγεθος ε έναν απροσδιόριστο τρόπο, αλλά είναι γνωστό πως όταν η ακτίνα είναι 6, ο ρυθ ός εταβολής της ακτίνας είναι 4. Βρείτε τον ρυθ ό εταβολής του ε βαδού όταν η ακτίνα είναι 6. (Αν ε r.t/ και A.t/ παριστάνου ε την ακτίνα και το ε βαδόν τη χρονική στιγ ή t, τότε οι συναρτήσεις r και A συνδέονται ε την A D r2 · αυτό που ζητά ε είναι ια απευθείας εφαρ ογή του Κανόνα της Αλυσίδας.) (β) Ας υποθέσου ε τώρα ότι πληροφορού αστε πως το στρογγυλό αντικεί ενο που παρατηρούσα ε είναι στην πραγ ατικότητα η κάθετη το ή ενός σφαι- ρικού αντικει ένου. Βρείτε τον ρυθ ό εταβολής του όγκου όταν η ακτίνα είναι 6. (Προφανώς θα χρειαστεί να ξέρετε τον τύπο που δίνει τον όγκο της σφαίρας· αν το έχετε ξεχάσει, ο όγκος είναι 4 3 φορές τον κύβο της ακτίνας). (γ) Ας υποθέσου ε τώρα ότι ο ρυθ ός εταβολής του ε βαδού της στρογγυλής το ής είναι 5 όταν η ακτίνα είναι 3. Βρείτε τον ρυθ ό εταβολής του όγκου όταν η ακτίνα είναι 3. Θα πρέπει να πορείτε να κάνετε αυτό το πρόβλη α ε δύο τρόπους: πρώτα, χρησι οποιώντας τους τύπους που δίνουν το ε βαδόν και τον όγκο ως συνάρτηση της ακτίνας· και ετά εκφράζοντας τον όγκο ως συνάρτηση του ε βαδού (για να χρησι οποιήσετε αυτήν τη έθοδο θα χρεια- στείτε το Πρόβλη α 9-3).
- 180. 166 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα 8. Το ε βαδόν της περιοχής ανά εσα σε δύο ο όκεντρους κύκλους είναι πάν- τοτε 9 in2 . Ο ρυθ ός εταβολής του ε βαδού του εγαλύτερου κύκλου είναι 10 in2 =sec. Πόσο γρήγορα αλλάζει το ήκος της περιφέρειας του ικρότερου κύκλου όταν έχει ε βαδόν 16 in2 ; 9. Ένα σω ατίδιο A κινείται κατά ήκος του θετικού οριζόντιου άξονα, και ένα σω α- τίδιο B κατά ήκος της γραφικής παράστασης της f .x/ D p 3 x, x 0. Κάποια χρονική στιγ ή, το A είναι στο ση είο (5,0) και έχει ταχύτητα 3 ονάδες/sec και το B σε απόσταση 3 ονάδων από την αρχή των αξόνων κινού ενο ε ταχύτητα 4 ονάδων/sec. Ποιος είναι ο ρυθ ός εταβολής της απόστασης των A και B; 10. Έστω f .x/ D x2 sin 1=x για x ¤ 0, και f .0/ D 0. Υποθέτου ε ακό α ότι h και k είναι δύο συναρτήσεις τέτοιες ώστε h0 .x/ D sin2 .sin.x C 1// k0 .x/ D f .x C 1/ h.0/ D 3 k.0/ D 0: Βρείτε τα (i) .f B h/0 .0/. (ii) .k B f /0 .0/. (iii) ˛0 .x2 /, όπου ˛.x/ D h.x2 /. ∆είξτε εγάλη προσοχή. 11. Βρείτε την f 0 .0/ αν f .x/ D 8 : g.x/ sin 1 x ; x ¤ 0 0; x D 0; και g.0/ D g0 .0/ D 0: 12. Χρησι οποιώντας την παράγωγο της f .x/ D 1=x που βρήκατε στο Πρόβλη α 9-1, βρείτε την .1=g/0 .x/ ε τον Κανόνα της Αλυσίδας. 13. (α) Χρησι οποιώντας το Πρόβλη α 9-3, βρείτε την f 0 .x/ για 1 x 1, αν f .x/ D p 1 x2. (β) Αποδείξτε ότι η εφαπτο ένη στη γραφική παράσταση της f στο .a; p 1 a2 / τέ νει τη γραφική παράσταση όνο σε αυτό το ση είο (και έτσι δείξτε ότι ο στοιχειώδης γεω ετρικός ορισ ός της εφαπτο ένης συ πίπτει ε τον δικό ας). 14. Ο οίως αποδείξτε ότι οι εφαπτό ενες σε ια έλλειψη ή ια υπερβολή τέ νουν αυτά τα ση ειοσύνολα όνο ια φορά. 15. Αν η f Cg είναι παραγωγίσι η στο a, είναι αναγκαστικά οι f και g παραγωγίσι ες στο a; Αν η f g και η f είναι παραγωγίσι ες στο a, ποιες συνθήκες για την f εξασφαλίζουν ότι η g είναι παραγωγίσι η στο a; 16. (α) Αποδείξτε ότι, αν η f είναι παραγωγίσι η στο a, τότε και η jf j είναι παρα- γωγίσι η στο a, αρκεί να ισχύει f .a/ ¤ 0. (β) ∆ώστε ένα αντιπαράδειγ α αν f .a/ D 0. (γ) Αποδείξτε ότι, αν η f και η g είναι παραγωγίσι ες στο a, τότε οι συναρτήσεις max.f; g/ και min.f; g/ παραγωγίζονται στο a, αρκεί να είναι f .a/ ¤ g.a/. (δ) ∆ώστε ένα αντιπαράδειγ α αν f .a/ D g.a/.
- 181. 10. Παραγώγιση 167 17.∆ώστε ένα παράδειγ α συναρτήσεων f και g τέτοιο ώστε η g να παίρνει όλες τις τι ές, η f B g και η g να είναι παραγωγίσι ες, αλλά η f να ην είναι παραγωγί- σι η. (Το πρόβλη α καταντά τετρι ένο αν δεν απαιτήσου ε η g να παίρνει όλες τις τι ές· η g θα πορούσε να είναι απλώς ια σταθερή συνάρτηση, ή ια συνάρ- τηση που παίρνει τι ές όνο σε κάποιο διάστη α .a; b/, στην οποία περίπτωση η συ περιφορά της f έξω από το .a; b/ δεν ας ενδιαφέρει.) 18. (α) Αν g D f 2 βρείτε έναν τύπο για την g0 (που να περιέχει την f 0 ). (β) Αν g D .f 0 /2 , βρείτε έναν τύπο για την g0 (που να περιέχει την f 00 ). (γ) Έστω ότι η συνάρτηση f 0 έχει την ιδιότητα .f 0 /2 D f C 1 f 3 : Βρείτε έναν τύπο για την f 00 συναρτήσει της f . (Πέρα από τους απλούς υπο- λογισ ούς, σε ένα ση είο απαιτείται λίγη προσοχή.) 19. Αν η f είναι τρεις φορές παραγωγίσι η και f 0 .x/ ¤ 0, η κατά Schwarz παράγωγος της f στο x ορίζεται σαν Df .x/ D f 000 .x/ f 0.x/ 3 2 f 00 .x/ f 0.x/ 2 : (α) ∆είξτε ότι D.f B g/ D ŒDf B g g0 2 C Dg: (β) ∆είξτε ότι αν f .x/ D ax C b cx C d , ε ad bc ¤ 0, τότε Df D 0. Επο ένως, D.f B g/ D Dg. 20. Έστω ότι η f .n/ .a/ και η g.n/ .a/ υπάρχουν. Αποδείξτε τον τύπο του Leibniz: .f g/.n/ .a/ D nX kD0 n k ! f .k/ .a/ g.n k/ .a/: 21. Αποδείξτε ότι αν η f .n/ .g.a// και η g.n/ .a/ υπάρχουν και οι δύο, τότε υπάρχει η .f B g/.n/ .a/. Αν πειρα ατιστείτε λίγο θα πεισθείτε ότι δεν είναι φρόνι ο να αναζητήσου ε έναν τύπο για την .f B g/.n/ .a/. Για να δείξετε επο ένως ότι η .f B g/.n/ .a/ υπάρχει, θα πρέπει να σκεφτείτε κάποιον λογικό ισχυρισ ό για την .f B g/.n/ .a/ που να πορεί να αποδειχθεί ε επαγωγή. ∆οκι άστε κάτι σαν: «η .f B g/.n/ .a/ υπάρχει και είναι ένα άθροισ α όρων, ο καθένας από τους οποίους είναι γινό ενο όρων της ορφής ...». 22. (α) Αν f .x/ D anxn Can 1xn 1 C Ca0 βρείτε ια συνάρτηση g τέτοια ώστε g0 D f . Βρείτε και άλλη ία. (β) Αν f .x/ D b2 x2 C b3 x3 C C bm xm ; βρείτε ια συνάρτηση g ε g0 D f . (γ) Υπάρχει συνάρτηση f .x/ D anxn C C a0 C b1 x C C bm xm τέτοια ώστε f 0 .x/ D 1=x; 23. ∆είξτε ότι υπάρχει πολυωνυ ική συνάρτηση f βαθ ού n τέτοια ώστε
- 182. 168 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα (α) f 0 .x/ D 0 για ακριβώς n 1 αριθ ούς x. (β) f 0 .x/ D 0 για κανένα x, αν ο n είναι περιττός. (γ) f 0 .x/ D 0 για ακριβώς ένα x, αν ο n είναι άρτιος. (δ) f 0 .x/ D 0 για ακριβώς k αριθ ούς x, αν ο n k είναι περιττός. 24. (α) Λέ ε ότι ο αριθ ός a είναι διπλή ρίζα της πολυωνυ ικής συνάρτησης f αν f .x/ D .x a/2 g.x/ για κάποια πολυωνυ ική συνάρτηση g. Αποδείξτε ότι ο a είναι διπλή ρίζα της f αν και όνο αν είναι ταυτόχρονα ρίζα της f και της f 0 . (β) Πότε έχει η f .x/ D ax2 CbxCc (a ¤ 0) διπλή ρίζα; Τί λέει αυτή η συνθήκη γεω ετρικά; 25. Αν η f παραγωγίζεται στο a, έστω d.x/ D f .x/ f 0 .a/.x a/ f .a/. Βρείτε την d0 .a/. Σε συνδυασ ό ε το Πρόβλη α 24, αυτό δίνει ια άλλη λύση για το Πρόβλη α 9-20. 26. Αυτό το πρόβλη α πάει αζί ε το Πρόβλη α 3-6. Έστω a1; : : : ; an και b1; : : : ; bn δοθέντες αριθ οί. (α) Αν οι x1; : : : ; xn είναι διακεκρι ένοι αριθ οί, αποδείξτε ότι υπάρχει πολυω- νυ ική συνάρτηση f βαθ ού 2n 1, τέτοια ώστε f .xj / D f 0 .xj / D 0 για j ¤ i, και f .xi / D ai και f 0 .xi / D bi . Υπόδειξη: Θυ ηθείτε το Πρό- βλη α 24. (β) Αποδείξτε ότι υπάρχει πολυωνυ ική συνάρτηση f βαθ ού 2n 1 ε f .xi / D ai και f 0 .xi / D bi για κάθε i. 27. Έστω ότι a και b είναι δύο διαδοχικές ρίζες ιας πολυωνυ ικής συνάρτησης f , αλλά ότι ο a και ο b δεν είναι διπλές ρίζες, οπότε πορού ε να γράψου ε f .x/ D .x a/.x b/g.x/ όπου g.a/ ¤ 0 και g.b/ ¤ 0. (α) Αποδείξτε ότι το g.a/ και το g.b/ έχουν το ίδιο πρόση ο. (Θυ ηθείτε ότι ο a και ο b είναι διαδοχικές ρίζες.) (β) Αποδείξτε ότι υπάρχει κάποιος αριθ ός x ε a x b και f 0 .x/ D 0. (Σχεδιάστε και ια εικόνα για να τονίσετε το γεγονός.) Υπόδειξη: Συγκρίνετε τα πρόση α των f 0 .a/ και f 0 .b/. (γ) Αποδείξτε τώρα το ίδιο πράγ α, ακό α και αν οι a και b είναι πολλαπλές ρίζες. Υπόδειξη: Αν f .x/ D .x a/m .x b/n g.x/ όπου g.a/ ¤ 0 και g.b/ ¤ 0, θεωρήστε την πολυωνυ ική συνάρτηση h.x/ D f 0 .x/=.x a/m 1 .x b/n 1 . Αυτό το θεώρη α αποδείχθηκε από τον Γάλλο αθη ατικό Rolle, σε σχέση ε το πρόβλη α της προσέγγισης των ριζών πολυωνύ ων, αλλά αρχικά το αποτέλε- σ α δεν διατυπώθηκε έσω των παραγώγων. Και άλιστα ο Rolle ήταν ένας από τους αθη ατικούς που ποτέ δεν δέχθηκαν τις καινούργιες ιδέες του Απειροστικού Λογισ ού. ∆εν ήταν ια στενοκέφαλη στάση, αν σκεφτού ε ότι επί εκατό χρόνια κανένας δεν πορούσε να ορίσει τα όρια χωρίς ια δόση υστηρίου, αλλά η Ιστο- ρία φάνηκε πολύ γενναιόδωρη στον Rolle· το όνο ά του συνδέθηκε ε ένα πολύ πιο γενικό αποτέλεσ α, που θα ε φανιστεί στο επό ενο κεφάλαιο, και το οποίο αποτελεί τη βάση για τα πιο σπουδαία θεωρητικά αποτελέσ ατα του Απειροστικού Λογισ ού. 28. Έστω ότι f .x/ D xg.x/ για κάποια συνάρτηση g που είναι συνεχής στο 0. Απο- δείξτε ότι η f παραγωγίζεται στο 0, και βρείτε την f 0 .0/ συναρτήσει της g. 29. Έστω ότι η f παραγωγίζεται στο 0, και ότι f .0/ D 0. Αποδείξτε ότι f .x/ D xg.x/ για κάποια συνάρτηση g που είναι συνεχής στο 0. Υπόδειξη: Τί συ βαίνει αν προσπαθήσετε να γράψετε g.x/ D f .x/=x;
- 183. 10. Παραγώγιση 169 30.Αν f .x/ D x n για n στο N, αποδείξτε ότι f .k/ .x/ D . 1/k .n C k 1/Š .n 1/Š x n k D . 1/k kŠ n C k 1 k ! x n k ; για x ¤ 0: 31. Αποδείξτε ότι είναι αδύνατο να γράψου ε x D f .x/g.x/ όπου η f και η g είναι παραγωγίσι ες και f .0/ D g.0/ D 0. Υπόδειξη: Παραγωγίστε. 32. Ποια είναι η f .k/ .x/ αν (α) f .x/ D 1=.x a/n ; (β) f .x/ D 1=.x2 1/; 33. Θέτου ε f .x/ D x2n sin 1=x αν x ¤ 0, και f .0/ D 0. Αποδείξτε ότι οι f 0 .0/; : : : ; f .n/ .0/ υπάρχουν, και ότι η f .n/ δεν είναι συνεχής στο 0. (Θα συναντήσετε την ίδια βασική δυσκολία ε αυτή στο Πρόβλη α 21.) 34. Θέτου ε f .x/ D x2nC1 sin 1=x αν x ¤ 0, και f .0/ D 0. Αποδείξτε ότι οι f 0 .0/; : : : ; f .n/ .0/ υπάρχουν, ότι η f .n/ είναι συνεχής στο 0, και ότι η f .n/ δεν παραγωγίζεται στο 0. 35. Με τον συ βολισ ό του Leibniz, ο Κανόναςτης Αλυσίδας θα έπρεπε να διαβάζεται: df .g.x// dx D df .y/ dy ˇ ˇ ˇ ˇ yDg.x/ dg.x/ dx : Αντί για αυτό, συνήθως συναντά ε την εξής πρόταση: «Έστω y D g.x/ και ´ D f .y/. Τότε d´ dx D d´ dy dy dx :» Παρατηρήστε ότι το ´ στο d´=dx συ βολίζει τη σύνθετη συνάρτηση f B g, ενώ το ´ στο d´=dy συ βολίζει τη συνάρτηση f · εννοείται ακό α ότι το d´=dy θα είναι « ια παράσταση που περιέχει το y», και ότι στην τελική απάντηση θα πρέπει να αντικαταστήσου ε το y ε g.x/. Σε καθε ιά από τις περιπτώσεις που ακολου- θούν, βρείτε το d´=dx χρησι οποιώντας αυτόν τον τύπο· ετά συγκρίνετε ε το Πρόβλη α 1. (i) ´ D sin y; y D x C x2 . (ii) ´ D sin y; y D cos x. (iii) ´ D sin u; u D sin x. (iv) ´ D sin v; v D cos u; u D sin x.
- 184. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΗΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ένας στόχος ας σε αυτό το κεφάλαιο είναι να δικαιολογήσου ε τον χρόνο που αφιε- ρώσα ε αθαίνοντας να βρίσκου ε την παράγωγο ιας συνάρτησης. Όπως θα δού ε, αν κάποιος ξέρει λίγα πράγ ατα για την f 0 , τότε έχει πολλές πληροφορίες για την f . Το να αποσπάσου ε ό ως πληροφορίες για την f ε βάση κάποιες πληροφορίες για την f 0 απαιτεί αρκετή και δύσκολη δουλειά, και θα ξεκινήσου ε ε ένα θεώρη α που είναι πραγ ατικά εύκολο. Το θεώρη α αυτό αφορά στη έγιστη τι ή ιας συνάρτησης σε ένα διάστη α. Αν και άτυπα χρησι οποιήσα ε αυτόν τον όρο στο Κεφάλαιο 7, πρέπει τώρα να γίνου ε ακριβείς, και να γενικεύσου ε. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f ια συνάρτηση και A ένα σύνολο αριθ ών που περιέχεται στο πεδίο ορι- σ ού της f . Ένα ση είο x στο A είναι ση είο εγίστου της f στο A, αν f .x/ f .y/ για κάθε y στο A. Ο αριθ ός f .x/ λέγεται η έγιστη τι ή της f στο A (λέ ε ακό α ότι η f «έχει τη έγιστη της τι ή στο A στο ση είο x»). Παρατηρήστε ότι η έγιστη τι ή της f στο A θα πορούσε να είναι το f .x/ για πολ- λά διαφορετικά x (Σχή α 1)· ε άλλα λόγια, ια συνάρτηση f πορεί να έχει πολλά διαφορετικά ση εία εγίστου στο A, αν και η έγιστη τι ή της είναι το πολύ ία. Ενδια- φερό αστε συνήθως για την περίπτωση που το A είναι ένα κλειστό διάστη α Œa; b· αν η f είναι συνεχής, τότε το Θεώρη α 7-3 εγγυάται ότι η f έχει πραγ ατικά ια έγιστη τι ή στο Œa; b. Σ Χ Η Μ Α 1 Ο ορισ ός του ελαχίστου της f στο A αφήνεται σε σας. (Ένας πιθανός ορισ ός είναι ο ακόλουθος: η f έχει ελάχιστο στο A στο x, αν η f έχει έγιστο στο A στο x.) Εί αστε τώρα έτοι οι για ένα θεώρη α που δεν βασίζεται καν στην ύπαρξη ελαχίστων άνω φραγ άτων. ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Έστω f ια συνάρτηση ορισ ένη στο .a; b/. Αν x είναι ση είο εγίστου (ή ελαχίστου) για την f στο .a; b/, και η f είναι παραγωγίσι η στο x, τότε f 0 .x/ D 0. (Ση ειώνου ε ότι δεν υποτίθεται η παραγωγισι ότητα, ούτε καν η συνέχεια της f σε άλλα ση εία.) ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Εξετάζου ε την περίπτωση στην οποία η f έχει έγιστο στο x. (Το Σχή α 2 παρουσιάζει την απλή ιδέα που κρύβεται πίσω από την όλη απόδειξη —οι τέ νουσες που περνούν από ση εία αριστερά του .x; f .x// έχουν κλίσεις 0, και οι τέ νουσες που περνούν από ση εία δεξιά του .x; f .x// έχουν κλίσεις 0. Αναλυτικά, ο συλλογισ ός αυτός έχει ως εξής: Αν h είναι οποιοσδήποτε αριθ ός τέτοιος ώστε το x Ch να βρίσκεται στο .a; b/, τότε f .x/ f .x C h/; 170
- 185. 11. Η σηµασίατης παραγώγου 171 αφού η f έχει έγιστο στο .a; b/ στο x. Αυτό ση αίνει ότι f .x C h/ f .x/ 0: Έτσι, αν h 0 έχου ε f .x C h/ f .x/ h 0: άρα και Σ Χ Η Μ Α 2 lim h!0C f .x C h/ f .x/ h 0: Από την άλλη πλευρά, αν h 0, έχου ε f .x C h/ f .x/ h 0; άρα lim h!0 f .x C h/ f .x/ h 0: Από την υπόθεση, η f είναι παραγωγίσι η στο x, άρα αυτά τα δύο όρια πρέπει να είναι ίσα, και ασφαλώς ίσα ε την f 0 .x/. Αυτό ση αίνει ότι f 0 .x/ 0 και f 0 .x/ 0; από όπου έπεται ότι f 0 .x/ D 0. Η περίπτωση στην οποία η f έχει ελάχιστο στο x αφήνεται σε σας (δώστε ια από- δειξη σε ια γρα ή). Παρατηρήστε (Σχή α 3) ότι δεν πορού ε να αντικαταστήσου ε το .a; b/ ε το Œa; b στην εκφώνηση του θεωρή ατος (εκτός αν προσθέσου ε στις υποθέσεις τον όρο ότι το x βρίσκεται στο .a; b/). Σ Χ Η Μ Α 3 Επειδή η f 0 .x/ εξαρτάται όνο από τις τι ές της f κοντά στο x, είναι σχεδόν προφα- νές το πώς πορού ε να πάρου ε ια ισχυρότερη έκδοση του Θεωρή ατος 1. Αρχίζου ε ε έναν ορισ ό που εξηγείται στο Σχή α 4. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f ια συνάρτηση, και A ένα σύνολο αριθ ών που περιέχεται στο πεδίο ορι- σ ού της f . Ένα ση είο x στο A λέγεται ση είο τοπικού εγίστου [ελαχίστου] για την f στο A, αν υπάρχει κάποιο ı 0 τέτοιο ώστε το x να είναι ση είο εγίστου [ελαχίστου] για την f στο A .x ı; x C ı/. ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Αν το x είναι ένα τοπικό έγιστο ή ελάχιστο για την f στο .a; b/ και η f είναι παραγω- γίσι η στο x, τότε f 0 .x/ D 0. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θα έπρεπε να είστε σε θέση να δείτε γιατί αυτή είναι ια απλή εφαρ ογή του Θεωρή α- τος 1. Το αντίστροφο του Θεωρή ατος 2 σαφώς δεν ισχύει — πορεί η f 0 .x/ να είναι 0, ακό α και αν το x δεν είναι ση είο τοπικού εγίστου ή ελαχίστου για την f . Το απλού- στερο παράδειγ α δίνεται από τη συνάρτηση f .x/ D x3 · Τότε f 0 .0/ D 0, αλλά η f δεν έχει τοπικό έγιστο ή ελάχιστο πουθενά. Τα περισσότερο ίσως διαδεδο ένα σφάλ ατα στον Απειροστικό Λογισ ό έχουν σχέση ε τη συ περιφορά ιας συνάρτησης f κοντά σε ένα x στο οποίο f 0 .x/ D 0. Το σχόλιο που κάνα ε στην προηγού ενη παράγραφο ξεχνιέται τόσο γρήγορα από αυτούς που θέλουν τον κόσ ο απλούστερο από ό,τι είναι, που θα το επαναλάβου ε: το αντί- στροφο του Θεωρή ατος 2 δεν ισχύει —η συνθήκη f 0 .x/ D 0 δεν αρκεί για να είναι
- 186. 172 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα το x ση είο τοπικού εγίστου ή ελαχίστου της f . Για αυτόν ακριβώς τον λόγο, υιοθε- τού ε κάποια επιπλέον ορολογία για να περιγράψου ε τους αριθ ούς x που ικανοποιούν τη συνθήκη f 0 .x/ D 0. ΟΡΙΣΜΟΣ Κρίσι ο ση είο ιας συνάρτησης f είναι ένας αριθ ός x τέτοιος ώστε f 0 .x/ D 0: Ο αριθ ός f .x/ λέγεται τότε κρίσι η τι ή της f . Οι κρίσι ες τι ές της f , καθώς και λίγοι ακό α αριθ οί, είναι τελικά αυτοί που πρέπει να ελετήσου ε για να βρού ε τα έγιστα και τα ελάχιστα δοθείσας συνάρτησης f . Για τους α ύητους, η εύρεση της εγίστης και της ελαχίστης τι ής ιας συνάρτησης είναι ένα από τα πιο ενδιαφέροντα θέ ατα στον Απειροστικό Λογισ ό και δεν υπάρχει κα ία αντίρρηση ότι τα προβλή ατα αυτού του είδους έχουν γούστο ( έχρι να λύσει κανείς τα πρώτα εκατό του, ή κάτι τέτοιο). Ας εξετάσου ε πρώτα το πρόβλη α της εύρεσης του εγίστου ή του ελαχίστου της f σε ένα κλειστό διάστη α Œa; b. (Τότε, αν η f είναι συνεχής, πορού ε τουλάχιστον να εί αστε βέβαιοι ότι υπάρχει ια έγιστη και ια ελάχιστη τι ή.) Για να εντοπίσου ε το έγιστο και το ελάχιστο της f πρέπει να εξετάσου ε τρία είδη ση είων: (1) Τα κρίσι α ση εία της f στο Œa; b. (2) Τα άκρα a και b. (3) Τα ση εία x στο Œa; b όπου η f δεν παραγωγίζεται. Αν το x είναι ση είο εγίστου ή ση είο ελαχίστου της f στο Œa; b, το x πρέπει να ανήκει σε ια από τις τρεις κλάσεις που όλις αναφέρα ε: γιατί, αν το x δεν ανήκει στη δεύτερη ή στην τρίτη ο άδα, τότε το x βρίσκεται στο .a; b/ και η f είναι παραγωγίσι η στο x· επο ένως f 0 .x/ D 0 από το Θεώρη α 1, και αυτό ση αίνει ότι το x ανήκει στην πρώτη ο άδα. ση είο τοπικού εγίστου ση είο τοπικού ελαχίστου Σ Χ Η Μ Α 4 Αν υπάρχουν πολλά ση εία σε αυτές τις τρεις κατηγορίες, το να ψάξει κανείς το έ- γιστο και το ελάχιστο της f ίσως είναι άταιος κόπος· αν ό ως υπάρχουν λίγα κρίσι α ση εία, και λίγα ση εία στα οποία η f δεν είναι παραγωγίσι η, η διαδικασία γίνεται τελείως ά εση: βρίσκει κανείς το f .x/ για κάθε x που ικανοποιεί την f 0 .x/ D 0, και το f .x/ για κάθε x στο οποίο η f δεν είναι παραγωγίσι η, και τέλος τα f .a/ και f .b/. Ο εγαλύτερος από αυτούς τους αριθ ούς θα είναι η έγιστη τι ή της f , και ο ικρότερος θα είναι η ελάχιστη. Να ένα απλό παράδειγ α: Ας υποθέσου ε ότι θέλου ε να βρού ε τη έγιστη και την ελάχιστη τι ή της συνάρ- τησης f .x/ D x3 x στο διάστη α Œ 1; 2. Για να αρχίσου ε κάπως, είναι f 0 .x/ D 3x2 1; άρα f 0 .x/ D 0 όταν 3x2 1 D 0, δηλαδή όταν x D p 1=3 ή p 1=3: Οι αριθ οί p 1=3 και p 1=3 βρίσκονται και οι δύο στο Œ 1; 2, άρα η πρώτη ο άδα των υποψηφίων για τη θέση του εγίστου και του ελαχίστου είναι .1/ p 1=3; p 1=3: Η δεύτερη ο άδα περιέχει τα άκρα του διαστή ατος .2/ 1; 2:
- 187. 11. Η σηµασίατης παραγώγου 173 Η τρίτη ο άδα είναι κενή, γιατί η f παραγωγίζεται παντού. Το τελικό βή α είναι να υπολογίσου ε τα f . p 1=3 / D . p 1=3 /3 p 1=3 D 1 3 p 1=3 p 1=3 D 2 3 p 1=3; f . p 1=3 / D . p 1=3 /3 . p 1=3 / D 1 3 p 1=3 C p 1=3 D 2 3 p 1=3; f . 1/ D 0; f .2/ D 6: Είναι φανερό ότι η ελάχιστη τι ή είναι 2 3 p 1=3 στο ση είο p 1=3, και η έγιστη τι ή 6 στο ση είο 2. Αυτού του είδους η διαδικασία, όταν είναι εφικτή, εντοπίζει πάντοτε τη έγιστη και την ελάχιστη τι ή ιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστη α. Αν ό ως η συνάρ- τηση που εξετάζου ε δεν είναι συνεχής, ή αν ζητά ε το έγιστο ή το ελάχιστο σε ένα ανοικτό διάστη α ή σε όλη την ευθεία, τότε δεν εί αστε βέβαιοι από πριν, ούτε για το αν υπάρχει η έγιστη και η ελάχιστη τι ή, οπότε όλες οι πληροφορίες που παίρνου ε ε αυτήν τη διαδικασία πορεί να η ση αίνουν τίποτα. Και πάλι ό ως, ια σχετική ευστροφία πορεί συχνά να αποκαλύψει τη φύση των πραγ άτων. Στο Κεφάλαιο 7 λύ- σα ε ακριβώς ένα τέτοιο πρόβλη α, όταν αποδείξα ε ότι, αν ο n είναι άρτιος, τότε η συνάρτηση f .x/ D xn C an 1xn 1 C C a0 έχει ελάχιστη τι ή σε ολόκληρη την ευθεία. Αυτό ση αίνει ότι η ελάχιστη τι ή παίρνεται Σ Χ Η Μ Α 5 για έναν αριθ ό x που ικανοποιεί την 0 D f 0 .x/ D nxn 1 C .n 1/an 1xn 2 C C a1: Αν καταφέρου ε να λύσου ε αυτήν την εξίσωση, και συγκρίνου ε τις τι ές του f .x/ για αυτά τα x, βρίσκου ε όντως την ελάχιστη τι ή της f . Ίσως βοηθήσει ένα ακό α παρά- δειγ α. Ας υποθέσου ε ότι θέλου ε να βρού ε το έγιστο και το ελάχιστο, αν υπάρχουν, της συνάρτησης f .x/ D 1 1 x2 στο ανοικτό διάστη α . 1; 1/. Έχου ε f 0 .x/ D 2x .1 x2/2 άρα f 0 .x/ D 0 όνο για x D 0. Βλέπου ε α έσωςότι, για x κοντά στο 1 ή στο 1 οι τι ές του f .x/ γίνονται οσοδήποτε εγάλες, οπότε η f σαφώς δεν έχει έγιστο. Με αυτήν την παρατήρηση είναι εύκολο να δείξου ε ότι η f έχει ελάχιστο στο 0. Παρατηρού ε απλώς (Σχή α 5) ότι θα υπάρχουν αριθ οί a και b, ε 1 a 0 και 0 b 1; τέτοιοι ώστε f .x/ f .0/ για 1 x a και b x 1: Αυτό ση αίνει ότι το ελάχιστο της f στο Œa; b είναι το ελάχιστο της f σε όλο το . 1; 1/. Τώρα, στο Œa; b το ελάχιστο συ βαίνει είτε στο 0 (το όνο ση είο όπου f 0 D 0), ή στο a ή το b, και αφού τα a και b έχουν ήδη αποκλειστεί, η ελάχιστη τι ή είναι το f .0/ D 1. Προσπαθώντας να λύσου ε τα προηγού ενα προβλή ατα, σκόπι α δεν σχεδιάσα ε τις γραφικές παραστάσεις των f .x/ D x3 x και f .x/ D 1=.1 x2 /, δεν είναι ό ως κλέψι ο το να σχεδιάσει κανείς τις γραφικές παραστάσεις (Σχή α 6), αρκεί να η στηρι- χθεί στην εικόνα και όνο για να αποδείξει κάτι. Και άλιστα, θα αναπτύξου ε τώρα ια έθοδο ε την οποία πορού ε να σχεδιάζου ε τη γραφική παράσταση ιας συνάρτησης Σ Χ Η Μ Α 6 που ας δίνει πραγ ατικά πολλές πληροφορίες για τα έγιστα και τα ελάχιστα —που ας
- 188. 174 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα επιτρέπει να εντοπίσου ε ακό α και τα τοπικά έγιστα και ελάχιστα. Αυτή η έθοδος παίρνει υπόψη της το πρόση ο της f 0 .x/, και βασίζεται σε ερικά βαθιά θεωρή ατα. Τα θεωρή ατα που έχου ε αποδείξει έως τώρα για τις παραγώγους πάντοτε δίνουν πληροφορίες για την f 0 ε βάση ορισ ένες πληροφορίες για την f . Αυτό ισχύει ακό α και για το Θεώρη α 1, αν και αυτό το θεώρη α πορού ε ερικές φορές να το χρησι ο- ποιήσου ε για να βρού ε κάποια στοιχεία για την f , δηλαδή τη θέση των εγίστων και ελαχίστων. Όταν αναφερθήκα ε για πρώτη φορά στην παράγωγο, τονίσα ε ότι η f 0 .x/ δεν είναι το Œf .xCh/ f .x/=h για κάποιο ιδιαίτερο h, αλλά το όριο αυτών των αριθ ών όταν το h τείνει στο 0· αυτό το γεγονός έχει οδυνηρές συνέπειες όταν κάποιος προσπα- θεί να αποσπάσει πληροφορίες για την f από πληροφορίες για την f 0 . Η απλούστερη και πιο αποθαρρυντική προειδοποίηση για τις δυσκολίες που πορούν να ε φανιστούν παρέχεται από το εξής πρόβλη α: αν f 0 .x/ D 0 για κάθε x, είναι αναγκαστικά η f στα- θερή συνάρτηση; Είναι αδύνατο να φανταστεί κανείς τι άλλο θα πορούσε να είναι η f , και αυτή η πεποίθηση ενισχύεται αν καταφύγου ε στη φυσική ερ ηνεία —αν η ταχύτητα ενός σώ ατος είναι διαρκώς 0, το σω ατίδιο πρέπει αναγκαστικά να ένει ακίνητο! Παρ’ όλα αυτά, είναι πολύ δύσκολο ακό α και να επιχειρήσει κανείς να αποδείξει ότι όνο οι σταθερές συναρτήσεις ικανοποιούν την f 0 .x/ D 0 για κάθε x. Η υπόθεση f 0 .x/ D 0 ση αίνει απλώς ότι lim h!0 f .x C h/ f .x/ h D 0; και δεν είναι καθόλου φανερό πώς πορεί να χρησι οποιήσει κάποιος την πληροφορία για αυτό το όριο για να εξαγάγει πληροφορίες για τη συνάρτηση. Το γεγονός ότι η f είναι σταθερή συνάρτηση αν f 0 .x/ D 0 για κάθε x, και πολλά άλλα αποτελέσ ατα αυτού του είδους, όλα προκύπτουν από ένα θε ελιώδες θεώρη α, που λέγεται Θεώρη α Μέσης Τι ής, και το οποίο υποστηρίζει πολύ ισχυρότερα πράγ- ατα. Το Σχή α 7 ας προδιαθέτει να πιστέψου ε ότι, αν η f είναι παραγωγίσι η στο Œa; b, τότε υπάρχει κάποιο x στο .a; b/ τέτοιο ώστε Σ Χ Η Μ Α 7 f 0 .x/ D f .b/ f .a/ b a : Γεω ετρικά, αυτό ση αίνει ότι κάποια εφαπτο ένη είναι παράλληλη στην ευθεία που περνά από τα .a; f .a// και .b; f .b//. Το Θεώρη α Μέσης Τι ής εξασφαλίζει ότι αυτό ισχύει —υπάρχει κάποιο x στο .a; b/ τέτοιο ώστε η f 0 .x/, ο στιγ ιαίος ρυθ ός ετα- βολής της f στο x, ισούται ακριβώς ε τη « έση» εταβολή της f στο Œa; b, η οποία εταβολή είναι ίση ε Œf .b/ f .a/=Œb a. (Για παράδειγ α, αν ταξιδέψεις 60 χιλιό- ετρα σε ια ώρα, τότε κάποια χρονική στιγ ή πρέπει να ταξίδευες ε ταχύτητα ακριβώς 60 χιλιο έτρων την ώρα.) Αυτό το θεώρη α είναι ένα από τα ση αντικότερα θεωρητι- κά εργαλεία του Απειροστικού Λογισ ού —ίσως το βαθύτερο αποτέλεσ α όσον αφορά στις παραγώγους. Από αυτά τα λόγια ίσως βγάζετε το συ πέρασ α ότι η απόδειξη εί- ναι δύσκολη, αλλά εδώ πέφτετε έξω —τα δύσκολα θεωρή ατα αυτού του βιβλίου έχουν εξαντληθεί εδώ και καιρό, από το Κεφάλαιο 7. Είναι αλήθεια ότι, αν προσπαθήσετε να Σ Χ Η Μ Α 8 αποδείξετε όνοι σας το Θεώρη α Μέσης Τι ής πιθανόν να αποτύχετε, αλλά αυτό δεν ση αίνει ούτε ότι το θεώρη α είναι δύσκολο, ούτε βέβαια ότι θα έπρεπε να ντρέπεστε. Η πρώτη απόδειξη του θεωρή ατος ήταν ένα επίτευγ α, αλλά στις έρες ας εί αστε σε θέση να δώσου ε ια απόδειξη πολύ απλή. Θα βοηθούσε να αρχίσου ε ε ια πολύ ειδική περίπτωση. ΘΕΩΡΗΜΑ 3 (ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥROLLE) Αν η f είναι συνεχής στο Œa; b και παραγωγίσι η στο .a; b/, και f .a/ D f .b/, τότε υπάρχει ένας αριθ ός x στο .a; b/ τέτοιος ώστε f 0 .x/ D 0. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Από τη συνέχεια της f στο Œa; b συ περαίνου ε ότι η f έχει ια έγιστη και ια ελάχι- στη τι ή στο Œa; b. Ας υποθέσου ε πρώτα ότι η έγιστη τι ή παίρνεται σε ένα ση είο x στο .a; b/. Τότε f 0 .x/ D 0 από το Θεώρη α 1, και τελειώσα ε (Σχή α 8). Ας υποθέσου ε πάλι ότι η ελάχιστη τι ή της f παίρνεται σε κάποιο ση είο x στο .a; b/. Τότε, ο οίως, f 0 .x/ D 0 από το Θεώρη α 1 (Σχή α 9). Σ Χ Η Μ Α 9
- 189. 11. Η σηµασίατης παραγώγου 175 Τέλος, ας υποθέσου ε ότι η έγιστη και η ελάχιστη τι ή παίρνονται και οι δύο στα άκρα. Αφού f .a/ D f .b/, η έγιστη και η ελάχιστη τι ή της f είναι ίσες, άρα η f είναι σταθερή συνάρτηση (Σχή α 10), και για ια σταθερή συνάρτηση πορού ε να δια- λέξου ε οποιοδήποτε x στο .a; b/. Παρατηρήστε ότι χρειαστήκα ε ουσιαστικά την υπόθεση πως η f είναι παραγωγίσι η Σ Χ Η Μ Α 1 0 παντού στο .a; b/ για να εφαρ όσου ε το Θεώρη α 1. Χωρίς αυτήν την υπόθεση το θεώρη α δεν ισχύει (Σχή α 11). Ίσως αναρωτιέστε γιατί να έχει ένα ειδικό όνο α ένα θεώρη α ε τόσο εύκολη από- δειξη σαν το Θεώρη α του Rolle. Ο λόγος είναι ότι, αν και το Θεώρη α του Rolle είναι ια ειδική περίπτωση του Θεωρή ατος Μέσης Τι ής, δίνει ό ως ια απλή απόδειξη του Θεωρή ατος Μέσης Τι ής. Για να αποδείξου ε το Θεώρη α Μέσης Τι ής θα εφαρ ό- σου ε το Θεώρη α του Rolle στη συνάρτηση που δίνει το ήκος του κατακόρυφου τ ή- ατος στο Σχή α 12· αυτό είναι η διαφορά ανά εσα στο f .x/, και το ύψος στο ση είο x της ευθείας L που περνά από τα ση εία .a; f .a// και .b; f .b//. Αφού η L είναι η γραφική παράσταση της Σ Χ Η Μ Α 1 1 g.x/ D f .b/ f .a/ b a .x a/ C f .a/; θα ελετήσου ε την f .x/ f .b/ f .a/ b a .x a/ f .a/: Η σταθερά f .a/ δεν παίζει κανένα ρόλο, όπως θα φανεί. ΘΕΩΡΗΜΑ 4 (ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ) Αν η f είναι συνεχής στο Œa; b και παραγωγίσι η στο .a; b/, τότε υπάρχει ένας αριθ ός x στο .a; b/ τέτοιος ώστε f 0 .x/ D f .b/ f .a/ b a : ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω h.x/ D f .x/ f .b/ f .a/ b a .x a/: Η h είναι προφανώς συνεχής στο Œa; b και παραγωγίσι η στο .a; b/, και h.a/ D f .a/; h.b/ D f .b/ f .b/ f .a/ b a .x a/ D f .a/: Άρα πορού ε να εφαρ όσου ε το Θεώρη α του Rolle στην h και να συ περάνου ε ότι υπάρχει κάποιο x στο .a; b/ τέτοιο ώστε 0 D h0 .x/ D f 0 .x/ f .b/ f .a/ b a ; δηλαδή Σ Χ Η Μ Α 1 2 f 0 .x/ D f .b/ f .a/ b a : Παρατηρήστε ότι το Θεώρη α Μέσης Τι ής ταιριάζει και αυτό στο οντέλο που δια- όρφωσαν τα προηγού ενα θεωρή ατα —κάποιες πληροφορίες για την f , ας δίνουν πληροφορίες για την f 0 . Αυτή ό ως η πληροφορία είναι τόσο ισχυρή, που πορού ε τώρα πια να κινηθού ε και προς την αντίθετη κατεύθυνση. ΠΟΡΙΣΜΑ 1 Αν η f είναι ορισ ένη σε ένα διάστη α και f 0 .x/ D 0 για κάθε x στο διάστη α, τότε η f είναι σταθερή σε αυτό το διάστη α.
- 190. 176 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω a και b δύο τυχαία ση εία στο διάστη α ε a ¤ b. Τότε υπάρχει κάποιο x στο .a; b/ τέτοιο ώστε f 0 .x/ D f .b/ f .a/ b a : Αλλά f 0 .x/ D 0 για όλα τα x στο διάστη α, άρα 0 D f .b/ f .a/ b a ; και επο ένως f .a/ D f .b/. Έτσι, η τι ή της f σε δύο οποιαδήποτε ση εία του διαστή- Σ Χ Η Μ Α 1 3 ατος είναι η ίδια, δηλαδή η f είναι σταθερή στο διάστη α. Φυσικά, το Πόρισ α 1 δεν ισχύει για συναρτήσεις ορισ ένες σε δύο ή περισσότερα διαστή ατα (Σχή α 13). ΠΟΡΙΣΜΑ 2 Αν οι f και g είναι ορισ ένες στο ίδιο διάστη α, και f 0 .x/ D g0 .x/ για όλα τα x στο διάστη α, τότε υπάρχει κάποιος αριθ ός c τέτοιος ώστε f D g C c. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Για κάθε x στο διάστη α έχου ε .f g/0 .x/ D f 0 .x/ g0 .x/ D 0, άρα από το Πόρισ α 1, υπάρχει κάποιος αριθ ός c τέτοιος ώστε f g D c. Η διατύπωση του επο ένου πορίσ ατος απαιτεί κάποια ορολογία, η οποία περιγρά- φεται στο Σχή α 14. ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f είναι αύξουσα σε ένα διάστη α αν f .a/ f .b/ όποτε a και b είναι δύο αριθ οί έσα στο διάστη α ε a b. Η συνάρτηση f είναι φθίνουσα σε ένα διάστη α αν f .a/ f .b/ για κάθε a και b στο διάστη α ε a b. (Συχνά λέ ε όνο ότι η f είναι αύξουσα ή φθίνουσα, οπότε ως διάστη α υποτίθεται ότι παίρνου ε το πεδίο ορισ ού της f .) ΠΟΡΙΣΜΑ 3 Αν f 0 .x/ 0 για κάθε x σε ένα διάστη α, τότε η f είναι αύξουσα στο διάστη α· αν f 0 .x/ 0 για όλα τα x σε ένα διάστη α, τότε η f είναι φθίνουσα στο διάστη α. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θεωρού ε την περίπτωση f 0 .x/ 0. Έστω ότι a και b είναι δύο ση εία του διαστή ατος ε a b. Τότε υπάρχει κάποιο x στο .a; b/ ε f 0 .x/ D f .b/ f .a/ b a : Αλλά f 0 .x/ 0 για κάθε x στο .a; b/, άρα f .b/ f .a/ b a 0: Αφού b a 0, έπεται ότι f .b/ f .a/. Η απόδειξη του πορίσ ατος, όταν f 0 .x/ 0 για κάθε x, αφήνεται σε σας. Παρατηρήστε ότι, ενώ τα αντίστροφα των Πορισ άτων 1 και 2 ισχύουν (και είναι προφανή), το αντίστροφο του Πορίσ ατος 3 δεν ισχύει. Αν η f είναι αύξουσα, είναι εύκολο να δού ε ότι f 0 .x/ 0 για κάθε x, αλλά πορεί να ισχύει και ισότητα για κάποια x (θεωρήστε την f .x/ D x3 ). Το Πόρισ α 3 ας παρέχει αρκετές πληροφορίες για να πάρου ε ια καλή ιδέα για τη γραφική παράσταση ιας συνάρτησης χωρίς να σχεδιάσου ε πολλά ση εία. Ας πάρου ε, για ια ακό α φορά, τη συνάρτηση f .x/ D x3 x. Έχου ε (α) αύξουσα συνάρτηση (β) φθίνουσα συνάρτηση Σ Χ Η Μ Α 1 4 f 0 .x/ D 3x2 1:
- 191. 11. Η σηµασίατης παραγώγου 177 Έχου ε ήδη ση ειώσει ότι f 0 .x/ D 0 για x D p 1=3 και x D p 1=3, και πορού ε να προσδιορίσου ε το πρόση ο του f 0 .x/ για όλα τα άλλα x. Παρατηρήστε ότι 3x2 1 0 ακριβώς όταν 3x2 1 x2 1 3 ; x p 1=3 ή x p 1=3· άρα 3x2 1 0 ακριβώς όταν p 1=3 x p 1=3: Άρα η f είναι αύξουσα για x p 1=3, φθίνουσα ανά εσαστο p 1=3 και το p 1=3, και πάλι αύξουσα για x p 1=3. Συνδυάζοντας αυτήν την πληροφορία ε τα εξής στοιχεία (1) f . p 1=3 / D 2 3 p 1=3, f . p 1=3 / D 2 3 p 1=3, (2) f .x/ D 0 για x D 1, 0, 1, (3) το f .x/ γίνεται εγάλο όταν το x γίνεται εγάλο, και πολύ αρνητικό όταν το x γίνεται πολύ αρνητικό, είναι δυνατόν να σχεδιάσου ε ια αρκετά καλή προσέγγιση της γραφικής παράστασης (Σχή α 15). Με την ευκαιρία, παρατηρήστε ότι θα πορούσα ε να έχου ε βρει τα διαστή ατα στα οποία η f είναι αύξουσα ή φθίνουσα χωρίς να χρειαστεί να εξετάσου ε το πρόση ο της f 0 . Για παράδειγ α, αφού η f 0 είναι συνεχής, και ηδενίζεται όνο στο p 1=3 και στο p 1=3, ξέρου ε ότι η f 0 διατηρεί το ίδιο πρόση ο στο διάστη α . p 1=3; p 1=3 /. Αφού f . p 1=3 / f . p 1=3 /, έπεται ότι η f φθίνει σε αυτό το διάστη α. Ο οίως, η f 0 διατηρεί το πρόση ο στο . p 1=3; 1/ και το f .x/ είναι εγάλο για εγάλα x, άρα η f πρέπει να είναι αύξουσα στο . p 1=3; 1/. Αξίζει να ση ειώσου ε κάτι ακό α: Αν η f 0 είναι συνεχής, τότε το πρόση ο της f 0 στο διάστη α ανά εσα σε δύο διαδοχικά κρίσι α ση εία προσδιορίζεται αν βρού ε το πρόση ο της f 0 .x/ για ένα όνο x σε αυτό το διάστη α. αύξουσα αύξουσαφθίνουσα Σ Χ Η Μ Α 1 5 Το σκίτσο της γραφικής παράστασης της f .x/ D x3 x που κάνα ε περιέχει αρκετές πληροφορίες ώστε να ας επιτρέπει να πού ε ε αυτοπεποίθηση ότι το p 1=3 είναι
- 192. 178 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα ση είο τοπικού εγίστου, και το p 1=3 ση είο τοπικού ελαχίστου. Και άλιστα, εί αστε σε θέση να δώσου ε ια γενική αρχή για να διακρίνου ε αν ένα κρίσι ο ση είο είναι ση είο τοπικού εγίστου, ή ση είο τοπικού ελαχίστου, ή τίποτε από τα δύο (Σχή α 16): (1) αν f 0 0 σε κάποιο διάστη α αριστερά από το x και f 0 0 σε κάποιο διάστη α δεξιά από το x, τότε το x είναι ση είο τοπικού εγίστου. (2) αν f 0 0 σε κάποιο διάστη α αριστερά από το x και f 0 0 σε κάποιο διάστη α δεξιά από το x, τότε το x είναι ση είο τοπικού ελαχίστου. (3) αν η f 0 έχει το ίδιο πρόση ο σε κάποιο διάστη α αριστερά του x, όπως και σε ένα διάστη α δεξιά του, τότε το x δεν είναι ούτε ση είο τοπικού εγίστου ούτε ση είο τοπικού ελαχίστου. (∆εν υπάρχει λόγος να απο νη ονεύσετε αυτούς τους κανόνες — πορείτε πάντα να σχε- διάσετε ένα σχή α όνοι σας.) (β)(α) (γ) (δ) Σ Χ Η Μ Α 1 6 Με τον ίδιο τρόπο, πορού ε να αναλύσου ε όλες τις πολυωνυ ικές συναρτήσεις, και επιπλέον πορού ε να περιγράψου ε τη γενική ορφή της γραφικής παράστασης τέτοιων συναρτήσεων. Για να αρχίσου ε, χρειαζό αστε ένα αποτέλεσ α που έχου ε ήδη αναφέρει στο Πρόβλη α 3-7: Αν f .x/ D anxn C an 1xn 1 C C a0; τότε η f έχει το πολύ n «ρίζες», δηλαδή υπάρχουν το πολύ n αριθ οί x, τέτοιοι ώστε f .x/ D 0. Αν και αυτό είναι ουσιαστικά ένα αλγεβρικό θεώρη α, ε τη βοήθεια του Απειροστικού Λογισ ού πορού ε να δώσου ε ια εύκολη απόδειξη. Παρατηρήστε ότι, αν x1 και x2 είναι δύο ρίζες της f (Σχή α 17), οπότε f .x1/ D f .x2/ D 0, τότε από Σ Χ Η Μ Α 1 7 το Θεώρη α του Rolle υπάρχει ένας αριθ ός x ανά εσα στους x1 και x2 τέτοιος ώστε f 0 .x/ D 0. Αυτό ση αίνει ότι αν η f έχει k διακεκρι ένες ρίζες x1 x2 xk, τότε η f 0 έχει τουλάχιστον k 1 διακεκρι ένες ρίζες: ια ανά εσα στους x1 και x2, ια ανά εσα στους x2 και x3, κτλ. Είναι τώρα εύκολο να αποδείξου ε ε επαγωγή ότι ια πολυωνυ ική συνάρτηση f .x/ D anxn C an 1xn 1 C C a0 έχει το πολύ n ρίζες: ο ισχυρισ ός είναι οπωσδήποτε αληθής για n D 1, και αν υποθέ- σου ε ότι είναι σωστός για το n, τότε το πολυώνυ ο g.x/ D bnC1xnC1 C bnxn C C b0 δεν πορεί να έχει περισσότερες από n C 1 ρίζες, γιατί αν είχε, η g0 θα είχε περισσότερες από n ρίζες. Με αυτήν την πληροφορία, δεν είναι δύσκολο να περιγράψου ε τη γραφική παρά- σταση της f .x/ D anxn C an 1xn 1 C C a0:
- 193. 11. Η σηµασίατης παραγώγου 179 Η παράγωγος, ως πολυωνυ ική συνάρτηση βαθ ού n 1, έχει το πολύ n 1 ρίζες. Άρα η f έχει το πολύ n 1 κρίσι α ση εία. Φυσικά, ένα κρίσι ο ση είο δεν είναι απαραίτητα ση είο τοπικού εγίστου ή ελαχίστου, αλλά σε κάθε περίπτωση, αν a και b είναι διαδοχικά κρίσι α ση εία της f , τότε η f 0 θα παρα ένει είτε θετική είτε αρνητική στο .a; b/, αφού η f 0 είναι συνεχής· επο ένως, η f θα είναι ή αύξουσα ή φθίνουσα στο .a; b/. Άρα η f έχει το πολύ n περιοχές στις οποίες αυξάνει ή φθίνει. Ως συγκεκρι ένο παράδειγ α, θεωρού ε τη συνάρτηση f .x/ D x4 2x2 : Αφού f 0 .x/ D 4x3 4x D 4x.x 1/.x C 1/; τα κρίσι α ση εία της f είναι τα 1, 0 και 1, και f . 1/ D 1; f .0/ D 0; f .1/ D 1: Η συ περιφορά της f στα διαστή ατα ανά εσα στα κρίσι α ση εία προσδιορίζεται ε ία από τις εθόδους που αναφέρθηκαν προηγου ένως. Συγκεκρι ένα, θα πορού- σα ε να αποφανθού ε για το πρόση ο της f 0 σε αυτά τα διαστή ατα εξετάζοντας απλώς τον τύπο της f 0 .x/. Από την άλλη πλευρά, από τις τρεις κρίσι ες τι ές και όνο πο- ρού ε να δού ε (Σχή α 18) ότι η f είναι αύξουσα στο . 1; 0/ και φθίνουσα στο .0; 1/. Σ Χ Η Μ Α 1 8 Για να βρού ε το πρόση ο της f 0 στο . 1; 1/ και στο .1; 1/ υπολογίζου ε τα f 0 . 2/ D 4 . 2/3 4 . 2/ D 24; f 0 .2/ D 4 23 4 2 D 24; και συ περαίνου ε ότι η f είναι φθίνουσα στο . 1; 1/ και αύξουσα στο .1; 1/. Το ίδιο συ πέρασ α προκύπτει από το γεγονός ότι το f .x/ είναι εγάλο για εγάλα x και για πολύ αρνητικά x. Έχου ε ήδη στη διάθεσή ας ένα καλό σκίτσο της γραφικής παράστασης· δύο ακό α πληροφορίες θα βάλουν την τελευταία πινελιά (Σχή α 19). Αρχικά, είναι εύκολο να δού ε ότι f .x/ D 0 για x D 0, ˙ p 2· έπειτα, είναι φανερό ότι η f είναι άρτια, f .x/ D f . x/, άρα η γραφική παράσταση είναι συ ετρική ως προς τον κατακόρυφο άξονα. Η συνάρτηση f .x/ D x3 x, που έχου ε σχεδιάσει στο Σχή α 15, είναι περιττή, f .x/ D f . x/, και επο ένως είναι συ ετρική ως προς την αρχή των αξόνων. Παρατηρώντας αυτά τα πράγ ατα από την αρχή, γλιτώνου ε τη ισή δουλειά στη γραφική παράσταση. Σ Χ Η Μ Α 1 9 Πολλά προβλή ατα, σε αυτό και σε επό ενα κεφάλαια, σας ζητούν να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων. Σε κάθε περίπτωση θα πρέπει να προσδιορίζετε (1) τα κρίσι α ση εία της f ,
- 194. 180 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα (2) την τι ή της f στα κρίσι α ση εία, (3) το πρόση ο της f 0 στις περιοχές ανά εσα στα κρίσι α ση εία (αν αυτό δεν είναι ήδη καθαρό), (4) τους αριθ ούς x για τους οποίους f .x/ D 0 (αν γίνεται), (5) τη συ περιφορά του f .x/ καθώς το x γίνεται εγάλο ή πολύ αρνητικό (αν γίνεται). Τέλος, έχετε κατά νου ότι ένας σύντο ος έλεγχος για το αν η συνάρτηση είναι περιττή ή άρτια πορεί να σας απαλλάξει από πολλή δουλειά. Αυτού του τύπου η ανάλυση, αν εκτελεστεί ε προσοχή, συνήθως αποκαλύπτει τον βασικό κορ ό της γραφικής παράστασης, αλλά ερικές φορές υπάρχουν ειδικά χαρα- κτηριστικά που απαιτούν περισσότερη σκέψη. Είναι αδύνατο να τα προβλέψου ε όλα αυτά, αλλά υπάρχει ια ακό α πληροφορία που είναι συχνά πολύ ση αντική. Αν η f δεν ορίζεται σε κάποια ση εία (για παράδειγ α, αν η f είναι ια ρητή συνάρτηση που ο παρονο αστής της ηδενίζεται σε κάποια ση εία), τότε θα πρέπει να εξετάσου ε τη συ περιφορά της f κοντά σε αυτά τα ση εία. Για παράδειγ α, θεωρού ε τη συνάρτηση f .x/ D x2 2x C 2 x 1 ; η οποία δεν ορίζεται στο 1. Έχου ε f 0 .x/ D .x 1/.2x 2/ .x2 2x C 2/ .x 1/2 D x.x 2/ .x 1/2 : Άρα .1/ τα κρίσι α ση εία της f είναι το 0 και το 2. Ακό α, .2/ f .0/ D 2; f .2/ D 2: Επειδή η f δεν ορίζεται σε ολόκληρο το διάστη α .0; 2/, πρέπει να εξετάσου ε το πρόση ο της f 0 χωριστά στα διαστή ατα .0; 1/ και .1; 2/, καθώς και στα διαστή ατα . 1; 0/ και .2; 1/. Μπορού ε να το κάνου ε αυτό επιλέγοντας συγκεκρι ένα ση εία σε καθένα από αυτά τα διαστή ατα, ή απλώς κοιτώντας προσεκτικά τον τύπο που δίνει την f 0 . Με οποιονδήποτε από τους δύο τρόπους, βρίσκου ε ότι .3/ f 0 .x/ 0 αν x 0, f 0 .x/ 0 αν 0 x 1; f 0 .x/ 0 αν 1 x 2; f 0 .x/ 0 αν 2 x. Τέλος, πρέπει να εξετάσου ε τη συ περιφορά του f .x/ όταν το x γίνεται εγάλο ή πολύ αρνητικό, καθώς και όταν το x τείνει στο 1 (αυτές οι πληροφορίες θα ας δώσουν και έναν άλλο τρόπο για να προσδιορίσου ε τα διαστή ατα στα οποία η f αυξάνει και φθίνει). Για να εξετάσου ε τη συ περιφορά καθώς το x γίνεται εγάλο, γράφου ε x2 2x C 2 x 1 D x 1 C 1 x 1 :
- 195. 11. Η σηµασίατης παραγώγου 181 Είναι φανερό ότι το f .x/ βρίσκεται κοντά στο x 1 (και είναι λίγο εγαλύτερο) όταν το x είναι εγάλο, και το f .x/ βρίσκεται κοντά στο x 1 (αλλά είναι λίγο ικρότερο) όταν το x είναι πολύ αρνητικό. Η συ περιφορά της f κοντά στο 1 εξακριβώνεται το ίδιο εύκολα· αφού lim x!1 .x2 2x C 2/ D 1 ¤ 0; το κλάσ α x2 2x C 2 x 1 γίνεται εγάλο καθώς το x τείνει στο 1 από δεξιά, και πολύ αρνητικό καθώς το x τείνει στο 1 από αριστερά. Όλες αυτές οι πληροφορίες οιάζουν συντριπτικές, αλλά υπάρχει όνο ένας τρόπος ε τον οποίο ταιριάζουν (Σχή α 20)· βεβαιωθείτε ότι πορείτε να δικαιολογήσετε όλα τα ση εία στη γραφική παράσταση. Σ Χ Η Μ Α 2 0 Καθώς το σχέδιο έχει ολοκληρωθεί, θα πορούσα ε να ση ειώσου ε ότι οιάζει ε τη γραφική παράσταση ιας περιττής συνάρτησης ετατοπισ ένης κατά ία ονάδα, και η παράσταση x2 2x C 2 x 1 D .x 1/2 C 1 x 1 δείχνει ότι στ’ αλήθεια έτσι έχουν τα πράγ ατα. Ό ως, τέτοιου είδους χαρακτηριστικά τα ελετά ε όνο αφού έχου ε χρησι οποιήσει τις άλλες πληροφορίες για να πάρου ε ια καλή γεύση από τη γραφική παράσταση. Αν και η θέση των τοπικών εγίστων και ελαχίστων ιας συνάρτησης πάντοτε απο- καλύπτεται ε ένα λεπτο ερές σκίτσο της γραφικής της παράστασης, συνήθως δεν χρειά- ζεται να κάνου ε τόση πολλή δουλειά. Υπάρχει ένα δη οφιλές κριτήριο για τα τοπικά έγιστα και ελάχιστα που βασίζεται στη συ περιφορά της συνάρτησης στα κρίσι α όνο ση εία της. ΘΕΩΡΗΜΑ 5 Έστω ότι f 0 .a/ D 0. Αν f 00 .a/ 0, τότε η f έχει τοπικό ελάχιστο στο a· αν f 00 .a/ 0, τότε η f έχει τοπικό έγιστο στο a.
