SlideShare a Scribd company logo

Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika (1).pdf

•
•
V
VigoIte

Dokumen tersebut membahas tentang Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika. Secara garis besar dibahas mengenai konsep-konsep Aljabar Boolean seperti dalil, teorema, diagram Venn, serta proses sintesis rangkaian logika dari tabel kebenaran dan bentuk kanonik SOP/POS. Dokumen ini juga menjelaskan tentang rangkaian logika dua tingkat sebagai hasil proses sintesis.

1 of 72
Download to read offline
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika Kuliah#3 TKC205 Sistem Digital Eko Didik Widianto Departemen Teknik Sistem Komputer, Universitas Diponegoro http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 1
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Pengantar I Dalam proses analisis dan sintesis diperlukan satu model untuk mendeskripsikan fungsi logika. Salah satu model yang digunakan adalah aljabar Boolean I Proses sintesis bertujuan untuk merancang rangkaian logika optimal berdasarkan kebutuhan fungsional sistem yang diinginkan. I Kebutuhan sistem dapat dinyatakan dalam deskripsi tekstual, tabel kebenaran maupun diagram pewaktuan I Jika tidak ada konstrain (misalnya waktu sintesis), hasilnya adalah rangkaian yang minimal atau paling sederhana I Rangkaian logika minimal diperoleh dari persamaan logika yang paling sederhana I Penyederhanaan persamaan logika dilakukan menggunakan aljabar Boolean, peta Karnaugh dan metode tabular Quine McKluskey http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 2
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Umpan Balik I Sebelumnya dibahas tentang konsep rangkaian logika: I Representasi biner dan saklar sebagai elemen biner I Variabel dan fungsi logika I Ekspresi dan persamaan logika I Tabel kebenaran I Gerbang dan rangkaian logika I Analisis rangkaian dan diagram Pewaktuan I Umpan Balik: I Gambarkan rangkaian untuk fungsi logika f(x1, x2, x3, x4) = (x1x2) + (x3x4) dan analisis untuk masukan {x1, x2, x3, x4} = {0, 1, 0, 1}, 12 I Buktikan bahwa (x1x2) + (x3x4) = (x1x2) (x3x4) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 3
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Tentang Kuliah I Dalam kuliah ini, akan dibahas tentang implementasi fungsi logika menjadi suatu rangkaian logika (disebut proses sintesis), baik menggunakan tabel kebenaran maupun aljabar Boolean I Aljabar Boolean: aksioma, teorema, dan hukum I Diagram Venn I Penyederhanaan persamaan secara aljabar I Sintesis ekspresi logika dari tabel kebenaran I minterm, persamaan SOP (Sum of Product) dan notasi kanonik SOP I Maxterm, persamaan POS (Product of Sum) dan notasi kanonik POS I Konversi SOP ke POS dan sebaliknya I Rangkaian dua level AND-OR dan OR-AND I Rangkaian dua level NAND-NAND dan NOR-NOR http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 4
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Kompetensi Dasar I Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa akan mampu: 1. [C1] memahami aksioma (dalil), teorema dan hukum aljabar Boolean 2. [C2] memahami notasi aljabar operasi logika (AND,OR, NOT) dan urutan operasi logika 3. [C2] membuktikan kesamaan dua ekspresi logika dengan menggunakan aljabar dan diagram Venn 4. [C2] menyatakan persamaan logika dalam bentuk SOP maupun POS jika diberikan kebutuhan fungsional sistem 5. [C2] mengkonversikan persamaan SOP ke POS atau sebaliknya dengan benar 6. [C3] melakukan penyederhanaan persamaan logika secara aljabar dengan benar jika diberikan suatu persamaan logika, tabel kebenaran maupun deskripsi tekstual kebutuhan desain 7. [C4] mendesain dan menganalisis rangkaian AND-OR dan OR-AND minimal jika diberikan kebutuhan desain yang diinginkan 8. [C4] mendesain dan menganalisis rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR minimal jika diberikan kebutuhan desain yang diinginkan I Link I Website: http://didik.blog.undip.ac.id/2017/03/06/ tkc205-sistem-digital-2016-genap/ I Email: didik@undip.ac.id http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 5
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Buku Acuan/Referensi Eko Didik Widianto, Sistem Digital: Analisis, Desain dan Implementasi, Edisi Pertama, Graha Ilmu, 2014 (Bab 3: Aljabar Boolean dan Sintesis Rangkaian Logika) I Materi: I 3.1 Aljabar Boolean I 3.2 Sintesis Rangkaian Logika I 3.3 Rangkaian Logika Dua Level I Website: I http://didik.blog.undip.ac.id/ buku/sistem-digital/ http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 6
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 7
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Aljabar Boolean (Tahun 1849) I Boole memberikan skema untuk deskripsi aljabar dari proses berpikir secara logika dan penalaran (reasoning) I Kemudian digunakan untuk menjabarkan rangkaian logika I desain dan analisis rangkaian I menyederhanakan suatu ekspresi logika untuk implementasi fisik rangkaian yang lebih sederhana George Boole (1815-1864) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 8
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 9
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Dalil Aljabar Boolean dan Prinsip Dualitas I Aljabar Boolean menggunakan aturan-aturan yang diturunkan dari asumsi dasar (aksioma/dalil/postulat) I Tidak perlu dibuktikan karena self-evident, kebenarannya terjamin 1a. 0 · 0 = 0 2a. 1 · 1 = 1 3a. 0 · 1 = 1 · 0 = 0 4a. Jika x = 0, maka x = 1 1b. 1 + 1 = 1 2b. 0 + 0 = 0 3b. 1 + 0 = 0 + 1 = 1 4b. Jika x = 1, maka x = 0 I Dalil dituliskan berpasangan →untuk menunjukkan prinsip dualitas I Jika diberikan sebarang ekspresi logika, dual dari ekspresi tersebut dapat dibentuk dengan mengganti semua + dengan · atau sebaliknya serta mengganti 0 dengan 1 atau sebaliknya I dalil(b) merupakan dual dari dalil(a) dan sebaliknya I Dual dari pernyataan benar adalah juga benar http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 10
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Teorema 1 Variabel I Teorema ini diturunkan dari aksioma. x adalah variabel tunggal I Perlu dibuktikan dengan aksioma atau teorema lain 5a. x · 0 = 0 6a. x · 1 = x 7a. x · x = x 8a. x · x = 0 5b. x + 1 = 1 6b. x + 0 = x 7b. x + x = x 8b. x + x = 1 9. x = x I Pembuktian teorema dengan induksi I Memasukkan nilai x = 0 dan x = 1 ke dalam ekspresi I Pernyataan di teorema (a) adalah dual dari pernyataan (b) dan sebaliknya I f1(x1, x2) = x1 + x2 dualnya adalah f2(x1, x2) = x1 · x2 Misalnya: f1 = 0 + 0 = 0, f2 = 1 · 1 = 1, sehingga f1dan f2 dual http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 11
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Latihan I Tunjukkan bahwa teorema 6a adalah dual dari 6b dan 8a dual dari 8b! http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 12
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Hukum-hukum Aljabar I Hukum ini mendefinisikan aturan untuk persamaan dengan banyak variabel I Disebut juga identitas atau properti 10a. x · y = y · x 10b. x + y = y + x →Komutatif 11a. x · (y · z) = (x · y) · z 11b. x + (y + z) = (x + y) + z →Asosiatif 12a. x · (y + z) = x · y + x · z 12b. x + y · z = (x + y) · (x + z) →Distributif 13a. x + x · y = x 13b. x · (x + y) = x →Absorsi 14a. x · y + x · y = x 14b. (x + y) · (x + y) = x →Penggabungan 15a. x · y = x + y 15b. x + y = x · y →DeMorgan 16a. x + x · y = x + y 16b. x · (x + y) = x · y 17a. x ·y +y ·z +x ·z = x ·y +x ·z 17b. (x + y) · (y + z) · (x + z) = (x + y) · (x + z) →Konsensus I Pembuktian hukum (identity, property) tersebut dapat dilakukan secara induktif (dengan tabel kebenaran) maupun dengan melakukan perhitungan aljabar I Contoh: teorema DeMorgan secara induktif I Buktikan 12a,b 13a,b 16a,b dan 17a,b secara induktif dan aljabar http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 13
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Pembuktian Aljabar I Buktikan persamaan logika berikut benar 1.(x1 + x2) · (x1 + x2) = x1 · x2 + x1 · x2 2. x1 · x3 + x2 · x3 + x1 · x3 + x2 · x3 = x1 + x2 f = x1 · x3 + x2 · x3 + x1 · x3 + x2 · x3 = x1 · x2 + x1 · x2 + x1 · x2 = x1 + x2 I Menghasilkan ekspresi logika yang lebih sederhana, sehingga rangkaian logika akan lebih sederhana I Teorema dan property menjadi basis untuk sintesis fungsi logika di perangkat CAD http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 14
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 15
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Diagram Venn (John Venn 1880) I Membuktikan ekuivalensi 2 ekspresi logika secara visual I Suatu set s merupakan koleksi elemen yang merupakan anggota dari s I dalam hal ini s merupakan koleksi variabel dan/atau konstan I Elemen (variabel/konstan) dinyatakan sebagai area dengan kontur seperti kotak, lingkaran atau elips John Venn (1834-1923) Wikipedia http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 16
