AtCoder Regular Contest #003 D問題についてのスライドです。適当に解いて適当に理論つけて適当にネタをちりばめました。

1. ARC #003 D
nullmineral 「シャッフル席替え」

2. 「シャッフル席替え」とは
● AtCoder Regular Contest #003 D問題
● 問題概要:
– N人が円形のテーブルの周囲に座っている
– ランダムに2人選んで入れ替える操作をK回行う
– 隣り合わせにしてはいけないペアがM個ある
– 入れ替えが終わった時に上記ペアがどこも隣り合わ
せになっていない確率を求めよ
– ただし 2 ≦ N ≦ 11, 0 ≦ K ≦ 20, 0 ≦ M ≦ 10
– 制限: メモリ 64MB, 時間 10s, 許容誤差 ±0.002

3. 解法を考える
● 動的計画法かな？
● 並び方は (11!) = 40M もある
● DP用に int 型の配列をひとつとるだけで 160MB
● どうみても MLE/TLE する d==(^o^)==b
● 頑張るとできるのかもしれないけど辛そう
● ふぇぇ……数論わからないよぉ……
● 解法もうわかんねぇなぁ

4. 乱択という選択肢
● すべての可能性をシミュレーションするのは不可能
● 適当に何回か試行してみて確率を計算する
● 十分な回数の試行を行えば良い精度に
● 求められている精度はわりと甘い(ここ重要)
● 1回の試行に O( K + N^2 ) くらいかかる気がする
● とりあえず 100万回 くらいは試行できそう？
● けどそれだけで精度足りるのかな……
● 試行回数から精度を計算できないかな……

5. ＿人人人人人人人＿
＞ 突然の確率論 ＜
￣Y^Y^Y^Y^Y^Y^￣

6. Hoeffding's Inequality
● X1, X2, …, Xn を独立な Bernoulli 確率変数とする
● X = X1 + X2 + … + Xn とする
● このとき以下の式が成立する
● Pr( | X – E[X] | ≧ εn ) ≦ 2 e^( -2nε^2 )

7. Pr( | X – E[X] | ≧ εn ) ≦ 2 e^( -2nε^2 )
● なんだこの難解な不等式は (驚愕)
● そもそも Bernoulli 確率変数ってなによ
● まあつまりなにが言いたいかというと
● 確率 p で表が出るコインを n 回投げたときに、表
が出た回数が (p ± ε)n 回の範囲に収まらない
確率は 2 e^( -2nε^2 ) 以下になるという話です

8. ● ちょっと何言ってるか分かんないです
● 確率論やべぇよ……やべぇよ……
● もうちょっと簡単に言うと
● 「コイントスの試行回数」と「許容誤差」を決めると
「許容誤差内に収まる確率の下限」を求められる
● 「許容誤差」と「許容誤差内に収まる確率」を決める
と「コイントスの試行回数」を求められる

9. とりあえず適用してみよう
● 「シャッフル席替え」に戻ってみる
● コインの表/裏 → 席替え成功/失敗 に置き換える
● するとさっきの不等式が適用できる
● 今回は 「許容誤差」と「許容誤差内に収まる確率」
から「試行回数」を求めたい
● テストケースが 100 個あると仮定すると、 1 ケース
あたり 99.99% くらいの確率で通せれば、全体とし
て 99% くらいの確率でACできる

10. とりあえず計算してみよう
● 許容誤差 = 0.002
● 許容誤差内に収まる確率 = 0.9999
● これらをさっきの式に代入して二分探索すると
● 0.9999 ≦ 1 – 2 e^( -0.000008 × n^2 )
● n ≧ 1237936 と出てくる
● 130万回 くらい試行しておけばまあ安心？
● それぐらいなら時間内に計算できそう

11. さぶみっと！
● とりあえずたくさん投げて確かめてみます
● 20回くらい投げました
(ジャッジサーバーに高負荷をかける競技プログラマのクズ)
● ぜんぶAC！！！
● ちなみに 65万回 くらいにするとWAがちょこちょこ
(計算すると50%くらいのAC率しか保証されないからね)
(実際はもっと高い確率でACするけど)

12. 証明？ なにそれおいしいの？
● そういえばヘフディングの不等式を証明していない
● 書くの面倒だしみんな寝ると思うので省きます
● 証明はみなさんへの課題とします

13. てきとうな考察
● さっきの式を眺めてみる
● Pr( | X – E[X] | ≧ εn ) ≦ 2 e^( -2nε^2 )
● 試行回数が少ないと保証AC率は下がる
● 許容誤差が厳しくなると保証AC率は下がる
● 許容誤差が 1/x 倍になっても保証AC率を変えな
いためには、試行回数を x^2 倍にする必要がある
● ↑他の乱択っぽい問題にも使いまわせる？

14. まとめ？
● 解析はつらぽよー (数学できないと死に直結する)
● 乱択もうわかんねぇなぁ……。
● 乱択は最近のプロコンでのトレンド！！！
ってiwiwiさんが言っていた気がする
● とりあえず計算量めいっぱいまで試行しましょう
いちいちこんなこと考察してる暇なさそう(何も考えずにsubmitするクズ)
● ふぇぇ ✧*。ヾ(｡>__<｡)ﾉﾞ。*✧