- 196. 182 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Από τον ορισ ό, f 00 .a/ D lim h!0 f 0 .a C h/ f 0 .a/ h : Αφού f 0 .a/ D 0, πορού ε να γράψου ε f 00 .a/ D lim h!0 f 0 .a C h/ h : Έστω τώρα ότι f 00 .a/ 0. Τότε το f 0 .aCh/=h πρέπει να είναι θετικό για αρκετά ικρό h. Επο ένως: η f 0 .a C h/ πρέπει να είναι θετική για αρκετά ικρό h 0 και η f 0 .a C h/ πρέπει να είναι αρνητική για αρκετά ικρό h 0. Αυτό ση αίνει (Πόρισ α 3) ότι η f είναι αύξουσα σε κάποιο διάστη α δεξιά του a και η f είναι φθίνουσα σε κάποιο διάστη α αριστερά του a. Επο ένως, η f έχει τοπικό ελάχιστο στο a. Η απόδειξη για την περίπτωση f 00 .a/ 0 είναι ό οια. Το Θεώρη α 5 εφαρ όζεται στη συνάρτηση f .x/ D x3 x, που έχου ε ήδη ελε- τήσει. Έχου ε f 0 .x/ D 3x2 1 f 00 .x/ D 6x: Στα κρίσι α ση εία p 1=3 και p 1=3, έχου ε f 00 . p 1=3 / D 6 p 1=3 0; f 00 . p 1=3 / D 6 p 1=3 0: Επο ένως, το p 1=3 είναι ση είο τοπικού εγίστου και το p 1=3 είναι ση είο τοπικού ελαχίστου. Αν και το Θεώρη α 5 αποδεικνύεται πολύ χρήσι ο για πολυωνυ ικές συναρτήσεις, η δεύτερη παράγωγοςπολλών συναρτήσεων είναι τόσο πολύπλοκη που είναι ευκολότερο να εξετάζου ε το πρόση ο της πρώτης παραγώγου. Ακό α, αν a είναι ένα κρίσι ο ση είο της f , πορεί να συ βεί να ισχύει f 00 .a/ D 0. Σε αυτήν την περίπτωση, το Θεώρη α 5 δεν ας δίνει κα ία πληροφορία: είναι δυνατόν το a να είναι ση είο τοπικού εγίστου, ση είο τοπικού ελαχίστου ή τίποτα από τα δύο, όπως φαίνεται (Σχή α 21) από τις συναρ- τήσεις f .x/ D x4 ; f .x/ D x4 ; f .x/ D x5 : Σε όλες τις περιπτώσεις, f 0 .0/ D f 00 .0/ D 0, αλλά το 0 είναι ση είο τοπικού εγίστου (α) (γ) (β) Σ Χ Η Μ Α 2 1 για την πρώτη, ση είο τοπικού ελαχίστου για τη δεύτερη, και τίποτα από τα δύο για την τρίτη. Αυτό το ση είο θα ξεκαθαρίσει αργότερα, στο 4ο Μέρος. Είναι ενδιαφέρον να ση ειώσου ε ότι το Θεώρη α 5 αποδεικνύει αυτο άτως ένα ερικό αντίστροφο του εαυτού του. ΘΕΩΡΗΜΑ 6 Έστω ότι η f 00 .a/ υπάρχει. Αν η f έχει τοπικό ελάχιστο στο a, τότε f 00 .a/ 0· αν η f έχει τοπικό έγιστο στο a, τότε f 00 .a/ 0. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω ότι η f έχει τοπικό ελάχιστο στο a. Αν f 00 .a/ 0, τότε η f θα είχε και τοπικό έγιστο στο a, από το Θεώρη α 5. Άρα η f θα ήταν σταθερή σε κάποιο διάστη α γύρω από το a, άρα θα είχα ε f 00 .a/ D 0, άτοπο. Άρα πρέπει να είναι f 00 .a/ 0. Για την περίπτωση τοπικού εγίστου εργαζό αστε ε τον ίδιο τρόπο. (Αυτό το ερικό αντίστροφο του Θεωρή ατος 5 είναι ό,τι καλύτερο πορού ε να ελπίζου ε: τα πρόση α και δεν πορούν να αντικατασταθούν ε και , όπως φαίνεται από τις συναρτήσεις f .x/ D x4 και f .x/ D x4 .)
- 197. 11. Η σηµασίατης παραγώγου 183 Το υπόλοιπο αυτού του κεφαλαίου ασχολείται όχι ε γραφικές παραστάσεις, έγιστα και ελάχιστα, αλλά ε τρεις συνέπειες του Θεωρή ατος Μέσης Τι ής. Η πρώτη είναι ένα απλό, αλλά πολύ κο ψό, θεώρη α που διαδρα ατίζει ση αντικό ρόλο στο Κεφάλαιο 15, και ακό α φωτίζει πολλά παραδείγ ατα που συναντήσα ε σε προηγού ενα κεφάλαια. ΘΕΩΡΗΜΑ 7 Έστω ότι η f είναι συνεχής στο a, και ότι η f 0 .x/ υπάρχει για όλα τα x σε κάποιο διάστη α που περιέχει το a, εκτός ίσως από το x D a. Έστω ακό α ότι το lim x!a f 0 .x/ υπάρχει. Τότε, υπάρχει και η f 0 .a/, και f 0 .a/ D lim x!a f 0 .x/: ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Από τον ορισ ό, f 0 .a/ D lim h!0 f .a C h/ f .a/ h : Για αρκετά ικρό h 0, η συνάρτηση f θα είναι συνεχής στο Œa; aCh και παραγωγίσι η στο .a; a C h/ (ο αντίστοιχος ισχυρισ ός αληθεύει για αρκετά ικρό h 0). Από το Θεώρη α Μέσης Τι ής υπάρχει ένας αριθ ός ˛h στο .a; a C h/ τέτοιος ώστε f .a C h/ f .a/ h D f 0 .˛h/: Τώρα το ˛h τείνει στο a καθώς το h τείνει στο 0, γιατί το ˛h ανήκει στο .a; a C h/· αφού το lim x!a f 0 .x/ υπάρχει, έπεται ότι f 0 .a/ D lim h!0 f .a C h/ f .a/ h D lim h!0 f 0 .˛h/ D lim x!a f 0 .x/: (Είναι σκόπι ο να δώσετε ια αυστηρή -ı απόδειξη για αυτό το τελευταίο βή α, που το παρουσιάσα ε κάπως άτυπα.) Ακό α και αν η f είναι παντού παραγωγίσι η συνάρτηση, είναι δυνατόν η f 0 να είναι ασυνεχής. Αυτό συ βαίνει, για παράδειγ α, αν f .x/ D 8 : x2 sin 1 x ; x ¤ 0 0; x D 0: Σύ φωνα ό ως ε το Θεώρη α 7, στη γραφική παράσταση της f 0 δεν πορεί ποτέ να ε φανιστεί ασυνέχεια σαν και αυτή που φαίνεται στο Σχή α 22. Το Πρόβλη α 61 σκια- Σ Χ Η Μ Α 2 2 γραφεί την απόδειξη ενός άλλου κο ψού θεωρή ατος που δίνει περισσότερες πληροφο- ρίες για τη συνάρτηση f 0 , και το Πρόβλη α 62 το χρησι οποιεί για ενίσχυση του Θεω- ρή ατος 7. Το επό ενο θεώρη α, ια γενίκευση του Θεωρή ατος Μέσης Τι ής, παρουσιάζει ενδιαφέρον κυρίως λόγω των εφαρ ογών του. ΘΕΩΡΗΜΑ 8 (ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΟΥCAUCHY) Αν οι f και g είναι συνεχείς στο Œa; b και παραγωγίσι ες στο .a; b/, τότε υπάρχει ένας αριθ ός x στο .a; b/ τέτοιος ώστε Œf .b/ f .a/g0 .x/ D Œg.b/ g.a/f 0 .x/: (Αν g.b/ ¤ g.a/, και g0 .x/ ¤ 0, αυτή η ισότητα γράφεται και f .b/ f .a/ g.b/ g.a/ D f 0 .x/ g0.x/ : Παρατηρήστε ότι, αν g.x/ D x για κάθε x, τότε g0 .x/ D 1, και παίρνου ε το Θεώρη α Μέσης Τι ής. Από την άλλη πλευρά, αν εφαρ όσου ε το Θεώρη α Μέσης Τι ής στις f και g χωριστά, βρίσκου ε ότι υπάρχουν x και y στο .a; b/ ε f .b/ f .a/ g.b/ g.a/ D f 0 .x/ g0.y/ ·
- 198. 184 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα αλλά τίποτε δεν ας εγγυάται ότι τα x και y που βρίσκου ε ε αυτόν τον τρόπο θα είναι ίσα. Αυτές οι παρατηρήσεις ίσως δη ιουργούν την εντύπωση ότι το Θεώρη α Μέσης Τι ής του Cauchy είναι άλλον δύσκολο να αποδειχθεί, στην πραγ ατικότητα ό ως αρκεί ένα πολύ απλό τέχνασ α.) ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θέτου ε h.x/ D f .x/Œg.b/ g.a/ g.x/Œf .b/ f .a/: Τότε η h είναι συνεχής στο Œa; b, παραγωγίσι η στο .a; b/, και h.a/ D f .a/g.b/ g.a/f .b/ D h.b/: Από το Θεώρη α του Rolle έπεται ότι h0 .x/ D 0 για κάποιο x στο .a; b/, το οποίο ση αί- νει ότι 0 D f 0 .x/Œg.b/ g.a/ g0 .x/Œf .b/ f .a/: Το Θεώρη α Μέσης Τι ής του Cauchy είναι το βασικό εργαλείο που χρειαζό αστε για να αποδείξου ε ένα θεώρη α που διευκολύνει τον υπολογισ ό ορίων της ορφής lim x!a f .x/ g.x/ ; όταν lim x!a f .x/ D 0 και lim x!a g.x/ D 0: Σε αυτήν την περίπτωση, το Θεώρη α 5-2 ας είναι άχρηστο. Κάθε παράγωγος είναι ένα όριο αυτής της ορφής και ο υπολογισ ός των παραγώγων συχνά απαιτεί πολλή δουλειά. Αν ό ως ξέρου ε κάποιες παραγώγους, πολλά όρια αυτής της ορφής πορούν τώρα να υπολογιστούν εύκολα. ΘΕΩΡΗΜΑ 9 (ΚΑΝΟΝΑΣ ΤΟΥL’H ˆOPITAL) Έστω ότι lim x!a f .x/ D 0 και lim x!a g.x/ D 0; επίσης έστω ότι το lim x!a f 0 .x/=g0 .x/ υπάρχει. Τότε το lim x!a f .x/=g.x/ υπάρχει, και lim x!a f .x/ g.x/ D lim x!a f 0 .x/ g0.x/ : (Παρατηρήστε ότι το Θεώρη α 7 είναι ια ειδική περίπτωση.) ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Η υπόθεση ότι το lim x!a f 0 .x/=g0 .x/ υπάρχει περιέχει σιωπηρά δύο υποθέσεις: (1) υπάρχει ένα διάστη α .a ı; a C ı/ τέτοιο ώστε οι f 0 .x/ και g0 .x/ να υπάρχουν για κάθε x στο .a ı; a C ı/ εκτός, ίσως, για x D a, (2) σε αυτό το διάστη α g0 .x/ ¤ 0 ε την πιθανή εξαίρεση, και πάλι, του x D a. Από την άλλη πλευρά, οι f και g δεν υποτίθενται καν ορισ ένες στο a. Αν ορίσου ε f .a/ D g.a/ D 0 (αλλάζοντας, αν χρειαστεί, τις προηγού ενες τι ές των f .a/ και g.a/), τότε οι f και g είναι συνεχείς στο a. Αν a x a C ı, τότε το Θεώρη α Μέσης Τι ής και το Θεώρη α Μέσης Τι ής του Cauchy εφαρ όζονται για τις f και g στο διάστη α Œa; x (και ένας αντίστοιχος ισχυρισ ός είναι σωστός για a ı x a). Εφαρ όζοντας πρώτα το Θεώρη α Μέσης Τι ής στην g, βλέπου ε ότι g.x/ ¤ 0, γιατί αν ήταν g.x/ D 0 θα υπήρχε κάποιο x1 στο .a; x/ ε g0 .x1/ D 0, αντιφάσκοντας ε την (2). Τώρα, εφαρ όζοντας το Θεώρη α Μέσης Τι ής του Cauchy για τις f και g, βλέπου ε ότι υπάρχει ένας αριθ ός ˛x στο .a; x/, τέτοιος ώστε Œf .x/ 0g0 .˛x/ D Œg.x/ 0f 0 .˛x/
- 199. 11. Η σηµασίατης παραγώγου 185 ή f .x/ g.x/ D f 0 .˛x/ g0.˛x/ : Αλλά το ˛x τείνει στο a καθώς το x τείνει στο a, γιατί το ˛x ανήκει στο .a; x/· αφού υποθέτου ε ότι το lim y!a f 0 .y/=g0 .y/ υπάρχει, έπεται ότι lim x!a f .x/ g.x/ D lim x!a f 0 .˛x/ g0.˛x/ D lim y!a f 0 .y/ g0.y/ : (Για ια ακό α φορά, καλού ε τον αναγνώστη να συ πληρώσει τις λεπτο έρειες αυτού του τ ή ατος της απόδειξης.) ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Για καθε ιά από τις συναρτήσεις που ακολουθούν, βρείτε τη έγιστη και την ελά- χιστη τι ή στα διαστή ατα που σας υποδεικνύου ε, βρίσκοντας τα ση εία του δια- στή ατος στα οποία η παράγωγος είναι 0, και συγκρίνοντας τις τι ές σε αυτά τα ση εία ε τις τι ές στα άκρα. (i) f .x/ D x3 x2 8x C 1 στο Œ 2; 2. (ii) f .x/ D x5 C x C 1 στο Œ 1; 1. (iii) f .x/ D 3x4 8x3 C 6x2 στο Œ 1 2 ; 1 2 . (iv) f .x/ D 1 x5 C x C 1 στο Œ 1 2 ; 1. (v) f .x/ D x C 1 x2 C 1 στο Œ 1; 1 2 . (vi) f .x/ D x x2 1 στο Œ0; 5. 2. Τώρα σχεδιάστε τη γραφική παράσταση καθε ιάς από τις συναρτήσεις του Προ- βλή ατος 1, και βρείτε όλα τα ση εία τοπικού εγίστου και ελαχίστου. 3. Σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις των εξής συναρτήσεων: (i) f .x/ D x C 1 x . (ii) f .x/ D x C 3 x2 . (iii) f .x/ D x2 x2 1 . (iv) f .x/ D 1 1 C x2 . 4. (α) Αν a1 an, βρείτε την ελάχιστη τι ή της f .x/ D nX iD1 .x ai /2 . (β) Τώρα βρείτε την ελάχιστη τι ή της f .x/ D nX iD1 jx ai j. Αυτό είναι ένα πρόβλη α στο οποίο ο Απειροστικός Λογισ ός δεν θα βοηθήσει καθόλου: στα διαστή ατα ανά εσα στα ai η συνάρτηση f είναι γρα ική, άρα το ελά- χιστο προφανώς συ βαίνει σε κάποιο από τα ai , και αυτά είναι ακριβώς τα ση εία όπου η f δεν είναι παραγωγίσι η. Ό ως, είναι εύκολο να βρείτε την απάντηση αν εξετάσετε πώς εταβάλλεται το f .x/ καθώς εταβαίνου ε από ένα τέτοιο διάστη α σε άλλο.
- 200. 186 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα (γ) Έστω a 0. ∆είξτε ότι η έγιστη τι ή της f .x/ D 1 1 C jxj C 1 1 C jx aj είναι .2 C a/=.1 C a/. (Μπορείτε να βρείτε την παράγωγο σε καθένα από τα διαστή ατα . 1; 0/, .0; a/ και .a; 1/ χωριστά.) 5. Για καθε ιά από τις συναρτήσεις που ακολουθούν, βρείτε όλα τα ση εία τοπικού εγίστου ή ελαχίστου. (i) f .x/ D 8 ˆˆˆˆ ˆˆˆˆ: x; x ¤ 3; 5; 7; 9 5; x D 3 3; x D 5 9; x D 7 7; x D 9: (ii) f .x/ D 0; x άρρητος 1=q; x D p=q που p=q ανάγωγο. (iii) f .x/ D x; x ρητός 0; x άρρητος. (iv) f .x/ D 1; x D 1=n για κάποιο n στο N 0; αλλιώς. (v) f .x/ D 1; αν το δεκαδικό ανάπτυγ α του x περιέχει ένα 5 0; αλλιώς. 6. Αποδείξτε το εξής (το οποίο υπονοού ε συχνά): Αν η f είναι αύξουσα στο .a; b/ και συνεχής στα a και b, τότε η f είναι αύξουσα στο Œa; b. Πιο συγκεκρι ένα, αν η f είναι συνεχής στο Œa; b και f 0 0 στο .a; b/, τότε η f είναι αύξουσα στο Œa; b. 7. Φέρνου ε ια ευθεία από το ση είο .0; a/ στον οριζόντιο άξονα, και ετά πίσω στο .1; b/, όπως στο Σχή α 23. Αποδείξτε ότι το συνολικό ήκος γίνεται ελάχιστο όταν οι γωνίες ˛ και ˇ είναι ίσες. (Φυσικά πρέπει να φέρετε ια συνάρτηση στο σκηνικό: εκφράστε το ήκος συναρτήσει του x, όπου .x; 0/ είναι το ση είο στον οριζόντιο άξονα. Η διακεκο ένη γρα ή στο Σχή α 23 προτείνει ια εναλλακτι- κή γεω ετρική απόδειξη· και στις δύο περιπτώσεις, το πρόβλη α λύνεται χωρίς να χρειαστεί να βρείτε το ση είο .x; 0/.) 8. (α) Έστω .x0; y0/ ένα ση είο του επιπέδου και L η γραφική παράσταση της Σ Χ Η Μ Α 2 3 f .x/ D mx C b. Βρείτε το Nx έτσι ώστε η απόσταση εταξύ του .x0; y0/ και του . Nx; f . Nx// να είναι ελάχιστη. [Ση ειώστε ότι η ελαχιστοποίηση αυτής της απόστασης είναι το ίδιο ε την ελαχιστοποίηση του τετραγώνου της. Αυτό κάπως απλοποιεί τους υπολογισ ούς.] (β) Βρείτε επίσης το Nx λα βάνοντας υπόψη ότι η ευθεία που διέρχεται από το .x0; y0/ και το . Nx; f . Nx// είναι κάθετη στην L. (γ) Βρείτε την απόσταση του .x0; y0/ από την L, δηλαδή την απόσταση από το .x0; y0/ έως το . Nx; f . Nx//. [Οι υπολογισ οί θα γίνουν ευκολότεροι αν υπο- θέσετε πρώτα ότι b D 0· ετά εφαρ όστε το αποτέλεσ ά σας στη γραφική παράσταση της f .x/ D mx και το ση είο .x0; y0 b/.] Συγκρίνετε ε το Πρόβλη α 4-22. (δ) Θεωρήστε την ευθεία ε εξίσωση AxCBy CC D 0 (Πρόβλη α 4-7). ∆είξτε ότι η απόσταση του .x0; y0/ από την εν λόγω ευθεία είναι .Ax0 C By0 C C/= p A2 C B2.
- 201. 11. Η σηµασίατης παραγώγου 187 9. Το προηγού ενο πρόβλη α υπαινίσσεται την εξής ερώτηση: ποια είναι η σχέση εταξύ των κρίσι ων ση είων της f και της f 2 ; 10. Αποδείξτε ότι, από όλα τα ορθογώνια ε δοθείσα περί ετρο, το τετράγωνο έχει το εγαλύτερο ε βαδόν. 11. Μεταξύ των ορθών κυλίνδρων ε σταθερό όγκο V , βρείτε αυτόν ε το ικρότερο ε βαδόν επιφανείας (συ περιλα βάνοντας και τα ε βαδά των δύο βάσεων, όπως στο Σχή α 24). Το ε βαδόν επιφανεία̋ είναι το άθροισ α αυτών των ε βαδών Σ Χ Η Μ Α 2 4 12. Ορθογώνιο τρίγωνο ε υποτείνουσα ήκους a περιστρέφεται γύρω από ία από τις κάθετες πλευρές του και παράγει έναν ορθό κυκλικό κώνο. Βρείτε τον έγιστο δυνατό όγκο αυτού του κώνου. 13. ∆είξτε ότι το άθροισ α ενός θετικού αριθ ού και αντίστροφού του είναι τουλάχι- στον 2. 14. Βρείτε το τραπέζιο ε το εγαλύτερο ε βαδόν που πορεί να εγγραφεί σε η ικύ- κλιο ακτίνας a, ε τη ία βάση πάνω στη διά ετρο. Σ Χ Η Μ Α 2 5 15. ∆ύο διάδρο οι πλάτους a και b αντίστοιχα τέ νονται κάθετα (Σχή α 25). Ποιο είναι το εγαλύτερο δυνατό ήκος ιας σκάλας που πορεί, εταφερό ενη ορι- ζόντια, να στρίψει τη γωνία; 16. Ένας κήπος πρόκειται να σχεδιασθεί στο σχή α ενός κυκλικού το έα (Σχή α 26), ακτίνας R και βασικής γωνίας . Ο κήπος πρέπει να έχει ορισ ένο ε βαδόν A. Για ποιες τι ές των R και (σε ακτίνια) το ήκος της περίφραξης θα είναι ελάχιστο; Σ Χ Η Μ Α 2 6 17. Μια ορθή γωνία κινείται κατά ήκος της δια έτρου ενός κύκλου ακτίνας a, όπως φαίνεται στο Σχή α 27. Ποιο είναι το εγαλύτερο δυνατό ήκος του .A C B/ που αποκόπτει από τη γωνία ο κύκλος; 18. Ο οικολόγος Ed πρέπει να διασχίσει ια λί νη κυκλικού σχή ατος ακτίνας 1 km. Μπορεί να κωπηλατήσει έχρι την απέναντι όχθη ε ταχύτητα 2 km/h ή να περπα- τήσει γύρω-γύρω ε 4 km/h ή να κωπηλατήσει κατά ένα έρος και να περπατήσει την υπόλοιπη διαδρο ή (Σχή α 28). Ποια διαδρο ή πρέπει να επιλέξει έτσι ώστε: (i) Να δει όσο το δυνατόν περισσότερα από το τοπίο; Σ Χ Η Μ Α 2 7 (ii) Να περάσει απέναντι όσο το δυνατόν πιο γρήγορα; 19. (α) Θεωρού ε τα ση εία A και B επάνω σε έναν κύκλο ε κέντρο O, που βρίσκονται απέναντι από τη γωνία ˛ D †AOC (Σχή α 29). Πώς πρέ- πει να επιλέξου ε το B ώστε το άθροισ α των ε βαδών των 4AOB και 4BOC να είναι το έγιστο; Υπόδειξη: Εκφράστε τις ποσότητες συναρτή- σει της D †AOB. (β) Αποδείξτε ότι για n 3, από όλα τα εγγεγρα ένα σε κύκλο n-άγωνα, το κανονικό n-άγωνο έχει το έγιστο ε βαδόν.κωπηλατώντα̋ βαδίζοντα̋ Σ Χ Η Μ Α 2 8 Σ Χ Η Μ Α 2 9 Σ Χ Η Μ Α 3 0
- 202. 188 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα 20. Η κάτω δεξιά γωνία ιας σελίδας διπλώνεται έτσι ώστε όλις ακου πά την αριστε- ρή πλευρά της σελίδας, όπως φαίνεται στο Σχή α 30. Αν το πλάτος του χαρτιού είναι ˛ και η σελίδα είναι πολύ επι ήκης, δείξτε ότι το ελάχιστο ήκος της (περι- έτρου της) αναδίπλωσης είναι 3 p 3˛=4. 21. Το Σχή α 31 δείχνει τη γραφική παράσταση της παραγώγου της f . Βρείτε όλα τα ση εία τοπικού εγίστου και ελαχίστου της f . Σ Χ Η Μ Α 3 1 22. Έστω ότι f είναι ια πολυωνυ ική συνάρτηση, f .x/ D xn Can 1xn 1 C Ca0, ε κρίσι α ση εία τα 1, 1, 2, 3, 4, και αντίστοιχες κρίσι ες τι ές τις 6, 1, 2, 4, 3. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f , ξεχωρίζοντας τις περιπτώσεις n άρτιος και n περιττός. 23. (α) Έστω ότι η πολυωνυ ική συνάρτηση f .x/ D xn C an 1xn 1 C C a0 έχει κρίσι α ση εία τα 1; 1; 2; 3, και f 00 . 1/ D 0, f 00 .1/ 0, f 00 .2/ 0, f 00 .3/ D 0. Σχεδιάστε, ε όση ακρίβεια πορείτε, τη γραφική παράσταση της f ε βάση αυτές τις πληροφορίες. (β) Υπάρχει πολυωνυ ική συνάρτηση ε τις ίδιες ιδιότητες, αν το 3 δεν είναι κρίσι ο ση είο; 24. Περιγράψτε τη γραφική παράσταση ιας ρητής συνάρτησης (σε πολύ γενικές γρα - ές, κατ’ αναλογίαν προς την περιγραφή που έγινε στο κεί ενο για τη γραφική παράσταση πολυωνυ ικών συναρτήσεων). 25. (α) Αποδείξτε ότι δύο πολυωνυ ικές συναρτήσεις ε βαθ ό m και n, αντίστοιχα, τέ νονται το πολύ σε max.m; n/ ση εία. (β) Για κάθε m και n δώστε δύο πολυωνυ ικές συναρτήσεις βαθ ών m και n που τέ νονται max.m; n/ φορές. 26. Έστω ότι η f είναι ια πολυωνυ ική συνάρτηση βαθ ού n ε f 0 (άρα το n πρέπει να είναι άρτιο). Αποδείξτε ότι f C f 0 C f 00 C C f .n/ 0. 27. (α) Έστω ότι η πολυωνυ ική συνάρτηση f .x/ D xn C an 1xn 1 C C a0 έχει ακριβώς k κρίσι α ση εία και f 00 .x/ ¤ 0 για όλα τα κρίσι α ση εία x. ∆είξτε ότι ο n k είναι περιττός. (β) Για κάθε n, δείξτε ότι αν, ο n k είναι περιττός, τότε υπάρχει ια πολυωνυ ική συνάρτηση f βαθ ού n ε k κρίσι α ση εία, σε κάθε ένα από τα οποία η f 00 δεν είναι ηδέν. (γ) Έστω ότι η πολυωνυ ική συνάρτηση f .x/ D xn C an 1xn 1 C C a0 έχει k1 ση εία τοπικού εγίστου και k2 ση εία τοπικού ελαχίστου. ∆είξτε ότι k2 D k1 C 1 αν ο n είναι άρτιος, και k2 D k1 αν ο n είναι περιττός. (δ) Έστω n, k1, k2 τρεις ακέραιοι ε k2 D k1 C1 αν ο n είναι άρτιος, και k2 D k1 αν ο n είναι περιττός, και k1 C k2 n. ∆είξτε ότι υπάρχει ια πολυωνυ ική συνάρτηση f βαθ ού n, ε k1 ση εία τοπικού εγίστου και k2 ση εία τοπι- κού ελαχίστου. Υπόδειξη: Πάρτε a1 a2 ak1Ck2 και δοκι άστε f 0 .x/ D k1Ck2Y iD1 .x ai / .1 C x2 /l για κατάλληλο αριθ ό l.
- 203. 11. Η σηµασίατης παραγώγου 189 28. (α) Αποδείξτε ότι, αν f 0 .x/ M για κάθε x στο Œa; b, τότε f .b/ f .a/ C M.b a/. (β) Αποδείξτε ότι, αν f 0 .x/ M για κάθε x στο Œa; b, τότε f .b/ f .a/ C M.b a/. (γ) ∆ιατυπώστε ανάλογο θεώρη α όταν jf 0 .x/j M για κάθε x στο Œa; b. 29. Έστω ότι f 0 .x/ M 0, για όλα τα x στο Œ0; 1. ∆είξτε ότι υπάρχει ένα διάστη α ήκους 1 4 , στο οποίο ισχύει jf j M=4. 30. Έστω ότι f 0 .x/ g0 .x/ για κάθε x, και ότι f .a/ D g.a/. ∆είξτε ότι (α) f .x/ g.x/ για x a, και f .x/ g.x/ για x a. (β) ∆είξτε ε ένα παράδειγ α ότι αυτά τα συ περάσ ατα δεν ισχύουν χωρίς την υπόθεση f .a/ D g.a/. (γ) Έστω ότι f .a/ D g.a/, ότι f 0 .x/ g0 .x/ για κάθε x, και ότι f 0 .x0/ g0 .x0/ για κάποιο x0 a. ∆είξτε ότι f .x/ g.x/ για κάθε x x0. 31. Βρείτε όλες τις συναρτήσεις f για τις οποίες (α) f 0 .x/ D sin x. (β) f 00 .x/ D x3 . (γ) f 000 .x/ D x C x2 . 32. Ενώ ισχύει ότι, αν αφήσου ε ένα βάρος να πέσει ενώ ήταν ακίνητο, τότε θα έχει πέσει s.t/ D 16t2 πόδια ετά από t δευτερόλεπτα, αυτό το πειρα ατικό δεδο ένο δεν περιγράφει τη συ περιφορά βαρών που ρίχνονται προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Από την άλλη πλευρά, ο νό ος s00 .t/ D 32 ισχύει πάντοτε και είναι πολύ ασαφής για να εξηγήσει τη συ περιφορά ενός βάρους που αφήνεται από οποιοδήποτε ύψος, ε οποιαδήποτε αρχική ταχύτητα. Για να απλουστεύσου ε τα πράγ ατα, ας συ - φωνήσου ε να ετρά ε τα ύψη προς τα πάνω από την επιφάνεια του εδάφους· σε αυτήν την περίπτωση οι ταχύτητες είναι θετικές για σώ ατα που ανεβαίνουν και αρνητικές για σώ ατα που πέφτουν, και όλα τα σώ ατα πέφτουν σύ φωνα ε το νό ο s00 .t/ D 32. (α) ∆είξτε ότι η s είναι της ορφής s.t/ D 16t2 C ˛t C ˇ. (β) Θέτοντας t D 0 στον τύπο της s, και ετά στον τύπο της s0 , δείξτε ότι s.t/ D 16t2 C v0t C s0, όπου s0 είναι το ύψος από το οποίο αφήνεται το σώ α τη χρονική στιγ ή 0, και v0 είναι η ταχύτητα ε την οποία αφήνεται. (γ) Ένα βάρος βάλλεται προς τα πάνω ε ταχύτητα v πόδια το δευτερόλεπτο, από την επιφάνεια του εδάφους. Πόσο ψηλά θα ανέβει; (Το «πόσο ψηλά» ση αίνει «ποιο είναι το έγιστο ύψος»). Ποια είναι η ταχύτητά του τη χρονική στιγ ή που φτάνει στο έγιστο ύψος; Ποια είναι η επιτάχυνσή του εκείνη τη στιγ ή; Πότε θα πέσει ξανά στο έδαφος; Πόση θα είναι η ταχύτητά του όταν θα ξαναπέσει στο έδαφος; 33. Ένα βλή α βάλλεται από το έδαφος ε ταχύτητα v και υπό γωνία ˛ (Σχή α 32), οπότε έχει ια κατακόρυφη συνιστώσα ταχύτητας v sin ˛ και ια οριζόντια συνι- στώσα v cos ˛. Η απόσταση του s.t/ από το έδαφος υπακούει στο νό ο s.t/ D 16t2 C .v sin ˛/t, ενώ η οριζόντια ταχύτητα παρα ένει σταθερά ίση ε v cos ˛. (α) Αποδείξτε ότι η τροχιά του βλή ατος είναι ια παραβολή (βρείτε τη θέση του σε κάθε χρονική στιγ ή t, και δείξτε ότι αυτά τα ση εία βρίσκονται πάνω σε ια παραβολή). Σ Χ Η Μ Α 3 2 (β) Βρείτε τη γωνία ˛ που εγιστοποιεί την οριζόντια απόσταση που διανύει το βλή α έχρι να πέσει στο έδαφος.
- 204. 190 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα 34. (α) ∆ώστε παράδειγ α συνάρτησης f για την οποία να υπάρχει το lim x!1 f .x/, όχι ό ως το lim x!1 f 0 .x/. (β) Αποδείξτε ότι, αν το lim x!1 f .x/ και το lim x!1 f 0 .x/ υπάρχουν και τα δύο, τότε lim x!1 f 0 .x/ D 0. (γ) Αποδείξτε ότι, αν το lim x!1 f .x/ υπάρχει και το lim x!1 f 00 .x/ υπάρχει, τότε lim x!1 f 00 .x/ D 0.) (Βλ. επίσης το Πρόβλη α 20-22.) 35. Έστω ότι f και g είναι δύο παραγωγίσι ες συναρτήσεις που ικανοποιούν την fg0 f 0 g D 0. Αποδείξτε ότι, αν f .a/ D 0 και g.a/ ¤ 0, τότε f .x/ D 0 για κάθε x σε κάποιο διάστη α γύρω από το a. Υπόδειξη: ∆είξτε ότι στα διαστή ατα στα οποία ορίζεται, η f=g είναι σταθερή. 36. Έστω ότι jf .x/ f .y/j jx yjn ε n 1. Αποδείξτε ότι η f είναι σταθερή εξετάζοντας την f 0 . Συγκρίνετε ε το Πρόβλη α 3-20. 37. Μια συνάρτηση f είναι Lipschitz τάξης ˛ στο x αν υπάρχει σταθερά C έτσι ώστε () jf .x/ f .y/j Cjx yj˛ για όλα τα y σε ένα διάστη α γύρω από το x. Η συνάρτηση f είναι Lipschitz τάξης ˛ σε ένα διάστηµα αν η () ισχύει για όλα τα x και y στο διάστη α. (α) Αν η f είναι Lipschitz τάξης ˛ 0 στο x, δείξτε ότι είναι συνεχής στο x. (β) Αν η f είναι Lipschitz τάξης ˛ 0 σε ένα διάστη α, τότε η f είναι ο οιό- ορφα συνεχής στο διάστη α αυτό (βλ. Κεφάλαιο 8, Παράρτη α). (γ) Αν η f είναι παραγωγίσι η στο x, τότε η f είναι Lipschitz τάξης 1 στο x. Ισχύει το αντίστροφο; (δ) Αν η f είναι παραγωγίσι η στο Œa; b, είναι Lipschitz τάξης 1 στο Œa; b; (ε) Αν η f είναι Lipschitz τάξης ˛ 1 στο Œa; b, τότε είναι σταθερά στο Œa; b. 38. Αποδείξτε ότι, αν a0 1 C a1 2 C C an n C 1 D 0; τότε a0 C a1x C C anxn D 0 για κάποιο x στο .0; 1/. 39. Αποδείξτε ότι η πολυωνυ ική συνάρτηση fm.x/ D x3 3x C m δεν έχει ποτέ δύο ρίζες στο Œ0; 1, ανεξάρτητα από την τι ή του m. (Αυτό προκύπτει εύκολα από το Θεώρη α του Rolle. Είναι χρήσι ο, αφού δώσετε ια αναλυτική απόδειξη, να σχεδιάσετε την f0 και την f2, και να δείτε πού βρίσκεται η γραφική παράσταση της fm σε σχέση ε αυτές.) 40. Έστω ότι η f είναι συνεχής και παραγωγίσι η στο Œ0; 1, ότι το f .x/ ανήκει στο Œ0; 1 για κάθε x, και ότι f 0 .x/ ¤ 1 για κάθε x στο Œ0; 1. ∆είξτε ότι υπάρχει ακριβώς ένας αριθ ός x στο Œ0; 1 τέτοιος ώστε f .x/ D x. (Το ισό πρόβλη α έχει ήδη γίνει, στο Πρόβλη α 7-11.) 41. (α) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f .x/ D x2 cos x ικανοποιεί την f .x/ D 0 για δύο ακριβώς τι ές του x. (β) Αποδείξτε το ίδιο για τη συνάρτηση f .x/ D x2 x sin x cos x. (γ) Αποδείξτε το ίδιο και για τη συνάρτηση f .x/ D 2x2 x sin x cos2 x. (Μερι- κοί προκαταρκτικοί υπολογισ οί θα είναι χρήσι οι ώστε να περιορίσουν τις πιθανές περιοχές των ριζών της f .)
- 205. 11. Η σηµασίατης παραγώγου 191 42. (α) Αποδείξτε ότι, αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσι η συνάρτηση ε f .0/ D 0, f .1/ D 1 και f 0 .0/ D f 0 .1/ D 0, τότε jf 00 .x/j 4 για κάποιο x στο .0; 1/. Για να γίνου ε πιο παραστατικοί: ένα σω ατίδιο που ταξιδεύει ονα- διαία απόσταση σε οναδιαίο χρόνο, και αρχίζει και τερ ατίζει ε ταχύτητα 0, σε κάποια χρονική στιγ ή έχει επιτάχυνση 4. Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι είτε f 00 .x/ 4 για κάποιο x στο .0; 1 2 /, είτε διαφορετικά f 00 .x/ 4 για κάποιο x στο .1 2 ; 1/. (β) ∆είξτε ότι στην πραγ ατικότητα πρέπει να ισχύει jf 00 .x/j 4 για κάποιο x στο .0; 1/. 43. Έστω ότι f είναι ια συνάρτηση ε f 0 .x/ D 1=x για κάθε x 0 και f .1/ D 0. Αποδείξτε ότι f .xy/ D f .x/ C f .y/ για κάθε x; y 0. Υπόδειξη: Βρείτε την g0 .x/ όταν g.x/ D f .xy/. 44. Έστω ότι η f ικανοποιεί την f 00 .x/ C f 0 .x/g.x/ f .x/ D 0 για κάποια συνάρτηση g. Αποδείξτε ότι, αν η f είναι 0 σε δύο ση εία, τότε η f είναι 0 στο διάστη α ανά εσά τους. Υπόδειξη: Χρησι οποιήστε το Θεώρη α 6. 45. Έστω ότι η f είναι συνεχής στο Œa; b, ότι είναι n φορές παραγωγίσι η στο Œa; b, και ότι f .x/ D 0 για n C 1 διαφορετικά x στο Œa; b. Αποδείξτε ότι f .n/ .x/ D 0 για κάποιο x στο .a; b/. 46. Έστω x1; : : : ; xnC1 τυχαία ση εία στο Œa; b, και έστω Q.x/ D nC1Y iD1 .x xi /: Έστω ότι η f είναι .n C 1/ φορές παραγωγίσι η και ότι το P είναι πολυωνυ ική συνάρτηση βαθ ού n, έτσι ώστε P.xi / D f .xi / για i D 1; : : : ; n C 1 (βλ. Πρόβλη α 3-6). ∆είξτε ότι για κάθε x στο Œa; b υπάρχει c στο .a; b/ έτσι ώστε f .x/ P.x/ D Q.x/ f .nC1/ .c/ .n C 1/Š : Υπόδειξη: Θεωρήστε τη συνάρτηση F.t/ D Q.x/Œf .t/ P.t/ Q.t/Œf .x/ P.x/: ∆είξτε ότι η F ηδενίζεται σε n C 2 διαφορετικά ση εία του Œa; b και χρησι ο- ποιήστε το Πρόβλη α 45. 47. Αποδείξτε ότι 1 9 p 66 8 1 8 (χωρίς να υπολογίσετε τη p 66 έχρι 2 δεκαδικά ψηφία!). 48. Αποδείξτε την εξής ικρή γενίκευση του Θεωρή ατος Μέσης Τι ής: Αν η f είναι συνεχής και παραγωγίσι η στο .a; b/ και τα lim y!aC f .y/ και lim y!b f .y/ υπάρχουν, τότε υπάρχει κάποιο x στο .a; b/ τέτοιο ώστε f 0 .x/ D limy!b f .y/ limy!aC f .y/ b a : (Η απόδειξή σας θα πρέπει να αρχίζει κάπως έτσι: «Αυτή είναι ια τετρι ένη συνέπεια του Θεωρή ατος Μέσης Τι ής γιατί ...».
- 206. 192 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα 49. Αποδείξτε ότι το συ πέρασ α του Θεωρή ατος Μέσης Τι ής του Cauchy πορεί να γραφεί στη ορφή f .b/ f .a/ g.b/ g.a/ D f 0 .x/ g0.x/ ; αν κάνου ε τις πρόσθετες υποθέσεις ότι g.b/ ¤ g.a/ και ότι η f 0 .x/ και η g0 .x/ δεν είναι ποτέ ταυτόχρονα 0 στο .a; b/. 50. Αποδείξτε ότι, αν η f και η g είναι συνεχείς στο Œa; b και παραγωγίσι ες στο .a; b/, και g0 .x/ ¤ 0 για x στο .a; b/, τότε υπάρχει κάποιο x στο .a; b/ ε f 0 .x/ g0.x/ D f .x/ f .a/ g.b/ g.x/ : Υπόδειξη: Πολλαπλασιάστε πρώτα, για να δείτε τι πραγ ατικά λέει αυτό. 51. Τί δεν πάει καλά ε την παρακάτω χρήση του Κανόνα του l’Hˆopital: lim x!1 x3 C x 2 x2 3x C 2 D lim x!1 3x2 C 1 2x 3 D lim x!1 6x 2 D 3: (Το όριο στην πραγ ατικότητα είναι 4.) 52. Βρείτε τα όρια: (i) lim x!0 x tan x . (ii) lim x!0 cos2 x 1 x2 . 53. Βρείτε την f 0 .0/, αν f .x/ D 8 : g.x/ x ; x ¤ 0 0; x D 0; και g.0/ D g0 .0/ D 0 και g00 .0/ D 17. 54. Αποδείξτε τις ακόλουθες ορφές του Κανόνα του l’Hˆopital (κα ία δεν απαιτεί κά- ποιο ουσιαστικά καινούργιο συλλογισ ό). (α) Αν lim x!aC f .x/ D lim x!aC g.x/ D 0 και lim x!aC f 0 .x/=g0 .x/ D l, τότε lim x!aC f .x/=g.x/ D l (ο οίως για τα όρια από τα αριστερά). (β) Αν lim x!a f .x/ D lim x!a g.x/ D 0 και lim x!a f 0 .x/=g0 .x/ D 1, τότε lim x!a f .x/=g.x/ D 1 (και ο οίως για 1 ή αν το x ! a αντικατασταθεί ε x ! aC ή x ! a ). (γ) Αν lim x!1 f .x/ D lim x!1 g.x/ D 0 και lim x!1 f 0 .x/=g0 .x/ D l, τότε lim x!1 f .x/=g.x/ D l (και ο οίως για 1). Υπόδειξη: Θεωρήστε το lim x!0C f .1=x/=g.1=x/. (δ) Αν lim x!1 f .x/ D lim x!1 g.x/ D 0 και lim x!1 f 0 .x/=g0 .x/ D 1, τότε lim x!1 f .x/=g.x/ D 1. 55. Υπάρχει ια άλλη ορφή του Κανόνα του l’Hˆopital που χρειάζεται κάτι παρα- πάνω από αλγεβρικούς ετασχη ατισ ούς: Αν lim x!1 f .x/ D lim x!1 g.x/ D 1 και lim x!1 f 0 .x/=g0 .x/ D l, τότε lim x!1 f .x/=g.x/ D l. Αποδείξτε το ως εξής:
- 207. 11. Η σηµασίατης παραγώγου 193 (α) Για κάθε 0 υπάρχει ένας αριθ ός a τέτοιος ώστε ˇ ˇ ˇ ˇ f 0 .x/ g0.x/ l ˇ ˇ ˇ ˇ για x a: Εφαρ όστε το Θεώρη α Μέσης Τι ής του Cauchy για την f και την g στο Œa; x για να δείξετε ότι ˇ ˇ ˇ ˇ f .x/ f .a/ g.x/ g.a/ l ˇ ˇ ˇ ˇ για x a: (Γιατί πορού ε να υποθέσου ε ότι g.x/ g.a/ ¤ 0;) (β) Τώρα γράψτε f .x/ g.x/ D f .x/ f .a/ g.x/ g.a/ f .x/ f .x/ f .a/ g.x/ g.a/ g.x/ (γιατί πορού ε να υποθέσου ε ότι f .x/ f .a/ ¤ 0 για εγάλα x;) και συ περάνετε ότι ˇ ˇ ˇ ˇ f .x/ g.x/ l ˇ ˇ ˇ ˇ 2 για αρκετά εγάλα x. 56. Για να ολοκληρωθεί η πληθώρα των παραλλαγών του Κανόνα του l’Hˆopital, χρη- σι οποιήστε το Πρόβλη α 55 για να αποδείξετε ερικές ακό α περιπτώσεις της ακόλουθης γενικής πρότασης (υπάρχουν τόσες πολλές δυνατότητες που θα πρέπει να επιλέξετε ερικές όνο, αν υπάρχουν, που σας ενδιαφέρουν: Αν lim x!Œ f .x/ D lim x!Œ g.x/ D f g και lim x!Œ f 0 .x/=g0 .x/ D . /, τότε lim x!Œ f .x/=g.x/ D . /. Εδώ το Œ πορεί να είναι a ή aC ή a ή 1 ή 1, και το f g πορεί να είναι 0 ή 1 ή 1, και το . / πορεί να είναι l ή 1 ή 1. 57. Αν οι f και g είναι παραγωγίσι ες και υπάρχει το lim x!a f .x/=g.x/, προκύπτει ότι υπάρχει το lim x!a f 0 .x/=g0 .x/ (ένα αντίστροφο του κανόνα του l’Hˆopital); 58. Αποδείξτε ότι αν η f 0 είναι αύξουσα, τότε κάθε εφαπτο ένη της f τέ νει τη γραφι- κή παράσταση της f όνο ια φορά. (Συγκεκρι ένα, αυτό ισχύει για τη συνάρτηση f .x/ D xn αν ο n είναι άρτιος.) 59. Ξανακάνετε το Πρόβλη α 10-18(γ) όταν .f 0 /2 D f 1 f 2 : (Γιατί βρίσκεται σε αυτό το κεφάλαιο αυτό το πρόβλη α;) 60. (α) Έστω ότι η f είναι παραγωγίσι η στο Œa; b. Αποδείξτε ότι, αν το ελάχιστο της f στο Œa; b είναι στο a, τότε f 0 .a/ 0, και αν είναι στο b, τότε f 0 .b/ 0. (Θα επαναλάβετε τη ισή από την απόδειξη του Θεωρή ατος 1.) (β) Έστω ότι f 0 .a/ 0 και f 0 .b/ 0. ∆είξτε ότι f 0 .x/ D 0 για κάποιο x στο .a; b/. Υπόδειξη: Θεωρήστε το ελάχιστο της f στο Œa; b· γιατί πρέπει να βρίσκεται κάπου στο .a; b/; (γ) Αποδείξτε ότι αν f 0 .a/ c f 0 .b/, τότε f 0 .x/ D c για κάποιο x στο .a; b/. (Αυτό το αποτέλεσ α είναι γνωστό ως Θεώρη α του Darboux. Παρατηρήστε πως δεν υποθέτου ε ότι η f 0 είναι συνεχής.) Υπόδειξη: «Μαγειρέψτε» ια συνάρτηση στην οποία να εφαρ όζεται το έρος (β).
- 208. 194 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα 61. Έστω ότι η f είναι παραγωγίσι η σε κάποιο διάστη α που περιέχει το a, αλλά η f 0 είναι ασυνεχής στο a. Αποδείξτε τα εξής: (α) Τα πλευρικά όρια lim x!aC f 0 .x/ και lim x!a f 0 .x/ δεν πορεί να υπάρχουν και τα δύο. (Αυτό είναι απλώς ια ελαφρά παραλλαγή στο Θεώρη α 7.) (β) Αυτά τα πλευρικά όρια, δεν πορούν να υπάρχουν και τα δύο, ακό α και αν επιτρέπου ε όρια ε τι ές C1 ή 1. Υπόδειξη: Χρησι οποιήστε το Θεώρη α του Darboux (Πρόβλη α 60). 62. Είναι εύκολο να βρού ε ια συνάρτηση f τέτοια ώστε η jf j να είναι παραγωγί- σι η, ενώ η f όχι. Για παράδειγ α, πορού ε να πάρου ε f .x/ D 1 για x ρητό, και f .x/ D 1 για x άρρητο. Σε αυτό το παράδειγ α η f δεν είναι καν συνεχής, και αυτό δεν είναι απλή σύ πτωση: Αποδείξτε ότι, αν η jf j είναι παραγωγίσι η στο a και η f είναι συνεχής στο a, τότε και η f είναι παραγωγίσι η στο a. Υπό- δειξη: Αρκεί να εξετάσου ε όνο τα a για τα οποία f .a/ D 0. Γιατί; Σε αυτήν την περίπτωση, τί πρέπει να είναι το jf j0 .a/; 63. (α) Έστω y ¤ 0 και n άρτιος. Αποδείξτε ότι xn C yn D .x C y/n όνο όταν x D 0. Υπόδειξη: Αν x0 n C yn D .x0 C y/n , εφαρ όστε το Θεώρη α των Rolle στην f .x/ D xn C yn .x C y/n πάνω στο Œ0; x0. (β) Αποδείξτε ότι, αν y ¤ 0 και n περιττός, τότε xn C yn D .x C y/n όνο όταν x D 0 ή x D y. 64. Έστω ότι f .0/ D 0 και η f 0 είναι αύξουσα. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση g.x/ D f .x/=x είναι αύξουσα στο .0; 1/. Υπόδειξη: Προφανώς θα πρέπει να κοιτάξετε την g0 .x/. Αποδείξτε ότι είναι θετική εφαρ όζοντας το Θεώρη α Μέσης Τι ής για την f στο κατάλληλο διάστη α (θα βοηθήσει να θυ άστε ότι η υπόθεση f .0/ D 0 είναι ουσιαστική, όπως φαίνεται από τη συνάρτηση f .x/ D 1 C x2 ). 65. Χρησι οποιήστε παραγώγους για να αποδείξτε ότι, αν n 1, τότε .1 C x/n 1 C nx για 1 x 0 και 0 x (παρατηρήστε ότι για x D 0 ισχύει ισότητα). 66. Θέτου ε f .x/ D x4 sin2 1=x για x ¤ 0, και f .0/ D 0 (Σχή α 33). (α) Αποδείξτε ότι το 0 είναι ση είο τοπικού ελαχίστου της f . (β) Αποδείξτε ότι f 0 .0/ D f 00 .0/ D 0. Επο ένως, αυτή η συνάρτηση ας δίνει άλλο ένα παράδειγ α που δείχνει ότι το Θεώ- ρη α 6 δεν επιδέχεται βελτίωση. Περιγράφει επίσης ένα «λεπτό ση είο» για τα έγιστα και ελάχιστα που συχνά περνά απαρατήρητο: ια συνάρτηση πορεί να ην είναι αύ- ξουσα σε κανένα διάστη α δεξιά από ένα ση είο τοπικού ελαχίστου, ούτε φθίνουσα σε Σ Χ Η Μ Α 3 3 κανένα διάστη α αριστερά του. 67. (α) Αποδείξτε ότι, αν f 0 .a/ 0 και η f 0 είναι συνεχής στο a, τότε η f είναι αύξουσα σε κάποιο διάστη α που περιέχει το a. Τα επό ενα δύο έρη αυτού του προβλή ατος δείχνουν ότι η συνέχεια της f 0 είναι απαραίτητη. (β) Αν g.x/ D x2 sin 1=x, δείξτε ότι υπάρχουν αριθ οί x οσοδήποτε κοντά στο 0 ε g0 .x/ D 1 καθώς και ε g0 .x/ D 1.