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Diagram Venn I Jika semesta integer N mulai 1 sampai 9 adalah N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 I Himpunan bilangan genap E = 2, 4, 6, 8 I sedangkan himpunan bilangan ganjil adalah komplemen dari E dan mempunyai anggota di luar E, sehingga E = 1, 3, 5, 7, 9. I Aljabar Boolean hanya mempunyai dua nilai (elemen) dalam semesta B, B = 0, 1, sehingga: I area dalam kontur s menyatakan s = 1, sedangkan I area di luar kontur menyatakan s = 0 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 17
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Diagram Venn http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 18
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Buktika DeMorgan: x · y = x + y I Hasil diagram Venn yang sama menunjukkan kedua ekspresi sama http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 19
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Latihan I Buktikan 12a,b 13a,b dan 17a,b secara induktif dan aljabar! I Buktikan x + x · y = x + y dan x · (x + y) = x · y secara induktif, aljabar dan diagram Venn! I Buktikan bahwa x1x2x3 + x2 · x3 + x2 · x3 = x3 + x1x2 secara induktif, aljabar dan diagram Venn! I Buktikan (x1 + x2) · (x1 + x2) = x1 · x2 + x1 · x2 secara induktif, aljabar dan diagram Venn! http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 20
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 21
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Notasi Operator Fungsi Logika I Kemiripan operasi penjumlahan dan perkalian antara logika dan aritmetika I Operasi OR disebut sebagai logika penjumlahan (sum) I Operasi AND disebut sebagai logika perkalian (product) Operasi Notasi Operator Keterangan OR +, W , | Bitwise OR AND ·, V , Bitwise AND I Ekpresi ABC+A’BD+A’CE I Merupakan jumlah dari 3 operasi/term perkalian (SOP, sum-of-product terms) I Ekspresi (A+B+C)(A’+B+D)(A’+C+E) I Merupakan perkalian dari 3 operasi/term penjumlahan (POS, product-of-sum terms) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 22
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi (Konvensi) Urutan Operasi I Jika dalam satu ekspresi tidak terdapat tutup kurung, operasi fungsi logika dilakukan dengan urutan: 1. NOT 2. AND 3. OR I Misalnya ekspresi x + x · y I variabel x di term kedua diinversikan, kemudian di-AND-kan dengan variabel y I term pertama dan kedua kemudian di-OR-kan http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 23
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Latihan I Gambar rangkaian untuk persamaan logika f = (x1 + x2) · x3 dan f = x1 + x2 · x3 I Buktikan bahwa (x1 + x2) · x3 6= x1 + x2 · x3. Dan gambarkan rangkaian logika f1 = (x1 + x2) · x3 dan f2 = x1 + x2 · x3 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 24
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 25
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar I Suatu fungsi logika dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk ekspresi yang ekivalen I Misalnya: f1 = x1x2 + x1x2 + x1x2 dan f2 = x1 + x2 adalah ekivalen secara fungsional. f1 lebih sederhana (optimal) daripada f2 I Proses optimasi memilih salah satu dari beberapa rangkaian ekivalen untuk memenuhi constraint nonfungsional (area, cost) I Catatan: rangkaian dengan jumlah gerbang minimal bisa jadi bukan merupakan solusi terbaik, tergantung constraintnya. Misalnya constraint delay Fungsi: f = x1x2 + x1x2 + x1x2 I Replikasi term 2: f = x1x2 + x1x2 + x1x2 + x1x2 I Distributif (12b): f = x1 (x2 + x2) + (x1 + x1) x2 I Teorema (8b): f = x1 · 1 + 1 · x2 I Teorema (6a): f = x1 + x2 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 26
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Umpan Balik: Aljabar Boolean Mahasiswa mampu: 1. memahami dalil, teorema dan hukum aljabar Boolean 2. membuktikan persamaan 2 ekspresi logika secara induktif (tabel kebenaran), manipulasi aljabar dan diagram Venn 3. menyederhanakan suatu ekspresi logika menggunakan dalil, teorema dan hukum aljabar (manipulasi aljabar) 4. mengerti tentang beragam notasi operasi logika (AND,OR) dan urutan operasi logika Latihan: I Buktikan x1x2x3 + x2 · x3 + x2 · x3 = x3 + x1x2 secara induktif, aljabar dan diagram Venn I Hitung jumlah gerbang yang dibutuhkan oleh tiap ekspresi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 27
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Proses Sintesis I Diinginkan suatu fungsi, bagaimana mengimplementasikannya dalam bentuk ekspresi atau rangkaian logika? I Proses ini disebut sintesis: membangkitkan ekspresi dan/atau rangkaian dari deskripsi perilaku fungsionalnya I Sintesis merupakan langkah utama dalam desain sistem digital http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 28
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 29
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Sintesis Rangkaian Logika Deskripsi Kebutuhan Sistem I Misalnya I Desain rangkaian logika dengan dua masukan x1dan x2 I Rangkaian memonitor switch, menghasilkan keluaran logika 1 jika switch (x1,x2) mempunyai keadaan (0,0), (0,1) atau (1,1) dan keluaran 0 jika switch (1,0) I Pernyataan lain: jika switch x1tersambung dan x2terputus maka keluaran harus 0, keadaan switch lainnya keluaran harus 1 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 30
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Langkah Sintesis 1. menterjemahkan kebutuhan desain dan menuliskannya ke dalam tabel kebenaran 2. menuliskan persamaan SOP atau POS dari tabel kebenaran I Persamaan SOP diperoleh dengan menjumlahkan semua term perkalian yang bernilai 1 I Persamaan POS diperoleh dengan mengalikan semua term penjumlahan yang bernilai 0 3. menyederhanakan persamaan menggunakan aljabar Boolean untuk memperoleh rangkaian logika yang minimal http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 31
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Tabel Kebenaran dan Hasil Ekspresi (SOP) I Tabel kebenaran untuk fungsi yang harus disintesis I Realisasi f adalah f = x1x2 + x1x2 + x1x2 (SOP) I Diimplementasikan dengan 2 gerbang NOT, 3 gerbang AND-2 dan 1 gerbang OR-3 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 32
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Penyederhanaan Rangkaian Secara Aljabar Penyederhanaan fungsi : I Persamaan semula: f = x1x2 + x1x2 + x1x2 I Replikasi term 2: f = x1x2 + x1x2 + x1x2 + x1x2 I Distributif (12b): f = x1 (x2 + x2) + (x1 + x1) x2 I Teorema (8b): f = x1 · 1 + 1 · x2 I Teorema (6a): f = x1 + x2 I Rangkaian sederhana: f = x1 + x2 I Diimplementasikan dengan 1 gerbang NOT dan 1 gerbang OR-2 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 33
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Latihan Sintesis 1. Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu (atau kedua) y atau z bernilai 1 1.1 Tuliskan ekspresi dan rangkaian logikanya 1.2 Sederhanakan rangkaian tersebut 2. Sederhanakan fungsi f = x1x2x3 + x2 · x3 + x2 · x3 untuk memperoleh rangkaian logika minimal! Hitung jumlah gerbang yang dibutuhkan oleh rangkaian tersebut! http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 34
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 35
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Minterm I Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabel f (x1, x2 . . . xn) I Sebuah minterm dari f adalah satu term perkalian dari n variabel yang ditampilkan sekali, baik dalam bentuk tidak diinverskan maupun diinverskan I Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, minterm dibentuk dengan memasukkan variabel xi jika xi = 1 atau xi jika xi = 0 I Notasi mj merupakan minterm dari baris nomor j di tabel kebenaran. Contoh: I Baris 1 (j = 0), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 minterm: m0 = x1x2x3 I Baris 2 (j = 1), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1 minterm: m1 = x1x2x3 I Fungsi fSOP (x1, x2 . . . xn) dapat dinyatakan sebagai fSOP (x1, x2 . . . xn) = N−1 P j=0 mj × fj http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 36
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Minterm dan Bentuk Kanonik SOP I Tiap baris dari tabel kebenaran membentuk satu buah minterm I Fungsi f dapat dinyatakan dengan ekspresi penjumlahan dari semua minterm di mana tiap minterm di-AND-kan dengan nilai f yang bersesuaian Baris i x1 x2 x3 minterm mi f 0 0 0 0 x1x2x3 0 1 0 0 1 x1x2x3 1 2 0 1 0 x1x2x3 0 3 0 1 1 x1x2x3 0 4 1 0 0 x1x2x3 1 5 1 0 1 x1x2x3 1 6 1 1 0 x1x2x3 1 7 1 1 1 x1x2x3 0 I Contoh: diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik SOP: f = m0 · 0 + m1 · 1 + m2 · 0 + m3 · 0 + m4 · 1 + m5 · 1 + m6 · 1 + m7 · 0 = m1 + m4 + m5 + m6 = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 37
