1. Chương 7
ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ
(Estimation)
7.1 KHÁI NIỆM CHUNG
Xét một tập hợp chính gồm N biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất là f (x,θ); trong
đó θ là các tham số thống kê của tập hợp chính.
Thí dụ:
Trong phân phối nhị thức:
f (x, θ ) = C n ρ x (1 − ρ ) n − x
x
⇒ θ = ρ, θ ∈ [0 , 1]
Trong phân phối poisson
e λ λx
f (x, θ ) =
x! ⇒θ=λ λ>0
Trong phân phối chuẩn
(x − µ )2
1 −
f (x, θ ) = e 2σ 2
2πσ 2
⇒ θ = (µ, σ2) ;
-∞ < µ < +∞ ; 0 < σ2 < +∞
Gọi {x1, x2,.... , xn} là mẫu ngẫu nhiên, cỡ mẫu n được dùng lấy ra từ tập hợp chính tuân
theo hàm mật độ xác suất f (x,θ). Ở đây dạng của hàm f xem như đã biết còn các tham số
thống kê θ của tập hợp chính xem như chưa biết.
Vấn đề đặt ra ở chương trình này là dựa vào các mẫu quan sát {x1,x2,...,xn} ta ước lượng
xem giá trị cụ thể của θ bằng bao nhiêu (bài toán đó gọi là ước lượng điểm ) hoặc ước
lượng xem θ nằm trong khoảng nào (bài toán ước lượng khoảng).
7.2 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM (Point Estimation)
7.2.1 Ước lượng và giá trị ước lượng (Estimator And Estimate)
a) Ước lượng (Estimator) và hàm ước lượng
- Là biến ngẫu nhiên hay các tham số thống kê của mẫu được dùng để ước lượng các
tham số thống kê chưa biết của tập hợp chính.
- ˆ
Ước lượng của tham số thống kê θ của tập hợp chính được ký hiệu là θ
- ˆ ˆ
Dựa vào mẫu {x1,x2...,xn} người ta lập ra Hàm θ = θ (x1,x2,....,xn) để ước lượng
ˆ
cho θ. θ được gọi là hàm ước lượng của θ hay gọi tắt là ước lượng của θ.
Cao Hào Thi 74

2. ˆ
θ chỉ phụ thuộc vào giá trị quan sát x1, x2, ... ,xn chứ không phụ thuộc vào các tham
số chưa biết θ của tập hợp chính.
b) Giá trị ước lượng (Estimate) hay còn gọi là giá trị ước lượng điểm (Point
Estimate)
ˆ
Là giá trị cụ thể của ước lượng θ và được xem như giá trị ước lượng của tham số thống
kê θ của tập hợp chính.
Tham số thống kê và tập hợp Giá trị ước lượng
Ước lượng (Estimation)
chính (Population Parameter) Estimate (Point estimate)
Số trung bình µ X
Phương sai σ2
x Sx2
Độ lệch chuẩn σx Sx
Tỷ lệ p ˆ
f
7.2.2 Ước lượng không chệch: (Unbiased Estimators)
a) Ước lượng không chệch:
Ước lượng θ được gọi là ước lượng không chệch của tham số thống kê θ nếu kỳ vọng
ˆ
của θ là θ.
ˆ
E (θ ) = θ
Thí dụ
E( X ) = µ => X là ước lượng không chệch của µ
E(Sx2) = σ 2 => Sx2 là ước lượng không chệch cuả σ 2
x x
ˆ ˆ
E ( f ) = p => f là ước lượng không chệch của p
b) Độ chệch (The Bias)
ˆ
Gọi θ là ước lượng của θ: ˆ ˆ
Bias( θ ) = E ( θ ) - θ
Đối với ước lượng không chệch ⇒ Bias = độ chệch = 0
c) Ước lượng hiệu quả tốt nhất:
ˆ ˆ
Gọi θ 1 và θ 2 là 2 ước lượng không chệch của θ dựa trên số lượng của mẫu quan sát
giống nhau.
o ˆ ˆ
θ 1 được gọi là hiệu quả hơn θ 2 nếu: ˆ ˆ
Var ( θ 1) < Var ( θ 2)
o Hiệu quả tương đối giữa hai ước lượng là tỉ số giữa 2 phương sai của chúng.
ˆ
Var (θ 2 )
Hiệu quả tương đối (Relative Efficency) =
ˆ
Var (θ )
1
Cao Hào Thi 75

