2. Σημείωση:
Οι παρούσες σημειώσεις δημιουργήθηκαν κατά την διάρκεια της διδασκαλίας
του μαθήματος Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ και IV σε φοιτητές του δεύτερου έτους
του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων κατά το χειμερινό εξά-
μηνο 2012-13 και το εαρινό εξάμηνο 2014.
Επειδή γράφονται παράλληλα με την διδασκαλία του μαθήματος, και αποσκο-
πούν σε πρώτη φάση στο να παράσχουν στο φοιτητή μια ”επίσημη” καταγραφή
της ύλης που διδάσκεται, είναι προφανέστατα
ΑΤΕΛΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
μέχρι να ολοκληρωθούν (σε όποια μορφή), δηλ.
ΟΣΟ ΕΜΦΑΝΙΖΕΤΑΙ Η ΠΑΡΟΥΣΑ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΗ
Ο συγγραφέας επιφυλλάσεται για μια μελλοντική ουσιαστική αναθεώρησή τους.
Γ. Γιαννούλης
Ιωάννινα,
30.4.2014
Η παρούσα έκδοση (30.4.14) δεν περιέχει όλες τις ασκήσεις, παραδείγματα
και παρατηρήσεις που παρουσιάστηκαν στο μάθημα. Για την προετοιμασία για
τις εξετάσεις συνιστάται η λύση των ασκήσεων των Κεφαλαίων 1-8 του βιβλίου
Marsden-Tromba, Διανυσματικός Λογισμός, ΠΕΚ, 2011, εκτός αυτών που στηρίζο-
νται σε έννοιες οι οποίες δεν εισήχθησαν στο μάθημα (π.χ. διάφορες έννοιες των
Φυσικών Επιστημών), χωρίς αυτό να σημαίνει ότι η εξέταση θα περιλαμβάνει μόνο
τέτοιου είδους ασκήσεις. Επισημαίνουμε ρητά ότι η βασική θεωρία του μαθήματος
που αφορά την Διανυσματική Ανάλυση (εκτός από τη σχετική με τα επικαμπύλια
και επιφανειακά ολοκληρώματα, που δεν έχουν γραφτεί ακόμα) περιέχεται στις
παρούσες σημειώσεις καθώς και ότι ως εξεταστέα ύλη νοείται η ύλη που διδάχθηκε
στο μάθημα.
2
5. Κεφάλαιο 1
Ο Eυκλείδειος χώρος Rn
1.1 Αλγεβρική δομή
Ο Eυκλείδειος χώρος Rn
είναι καταρχήν ο διανυσματικός χώρος (συντεταγμέ-
νων) διάστασης n ∈ N, πάνω από το σώμα των πραγματικών αριθμών R ο οποίος
έχει ως στοιχεία του τα διανύσματα ¯x = (x1, . . . , xn) με συντεταγμένες xi ∈ R,
i = 1, . . . , n, ως προς την συνήθη βάση ¯e1 := (1, . . . , 0), . . . , ¯en := (0, . . . , 1). Αυτό
σημαίνει ότι ο Rn
έχει όλες τις γνωστές από την Γραμμική Άλγεβρα ιδιότητες των
διανυσματικών χώρων.
Πιο συγκεκριμένα, στον Rn
ως διανυσματικό χώρο ορίζονται οι πράξεις της
πρόσθεσης + : Rn
×Rn
→ Rn
και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού : R×Rn
→
Rn
ως εξής
¯x + ¯y := (x1 + y1, . . . , xn + yn) ∈ Rn
∀ ¯x = (x1, . . . , xn), ¯y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn
,
(1.1)
α¯x := (αx1, . . . , αxn) ∈ Rn
∀ ¯x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn
, α ∈ R, (1.2)
όπου xi + yi ∈ R, αxi ∈ R, i = 1, . . . , n, είναι οι πράξεις της πρόσθεσης και του
πολλαπλασιασμού στο σώμα των πραγματικών αριθμών R. Για τις πράξεις (1.1),
(1.2) ισχύουν οι ιδιότητες των πράξεων στους διανυσματικούς χώρους, δηλαδή,
εκτός από την κλειστότητά τους, ισχύουν
• ως προς την πρόσθεση
(αʹ) η προσεταιριστικότητα: ¯x + (¯y + ¯z) = (¯x + ¯y) + ¯z ∀ ¯x, ¯y, ¯z ∈ Rn
,
(βʹ) η αντιμεταθετικότητα: ¯x + ¯y = ¯y + ¯x ∀ ¯x, ¯y ∈ Rn
,
(γʹ) η ύπαρξη ουδετέρου: ∃ ¯0 := (0, . . . , 0) ∈ Rn
∀ ¯x ∈ Rn
: ¯0 + ¯x = ¯x,
(δʹ) η ύπαρξη αντιθέτου:
∀ ¯x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn
∃ − ¯x := (−x1, . . . , −xn) ∈ Rn
: −¯x + ¯x = ¯0,
5
6. 1. Ο ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ RN
• ως προς τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό
(αʹ) η ύπαρξη ουδετέρου: 1¯x = ¯x ∀ ¯x ∈ Rn
(βʹ) η συμβατότητα με τον πολλαπλασιασμό στο R:
α(β¯x) = (αβ)¯x ∀ α, β ∈ R, ¯x ∈ Rn
,
• ως προς την πρόσθεση και τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό
(αʹ) η επιμεριστικότητα του βαθμωτού πολλαπλασιασμού ως προς την πρό-
σθεση: α(¯x + ¯y) = α¯x + α¯y ∀ ¯x, ¯y ∈ Rn
, α ∈ R,
(βʹ) η επιμεριστικότητα της πρόσθεσης στο R ως προς τον βαθμωτό πολλα-
πλασιασμό: (α + β)¯x = α¯x + β¯x ∀ α, β ∈ R, ¯x ∈ Rn
.
Στον Rn
ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο
¯x · ¯y :=
n∑
i=1
xiyi ∀ ¯x = (x1, . . . , xn), ¯y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn
, (1.3)
μια απεικόνιση (πράξη) από το Rn
×Rn
στο R, καθιστώντας τον έναν διανυσματικό
χώρο με εσωτερικό γινόμενο, για το οποίο ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
• η συμμετρία: ¯x · ¯y = ¯y · ¯x ∀ ¯x, ¯y ∈ Rn
• η γραμμικότητα (ως προς το πρώτο όρισμα):
(α¯x) · ¯y = α(¯x · ¯y) και (¯x + ¯y) · ¯z = ¯x · ¯z + ¯y · ¯z ∀ α, β ∈ R, ¯x, ¯y ∈ Rn
• το θετικά ορισμένο:
¯x · ¯x ≥ 0 ∀ ¯x ∈ Rn
με την ισότητα να ισχύει μόνο για ¯x = ¯0 ∈ Rn
.
Το ότι ισχύουν όλες οι παραπάνω ιδιότητες απορρέει από τους ορισμούς των
πράξεων της πρόσθεσης (1.1), του βαθμωτού πολλαπλασιασμού (1.2), και του εσω-
τερικού γινομένου (1.3) στον Rn
και τις ιδιότητες των πράξεων της πρόσθεσης και
του πολλαπλασιασμού στο σώμα των πραγματικών αριθμών R. Η απόδειξή τους
αφήνεται ως άσκηση.
Λόγω της ιδιότητας του θετικά ορισμένου του εσωτερικού γινομένου (1.3) μπο-
ρεί να ορισθεί η Ευκλείδεια στάθμη ή νόρμα (ή μήκος) ενός διανύσματος ¯x ∈ Rn
∥¯x∥ :=
√
¯x · ¯x =
n∑
i=1
x2
i ≥ 0 ∀ ¯x ∈ Rn
, (1.4)
όπου
√
α η πραγματική (μη αρνητική) ρίζα ενός μη αρνητικού πραγματικού αριθμού
α, η οποία για n = 1 ταυτίζεται με την απόλυτη τιμή |x| ενός πραγματικού αριθμού
x ∈ R1
= R, και οι οποία, όπως κάθε στάθμη ενός διανυσματικού χώρου, είναι μια
απεικόνιση ∥ · ∥ : Rn
→ R με τις ακόλουθες ιδιότητες:
6
7. 1.1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΔΟΜΗ
• θετικότητα: ∥¯x∥ ≥ 0 ∀ ¯x ∈ Rn
με την ισότητα να ισχύει μόνο για ¯x = 0 ∈ Rn
,
• ∥α¯x∥ = |α|∥¯x∥ ∀ α ∈ R, ¯x ∈ Rn
,
• τριγωνική ανισότητα: ∥¯x + ¯y∥ ≤ ∥¯x∥ + ∥¯y∥ ∀ ¯x, ¯y ∈ Rn
Ο εφοδιασμός ενός διανυσματικού χώρου με εσωτερικό γινόμενο ¯x · ¯y με την
στάθμη ∥¯x∥2
=
√
¯x · ¯x τον καθιστά έναν σταθμητό (διανυσματικό) χώρο ή (δια-
νυσματικό) χώρο με νόρμα, ο οποίος πέραν των πιο πάνω ιδιοτήτων της στάθμης
και του εσωτερικού γινομένου έχει και τις ακόλουθες ιδιότητες:
Πρόταση 1.1.0.1. Για ¯x, ¯y ∈ Rn
ισχύουν:
(αʹ) η ανισότητα Cauchy-Schwarz: |¯x·¯y| ≤ ∥¯x∥∥¯y∥ με την ισότητα να ισχύει μόνο
όταν τα x, y είναι γραμμικά εξαρτημένα (δηλ. ∃ (α, β) ∈ R2
{0} : α¯x+β¯y =
¯0).
(βʹ) ο κανόνας του παραλληλογράμμου: 2∥¯x∥2
+ 2∥¯y∥2
= ∥¯x + ¯y∥2
+ ∥¯x − ¯y∥2
(γʹ) η ταυτότητα της πόλωσης: 4 ¯x · ¯y = ∥¯x + ¯y∥2
− ∥¯x − ¯y∥2
Απόδειξη. Αφήνονται ως ασκήσεις.
Mε την βοήθεια της Ευκλείδειας στάθμης ∥ · ∥ μπορεί να ορισθεί η απόσταση
(μεταξύ) δύο διανυσμάτων του Rn
d(¯x, ¯y) := ∥¯x − ¯y∥ ∀ ¯x, ¯y ∈ Rn
. (1.5)
Η απόσταση είναι μια μετρική, δηλαδή μια απεικόνιση d : Rn
× Rn
→ R με τις
ιδιότητες
• συμμετρία: d(¯x, ¯y) = d(¯y, ¯x) ∀ ¯x, ¯y ∈ Rn
• θετικότητα: d(¯x, ¯y) ≥ 0 ∀ ¯x, ¯y ∈ Rn
με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν
¯x = ¯y,
• τριγωνική ανισότητα: d(¯x, ¯y) ≤ d(¯x, ¯z) + d(¯z, ¯y) ∀ ¯x, ¯y, ¯z ∈ Rn
O Rn
είναι δηλαδή ένας μετρικός χώρος, με ότι αυτό συνεπάγεται.
Ο εφοδιασμός του διανυσματικού χώρου (συντεταγμένων) Rn
με το εσωτερικό
γινόμενο (1.3), την στάθμη (1.4) και την απόσταση (1.5) ορίζει τον Rn
ως τον n-
διάστατο Ευκλείδειο χώρο.
Α 1. Να αποδείξετε ότι μέσω των ∥¯x∥1 :=
∑n
i=1 |xi| καί ∥¯x∥∞ := max{|x1|, . . . , |xn|},
¯x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn
, ορίζονται στάθμες στον Rn
, οι οποίες είναι ισοδύναμες με
την Ευκλείδεια στάθμη (1.4) ∥¯x∥(=: ∥¯x∥2), και ειδικότερα ∀ ¯x ∈ Rn
ισχύουν
∥¯x∥∞ ≤ ∥¯x∥1 ≤ n∥¯x∥∞, (1.6)
∥¯x∥∞ ≤ ∥¯x∥2 ≤
√
n∥¯x∥∞, (1.7)
1
√
n
∥¯x∥2 ≤ ∥¯x∥1 ≤ n∥¯x∥2. (1.8)
7
8. 1. Ο ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ RN
Να σχεδιάσετε στο επίπεδο τα σύνολα {¯x ∈ R2
: ∥¯x∥ = 1}, {¯x ∈ R2
: ∥¯x∥1 = 1}
και {¯x ∈ R2
: ∥¯x∥∞ = 1}.
(Γενικά, δύο στάθμες ∥ · ∥i, i = 1, 2, ενός σταθμητού διανυσματικού χώρου X
ονομάζονται ισοδύναμες αν ∃ c, C > 0 ∀ x ∈ X : c∥x∥2 ≤ ∥x∥1 ≤ C∥x∥2 και
αποδεικνύεται ότι σε έναν σταθμητό διανυσματικό χώρο πεπερασμένης διάστασης
όλες οι στάθμες είναι ισοδύναμες.)
Λύση:
∀ i = 1, . . . , n : |xi| ≤ ∥¯x∥∞ ⇔ x2
i ≤ ∥¯x∥2
∞ και άρα ∥¯x∥1 =
∑n
i=1 |xi| ≤ n∥¯x∥∞
και ∥¯x∥2
= ∥¯x∥2
2 =
∑n
i=1 x2
i ≤ n∥¯x∥2
∞ ⇔ ∥¯x∥ = ∥¯x∥2 ≤
√
n∥¯x∥∞.
Απ’ την άλλη, ∃ j ∈ {1, . . . , n} : |xj| = ∥¯x∥∞ και άρα ∥¯x∥1 =
∑n
i=1 |xi| ≥ |xj| =
∥¯x∥∞ και ∥¯x∥2
= ∥¯x∥2
2 =
∑n
i=1 x2
i ≥ x2
j = ∥¯x∥2
∞ ⇔ ∥¯x∥ = ∥¯x∥2 ≥ ∥¯x∥∞.
ΣΧΗΜΑΤΑ
Α 2. (αʹ) Να δειχθεί ότι ∥¯x + ¯y∥2
= ∥¯x∥2
+ ∥¯y∥2
ανν (:⇔ αν και μόνο αν) ¯x · ¯y = 0.
Πώς ονομάζεται αυτή η σχέση στην Γεωμετρία;
Λύση: ∥¯x + ¯y∥2
= (¯x + ¯y) · (¯x + ¯y)[= ¯x · (¯x + ¯y) + ¯y · (¯x + ¯y) = (¯x + ¯y) · ¯x + (¯x +
¯y) · ¯y = ¯x · ¯x + ¯y · ¯x + ¯x · ¯y + ¯y · ¯y] = ∥¯x∥2
+ ∥¯y∥2
+ 2 ¯x · ¯y = ∥¯x∥2
+ ∥¯y∥2
ανν
¯x · ¯y = 0 ⇔: ¯x, ¯y ∈ Rn
κάθετα. Η σχέση αυτή είναι το Πυθαγώρειο Θεώρημα.