- 209. 11. Η σηµασίατης παραγώγου 195 (γ) Έστω ότι 0 ˛ 1. Θέτου ε f .x/ D ˛x C x2 sin 1=x για x ¤ 0, και f .0/ D 0 (βλ. Σχή α 34). ∆είξτε ότι η f δεν είναι αύξουσα σε κανένα ανοι- κτό διάστη α που περιέχει το 0, δείχνοντας ότι σε κάθε διάστη α υπάρχουν ση εία x ε f 0 .x/ 0 καθώς και ση εία x ε f 0 .x/ 0. Σ Χ Η Μ Α 3 4 Η συ περιφορά της f για ˛ 1, που είναι πολύ πιο δύσκολο να αναλυθεί, θα συζητηθεί στο επό ενο πρόβλη α. 68. Θέτου ε f .x/ D ˛x C x2 sin 1=x για x ¤ 0, και f .0/ D 0. Για να βρού ε το πρόση ο της f 0 .x/ όταν ˛ 1 είναι απαραίτητο να εξετάσου ε αν το 2x sin 1=x cos 1=x γίνεται 1 για αριθ ούς x κοντά στο 0. Είναι κάπως βολικότερο να ελετήσου ε τη συνάρτηση g.y/ D 2.sin y/=y cos y για y ¤ 0· θα θέλα ε να ξέρου ε αν g.y/ 1 για εγάλα y. Αυτό το πρόβλη α είναι πολύ λεπτό· το πιο ση αντικό κο άτι του g.y/ είναι το cos y, που φτάνει την τι ή 1, αλλά αυτό συ βαίνει όνο όταν sin y D 0, και δεν είναι καθόλου σαφές το αν η g η ίδια πορεί να έχει τι ές 1. Η προφανής προσέγγιση σε αυτό το πρόβλη α είναι να βρού ε τις τοπικά ελάχιστες τι ές της g. ∆υστυχώς, είναι αδύνατο να λύσου ε την εξίσωση g0 .y/ D 0, απαιτείται επο ένως περισσότερη ευστροφία. (α) ∆είξτε ότι, αν g0 .y/ D 0, τότε cos y D .sin y/ 2 y2 2y ; και συ περάνετε ότι g.y/ D .sin y/ 2 C y2 2y : (β) Τώρα δείξτε ότι, αν g0 .y/ D 0, τότε sin2 y D 4y2 4 C y4 ; και συ περάνετε ότι jg.y/j D 2 C y2 p 4 C y4 :
- 210. 196 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα (γ) Χρησι οποιώντας το γεγονός ότι .2 C y2 /= p 4 C y4 1, δείξτε ότι, αν ˛ D 1, τότε η f δεν είναι αύξουσα σε κανένα διάστη α γύρω από το 0. (δ) Χρησι οποιώντας το γεγονός ότι lim y!1 .2 Cy2 /= p 4 C y4 D 1, δείξτε ότι, αν ˛ 1, τότε η f είναι αύξουσα σε κάποιο διάστη α γύρω από το 0. 69. Μια συνάρτηση f λέγεται αύξουσα στο a αν υπάρχει ένας αριθ ός ı 0, τέτοιος ώστε f .x/ f .a/ αν a x a C ı και f .x/ f .a/ αν a ı x a: Παρατηρήστε πως αυτό δεν ση αίνει ότι η f είναι αύξουσα στο διάστη α .a ı; a C ı/· για παράδειγ α, η συνάρτηση που βλέπετε στο Σχή α 34 είναι αύ- ξουσα στο 0, αλλά δεν είναι αύξουσα σε κανένα ανοικτό διάστη α που να περιέχει το 0. (α) Έστω ότι η f είναι συνεχής στο Œ0; 1 και ότι η f είναι αύξουσα στο a για κάθε a στο Œ0; 1. Αποδείξτε ότι η f είναι αύξουσα στο Œ0; 1. (Πεισθείτε πρώτα ότι υπάρχει κάτι που να χρειάζεται απόδειξη.) Υπόδειξη: Για 0 b 1, αποδείξτε ότι το ελάχιστο της f στο Œb; 1 πρέπει να ε φανίζεται στο b. (β) Αποδείξτε το έρος (α) χωρίς να υποθέσετε ότι η f είναι συνεχής, εξε- τάζοντας για κάθε b στο Œ0; 1 το σύνολο Sb D ˚ x W f .y/ f .b/ για κάθε y στο Œb; x « . (Αυτό το έρος του προβλή ατος δεν χρειάζε- ται για τα υπόλοιπα.) Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι Sb D fx W b x 1g παίρνοντας το sup Sb. (γ) Αν η f είναι αύξουσα στο a και η f είναι παραγωγίσι η στο a, αποδείξτε ότι f 0 .a/ 0 (αυτό είναι εύκολο). (δ) Αν f 0 .a/ 0, αποδείξτε ότι η f είναι αύξουσα στο a (επιστρέψτε στον ορι- σ ό του f 0 .a/). (ε) Χρησι οποιήστε το (α) και (δ) για να δείξετε, χωρίς χρήση του Θεωρή ατος Μέσης Τι ής, ότι, αν η f είναι συνεχής στο Œ0; 1 και f 0 .a/ 0 για κάθε a στο Œ0; 1, τότε η f είναι αύξουσα στο Œ0; 1. (στ) Έστω ότι η f είναι συνεχής στο Œ0; 1 και ότι f 0 .a/ D 0 για κάθε a στο .0; 1/. Εφαρ όστε το έρος (ε) στη συνάρτηση g.x/ D f .x/ C x για να δείξετε ότι f .1/ f .0/ . Ο οίως, δείξτε ότι f .1/ f .0/ εξετάζοντας την h.x/ D x f .x/. Συ περάνετε ότι f .0/ D f .1/. Η συγκεκρι ένη αυτή απόδειξη του ότι ια συνάρτηση ε παράγωγο ηδέν πρέπει να είναι σταθερή έχει πολλά κοινά ση εία ε ια απόδειξη του H. A. Schwarz, που είναι ίσως η πρώτη αυστηρή απόδειξη που δόθηκε. Τουλάχιστον, ο δη ιουργός της έτσι νό ιζε. ∆είτε την ενθουσιώδη επιστολή του στην παραπο πή [54] της Προτεινό ενης Βιβλιογραφίας. 70. (α) Αν f είναι ια σταθερή συνάρτηση, τότε κάθε ση είο είναι ση είο τοπικού εγίστου της f . Είναι πολύ πιθανό να συ βαίνει κάτι τέτοιο, ακό α και αν η f δεν είναι σταθερή συνάρτηση: για παράδειγ α, αν f .x/ D 0 για x 0 και f .x/ D 1 για x 0. Αποδείξτε, ό ως, χρησι οποιώντας το Πρόβλη α 8-4 ότι αν η f είναι συνεχής στο Œa; b και κάθε ση είο του Œa; b είναι ση είο τοπικού εγίστου, τότε η f είναι σταθερή συνάρτηση. Το ίδιο ισχύει, φυσικά, όταν κάθε ση είο του Œa; b είναι ση είο τοπικού ελαχίστου. (β) Υποθέστε τώρα ότι κάθε ση είο είναι είτε τοπικό ελάχιστο ή τοπικό έγι- στο για τη συνεχή συνάρτηση f (χωρίς να αποκλείου ε την εκδοχή ερικά ση εία να είναι τοπικά ελάχιστα και άλλα τοπικά έγιστα). Αποδείξτε ότι η
- 211. 11. Η σηµασίατης παραγώγου 197 f είναι σταθερά ως εξής: Έστω f .a0/ f .b0/. Μπορού ε να υποθέσου ε ότι f .a0/ f .x/ f .b0/ για a0 x b0. (Γιατί;) Χρησι οποιώντας το Θεώρη α 1 του Παραρτή ατος του Κεφαλαίου 8, δια ερίστε το Œa0; b0 σε διαστή ατα πάνω στα οποία να ισχύει sup f inf f .f .b0/ f .a0//=2. Επίσης διαλέξτε τα ήκη των εν λόγω διαστη άτων να είναι ικρότερα του .b0 a0/=2. Τότε υπάρχει ένα τέτοιο υποδιάστη α Œa1; b1 ε a0 a1 b1 b0 και f .a1/ f .b1/. (Γιατί;). Συνεχίστε επαγωγικά και χρησι οποι- ήστε το Θεώρη α των Κιβωτισ ένων ∆ιαστη άτων (Πρόβλη α 8-14) για να βρείτε ση είο x που δεν πορεί να είναι ούτε τοπικό έγιστο ούτε ελάχιστο. 71. (α) Ένα ση είο x λέγεται ση είο γνήσιου εγίστου της f στο A αν f .x/ f .y/ για κάθε y στο A ε y ¤ x (συγκρίνετε ε τον ορισ ό του συνηθισ ένου ση είου εγίστου). Ένα ση είο τοπικά γνήσιου εγίστου ορίζεται ε τον προφανή τρόπο. Βρείτε όλα τα ση εία τοπικά γνήσιου εγίστου της συνάρ- τησης f .x/ D 8 : 0; x άρρητος 1 q ; x D p q όπου p q ανάγωγο. Μοιάζει απίθανο για ια συνάρτηση να έχει ένα τοπικά γνήσιο έγιστο σε κάθε ση είο (αν και το παραπάνω παράδειγ α θα πορούσε να σας βάλει σε σκέψεις). Αποδείξτε το ως εξής. (β) Έστω ότι κάθε ση είο είναι ση είο τοπικά γνήσιου εγίστου της f . Παίρ- νου ε οποιονδήποτε αριθ ό x1 και διαλέγου ε a1 x1 b1 ε b1 a1 1 έτσι ώστε f .x1/ f .x/ για κάθε x στο Œa1; b1. Έστω x2 ¤ x1 κάποιο ση είο στο .a1; b1/ και διαλέγου ε a1 a2 x2 b2 b1 ε b2 a2 1 2 έτσι ώστε f .x2/ f .x/ για κάθε x στο Œa2; b2. Συνεχίστε ε αυτόν τον τρόπο, και χρησι οποιήστε το Θεώρη α Κιβωτισ ένων ∆ιαστη άτων (Πρό- βλη α 8-14) για να οδηγηθείτε σε αντίφαση.
- 212. 198 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. ΚΥΡΤΕΣ ΚΑΙ ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν και η γραφική παράσταση ιας συνάρτησης πορεί να σχεδιαστεί ε αρκετή ακρί- βεια ε βάση τις πληροφορίες που ας παρέχει η παράγωγος, κάποιες κρυφές πτυχές της γραφικής παράστασης αποκαλύπτονται όνο ε τη ελέτη της δεύτερης παραγώγου. Σκόπι α παραλείψα ε προηγου ένως αυτές τις λεπτο έρειες, διότι η σχεδίαση γραφικών παραστάσεων είναι αρκετά περίπλοκη ακό α και αν δεν ασχοληθού ε ε αυτές, και για- τί οι πρόσθετες πληροφορίες που παίρνου ε συχνά δεν αξίζουν τον κόπο. Εξάλλου, οι σωστές αποδείξεις των σχετικών θεωρη άτων είναι αρκετά δύσκολες, τόσο που η θέση τους να είναι σε ένα παράρτη α. Παρ’ όλες αυτές τις αποθαρρυντικές παρατηρήσεις, αξίζει να κάνει κάποιος κτή α του τις πληροφορίες που παρουσιάζονται εδώ, καθώς οι έννοιες του «κυρτού» και του «κοίλου», είναι πολύ πιο ση αντικές από κάποιο βοήθη α για να σχεδιάζου ε γραφικές παραστάσεις. Επιπλέον, οι αποδείξεις έχουν ένα ευχάριστα γεω ετρικό άρω α που δεν απαντά συχνά σε θεωρή ατα Απειροστικού Λογισ ού. Στην πραγ ατικότητα, ο ίδιος ο βασικός ορισ ός είναι γεω ετρικής υφής (βλ. Σχή α 1). ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση f λέγεται κυρτή σε ένα διάστη α, αν για κάθε a και b στο διά- στη α, το ευθύγρα ο τ ή α που ενώνει τα .a; f .a// και .b; f .b// βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της f . Η γεω ετρική συνθήκη που ε φανίζεται σε αυτόν τον ορισ ό πορεί να εκφραστεί και ε αναλυτικό τρόπο, που ερικές φορές είναι πιο χρήσι ος για τις αποδείξεις. Η ευθεία που περνά από τα .a; f .a// και .b; f .b// είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g που ορίζεται από την g.x/ D f .b/ f .a/ b a .x a/ C f .a/: Αυτή η ευθεία βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της f στο x αν g.x/ f .x/, δηλαδή αν f .b/ f .a/ b a .x a/ C f .a/ f .x/ ή Σ Χ Η Μ Α 1 f .b/ f .a/ b a .x a/ f .x/ f .a/ ή f .b/ f .a/ b a f .x/ f .a/ x a : Έχου ε λοιπόν έναν ισοδύνα ο ορισ ό της κυρτότητας. ΟΡΙΣΜΟΣ 2 Μια συνάρτηση f λέγεται κυρτή σε ένα διάστη α, αν για a, x, και b σε αυτό το διάστη α ε a x b, έχου ε f .x/ f .a/ x a f .b/ f .a/ b a : Αν η φράση «πάνω από» στον Ορισ ό 1 αντικατασταθεί από την «κάτω από» ή, ισο- δύνα α, αν η ανισότητα του Ορισ ού 2 αντικατασταθεί από την f .x/ f .a/ x a f .b/ f .a/ b a ; παίρνου ε τον ορισ ό της κοίλης συνάρτησης (Σχή α 2). ∆εν είναι δύσκολο να δού ε Σ Χ Η Μ Α 2
- 213. 11. Παράρτηµα. Κυρτέςκαι κοίλες συναρτήσεις 199 ότι οι κοίλες συναρτήσεις είναι ακριβώς αυτές της ορφής f , όπου η f είναι κυρτή. Για αυτόν το λόγο, τα τρία επό ενα θεωρή ατα για τις κυρτές συναρτήσεις έχουν ά εσα πορίσ ατα για κοίλες συναρτήσεις, τόσο απλά που δεν θα κάνου ε καν τον κόπο να τα διατυπώσου ε. Το Σχή α 3 δείχνει ερικές εφαπτό ενες ιας κυρτής συνάρτησης. ∆ύο πράγ ατα οιάζουν να ισχύουν: (1) Η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την εφαπτο ένη στο .a; f .a// ε εξαίρεση το ίδιο το ση είο .a; f .a// (αυτό το ση είο λέγεται ση είο επαφής της εφαπτο ένης). (2) Αν a b, τότε η κλίση της εφαπτο ένης στο .a; f .a// είναι ικρότερη από την κλίση της εφαπτο ένης στο .b; f .b//· δηλαδή η f 0 είναι αύξουσα. Στην πραγ ατικότητα αυτές οι παρατηρήσεις είναι σωστές, και οι αποδείξεις τους δεν είναι δύσκολες. Σ Χ Η Μ Α 3 ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Έστω ότι η f είναι κυρτή. Αν η f είναι παραγωγίσι η στο a, τότε η γραφική παρά- σταση της f βρίσκεται πάνω από την εφαπτο ένη στο .a; f .a//, ε εξαίρεση το ίδιο το .a; f .a//. Αν a b και η f είναι παραγωγίσι η στα a και b, τότε f 0 .a/ f 0 .b/. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Αν 0 h1 h2, τότε, όπως υποδεικνύει το Σχή α 4, (1) f .a C h1/ f .a/ h1 f .a C h2/ f .a/ h2 : Μπορού ε να πάρου ε ια απόδειξη που να η βασίζεται στο σχή α, ά εσα από τον Ορισ ό 2, αν τον εφαρ όσου ε στο a a C h1 a C h2. Η ανισότητα (1) δείχνει ότι οι τι ές του f .a C h/ f .a/ h φθίνουν καθώς το h ! 0C . Επο ένως f 0 .a/ f .a C h/ f .a/ h για h 0 (στην πραγ ατικότητα η f 0 .a/ είναι το έγιστο κάτω φράγ α όλων αυτών των αριθ- ών). Αλλά αυτό ση αίνει ότι για h 0 η τέ νουσα που περνά από τα .a; f .a// και .a C h; f .a C h// έχει εγαλύτερη κλίση από την εφαπτο ένη, που ση αίνει ότι το .a C h; f .a C h// κείται πάνω από την εφαπτο ένη (εύκολα πορεί κανείς να δώσει ια αναλυτική ετάφραση αυτού του επιχειρή ατος).
- 214. 200 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα Σ Χ Η Μ Α 4 Για αρνητικά h η κατάσταση είναι παρό οια (Σχή α 5): αν h2 h1 0, τότε f .a C h1/ f .a/ h1 f .a C h2/ f .a/ h2 : Αυτό δείχνει ότι η κλίση της εφαπτο ένης είναι εγαλύτερη από f .a C h/ f .a/ h για h 0 (στην πραγ ατικότητα η f 0 .a/ είναι το ελάχιστο άνω φράγ α όλων αυτών των αριθ ών), και έτσι το f .a C h/ βρίσκεται πάνω από την εφαπτο ένη αν h 0. Αυτό αποδεικνύει το πρώτο έρος του θεωρή ατος. Σ Χ Η Μ Α 5 κλίση κλίση κλίση Σ Χ Η Μ Α 6
- 215. 11. Παράρτηµα. Κυρτέςκαι κοίλες συναρτήσεις 201 Έστω τώρα ότι a b. Τότε, όπως έχου ε ήδη διαπιστώσει (Σχή α 6), f 0 .a/ f .a C .b a// f .a/ b a αφού b a 0 D f .b/ f .a/ b a και f 0 .b/ f .b C .a b// f .b/ a b αφού a b 0 D f .a/ f .b/ a b D f .b/ f .a/ b a : Συνδυάζοντας αυτές τις ανισότητες, παίρνου ε f 0 .a/ f 0 .b/. Σ Χ Η Μ Α 7 Το Θεώρη α 1 έχει δύο αντίστροφα. Εδώ οι αποδείξεις θα είναι λίγο πιο δύσκολες. Αρχίζου ε ε ένα λή α που παίζει για το επό ενο θεώρη α τον ίδιο ρόλο ε αυτόν που παίζει το Θεώρη α του Rolle στην απόδειξη του Θεωρή ατος Μέσης Τι ής. Ισχυρίζε- ται ότι αν η f 0 είναι αύξουσα, τότε η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από οποιαδήποτε τέµνουσα που συµβαίνει να είναι οριζόντια. ΛΗΜΜΑ Έστω ότι η f είναι παραγωγίσι η και ότι η f 0 είναι αύξουσα. Αν a b και f .a/ D f .b/, τότε f .x/ f .a/ D f .b/ για κάθε a x b. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Υποθέτου ε πρώτα ότι f .x/ f .a/ D f .b/ για κάποιο x στο .a; b/. Τότε το έγιστο της f στο Œa; b ε φανίζεται σε κάποιο ση είο x0 στο .a; b/ ε f .x0/ f .a/ και φυσικά f 0 .x0/ D 0 (Σχή α 7). Από την άλλη πλευρά, εφαρ όζοντας το Θεώρη α Μέσης Τι ής στο διάστη α Œa; x0, βρίσκου ε ότι υπάρχει κάποιο x1 ε a x1 x0 και f 0 .x1/ D f .x0/ f .a/ x0 a 0; πράγ α που αντιφάσκει ε το ότι η f 0 είναι αύξουσα. Επιχειρού ε τώρα τη γενική περίπτωση ε αλγεβρικά τεχνάσ ατα παρό οια ε αυτά που χρησι οποιήθηκαν στην απόδειξη του Θεωρή ατος Μέσης Τι ής. ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Αν η f είναι παραγωγίσι η και η f 0 αύξουσα, τότε η f είναι κυρτή. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω a b. Ορίζου ε ια συνάρτηση g ε g.x/ D f .x/ f .b/ f .a/ b a .x a/: Είναι εύκολο να δείτε ότι και η g0 είναι αύξουσα· ακό η, g.a/ D g.b/ D f .a/. Εφαρ- όζοντας το λή α για τη g, συ περαίνου ε ότι g.x/ f .a/ αν a x b: Με άλλα λόγια, αν a x b, τότε f .x/ f .b/ f .a/ b a .x a/ f .a/ ή f .x/ f .a/ x a f .b/ f .a/ b a : Άρα η f είναι κυρτή. Σ Χ Η Μ Α 8 ΘΕΩΡΗΜΑ 3 Αν η f είναι παραγωγίσι η και η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτο ένη ε την εξαίρεση του ση είου επαφής, τότε η f είναι κυρτή.
- 216. 202 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω a b. Από το Σχή α 8 είναι φανερό ότι αν το .b; f .b// βρίσκεται πάνω από την εφαπτο ένη στο .a; f .a//, και το .a; f .a// βρίσκεται πάνω από την εφαπτο ένη στο .b; f .b//, τότε η κλίση της εφαπτό ενης στο .b; f .b// πρέπει να είναι εγαλύτερη από την κλίση της εφαπτο ένης στο .a; f .a//. Το επιχείρη α που ακολουθεί λέει αυτό ακριβώς το πράγ α ε δύο εξισώσεις. Αφού η εφαπτο ένη στο .a; f .a// είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g.x/ D f 0 .a/.x a/ C f .a/; και αφού το .b; f .b// βρίσκεται πάνω από την εφαπτο ένη, έχου ε (1) f .b/ f 0 .a/.b a/ C f .a/. Ο οίως, αφού η εφαπτο ένη στο .b; f .b// είναι η γραφική παράσταση της h.x/ D f 0 .b/.x b/ C f .b/; και το .a; f .a// βρίσκεται πάνω από την εφαπτο ένη στο .b; f .b//, έχου ε (2) f .a/ f 0 .b/.a b/ C f .b/. Από τις (1) και (2) έπεται ότι f 0 .a/ f 0 .b/. Τώρα, το Θεώρη α 2 ας λέει ότι η f είναι κυρτή. Αν ια συνάρτηση f έχει στρωτή δεύτερη παράγωγο, πορού ε να χρησι οποιή- σου ε τις πληροφορίες που δίνουν αυτά τα θεωρή ατα για να ανακαλύψου ε τις περιοχές στις οποίες η f είναι κυρτή ή κοίλη. Ας πάρου ε, για παράδειγ α, τη συνάρτηση f .x/ D 1 1 C x2 : Για αυτήν τη συνάρτηση f 0 .x/ D 2x .1 C x2/2 : Άρα f 0 .x/ D 0 όνο για x D 0, και f .0/ D 1, ενώ f 0 .x/ 0 αν x 0; f 0 .x/ 0 αν x 0: Επιπλέον, f .x/ 0 για κάθε x, f .x/ ! 0 όταν x ! 1 ή 1, η f είναι άρτια. Σ Χ Η Μ Α 9
- 217. 11. Παράρτηµα. Κυρτέςκαι κοίλες συναρτήσεις 203 Επο ένως η γραφική παράσταση της f θα οιάζει κάπως ε το Σχή α 9. Υπολογίζου ε τώρα την f 00 .x/ D .1 C x2 /2 . 2/ C 2x Œ2.1 C x2 / 2x .1 C x2/4 D 2.3x2 1/ .1 C x2/3 : ∆εν είναι δύσκολο να διερευνήσου ε το πρόση ο της f 00 .x/. Παρατηρού ε πρώτα ότι f 00 .x/ D 0 όνο όταν x D p 1=3 ή p 1=3. Αφού η f 00 είναι προφανώς συνεχής, πρέπει να διατηρεί το ίδιο πρόση ο σε καθένα από τα σύνολα . 1; p 1=3 /; . p 1=3; p 1=3 /; . p 1=3; 1/: Αφού πορού ε εύκολα να υπολογίσου ε ότι, για παράδειγ α, f 00 . 1/ D 1 2 0; f 00 .0/ D 2 0; f 00 .1/ D 1 2 0; συ περαίνου ε ότι f 00 0 στο . 1; p 1=3 / και στο . p 1=3; 1/; f 00 0 στο . p 1=3; p 1=3 /: Αφού η f 00 0 ση αίνει ότι η f 0 είναι αύξουσα, έπεται από το Θεώρη α 2 ότι η f είναι κυρτή στο . 1; p 1=3 / και στο . p 1=3; 1/, ενώ στο . p 1=3; p 1=3 / η f είναι κοίλη (Σχή α 10). η f είναι κυρτή η f είναι κυρτήη f είναι κοίλη Σ Χ Η Μ Α 1 0 Παρατηρήστε ότι στο . p 1=3; 3 4 / η εφαπτο ένη βρίσκεται κάτω από το στα δεξιά του τ ή α της γραφικής παράστασης, αφού η f είναι κυρτή στο . p 1=3; 1/, και πάνω από το στα αριστερά του τ ή α της γραφικής παράστασης, αφού η f είναι κοίλη στο . p 1=3; p 1=3 /· έτσι η εφαπτο ένη διαπερνά τη γραφική παράσταση. Γενικά, ένας αριθ ός a λέγεται ση είο κα πής της f αν η εφαπτο ένη στη γραφική παράσταση της f στο .a; f .a// διασχίζει τη γραφική παράσταση· έτσι το p 1=3 και το p 1=3 είναι ση εία κα πής της f .x/ D 1=.1 C x2 /. Ση ειώστε ότι η συνθήκη f 00 .a/ D 0 δεν ας βεβαιώνει ότι το a είναι ση είο κα πής της f · για παράδειγ α, αν f .x/ D x4 , τότε f 00 .0/ D 0, αλλά η f είναι κυρτή, άρα η εφαπτο ένη στο .0; 0/ σίγουρα δεν διαπερνά τη γραφική παράσταση της f . Για να είναι το a ση είο κα πής ιας συνάρτησης f , είναι αναγκαίο η f 00 να έχει διαφορετικά πρόση α αριστερά και δεξιά του a. Αυτό το παράδειγ α περιγράφει τη διαδικασία που πορείτε να χρησι οποιήσετε για να αναλύσετε οποιαδήποτε συνάρτηση f . Αφού σχεδιάσου ε πρόχειρα τη γραφική παρά- σταση, χρησι οποιώντας τις πληροφορίες που παρέχει η f 0 πορού ε να υπολογίσου ε
- 218. 204 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα τις ρίζες της f 00 και να προσδιορίσου ε το πρόση ο της f 00 στα διαστή ατα που βρί- σκονται ανά εσα σε διαδοχικές ρίζες. Στα διαστή ατα όπου f 00 0 η συνάρτηση είναι κυρτή· στα διαστή ατα όπου f 00 0 η συνάρτηση είναι κοίλη. Η γνώση των περιοχών στις οποίες η f είναι κυρτή και κοίλη ας προφυλάσσει συχνά από παρερ ηνείες των άλλων δεδο ένων για την f . Μερικές συναρτήσεις που αναλύονται ε αυτόν τον τρόπο δίνονται στα προβλή ατα, όπου περιέχονται και κάποια θεωρητικά ερωτή ατα. Για να ολοκληρώσου ε τη συζήτηση πάνω στις κυρτές και κοίλες συναρτήσεις, θα αποδείξου ε ένα ακό α αποτέλεσ α που πορεί ίσως να το υποψιάζεστε ήδη. Είδα ε ότι οι κυρτές και κοίλες συναρτήσεις έχουν την ιδιότητα, κάθε εφαπτο ένη ευθεία να τέ νει τη γραφική τους παράσταση όνο σε ένα ση είο. Αν σχεδιάσετε ερικές συναρτήσεις, πιθανόν να πεισθείτε ότι δεν υπάρχουν άλλες συναρτήσεις που να έχουν αυτήν την ιδιό- τητα. Η όνη απόδειξη ό ως αυτού του ισχυρισ ού που γνωρίζω είναι άλλον «πονηρή». ΘΕΩΡΗΜΑ 4 Αν η f είναι παραγωγίσι η σε ένα διάστη α και η γραφική της παράσταση τέ νεται από κάθε εφαπτο ένη της όνο ία φορά, τότε η f είναι ή κυρτή ή κοίλη στο διάστη α αυτό. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Υπάρχουν δύο έρη στην απόδειξη. (1) Κατ’ αρχήν ισχυριζό αστε ότι κα ία ευθεία δεν πορεί να τέ νει τη γραφική παρά- σταση της f σε τρία διαφορετικά ση εία. Αν αντιθέτως, υποθέσου ε ότι αυτό συνέβαινε στα ση εία .a; f .a//, .b; f .b// και .c; f .c// ε a b c (Σχή α 11), τότε (1) f .b/ f .a/ b a D f .c/ f .a/ c a : Θεωρήστε τη συνάρτηση g.x/ D f .x/ f .a/ x a για x στο Œb; c. Η εξίσωση (1) λέει ότι g.b/ D g.c/. Έτσι, από το Θεώρη α του Rolle, υπάρχει κάποιος Σ Χ Η Μ Α 1 1 αριθ ός x στο .b; c/ όπου 0 D g0 .x/, και άρα 0 D .x a/f 0 .x/ Œf .x/ f .a/ ή f 0 .x/ D f .x/ f .a/ x a : Αλλά αυτό λέει ότι (Σχή α 12) η εφαπτο ένη στο .x; f .x// διέρχεται από το .a; f .a//, σε αντίθεση ε την υπόθεσή ας. (2) Έστω ότι a0 b0 c0 και a1 b1 c1 είναι ση εία στο διάστη ά ας. Θέτου ε xt D .1 t/a0 C ta1 yt D .1 t/b0 C tb1 ´t D .1 t/c0 C tc1 0 t 1: Τότε x0 D a0 και x1 D a1 και (βλ. Πρόβλη α 4-2) τα ση εία xt κείνται όλα εταξύ των Σ Χ Η Μ Α 1 2 a0 και a1, και ανάλογοι ισχυρισ οί ισχύουν για τα yt και ´t . Επιπλέον, xt yt ´t για 0 t 1: Τώρα, θεωρήστε τη συνάρτηση g.t/ D f .yt / f .xt / yt xt f .´t / f .xt / ´t xt για 0 t 1: Από το βή α (1), g.t/ ¤ 0 για κάθε t στο Œ0; 1. Άρα, είτε g.t/ 0 για κάθε t στο Œ0; 1, είτε g.t/ 0 για κάθε t στο Œ0; 1. ∆ηλαδή, η f είναι είτε κυρτή είτε κοίλη.
- 219. 11. Παράρτηµα. Κυρτέςκαι κοίλες συναρτήσεις 205 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Σχεδιάστε τις συναρτήσεις του Προβλή ατος 11-1, υποδεικνύοντας τις περιοχές στις οποίες είναι κυρτές ή κοίλες, καθώς και τα ση εία κα πής τους (θεωρήστε ότι η (iv) έχει διπλό αστερίσκο). 2. Το Σχή α 30 στο Κεφάλαιο 11 δείχνει τη γραφική παράσταση της f 0 . Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f . 3. ∆είξτε ότι η f είναι κυρτή σε ένα διάστη α αν και όνο αν για κάθε x και y στο διάστη α έχου ε f .tx C .1 t/y/ tf .x/ C .1 t/f .y/; για 0 t 1. (Αυτό δεν είναι τίποτε παραπάνω από ια αναδιατύπωση του ορισ ού, είναι ό ως χρήσι η). 4. (α) Αποδείξτε ότι αν η f και η g είναι κυρτές και η f είναι αύξουσα, τότε η f Bg είναι κυρτή. (Το πιο εύκολο είναι να γίνει χρήση του Προβλή ατος 3.) (β) ∆ώστε ένα παράδειγ α όπου η g B f δεν είναι κυρτή. (γ) Έστω ότι η f και η g είναι δύο φορές παραγωγίσι ες. ∆ώστε ια άλλη από- δειξη του έρους (α), εξετάζοντας τις δεύτερες παραγώγους. 5. (α) Έστω ότι η f είναι παραγωγίσι η και κυρτή πάνω σε ένα διάστη α. ∆είξτε ότι η f είναι ή αύξουσα ή φθίνουσα, ή υπάρχει αριθ ός c τέτοιος ώστε η f είναι φθίνουσα στα αριστερά του c και αύξουσα στα δεξιά του c. (β) Χρησι οποιήστε αυτό το γεγονός για να δώσετε ία άλλη απόδειξη του απο- τελέσ ατος στο Πρόβλη α 4(α) όταν η f και η g είναι ία φορά παραγωγί- σι ες. (Θα πρέπει να είστε λίγο προσεκτικοί όταν συγκρίνετε την f 0 .g.x// και την f 0 .g.y// για x y.) (γ) Αποδείξτε το (α) έρος χωρίς να υποθέσετε την f παραγωγίσι η. Θα πρέπει να παρακολουθήσετε όλες τις διαφορετικές περιπτώσεις, αλλά δεν χρειάζον- ται ιδιαίτερα έξυπνες ιδέες. Αρχίστε δείχνοντας ότι αν a b και f .a/ f .b/, τότε η f είναι αύξουσα στα δεξιά του b· και αν f .a/ f .b/, τότε η f είναι φθίνουσα στα αριστερά του a. 6. Έστω f ια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσι η ε τις εξής ιδιότητες: f .x/ 0 για x 0, η f είναι φθίνουσα, και f 0 .0/ D 0. Αποδείξτε ότι f 00 .x/ D 0 για κάποιο x 0 (οπότε υπό φυσιολογικές συνθήκες η f θα έχει ση είο κα πής στο x —ένα παράδειγ α δίνεται από την f .x/ D 1=.1 C x2 /). Όλες οι υποθέσεις αυτού του θεωρή ατος είναι ουσιαστικές, όπως φαίνεται από την f .x/ D 1 x2 , που δεν είναι θετική για κάθε x· από την f .x/ D x2 , που δεν είναι φθίνουσα· και από την f .x/ D 1=.x C 1/, που δεν ικανοποιεί την f 0 .0/ D 0. Υπόδειξη: Επιλέγου ε x0 0 ε f 0 .x0/ 0. ∆εν πορεί να ισχύει f 0 .y/ f 0 .x0/ για όλα τα y x0. Γιατί όχι; Άρα f 0 .x1/ f 0 .x0/ για κάποιο x1 x0. Εξετάστε την f 0 στο Œ0; x1. 7. (α) Αποδείξτε ότι αν η f είναι κυρτή, τότε f .Œx C y=2/ Œf .x/ C f .y/=2. (β) Έστω ότι η f ικανοποιεί αυτήν τη συνθήκη. ∆είξτε ότι f .kx C .1 k/y/ kf .x/ C .1 k/f .y/ όταν ο k είναι ρητός αριθ ός, εταξύ 0 και 1, της ορφής m=2n . Υπόδειξη: Το έρος (α) είναι η ειδική περίπτωση n D 1. Χρησι οποιήστε επαγωγή, επικαλού ενοι το έρος (α) σε κάθε βή α. (γ) Έστω ότι η f ικανοποιεί τη συνθήκη του έρους (α) και ότι η f είναι συνεχής. ∆είξτε ότι η f είναι κυρτή. 8. Για n 1, έστω p1; : : : ; pn θετικοί αριθ οί ε nX iD1 pi D 1.
- 220. 206 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα (α) Για τυχαίους αριθ ούς x1; : : : ; xn δείξτε ότι το nX iD1 pi xi βρίσκεται ανά εσα στο ικρότερο και το εγαλύτερο xi . (β) ∆είξτε το ίδιο για το .1=t/ n 1X iD1 pi xi , όπου t D n 1X iD1 pi . (γ) Αποδείξτε την ανισότητα του Jensen: Αν η f είναι κυρτή, τότε f nX iD1 pi xi nX iD1 pi f .xi /. Υπόδειξη: Χρησι οποιήστε το Πρόβλη α 3, παρατηρώντας ότι pn D 1 t. (Το έρος (β) χρειάζεται για να δείξετε ότι ο .1=t/ n 1X iD1 pi xi ανήκει στο πεδίο ορισ ού της f αν το ίδιο ισχύει για τους x1; : : : ; xn.) 9. (α) Για κάθε συνάρτηση f , η παράγωγος από τα δεξιά, lim h!0C Œf .aCh/ f .a/=h συ βολίζεται ε f 0 C.a/, και η παράγωγος από τα αριστερά συ βολίζεται ε f 0 .a/. Η απόδειξη του Θεωρή ατος 1 στην πραγ ατικότητα δείχνει ότι η f 0 C.a/ και η f 0 .a/ υπάρχουν πάντοτε αν η f είναι κυρτή σε κάποιο ανοικτό διάστη α που περιέχει το a. Ελέγξτε αυτόν τον ισχυρισ ό, και ακό α δείξτε ότι η f 0 C και η f 0 είναι αύξουσες και ότι f 0 .a/ f 0 C.a/. (β) Αντιστρόφως υποθέτου ε ότι η f είναι κυρτή στο Œa; b και η g είναι κυρτή στο Œb; c, ε f .b/ D g.b/ και f 0 .b/ g0 C.b/ (Σχή α 13(α)). Αν ορίσου ε την h στο Œa; c να είναι η f στο Œa; b και η g στο Œb; c, δείξτε ότι η h είναι κυρτή στο Œa; c. Υπόδειξη: ∆οθέντων των P και Q σε αντίθετες πλευρές του O D .b; f .b//, όπως στο Σχή α 13(β), συγκρίνετε την κλίση της OQ ε εκείνη της PO. (γ) ∆είξτε ότι αν η f είναι κυρτή, τότε f 0 C.a/ D f 0 .a/ αν και όνο αν η f 0 C είναι συνεχής στο a. (Έτσι η f είναι παραγωγίσι η ακριβώς όταν η f 0 C είναι συνεχής.) Υπόδειξη: το Œf .b/ f .a/=.b a/ βρίσκεται κοντά στην f 0 .a/ για b a κοντά στο a, και η f 0 C.b/ είναι ικρότερη από αυτό το πηλίκο. 10. (α) Αποδείξτε ότι ια κυρτή συνάρτηση στο R, ή σε οποιοδήποτε ανοικτό διά- στη α, πρέπει να είναι συνεχής. (β) ∆ώστε παράδειγ α κυρτής συνάρτησης επί κλειστού διαστή ατος που δεν είναι συνεχής και εξηγήστε τι είδους ασυνέχειες είναι δυνατές. 11. Καλέστε ια συνάρτηση f ασθενώς κυρτή επί ενός διαστή ατος αν, για a b c (α) (β) Σ Χ Η Μ Α 1 3 στο διάστη α αυτό, έχου ε f .x/ f .a/ x a f .b/ f .a/ b a : (α) ∆είξτε ότι ια ασθενώς κυρτή συνάρτηση είναι κυρτή αν και όνο αν η γρα- φική της παράσταση δεν περιέχει καθόλου ευθύγρα α τ ή ατα. (Μερικές φορές ια ασθενώς κυρτή συνάρτηση καλείται απλώς «κυρτή», ενώ οι κυρτές συναρτήσεις ε τη δική ας έννοια καλούνται «αυστηρώς κυρτές».) (β) Επαναδιατυπώστε τα θεωρή ατα της παραγράφου αυτής για ασθενώς κυρτές συναρτήσεις. 12. Βρείτε δύο κυρτές συναρτήσεις f και g τέτοιες ώστε f .x/ D g.x/ αν και όνο αν ο x είναι ακέραιος. Υπόδειξη: Βρείτε πρώτα ένα παράδειγ α όπου η g είναι απλά ασθενώς κυρτή, και στη συνέχεια τροποποιήστε το, χρησι οποιώντας ως οδηγό το αποτέλεσ α του Προβλή ατος 9.
- 221. 11. Παράρτηµα. Κυρτέςκαι κοίλες συναρτήσεις 207 13. Ένα σύνολο A ση είων του επιπέδου καλείται κυρτό αν το A περιέχει το ευθύ- γρα ο τ ή α που ενώνει οποιαδήποτε δύο ση εία του (Σχή α 14). Για ία συνάρ- τηση f , έστω Af το σύνολο των ση είων .x; y/ ε y f .x/, έτσι ώστε το Af είναι το ση ειοσύνολο στην, ή πάνω από την, γραφική παράσταση της f . ∆είξτε ότι το Af είναι κυρτό αν και όνο αν η f είναι ασθενώς κυρτή, ε την ορολογία του προηγου ένου προβλή ατος. Για άλλες πληροφορίες πάνω στα κυρτά σύνολα συ βουλευθείτε την αναφορά [18] της Προτεινό ενης Βιβλιογραφίας. (α) κυρτό υποσύνολο του επιπέδου (β) η κυρτό υποσύνολο του επιπέδου Σ Χ Η Μ Α 1 4
- 222. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έχου ε τώρα στη διάθεσή ας αρκετά ισχυρές εθόδους για να ελετά ε συναρτήσεις· αυτό που ας λείπει είναι ένα ικανοποιητικό απόθε α συναρτήσεων πάνω στις οποίες να εφαρ όσου ε αυτές τις εθόδους. Έχου ε δει διάφορους τρόπους κατασκευής και- νούργιων συναρτήσεων από τις παλιές —την πρόσθεση, τον πολλαπλασιασ ό, τη διαί- ρεση και τη σύνθεση— αλλά χρησι οποιώντας αυτές όνο, πορού ε να πάρου ε όνο τις ρητές συναρτήσεις (ακό α και η συνάρτηση η ιτόνου, που χρησι οποιήθηκε πολύ συχνά σε παραδείγ ατα, δεν έχει οριστεί έως τώρα). Στα α έσως επό ενα κεφάλαια θα αρχίσου ε να κατασκευάζου ε νέες συναρτήσεις ε πιο οντέρνους τρόπους, υπάρχει ό ως ια σπουδαία έθοδος που θα διπλασιάζει στην πράξη την αξία κάθε καινούργιας εθόδου που θα ανακαλύπτου ε. Αν θυ ηθού ε ότι ια συνάρτηση είναι ένα σύνολο από ζεύγη αριθ ών, ίσως ας έρθει η λα πρή ιδέα να αντιστρέψου ε όλα τα ζεύγη. Έτσι, από τη συνάρτηση f D f .1; 2/; .3; 4/; .5; 9/; .13; 8/ g; παίρνου ε g D f .2; 1/; .4; 3/; .9; 5/; .8; 13/ g: Ενώ f .1/ D 2 και f .3/ D 4, έχου ε g.2/ D 1 και g.4/ D 3. ∆υστυχώς, αυτή η εξαιρετική ιδέα δεν δουλεύει πάντα. Αν f D f .1; 2/; .3; 4/; .5; 9/; .13; 4/ g; τότε το σύνολο f .2; 1/; .4; 3/; .9; 5/; .4; 13/ g δεν είναι συνάρτηση, γιατί εκτός από το .4; 3/ περιέχει και το .4; 13/. Είναι φανερό το πού βρίσκεται το πρόβλη α: είναι f .3/ D f .13/, ενώ 3 ¤ 13. Αυτή είναι και η όνη δυσκο- λία που πορεί να ε φανιστεί· αξίζει επο ένως να δώσου ε ένα όνο α στις συναρτήσεις για τις οποίες αυτό δεν συ βαίνει. ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f λέγεται 1-1 (διαβάζεται «ένα-προς-ένα» ) αν f .a/ ¤ f .b/ όποτε a ¤ b. Η ταυτοτική συνάρτηση I είναι προφανώς 1-1, το ίδιο και η εξής τροποποίησή της: g.x/ D 8 : x; x ¤ 3; 5 3; x D 5 5; x D 3: Η συνάρτηση f .x/ D x2 δεν είναι 1-1, αφού f . 1/ D f .1/, αλλά αν ορίσου ε την g.x/ D x2 ; x 0 208
- 223. 12. Αντίστροφες συναρτήσεις209 (και δεν ορίσου ε την g για x 0), τότε η g είναι 1-1, γιατί η g είναι αύξουσα (αφού g0 .x/ D 2x 0, για x 0). Αυτή η παρατήρηση γενικεύεται εύκολα: Αν n είναι ένας φυσικός αριθ ός και f .x/ D xn ; x 0; τότε η f είναι 1-1. Αν ο n είναι περιττός, πετυχαίνου ε κάτι ακό α καλύτερο: η συνάρ- τηση f .x/ D xn για κάθε x είναι 1-1 (γιατί f 0 .x/ D nxn 1 0, για όλα τα x ¤ 0). Είναι πολύ εύκολο να διακρίνει κανείς, από τη γραφική παράσταση της f , αν η f είναι 1-1: η συνθήκη f .a/ ¤ f .b/ για a ¤ b ση αίνει ότι δεν υπάρχει οριζόντια γρα ή που να τέ νει δύο φορές τη γραφική παράσταση της f (Σχή α 1). ια συνάρτηση 1-1 (α) ια συνάρτηση που δεν είναι 1-1 (β) Σ Χ Η Μ Α 1 Αν αντιστρέψου ε όλα τα ζεύγη της (όχι αναγκαστικά 1-1 συνάρτησης) f παίρνου ε, σε κάθε περίπτωση, ένα σύνολο από ζεύγη. Συνήθως απέχου ε από αυτήν τη διαδικασία όταν η f δεν είναι 1-1, αλλά δεν υπάρχει κανένας ιδιαίτερος λόγος για αυτό —αντί για έναν ορισ ό ε περιοριστικές συνθήκες πορού ε να πάρου ε έναν ορισ ό και ένα θεώ- ρη α. ΟΡΙΣΜΟΣ Για κάθε συνάρτηση f , η αντίστροφη της f , που συ βολίζεται ε f 1 , είναι το σύνολο όλων των ζευγών .a; b/ για τα οποία το ζεύγος .b; a/ ανήκει στην f . ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Η f 1 είναι συνάρτηση, αν και όνο αν η f είναι 1-1. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Υποθέτου ε πρώτα ότι η f είναι 1-1. Έστω .a; b/ και .a; c/ δύο ζεύγη στην f 1 . Τότε τα .b; a/ και .c; a/ ανήκουν στην f , άρα a D f .b/ και a D f .c/. Αφού η f είναι 1-1 έχου ε b D c. Άρα η f 1 είναι συνάρτηση. Αντιστρόφως, ας υποθέσου ε ότι η f 1 είναι συνάρτηση. Αν f .b/ D f .c/, τότε η f περιέχει τα ζεύγη .b; f .b// και .c; f .c// D .c; f .b//, άρα τα .f .b/; b/ και .f .b/; c/ ανήκουν και τα δύο στην f 1 . Αφού η f 1 είναι συνάρτηση, έπεται ότι b D c. Άρα η f είναι 1-1. Οι γραφικές παραστάσεις των f και f 1 συνδέονται τόσο στενά, που είναι δυνατόν να χρησι οποιήσου ε τη γραφική παράσταση της f για να φέρου ε στο νου ας αυτήν της f 1 . Αφού η γραφική παράσταση της f 1 αποτελείται από όλα τα ζεύγη .a; b/ ε το .b; a/ στη γραφική παράσταση της f , παίρνει κανείς τη γραφική παράσταση της f 1 από αυτήν της f αλλάζοντας τους ρόλους του οριζόντιου και κατακόρυφου άξονα. Αν η f έχει τη γραφική παράσταση που φαίνεται στο Σχή α 2(α),
- 224. 210 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα Σ Χ Η Μ Α 2 ( α ) ΣΧΗΜΑ2(β) καιστρίψετεαυτήντησελίδα αντίθετααπότουςδείκτεςτου ρολογιούκατάίαορθήγωνία, τότεστααριστεράσας εφανίζεταιηγραφική παράστασητηςf1 (Σχήα2(β)).Τοόνο πρόβληαείναιότιηαρίθηση στονοριζόντιοάξοναπηγαίνει προςτηναντίθετηκατεύθυνση, γιααυτόπρέπεινακαθρεφτίσετε αυτήντηνεικόναγιαναπάρετε τησυνηθισένηεικόνατηςf1 , πουεφανίζεταισταδεξιάσας (Σχήα3).ΣΧΗΜΑ3 Αυτή η διαδικασία είναι κάπως άβολη ε τα βιβλία και αδιανόητη ε τους πίνακες, για αυτό είναι ευτύχη α που υπάρχει και άλλος τρόπος κατασκευής της γραφικής παράστασης της f 1 . Τα ση εία .a; b/ και .b; a/ είναι συ ετρικά το ένα του άλλου ως προς τη γραφική παράσταση της I.x/ D x, που λέγεται η διαγώνιος (Σχή α 4). Για να πάρου ε διαγώνιο̋ Σ Χ Η Μ Α 4 τη γραφική παράσταση της f 1 απλώς αντικατοπτρίζου ε τη γραφική παράσταση της f πάνω σε αυτήν την ευθεία (Σχή α 5). Ένας διπλός αντικατοπτρισ ός ως προς τη διαγώνιο προφανώς ας φέρνει πίσω στο ση είο από όπου ξεκινήσα ε· αυτό ση αίνει ότι .f 1 / 1 D f , που είναι επίσης φανερό από τον ορισ ό. Σε σχέση ε το Θεώρη α 1, αυτή η ισότητα έχει ια ση αντική συνέπεια: αν η f είναι 1-1 συνάρτηση, τότε η συνάρτηση f 1 είναι και αυτή 1-1 (γιατί η .f 1 / 1 είναι συνάρτηση). Σ Χ Η Μ Α 5 Υπάρχουν ερικά ακό α απλά πράγ ατα γύρω από τις αντίστροφες συναρτήσεις που θα έπρεπε να έχετε υπόψη σας. Αφού το .a; b/ ανήκει στην f ακριβώς όταν το .b; a/ ανήκει στην f 1 , έπεται ότι η b D f .a/ ση αίνει ακριβώς το ίδιο ε την a D f 1 .b/: ∆ηλαδή f 1 .b/ είναι ο ( οναδικός) αριθ ός a για τον οποίο f .a/ D b· για παράδειγ α, αν f .x/ D x3 τότε f 1 .b/ είναι ο οναδικός αριθ ός a που ικανοποιεί την a3 D b, και αυτός ο αριθ ός είναι, εξ ορισ ού, η 3 p b.
- 225. 12. Αντίστροφες συναρτήσεις211 Το γεγονός ότι ο f 1 .x/ είναι ο αριθ ός y για τον οποίο f .y/ D x πορεί να διατυ- πωθεί ξανά σε ια πολύ πιο συ παγή ορφή: f .f 1 .x// D x; για κάθε x στο πεδίο ορισ ού της f 1 . Ακό α, f 1 .f .x// D x; για κάθε x στο πεδίο ορισ ού της f · αυτό προκύπτει από την προηγού ενη ισότητα, αν αντικαταστήσου ε την f ε την f 1 . Αυτές οι δύο ση αντικές ισότητες πορούν να γραφούν f B f 1 D I; f 1 B f D I (εκτός από το ότι η δεξιά πλευρά θα έχει εγαλύτερο πεδίο ορισ ού αν το πεδίο ορισ ού της f ή f 1 δεν είναι ολόκληρο το R). Μια και πολλές βασικές συναρτήσεις θα οριστούν ως αντίστροφες άλλων συναρτή- σεων, είναι πολύ ση αντικό το να εί αστε σε θέση να διακρίνου ε ποιες συναρτήσεις είναι 1-1. Έχου ε ήδη υποδείξει ποιες συναρτήσεις είναι αυτές που πορού ε να χει- ριστού ε πιο εύκολα: Οι αύξουσες και οι φθίνουσες συναρτήσεις είναι προφανώς 1-1. Ακό α, αν η f είναι αύξουσα, τότε η f 1 είναι επίσης αύξουσα, και αν η f είναι φθί- νουσα, τότε και η f 1 είναι φθίνουσα (η απόδειξη αφήνεται σε σας). Επιπλέον, ένα πολύ χρήσι ο πράγ α που πρέπει να θυ ό αστε είναι ότι η f είναι αύξουσα αν και όνο αν η f είναι φθίνουσα. Ασφαλώς δεν ισχύει ότι κάθε 1-1 συνάρτηση είναι είτε αύξουσα είτε φθίνουσα. Έχου ε ήδη αναφέρει ένα παράδειγ α, που τώρα απεικονίζεται στο Σχή α 6: Σ Χ Η Μ Α 6 g.x/ D 8 : x; x ¤ 3; 5 3; x D 5 5; x D 3: Το Σχή α 7 δείχνει ότι υπάρχουν ακό α και συνεχείς 1-1 συναρτήσεις που δεν είναι ούτε Σ Χ Η Μ Α 7 αύξουσες ούτε φθίνουσες. Αν ό ως προσπαθήσετε να σχεδιάσετε ερικές παραστάσεις, σύντο α θα συ φωνήσετε ότι κάθε 1-1 συνεχής συνάρτηση ορισ ένη σε ένα διάστη α είναι είτε αύξουσα είτε φθίνουσα. ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Αν η f είναι συνεχής και 1-1 σε κάποιο διάστη α, τότε είναι είτε αύξουσα είτε φθίνουσα στο διάστη α αυτό. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Η απόδειξη γίνεται σε τρία εύκολα βή ατα: (1) Αν a b c είναι τρία ση εία του διαστή ατος, τότε είτε (i) f .a/ f .b/ f .c/ είτε (ii) f .a/ f .b/ f .c/: Ας υποθέσου ε, για παράδειγ α, ότι f .a/ f .c/. Αν ίσχυε f .b/ f .a/ (Σχή α 8), τότε από την εφαρ ογή του Θεωρή ατος Ενδιά εσης Τι ής στο διάστη α Œb; c θα προέκυπτε ένα x ε b x c και f .x/ D f .a/, το οποίο έρχεται σε σύγκρουση ε το γεγονός ότι η f είναι 1-1 στο Œa; c. Ο οίως, αν f .b/ f .c/ θα οδηγού ασταν πάλι σε αντίφαση, άρα f .a/ f .b/ f .c/. Σ Χ Η Μ Α 8 Φυσικά, ο ίδιος συλλογισ ός ισχύει και για την περίπτωση που f .a/ f .c/. (2) Αν a b c d είναι τέσσερα ση εία του διαστή ατος, τότε είτε (i) f .a/ f .b/ f .c/ f .d/ είτε (ii) f .a/ f .b/ f .c/ f .d/: Μπορού ε επο ένως να εφαρ όσου ε την (1) στα a b c και ετά στα b c d.