3. ˆ
o Nếu θ là ước lượng không chệch của θ và nếu không có một ước lượng không
ˆ ˆ
chệch nào có phương sai nhỏ hơn phương sai của θ thì θ đuợc gọi là ước lượng
ˆ
tốt nhất (Best Estimator) hay θ còn gọi là ước lượng không chệch có phương sai
nhỏ nhất của θ (Minimum Variance Unbiased Estimator of θ)
θ1
θ2
θ1
θ2
ˆ
θ 1 : ước lượng không chệch của θ ˆ ˆ
θ 1 θ 2: ước lượng không chệch của θ
ˆ
θ 2 : ước lượng chệch của θ ˆ ˆ
θ 1 ước lượng hiệu quả hơn θ 2:
d) Sai số bình phương trung bình (Mean Squared Error - MSE)
ˆ
Sai số bình phương trung bình của ước lượng θ được định nghĩa như sau:
ˆ ˆ
MSE( θ ) = E [( θ - θ)2]
Người ta chứng minh được rằng:
ˆ ˆ ˆ
MSE ( θ ) = Var( θ ) + [θ - E ( θ )]2
ˆ ˆ ˆ
MSE ( θ ) = Var ( θ ) + [ Bias( θ )]2
ˆ
Nếu θ là ước lượng không chệch ta có:
ˆ
Bias( θ ) = 0
⇒ ˆ ˆ
MSE ( θ ) = Var ( θ )
e) Ước lượng nhất quán vững (Consistent Estimators)
ˆ ˆ
θ n = θ (x1, x2,... xn) gọi là ước lượng vững của θ nếu với mọi ε > 0 ta có:
ˆ
lim P( | θ n - θ | ≤ ε) = 1
i →∞
ˆ
tức là dãy θ n hội tụ theo xác suất tới θ khi n → ∞
Cao Hào Thi 76

4. 7.3 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG (Interval Estimation)
7.3.1 Khoảng tin cậy (Confidence Interval)
a) Ước lượng khoảng và giá trị ước lượng khoảng
(Interval Estimator And Interval Estimate).
Ước lượng khoảng: Ước lượng khoảng đối với tham số thống kê của tập hợp chính θ
là một quy tắc dựa trên thông tin của mẫu để xác định miền (Range) hay khoảng
(Interval) mà tham số θ hầu như nằm trong đó.
Gía trị ước lượng khoảng: là giá trị cụ thể của miền hay khoảng mà tham số θ nằm
trong đó.
b) Khoảng tin cậy và độ tin cậy (Confidence Interval and Level of Confidence)
Gọi θ là tham số thống kê chưa biết. Giả sử dựa trên thông tin của mẫu ta có thể xác
định được 2 biến ngẫu nhiên A và B sao cho
P (A < θ < B) = 1 - α với 0 < α < 1
Nếu giá trị cụ thể của biến ngẫu nhiên A và B là a và b thì khoảng (a,b) từ a đến b
được gọi là khoảng tin cậy của θ với xác suất là (1 - α)
Xác suất (1 - α) được gọi là độ tin cậy của khoảng.
Ghi chú:
o Trong thực tế, độ tin cậy (1-α) do nhà thống kê chọn theo yêu cầu của mình,
thông thường độ tin cậy được chọn là 0,90; 0,95; 0,99...
o α là xác suất sai lầm khi chọn khoảng tin cậy (a, b)
7.3.2 Khoảng tin cậy đối với số trung bình của phân phối chuẩn trong trường hợp
đã biết phương sai của tập hợp chính:
Nghĩa là đi tìm ước lượng của µ trong N (µ, σx2) khi đã biến σx2
a) Điểm phần trăm giới hạn trên Z (Upper Percentage Cut Off Point)
Gọi Z là biến ngẫu nhiên chuẩn hóa và α là số bất kỳ sao cho 0 < α < 1
Zα là điểm phần trăm giới hạn trên nếu.
P (Z > Zα ) = α
Ghi chú:
P (Z > Zα) = FZ (Zα) = 1 - α
Cao Hào Thi 77