ΣΧΗΜΑ
(βʹ) Να αποδείξετε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τον κανόνα του παραλληλο-
γράμμου και την ταυτότητα της πόλωσης (βλ. Πρόταση 1.1.0.1, (2) και (3)).
(γʹ) Πότε ισχύει
∥¯x + ¯y∥ = ∥¯x∥ + ∥¯y∥ (1.9)
για μια στάθμη που επάγεται από εσωτερικό γινόμενο;
Λύση: Αν κάποιο από τα δύο διανύσματα ¯x, ¯y είναι το μηδενικό, τότε προφανώς
η ισότητα (1.9) ισχύει. Έστω τώρα ¯x, ¯y ̸= 0. Τότε (1.9) ⇔ ∥¯x + ¯y∥2
= (∥¯x∥ +
∥¯y∥)2
⇔ ∥¯x∥2
+ ∥¯y∥2
+ 2 ¯x · ¯y = ∥¯x∥2
+ ∥¯y∥2
+ 2∥¯x∥∥¯y∥ ⇔ ¯x · ¯y = ∥¯x∥∥¯y∥ ⇒
|¯x · ¯y| = ∥¯x∥∥¯y∥ και άρα σύμφωνα με την ανισότητα Cauchy-Schwarz (βλ.
Πρόταση 1.1.0.1, (1)) τα ¯x, ¯y θα είναι γραμμικά εξαρτημένα, δηλ. ∃ (α, β) ∈
R2
{0} : α¯x + β¯y = 0, και αφού ¯x, ¯y ̸= 0 έχουμε αβ ̸= 0 και ¯y = λ¯x με
λ = −α
β ̸= 0. Τότε (1.9) ⇔ λ∥¯x∥2
= ∥¯x∥∥¯y∥ ⇔ λ = ∥¯y∥
∥¯x∥ > 0, δήλ. τα ¯x, ¯y θα
πρέπει να είναι ομόρροπα.
(δʹ) Να δειχθεί ότι ∥¯x − ¯y∥ ≤ ∥¯x∥ + ∥¯y∥ ∀ ¯x, ¯y ∈ Rn
. Πότε ισχύει η ισότητα;
Λύση: ∥¯x − ¯y∥ = ∥¯x + (−¯y)∥ ≤ ∥¯x∥ + ∥(−¯y)∥ = ∥¯x∥ + ∥¯y∥ και σύμφωνα με την
Άσκηση 2, (γʹ), η ισότητα ισχύει όταν τα ¯x, −¯y είναι ομόρροπα, δηλ. όταν τα
¯x, ¯y είναι αντίρροπα.
(εʹ) Να δειχθεί ότι |∥¯x∥ − ∥¯y∥| ≤ ∥¯x − ¯y∥.
Λύση:
∥¯x∥ = ∥¯x − ¯y + ¯y∥ ≤ ∥¯x − ¯y∥ + ∥¯y∥ ⇔ ∥¯x∥ − ∥¯y∥ ≤ ∥¯x − ¯y∥ και ανάλογα
8
9. 1.2. ΓΕΩΜΕΤΡ. ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
∥¯y∥ = ∥¯y − ¯x + ¯x∥ ≤ ∥¯y − ¯x∥ + ∥¯x∥ ⇔ ∥¯y∥ − ∥¯x∥ ≤ ∥¯y − ¯x∥ = ∥¯x − ¯y∥. Άρα
±(∥¯x∥ − ∥¯y∥) ≤ ∥¯x − ¯y∥ ⇔ |∥¯x∥ − ∥¯y∥| ≤ ∥¯x − ¯y∥.
1.2 Γεωμετρική αναπαράσταση του R3
Ο n-διάστατος Ευκλείδειος χώρος Rn
στις διαστάσεις n = 1, 2, 3 μπορεί να
αναπαρασταθεί ή να ταυτιστεί γεωμετρικά με την ευθεία, το επίπεδο και τον
(τρισδιάστατο) χώρο, αντίστοιχα, μέσω της εισαγωγής Καρτεσιανών συστημάτων
συντεταγμένων (ή αναφοράς). Εισάγωντας π.χ. στον φυσικό χώρο R3
ένα δεξιό-
στροφο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων μπορούμε να αντιστοιχίσουμε σε
κάθε σημείο (x1, x2, x3) ∈ R3
το διάνυσμα ¯x = (x1, x2, x3) του διανυσματικού
χώρου R3
.
ΣΧΗΜΑ
Έτσι, στα πλαίσια της Αναλυτικής Γεωμετρίας, μπορούμε να αναπαραστή-
σουμε πολλά γεωμετρικά αντικείμενα του R3
αλγεβρικά, και αντίστροφα βλέπουμε
ότι τα περισσότερα από τα αλγεβρικά αντικείμενα που ορίσαμε πιο πάνω έχουν μια
γεωμετρική ερμηνεία, όπως π.χ. η έννοια του μήκους ∥¯x∥ (1.4) ενός διανύσματος
¯x = (x1, x2, x3) ∈ R3
πού δίνει την απόσταση d(¯x, ¯0) = ∥¯x − ¯0∥ = ∥¯x∥ του σημείου
(x1, x2, x3) από το σημείο αναφοράς ¯0 ∈ R3
, όπως και γενικότερα η έννοια της
απόστασης d(¯x, ¯y) = ∥¯x − ¯y∥ (1.5) που δίνει την απόσταση (μεταξύ) δύο σημείων
¯x = (x1, x2, x3) και ¯y = (y1, y2, y3) του χώρου R3
. Το εσωτερικό γινόμενο ¯x · ¯y
δίνει για δύο μη μηδενικά διανύσματα ¯x, ¯y ̸= 0 ∈ R3
(⇔ ∥¯x∥, ∥¯y∥ ̸= 0 ∈ R) το
συνημίτονο της γώνιας ϑ που σχηματίζουν:
cos ϑ =
¯x · ¯y
∥¯x∥∥¯y∥
ΣΧΗΜΑΤΑ
Ένας μονοδιάστατος υπόχωρος ⟨¯x⟩ := {α¯x : α ∈ R} που παράγεται από ένα
μη μηδενικό διάνυσμα ¯x = (x1, x2, x3) ∈ R3
σχηματίζει γεωμετρικά την ευθεία
στον χώρο που περνάει από το σημείο αναφοράς ¯0 και το σημείο (x1, x2, x3), ενώ
o δισδιάστατος υπόχωρος ⟨¯x, ¯y⟩ := {α¯x + β¯y : α, β ∈ R} που παράγεται από δύο
γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα ¯x = (x1, x2, x3), ¯y = (y1, y2, y3) παριστάνεται
από το επίπεδο που περιέχει τα σημεία ¯0, (x1, x2, x3), (y1, y2, y3).
ΣΧΗΜΑΤΑ
Ειδικότερα, οι υπόχωροι ⟨¯ei⟩, i = 1, 2, 3, δίνουν τους άξονες του συστήματος
συντεταγμένων 0xi και οι υπόχωροι ⟨¯ei, ¯ej⟩ i, j = 1, 2, 3, i < j, τα επίπεδα 0xixj,
αντίστοιχα.
Τέλος, με την βοήθεια της απόστασης ορίζονται η ανοικτή και η κλειστή μπάλα
και η σφαίρα ακτίνας r > 0 και κέντρου ¯x στον Rn
ως
(¯x, r) := {¯y ∈ Rn
: ∥¯x − ¯y∥ < r}, (1.10)
¯B(¯x, r) := {¯y ∈ Rn
: ∥¯x − ¯y∥ ≤ r}, (1.11)
∂(¯x, r) := {¯y ∈ Rn
: ∥¯x − ¯y∥ = r}, (1.12)
9
10. 1. Ο ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ RN
αντίστοιχα.
Παρατήρηση. Να προσεχθεί ότι οι ανοικτές και κλειστές μπάλες και οι σφαίρες
έχουν πάντα θετική ακτίνα r > 0.
1.3 Τοπολογικές ιδιότητες
Μετά από τις αλγεβρικές-γεωμετρικές ιδιότητες του Rn
θα αναφερθούμε τώρα
στις τοπολογικές του ιδιότητες οι οποίες σχετίζονται άμεσα με την έννοια του ορίου
(πραγματικών ή διανυσματικών) ακολουθιών και συναρτήσεων ορισμένων σε ένα
υποσύνολο U του Rn
, συμβολικά U ⊂ Rn
. Οι ιδιότητες που θα εξετάσουμε στη-
ρίζονται στην έννοια της μετρικής d που ορίστηκε στον Rn
μέσω της (1.5) και
άρα συνιστούν απλά εφαρμογές των τοπολογικών ιδιοτήτων όπως αυτές εξετάζο-
νται στην Τοπολογία (μετρικών χώρων) για μια γενική μετρική d. Έτσι ότι ισχύει
γενικά για μετρικούς χώρους ισχύει και για τον Rn
.
Με την βοήθεια της έννοιας της ανοικτής μπάλας που ορίσαμε πιο πάνω, (1.10),
μπορούμε να ορίσουμε τα ανοικτά και κλειστά υποσύνολα του Rn
στα οποία εδρά-
ζονται οι τοπολογικές του ιδιότητες.
Ορισμός 1.3.0.1. Ένα υποσύνολο U ⊂ Rn
ονομάζεται
(αʹ) ανοικτό, αν για κάθε ¯x0 ∈ U υπάρχει ε > 0 τέτοιο ώστε B(¯x0, ε) ⊂ U,
(βʹ) κλειστό, αν το Rn
U είναι ανοικτό.
Πρόταση 1.3.0.2. Κάθε ανοικτή μπάλα B(¯x0, r) = ¯x ∈ Rn
: ∥¯x − ¯x0∥ < r, ¯x0 ∈
Rn
, r > 0, είναι ανοικτό υποσύνολο του Rn
.
Απόδειξη. Έστω ¯x ∈ B(¯x0, r). Tότε ∥¯x0 − ¯x∥ < r, δηλ. ∃ ε > 0 : ∥¯x0 − ¯x∥ = r − ε.
Αλλά τότε, ∀ ¯y ∈ B(¯x, ε) : ∥¯y − ¯x0∥ ≤ ∥¯x − ¯x0∥ + ∥¯x − ¯y∥ < r − ε + ε = r,
δηλ. ¯y ∈ B(¯x0, r), και άρα B(¯x, ε) ⊂ B(¯x0, r). Συνεπώς για κάθε ¯x ∈ B(¯x0, r)
υπάρχει μια ανοικτή μπάλα κέντρου ¯x που βρίσκεται μέσα στο B(¯x0, r), και άρα
το τελευταίο είναι ανοικτό. □
Πρόταση 1.3.0.3. Η ένωση μιας οικογένειας ανοικτών υποσυνόλων του Rn
και
η τομή ενός πεπερασμένου πλήθους ανοικτών υποσυνόλων του Rn
είναι ανοικτά
υποσύνολα του Rn
.
Απόδειξη. Έστω ¯x ∈
∪
i∈I Ui, Ui ανοικτά για κάθε i ∈ I. Τότε υπάρχει i0 ∈ I με
¯x ∈ Ui0
και αφού το Ui0
είναι ανοικτό υπάρχει ε > 0 με B(¯x, ε) ⊂ Ui0
⊂
∪
i∈I Ui.
Αφού αυτό ισχύει για κάθε ¯x ∈
∪
i∈I Ui, το τελευταίο θα είναι ανοικτό.
Έστω τώρα ¯x ∈
∩k
i=1 Ui, Ui ανοικτά για κάθε i = 1, . . . , k. Τότε, αφού ¯x ∈
Ui ∀ i = 1, . . . , k, υπάρχουν εi > 0 τέτοια ώστε (¯x, εi) ⊂ Ui. Άρα για ε :=
min
i=1,...,k
εi > 0 έχουμε (¯x, ε) ⊂
∩k
i=1 Ui. □
10
11. 1.3. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Παρατήρηση. Η τομή ενός άπειρου πλήθους ανοικτών υποσυνόλων δεν είναι ανοι-
κτό υποσύνολο του Rn
. Π.χ. τα ανοικτά υποσύνολα (¯x0, 1
n ) του Rn
έχουν τομή
∩∞
n=1 (¯x0, 1
n ) = {¯x0} που δεν είναι ανοικτό υποσύνολο, αφού δεν υπάρχει ανοικτή
μπάλα που να περιέχεται σε αυτό.
Πρόταση 1.3.0.4. Η τομή μιας οικογένειας κλειστών υποσυνόλων του Rn
και η
ένωση ενός πεπερασμένου πλήθους κλειστών υποσυνόλων του Rn
είναι κλειστά
υποσύνολα του Rn
.
Απόδειξη. Αφήνεται ως άσκηση.
Ορισμός 1.3.0.2. Έστω U ⊂ Rn
. Ένα σημείο ¯x ∈ Rn
λέγεται
(αʹ) εσωτερικό σημείο του U, αν υπάρχει ε > 0 τέτοιο ώστε B(¯x, ε) ⊂ U,
(βʹ) εξωτερικό σημείο του U, αν το ¯x είναι εσωτερικό σημείο του Rn
U,
(γʹ) συνοριακό σημείο του U, αν το ¯x δεν είναι ούτε εσωτερικό ούτε εξωτερικό
σημείο του U,
(δʹ) σημείο συσσώρευσης (ή οριακό σημείο) του U, αν ∀ ε > 0 : U ∩ B(¯x, ε)
{¯x0} ̸= ∅,
(εʹ) μεμονωμένο σημείο του U, αν ∃ ε > 0 : U ∩ B(¯x, ε) = {¯x}
Παρατήρηση. Προσοχή! Δεν πρέπει να συγχέονται οι έννοιες του συνοριακού ση-
μείου (boundary point) και του οριακού σημείου (limit point). (Γι’ αυτό είναι προ-
τιμότερο το αναφερόμαστε στο τελευταίο ως σημείο συσσώρευσης (accumulation
point).) Π.χ. το μονοσύνολο U = {¯x} ⊂ Rn
έχει ως μοναδικό συνοριακό σημείο το
σημείο ¯x αλλά είναι μεμονωμένο σημείο, δηλ. δεν είναι σημείο συσσώρευσης. (Ένα
μεμονωμένο σημείο (isolated point) είναι πάντα συνοριακό σημείο.) Επίσης ένα ση-
μείο συσσώρευσης μπορεί να είναι εσωτερικό σημείο, οπότε δεν είναι συνοριακό
σημείο.
ΣΧΗΜΑΤΑ
Ορισμός 1.3.0.3. Έστω U ⊂ Rn
.