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Notasi SOP I Persamaan SOP dapat dinyatakan dalam notasi m f = m1 + m4 + m5 + m6 = x1x2x3 | {z } 1 + x1x2x3 | {z } 4 + x1x2x3 | {z } 5 + x1x2x3 | {z } 6 I Notasi Persamaan SOP: f = P m(1, 4, 5, 6) I Implementasi: I Ekspresi fungsi f tersebut secara fungsional benar dan unik I Namun, mungkin tidak menghasilkan implementasi yang paling sederhana I Perlu penyederhanana fungsi SOP http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 38
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Contoh SOP I Persamaan kanonik SOP berisi daftar maxterm yang bernilai 1 I Contoh. Diketahui fungsi SOP f (x1, x2, x3) = P m(0, 2, 5, 6). Tentukan nilai f (0, 0, 1), f (1, 0, 1) dan f (1, 1, 1) I Solusi. f (0, 0, 1) menyatakan nilai fungsi f jika nilai masukan x1 = 0, x2 = 0, dan x3 = 1. Nilai f (0, 0, 1) = 0 dan f (1, 1, 1) = 0, karena minterm m1 dan m7 tidak ada dalam persamaan, sedangkan f (1, 0, 1) = 1 karena m5 ada dalam daftar persamaan. http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 39
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 40
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Prinsip Duality SOP - POS I Jika suatu fungsi f dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran, maka ekspresi untuk f dapat diperoleh (disintesis) dengan cara: 1. Melihat semua baris dalam tabel dimana f=1, atau 2. Melihat semua baris dalam tabel dimana f=0 I Pendekatan (1) menggunakan minterm I Pendekatan (2) menggunakan komplemen dari minterm, disebut maxterm http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 41
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Penjelasan Dualitas SOP-POS I Jika fungsi f dinyatakan dalam tabel kebenaran, maka fungsi inversnya f , dapat dinyatakan dengan penjumlahan minterm dengan f = 1, yaitu di baris di mana f = 0 f = m0 + m2 + m3 + m7 = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 I Fungsi f dapat dinyatakan f = m0 + m2 + m3 + m7 = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 = x1x2x3 · x1x2x3 · x1x2x3 · (x1x2x3) = (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) I Meletakkan dasar untuk menyatakan fungsi sebagai bentuk perkalian semua term perjumlahan, maxterm http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 42
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Maxterm dan Bentuk Kanonik POS I Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabel f (x1, x2 . . . xn) I Sebuah Maxterm dari f adalah satu term penjumlahan dari n variabel yang ditampilkan sekali baik dalam bentuk tidak diinverskan maupun diinverskan I Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, maxterm dibentuk dengan memasukkan variabel xi jika xi = 0 atau xi jika xi = 1 I Notasi Mj (dengan huruf M besar) merupakan maxterm dari baris nomor j di tabel kebenaran. Contoh: I Baris 1 (j = 0), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 maxterm: M0 = x1 + x2 + x3 I Baris 2 (j = 1), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1 maxterm: M1 = x1 + x2 + x3 I Fungsi fPOS (x1, x2 . . . xn) fPOS (x1, x2 . . . xn) = N−1 Q j=0 Mj + fj http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 43
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Maxterm dan Bentuk Kanonik POS I Tiap baris dari tabel kebenaran membentuk satu buah maxterm I Fungsi f dapat dinyatakan dengan ekspresi perkalian dari semua maxterm di mana tiap maxterm di-OR-kan dengan nilai f yang bersesuaian Baris i x1 x2 x3 maxterm Mi f 0 0 0 0 x1 + x2 + x3 0 1 0 0 1 x1 + x2 + x3 1 2 0 1 0 x1 + x2 + x3 0 3 0 1 1 x1 + x2 + x3 0 4 1 0 0 x1 + x2 + x3 1 5 1 0 1 x1 + x2 + x3 1 6 1 1 0 x1 + x2 + x3 1 7 1 1 1 x1 + x2 + x3 0 I Contoh: diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik POS: f = (M0 + 0) (M1 + 1) (M2 + 0) (M3 + 0) (M4 + 1) (M5 + 1) (M6 + 1) (M7 + 0) = M0 · M2 · M3 · M7 = (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 44
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Notasi POS I Persamaan POS dapat dinyatakan dalam notasi M f = M0 · M2 · M3 · M7 = (x1 + x2 + x3) | {z } 0 · (x1 + x2 + x3) | {z } 2 · (x1 + x2 + x3) | {z } 3 · (x1 + x2 + x3) | {z } 7 I Notasi Persamaan POS: f = Q M(0, 2, 3, 7) I Persamaan berikut benar untuk fungsi f (x1, x2, x3)di atas: X m(1, 4, 5, 6) = Y M(0, 2, 3, 7) x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 = (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 45
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Contoh POS I Persamaan kanonik POS berisi daftar Maxterm yang bernilai 0 I Contoh. Diketahui fungsi POS f (x1, x2, x3) = Q M(1, 3, 4, 7). Tentukan nilai f (0, 0, 1), f (1, 0, 1) dan f (1, 1, 1) I Solusi. f (0, 0, 1) menyatakan nilai fungsi f jika nilai masukan x1 = 0, x2 = 0, dan x3 = 1. Nilai f (0, 0, 1) = 0 dan f (1, 1, 1) = 0, karena Maxterm M1 dan M7 terdapat dalam persamaan, sedangkan f (1, 0, 1) = 1 karena M5 tidak ada dalam daftar persamaan. http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 46
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 47
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Desain Rangkaian SOP/POS I Jika suatu fungsi f dinyatakan dalam tabel kebenaran, maka persamaan fungsi f dapat diperoleh dengan dua cara, yaitu: 1. melihat semua baris dalam tabel dimana f = 1 Pendekatan ini menghasilkan persamaan SOP, yaitu jumlah dari minterm-minterm yang menghasilkan nilai fungsi 1 2. melihat semua baris dalam tabel dimana f = 0 Pendekatan ini menghasilkan persamaan POS, yaitu perkalian dari Maxterm-Maxterm yang menghasilkan nilai fungsi 0 X m(1, 4, 5, 6) = Y M(0, 2, 3, 7) x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 = (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) +x1x2x3 (x1 + x2 + x3) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 48
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Konversi Bentuk SOP-POS I Jika suatu fungsi f diberikan dalam bentuk P m atau Q M, maka dengan mudah dapat dicari fungsi f atau f dalam bentuk P m atau Q M Bentuk Fungsi dan Bentuk yang Diinginkan Asal f = P m f = Q M f = P m f = Q M f = P m (1,4,5,6) - Nomor yg tdk ada dlm daftar (0,2,3,7) Nomor yang tdk ada dlm daftar (0,2,3,7) Nomor yang ada dlm daftar (1,4,5,6) f = Q M (0,2,3,7) Nomor yg tdk ada dlm daftar (1,4,5,6) - Nomor yang ada dlm daftar (0,2,3,7) Nomor yg tdk ada dlm daftar (1,4,5,6) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 49
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Contoh I Nyatakan persamaan kanonik POS dari fungsi 3 variabel f (x1, x2, x3) = P m (1, 2, 4, 7) I Solusi. Persamaan 3 variabel mempunyai 8 buah minterm atau maxterm yang bernomor 0 sampai 7. Nomor yang ada dalam persamaan SOP di atas adalah {1, 2, 4, 7} dan nomor yang tidak ada {0, 3, 5, 6}, sehingga persamaan POS dari f (x1, x2, x3) = Q M (0, 3, 5, 6). Kesamaan dari fungsi SOP dan POS tersebut dapat dinyatakan sebagai X m (1, 2, 4, 7) = Y M (0, 3, 5, 6) x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 = (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) +x1x2x3 (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 50
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Contoh #2 I Nyatakan persamaan kanonik SOP dari fungsi 4 variabel f (x1, x2, x3, x4) = Q M (0, 1, 2, 5, 6, 7, 11, 12) I Solusi. Nomor yang ada dalam persamaan POS adalah {0, 1, 2, 5, 6, 7, 11, 12} dan nomor yang tidak ada adalah {3, 4, 8, 9, 10, 13, 14, 15}, sehingga persamaan SOP dari f (x1, x2, x3, x4) = P m (3, 4, 8, 9, 10, 13, 14, 15). Kesamaan dari fungsi POS dan SOP tersebut dapat dinyatakan sebagai: Y M (0, 1, 2, 5, 6, 7, 11, 12) = X m (3, 4, 8, 9, 10, 13, 14, 15) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 51
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Latihan I Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z. Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu (atau kedua) y atau z bernilai 1. Tuliskan ekspresi SOP dan POS berikut notasi kanoniknya I Cari minterm, Maxterm dan tuliskan bentuk kanonik SOP dan POS dari fungsi f = (x1 + x2) · x3 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 52
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 53
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Tips Penyederhanaan SOP dan POS I Operasi penyederhanaan adalah mengurangi minterm atau maxterm di ekspresi I SOP: menggunakan hukum 14a (x · y + x · y = x) I POS: menggunakan hukum 14b ((x + y) · (x + y) = x) I Penggunaan teorema 14a atau 14b akan mengurangi 1 variabel yang berbeda dalam dua minterm atau Maxterm yang berbeda hanya di 1 variabel tersebut x1x2x3 + x1x2x3 = x1x2(x3 + x3) | {z } =1 = x1x2 I Maxterm x1 + x2 + x3 dan x1 + x2 + x3 berbeda di 1 variabel, yaitu x2, sehingga dapat disederhanakan menggunakan teorema 14b, yaitu sebagai berikut: (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) = x1 + x3 + x2x2 |{z} =0 = x1 + x3 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 54