- 226. 212 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα (3) Ας θεωρήσου ε οποιαδήποτε a b έσα στο διάστη α, και ας υποθέσου ε ότι f .a/ f .b/. Στην περίπτωση αυτή η f είναι αύξουσα, αφού αν τα c και d είναι δύο οποιαδήποτε ση εία, πορού ε να εφαρ όσου ε την (2) στο σύνολο fa; b; c; dg (αφού πρώτα τα διατάξου ε κατά αύξουσα σειρά). Από δω και πέρα θα ασχοληθού ε σχεδόν αποκλειστικά ε συνεχείς αύξουσες ή φθί- νουσες συναρτήσεις ορισ ένες σε ένα διάστη α. Αν f είναι ια τέτοια συνάρτηση, πο- ρού ε να πού ε ακριβώς ποιο θα είναι το πεδίο ορισ ού της f 1 . Σ Χ Η Μ Α 9 Ας υποθέσου ε πρώτα ότι η f είναι ια συνεχής αύξουσα συνάρτηση στο κλειστό διάστη α Œa; b. Τότε, από το Θεώρη α Ενδιά εσης Τι ής, η f παίρνει κάθε τι ή ανά- εσα στα f .a/ και f .b/. Άρα, το πεδίο ορισ ού της f 1 είναι το κλειστό διάστη α Œf .a/; f .b/. Ο οίως, αν η f είναι συνεχής και φθίνουσα στο Œa; b, τότε το πεδίο ορι- σ ού της f 1 είναι το Œf .b/; f .a/. Σ Χ Η Μ Α 1 0 Αν η f είναι ια συνεχής αύξουσα συνάρτηση σε ένα ανοικτό διάστη α .a; b/ η ανά- λυση γίνεται κάπως δυσκολότερη. Για να ξεκινήσου ε, ας διαλέξου ε κάποιο ση είο c στο .a; b/. Θα δού ε πρώτα ποιες τι ές f .c/ παίρνει η f . Μια εκδοχή είναι να παίρνει η f οσοδήποτε εγάλες τι ές (Σχή α 9). Σε αυτήν την περίπτωση, η f παίρνει όλες τις τι ές f .c/, όπως προκύπτει από το Θεώρη α Ενδιά εσης Τι ής. Αν, από την άλλη πλευρά, η f δεν παίρνει οσοδήποτε εγάλες τι ές, τότε το A D f f .x/ W c x b g είναι άνω φραγ ένο, άρα το A έχει ένα ελάχιστο άνω φράγ α ˛ (Σχή α 10). Ας υποθέ- σου ε τώρα ότι y είναι κάποιος αριθ ός ε f .c/ y ˛. Τότε η f παίρνει κάποια τι ή f .x/ y (γιατί ˛ είναι το ελάχιστο άνω φράγ α του A). Από το Θεώρη α Ενδιά εσης Τι ής, η f πρέπει να παίρνει και την τι ή y. Παρατηρήστε ότι η f δεν πορεί να έχει ως τι ή και το ίδιο το ˛, γιατί αν ˛ D f .x/ ε a x b και διαλέξου ε t ε x t b, τότε f .t/ ˛, που είναι αδύνατο. Ακριβώς τα ίδια επιχειρή ατα δουλεύουν και για τις τι ές τις ικρότερες από f .c/: ή η f θα παίρνει όλες τις τι ές που είναι ικρότερες από f .c/, ή θα υπάρχει ένας αριθ ός ˇ f .c/ τέτοιος ώστε η f να παίρνει όλες τις τι ές ανά εσα στον ˇ και το f .c/, αλλά όχι τον ίδιο τον ˇ. Ολόκληρη αυτή η απόδειξη πορεί να επαναληφθεί αν η f είναι φθίνουσα, και αν το πεδίο ορισ ού της f είναι το R ή το .a; 1/ ή το . 1; a/. Συνοψίζοντας: αν f είναι ια συνεχής αύξουσα ή φθίνουσα συνάρτηση ε πεδίο ορισ ού ένα διάστη α της ορφής .a; b/, . 1; b/, .a; 1/ ή R, τότε και το πεδίο ορισ ού της f 1 είναι ένα διάστη α ιας εκ των τεσσάρων αυτών ορφών. Σε αυτήν τη συζήτηση πορού ε εύκολα να συ περι- λάβου ε και τα υπόλοιπα είδη διαστη άτων .a; b, Œa; b, . 1; b και Œa; 1/. Τώρα που ολοκληρώσα ε αυτήν την προκαταρκτική ανάλυση των συνεχών 1-1 συν- αρτήσεων, είναι λογικό να αρχίσου ε να εξετάζου ε ποιες ση αντικές ιδιότητες ιας 1-1 συνάρτησης κληρονο ούνται από την αντίστροφή της. Με τη συνέχεια δεν υπάρχει κανένα πρόβλη α. ΘΕΩΡΗΜΑ 3 Αν η f είναι συνεχής και 1-1 σε ένα διάστη α, τότε η f 1 και αυτή συνεχής. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Γνωρίζου ε από το Θεώρη α 2 ότι η f είναι είτε αύξουσα είτε φθίνουσα. Μπορού ε κάλ- λιστα να υποθέσου ε ότι η f είναι αύξουσα, αφού για την άλλη περίπτωση δεν έχου ε παρά να εφαρ όσου ε το γνωστό τέχνασ α ε την f . Μπορού ε επίσης κάλλιστα να υποθέσου ε ότι το διάστη ά ας είναι ανοικτό, αφού, όπως πορού ε εύκολα να διαπι- στώσου ε, ια συνεχής αύξουσα ή φθίνουσα συνάρτηση σε κάποιο διάστη α πορεί να επεκταθεί σε ια ό οια συνάρτηση ορισ ένη σε ένα εγαλύτερο ανοικτό διάστη α. Πρέπει να δείξου ε ότι lim x!b f 1 .x/ D f 1 .b/ για κάθε b στο πεδίο ορισ ού της f 1 . Κάθε τέτοιος αριθ ός b είναι της ορφής f .a/ για κάποιον a στο πεδίο ορισ ού της f . Για κάθε 0, θέλου ε να βρού ε ı 0, τέτοιο ώστε, για κάθε x, αν f .a/ ı x f .a/ C ı; τότε a f 1 .x/ a C :
- 227. 12. Αντίστροφες συναρτήσεις213 Το Σχή α 11 ας δείχνει τον δρό ο για να βρού ε το ı (θυ ηθείτε ότι αν κοιτάξετε πλάγια βλέπετε τη γραφική παράσταση της f 1 ): αφού a a a C ; έπεται ότι f .a / f .a/ f .a C /· παίρνου ε ως ı το ικρότερο από τους f .aC/ f .a/ και f .a/ f .a /. Το Σχή α 11 περιέχει ολόκληρη την απόδειξη ότι αυτό το ı ας κάνει· αυτό που ακολουθεί ουσιαστι- κά είναι ια περιγραφή ε λόγια των πληροφοριών που βρίσκονται έσα σε αυτήν την εικόνα. Η επιλογή του ı ας βεβαιώνει ότι f .a / f .a/ ı και f .a/ C ı f .a C /: Επο ένως, αν f .a/ ı x f .a/ C ı; τότε Σ Χ Η Μ Α 1 1 f .a / x f .a C /: Αφού η f είναι αύξουσα, η f 1 είναι επίσης αύξουσα, και παίρνου ε f 1 .f .a // f 1 .x/ f 1 .f .a C //; δηλαδή, a f 1 .x/ a C ; που είναι ακριβώς αυτό που θέλου ε. Έχοντας εξακριβώσει ε επιτυχία τη συνέχεια της f 1 είναι τελείως λογικό να αντι- ετωπίσου ε και το θέ α της παραγωγισι ότητας. Και πάλι, ένα σχή α άς υποδεικνύει το σωστό αποτέλεσ α. Το Σχή α 12 δείχνει τη γραφική παράσταση ιας 1-1 συνάρτησης f ε εφαπτο ένη την L στο ση είο .a; f .a//. Αν ολόκληρη αυτή η παράσταση ανακλα- στεί στη διαγώνιο, ας δίνει τη γραφική παράσταση της f 1 και την εφαπτο ένη L0 στο .f .a/; a/. Η κλίση της L0 είναι η αντίστροφη της κλίσης της L. Με άλλα λόγια, φαίνεται ότι .f 1 /0 .f .a// D 1 f 0.a/ : Αυτός ο τύπος πορεί εξίσου καλά να γραφεί ε τέτοιο τρόπο, ώστε να εκφράζει ά εσα Σ Χ Η Μ Α 1 2 την .f 1 /0 .b/, για κάθε b στο πεδίο ορισ ού της f 1 : .f 1 /0 .b/ D 1 f 0.f 1.b// : Αντίθετα από την απόδειξη της συνέχειας, αυτή η οπτική «απόδειξη» περιπλέκεται κατά κάποιον τρόπο αν προσπαθήσει κανείς να τη δια ορφώσει ε αναλυτικό τρόπο. Υπάρχει ό ως ια άλλη προσέγγιση που θα πορούσα ε να δοκι άσου ε. Αφού γνωρί- ζου ε ότι f .f 1 .x// D x; είναι πειρασ ός να αποδείξου ε τον τύπο που θέλου ε, εφαρ όζοντας τον Κανόνα της Αλυσίδας: f 0 .f 1 .x// .f 1 /0 .x/ D 1; άρα .f 1 /0 .x/ D 1 f 0.f 1.x// :
- 228. 214 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα ∆υστυχώς, αυτό δεν είναι απόδειξη της παραγωγισι ότητας της f 1 , γιατί ο Κανόνας της Αλυσίδας πορεί να εφαρ οστεί όνο αν ήδη ξέρου ε ότι η f 1 είναι παραγωγί- σι η. Αλλά αυτός ο συλλογισ ός δείχνει τι θα πρέπει να είναι η .f 1 /0 .x/ αν η f 1 είναι παραγωγίσι η, και πορεί να χρησι οποιηθεί για να πάρου ε κάποιες σπουδαίες προκαταρκτικές πληροφορίες. ΘΕΩΡΗΜΑ 4 Αν f είναι ια συνεχής 1-1 συνάρτηση ορισ ένη σε ένα διάστη α και f 0 .f 1 .a// D 0, τότε η f 1 δεν είναι παραγωγίσι η στο a. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έχου ε f .f 1 .x// D x: Αν η f 1 ήταν παραγωγίσι η στο a, από τον Κανόνα της Αλυσίδας θα είχα ε f 0 .f 1 .a// .f 1 /0 .a/ D 1; άρα 0 .f 1 /0 .a/ D 1; που είναι άτοπο. Ένα απλό παράδειγ α στο οποίο εφαρ όζεται το Θεώρη α 4 είναι η συνάρτηση f .x/ D x3 . Αφού f 0 .0/ D 0 και 0 D f 1 .0/, η συνάρτηση f 1 δεν είναι παραγω- γίσι η στο 0 (Σχή α 13). (α) (β) Σ Χ Η Μ Α 1 3 Έχοντας εξακριβώσει πότε ια αντίστροφη συνάρτηση δεν πορεί να είναι παραγω- γίσι η, εί αστε τώρα έτοι οι να αποδείξου ε αυστηρά ότι σε όλες τις υπόλοιπες περι- πτώσεις η παράγωγος δίνεται από τον τύπο που ήδη «αποδείξα ε» ε δύο διαφορετικούς τρόπους. Παρατηρήστε ότι η απόδειξη που ακολουθεί χρησι οποιεί τη συνέχεια της f 1 , την οποία έχου ε ήδη αποδείξει. ΘΕΩΡΗΜΑ 5 Έστω f ια συνεχής 1-1 συνάρτηση ορισ ένη πάνω σε ένα διάστη α, και έστω ότι η f είναι παραγωγίσι η στο f 1 .b/, ε παράγωγο f 0 .f 1 .b// ¤ 0. Τότε η f 1 είναι παραγωγίσι η στο b, και .f 1 /0 .b/ D 1 f 0.f 1.b// : ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω b D f .a/. Τότε lim h!0 f 1 .b C h/ f 1 .b/ h D lim h!0 f 1 .b C h/ a h : Βέβαια, κάθε αριθ ός b C h στο πεδίο ορισ ού της f 1 γράφεται στη ορφή b C h D f .a C k/ για ένα οναδικό k (θα έπρεπε αυστηρότερα να γράφου ε k.h/, αλλά θα αρκεστού ε στο k για να απλουστεύσου ε τα πράγ ατα). Τότε lim h!0 f 1 .b C h/ a h D lim h!0 f 1 .f .a C k// a f .a C k/ b D lim h!0 k f .a C k/ f .a/ :
- 229. 12. Αντίστροφες συναρτήσεις215 Είναι φανερό ότι βρισκό αστε στον σωστό δρό ο! ∆εν είναι δύσκολο να βρού ε ια ακριβή έκφραση για το k· αφού b C h D f .a C k/ έχου ε f 1 .b C h/ D a C k ή k D f 1 .b C h/ f 1 .b/: Τώρα από το Θεώρη α 3, προκύπτει ότι η συνάρτηση f 1 είναι συνεχής στο b. Αυτό ση αίνει ότι το k τείνει στο 0 όταν το h τείνει στο 0. Αφού lim k!0 f .a C k/ f .a/ k D f 0 .a/ D f 0 .f 1 .b// ¤ 0; έπεται ότι .f 1 /0 .b/ D 1 f 0.f 1.b// : Για τη δουλειά που κάνα ε πάνω στις αντίστροφες συναρτήσεις, θα α ειφθού ε πλού- σια αργότερα, να ό ως και ένα ά εσο έρισ α. Για n περιττό, έστω fn.x/ D xn για κάθε x· για n άρτιο, έστω fn.x/ D xn ; x 0: Τότε η fn είναι συνεχής 1-1 συνάρτηση, ε αντίστροφη την gn.x/ D n p x D x1=n : Από το Θεώρη α 5, για x ¤ 0, παίρνου ε gn 0 .x/ D 1 fn 0.fn 1.x// D 1 n.fn 1.x//n 1 D 1 n.x1=n/n 1 D 1 n 1 x1 .1=n/ D 1 n x.1=n/ 1 : Άρα, αν f .x/ D xa , και ο a είναι ακέραιος ή ο αντίστροφος ενός φυσικού αριθ ού, τότε f 0 .x/ D axa 1 . Είναι εύκολο τώρα να ελέγξου ε ότι αυτός ο τύπος ισχύει, αν ο a είναι τυχαίος ρητός αριθ ός: Έστω a D m=n, όπου m είναι ένας ακέραιος, και n ένας φυσικός αριθ ός· αν f .x/ D xm=n D x1=n m ; τότε, από τον Κανόνα της Αλυσίδας, f 0 .x/ D m x1=n m 1 1 n x.1=n/ 1 D m n xŒ.m=n/ .1=n/CŒ.1=n/ 1 D m n x.m=n/ 1 :
- 230. 216 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα Αν και τώρα έχου ε έναν τύπο για την f 0 .x/ όταν f .x/ D xa και a ρητός, η ελέτη της συνάρτησης f .x/ D xa για άρρητο a αναβάλλεται —αυτήν τη στιγ ή δεν ξέρου ε ούτε καν την έννοια ενός συ βόλου σαν το x p 2 . Οι αντίστροφες πάντως συναρτήσεις θα ανα ειχθούν έντονα στον ορισ ό του xa για άρρητο a. Πράγ ατι, στα α έσως επό ενα κεφάλαια πολλές και ση αντικές συναρτήσεις θα οριστούν ε τη βοήθεια των αντίστρο- φών τους συναρτήσεων. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Βρείτε την f 1 για κάθε ία από τις ακόλουθες f . (i) f .x/ D x3 C 1. (ii) f .x/ D .x 1/3 . (iii) f .x/ D x; x ρητός x; x άρρητος. (iv) f .x/ D x2 x 0 1 x3 ; x 0: (v) f .x/ D 8 : x; x ¤ a1; : : : ; an aiC1 x D ai ; i D 1; : : : ; n 1 a1; x D an: (vi) f .x/ D x C Œx. (vii) f .0:a1a2a3 : : : / D 0:a2a1a3 : : : (Χρησι οποιού ε δεκαδική αναπαρά- σταση.) (viii) f .x/ D x 1 x2 , 1 x 1. 2. Περιγράψτε τη γραφική παράσταση της f 1 όταν (i) η f είναι αύξουσα και πάντα θετική. (ii) η f είναι αύξουσα και πάντα αρνητική. (iii) η f είναι φθίνουσα και πάντα θετική. (iv) η f είναι φθίνουσα και πάντα αρνητική. 3. Αποδείξτε ότι, αν η f είναι αύξουσα, τότε το ίδιο συ βαίνει και ε την f 1 · ο οίως για φθίνουσες συναρτήσεις. 4. Αν η f και η g είναι αύξουσες, είναι και η f C g; Η f g; Η f B g; 5. (α) Αποδείξτε ότι, αν η f και η g είναι 1-1, τότε και η f B g είναι 1-1. Βρείτε την .f Bg/ 1 συναρτήσει των f 1 και g 1 . Υπόδειξη: Η απάντηση δεν είναι f 1 B g 1 . (β) Βρείτε την g 1 συναρτήσει της f 1 , αν g.x/ D 1 C f .x/. 6. ∆είξτε ότι η f .x/ D ax C b cx C d είναι 1-1 αν και όνο αν ad bc ¤ 0, και βρείτε την f 1 σε αυτήν την περίπτωση. 7. Σε ποια διαστή ατα Œa; b είναι 1-1 οι ακόλουθες συναρτήσεις; (i) f .x/ D x3 3x2 . (ii) f .x/ D x5 C x. (iii) f .x/ D .1 C x2 / 1 . (iv) f .x/ D x C 1 x2 C 1 .
- 231. 12. Αντίστροφες συναρτήσεις217 8. Έστω ότι η f είναι παραγωγίσι η ε παράγωγο f 0 .x/ D .1 C x3 / 1=2 . ∆είξτε ότι η g D f 1 ικανοποιεί την g00 .x/ D 3 2 g.x/2 . 9. Έστω ότι η f είναι ια 1-1 συνάρτηση και ότι η f 1 έχει παράγωγο που δεν ηδε- νίζεται πουθενά. Αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσι η. Υπόδειξη: Υπάρχει ια πολύ σύντο η απόδειξη. 10. Σε συνέχεια του Προβλή ατος 10-17, ποια επιπλέον συνθήκη πρέπει να ικανοποιεί η g για να εξασφαλιστεί ότι η f είναι παραγωγίσι η; 11. Βρείτε έναν τύπο για την .f 1 /00 .x/. 12. Αποδείξτε ότι αν f 0 .f 1 .x// ¤ 0 και η f .k/ .f 1 .x// υπάρχει, τότε υπάρχει η .f 1 /.k/ .x/. 13. Η κατά Schwarz παράγωγος Df ορίστηκε στο Πρόβλη α 10-19. (α) Αποδείξτε ότι, αν η Df .x/ υπάρχει για όλα τα x, τότε η Df 1 .x/ επίσης υπάρχει για όλα τα x στο πεδίο ορισ ού της f 1 . (β) Βρείτε έναν τύπο για την Df 1 .x/. 14. (α) Αποδείξτε ότι υπάρχει παραγωγίσι η συνάρτηση f τέτοια ώστε Œf .x/5 C f .x/ C x D 0 για κάθε x. Υπόδειξη: ∆είξτε ότι η f εκφράζεται ως αντί- στροφη συνάρτηση. Ο ευκολότερος τρόπος για να το κάνετε είναι να βρείτε την f 1 . Και ο ευκολότερος τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι να θέσετε x D f 1 .y/. (β) Βρείτε την f 0 συναρτήσει της f , χρησι οποιώντας κατάλληλο θεώρη α αυτού του κεφαλαίου. (γ) Βρείτε την f 0 ε άλλο τρόπο, απλώς παραγωγίζοντας την εξίσωση που ορίζει την f . Η συνάρτηση του Προβλή ατος 14 λέ ε συχνά ότι ορίζεται πεπλεγ ένα από την εξίσωση y5 C y C x D 0. Η περίπτωση ό ως αυτής της εξίσωσης είναι πολύ ειδική. Όπως δείχνει το επό ενο πρόβλη α, ια εξίσωση συνήθως δεν ορίζει πεπλεγ ένα ια συνάρτηση σε ολόκληρη την ευθεία, ενώ σε ερικές περιοχές είναι δυνατόν να ορίζονται πεπλεγ ένα περισσότερες από ία συναρτήσεις. 15. (α) Ποιες είναι οι δύο παραγωγίσι ες συναρτήσεις f που ορίζονται πεπλεγ ένα στο . 1; 1/ από την εξίσωση x2 C y2 D 1, δηλαδή που ικανοποιούν την x2 C Œf .x/2 D 1 για κάθε x στο . 1; 1/; Παρατηρήστε ότι δεν υπάρχουν λύσεις ορισ ένες έξω από το Œ 1; 1. (β) Ποιες συναρτήσεις f ικανοποιούν την x2 C Œf .x/2 D 1; (γ) Ποιες παραγωγίσι ες συναρτήσεις f ικανοποιούν την Œf .x/3 3f .x/ D x; Υπόδειξη: Θα βοηθούσε να σχεδιάσετε πρώτα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g.x/ D x3 3x. Γενικά, το να προσδιορίσου ε σε ποια διαστή ατα ορίζεται πεπλεγ ένα ια παραγω- γίσι η συνάρτηση από ια συγκεκρι ένη εξίσωση πορεί να είναι πολύ λεπτή υπόθεση, και τη ελετά ε καλύτερα στα πλαίσια του προχωρη ένου Απειροστικού Λογισ ού. Αν ό ως υποθέσουµε ότι f είναι ια τέτοια παραγωγίσι η λύση, τότε πορού ε να αποδείξου ε έναν τύπο για την f 0 .x/, ακριβώς όπως στο Πρόβλη α 14(γ), παραγω- γίζοντας και τα δύο έλη της εξίσωσης που ορίζει την f ( ια διαδικασία γνωστή ως «πεπλεγ ένη παραγώγιση»):
- 232. 218 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα 16. (α) Εφαρ όστε αυτήν τη έθοδο στην εξίσωση Œf .x/2 C x2 D 1. Παρατηρήστε ότι στην απάντησή σας θα περιέχεται το f .x/· δεν πορούσα ε να περι έ- νου ε κάτι καλύτερο, αφού υπάρχουν περισσότερες από ια συναρτήσεις που ορίζονται πεπλεγ ένα από την εξίσωση y2 C x2 D 1. (β) Ελέγξτε ό ως αν η απάντησή σας δουλεύει και για τις δύο συναρτήσεις f που βρήκατε στο Πρόβλη α 15(α). (γ) Εφαρ όστε την ίδια αυτή έθοδο στην Œf .x/3 3f .x/ D x. 17. (α) Χρησι οποιήστε πεπλεγ ένη διαφόριση για να βρείτε τις f 0 .x/ και f 00 .x/ για τις συναρτήσεις f που ορίζονται πεπλεγ ένα από την εξίσωση x3 C y3 D 7. (β) Μια από αυτές τις συναρτήσεις f επαληθεύει τη σχέση f . 1/ D 2. Βρείτε την f 0 . 1/ και την f 00 . 1/ για αυτήν την f . 18. Το σύνολο όλων των ση είων .x; y/ έτσι ώστε 3x3 C4x2 y xy2 C2y3 D 4 σχη- ατίζει ια ορισ ένη κα πύλη του επιπέδου. Βρείτε την εξίσωση της εφαπτο ένης ευθείας στην κα πύλη αυτή στο ση είο . 1; 1/. 19. Ο συ βολισ ός του Leibniz είναι ιδιαίτερα εύχρηστος για την πεπλεγ ένη παρα- γώγιση. Επειδή το y χρησι οποιείται συνεχώς ως σύντ ηση του f .x/, η εξίσωση ως προς x και y που ορίζει πεπλεγ ένα την f αυτο άτως αντικαθιστά την εξίσωση που υποτίθεται ότι ικανοποιεί η f . Με τον δικό ας συ βολισ ό πώς θα γράφα ε τον υπολογισ ό που ακολουθεί; y4 C y3 C xy D 1; 4y3 dy dx C 3y2 dy dx C y C x dy dx D 0; dy dx D y 4y3 C 3y2 C x : 20. Αφού ήρθε στο προσκήνιο ο συ βολισ ός του Leibniz, θα πρέπει να αναφέρου ε και τον συ βολισ ό του Leibniz για τις παραγώγους αντίστροφων συναρτήσεων. Αν ε dy=dx συ βολίζου ε την παράγωγο της f , τότε η παράγωγος της f 1 συ - βολίζεται ε dx=dy. Γράψτε το Θεώρη α 5 ε αυτόν τον συ βολισ ό. Η εξίσωση που προκύπτει θα σας δείξει έναν ακό α λόγο για τον οποίο ο συ βολισ ός του Leibniz έχει τόσους πολλούς οπαδούς. Θα εξηγήσει ακό α σε ποιο ση είο πρέπει να υπολογίζου ε την .f 1 /0 , όταν χρησι οποιού ε τον συ βολισ ό dx=dy. Ποια είναι η ση ασία του παρακάτω υπολογισ ού; x D yn ; y D x1=n ; dx1=n dx D dy dx D 1 dx dy D 1 nyn 1 : 21. Έστω ότι f είναι ια παραγωγίσι η 1-1 συνάρτηση που η παράγωγός της δεν ηδε- νίζεται πουθενά, και ότι f D F 0 . Έστω G.x/ D xf 1 .x/ F.f 1 .x//. Αποδείξτε ότι G0 .x/ D f 1 .x/. (Αν παραβλέψου ε τις λεπτο έρειες, αυτό το πρόβλη α ας λέει κάτι πολύ ενδιαφέρον: αν ξέρου ε ια συνάρτηση που η παράγωγός της είναι f , τότε ξέρου ε και ία που η παράγωγός της είναι f 1 . Αλλά πώς θα πορούσε κανείς να αντέψει τη συνάρτηση G; Περιγράφου ε δύο διαφορετικούς τρόπους στα Προβλή ατα 14-14 και 19-16.) 22. Έστω ότι h είναι ια συνάρτηση ε h0 .x/ D sin2 .sin.x C1// και h.0/ D 3. Βρείτε τα (i) .h 1 /0 .3/. (ii) .ˇ 1 /0 .3/, όπου ˇ.x/ D h.x C 1/.
- 233. 12. Αντίστροφες συναρτήσεις219 23. (α) Αποδείξτε ότι ια αύξουσα και ια φθίνουσα συνάρτηση τέ νονται το πολύ σε ένα ση είο. (β) Βρείτε δύο συνεχείς αύξουσες συναρτήσεις f και g, τέτοιες ώστε f .x/ D g.x/ ακριβώς όταν ο x είναι ακέραιος. (γ) Βρείτε ια συνεχή αύξουσα συνάρτηση f και ια συνεχή φθίνουσα συνάρ- τηση g, ορισ ένες στο R, που δεν τέ νονται πουθενά. 24. (α) Αν η f είναι συνεχής συνάρτηση στο R και f D f 1 , δείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x τέτοιο ώστε f .x/ D x. (Ποια η γεω ετρική ση ασία της συνθήκης f D f 1 ;) (β) ∆ώστε διάφορα παραδείγ ατα συνεχούς f έτσι ώστε f D f 1 και f .x/ D x για ένα ακριβώς x. Υπόδειξη: Προσπαθήστε να κάνετε την f φθίνουσα και θυ ηθείτε τη γεω ετρική ερ ηνεία. Μια πιθανότητα είναι να ισχύει f .x/ D x. (γ) Αποδείξτε ότι αν η f είναι αύξουσα συνάρτηση έτσι ώστε f D f 1 , τότε f .x/ D x για όλα τα x. Υπόδειξη: Αν και η γεω ετρική ερ ηνεία είναι ευθέως πειστική, η απλούστερη απόδειξη (περίπου δύο γρα ές) είναι να απο- κλείσετε τις περιπτώσεις f .x/ x και f .x/ x. 25. Ποιες συναρτήσεις έχουν την ιδιότητα η γραφική τους παράσταση να είναι και πάλι γραφική παράσταση συνάρτησης όταν ανακλαστεί ως προς τη γραφική παράσταση της I (την «αντιδιαγώνιο»); 26. Μια συνάρτηση f λέγεται η φθίνουσα αν f .x/ f .y/ όποτε x y. (Για να εί αστε πιο ακριβείς θα έπρεπε να συ φωνήσου ε να είναι διάστη α το πεδίο ορισ ού της f ). Μια η αύξουσα συνάρτηση ορίζεται ε ό οιο τρόπο. Προσοχή: Μερικοί συγγραφείς χρησι οποιούν το «αύξουσα» αντί για το « η φθίνουσα», και το «γνησίως αύξουσα» για το δικό ας «αύξουσα». (α) Αποδείξτε ότι, αν η f είναι η φθίνουσα, αλλά όχι αύξουσα, τότε η f εί- ναι σταθερή σε κάποιο διάστη α (φυλαχτείτε από το λογοπαίγνιο: το «όχι αύξουσα» δεν είναι το ίδιο ε το « η αύξουσα»). (β) Αποδείξτε ότι, αν η f είναι παραγωγίσι η και η φθίνουσα, τότε f 0 .x/ 0 για κάθε x. (γ) Αποδείξτε ότι, αν f 0 .x/ 0 για κάθε x, τότε η f είναι η φθίνουσα. 27. (α) Έστω ότι f .x/ 0 για κάθε x, και ότι η f είναι φθίνουσα. Αποδείξτε ότι υπάρχει ια συνεχής φθίνουσα συνάρτηση g, τέτοια ώστε 0 g.x/ f .x/ για κάθε x. (β) ∆είξτε ότι πορού ε να τα καταφέρου ε έτσι ώστε η g να ικανοποιεί και την lim x!1 g.x/=f .x/ D 0.
- 234. 220 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ Το περιεχό ενο αυτού του κεφαλαίου έχει στόχο να δώσει έ φαση σε κάτι που ση ειώ- σα ε από πριν: ια κα πύλη ε πολύ ωραία ε φάνιση δεν είναι κατ’ ανάγκην η γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης (Σχή α 1). Με άλλα λόγια, πορεί να η γίνεται να την περιγράψου ε ως το σύνολο των ση είων .x; f .x//. Φυσικά πορεί να γίνεται να την περιγράψου ε ως το σύνολο των ση είων .f .x/; x/. Για παράδειγ α, η κα πύλη του Σχή ατος 1 είναι το σύνολο όλων των ση είων .x2 ; x/. Αλλά και αυτό το τέχνασ α δεν αποδίδει τις περισσότερες φορές. ∆εν ας επιτρέπει να περιγράψου ε τον κύκλο, που είναι όλα τα .x; y/ ε x2 Cy2 D 1, ή ια έλλειψη, και δεν πορεί να χρησι οποιηθεί για να περιγράψου ε ια κα πύλη σαν εκείνη του Σχή ατος 2. Σ Χ Η Μ Α 1 Ο απλούστερος τρόπος να περιγράψου ε κα πύλες, εν γένει, είναι ε επιστροφή στη φυσική έννοια ιας κα πύλης, ως διαδρο ής ενός σω ατιδίου που κινείται στο επίπεδο. Σε κάθε χρονική στιγ ή t, το σω ατίδιο βρίσκεται σε ορισ ένο ση είο που έχει δυο συντεταγ ένες· για να δείξου ε την εξάρτηση αυτών από τον χρόνο t, τις ονο άζου ε u.t/ και v.t/. Έτσι καταλήγου ε σε δύο συναρτήσεις. Αντιστρόφως, αν δοθούν δύο συναρτήσεις u και v, πορού ε να θεωρήσου ε την κα πύλη που αποτελείται από όλα τα ση εία .u.t/; v.t//. Λέ ε τότε ότι η κα πύλη παριστάνεται παραµετρικά έσω των u και v και το ζεύγος των συναρτήσεων u, v καλείται παρα ετρική παράσταση της κα - πύλης. Η κα πύλη που παριστάνεται παρα ετρικά από τα u και v αποτελείται επο ένως από όλα τα ζεύγη .x; y/ ε x D u.t/ και y D v.t/. Συχνά περιγράφεται ως «η κα πύλη x D u.t/, y D v.t/». Ση ειώστε ότι η γραφική παράσταση ιας συνάρτησης f πορεί πάντοτε να περιγραφεί παρα ετρικά έσω των x D t, y D f .t/. Σ Χ Η Μ Α 2 Αντί να θεωρήσου ε ότι ια κα πύλη του επιπέδου ορίζεται από δύο συναρτήσεις, πορού ε να λάβου ε ια εννοιολογικά απλούστερη εικόνα, αν διευρύνου ε λίγο τον αρχικό ορισ ό της συνάρτησης. Αντί να θεωρήσου ε έναν κανόνα που αντιστοιχίζει σε έναν αριθ ό κάποιον άλλο αριθ ό, πορού ε να θεωρήσου ε ια «συνάρτηση c από τους πραγ ατικούς αριθ ούς, στο επίπεδο», δηλαδή έναν κανόνα c που αντιστοιχίζει σε κάθε αριθ ό t ένα σηµείο του επιπέδου, το οποίο πορού ε να συ βολίσου ε ε c.t/. Με την έννοια αυτή, κα πύλη είναι απλώς ια συνάρτηση από κάποιο διάστη α πραγ ατικών αριθ ών, στο επίπεδο. Φυσικά, οι δύο αυτές διαφορετικές περιγραφές ιας κα πύλης είναι ουσιαστικά ίδιες: Ένα ζεύγος (κανονικών) συναρτήσεων u και v ορίζει ια ονή συνάρτηση c από τους πραγ ατικούς αριθ ούς, στο επίπεδο έσω του κανόνα c.t/ D .u.t/; v.t//; και αντίστροφα, δοθείσης ιας συνάρτησης c από τους πραγ ατικούς αριθ ούς, στο επί- πεδο, κάθε c.t/ είναι ένα ση είο του επιπέδου, επο ένως είναι ένα ζεύγος αριθ ών, το οποίο πορού ε να καλέσου ε u.t/ και v.t/, έτσι ώστε να έχου ε δύο οναδικές συναρ- τήσεις u και v που να ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση. Στο Παράρτη α 1 του Κεφαλαίου 4, χρησι οποιήσα ε τον όρο «διάνυσ α» για να περιγράψου ε ένα ση είο του επιπέδου. Σύ φωνα ε αυτήν την προσέγγιση, ια κα - πύλη του επιπέδου πορεί να ονο αστεί και «διανυσ ατική συνάρτηση.» Οι συ βάσεις του Παραρτή ατος εκείνου θα ας οδηγούσαν στη γραφή c.t/ D .c1.t/; c2.t//· σε αυτό το Παράρτη α θα συνεχίσου ε ό ως να χρησι οποιού ε τον συ βολισ ό της ορφής c.t/ D .u.t/; v.t// για να ελαχιστοποιήσου ε τη χρήση των δεικτών. Ένα απλό παράδειγ α διανυσ ατικής συνάρτησης που είναι αρκετά χρήσι η είναι η e.t/ D .cos t; sin t/; η οποία διαγράφει τον οναδιαίο κύκλο (Σχή α 3). Σ Χ Η Μ Α 3 Για δύο (κανονικές) συναρτήσεις f και g, ορίσα ε τις νέες συναρτήσεις f C g και f g έσω των κανόνων
- 235. 12. Παράρτηµα. Παραµετρικήπαράσταση καµπυλών 221 (1) .f C g/.x/ D f .x/ C g.x/, (2) .f g/.x/ D f .x/ g.x/. Αφού έχου ε ορίσει έναν τρόπο πρόσθεσης διανυσ άτων, πορού ε να ι ηθού ε τον πρώτο από αυτούς τους ορισ ούς για τις διανυσ ατικές συναρτήσεις c και d: ορίζου ε τη διανυσ ατική συνάρτηση c C d ως .c C d/.t/ D c.t/ C d.t/; όπου το C στο δεξιό έλος είναι τώρα άθροισµα διανυσµάτων. Αυτό ση αίνει απλά ότι, αν c.t/ D .u.t/; v.t//; d.t/ D .w.t/; ´.t//; τότε .c C d/.t/ D u.t/; v.t/ C w.t/; ´.t/ D u.t/ C w.t/; v.t/ C ´.t/ : Θυ ηθείτε ότι έχου ε επίσης ορίσει το av για έναν αριθ ό a και ένα διάνυσ α v. Για να το επεκτείνου ε αυτό στις διανυσ ατικές συναρτήσεις, θέλου ε να έχου ε ια κανονι- κή συνάρτηση ˛ και ια διανυσ ατική συνάρτηση c, έτσι ώστε για κάθε t να έχου ε έναν αριθ ό ˛.t/ και ένα διάνυσ α c.t/. Τότε πορού ε να ορίσου ε ια νέα διανυσ ατική συνάρτηση ˛ c ως .˛ c/.t/ D ˛.t/ c.t/; όπου το στο δεξιό έλος είναι το γινό ενο αριθ ού ε διάνυσ α. Αυτό ση αίνει απλά, ότι .˛ c/.t/ D ˛.t/ .u.t/; v.t// D ˛.t/ u.t/; ˛.t/ v.t/ : Παρατηρήστε ότι η κα πύλη ˛ e, .˛ e/.t/ D .˛.t/ cos t; ˛.t/ sin t/; είναι ήδη αρκετά γενική (Σχή α 4). Κατά τον συ βολισ ό του Παραρτή ατος 3 του Κεφαλαίου 4, το ση είο .˛ e/.t/ έχει πολικές συντεταγ ένες ˛.t/ και t, ε αποτέλεσ α το .˛ e/.t/ να είναι «η γραφική παράσταση της ˛ σε πολικές συντεταγ ένες.» Σ Χ Η Μ Α 4 Ακό α πιο γενικά, δοθείσης ια διανυσ ατικής συνάρτησης c, πορού ε να ορίσου ε τις νέες συναρτήσεις r και ως c.t/ D r.t/ e..t//; όπου r.t/ είναι απλώς η απόσταση από την αρχή των αξόνων έως το c.t/, και .t/ είναι κάποια επιλογή για τη γωνία του c.t/ (ως συνήθως, η συνάρτηση δεν ορίζεται ονοσή- αντα, οπότε πρέπει να εί αστε προσεκτικοί όταν χρησι οποιού ε αυτήν τη γραφή για ια τυχαία κα πύλη c). Γενικά, την (2) δεν εί αστε σε θέση να την επεκτείνου ε για διανυσ ατικές συναρτή- σεις, αφού δεν έχου ε ορίσει το γινό ενο δύο διανυσ άτων. Ωστόσο, τα Προβλή ατα 2 και 4 του Παραρτή ατος 1 του Κεφαλαίου 4 ορίζουν τα δύο πραγµατικά γινό ενα v w και det.v; w/. ∆οθέντων δύο διανυσ ατικών συναρτήσεων c και d, θα πρέπει να είναι σαφές πώς θα ορίζα ε δύο κανονικές (πραγ ατικές) συναρτήσεις c d και det.c; d/: Πέρα από το να εταφέρου ε τις απλές αριθ ητικές πράξεις στις συναρτήσεις, πορού ε να εξετάσου ε πιο ενδιαφέροντα προβλή ατα, όπως τα όρια. Για c.t/ D .u.t/; v.t//, πορού ε να ορίσου ε το (*) lim t!a .u.t/; v.t// να είναι το lim t!a u.t/; lim t!a v.t/ : Από αυτό προκύπτουν ά εσα κανόνες, όπως οι lim t!a .c C d/ D lim t!a c C lim t!a d; lim t!a ˛ c D lim t!a ˛.t/ lim t!a c:
- 236. 222 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα Το Πρόβλη α 10 δείχνει πώς πορού ε να δώσου ε έναν ισοδύνα ο ορισ ό σε ά εση αντιστοιχία ε τον βασικό ορισ ό των ορίων. Τα όρια άς οδηγούν φυσικά στις παραγώγους. Για c.t/ D .u.t/; v.t// πορού ε να ορίσου ε την c0 έσω του προφανούς ορισ ού c0 .a/ D u0 .a/; v0 .a/ : Μπορού ε επίσης να προσπαθήσου ε να ι ηθού ε τον βασικό ορισ ό: c0 .a/ D lim h!0 c.a C h/ c.a/ h ; όπου το κλάσ α στο δεξιό έλος εννοείται ότι ση αίνει 1 h Œc.a C h/ c.a/: Οι δύο αυτοί ορισ οί είναι ισοδύνα οι, επειδή lim h!0 c.a C h/ c.a/ h D lim h!0 u.a C h/ u.a/ h ; v.a C h/ v.a/ h D lim h!0 u.a C h/ u.a/ h ; lim h!0 v.a C h/ v.a/ h ε βάση τον ορισ ό των ορίων () D u0 .a/; v0 .a/ : Το Σχή α 5 δείχνει τα c.a Ch/ και c.a/, όπως και το βέλος από το c.a/ στο c.a Ch/. Όπως δείξα ε στο Παράρτη α 1 του Κεφαλαίου 4, το βέλος αυτό είναι το c.aCh/ c.a/, ε τη διαφορά ότι είναι ετακινη ένο ώστε να ξεκινά από το c.a/. Καθώς h ! 0, το βέλος αυτό θα φαίνεται να ετακινείται όλο και πλησιέστερα προς την εφαπτο ένη της κα πύλης ας, οπότε φαίνεται λογικό να ορίσουµε την εφαπτο ένη της c στο c.a/ ως την ευθεία κατά ήκος του c0 .a/, όταν το c0 .a/ ετακινηθεί ώστε να ξεκινά από το c.a/. Με άλλα λόγια, ορίζου ε την εφαπτο ένη της c στο c.a/ ως το σύνολο όλων των ση είων Σ Χ Η Μ Α 5 c.a/ C s c0 .a/: Για s D 0 λα βάνου ε το ίδιο το c.a/, για s D 1 λα βάνου ε c.a/ C c0 .a/, κτλ. (Παρα- τηρήστε, ό ως, ότι αυτός ο ορισ ός δεν έχει νόη α όταν c0 .a/ D .0; 0/.) Το Πρόβλη α 1 δείχνει ότι αυτός ο ορισ ός συ φωνεί ε τον παλιό, όταν η κα πύλη c ορίζεται ως c.t/ D .t; f .t//; ώστε να έχου ε απλά τη γραφική παράσταση της f . Για ακό η ια φορά, πορού ε να βρού ε τα ανάλογα των παλιών τύπων. Για παρά- δειγ α .c C d/0 .a/ D c0 .a/ C d0 .a/; .˛ c/0 .a/ D ˛0 .a/ c.a/ C ˛.a/ c0 .a/; ή, ως συναρτησιακές εξισώσεις, .c C d/0 D c0 C d0 ; .˛ c/0 D ˛0 c C ˛ c0 : Τους τύπους αυτούς πορού ε να τους λάβου ε ά εσα από τον ορισ ό συναρτήσει των συνιστωσών συναρτήσεων. Μπορού ε επίσης να τους λάβου ε και από τον ορισ ό ως
- 237. 12. Παράρτηµα. Παραµετρικήπαράσταση καµπυλών 223 όριο, ι ού ενοι τις προηγού ενες αποδείξεις· για τον δεύτερο τύπο θα πρέπει φυσικά να χρησι οποιήσου ε το κλασικό τέχνασ α και να γράψου ε ˛.a C h/c.a C h/ ˛.a/c.a/ D ˛.a C h/ Œc.a C h/ c.a/ C Œ˛.a C h/ ˛.a/ c.a/: Μπορού ε επίσης να θεωρήσου ε τη συνάρτηση d.t/ D c.p.t// D .c B p/.t/; όπου p είναι τώρα ια κανονική συνάρτηση, από αριθ ούς σε αριθ ούς. Η νέα κα πύλη d διέρχεται από τα ίδια ση εία ε την c, αλλά σε διαφορετικές χρονικές στιγ ές· η p αντιστοιχεί δηλαδή σε ια «ανα-παρα ετροποίηση» της c. Για c D .u; v/; d D .u B p; v B p/; λα βάνου ε d0 .a/ D .u B p/0 .a/; .v B p/0 .a/ D p0 .a/u0 .p.a//; p0 .a/v0 .p.a// D p0 .a/ u0 .p.a//; v0 .p.a// D p0 .a/ c0 .p.a//; ή απλώς d0 D p0 .c0 B p/: Παρατηρήστε ότι αν p.a/ D a, έτσι ώστε οι d και c να διέρχονται τη χρονική στιγ ή a από το ίδιο ση είο, τότε d0 .a/ D p0 .a/ c0 .a/, έτσι ώστε το εφαπτό ενο διάνυσ α d0 .a/ να είναι απλώς πολλαπλάσιο της c0 .a/. Αυτό ση αίνει ότι η εφαπτό ενη ευθεία της c στο c.a/ είναι η ίδια ε την εφαπτο ένη της ανα-παρα ετροποιη ένης κα πύλης d στο d.a/ D c.a/. Η όνη εξαίρεση συ βαίνει όταν p0 .a/ D 0, αφού σε αυτήν την περίπτωση η εφαπτο ένη της d δεν ορίζεται, παρ’ ότι η εφαπτο ένη της c πορεί να ορίζεται. Για παράδειγ α, η εφαπτο ένη της d.t/ D c.t3 / δεν θα ορίζεται στο t D 0, παρ’ ότι πρόκειται απλώς για ανα-παρα ετροποίηση της c. Τέλος, αφού πορού ε να ορίσου ε τις πραγ ατικές συναρτήσεις .c d/.t/ D c.t/ d.t/; det.c; d/.t/ D det.c.t/; d.t//; θα πρέπει να έχου ε τύπους για τις παραγώγους των νέων αυτών συναρτήσεων. Όπως πιθανόν να αντέψατε, οι σωστοί τύποι είναι οι .c d/0 .a/ D c.a/ d0 .a/ C c0 .a/ d.a/; Œdet.c; d/0 .a/ D det.c0 ; d/.a/ C det.c; d0 /.a/; οι οποίοι πορούν να προκύψουν ε απευθείας υπολογισ ούς από τους ορισ ούς συναρ- τήσει των συνιστωσών συναρτήσεων. Είναι ό ως πιο κο ψό να ι ηθού ε την απόδειξη του γνωστού κανόνα του γινο ένου, χρησι οποιώντας τους απλούς τύπους των Προβλη- άτων 2 και 4 του Παραρτή ατος 1 του Κεφαλαίου 4, και, φυσικά, το «κλασικό τέχνα- σ α» που αναφέρα ε προηγου ένως.
- 238. 224 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. (α) Για ια συνάρτηση f , η « ορφή ση είου-κλίσης» (Πρόβλη α 4-6) της εφα- πτο ένης στο .a; f .a// γράφεται ως y f .a/ D .x a/f 0 .a/, έτσι ώστε η εφαπτο ένη να αποτελείται από όλα τα ση εία της ορφής x; f .a/ C .x a/f 0 .a/ : Συ περάνετε ότι η εφαπτο ένη αποτελείται από όλα τα ση εία της ορφής a C s; f .a/ C sf 0 .a/ : (β) Αν c είναι η κα πύλη c.t/ D .t; f .t//, συ περάνετε ότι η εφαπτο ένη της c στο .a; f .a// [χρησι οποιώντας τον νέο ας ορισ ό] είναι η ίδια ε την εφαπτο ένη της f στο .a; f .a//. 2. Έστω c.t/ D .f .t/; t2 /, όπου f είναι η συνάρτηση που φαίνεται στο Σχή α 21 του Κεφαλαίου 9. ∆είξτε ότι η c κείται κατά ήκος της γραφικής παράστασης της η παραγωγίσι ης συνάρτησης h.x/ D jxj, αλλά c0 .0/ D .0; 0/. Με άλλα λόγια, η ανα-παρα ετροποίηση πορεί να «κρύψει» ια γωνία. Για αυτόν το λόγο, συνήθως ας ενδιαφέρουν όνο κα πύλες c ε c0 που δεν ισούται ποτέ ε .0; 0/. 3. Έστω ότι x D u.t/, y D v.t/ είναι η παρα ετρική παράσταση ιας κα πύλης και ότι η u είναι 1-1 σε κάποιο διάστη α. (α) ∆είξτε ότι σε αυτό το διάστη α η κα πύλη κείται κατά ήκος της γραφικής παράστασης της f D v B u 1 . (β) Αν η u είναι παραγωγίσι η σε αυτό το διάστη α και u0 .t/ ¤ 0, δείξτε ότι στο ση είο x D u.t/ έχου ε f 0 .x/ D v0 .t/ u0.t/ : Με τον συ βολισ ό του Leibniz, συχνά αυτό γράφεται πιο παραστατικά ως dy dx D dy dt dx dt : (γ) Επίσης έχου ε ότι f 00 .x/ D u0 .t/v00 .t/ v0 .t/u00 .t/ .u0.t//3 : 4. Θεωρήστε ια συνάρτηση f που ορίζεται ε πεπλεγ ένο τρόπο έσω της εξίσωσης x2=3 C y2=3 D 1. Υπολογίστε την f 0 .x/ ε δύο τρόπους: (i) Με πεπλεγ ένη παραγώγιση. (ii) Θεωρώντας την παρα ετρική παράσταση x D cos3 t, y D sin3 t. 5. Έστω x D u.t/, y D v.t/ η παρα ετρική παράσταση ιας κα πύλης ε u και v παραγωγίσι ες, και έστω P D .x0; y0/ ση είο του επιπέδου. ∆είξτε ότι αν το ση είο Q D .u.Nt/; v.Nt// στην κα πύλη είναι το πλησιέστερο στο .x0; y0/ και οι u0 .Nt/ και v0 .Nt/ δεν είναι και οι δύο 0, τότε η ευθεία που διέρχεται από τα P και Q είναι κάθετη προς την εφαπτο ένη της κα πύλης στο Q (Σχή α 6). Το ίδιο αποτέλεσ α ισχύει αν το Q είναι το πλέον ακρινό ση είο από το .x0; y0/. Σ Χ Η Μ Α 6 Έχου ε δει ότι η «γραφική παράσταση της f σε πολικές συντεταγ ένες» είναι η κα πύλη .f e/.t/ D .f .t/ cos t; f .t/ sin t/:
- 239. 12. Παράρτηµα. Παραµετρικήπαράσταση καµπυλών 225 Με άλλα λόγια, η γραφική παράσταση της f σε πολικές συντεταγ ένες είναι η κα - πύλη ε την παρα ετρική παράσταση x D f ./ cos ; y D f ./ sin : 6. (α) ∆είξτε ότι για τη γραφική παράσταση της f σε πολικές συντεταγ ένες, η κλίση της εφαπτο ένης στο ση είο ε πολικές συντεταγ ένες .f ./; / εί- ναι f ./ cos C f 0 ./ sin f ./ sin C f 0./ cos : (β) ∆είξτε ότι αν f ./ D 0 και η f είναι παραγωγίσι η στο , τότε η ευθεία δια της αρχής των αξόνων που σχη ατίζει γωνία ε τον οριζόντιο θετικό άξονα είναι εφαπτο ένη της γραφικής παράστασης της f σε πολικές συντεταγ ένες. Χρησι οποιήστε αυτό το αποτέλεσ α για να προσθέσετε ερικές λεπτο έ- ρειες στη γραφική παράσταση της σπείρας του Αρχι ήδη στο Παράρτη α 3 του Κεφαλαίου 4 καθώς και στις γραφικές παραστάσεις των Προβλη άτων 3 και 10 εκείνου του Παραρτή ατος. (γ) Έστω ότι το ση είο ε πολικές συντεταγ ένες .f ./; / είναι το πιο ακρινό από την αρχή των αξόνων O από οποιοδήποτε άλλο ση είο της γραφικής παράστασης της f . Τί πορείτε να πείτε για την εφαπτο ένη της γραφικής παράστασης στο ση είο αυτό; Συγκρίνετε ε το Πρόβλη α 5. (δ) Έστω ότι η εφαπτο ένη της γραφικής παράστασης της f στο ση είο ε πολικές συντεταγ ένες .f ./; / σχη ατίζει γωνία ˛ ε τον οριζόντιο άξονα (Σχή α 7), έτσι ώστε η γωνία εταξύ της εφαπτο ένης και της ακτίνας από το O στο ση είο να είναι ˛ . ∆είξτε ότι Σ Χ Η Μ Α 7 tan.˛ / D f ./ f 0./ : 7. (α) Στο Πρόβλη α 8 του Παραρτή ατος 3 του Κεφαλαίου 4, βρήκα ε ότι το καρ- διοειδές r D 1 sin περιγράφεται επίσης από την εξίσωση .x2 Cy2 Cy/2 D x2 C y2 . Βρείτε την κλίση της εφαπτο ένης σε ένα ση είο του καρδιοειδούς ε δύο τρόπους: (i) Με πεπλεγ ένη παραγώγιση. (ii) Με χρήση του προηγου ένου προβλή ατος. (β) Ελέγξτε ότι στην αρχή των αξόνων οι εφαπτό ενες είναι κατακόρυφες, όπως ε φανίζονται στο Σχή α 8. Σ Χ Η Μ Α 8
- 240. 226 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα Το επό ενο πρόβλη α χρησι οποιεί ύλη του Κεφαλαίου 15, και συγκεκρι ένα τη έ- τρηση σε ακτίνια, τις αντίστροφες τριγωνο ετρικές συναρτήσεις και τις ιδιότητές τους. 8. Ως κυκλοειδής ορίζεται η τροχιά που διαγράφει ένα ση είο που βρίσκεται στην περιφέρεια ενός κυλιό ενου τροχού ακτίνας a. Μπορείτε να δείτε ια ό ορφη κυκλοειδή αν κολλήσετε έναν ανακλαστήρα στην περιφέρεια ενός τροχού ποδη- λάτου και ένας φίλος σας το οδηγήσει σιγά προστά στα εγάλα φώτα του αυτοκι- νήτου σας τη νύχτα. Αν δεν έχετε αυτοκίνητο, ποδήλατο ή έναν καλό φίλο, συ βι- βαστείτε ε αυτό που δίνει το Σχή α 9. Σ Χ Η Μ Α 9 (α) Έστω ότι u.t/ και v.t/ είναι οι συντεταγ ένες του ση είου στην περιφέρεια του τροχού όταν έχει κυλήσει κατά γωνία t (ακτινίων). Αυτό ση αίνει ότι το τόξο από το P έως το Q της περιφέρειας στο Σχή α 10 έχει ήκος at. Αφού ο τροχός κυλά, at είναι και η απόσταση από το O έως το Q. ∆είξτε ότι έχου ε την παρα ετρική παράσταση της κυκλοειδούς u.t/ D a.t sin t/ v.t/ D a.1 cos t/: ήκο̋ at Σ Χ Η Μ Α 1 0 Το Σχή α 11 δείχνει τις κα πύλες που παίρνου ε αν η απόσταση του ση είου από το κέντρο του τροχού είναι (α) ικρότερη από την ακτίνα ή (β) εγαλύτερη από την ακτίνα. Στη δεύτερη αυτή περίπτωση, η κα πύλη δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης· ορισ ένες φορές το ση είο κινείται προς τα πίσω αν και ο τροχός κινείται προς τα ε πρός! (α) (β) Σ Χ Η Μ Α 1 1 Στο Σχή α 9 ζωγραφίσα ε την κυκλοειδή ως γραφική παράσταση συνάρτησης, αλλά πρέπει να ελέγξου ε ότι τα πράγ ατα έχουν όντως έτσι: (β) Υπολογίστε την u0 .t/ και συ περάνετε ότι η u είναι αύξουσα. Το Πρόβλη α 3 ας δείχνει τότε ότι η κυκλοειδής είναι η γραφική παράσταση της f D vBu 1 και ας επιτρέπει να υπολογίσου ε την f 0 .t/.
- 241. 12. Παράρτηµα. Παραµετρικήπαράσταση καµπυλών 227 (γ) ∆είξτε ότι οι εφαπτό ενες της κυκλοειδούς στις «κορυφές» είναι κάθετες. ∆εν είναι δυνατόν να λάβου ε τύπο σε κλειστή ορφή για την f , πορού ε ό ως σχεδόν να βρού ε τέτοιον τύπο. (δ) ∆είξτε ότι u.t/ D a arccos a v.t/ a ˙ p Œ2a v.t/v.t/: Υπόδειξη: Λύστε πρώτα ως προς t συναρτήσει της v.t/. (ε) Το πρώτο ισό του πρώτου τόξου της κυκλοειδούς είναι η γραφική παράσταση της g 1 , όπου g.y/ D a arccos a y a p .2a y/y: 9. Έστω ότι οι u και v είναι συνεχείς στο Œa; b και παραγωγίσι ες στο .a; b/. Τότε οι u και v αποτελούν την παρα ετρική παράσταση ιας κα πύλης από το P D .u.a/; v.a// στο Q D .u.b/; v.b//. Γεω ετρικά, φαίνεται να είναι ξεκάθαρο (Σχή α 12) ότι σε κάποιο ση είο της κα πύλης η εφαπτο ένη είναι παράλληλη στο ευθύγρα ο τ ή α από το P στο Q. Αποδείξτε το ε αναλυτικό τρόπο. Υπό- δειξη: Το πρόβλη α αυτό θα σας δώσει ια γεω ετρική ερ ηνεία για ένα από τα θεωρή ατα του Κεφαλαίου 11. Θα χρειαστεί επιπλέον να υποθέσετε ότι δεν έχου ε u0 .x/ D v0 .x/ D 0 για κανένα x στο .a; b/ (συγκρίνετε ε το Πρόβλη α 2). Σ Χ Η Μ Α 1 2 10. Ο ακόλουθος ορισ ός του ορίου ιας διανυσ ατικής συνάρτησης είναι το ά εσο ανάλογο του ορισ ού για κανονικές συναρτήσεις: lim t!a c.t/ D l ση αίνει ότι για κάθε 0 υπάρχει κάποιο ı 0 τέτοιο ώστε, για κάθε t, αν 0 jt aj ı, τότε kc.t/ lk . Εδώ k k είναι η νόρµα, που ορίστηκε στο Πρόβλη α 2 του Παραρτή ατος 1 του Κεφαλαίου 4. Συγκεκρι ένα, αν l D .l1; l2/, τότε kc.t/ lk2 D ju.t/ l1j2 C jv.t/ l2j2 : (α) Συ περάνετε ότι ju.t/ l1j kc.t/ lk και jv.t/ l2j kc.t/ lk; και δείξτε ότι αν lim t!a c.t/ D l σύ φωνα ε τον προαναφερθέντα ορισ ό, τότε έχου ε επίσης ότι lim t!a u.t/ D l1 και lim t!a v.t/ D l2; έτσι ώστε να έχου ε ότι lim t!a c.t/ D l σύ φωνα ε τον ορισ ό () της σελί- δας 221 συναρτήσει των συνιστωσών συναρτήσεων. (β) Αντιστρόφως, δείξτε ότι αν lim t!a c.t/ D l σύ φωνα ε τον ορισ ό συναρτή- σει των συνιστωσών συναρτήσεων, τότε και lim t!a c.t/ D l σύ φωνα ε τον προαναφερθέντα ορισ ό.
