Dokumen ini menjelaskan materi analisis vektor, termasuk penjumlahan dan pengurangan vektor dalam tiga dimensi serta operasi perkalian titik dan silang. Konsep dasar seperti koordinat kartesian dan polar, serta sifat-sifat aljabar vektor dijelaskan secara mendetail. Selain itu, juga dibahas kinematika partikel dalam konteks koordinat yang berbeda.

1. ANALISIS, OPERATOR DAN
TRANSFORMASI VEKTOR
IMAM IKHSAN DAULAY
8236175001
PASCASARJANA PENDIDIKAN FISIKA

2. Materi
• Penjumlahan dan pengurangan vektor 3 dimensi
• Perkalian cros pruduct dan dot product
• Penguraian vektor
• kinematika partikel 2 dan 3 dimensi pada
koordinat kartesis
• Operator Vektor
• Transformasi Koordinat

3. Pengertian
Konsep vektor dalam metematika adalah ruas
garis berarah yang panjangnya merupakan jarak
dari titik pangkal ke titik ujung dan arahnya adalah
arah dari pangkal ke ujung atau perpanjangannya.
Dalam vektor berlaku aljabar tertentu yang disebut
Aljabar Vektor, dua diantaranya adalah penjumlahan
dan pengurangan.

4. Penjumlahan dan Pengurangan
Vektor
Untuk melakukan operasi penjumlahan
atau pengurangan terhadap dua vektor atau
lebih, dapat dihitung dengan memakai 2
cara yaitu :
1. Aturan Jajar Genjang
2. Aturan Segitiga

5. Aturan Jajar Genjang
menentukan jumlah vector dan
vector adalah dengan
memindahkan vektor tanpa
mengubah besar dan arahnya,
sehingga titik pangkal vector
berimpit dengan titik pangkal
vektor . Vektor = + yang
dimaksudkan adalah vektor yang
titik pangkalnya di titik pangkal
persekutuan vector dan vector
serta vektor itu berimpit dengan
diagonal jajargenjang yang
dibentuk oleh vector dan vector
tadi.

6. Aturan
Segitiga
Jumlah vector dengan vektor
atau = + dapat ditentukan
dengan cara memindahkan
vector tanpa mengubah
besar dan arahnya, sehingga
titik pangkal vektor berimpit
dengan titik ujung dari vector
. Vektor = + yang
dimaksudkan diperoleh
dengan menghubungkan titik
pangkal vektor dengan titik
ujung vektor yang telah
dipindahkan tadi.

7. Penjumlahan Vektor Secara Aljabar atau Analitik
X
Y
O
Penjumlahan Vektor di R2
A(a,b)
B(c,d)
u
v
Untuk
vektor
u = a
b
danv = c
d
makau + v =
a
b +
c
d =
a + c
b + d
u +v
C(a+c,b+d)
u
v
a
c a+c
b
d
b+d

8. Penjumlahan Vektor di R3
Untuk
vektor
u = da
n
v = makau + v = + =
A(a,b,c)
B(d,e,f)
u
v
u +
v
C(a+d,b+e,c+f)
u
v
y
x
z
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
e
f
a+d
b+e
c+f
O

9. Sifat-Sifat Penjumlahan Vektor
a. Komutatif : u + v = v + u
b. Asosiatif : (u + v) + w = u + (v + w)
c. Terdapat unsur identitas atau unsur satuan
(yaitu vektor 0) sehingga berlaku hubungan : 0
+ v = v + 0 = v
d. Setiap vektor mempunyai sebuah unsur invers
tambah. Jika vektor -v merupakan invers
tambah dari vektor v, maka berlaku hubungan
v + (-v) = 0

10. Pengurangan Vektor






























2
2
1
1
2
1
2
1
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a





































3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a
b
a )
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
( 3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1 b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a
b
a 






)
,
(
)
,
(
)
,
( 2
2
1
1
2
1
2
1 b
a
b
a
b
b
a
a
b
a 






11. Ulasan Penting
• Denga metode segitiga didapat dengan cara
𝑐 ⃗
menghubungkan titik pangkal dengan titik ujung
𝑎 ⃗ 𝑏 ⃗
• Dengan metode jajar genjang, didapat dengan cara
𝑐 ⃗
menghubungkan titik ujung dengan titik ujung
𝑎 ⃗ 𝑏 ⃗

12. )
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
:
dituliskan
dapat
berurutan,
pasangan
n
menggunaka
dengan
:
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
berlaku
R
di
vektor
b
dan
a
untuk









































































13. )
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
:
dituliskan
dapat
berurutan,
pasangan
n
menggunaka
dengan
:
3
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a
b
a
berlaku
R
di
vektor
b
dan
a
untuk

























































































14. 2. Perkalian Vektor dengan Vektor
a. Perkalian Titik (Dot Product) Hasilnya skalar
A  B = C C = skalar
θ
A
B
B cos θ
A cos θ
Besarnya : C = |A||B| Cos θ
A = |A| = besar vektor A
B = |B| = besar vektor B
Θ = sudut antara vektor A dan
B