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Contoh Penyederhanaan SOP I Beberapa minterm atau maxterm dapat digabungkan menggunakan hukum 14a atau 14b jika berbeda hanya di satu variabel saja f = (m1 + m5) + (m4 + m5) + (m4 + m6) = (x1x2x3 + x1x2x3) + (x1x2x3 + x1x2x3) + (x1x2x3 + x1x2x3) = (x1 + x1) x2x3 + x1x2 (x3 + x3) + x1 (x2 + x2) x3 = x2x3 + x1x2 + x1x3 I Minterm m4 di atas telah disederhanakan di (m4 + m6) dan minterm m5 telah disederhanakan di (m1 + m5), sehingga penyederhanaan (m4 + m5) tidak perlu dituliskan kembali atau dihilangkan untuk menghasilkan persamaan yang ekivalen, namun lebih sederhana. f = (m1 + m5) + (m4 + m6) = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 = (x1 + x1) x2x3 + x1 (x2 + x2) x3 = x2x3 + x1x3 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 55
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Contoh Penyederhanaan POS I Rancang rangkaian POS optimal untuk fungsi f (x1, x2, x3) = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3! I Solusi. Fungsi SOP tersebut dapat dituliskan sebagai f (x1, x2, x3) = P m (1, 4, 5, 6). Karena yang diinginkan rangkaian POS, maka persamaan SOP tersebut perlu dikonversi ke dalam POS. Persamaan POS ekivalennya adalah f (x1, x2, x3) = Y M (0, 2, 3, 7) = (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) Terdapat 2 pasangan maxterm yang mempunyai satu perbedaan, yaitu Maxterm M0 dan M2 (berbeda di x2) dan Maxterm M3 dan M7 (berbeda di x1). Penyederhanaan dengan teorema 14b f (x1, x2, x3) = (M0 · M2) · (M3 · M7) = ((x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3)) ((x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3)) = ((x1 + x3) + x2x2) (x1x1 + (x2 + x3)) = (x1 + x3) (x2 + x3) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 56
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Umpan Balik Sintesis 1. Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z I Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu (atau kedua) y atau z bernilai 1 1.1 Tuliskan ekspresi SOP dan POS berikut notasinya 1.2 Cari invers fungsi tersebut 1.3 Sederhanakan rangkaian dan gambar rangkaian logikanya 2. Cari minterm, maxterm dan tuliskan bentuk SOP dan POS dari I fungsi f = (x1 + x2) · x3 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 57
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Rangkaian Dua Level I Rangkaian logika yang diimplementasikan dari fungsi SOP dan POS membentuk rangkaian dua level I Fungsi SOP membentuk rangkaian AND-OR I Level pertama rangkaian AND, level kedua rangkaian OR I Fungsi POS membentuk rangkaian OR-AND I Level pertama rangkaian OR, level kedua rangkaian AND http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 58
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 59
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Rangkaian AND-OR dan OR-AND Langkah desain rangkaian AND-OR dan OR-AND adalah sebagai berikut: 1. menentukan tipe implementasi rangkaian: AND-OR atau OR-AND 2. menyatakan fungsi rangkaian f ke persamaan SOP atau POS. Persamaan bisa dalam bentuk kanonik. 2.1 Jika akan diimplementasikan dengan rangkaian AND-OR, maka fungsi f harus dinyatakan dalam bentuk kanonik SOP 2.2 Jika akan diimplementasikan dengan rangkaian OR-AND, maka fungsi f harus dinyatakan dalam bentuk kanonik POS 3. menyederhanakan fungsi tersebut menggunakan aljabar Boolean I Salah satu metode lainnya: dengan peta Karnaugh 4. merancang rangkaian logikanya http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 60
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Contoh Desain Rangkaian Dua Level Desain rangkaian logika AND-OR dan OR-AND untuk fungsi f (x1, x2, x3) = P m (1, 4, 5, 6) I Rangkaian AND-OR dapat dibentuk langsung dari persamaan f (x1, x2, x3) = P m (1, 4, 5, 6), menghasilkan f = x1x3x2x3. I Rangkaian OR-AND dibentuk dari persamaan POS ekivalennya, yaitu f (x1, x2, x3) = Q M (0, 2, 3, 7), menghasilkan f = (x1 + x3) (x2 + x3). I Rangkaian AND-OR dan OR-AND untuk mengimplementasikan fungsi f (x1, x2, x3) = P m (1, 4, 5, 6) I Kedua rangkaian tersebut ekivalen http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 61
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Rangkaian Logika dengan NAND dan NOR I Fungsi NAND adalah inversi fungsi AND f(x1, x2) = f1(x1, x2) = x1 · x2 I Gerbang NAND merupakan gerbang AND yang diikuti gerbang NOT I Fungsi NOR adalah inversi fungsi OR f(x1, x2) = f1(x1, x2) = x1 + x2 I Gerbang NOR merupakan gerbang OR yang diikuti gerbang NOT http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 62
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Rangkaian NAND Lebih Sederhana dari AND I Di CMOS, implementasi rangkaian dari gerbang NAND dan NOR lebih sederhana (dan cepat) daripada AND dan OR I Sehingga rangkaian lebih kecil dan lebih cepat untuk mewujudkan fungsi logika yang sama CMOS NAND (4 transistor) CMOS AND (6 transistor) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 63
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Rangkaian NOR Lebih Sederhana dari OR CMOS NOR (4 transistor) CMOS OR (6 transistor) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 64
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Recall: Teorema DeMorgan http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 65
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Rangkaian AND-OR dan NAND-NAND I Rangkaian AND-OR (bentuk SOP) dapat dikonversi menjadi rangkaian NAND-NAND I Bentuk ekspresinya: inverskan minterm, ganti (+) dengan (.), inverskan ekspresi I Contoh: f = P m(1, 4, 5, 6) f = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 = x1x2x3 | {z } NAND · x1x2x3 | {z } NAND · x1x2x3 | {z } NAND · x1x2x3 | {z } NAND | {z } NAND http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 66
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Contoh Desain NAND-NAND I Desain rangkaian logika AND-OR dan NAND-NAND paling sederhana dari fungsi f = P m(1, 4, 5, 6) I Solusi: f = X m(1, 4, 5, 6) = x2x3 + x1x3 = x2x3 + x1x3 = x2x3 |{z} NAND · x1x3 |{z} NAND | {z } NAND 2nd level http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 67
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Latihan I Desain rangkaian logika AND-OR dan NAND-NAND paling sederhana dari fungsi f = P m(1, 3, 5, 6, 7)! http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 68
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Rangkaian OR-AND dan NOR-NOR I Rangkaian OR-AND (bentuk POS) dapat dikonversi menjadi rangkaian NOR-NOR I Bentuk ekspresinya: inverskan maxterm, ganti (.) dengan (+), inverskan ekspresi I Contoh: f = Q M(0, 2, 3, 7) f = x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3 = x1 + x2 + x3 | {z } NOR + x1 + x2 + x3 | {z } NOR + x1 + x2 + x3 | {z } NOR + x1 + x2 + x3 | {z } NOR | {z } NOR−2nd level http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 69
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Contoh Desain NOR-NOR I Gambarkan rangkaian logika AND-OR dan NOR-NOR dari fungsi f = P m(1, 4, 5, 6) I Solusi: f = X m(1, 4, 5, 6) = Y M (0, 2, 3, 7) = (x1 + x3) (x2 + x3) = (x1 + x3) (x2 + x3) = (x1 + x3) | {z } NOR + (x2 + x3) | {z } NOR | {z } NOR 2nd level http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 70
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Umpan Balik I Yang telah kita pelajari hari ini: I Dalil, teorema dan hukum aljabar Boolean, diagram Venn serta penyederhanaan rangkaian secara aljabar I Sintesis rangkaian logika dari tabel kebenaran, SOP, POS dan koversinya I Rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR I Latihan: I Sederhanakan fungsi f(x1, x2, x3) = P m (0, 2, 4, 5) dan buat rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR-nya I Buat rangkaian multiplekser 2-masukan I Yang akan kita pelajari di pertemuan berikutnya adalah penyederhanaan fungsi logika menggunakan peta Karnaugh untuk memperoleh rangkaian yang optimal I Pelajari: http://didik.blog.undip.ac.id/2017/03/06/ tkc205-sistem-digital-2016-genap/ http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 71
Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Lisensi Creative Common Attribution-ShareAlike 3.0 Unported (CC BY-SA 3.0) I Anda bebas: I untuk Membagikan — untuk menyalin, mendistribusikan, dan menyebarkan karya, dan I untuk Remix — untuk mengadaptasikan karya I Di bawah persyaratan berikut: I Atribusi — Anda harus memberikan atribusi karya sesuai dengan cara-cara yang diminta oleh pembuat karya tersebut atau pihak yang mengeluarkan lisensi. Atribusi yang dimaksud adalah mencantumkan alamat URL di bawah sebagai sumber. I Pembagian Serupa — Jika Anda mengubah, menambah, atau membuat karya lain menggunakan karya ini, Anda hanya boleh menyebarkan karya tersebut hanya dengan lisensi yang sama, serupa, atau kompatibel. I Lihat: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License I Alamat URL: http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 72