- 242. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ηπαράγωγος δεν ε φανίζει όλη της τη δύνα η παρά όνο όταν συ αχήσει ε το «ολο- κλήρω α», τη δεύτερη κύρια έννοια του 3ου Μέρους. Στην αρχή, αυτή η έννοια πορεί να φανεί τελείως ξεστρατισ ένη —σε αυτό το κεφάλαιο δεν ε φανίζονται παράγωγοι ούτε ια φορά! (Σ.τ.Ε.: Εκτός από το Πρόβλη α 25). Η ελέτη των ολοκληρω άτων απαιτεί πραγ ατικά εγάλη προετοι ασία, αλλά από τη στιγ ή που αυτή η προκαταρκτι- κή εργασία θα έχει ολοκληρωθεί, τα ολοκληρώ ατα θα γίνουν ένα ανεκτί ητο εργαλείο για να δη ιουργού ε καινούργιες συναρτήσεις, και η παράγωγος θα επανε φανιστεί στο Κεφάλαιο 14, περισσότερο ισχυρή παρά ποτέ. Σ Χ Η Μ Α 1 Αν και τελικά θα οριστεί ε έναν άλλον περίπλοκο τρόπο, το ολοκλήρω α τυπο- ποιεί ια απλή, διαισθητική έννοια —αυτήν του ε βαδού. Σύ φωνα ε ό,τι έχου ε δει έως τώρα, δεν θα έπρεπε να εκπλήσσει κανέναν το γεγονός ότι ο ορισ ός ιας διαισθη- τικής έννοιας πορεί να παρουσιάσει εγάλες δυσκολίες —και «το ε βαδόν» βέβαια δεν αποτελεί εξαίρεση. Σ Χ Η Μ Α 2 Στη στοιχειώδη Γεω ετρία αποδεικνύονται τύποι για τα ε βαδά πολλών επιπέδων σχη άτων, αλλά αν σκεφτού ε λίγο θα δού ε ότι σπάνια δίνεται ένας αποδεκτός ορισ ός του ε βαδού. Το ε βαδόν ιας επιφάνειας ερικές φορές ορίζεται ως το πλήθος των τετραγώνων, ε πλευρές ήκους 1, που «χωράνε» στην επιφάνεια. Αλλά αυτός ο ορισ ός είναι αδιόρθωτα ανεπαρκής για οποιαδήποτε επιφάνεια, εκτός από τις απλούστερες. Για παράδειγ α, ένας κύκλος ε ακτίνα 1, υποτίθεται ότι έχει ως ε βαδόν τον άρρητο αριθ ό , αλλά δεν είναι καθόλου σαφές τι ση αίνει « τετράγωνα». Ακό α και αν θεωρήσου ε έναν κύκλο ακτίνας 1= p , που υποθετικά έχει ε βαδόν 1, είναι πολύ δύσκολο να πει κανείς ε ποιον τρόπο χωράει ένα οναδιαίο τετράγωνο σε αυτόν τον κύκλο, ια και δεν φαίνεται δυνατόν να διαιρέσου ε το οναδιαίο τετράγωνο σε κο άτια που, κατάλληλα διευθετη ένα, να σχη ατίζουν έναν κύκλο. Σε αυτό το κεφάλαιο θα προσπαθήσου ε να ορίσου ε το ε βαδόν όνο κάποιων πολύ ειδικών επιφανειών (Σχή α 1) —αυτών που φράσσονται από τον οριζόντιο άξονα, τις κατακόρυφες στα .a; 0/ και .b; 0/, και τη γραφική παράσταση ιας συνάρτησης f , για την οποία f .x/ 0 για κάθε x στο Œa; b. Είναι βολικό να συ βολίζου ε αυτήν την επιφάνεια ε R.f; a; b/. Παρατηρού ε ότι σε αυτού του είδους τις επιφάνειες περιλα βάνονται τα ορθογώνια και τα τρίγωνα, καθώς και πολλά άλλα σπουδαία γεω ετρικά σχή ατα. Ο αριθ ός που θα δώσου ε τελικά ως ε βαδόν της R.f; a; b/ θα ονο αστεί το ολο- κλήρωµα της f στο Œa; b. Στην πραγ ατικότητα, το ολοκλήρω α θα οριστεί ακό α και για συναρτήσεις f που δεν ικανοποιούν τη συνθήκη f .x/ 0 για κάθε x στο Œa; b. Αν f είναι η συνάρτηση που έχου ε σχεδιάσει στο Σχή α 2, το ολοκλήρω α θα παριστάνει τη διαφορά ανά εσα στο ε βαδόν της ελαφρώς σκιασ ένης επιφάνειας και το ε βαδόν της έντονα σκιασ ένης επιφάνειας (το «αλγεβρικό ε βαδόν» του R.f; a; b/). Η ιδέα που βρίσκεται πίσω από τον ελλοντικό ορισ ό φαίνεται στο Σχή α 3. Το διάστη α Œa; b έχει διαιρεθεί σε τέσσερα υποδιαστή ατα Œt0; t1 Œt1; t2 Œt2; t3 Œt3; t4 έσω των αριθ ών t0, t1, t2, t3, t4 για τους οποίους ισχύει Σ Χ Η Μ Α 3 a D t0 t1 t2 t3 t4 D b 228
- 243. 13. Ολοκληρώµατα 229 (ηαρίθ ηση των δεικτών αρχίζει ε 0, έτσι ώστε ο εγαλύτερος δείκτης να είναι ίσος ε το πλήθος των υποδιαστη άτων). Στο πρώτο διάστη α Œt0; t1 η συνάρτηση f έχει ελάχιστη τι ή m1 και έγιστη τι ή M1. Ο οίως, στο i-στό διάστη α Œti 1; ti έστω mi η ελάχιστη τι ή και Mi η έγιστη τι ή της f . Το άθροισ α s D m1.t1 t0/ C m2.t2 t1/ C m3.t3 t2/ C m4.t4 t3/ παριστάνει το συνολικό ε βαδόν των ορθογωνίων που βρίσκονται έσα στην επιφάνεια R.f; a; b/, ενώ το άθροισ α S D M1.t1 t0/ C M2.t2 t1/ C M3.t3 t2/ C M4.t4 t3/ παριστάνει το συνολικό ε βαδόν των ορθογωνίων που περιέχουν την επιφάνεια R.f; a; b/. Η αρχή που ας καθοδηγεί στην προσπάθειά ας να ορίσου ε το ε βαδόν A του R.f; a; b/, είναι η παρατήρηση ότι το A θα πρέπει να ικανοποιεί τις s A και A S; και αυτό θα πρέπει να είναι σωστό, άσχετα µε το πώς υποδιαιρείται το διάστηµα Œa; b. Ελπίζου ε ότι ε αυτές τις απαιτήσεις θα προσδιοριστεί το A. Οι ορισ οί που ακολου- θούν αρχίζουν να τυποποιούν αυτήν τη συζήτηση, και να εξαφανίζουν κάποιες από τις υποθέσεις που έγιναν σιωπηρά. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω a b. Μια δια έριση του διαστή ατος Œa; b είναι ένα πεπερασ ένο σύ- νολο από ση εία στο Œa; b, δύο από τα οποία είναι το a και το b. Τα ση εία σε ια δια έριση πορούν να αριθ ηθούν t0; : : : ; tn έτσι ώστε a D t0 t1 tn 1 tn D b· πάντοτε θα υποθέτου ε ότι έχει γίνει τέτοιου είδους αρίθ ηση. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω ότι η f είναι φραγ ένη στο Œa; b και P D ft0; : : : ; tng είναι ια δια έριση του Œa; b. Έστω mi D infff .x/ W ti 1 x ti g; Mi D supff .x/ W ti 1 x ti g: Το κάτω άθροισ α της f για την P συ βολίζεται L.f; P / και ορίζεται L.f; P / D nX iD1 mi .ti ti 1/: Το άνω άθροισ α της f για την P συ βολίζεται U.f; P / και ορίζεται U.f; P / D nX iD1 Mi .ti ti 1/: Το κάτω και το άνω άθροισ α αντιστοιχούν στα αθροίσ ατα s και S του προηγου έ- νου παραδείγ ατος· υποτίθεται ότι αντιπροσωπεύουν τα συνολικά ε βαδά των ορθογω- νίων που βρίσκονται κάτω και πάνω από τη γραφική παράσταση της f . Παρατηρού ε ό ως ότι, παρά το γεω ετρικό κίνητρο, αυτά τα αθροίσ ατα έχουν οριστεί ακριβώς χωρίς κα ία αναφορά στην έννοια του «ε βαδού».
- 244. 230 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα ∆ύο λεπτο έρειες στον ορισ ό αξίζουν κάποια σχόλια. Η απαίτηση να είναι φραγ ένη η f στο Œa; b είναι απαραίτητη για να ορίζονται όλα τα mi και Mi . Παρατηρού ε επίσης ότι ήταν αναγκαίονα ορίσου ε τους αριθ ούς mi και Mi ως inf και sup, παρά ως ελάχιστα και έγιστα, γιατί η f δεν έχει υποτεθεί συνεχής. Ένα πράγ α είναι φανερό για τα κάτω και άνω αθροίσ ατα: αν P είναι οποιαδήποτε δια έριση, τότε L.f; P / U.f; P /; γιατί L.f; P / D nX iD1 mi .ti ti 1/; U.f; P / D nX iD1 Mi .ti ti 1/; και για κάθε i έχου ε mi .ti ti 1/ Mi .ti ti 1/: Από την άλλη πλευρά, κάτι λιγότερο προφανές θα πρέπει να είναι αληθές: Αν P1 και P2 είναι δύο οποιεσδήποτε δια ερίσεις του Œa; b τότε θα πρέπει να ισχύει ότι L.f; P1/ U.f; P2/; γιατί L.f; P1/ θα πρέπει να είναι ε βαδόν R.f; a; b/ και U.f; P2/ θα πρέπει να είναι ε βαδόν R.f; a; b/. Αυτή η παρατήρηση δεν αποδεικνύει τίποτα (γιατί το «ε βαδόν του R.f; a; b/» δεν έχει καν οριστεί έως τώρα), αλλά δείχνει ότι, αν υπάρχει κάποια ελπίδα να οριστεί το ε βαδόν του R.f; a; b/, πρέπει να προηγηθεί ια απόδειξη της L.f; P1/ U.f; P2/. Η απόδειξη που πρόκειται να δώσου ε βασίζεται σε ένα λή α που έχει να κάνει ε τη συ περιφορά των κάτω και άνω αθροισ άτων, όταν περισσότερα ση εία περιλα βάνονται σε ια δια έριση. Στο Σχή α 4, η δια έριση P περιέχει τα ση εία που είναι αύρα, και η Q περιέχει τα ση εία που είναι αύρα και αυτά που είναι γκρίζα. Το σχή α υποδηλώνει ότι τα ορθογώνια που σχεδιάζονται για τη δια έριση Q είναι καλύτερη Σ Χ Η Μ Α 4 προσέγγιση της επιφάνειας R.f; a; b/ από ό,τι αυτά της αρχικής δια έρισης P . Για να ακριβολογού ε: ΛΗΜΜΑ Αν η Q περιέχει την P (δηλαδή αν όλα τα ση εία της P ανήκουν επίσης στην Q), τότε L.f; P / L.f; Q/; U.f; P / U.f; Q/: ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ας θεωρήσου ε πρώτα την ειδική περίπτωση (Σχή α 5), στην οποία η Q περιέχει ακριβώς ένα ση είο παραπάνω από την P : P D ft0; : : : ; tng; Q D ft0; : : : ; tk 1; u; tk; : : : ; tng; όπου a D t0 t1 tk 1 u tk tn D b: Έστω Σ Χ Η Μ Α 5 m0 D infff .x/ W tk 1 x ug; m00 D infff .x/ W u x tkg:
- 245. 13. Ολοκληρώµατα 231 Τότε L.f;P / D nX iD1 mi .ti ti 1/; L.f; Q/ D k 1X iD1 mi .ti ti 1/ C m0 .u tk 1/ C m00 .tk u/ C nX iDkC1 mi .ti ti 1/: Επο ένως, για να αποδείξου ε ότι L.f; P / L.f; Q/ αρκεί να δείξου ε ότι mk.tk tk 1/ m0 .u tk 1/ C m00 .tk u/: Τώρα, το σύνολο ff .x/ W tk 1 x tkg περιέχει όλα τα στοιχεία του ff .x/ W tk 1 x ug και πιθανόν κάποια ακό α ικρότερα, άρα το έγιστο κάτω φράγ α του πρώτου συνόλου είναι µικρότερο ή ίσο από το έγιστο κάτω φράγ α του δεύτερου· δηλαδή mk m0 : Ο οίως, mk m00 : Επο ένως, mk.tk tk 1/ D mk.u tk 1/ C mk.tk u/ m0 .u tk 1/ C m00 .tk u/: Αυτό αποδεικνύει, σε αυτήν την ειδική περίπτωση, ότι L.f; P / L.f; Q/. Η απόδειξη ότι U.f; P / U.f; Q/ είναι παρό οια, και αφήνεται σε σας ως ια εύκολη, αλλά χρή- σι η, άσκηση. Μπορού ε τώρα να αναχθού ε στη γενική περίπτωση αρκετά εύκολα. Η δια έριση Q προκύπτει από την P προσθέτοντας ένα ση είο κάθε φορά· ε άλλα λόγια, υπάρχει ια ακολουθία δια ερίσεων P D P1; P2; : : : ; P˛ D Q τέτοια ώστε η PjC1 να περιέχει ακριβώς ένα ση είο παραπάνω από την Pj . Τότε L.f; P / D L.f; P1/ L.f; P2/ L.f; P˛/ D L.f; Q/; και U.f; P / D U.f; P1/ U.f; P2/ U.f; P˛/ D U.f; Q/: Το θεώρη α που θέλα ε να αποδείξου ε είναι απλή συνέπεια αυτού του λή ατος. ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Έστω ότι P1 και P2 είναι δια ερίσεις του Œa; b, και f ια συνάρτηση φραγ ένη στο Œa; b. Τότε L.f; P1/ U.f; P2/: ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Υπάρχει ια δια έριση P που περιέχει τόσο την P1 όσο και την P2 (π.χ. η P να περιέχει ακριβώς τα ση εία της P1 και της P2). Σύ φωνα ε το λή α, L.f; P1/ L.f; P / U.f; P / U.f; P2/: Από το Θεώρη α 1 έπεται ότι κάθε άνω άθροισ α U.f; P 0 / είναι ένα άνω φράγ α για το σύνολο όλων των κάτω αθροισ άτων L.f; P /. Συνεπώς, κάθε άνω άθροισ α U.f; P 0 / είναι εγαλύτερο ή ίσο από το ελάχιστο άνω φράγ α όλων των κάτω αθροισ άτων: supfL.f; P / W P δια έριση του Œa; bg U.f; P 0 /;
- 246. 232 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα για κάθε P 0 . Αυτό, ε τη σειρά του, ση αίνει ότι το supfL.f; P /g είναι ένα κάτω φράγ α για το σύνολο όλων των άνω αθροισ άτων της f . Συνεπώς, supfL.f; P /g inffU.f; P /g: Είναι προφανές ότι αυτοί οι δύο αριθ οί βρίσκονται ανά εσα στο κάτω και το άνω άθροι- σ α της f για όλες τις δια ερίσεις: L.f; P 0 / supfL.f; P /g U.f; P 0 /; L.f; P 0 / inffU.f; P /g U.f; P 0 /; για κάθε δια έριση P 0 . Μπορεί κάλλιστα να συ βεί supfL.f; P /g D inffU.f; P g. Σε αυτήν την περίπτωση, αυτός είναι ο µοναδικός αριθ ός που βρίσκεται ανά εσα στο κάτω και το άνω άθροισ α της f για όλες τις δια ερίσεις, και επο ένως αυτός ο αριθ ός είναι ιδανικός υποψήφιος για το ε βαδόν του R.f; a; b/. Από την άλλη πλευρά, αν supfL.f; P /g inffU.f; P /g; τότε κάθε αριθ ός x ανά εσα στο supfL.f; P /g και το inffU.f; P /g θα ικανοποιεί την L.f; P 0 / x U.f; P 0 / για όλες τις δια ερίσεις P 0 . ∆εν είναι καθόλου φανερό το πότε συ βαίνει ια τέτοια ευτυχής σύ πτωση. Τα δύο παραδείγ ατα που ακολουθούν, αν και δεν είναι τόσο ενδιαφέροντα όσο αυτά που σύν- το α θα ε φανιστούν, δείχνουν ότι και τα δύο φαινό ενα είναι δυνατά. Σ Χ Η Μ Α 6 Ας υποθέσου ε πρώτα ότι f .x/ D c για κάθε x στο Œa; b (Σχή α 6). Αν P D ft0; : : : ; tng είναι τυχαία δια έριση του Œa; b, τότε mi D Mi D c; άρα L.f; P / D nX iD1 c.ti ti 1/ D c.b a/; U.f; P / D nX iD1 c.ti ti 1/ D c.b a/: Σε αυτήν την περίπτωση, όλα τα κάτω και άνω αθροίσ ατα είναι ίσα και supfL.f; P /g D inffU.f; P /g D c.b a/: Σ Χ Η Μ Α 7 Ας θεωρήσου ε τώρα (Σχή α 7) τη συνάρτηση f για την οποία f .x/ D 0; x άρρητος 1; x ρητός. Αν P D ft0; : : : ; tng είναι τυχαία δια έριση, τότε mi D 0; αφού υπάρχει ένας άρρητος αριθ ός στο Œti 1; ti , και Mi D 1; αφού υπάρχει ένας ρητός αριθ ός στο Œti 1; ti .
- 247. 13. Ολοκληρώµατα 233 Εποένως, L.f; P / D nX iD1 0 .ti ti 1/ D 0; U.f; P / D nX iD1 1 .ti ti 1/ D b a: Έτσι, σε αυτήν την περίπτωση σίγουρα δεν ισχύει ότι supfL.f; P /g D inffU.f; P /g. Η αρχή πάνω στην οποία επρόκειτο να βασιστεί ο ορισ ός του ε βαδού δεν παρέχει αρκετές πληροφορίες ώστε να προσδιορίσου ε κάποιο συγκεκρι ένο ε βαδόν για το R.f; a; b/ —οποιοσδήποτε αριθ ός ανά εσα στο 0 και το b a οιάζει το ίδιο καλός. Από την άλλη πλευρά, η επιφάνεια R.f; a; b/ είναι τόσο αλλόκοτη που δικαιολογη ένα θα πορούσα ε να της αρνηθού ε να έχει κάποιο ε βαδόν. Μπορού ε πραγ ατικά να ισχυριστού ε, πιο γενικά, ότι αν supfL.f; P /g ¤ inffU.f; P /g; η επιφάνεια R.f; a; b/ είναι τελείως παράλογη, άρα δεν αξίζει να έχει ένα ε βαδόν. Όπως δείχνει και η προσφυγή ας στη λέξη «παράλογο», εί αστε έτοι οι να καλύψου ε την άγνοιά ας ε ορολογία. ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση f που είναι φραγ ένη στο Œa; b είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b, αν supfL.f; P / W P δια έριση του Œa; bg D inffU.f; P / W P δια έριση του Œa; bg: Σε αυτήν την περίπτωση, ο κοινός αυτός αριθ ός λέγεται το ολοκλήρω α της f στο Œa; b και συ βολίζεται ε Z b a f: (Το σύ βολο R λέγεται σύµβολο ολοκλήρωσης και ήταν αρχικά ένα επι ηκυσ ένο s, από τη λέξη «sum» (= άθροισ α). Οι αριθ οί a και b λέγονται κάτω και άνω όρια της ολοκλήρωσης.) Το ολοκλήρω α R b a f λέγεται επίσης το ε βαδόν του R.f; a; b/ όταν f .x/ 0 για κάθε x στο Œa; b. Αν η f είναι ολοκληρώσι η, τότε σύ φωνα ε αυτόν τον ορισ ό, L.f; P / Z b a f U.f; P / για κάθε δια έριση P του Œa; b: Επιπλέον, το R b a f είναι ο µοναδικός αριθ ός ε αυτήν την ιδιότητα. Αυτός ο ορισ ός απλώς υποδεικνύει, και δεν λύνει, το πρόβλη α που συζητήσα ε προηγου ένως: δεν ξέρου ε ποιες συναρτήσεις είναι ολοκληρώσι ες (ούτε ξέρου ε πώς να βρού ε το ολοκλήρω α της f στο Œa; b όταν η f είναι ολοκληρώσι η). Το όνο που ξέρου ε προς το παρόν είναι δύο παραδείγ ατα: .1/ αν f .x/ D c, τότε η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b και Z b a f D c .b a/: (Παρατηρού ε ότι αυτό το ολοκλήρω α δίνει το ανα ενό ενο ε βαδόν ενός ορθογω- νίου.) .2/ αν f .x/ D 0; x άρρητος 1; x ρητός, τότε η f δεν είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b.
- 248. 234 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα Θα δοθούν περισσότερα παραδείγ ατα, πριν συζητήσου ε αυτά τα προβλή ατα διε- ξοδικά. Ακό α και για αυτά τα παραδείγ ατα ό ως, θα βοηθήσει να διατυπώσου ε ε σαφήνεια το παρακάτω απλό κριτήριο ολοκληρωσι ότητας. ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Αν η f είναι φραγ ένη στο Œa; b, τότε η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b αν και όνο αν για κάθε 0 υπάρχει ια δια έριση P του Œa; b, τέτοια ώστε U.f; P / L.f; P / : ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Υποθέτου ε πρώτα ότι για κάθε 0 υπάρχει ια δια έριση P ώστε U.f; P / L.f; P / : Αφού inffU.f; P 0 /g U.f; P /; supfL.f; P 0 /g L.f; P /; έπεται ότι inffU.f; P 0 /g supfL.f; P 0 /g : Επειδή αυτό ισχύει για κάθε 0, έπεται ότι supfL.f; P 0 /g D inffU.f; P 0 /g· τότε, από τον ορισ ό, η f είναι ολοκληρώσι η. Η απόδειξη του αντίστροφου ισχυρισ ού είναι ό οια. Αν η f είναι ολοκληρώσι η, τότε supfL.f; P /g D inffU.f; P /g: Αυτό ση αίνει ότι για κάθε 0 υπάρχουν δια ερίσεις P 0 , P 00 ε U.f; P 00 / L.f; P 0 / : Έστω P ια δια έριση που περιέχει και την P 0 και την P 00 . Τότε, σύ φωνα ε το λή α, U.f; P / U.f; P 00 /; L.f; P / L.f; P 0 /· συνεπώς, U.f; P / L.f; P / U.f; P 00 / L.f; P 0 / : Αν και το τεχνικό έρος της απόδειξης καταλα βάνει κάποιο χώρο, είναι σαφές ότι το Θεώρη α 2 δεν είναι τίποτε περισσότερο από ια διαφορετική διατύπωση του ορισ ού της ολοκληρωσι ότητας. Είναι ό ως ια πολύ εύχρηστη διατύπωση γιατί δεν υπάρχει κα ία αναφορά σε sup και inf, που συχνά είναι δύσκολο να τα χειριστεί κανείς. Το επό- ενο παράδειγ α αποσαφηνίζει αυτό το ση είο, και ακό α χρησι εύει ως ια καλή εισα- γωγή στο είδος των αποδείξεων που απαιτεί ο πολύπλοκος ορισ ός του ολοκληρώ ατος, ακό α και σε πολύ απλές περιπτώσεις. Ας ορίσου ε την f στο Œ0; 2 ως εξής: f .x/ D 0; x ¤ 1 1; x D 1: Έστω ότι P D ft0; : : : ; tng είναι ια δια έριση του Œ0; 2 ε tj 1 1 tj
- 249. 13. Ολοκληρώµατα 235 (βλ.Σχή α 8). Τότε mi D Mi D 0 αν i ¤ j; αλλά mj D 0 και Mj D 1: Αφού L.f; P / D j 1X iD1 mi .ti ti 1/ C mj .tj tj 1/ C nX iDjC1 mi .ti ti 1/; U.f; P / D j 1X iD1 Mi .ti ti 1/ C Mj .tj tj 1/ C nX iDjC1 Mi .ti ti 1/; έχου ε Σ Χ Η Μ Α 8 U.f; P / L.f; P / D tj tj 1: Αυτό αποδεικνύει ότι η f είναι ολοκληρώσι η: για να πάρου ε ια δια έριση P ε U.f; P / L.f; P / ; αρκεί όνο να διαλέξου ε ια δια έριση ε tj 1 1 tj και tj tj 1 : Ακό α, είναι φανερό ότι L.f; P / 0 U.f; P / για κάθε δια έριση P . Αφού η f είναι ολοκληρώσι η, υπάρχει όνο ένας αριθ ός ανά εσα σε όλα τα κάτω και άνω αθροίσ ατα, συγκεκρι ένα το ολοκλήρω α της f , άρα Z 2 0 f D 0: Αν και η ασυνέχεια της f ήταν υπεύθυνη για τις δυσκολίες σε αυτό το παράδειγ α, ακό α χειρότερα προβλή ατα γεννιούνται για πολύ απλές συνεχείς συναρτήσεις. Για παράδειγ α, έστω f .x/ D x, και για ευκολία θεωρού ε ένα διάστη α Œ0; b, όπου b 0. Αν P D ft0; : : : ; tng είναι ια δια έριση του Œ0; b, τότε (Σχή α 9) mi D ti 1 και Mi D ti και επο ένως Σ Χ Η Μ Α 9 L.f; P / D nX iD1 ti 1.ti ti 1/ D t0.t1 t0/ C t1.t2 t1/ C C tn 1.tn tn 1/; U.f; P / D nX iD1 ti .ti ti 1/ D t1.t1 t0/ C t2.t2 t1/ C C tn.tn tn 1/: Κανέναςαπό τους δύο τύπους δεν είναι ιδιαίτερα ελκυστικός, αλλά και οι δύο απλοποιούν- ται ση αντικά για δια ερίσεις Pn D ft0; : : : ; tng σε n ίσα υποδιαστή ατα. Σε αυτήν την περίπτωση, το ήκος ti ti 1 του κάθε υποδιαστή ατος είναι b=n, επο ένως t0 D 0; t1 D b n ; t2 D 2b n ; κτλ·
- 250. 236 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα γενικά ti D ib n : Τότε L.f; Pn/ D nX iD1 ti 1.ti ti 1/ D nX iD1 .i 1/b n b n D nX iD1 .i 1/ b2 n2 D n 1X jD0 j b2 n2 : Αν θυ ηθού ε τον τύπο 1 C C k D k.k C 1/ 2 ; αυτό πορεί να γράφει L.f; Pn/ D .n 1/.n/ 2 b2 n2 D n 1 n b2 2 : Ο οίως, U.f; Pn/ D nX iD1 ti .ti ti 1/ D nX iD1 ib n b n D n.n C 1/ 2 b2 n2 D n C 1 n b2 2 : Αν το n είναι πολύ εγάλο, τα L.f; Pn/ και U.f; Pn/ είναι και τα δύο κοντά στο b2 =2, και ε αυτήν την παρατήρηση είναι εύκολο να αποδείξου ε ότι η f είναι ολοκληρώσι η. Παρατηρού ε πρώτα ότι U.f; Pn/ L.f; Pn/ D 2 n b2 2 : Αυτό δείχνει ότι υπάρχουν δια ερίσεις Pn ώστε το U.f; Pn/ L.f; Pn/ να γίνεται όσο ικρό θέλου ε. Από το Θεώρη α 2, η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσι η. Επιπλέον, το R b 0 f πορεί τώρα να βρεθεί ε ελάχιστη δουλειά. Είναι φανερό, πρώτα απ’ όλα, ότι L.f; Pn/ b2 2 U.f; Pn/ για κάθε n: Αυτή η ανισότητα δείχνει όνο ότι το b2 =2 βρίσκεται ανά εσα σε κάποια ειδικά άνω και κάτω αθροίσ ατα, αλλά όλις τώρα είδα ε ότι το U.f; Pn/ L.f; Pn/ πορεί να γίνει
- 251. 13. Ολοκληρώµατα 237 όσοικρό θέλου ε· άρα υπάρχει µόνο ένας αριθ ός ε αυτήν την ιδιότητα. Αφού το ολοκλήρω α σίγουρα έχει αυτήν την ιδιότητα, πορού ε να συ περάνου ε ότι Z b 0 f D b2 2 : Παρατηρού ε ότι αυτή η εξίσωση ας δίνει ε βαδόν b2 =2 για ένα ορθογώνιο τρίγωνο ε βάση και ύψος b (Σχή α 10). Κάνοντας πιο σύνθετους υπολογισ ούς, ή εφαρ όζοντας το Θεώρη α 4, πορού ε να δείξου ε ότι ε βαδόν Σ Χ Η Μ Α 1 0 Z b a f D b2 2 a2 2 : Η συνάρτηση f .x/ D x2 παρουσιάζει ακό α εγαλύτερες δυσκολίες. Σε αυτήν την περίπτωση (Σχή α 11), αν P D ft0; : : : ; tng είναι ια δια έριση του Œ0; b, τότε mi D f .ti 1/ D .ti 1/2 και Mi D f .ti / D ti 2 : ∆ιαλέγοντας, για ια ακό α φορά, ια δια έριση Pn D ft0; : : : ; tng σε n ίσα κο ά- τια, οπότε ti D i b n τα κάτω και άνω αθροίσ ατα γίνονται Σ Χ Η Μ Α 1 1 L.f; Pn/ D nX iD1 .ti 1/2 .ti ti 1/ D nX iD1 .i 1/2 b2 n2 b n D b3 n3 n 1X jD0 j2 ; U.f; Pn/ D nX iD1 ti 2 .ti ti 1/ D nX iD1 i2 b2 n2 b n D b3 n3 nX jD1 j2 : Αν θυ ηθού ε τον τύπο 12 C C k2 D 1 6 k.k C 1/.2k C 1/ από το Πρόβλη α 2-1, αυτά τα αθροίσ ατα πορούν να γραφούν L.f; Pn/ D b3 n3 1 6 .n 1/.n/.2n 1/; U.f; Pn/ D b3 n3 1 6 .n C 1/.n/.2n C 1/: ∆εν είναι πολύ δύσκολο να αποδείξου ε ότι L.f; Pn/ b3 3 U.f; Pn/;
- 252. 238 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα και ότι το U.f; Pn/ L.f; Pn/ πορεί να γίνει όσο ικρό θέλου ε, αν διαλέξου ε n αρκετά εγάλο. Με την ίδια αιτιολόγηση όπως πριν, βλέπου ε τότε ότι Z b 0 f D b3 3 : Με αυτούς τους υπολογισ ούς φτάσα ε κιόλας σε ένα η τετρι ένο αποτέλεσ α —το ε βαδόν της περιοχής που φράσσεται από ία παραβολή συνήθως δεν υπολογίζεται στη στοιχειώδη Γεω ετρία. Το αποτέλεσ α ό ως ήταν γνωστό στον Αρχι ήδη, που το υπο- λόγισε ουσιαστικά ε τον ίδιο τρόπο. Η όνη υπεροχή που πορού ε να διεκδικήσου ε είναι ότι στο επό ενο κεφάλαιο θα ανακαλύψου ε έναν πολύ απλούστερο τρόπο για να φτάσου ε σε αυτό το συ πέρασ α. Μερικά από τα αποτελέσ ατά ας πορούν να συνοψιστούν ως εξής: Z b a f D c .b a/ αν f .x/ D c για κάθε x; Z b a f D b2 2 a2 2 αν f .x/ D x για κάθε x; Z b a f D b3 3 a3 3 αν f .x/ D x2 για κάθε x: Αυτός ο ικρός κατάλογος δείχνει ότι ο συ βολισ ός R b a f έχει ένα ειονέκτη α: του λείπει ένας κατάλληλος συ βολισ ός για τις συναρτήσεις που ορίζονται ε τύπους. Για αυτόν το λόγο, έναςεναλλακτικός συ βολισ ός,* ανάλογος ε τον lim x!a f .x/, είναι επίσης χρήσι ος: το Z b a f .x/ dx ση αίνει ακριβώς το ίδιο ε το Z b a f: Έτσι Z b a c dx D c .b a/; Z b a x dx D b2 2 a2 2 ; Z b a x2 dx D b3 3 a3 3 : Παρατηρού ε ότι, όπως στον συ βολισ ό lim x!a f .x/, το σύ βολο x πορεί να αντικατα- σταθεί από οποιοδήποτε άλλο γρά α (εκτός από f , a ή b, βέβαια): Z b a f .x/ dx D Z b a f .t/ dt D Z b a f .˛/ d˛ D Z b a f .y/ dy D Z b a f .c/ dc: Το σύ βολο dx δεν έχει κα ία έννοια από όνο του, όπως και το σύ βολο x ! δεν έχει κανένα νόη α, έξω από το lim x!a f .x/. Στην εξίσωση Z b a x2 dx D b3 3 a3 3 ; *Ο συ βολισ ός R b a f .x/ dx είναι πραγ ατικά ο παλαιότερος και επί σειρά ετών ήταν ο όνος για το ολο- κλήρω α. Ο Leibnitz χρησι οποίησε αυτό το σύ βολο επειδή θεώρησε ότι το ολοκλήρω α ήταν το άθροισ α (που το ση είωνε ε το R ) απείρου πλήθος ορθογωνίων ε ύψος f .x/ και «απειροελάχιστο» πλάτος dx. Μεταγενέστεροι συγγραφείς χρησι οποίησαν x0; : : : ; xn για να συ βολίσουν τα ση εία ιας δια έρισης, και συντο ογραφικά ση είωναν το xi xi 1 ε xi . Το ολοκλήρω α ορίζεται ως όριο, όταν το xi προσεγγίζει το 0, των αθροισ άτων nX iD1 f .xi / xi (κατ’ αναλογία προς το κάτω και άνω άθροισ α). Το γεγονός ότι το όριο λα βάνεται αλλάζοντας το X σε R , το f .xi / σε f .x/ και το xi σε dx, γοητεύει πολλούς.
- 253. 13. Ολοκληρώµατα 239 τοπλήρες σύ βολο x2 dx πορεί να θεωρηθεί σύντ ηση της φράσης: η συνάρτηση f για την οποία f .x/ D x2 για κάθε x. Αυτός ο συ βολισ ός για το ολοκλήρω α είναι το ίδιο εύκα πτος όσο ο συ βολισ ός lim x!a f .x/. Τα παραδείγ ατα που ακολουθούν πορεί να βοηθήσουν στην ερ ηνεία δια- φόρων ειδών τύπων που ε φανίζονται συχνά· έχου ε κάνει χρήση των Θεωρη άτων 5 και 6.* .1/ Z b a .x C y/ dx D Z b a x dx C Z b a y dx D b2 2 a2 2 C y.b a/: .2/ Z x a .y C t/ dy D Z x a y dy C Z x a t dy D x2 2 a2 2 C t.x a/: .3/ Z b a Z x a .1 C t/ d´ dx D Z b a .1 C t/.x a/ dx D .1 C t/ Z b a .x a/ dx D .1 C t/ b2 2 a2 2 a.b a/ : .4/ Z b a Z d c .x C y/ dy ! dx D Z b a x.d c/ C d2 2 c2 2 dx D d2 2 c2 2 .b a/ C .d c/ Z b a x dx D d2 2 c2 2 .b a/ C .d c/ b2 2 a2 2 : Οι υπολογισ οί των R b a x dx και R b a x2 dx ίσως υποδεικνύουν ότι το να υπολογίσει κανείς ολοκληρώ ατα είναι γενικά δύσκολο ή αδύνατο. Για να εί αστε ακριβείς, τα ολο- κληρώ ατα των περισσοτέρων συναρτήσεων είναι αδύνατο να καθοριστούν ε ακρίβεια (αν και µπορούν να υπολογιστούν µε οποιοδήποτε βαθµό ακρίβειας θέλουµε υπολογίζοντας τα κάτω και άνω αθροίσµατα). Όπως ό ως θα δού ε στο επό ενο κεφάλαιο, το ολοκλή- ρω α πολλών συναρτήσεων πορεί να υπολογιστεί ε εγάλη ευκολία. Αν και τα περισσότερα ολοκληρώ ατα δεν πορούν να υπολογιστούν ακριβώς, εί- ναι ση αντικό να ξέρου ε τουλάχιστον πότε ια συνάρτηση f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b. Αν και είναι δυνατόν να πού ε ακριβώς ποιες συναρτήσεις είναι ολοκληρώσι ες, το κριτήριο ολοκληρωσι ότητας είναι άλλον δύσκολο να διατυπωθεί εδώ, και θα πρέπει να ετοι αστού ε για επί έρους αποτελέσ ατα. Το θεώρη α που ακολουθεί ας δίνει το πιο χρήσι ο αποτέλεσ α, αλλά η απόδειξη που θα δώσου ε εδώ χρησι οποιεί ύλη από το Παράρτη α του Κεφαλαίου 8. Αν προτι άτε, πορείτε να περι ένετε έχρι το τέλος του επό ενου κεφαλαίου, οπότε θα δώσου ε ια τελείως διαφορετική απόδειξη. ΘΕΩΡΗΜΑ 3 Αν η f είναι συνεχής στο Œa; b, τότε η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Πρώτα παρατηρού ε ότι η f είναι φραγ ένη στο Œa; b, διότι είναι συνεχής στο Œa; b. Για να αποδείξου ε ότι η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b, θέλου ε να χρησι οποιήσου ε το Θεώρη α 2 και να δείξου ε ότι για κάθε 0 υπάρχει δια έριση P του Œa; b τέτοια ώστε U.f; P / L.f; P / : *Προκει ένου ο αναγνώστης να ην πανικοβληθεί όταν διαβάζει άλλα βιβλία, η εξίσωση (1) χρειάζεται ια ση αντική επεξήγηση: Η εξίσωση αυτή ερ ηνεύει το R b a y dx ως το ολοκλήρω α της συνάρτησης f που η κάθε τι ή f .x/ είναι ο αριθ ός y. Αλλά ο κλασικός συ βολισ ός, συχνά χρησι οποιεί το y στη θέση του y.x/ και έτσι, το R b a y dx πορεί να ση αίνει το ολοκλήρω α κάποιας τυχαίας συνάρτησης y.
- 254. 240 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα Από το Θεώρη α 1 του Παραρτή ατος του Κεφαλαίου 8 γνωρίζου ε ό ως ότι η f είναι ο οιό ορφα συνεχής στο Œa; b. Επο ένως υπάρχει κάποιο ı 0 τέτοιο ώστε για κάθε x και y στο Œa; b, αν jx yj ı; τότε jf .x/ f .y/j 2.b a/ : Το τέχνασ α είναι απλώς να επιλέξου ε ια δια έριση P D ft0; : : : ; tng τέτοια ώστε κάθε jti ti 1j ı. Τότε για κάθε i έχου ε jf .x/ f .y/j 2.b a/ για κάθε x; y στο Œti 1; ti ; και προκύπτει εύκολα ότι Mi mi 2.b a/ b a : Αφού αυτό ισχύει για κάθε i, έχου ε U.f; P / L.f; P / D nX iD1 .Mi mi /.ti ti 1/ b a nX iD1 ti ti 1 D b a b a D ; το οποίο είναι το ζητού ενο. Αν και αυτό το θεώρη α παρέχει όλες τις πληροφορίες που είναι αναγκαίες για τη χρήση των ολοκληρω άτων σε αυτό το βιβλίο θα ας ικανοποιούσε περισσότερο να έχου ε ένα κάπως εγαλύτερο απόθε α από ολοκληρώσι ες συναρτήσεις. Αρκετά προ- βλή ατα ασχολούνται λεπτο ερειακά ε αυτό το ζήτη α. Θα βοηθούσε να έχου ε υπόψη τα ακόλουθα τρία θεωρή ατα, που δείχνουν: ότι η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b αν είναι ολοκληρώσι η στο Œa; c και στο Œc; b· ότι η f C g είναι ολοκληρώσι η αν είναι οι f και g· και ότι η c f είναι ολοκληρώσι η αν η f είναι ολοκληρώσι η και c είναι οποιοσδήποτε αριθ ός. Ως απλή εφαρ ογή αυτών των θεωρη άτων, ας θυ ηθού ε ότι, αν η f είναι 0, εκτός από ένα ση είο όπου η τι ή της είναι 1, τότε η f είναι ολοκληρώσι η. Πολλαπλασιάζον- τας αυτήν τη συνάρτηση ε c, έπεται ότι το ίδιο ισχύει και αν η τι ή της f στο εν λόγω ση είο είναι c. Προσθέτοντας ια τέτοια συνάρτηση σε ια ολοκληρώσι η συνάρτηση, βλέπου ε ότι πορού ε να αλλάξου ε τυχαία την τι ή ιας ολοκληρώσι ης συνάρτη- σης σε ένα ση είο, χωρίς να καταστρέψου ε την ολοκληρωσι ότητα. Αν σπάσου ε το διάστη α σε πολλά υποδιαστή ατα, βλέπου ε ότι πορού ε να αλλάξου ε την τι ή σε οσαδήποτε πεπερασ ένου πλήθους ση εία. Οι αποδείξεις αυτών των θεωρη άτων συνήθως χρησι οποιούν το εναλλακτικό κριτή- ριο ολοκληρωσι ότητας του Θεωρή ατος 2· όπως φανερώνουν ερικές από τις προηγού- ενες υποδείξεις ας, οι λεπτο έρειες του συλλογισ ού συχνά συγκαλύπτουν το κρίσι ο ση είο της απόδειξης. Είναι σκόπι ο να προσπαθήσετε να κάνετε δικές σας αποδείξεις, και να συ βουλευτείτε αυτές που δίνονται εδώ ως ένα τελευταίο καταφύγιο, ή για έλεγχο. Αυτό πιθανόν να αποσαφηνίσει τις αποδείξεις, και σίγουρα θα είναι ια καλή εξάσκηση στις τεχνικές που χρησι οποιούνται σε κάποια από τα προβλή ατα. ΘΕΩΡΗΜΑ 4 Έστω a c b. Αν η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b, τότε η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; c και στο Œc; b. Αντιστρόφως, αν η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; c και στο
- 255. 13. Ολοκληρώµατα 241 Œc;b τότε η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b. Τέλος, αν η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b, τότε Z b a f D Z c a f C Z b c f: ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω ότι η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b. Αν 0, υπάρχει ια δια έριση P D ft0; : : : ; tng του Œa; b τέτοια ώστε U.f; P / L.f; P / : Μπορού ε επίσης να υποθέσου ε ότι c D tj για κάποιο j. (Αλλιώς, έστω Q η δια έριση που περιέχει τα t0; : : : ; tn και το c· τότε η Q περιέχει την P , άρα U.f; Q/ L.f; Q/ U.f; P / L.f; P / .) Τώρα P 0 D ft0; : : : ; tj g είναι ια δια έριση του Œa; c και P 00 D ftj ; : : : ; tng είναι ια δια έριση του Œc; b (Σχή α 12). Αφού L.f; P / D L.f; P 0 / C L.f; P 00 /; U.f; P / D U.f; P 0 / C U.f; P 00 /; έχου ε ŒU.f; P 0 / L.f; P 0 / C ŒU.f; P 00 / L.f; P 00 / D U.f; P / L.f; P / : Αφού καθένας από τους όρους στις αγκύλες είναι η αρνητικός, καθέναςείναι ικρότερος Σ Χ Η Μ Α 1 2 από . Αυτό δείχνει ότι η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; c και στο Œc; b. Παρατηρού ε επίσης ότι L.f; P 0 / Z c a f U.f; P 0 /; L.f; P 00 / Z b c f U.f; P 00 /; επο ένως L.f; P / Z c a f C Z b c f U.f; P /: Αφού αυτό ισχύει για κάθε P , αποδεικνύεται ότι Z c a f C Z b c f D Z b a f: Υποθέτου ε τώρα ότι η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; c και στο Œc; b. Αν 0, υπάρχει ια δια έριση P 0 του Œa; c και ια δια έριση P 00 του Œc; b έτσι ώστε U.f; P 0 / L.f; P 0 / =2; U.f; P 00 / L.f; P 00 / =2: Αν P είναι η δια έριση του Œa; b που περιέχει όλα τα ση εία των P 0 και P 00 , τότε L.f; P / D L.f; P 0 / C L.f; P 00 /; U.f; P / D U.f; P 0 / C U.f; P 00 /· συνεπώς, U.f; P / L.f; P / D ŒU.f; P 0 / L.f; P 0 / C ŒU.f; P 00 / L.f; P 00 / : Το Θεώρη α 4 είναι η βάση για κάποιες, ικρής ση ασίας, συ βάσεις στον συ βολι- σ ό. Το ολοκλήρω α R b a f ορίστηκε όνο για a b. Προσθέτου ε τώρα τους ορισ ούς Z a a f D 0 και Z b a f D Z a b f αν a b:
- 256. 242 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα Με αυτούς τους ορισ ούς, η εξίσωση R c a f C R b c f D R b a f ισχύει για κάθε a, c, b ακό α και αν δεν ισχύει η a c b (η απόδειξη αυτού του ισχυρισ ού γίνεται ε έναν άλλον βαρετό έλεγχο όλων των περιπτώσεων). ΘΕΩΡΗΜΑ 5 Αν οι f και g είναι ολοκληρώσι ες στο Œa; b, τότε και η f C g είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b και Z b a .f C g/ D Z b a f C Z b a g: ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω P D ft0; : : : ; tng τυχαία δια έριση του Œa; b. Έστω mi D inff.f C g/.x/ W ti 1 x ti g; mi 0 D infff .x/ W ti 1 x ti g; mi 00 D inffg.x/ W ti 1 x ti g; και ας ορίσου ε τα Mi , Mi 0 , Mi 00 ε ανάλογο τρόπο. ∆εν ισχύει αναγκαστικά ότι mi D mi 0 C mi 00 ; αλλά ισχύει (Πρόβλη α 10) ότι mi mi 0 C mi 00 : Ό οια, Mi Mi 0 C Mi 00 : Επο ένως, L.f; P / C L.g; P / L.f C g; P / και U.f C g; P / U.f; P / C U.g; P /: Άρα, L.f; P / C L.g; P / L.f C g; P / U.f C g; P / U.f; P / C U.g; P /: Αφού οι f και g είναι ολοκληρώσι ες, υπάρχουν δια ερίσεις P 0 , P 00 ε U.f; P 0 / L.f; P 0 / =2; U.g; P 00 / L.g; P 00 / =2: Αν η P περιέχει τις P 0 και P 00 , τότε U.f; P / C U.g; P / ŒL.f; P / C L.g; P / ; και συνεπώς U.f C g; P / L.f C g; P / : Αυτό αποδεικνύει ότι η f C g είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b. Επιπλέον, .1/ L.f; P / C L.g; P / L.f C g; P / Z b a .f C g/ U.f C g; P / U.f; P / C U.g; P /· και ακό α .2/ L.f; P / C L.g; P / Z b a f C Z b a g U.f; P / C U.g; P /:
- 257. 13. Ολοκληρώµατα 243 Αφούπορού ε να κάνου ε τα U.f; P / L.f; P / και U.g; P / L.g; P / όσο ικρά θέλου ε, έπεται ότι το U.f; P / C U.g; P / ŒL.f; P / C L.g; P / πορεί επίσης να γίνει όσο ικρό θέλου ε· επο ένως, από τις (1) και (2) έπεται ότι Z b a .f C g/ D Z b a f C Z b a g: ΘΕΩΡΗΜΑ 6 Αν η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b, τότε για κάθε αριθ ό c, η συνάρτηση cf είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b και Z b a cf D c Z b a f: ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Η απόδειξη (που είναι πολύ πιο εύκολη από αυτήν του Θεωρή ατος 5) αφήνεται σε σας. Μια καλή ιδέα είναι να χειριστείτε ξεχωριστά τις περιπτώσεις c 0 και c 0. Γιατί; (Το Θεώρη α 6 είναι απλώς ια ειδική περίπτωση του πιο γενικού θεωρή ατος ότι η f g είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b, αν είναι οι f και g· είναι ό ως αρκετά δύσκολο να αποδειχθεί αυτό το συ πέρασ α (βλ. Πρόβλη α 38).) Σε αυτό το κεφάλαιο, τα όνα πράγ ατα που αποκο ίσα ε ήταν ένας πολύπλοκος ορισ ός, ερικά απλά θεωρή ατα ε περίπλοκες αποδείξεις, και ένα θεώρη α που απαι- τούσε ύλη από το Παράρτη α του Κεφαλαίου 8. Αυτό, όχι γιατί τα ολοκληρώ ατα είναι πιο δύσκολο θέ α από τις παραγώγους, αλλά γιατί πολύ ισχυρά εργαλεία που αναπτύχθη- καν σε προηγού ενα κεφάλαια αφέθηκαν να παρα είνουν σε αδράνεια. Η πιο ση αντι- κή ανακάλυψη του Απειροστικού Λογισ ού είναι το γεγονός ότι το ολοκλήρω α και η παράγωγος συνδέονται στενά —από τη στιγ ή που θα άθου ε τη σχέση τους, το ολο- κλήρω α θα γίνει το ίδιο χρήσι ο ε την παράγωγο, και το ίδιο εύκολο στη χρήση. Η σχέση ανά εσα σε παραγώγους και ολοκληρώ ατα αξίζει ένα ξεχωριστό κεφάλαιο, αλλά οι προετοι ασίες που θα κάνου ε σε αυτό το κεφάλαιο πορούν να χρησι εύουν ως υπό- δειξη. Αποδεικνύου ε πρώτα ια απλή ανισότητα σχετική ε τα ολοκληρώ ατα, που θα παίξει κάποιο ρόλο σε πολλά ση αντικά θεωρή ατα. ΘΕΩΡΗΜΑ 7 Έστω ότι η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b και ότι m f .x/ M για κάθε x στο Œa; b: Τότε m.b a/ Z b a f M.b a/: ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Είναι φανερό ότι m.b a/ L.f; P / και U.f; P / M.b a/ για κάθε δια έριση P . Αφού R b a f D supfL.f; P /g D inffU.f; P /g, η ανισότητα που θέλου ε έπεται ά εσα. Ας υποθέσου ε τώρα ότι η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b. Μπορού ε να ορίσου ε ια καινούργια συνάρτηση F στο Œa; b ως εξής: F.x/ D Z x a f D Z x a f .t/ dt:
- 258. 244 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα (Αυτό βασίζεται στο Θεώρη α 4.) Έχου ε δει ότι η f πορεί να είναι ολοκληρώσι η ακό α και αν δεν είναι συνεχής, και τα Προβλή ατα δίνουν παραδείγ ατα ολοκληρώσι- ων συναρτήσεων που είναι αρκετά παθολογικές. Η συ περιφορά της F είναι επο ένως ια πολύ ευχάριστη έκπληξη. ΘΕΩΡΗΜΑ 8 Αν η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b και η F ορίζεται στο Œa; b από τη σχέση F.x/ D Z x a f; τότε η F είναι συνεχής στο Œa; b. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Παίρνου ε ένα c στο Œa; b. Αφού η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b, θα είναι, εξ ορι- σ ού, φραγ ένη στο Œa; b. Έστω M ένας αριθ ός τέτοιος ώστε jf .x/j M για κάθε x στο Œa; b: Αν h 0, τότε (Σχή α 13) F.c C h/ F.c/ D Z cCh a f Z c a f D Z cCh c f: Αφού M f .x/ M για κάθε x, από το Θεώρη α 7 έπεται ότι ε βαδόν Σ Χ Η Μ Α 1 3 M h Z cCh c f M h· ε άλλα λόγια, .1/ M h F.c C h/ F.c/ M h: Αν h 0, πορού ε να καταλήξου ε σε ια παρό οια ανισότητα. Παρατηρού ε ότι F.c C h/ F.c/ D Z cCh c f D Z c cCh f: Εφαρ όζοντας το Θεώρη α 7 στο διάστη α Œc C h; c, ήκους h, παίρνου ε M h Z c cCh f M h· και πολλαπλασιάζοντας ε 1, που αντιστρέφει όλες τις ανισότητες, έχου ε .2/ M h F.c C h/ F.c/ M h: Οι ανισότητες (1) και (2) πορούν να συνδυαστούν: jF.c C h/ F.c/j M jhj: Επο ένως, αν 0, έχου ε jF.c C h/ F.c/j ; για jhj =M . Αυτό αποδεικνύει ότι lim h!0 F.c C h/ D F.c/· ε άλλα λόγια η F είναι συνεχής στο c.
- 259. 13. Ολοκληρώµατα 245 ΤοΣχή α 14 συγκρίνει τις f και F.x/ D R x a f για διάφορες συναρτήσεις f · φαίνεται ότι η F συ περιφέρεται πάντα καλύτερα από την f . Στο επό ενο κεφάλαιο θα δού ε πόσο αληθές είναι αυτό. Σ Χ Η Μ Α 1 4 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Αποδείξτε ότι R b 0 x3 dx D b4 =4, παίρνοντας δια ερίσεις σε n ίσα υποδιαστή ατα και χρησι οποιώντας τον τύπο που βρήκα ε στο Πρόβλη α 2-6 για το nX iD1 i3 . Για αυτό το πρόβλη α, το όνο που χρειάζεται είναι να ι ηθείτε τους υπολογισ ούς στο κεί ενο, αλλά καλό θα ήταν να δώσετε ια τυπική απόδειξη, ώστε να βεβαιω- θείτε ότι όλα τα λεπτά ση εία του συλλογισ ού είναι σαφή. 2. Αποδείξτε, ο οίως, ότι R b 0 x4 dx D b5 =5. 3. (α) Χρησι οποιώντας το Πρόβλη α 2-7, δείξτε ότι πορού ε να φέρου ε το άθροισ α nX kD1 kp =npC1 όσο κοντά θέλου ε στο 1=.pC1/, διαλέγοντας αρκε- τά εγάλο n. (β) Αποδείξτε ότι R b 0 xp dx D bpC1 =.p C 1/. 4. Αυτό το πρόβλη α σκιαγραφεί έναν έξυπνο τρόπο υπολογισ ού του R b a xp dx για 0 a b. (Το αποτέλεσ α για a D 0 προκύπτει από τη συνέχεια.) Το τέχνασ α συνίσταται στη χρήση δια ερίσεων P D ft0; : : : ; tng για τις οποίες όλοι οι λόγοι r D ti =ti 1 είναι ίσοι, αντί των δια ερίσεων για τις οποίες οι διαφορές ti ti 1 είναι ίσες.
- 260. 246 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα (α) ∆είξτε ότι για ια τέτοια δια έριση P έχου ε ti D a ci=n για c D b a : (β) Αν f .x/ D xp , δείξτε, χρησι οποιώντας τον τύπο του Προβλή ατος 2-5, ότι U.f; P / D apC1 .1 c 1=n / nX iD1 .c.pC1/=n /i D .apC1 bpC1 /c.pC1/=n 1 c 1=n 1 c.pC1/=n D .bpC1 apC1 /cp=n 1 1 C c1=n C C cp=n και βρείτε έναν ανάλογο τύπο για το L.f; P /. (γ) Συ περάνετε ότι Z b a xp dx D bpC1 apC1 p C 1 : (Πιθανόν να βρείτε χρήσι ο το Πρόβλη α 5-41.) 5. Υπολογίστε, χωρίς να κάνετε πράξεις, τα (i) Z 1 1 x3 p 1 x2 dx. (ii) Z 1 1 .x5 C 3/ p 1 x2 dx. 6. Αποδείξτε ότι Z x 0 sin t t C 1 dt 0 για όλα τα x 0. 7. Εξετάστε ποιες από τις επό ενες συναρτήσεις είναι ολοκληρώσι ες στο Œ0; 2, και υπολογίστε το ολοκλήρω α, όπου πορείτε: (i) f .x/ D x; 0 x 1 x 2; 1 x 2: (ii) f .x/ D x; 0 x 1 x 2; 1 x 2: (iii) f .x/ D x C Œx. (iv) f .x/ D x C Œx; x ρητός 0; x άρρητος. (v) f .x/ D 1; x της ορφής a C b p 2 ε a και b ρητούς 0; x όχι αυτής της ορφής. (vi) f .x/ D 8 ˆˆˆ ˆˆˆ: 1 1 x ; 0 x 1 0; x D 0 ή x 1: (vii) f είναι η συνάρτηση του Σχή ατος 15.
- 261. 13. Ολοκληρώµατα 247 ΣΧ Η Μ Α 1 5 8. Βρείτε τα ε βαδά των χωρίων που φράσσονται από (i) τις γραφικές παραστάσεις των f .x/ D x2 και g.x/ D x2 2 C 2. (ii) τις γραφικές παραστάσεις των f .x/ D x2 και g.x/ D x2 και τις κατακό- ρυφες ευθείες που περνούν από τα . 1; 0/ και .1; 0/. (iii) τις γραφικές παραστάσεις των f .x/ D x2 και g.x/ D 1 x2 . (iv) τις γραφικές παραστάσεις των f .x/ D x2 και g.x/ D 1 x2 και h.x/ D 2. (v) τις γραφικές παραστάσεις των f .x/ D x2 και g.x/ D x2 2x C 4 και τον κατακόρυφο άξονα. (vi) τη γραφική παράσταση της f .x/ D p x, τον οριζόντιο άξονα, και την κατα- κόρυφη ευθεία που περνά από το .2; 0/. (Μην προσπαθήσετε να βρείτε το R 2 0 p x dx· θα πρέπει ε κάποιον τρόπο να αντέψετε την απάντηση, χρησι- οποιώντας όνο ολοκληρώ ατα που ήδη γνωρίζετε πώς να τα υπολογίζετε. Τα ερωτή ατα που γεννιούνταιαπό αυτό το παράδειγ α εξετάζονται στο Πρό- βλη α 21.) 9. Βρείτε το Z b a Z d c f .x/g.y/ dy ! dx συναρτήσει των R b a f και R d c g. (Αυτή είναι ια άσκηση πάνω στον συ βολισ ό, ε ια τάση εκδίκησης· είναι βασικό να αναγνωρίζετε ια σταθερά όταν ε φανίζε- ται.) 10. Αποδείξτε, ε τον συ βολισ ό του Θεωρή ατος 5, ότι mi 0 C mi 00 D infff .x1/ C g.x2/ W ti 1 x1; x2 ti g mi : 11. (α) Ποιες συναρτήσεις έχουν την ιδιότητα κάθε κάτω άθροισ α να είναι ίσο ε κάθε άνω άθροισ α; (β) Ποιες συναρτήσεις έχουν την ιδιότητα κάποιο άνω άθροισ α να είναι ίσο ε κάποιο (άλλο) κάτω άθροισ α; (γ) Ποιες συνεχείς συναρτήσεις έχουν την ιδιότητα όλα τα κάτω αθροίσ ατα να είναι ίσα; (δ) Ποιες ολοκληρώσι ες συναρτήσεις έχουν την ιδιότητα όλα τα κάτω αθροί- σ ατά τους να είναι ίσα; (Θυ ηθείτε ότι ια τέτοια συνάρτηση είναι η f .x/ D 0 για x άρρητο, f .x/ D 1=q για x D p=q ανάγωγο.) Υπόδειξη: Θα χρειαστείτε την έννοια του πυκνού συνόλου, που ορίστηκε στο Πρόβλη α 8- 6, καθώς και τα αποτελέσ ατα του Προβλή ατος 30. 12. Αν a b c d και η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; d, αποδείξτε ότι η f είναι ολοκληρώσι η στο Œb; c. (Χωρίς πολλές λεπτο έρειες.)