(αʹ) Το σύνολο των εσωτερικών σημείων του U λέγεται εσωτερικό του U και
συμβολίζεται με U◦
,
(βʹ) Το σύνολο των συνοριακών σημείων του U λέγεται σύνορο του U και συμ-
βολιζεται με ∂U,
(γʹ) Η τομή όλων των κλειστών υποσυνόλων του Rn
που περιέχουν το U λέγεται
το (τοπολογικό) κάλυμμα (ή κλείσιμο) του U και συμβολίζεται με ¯U.
Πρόταση 1.3.0.5. Το U ⊂ Rn
είναι κλειστό ανν περιέχει κάθε σημείο συσσώρευσής
του.
11
12. 1. Ο ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ RN
Απόδειξη. U κλειστό
⇔ Rn
U ανοικτό
⇔ ∀ x ∈ Rn
U ∃ ε > 0 : B(¯x, ε) ⊂ Rn
U
⇔ ∀ x ∈ Rn
U ∃ ε > 0 : B(¯x, ε) ∩ U = ∅
⇔ ∀ x ∈ Rn
U ∃ ε > 0 : B(¯x, ε) ∩ (U {¯x}) = ∅
⇔ ∀ x ∈ Rn
U : το ¯x δεν είναι σημείο συσσώρευσης του U
⇔ {¯x ∈ Rn
: ¯x είναι σημείο συσσώρευσης του U} ⊂ U. □
Πρόταση 1.3.0.6. Έστω U ⊂ Rn
. Τότε
(αʹ) U ⊂ ¯U
(βʹ) ¯U είναι κλειστό
(γʹ) U = ¯U ⇔ U είναι κλειστό
(δʹ) ¯x ∈ ¯U ⇔ ¯x ∈ U ή το ¯x είναι σημείο συσσώρευσης του U
Απόδειξη. (αʹ) Έστω ¯x ∈ U. Τότε ¯x ∈ V για κάθε V ⊃ U και άρα ειδικότερα
¯x ∈ V για κάθε κλειστό V ⊃ U. Συνεπώς το ¯x περιέχεται και στην τομή όλων
των κλειστών V ⊃ U.
(βʹ) To ¯U είναι κλειστό ως η τομή της οικογένειας όλων των κλειστών υποσυνόλων
του Rn
που περιέχουν το U, σύμφωνα με την Πρόταση 1.3.0.4.
(γʹ) ⇒: Προκύπτει από το 2. ⇐: U ⊂ ¯U σύμφωνα με το 1 και ¯U ⊂ U, αφού το
U ως κλειστό υποσύνολο που περιέχει το U θα περιέχει την τομή όλων των
κλειστών υποσυνόλων που περιέχουν το U.
(δʹ) ⇒: Αν ¯x ∈ U δεν έχουμε τίποτα να δείξουμε, αν ¯x ∈ Rn
U δεν είναι σημείο
συσσώρευσης του U τότε υπάρχει ε > 0 με B(¯x, ε) ∩ U = ∅ ή ισοδύναμα
U ⊂ Rn
B(¯x, ε). Αλλά το τελευταίο αυτό υποσύνολο είναι κλειστό και
περιέχει το U. Συνεπώς ¯U ⊂ Rn
B(¯x, ε), που σημαίνει ¯x ̸∈ ¯U, άτοπο.
⇐: Αν ¯x ∈ U, τότε ¯x ∈ ¯U από το 1 ενώ αν ¯x ∈ Rn
U είναι σημείο συσσώρευ-
σης του U, τότε ¯x ∈ ¯U, γιατί αν ήταν ¯x ∈ Rn
¯U, αφού αυτό το υποσύνολο
είναι ανοικτό σύμφωνα με το 2, θα υπήρχε ε > 0 με (¯x, ε) ⊂ Rn
¯U και άρα
(¯x, ε) ⊂ Rn
U ή ισοδύναμα (¯x, ε) ∩ U = ∅ που σημαίνει ότι το ¯x δεν είναι
σημείο συσσώρευσης του U, άτοπο. □
Ορισμός 1.3.0.4. Το U ⊂ Rn
λέγεται
(αʹ) φραγμένο αν ∃ r > 0 : U ⊂ B(¯0, r),
(βʹ) συμπαγές αν είναι κλειστό και φραγμένο.
Α 3. Αν U := B(¯x0, r), ¯x0 ∈ Rn
, r > 0, να δείξετε ότι U = U◦
, ¯U = ¯B(¯x0, r), όπως
αυτό ορίστηκε στο (1.11), και ∂U = ∂B(¯x0, r), όπως αυτό ορίστηκε στο (1.12).
12
13. 1.3. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Απόδειξη. Αφού, όπως δείξαμε στην Πρόταση 1.3.0.2, το U είναι ανοικτό, κάθε
σημείο του είναι εσωτερικό σημείο, σύμφωνα με τους ορισμούς του ανοικτού υπο-
συνόλου και του εσωτερικού σημείου. Άρα U ⊂ U◦
. Αφού απ΄την άλλη εξ ορισμού
U◦
⊂ U έχουμε συνολικά U◦
= U.
Θα δείξουμε τώρα ότι ∂U = ∂B(¯x0, r) := {¯x ∈ Rn
: ∥¯x − ¯x0∥ = r}. Έστω
¯x ∈ Rn
με ∥¯x − ¯x0∥ ̸= r. Τότε ή ∥¯x − ¯x0∥ < r ή ∥¯x − ¯x0∥ > r. Στην πρώτη
περίπτωση, ¯x ∈ B(¯x0, r) και άρα όπως είδαμε πιο πάνω το ¯x είναι εσωτερικό
σημείο του U. Στην δεύτερη περίπτωση, ∃ ε > 0 : ∥¯x − ¯x0∥ = r + ε και άρα
∀ ¯y ∈ B(¯x, ε) : ∥¯y−¯x0∥ ≥ ∥¯x−¯x0∥−∥¯x− ¯y∥ > (r+ε)−ε = r, δηλ. (¯x, ε) ⊂ Rn
U,
καί άρα το ¯x είναι εξωτερικό σημείο του U. Συνεπώς, τα ¯x ∈ Rn
με ∥¯x−¯x0∥ ̸= r δεν
είναι συνοριακά σημεία του U. Απ’ την άλλη, αν ∥¯x − ¯x0∥ = r, τότε ∀ ε > 0 : ¯x− :=
¯x − ε
2
¯x−¯x0
∥¯x−¯x0∥ ∈ B(¯x, ε) ∩ B(¯x0, r) και ¯x+ := ¯x + ε
2
¯x−¯x0
∥¯x−¯x0∥ ∈ B(¯x, ε) ∩ (Rn
B(¯x0, r)),
αφού ∥¯x± −¯x∥ = ε
2 και ∥¯x± −¯x0∥ = r± ε
2 . Συνεπώς, το ¯x δεν είναι ούτε εσωτερικό
ούτε εξωτερικό σημείο του U και άρα σύμφωνα με τον ορισμό είναι συνοριακό
σημείο του U.
Τέλος, όπως μόλις είδαμε τα ¯x ∈ ∂U είναι σημεία συσσώρευσης του U (αφού
∀ ε > 0 : ¯x− ∈ B(¯x, ε) ∩ B(¯x0, r)), ενώ πιο πάνω είδαμε ότι τα σημεία ¯x ∈ Rn
με
∥¯x − ¯x0∥ > r δεν είναι σημεία συσσώρευσης (αφού ∃ ε > 0 : (¯x, ε) ∩ U = ∅). Άρα,
σύμφωνα με την Πρόταση 1.3.0.6, 4, ¯U = ¯B(¯x0, r) := {¯x ∈ Rn
: ∥¯x − ¯x0∥ ≤ r}. □
Α 4. Έστω U := {¯x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn
: xn > 0}. Βρείτε τα U◦
, ¯U, ∂U.
Απόδειξη. Έστω ¯x ∈ Rn
με ¯x = (x1, . . . , xn−1, xn) =: (¯x′
, xn), όπου xn > 0. Τότε
η Ευκλείδεια απόσταση του ¯x από το υποσύνολο U′
:= {¯x ∈ Rn
: xn = 0} =
Rn−1
× {0} είναι
d(¯x, U′
) := inf{d(¯x, ¯y) : ¯y ∈ U′
} := inf{∥¯x − ¯y∥ : ¯y ∈ U′
}
= min{∥¯x − ¯y∥ : ¯y ∈ U′
} = |xn| = xn,
αφού για ¯y = (¯y′
, yn) ∈ U′
⇔ ¯y′
∈ Rn−1
, yn = 0, έχουμε
∥¯x − ¯y∥ = ∥(¯x′
, xn) − (¯x′
, yn)∥ =
√
∥¯x′ − ¯y′∥2 + (xn − yn)2
=
√
∥¯x′ − ¯y′∥2 + x2
n ≥ |xn| = ∥(¯x′
, xn) − (¯x′
, 0)∥
Συνεπώς ∀ ¯z ∈ B(¯x, xn) ⇔ ∥¯z−¯x∥ < xn έχουμε xn −zn ≤ |xn −zn| ≤ ∥¯x−¯z∥ < xn
και άρα zn > 0, δηλ. B(¯x, xn) ⊂ U. Έτσι έχουμε U ⊂ U◦
και αφού εξ ορισμού
U◦
⊂ U συνολικά U◦
= U.
Σύμφωνα με την Πρόταση 1.3.0.6,4
¯U = U ∪ {¯x ∈ Rn
: ¯x είναι σημείο συσσώρευσης του U}.
Έστω ¯y = (¯y′
, 0) ∈ U′
. Τότε ∀ ε > 0 : ¯y + ε
2
¯en ∈ U ∩ B(¯y, ε) {¯y} ̸= ∅ και άρα
το ¯y είναι σημείο συσσώρευσης του U. Εξ άλλου δεν είναι ούτε εσωτερικό ούτε
εξωτερικό σημείο του U.
13
14. 1. Ο ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ RN
Απ’ την άλλη, για ¯x = (¯x′
, xn) με xn < 0 ⇔ −xn > 0 ∀ ¯z ∈ B(¯x, −xn) ⇔
∥¯z − ¯x∥ < −xn έχουμε zn − xn ≤ |xn − zn| ≤ ∥¯x − ¯z∥ < −xn και άρα zn < 0, δηλ.
B(¯x, xn) ⊂ Rn
U. Συνεπώς τα ¯x = (¯x′
, xn) με xn < 0 είναι εξωτερικά σημεία και
δεν είναι σημεία συσσώρευσης. Άρα ¯U = {¯x ∈ Rn
: xn ≥ 0} και ∂U = U′
.
Α 5. Nα δειχθεί ότι: ∀ U ⊂ Rn
: ∂U = ¯U U◦
.
1.4 Ακολουθίες στον Rn
Οι ακολουθίες στον Rn
, συμβολικά (¯xν)ν∈N ⊂ Rn
ή απλούστερα (¯xν) ⊂ Rn
,
ορίζονται εντελώς ανάλογα με τις πραγματικές ακολουθίες (xν) ⊂ R και έχουν ως
επί το πλείστον τις ίδιες ιδιότητες με αυτές, που αποδεικνύονται πανομοιότυπα,
με μόνη διαφορά την αντικατάσταση της απόλυτης τιμής | · | στον R με την Ευ-
κλείδεια στάθμη ∥·∥ στον Rn
. Οι περισσότερες αυτών των ιδιοτήτων δεν είναι καν
χαρακτηριστικό των ακολουθιών στον Rn
αλλά ισχύουν όμοια και σε (πλήρεις) με-
τρικούς χώρους, αν αντικαταστήσουμε την απόσταση ∥¯x− ¯y∥ δύο σημείων στον Rn
με την μετρική d(x, y) του μετρικού χώρου στον οποίο βρίσκονται οι εξεταζόμενες
ακολουθίες.
Το βασικότερο αποτέλεσμα που προκύπτει από την μελέτη των ακολουθιών
στον Rn
είναι ότι κάθε ακολουθία Cauchy συγκλίνει, το οποίο τον καθιστά έναν
πλήρη μετρικό χώρο. Ειδικότερα, αφού ο Rn
είναι ένας σταθμητός χώρος, είναι
τώρα ένας πλήρης σταθμητός χώρος, δηλαδή ένας χώρος Banach, και ακόμα ει-
δικότερα, αφού η στάθμη του επάγεται από ένα εσωτερικό γινόμενο, είναι τώρα
ένας πλήρης χώρος με εσωτερικό γινόμενο, δηλαδή ένας χώρος Hilbert. Η γενική
θεωρία πλήρων χώρων με νόρμα ή εσωτερικό γινόμενο είναι αντικείμενο της Συ-
ναρτησιακής Ανάλυσης.
Ορισμός 1.4.0.5. Μια απεικόνιση ∀ ν ∈ N : ν → ¯xν ∈ Rn
ονομάζεται ακολουθία
στον Rn
και συμβολίζεται με (¯xν)ν∈N ⊂ Rn
ή πιο απλά (¯xν) ⊂ Rn
.
Ορισμός 1.4.0.6. Μια ακολουθία (¯xν) ⊂ Rn
συγκλίνει στο ¯x0 ∈ Rn
ή έχει όριο
το ¯x0 ∈ Rn
, συμβολικά ¯xν → ¯x0 όταν ν → ∞ ή απλούστερα ¯xν → ¯x0, αν
∥¯xν − ¯x0∥ → 0 στο R, δηλ.
¯xν → ¯x0 :⇔ ∥¯xν − ¯x0∥ → 0
⇔ ∀ ε > 0 ∃ ν0 ∈ N ∀ ν ∈ N, ν ≥ ν0 : ∥¯xν − ¯x0∥ < ε.
Πρόταση 1.4.0.7. Το όριο μιας συγκλίνουσας ακολουθίας (¯xν) ⊂ Rn
ορίζεται
μονοσήμαντα και συμβολίζεται με lim
ν→∞
¯xν.
Απόδειξη. Έστω ¯xν → ¯x0, ¯xν → ¯y0 με ¯x0 ̸= ¯y0, δηλ. ∥¯x0 − ¯y0∥ > 0. Τότε (για
ε = ∥¯x0−¯y0∥
2 > 0)
∃ ν1 ∈ N ∀ ν ∈ N, ν ≥ ν1 : ∥¯xν − ¯x0∥ <
∥¯x0 − ¯y0∥
2
∃ ν2 ∈ N ∀ ν ∈ N, ν ≥ ν2 : ∥¯xν − ¯y0∥ <
∥¯x0 − ¯y0∥
2
14
15. 1.4. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΤΟΝ RN
και άρα ∀ ν ∈ N, ν ≥ max{ν1, ν2}:
∥¯x0 − ¯y0∥ ≤ ∥¯x0 − ¯xν∥ + ∥¯xν − ¯y0∥ <
∥¯x0 − ¯y0∥
2
+
∥¯x0 − ¯y0∥
2
= ∥¯x0 − ¯y0∥,
άτοπο. □
Πρόταση 1.4.0.8. Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία (¯xν) ⊂ Rn
είναι και φραγμένη,
δηλ. ∃ r > 0 : (¯xν) ⊂ B(¯0, r).