Recommended

Sistem penilaian smk
Sistem penilaian smkSistem penilaian smk
Sistem penilaian smk
Pristiadi Utomo
 
Contoh pelanggaran kode etik psikologi
Contoh pelanggaran kode etik psikologiContoh pelanggaran kode etik psikologi
Contoh pelanggaran kode etik psikologi
Tyaseta Sardjono
 
Bahan ajar
Bahan ajarBahan ajar
Bahan ajar
anistyarani
 
Hakikat evaluasi pembelajaran
Hakikat evaluasi pembelajaranHakikat evaluasi pembelajaran
Hakikat evaluasi pembelajaranRunia Malikah
 
Brainstorming Kelebihan dan Kekurangan Kurikulum Darurat di Era COVID-19
Brainstorming Kelebihan dan Kekurangan Kurikulum Darurat di Era COVID-19Brainstorming Kelebihan dan Kekurangan Kurikulum Darurat di Era COVID-19
Brainstorming Kelebihan dan Kekurangan Kurikulum Darurat di Era COVID-19
Vina Serevina
 
Aliran filsafat 'fenomenologi'
Aliran filsafat 'fenomenologi'Aliran filsafat 'fenomenologi'
Aliran filsafat 'fenomenologi'
Miftachul Iman An'faiz
 
Filsafat ilmu lengkap
Filsafat ilmu lengkapFilsafat ilmu lengkap
Filsafat ilmu lengkapEfendi bin Abd. Wahid
 
Kode etik psikologi himpsi 2010
Kode etik psikologi himpsi 2010Kode etik psikologi himpsi 2010
Kode etik psikologi himpsi 2010
swirawan
 

Recommended

Sistem penilaian smk
Sistem penilaian smkSistem penilaian smk
Sistem penilaian smk
Pristiadi Utomo
 
Contoh pelanggaran kode etik psikologi
Contoh pelanggaran kode etik psikologiContoh pelanggaran kode etik psikologi
Contoh pelanggaran kode etik psikologi
Tyaseta Sardjono
 
Bahan ajar
Bahan ajarBahan ajar
Bahan ajar
anistyarani
 
Hakikat evaluasi pembelajaran
Hakikat evaluasi pembelajaranHakikat evaluasi pembelajaran
Hakikat evaluasi pembelajaranRunia Malikah
 
Brainstorming Kelebihan dan Kekurangan Kurikulum Darurat di Era COVID-19
Brainstorming Kelebihan dan Kekurangan Kurikulum Darurat di Era COVID-19Brainstorming Kelebihan dan Kekurangan Kurikulum Darurat di Era COVID-19
Brainstorming Kelebihan dan Kekurangan Kurikulum Darurat di Era COVID-19
Vina Serevina
 
Aliran filsafat 'fenomenologi'
Aliran filsafat 'fenomenologi'Aliran filsafat 'fenomenologi'
Aliran filsafat 'fenomenologi'
Miftachul Iman An'faiz
 
Filsafat ilmu lengkap
Filsafat ilmu lengkapFilsafat ilmu lengkap
Filsafat ilmu lengkapEfendi bin Abd. Wahid
 
Kode etik psikologi himpsi 2010
Kode etik psikologi himpsi 2010Kode etik psikologi himpsi 2010
Kode etik psikologi himpsi 2010
swirawan
 
Metodologi Penelitian pada Bidang Ilmu Komputer dan Teknologi Informasi
Metodologi Penelitian pada Bidang Ilmu Komputer dan Teknologi InformasiMetodologi Penelitian pada Bidang Ilmu Komputer dan Teknologi Informasi
Metodologi Penelitian pada Bidang Ilmu Komputer dan Teknologi InformasiAlbaar Rubhasy
 
Algoritma - prosedur dan fungsi
Algoritma - prosedur dan fungsiAlgoritma - prosedur dan fungsi
Algoritma - prosedur dan fungsiZombie Black
 
Aksiologi Ilmu Pendidikan
Aksiologi Ilmu PendidikanAksiologi Ilmu Pendidikan
Aksiologi Ilmu Pendidikan
META GUNAWAN
 
Psikologi Umum dan Perkembangan - Sejarah Psikologi Barat
Psikologi Umum dan Perkembangan - Sejarah Psikologi BaratPsikologi Umum dan Perkembangan - Sejarah Psikologi Barat
Psikologi Umum dan Perkembangan - Sejarah Psikologi Barat
Haristian Sahroni Putra
 
Penilaian keterampilan dalam kurikulum 2013
Penilaian keterampilan dalam kurikulum 2013Penilaian keterampilan dalam kurikulum 2013
Penilaian keterampilan dalam kurikulum 2013
yansasmi
 
Penulisan proposal dan laporan penelitian
Penulisan proposal dan laporan penelitianPenulisan proposal dan laporan penelitian
Penulisan proposal dan laporan penelitianFytta Ulfatunissa
 
