Alcune proprietà dell'ellisse ed un nuovo calcolo da coordinate geocentriche a coordinate geografiche in forma chiusa

1. Confronto fra Coordinate Geograche e
Geocentriche. Un nuovo algoritmo per il calcolo
inverso in forma chiusa basato su alcune
proprietà dell'ellisse.
Giuliano Curti
03/02/2015

2. Indice
1 Premessa 3
2 La geometria dell'ellisse 5
2.1 Una imprimitura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Primo approccio (algoritmo del giardiniere) . . . . . . . . 5
2.1.2 Secondo approccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 Terzo approccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.4 Quarto approccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Dati canonici dell'ellisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Tangente e Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.1 Notazione algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2 Notazione vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Interessanti proprietà geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1 Relazioni fra gli angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.2 Relazione fra le ordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.3 La normale principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.4 La normale bisettrice dei raggi vettori in Q dai fuochi . . 16
3 Trasformazione di Coordinate 20
3.1 Da Coordinate Geograche a Coordinate Geocentriche . . . . . . 21
3.2 Da Coordinate Geocentriche a Coordinate Geograche . . . . . . 22
3.2.1 Soluzione approssimata proposta . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1.1 Test numerico della funzione interpolante . . . . 25
3.2.2 Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Referimenti bibliograci 30
1

3. Aggiornamenti
ˆ 2015-02-03 estensione della mia congettura (Ÿ3.2): DA COMPLETARE
ˆ 2014-12-13 aggiunto capitolo sulla normale bisettrice dei raggi vettori in
Q dai fuochi
ˆ 2014-12-10 impianto iniziale
2

4. Capitolo 1
Premessa
In un personale percorso di avvicinamento e comprensione della manipolazione
delle coordinate fra le diverse notazioni, mi sono imbattuto nel problema del pas-
saggio fra coordinate geograche (geodetiche, polari ellissoidiche) e geocentriche
(cartesiane rettangolari).
Come noto in letteratura il passaggio diretto dalle prime alle seconde è
semplice e immediato, basato su semplici funzioni trigonometriche come sarà
ripreso in seguito; il passaggio inverso, da coordinate rettangolari a coordinate
geograche, risulta considerevolmente più complesso, basato sostanzialmente su
due metodi
1:
ˆ metodo iterativo
ˆ metodo diretto.
Un esempio di quest'ultimo, forse il più noto, è quello elaborato da K. M.
Borkowsky nei due testi del 1987 e 1989 di cui riporto sotto i riferimenti; l'el-
eganza sintetica del procedimento è parzialmente ouscata dalla necessità di
risolvere un'equazione di quarto grado, pertanto è elevato l'interesse per una
soluzione, anche solo approssimata, che abbini alla comodità della forma chiusa
la semplicità di calcolo.
Nel mio studio dell'ellisse credo di essermi accorto di proprietà non riscon-
trate in letteratura che volevo segnalare al lettore; alcune di queste propri-
età (Ÿ2.1.3, Ÿ2.1.4, Ÿ2.4) poi mi hanno suggerito una congettura (Ÿ3.2) su una
soluzione approssimata in forma chiusa che presento appena sotto, dopo aver
descritto le proprietà dell'ellisse di cui dicevo e richiamato alcune altre proprietà
note, in modo da dare al lettore un quadro completo della situazione.
Il mio comprensibile entusiamo per la scoperta è molto scemato quando
ho rivisto la soluzione proposta da B. Bowring: nonostante Gloeckler, op. cit.
pag. 31, la annoveri fra le soluzioni iterative, già al primo passo questa soluzione
1Si rinvia alla copiosa documentazione contenuta nei riferimenti bibliograci citati per
un'ampia rassegna sull'argomento.
3

5. CAPITOLO 1. PREMESSA 4
ore un'ottima approssimazione; pazienza, mi sono comunque divertito un sacco
sentendomi, per qualche giorno, nell'M32.
Tornando con i piedi per terra, ricordo che, al contrario, non sono un matem-
atico professionista, pertanto condo nella bontà del lettore che spero accoglierà
le mie elucubrazioni come un gioco dell'intelletto e mi segnali con pazienza
fraterna eventuali errori e sviste.
Con molto azzardo aanco una versione in lingua inglese che ovviamente
richiede al lettore una pazienza ancora maggiore.
Tutto il contenuto del presente documento è rilasciato sotto licenza CC-BY
.
2MMM: Mondo delle Menti Matematiche, sinonimo per me del monte Olimpo, sacro ai
Greci

6. Capitolo 2
La geometria dell'ellisse
2.1 Una imprimitura
L'ellisse può essere vista come un cerchio scalato in modo anisotropico, cioè
con due fattori di scala Sx e Sy diversi nelle due direzioni ortogonali; nel caso
particolare che studieremo avremo Sy Sx, situazione che darà luogo alla tipica
forma con l'asse a, lungo la X, maggiore dell'asse b, lungo la Y , senza per questo
perdere generalità in quanto i fattori di scala possono essere semplicemente
invertiti o, ancor più semplicemente, l'ellisse può essere ruotata di 90°.
La completa uniformità del genitore (cerchio) con la sua totale simmetria
radiale non lascia trasparire le molteplici sfaccettature di cui dispone l'ellisse:
è proprio su questo che voglio soermarmi in questa prima parte dove cercherò
di evidenziare i suoi molteplici aspetti passando da quelli più consueti ai due
nali (Ÿ2.1.3, Ÿ2.1.4) che mi sembrano sfuggiti, come dicevo in premessa, alla
letteratura sull'argomento.
2.1.1 Primo approccio (algoritmo del giardiniere)
5

7. CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA DELL'ELLISSE 6
Immaginiamo di avere i due punti F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0)1 disposti
sull'asse X e simmetrici rispetto l'origine e di disegnare i punti Q trattenuti da
una cordicella di lunghezza ssa ancorata ai punti F1 e F2, cioè F1Q + F2Q =
d1 + d2 = d.
Quando Q è sull'asse orizzontale abbiamo:
ˆ Q = (a, 0)
ˆ F1Q = d1 = a + c
ˆ F2Q = d2 = a − c
ˆ F1Q + F2Q = d1 + d2 = a + c + a − c = 2a = d.
Quando Q è sull'asse verticale abbiamo:
ˆ Q = (0, b)
ˆ F1Q = F2Q = d1 = d2 =
√
c2 + b2
ˆ F1Q + F2Q = 2F2Q = d1 + d2 = 2
√
c2 + b2 = 2a, da cui
ˆ c2
+ b2
= a2
e c = ±
√
a2 − b2.
Nel caso generale abbiamo:
F1Q + F2Q = d1 + d2 =
= (x + c)
2
+ y2 + (x − c)
2
+ y2 =
= 2a;
con alcuni arrangiamenti otteniamo
(x + c)
2
+ y2 = 2a − (x − c)
2
+ y2
ed elevando al quadrato una prima volta otteniamo
(x + c)
2
+ y2
= 2a − (x − c)
2
+ y2
2
=
= 4a2
− 4a (x − c)
2
+ y2 + (x − c)
2
+ y2
da cui
x2
+ 2cx + c2
+ y2
= 4a2
− 4a (x − c)
2
+ y2 + x2
− 2cx + c2
+ y2
e
cx = a2
− a (x − c)
2
+ y2
risistemato in
a (x − c)
2
+ y2 = a2
− cx;
elevando al quadrato una seconda volta otteniamo
a2
x2
− 2a2
cx + a2
c2
+ a2
y2
= a2
− cx
2
= a4
− 2a2
cx + c2
x2
da cui
a2
− c2
x2
+ a2
y2
= a2
− c2
a2
;
sostituendo b2
= a2
− c2
, abbiamo
b2
x2
+ a2
y2
= b2
a2
e nalmente la forma canonica
x2
a2 + y2
b2 = 1.
1I due punti F1e F2 sono detti fuochi.

8. CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA DELL'ELLISSE 7
2.1.2 Secondo approccio
Dalla forma canonica (cfr. Grewal et al, op. cit., Appendix C.3.5)
x2
a2 + y2
b2 = 1 = cos2
t + sin2
t = a2
cos2
t
a2 + b2
sin2
t
b2 = (a cos t)2
a2 + (b sin t)2
b2
otteniamo
x = a cos t, y = b sin t.
2.1.3 Terzo approccio
Immaginiamo una interpolazione trigonometrica del punto Q fra A = (a, 0)
a B = (0, b) data da
Q = (x, y) = (a cos t, b sin t)
da cui
x
a , y
b = (cos t, sin t);
per una nota identità trigonometrica abbiamo
cos2
t + sin2
t = x
a
2
+ y
b
2
= x2
a2 + y2
b2 = 1,
la forma canonica implicita dell'equazione dell'ellisse (essendo la forma es-
plicita y2
= b2
1 − x2
a2 = b2
a2 a2
− x2
→ y = ±r
√
a2 − x2).
Possiamo porre
y = b sin t = a
a b sin t = ar sin t

9. CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA DELL'ELLISSE 8
e
Q = (x, y) = a (cos t, r sin t)
dove r = b
a .
2.1.4 Quarto approccio
Dato il triangolo A1A2B, per note proprietà dei triangoli simili abbiamo
Q1H
P1H
= b
a = r.
Vogliamo applicare una logica analoga per cui dato un cerchio di raggio a,
cerchiamo la curva i cui punti Q, identicati dalla verticale per i punti P del
cerchio, abbiano ordinata QH nel rapporto
QH
P H
= r rispetto all'ordinata PH di
P; detti t l'angolo A1OP e u l'angolo A1OQ, abbiamo
ˆ xQ = xP = a cos t
ˆ yQ = ryP = ra sin t = b
a a sin t = b sin t
che rappresentano le coordinate dei punti dell'ellisse di semiassi a e b.
2.2 Dati canonici dell'ellisse
Nel nostro studio ci riferiamo alla gura sottostante

10. CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA DELL'ELLISSE 9
in cui abbiamo
ˆ a semiasse maggiore
ˆ b semiasse minore
ˆ r = b
a rapporto dei semiassi
ˆ c = ae ascissa del fuoco, da cui
ˆ e = c
a eccentricità;
ˆ H la proiezione di Q sull'asse X
ˆ P l'intersezione della verticale da Q con il cerchio esterno (Re = A)
ˆ angolo parametrico t = POH
ˆ angolo u = QOH;
considerando l'uguaglianza c2
+ b2
= a2
abbiamo
ˆ c2
= a2
e2
= a2
− b2
→ e2
= a2
−b2
a2

11. CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA DELL'ELLISSE 10
ˆ f = a−b
a schiacciamento, da cui
ˆ f = a−b
a = 1 − b
a = 1 − r ⇒ r = b
a = 1 − f rapporto dei semiassi
ˆ b2
= a2
− a2
e2
= 1 − e2
a2
→ b2
a2 = r2
= 1 − e2
e nalmente
ˆ r = b
a = 1 − f =
√
1 − e2 da cui
ˆ (1 − f)
2
= 1 − 2f + f2
= 1 − e2
→ 2f − f2
= (2 − f) f = e2
ˆ d = OQ = x2 + y2 =
= x2 + b2
a2 (a2 − x2) =
= a2−b2
a2 x2 + b2 =
=
√
e2x2 + b2
o d = a2−b2
a2 a2 cos2 t + b2 =
= (a2 − b2) cos2 t + b2 =
= a2 cos2 t + b2 (1 − cos2 t) =
= a2 cos2 t + b2 (1 − cos2 t) =
= a2 cos2 t + b2 sin2
t risultato cui potevamo arrivare direttamente da
d = OQ = x2 + y2 e x = a cos t, y = b sin t;
dopo di che possiamo riscrivere
ˆ OH = x = d cos u =
= a2 cos2 t + b2 sin2
t cos u =
= a cos t
da cui cos u = a cos t√
a2 cos2 t+b2 sin2 t
ˆ QH = y = d sin u =
= a2 cos2 t + b2 sin2
t sin u =
= b sin t
da cui sin u = b sin t√
a2 cos2 t+b2 sin2 t
.
ˆ y
x = d sin u
d cos u =
= tan u =
= b sin t
a cos t =
= b
a tan t
= r tan t =
= (1 − f) tan t

12. CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA DELL'ELLISSE 11
ˆ tan t = tan u
r =
= 1
1−f tan u.
2.3 Tangente e Normale
Calcoliamo la tangente e la normale in Q = (x0, y0).
2.3.1 Notazione algebrica
ˆ equazione dell'ellisse
x2
a2 + y2
b2 = 1
→ y2
b2 = 1 − x2
a2 = a2
−x2
a2
→ y = b2
a2 (a2 − x2) =
= b
a
√
a2 − x2 =
= r
√
a2 − x2 =
= r a2
− x2
1
2

13. CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA DELL'ELLISSE 12
ˆ derivata prima
yx = r a2
− x2
1
2
x
= 1
2 r a2
− x2 − 1
2
(−2x) =
= − 2rx
2
√
a2−x2
=
= −r2
x
y =
= − r2
tan u =
= − r
tan t
ˆ coeciente angolare della normale N
mN = tan v =
= − 1
mT
=
= a2
y
b2x =
= tan u
r2 =
= tan t
r
da cui
ˆ tan u = r2
tan v2 and tan t = r tan v3
ˆ sin t = tan t√
1+tan2 t
= r tan v√
1+r2 tan2 v
=
b
a
sin v
cos v
1+ b2
a2
sin2 v
cos2 v
= b sin v√
a2 cos2 v+b2 sin2 v
4
ˆ cos t = 1√
1+tan2 t
= 1√
1+r2 tan2 v
= 1
1+ b2
a2
sin2 v
cos2 v
= a cos v√
a2 cos2 v+b2 sin2 v
per i punti sul contorno dell'allisse:
ˆ x = a cos t = a2
cos v√
a2 cos2 v+b2 sin2 v
ˆ z = b sin t = b2
sin v√
a2 cos2 v+b2 sin2 v
e nel caso generale:
ˆ x = a cos t + h cos v = a2
√
a2 cos2 v+b2 sin2 v
+ h cos v 5
2Risultato coincidente la formula fornita da wikipedia ψ (ϕ) = arctan 1 − e2 tan ϕ con le
sostituzioni ψ = u, ϕ = v, 1 − e2 = r2 [http://en.wikipedia.org/wiki/Latitude].
3Risultato coincidente la formula fornita da wikipediaβ(φ) = arctan
√
1 − e2 tan φ =
arctan [r tan φ] con le sostituzioni β = t, ϕ = v,
√
1 − e2 = r
[http://en.wikipedia.org/wiki/Latitude].
4Questo risultato ed il seguente possono essere derivati dalle relazioni tan u = r tan t e
tan t = r tan v trovate in questo paragrafo e dai risultati ottenuti nella sezione 2.2.
5Borkowsky, Accurate Algorithms to Transform Geocentric to Geodetic Coordinates, 1989,
fornisce dr = a cos t + h cos ϕ.

14. CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA DELL'ELLISSE 13
ˆ z = b sin t + h sin v = b2
√
a2 cos2 v+b2 sin2 v
+ h sin v6.
Ponendo N2
= a2
cos2
v + b2
sin2
v =
= a2
1 − sin2
v + b2
sin2
v =
= a2
− a2
− b2
sin2
v =
= a2
1 − a2
−b2
a2 sin2
v
= a2
1 − e2
sin2
v
otteniamo le espressioni:
ˆ x = a2
N + h cos v
ˆ z = b2
N + h sin v.
2.3.2 Notazione vettoriale
ˆ tangente T = (xt, yt) = (−a sin tdt, b cos tdt)
ˆ normale N = (b cos tdt, a sin tdt)
ˆ coecient angolare di N: mn = a sin tdt
b cos tdt = tan t
r =
tan u
r
r = tan u
r2 .
Quindi abbiamo:
ˆ equazione della normale y − y0 = mN (x − x0) = tan v (x − x0) → y =
tan v (x − x0) + y0
ˆ punto S = (xS, yS):
xS = 0
yS = tan v (xS − x0) + y0 = y0 − x0 tan v
ˆ SQ
2
= (x0 − xS)
2
+ (y0 − yS)
2
=
= x2
0 + [y0 − y0 + x0 tan v]
2
=
= x2
0 1 + tan2
v =
= x2
0 1 + sin2
v
cos2 v =
= x2
0
cos2
v+sin2
v
cos2 v =
=
x2
0
cos2 v =
= a2
cos2
t
cos2 v =
= a2
cos2 v 1
cos2 t
=
6Borkowsky, Accurate Algorithms to transform Geodetic coordinates, 1989, fornisce z =
b sin t + h sin ϕ.

15. CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA DELL'ELLISSE 14
= a2
cos2 v(1+tan2 t) =
= a2
cos2 v(1+r2 tan2 v) =
= a2
cos2 v+r2 cos2 v tan2 v =
= a2
cos2 v+r2 sin2 v
=
= a2
1−sin2 v+(1−e2) sin2 v
=
= a2
1−sin2 v+sin2 v−e2 sin2 v
=
= a2
1−e2 sin2 v
=
= a4
N2
7
ˆ SQ = a√
1−e2 sin2 v
=
= a2
N
8
ˆ point U = (xU , yU ):
yU = 0
xU = x0 + yu−y0
tan v = x0 − y0
tan v
ˆ UQ
2
= (x0 − xU )
2
+(y0 − yU )
2
= x0 − x0 + y0
tan v
2
+y2
0 = y2
0 1 + 1
tan2 v =
y2
0 1 + cos2
v
sin2 v
= y2
0
sin2
v+cos2
v
sin2 v
=
y2
0
sin2 v
= = b2
sin2
t
sin2 v
= b2
sin2 v 1
sin2 t
=
b2
sin2 v(1+ 1
tan2 t
)
= b2
sin2 v(1+ 1
r2 tan2 v
)
= b2
sin2 v+ sin2 v
r2 tan2 v
= b2
sin2 v+ cos2 v
1−e2
= b2
sin2 v(1−e2)+cos2 v
1−e2
=
=
(1−e2
)(ar)2
sin2 v−e2 sin2 v+1−sin2 v
=
(1−e2
)r2
a2
1−e2 sin2 v
=
(1−e2
)
2
a2
1−e2 sin2 v
= 1 − e2 2
SQ
2
ˆ UQ = 1 − e2
SQ =
(1−e2
)a
√
1−e2 sin2 v
.
2.4 Interessanti proprietà geometriche
Quì presento, ai paragra 1, 2 e 3, le osservazioni, forse originali di cui dicevo
all'inizio; al paragrafo 4 presento invece una proprietà nota e che vale la pena
ricordare.
7Borkowsky, Accurate Algorithms to Transform Geocentric to Geodetic Coordinates, 1989,
calcola SQ
2
= a2
cos2 v+r2 sin2 v
= a4
a2 cos2 v+a2r2 sin2 v
= a4
(a cos v)2+(b sin v)2 .
8Borkowsky, Accurate Algorithms to Transform Geocentric to Geodetic Coordinates, 1989,
calcola SQ = a4
(a cos v)2+(b sin v)2 = a2
√
(a cos v)2+(b sin v)2
.

16. CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA DELL'ELLISSE 15
2.4.1 Relazioni fra gli angoli
Da risultati precedenti sappiamo che
1. tan u = r tan t
2. tan t = r tan v;
poichè gli angoli u e t, uniti dalla prima relazione, rappresentano gli angoli al
centro O individuati rispettivamente dalle linee OQ e OP, dove P è l'intercetta
della verticale da Q al cerchio esterno, possiamo interpretare gli angoli t e v, che
godono della seconda analoga relazione, come gli angoli al centro O individuati
dalle linee OP e OP1 dove P1 è l'intersezione della verticale da Q1 al cerchio
esterno e Q1 l'intersezione di OP con l'ellisse.
Pertanto risulta facile trovare per via geometrica la normale (latitudine v)
in un punto Q dell'ellisse:
ˆ si trova il punto P innalzando la verticale da Q no al cerchio di raggio a

17. CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA DELL'ELLISSE 16
ˆ il raggio vettore OP individua la latitudine parametrica t del punto Q
ˆ si trova il punto Q1 intersezione di OP con l'ellisse
ˆ si trova il punto P1 innnalzando la verticale da Q1 no al cerchio
ˆ il raggio vettore OP1 individua l'angolo v che è latitudine parametrica di
Q1 e latitudine geodetica di Q.
2.4.2 Relazione fra le ordinate
Dal precedente paragrafo sappiamo che
QH
OH
= tan u = r tan t = r P H
OH
da cui
QH
P H
= r9.
2.4.3 La normale principale
Precedentemente abbiamo usato il parametro N = a2 cos2 v + b2 sin2
v; poichè
(a cos v, b sin v) sono le coordinate del punto Q1 abbiamo che N è la lunghezza
del vettore OQ1.
Pertanto la normale principale SQ = a2
N trovata al paragrafo Ÿ2.3.2 può
essere vista come rapporto fra il quadrato del raggio del cerchio circoscritto e la
lunghezza del vettore OQ1.
2.4.4 La normale bisettrice dei raggi vettori in Q dai fuochi
Avevo dimenticato un'altra proprietà, questa volta molto nota e anch'essa degna
di essere ricordata, dell'ellisse; come si vede dalla gura
9Questa proprietà è già stata usata nel quarto approccio (Ÿ2.1.4).

18. CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA DELL'ELLISSE 17
quando il punto Q1 è sulla verticale, si ha completa simmetria: F1O = F2O
per denizione, Q1O comune, quindi F1Q1 = F2Q1; la normale coincide con
l'asse verticale e, essendo gli angoli F1Q1O = F2Q1O per note proprietà dei
triangoli, la normale è bisettrice dell'angolo F1Q1F2 formato dai raggi vettori
F1Q1 e F2Q1: vogliamo analizzare se questa proprietà vale anche per un punto
Q qualsiasi.
Mi sembra ragionevole impiegare le proprietà di spazio euclideo del piano,
sfruttando in particolare:
ˆ il prodotto interno: (u, v) = i uivi
10
ˆ la norma euclidea: |u| = (u, u) = i uiui = i u2
i
da cui deriva la nota formula per il calcolo dell'angolo compreso fra due vettori
cos α = (u,v)
|u||v| .
Data l'ellisse in forma vettoriale abbiamo
11
ˆ punto generico Q = (x, y) = (a cos α, b sin α) da cui
ˆ cos α = x
a , sin α = y
b
ˆ vettore tangente in Q: t = (−a sin α, b cos α)
ˆ vettore normale in Q: n = (b cos α, a sin α) =
= b
a x, a
b y
10I simboli in grassetto rappresentano i vettori, quelli normali rappresentano i valori scalari.
11In questo paragrafo usiamo il simbolo α per indicare la latitudine parametrica.

19. CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA DELL'ELLISSE 18
ˆ vettore F1Q = (x + c, y)
ˆ modulo |F1Q| = (x + c)
2
+ y2 =
= x2 + 2cx + c2 + y2 =
= x2 + 2cx + c2 + b2
a2 (a2 − x2) =
= x2 + 2cx + a2 − b2 + b2 − b2
a2 x2 =
= a2−b2
a2 x2 + 2cx + a2 =
= c2
a2 x2 + 2cx + a2 =
= a + c
a x
2
=
= a + c
a x
ˆ vettore F2Q = (x − c, y)
ˆ modulo |F2Q| = (x − c)
2
+ y2 =
= x2 − 2cx + c2 + y2 =
= x2 − 2cx + c2 + b2
a2 (a2 − x2) =
= x2 − 2cx + a2 − b2 + b2 − b2
a2 x2 =
= a2−b2
a2 x2 − 2cx + a2 =
= c2
a2 x2 − 2cx + a2 =
= a − c
a x
2
=
= a − c
a x
ˆ cos γ =
(F1Q,n)
|F1Q||n|
=
=
((x+c,y),( b
a x, a
b y))
( c
a x+a)|n|
=
=
(x+c) b
a x+ a
b y2
( c
a x+a)|n|
=
=
b
a x2
+ bc
a x+ a
b
a2−x2
a2 b2
( c
a x+a)|n|
=
=
b
a x2
+ bc
a x+ab− b
a x2
( c
a x+a)|n|
=
=
(a+ c
a x)b
(a+ c
a x)|n|
=
= b
|n|

20. CAPITOLO 2. LA GEOMETRIA DELL'ELLISSE 19
ˆ cos δ =
(F2Q,n)
|F2Q||n|
=
=
((x−c,y),( b
a x, a
b y))
( c
a x−a)|n|
=
=
(x−c) b
a x+ a
b y2
( c
a x−a)|n|
=
=
b
a x2
− bc
a x+ a
b
a2−x2
a2 b2
( c
a x−a)|n|
=
=
b
a x2
− bc
a x+ab− b
a x2
( c
a x−a)|n|
=
=
(a− c
a x)b
(a− c
a x)|n|
=
= b
|n|
quindi cos γ = cos δ → γ = δ, cioè gli angoli formati dai raggi vettori con la nor-
male sono uguali o, detto altrimenti, la normale è bisettrice dell'angolo formato
dai raggi vettori in Q, quindi la proprietà che avevamo visto nel caso particolare
in cui il punto Q era situato sull'asse verticale rappresenta una proprietà valida
per ogni punto dell'ellisse. Questa proprietà è nota da tempo e sfruttata dai
progettisti a ni acustici.

21. Capitolo 3
Trasformazione di Coordinate
In ambito geograco il sistema di riferimento è forzatamente tridimensionale; i
due sistemi che stiamo considerando sono:
ˆ sistema geodetico (polare) basato sui vettori mutuamente indipendenti
longitudine λ
latitudine ϕ
altitudine (elissoidica) h
ˆ sistema cartesiano rettangolare basato sui vettori mutuamente indipen-
denti
asse X
asse Y
asse Z.
I due sistemi condividono l'origine O e l'asse Z; gli assi X e Y sono disposti nel
piano equatoriale e l'asse X coincide con la traccia del piano verticale da cui si
calcolano le longitudini.
Pertanto avremo tipicamente la relazione f : PG (λ, ϕ, h) → PC (x, y, z);
tuttavia la simmetria radiale dell'ellissoide permette una comoda semplicazione
che adotteremo senza indugio: adotteremo come spazio il piano contenente l'asse
verticale e passante per il punto P dove avremo la relazione semplicata g :
PG (ϕ, h) → PC (r, z) dopo la sostituzione r = x2 + y2.
Nel percorso inverso avremo g−1
: PC (r, z) → PG (ϕ, h), l'ulteriore oper-
azione λ = arctan y
x consente di completare la relazione inversa f−1
: PC (x, y, z) →
PG (λ, ϕ, h).
20

22. CAPITOLO 3. TRASFORMAZIONE DI COORDINATE 21
3.1 Da Coordinate Geograche a Coordinate Geo-
centriche
Con riferimento alla gura, dato il punto P nelle coordinate geograche
(λ, ϕ, h) abbiamo:
ˆ v = SQ = a√
1−e2 sin2 ϕ
ˆ dr = (v + h) cos ϕ
ˆ x = dr cos λ
ˆ y = dr sin λ
ˆ q = UQ = 1 − e2
SQ = 1 − e2
v = r2
v
ˆ z = (q + h) sin ϕ = 1 − e2
v + h sin ϕ = r2
v + h sin ϕ.

23. CAPITOLO 3. TRASFORMAZIONE DI COORDINATE 22
3.2 Da Coordinate Geocentriche a Coordinate Ge-
ograche
Come anticipato la relazione inversa risulta notevolmente più complessa e si
riduce in sostanza alla scrittura di un'equazione di quarto grado
1; per quanto
la soluzione di questa equazione, e quindi della trasformazione inversa, sia alla
portata di qualsiasi moderno strumento di calcolo, mi sembra di aver osservato
alcune caratteristiche che consentono di congetturare una soluzione approssima-
ta in forma chiusa; nel seguito descrivo queste osservazioni e poi la soluzione
proposta.
3.2.1 Soluzione approssimata proposta
Con riferimento alla gura abbiamo gli elementi:
1. A = (xA, yA) punto in esame
2. tan w = yA
xA
coeciente angolare della retta OA
3. tan t1 = 1
r tan w tangente della latitudine parametrica 1
4. Q1 = (x1, y1) = (a cos t1, b sin t1) = a (cos t1, r sin t1) punto sulla supercie
dell'ellisse di latitudine parametrica t1
5. d = Q1A distanza Q1A
6. tan t2 = tan w tangente della latitudine parametrica 2
1Mi sono intestardito più volte, nonostante le mie insucienti conoscenze matematiche,
a cercare qualche espressione più semplice, ma tutte le strade nora tentate (punto Q come
piede della perpendicolare da P all'ellisse, punto Q come punto più vicino a P, ecc.) si sono
rivelate illusorie: lo sbocco è sempre e solo un'equazione di quarto grado.