5. α
Z
Ζα
P (-Zα/2 < Z < Zα/2) = 1 - α
Chứng minh:
α
Do tính đối xứng: P(Z > Zα/2 ) =
2
α
P (Z < -Zα/2) =
2
α α
⇒ P (-Zα/2 < Z < Zα/2) = 1 - - =1-α
2 2
fZ(z)
α/2 α/2
Z
−Ζα 0 Ζα
b) Khoảng tin cậy của µ trong N(µ, σx2) khi đã biến σx2
Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên vơí cỡ mẫu n từ phân phối chuẩn N(µ, σx2 ). Nếu σx2 và
số trung bình mẫu đã biết, giá trị trung bình tập hợp chính được tính bởi.
− Z α / 2σ x − Z α / 2σ x
x− < µ < x+
n n
Trong đó Zα/2 là số có P (Z > Zα/2) = α/2 với Z là biến ngẫu nhiên chuẩn chuẩn hóa.
Chứng minh:
Ta có:
P ( - Zα/2 < Z < Zα/2) =1-α
X −µ
P ( - Zα/2 < < Zα/2) = 1 - α
σX / n
Z σ Z σ
P (- α / 2 x < X − µ < α / 2 x ) = 1 - α
n n
Zα / 2σ x Z σ
P( X- < µ < X + α / 2 x )= 1 - α
n n
Cao Hào Thi 78

6. Thí dụ:
Giả sử trọng lượng của các học sinh lớp 2 tuân theo phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn
1,2kg. Mẫu ngẫu nhiên gồm 25 học sinh có trung bình là 19,8kg. Tìm khoảng tin cậy 95%
đối với trọng lượng trung bình của tất cả học sinh lớp 2 trong 1 trường.
Giải:
Ta có: 100 (1 - α) = 95 ⇒ α = 0,05
⇒ Zα/2 =Z0,025
⇒ P(Z > Z0,025) = 0,025
P(Z < Z0,025) = FZ (Z0,025) = 1 - 0,025 = 0,975
Tra bảng ta có: Z0,025 = 1,96
Khoảng tin cậy 95% đối với số trung bình tập chính µ sẽ là
Z α / 2σ x Z α / 2σ X
x− < µ < x+
n n
Với X = 19,8 kg σx = 1,2 kg n = 25 Zα/2 = 1,96
Vậy : 19,33 < µ < 20,27
Ghi chú:
Zα / 2σ x
ε= : gọi là độ chính xác của ước lượng hay dung sai
n
X là trung tâm của khoảng tin cậy với bề rộng của khoảng tin cậy của µ là
2Z α / 2 σ x
W= = 2ε
n
o W càng nhỏ thì ước lượng càng chính xác ( ≡ ε càng nhỏ)
o Với xác suất α và cỡ mẫu nhỏ, σx càng lớn thì W càng lớn.
o Với α và σx cho trước, n càng lớn thì W càng nhỏ.
o Với σx và n cho trước, (1 - α) càng lớn thì W càng nhỏ
n = 25 σx = 1.2 1-α = 0.99
n = 25 σx = 1.2 1-α = 0.95
n = 64 σx = 1.2 1-α = 0.95
n = 25 σx = 1.2 1-α = 0.95
c) Khoảng tin cậy của số trung bình µ trong tập hợp chính trường hợp cỡ mẫu lớn.
Giả sử ta có mẫu với cỡ mẫu là n được lấy từ tập hợp chính có số trung bình là µ.
Gọi X là số trung bình của mẫu và Sx là phương sai của mẫu.
Cao Hào Thi 79

7. Nếu n lớn thì khoảng tin cậy với xác suất 100(1-α) % đối với µ được xem đúng là:
Zα / 2 SX Zα / 2 Sx
x− < µ < x+
n n
Ghi Chú:
o Sự ước lượng này gần đúng ngay cả khi tập hợp chính không theo phân phối
chuẩn.
o Khi n lớn ta có thể xem gần đúng Sx = σx
7.3.3 Phân phối Stutent t:
Trong phần trước, ta đi tìm khoảng tin cậy của µ trong N (µ, σx2) khi đã biết σx2 hoặc tìm
khoảng tin cậy của µ khi có mẫu lớn.
Trong trường hợp không biết phương sai σx2 và cỡ mẫu không lớn, để tìm khoảng tin cậy
của µ ta cần phải có một phân phối thích hợp hơn, đó là phân phối Student t.
a) Phân phối Student t
Cho mẫu ngẫu nhiên với cỡ n với số trung bình của mẫu X và độ lệch chuẩn mẫu Sx;
mẫu được lấy ra từ tập hợp chính với số trung bình là µ.
Biến ngẫu nhiên :
x−µ
t=
Sx / n
t tuân theo phân phối Student t với độ tự do là n - 1
Phân phối chuẩn f(t)
Phân phối Student t
với độ tự do là 3
t
0
Biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo phân phối Studen t với độ tự do ν nếu hàm mật
độ xác định có dạng.
(ϑ + 1)
x2 −
(1 + ) 2
f x (x ) = ϑ
1 ϑ
ϑ B( , )
2 2
Cao Hào Thi 80