Antropometri
AntropometriAntropometri
Antropometri
Mhd Syahrul Ramadhan
 
Sosialisasi pkm 2022 polisma
Sosialisasi pkm 2022 polismaSosialisasi pkm 2022 polisma
Sosialisasi pkm 2022 polisma
SERVERPOLISMA
 
Tahap perkembangan moral kohlberg
Tahap perkembangan moral kohlbergTahap perkembangan moral kohlberg
Tahap perkembangan moral kohlbergAremania Tamashī-gakari
 
Manajemen strategik Tugas makalah 2
Manajemen strategik Tugas makalah 2Manajemen strategik Tugas makalah 2
Manajemen strategik Tugas makalah 2
kurnia95
 
PASCAL ( MODUL 4)
PASCAL ( MODUL 4)PASCAL ( MODUL 4)
PASCAL ( MODUL 4)
Hardini_HD
 
Pengertian/Konsep/Term Logika
Pengertian/Konsep/Term LogikaPengertian/Konsep/Term Logika
Pengertian/Konsep/Term Logika
Siti Hardiyanti
 
Filsafat Ilmu
Filsafat IlmuFilsafat Ilmu
Filsafat Ilmu
Universitas Islam Nahdlatul Ulama (UNISNU) Jepara
 
TUGAS ARTIKEL INDIVIDU
TUGAS ARTIKEL INDIVIDUTUGAS ARTIKEL INDIVIDU
TUGAS ARTIKEL INDIVIDUNidha Khattatah
 
OOP - Interface
OOP - InterfaceOOP - Interface
OOP - Interface
KuliahKita
 
Dasar-dasar k3 teori kecelakaan
Dasar-dasar k3 teori kecelakaanDasar-dasar k3 teori kecelakaan
Dasar-dasar k3 teori kecelakaan
Arief Setiawan
 
KELEBIHAN DAN KEKURANGAN MEDIA INTERNET DALAM PROBLEMATIKA PENDIDIKAN
KELEBIHAN DAN KEKURANGAN MEDIA INTERNET DALAM PROBLEMATIKA PENDIDIKANKELEBIHAN DAN KEKURANGAN MEDIA INTERNET DALAM PROBLEMATIKA PENDIDIKAN
KELEBIHAN DAN KEKURANGAN MEDIA INTERNET DALAM PROBLEMATIKA PENDIDIKAN
Lilia Ismarti
 
SUSUNAN ACARA KULIAH UMUM PROF Veni.pdf
SUSUNAN ACARA KULIAH UMUM PROF Veni.pdfSUSUNAN ACARA KULIAH UMUM PROF Veni.pdf
SUSUNAN ACARA KULIAH UMUM PROF Veni.pdf
Adesaputranasution2
 
Artikel jenis jenis alat evaluasi dan cara menganalisisnya
Artikel jenis jenis alat evaluasi dan cara menganalisisnyaArtikel jenis jenis alat evaluasi dan cara menganalisisnya
Artikel jenis jenis alat evaluasi dan cara menganalisisnya
HannisaNurdini
 
Etika Dalam Penelitian
Etika Dalam PenelitianEtika Dalam Penelitian
Etika Dalam Penelitian
pjj_kemenkes
 
Logika fuzzy
Logika fuzzyLogika fuzzy
Logika fuzzy
Much Al-ziqni
 
Paper logika kabur muliani
Paper logika kabur mulianiPaper logika kabur muliani
Paper logika kabur muliani
Muliani, S.Pd., M.Pd
 

More Related Content

What's hot

Metodologi Penelitian pada Bidang Ilmu Komputer dan Teknologi Informasi
Metodologi Penelitian pada Bidang Ilmu Komputer dan Teknologi InformasiMetodologi Penelitian pada Bidang Ilmu Komputer dan Teknologi Informasi
Metodologi Penelitian pada Bidang Ilmu Komputer dan Teknologi InformasiAlbaar Rubhasy
 
Algoritma - prosedur dan fungsi
Algoritma - prosedur dan fungsiAlgoritma - prosedur dan fungsi
Algoritma - prosedur dan fungsiZombie Black
 
Aksiologi Ilmu Pendidikan
Aksiologi Ilmu PendidikanAksiologi Ilmu Pendidikan
Aksiologi Ilmu Pendidikan
META GUNAWAN
 
Psikologi Umum dan Perkembangan - Sejarah Psikologi Barat
Psikologi Umum dan Perkembangan - Sejarah Psikologi BaratPsikologi Umum dan Perkembangan - Sejarah Psikologi Barat
Psikologi Umum dan Perkembangan - Sejarah Psikologi Barat
Haristian Sahroni Putra
 
Penilaian keterampilan dalam kurikulum 2013
Penilaian keterampilan dalam kurikulum 2013Penilaian keterampilan dalam kurikulum 2013
Penilaian keterampilan dalam kurikulum 2013
yansasmi
 
Penulisan proposal dan laporan penelitian
Penulisan proposal dan laporan penelitianPenulisan proposal dan laporan penelitian
Penulisan proposal dan laporan penelitianFytta Ulfatunissa
 
Antropometri
AntropometriAntropometri
Antropometri
Mhd Syahrul Ramadhan
 
Sosialisasi pkm 2022 polisma
Sosialisasi pkm 2022 polismaSosialisasi pkm 2022 polisma
Sosialisasi pkm 2022 polisma
SERVERPOLISMA
 
Manajemen strategik Tugas makalah 2
Manajemen strategik Tugas makalah 2Manajemen strategik Tugas makalah 2
Manajemen strategik Tugas makalah 2
kurnia95
 
PASCAL ( MODUL 4)
PASCAL ( MODUL 4)PASCAL ( MODUL 4)
PASCAL ( MODUL 4)
Hardini_HD
 
Pengertian/Konsep/Term Logika
Pengertian/Konsep/Term LogikaPengertian/Konsep/Term Logika
Pengertian/Konsep/Term Logika
Siti Hardiyanti
 
Filsafat Ilmu
Filsafat IlmuFilsafat Ilmu
Filsafat Ilmu
Universitas Islam Nahdlatul Ulama (UNISNU) Jepara
 
OOP - Interface
OOP - InterfaceOOP - Interface
OOP - Interface
KuliahKita
 
Dasar-dasar k3 teori kecelakaan
Dasar-dasar k3 teori kecelakaanDasar-dasar k3 teori kecelakaan
Dasar-dasar k3 teori kecelakaan
Arief Setiawan
 
KELEBIHAN DAN KEKURANGAN MEDIA INTERNET DALAM PROBLEMATIKA PENDIDIKAN
KELEBIHAN DAN KEKURANGAN MEDIA INTERNET DALAM PROBLEMATIKA PENDIDIKANKELEBIHAN DAN KEKURANGAN MEDIA INTERNET DALAM PROBLEMATIKA PENDIDIKAN
KELEBIHAN DAN KEKURANGAN MEDIA INTERNET DALAM PROBLEMATIKA PENDIDIKAN
Lilia Ismarti
 
SUSUNAN ACARA KULIAH UMUM PROF Veni.pdf
SUSUNAN ACARA KULIAH UMUM PROF Veni.pdfSUSUNAN ACARA KULIAH UMUM PROF Veni.pdf
SUSUNAN ACARA KULIAH UMUM PROF Veni.pdf
Adesaputranasution2
 
Artikel jenis jenis alat evaluasi dan cara menganalisisnya
Artikel jenis jenis alat evaluasi dan cara menganalisisnyaArtikel jenis jenis alat evaluasi dan cara menganalisisnya
Artikel jenis jenis alat evaluasi dan cara menganalisisnya
HannisaNurdini
 
Etika Dalam Penelitian
Etika Dalam PenelitianEtika Dalam Penelitian
Etika Dalam Penelitian
pjj_kemenkes
 

What's hot (20)

Metodologi Penelitian pada Bidang Ilmu Komputer dan Teknologi Informasi
Metodologi Penelitian pada Bidang Ilmu Komputer dan Teknologi InformasiMetodologi Penelitian pada Bidang Ilmu Komputer dan Teknologi Informasi
Metodologi Penelitian pada Bidang Ilmu Komputer dan Teknologi Informasi
 
Algoritma - prosedur dan fungsi
Algoritma - prosedur dan fungsiAlgoritma - prosedur dan fungsi
Algoritma - prosedur dan fungsi
 
Aksiologi Ilmu Pendidikan
Aksiologi Ilmu PendidikanAksiologi Ilmu Pendidikan
Aksiologi Ilmu Pendidikan
 