24. CAPITOLO 3. TRASFORMAZIONE DI COORDINATE 23
7. Q2 = (x2, y2) = (a cos t2, b sin t2) = a (cos t2, r sin t2) punto sulla supercie
dell'ellisse di latitudine parametrica t2
8. tan v2 = 1
r tan t2 = 1
r tan w = tan t1 tangente della normale in Q2
9. A0 = (x0, y0) intersezione della retta OA con la verticale per Q2
w = (cos w, sin w)
v2 = (cos v2, sin v2)
A0 = Q1 + αw = Q2 + βv2 da cui
x0
y0
=
x1
y1
+ α
cos w
sin w
=
x2
y2
+ β
cos v2
sin v2
α
cos w
sin w
−β
cos v2
sin v2
=
cos w − cos v2
sin w − sin v2
α
β
=
x2
y2
−
x1
y1
=
x2 − x1
y2 − y1
e quindi
α
β
=
cos w − cos v2
sin w − sin v2
−1
x2 − x1
y2 − y1
;
sostituendo a = cos w, b = cos v2, c = sin w, d = sin v2 abbiamo
a −b 1 0
c −d 0 1
∼
1 − b
a
1
a 0
1 −d
c 0 1
c
∼
1 − b
a
1
a 0
0 b
a − d
c −1
a
1
c
∼
1 − b
a
1
a 0
0 bc−ad
ac −1
a
1
c
∼
1 − b
a
1
a 0
0 1 − c
bc−ad
a
bc−ad
∼
1 − b
a
1
a 0
0 b
a − bc
a(bc−ad)
b
bc−ad
∼
1 0 1
a − bc
a(bc−ad)
b
bc−ad
0 b
a − bc
a(bc−ad)
b
bc−ad
∼
1 0 bc−ad−bc
a(bc−ad)
b
bc−ad
0 1 −c
bc−ad
a
bc−ad
∼
1 0 −d
bc−ad
b
bc−ad
0 1 −c
bc−ad
a
bc−ad
∼
a −b
c −d
−1
=
−d
bc−ad
b
bc−ad
−c
bc−ad
a
bc−ad
= 1
bc−ad
−d b
−c a
= 1
D
− sin v2 cos v2
− sin w cos w
dove ab-
biamo posto D = bc − ad = sin w cos v2 − cos w sin v2; check
cos w − cos v2
sin w − sin v2
cos w − cos v2
sin w − sin v2
−1
=
cos w − cos v2
sin w − sin v2
1
D
− sin v2 cos v2
− sin w cos w
=
= 1
D
− cos w sin v2 + sin w cos v2 cos w cos v2 − cos w cos v2
− sin w sin v2 + sin w sin v2 sin w cos v2 − cos w sin v2
= 1
D
D 0
0 D
=
1 0
0 1
c.v.d.;
pertanto
α
β
=
cos w − cos v2
sin w − sin v2
−1
x2 − x1
y2 − y1
= 1
D
− sin v2 cos v2
− sin w cos w
x2 − x1
y2 − y1
,
cioè
α = −(x2−x1) sin v2+(y2−y1) cos v2
D
β = −(x2−x1) sin w+(y2−y1) cos w
D

25. CAPITOLO 3. TRASFORMAZIONE DI COORDINATE 24
e quindi
A0 =
x0
y0
=
x1
y1
+ α
cos w
sin w
=
=
x1 + −(x2−x1) sin v2+(y2−y1) cos v2
D cos w
y1 + −(x2−x1) sin v2+(y2−y1) cos v2
D sin w
=
=
x1(sin w cos v2−cos w sin v2)−(x2−x1) cos w sin v2+(y2−y1) cos w cos v2
D
y1(sin w cos v2−cos w sin v2)−(x2−x1) sin w sin v2+(y2−y1) sin w cos v2
D
=
=
x1 sin w cos v2−x1 cos w sin v2−x2 cos w sin v2+x1 cos w sin v2+y2 cos w cos v2−y1 cos w cos v2
D
y1 sin w cos v2−y1 cos w sin v2−x2 sin w sin v2+x1 sin w sin v2+y2 sin w cos v2−y1 sin w cos v2
D
=
=
x1 sin w cos v2−x2 cos w sin v2+y2 cos w cos v2−y1 cos w cos v2
D
−y1 cos w sin v2−x2 sin w sin v2+x1 sin w sin v2+y2 sin w cos v2
D
=
=
x2 sin w cos v2−x2 sin w cos v2+x1 sin w cos v2−x2 cos w sin v2+y2 cos w cos v2−y1 cos w cos v2
D
y2 cos w sin v2−y2 cos w sin v2−y1 cos w sin v2−x2 sin w sin v2+x1 sin w sin v2+y2 sin w cos v2
D
=
=
x2(sin w cos v2−cos w sin v2)+x1 sin w cos v2−x2 sin w cos v2+y2 cos w cos v2−y1 cos w cos v2
D
y2(sin w cos v2−cos w sin v2)+y2 cos w sin v2−y1 cos w sin v2−x2 sin w sin v2+x1 sin w sin v2
D
=
=
x2(sin w cos v2−cos w sin v2)
D + −(x2−x1) sin w+(y2−y1) cos w
D cos v2
y2(sin w cos v2−cos w sin v2)
D + −(x2−x1) sin w+(y2−y1) cos w
D sin v2
=
=
x2 + −(x2−x1) sin w+(y2−y1) cos w
D cos v2
y2 + −(x2−x1) sin w+(y2−y1) cos w
D sin v2
=
=
x2
y2
+ −(x2−x1) sin w+(y2−y1) cos w
D
cos v2
sin v2
=
=
x2
y2
+ β
cos v2
sin v2
c.v.d.
10. d0 = Q1A0 distanza Q1A0
Spostando il punto A lungo la retta OQ1 abbiamo
1. A ≡ Q1 → d
d0
= 0 → u = w → tan t = 1
r tan u = 1
r tan w → tan v =
1
r tan t = 1
r2 tan w
2. A ≡ A0 → d
d0
= 1 → t = w → tan t = tan w → tan v = 1
r tan t = 1
r tan w
3. A → ∞ → d
d0
→ ∞ → v = w → tan v = tan w → tan t = r tan v = r tan w
e possiamo esprimere le due disequazioni
1. tan t = st tan w con r ≤ st ≤ 1
r e
2. tan v = sv tan w con 1 ≤ sv ≤ 1
r2 .