8. b) Điểm phần trăm giới hạn trên tν,α:
Biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối Student t với độ tự do ν, được ký hiệu là tν. tν,α là
điểm phần trăm giới hạn trên nếu:
P(tν > tν,α) = α
Người ta lập bảng tính sẳn cho các giá trị diện tích ở dưới đường cong từ tν,α đến +∞
f(tυ)
α
t
0 tυ,α
Tương tự phần trăm trên ta có:
P(-tν,α/2 < tν < tν,α/2) = 1 - α
f(tυ)
α/2 α/2
t
−tυ,α/2 0 tυ,α/2
7.3.4 Khoảng tin cậy đối với số trung bình µ trong phân phối chuẩn khi chưa biết
phương sai:
(Khoảng tin cậy của µ trong N(µ, σx2) khi chưa biết σx2
Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên với cỡ mẫu n từ phân phối chuẩn với số trung bình là µ và
phương sai σx2 chưa biết. Nếu số trung bình mẫu là X và độ lệch chuẩn mẫu là Sx thì
khoảng tin cậy của số trung bình tập hợp chính µ sẽ được tính bởi .
t n −1,α / 2 S x t n −1,α / 2 S x
x− <µ<x+
n n
α
Trong đó tn-1,α/2 là số có P(tn-1 > tn-1,α/2) = và tn-1 là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối
2
Student với độ tự do là n - 1
Chứng minh:
Cao Hào Thi 81

9. P(-tn-1,α/2 < tn-1 < tn-1,α/2) = 1 - α
⎛ X−µ ⎞
P⎜ − t n −1,α / 2 <
⎜ < t n −1,α / 2 ⎟ = 1 − α
⎟
⎝ Sx / n ⎠
⎛ − t n −1,α / 2 S x t n −1,α / 2 S x ⎞
P⎜
⎜ < X −µ < ⎟ = 1− α
⎟
⎝ n n ⎠
⎛ t n −1,α / 2 S x t n −1,α / 2 S x ⎞
P⎜ X −
⎜ <µ<X+ ⎟ = 1− α
⎟
⎝ n n ⎠
Thí dụ: Mẫu ngẫu nhiên của trọng lượng 6 học sinh lớp 2 có giá trị như sau:
18,6kg 18,4kg 19,2kg 20,8kg 19,4kg 20,5kg
Tìm khoảng tin cậy 90% đối với số trung bình của tất cả học sinh lớp 2. Gỉa sử rằng phân
phối trọng lượng của tất cả học sinh lớp 2 là phân phối chuẩn.
Giải:
Trước hết ta phải tìm số trung bình mẫu X và phương sai mẫu Sx
i xi xi
2
1 18,6 345,96
2 18,4 338,56
3 19,2 368,64
4 20,8 432,64
5 19,4 376,36
6 20,5 420,25
Tổng 116,9 2282,4
Số trung bình mẫu:
1 1
x= ∑ xi = (116.9) = 19.4833
n 6
Phương sai mẫu:
1 2
2
Sx = (∑ x i2 − nx )
n −1
1
(2.282,41 − 6 × 19,4833 2 ) = 0,96
= 5
Độ lệch chuẩn: S x = 0,96 = 0.98
Khoảng tin cậy 90% đối với trọng lượng trung bình của tất cả học sinh lớp 2 là:
l n −1 , α / 2 S x t n −1 , α / 2 S x
x− < µ < x+
n n
X = 19,4833 , Sx = 0,98 , n=6
Cao Hào Thi 82