Απόδειξη. Έστω ¯xν → ¯x0. Τότε (για ε = 1)
∃ ν0 ∈ N ∀ ν ∈ N, ν ≥ ν0 : ∥¯xν − ¯x0∥ < 1
και, αφού ∥¯xν∥ ≤ ∥¯xν − ¯x0∥ + ∥¯x0∥,
∃ ν0 ∈ N ∀ ν ∈ N, ν ≥ ν0 : ∥¯xν∥ < 1 + ∥¯x0∥.
Άρα
∀ ν ∈ N : ∥¯xν∥ ≤ max{∥¯x1∥, . . . , ∥¯xν0
∥, 1 + ∥¯x0∥} =: r0
και συνεπώς για κάθε r > r0 έχουμε το αποδεικτέο. □
Πρόταση 1.4.0.9.
¯xν = (x(1)
ν , . . . , x(n)
ν ) → ¯x0 = (x
(1)
0 , . . . , x
(n)
0 ) ⇔ ∀ i = 1, . . . , n : x(i)
ν → x
(i)
0
Απόδειξη. ⇒: Έστω ε > 0. Τότε, σύμφωνα με τον ορισμό της σύγκλισης ακολουθίας,
∃ ν0 ∈ N ∀ ν ∈ N, ν ≥ ν0 : ∥¯xν − ¯x0∥ < ε και αφού, σύμφωνα με την ισοδυναμία
(1.7), ∀ i = 1, . . . , n : |x
(i)
ν − x
(i)
0 | ≤ ∥¯xν − ¯x0∥∞ ≤ ∥¯xν − ¯x0∥, συνεπάγεται
∀ i = 1, . . . , n : ∃ ν0 ∈ N ∀ ν ∈ N, ν ≥ ν0 : |x(i)
ν − x
(i)
0 | < ε.
⇐: Έστω ε > 0. Τότε ∀ i = 1, . . . , n ∃ νi ∈ N ∀ ν ∈ N, ν ≥ νi : |x
(i)
ν − x
(i)
0 | < ε√
n
και άρα για ν0 := max{ν1, . . . , νn} έχουμε από τον ορισμό της ∥ · ∥∞ και την (1.7)
∀ ν ∈ N, ν ≥ ν0:
|x(i)
ν − x
(i)
0 | <
ε
√
n
∀ i = 1, . . . , n ⇒ ∥¯xν − ¯x0∥∞ <
ε
√
n
⇒ ∥¯xν − ¯x0∥ < ε.
□
Θεώρημα 1.4.0.1. (Bolzano-Weierstrass) Κάθε φραγμένη ακολουθία (¯xν) ⊂ Rn
έχει τουλάχιστον μια συγκλίνουσα υπακολουθία (¯xkν ) ⊂ (¯xν).
Απόδειξη. Αφού η (¯xν) = ((x
(1)
ν , . . . , x
(n)
ν )) ⊂ Rn
είναι φραγμένη, υπάρχει r > 0
τέτοιο ώστε
∀ i = 1, . . . , n : |x(i)
ν | ≤ ∥¯xν∥ < r ∀ ν ∈ N,
15
16. 1. Ο ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ RN
δηλ. οι ακολουθίες (x
(i)
ν ) ⊂ R είναι φραγμένες ∀ i = 1, . . . , n. Από το Θεώρημα
Bolzano-Weierstrass στον R γνωρίζουμε ότι για κάθε i = 1, . . . , n υπάρχει μια
συγκλίνουσα υπακολουθία της (x
(i)
ν ). Μπορούμε να κατασκευάσουμε μία υπακο-
λουθία
(¯xkν
) = ((x
(1)
kν
, . . . , x
(n)
kν
)) ⊂ (¯xν) = ((x(1)
ν , . . . , x(n)
ν ))
έτσι ώστε x
(i)
kν
→ x
(i)
0 ∈ R ∀ i = 1, . . . , n, δηλ. (Πρόταση 1.4.0.9) ¯xkν → ¯x0 :=
(x
(1)
0 , . . . , x
(n)
0 ) ∈ Rn
. Αυτό επιτυγχάνεται ως εξής: Έστω (x
(1)
ℓν
) μια συγκλίνουσα
υπακολουθία της (x
(1)
ν ). Θεωρούμε την (x
(2)
ℓν
). Ως υπακολουθία της (x
(2)
ν ) είναι και
αυτή φραγμένη και άρα εχει μια συγκλίνουσα υπακολουθία, έστω (x
(2)
mℓν
). Τότε
όμως θα συγκλίνει και η (x
(1)
mℓν
) ως υπακολουθία της συγκλίνουσας ακολουθίας
(x
(1)
ℓν
). Βρήκαμε λοιπόν μία υπακολουθία (¯xmℓν
) έτσι ώστε και η (x
(1)
mℓν
) και η
(x
(2)
mℓν
) να συγκλίνουν. Επιλέγοντας μια υπακολουθία-της έτσι ώστε η αντίστοιχη
της τρίτης συντεταγμένης να συγκλίνει, θα έχουμε ότι για αυτήν την υπακολουθία
θα συγκλίνουν οι αντίστοιχες και των τριών πρώτων συντεταγμένων. Συνεχίζοντας
έτσι, μετά από n βήματα, θα έχουμε κατασκευάσει την υπακολουθία (¯xkν ) της
οποίας οι αντίστοιχες όλων των συντεταγμένων της θα συγκλίνουν. □
Παρατήρηση. Τα όρια των συγκλινουσών υπακολουθιών της (¯xν) ονομάζονται ση-
μεία συσσώρευσης (ή οριακά σημεία) της ακολουθίας.
Ορισμός 1.4.0.7. Μια ακολουθία (¯xν) ⊂ Rn
λέγεται ακολουθία Cauchy (ή βασική
ακολουθία) αν ∀ ε > 0 ∃ ν0 ∈ N ∀ ν, µ ∈ N, ν, µ ≥ ν0 : ∥¯xν − ¯xµ∥ < ε.
Θεώρημα 1.4.0.2. Μια ακολουθία (¯xν) ⊂ Rn
συγκλίνει ανν είναι ακολουθία Cauchy.
Απόδειξη. (¯xν) είναι ακολουθία Cauchy
⇔ ∀ ε > 0 ∃ ν0 ∈ N ∀ ν, µ ∈ N, ν, µ ≥ ν0 : ∥¯xν − ¯xµ∥ < ε
⇔ ∀ ε > 0 ∃ ν0 ∈ N ∀ ν, µ ∈ N, ν, µ ≥ ν0 : ∥¯xν − ¯xµ∥∞ < ε
⇔ ∀ ε > 0 ∃ ν0 ∈ N ∀ ν, µ ∈ N, ν, µ ≥ ν0 : |x
(i)
ν − x
(i)
µ | < ε ∀ i = 1, . . . , n
⇔ ∀ i = 1, . . . , n : ∀ ε > 0 ∃ νi ∈ N ∀ ν, µ ∈ N, ν, µ ≥ νi : |x
(i)
ν − x
(i)
µ | < ε
⇔ ∀ i = 1, . . . , n: (x
(i)
ν ) είναι ακολουθία Cauchy στο R
⇔ ∀ i = 1, . . . , n: (x
(i)
ν ) συγκλίνει στο R
⇔ (¯xν) συγκλίνει στο Rn
Παρατήρηση: Να προσεχθεί ότι η δεύτερη έως τέταρτη πρόταση ισχυρίζονται ότι
”∀ ε > 0 ∃ νi(ε) ∈ N τέτοιο ώστε να ισχύει η πρόταση p(ε, νi(ε))”. Οι ισοδυναμίες
που τις περιέχουν ισχύουν συνολικά για όλα τα ε > 0. Ένα συγκεκριμένο (ε, νi(ε))
στο ένα μέρος μιας ισοδυναμίας μπορεί να αλλάζει στο άλλο. Αυτό ισχύει στην
δεύτερη ισοδυναμία, όπου αλλάζει το ε, και στην τέταρτη, όπου αλλάζει το νi. □
Πρόταση 1.4.0.10. ΄Εστω U ⊂ Rn
. Tο ¯x ∈ Rn
είναι σημείο συσσώρευσης του U
ανν ∃ (¯xν) ⊂ U {¯x} : ¯xν → ¯x.
16
17. 1.4. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΤΟΝ RN
Απόδειξη. ⇒: Αφού ∀ ε > 0: U∩B(¯x, ε){¯x} ̸= ∅, έχουμε ειδικότερα ∀ ν ∈ N ∃ ¯xν ∈
U ∩ B(¯x, 1
ν ) {¯x} και άρα ∥¯xν − ¯x∥ < 1
ν → 0, δηλ. ¯xν → ¯x.
⇐: Αφού ∀ ε > 0 ∃ ν ∈ N : ∥¯xν − ¯x∥ < ε και ¯xν ∈ U {¯x}, έχουμε ∀ ε > 0 :
U ∩ B(¯x, ε) {¯x} ̸= ∅. □
Πρόταση 1.4.0.11. Έστω U ⊂ Rn
. Τότε: ¯x ∈ ¯U ⇔ ∃ (¯xν) ⊂ U : ¯xν → ¯x.
Απόδειξη. Σύμφωνα με την Πρόταση 1.3.0.6 (4) αρκεί να δείξουμε ότι το δεξί μέρος
της ισοδυναμίας ισοδυναμεί με την πρόταση: ¯x ∈ U ή ¯x είναι σημείο συσσώρευσης
του U.
⇐: Έστω (¯xν) ⊂ U με ¯xν → ¯x. Αν υπάρχει ν0 ∈ N τέτοιο ώστε ∀ ν ≥ ν0:
¯xν = ¯x, τότε ¯x ∈ U. Αν για κάθε ν ∈ N υπάρχει ένα kν ≥ ν με ¯yν := ¯xkν ̸= ¯x,
τότε ¯yν → ¯x, αφού kν ≥ ν → ∞, δηλ. ∀ ε > 0 ∃ ¯yν ∈ U {¯x} : ∥¯yν − ¯x∥ < ε ή
ισοδύναμα ∀ ε > 0 ∃ ¯yν ∈ U ∩ B(¯x, ε) {¯x}.
⇒: Αν ¯x ∈ U τότε υπάρχει η (¯xν) ⊂ U με ¯xν := ¯x → ¯x. Αν ¯x ̸∈ U, τότε
∀ ν ∈ N ∃ ¯xν ∈ U ∩ B(¯x, 1
ν ) {¯x} και άρα ∥¯xν − ¯x∥ < 1
ν → 0, δηλ. ¯xν → ¯x.
Παρατήρηση: Να προσεχθεί ότι η ακολουθία (¯yν) της απόδειξης δεν είναι απαραί-
τητα υπακολουθία της (¯xν), αφού μπορεί για ν ̸= µ να έχουμε kν = kµ και άρα
¯yν = ¯yµ = ¯xkν , δηλ. ο ίδιος όρος της (¯xν) να έχει επιλεγεί δυο φορές. Αλλιώς;
αν το (kν) ⊂ N δεν αυξάνει γνήσια, τότε η (¯xkν ) δεν είναι υπακολουθία της (¯xν).
Όμως, ακόμα και για μια απλώς αύξουσα ακολουθία kν ≥ ν, η (¯yν) = (¯xkν ) τείνει
στο όριο της συγκλίνουσας (¯xν). □
Πρόταση 1.4.0.12. U ⊂ Rn
κλειστό ⇔ ∀ (¯xν) ⊂ U με ¯xν → ¯x0 ∈ Rn
: ¯x0 ∈ U.
Απόδειξη. Σύμφωνα με την Πρόταση 1.3.0.5 αρκεί να δείξουμε ότι το δεξί μέρος
της ισοδυναμίας ισοδυναμεί με το ότι το U περιέχει όλα τα σημεία συσσώρευσής
του.
⇒: Έστω (¯xν) ⊂ U με ¯xν → ¯x0 ∈ Rn
. Τότε αν ∃ ν0 ∈ N ∀ ν ∈ N, ν ≥ ν0 : ¯xν =
¯x0 δεν έχουμε τίποτα να δείξουμε. Αν ∀ ν ∈ N ∃ µ ∈ N, µ ≥ ν : ¯xµ ̸= ¯x0 επιλέγουμε
για κάθε ν ∈ N ένα τέτοιο ¯xµ =: ¯yν και έχουμε μια ακολουθία (¯yν) ⊂ U {¯x0}
με ¯yν → ¯x0 ∈ Rn
. Αλλά τότε το ¯x0 είναι σημείο συσσώρευσης του U, αφού ∀ ε >
0 ∃ ¯yν ∈ U{¯x0} : ∥¯yν − ¯x0∥ < ε ή ισοδύναμα ∀ ε > 0 ∃ ¯yν ∈ (U{¯x0})∩B(¯x0, ε).
⇐: Έστω ¯x0 ∈ Rn
σημείο συσσώρευσης του U. Τότε ∀ ν ∈ N ∃ ¯xν ∈ (U{¯x0})∩
B(¯x0, 1
ν ) και άρα ∥¯xν − ¯x0∥ ≤ 1
ν → 0, δηλ. ¯xν → ¯x0 ∈ U. □
Πρόταση 1.4.0.13. U ⊂ Rn
συμπαγές ⇔ ∀ (¯xν) ⊂ U ∃ (¯xkν ) ⊂ (¯xν) : lim
ν→∞
¯xkν ∈
U.
Απόδειξη. ⇒: Έστω (¯xν) ⊂ U. Αφού το U ⊂ Rn
είναι συμπαγές, εξ’ ορισμού
(βλ. τον Ορισμό 1.3.0.4 (2)) θα είναι και φραγμένο και άρα και η (¯xν) θα είναι
φραγμένη. Συνεπώς, σύμφωνα με το Θεώρημα Bolzano-Weierstrass (Θ. 1.4.0.1),
υπάρχει μια συγκλίνουσα υπακολουθία-της (¯xkν ) ⊂ (¯xν) ⊂ U με ¯xkν → ¯x0 ∈ Rn
.
Αλλά τότε ¯x0 ∈ U, σύμφωνα με την Πρόταση 1.4.0.12, αφού το U είναι κλειστό εξ’
ορισμού.
17
18. 1. Ο ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ RN
⇐: Έστω ότι το U δεν είναι φραγμένο, δηλ. ̸∃ r > 0 : U ⊂ B(¯0, r) ή ισοδύναμα
∀ r > 0 ∃ ¯x ∈ U : ∥¯x∥ ≥ r και συνεπώς ειδικότερα ∀ ν ∈ N ∃ ¯xν ∈ U : ∥¯xν∥ ≥ ν.