- 262. 248 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα 13. (α) Αποδείξτε ότι, αν η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b και f .x/ 0 για κάθε x στο Œa; b, τότε R b a f 0. (β) Αποδείξτε ότι, αν η f και η g είναι ολοκληρώσι ες στο Œa; b και f .x/ g.x/ για κάθε x στο Œa; b, τότε R b a f R b a g. (∆εν χρειάζεται να σας προει- δοποιήσου ε ότι, αν δουλέψετε σκληρά για το έρος (β), χάνετε τον καιρό σας.) 14. Αποδείξτε ότι Z b a f .x/ dx D Z bCc aCc f .x c/ dx: (Η γεω ετρική ερ ηνεία θα έπρεπε να το καθιστά πολύ λογικό.) Υπόδειξη: Κάθε δια έριση P D ft0; : : : ; tng του Œa; b γεννά ια δια έριση P 0 D ft0Cc; : : : ; tnCcg του Œa C c; b C c, και αντιστρόφως. 15. Για a; b 1 αποδείξτε ότι Z a 1 1 t dt C Z b 1 1 t dt D Z ab 1 1 t dt: Υπόδειξη: Αυτή γράφεται R a 1 1=t dt D R ab b 1=t dt. Κάθε δια έριση P D ft0; : : : ; tng του Œ1; a γεννά ια δια έριση P 0 D fbt0; : : : ; btng του Œb; ab, και αντιστρόφως. 16. Αποδείξτε ότι Z cb ca f .t/ dt D c Z b a f .ct/ dt: (Παρατηρήστε ότι το Πρόβλη α 15 είναι ειδική περίπτωση αυτού.) 17. Αν δοθεί ότι η επιφάνεια που περικλείεται από τον οναδιαίο κύκλο ε εξίσωση x2 Cy2 D 1, έχει ε βαδόν , χρησι οποιήστε το Πρόβλη α 16 για να δείξετε ότι το ε βαδόν της επιφάνειας που περικλείει η έλλειψη ε εξίσωση x2 =a2 C y2 =b2 D 1 είναι ab. 18. Αυτό το πρόβλη α σκιαγραφεί έναν ακό η τρόπο υπολογισ ού του R b a xn dx. Χρησι οποιήθηκε από τον Cavalieri, έναν δραστήριο αθη ατικό πριν την εφεύ- ρεση του Απειροστικού Λογισ ού. (α) Έστω cn D R 1 0 xn dx. Χρησι οποιήστε το Πρόβλη α 16 για να δείξετε ότι R a 0 xn dx D cnanC1 . (β) Το Πρόβλη α 14 δείχνει ότι Z 2a 0 xn dx D Z a a .x C a/n dx: Χρησι οποιήστε αυτόν τον τύπο για να αποδείξετε ότι 2nC1 cnanC1 D 2anC1 X k άρτιος n k ! ck: (γ) Τώρα χρησι οποιήστε το Πρόβλη α 2-3 για να αποδείξετε ότι cn D 1=.nC1/. 19. Υποθέτου ε ότι η f είναι φραγ ένη στο Œa; b και ότι η f είναι συνεχής σε κάθε ση είο του Œa; b ε την εξαίρεση του x0 στο .a; b/. Αποδείξτε ότι η f είναι ολο- κληρώσι η στο Œa; b. Υπόδειξη: Μι ηθείτε ένα από τα παραδείγ ατα στο κεί ενο. 20. Έστω ότι η f είναι η φθίνουσα στο Œa; b. Παρατηρήστε ότι η f αυτο άτως είναι φραγ ένη στο Œa; b, γιατί f .a/ f .x/ f .b/ για κάθε x στο Œa; b.
- 263. 13. Ολοκληρώµατα 249 (α)Αν P D ft0; : : : ; tng είναι ια δια έριση του Œa; b, ποιο είναι το L.f; P / και ποιο το U.f; P /; (β) Έστω ότι ti ti 1 D ı για κάθε i. Αποδείξτε ότι U.f; P / L.f; P / D ıŒf .b/ f .a/. (γ) Αποδείξτε ότι η f είναι ολοκληρώσι η. (δ) ∆ώστε ένα παράδειγ α η φθίνουσας συνάρτησης στο Œ0; 1 που να είναι ασυ- νεχής σε άπειρα ση εία. Ίσως σας ενδιαφέρει ια σύγκριση αυτού του προβλή ατος ε το εξής απόσπασ α από τα Principia του Newton.* ΛΗΜΜΑ ΙΙ Αν σε τυχαίο σχήµα AacE, που ορίζεται από τις ορθές γραµµές Aa, AE, και την καµπύλη acE, εγγράψουµε οποιονδήποτε αριθµό παραλληλογράµµων Ab, Bc, Cd, κτλ., που υποθέτουµε ότι έχουν ίσες βάσεις AB, BC, CD, κτλ., και ότι οι πλευρές Bb, Cc, Dd, κτλ. είναι παράλληλες στη µια πλευρά Aa του σχήµατος, και συµπληρώσουµε τα παραλληλόγραµµα aKbl, bLcm, cMdn, κτλ., τότε, αν υποθέσουµε ότι το πλάτος αυτών των παραλληλογράµµωνελαττώνεται και το πλήθος τους αυξάνει επ’ άπειρον, ισχυρίζοµαι ότι οι τελικοί λόγοι που θα έχουν το εγγεγραµµένο σχήµα AKbLcMdD, το περιγεγραµµένο σχήµα AalbmcndoE, και το καµπυλόγραµµο σχήµα AabcdE, το ένα µε το άλλο, θα είναι λόγοι ισότητας. Αυτό, γιατί η διαφορά του εγγεγρα ένου από το περιγεγρα ένο σχή α είναι το άθροισ α των παραλληλογρά ων Kl, Lm, Mn, Do, δηλαδή (από την ισότητα όλων των βάσεων), το ορθογώνιο που ορίζεται από ια από τις βάσεις τους Kb και το άθροισ α όλων των υψών Aa, δηλαδή το ορθογώνιο ABla. Αλλά αυτό το ορθο- γώνιο, επειδή το πλάτος του AB υποτίθεται ότι ελαττώνεται επ’ άπειρον, γίνεται ικρότερο από οποιοδήποτε δοθέν ε βαδόν. Και επο ένως (από το Λή α 1), το περιγεγρα ένο και το εγγεγρα ένο σχή α γίνονται τελικά το ένα ίσο ε το άλλο· και ακό α περισσότερο, το ενδιά εσο κα πυλόγρα ο σχή α θα είναι τελικά ίσο ε καθένα από τα δύο. Ο.Ε.∆. 21. Έστω ότι η f είναι αύξουσα. Το Σχή α 16 υποδεικνύει ότι Z b a f 1 D bf 1 .b/ af 1 .a/ Z f 1.b/ f 1.a/ f: (α) Αν P D ft0; : : : ; tng είναι ια δια έριση του Œa; b, θέτου ε εβαδόν ε βαδόν συνολικό ε βαδόν ε βαδόν Σ Χ Η Μ Α 1 6 P 0 D ff 1 .t0/; : : : ; f 1 .tn/g: Αποδείξτε ότι, όπως φαίνεται και από το Σχή α 17, L.f 1 ; P / C U.f; P 0 / D bf 1 .b/ af 1 .a/: (β) Τώρα αποδείξτε τον τύπο που δώσα ε πιο πάνω. (γ) Βρείτε το Z b a n p x dx για 0 a b. 22. Έστω ότι η f είναι συνεχής αύξουσα συνάρτηση, ε f .0/ D 0. Αποδείξτε ότι, για a; b 0 έχου ε την ανισότητα του Young, ab Z a 0 f .x/ dx C Z b 0 f 1 .x/ dx; και η ισότητα ισχύει αν και όνο αν b D f .a/. Υπόδειξη: Κάντε ένα σχή α σαν το Σχή α 16! Σ Χ Η Μ Α 1 7 *Principia του Newton, University of California Press, Berkeley, California, 1946.
- 264. 250 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα 23. (α) Αποδείξτε ότι, αν η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b και m f .x/ M , για όλα τα x στο Œa; b, τότε Z b a f .x/ dx D .b a/ για κάποιον αριθ ό ε m M . (β) Αποδείξτε ότι, αν η f είναι συνεχής στο Œa; b, τότε Z b a f .x/ dx D .b a/f ./ για κάποιο στο Œa; b. (γ) ∆είξτε ε ένα παράδειγ α ότι η συνέχεια είναι ουσιαστική. (δ) Πιο γενικά, υποθέστε ότι η f είναι συνεχής στο Œa; b και ότι η g είναι ολο- κληρώσι η και η αρνητική στο Œa; b. Αποδείξτε ότι Z b a f .x/g.x/ dx D f ./ Z b a g.x/ dx για κάποιο στο Œa; b. Αυτό το αποτέλεσ α ονο άζεται Θεώρη α Μέσης Σ Χ Η Μ Α 1 8 Τι ής για τα Ολοκληρώ ατα. (ε) Συ περάνετε ότι ισχύει το ίδιο αν η g είναι ολοκληρώσι η και η θετική στο Œa; b. (στ) ∆είξτε ότι η ία από τις δύο αυτές υποθέσεις για την g είναι ουσιαστική. 24. Σε αυτό το πρόβλη α θεωρού ε τη γραφική παράσταση ιας συνάρτησης σε πολι- Σ Χ Η Μ Α 1 9 κές συντεταγ ένες (Κεφάλαιο 4, Παράρτη α 3). Το Σχή α 18 δείχνει έναν κυκλικό το έα ε βασική γωνία . Όταν η ετριέται σε ακτίνια, η επιφάνεια του το έα έχει ε βαδόν r2 2 . Θεωρήστε τώρα την περιοχή A του Σχή ατος 19, όπου η κα - πύλη είναι η γραφική παράσταση σε πολικές συντεταγ ένες της συνεχούς συνάρ- τησης f . ∆είξτε ότι ε βαδόν A D 1 2 Z 1 0 f ./2 d: 25. Έστω f συνεχής συνάρτηση στο Œa; b. Αν P D ft0; : : : ; tng είναι ια δια έριση του Œa; b, ορίζου ε τον αριθ ό `.f; P / D nX iD1 p .ti ti 1/2 C Œf .ti / f .ti 1/2: Ο αριθ ός `.f; P / παριστά το ήκος ιας πολυγωνικής κα πύλης εγγεγρα ένης στη γραφική παράσταση της f (βλ. Σχή α 20). Ορίζου ε το ήκος της f πάνω από το Œa; b ως το ελάχιστο άνω φράγ α όλων των `.f; P / για όλες τις δια ερίσεις P (υπό την προϋπόθεση ότι το σύνολο όλων των `.f; P / είναι άνω φραγ ένο). Σ Χ Η Μ Α 2 0 (α) Αν η f είναι γρα ική στο Œa; b, δείξτε ότι το ήκος της f είναι η απόσταση εταξύ του .a; f .a// και του .b; f .b//. (β) Αν η f δεν είναι γρα ική, αποδείξτε ότι υπάρχει δια έριση P D fa; t; bg του Œa; b έτσι ώστε το `.f; P / να είναι εγαλύτερο από την απόσταση του .a; f .a// από το .b; f .b//. (Θα χρειαστείτε το Πρόβλη α 4-9). (γ) Συ περάνετε ότι εταξύ όλων των συναρτήσεων f στο Œa; b ε f .a/ D c και f .b/ D d, το ήκος της γρα ικής συνάρτησης είναι το ικρότερο. (Ή, ε συ βατική αλλά απελπιστικά περδε ένη ορολογία, ότι: «η ευθεία είναι η πιο σύντο η απόσταση εταξύ δύο ση είων».)
- 265. 13. Ολοκληρώµατα 251 (δ)Έστω ότι η f 0 είναι φραγ ένη στο Œa; b. Αν η P είναι τυχαία δια έριση του Œa; b δείξτε ότι L p 1 C .f 0/2; P `.f; P / U p 1 C .f 0/2; P : Υπόδειξη: Χρησι οποιήστε το Θεώρη α Μέσης Τι ής. (ε) Γιατί ισχύει sup ˚ L. p 1 C .f 0/2; P / « supf`.f; P /g; (Εύκολο.) (στ) ∆είξτε τώρα ότι supf`.f; P /g inf ˚ U. p 1 C .f 0/2; P / « , αποδεικνύον- τας έτσι ότι το ήκος της f πάνω από το Œa; b είναι R b a p 1 C .f 0/2, αν η p 1 C .f 0/2 είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b. Υπόδειξη: Αρκεί να δεί- ξου ε ότι αν P 0 και P 00 είναι δύο τυχαίες δια ερίσεις, τότε `.f; P 0 / U p 1 C .f 0/2; P 00 . Αν η P περιέχει τα ση εία και της P 0 και της P 00 , ποια η σχέση εταξύ `.f; P 0 / και `.f; P /; (ζ) Έστω L .x/ το ήκος της γραφικής παράστασης της f πάνω από το Œa; x και d.x/ το ήκος της ευθείας εταξύ του .a; f .a// και του .x; f .x//. ∆είξτε ότι αν η p 1 C .f 0/2 είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b και η f 0 είναι συνεχής στο a (δηλαδή αν lim x!aC f 0 .x/ D f 0 .a/), τότε lim x!aC L .x/ d.x/ D 1: Υπόδειξη: Θα βοηθηθείτε αν κάνετε διπλή χρήση του Θεωρή ατος Μέσης Τι ής. (η) Στο Σχή α 21, το τ ή α της γραφικής παράστασης της f εταξύ του 1 4 και του 1 2 έχει το ισό έγεθος από το τ ή α εταξύ του 1 2 και του 1, το τ ή α εταξύ του 1 8 και του 1 4 έχει το ισό έγεθος από το τ ή α εταξύ του 1 4 και Σ Χ Η Μ Α 2 1 του 1 2 , κτλ. ∆είξτε ότι το συ πέρασ α του έρους (ζ) δεν ισχύει για αυτήν την f . 26. Μια συνάρτηση s ορισ ένη στο Œa; b λέγεται κλι ακωτή συνάρτηση, αν υπάρχει ια δια έριση P D ft0; : : : ; tng του Œa; b, τέτοια ώστε η s να είναι σταθερή σε κάθε .ti 1; ti / (οι τι ές της s στα ti πορεί να είναι οποιεσδήποτε). (α) Αποδείξτε ότι, αν η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b, τότε για κάθε 0 υπάρχει ια κλι ακωτή συνάρτηση s1 f ε R b a f R b a s1 , καθώς και ια κλι ακωτή συνάρτηση s2 f ε R b a s2 R b a f . (β) Έστω ότι για κάθε 0 υπάρχουν κλι ακωτές συναρτήσεις s1 f και s2 f τέτοιες ώστε R b a s2 R b a s1 . Αποδείξτε ότι η f είναι ολοκληρώσι η. (γ) Βρείτε ια συνάρτηση f που να ην είναι κλι ακωτή, αλλά να ικανοποιεί την R b a f D L.f; P / για κάποια δια έριση P του Œa; b. 27. Αποδείξτε ότι αν η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b, τότε για κάθε 0 υπάρχουν συνεχείς συναρτήσεις g f h ε R b a h R b a g . Υπόδειξη: Πάρτε πρώτα κλι ακωτές συναρτήσεις ε αυτήν την ιδιότητα, και ετά συνεχείς. Ένα σχή α θα βοηθούσε τα έγιστα. 28. (α) ∆είξτε ότι, αν s1 και s2 είναι κλι ακωτές συναρτήσεις στο Œa; b, τότε το ίδιο ισχύει και για την s1 C s2. (β) Αποδείξτε, χωρίς να χρησι οποιήσετε το Θεώρη α 5, ότι R b a .s1 C s2/ D R b a s1 C R b a s2. (γ) Χρησι οποιήστε το έρος (β) (και το Πρόβλη α 26) για να δώσετε ια εναλ- λακτική απόδειξη του Θεωρή ατος 5.
- 266. 252 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα 29. Έστω ότι η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b. Αποδείξτε ότι υπάρχει ένας αριθ ός x στο Œa; b τέτοιος ώστε R x a f D R b x f . ∆είξτε ε ένα παράδειγ α ότι δεν είναι πάντα δυνατόν να διαλέξου ε το x στο .a; b/. 30. Ο σκοπός αυτού του προβλή ατος είναι να δείξει ότι, αν η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b, τότε η f πρέπει να είναι συνεχής σε πολλά ση εία του Œa; b. (α) Έστω P D ft0; : : : ; tng ια δια έριση του Œa; b ε U.f; P / L.f; P / b a. Αποδείξτε ότι για κάποιο i είναι Mi mi 1. (β) Αποδείξτε ότι υπάρχουν αριθ οί a1 και b1 ε a a1 b1 b και supff .x/ W a1 x b1g infff .x/ W a1 x b1g 1. (Μπορείτε να διαλέξετε Œa1; b1 D Œti 1; ti από το έρος (α) εκτός αν i D 1 ή n· αλλά και σε αυτές τις δύο περιπτώσεις ένα πολύ απλό τέχνασ α λύνει το πρόβλη α.) (γ) Αποδείξτε ότι υπάρχουν αριθ οί a2 και b2 ε a1 a2 b2 b1 και supff .x/ W a2 x b2g infff .x/ W a2 x b2g 1 2 . (δ) Συνεχίστε ε αυτόν τον τρόπο και βρείτε ια ακολουθία διαστη άτων In D Œan; bn τέτοιων ώστε supff .x/ W x στο Ing infff .x/ W x στο Ing 1=n. Εφαρ όστε το Θεώρη α Κιβωτισ ένων ∆ιαστη άτων (Πρόβλη α 8-14) για να βρείτε ένα ση είο x στο οποίο η f είναι συνεχής. (ε) Αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής σε άπειρα ση εία του Œa; b. 31. Έστω ότι η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b. Θυ ηθείτε, από το Πρόβλη α 13, ότι R b a f 0 αν f .x/ 0 για κάθε x στο Œa; b. (α) ∆ώστε ένα παράδειγ α όπου f .x/ 0 για κάθε x, και f .x/ 0 για κάποιο x στο Œa; b, και R b a f D 0. (β) Έστω ότι f .x/ 0 για κάθε x στο Œa; b και ότι η f είναι συνεχής στο x0 στο Œa; b, για το οποίο f .x0/ 0. Αποδείξτε ότι R b a f 0. Υπόδειξη: Αρκεί να βρείτε ένα κάτω άθροισ α L.f; P / που να είναι θετικό. (γ) Έστω ότι η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b και f .x/ 0 για κάθε x στο Œa; b. Αποδείξτε ότι R b a f 0. Υπόδειξη: Θα χρειαστείτε το Πρόβλη α 30· και άλιστα, αυτός είναι ένας λόγος για τον οποίο συ περιλάβα ε το Πρό- βλη α 30 σε αυτές τις ασκήσεις. 32. (α) Έστω ότι η f είναι συνεχής στο Œa; b και R b a fg D 0 για όλες τις συνεχείς συναρτήσεις g που ορίζονται στο Œa; b. Αποδείξτε ότι f D 0. (Αυτό είναι εύκολο· υπάρχει ια προφανής g που πορείτε να διαλέξετε.) (β) Έστω ότι η f είναι συνεχής στο Œa; b και ότι R b a fg D 0 για εκείνες τις συνεχείς συναρτήσεις g στο Œa; b που ικανοποιούν την επιπλέον συνθήκη g.a/ D g.b/ D 0. Αποδείξτε ότι f D 0. (Αυτό το αθώο στην όψη γεγονός αποτελεί ένα σπουδαίο λή α στον λογισ ό εταβολών· βλ. την αναφορά [22] στην Προτεινό ενη Βιβλιογραφία.) Υπόδειξη: Καταλήξτε σε αντίφαση ξεκινώντας ε την υπόθεση f .x0/ 0 ή f .x0/ 0. Η g που θα διαλέξετε εξαρτάται από τη συ περιφορά της f κοντά στο x0. 33. Έστω f .x/ D x για x ρητό και f .x/ D 0 για x άρρητο. (α) Υπολογίστε το L.f; P / για όλες τις δια ερίσεις P του [0,1]. (β) Βρείτε το inffU.f; P / W P δια έριση του Œ0; 1g. 34. Έστω f .x/ D 0 αν x άρρητος, και 1=q αν x D p=q ανάγωγο. ∆είξτε ότι η f είναι ολοκληρώσι η στο Œ0; 1 και ότι R 1 0 f D 0. (Κάθε κάτω άθροισ α προφανώς είναι 0· πρέπει να βρείτε έναν τρόπο για να κάνετε τα άνω αθροίσ ατα ικρά.)
- 267. 13. Ολοκληρώµατα 253 35.Βρείτε δύο συναρτήσεις f και g που να είναι ολοκληρώσι ες, αλλά η σύνθεσή τους g B f να ην είναι. Υπόδειξη: Το Πρόβλη α 34 είναι σχετικό. 36. Έστω ότι f είναι φραγ ένη συνάρτηση στο Œa; b και P ια δια έριση του Œa; b. Έστω ότι τα Mi και mi έχουν τη συνηθισ ένη τους ση ασία, και τα Mi 0 και mi 0 έχουν την αντίστοιχη ση ασία για τη συνάρτηση jf j. (α) Αποδείξτε ότι Mi 0 mi 0 Mi mi . (β) Αποδείξτε ότι, αν η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b, τότε το ίδιο συ βαίνει και ε την jf j. (γ) Αποδείξτε ότι, αν η f και η g είναι ολοκληρώσι ες στο Œa; b, το ίδιο είναι και οι max.f; g/ και min.f; g/. (δ) Αποδείξτε ότι η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b αν και όνο αν το «θετικό της έρος» max.f; 0/ και το «αρνητικό της έρος» min.f; 0/ είναι ολοκλη- ρώσι α στο Œa; b. 37. Αποδείξτε ότι, αν η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b, τότε ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ Z b a f .t/ dt ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ Z b a jf .t/j dt: Υπόδειξη: Αυτό προκύπτει εύκολα από ια σειρά ανισοτήτων· το Πρόβλη α 1-14 είναι σχετικό. 38. Έστω ότι η f και η g είναι ολοκληρώσι ες στο Œa; b και f .x/; g.x/ 0 για κάθε x στο Œa; b. Έστω P ια δια έριση του Œa; b. Με Mi 0 και mi 0 συ βολίζου ε τα κατάλληλα sup και inf για την f και ό οια ορίζου ε τα Mi 00 και mi 00 για την g, και τα Mi και mi για την fg. (α) Αποδείξτε ότι Mi Mi 0 Mi 00 και mi mi 0 mi 00 . (β) ∆είξτε ότι U.fg; P / L.fg; P / nX iD1 ŒMi 0 Mi 00 mi 0 mi 00 .ti ti 1/: (γ) Χρησι οποιώντας το γεγονός ότι η f και η g είναι φραγ ένες, δηλαδή jf .x/j, jg.x/j M για x στο Œa; b, δείξτε ότι U.fg; P / L.fg; P / M ( nX iD1 ŒMi 0 mi 0 .ti ti 1/ C nX iD1 ŒMi 00 mi 00 .ti ti 1/ ) : (δ) Αποδείξτε ότι η fg είναι ολοκληρώσι η. (ε) Τώρα αφαιρέστε τον περιορισ ό ότι f .x/; g.x/ 0 για x στο Œa; b. 39. Έστω ότι η f και η g είναι ολοκληρώσι ες στο Œa; b. Η ανισότηταCauchy-Schwarz ισχυρίζεται ότι Z b a fg !2 Z b a f 2 ! Z b a g2 ! : (α) Αποδείξτε ότι η ανισότητα Schwarz είναι ειδική περίπτωση της ανισότητας Cauchy-Schwarz. (β) Αποδείξτε την ανισότητα Cauchy-Schwarz ε τρεις τρόπους, ι ού ενοι ια από τις αποδείξεις της ανισότητας Schwarz στο Πρόβλη α 2-21. (Χρειάζεται λίγη φαντασία.)
- 268. 254 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα (γ) Αν ισχύει ισότητα, είναι αναγκαστικά σωστό ότι f D g για κάποιο ; Αν η f και η g είναι συνεχείς; (δ) Αποδείξτε ότι Z 1 0 f 2 Z 1 0 f 2 : Ισχύει το ίδιο αν αντικαταστήσου ε το 0 και το 1 ε τα a και b; 40. Έστω ότι η f είναι ολοκληρώσι η στο Œ0; x για κάθε x 0 και lim x!1 f .x/ D a. Αποδείξτε ότι lim x!1 1 x Z x 0 f .t/ dt D a: Υπόδειξη: Η συνθήκη lim x!1 f .x/ D a ση αίνει ότι το f .t/ είναι κοντά στο a για t από κάποιο N . Αυτό ση αίνει ότι το R NCM N f .t/ dt είναι κοντά στο Ma. Αν το M είναι εγάλο σε σχέση ε το N , τότε το Ma=.N C M / είναι κοντά στο a.
- 269. 13. Παράρτηµα. ΑθροίσµαταRiemann 255 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ RIEMANN Έστω ότι P D ft0; : : : ; tng είναι ία δια έριση του Œa; b, και ότι για κάθε i διαλέγου ε κάποιο ση είο xi στο Œti 1; ti . Τότε ε φανώς έχου ε ότι L.f; P / nX iD1 f .xi /.ti ti 1/ U.f; P /: Κάθε άθροισ α nX iD1 f .xi /.ti ti 1/ καλείται άθροισµα Riemann της f για την P . Το Σχή α 1 δείχνει τη γεω ετρική ερ ηνεία ενός αθροίσ ατος Riemann. Είναι το συνολι- κό ε βαδόν n ορθογωνίων που κείνται εν έρει κάτω και εν έρει πάνω από τη γραφική Σ Χ Η Μ Α 1 παράσταση της f . Λόγω του αυθαίρετου τρόπου ε τον οποίο έχουν επιλεγεί τα ύψη των ορθογωνίων, δεν πορού ε να πού ε ε βεβαιότητα αν ένα συγκεκρι ένο άθροισ α Rie- mann είναι ικρότερο ή εγαλύτερο από το ολοκλήρω α R b a f .x/ dx. Αλλά φαίνεται, πράγ ατι, ότι οι επικαλύψεις δεν έχουν εγάλη ση ασία: αν οι βάσεις όλων των ορθο- γωνίων είναι αρκετά στενές, τότε το άθροισ α Riemann οφείλει να είναι κοντά στην τι ή του ολοκληρώ ατος. Το θεώρη α που ακολουθεί διατυπώνει το παραπάνω ε ακρίβεια. ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Έστω ότι η f είναι συνεχής στο Œa; b. Τότε, για κάθε 0, υπάρχει κάποιο ı 0 τέτοιο ώστε, αν P D ft0; : : : ; tng είναι οποιαδήποτε δια έριση του Œa; b ε όλα τα ήκη ti ti 1 ı, τότε ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ nX iD1 f .xi /.ti ti 1/ Z b a f .x/ dx ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ; για κάθε άθροισ α Riemann που σχη ατίζεται αν διαλέξου ε xi στο Œti 1; ti . ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Αφού το άθροισ α Riemann και το ολοκλήρω α βρίσκονται εταξύ του L.f; P / και του U.f; P /, θα πρέπει να δείξου ε ότι για κάθε δοθέν πορού ε να κάνου ε το U.f; P / L.f; P / επιλέγοντας κάποιο ı έτσι ώστε U.f; P / L.f; P / για οποιαδήποτε δια έριση ε όλα τα ήκη ti ti 1 ı. Ο ορισ ός της ολοκληρωσι ότητας της f στο Œa; b περιλα βάνει την προϋπόθεση ότι jf j M για κάποιο M . Πρώτα επιλέγου ε ια συγκεκρι ένη δια έριση P D fu0; ; : : : ; uKg για την οποία U.f; P / L.f; P / =2; και στη συνέχεια επιλέγου ε ένα ı τέτοιο ώστε ı 4MK : Για κάθε δια έριση P ε όλα τα ti ti 1 ı, πορού ε να σπάσου ε το άθροισ α U.f; P / L.f; P / D nX iD1 .Mi mi /.ti ti 1/ σε δύο αθροίσ ατα. Το πρώτο περιλα βάνει εκείνα τα i για τα οποία το διάστη α Œti 1; ti περιέχεται εξ ολοκλήρου σε κάποιο από τα διαστή ατα Œuj 1; uj . Είναι φανερό ότι το άθροισ α αυτό είναι U.f; P / L.f; P / =2. Για όλα τα άλλα i θα έχου ε ti 1 uj ti για κάποιο j D 1; : : : ; K 1, και θα υπάρχουν το πολύ K 1 τέτοια. Επο ένως, το άθροισ α αυτών των όρων είναι .K 1/ 2M ı =2. Το δίδαγ α αυτής της ιστορίας είναι πως οτιδήποτε φαίνεται ως καλή προσέγγιση ενός ολοκληρώ ατος είναι καλή και στην πραγ ατικότητα, αρκεί όλα τα ήκη ti ti 1 των
- 270. 256 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα διαστη άτων στη δια έριση να είναι αρκετά ικρά. Ορισ ένα από τα προβλή ατα που ακολουθούν θα εταφέρουν το ήνυ α αυτό ε ακό η εγαλύτερη έ φαση. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Έστω ότι οι f και g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο Œa; b. Για ια δια έριση P D ft0; : : : ; tng του Œa; b διαλέξτε ένα σύνολο από ση εία xi στο Œti 1; ti και άλλο ένα σύνολο από ση εία ui στο Œti 1; ti . Θεωρήστε το άθροισ α nX iD1 f .xi /g.ui /.ti ti 1/: Ση ειώστε ότι αυτό δεν είναι άθροισ α Riemann της fg για την P . Παρ’ όλα αυτά, δείξτε ότι όλα αυτά τα αθροίσ ατα βρίσκονται σε απόσταση από το R b a fg, αρκεί η δια έριση P να έχει όλα τα ήκη ti ti 1 αρκετά ικρά. Υπόδειξη: Εκτι ή- στε τη διαφορά εταξύ ενός αθροίσ ατος σαν το παραπάνω και ενός αθροίσ ατος Riemann· θα χρειαστείτε την ο οιό ορφη συνέχεια (Κεφάλαιο 8, Παράρτη α). 2. Αυτό το πρόβλη α είναι ό οιο, αν και κάπως δυσκολότερο, ε το προηγού ενο. Έστω ότι f και g είναι συνεχείς η αρνητικές συναρτήσεις στο Œa; b. Για ια δια έριση P , θεωρήστε τα αθροίσ ατα nX iD1 p f .xi / C g.ui / .ti ti 1/: ∆είξτε ότι αυτά τα αθροίσ ατα βρίσκονται σε απόσταση από το R b a p f C g, αν όλα τα ti ti 1 είναι αρκετά ικρά. Υπόδειξη: Χρησι οποιήστε το γεγονός ότι η συνάρτηση της τετραγωνικής ρίζας είναι ο οιό ορφα συνεχής σε οποιοδήποτε κλειστό διάστη α Œ0; M . 3. Τελικά, εί αστε έτοι οι να αντι ετωπίσου ε κάτι σπουδαίο! (Συγκρίνετε ε το Πρόβλη α 13-25.) Θεωρήστε ια κα πύλη c που δίνεται παρα ετρικά από δύο συναρτήσεις u και v στο Œa; b. Για ια δια έριση P D ft0; : : : ; tng του Œa; b ορίζου ε το `.c; P / D nX iD1 p Œu.ti / u.ti 1/2 C Œv.ti / v.ti 1/2: Ο αριθ ός αυτός παριστά το ήκος ιας εγγεγρα ένης πολυγωνικής κα πύλης Σ Χ Η Μ Α 2 (Σχή α 2). Ορίζου ε το ήκος της c ως το ελάχιστο άνω φράγ α όλων των `.f; P /, αν υπάρχει. Αποδείξτε ότι, αν οι u0 και v0 είναι συνεχείς στο Œa; b, τότε το ήκος της c είναι Z b a p u0 2 C v0 2: 4. Έστω f 0 συνεχής στο διάστη α Œ0; 1. ∆είξτε ότι η γραφική παράσταση της f σε πολικές συντεταγ ένες πάνω από αυτό το διάστη α έχει ήκος Z 1 0 p f 2 C f 0 2: 5. Χρησι οποιώντας το Θεώρη α 1, δείξτε ότι η ανισότητα Cauchy-Schwarz (Πρό- βλη α 13-39) είναι συνέπεια της ανισότητας του Schwarz.
- 271. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΤΟΘΕΜΕΛΙΩ∆ΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥΛΟΓΙΣΜΟΥ Από τις υποδείξεις που δόθηκαν στο προηγού ενο κεφάλαιο πορεί να έχει κανείς ήδη αντέψει το πρώτο θεώρη α αυτού του κεφαλαίου. Ξέρου ε ότι, αν η f είναι ολοκλη- ρώσι η, τότε η F.x/ D R x a f είναι συνεχής· αξίζει να ρωτήσου ε τι συ βαίνει όταν η αρχική συνάρτηση f είναι συνεχής. Προκύπτει ότι η F είναι παραγωγίσι η (και η παράγωγός της είναι εξαιρετικά απλή). ΘΕΩΡΗΜΑ 1 (ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩ∆ΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥΛΟΓΙΣΜΟΥ) Έστω f ολοκληρώσι η στο Œa; b, και η F ορισ ένη στο Œa; b από την F.x/ D Z x a f: Αν η f είναι συνεχής σε κάποιο c στο Œa; b, τότε η F είναι παραγωγίσι η στο c, και F 0 .c/ D f .c/: (Αν c D a ή b, τότε, λέγοντας F 0 .c/ εννοού ε τη δεξιά ή αριστερή παράγωγο της F .) ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θα υποθέσου ε ότι το c βρίσκεται στο .a; b/· οι εύκολες τροποποιήσεις για c D a ή b πορούν να συ πληρωθούν από τον αναγνώστη. Εξ ορισ ού, F 0 .c/ D lim h!0 F.c C h/ F.c/ h : Υποθέτου ε πρώτα ότι h 0. Τότε F.c C h/ F.c/ D Z cCh c f: Ορίζου ε τα mh και Mh ως εξής (Σχή α 1): mh D infff .x/ W c x c C hg; Mh D supff .x/ W c x c C hg: Από το Θεώρη α 13-7 έπεται ότι mh h Z cCh c f Mh h: Επο ένως mh F.c C h/ F.c/ h Mh: Αν h 0, πολύ λίγα πράγ ατα από τον ισχυρισ ό ας πρέπει να αλλάξουν. Έστω mh D infff .x/ W c C h x cg; Mh D supff .x/ W c C h x cg: 257
- 272. 258 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα Σ Χ Η Μ Α 1 Τότε mh . h/ Z c cCh f Mh . h/: Αφού F.c C h/ F.c/ D Z cCh c f D Z c cCh f αυτή δίνει mh h F.c C h/ F.c/ Mh h: Αλλά h 0, άρα η διαίρεση ε h αντιστρέφει και πάλι την ανισότητα, οπότε έχου ε το ίδιο αποτέλεσ α, όπως και πριν: mh F.c C h/ F.c/ h Mh: Αυτή η ανισότητα ισχύει για κάθε ολοκληρώσι η συνάρτηση, συνεχή ή όχι. Αφού ό ως η f είναι συνεχής στο c, lim h!0 mh D lim h!0 Mh D f .c/; και αυτό αποδεικνύει ότι F 0 .c/ D lim h!0 F.c C h/ F.c/ h D f .c/: Αν και το Θεώρη α 1 ασχολείται όνο ε τη συνάρτηση που παίρνου ε εταβάλλον- τας το άνω όριο της ολοκλήρωσης, ένα απλό τέχνασ α δείχνει τι συ βαίνει όταν ετα- βάλλεται το κάτω όριο. Αν η G οριστεί από την G.x/ D Z b x f; τότε G.x/ D Z b a f Z x a f: Επο ένως, αν η f είναι συνεχής στο c, τότε G0 .c/ D f .c/:
- 273. 14. Το ΘεµελιώδεςΘεώρηµα του Απειροστικού Λογισµού 259 Το πρόση ο είον που ε φανίζεται εδώ είναι πολύ βολικό και ας επιτρέπει να επεκτεί- νου ε το Θεώρη α 1 ακό α και στην περίπτωση που η συνάρτηση F.x/ D Z x a f ορίζεται για x a. Σε αυτήν την περίπτωση πορού ε να γράψου ε F.x/ D Z a x f; και άρα, αν c a, έχου ε F 0 .c/ D . f .c// D f .c/; ακριβώς όπως και πριν. Παρατηρού ε ότι και στις δύο περιπτώσεις, η παραγωγισι ότητα της F στο c εξα- σφαλίζεται από τη συνέχεια της f στο c και όνο. Πάντως, το Θεώρη α 1 αποκτά το εγαλύτερο ενδιαφέρον του όταν η f είναι συνεχής σε όλα τα ση εία του Œa; b. Σε αυτήν την περίπτωση, η F είναι παραγωγίσι η σε όλα τα ση εία του Œa; b και F 0 D f: Γενικά, είναι εξαιρετικά δύσκολο να διακρίνει κανείς αν ια δοθείσα συνάρτηση f είναι η παράγωγος κάποιας άλλης συνάρτησης· για αυτόν το λόγο, το Θεώρη α 11-7 και τα Προβλή ατα 11-60 και 11-61 είναι ιδιαίτερα ενδιαφέροντα, γιατί αποκαλύπτουν κάποιες ιδιότητες που πρέπει να έχει η f . Αν ό ως η f είναι συνεχής, δεν υπάρχει κανένα πρό- βλη α —σύ φωνα ε το Θεώρη α 1, η f είναι η παράγωγος κάποιας συνάρτησης, και συγκεκρι ένα, της συνάρτησης F.x/ D Z x a f: Το Θεώρη α 1 έχει ένα ά εσο πόρισ α που συχνά απλοποιεί τελείως τους υπολογι- σ ούς ολοκληρω άτων. ΠΟΡΙΣΜΑ Αν η f είναι συνεχής στο Œa; b και f D g0 για κάποια συνάρτηση g, τότε Z b a f D g.b/ g.a/: ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω F.x/ D Z x a f: Τότε F 0 D f D g0 στο Œa; b. Επο ένως, υπάρχει ένας αριθ ός c τέτοιος ώστε F D g C c: Ο αριθ ός c πορεί εύκολα να υπολογιστεί: παρατηρού ε ότι 0 D F.a/ D g.a/ C c; άρα c D g.a/· έτσι, F.x/ D g.x/ g.a/: Αυτό θα ισχύει, ειδικότερα, για x D b. Άρα Z b a f D F.b/ D g.b/ g.a/:
- 274. 260 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα Από την απόδειξη αυτού του πορίσ ατος πορεί, ε ια πρώτη ατιά, να φαίνεται ότι το πόρισ α είναι άχρηστο: τελικά, πόσο καλό είναι να ξέρει κανείς ότι Z b a f D g.b/ g.a/ αν η g είναι, για παράδειγ α, η g.x/ D R x a f ; Το ουσιαστικό ση είο είναι, φυσικά, ότι θα πορούσε να ξέρει κανείς ια τελείως διαφορετική συνάρτηση g ε αυτήν την ιδιότητα. Για παράδειγ α, αν g.x/ D x3 3 και f .x/ D x2 ; τότε g0 .x/ D f .x/ οπότε παίρνου ε, χωρίς ποτέ να υπολογίσου ε κάτω και άνω αθροί- σ ατα, ότι Z b a x2 dx D b3 3 a3 3 : Μπορεί κανείς να χειριστεί και τις άλλες δυνά εις ε τον ίδιο τρόπο· αν n είναι ένας φυσικός αριθ ός και g.x/ D xnC1 =.n C 1/, τότε g0 .x/ D xn , άρα Z b a xn dx D bnC1 n C 1 anC1 n C 1 : Για κάθε φυσικό αριθ ό n, η συνάρτηση f .x/ D x n δεν είναι φραγ ένη σε κανένα διάστη α που περιέχει το 0, αλλά αν τα a και b είναι και τα δύο θετικά ή και τα δύο αρνητικά, τότε Z b a x n dx D b nC1 n C 1 a nC1 n C 1 : Αυτός ο τύπος ισχύει φυσικά όνο για n ¤ 1. Δεν ξέρουµε απλή έκφραση του Z b a 1 x dx: Το πρόβλη α του υπολογισ ού αυτού του ολοκληρώ ατος θα συζητηθεί αργότερα, αλλά ας παρέχει ια καλή ευκαιρία να προειδοποιήσου ε για ένα σοβαρό λάθος. Το συ πέρασ α του Πορίσ ατος 1 συχνά συγχέεται ε τον ορισ ό του ολοκληρώ ατος — πολλοί φοιτητές νο ίζουν ότι το R b a f ορίζεται: «g.b/ g.a/, όπου g είναι ια συνάρτηση ε παράγωγο την f ». Αυτός ο «ορισ ός» δεν είναι όνο λαθε ένος, είναι και άχρηστος. Ένας λόγος είναι ότι, ια συνάρτηση f πορεί να είναι ολοκληρώσι η χωρίς να είναι η παράγωγος κάποιας άλλης συνάρτησης. Για παράδειγ α, αν f .x/ D 0 για x ¤ 1 και f .1/ D 1, τότε η f είναι ολοκληρώσι η, αλλά η f δεν πορεί να είναι παράγωγος (γιατί όχι;). Υπάρχει ακό α ένας άλλος λόγος που είναι πολύ πιο ση αντικός: Αν η f είναι συνεχής, τότε ξέρου ε ότι f D g0 για κάποια συνάρτηση g· αλλά αυτό το ξέρου ε µόνο λόγω του Θεωρήµατος 1. Η συνάρτηση f .x/ D 1=x παρέχει ια εξαίρετη διευκρίνιση: αν x 0, τότε f .x/ D g0 .x/, όπου g.x/ D Z x 1 1 t dt; αλλά δεν ξέρου ε κα ία απλούστερη συνάρτηση g ε αυτήν την ιδιότητα. Το πόρισ α του Θεωρή ατος 1 είναι τόσο χρήσι ο που συχνά αποκαλείται ∆εύτερο Θε ελιώδες Θεώρη α του Απειροστικού Λογισ ού. Στο παρόν βιβλίο κρατά ε αυτό το όνο α για ένα κάπως ισχυρότερο αποτέλεσ α (που στην πράξη ό ως δεν είναι πολύ πιο χρήσι ο). Όπως έχου ε ήδη αναφέρει, ια συνάρτηση f πορεί να είναι της ορφής g0 ακό α και αν η f δεν είναι συνεχής. Αν η f είναι ολοκληρώσι η, ισχύει και πάλι ότι Z b a f D g.b/ g.a/:
- 275. 14. Το ΘεµελιώδεςΘεώρηµα του Απειροστικού Λογισµού 261 Η απόδειξη ό ως πρέπει να είναι τελείως διαφορετική —δεν πορού ε να χρησι οποιή- σου ε το Θεώρη α 1, άρα πρέπει να επιστρέψου ε στον ορισ ό του ολοκληρώ ατος. ΘΕΩΡΗΜΑ 2 (ΤΟ ∆ΕΥΤΕΡΟ ΘΕΜΕΛΙΩ∆ΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥΛΟΓΙΣΜΟΥ) Αν η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b και f D g0 για κάποια συνάρτηση g, τότε Z b a f D g.b/ g.a/: ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω P D ft0; : : : ; tng ια δια έριση του Œa; b. Από το Θεώρη α Μέσης Τι ής υπάρχει ένα ση είο xi στο Œti 1; ti τέτοιο ώστε g.ti / g.ti 1/ D g0 .xi /.ti ti 1/ D f .xi /.ti ti 1/: Αν mi D infff .x/ W ti 1 x ti g; Mi D supff .x/ W ti 1 x ti g; τότε προφανώς, mi .ti ti 1/ f .xi /.ti ti 1/ Mi .ti ti 1/; που ση αίνει ότι mi .ti ti 1/ g.ti / g.ti 1/ Mi .ti ti 1/: Προσθέτοντας αυτές τις εξισώσεις για i D 1; : : : ; n παίρνου ε nX iD1 mi .ti ti 1/ g.b/ g.a/ nX iD1 Mi .ti ti 1/ δηλαδή L.f; P / g.b/ g.a/ U.f; P / για κάθε διαµέριση P . Αλλά αυτό ση αίνει ότι g.b/ g.a/ D Z b a f: Έχου ε ήδη χρησι οποιήσει το πόρισ α του Θεωρή ατος 1 (ή, ισοδύνα α, το Θεώ- ρη α 2) για να βρού ε τα ολοκληρώ ατα ερικών στοιχειωδών συναρτήσεων: Z b a xn dx D bnC1 n C 1 anC1 n C 1 ; n ¤ 1: (a και b και τα δύο θετικά ή και τα δύο αρνητικά, αν n 0). Όπως υποδείξα ε στο Κεφάλαιο 13, αυτό το ολοκλήρω α δεν αντιπροσωπεύει πάντοτε το ε βαδόν που φράσσεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον οριζόντιο άξονα και τις κάθετες γρα ές στα .a; 0/ και .b; 0/. Για παράδειγ α, αν a 0 b, τότε το Z b a x3 dx δεν αντιπροσωπεύει το ε βαδόν της επιφάνειας στο Σχή α 2, που αντίθετα δίνεται από Σ Χ Η Μ Α 2 το Z 0 a x3 dx C Z b 0 x3 dx D 04 4 a4 4 C b4 4 04 4
- 276. 262 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα D a4 4 C b4 4 : Με ό οιο τρόπο, πρέπει να εξασκηθεί κανείς στο να βρίσκει τα ε βαδά επιφανειών που φράσσονται από τις γραφικές παραστάσεις περισσοτέρων της ιας συναρτήσεων —ένα πρόβλη α που πορεί συχνά, ανάλογα ε την περίπτωση, να απαιτεί εγάλη ευστροφία. Ας υποθέσου ε, για να πάρου ε ένα απλό παράδειγ α πρώτα, ότι θέλου ε να βρού ε το ε βαδόν της επιφάνειας που φαίνεται στο Σχή α 3, ανά εσα στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f .x/ D x2 και g.x/ D x3 στο διάστη α Œ0; 1. Αν 0 x 1, τότε 0 x3 x2 , άρα η γραφική παράσταση της g βρίσκεται κάτω από αυτήν της f . Το ε βαδόν της επιφάνειας που ας ενδιαφέρει είναι επο ένως ε βαδόν R.f; 0; 1/ ε βαδόν R.g; 0; 1/, που είναι Z 1 0 x2 dx Z 1 0 x3 dx D 1 3 1 4 D 1 12 : Αυτό το ε βαδόν θα πορούσα ε να το εκφράσου ε και σαν Z b a .f g/: Αν g.x/ f .x/ για κάθε x στο Œa; b, τότε αυτό το ολοκλήρω α πάντοτε δίνει το ε βαδόν Σ Χ Η Μ Α 3 που φράσσεται από τις f και g, ακόµα και αν οι f και g είναι κάπου αρνητικές. Ο πιο εύκολος τρόπος για να το διαπιστώσει κανείς φαίνεται στο Σχή α 4. Αν c είναι ένας αριθ ός τέτοιος ώστε οι f Cc και gCc να είναι η αρνητικές στο Œa; b, τότε η επιφάνεια R1, που φράσσεται από τις f και g, έχει το ίδιο ε βαδόν ε την επιφάνεια R2, που φράσσεται από τις f C c και g C c. Επο ένως, ε βαδόν R1 D ε βαδόν R2 D Z b a .f C c/ Z b a .g C c/ D Z b a Œ.f C c/ .g C c/ D Z b a .f g/: Αυτή η παρατήρηση είναι χρήσι η για το ακόλουθο πρόβλη α: Να βρεθεί το ε βαδόν της επιφάνειας που περικλείεται ανά εσα στις γραφικές παραστάσεις των f .x/ D x3 x και g.x/ D x2 : Το πρώτο που χρειάζεται είναι να καθορίσου ε αυτήν την επιφάνεια ε εγαλύτερη ακρί- βεια. Οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέ νονται όταν x3 x D x2 ; ή x3 x2 x D 0; ή x.x2 x 1/ D 0; ή x D 0; 1 C p 5 2 ; 1 p 5 2 : Στο διάστη α .Œ1 p 5 =2; 0/ έχου ε x3 x x2 και στο διάστη α .0; Œ1 C p 5 =2/ (α) (β) Σ Χ Η Μ Α 4 έχου ε x2 x3 x. Αυτοί οι ισχυρισ οί είναι προφανείς από τις γραφικές παραστά- σεις (Σχή α 5), αλλά πορού ε εύκολα να τους ελέγξου ε και ε τον εξής τρόπο: Αφού f .x/ D g.x/ όνο όταν x D 0, Œ1 C p 5 =2 ή Œ1 p 5 =2, η συνάρτηση f g δεν
- 277. 14. Το ΘεµελιώδεςΘεώρηµα του Απειροστικού Λογισµού 263 αλλάζει πρόση ο στα διαστή ατα .Œ1 p 5 =2; 0/ και .0; Œ1 C p 5 =2/· άρα το όνο που χρειάζεται είναι να παρατηρήσου ε, για παράδειγ α, ότι . 1 2 /3 . 1 2 / . 1 2 /2 D 1 8 0; 13 1 12 D 1 0; για να συ περάνου ε ότι f g 0 στο .Œ1 p 5 =2; 0/; f g 0 στο .0; Œ1 C p 5 =2/: Το ε βαδόν λοιπόν της επιφάνειας που ζητά ε είναι Z 0 1 p 5 2 .x3 x x2 / dx C Z 1C p 5 2 0 Œx2 .x3 x/ dx: Σ Χ Η Μ Α 5 Όπως αποκαλύπτει αυτό το παράδειγ α, ένα από τα κυριότερα προβλή ατα που παρουσιάζονται όταν ζητά ε το ε βαδόν ιας επιφάνειας, πορεί να είναι ο ακριβής προσδιορισ ός της επιφάνειας. Υπάρχουν, ό ως, πιο ουσιαστικά προβλή ατα λογικής υφής —έχου ε έως τώρα ορίσει το ε βαδόν όνο κάποιων πολύ ειδικών επιφανειών, που δεν περιλα βάνουν ούτε καν τις επιφάνειες των οποίων τα ε βαδά όλις τώρα υπολογί- σα ε! Απλώς υποθέσα ε ότι το ε βαδόν είχε κάποιο νόη α για αυτές τις επιφάνειες, και ότι κάποιες φυσιολογικές ιδιότητες του «ε βαδού» ισχύουν. Αυτές οι παρατηρήσεις δεν έχουν σκοπό να σας ωθήσουν να θεωρείτε την εξάσκηση στον υπολογισ ό ε βαδών σαν κάτι άχρηστο, αλλά να υποδείξουν ότι υπάρχει ια καλύτερη προσέγγιση στον ορισ ό των ε βαδών, αν και η φυσική της θέση είναι κάπου στον προχωρη ένο Απειροστικό Λογισ ό. Η επιθυ ία να ορίσου ε το ε βαδόν ήταν το κίνητρο για τον ορισ ό του ολο- κληρώ ατος, τόσο σε αυτό το βιβλίο όσο και ιστορικά —αλλά το ολοκλήρω α δεν ας δίνει την καλύτερη έθοδο για να ορίζουµε ε βαδά, αν και συχνά είναι το κατάλληλο εργαλείο για να τα υπολογίζουµε. Ίσως είναι αποθαρρυντικό να αθαίνει κανείς ότι τα ολοκληρώ ατα δεν είναι κατάλ- ληλα για τον ίδιο τον σκοπό που προκάλεσε την επινόησή τους, αλλά σύντο α θα δού ε πόσο απαραίτητα είναι για άλλους σκοπούς. Η πιο ση αντική χρήση των ολοκληρω άτων έχει ήδη επιση ανθεί: αν η f είναι συνεχής, το ολοκλήρω α ας δίνει ια συνάρτηση y, τέτοια ώστε y0 .x/ D f .x/: Αυτή η εξίσωση είναι το απλούστερο παράδειγ α «διαφορικής εξίσωσης» ( ιας εξίσω- σης ως προς ια συνάρτηση y που περιέχει παραγώγους της y). Το Θε ελιώδες Θεώρη α του Απειροστικού Λογισ ού λέει ότι αυτή η διαφορική εξίσωση έχει λύση, αν η f είναι
- 278. 264 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα συνεχής. Σε επό ενα κεφάλαια, και σε διάφορα προβλή ατα, θα λύσου ε πιο σύνθετες εξισώσεις, αλλά η λύση σχεδόν πάντα θα στηρίζεται κατά κάποιον τρόπο στο ολοκλή- ρω α· για να λύσου ε ια διαφορική εξίσωση, είναι αναγκαίο να κατασκευάσου ε ια καινούργια συνάρτηση, και το ολοκλήρω α είναι ένας από τους καλύτερους τρόπους για να πετύχου ε κάτι τέτοιο. Μια και οι παραγωγίσι ες συναρτήσεις που ας παρέχει το Θε ελιώδες Θεώρη α του Απειροστικού Λογισ ού θα παίξουν έναν εξέχοντα ρόλο στη εταγενέστερη εργα- σία ας, είναι πολύ σπουδαίο να κατανοήσει κανείς ότι αυτές οι συναρτήσεις πορούν να συνδυαστούν, όπως και οι «λιγότερο υστήριες» συναρτήσεις, για να δώσουν ακό α περισσότερες συναρτήσεις που οι παραγωγοί τους πορούν να βρεθούν ε τον Κανόνα της Αλυσίδας. Ας υποθέσου ε, για παράδειγ α, ότι f .x/ D Z x3 a 1 1 C sin2 t dt: Αν και ο συ βολισ ός τείνει, κατά κάποιον τρόπο, να αποκρύψει το γεγονός, η f είναι η σύνθεση των συναρτήσεων C.x/ D x3 και F.x/ D Z x a 1 1 C sin2 t dt: Πράγ ατι, f .x/ D F.C.x//· ε άλλα λόγια, f D F B C. Επο ένως, από τον Κανόνα της Αλυσίδας, f 0 .x/ D F 0 .C.x// C0 .x/ D F 0 .x3 / 3x2 D 1 1 C sin2 x3 3x2 : Αν η f , αντί για αυτό, ορίζεται ως f .x/ D Z a x3 1 1 C sin2 t dt; τότε f 0 .x/ D 1 1 C sin2 x3 3x2 : Αν η f ορίζεται ως αντίστροφη σύνθεση, f .x/ D Z x a 1 1 C sin2 t dt 3 ; τότε f 0 .x/ D C0 .F.x// F 0 .x/ D 3 Z x a 1 1 C sin2 t dt 2 1 1 C sin2 x : Ο οίως, αν f .x/ D Z sin x a 1 1 C sin2 t dt; g.x/ D Z a sin x 1 1 C sin2 t dt;
- 279. 14. Το ΘεµελιώδεςΘεώρηµα του Απειροστικού Λογισµού 265 h.x/ D sin Z x a 1 1 C sin2 t dt ; τότε f 0 .x/ D 1 1 C sin2 .sin x/ cos x; g0 .x/ D 1 1 C sin2 .sin x/ cos x; h0 .x/ D cos Z x a 1 1 C sin2 t dt 1 1 C sin2 x : Η φοβερή στην όψη συνάρτηση f .x/ D Z R x a 1 1Csin2 t dt a 1 1 C sin2 t dt αποτελεί επίσης σύνθεση· πράγ ατι f D F B F . Άρα f 0 .x/ D F 0 .F.x// F 0 .x/ D 1 1 C sin2 Z x a 1 1 C sin2 t dt 1 1 C sin2 x : Όπως δείχνουν αυτά τα παραδείγ ατα, η παράσταση που ε φανίζεται πάνω (ή κάτω) στο σύ βολο της ολοκλήρωσης φανερώνει τη συνάρτηση που θα ε φανιστεί στα δεξιά όταν γράψου ε την f ως σύνθεση. Ως τελικό παράδειγ α, ας εξετάσου ε τις τριπλές συνθέσεις f .x/ D Z R x3 a 1 1Csin2 t dt a 1 1Csin2 t dt; g.x/ D Z 2 4 R R x a 1 1Csin2 t dt a 1 1Csin2 t dt 3 5 a 1 1Csin2 t dt; που πορούν να γραφούν f D F B F B C και g D F B F B F: Παραλείποντας τα ενδιά εσα βή ατα (που πορείτε να συ πληρώσετε, αν αισθάνεστε ανασφάλεια), παίρνου ε f 0 .x/ D 1 1 C sin2 Z x3 a 1 1 C sin2 t dt ! 1 1 C sin2 x3 3x2 ; g0 .x/ D 1 1 C sin2 2 4 Z R x a 1 1Csin2 t dt a 1 1 C sin2 t dt 3 5 1 1 C sin2 Z x a 1 1 C sin2 t dt 1 1 C sin2 x : Ο οίως ε τις απλούστερες παραγωγίσεις του Κεφαλαίου 10, αυτοί οι χειρισ οί φαίνον- ται πιο εύκολοι αν εξασκηθεί κανείς ε ερικά προβλή ατα, και, όπως και τα προβλή- ατα του Κεφαλαίου 10, αυτές οι παραγωγίσεις είναι απλώς ια άσκηση κατανόησης του Κανόνα της Αλυσίδας, στο κάπως άγνωστο πλαίσιο που ας παρέχει το Θε ελιώδες Θεώρη α του Απειροστικού Λογισ ού.