15. 1. Komutatif : A  B = B  A
2. Distributif: A  (B+C) = (A  B) + (A  C)
Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot
Product)
Catatan :
1. Jika A dan B saling tegak lurus  A  B = 0
2. Jika A dan B searah  A  B = A  B
3. Jika A dan B berlawanan arah  A  B = - A  B

16. b. Perkalian Silang (Cross Product)
θ
A
B
C = A x B
θ
B
A
C = B x A
Catatan :
Arah vektor C sesuai aturan tangan
kanan
Besarnya vektor C = A x B = A B sin θ
Hasilnya vektor
Sifat-sifat :
1. Tidak komutatif  A x B B x A
2. Jika A dan B saling tegak lurus  A x B = B x A
3. Jika A dan B searah atau berlawan arah  A x B =
0
=

17. 2.13
i
j
k
 Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product) Vektor
Satuan
= =
= =
=
=
1
0
i
i 
j
i 
j
j 
k
j 
k
k
i
k 
 Sifat-sifat Perkalian silang (Cross Product) Vektor Satuan
i x i j x j k x k
= = = 0
i x j
j x k
k x i
=
=
=
k
j
i

18. Penguraian Vektor
• Sebuah vektor yang membentuk sudut terhadap sumbu X dapat diuraikan
ke sumbu – X dan sumbu – Y.
• Vektor ke sumbu – X dirumuskan :
Fx = F . cos θ
• Vektor ke sumbu – Y dirumuskan :
FY = F . sin θ
• Dalam hal ini sumbu – X sebagai acuan sudut

19. 0
o
Y
θ
Fx = F . cos θ
F
Fy = F . sin θ
X
90o Kuadran 1
180o
270o

20. X
Y
θ
Fx = – F . cos θ
F Fy = F . sin θ
Kuadran 2 90o
180o
0
o
270o

21. X
Y
θ
Fx = – F . cos θ
F
Fy = – F . sin θ
180o
270o
Kuadran 3
90o
0
o

22. Kuadran 4
X
Y
θ
Fx = F . cos θ
F
Fy = – F . sin θ
270o
360o
180o
90o

23. Sudut Istimewa
0o
30o
37o
45o
53o
60o
90o
Sin 0 0,5 0,6 0,5 2
√ 0,8 O,5
3
√
1
Cos 1 0,5 3
√ 0,8 0,5 2
√ 0,6 0,5 0
Harus hapal !

24. kinematika partikel 2 dan 3 dimensi
pada koordinat kartesis
Rektanguler atau
Koordinat Kartesian
Posisi titik P digambarkan oleh
koordinat (x,y) yang didapatkan dari
proyeksi titik P terhadap sumbu X
dan Y, sehingga OA = x dan OB = y.
->koordinat kartesian tiga
dimensi,

25. Koordinat Polar
Berdasarkan gambar di samping, koordinat
kartesian titik P pada bidang XY adalah (x,y).
Titik P terletak pada jarak r dari titik asal O.
Garis OP membentuk sudut θ terhadap
sumbu X. Sehingga dapat diterima apabila
posisi P diwakili oleh koordinat (r, θ) yang
disebut koordinat polar. Hubungan antara
(x,y) dan (r, θ) adalah
Dari persamaan sebelumnya, diperoleh
Dengan

26. Letak materi (partikel) dalam sistem koordinat
dapat dinyatakan sebagai bentuk vektor posisi.
dapat
dengan
Letak titik A
dinyatakan
persm vektor,
R = x i + y j + z k,
(3 dimensi), jika dua
dimensi, (z = 0) se-
hingga menjadi,
y
z
x
A (x, y, z)
R
i j
k
0
R = x i + y j.

27. Besar kecepatan,
z
dt dt dt
dy dz
 v2
 v2
 v2
x y

 dt

 dz

2
 

 dt

 dy

2
 

 dt

 dx

2
v2


v 

v  i  j  k
i  j  k
dt dt dt
dt

→ dx dy dz
→ dR dx
Kecepatan

28. 2
2
2
Besar percepatan,
x
a2
dt
dt
dt
dvy
d 2
y d 2
z
dt 2
dt 2
dt
2
d 2
x
 a2
 a2
y
z
a 
 

 

 

 
 
    

 d 2
x 
2
 d 2
y

2
 d 2
z 
2
a 
a 



 a  axi  ay j  azk
a  i  j  k
dt dt
dt
i  j  k atau
→
→ dvx dvz
dt dt  dt dt
dt

→
→
→
Percepatan

29. Koordinat Silinder
Dalam koordinat silinder (x,y,z)
dinyatakan dalam
Sedangkan hubungan kebalikannya
dinyatakan dengan

30. Koordinat Bola Polar
Koordinat kartesian dari titik P adalah (x,y,z),
sementara dalam koordinat polar bola.
Untuk menemukan hubungan antara dua
koordinat tersebut, kita nyatakan OP = r
menjadi dua komponen PM dan OM
selanjutnya OM dinyatakan dalam dua
komponen OA dan OB, sehingga

31. OPERATOR VEKTOR

52. TERIMA KASIH