10. 100 (1-α) = 90 => α = 0,10 => α/2 = 0,05
Tra bảng ta có: tn-1,α/2 = t5,0.05 = 2.015
2.015 × 0.098 2.015 × 0.98
19.48 − < µ < 19.48 +
6 6
18.67 < µ < 20.29
Các khoảng tin cậy:
Khoảng tin cậy 80%
(18.89,4) (20.07,4)
Khoảng tin cậy 90%
(18.67,2) (20.29,2)
Khoảng tin cậy 95%
(18.45,0) (20.51,0)
Khoảng tin cậy 99%
(17.87,-2) (21.09,-2
7.3.5 Khoảng tin cậy đối với phương sai của phân phối chuẩn σ2
Nhắc lại, giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên với cỡ mẫu n được lấy ra từ tập hợp chính có phân
phối chuẩn N(µx,sx2) và gọi Sx2 là phương sai của mẫu.
(n − 1) S x2
Biến ngẫu nhiên χ 2
γ ,α = sẽ tuân theo phân phối χ 2 với độ tự do n - 1
σ 2
x
a) Điểm phần trăm giới hạn trên χ γ2,α
Biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối χ 2 với độ tự do γ được ký hiệu χ γ2,α
χ γ2,α là điểm phần trăm giới hạn trên nếu
P( χ γ2 > χ γ2,α ) = α
( )
α
χ2υ,α
Thí dụ: Tìm χ 6;5%
2
Cao Hào Thi 83

11. P( χ 6 > χ 6;5% ) = 5% ⇒ χ 6;5% = 12,59
2 2 2
Tương tự ta có:
⎡ α
⎢ P( χ γ > χ γ ,α / 2 ) = 2
2 2
⎢
⎢ P( χ 2 < χ 2 α
γ ,1−α / 2 ) = 1 −
⎢
⎣
γ
2
P(χ 2,1−α / 2 < χ 2 < χ 2,α / 2 ) = 1 − α
γ γ γ
α/2
α/2
t
-χ2ν,1-α/2 χ2ν,α/2
b) Khoảng tin cậy của phương sai phân phối chuẩn σ2:
Khoảng tin cậy với xác suất 100 (1- α)% của σ2 là
(n − 1)S2 (n − 1)S 2
x
< σ2 < x
χ 2 −1,α / 2
n χ 2 −1,1−α / 2
n
Trong đó χ 2 −1,α / 2 là số có P( χ γ2 > χ 2 −1,α / 2 ) = α/2
n n
Trong đó χ 2 −1,1−α / 2 là số có P( χ γ2 > χ 2 −1,1−α / 2 ) = α/2
n n
Và biến ngẫu nhiên χ 2 −1 tuân theo phân phối χ 2 với độ tự do là n – 1
n
Chứng minh :
P(χ 2,1−α / 2 < χ 2 < χ 2,α / 2 ) = 1 − α
γ γ γ
P(χ 2 −1,1−α / 2 < χ 2 −1 < χ 2 −1,α / 2 ) = 1 − α
n n n
⎛ (n − 1)S 2 ⎞
P⎜ χ 2 −1,1−α / 2 <
⎜ n
2
x
< χ 2 −1,α / 2 ⎟ = 1 − α
n ⎟
⎝ σx ⎠
⎛ (n − 1)S 2 (n − 1)S2 ⎞
P⎜ 2 x
< σ2 < 2 x ⎟ = 1− α
⎜ χ x
χ n −1,1−α / 2 ⎟
⎝ n −1,α / 2 ⎠
Thí dụ : Một mẫu ngẫu nhiên gồm 15 viên thuốc nhức đầu cho thấy độ lệch chuẩn trong
thành phần cấu tạo thuốc là 0,8. Tìm khoảng tin cậy 90% của phương sai lô thuốc nói trên
(thành phần trong lô thuốc tuân theo phân phối chuẩn)
Cao Hào Thi 84