Άρα η (¯xν) δεν έχει συγκλίνουσες υπακολουθίες, αφού για κάθε (¯xkν ) ⊂ (¯xν) ισχύει
∥¯xkν ∥ ≥ kν > ν → ∞, και άρα η (¯xkν ) δεν είναι φραγμένη, ενώ μια συγκλίνουσα
ακολουθία είναι πάντα φραγμένη (Πρόταση 1.4.0.8).
Για να δείξουμε ότι το U είναι κλειστό, έστω ¯x ∈ ¯U. Τότε, σύμφωνα με την
Πρόταση 1.4.0.11, υπάρχει (¯xν) ⊂ U με ¯xν → ¯x. Aπό την υπόθεση, υπάρχει
(¯xkν ) ⊂ (¯xν) με ¯xkν → ¯x0 ∈ U. Αφού όμως κάθε υπακολουθία μιας συγκλίνουσας
ακολουθίας συγκλίνει στο ίδιο όριο (Άσκηση) έχουμε και ¯xkν → ¯x, και άρα από την
μοναδικότητα του ορίου συγκλίνουσας ακολουθίας (Πρόταση 1.4.0.7) ¯x = ¯x0 ∈ U.
Συνεπώς, ¯U ⊂ U και αφού U ⊂ ¯U, έχουμε U = ¯U κλειστό (Πρόταση 1.3.0.6 (1),
(2)). □
Α 6. Δείξτε ότι: ¯xν → ¯x ∈ Rn
⇒ ∥¯xν∥ → ∥¯x∥ ∈ R.
Λύση. Εξ’ ορισμού
¯xν → ¯x :⇔ ∥¯xν − ¯x∥ → 0
και από την Άσκηση 2, (εʹ)
0 ≤ |∥¯xν∥ − ∥¯x∥| ≤ ∥¯xν − ¯x∥.
Συνεπώς, από το Θεώρημα Ισοσυγκλινουσών (πραγματικών) Ακολουθιών προκύ-
πτει το αποδεικτέο.
Α 7. Έστω ¯x ∈ Rn
. Δείξτε ότι το μονοσύνολο {¯x} είναι συμπαγές.
Λύση. Προκύπτει άμεσα από την Πρόταση 1.4.0.13, αφού η μοναδική ακολουθία
(¯xν) ⊂ {¯x} είναι η σταθερή ακολουθία ¯xν = ¯x → ¯x.
18
19. Κεφάλαιο 2
Όρια και συνέχεια
συναρτήσεων
2.1 Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικών μεταβλη-
τών
Ορισμός 2.1.0.8. Έστω U ⊂ Rn
, n ∈ N. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση n
πραγματικών μεταβλητών f : U → R μια απεικόνιση από το U στο R,
U ∋ ¯x = (x1, . . . , xn) → f(¯x) = f(x1, . . . , xn) ∈ R
(δηλ. σε κάθε ¯x ∈ U ⊂ Rn
αντιστοιχούμε ένα μοναδικό f(¯x) ∈ R, την τιμή της f
στο ¯x). Το U είναι το πεδίο ορισμού, το R το πεδίο τιμών, το f(U) := {f(¯x) : ¯x ∈
U} ⊂ R το σύνολο τιμών ή η εικόνα, και το Γf := {(¯x, f(¯x)) : ¯x ∈ U} ⊂ Rn+1
το
γράφημα της f.
Παρατήρηση. Όταν n = 1 έχουμε τις γνωστές από το σχολείο και τους Απειροστι-
κούς Λογισμούς Ι και ΙΙ πραγματικές συναρτήσεις (μιας μεταβλητής) f : R ⊃ U →
R, ενώ όταν n > 2, λέμε ότι η f : Rn
⊃ U → R είναι μια πραγματική συνάρτηση
πολλών (ή περισσοτέρων) μεταβλητών, η μελέτη των οποίων (μαζί με την μελέτη
των διανυσματικών συναρτήσεων που θα γνωρίσουμε αργότερα) είναι το αντικεί-
μενο των Απειροστικών Λογισμών ΙΙΙ και IV, δηλ. της Ανάλυσης σε περισσότερες
μεταβλητές. Συνήθως όταν εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση (μίας ή πολλών
μεταβλητών) παραλλείπουμε τον όρο ”πραγματική” και αναφερόμαστε απλά σε
συνάρτηση, ενώ όταν εννοούμε μια διανυσματική συνάρτηση για λόγους σαφήνειας
καλό είναι να αναφέρουμε και τον όρο ”διανυσματική”.
Παρατήρηση. Στην περίπτωση n = 1 το γράφημα
Γf = {(x, f(x)) : x ∈ U ⊂ R} ⊂ R2
19
20. 2. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
της f : R ⊃ U → R, x → f(x), μπορεί να απεικονισθεί (γραφική παράσταση)
ως μια καμπύλη στο επίπεδο, R2
, ενώ στη περίπτωση n = 2 μιας πραγματικής
συνάρτησης δύο μεταβλητών f : R2
⊃ U → R το γράφημα
Γf = {(x1, x2, f(x1, x2)) : (x1, x2) ∈ U ⊂ R2
} ⊂ R3
της f μπορεί να απεικονισθεί ως μια επιφάνεια στον χώρο, R3
, αντιστοιχώντας σε
κάθε σημείο ¯x = (x1, x2) ∈ U ⊂ R2
του επιπέδου το ”ύψος” f(x1, x2) ∈ R της f
στο σημείο αυτό.
Παρατήρηση. Να προσεχθεί ότι όταν μια πραγματική συνάρτηση έχει πεδίο ορι-
σμού στον Rn
, το γράφημά της είναι πάντα ένα υποσύνολο (πιο συγκεκριμένα: μια
υπερεπιφάνεια) του Rn+1
.
ΣΧΗΜΑΤΑ
Ορισμός 2.1.0.9. Έστω f : U → R, U ⊂ Rn
, και c ∈ R. Ονομάζουμε σύνολο
στάθμης c της f το υποσύνολο του πεδίου ορισμού της στο οποίο η f έχει την τιμή
c ∈ R,
Lf(c) := {¯x ∈ U : f(¯x) = c} ⊂ U ⊂ Rn
.
Για n = 2 το σύνολο στάθμης ονομάζεται και καμπύλη στάθμης c της f : R2
⊃
U → R
Lf(c) = {(x1, x2) ∈ U : f(x1, x2) = c} ⊂ U ⊂ R2
,
ενώ για n = 3 το σύνολο στάθμης ονομάζεται και επιφάνεια στάθμης c της f :
R3
⊃ U → R
Lf(c) = {(x1, x2, x3) ∈ U : f(x1, x2, x3) = c} ⊂ U ⊂ R3
,
Παρατήρηση. Προφανώς Lf(c) = ∅, όταν η f δεν λαμβάνει την τιμή c, δηλ. c ̸∈
f(U) ⊂ R. Να προσεχθεί επίσης ότι στις περιπτώσεις n = 2, 3 καμπύλες και
επιφάνειες στάθμης, αντίστοιχα, είναι υποσύνολα του πεδίου ορισμού της f και
όχι απαραίτητα καμπύλες ή επιφάνειες με την γεωμετρική τους έννοια, βλ. τα
ακόλουθα παραδείγματα.
Παρατήρηση. Να προσεχθεί ότι όταν μια πραγματική συνάρτηση έχει πεδίο ορι-
σμού στον Rn
, τα σύνολα στάθμης της είναι πάντα υποσύνολα του πεδίου ορισμού
της και άρα του Rn
.
Παράδειγμα 2.1.0.1. Το γράφημα της συνάρτησης f(x1, x2) = x2
1 + x2
2, (x1, x2) ∈
R2
, είναι η επιφάνεια στον χώρο
Γf = {(x1, x2, x3) ∈ R3
: x3 = x2
1 + x2
2, (x1, x2) ∈ R2
} ⊂ R3
20
21. 2.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
δηλ. ένα παραβολοειδές από περιστροφή, και οι καμπύλες στάθμης c ∈ R δίνονται
από τα υποσύνολα του επιπέδου R2
Lf(c) = {(x1, x2) ∈ R2
: x2
1 + x2
2 = c}
=
{(x1, x2) ∈ R2
: x2
1 + x2
2 = (
√
c)2
} για c > 0,
{(0, 0)} για c = 0,
∅ για c < 0,
δηλαδή για c > 0 είναι οι κύκλοι του επιπέδου R2
κέντρου (0, 0) και ακτίνας√
c > 0.
ΣΧΗΜΑΤΑ
Αν για κάθε c ≥ 0 μεταφέρουμε την καμπύλη στάθμης c > 0 κάθετα προς το
επίπεδο x1x2 στο ύψος (στάθμη) x3 = c και ενώσουμε όλες αυτές τις καμπύλες
Lf(c) × {c} = {(x1, x2, c) ∈ R3
: (x1, x2) ∈ Lf(c)}
θα έχουμε συνολικά ολόκληρη την επιφάνεια Γf του παραβολοειδούς. Αυτό ισχύει
ανάλογα και για κάθε γράφημα μιας (πραγματικής) συνάρτησης δύο μεταβλητών.
Οι καμπύλες Lf(c) × {c} προκύπτουν δηλαδή από την τομή του γραφήματος Γf
με το επίπεδο x3 = c και οι καμπύλες στάθμης c είναι οι κάθετες προβολές τους
στο επίπεδο x3 = 0.
Παράδειγμα 2.1.0.2. Η σταθερή συνάρτηση στο επίπεδο f : R2
→ R, f(x1, x2) =
d ∈ R, ¯x = (x1, x2) ∈ R2
έχει ως γράφημα το οριζόντιο επίπεδο
Γf = {(x1, x2, x3) ∈ R3
: x3 = d, (x1, x2) ∈ R2
} ⊂ R3
δηλ. το επίπεδο x3 = d του R3
, και ως σύνολο (ή ”καμπύλη”) στάθμης c όλο το
πεδίο ορισμού της για c = d και το κενό σύνολο για c ̸= d,
Lf(c) =
{
R2
για c = d,
∅ για c ̸= d
⊂ R2
Βλέπουμε δηλαδή ότι και στις δύο περιπτώσεις το σύνολο στάθμης της σταθερής
συνάρτησης δεν είναι καμπύλη στον R2
με την γεωμετρική έννοια.
Γενικότερα, η σταθερή συνάρτηση στον Rn
, f(¯x) = d ∈ R, ¯x = (x1, . . . , xn) ∈
Rn
, έχει ως γράφημα το υπερεπίπεδο
Γf = {(¯x, xn+1) = (x1, . . . , xn, xn+1) ∈ Rn+1
: xn+1 = d, ¯x ∈ Rn
} ⊂ Rn+1
δηλ. το υπερεπίπεδο xn+1 = d του Rn+1
, και ως σύνολο στάθμης c όλο το πεδίο
ορισμού της για c = d και το κενό σύνολο για c ̸= d,
Lf(c) =
{
Rn
για c = d,
∅ για c ̸= d
⊂ Rn
.
Όταν n = 3 βλέπουμε ότι η ”επιφάνεια” στάθμης της σταθερής συνάρτησης είναι
όλο το R3
.
21
22. 2. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Α 8. Μελετήστε γραφικά την συνάρτηση f(x1, x2) = x2
1 −x2
2, (x1, x2) ∈ R2
. Ειδικό-
τερα, δώστε το γραφήμά της Γf και τις καμπύλες στάθμης c, Lf(c). Προσπαθήστε
να σχεδιάσετε την f χρησιμοποιώντας και τις τομές του γραφήματός της με τα
επίπεδα x1 = a, x2 = b και x3 = c για κατάλληλα επιλεγμένα a, b, c ∈ R.
Α 9. Να μελετήσετε την Παράγραφο 2.1 του [?] και να κάνετε όσες περισσότερες
μπορείτε από τις Ασκήσεις 1-31 της παραγράφου αυτής.
2.2 Όρια πραγματικών συναρτήσεων
Ορισμός 2.2.0.10. Έστω U ⊂ Rn
, f : U → R, ¯x0 ∈ Rn
σημείο συσσώρευσης του U
και ℓ ∈ R. Τότε λέμε ότι η f τείνει (ή συγκλίνει) στο ℓ όταν το ¯x τείνει στο ¯x0 ή
η f έχει στο ¯x0 το όριο ℓ, συμβολικά f(¯x) → ℓ όταν ¯x → ¯x0, αν
∀ (¯xν) ⊂ U {¯x0} : ¯xν → ¯x0 ⇒ f(¯xν) → ℓ
Παρατήρηση. Να προσεχθεί ότι στον πιο πάνω ακολουθιακό ορισμό η σύγκλιση
¯xν → ¯x0 λαμβάνει χώρα στον Rn
, ενώ η σύγκλιση f(¯xν) → ℓ λαμβάνει χώρα στον
R.
Πρόταση 2.2.0.14. Έστω U ⊂ Rn
, f : U → R, ¯x0 ∈ Rn
σημείο συσσώρευσης του
U και ℓ ∈ R. Τότε
f(¯x) → ℓ όταν ¯x → ¯x0 ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ ¯x ∈ U ∩ B(¯x0, δ) {¯x0} : |f(¯x) − ℓ| < ε
Απόδειξη. ⇒: Έστω ότι ∃ ε > 0 ∀ δ > 0 ∃ ¯x ∈ U∩B(¯x0, δ){¯x0} : |f(¯x)−ℓ| ≥ ε. Τότε
ειδικότερα ∀ ν ∈ N ∃ ¯xν ∈ U∩B(¯x0, 1
ν ){¯x0} : |f(¯xν)−ℓ| ≥ ε, δηλ. ∃ (¯xν) ⊂ U{¯x0}
με ¯xν → ¯x0 και f(¯xν) ̸→ ℓ, άτοπο.
⇐: Έστω (¯xν) ⊂ U{¯x0} με ¯xν → ¯x0 και ε > 0. Τότε ∃ δ > 0 ∀ ¯x ∈ U∩B(¯x0, δ)
{¯x0} : |f(¯x)−ℓ| < ε. Απ΄ την άλλη, ∃ ν0 ∈ N ∀ ν ∈ N, ν ≥ ν0 : ¯xν ∈ U∩B(¯x0, δ){¯x0}.
Συνεπώς, ∀ ν ∈ N, ν ≥ ν0 : |f(¯xν) − ℓ| < ε.
Πρόταση 2.2.0.15. Έστω U ⊂ Rn
, f : U → R και ¯x0 ∈ Rn
σημείο συσσώρευσης
του U. Το όριο μιας συγκλίνουσας συνάρτησης f όταν το ¯x τείνει στο ¯x0 είναι
μοναδικό και συμβολίζεται με lim
¯x→¯x0
f(¯x).