- 280. 266 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα Τα ισχυρά αποτελέσ ατα που θα δώσει το ολοκλήρω α στα επό ενα κεφάλαια βασί- ζονται όλα στο Θε ελιώδες Θεώρη α, παρ’ όλο που η απόδειξη αυτού του θεωρή ατος ήταν αρκετά εύκολη —φαίνεται ότι όλος ο ουσιαστικός κόπος πήκε στο να ορίσου ε το ολοκλήρω α. Στην πραγ ατικότητα, αυτό δεν ισχύει απόλυτα. Για να εφαρ όσου ε το Θεώρη α 1 σε ια συνεχή συνάρτηση, χρειάζεται να γνωρίζου ε ότι αν η f είναι συνε- χής στο Œa; b, τότε η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b. Αν και έχου ε ήδη προσφέρει ια απόδειξη αυτού του αποτελέσ ατος, υπάρχει ένας πιο στοιχειώδης τρόπος που ίσως προτι ήσετε. Όπως όλες οι«στοιχειώδεις» αποδείξεις, ε περιέχει τεχνάσ ατα, αλλά έχει την αρετή ότι εξαναγκάζει σε ια επανάληψη της απόδειξης του Θεωρή ατος 1. Αν f είναι οποιαδήποτε συνάρτηση φραγ ένη στο Œa; b, τότε τα supfL.f; P /g και inffU.f; P /g υπάρχουν και τα δύο, ακό α και αν η f δεν είναι ολοκληρώσι η. Αυτοί οι αριθ οί λέ- γονται το κάτω ολοκλήρω α της f στο Œa; b και το άνω ολοκλήρω α της f στο Œa; b, αντίστοιχα, και θα συ βολίζονται ε L Z b a f και U Z b a f: Τα κάτω και άνω ολοκληρώ ατα έχουν και τα δύο διάφορες ιδιότητες που έχει το ολο- κλήρω α. Ειδικότερα, αν a c b, τότε L Z b a f D L Z c a f C L Z b c f και U Z b a f D U Z c a f C U Z b c f; και αν m f .x/ M για κάθε x στο Œa; b, τότε m.b a/ L Z b a f U Z b a f M.b a/: Οι αποδείξεις των παραπάνω αφήνονται ως άσκηση, αφού είναι τελείως ίδιες ε τις αντί- στοιχες αποδείξεις για ολοκληρώ ατα. Τα συ περάσ ατα για τα ολοκληρώ ατα είναι στην πραγ ατικότητα πορίσ ατα των συ περασ άτων για τα κάτω και άνω ολοκληρώ- ατα, αφού η f είναι ολοκληρώσι η ακριβώς όταν L Z b a f D U Z b a f: Θα αποδείξου ε ότι ια συνεχής συνάρτηση f είναι ολοκληρώσι η, αποδεικνύοντας ότι αυτή η ισότητα ισχύει πάντα για συνεχείς συναρτήσεις. Στην πραγ ατικότητα, είναι ευκο- λότερο να δείξου ε ότι L Z x a f D U Z x a f για κάθε x στο Œa; b· το τέχνασ α είναι να παρατηρήσου ε ότι για το εγαλύτερο έρος της απόδειξης του Θεωρή ατος 1 δεν χρειάστηκε καν το γεγονός ότι η f ήταν ολοκλη- ρώσι η! ΘΕΩΡΗΜΑ 13-3 Αν η f είναι συνεχής στο Œa; b, τότε η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Ορίζου ε τις συναρτήσεις L και U στο Œa; b ως εξής: L.x/ D L Z x a f και U.x/ D U Z x a f: Έστω x στο .a; b/. Αν h 0 και mh D infff .t/ W x t x C hg;
- 281. 14. Το ΘεµελιώδεςΘεώρηµα του Απειροστικού Λογισµού 267 Mh D supff .t/ W x t x C hg; τότε mh h L Z xCh x f U Z xCh x f Mh h; άρα mh h L.x C h/ L.x/ U.x C h/ U.x/ Mh h ή mh L.x C h/ L.x/ h U.x C h/ U.x/ h Mh: Αν h 0 και mh D infff .t/ W x C h t xg; Mh D supff .t/ W x C h t xg; παίρνει κανείς την ίδια ανισότητα, ακριβώς όπως στην απόδειξη του Θεωρή ατος 1. Αφού η f είναι συνεχής στο x, έχου ε lim h!0 mh D lim h!0 Mh D f .x/; και αυτό αποδεικνύει ότι L0 .x/ D U 0 .x/ D f .x/ για x στο .a; b/: Το τελευταίο ση αίνει ότι υπάρχει ένας αριθ ός c, τέτοιος ώστε U.x/ D L.x/ C c για κάθε x στο Œa; b: Αφού U.a/ D L.a/ D 0; ο αριθ ός c πρέπει να είναι ίσος ε 0, άρα U.x/ D L.x/ για κάθε x στο Œa; b: Ειδικότερα, U Z b a f D U.b/ D L.b/ D L Z b a f; και αυτό ση αίνει ότι η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων (i) F.x/ D Z x3 a sin3 t dt. (ii) F.x/ D Z . R x 1 sin3 t dt/ 3 1 1 C sin6 t C t2 dt (iii) F.x/ D Z x 15 Z y 8 1 1 C t2 C sin2 t dt dy. (iv) F.x/ D Z b x 1 1 C t2 C sin2 t dt.
- 282. 268 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα (v) F.x/ D Z b a x 1 C t2 C sin2 t dt. (vi) F.x/ D sin Z x 0 sin Z y 0 sin3 t dt dy . (vii) F 1 , όπου F.x/ D Z x 1 1 t dt. (viii) F 1 , όπου F.x/ D Z x 0 1 p 1 t2 dt. 9 = ; (Βρείτε την .F 1 /0 .x/ συναρτήσει της F 1 .x/.) 2. Για κάθε ία από τις f που ακολουθούν, αν F.x/ D R x 0 f , σε ποια ση εία x ισχύει F 0 .x/ D f .x/; (Προειδοποίηση: πορεί να συ βαίνει F 0 .x/ D f .x/, ακό α και αν η f δεν είναι συνεχής στο x.) (i) f .x/ D 0 αν x 1, f .x/ D 1 αν x 1. (ii) f .x/ D 0 αν x 1, f .x/ D 1 αν x 1. (iii) f .x/ D 0 αν x ¤ 1, f .x/ D 1 αν x D 1. (iv) f .x/ D 0 αν x άρρητος, f .x/ D 1=q αν x D p=q ανάγωγο. (v) f .x/ D 0 αν x 0, f .x/ D x αν x 0. (vi) f .x/ D 0 αν x 0 ή x 1, f .x/ D 1=Œ1=x αν 0 x 1. (vii) f είναι η συνάρτηση που δείχνει το Σχή α 6. (viii) f .x/ D 1 αν x D 1=n για κάποιο n στο N, f .x/ D 0 αλλιώς. Σ Χ Η Μ Α 6 3. ∆είξτε ότι οι τι ές των πιο κάτω παραστάσεων δεν εξαρτώνται από το x: (i) Z x 0 1 1 C t2 dt C Z 1=x 0 1 1 C t2 dt. (ii) Z sin x cosx 1 p 1 t2 dt; x στο .0; =2/. 4. Βρείτε την .f 1 /0 .0/ αν (i) f .x/ D Z x 0 1 C sin.sin t/ dt. (ii) f .x/ D Z x 1 cos.cos t/ dt.
- 283. 14. Το ΘεµελιώδεςΘεώρηµα του Απειροστικού Λογισµού 269 (Μην προσπαθήσετε να βρείτε ε τι είναι ακριβώς ίση η f .) 5. Βρείτε ια συνάρτηση g τέτοια ώστε (i) Z x 0 tg.t/ dt D x C x2 . (ii) Z x2 0 tg.t/ dt D x C x2 . (Παρατηρήστε ότι δεν θεωρού ε τη g συνεχή στο 0.) 6. (α) Βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f που ικανοποιούν τη σχέση Z x 0 f D .f .x//2 C C για κάποια σταθερά C ¤ 0 υποθέτοντας ότι η f έχει το πολύ ένα 0. (β) Βρείτε επίσης ια λύση που είναι 0 στο διάστη α . 1; b ε 0 b, αλλά δεν είναι ηδέν για x b. (γ) Τέλος, για C D 0 και οποιοδήποτε διάστη α Œa; b ε a 0 b, βρείτε ια λύση που είναι 0 στο Œa; b, αλλά δεν είναι ηδέν αλλού. 7. Χρησι οποιήστε το Πρόβλη α 13-23 για να αποδείξετε ότι (i) 1 7 p 2 Z 1 0 x6 p 1 C x2 dx 1 7 . (ii) 3 8 Z 1=2 0 r 1 x 1 C x dx p 3 4 . 8. Βρείτε την F 0 .x/ αν F.x/ D R x 0 xf .t/ dt. (Η απάντηση δεν είναι xf .x/· θα πρέπει να κάνετε έναν προφανή ετασχη ατισ ό στο ολοκλήρω α πριν προσπαθήσετε να βρείτε την F 0 .) 9. Αποδείξτε ότι, αν η f είναι συνεχής, τότε Z x 0 f .u/.x u/ du D Z x 0 Z u 0 f .t/ dt du: Υπόδειξη: Παραγωγίστε και τα δύο έλη κάνοντας χρήση του Προβλή ατος 8. 10. Χρησι οποιήστε το Πρόβλη α 9 για να αποδείξετε ότι Z x 0 f .u/.x u/2 du D 2 Z x 0 Z u2 0 Z u1 0 f .t/ dt du1 du2: 11. Βρείτε ια συνάρτηση f , τέτοια ώστε f 000 .x/ D 1 ı p 1 C sin2 x. (Αυτό το πρόβλη α υποτίθεται ότι είναι εύκολο· ην παρερ ηνεύσετε τη λέξη «βρείτε»). 12. Μια συνάρτηση f λέγεται περιοδική, ε περίοδο a, αν f .xCa/ D f .x/ για κάθε x. (α) Αν η f είναι περιοδική ε περίοδο a και ολοκληρώσι η στο Œ0; a, δείξτε ότι Z a 0 f D Z bCa b f για κάθε b: (β) Βρείτε ια συνάρτηση f που να ην είναι περιοδική, αλλά η f 0 να είναι. Υπό- δειξη: ∆ιαλέξτε ια περιοδική g για την οποία να πορού ε να εγγυηθού ε ότι η f .x/ D R x 0 g δεν είναι περιοδική.
- 284. 270 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα (γ) Αν η f 0 είναι περιοδική ε περίοδο a και f .a/ D f .0/, τότε η f είναι επίσης περιοδική ε περίοδο a. (δ) Αντίστροφα, αν η f 0 είναι περιοδική ε περίοδο a και η f είναι περιοδική ( ε περίοδο όχι απαραίτητα D a), τότε f .a/ D f .0/. 13. Βρείτε το R b 0 n p x dx, αντεύοντας ια συνάρτηση f ε f 0 .x/ D n p x, και χρησι- οποιώντας το ∆εύτερο Θε ελιώδες Θεώρη α του Απειροστικού Λογισ ού. Μετά συγκρίνετε ε το Πρόβλη α 13-21. 14. Χρησι οποιήστε το Θε ελιώδες Θεώρη α του Απειροστικού Λογισ ού και το Πρόβλη α 13-21 για να καταλήξετε στο συ πέρασ α που διατυπώθηκε στο Πρό- βλη α 12-21. 15. Έστω C1, C και C2 κα πύλες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων όπως φαί- νεται στο Σχή α 7. Κάθε ση είο της C πορεί να ενωθεί ε ένα ση είο της C1 ε ένα κατακόρυφο ευθύγρα ο τ ή α και ε ένα ση είο της C2 ε ένα οριζόντιο ευθύγρα ο τ ή α. Θα λέ ε ότι η C διχοτοµεί την C1 και την C2 αν οι περιοχές A και B έχουν ίσα ε βαδά για κάθε ση είο της C. (α) Αν C1 είναι η γραφική παράστασης της f .x/ D x2 , x 0 και C της f .x/ D 2x2 , x 0, βρείτε την C2 έτσι ώστε η C να διχοτο εί την C1 και την C2. Σ Χ Η Μ Α 7 (β) Γενικότερα, βρείτε την C2 αν η C1 είναι η γραφική παράσταση της f .x/ D xm , και η C της f .x/ D cxm για κάποιο c 1. 16. (α) Βρείτε τις παραγώγους των F.x/ D Z x 1 1=t dt και G.x/ D Z bx b 1=t dt. (β) Τώρα δώστε ια καινούργια απόδειξη για το Πρόβλη α 13-15. 17. Χρησι οποιήστε το Θε ελιώδες Θεώρη α του Απειροστικού Λογισ ού και το Θεώρη α του Darboux (Πρόβλη α 11-60) για να δώσετε άλλη απόδειξη του Θεω- ρή ατος Ενδιά εσης Τι ής. 18. Αποδείξτε ότι, αν η h είναι συνεχής, η f και η g είναι παραγωγίσι ες, και F.x/ D Z g.x/ f.x/ h.t/ dt; τότε F 0 .x/ D h.g.x// g0 .x/ h.f .x// f 0 .x/. Υπόδειξη: Προσπαθήστε να το αναγάγετε στις δύο περιπτώσεις που ξέρετε ήδη να χειρίζεστε, ε ια σταθερά ως άνω ή κάτω όριο της ολοκλήρωσης. 19. Έστω ότι η f είναι ολοκληρώσι η στο Œa; b, ότι το c είναι στο .a; b/, και έστω ότι F.x/ D Z x a f; a x b: Αποδείξτε ή βρείτε ένα αντιπαράδειγ α για κάθε ία από τις ακόλουθες προτάσεις. (α) Αν η f είναι παραγωγίσι η στο c, τότε η F είναι παραγωγίσι η στο c. (β) Αν η f είναι παραγωγίσι η στο c, τότε η F 0 είναι συνεχής στο c. (γ) Αν η f 0 είναι συνεχής στο c, τότε η F 0 είναι συνεχής στο c. 20. Έστω f .x/ D 8 : cos 1 x ; x ¤ 0 0; x D 0: Είναι η συνάρτηση F.x/ D R x 0 f ολοκληρώσι η στο 0; Υπόδειξη: Ρίξτε ια ατιά στη σελίδα 162.
- 285. 14. Το ΘεµελιώδεςΘεώρηµα του Απειροστικού Λογισµού 271 21. Έστω ότι η f 0 είναι ολοκληρώσι η στο Œ0; 1 και f .0/ D 0. ∆είξτε ότι για όλα τα x στο Œ0; 1 έχου ε jf .x/j s Z 1 0 jf 0j2: ∆είξτε επίσης ότι η υπόθεση f .0/ D 0 χρειάζεται. Υπόδειξη: Πρόβλη α 13-39. 22. Έστω ότι η f είναι παραγωγίσι η συνάρτηση ε f .0/ D 0 και 0 f 0 1. Αποδείξτε ότι για κάθε x 0 έχου ε Z x 0 f 3 Z x 0 f 2 : 23. (α) Έστω ότι G0 D g και F 0 D f . Αποδείξτε ότι, αν η συνάρτηση y ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση () g.y.x// y0 .x/ D f .x/ για κάθε x σε κάποιο διάστη α; τότε υπάρχει ένας αριθ ός c τέτοιος ώστε () G.y.x// D F.x/ C c για κάθε x σε αυτό το διάστη α. (β) ∆είξτε, αντίστροφα, ότι αν η y ικανοποιεί την (), τότε η y είναι λύση της (). (γ) Βρείτε ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιεί η y, αν y0 .x/ D 1 C x2 1 C y.x/ : (Σε αυτήν την περίπτωση g.t/ D 1 C t και f .t/ D 1 C t2 :/ Μετά «λύστε» τις εξισώσεις που προκύπτουν για να βρείτε όλες τις δυνατές λύσεις y (κα ία λύση δεν θα είναι ορισ ένη σε ολόκληρο το R). (δ) Βρείτε ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιεί η y, αν y0 .x/ D 1 1 C 5Œy.x/4 : (Μια αναδρο ή στο Πρόβλη α 12-14 θα σας πείσει ότι υπάρχουν συναρτήσεις που ικανοποιούν την εξίσωση που προκύπτει.) (ε) Βρείτε όλες τις συναρτήσεις y που ικανοποιούν την y.x/y0 .x/ D x: Βρείτε τη λύση y για την οποία y.0/ D 1. 24. Στο Πρόβλη α 10-19 βρήκα ε ότι η κατά Schwarz παράγωγος f 000 .x/ f 0.x/ 3 2 f 00 .x/ f 0.x/ 2 ήταν 0 για f .x/ D .ax C b/=.cx C d/. Τώρα υποθέστε ότι η f είναι συνάρτηση ε κατά Schwarz παράγωγο ηδέν. (α) ∆είξτε ότι η f 00 2 =f 0 3 είναι σταθερή συνάρτηση. (β) ∆είξτε ότι η f έχει τη ορφή f .x/ D .ax C b/=.cx C d/. Υπόδειξη: Θεω- ρήστε u D f 0 και εφαρ όστε το προηγού ενο πρόβλη α.
- 286. 272 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα 25. Το όριο lim N!1 R N a f , αν υπάρχει, συ βολίζεται ε R 1 a f (ή R 1 a f .x/ dx) και λέ- γεται «γενικευ ένο ολοκλήρω α». (α) Προσδιορίστε το R 1 1 xr dx, αν r 1. (β) Χρησι οποιήστε το Πρόβλη α 13-15 για να δείξετε ότι το R 1 1 1=x dx δεν υπάρχει. Υπόδειξη: Τί πορείτε να πείτε για το R 2n 1 1=x dx; (γ) Έστω ότι f .x/ 0 για x 0 και ότι το R 1 0 f υπάρχει. Αποδείξτε ότι, αν 0 g.x/ f .x/ για κάθε x 0 και η g είναι ολοκληρώσι η σε κάθε διάστη α Œ0; N , τότε υπάρχει και το R 1 0 g. (δ) Εξηγήστε γιατί το R 1 0 1=.1 C x2 / dx υπάρχει. Υπόδειξη: Χωρίστε αυτό το ολοκλήρω α στο 1. 26. Αποφασίστε αν τα πιο κάτω γενικευ ένα ολοκληρώ ατα υπάρχουν: (i) Z 1 0 1 p 1 C x3 dx. (ii) Z 1 0 x 1 C x3=2 dx. (iii) Z 1 0 1 x p 1 C x dx (αυτός είναι ένας τύπος που εξετάζεται στο Πρόβλη α 28). 27. Το γενικευ ένο ολοκλήρω α R a 1 f ορίζεται, ε τον προφανή τρόπο, ως lim N! 1 R a N f . Αλλά ένα άλλο είδος γενικευ ένου ολοκληρώ ατος, το R 1 1 f , ορί- ζεται ε έναν η προφανή τρόπο: είναι το R 1 0 f C R 0 1 f , ε την προϋπόθεση ότι και τα δύο γενικευ ένα ολοκληρώ ατα υπάρχουν. (α) Εξηγήστε γιατί το R 1 1 1=.1 C x2 / dx υπάρχει. (β) Εξηγήστε γιατί το R 1 1 x dx δεν υπάρχει. (Αλλά παρατηρήστε ότι το lim N!1 R N N x dx υπάρχει.) (γ) Αποδείξτε ότι, αν το R 1 1 f υπάρχει, τότε το lim N!1 R N N f υπάρχει και εί- ναι ίσο ε R 1 1 f . ∆είξτε ακό α, ότι τα lim N!1 R NC1 N f και lim N!1 R N N2 f υπάρχουν και τα δύο και είναι ίσα ε R 1 1 f . Μπορείτε να διατυπώσετε ια εύλογη γενίκευση των παραπάνω; (Αν δεν πορείτε, θα ταλαιπωρηθείτε πολύ προσπαθώντας για αυτές τις ειδικές περιπτώσεις!) 28. Υπάρχει άλλο ένα είδος «γενικευ ένου ολοκληρώ ατος» στο οποίο το διάστη α είναι φραγ ένο, αλλά η συνάρτηση δεν είναι φραγ ένη: (α) Αν a 0, βρείτε το lim !0C R a 1= p x dx. Αυτό το όριο συ βολίζεται ε R a 0 1= p x dx, αν και η συνάρτηση f .x/ D 1= p x δεν είναι φραγ ένη στο Œ0; a, όπως και αν ορίσου ε το f .0/. (β) Βρείτε το R a 0 xr dx, αν 1 r 0. (γ) Χρησι οποιήστε το Πρόβλη α 13-15 για να δείξετε ότι το R a 0 x 1 dx δεν έχει έννοια, ούτε ως όριο. (δ) Επινοήστε έναν λογικό ορισ ό για το R 0 a jxjr dx για a 0 και υπολογίστε το για 1 r 0. (ε) Επινοήστε έναν λογικό ορισ ό για το R 1 1.1 x2 / 1=2 dx, ως άθροισ α δύο ορίων, και δείξτε ότι τα όρια υπάρχουν. Υπόδειξη: Γιατί υπάρχει το R 0 1.1 C x/ 1=2 dx; Πώς συγκρίνεται το .1Cx/ 1=2 ε το .1 x2 / 1=2 για 1 x 0;
- 287. 14. Το ΘεµελιώδεςΘεώρηµα του Απειροστικού Λογισµού 273 29. (α) Αν η f είναι συνεχής στο Œ0; 1, υπολογίστε το lim x!0C x Z 1 x f .t/ t dt: (β) Αν η f είναι ολοκληρώσι η στο Œ0; 1 και συνεχής στο 0, υπολογίστε το lim x!0C x Z 1 x f .t/ t2 dt: 30. Είναι δυνατόν, τελικά, να συνδυάσου ε τις δύο δυνατές επεκτάσεις της έννοιας του ολοκληρώ ατος. (α) Αν f .x/ D 1= p x για 0 x 1 και f .x/ D 1=x2 για x 1, βρείτε τοR 1 0 f .x/ dx (αφού αποφασίσετε τι θα πρέπει να ση αίνει). (β) ∆είξτε ότι το R 1 0 xr dx δεν έχει ποτέ έννοια. (∆ιακρίνετε τις περιπτώσεις 1 r 0 και r 1. Στη ια περίπτωση τα πράγ ατα χαλάνε στο 0, στην άλλη περίπτωση στο 1· για r D 1 έχου ε πρόβλη α και στα δύο ση εία.)
- 288. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Οι ορισ οί των συναρτήσεων sin και cos είναι πολύ πιο περίπλοκοι από όσο θα υπο- πτευόταν κανείς. Για αυτόν το λόγο, το κεφάλαιο αυτό αρχίζει ε κάποιους άτυπους και διαισθητικούς ορισ ούς, που δεν θα έπρεπε να εξεταστούν εξονυχιστικά, αφού σύντο α θα αντικατασταθούν ε τους τυπικούς ορισ ούς που πρόκειται τελικά να χρησι οποιή- σου ε. Στη στοιχειώδη Γεω ετρία ια γωνία είναι απλώς η ένωση δύο η ιευθειών ε κοινό αρχικό ση είο (Σχή α 1). Σ Χ Η Μ Α 1 Πιο χρήσι ες για την τριγωνο ετρία είναι οι «προσανατολισ ένες γωνίες» που πο- ρούν να θεωρηθούν ως ζεύγη .l1; l2/ η ιευθειών ε το ίδιο αρχικό ση είο, όπως στο Σχή α 2. Σ Χ Η Μ Α 2 Αν για l1 διαλέγου ε πάντοτε το θετικό ισό του οριζόντιου άξονα, ια προσανατο- λισ ένη γωνία περιγράφεται απολύτως από τη δεύτερη η ιευθεία (Σχή α 3). Αφού κάθε η ιευθεία τέ νει τον οναδιαίο κύκλο ακριβώς σε ένα ση είο, ια προσα- νατολισ ένη γωνία περιγράφεται ακό α πιο απλά, από ένα ση είο στον οναδιαίο κύκλο (Σχή α 4), δηλαδή, από ένα ση είο .x; y/ ε x2 C y2 D 1. Σ Χ Η Μ Α 3 Το η ίτονο και το συνη ίτονο ιας προσανατολισ ένης γωνίας πορούν τώρα να ορι- στούν ως εξής (Σχή α 5): ια προσανατολισ ένη γωνία προσδιορίζεται από ένα ση είο .x; y/ ε x2 C y2 D 1· ως η ίτονο της γωνίας ορίζου ε το y, και ως συνη ίτονο το x. Παρ’ όλη την αίσθηση ακρίβειας που αποπνέει η προηγού ενη παράγραφος, δεν 274
- 289. 15. Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις275 έχου ε ακό α τελειώσει ε τους ορισ ούς των sin και cos. Πραγ ατικά: όλις τώρα αρχίσα ε. Αυτό που ορίσα ε είναι το η ίτονο και το συνη ίτονο ιας προσανατολισ έ- νης γωνίας· αυτό που θέλουµε να ορίσου ε, είναι τα sin x και cos x για κάθε αριθµό x. Ο Σ Χ Η Μ Α 4 πιο συνηθισ ένος τρόπος για να το πετύχου ε βασίζεται στην αντιστοίχιση ιας γωνίας σε κάθε αριθ ό. Η παλιότερη έθοδος είναι να « ετρά ε τις γωνίες ε οίρες». Μια γωνία « ιας ολόκληρης στροφής» αντιστοιχεί στο 360, ια γωνία « ισής στροφής» αντι- στοιχεί στο 180, ια γωνία «στροφής ενός τετάρτου» στο 90, κτλ. (Σχή α 6). Η γωνία που αντιστοιχεί, ε αυτόν τον τρόπο, στον αριθ ό x, λέγεται «η γωνία x οιρών». Η γωνία των 0 οιρών είναι η ίδια ε τη γωνία των 360 οιρών, και αυτή η α φιβολία εσκε ένα επεκτείνεται, δηλαδή ια γωνία 90 οιρών είναι επίσης γωνία 360 C 90 οιρών, κτλ. Μπορεί τώρα να ορίσει κανείς ια συνάρτηση, που θα τη συ βολίζου ε ε sinı , ως εξής: sinı .x/ D το η ίτονο της γωνίας x οιρών. Υπάρχουν δυο δυσκολίες σε αυτήν την προσέγγιση. Αν και πορεί να είναι φανερό τι εννοού ε ε ια γωνία 90 ή 45 οιρών, δεν είναι και τόσο φανερό τι είναι ια γωνία p 2 οιρών, για παράδειγ α. Ακό α και αν πορούσα ε να παρακά ψου ε αυτήν τη δυσκο- λία, φαίνεται απίθανο αυτό το σύστη α να οδηγήσει σε κο ψά αποτελέσ ατα, καθώς εξαρτάται από την τυχαία επιλογή του αριθ ού 360 —θα ήταν τελείως συ πτω ατικό η συνάρτηση sinı να έχει «ευχάριστες» αθη ατικές ιδιότητες. Η « έτρηση σε rad (ακτίνια)» ε φανίζεται ικανή να θεραπεύσει αυτές τις ατέλειες. Αν δοθεί ένας αριθ ός x, διαλέγου ε ένα ση είο P στον οναδιαίο κύκλο, τέτοιο ώστε το ήκος του τόξου του κύκλου που αρχίζει από το .1; 0/ και καταλήγει ε φορά αντίθετη του ρολογιού στο P , να είναι ίσο ε x (Σχή α 7). Η προσανατολισ ένη γωνία που καθο- Σ Χ Η Μ Α 5 ρίζεται από το P λέγεται «η γωνία των x rad». Αφού το ήκος ολόκληρου του κύκλου είναι 2, η γωνία των x rad και η γωνία των 2 C x rad ταυτίζονται. Μπορού ε τώρα να ορίσου ε ια συνάρτηση sinr ως εξής: sinr .x/ D το η ίτονο της γωνίας x rad. Η ίδια έθοδος πορεί εύκολα να υιοθετηθεί για να οριστεί και η sinı · αφού θέλου ε να ισχύει sinı 360 D sinr 2, πορού ε να ορίσου ε: sinı x D sinr 2x 360 D sinr x 180 : Σύντο α θα καταργήσου ε τον δείκτη r στο sinr , ια και η sinr (και όχι η sinı ) είναι η οναδική συνάρτηση που θα ας απασχολήσει· πριν το επιχειρήσου ε, επιβάλλεται ια ικρή προειδοποίηση. Οι παραστάσεις sinı x και sinr x ερικές φορές γράφονται Σ Χ Η Μ Α 6 sin xı sin x σε rad, αλλά αυτός ο συ βολισ ός είναι πολύ αποπροσανατολιστικός· ένας αριθ ός x είναι απλώς ένας αριθ ός —δεν κρατά ια ση αία που να υποδεικνύει ότι είναι «σε οίρες» ή «σε rad». Αν η έννοια του συ βολισ ού «sin x» είναι α φισβητού ενη, συνήθως ρωτά κανείς: «Ο x είναι σε οίρες ή σε rad;» αλλά αυτό που εννοεί είναι: «Εννοείτε «sinı » ή «sinr »;» Ακό α και για αθη ατικούς που τους αρέσει η ακριβολογία, αυτές οι παρατηρήσεις πο- ρεί να φαίνονται περιττές, αλλά δεν θα έπρεπε, γιατί το να τις αγνοήσει κανείς πορεί να ήκο̋ Σ Χ Η Μ Α 7 τον οδηγήσει σε λαθε ένες απαντήσεις σε κάποια προβλή ατα (ένα παράδειγ α δίνεται στο Πρόβλη α 19).
- 290. 276 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα Αν και η συνάρτηση sinr είναι αυτή που θα θέλα ε να συ βολίζου ε απλώς ε sin (και να τη χρησι οποιού ε αποκλειστικά στο εξής), ε φανίζεται ια δυσκολία ακό α και στον ορισ ό της sinr . Ο ορισ ός που προτείνα ε βασίζεται στην έννοια του ήκους ιας κα πύλης. Αν και το ήκος ιας κα πύλης το έχου ε ορίσει σε διάφορα προβλή- ατα, είναι επίσης εύκολο να ετασχη ατίσου ε τον ορισ ό, παίρνοντας ως βάση το ε βαδόν. (Περιγράφου ε πώς πορεί κανείς να χειριστεί το θέ α ε βάση το ήκος στο Πρόβλη α 28.) Έστω ότι x είναι το ήκος του τόξου του οναδιαίου κύκλου από το .1; 0/ έως το P · άρα αυτό το τόξο περιέχει x=2 από το συνολικό ήκος 2 της περιφέρειας του ονα- διαίου κύκλου. Με S συ βολίζου ε τον «το έα» που φαίνεται στο Σχή α 8· ο S φράσ- ε βαδόν ήκο̋ Σ Χ Η Μ Α 8 σεται από τον οναδιαίο κύκλο, τον οριζόντιο άξονα και την η ιευθεία που ορίζεται από τα .0; 0/ και P . Το ε βαδόν του S θα έπρεπε να είναι ίσο ε x=2 φορές το ε βαδόν του εσωτερικού του κύκλου, που περι ένου ε να είναι ίσο ε . Άρα ο S θα έπρεπε να έχει ε βαδόν x 2 D x 2 : Μπορού ε επο ένως να ορίσου ε τα cos x και sin x ως τις συντεταγ ένες του ση είου P που καθορίζει έναν το έα ε βαδού x=2. Με αυτές τις παρατηρήσεις ως υπόβαθρο, πορού ε τώρα να προχωρήσου ε στον αυστηρό ορισ ό των συναρτήσεων sin και cos. Ο πρώτος ορισ ός ταυτίζει το ε το ε βαδόν Σ Χ Η Μ Α 9 ε βαδόν του οναδιαίου κύκλου —ακριβέστερα, ε το διπλάσιο του ε βαδού ενός η ι- κυκλίου (Σχή α 9). ΟΡΙΣΜΟΣ D 2 Z 1 1 p 1 x2 dx: (Ο ορισ ός αυτός δεν παίζει διακοσ ητικό ρόλο· για να ορίσου ε τις τριγωνο ετρικές συναρτήσεις θα χρειαστεί να ορίσου ε κατ’ αρχήν τα sin x και cos x όνο για 0 x .) Ο δεύτερος ορισ ός περιγράφει, για 1 x 1, το ε βαδόν A.x/ του το έα που φράσσεται από τον οναδιαίο κύκλο, τον οριζόντιο άξονα και την η ιευθεία που περνά από το .x; p 1 x2 /. Αν 0 x 1, το ε βαδόν αυτό πορεί να εκφραστεί (Σχή α 10) ως το άθροισ α του ε βαδού ενός τριγώνου και του ε βαδού ιας επιφάνειας που βρίσκεται κάτω από τον οναδιαίο κύκλο: Σ Χ Η Μ Α 1 0 x p 1 x2 2 C Z 1 x p 1 t2 dt: Ο ίδιος τύπος συ βαίνει να ισχύει και στην περίπτωση 1 x 0. Σε αυτήν την περίπτωση (Σχή α 11), ο όρος x p 1 x2 2 είναι αρνητικός, και παριστάνει το ε βαδόν του τριγώνου που πρέπει να αφαιρεθεί από τον όρο Σ Χ Η Μ Α 1 1 Z 1 x p 1 t2 dt: ΟΡΙΣΜΟΣ Αν 1 x 1, τότε A.x/ D x p 1 x2 2 C Z 1 x p 1 t2 dt:
- 291. 15. Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις277 Παρατηρού ε ότι, αν 1 x 1, τότε η A παραγωγίζεται στο x και (χρησι οποιών- τας το Θε ελιώδες Θεώρη α του Απειροστικού Λογισ ού), A0 .x/ D 1 2 x 2x 2 p 1 x2 C p 1 x2 p 1 x2 D 1 2 x2 C .1 x2 / p 1 x2 p 1 x2 D 1 2x2 2 p 1 x2 p 1 x2 D 1 2x2 2.1 x2 / 2 p 1 x2 D 1 2 p 1 x2 : Παρατηρού ε επίσης (Σχή α 12) ότι στο διάστη α Œ 1; 1 η συνάρτηση A φθίνει από το A. 1/ D 0 C Z 1 1 p 1 t2 dt D 2 στο A.1/ D 0. Αυτό προκύπτει ά εσα από τον ορισ ό της A, αλλά και από το γεγονός Σ Χ Η Μ Α 1 2 ότι η παραγωγός της είναι αρνητική στο . 1; 1/. Για 0 x θέλου ε να ορίσου ε τα cos x και sin x ως τις συντεταγ ένες ενός ση είου P D .cos x; sin x/ το οποίο να βρίσκεται πάνω στον οναδιαίο κύκλο και να καθορίζει έναν το έα ε ε βαδόν x=2 (Σχή α 13). Με άλλα λόγια: ΟΡΙΣΜΟΣ Αν 0 x , τότε cos x είναι ο οναδικός αριθ ός που βρίσκεται στο Œ 1; 1 και ικανοποιεί την A.cos x/ D x 2 · και sin x D p 1 .cos x/2: Χρειάζεται βεβαίως κάποια σύντο η αιτιολόγηση για αυτόν τον ορισ ό. Για να βεβαιωθού ε ότι υπάρχει ένας αριθ ός y που να ικανοποιεί την A.y/ D x=2, παίρνου ε υπόψη ας ότι η A είναι συνεχής, και παίρνει τις τι ές 0 και =2. Αυτή η σιωπηρή προ- σφυγή στο Θεώρη α Ενδιά εσης Τι ής είναι κρίσι η, αν θέλου ε ο προσωρινός ας ορισ ός να είναι ακριβής. Έχοντας δώσει, και αιτιολογήσει, τον ορισ ό ας, πορού ε τώρα να προχωρήσου ε αρκετά γρήγορα. ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Αν 0 x , τότε cos0 .x/ D sin x; sin0 .x/ D cos x: ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Αν B D 2A, τότε ο ορισ ός A.cos x/ D x=2 πορεί να γραφεί B.cos x/ D x· ε άλλα λόγια, η συνάρτηση cos είναι απλώς η αντίστροφη της B. Έχου ε ήδη υπολογίσει ότι A0 .x/ D 1 2 p 1 x2 ; από όπου συ περαίνου ε ότι B0 .x/ D 1 p 1 x2 :
- 292. 278 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα Επο ένως, cos0 .x/ D .B 1 /0 .x/ D 1 B0.B 1.x// D 1 1 p 1 ŒB 1.x/2 D p 1 .cos x/2 D sin x: Αφού ε βαδόν Σ Χ Η Μ Α 1 3 sin x D p 1 .cos x/2; πορού ε επίσης να πάρου ε sin0 .x/ D 1 2 2 cos x cos0 .x/ p 1 .cos x/2 D cos x sin x sin x D cos x: Μπορού ε να χρησι οποιήσου ε τις πληροφορίες που περιέχονται στο Θεώρη α 1 για να σχεδιάσου ε τις γραφικές παραστάσεις των sin και cos στο διάστη α Œ0; . Αφού cos0 .x/ D sin x 0; 0 x ; η συνάρτηση cos φθίνει από το cos 0 D 1 στο cos D 1 (Σχή α 14). Συνεπώς, cos y D 0 για ένα και οναδικό y στο Œ0; . Για να βρού ε το y, παρατηρού ε ότι ο ορισ ός της cos, Σ Χ Η Μ Α 1 4 A.cos x/ D x 2 ; ση αίνει ότι A.0/ D y 2 ; άρα y D 2 Z 1 0 p 1 t2 dt: Είναι εύκολο να δού ε ότι Z 0 1 p 1 t2 dt D Z 1 0 p 1 t2 dt άρα πορού ε επίσης να γράψου ε y D Z 1 1 p 1 t2 dt D 2 : Τώρα έχου ε sin0 .x/ D cos x ( 0; 0 x =2 0; =2 x ; άρα η sin είναι αύξουσα στο Œ0; =2, από το sin 0 D 0 στο sin =2 D 1, και ετά είναι Σ Χ Η Μ Α 1 5 φθίνουσα στο Œ=2; ε sin D 0 (Σχή α 15). Οι τι ές των sin x και cos x για x έξω από το Œ0; ορίζονται πιο εύκολα σε δύο βή ατα ε ια διαδικασία συγκόλλησης.
- 293. 15. Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις279 (1) Αν x 2, τότε sin x D sin.2 x/; cos x D cos.2 x/: Το Σχή α 16 δείχνει τις γραφικές παραστάσεις των sin και cos στο Œ0; 2. (2) Αν x D 2k C x0 για κάποιον ακέραιο k, και κάποιο x0 στο Œ0; 2, τότε sin x D sin x0 ; cos x D cos x0 : Το Σχή α 17 δείχνει τις γραφικές παραστάσεις των sin και cos, ορισ ένων τώρα σε ολό- κληρο το R. (α) (β) Σ Χ Η Μ Α 1 6 Έχονταςεπεκτείνει τις συναρτήσεις sin και cos στο R, πρέπει τώρα να ελέγξου ε ότι οι βασικές ιδιότητες αυτών των συναρτήσεων εξακολουθούν να ισχύουν. Στις περισσότερες περιπτώσεις αυτό είναι εύκολο. Για παράδειγ α, είναι φανερό ότι η εξίσωση sin2 x C cos2 x D 1 (α) (β) Σ Χ Η Μ Α 1 7 ισχύει για κάθε x. Ακό α, δεν είναι δύσκολο να δείξου ε ότι sin0 .x/ D cos x; cos0 .x/ D sin x; αν το x δεν είναι πολλαπλάσιο του . Για παράδειγ α, αν x 2, τότε sin x D sin.2 x/; άρα sin0 .x/ D sin0 .2 x/ . 1/ D cos.2 x/ D cos x: Αν το x είναι πολλαπλάσιο του , καταφεύγου ε σε ένα τέχνασ α· αρκεί όνο να εφαρ- όσου ε το Θεώρη α 11-7 για να συ περάνου ε ότι οι ίδιοι τύποι ισχύουν και σε αυτήν την περίπτωση.
- 294. 280 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα Σ Χ Η Μ Α 1 8 Οι άλλες γνωστές τριγωνο ετρικές συναρτήσεις δεν παρουσιάζουν κα ία δυσκολία. Ορίζου ε sec x D 1 cos x tan x D sin x cos x 9 = ; x ¤ k C =2; csc x D 1 sin x cot x D cos x sin x 9 = ; x ¤ k: Οι γραφικές παραστάσεις είναι σχεδιασ ένες στο Σχή α 18. ∆εν είναι άσχη η ιδέα να προσπαθήσετε να πεισθείτε ότι, η γενική ορφή της κάθε γραφικής παράστασης πορεί να προβλεφθεί από την παράγωγο της κάθε συνάρτησης, που δίνεται στο επό ενο θεώρη α (δεν υπάρχει λόγος να θυ άται κανείς τους ισχυρισ ούς του θεωρή ατος, αφού πορεί να τους αποδείξει ξανά, οποτεδήποτε τους χρειαστεί.) ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Αν x ¤ k C =2, τότε sec0 .x/ D sec x tan x; tan0 .x/ D sec2 x: Αν x ¤ k, τότε csc0 .x/ D csc x cot x; cot0 .x/ D csc2 x: ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Αφήνεται σε εσάς (απευθείας υπολογισ ός). Μπορού ε επίσης εύκολα να βρού ε τις παραγώγους των αντίστροφων των τριγωνο- ετρικών συναρτήσεων. Οι τριγωνο ετρικές συναρτήσεις δεν είναι 1-1, επο ένως είναι αναγκαίο να τις περιορίσου ε πρώτα σε κατάλληλα διαστή ατα· το εγαλύτερο δυνα- τό ήκος που πορού ε να πετύχου ε είναι , και συνήθως διαλέγου ε τα διαστή ατα (Σχή α 19) Σ Χ Η Μ Α 1 9 Œ =2; =2 για την sin, Œ0; για την cos,
- 295. 15. Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις281 . =2; =2/ για την tan. (Οι αντίστροφες των άλλων τριγωνο ετρικών συναρτήσεων χρησι οποιούνται τόσο σπά- νια που δεν θα τις συζητήσου ε καθόλου εδώ.) Η αντίστροφη της συνάρτησης f .x/ D sin x; =2 x =2 συ βολίζεται ε arcsin (Σχή α 20)· πεδίο ορισ ού της arcsin είναι το Œ 1; 1. Αποφεύ- Σ Χ Η Μ Α 2 0 γου ε τον συ βολισ ό sin 1 γιατί η arcsin δεν είναι η αντίστροφη της sin (που δεν είναι 1-1), αλλά της περιορισ ένης συνάρτησης f · Ορισ ένες φορές η συνάρτηση αυτή f συ βολίζεται ε Sin και η arcsin ε Sin 1 . Η αντίστροφη της συνάρτησης g.x/ D cos x; 0 x συ βολίζεται ε arccos (Σχή α 21)· το πεδίο ορισ ού της arccos είναι το Œ 1; 1. Ορι- σ ένες φορές η g συ βολίζεται ε Cos , και η arccos ε Cos 1 . Η αντίστροφη της συνάρτησης h.x/ D tan x; =2 x =2 συ βολίζεται ε arctan (Σχή α 22)· η arctan είναι ένα από τα απλούστερα παραδείγ ατα παραγωγίσι ης συνάρτησης που είναι φραγ ένη, αν και είναι 1-1 σε ολόκληρο το R. Ορισ ένες φορές η συνάρτηση h συ βολίζεται ε Tan , και η arctan ε Tan 1 . Σ Χ Η Μ Α 2 1 Οι παράγωγοι των αντιστρόφων τριγωνο ετρικών συναρτήσεων είναι εκπληκτικά απλές και δεν έχουν κα ία σχέση ε τριγωνο ετρικές συναρτήσεις. Το να βρού ε τις παραγώγους είναι απλή υπόθεση, αλλά για να τις εκφράσου ε σε ια κατάλληλη ορφή πρέπει να απλουστεύσου ε εκφράσεις σαν τις cos.arcsin x/; sec.arctanx/: Σ Χ Η Μ Α 2 2 Μια ικρή εικόνα είναι ο καλύτερος τρόπος για να θυ άται κανείς τις σωστές απλοποι- ήσεις. Για παράδειγ α, το Σχή α 23 δείχνει ια προσανατολισ ένη γωνία της οποίας το η ίτονο είναι x —η γωνία που δείχνου ε είναι λοιπόν ια γωνία .arcsin x/ ακτινίων· επο- ένως το cos.arcsin x/ είναι το ήκος της άλλης πλευράς, και συγκεκρι ένα, p 1 x2. Πάντως, στην απόδειξη του επό ενου θεωρή ατος δεν θα καταφύγου ε σε τέτοιες εικό- Σ Χ Η Μ Α 2 3 νες. ΘΕΩΡΗΜΑ 3 Αν 1 x 1, τότε arcsin0 .x/ D 1 p 1 x2 ; arccos0 .x/ D 1 p 1 x2 : Ακό α, για κάθε x έχου ε arctan0 .x/ D 1 1 C x2 :
- 296. 282 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ arcsin0 .x/ D .f 1 /0 .x/ D 1 f 0.f 1.x// D 1 sin0 .arcsinx/ D 1 cos.arcsin x/ : Τώρα Œsin.arcsinx/2 C Œcos.arcsinx/2 D 1; δηλαδή x2 C Œcos.arcsinx/2 D 1· επο ένως cos.arcsinx/ D p 1 x2: (Πρέπει να πάρου ε τη θετική τετραγωνική ρίζα γιατί το arcsinx ανήκει στο . =2; =2/, επο ένως cos.arcsin x/ 0.) Αυτό αποδεικνύει τον πρώτο τύπο. Η δεύτερη σχέση έχει ήδη αποδειχθεί (στην απόδειξη του Θεωρή ατος 1). Μπορού ε επίσης να ι ηθού ε την απόδειξη για την πρώτη σχέση, σαν ια καλή άσκηση, αν εκείνη η απόδειξη παρουσίασε δυσκολίες. Η τρίτη σχέση αποδεικνύεται ως εξής: arctan0 .x/ D .h 1 /0 .x/ D 1 h0.h 1.x// D 1 tan0.arctan x/ D 1 sec2.arctan x/ ∆ιαιρώντας και τα δύο έλη της ταυτότητας sin2 a C cos2 a D 1 ε cos2 a παίρνου ε tan2 a C 1 D sec2 a: Έπεται ότι Œtan.arctan x/2 C 1 D sec2 .arctan x/; ή x2 C 1 D sec2 .arctanx/; που αποδεικνύει την τρίτη σχέση. Η παραδοσιακή απόδειξη της σχέσης sin0 .x/ D cos x (τελείως διαφορετική από αυτήν που δίνου ε εδώ) περιγράφεται στο Πρόβλη α 27. Αυτή η απόδειξη βασίζεται στο να δείξου ε πρώτα το όριο lim h!0 sin h h D 1; και στην «ταυτότητα της πρόσθεσης» sin.x C y/ D sin x cos y C cos x sin y: Τώρα που οι παράγωγοι των sin και cos είναι γνωστές, πορού ε να δείξου ε εύκολα και τις δύο ισότητες. Η πρώτη είναι απλώς η ειδική περίπτωση sin0 .0/ D cos 0. Η δεύτερη
- 297. 15. Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις283 στηρίζεται σε έναν ό ορφο χαρακτηρισ ό των συναρτήσεων sin και cos. Για να καταλή- ξου ε σε αυτό το αποτέλεσ α, χρειαζό αστε ένα λή α που η απόδειξή του απαιτεί ένα έξυπνο τέχνασ α· θα δώσου ε ια πιο ά εση απόδειξη στο 4ο Μέρος. ΛΗΜΜΑ Έστω ότι η f έχει παντού δεύτερη παράγωγο και f 00 C f D 0; f .0/ D 0; f 0 .0/ D 0: Τότε f D 0. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο έλη της πρώτης εξίσωσης ε f 0 παίρνου ε f 0 f 00 C ff 0 D 0: Άρα Œ.f 0 /2 C f 2 0 D 2.f 0 f 00 C ff 0 / D 0; επο ένως η .f 0 /2 C f 2 είναι σταθερή συνάρτηση. Από τις f .0/ D 0 και f 0 .0/ D 0 έπεται ότι η σταθερά είναι το 0· άρα Œf 0 .x/2 C Œf .x/2 D 0 για κάθε x. Αυτό ση αίνει ότι f .x/ D 0 για κάθε x. ΘΕΩΡΗΜΑ 4 Αν η f έχει παντού δεύτερη παράγωγο και f 00 C f D 0; f .0/ D a; f 0 .0/ D b; τότε f D b sin C a cos: (Ειδικότερα, αν f .0/ D 0 και f 0 .0/ D 1, τότε f D sin· αν f .0/ D 1 και f 0 .0/ D 0, τότε f D cos.) ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Θέτου ε g.x/ D f .x/ b sin x a cos x: Τότε g0 .x/ D f 0 .x/ b cos x C a sin x; g00 .x/ D f 00 .x/ C b sin x C a cos x: Επο ένως g00 C g D 0; g.0/ D 0; g0 .0/ D 0; πράγ α που δείχνει ότι 0 D g.x/ D f .x/ b sin x a cos x; για κάθε x.
- 298. 284 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα ΘΕΩΡΗΜΑ 5 Αν x και y είναι δύο αριθ οί, τότε sin.x C y/ D sin x cos y C cos x sin y; cos.x C y/ D cos x cos y sin x sin y: ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Για κάθε συγκεκρι ένο αριθ ό y, πορού ε να ορίσου ε ια συνάρτηση f έσω της f .x/ D sin.x C y/: Τότε f 0 .x/ D cos.x C y/ f 00 .x/ D sin.x C y/: Επο ένως, f 00 C f D 0; f .0/ D sin y; f 0 .0/ D cos y: Από το Θεώρη α 4 έπεται ότι f D .cos y/ sin C.sin y/ cos · δηλαδή, sin.x C y/ D cos y sin x C sin y cos x; για κάθε x: Αφού θα πορούσα ε να ξεκινήσου ε ε οποιοδήποτε y, έχει αποδειχθεί η πρώτη σχέση για όλα τα x και y. Η δεύτερη σχέση αποδεικνύεται ε τον ίδιο τρόπο. Ως επιστέγασ α αυτού του κεφαλαίου, και ως πρόλογο στο Κεφάλαιο 18, θα αναφέ- ρου ε ια εναλλακτική προσέγγιση στον ορισ ό της συνάρτησης sin. Αφού arcsin0 .x/ D 1 p 1 x2 για 1 x 1; από το ∆εύτερο Θε ελιώδες Θεώρη α του Απειροστικού Λογισ ού έπεται ότι arcsinx D arcsinx arcsin0 D Z x 0 1 p 1 t2 dt: Θα πορούσα ε να πάρου ε αυτήν την εξίσωση για ορισµό της arcsin. Ά εσα θα προέ- κυπτε ότι arcsin0 .x/ D 1 p 1 x2 · Τότε θα πορούσα ε να ορίσου ε τη συνάρτηση sin ως .arcsin/ 1 και ο τύπος για την παράγωγο αντίστροφης συνάρτησης θα έδειχνε ότι sin0 .x/ D p 1 sin2 x; το οποίο θα ορίζα ε ως cos x. Τελικά, θα πορούσε να δείξει κανείς ότι A.cos x/ D x=2, καταλήγοντας, στο τέλος της ανάπτυξης στον ορισ ό ε τον οποίο αρχίσα ε. Αν και ένα εγάλο έρος της παρουσίασης θα προχωρούσε πιο γρήγορα, ο ορισ ός θα έ ενε χωρίς αιτιολόγηση· πορεί ο συγγραφέας να είχε κατά νου τη λογική των ορισ ών, αλλά όχι και ο φοιτητής, στον οποίο θα απευθυνόταν! Παρ’ όλα αυτά, όπως θα δού ε στο Κεφάλαιο 18, ια τέτοια προσέγγιση είναι ερικές φορές πραγ ατικά πολύ λογική.
- 299. 15. Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις285 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Παραγωγίστε τις εξής συναρτήσεις. (i) f .x/ D arctan.arctan.arctan x//. (ii) f .x/ D arcsin.arctan.arccosx//. (iii) f .x/ D arctan.tan x arctan x/. (iv) f .x/ D arcsin 1 p 1 C x2 : 2. Υπολογίστε ε τον Κανόνα του l’Hˆopital τα εξής όρια: (i) lim x!0 sin x x C x3 =6 x3 . (ii) lim x!0 sin x x C x3 =6 x4 . (iii) lim x!0 cos x 1 C x2 =2 x2 . (iv) lim x!0 cos x 1 C x2 =2 x4 . (v) lim x!0 arctan x x C x3 =3 x3 . (vi) lim x!0 1 x 1 sin x . 3. Έστω f .x/ D 8 : sin x x ; x ¤ 0 1; x D 0: (α) Βρείτε την f 0 .0/. (β) Βρείτε την f 00 .0/. Σε αυτό το ση είο, είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα χρειαστεί να χρησι οποιήσετε τον Κανόνα του l’Hˆopital, αλλά στο Κεφάλαιο 24 θα πορού ε να βρού ε την f .k/ .0/ για κάθε k, χωρίς να κουραστού ε καθόλου. 4. Σχεδιάστε τις συναρτήσεις (α) f .x/ D sin 2x. (β) f .x/ D sin.x2 /. (Μπορού ε να πάρου ε ένα πολύ αξιοπρεπές σκίτσο αυτής της γραφικής παράστασης χρησι οποιώντας όνο τη γραφική παράσταση της sin. Για να πού ε την αλήθεια, η φαντασία είναι η όνη σας ελπίδα σε αυτό το πρόβλη α, γιατί το να προσδιορίσου ε το πρόση ο της παραγώγου f 0 .x/ D cos.x2 / 2x δεν είναι ευκολότερο από το να προσδιορίσου ε τη συ περιφορά της ίδιας της f . Ο τύπος της f 0 .x/, ό ως, υποδεικνύει ένα ση αντικό στοιχείο —f 0 .0/ D 0, που πρέπει να ισχύει αφού η f είναι άρτια, και θα πρέπει να είναι φανερό στη γραφική σας παράσταση.) (γ) f .x/ D sin x C sin 2x. (Ίσως σας βοηθήσει να σχεδιάσετε πρώτα τις γραφι- κές παραστάσεις των g.x/ D sin x και h.x/ D sin 2x προσεκτικά στο ίδιο σύστη α αξόνων, από το 0 έως το 2, και να αντέψετε ε τι θα οιάζει το άθροισ α. Μπορείτε εύκολα να βρείτε πόσα κρίσι α ση εία έχει η f στο Œ0; 2 εξετάζοντας την παράγωγο της f . Μπορείτε έπειτα να εξακριβώσετε τη φύση αυτών των κρίσι ων ση είων βρίσκοντας το πρόση ο της f σε κάθε ση είο· το σχέδιό σας πιθανότατα θα δίνει την απάντηση).
- 300. 286 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα (δ) f .x/ D tan x x. (Πρώτα εξετάστε τη συ περιφορά της f στο . =2; =2/· στα διαστή ατα .k =2; k C=2/ η γραφική παράσταση της f θα είναι ακριβώς η ίδια, όνο που θα έχει ετακινηθεί κατά τι. Γιατί;) (ε) f .x/ D sin x x. (Το υλικό του Παραρτή ατος του Κεφαλαίου 11 θα σας είναι ιδιαίτερα χρήσι ο για αυτήν τη συνάρτηση.) (στ) f .x/ D 8 : sin x x ; x ¤ 0 1; x D 0: (Από το έρος (δ) θα πρέπει να είστε σε θέση να εντοπίσετε τις ρίζες της f 0 κατά προσέγγιση. Παρατηρήστε ότι η f είναι άρτια και συνεχής στο 0· εξετάστε ακό α το έγεθος της f για εγάλα x.) (ζ) f .x/ D x sin x. 5. Η υπερβολική σπείρα είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ./ D a= σε πολικές συντεταγ ένες (Κεφάλαιο 4, Παράρτη α 3). Σχεδιάστε αυτήν την κα - πύλη, προσέχοντας ιδιαίτερα τη συ περιφορά της για κοντά στο 0. 6. Αποδείξτε τον τύπο της πρόσθεσης για την cos. 7. (α) Από τον τύπο της πρόσθεσης για τις sin και cos συνάγετε τύπους για τα: sin 2x, cos 2x, sin 3x και cos 3x. (β) Χρησι οποιήστε αυτούς τους τύπους για να βρείτε τις εξής τι ές των τρι- γωνο ετρικών συναρτήσεων (που συνήθως αποδεικνύονται ε γεω ετρικά επιχειρή ατα στη στοιχειώδη Τριγωνο ετρία): sin 4 D cos 4 D p 2 2 ; tan 4 D 1; sin 6 D 1 2 ; cos 6 D p 3 2 : 8. (α) ∆είξτε ότι το A sin.x C B/ γράφεται ως a sin x C b cos x για κατάλληλα a και b. (Ένα από τα θεωρή ατα αυτού του κεφαλαίου δίνει ια απόδειξη της ιας γρα ής. Θα έπρεπε επίσης να πορείτε να υπολογίσετε τα a και b.) (β) Αντίστροφα, για δοθέντα a και b, βρείτε αριθ ούς A και B, τέτοιους ώστε a sin x C b cos x D A sin.x C B/ για κάθε x. (γ) Χρησι οποιήστε το έρος (β) για να σχεδιάσετε την f .x/ D p 3 sin xCcos x. 9. (α) Αποδείξτε ότι tan.x C y/ D tan x C tan y 1 tan x tan y ε τον όρο ότι τα x, y και x C y δεν είναι της ορφής k C =2. (Χρησι ο- ποιήστε τους τύπους της πρόσθεσης για τις sin και cos.) (β) Αποδείξτε ότι arctanx C arctan y D arctan x C y 1 xy ; θέτοντας τους απαραίτητους περιορισ ούς για τα x και y. Υπόδειξη: Αντικα- ταστήστε το x ε arctan x και το y ε arctany στο έρος (α).
