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競技プログラミングにおけるMajorization
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- 2. こんな競プロの問題がありました • 2つの次元が同じベクトルA,Bが与えられる。A=XBを満たす、各要素 が非負で各行・各列の要素の和が1となる行列Xを構成できるか判 定せよ。 • A,Bの次元数は5000以下 •全ての要素は非負 • Aの全ての要素の和とBの全ての要素の和は等しい • 出展：ICPCアジア地区予選台湾大会2013I問題
- 3. 当時考えたこと • あるAの要素に対して、それ以上のBの要素が無ければ不可能 • 同様に、Aのある2要素の和に対して、それ以上の和となるBの2要素 が無ければ不可能 •Aの要素を降順に{𝑎1, 𝑎2, ⋯ 𝑎 𝑛}、Bの要素を降順に{𝑏1, 𝑏2, ⋯ 𝑏 𝑛}と並 べた時、あるの1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛に対し 𝑘=1 𝑖 𝑎 𝑘 > 𝑘=1 𝑖 𝑏 𝑘となれば不可能 • 逆に、そうでなければ構成できるのではないか？ • その方針で実装→AC
- 4. 用語を導入すると • 各要素が非負で、各行・各列の要素の和が1となる正方行列を二重 確率行列と呼ぶ。 • N個の実数の組A={𝑎1, 𝑎2, ⋯ 𝑎 𝑛}, B= {𝑏1, 𝑏2, ⋯ 𝑏 𝑛}をそれぞれ降順 に並べたA’= {𝑎′1, 𝑎′2, ⋯ 𝑎′ 𝑛}, B’= {𝑏′1, 𝑏′2, ⋯ 𝑏′ 𝑛}に対し • 𝑘=1 𝑛 𝑎′ 𝑘 ≤ 𝑘=1 𝑛 𝑏′ 𝑘 • 任意の1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛に対し、 𝑘=1 𝑖 𝑎′ 𝑘 ≤ 𝑘=1 𝑖 𝑏′ 𝑘 を満たす時、BはAをmajorizeすると呼び、A<<Bなどと表す。 • この用語を導入すると、先の問題は以下のような命題を表している A<<Bと、A=XBを満たす二重確率行列Xの存在は同値である
- 5. （ざっくりとした）証明 • A<<Bなら、Bに有限回のT-変換を施すことでAを得られると仮定する • T-変換とは、𝐶∈ 𝑅 𝑛に対して、𝑇𝐶 = 𝑐1, ⋯ , 𝑐𝑖−1, 𝑡𝑐𝑖 + 1 −
- 6. （ざっくりとした）証明 • A<<Bなら、Bに有限回のT-変換を施すことでAを得られることの証明 • 帰納法で示す。n=2は自明。以下、n-1では示されているとする。 •A<<Bかつ中身ソート済みの時𝑏1 ≥ 𝑏 𝑘−1 ≥ 𝑎1 ≥ 𝑏 𝑘を満たす2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛が存 在する。その為𝑎1 = 𝑡𝑏1 + 1 − 𝑡)𝑏 𝑘なる0 ≤ 𝑡 ≤ 1を満たす𝑡が取れる。 • なので、BをT-変換して{𝑎1, 𝑏2, ⋯ , 𝑏 𝑘−1, 𝑡𝑏 𝑘 + 1 − 𝑡 𝑏1, 𝑏 𝑘+1 ⋯ , 𝑏 𝑛}にできる。 • ここで、𝑏2 ≥ ⋯ ≥ 𝑏 𝑘−1 ≥ 𝑎2 ≥ ⋯ ≥ 𝑎 𝑘−1とA<<Bより、 { 𝑏2, ⋯ , 𝑏 𝑘−1, 𝑡𝑏 𝑘 +
- 7. 他の問題でも似たような話が？ • 合計n個のアメをk人に配って、各人が持ってるアメの数の積を最大 化するにはどう配ればいいか？ • 出展：ARC039B問題「高橋幼稚園」 •もちろん、できるだけ均等に配ればいい。 • できるだけ均等に配るということは、他の全ての配り方にmajorizeさ れているということでもある。 • A<<Bかつ全ての要素が正なら、Aの全ての要素の積はBの全ての要 素の積以上になるのではないか？
- 8. （ざっくりとした）証明 • 前述のように、A<<BならBから有限回のT-変換でAにできる。 • T-変換すると、要素の積が 𝑡𝑏𝑖+ 1−𝑡)𝑏 𝑗) 𝑡𝑏 𝑗+ 1−𝑡)𝑏 𝑖) 𝑏 𝑖 𝑏 𝑗 倍になる。 • 𝑡𝑏𝑖 + 1 − 𝑡)𝑏𝑗) 𝑡𝑏𝑗 + 1 − 𝑡)𝑏𝑖) = 𝑡 1 − 𝑡) 𝑏𝑖 + 𝑏𝑗 )2≤ 𝑏 𝑖+𝑏 𝑗 2 )2≤ 𝑏𝑖 𝑏𝑗より、 𝑡𝑏 𝑖+ 1−𝑡)𝑏 𝑗) 𝑡𝑏 𝑗+ 1−𝑡)𝑏 𝑖) 𝑏 𝑖 𝑏 𝑗 ≤ 1となる。 • よってT-変換においては要素の積は増えないので、A<<Bかつ全ての 要素が正ならAの全ての要素の積はBの全ての要素の積以上になる
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- 10. 参考URL • 英語版Wikipedia • http://en.wikipedia.org/wiki/Majorization •何とニコニコ大百科にも記事がある • http://dic.nicovideo.jp/a/majorization