3. Tiết 69.ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
LƯỢNG GIÁC
Néi dung c¬ b¶n
1/ Giới hạn của
s inx
x
2/ Đạo hàm của hàm số y= sinx
3/ Đạo hàm của hàm số y= cosx
4/ Đạo hàm của hàm số y= tanx
5/ Đạo hàm của hàm số y= cotx
4. 1. Giới hạn của
sin x
x Dïng m¸y tÝnh bỏ tói ®Ó
tÝnhsin 0, 01
≈ 0,999983333
Em cã nhËn 0, 01
sin 0, 001
xÐt g× vÒ gi¸ trị x
sin ≈ 0,999999833
x 0, 001
của sin 0, 0001
khi x nhận c¸c ≈ 0,999999998
0, 0001
gi¸ trị gần
điểm 0
1
5. Định lí 1: sin x
lim =1
x →0 x
u ( x) ≠ 0 , x ≠ x0
Chó ý:
lim u ( x) = 0 ⇒ x → x
lim
sin u ( x)
=1
x → x0
0 u ( x)
VÝ dô. TÝnh
tan x = lim sin x . 1 = lim sin x .lim 1 = 1
a) lim ÷ x →0 x x →0 cosx
x →0 x x →0
x cosx
sin 3 x sin 3 x sin 3 x
b) lim = lim 3 ÷ = 3lim =3
x →0 x x →0
3x x →0 3x
6. Bằng định nghĩa
2. Đạo hàm của hàm số y = sinx
Hãy tính đạo hàm 1.G/sử Δ là số gia của x.
x
của hàm số Δy = sin(x + Δx ) - sinx
§Þ lÝ 2:Hµm sè y = sin x cã ®¹o hµm t¹i ∆xx ∈
nh ∆x ∀ ¡
y = sinx = 2cos x + ÷.sin
vµ 2 2
(sinx)’ = cosx ∀x ∈ ¡ ∆x
sin
∆y ∆x 2
2. = 2cos x + ÷
∆x u(x) thì (sinu)’=u’.cosu
Chó ý. Nếu y = sinu vµ u = 2 ∆x
∆x
sin
∆x 2
= cos x + ÷
2 ∆x
2 ∆x
sin
∆y ∆x 2
3. lim = lim cos x + lim
÷∆x→0 ∆x
∆x → 0 ∆x ∆x → 0
2
= cos x 2
7. VÝ dô. TÝnh đạo hàm của c¸c hµm số
sau π
a) y = sin(x + 1)
2
b) y = sin − x ÷
2
Gi¶i
( ) ′
a / y′= sin ( x +1) = ( x + 1)
2 2 ′ .cos x 2 + 1 = 2 x.cos x 2 + 1
( ) ( )
π ′ π '
π
b / y ' = sin − x ÷÷ = − x ÷ cos − x ÷
2 2 2
π
= − cos − x ÷ = − s in x
2
8. 3. Đạ o hàm củ a h.số y = cosx
§Þ lÝ 3: Hµm sè y = cosx cã ®¹o hµm t¹i ∈¡
nh ∀ x
vµ(cosx)’ = - sinx
Chó ý.
Nếu y = cosu vµ u = u(x) th×
(cosu)’= - u’.sinu
9. VÝ dô. TÝnh ®¹o hàm của c¸c hàm sè
sau s inx π
a / y = cos ( 5x+1) b/ y = x ≠ + k π , k ∈¢ ÷
cosx 2
Gi¶i
a/ y ′ = ( cos ( 5x+1) ) ′ = − ( 5x+1) ′ sin ( 5x+1) = − 5sin ( 5x+1)
s inx ′ ( sinx ) ′ .cosx- sinx. ( cosx ) ′ cosx.cosx+ sinx.sinx
b / y′ = ÷= =
cosx 2
cos x cos 2 x
cos 2 x +sin 2 x 1
= =
2
cos x cos 2 x
10. 4/ §¹o hµm cña hµm sè y = tanx
π
§Þ lÝ 4. Hµm sè y= tanx cã ®¹o
nh ∀x ≠
2
+ kπ , k ∈ ¢
hµm t¹i( tan x ) ′ = 1
vµ
cos 2 x
u′
Chó ý. NÕu y= tanu vµ u=u(x) th× u ) ′ =
( tan
cos 2u
11. Ví dụ. Tính đạo hàm của các hàm số sau
π
a / y= tan ( 2x 2 +1) b/ y= tan − x ÷
2
Giải
( 2 x +1) ′
( ( )) ′ 4x
2
a / y′= tan 2 x + 1
2
= cos 2 x +1 =
2
( 2
) ( )
cos 2 2 x 2 +1
π ′
π ′ −x ÷
2 1
b / y′= tan − x ÷÷ = π =−
2 π
2 cos 2 − x ÷ cos − x ÷
2
2
12. 5/Đ ạ o hàm củ a hàm số y= cot x
§ÞnhlÝ 5: Hàm số y = cotx cã ®¹o hµm∀x ≠ kπ , k ∈ ¢
t¹i
và ( c ot x ) ′= - 1
sin 2 x
Chó ý:
u′
NÕu y = cotu và u = u (x), ta cãcot u ) ′ = −
(
sin 2 u
14. Cñng cè
sin x
1/ lim =1
x →0 x
2/ (sinx)’ = cosx vµ
(sinu)’=u’.cosu
3/ (cosx)’ = - sinx vµ (cosu)’= -
u’.sinu
4/ ( tan x ) ′= 1 vµ ( tan u ) ′ = u′
2
cos x 2
cos u
1 ′ = − u′
5/ ( cot x ) ′ = - 2 vµ ( cot u ) 2
sin x sin u