- 301. 15. Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις287 10. Αποδείξτε ότι arcsin˛ C arcsin ˇ D arcsin ˛ p 1 ˇ2 C ˇ p 1 ˛2 ; επιση αίνοντας τυχόν περιορισ ούς στα ˛ και ˇ. 11. Αποδείξτε ότι, αν m και n είναι τυχαίοι αριθ οί, τότε sin mx sin nx D 1 2 Œcos.m n/x cos.m C n/x; sin mx cos nx D 1 2 Œsin.m C n/x C sin.m n/x; cos mx cos nx D 1 2 Œcos.m C n/x C cos.m n/x: 12. Αποδείξτε ότι, αν m και n είναι φυσικοί αριθ οί, τότε Z sin mx sin nx dx D 0; m ¤ n ; m D n; Z cos mx cos nx dx D 0; m ¤ n ; m D n; Z sin mx cos nx dx D 0: Αυτές οι σχέσεις είναι πολύ ση αντικές στη θεωρία των σειρών Fourier. Αν και σε αυτό το θέ α θα δώσου ε προσοχή όνο στην Προτεινό ενη Βιβλιογραφία (βλ. την αναφορά [26]), το επό ενο πρόβλη α είναι ια ένδειξη για τη ση ασία τους. 13. (α) Αν η f είναι ολοκληρώσι η στο Œ ; , δείξτε ότι η ελάχιστη τι ή του Z .f .x/ a cos nx/2 dx συ βαίνει όταν a D 1 Z f .x/ cos nx dx; και η ελάχιστη τι ή του Z .f .x/ a sin nx/2 dx όταν a D 1 Z f .x/ sin nx dx: (Σε κάθε περίπτωση, φέρτε το a έξω από το σύ βολο της ολοκλήρωσης, παίρ- νοντας ια τετραγωνική παράσταση ως προς a.) (β) Ορίζου ε an D 1 Z f .x/ cos nx dx; n D 0; 1; 2; : : : ; bn D 1 Z f .x/ sin nx dx; n D 1; 2; 3; : : : : ∆είξτε ότι, αν ci και di είναι οποιοιδήποτε αριθ οί, τότε Z f .x/ c0 2 C NX nD1 cn cosnx C dn sin nx #!2 dx
- 302. 288 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα D Z Œf .x/2 dx 2 a0c0 2 C NX nD1 ancn C bndn ! C c0 2 2 C NX nD1 cn 2 C dn 2 ! D Z Œf .x/2 dx a0 2 2 C NX nD1 an 2 C bn 2 ! C c0 p 2 a0 p 2 2 C NX nD1 .cn an/2 C .dn bn/2 ! , δείχνοντας έτσι ότι το πρώτο ολοκλήρω α ελαχιστοποιείται όταν ai D ci και bi D di . Με άλλα λόγια, ανά εσα σε όλους τους «γρα ικούς συν- δυασ ούς», των συναρτήσεων sn.x/ D sin nx και cn.x/ D cos nx για 1 n N , η συγκεκρι ένη συνάρτηση g.x/ D a0 2 C NX nD1 an cos nx C bn sin nx είναι η πιο «κοντινή» στην f στο Œ ; . 14. (α) Βρείτε έναν τύπο για την sin x C sin y. (Ση ειώστε ότι αυτός δίνει έναν τύπο για το sin x sin y.) Υπόδειξη: Βρείτε πρώτα έναν τύπο για το sin.a C b/ C sin.a b/. Τί καλό έχει αυτό; (β) Βρείτε επίσης έναν τύπο για το cos x C cos y και το cos x cos y. 15. (α) Ξεκινώντας από τον τύπο για το cos 2x, αποδείξτε τύπους για τα sin2 x και cos2 x συναρτήσει του cos 2x. (β) Αποδείξτε ότι cos x 2 D r 1 C cos x 2 και sin x 2 D r 1 cos x 2 για 0 x =2. (γ) Χρησι οποιήστε το έρος (α) για να βρείτε τα Z b a sin2 x dx και Z b a cos2 x dx. (δ) Σχεδιάστε την f .x/ D sin2 x. 16. Βρείτε το sin.arctanx/ και το cos.arctanx/ ως παραστάσεις που δεν περιέχουν τριγωνο ετρικές συναρτήσεις. Υπόδειξη: η y D arctan x ση αίνει ότι x D tan y D sin y= cos y D sin y= q 1 sin2 y. 17. Αν x D tan u=2, εκφράστε τα sin u και cos u συναρτήσει του x. (Χρησι οποιήστε το Πρόβλη α 16· οι απαντήσεις θα πρέπει να είναι πολύ απλές παραστάσεις.) 18. (α) Αποδείξτε ότι sin.x C =2/ D cos x. (Ώς τώρα σχεδιάζα ε τις γραφικές παραστάσεις των sin και cos σαν να το είχα ε υπόψη ας.) (β) Με τί είναι ίσα το arcsin.cos x/ και το arccos.sin x/; 19. (α) Βρείτε το Z 1 0 1 1 C t2 dt. Υπόδειξη: Η απάντηση δεν είναι 45.
- 303. 15. Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις289 (β) Βρείτε το Z 1 0 1 1 C t2 dt. 20. Βρείτε το lim x!1 x sin 1 x . 21. (α) Ορίζου ε τις συναρτήσεις sinı και cosı ως sinı .x/ D sin.x=180/ και cosı .x/ D cos.x=180/. Βρείτε την .sinı /0 και την .cosı /0 συναρτήσει των ίδιων αυτών συναρτήσεων. (β) Βρείτε το lim x!0 sinı x x και το lim x!1 x sinı 1 x . 22. Αποδείξτε ότι κάθε ση είο του οναδιαίου κύκλου είναι της ορφής .cos ; sin / για τουλάχιστον έναν (και επο ένως για άπειρους) αριθ ούς . 23. (α) Αποδείξτε ότι ο είναι το έγιστο δυνατό ήκος ενός διαστή ατος στο οποίο η sin να είναι 1-1, και ότι ένα τέτοιο διάστη α πρέπει να είναι της ορφής Œ2k =2; 2k C =2 ή Œ2k C =2; 2.k C 1/ =2. (β) Θέτου ε g.x/ D sin x για x στο .2k =2; 2k C =2/. Ποια είναι η .g 1 /0 ; 24. Έστω f .x/ D sec x για 0 x . Βρείτε το πεδίο ορισ ού της f 1 και σχεδιά- στε τη γραφική της παράσταση. 25. Αποδείξτε ότι j sin x sin yj jx yj για οποιουσδήποτε αριθ ούς x ¤ y. Υπό- δειξη: Ο ίδιος ισχυρισ ός, αν αντικαταστήσου ε το ε , είναι ά εση συνέπεια ενός πολύ γνωστού θεωρή ατος· ε κάποιους απλούς συ πληρω ατικούς συλλο- γισ ούς πορείτε έπειτα να βελτιώσετε το σε . 26. Είναι ια καλή δοκι ή για τη διαίσθησή σας να προβλέψετε την τι ή του lim !1 Z b a f .x/ sin x dx: Οι συνεχείς συναρτήσεις είναι ίσως πιο προσιτές στη διαίσθηση, αλλά αν σας έρθει η σωστή ιδέα της απόδειξης, πορείτε εύκολα να υπολογίσετε το όριο για κάθε ολοκληρώσι η f . (α) ∆είξτε ότι lim !1 R d c sin x dx D 0, υπολογίζοντας ακριβώς το ολοκλήρω α. (β) ∆είξτε ότι, αν s είναι ια κλι ακωτή συνάρτηση στο Œa; b ( ε την ορολογία του Προβλή ατος 13-26), τότε lim !1 R b a s.x/ sin x dx D 0. (γ) Τέλος, χρησι οποιήστε το Πρόβλη α 13-26 για να δείξετε ότι lim !1 R b a f .x/ sin x dx D 0 για κάθε συνάρτηση f που είναι ολοκλη- ρώσι η στο Œa; b. Αυτό το αποτέλεσ α, όπως και το Πρόβλη α 12, παίζει ση αντικό ρόλο στη θεωρία των σειρών Fourier· είναι γνωστό ως Λή α Riemann-Lebesgue. 27. Αυτό το πρόβλη α περιγράφει την κλασική θεωρία σχετικά ε τις τριγωνο ετρικές συναρτήσεις. Ο σκιασ ένος κυκλικός το έας στο Σχή α 24 έχει ε βαδόν x=2. (α) Θεωρώντας τα τρίγωνα OAB και OCB αποδείξτε ότι, αν 0 x =4, τότε Σ Χ Η Μ Α 2 4 sin x 2 x 2 sin x 2 cosx :
- 304. 290 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα (β) Συ περάνετε ότι cos x sin x x 1; και αποδείξτε ότι lim x!0 sin x x D 1: (γ) Χρησι οποιήστε αυτό το όριο για να βρείτε το lim x!0 1 cos x x : (δ) Χρησι οποιώντας τα έρη (β) και (γ), και τον τύπο της πρόσθεσης για τη sin, βρείτε τη sin0 .x/, αρχίζοντας από τον ορισ ό της παραγώγου. 28. Αυτό το πρόβλη α δίνει ια αντι ετώπιση των τριγωνο ετρικών συναρτήσεων ε χρήση της έννοιας του ήκους και του Προβλή ατος 13-25. Έστω f .x/ Dp 1 x2 για 1 x 1. Ορίζου ε L .x/ το ήκος της f στο Œx; 1. (α) ∆είξτε ότι L .x/ D Z 1 x 1 p 1 t2 dt: (Πρόκειται για γενικευ ένο ολοκλήρω α, όπως το ορίσα ε στο Πρό- βλη α 14-28, επο ένως πρέπει πρώτα να αποδείξετε τον αντίστοιχο ισχυρι- σ ό για το ήκος στο Œx; 1 και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι L .x/ είναι το όριο αυτών των ηκών καθώς ! 0C .) (β) ∆είξτε ότι L 0 .x/ D 1 p 1 x2 για 1 x 1. (γ) Ορίζου ε ως το L . 1/. Για 0 x , ορίζου ε το cos x από την L .cos x/ D x, και ορίζου ε sin x D p 1 cos2 x. Αποδείξτε ότι cos0 .x/ D sin x και sin0 .x/ D cos x για 0 x . 29. Μέχρι τώρα αναφέρα ε ε συντο ία στο κεί ενο και ια άλλη ανάπτυξη των τρι- γωνο ετρικών συναρτήσεων —ξεκινώντας ε τις αντίστροφες συναρτήσεις, ορι- σ ένες από ολοκληρώ ατα. Είναι πιο εύκολο να αρχίσου ε ε την arctan, γιατί αυτή η συνάρτηση ορίζεται για κάθε x. Για να λύσετε αυτό το πρόβλη α, υποκρι- θείτε ότι δεν έχετε ακούσει ποτέ για τις τριγωνο ετρικές συναρτήσεις. (α) Έστω ˛.x/ D R x 0 .1Ct2 / 1 dt. Αποδείξτε ότι η ˛ είναι περιττή και αύξουσα, και ότι το lim x!1 ˛.x/ και το lim x! 1 ˛.x/ υπάρχουν και τα δύο, και είναι αντί- θετα. Αν ορίσου ε D 2 lim x!1 ˛.x/, τότε η ˛ 1 ορίζεται στο . =2; =2/. (β) ∆είξτε ότι .˛ 1 /0 .x/ D 1 C Œ˛ 1 .x/2 . (γ) Για =2 x =2, ορίζου ε tan x D ˛ 1 .x/. Κατόπιν ορίζου ε sin x D tan x= p 1 C tan2 x. Αποδείξτε ότι (i) lim x!=2 sin x D 1 (ii) lim x! =2C sin x D 1 (iii) sin0 .x/ D 8 : sin x tan x ; =2 x =2 και x ¤ 0 1; x D 0 (iv) sin00 .x/ D sin x για =2 x 2.
- 305. 15. Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις291 30. Αν έχου ε τη διάθεση να δεχθού ε ότι κάποιες διαφορικές εξισώσεις έχουν λύση, τότε και άλλη ία προσέγγιση των τριγωνο ετρικών συναρτήσεων είναι δυνατή. Υποθέστε, συγκεκρι ένα, ότι υπάρχει κάποια συνάρτηση y0 που δεν είναι παντού 0 και η οποία ικανοποιεί την y0 00 C y0 D 0. (α) Αποδείξτε ότι η y0 2 C .y0 0 /2 είναι σταθερή, και συ περάνετε ότι y0.0/ ¤ 0 ή y0 0 .0/ ¤ 0. (β) Αποδείξτε ότι υπάρχει ια συνάρτηση s που ικανοποιεί την s00 C s D 0 ε s.0/ D 0 και s0 .0/ D 1. Υπόδειξη: ∆οκι άστε s της ορφής ay0 C by0 0 . Αν ορίσου ε sin D s και cos D s0 , τότε σχεδόν όλα όσα ξέρου ε για τις τριγωνο ετρικές συναρτήσεις γίνονται τετρι ένα. Υπάρχει ό ως ένα ση είο που απαιτεί κόπο —να παραγάγου ε τον αριθ ό . Αυτό γίνεται πιο εύκολα, αν χρησι οποιήσου ε ια άσκηση από το Παράρτη α του Κεφαλαίου 11: (γ) Χρησι οποιήστε το Πρόβλη α 6 του Παραρτή ατος του Κεφαλαίου 11 για να αποδείξετε ότι το cos x δεν πορεί να είναι θετικό για κάθε x 0. Έπεται ότι υπάρχει ένα ελάχιστο x0 0 ε cos x0 D 0, και πορού ε να ορίσου ε D 2x0. (δ) Αποδείξτε ότι sin =2 D 1. (Αφού sin2 C cos2 D 1, έχου ε sin =2 D ˙1· το πρόβλη α είναι να αποφασίσετε γιατί το sin =2 είναι θετικό.) (ε) Βρείτε τα cos , sin , cos 2 και sin 2. (Φυσικά, πορείτε να χρησι οποι- ήσετε οποιονδήποτε τύπο για την πρόσθεση, αφού οι αποδείξεις τους βασί- ζονται στους τύπους sin0 D cos και cos0 D sin.) (στ) Αποδείξτε ότι η cos και η sin είναι περιοδικές ε περίοδο 2. 31. (α) Μετά από όλη την εργασία που κάνα ε για να ορίσου ε τη sin, θα ήταν εξορ- γιστικό να ανακαλύψου ε ότι η sin είναι τελικά ρητή συνάρτηση. Αποδείξτε ότι δεν είναι. (Υπάρχει ια απλή ιδιότητα της sin που δεν πορεί να την έχει ια ρητή συνάρτηση.) (β) Αποδείξτε ότι η sin δεν ορίζεται ούτε καν πεπλεγ ένα από ια αλγεβρική εξί- σωση· δηλαδή, δεν υπάρχουν ρητές συναρτήσεις f0; : : : ; fn 1 τέτοιες ώστε .sin x/n C fn 1.x/.sin x/n 1 C C f0.x/ D 0 για κάθε x. Υπόδειξη: Αποδείξτε ότι f0 D 0, άρα η sin x πορεί να βγει ως κοινός παρά- γοντας. Ο παράγοντας που απο ένει είναι 0, εκτός ίσως από τα πολλαπλάσια του . Αλλά αυτό ση αίνει ότι είναι 0 για κάθε x. (Γιατί;) Είστε τώρα έτοι οι για ια απόδειξη ε επαγωγή. 32. Έστω ότι οι 1 και 2 ικανοποιούν τις 1 00 C g11 D 0; 2 00 C g22 D 0; και ότι g2 g1. (α) ∆είξτε ότι 1 00 2 2 00 1 .g2 g1/12 D 0: (β) ∆είξτε ότι αν 1.x/ 0 και 2.x/ 0 για κάθε x στο .a; b/, τότε Z b a Œ1 00 2 2 00 1 0; και συ περάνετε ότι Œ1 0 .b/2.b/ 1 0 .a/2.a/ Œ1.b/2 0 .b/ 1.a/2 0 .a/ 0:
- 306. 292 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα (γ) ∆είξτε ότι σε αυτήν την περίπτωση δεν πορού ε να έχου ε 1.a/ D 1.b/ D 0. Υπόδειξη: Εξετάστε το πρόση ο των 1 0 .a/ και 1 0 .b/. (δ) ∆είξτε ότι οι ισότητες 1.a/ D 1.b/ D 0 είναι επίσης αδύνατες αν 1 0, 2 0 ή 1 0, 2 0 ή 1 0, 2 0 στο .a; b/. (Θα έπρεπε να πορείτε να το κάνετε σχεδόν χωρίς επιπλέον δουλειά.) Το τελικό συ πέρασ α αυτού του προβλή ατος διατυπώνεται ως εξής: αν a και b είναι διαδοχικές ρίζες της 1, τότε η 2 πρέπει να έχει ια ρίζα κάπου ανά εσα στο a και στο b. Αυτό το αποτέλεσ α, σε ια ελαφρώς γενικότερη ορφή, είναι γνωστό ως Θεώρη α Σύγκρισης του Sturm. Ως συγκεκρι ένο παράδειγ α, κάθε λύση της διαφορικής εξίσωσης y00 C .x C 1/y D 0 πρέπει να έχει τουλάχιστον ια ρίζα σε οποιοδήποτε διάστη α .n; .nC1//. 33. (α) Χρησι οποιώντας τον τύπο για το sin x sin y του Προβλή ατος 14, δείξτε ότι sin.k C 1 2 /x sin.k 1 2 /x D 2 sin x 2 cos kx: (β) Συ περάνετε ότι 1 2 C cos x C cos 2x C C cos nx D sin.n C 1 2 /x 2 sin x 2 : Όπως ε δύο άλλα αποτελέσ ατα σε αυτήν τη συλλογή των προβλη άτων, η πιο πάνω εξίσωση είναι πολύ ση αντική στη ελέτη των σειρών Fourier και τη χρησι οποιού ε επίσης στα Προβλή ατα 19-43 και 23-22. (γ) Ο οίως, αποδείξτε τον τύπο sin x C sin 2x C C sin nx D sin n C 1 2 x sin n 2 x sin x 2 : (Ένας πιο φυσικός τρόπος να εξαγάγου ε αυτούς τους τύπους θα ε φανιστεί στο Πρόβλη α 27-14). (δ) Χρησι οποιήστε τα έρη (β) και (γ) για να βρείτε τα R b 0 sin x dx και R b 0 cos x dx απευθείας από τον ορισ ό του ολοκληρώ ατος.
- 307. *ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 Οπ ΕΙΝΑΙ ΑΡΡΗΤΟΣ Αυτό το ικρό κεφάλαιο, που αποκλίνει από τον κύριο κορ ό του βιβλίου, συ περιλα - βάνεται για να αποδείξει ότι εί αστε ήδη σε θέση να επιχειρήσου ε κάποια αθη ατικά επινοή ατα. Ολόκληρο το κεφάλαιο είναι αφιερω ένο σε ια στοιχειώδη απόδειξη του ότι ο είναι άρρητος. Όπως και σε πολλές άλλες «στοιχειώδεις» αποδείξεις θεωρη ά- των ε εγάλο βάθος, ο τρόπος σκέψης που οδήγησε στα βή ατα της απόδειξής ας δεν πορεί να αιτιολογηθεί· παρ’ όλα αυτά, πορεί κανείς, πιθανότατα, να παρακολουθήσει την απόδειξη βή α προς βή α. Πρέπει να διατυπώσου ε δύο παρατηρήσεις πριν από την απόδειξη. Η πρώτη αφορά στη συνάρτηση fn.x/ D xn .1 x/n nŠ ; η οποία προφανώς ικανοποιεί την 0 fn.x/ 1 nŠ για 0 x 1: Μια σπουδαία ιδιότητα της συνάρτησης fn αποκαλύπτεται αν εξετάσου ε την παράσταση που παίρνου ε εκτελώντας τον πολλαπλασιασ ό xn .1 x/n . Η ικρότερη δύνα η του x που θα ε φανιστεί είναι n, και η εγαλύτερη δύνα η είναι η 2n. Άρα η fn πορεί να γραφεί στη ορφή fn.x/ D 1 nŠ 2nX iDn ci xi ; όπου οι αριθ οί ci είναι ακέραιοι. Είναι φανερό από αυτήν την παράσταση ότι fn .k/ .0/ D 0 αν k n ή k 2n: Ακό α, fn .n/ .x/ D 1 nŠ ŒnŠ cn C όροι που περιέχουν το x fn .nC1/ .x/ D 1 nŠ Œ.n C 1/Š cnC1 C όροι που περιέχουν το x : : : fn .2n/ .x/ D 1 nŠ Œ.2n/Š c2n: Αυτό ση αίνει ότι fn .n/ .0/ D cn; fn .nC1/ .0/ D .n C 1/cnC1 : : : fn .2n/ .0/ D .2n/.2n 1/ : : : .n C 1/c2n; 293
- 308. 294 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα όπου οι αριθ οί στα δεξιά είναι όλοι ακέραιοι. Άρα ο fn .k/ .0/ είναι ακέραιος για κάθε k. Από τη σχέση fn.x/ D fn.1 x/ έπεται ότι fn .k/ .x/ D . 1/k fn .k/ .1 x/· επο ένως ο fn .k/ .1/ είναι επίσης ακέραιος για κάθε k. Η απόδειξη ότι ο είναι άρρητος απαιτεί ια ακό α παρατήρηση: αν a είναι οποιοσ- δήποτε αριθ ός και αν 0, τότε για αρκετά εγάλο n, θα έχου ε an nŠ : Για να το αποδείξου ε αυτό, παρατηρού ε ότι, αν n 2a, τότε anC1 .n C 1/Š D a n C 1 an nŠ 1 2 an nŠ : Ας θέσου ε τώρα n0 κάποιον φυσικό αριθ ό ε n0 2a. Τότε, οποιαδήποτε τι ή και αν έχει το an0 .n0/Š οι επό ενες τι ές ικανοποιούν τις a.n0C1/ .n0 C 1/Š 1 2 an0 .n0/Š a.n0C2/ .n0 C 2/Š 1 2 a.n0C1/ .n0 C 1/Š 1 2 1 2 an0 .n0/Š : : : a.n0Ck/ .n0 C k/Š 1 2k an0 .n0/Š : Αν το k είναι αρκετά εγάλο ώστε an0 .n0/Š 2k , τότε a.n0Ck/ .n0 C k/Š ; που είναι το συ πέρασ α που θέλα ε. Έχοντας κάνει αυτές τις παρατηρήσεις, εί αστε έτοι οι για το οναδικό θεώρη α αυτού του κεφαλαίου. ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Ο αριθ ός είναι άρρητος· ακό α καλύτερα, ο 2 είναι άρρητος. (Παρατηρήστε ότι, αν ο 2 είναι άρρητος, έπεται ότι και ο είναι άρρητος, γιατί αν ο ήταν ρητός, τότε βέβαια θα ήταν και ο 2 .)
- 309. 16. Ο είναι άρρητος 295 ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Έστω ότι ο 2 είναι ρητός, οπότε 2 D a b για κάποιους θετικούς ακεραίους a και b. Θέτου ε .1/ G.x/ D bn Œ2n fn.x/ 2n 2 fn 00 .x/ C 2n 4 fn .4/ .x/ C . 1/n fn .2n/ .x/: Παρατηρού ε ότι καθένας από τους συντελεστές bn 2n 2k D bn .2 /n k D bn a b n k D an k bk είναι ακέραιος. Αφού οι fn .k/ .0/ και fn .k/ .1/ είναι ακέραιοι, αυτό αποδεικνύει ότι οι G.0/ και G.1/ είναι ακέραιοι. Παραγωγίζοντας την G δύο φορές, παίρνου ε (2) G00 .x/ D bn Œ2n fn 00 .x/ 2n 2 fn .4/ .x/ C C . 1/n fn .2nC2/ .x/: Ο τελευταίος όρος, . 1/n fn .2nC2/ .x/, είναι ίσος ε ηδέν. Οπότε, προσθέτοντας τις (1) και (2) έχου ε (3) G00 .x/ C 2 G.x/ D bn 2nC2 fn.x/ D 2 an fn.x/: Τώρα θέτου ε H.x/ D G0 .x/ sin x G.x/ cos x: Τότε H0 .x/ D G0 .x/ cos x C G00 .x/ sin x G0 .x/ cos x C 2 G.x/ sin x D ŒG00 .x/ C 2 G.x/ sin x D 2 an fn.x/ sin x; από την (3). Από το ∆εύτερο Θε ελιώδες Θεώρη α του Απειροστικού Λογισ ού, 2 Z 1 0 an fn.x/ sin x dx D H.1/ H.0/ D G0 .1/ sin G.1/ cos G0 .0/ sin 0 C G.0/ cos 0 D ŒG.1/ C G.0/: Άρα ο Z 1 0 an fn.x/ sin x dx είναι ακέραιος. Από την άλλη πλευρά, 0 fn.x/ 1=nŠ για 0 x 1, άρα 0 an fn.x/ sin x an nŠ για 0 x 1: Συνεπώς, 0 Z 1 0 an fn.x/ sin x dx an nŠ : Αυτός ο συλλογισ ός ήταν τελείως ανεξάρτητος από την τι ή του n. Αν τώρα ο n είναι αρκετά εγάλος, τότε 0 Z 1 0 an fn.x/ sin x dx an nŠ 1:
- 310. 296 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα Αλλά αυτό είναι άτοπο, γιατί το ολοκλήρω α είναι ακέραιος, και δεν υπάρχει ακέραιος εταξύ του 0 και του 1. Άρα η αρχική ας υπόθεση πρέπει να είναι λανθασ ένη: ο 2 είναι άρρητος. Παραδεχό αστε ότι αυτή η απόδειξη είναι υστηριώδης· πιο υστηριώδες ίσως απ’ όλα είναι ο τρόπος ε τον οποίο το παίνει στην απόδειξη — οιάζει σχεδόν σαν να αποδείξα ε ότι ο είναι άρρητος χωρίς να έχου ε ποτέ αναφέρει έναν ορισ ό του . Αν ξανακοιτάξου ε προσεκτικά την απόδειξη, θα δού ε ότι ακριβώς ια ιδιότητα του είναι απαραίτητη: sin./ D 0: Η απόδειξη, πράγ ατι, βασίζεται στις ιδιότητες της συνάρτησης sin, και αποδεικνύει ότι ο ελάχιστος θετικός αριθ ός x για τον οποίο sin x D 0 είναι άρρητος. Στην πραγ ατικό- τητα, πολύ λίγες ιδιότητες της sin χρειάζονται, και συγκεκρι ένα: sin0 D cos; cos0 D sin; sin.0/ D 0; cos.0/ D 1: Ακό η και αυτός ο κατάλογος πορεί να συντο ευθεί· σε σχέση ε την απόδειξη η cos πορεί κάλλιστα να ορισθεί ως sin0 . Τότε οι ιδιότητες της sin που απαιτούνται στην απόδειξη είναι οι sin00 C sin D 0; sin.0/ D 0; sin0 .0/ D 1: Αυτό βέβαια δεν ας εκπλήσσει καθόλου, αφού, όπως είδα ε στο προηγού ενο κεφάλαιο, αυτές οι ιδιότητες χαρακτηρίζουν πλήρως τη συνάρτηση sin. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. (α) ∆είξτε ότι για τα ε βαδά των τριγώνων OAB και OAC στο Σχή α 1 ε †AOB =4, έχου ε ε βαδόνOAC D 1 2 s 1 p 1 16.ε βαδόνOAB/2 2 : Υπόδειξη: Λύστε τις εξισώσεις xy D 2.ε βαδόνOAB/, x2 C y2 D 1, ως προς y. (β) Έστω Pm το κανονικό πολύγωνο m πλευρών που εγγράφεται στον οναδιαίο κύκλο. Αν Am είναι το ε βαδόν του Pm, δείξτε ότι A2m D m 2 q 2 2 p 1 .2Am=m/2: Αυτό το αποτέλεσ α ας επιτρέπει να παίρνου ε (όλο και πιο πολύπλοκους) τύπους για το A2n , ξεκινώντας ε A4 D 2, και ετά να υπολογίσου ε το ε όση ακρίβεια θέλου ε (σύ φωνα ε το Πρόβλη α 8-11). Αν και θα Σ Χ Η Μ Α 1 ε φανιστούν καλύτερες έθοδοι στο Κεφάλαιο 20, ια ελαφρά παραλλαγή αυτής της προσέγγισης δίνει ια πολύ ενδιαφέρουσα παράσταση για το : 2. (α) Λα βάνοντας υπόψη ότι ε βαδόν.OAB/ ε βαδόν.OAC/ D OB;
- 311. 16. Ο είναι άρρητος 297 δείξτε ότι, αν ˛m είναι η απόσταση του O από ια πλευρά του Pm, τότε Am A2m D ˛m: (β) ∆είξτε ότι 2 A2k D ˛4 ˛8 : : : ˛2k 1 : (γ) Λα βάνοντας υπόψη ότι ˛m D cos m ; και τον τύπο cos x=2 D r 1 C cos x 2 (Πρόβλη α 15-15), αποδείξτε ότι ˛4 D r 1 2 ˛8 D s 1 2 C 1 2 r 1 2 ; ˛16 D v u u t1 2 C 1 2 s 1 2 C 1 2 r 1 2 ; κτλ. Μαζί ε το έρος (β), αυτό δείχνει ότι ο 2= γράφεται ως ένα «άπειρο γινό- ενο» 2 D r 1 2 s 1 2 C 1 2 r 1 2 v u u t1 2 C 1 2 s 1 2 C 1 2 r 1 2 : : : : Για να ακριβολογού ε, αυτή η ισότητα ση αίνει ότι το γινό ενο των πρώτων n παραγόντων πορεί να είναι όσο κοντά θέλου ε στον 2=, αν διαλέξου ε n αρκετά εγάλο. Το συγκεκρι ένο γινό ενο ανακαλύφθηκε από τον Franc¸ois Vi`ete το 1579, και είναι όνο ία από τις πολλές γοητευτικές εκφράσεις για το , ερικές από τις οποίες θα αναφέρου ε αργότερα.
- 312. *ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΚΙΝΗΣΕΙΣΤΩΝ ΠΛΑΝΗΤΩΝ Η Φύση και οι Νό οι της Φύσης ήταν κρυ ένοι έσα στη νύχτα και είπεν ο Θεός «Γεννηθήτω Newton», και εγένετο φως. Alexander Pope Σε αντίθεση ε το Κεφάλαιο 16, ένα σύντο ο κεφάλαιο που παρέκκλινε από τη βασι- κή κατεύθυνση του βιβλίου, αυτό το ακροσκελές κεφάλαιο παρεκκλίνει από τη βασική κατεύθυνση του βιβλίου για να αποδείξει ότι εί αστε ήδη σε θέση να ασχοληθού ε ε ένα πραγ ατικό πρόβλη α Φυσικής. Το 1609 ο Kepler δη οσίευσε τους δύο πρώτους τους νό ους για την κίνηση των πλανητών. Ο πρώτος νό ος περιγράφει το σχή α των πλανητικών τροχιών: Οι πλανήτες κινούνται σε ελλείψεις, στη µια εστία των οποίων βρίσκεται ο ήλιος. Ο δεύτερος νό ος αφορά στο ε βαδόν που διαγράφει το ευθύγρα ο τ ή α που ενώ- νει τον ήλιο ε κάθε πλανήτη (η «επιβατική ακτίνα του πλανήτη ως προς τον ήλιο») σε διάφορα χρονικά διαστή ατα (Σχή α 1). Η επιβατική ακτίνα διαγράφει ίσα εµβαδά σε ίσα χρονικά διαστήµατα. (Ισοδύ- ναµα, το εµβαδόν που διαγράφεται σε χρόνο t είναι ανάλογο του t.) Ο τρίτος νό ος του Kepler, που δη οσιεύτηκε το 1619, συσχετίζει τις κινήσεις διαφορε- Σ Χ Η Μ Α 1 τικών πλανητών. Αν a είναι ο εγάλος άξονας της ελλειπτικής τροχιάς ενός πλανήτη και T η περίοδός του, ο χρόνος δηλαδή που χρειάζεται ο πλανήτης για να επιστρέψει σε ια δοθείσα θέση, τότε: Ο λόγος a3 =T 2 είναι ο ίδιος για όλους τους πλανήτες. Το εγάλο κατόρθω α του Newton ήταν πως έδειξε (χρησι οποιώντας τον γενικό νό ο ότι η δύνα η που ασκείται σε ένα σώ α ισούται ε τη άζα επί την επιτάχυνσή του) ότι ο νό ος του Kepler προκύπτει από την υπόθεση ότι οι πλανήτες συγκρατούνται από τον ήλιο έσω ιας δύνα ης (της βαρυτικής δύνα ης του ήλιου) που έχει πάντα φορά προς τον ήλιο, είναι ανάλογη της άζας του πλανήτη, και ικανοποιεί έναν νό ο αντιστρόφου τετραγώνου· δηλαδή από ια δύνα η που κατευθύνεται προς τον ήλιο, της οποίας το έγεθος εταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα ε το τετράγωνο της απόστασης του ήλιου από τον πλανήτη και ευθέως ανάλογα ε τη άζα του πλανήτη. Αφού η δύνα η ισούται ε τη άζα επί την επιτάχυνση, ισοδύνα α, πορού ε απλώς να πού ε ότι το έγεθος της επιτάχυνσης είναι ια σταθερά διαιρε ένη ε το τετράγωνο της απόστασης από τον ήλιο. Η ανάλυση του Newton οδήγησε σε τρία αποτελέσ ατα που σχετίζονται ά εσα ε τους νό ουςτου Kepler. Το πρώτο αποτέλεσ α του Newton αφορά στον δεύτερο νό ο του Kepler (ο οποίος στην πραγ ατικότητα ανακαλύφθηκε πρώτος, διατηρώντας ε ό ορφο τρόπο τη συ ετρικότητα της κατάστασης): Ο δεύτερος νόµος του Kepler ισχύει ακριβώς για «κεντρικές δυνάµεις», δηλα- δή, αν και µόνο αν η δύναµη µεταξύ του ήλιου και του πλανήτη έχει πάντα τη διεύθυνση της ευθείας που ενώνει τον ήλιο µε τον πλανήτη. Παρ’ ότι ο Newton τι άται ως ο επινοητής του Απειροστικού Λογισ ού, και πράγ ατι ανακάλυψετον Απειροστικό Λογισ ό για να αντι ετωπίσει τέτοιου είδους προβλή ατα, ο 298
- 313. 17. Κινήσεις τωνπλανητών 299 τρόπος ε τον οποίο εξήγαγε τα αποτελέσ ατα δεν φαίνεται να χρησι οποιεί καθόλου τον Απειροστικό Λογισ ό. Αντί να θεωρήσει ια δύνα η που εταβάλλεται διαρκώς ενόσω κινείται ο πλανήτης, ο Newton θεωρεί πρώτα ίσα ικρά χρονικά διαστή ατα και υποθέτει ότι ια στιγ ιαία δύνα η ασκείται στο τελικό άκρο καθενός από αυτά τα διαστή ατα. Για να γίνου ε πιο συγκεκρι ένοι, ας φανταστού ε ότι κατά τη διάρκεια του πρώτου χρονικού διαστή ατος ο πλανήτης κινείται κατά ήκος της ευθείας P1P2, ε ο οιό ορφη ταχύτητα (Σχή α 2(α)). Αν, κατά τη διάρκεια του επό ενου ίσου χρονικού διαστή ατος, ο πλανήτης συνέχιζε να κινείται κατά ήκος αυτής της ευθείας, θα κατέληγε στο P3, όπου το ήκος του P1P2 είναι ίσο ε το ήκος του P2P3. Αυτό θα σή αινε ότι το τρίγωνο SP1P2 έχει το ίδιο ε βαδόν ε το τρίγωνο SP2P3 (αφού έχουν ίσες βάσεις και ίσα ύψη) —αυτό λέει απλώς ότι ο νό ος του Kepler ισχύει στην ειδική περίπτωση που η δύνα η είναι 0. Ας υποθέσου ετώρα (Σχή α 2(β)) ότι τη στιγ ή που ο πλανήτης φτάνει στο P2 ασκεί- ται σε αυτόν ια δύνα η κατά τη διεύθυνση της ευθείας από το S στο P2, η οποία από όνη της θα είχε ως αποτέλεσ α να κινηθεί ο πλανήτης προς το ση είο Q. Συνδυαζό ενη ε την κίνηση που ήδη έχει ο πλανήτης, θα έχει ως αποτέλεσ α ο πλανήτης να κινηθεί προς το R, την κορυφή που βρίσκεται απέναντι από την P2 στο παραλληλόγρα ο ε πλευρές τις P2P3 και P2Q. Επο ένως, το ε βαδόν που διαγράφεται κατά το δεύτερο χρονικό διάστη α είναι στην πραγ ατικότητα το τρίγωνο SP2R. Το ε βαδόν ό ως του τριγώνου SP2R ισούται ε το ε βαδόν του τριγώνου SP3P2, αφού έχουν την ίδια βάση SP2 και τα ίδια ύψη (αφού η RP3 είναι παράλληλη στην SP2). Άρα, τελικά, το ε βαδόν του τριγώνου SP2R είναι το ίδιο ε το ε βαδόν του αρχικού τριγώνου SP1P2 ! Αντίστροφα, αν το τρίγωνο SRP2 έχει το ίδιο ε βαδόν ε το SP1P2, και άρα το ίδιο ε βαδόν ε το SP3P2, τότε η RP3 πρέπει να είναι παράλληλη στην SP2, που ση αίνει ότι το Q πρέπει να βρίσκεται πάνω στην (α) (β) Σ Χ Η Μ Α 2 SP2. Φυσικά, δεν πρόκειται για το είδος του συλλογισ ού που θα περί ενε κανείς να βρει σε ένα σύγχρονο βιβλίο, αλλά ε τον ιδιαίτερο γοητευτικό του τρόπο δείχνει από φυσικής πλευράς γιατί το αποτέλεσ α πρέπει να αληθεύει. Για να αναλύσου ε την κίνηση των πλανητών θα χρησι οποιήσου ε την ύλη του Παραρτή ατος του Κεφαλαίου 12, και την «ορίζουσα» det που ορίστηκε στο Πρόβλη α 4 του Παραρτή ατος 1 του Κεφαλαίου 4. Περιγράφου ε την κίνηση ενός πλανήτη ε την παρα ετρική κα πύλη c.t/ D r.t/.cos .t/; sin .t//; έτσι ώστε η r να δίνει πάντα το ήκος του ευθυγρά ου τ ή ατος από τον ήλιο ώς τον πλανήτη, και η τη γωνία, την οποία θα θεωρήσου ε αύξουσα (η περίπτωση φθίνουσας προκύπτει τότε εύκολα). Αυτό είναι βολικό να το γράψου ε ως (1) c.t/ D r.t/ e..t//; όπου e.t/ D .cos t; sin t/ είναι απλώς η παρα ετρική κα πύλη που διαγράφει τον οναδιαίο κύκλο. Παρατηρού ε ότι το e0 .t/ D . sin t; cos t/ είναι επίσης ένα διάνυσ α οναδιαίου ήκος, αλλά κάθετο στο e.t/, και ότι επίσης έχου ε (2) det e.t/; e0 .t/ D 1: Αν παραγωγίσου ε την (1), χρησι οποιώντας τους τύπους της σελίδας 222, λα βά- νου ε (3) c0 .t/ D r0 .t/ e..t// C r.t/0 .t/ e0 ..t//;
- 314. 300 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα και σε συνδυασ ό ε την (1), αζί ε τους τύπους του Προβλή ατος 6 του Παραρτή α- τος 1 του Κεφαλαίου 4, λα βάνου ε det c.t/; c0 .t/ D r.t/r0 .t/ det e..t//; e..t// C r.t/2 0 .t/ det e..t//; e0 ..t// D r.t/2 0 .t/ det e..t//; e0 ..t// ; αφού η det.v; v/ είναι πάντα 0. Χρησι οποιώντας την (2) λα βάνου ε στη συνέχεια (4) det.c; c0 / D r2 0 : Όπως θα δού ε, το r2 0 έχει τελικά ια άλλη ση αντική ερ ηνεία. Σ Χ Η Μ Α 3 Έστω ότι A.t/ είναι το ε βαδόν που διαγράφεται από τη χρονική στιγ ή 0 έως την t (Σχή α 3). Θέλου ε να βρού ε έναν τύπο για την A0 .t/, και, κατά τη λογική του Newton, θα ξεκινήσου ε κάνοντας ια βάσι η υπόθεση. Το Σχή α 4 δείχνει το A.t C h/ A.t/, αζί ε ένα ευθύγρα ο τ ή α ανά εσα στο c.t/ και το c.t C h/. Είναι εύκολο να γράψου ε έναν τύπο για το ε βαδόν του τριγώνου .h/ ε κορυφές O, c.t/ και c.t Ch/: σύ φωνα ε τα Προβλή ατα 4 και 5 του Παραρτή ατος 1 του Κεφαλαίου 4, το ε βαδόν είναι ε βαδόν..h// D 1 2 det c.t/; c.t C h/ c.t/ : Αφού το τρίγωνο .h/ έχει στην πράξη το ίδιο ε βαδόν ε το χωρίο A.t C h/ A.t/, αυτό ας δείχνει (ή στην πράξη ας δείχνει) ότι A0 .t/ D lim h!0 A.t C h/ A.t/ h D lim h!0 ε βαδόν.h/ h D 1 2 det c.t/; lim h!0 c.t C h/ c.t/ h D 1 2 det c.t/; c0 .t/ : Σ Χ Η Μ Α 4 Το αποτέλεσ α αυτό πορού ε να το αποδείξου ε ε αυστηρό τρόπο, ο οποίος απο- δίδει περισσότερο έσω αυτής της διαδικασίας, χρησι οποιώντας το Πρόβλη α 13-24, το οποίο δίνει το ε βαδόν ενός χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση ιας συνάρτησης σε πολικές συντεταγ ένες. Σύ φωνα ε αυτό το παράδειγ α, πορού ε να γράψου ε () A.t/ D 1 2 Z .t/ .0/ ./2 d αν η παρα ετρική ας κα πύλη c.t/ D r.t/ e..t// είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης σε πολικές συντεταγ ένες (εδώ χρησι οποιήσα ε το για τη γωνιακή πολική συντεταγ ένη για να αποφύγου ε τη σύγχυση ε τη συνάρτηση που χρησι ο- ποιήσα ε για να περιγράψου ε την κα πύλη c). Η συνάρτηση είναι ό ως απλώς η D r B 1 [για κάθε συγκεκρι ένη γωνία , 1 ./ είναι η χρονική στιγ ή κατά την οποία η κα - πύλη c έχει γωνιακή πολική συντεταγ ένη , άρα r. 1 .t// είναι η ακτινική συντεταγ- ένη που αντιστοιχεί στην ]. Παρ’ όλο που η παρουσία της αντίστροφης συνάρτησης φαντάζει λίγο απειλητική, στην πραγ ατικότητα είναι άλλον αθώα: Εφαρ όζοντας το Πρώτο Θε ελιώδες Θεώρη α του Απειροστικού Λογισ ού και τον Κανόνα της Αλυσίδας στην () λα βάνου ε α έσως A0 .t/ D 1 2 ..t//2 0 .t/ D 1 2 r.t/2 0 .t/; αφού D r B 1 .
- 315. 17. Κινήσεις τωνπλανητών 301 Εν συντο ία, A0 D 1 2 r2 0 : Αν επο ένως συνδυαστεί ε την (4), έχου ε (5) A0 D 1 2 det.c; c0 / D 1 2 r2 0 : Εί αστε πλέον έτοι οι να εξετάσου ε τον δεύτερο νό ο του Kepler. Παρατηρήστε ότι ο δεύτερος νόµος του Kepler ισοδυναµεί µε το να πούµε ότι η A0 είναι σταθερή, το οποίο είναι ισοδύνα ο ε την A00 D 0. Ό ως A00 D 1 2 det.c; c0 / 0 D 1 2 det.c0 ; c0 / C 1 2 det.c; c00 / (βλ. σελίδα 223) D 1 2 det.c; c00 /: Επο ένως Ο δεύτερος νό ος του Kepler είναι ισοδύνα ος ε det.c; c00 / D 0. Συνδυάζοντάς τα όλα αυτά, έχου ε: ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Ο δεύτερος νό ος του Kepler ισχύει αν και όνο αν η δύνα η είναι κεντρική, στην οποία περίπτωση κάθε πλανητική τροχιά c.t/ D r.t/ e..t// ικανοποιεί την εξίσωση (K2) r2 0 D det.c; c0 / D σταθερά. ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Το γεγονός ότι η δύνα η είναι κεντρική ση αίνει απλά ότι έχει πάντα τη διεύθυνση του c.t/. Αφού το c00 .t/ έχει τη διεύθυνση της δύνα ης, αυτό είναι ισοδύνα ο ε το ότι το c00 .t/ έχει πάντα τη διεύθυνση του c.t/. Και αυτό είναι ισοδύνα ο ε το ότι πάντα έχου ε det.c; c00 / D 0: Μόλις είδα ε ότι αυτό είναι ισοδύνα ο ε τον δεύτερο νό ο του Kepler. Επιπλέον, από την εξίσωση αυτή προκύπτει ότι det.c; c0 / 0 D 0, η οποία έσω της (5) δίνει την (K2). Στη συνέχεια ο Newton έδειξε ότι αν η βαρυτική δύνα η του ήλιου είναι κεντρική δύ- να η και ικανοποιεί επιπλέον έναν νό ο αντιστρόφου τετραγώνου, τότε η τροχιά οποιου- δήποτε αντικει ένου λόγω αυτής θα είναι κωνική το ή που έχει τον ήλιο σε ία από τις εστίες της. Οι πλανήτες, φυσικά, αντιστοιχούν στην περίπτωση που η κωνική το ή εί- ναι έλλειψη· αυτό ισχύει και για τους κο ήτες που επισκέπτονται περιοδικά τον ήλιο. Οι παραβολές και οι υπερβολές αντιπροσωπεύουν αντικεί ενα που έρχονται από έξω από το ηλιακό σύστη α και τελικά συνεχίζουν και πάλι τη χαρού ενη πορεία τους έξω από το Σ Χ Η Μ Α 5 σύστη α. ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Αν η βαρυτική δύνα η του ήλιου είναι κεντρική δύνα η που ικανοποιεί έναν νό ο αντι- στρόφου τετραγώνου, τότε η τροχιά οποιοδήποτε σώ ατος λόγω αυτής θα είναι ια κωνι- κή το ή που έχει τον ήλιο σε ία από τις εστίες της (ακριβέστερα, είτε έλλειψη, είτε παραβολή, είτε ο ένας κλάδος ιας υπερβολής). ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Παρατηρού ε ότι το συ πέρασ ά ας προσδιορίζει το σχή α της τροχιάς, και όχι κά- ποια συγκεκρι ένη παρα ετροποίηση. Η παρα ετροποίηση ό ως αυτή καθορίζεται από το Θεώρη α 1: από την υπόθεση της κεντρικής δύνα ης έπεται ότι το ε βαδόν A.t/ (Σχή α 5) είναι ανάλογο του t, επο ένως ο καθορισ ός του c.t/ είναι ουσιαστικά ισοδύ- να ος ε τον καθορισ ό του A για τυχαία ση εία της έλλειψης. ∆υστυχώς, τα ε βαδά
- 316. 302 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα τέτοιων τ η άτων δεν πορού ε να τα προσδιορίζου ε ακριβώς.* Αυτό ση αίνει ότι πρέπει να προσδιορίζου ε το σχήµα της τροχιάς c.t/ D r.t/ e..t// χωρίς να βρού ε την παρα ετροποίησή της! Αφού το σχή α της τροχιάς σε πολικές συντεταγ ένες το καθορίζει στην πραγ ατικότητα η r B 1 , δεν θα πρέπει να εκπλαγού ε αν βρού ε το 1 να ε φανίζεται στην απόδειξη. Με βάση το Θεώρη α 1, από την υπόθεση της κεντρικής δύνα ης έπεται ότι (K2) r2 0 D det.c; c0 / D M για κάποια σταθερά M . Η υπόθεση ενός νό ου αντιστρόφου τετραγώνου γράφεται ως () c00 .t/ D H r.t/2 e..t// για κάποια σταθερά H. Χρησι οποιώντας την (K2), αυτό πορού ε να το γράψου ε ως c00 .t/ 0.t/ D H M e..t//: Παρατηρού ε ότι το αριστερό έλος της εξίσωσης είναι Œc0 B 1 0 ..t//: Αν επο ένως θέσου ε D D c0 B 1 (αυτό είναι το βασικό τέχνασ α —«θεωρού ε την c0 συνάρτηση της »), τότε η εξίσωση πορεί να γραφεί ως D0 ..t// D H M e..t// D H M cos .t/; sin .t/ ; την οποία πορού ε να γράψου ε απλά ως D0 .u/ D H M .cos u; sin u/ D H M cos u; H M sin u [για κάθε u της ορφής .t/ για κάποιο t], απαλείφοντας πλήρως την . Η εξίσωση που όλις πήρα ε είναι απλώς ένα ζεύγος εξισώσεων για τις συνιστώσες της D, τις οποίες πορού ε να επιλύσου ε ανεξάρτητα τη ία από την άλλη. Βρίσκου ε επο ένως ότι D.u/ D H sin u M C A; H cos u M C B για δύο σταθερές A και B. Αν θέσου ε ξανά u D .t/ λα βάνου ε έναν ακριβή τύπο για την c0 : c0 D H sin M C A; H cos M C B : [Εδώ γράφου ε sin αντί για sin B , κτλ. Πρόκειται για συντο ογραφίες τις οποίες θα χρησι οποιήσου ε στη συνέχεια.] Παρ’ ότι δεν πορού ε να πάρου ε έναν ακριβή τύπο για την ίδια την c, αν αντικα- ταστήσου ε αυτήν την εξίσωση, αζί ε την c D r.cos ; sin /, στην εξίσωση det.c; c0 / D M (εξίσωση (K2)); λα βάνου ε r H M cos2 C B cos C H M sin2 A sin D M; *Ακριβέστερα, δεν πορού ε να γράψου ε τη λύση συναρτήσει γνωστών «κλασικών συναρτήσεων», όπως οι sin, arcsin, κτλ.
- 317. 17. Κινήσεις τωνπλανητών 303 η οποία απλοποιείται στην r H M 2 C B M cos A M sin D 1: Το Πρόβλη α 15-8 δείχνει ότι αυτή πορεί να γραφεί ε τη ορφή r.t/ H M 2 C C cos..t/ C D/ D 1; για κάποιες σταθερές C και D. Μπορού ε να θέσου ε D D 0, αφού αυτό ισοδυνα εί απλώς ε περιστροφή του συστή ατος των πολικών ας συντεταγ ένων (επιλέγοντας την ακτίνα που αντιστοιχεί σε D 0), και άρα, τελικά, πορού ε να γράψου ε rŒ1 C cos D M 2 H D ƒ: Αυτός είναι ό ως ο τύπος των κωνικών το ών που βρήκα ε στο Παράρτη α 3 του Κεφα- λαίου 4 ( αζί ε τα Προβλή ατα 5, 6, και 7 του ίδιου Παραρτή ατος). Συναρτήσει της σταθεράς M στην εξίσωση r2 0 D M και της σταθεράς ƒ στην εξίσωση της τροχιάς rŒ1 C cos D ƒ η τελευταία εξίσωση της απόδειξής ας δείχνει ότι την () πορού ε να τη γράψου ε ως () c00 .t/ D M 2 ƒ 1 r.t/2 e..t//: Θυ ηθείτε (σελίδα 78) ότι ο εγάλος άξονας a ιας έλλειψης δίνεται από την (α) a D ƒ 1 2 ; και ο ικρός άξονας b από την (β) b D ƒ p 1 2 : Επο ένως (γ) b2 ƒ D a: Θυ ηθείτε ότι η εξίσωση (5) δίνει A0 .t/ D 1 2 r2 0 D 1 2 M; και άρα A.t/ D 1 2 M t: Μπορού ε επο ένως να ερ ηνεύσου ε την M συναρτήσει της περιόδου T της τροχιάς. Η περίοδος αυτή T είναι, εξ ορισ ού, η τι ή του t για την οποία .t/ D 2, ώστε να λάβου ε την πλήρη έλλειψη. Επο ένως ε βαδόν της έλλειψης D A.T / D 1 2 M T;
- 318. 304 Παράγωγοι καιολοκληρώµατα ή M D 2.ε βαδόν της έλλειψης/ T D 2ab T από το Πρόβλη α 13-17. Επο ένως η σταθερά M 2 =ƒ στην () είναι M 2 ƒ D 42 a2 b2 T 2ƒ D 42 a3 T 2 ; χρησι οποιώντας την (γ). Έτσι ολοκληρώνεται το τελευταίο βή α της ανάλυσης του Newton: ΘΕΩΡΗΜΑ 3 Ο τρίτος νό ος του Kepler ισχύει αν και όνο αν οι επιταχύνσεις c00 .t/ των διαφόρων πλανητών, οι οποίοι κινούνται σε ελλείψεις, ικανοποιούν την c00 .t/ D G 1 r2 e..t// για κάποια σταθερά G που δεν εξαρτάται από τον πλανήτη. Πρέπει να αναφέρου ε ότι ισχύει και το αντίστροφο του Θεωρή ατος 2. Για να το αποδείξου ε, θέλου ε πρώτα να αποδείξου ε ια επιπλέον συνέπεια του δεύτερου νό ου του Kepler. Θυ ηθείτε ότι για e.t/ D .cos t; sin t/ έχου ε e0 .t/ D . sin t; cos t/: Επο ένως, e00 .t/ D . cos t; sin t/ D e.t/: Αν παραγωγίσου ε την (3), λα βάνου ε c00 .t/ D r00 .t/ e..t// C r0 .t/0 .t/ e0 ..t// C r0 .t/0 .t/ e0 ..t// C r.t/00 .t/ e0 ..t// C r.t/0 .t/0 .t/ e00 ..t//: Χρησι οποιώντας την e00 .t/ D e.t/ λα βάνου ε c00 .t/ D r00 .t/ r.t/0 .t/2 e..t// C 2r0 .t/0 .t/ C r.t/00 .t/ e0 ..t//: Αφού ο δεύτερος νό ος του Kepler συνεπάγεται κεντρικές δυνά εις, επο ένως το c00 .t/ είναι πάντα πολλαπλάσιο του c.t/, και άρα πάντα πολλαπλάσιο του e..t//, ο συντελε- στής του e0 ..t// πρέπει να είναι 0 [στην πραγ ατικότητα αυτό πορού ε να το δού ε ά εσα παίρνοντας την παράγωγο της σχέσης (K2)]. Επο ένως, από τον δεύτερο νό ο του Kepler προκύπτει ότι (6) c00 .t/ D r00 .t/ r.t/0 .t/2 e..t//: ΘΕΩΡΗΜΑ 4 Αν η τροχιά ενός πλανήτη που κινείται υπό την επίδραση ιας κεντρικής βαρυτικής δύ- να ης είναι ια κωνική το ή που έχει τον ήλιο ως εστία, η δύνα η πρέπει να ικανοποιεί έναν νό ο αντιστρόφου τετραγώνου.
- 319. 17. Κινήσεις τωνπλανητών 305 ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Όπως στο Θεώρη α 2, παρατηρού ε ότι η υπόθεση για το σχή α της τροχιάς, αζί ε την υπόθεση της κεντρικής δύνα ης, που ισοδυνα ούν ε τον δεύτερο νό ο του Kepler, στην ουσία καθορίζουν την παρα ετροποίηση. Αφού ό ως δεν πορού ε να γράψου ε ια ακριβή λύση, πρέπει να πάρου ε την πληροφορία για την επιτάχυνση χωρίς στην πραγ ατικότητα να γνωρίζου ε ποια είναι. Πάλι από την υπόθεση της κεντρικής δύνα ης έπεται ότι (K2) r2 0 D M; για κάποια σταθερά M , και από την υπόθεση ότι η τροχιά είναι ια κωνική το ή που έχει ως εστία τον ήλιο έπεται ότι ικανοποιεί την εξίσωση (Α) rŒ1 C cos D ƒ; για κάποιο και ƒ. Για την (όχι και τόσο διαφωτιστική) απόδειξή ας, θα συνεχίσου ε να παραγωγίζου ε και θα κάνου ε αντικαταστάσεις ε βάση αυτές τις δύο εξισώσεις. Πρώτα παραγωγίζου ε την (A) για να λάβου ε r0 Œ1 C cos r0 sin D 0: Αν πολλαπλασιάσου ε ε r, αυτό γίνεται rr0 Œ1 C cos r2 0 sin D 0: Χρησι οποιώντας και την (A) και την (K2), αυτό γίνεται ƒr0 M sin D 0: Αν παραγωγίσου ε και πάλι, λα βάνου ε ƒr00 M0 cos D 0: Χρησι οποιώντας την (K2) λα βάνου ε ƒr00 M 2 r2 cos D 0; και στη συνέχεια χρησι οποιώντας την (A) λα βάνου ε ƒr00 M 2 r2 ƒ r 1 D 0: Αντικαθιστώντας για ακό η ια φορά από την (K2), λα βάνου ε ƒŒr00 r.0 /2 C M 2 r2 D 0; ή r00 r.0 /2 D M 2 ƒr2 : Αν συγκρίνου ε ε την (6), λα βάνου ε c00 .t/ D M 2 ƒr2 e..t//; το οποίο είναι ακριβώς αυτό που θέλα ε να δείξου ε: η δύνα η είναι αντιστρόφως ανά- λογη του τετραγώνου της απόστασης του πλανήτη από τον ήλιο.
- 320. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΗΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΚΑΙ Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Στο Κεφάλαιο 1