12. Giải :
n = 15, S2 = 0,82 = 0,64; α = 10%
x
Tra bảng χ 2 −1,α / 2 = χ 14;5% = 23,68
n
2
Và χ 2 −1,1−α / 2 = χ 14;95% = 6,57
n
2
(n − 1)S 2 (n − 1)S 2
Vậy: x
< σ2
x < x
χ 2 −1,α / 2
n χ 2 −1,1−α / 2
n
⇔ 0,378 < σ 2 < 1,364
x
⇔ 0,61 < σ x < 1,17
7.3.6 Ước lượng khoảng tin cậy của tham số thống kê p trong phân phối nhị thức
trong điều kiện cỡ mẫu lớn :
X
Nhắc lại, gọi f là tỷ số của số lần thành công trong n phép thử độc lập: f =
n
X tuân theo phân phối chuẩn có - số trung bình µ = np
- Phương sai : σ2 = np(1-p)
Ta có : E(f) = p f là ước lượng không chệch của p.
p(1 − p)
σf =
n
f −p
Khi cỡ mẫu đủ lớn thì biến ngẫu nhiên chuẩn hóa Z = sẽ gần đúng có phân
p(1 − p) / m
phối chuẩn chuẩn hóa :
p(1 − p) f (1 − f )
σ2 =
f ≈ = S2
f
n n
f −p
Khi đó biến ngẫu nhiên Z = sẽ có phân phối chuẩn chuẩn hóa.
f (1 − f ) / n
Khi Z tuân theo phân phối chuẩn chuẩn hóa, ta có:
P(-Zα/2 < Z < Zα/2) = 1 - α
⎛ f −p ⎞
P⎜ − Z α / 2 < < Zα / 2 ⎟ = 1 − α
⎜ f (1 − f ) / n ⎟
⎝ ⎠
⎛ f (1 − f ) f (1 − f ) ⎞
⎜
P⎜ f − Z α / 2 < p < f + Zα / 2 ⎟ =1− α
n n ⎟
⎝ ⎠
Khoảng tin cậy của p :
Gọi f là tỷ số số lần thành công quan sát được trong phép thử được rút từ tập hợp chính có
tỷ số số lần thành công là p. Nếu n lớn thì khoảng tin cậy của p là:
Cao Hào Thi 85

13. f (1 − f ) f (1 − f )
f − Zα / 2 < p < f + Zα / 2
n n
Trong đó Zα/2 là số có P(Z > Zα/2) = α/2 (Z là biến ngẫu nhiên chẩn hóa)
Thí dụ:
Một công ty đi nhận một lô hàng gồm vài ngàn sản phẩm. Người giám định lô hàng lấy
ngẫu nhiên 81 sản phẩm và nhận thấy 8 sản phẩm không đạt yêu cầu. Tìm khoảng tin cậy
90% của tỷ lệ số sản phẩm không đạt yêu cầu trong toàn bộ lô hàng.
Giải:
Ta có : α = 10% ⇒ tra bảng Zα/2 = Z5% = 1,645,
X 8 f (1 − f )
f = = = 0,099 và σ f = = 0,033
n 81 n
Khoảng tin cậy 90% của p là :
0,099 -1,645*0,033 < p < 0,099 + 1,645*0,033
0,045 < p < 0,153
7.3.7 Ước lượng cỡ mẫu (Estimating the Sample Size)
Trong các phần trước, chúng ta đi tìm các ước lượng khoảng đối với các tham số thống kê
θ (µx, σ2x, p …) của tập hợp chính dựa trên các mẫu cho trước (nghĩa là đã biết cỡ mẫu
n). Với cách làm đó, ta có thể gặp những kết quả không mong muốn là bề rộng của
khoảng tin cậy w quá lớn, có nghĩa là độ chính xác của các ước lượng nhỏ (vì độ chính
xác hay dung sai = w/2 có giá trị lớn).
w = 2ε
ˆ
θ −ε θˆ θˆ + ε
ˆ
ε nói lên độ chính xác của ước lượng, nếu ε càng nhỏ thì θ càng gần θ.
Trong thực tế thường sai số cho phép ta ấn định độ chính xác ε (có nghĩa là ấn định trước
bề rộng khoảng tin cậy w) từ đó tính toán chọn cỡ mẫu đủ lớn để đảm bảo độ chính xác ε.
Để xác định cỡ mẫu ta cần các thông tin sau:
- Định rõ độ tin cậy (1 - α), thường là 90%, 95%, hay 99%.
- Độ chính xác hay sai số cho phép ε hoặc bề rộng khoảng tin cậy w.
- Độ lệch chuẩn.
Cỡ mẫu n lớn hay nhỏ phụ thuộc độ phân tán σ, sai số cho phép ε chứ không phụ thuộc
vào kích thước tập hợp chính N.
Cao Hào Thi 86