Απόδειξη. Έστω ότι όταν το ¯x τείνει στο ¯x0 η f τείνει και στο ℓ1 και στο ℓ2 με
|ℓ1 − ℓ2| > 0. Τότε για i = 1, 2
∃ δi > 0 ∀ ¯x ∈ U ∩ B(¯x0, δi) {¯x0} : |f(¯x) − ℓi| <
|ℓ1 − ℓ2|
2
και άρα για δ := min{δ1, δ2} > 0 έχουμε
∀ ¯x ∈ U ∩ B(¯x0, δ) {¯x0} : |ℓ1 − ℓ2| ≤ |ℓ1 − f(¯x)| + |f(¯x) − ℓ2| < |ℓ1 − ℓ2|,
άτοπο.
22
23. 2.2. ΟΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Παρατήρηση. (αʹ) Από την Πρόταση 2.2.0.14 προκύπτει
lim
¯x→¯x0
f(¯x) = ℓ ⇔ lim
¯x→¯x0
|f(¯x) − ℓ| = 0.
(βʹ) Αφού το ¯x0 είναι εσωτερικό σημείο του U, θα υπάρχει ένα δ0 > 0 με
B(¯x0, δ0) ⊂ U, και αφού ∀ δ > 0: ¯x ∈ B(¯x0, δ) ⇔ ¯η := ¯x − ¯x0 ∈ B(¯0, δ),
έχουμε
lim
¯x→¯x0
f(¯x) = ℓ ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ ∈ (0, δ0) ∀ ¯x ∈ B(¯x0, δ) {¯x0} : |f(¯x) − ℓ| < ε
⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ ∈ (0, δ0) ∀ ¯η ∈ B(¯0, δ) {¯0} : |f(¯x0 + ¯η) − ℓ| < ε
⇔ lim
¯η→¯0
f(¯x0 + ¯η) = ℓ.
Ορισμός 2.2.0.11. Έστω f, g : U → R, U ⊂ Rn
. Τότε ορίζονται
(αʹ) το άθροισμα των f και g,
f + g : U → R, (f + g)(¯x) := f(¯x) + g(¯x) ∀ ¯x ∈ U,
(βʹ) το βαθμωτό γινόμενο της f με το α ∈ R,
αf : U → R, (αf)(¯x) := αf(¯x) ∀ ¯x ∈ U,
(γʹ) το γινόμενο των f και g,
fg : U → R, (fg)(¯x) := f(¯x)g(¯x) ∀ ¯x ∈ U,
(δʹ) αν g(¯x) ̸= 0 ∀ ¯x ∈ U, το πηλίκο της f δια την g,
f
g
: U → R,
(
f
g
)
(¯x) :=
f(¯x)
g(¯x)
∀ ¯x ∈ U,
(εʹ) η σύνθεση της f με την h : V → R, f(U) ⊂ V ⊂ R,
h ◦ f : U → R, (h ◦ f)(¯x) := h(f(¯x)) ∀ ¯x ∈ U.
Θεώρημα 2.2.0.3. Έστω f, g : U → R, U ⊂ Rn
, ¯x0 σημείο συσσώρευσης του U
και lim
¯x→¯x0
f(¯x) = ℓ ∈ R, lim
¯x→¯x0
g(¯x) = m ∈ R. Τότε υπάρχουν τα όρια
(αʹ) lim
¯x→¯x0
(f + g)(¯x) = ℓ + m,
(βʹ) lim
¯x→¯x0
(αf)(¯x) = α ℓ για α ∈ R,
(γʹ) lim
¯x→¯x0
(fg)(¯x) = ℓ m,
23
24. 2. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
(δʹ) lim
¯x→¯x0
(
f
g
)
(¯x) =
ℓ
m
, αν m ̸= 0,
(εʹ) lim
¯x→¯x0
(h ◦ f)(¯x) = h(ℓ) για h : V → R, f(U) ⊂ V ⊂ R, συνεχή στο ℓ ∈ V.
Απόδειξη. Οι αποδείξεις των 1, 3 και 4 αφήνονται ως ασκήσεις.
Απόδειξη του 5: Έστω (¯xν) ∈ U {¯x0} με ¯xν → ¯x0. Τότε (f(¯xν)) ⊂ V με
f(¯xν) → ℓ ∈ V και άρα, αφού η h : V → R είναι συνεχής στο ℓ, (h ◦ f)(¯xν) =
h(f(¯xν)) → h(ℓ).
Απόδειξη του 2: Ακολουθεί αμέσως από το 5 για h(y) = αy, y ∈ R.
Πόρισμα 2.2.0.1. Έστω f : U → R, U ⊂ Rn
, ¯x0 σημείο συσσώρευσης του U και
lim
¯x→¯x0
f(¯x) = ℓ ∈ R. Τότε υπάρχουν τα όρια
(αʹ) lim
¯x→¯x0
|f(¯x)| = |ℓ|,
(βʹ) lim
¯x→¯x0
√
|f(¯x)| =
√
|ℓ|.
Απόδειξη. Προκύπτει άμεσα από το Θεώρημα 2.2.0.3, 5 για τις συνεχείς συναρτή-
σεις h(y) = |y|, y ∈ R, και h(y) =
√
|y|, y ∈ R, αντίστοιχα.
Παράδειγμα 2.2.0.3. (αʹ) H f(x, y) = x, (x, y) ∈ R2
, έχει γράφημα το κεκλιμένο
επίπεδο στον R3
Γf = {(x, y, x) ∈ R3
: (x, y) ∈ R2
}
με αλγεβρική εξίσωση στον χώρο z = x και καμπύλες στάθμης c ∈ R τις
ευθείες
Lf(c) = {(x, y) ∈ R2
: x = c} = {(c, y) ∈ R2
: y ∈ R}
με αλγεβρική εξίσωση στο επίπεδο xy την x = c. Επίσης
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = lim
(x,y)→(x0,y0)
x = x0,
αφού
|f(x, y) − x0| = |x − x0| ≤ ∥(x, y) − (x0, y0)∥
και άρα ∀ ε > 0 ∃ δ := ε > 0 τέτοιο ώστε ∀ (x, y) ∈ B((x0, y0), δ), δηλ.
∀ (x, y) ∈ R2
με ∥(x, y) − (x0, y0)∥ < δ να ισχύει |f(x, y) − x0| < ε.
(βʹ) H f(x, y) = xy, (x, y) ∈ R2
, έχει γράφημα
Γf = {(x, y, xy) ∈ R3
: (x, y) ∈ R2
}
με αλγεβρική εξίσωση z = xy και καμπύλες στάθμης c ∈ R
Lf(c) = {(x, y) ∈ R2
: xy = c}
24
25. 2.3. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
δηλαδή τις υπερβολές στο επίπεδο xy με αλγεβρική εξίσωση y =
c
x
. Επίσης,
σύμφωνα με το Παράδειγμα 2.2.0.3.1 και την άλγεβρα ορίων, για ¯x = (x, y),
¯x0 = (x0, y0)
lim
¯x→¯x0
xy = lim
¯x→¯x0
x · lim
¯x→¯x0
y = x0y0
(γʹ) f(x, y) = sin(x2
+y2
)
x2+y2 = sin(∥¯x∥2
)
∥¯x∥2 = f(¯x), ∥¯x∥ > 0. Βλέπουμε ότι η f εξαρτάται
μόνο από την απόσταση του ¯x = (x, y) από το σημείο αναφοράς ¯0 = (0, 0).
(Mια τέτοια συνάρτηση ονομάζεται συχνά ακτινική (radial).)
2.3 Συνέχεια πραγματικών συναρτήσεων
Ορισμός 2.3.0.12. Η συνάρτηση f : U → R, U ⊂ Rn
, λέγεται
(αʹ) συνεχής στο σημείο ¯x0 ∈ U, αν
∀ (¯xν) ⊂ U : ¯xν → ¯x0 ⇒ f(¯xν) → f(¯x0)
(βʹ) συνεχής στο A ⊂ U, αν η f : U → R είναι συνεχής σε κάθε σημείο ¯x0 ∈ A.
(γʹ) συνεχής, αν η f : U → R είναι συνεχής στο U.
Παρατήρηση. Να προσεχθεί ότι όταν το δεν είναι ανοικτό μπορεί ο περιορισμός
της f : U → R στο ⊂ U,
f|A : A → R, f|A(¯x) := f(¯x) ∀¯x ∈ A
να είναι συνεχής, ενώ η f να μην είναι συνεχής στο .
(Αντιπαράδειγμα; Γιατί αυτό δεν μπορεί να συμβεί όταν το A είναι ανοικτό;)
Παρατήρηση. Σύμφωνα με τον προηγούμενο ορισμό μια συνάρτηση είναι συνεχής
σε κάθε μεμονωμένο σημείο του πεδίου ορισμού της. (Γιατί;) Συνήθως όμως όταν
μιλάμε για την συνέχεια μιας συνάρτησης f : U → R σε ένα σημείο ¯x0 ∈ U
υπονοούμε ότι το ¯x0 είναι σημείο συσσώρευσης του U. Τότε, σύμφωνα με τον
ορισμό του ορίου συνάρτησης, ισχύουν οι ισοδυναμίες (η απόδειξή τους αφήνεται
ως άσκηση)
f συνεχής στο ¯x0 ⇔ lim
¯x→¯x0
f(¯x) = f(¯x0)
⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ ¯x ∈ U ∩ B(¯x0, δ) : |f(¯x) − f(¯x0)| < ε
και λέμε ισοδύναμα ότι η f έχει στο ¯x0 το όριο f(¯x0) ή η f τείνει στο f(¯x0) όταν το
¯x τείνει στο ¯x0, συμβολικά f(¯x) → f(¯x0) όταν ¯x → ¯x0.
Αποδεικνύεται ότι η πρόσθεση, το βαθμωτό γινόμενο, το γινόμενο, το πηλίκο
και η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχείς συναρτήσεις. Πιο συγκεκριμένα
ισχύει:
25
26. 2. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θεώρημα 2.3.0.4. Έστω f, g : U → R συνεχείς στο ¯x0 ∈ U ⊂ Rn
. Τότε οι
ακόλουθες συναρτήσεις είναι συνεχείς στο ¯x0:
(αʹ) f + g,
(βʹ) αf για α ∈ R,
(γʹ) fg,
(δʹ)
f
g
, αν g(¯x0) ̸= 0,
(εʹ) h ◦ f για h : V → R, f(U) ⊂ V ⊂ R, συνεχή στο f(¯x0).
Απόδειξη. Σύμφωνα με την Παρατήρηση 2.5, αν το ¯x0 είναι μεμονωμένο σημείο του
U δεν χρειάζεται να αποδείξουμε τίποτα, ενώ αν το ¯x0 είναι σημείο συσσώρευσης,
το παρόν θεώρημα είναι πόρισμα του Θεωρήματος 2.2.0.3.
Πόρισμα 2.3.0.2. Έστω f : U → R συνεχής στο ¯x0 ∈ U ⊂ Rn
. Τότε οι συναρτήσεις
|f| : U → R, |f|(¯x) := |f(¯x)| ∀ ¯x ∈ U,
√
|f| : U → R,
√
|f|(¯x) :=
√
|f(¯x)| ∀ ¯x ∈ U,
είναι συνεχείς στο ¯x0.
Απόδειξη. Προκύπτει άμεσα από το Θεώρημα 2.5.0.8, 3 για τις συνεχείς συναρτή-
σεις h(y) = |y|, y ∈ R, και h(y) =
√
|y|, y ∈ R, αντίστοιχα.
Ορισμός 2.3.0.13. Έστω U ⊂ Rn
. Tο σύνολο των συνεχών συναρτήσεων f : U → R
ονομάζεται χώρος των συνεχών συναρτήσεων και συμβολίζεται με
C(U) := {f : U → R : f συνεχής}.
Πόρισμα 2.3.0.3.
f, g ∈ C(U), α ∈ R ⇒ f + g, αf, fg, |f|,
√
|f| ∈ C(U)
Θεώρημα 2.3.0.5. Έστω f : U → R συνεχής και U ⊂ Rn
συμπαγές. Τότε το f(U)
είναι συμπαγές και η f λαμβάνει μέγιστο και ελάχιστο στο U, τα
max f := max f(U) = max{f(¯x) ∈ R : ¯x ∈ U},
min f := min f(U) = min{f(¯x) ∈ R : ¯x ∈ U},
αντίστοιχα, δηλ.
∃ ¯xm, ¯xM ∈ U : min f = f(¯xm) ≤ f(¯x) ≤ f(¯xM) = max f ∀ ¯x ∈ U.
26
27. 2.3. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Απόδειξη. Το ότι το f(U) ⊂ R είναι συμπαγές προκύπτει ως ειδική περίπτωση
m = 1 του Θεωρήματος 2.5.0.10. Όμως κάθε συμπαγές υποσύνολο του R λαμβάνει
μέγιστο και ελάχιστο. Στην περίπτωση του min f η αναλυτική απόδειξη έχει ως
εξής:
Αφού το f(U) ⊂ R είναι συμπαγές είναι και φραγμένο. Άρα έχει μέγιστο κάτω
φράγμα
inf f := inf f(U) = inf{f(¯x) ∈ R : ¯x ∈ U} ∈ R,
δηλ.
∀ ν ∈ N ∃ (¯xν) ⊂ U : f(¯xν) ∈
[
inf f, inf f +
1
ν
)
και άρα f(¯xν) → inf f. Τότε όμως, αφού το f(U) είναι και κλειστό, θα ισχύει
σύμφωνα με την Πρόταση 1.4.0.12, inf f = min f ∈ f(U), δηλ. ∃ ¯xm ∈ U : f(¯xm) =
min f. □
Ορισμός 2.3.0.14. Η συνάρτηση f : U → R, U ⊂ Rn
, λέγεται ομοιόμορφα συνεχής
αν
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ ¯x, ¯y ∈ U, ∥¯x − ¯y∥ ≤ δ : |f(¯x) − f(¯y)| < ε
Θεώρημα 2.3.0.6. Έστω U ⊂ Rn
συμπαγές και f : U → R συνεχής. Τότε η f είναι
ομοιόμορφα συνεχής.
Απόδειξη. Είναι η ειδική περίπτωση m = 1 του Θεωρήματος 2.5.0.11. □
Παραδείγματα συνεχών συναρτήσεων: σταθερή, πολυώνυμικές, ρητές, προκύ-
πτουσες από σύνθεση συναρτήσεων.
Ασκήσεις
Α 10. Αποδείξτε τις ισοδυναμίες της Παρατήρησης 2.5.
Λύση. Η δεύτερη ισοδυναμία καθώς και η κατεύθυνση ”⇒” της πρώτης είναι προ-
φανείς. Για την κατεύθυνση ”⇐” της πρώτης ισοδυναμίας, έστω (¯xν) ⊂ U με ¯xν →
¯x0. Τότε, αν ∃ ν0 ∈ N ∀ ν ∈ N, ν ≥ ν0 : ¯xν = ¯x0, προφανώς f(¯xν) = f(¯x0) → f(¯x0).