26. CAPITOLO 3. TRASFORMAZIONE DI COORDINATE 25
Usando la prima cerchiamo la funzione di interpolazione st = f d
d0
tale da
fornire
1. f (0) = 1
r
2. f (1) = 1
3. f (∞) = r;
proviamo la funzione s = α arctan βq + γ, dopo aver sostituito
d
d0
= q:
1. st=0 = α arctan 0 + γ = γ = 1
r
2. st=1 = α arctan β + γ = 1 da cui β = tan 1−γ
α = tan
1− 1
r
α = tan r−1
αr
3. st→∞ = α arctan ∞+γ = απ
2 +γ = r da cui α = 2
π (r − γ) = 2
π r − 1
r =
2
π
r2
−1
r
4. e quindi β = tan r−1
αr = tan r−1
2
π
r2−1
r r
= tan r−1
r2−1
π
2 = tan 1
1+r
π
2
pertanto adottiamo la funzione interpolante s = 2
π
r2
−1
r arctan tan 1
1+r
π
2 q+ 1
r .
Nota: il rapporto q = d
d0
comporta il calcolo degli incrementi dx e dy,
l'elevamento al quadrato e l'estrazione della radice della somma per il calcolo
delle due distanze d e d0; è più eciente applicare il teorema di Talete ai triangoli
rettangoli simili di ipotenusa Q1A e Q1A0 con cui q = d
d0
= dx
dx0
dove abbiamo
posto dx = xA − x1 e dx0 = x0 − x1
2.
3.2.1.1 Test numerico della funzione interpolante
1. r = 1
2 = 0.5
(a) α = 2
π
r2
−1
r = 2
π
1
4 −1
1
2
= − 3
π
(b) β = tan 1
1+r
π
2 = tan 1
3
2
π
2 = tan π
3 = 1.732
(c) γ = 1
r = 2
(d) s = α arctan βt + γ = − 3
π arctan 1.732t + 2
(e) st=0 = − 3
π arctan 0 + 2 = 2
(f) st=1 = − 3
π arctan 1.732 + 2 = − 3
π
π
3 + 2 = 1
(g) st→∞ = − 3
π
π
2 + 2 = 1
2
2. r = 0.8
(a) α = 2
π
r2
−1
r = 2
π
0.64−1
0.8 = − 9
10π
2Questo metodo ha anche il vantaggio di individuare con un valore negativo il caso di punti
di altitudine negativa, al di sotto della supercie terrestre, che qui non sono trattati.

27. CAPITOLO 3. TRASFORMAZIONE DI COORDINATE 26
(b) β = tan 1
1+r
π
2 = tan π
3.6 = 1.19175
(c) γ = 1
r = 1.25
(d) s = α arctan βt + γ = − 9
10π arctan 1.19175t + 1.25
(e) st=0 = − 9
10π arctan 0 + 1.25 = 1.25
(f) st=1 = − 9
10π arctan 1.19175+1.25 = − 9
10π
10π
36 +1.25 = −1
4 +1.25 = 1
(g) st→∞ = − 9
10π
π
2 + 1.25 = − 9
20 + 1.25 = 0.8.
Usando la seconda e la funzione di interpolazione sv = f (t) = α arctan βq + γ
avremmo
1. f (0) = 1
r2
2. f (1) = 1
r
3. f (∞) = 1;
e quindi
1. st=0 = α arctan 0 + γ = γ = 1
r2
2. st=1 = α arctan β + γ = 1
r da cui β = tan
1
r −γ
α = tan
1
r − 1
r2
α = tan r−1
αr2 =
− tan 1−r
αr2
3. st→∞ = απ
2 + γ = 1 da cui α = 2
π (1 − γ) = 2
π 1 − 1
r2 = 2
π
r2
−1
r2 =
− 2
π
1−r2
r2
4. e quindi β = tan r−1
αr2 = tan r−1
2 r2−1
r2 r2
π = tan 1
1+r
π
2
pertanto adottiamo la funzione interpolante s = 2
π
r2
−1
r2 arctan tan 1
1+r
π
2 q +
1
r2 .
Test numerici della funzione interpolante:
1. r = 1
2 = 0.5
(a) α = 2
π
r2
−1
r2 = 2
π
1
4 −1
1
4
= − 2
π
3
4
4
1 = − 6
π
(b) β = tan 1
1+r
π
2 = tan 1
1+ 1
2
π
2 = tan 2
3
π
2 = tan π
3 = 1.732
(c) γ = 1
r2 = 1
1
4
= 4
(d) s = 2
π
r2
−1
r2 arctan tan 1
1+r
π
2 t + 1
r2 = − 6
π arctan 1.732t + 4
(e) st=0 = − 6
π arctan 0 + 4 = 4
(f) st=1 = − 6
π arctan 1.732 + 4 = − 6
π
π
3 + 4 = −2 + 4 = 2
(g) st→∞ = − 6
π
π
2 + 4 = −3 + 4 = 1
2. r = 0.8