14. a. Cỡ mẫu đối với khoảng tin cậy của trung bình µ trong N(µ;σ2) với σ2 biết trước:
w = 2ε
Z α / 2σ x Z α / 2σ
x - x +
x
n n
− Z α / 2σ x − Z α / 2σ x
x− < µ < x+
n n
Zα / 2σ x
hay : µ = X ± 2ε với ε =
n
Với sai số cho phép ε cho trước, cỡ mẫu n đối với ước lượng µ trong N(µ;σ2) với σ2 biết
trước được xác định bởi công thức:
Z α / 2σ x
2 2
n=
ε2
Thí dụ:
Giả sử độ lệch chuẩn của các đường ống thép được sản xuất ra trong ngày ở một phân
xưởng là 10 kg. Chúng ta muốn ước lượng trong lượng trung bình µ của các đường ống
thép được sản xuất ra trong ngày ở phân xưởng đó với độ chính xác ± 2,5kg và với độ tin
cậy 95%. Tìm cỡ mẫu cần thiết cho sự ước lượng nói trên.
Giải:
Ta có: ε = 2,5kg, σ = 10 kg,
α = 5% ⇒ Zα/2 = Z0,025 = 1,96
1,96 2 * 10 2
Vậy: n= = 61,5
2,5 2
Cỡ mẫu n = 62 (ống thép).
b. Cỡ mẫu đối với khoảng tin cậy của trung bình µ trong N(µ;σ2) khi chưa biết σ2:
Khoảng tin cậy của trung bình µ trong N(µ;σ2) khi chưa biết σ2:
t n −1,α / 2 S x t n −1,α / 2 S x
x− <µ<x+
n n
t n −1,α / 2 S x t n −1,α / 2 S x2
2
⇒ ε= ⇒ n=
n ε2
Thí dụ:
Một nhà quản lý công ty may muốn ước lượng khoảng thời gian trung bình để một công
nhân hoàn thành một sản phẩm. Cô ta muốn ước lượng µ với sai số ± 5 phút và với độ tin
cậy 90%. Bởi vì cô ta chưa có khái niệm gì về giá trị độ lệch chuẩn σ của tập hợp chính,
Cao Hào Thi 87

15. cô ta lấy mẫu đầu tiên với cỡ mẫu n = 15 công nhân và nhận thấy Sx = 20 phút. Hỏi cỡ
mẫu bằng bao nhiêu để đạt được khoảng tin cậy mong muốn.
Giải:
Ta có: ε = 5 phút, Sx = 20 phút,
α = 10% ⇒ tn-1,α/2 = t14;0,05 = 1,761
1,7612 * 20 2
Vậy: n= = 49,6
52
Cỡ mẫu n = 50 (công nhân).
Ghi chú: sau khi có n = 50 ta phải tính lặp lại lần thứ 2 với cỡ mẫu n = 50 (nghĩa là tìm Sx
và tn-1,α/2 của mẫu mới). Tính lặp nhiều lần ta sẽ được kết quả hội tụ mong muốn.
c. Cỡ mẫu đối với khoảng tin cậy của p trong phân phối nhị thức:
Khoảng tin cậy của p trong phân phối nhị thức
f (1 − f ) f (1 − f )
f − Zα / 2 < p < f + Zα / 2
n n
f (1 − f ) Z α / 2 f (1 − f )
2
⇒ ε = Zα / 2 ⇒ n=
n ε2
Thí dụ:
Một kỹ sư kiểm tra chất lượng sản phẩm muốn tỷ lệ phế phẩm trong dây chuyền sản xuất
với sai số ± 0,05 và độ tin cậy 95%. Trong lần lấy mẫu đầu tiên với 25 sản phẩm người kỹ
sư nhận thấy có 4 phế phẩm. Hỏi cỡ mẫu bằng bao nhiêu để đạt được khoảng tin cậy
mong muốn.
Giải:
Ta có: ε = 0,05, n = 25, f = 4/25 = 0,16
α = 5% ⇒ Zα/2 = Z0,025 = 1,96
1,96 2 * 0,16 * (1 − 0,16)
Vậy: n= = 206,5
0,05 2
Cỡ mẫu n = 207 (sản phẩm).
Ghi chú:
- Sau khi có n = 207 ta phải tính lặp lại lần thứ 2 với cỡ mẫu n = 207 (nghĩa là tìm f của
mẫu mới và tính lại n).
- Nếu ban đầu ta chưa biết cỡ mẫu bằng bao nhiêu ta có thể giả sử f = 0,5 để suy ra n và
thực hiện các bước lặp như trên. Tính lặp nhiều lần ta sẽ được kết quả hội tụ mong
muốn.
Cao Hào Thi 88