Αν δεν ισχύει η προηγούμενη υπόθεση, τότε αφαιρώντας από την ακολουθία (¯xν)
όλους τους όρους ¯xν = ¯x0 έχω μια υπακολουθία (¯yn) ⊂ (¯xn)∩U{¯x0} με ¯yν → ¯x0
και άρα f(¯yν) → f(¯x0), δήλ. ∀ ε > 0 ∃ ν0 ∈ N ∀ ν ∈ N, ν ≥ ν0 : |f(¯yν)−f(¯x0)| < ε.
Το τελευταίο όμως θα ισχύει και αν αντικαταστήσω το ¯yν με το ¯xν, αφού ισχύει
και για τους αφαιρεθέντες όρους.
(Εναλλακτικά μπορούμε να πάμε και από το δεξιό μέλος της δεύτερης ισοδυνα-
μίας στον αριστερό μέλος της πρώτης όπως στην Πρόταση 2.2.0.14: Έστω (¯xν) ⊂ U
με ¯xν → ¯x0 και ε > 0. Τότε ∃ δ > 0 ∀ ¯x ∈ U ∩ B(¯x0, δ) : |f(¯x) − f(¯x0)| < ε. Απ΄ την
άλλη, ∃ ν0 ∈ N ∀ ν ∈ N, ν ≥ ν0 : ¯xν ∈ U ∩ B(¯x0, δ). Συνεπώς, ∀ ν ∈ N, ν ≥ ν0 :
|f(¯xν) − f(¯x0)| < ε.)
27
28. 2. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
2.4 Διανυσματικές συναρτήσεις
Ορισμός 2.4.0.15. Έστω U ⊂ Rn
, n ∈ N. Μια συνάρτηση n πραγματικών μετα-
βλητών ¯f : U → Rm
, m ∈ N,
Rn
⊃ U ∋ ¯x = (x1, . . . , xn) → ¯f(¯x) =
f1(¯x)
...
fm(¯x)
=
f1(x1, . . . , xn)
...
fm(x1, . . . , xn)
∈ Rm
με συνιστώσες τις (πραγματικές) συναρτήσεις fj : U → R, j = 1, . . . , m, ονομάζεται
διανυσματική συνάρτηση όταν m ≥ 2 και πραγματική ή βαθμωτή συνάρτηση
όταν m = 1.
Παρατήρηση. H ¯f : U → Rm
, U ⊂ Rn
, έχει πεδίο ορισμού το U, πεδίο τιμών
το Rm
, σύνολο τιμών ή εικόνα το ¯f(U) := {¯f(¯x) : ¯x ∈ U} ⊂ Rm
και γράφημα το
Γ¯f := {(¯x, ¯f(¯x)) : ¯x ∈ U} ⊂ Rn+m
.
Όταν n = 1, το πεδίο ορισμού της ¯f : U → Rm
είναι ένα διάστημα U = ⊂ R και
η ¯f συνεχής (βλ. πιο κάτω) το σύνολο τιμών (!) της ¯f(U) := {¯f(t) : t ∈ U} ⊂ Rm
δίνει
μια καμπύλη στον Rm
και γι’ αυτό η ¯f ονομάζεται (παραμετρική) καμπύλη στον
Rm
με παράμετρο την ανεξάρτητη μεταβλητή t ∈ I. Συνήθως χρησιμοποιούμε το t
(αντί του x) για να συμβολίσουμε την ανεξάρτητη μεταβλητή γιατί φανταζόμαστε
ότι η τιμή ¯f(t) ∈ Rm
της καμπύλης αντιστοιχεί στην θέση ενός κινούμενου σημείου
στον χώρο Rm
την χρονική στιγμή t ∈ I. Ειδικότερα στους χώρους Rm
με διάσταση
m = 1, 2, 3 συμβολίζουμε τις συνιστώσες της καμπύλης ¯f με x, y, z:
m = 1 : ¯f(t) = f(t) = x(t) ∈ R, t ∈ I (καμπύλη στην ευθεία)
m = 2 : ¯f(t) =
(
x(t)
y(t)
)
∈ R2
, t ∈ I (καμπύλη στο επίπεδο)
m = 3 : ¯f(t) =
x(t)
y(t)
z(t)
∈ R3
, t ∈ I (καμπύλη στον χώρο)
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕ ΣΧΗΜΑΤΑ
Όταν m = n ≥ 2 οι διανυσματικές συνάρτησεις ¯f : U → Rn
, U ⊂ Rn
, λέγονται
διανυσματικό πεδία. Αυτά αντιστοιχούν σε κάθε διάνυσμα του χώρου ¯x ∈ Rn
ένα διάνυσμα ίδιας διάστασης ¯f(¯x)Rn
και χρησιμοποιούνται ευρέως στις Φυσικές
Επιστήμες και στην Γεωμετρία κυρίως στις διαστάσεις m = n = 2, 3. Γραφικά,
παριστάνουμε τα διανυσματικά πεδία σχεδιάζοντας σε κάθε σημείο του χώρου
¯x ∈ Rn
ένα βέλος με αρχή το σημείο ¯x και κατεύθυνση και μήκος που αντιστοιχεί
στο διάνυσμα ¯f(¯x).
Παράδειγμα 2.4.0.4.
Ρευστό σταθερής ροής σε σωλήνα
28
29. 2.5. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜ. ΣΥΝΑΡΤ.
Πεδίο βαρύτητας
Περιστροφική κίνηση με ταχύτητα εξαρτώμενη από την απόσταση από την αρχή
των αξόνων
Περιστροφική κίνηση με σταθερό μήκος ταχύτητας
2.5 Όρια και συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων
Οι ορισμοί, οι προτάσεις και οι αποδείξεις τους που γνωρίσαμε στις παραγρά-
φους 2.2 και 2.3 σχετικά με τα όρια και την συνέχεια πραγματικών συναρτήσεων
f : U → R ισχύουν στο μεγαλύτερό τους μέρος ανάλογα και για διανυσματικές
συναρτήσεις ¯f : U → Rm
, αφού οι πρώτες είναι η ειδική περίπτωση m = 1 των
δεύτερων. Εξαίρεση αποτελούν τα αποτελέσματα που σχετίζονται με την (εσωτε-
ρική) πράξη του πολλαπλασιασμού και την διάταξη στον R τις οποίες δεν έχουμε
ορίσει στον Rm
για m ≥ 2. Κατά τα άλλα ουσιαστικά αρκεί να αντικαταστήσουμε
στις σχετικές έννοιες την απόλυτη τιμή | · |, που είναι η Ευκλείδεια μετρική στο
πεδίο τιμών R των πραγματικών συναρτήσεων, με την Ευκλείδεια μετρική ∥·∥ στο
πεδίο τιμών Rm
των διανυσματικών συναρτήσεων.
Για αυτούς τους λόγους αναφέρουμε στα επόμενα τα ισχύοντα σχετικά με τα
όρια και την συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων n πραγματικών μεταβλητών
χωρίς απόδειξη και προ(σ)καλούμε τον αναγνώστη να ελέγξει τα παραπάνω λε-
χθέντα ξαναδιαβάζοντας τις σχετικές αποδείξεις στις παραγράφους 2.2 και 2.3
και κάνοντας νοερά την αναφερθείσα αντικατάσταση. Στα επόμενα ισχύει πάντα
n, m, k ∈ N.
Ορισμός 2.5.0.16. Έστω U ⊂ Rn
, ¯f : U → Rm
, ¯x0 ∈ Rn
σημείο συσσώρευσης του
U και ¯ℓ ∈ Rm
. Τότε λέμε ότι η ¯f τείνει (ή συγκλίνει) στο ¯ℓ όταν το ¯x τείνει στο
¯x0 ή η f έχει στο ¯x0 το όριο ¯ℓ, συμβολικά f(¯x) → ¯ℓ όταν ¯x → ¯x0, αν
∀ (¯xν) ⊂ U {¯x0} : ¯xν → ¯x0 ⇒ ¯f(¯xν) → ¯ℓ
Παρατήρηση. H σύγκλιση ¯xν → ¯x0 λαμβάνει χώρα στον Rn
, ενώ η σύγκλιση
¯f(¯xν) → ¯ℓ λαμβάνει χώρα στον Rm
.
Πρόταση 2.5.0.16. Έστω U ⊂ Rn
, ¯f : U → Rm
, ¯x0 ∈ Rn
σημείο συσσώρευσης
του U και ¯ℓ ∈ Rm
. Τότε
¯f(¯x) = (f1(¯x), . . . , fm(¯x)) → ¯ℓ = (ℓ1, . . . , ℓm) όταν ¯x → ¯x0
⇔ ∀ j = 1, . . . , m : fj(¯x) → ℓj όταν ¯x → ¯x0
⇔ ∀ j = 1, . . . , m : lim
¯x→¯x0
fj(¯x) = ℓj
⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ ¯x ∈ U ∩ B(¯x0, δ) {¯x0} : ∥¯f(¯x) − ¯ℓ∥ < ε
⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ ¯x ∈ U ∩ B(¯x0, δ) {¯x0} : ¯f(¯x) ∈ B(¯ℓ, ε)
29
30. 2. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Απόδειξη.
∀ (¯xν) ⊂ U {¯x0} : ¯xν → ¯x0 ⇒ ¯f(¯xν) → ¯ℓ
⇔ ∀ (¯xν) ⊂ U {¯x0} : ¯xν → ¯x0 ⇒ fj(¯xν) → ℓj ∀ j = 1, . . . , m
⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ ¯x ∈ U ∩ B(¯x0, δ) {¯x0} : |fj(¯x) − ℓj| < ε ∀ j = 1, . . . , m
⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ ¯x ∈ U ∩ B(¯x0, δ) {¯x0} : ∥¯f(¯x) − ¯ℓ∥ < ε
Πρόταση 2.5.0.17. Έστω U ⊂ Rn
, ¯f : U → Rm
και ¯x0 ∈ Rn
σημείο συσσώρευσης
του U. Το όριο μιας συγκλίνουσας συνάρτησης ¯f όταν το ¯x τείνει στο ¯x0 είναι
μοναδικό και συμβολίζεται με lim
¯x→¯x0
¯f(¯x).
Παρατήρηση. Από την προτελευταία ισοδυναμία της Πρότασης 2.5.0.16 και την
Πρόταση 2.2.0.14 έχουμε
lim
¯x→¯x0
¯f(¯x) = ¯ℓ ⇔ lim
¯x→¯x0
∥¯f(¯x) − ¯ℓ∥ = 0,
και άρα, σύμφωνα με την Παρατήρηση 2.2 (2), επίσης
lim
¯x→¯x0
¯f(¯x) = ¯ℓ ⇔ lim
¯η→¯0
¯f(¯x0 + ¯η) = ¯ℓ.
Ορισμός 2.5.0.17. Η συνάρτηση ¯f : U → Rm
, U ⊂ Rn
, λέγεται
(αʹ) συνεχής στο σημείο ¯x0 ∈ U, αν
∀ (¯xν) ⊂ U : ¯xν → ¯x0 ⇒ ¯f(¯xν) → ¯f(¯x0)
(βʹ) συνεχής στο A ⊂ U, αν η ¯f : U → Rm
είναι συνεχής σε κάθε σημείο ¯x0 ∈ A.
(γʹ) συνεχής, αν η ¯f : U → Rm
είναι συνεχής στο U.
Παρατήρηση. Μια διανυσματική συνάρτηση είναι συνεχής σε κάθε μεμονωμένο
σημείο του πεδίου ορισμού της. Όταν το ¯x0 είναι σημείο συσσώρευσης του U ισχύει
¯f συνεχής στο ¯x0 ⇔ lim
¯x→¯x0
¯f(¯x) = ¯f(¯x0)
Και στις δύο περιπτώσεις ισχύουν οι ισοδυναμίες
¯f συνεχής στο ¯x0 ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ ¯x ∈ U ∩ B(¯x0, δ) : ∥¯f(¯x) − ¯f(¯x0)∥ < ε
⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ ¯x ∈ U ∩ B(¯x0, δ) : ¯f(¯x) ∈ B(¯f(¯x0), ε)
⇔ ∀ j = 1, . . . , m : fj συνεχείς στο ¯x0, όπου ¯f = (f1, . . . , fm).
Ορισμός 2.5.0.18. Έστω ¯f, ¯g : U → Rm
, U ⊂ Rn
. Τότε ορίζονται
(αʹ) το άθροισμα των ¯f και ¯g,
¯f + ¯g : U → R, (¯f + ¯g)(¯x) := ¯f(¯x) + ¯g(¯x) ∀ ¯x ∈ U,
30
31. 2.5. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜ. ΣΥΝΑΡΤ.
(βʹ) το βαθμωτό γινόμενο της ¯f με το α ∈ R,
α¯f : U → R, (α¯f)(¯x) := α¯f(¯x) ∀ ¯x ∈ U,
(γʹ) η σύνθεση της ¯f με την ¯h : V → Rk
, f(U) ⊂ V ⊂ Rm
,
¯h ◦ ¯f : U → R, (¯h ◦ ¯f)(¯x) := ¯h(¯f(¯x)) ∀ ¯x ∈ U.
Θεώρημα 2.5.0.7. Έστω ¯f, ¯g : U → Rm
, U ⊂ Rn
, ¯x0 σημείο συσσώρευσης του U
και lim
¯x→¯x0
¯f(¯x) = ¯ℓ ∈ Rm
, lim
¯x→¯x0
¯g(¯x) = ¯m ∈ Rm
. Τότε υπάρχουν τα όρια
(αʹ) lim
¯x→¯x0
(¯f + ¯g)(¯x) = ¯ℓ + ¯m,
(βʹ) lim
¯x→¯x0
(α¯f)(¯x) = α¯ℓ για α ∈ R,
(γʹ) lim
¯x→¯x0
(¯h ◦ ¯f)(¯x) = ¯h(ℓ) για h : V → Rk
, ¯f(U) ⊂ V ⊂ Rm
, συνεχή στο ¯ℓ ∈ V.
(δʹ) lim
¯x→¯x0
∥¯f(¯x)∥ = ∥¯ℓ∥,
(εʹ) lim
¯x→¯x0
√
∥¯f(¯x)∥ =
√
∥¯ℓ∥.
Απόδειξη. Η απόδειξη του 1 αφήνεται ως άσκηση.
Απόδειξη του 3: Έστω (¯xν) ∈ U {¯x0} με ¯xν → ¯x0. Τότε (¯f(¯xν)) ⊂ V με
¯f(¯xν) → ¯ℓ ∈ V και άρα, αφού η ¯h : V → Rk
είναι συνεχής στο ¯ℓ, (¯h ◦ ¯f)(¯xν) =
¯h(¯f(¯xν)) → ¯h(¯ℓ).