28. CAPITOLO 3. TRASFORMAZIONE DI COORDINATE 27
(a) α = 2
π
r2
−1
r2 = 2
π
0.64−1
0.64 = − 9
8π
(b) β = tan 1
1+r
π
2 = tan 1
1+0.8
π
2 = tan π
3.6 = 1.19175
(c) γ = 1
r2 = 1
0.64 = 1.5625
(d) s = 2
π
r2
−1
r2 arctan tan 1
1+r
π
2 t + 1
r2 = − 9
8π arctan 1.19175t + 1.5625
(e) st=0 = − 9
8π arctan 0 + 1.5625 = 1.5625
(f) st=1 = − 9
8π arctan 1.19175 + 1.5625 = − 9
8π
10π
36 + 1.5625 = − 5
16 +
1.5625 = 1.25
(g) st→∞ = − 9
8π
π
2 + 1.5625 = − 9
16 + 1.5625 = 1.
3.2.2 Test
Ho condotto alcuni test mediante un piccolo script python
3 confrontando i risul-
tati con esempi trovati in letteratura:
1. Esempio da Università di Pisa, Geodesia, pag. 39-40)
(a) dati ellissoide
Ellissoide INTL24 (Hayford)
semiasse maggiore 6378388.0
semiasse minore 6356911.94613
rapporto 0.996632996633
schiacciamento 298.257
eccentricità al quadrato 0.00672267002233
(b) calcolo diretto
coordinate geograche coordinate cartesiane
lon 1d 16m 51.012s X 4616659.048
lat 43d 42m 45.418s Y 103221.763
h 0.000000 Z 4385144.185
(c) calcolo inverso
coordinate cartesiane Bowring Gloeckler mio metodo
X 4616659.048 lon 1d 16' 51.012 1d 16' 51.012 1d 16' 51.012
Y 103221.763 lat 43d 42' 45.418 43d 42' 45.418 43d 42' 45.418
Z 4385144.185 h 0.000000 0.000000 0.000000
2. Esempio da Università di Pisa, Geodesia, pag. 41
(a) dati ellissoide
3Lo script è disponibile per chiunque voglia prenderne visione.

29. CAPITOLO 3. TRASFORMAZIONE DI COORDINATE 28
Ellissoide INTL24 (Hayford)
semiasse maggiore 6378388.0
semiasse minore 6356911.94613
rapporto 0.996632996633
schiacciamento 298.257
eccentricità al quadrato 0.00672267002233
(b) calcolo diretto
coordinate geograche coordinate cartesiane
lon 30d 0m 0.0s X 3912744.523
lat 45d 0m 0.00s Y 2259024.104
h h=350.000 Z 4487676.524
(c) calcolo inverso
coordinate cartesiane Bowring Gloeckler mio metodo
X 3912744.523 lon 29d 59' 60.000 29d 59' 60.000 29d 59' 60.000
Y 2259024.104 lat 45d 0' 0.000 44d 59' 60.000 45d 0' 0.014
Z 4487676.524 h 350.000000 350.000000 350.000263
3. Esempio da Università di Pisa, Geodesia, pag. 42
(a) dati ellissoide
Ellissoide WGS84
semiasse maggiore 6378137.0
semiasse minore 6356752.29822
rapporto 0.996647186822
schiacciamento 298.257
eccentricità al quadrato 0.00669438499959
(b) calcolo diretto
coordinate geograche coordinate cartesiane
lon 10d 34m 1.239s X 4542182.687
lat 43d 40m 29.524s Y 847339.831
h 62.040 Z 4382077.127
(c) calcolo inverso
coordinate cartesiane Bowring Gloeckler mio metodo
X 4542182.687 lon 10d 34' 1.239 10d 34' 1.239 10d 34' 1.239
Y 847339.831 lat 43d 40' 29.524 43d 40' 29.524 43d 40' 29.526
Z 4382077.127 h 62.040000 62.040000 62.040046
4. Esempio da Università di Pisa, Geodesia, pag. 47
(a) dati ellissoide

30. CAPITOLO 3. TRASFORMAZIONE DI COORDINATE 29
Ellissoide WGS84
semiasse maggiore 6378137.0
semiasse minore 6356752.29822
rapporto 0.996647186822
schiacciamento 298.257
eccentricità al quadrato 0.00669438499959
(b) calcolo diretto
coordinate geograche coordinate cartesiane
lon 11d 12m 50.1365s X 4523182.131
lat 43d 47m 47.9285s Y 896756.783
h 106.548000 Z 4391884.305
(c) calcolo inverso
coordinate cartesiane Bowring Gloeckler mio metodo
X 4523182.131 lon 11d 12' 50.136 11d 12' 50.136 11d 12' 50.136
Y 896756.783 lat 43d 47' 47.929 43d 47' 47.929 43d 47' 47.933
Z 4391884.305 h 106.548000 106.548000 106.548079

31. Capitolo 4
Referimenti bibliograci
Per interessanti annotazioni e alcuni metodi costruttivi dell'ellisse si vedano:
ˆ Grewal et al, Global Positioning Systems, Inertial Navigation and Inte-
gration, Appendix C
ˆ Borkowsky, Transformation of Geocentric to Geodetic Coordinates with-
out Approximations, 1987
ˆ Borkowsky, Accurate Algorithms to Transform Geocentric to Geodetic
Coordinates, 1989
ˆ Gloeckler et al, Handbook for Transformation of Datums, Projections,
Grids and common Coordinate Systems (TEC-SR-7), 1986
ˆ Richard H. Rapp, Geometric Geodesy, 2 voll, 1991
ˆ la pagina web http://it.wikipedia.org/wiki/Ellisse.
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