Psikologi Umum dan Perkembangan - Sejarah Psikologi Barat
Psikologi Umum dan Perkembangan - Sejarah Psikologi BaratPsikologi Umum dan Perkembangan - Sejarah Psikologi Barat
Psikologi Umum dan Perkembangan - Sejarah Psikologi Barat
 
Penilaian keterampilan dalam kurikulum 2013
Penilaian keterampilan dalam kurikulum 2013Penilaian keterampilan dalam kurikulum 2013
Penilaian keterampilan dalam kurikulum 2013
 
Penulisan proposal dan laporan penelitian
Penulisan proposal dan laporan penelitianPenulisan proposal dan laporan penelitian
Penulisan proposal dan laporan penelitian
 
Antropometri
AntropometriAntropometri
Antropometri
 
Sosialisasi pkm 2022 polisma
Sosialisasi pkm 2022 polismaSosialisasi pkm 2022 polisma
Sosialisasi pkm 2022 polisma
 
Tahap perkembangan moral kohlberg
Tahap perkembangan moral kohlbergTahap perkembangan moral kohlberg
Tahap perkembangan moral kohlberg
 
Manajemen strategik Tugas makalah 2
Manajemen strategik Tugas makalah 2Manajemen strategik Tugas makalah 2
Manajemen strategik Tugas makalah 2
 
PASCAL ( MODUL 4)
PASCAL ( MODUL 4)PASCAL ( MODUL 4)
PASCAL ( MODUL 4)
 
Pengertian/Konsep/Term Logika
Pengertian/Konsep/Term LogikaPengertian/Konsep/Term Logika
Pengertian/Konsep/Term Logika
 
Filsafat Ilmu
Filsafat IlmuFilsafat Ilmu
Filsafat Ilmu
 
TUGAS ARTIKEL INDIVIDU
TUGAS ARTIKEL INDIVIDUTUGAS ARTIKEL INDIVIDU
TUGAS ARTIKEL INDIVIDU
 
OOP - Interface
OOP - InterfaceOOP - Interface
OOP - Interface
 
Dasar-dasar k3 teori kecelakaan
Dasar-dasar k3 teori kecelakaanDasar-dasar k3 teori kecelakaan
Dasar-dasar k3 teori kecelakaan
 
KELEBIHAN DAN KEKURANGAN MEDIA INTERNET DALAM PROBLEMATIKA PENDIDIKAN
KELEBIHAN DAN KEKURANGAN MEDIA INTERNET DALAM PROBLEMATIKA PENDIDIKANKELEBIHAN DAN KEKURANGAN MEDIA INTERNET DALAM PROBLEMATIKA PENDIDIKAN
KELEBIHAN DAN KEKURANGAN MEDIA INTERNET DALAM PROBLEMATIKA PENDIDIKAN
 
SUSUNAN ACARA KULIAH UMUM PROF Veni.pdf
SUSUNAN ACARA KULIAH UMUM PROF Veni.pdfSUSUNAN ACARA KULIAH UMUM PROF Veni.pdf
SUSUNAN ACARA KULIAH UMUM PROF Veni.pdf
 
Artikel jenis jenis alat evaluasi dan cara menganalisisnya
Artikel jenis jenis alat evaluasi dan cara menganalisisnyaArtikel jenis jenis alat evaluasi dan cara menganalisisnya
Artikel jenis jenis alat evaluasi dan cara menganalisisnya
 
Etika Dalam Penelitian
Etika Dalam PenelitianEtika Dalam Penelitian
Etika Dalam Penelitian
 

Similar to Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika (1).pdf

Logika fuzzy
Logika fuzzyLogika fuzzy
Logika fuzzy
Much Al-ziqni
 
Paper logika kabur muliani
Paper logika kabur mulianiPaper logika kabur muliani
Paper logika kabur muliani
Muliani, S.Pd., M.Pd
 
Slide-INF201-INF201-Slide-01.pptx
Slide-INF201-INF201-Slide-01.pptxSlide-INF201-INF201-Slide-01.pptx
Slide-INF201-INF201-Slide-01.pptx
DesmitaNova1
 
Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1
Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1
Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1BAIDILAH Baidilah
 
Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1
Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1
Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1BAIDILAH Baidilah
 
Bab 2 logika predikat ta 2019
Bab 2 logika predikat ta 2019Bab 2 logika predikat ta 2019
Bab 2 logika predikat ta 2019
Sukma Puspitorini
 
Silabus sistem-komputer-kelas-10-smk
Silabus sistem-komputer-kelas-10-smkSilabus sistem-komputer-kelas-10-smk
Silabus sistem-komputer-kelas-10-smk
DidikPrihantoko
 
Algoritma dan Struktur Data
Algoritma dan Struktur DataAlgoritma dan Struktur Data
Algoritma dan Struktur Data
As Faizin
 
Gerbang logika kombinasi
Gerbang logika kombinasiGerbang logika kombinasi
Gerbang logika kombinasi
Moh Ali Fauzi
 
Diskusi Modul Sistem Pakar Sesi Ke-5.pdf
Diskusi Modul Sistem Pakar Sesi Ke-5.pdfDiskusi Modul Sistem Pakar Sesi Ke-5.pdf
Diskusi Modul Sistem Pakar Sesi Ke-5.pdf
HendroGunawan8
 
Pertemuan 3 aljabar boole dan peta karnaugh
Pertemuan 3 aljabar boole dan peta karnaughPertemuan 3 aljabar boole dan peta karnaugh
Pertemuan 3 aljabar boole dan peta karnaugh
personal
 
Scilab untuk elektronika dan instrumen [Mirza nur hidayat]
Scilab untuk elektronika dan instrumen [Mirza nur hidayat]Scilab untuk elektronika dan instrumen [Mirza nur hidayat]
Scilab untuk elektronika dan instrumen [Mirza nur hidayat]
Heru Rosadi
 
Rps
RpsRps
Rps
lecturer
 
Mikrokontroler dan Antar Muka (5)
Mikrokontroler dan Antar Muka (5)Mikrokontroler dan Antar Muka (5)
Mikrokontroler dan Antar Muka (5)
jayamartha
 
13. Konsep Penelitian Operasional
13. Konsep Penelitian Operasional13. Konsep Penelitian Operasional
13. Konsep Penelitian Operasional
Mercu Buana University
 
Silb rangkaian elektronika-kelas xi 2017-2018
Silb rangkaian elektronika-kelas xi 2017-2018Silb rangkaian elektronika-kelas xi 2017-2018
Silb rangkaian elektronika-kelas xi 2017-2018
uki lubis
 
Pertemuan 6 & 7 ars. gerbang logika
Pertemuan 6 & 7 ars. gerbang logikaPertemuan 6 & 7 ars. gerbang logika
Pertemuan 6 & 7 ars. gerbang logika
Buhori Muslim
 
Part 9 - Object Oriented Programming Lanjutan
Part 9 - Object Oriented Programming LanjutanPart 9 - Object Oriented Programming Lanjutan
Part 9 - Object Oriented Programming Lanjutan
Rolly Yesputra
 

Similar to Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika (1).pdf (20)

Logika fuzzy
Logika fuzzyLogika fuzzy
Logika fuzzy
 
Paper logika kabur muliani
Paper logika kabur mulianiPaper logika kabur muliani
Paper logika kabur muliani
 
Slide-INF201-INF201-Slide-01.pptx
Slide-INF201-INF201-Slide-01.pptxSlide-INF201-INF201-Slide-01.pptx
Slide-INF201-INF201-Slide-01.pptx
 
Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1
Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1
Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1
 
Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1
Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1
Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1
 
Bab 2 logika predikat ta 2019
Bab 2 logika predikat ta 2019Bab 2 logika predikat ta 2019
Bab 2 logika predikat ta 2019
 
Dasar logika
Dasar logikaDasar logika
Dasar logika
 
Silabus sistem-komputer-kelas-10-smk
Silabus sistem-komputer-kelas-10-smkSilabus sistem-komputer-kelas-10-smk
Silabus sistem-komputer-kelas-10-smk
 
Algoritma dan Struktur Data
Algoritma dan Struktur DataAlgoritma dan Struktur Data
Algoritma dan Struktur Data
 
Gerbang logika kombinasi
Gerbang logika kombinasiGerbang logika kombinasi
Gerbang logika kombinasi
 