Απόδειξη των 2, 4, 5: Προκύπτουν άμεσα από το 3 για τις συνεχείς συναρτήσεις
¯h1(¯y) = α¯y ∈ Rm
, h2(¯y) = ∥¯y∥ ∈ R και h3(¯y) =
√
∥¯y∥ ∈ R για ¯y ∈ Rm
,
αντίστοιχα.
Θεώρημα 2.5.0.8. Έστω ¯f, ¯g : U → Rm
συνεχείς στο ¯x0 ∈ U ⊂ Rn
. Τότε οι
ακόλουθες συναρτήσεις είναι συνεχείς στο ¯x0:
(αʹ) ¯f + ¯g,
(βʹ) α¯f για α ∈ R,
(γʹ) ¯h ◦ ¯f για ¯h : V → Rk
, ¯f(U) ⊂ V ⊂ Rm
, συνεχή στο ¯f(¯x0),
(δʹ) ∥¯f∥, όπου ∥¯f∥ : U → R, ∥¯f∥(¯x) := ∥¯f(¯x)∥ ∀ ¯x ∈ U,
(εʹ)
√
∥¯f∥, όπου
√
∥¯f∥ : U → R,
√
∥¯f∥(¯x) :=
√
∥¯f(¯x)∥ ∀ ¯x ∈ U,
Ορισμός 2.5.0.19. Έστω U ⊂ Rn
. Tο σύνολο των συνεχών συναρτήσεων ¯f : U →
Rm
ονομάζεται χώρος των συνεχών συναρτήσεων και συμβολίζεται με
C(U; Rm
) := {¯f : U → Rm
: ¯f συνεχής}.
31
32. 2. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θεώρημα 2.5.0.9. To C(U; Rm
) εφοδιασμένο με τις πράξεις της πρόσθεσης και
του βαθμωτού πολλαπλασιασμού είναι διανυσματικός χώρος. Ειδικότερα ισχύει
¯f, ¯g ∈ C(U; Rm
), α ∈ R ⇒ ¯f + ¯g, α¯f ∈ C(U; Rm
).
Θεώρημα 2.5.0.10. Έστω ¯f : U → Rm
συνεχής και U ⊂ Rn
συμπαγές. Τότε το
¯f(U) είναι συμπαγές.
Απόδειξη. Έστω (¯yν) ⊂ ¯f(U). Τότε υπάρχει (¯xν) ⊂ U με ¯f(¯xν) = ¯yν και αφού το
U είναι συμπαγές θα υπάρχει (¯xkν ) ⊂ (¯xν) με ¯xkν → ¯x0 ∈ U, σύμφωνα με την
Πρόταση 1.4.0.13. Αφού όμως η ¯f είναι συνεχής, θα ισχύει ¯ykν = f(¯xkν ) → f(¯x0) ∈
¯f(U). □
Ορισμός 2.5.0.20. Η συνάρτηση ¯f : U → Rm
, U ⊂ Rn
, λέγεται ομοιόμορφα
συνεχής αν
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ ¯x, ¯y ∈ U, ∥¯x − ¯y∥ < δ : ∥¯f(¯x) − ¯f(¯y)∥ < ε.
Θεώρημα 2.5.0.11. Έστω U ⊂ Rn
συμπαγές και ¯f : U → Rm
συνεχής. Τότε η ¯f
είναι ομοιόμορφα συνεχής.
Απόδειξη. Έστω ότι η ¯f δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής, δηλ.
∃ ε > 0 ∀ δ > 0 ∃ ¯x, ¯y ∈ U, ∥¯x − ¯y∥ < δ : ∥¯f(¯x) − ¯f(¯y)∥ ≥ ε.
Έστω ένα τέτοιο ε > 0. Τότε ειδικότερα (για δ = 1
ν )
∀ ν ∈ N ∃ ¯xν, ¯yν ∈ U, ∥¯xν − ¯yν∥ <
1
ν
: ∥¯f(¯xν) − ¯f(¯yν)∥ ≥ ε.
Έστω μια τέτοια ακολουθία (¯xν) ⊂ U. Αφού το U είναι συμπαγές, υπάρχει (¯xkν ) ⊂
(¯xν) με ¯xkν → ¯x0 ∈ U, σύμφωνα με την Πρόταση 1.4.0.13. Τότε όμως ισχύει και
¯ykν
→ ¯x0 ∈ U, αφού
∥¯ykν
− ¯x0∥ ≤ ∥¯ykν
→ ¯xkν
∥ + ∥¯xkν
− ¯x0∥ ≤
1
kν
+ ∥¯xkν
− ¯x0∥ → 0.
Αλλά η ¯f είναι συνεχής. Άρα
¯f(¯xkν ) → ¯f(¯x0), ¯f(¯ykν ) → ¯f(¯x0)
και συνεπώς ¯f(¯xkν ) − ¯f(¯ykν ) → ¯0, δηλ. και για το ε > 0 που επιλέξαμε πιο πάνω
υπάρχει ν0 ∈ N με ∥¯f(¯xkν0
) − ¯f(¯ykν0
)∥ < ε, άτοπο. □
Α 11. Έστω U ⊂ Rn
ανοικτό, ¯x0 ∈ U, ¯f = (f1, . . . , fm) : U → Rm
συνεχής στο ¯x0
με ¯f(¯x0) = ¯0 και ¯g : U → Rm
φραγμένη (δηλ., ¯g(U) ⊂ Rm
φραγμένο). Να δείξετε
ότι οι συναρτήσεις (fj ¯g)(¯x) := fj(¯x)¯g(¯x), j = 1, . . . , m, και (¯f · ¯g)(¯x) := ¯f(¯x) · ¯g(¯x),
¯x ∈ U, είναι συνεχείς στο ¯0.
32
33. Κεφάλαιο 3
Διαφόριση
3.1 Μερικές παράγωγοι
Ορισμός 3.1.0.21. Έστω f : U → R, U ⊂ Rn
ανοικτό, n ≥ 2. Η f λέγεται
(αʹ) (μια φορά) μερικώς διαφορίσιμη (ή μερικώς παραγωγίσιμη) ως προς την i-
οστή μεταβλητή στο σημείο ¯x ∈ U, αν υπάρχει η i-οστή μερική παράγωγος
(πρώτης τάξης) της f στο σημείο ¯x
∂f
∂xi
(¯x) := lim
h→0
f(¯x + h¯ei) − f(¯x)
h
∈ R,
όπου ¯ei ∈ Rn
το βασικό διάνυσμα (¯ei)j :=
{
1, i = j,
0, i ̸= j
για i, j = 1, . . . , n,
(βʹ) μερικώς διαφορίσιμη στο σημείο ¯x ∈ U, αν υπάρχουν οι μερικές παράγωγοί
της στο ¯x ως προς όλες τις μεταβλητές της,
∂f
∂xi
(¯x) ∈ R ∀ i = 1, . . . , n,
(γʹ) μερικώς διαφορίσιμη ως προς την i-οστή μεταβλητή, αν είναι μερικώς δια-
φορίσιμη ως προς την i-οστή μεταβλητή σε κάθε σημείο ¯x ∈ U, δηλ. αν
υπάρχει η i-οστή μερική παράγωγος της f
∂f
∂xi
: U → R,
(δʹ) μερικώς διαφορίσιμη, αν είναι μερικώς διαφορίσιμη ως προς κάθε μεταβλητή
(ή, ισοδύναμα, αν είναι μερικώς διαφορίσιμη σε κάθε σημείο ¯x ∈ U),
∂f
∂xi
: U → R ∀ i = 1, . . . , n,
33
34. 3. ΔΙΑΦΟΡΙΣΗ
(εʹ) συνεχώς μερικώς διαφορίσιμη, αν η f είναι μερικώς διαφορίσιμη και οι με-
ρικές παράγωγοί της ως προς κάθε μεταβλητή είναι συνεχείς,
∂f
∂xi
∈ C(U) ∀ i = 1, . . . , n.
Συμβολισμός. Για την i-οστή μερική παράγωγο μιας συνάρτησης f : U → R στο
σημείο ¯x ∈ U χρησιμοποιούνται στην βιβλιογραφία κυρίως οι εξής συμβολισμοί
∂f
∂xi
(¯x) =
∂f(¯x)
∂xi
=
∂
∂xi
f(¯x) = ∂xi
f(¯x) = ∂if(¯x) = fxi
(¯x).
Παρατήρηση. Για τον ορισμό της i-οστής μερικής παραγώγου σε ένα σημείο ¯x ∈ U
δεν είναι απαραίτητο το U να είναι ανοικτό. Αρκεί το ¯x να είναι σημείο συσσώρευ-
σης του U ως προς την i-οστή μεταβλητή, δηλ. να υπάρχει μια μηδενική ακολουθία
μη μηδενικών όρων (hν) (σύντομα: 0 ̸= hν → 0) με ¯x + hν¯ei ∈ U.
Παρατήρηση. H i-οστή μερική παράγωγος στο σημείο ¯x = (x1, . . . , xn) ∈ U ⊂ Rn
μιας συνάρτησης f : U → R είναι η παράγωγος στο σημείο xi ∈ R της f ως συνάρ-
τηση της i-οστής πραγματικής μεταβλητής και με τις υπόλοιπες μεταβλητές στα-
θερές xj (j ̸= i): Θεωρώντας την συνάρτηση fi(x) := f(x1, . . . , xi−1, x, xi+1, . . . , xn)
έχουμε
∂f
∂xi
(¯x) = lim
h→0
f(x1, . . . , xi−1, xi + h, xi+1, . . . , xn) − f(x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . , xn)
h
= lim
h→0
fi(xi + h) − fi(xi)
h
= lim
x→xi
fi(x) − fi(xi)
x − xi
= f′
i(xi).
Συνεπώς, για την i-οστή μερική παράγωγο της f στο σημείο ¯x = (x1, . . . , xn)
ισχύουν όλα όσα ισχύουν για την παράγωγο της fi στο σημείο xi.
Παραδείγματα 3.1.0.1. (αʹ) f(x, y) = ex2
+y2
= e∥(x,y)∥2
, (x, y) ∈ R2
: Θεωρώ-
ντας τις συναρτήσεις f1(x) := ex2
+y2
, όπου θεωρούμε το y ως σταθερά, και
f2(y) := ex2
+y2
, όπου θεωρούμε το x ως σταθερά, έχουμε f′
1(x) = 2xex2
+y2
και f′
2(y) = 2yex2
+y2
για κάθε (x, y) ∈ R2
. Συνεπώς, σύμφωνα με την Πα-
ρατήρηση 3.1, η f είναι μερικώς διαφορίσιμη με μερικές παραγώγους τις
∂f
∂x
(x, y) = 2xex2
+y2
,
∂f
∂y
(x, y) = 2yex2
+y2
∀ (x, y) ∈ R2
,
και επειδή οι μερικές της παράγωγοι
∂f
∂x
: R2
→ R και
∂f
∂y
: R2
→ R είναι
συνεχείς, η f είναι συνεχώς μερικώς διαφορίσιμη.
(βʹ) f(¯x) = ∥¯x∥, ¯x ∈ Rn
: H f είναι συνεχής (στο Rn
) και συνεχώς μερικώς διαφο-
ρίσιμη στο Rn
{¯0} με συνεχείς μερικές παραγώγους στο Rn
{¯0}
∂f
∂xi
(¯x) =
xi
∥¯x∥
∀ ¯x ∈ Rn
{¯0},
34
35. 3.1. ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
ενώ δεν είναι μερικώς διαφορίσιμη στο ¯0 ως προς καμία μεταβλητή, αφού
δεν υπάρχουν τα όρια
lim
h→0
f(¯0 + h¯ei) − f(¯0)
h
= lim
h→0
f(h¯ei)
h
= lim
h→0
∥h¯ei∥
h
= lim
h→0
|h|
h
.
Επίσης οι μερικές παράγωγοί της δεν είναι συνεχώς επεκτάσιμες στο Rn
,
αφού τα όρια lim
¯x→0
∂f
∂xi
(¯x) = lim
¯x→0
xi
∥¯x∥
δεν υπάρχουν. (Γιατί;)
(γʹ) Έστω η h : (0, ∞) → R (συνεχώς) διαφορίσιμη. Τότε η f(¯x) := h(∥¯x∥),
¯x ∈ Rn
{¯0}, είναι (συνεχώς) μερικώς διαφορίσιμη με (συνεχείς) μερικές
παραγώγους
∂f
∂xi
(¯x) =
∂
∂xi
h(∥¯x∥) = h′
(∥¯x∥)
xi
∥¯x∥
, ∀ ¯x ∈ Rn
{¯0}.
Για h(z) = ez2
και n = 2 έχουμε τo Παράδειγμα 1 και για h(z) = z έχουμε το
Παράδειγμα 2 αντίστοιχα. Στην πρώτη περίπτωση βλέπουμε ότι οι
∂f
∂xi
είναι
συνεχώς επεκτάσιμες στο Rn
, ενώ στην δεύτερη δεν είναι. (Πού οφείλεται
αυτό;)
(δʹ) Για n ≥ 2 έστω η f : Rn
→ R με
f(¯x) =
x1 . . . xn
∥¯x∥n
για ¯x ̸= ¯0,
0 για ¯x = ¯0.
Η f είναι συνεχώς μερικώς διαφορίσιμη στο Rn
{¯0} με μερικές παραγώγους
∂f
∂xi
(¯x) =
x1 . . . xi−1xi+1 . . . xn(∥¯x∥2
− nx2
i )
∥¯x∥n+2
∀ ¯x ∈ Rn
{¯0}
(βλ. Παρατ. 3.1). Η f είναι όμως και μερικώς διαφορίσιμη στο σημείο ¯0 με
i-οστή μερική παράγωγο
∂f
∂xi
(¯0) = lim
h→0
f(¯0 + h¯ei) − f(¯0)
h
= lim
h→0
f(h¯ei)
h
= lim
h→0
0
h
= 0.
Συνεπώς, η f είναι μερικώς διαφορίσιμη στο Rn
και συνεχώς μερικώς δια-
φορίσιμη στο Rn
{¯0} αλλά όχι στο Rn
, αφού για ¯xν = (x
(1)
ν , . . . , x
(n)
ν )
με x(i)
ν =
1
ν
, x
(j)
ν = 0 ∀ ν ∈ N, j ̸= i:
∂f
∂xi
(¯xν) = 0 → 0 για ν → ∞,
με x
(i)
ν = 0, x(j)
ν =
1
ν
∀ ν ∈ N, j ̸= i:
∂f
∂xi
(¯xν) =
ν
(n − 1)
n
2
→ ∞ για ν → ∞,
35