Diskusi Modul Sistem Pakar Sesi Ke-5.pdf
Diskusi Modul Sistem Pakar Sesi Ke-5.pdfDiskusi Modul Sistem Pakar Sesi Ke-5.pdf
Diskusi Modul Sistem Pakar Sesi Ke-5.pdf
 
Pertemuan 3 aljabar boole dan peta karnaugh
Pertemuan 3 aljabar boole dan peta karnaughPertemuan 3 aljabar boole dan peta karnaugh
Pertemuan 3 aljabar boole dan peta karnaugh
 
Scilab untuk elektronika dan instrumen [Mirza nur hidayat]
Scilab untuk elektronika dan instrumen [Mirza nur hidayat]Scilab untuk elektronika dan instrumen [Mirza nur hidayat]
Scilab untuk elektronika dan instrumen [Mirza nur hidayat]
 
aljabar boolean
aljabar booleanaljabar boolean
aljabar boolean
 
Rps
RpsRps
Rps
 
Mikrokontroler dan Antar Muka (5)
Mikrokontroler dan Antar Muka (5)Mikrokontroler dan Antar Muka (5)
Mikrokontroler dan Antar Muka (5)
 
13. Konsep Penelitian Operasional
13. Konsep Penelitian Operasional13. Konsep Penelitian Operasional
13. Konsep Penelitian Operasional
 
Silb rangkaian elektronika-kelas xi 2017-2018
Silb rangkaian elektronika-kelas xi 2017-2018Silb rangkaian elektronika-kelas xi 2017-2018
Silb rangkaian elektronika-kelas xi 2017-2018
 
Pertemuan 6 & 7 ars. gerbang logika
Pertemuan 6 & 7 ars. gerbang logikaPertemuan 6 & 7 ars. gerbang logika
Pertemuan 6 & 7 ars. gerbang logika
 
Part 9 - Object Oriented Programming Lanjutan
Part 9 - Object Oriented Programming LanjutanPart 9 - Object Oriented Programming Lanjutan
Part 9 - Object Oriented Programming Lanjutan
 

Recently uploaded

COOLING TOWER petrokimia gresik okdong d
COOLING TOWER petrokimia gresik okdong dCOOLING TOWER petrokimia gresik okdong d
COOLING TOWER petrokimia gresik okdong d
delphijean1
 
436102098-0-K3-Elevator-Dan-Eskalator.ppt
436102098-0-K3-Elevator-Dan-Eskalator.ppt436102098-0-K3-Elevator-Dan-Eskalator.ppt
436102098-0-K3-Elevator-Dan-Eskalator.ppt
rhamset
 
SURVEY REKAYASA SURVEY REKAYASA SURVEY REKAYASA
SURVEY REKAYASA SURVEY REKAYASA SURVEY REKAYASASURVEY REKAYASA SURVEY REKAYASA SURVEY REKAYASA
SURVEY REKAYASA SURVEY REKAYASA SURVEY REKAYASA
AnandhaAdkhaM1
 
TUGAS UJI KOMPETENSI-INDAH ROSANTI-AHLI UTAMA MANAJEMEN KONSTRUKSI.pptx
TUGAS UJI KOMPETENSI-INDAH ROSANTI-AHLI UTAMA MANAJEMEN KONSTRUKSI.pptxTUGAS UJI KOMPETENSI-INDAH ROSANTI-AHLI UTAMA MANAJEMEN KONSTRUKSI.pptx
TUGAS UJI KOMPETENSI-INDAH ROSANTI-AHLI UTAMA MANAJEMEN KONSTRUKSI.pptx
indahrosantiTeknikSi
 
Power Point TEMA 7 SUB TEMA 3 Pembelajaran 2
Power Point TEMA 7 SUB TEMA 3 Pembelajaran 2Power Point TEMA 7 SUB TEMA 3 Pembelajaran 2
Power Point TEMA 7 SUB TEMA 3 Pembelajaran 2
HADIANNAS
 
RANGKAIAN LISTRIK MATERI 7 ANALISIS MESH.pptx
RANGKAIAN LISTRIK MATERI 7 ANALISIS MESH.pptxRANGKAIAN LISTRIK MATERI 7 ANALISIS MESH.pptx
RANGKAIAN LISTRIK MATERI 7 ANALISIS MESH.pptx
muhammadiswahyudi12
 
1. Paparan Penjelasan Permen PUPR 08 Tahun 2023.pdf
1. Paparan Penjelasan Permen PUPR 08 Tahun 2023.pdf1. Paparan Penjelasan Permen PUPR 08 Tahun 2023.pdf
1. Paparan Penjelasan Permen PUPR 08 Tahun 2023.pdf
AdityaWahyuDewangga1
 
NADIA FEBIANTI TUGAS PPT(GAMMA APP).pptx
NADIA FEBIANTI TUGAS PPT(GAMMA APP).pptxNADIA FEBIANTI TUGAS PPT(GAMMA APP).pptx
NADIA FEBIANTI TUGAS PPT(GAMMA APP).pptx
nadiafebianti2
 
TUGAS pelaksana pekerjaan jalan jenjang empat 4 .pptx -.pdf
TUGAS pelaksana pekerjaan jalan jenjang empat 4 .pptx -.pdfTUGAS pelaksana pekerjaan jalan jenjang empat 4 .pptx -.pdf
TUGAS pelaksana pekerjaan jalan jenjang empat 4 .pptx -.pdf
jayakartalumajang1
 
Metode Clayperon (Persamaan Tiga Momen) untuk balok menerus.pptx
Metode Clayperon (Persamaan Tiga Momen) untuk balok menerus.pptxMetode Clayperon (Persamaan Tiga Momen) untuk balok menerus.pptx
Metode Clayperon (Persamaan Tiga Momen) untuk balok menerus.pptx
ssuser2537c0
 
Daftar Lembaga Penyedia Jasa Linkungan.pdf
Daftar Lembaga Penyedia Jasa Linkungan.pdfDaftar Lembaga Penyedia Jasa Linkungan.pdf
Daftar Lembaga Penyedia Jasa Linkungan.pdf
Tsabitpattipeilohy
 

Recently uploaded (11)

COOLING TOWER petrokimia gresik okdong d
COOLING TOWER petrokimia gresik okdong dCOOLING TOWER petrokimia gresik okdong d
COOLING TOWER petrokimia gresik okdong d
 
436102098-0-K3-Elevator-Dan-Eskalator.ppt
436102098-0-K3-Elevator-Dan-Eskalator.ppt436102098-0-K3-Elevator-Dan-Eskalator.ppt
436102098-0-K3-Elevator-Dan-Eskalator.ppt
 
SURVEY REKAYASA SURVEY REKAYASA SURVEY REKAYASA
SURVEY REKAYASA SURVEY REKAYASA SURVEY REKAYASASURVEY REKAYASA SURVEY REKAYASA SURVEY REKAYASA
SURVEY REKAYASA SURVEY REKAYASA SURVEY REKAYASA
 
TUGAS UJI KOMPETENSI-INDAH ROSANTI-AHLI UTAMA MANAJEMEN KONSTRUKSI.pptx
TUGAS UJI KOMPETENSI-INDAH ROSANTI-AHLI UTAMA MANAJEMEN KONSTRUKSI.pptxTUGAS UJI KOMPETENSI-INDAH ROSANTI-AHLI UTAMA MANAJEMEN KONSTRUKSI.pptx
TUGAS UJI KOMPETENSI-INDAH ROSANTI-AHLI UTAMA MANAJEMEN KONSTRUKSI.pptx
 
Power Point TEMA 7 SUB TEMA 3 Pembelajaran 2
Power Point TEMA 7 SUB TEMA 3 Pembelajaran 2Power Point TEMA 7 SUB TEMA 3 Pembelajaran 2
Power Point TEMA 7 SUB TEMA 3 Pembelajaran 2
 
RANGKAIAN LISTRIK MATERI 7 ANALISIS MESH.pptx
RANGKAIAN LISTRIK MATERI 7 ANALISIS MESH.pptxRANGKAIAN LISTRIK MATERI 7 ANALISIS MESH.pptx
RANGKAIAN LISTRIK MATERI 7 ANALISIS MESH.pptx
 
1. Paparan Penjelasan Permen PUPR 08 Tahun 2023.pdf
1. Paparan Penjelasan Permen PUPR 08 Tahun 2023.pdf1. Paparan Penjelasan Permen PUPR 08 Tahun 2023.pdf
1. Paparan Penjelasan Permen PUPR 08 Tahun 2023.pdf
 
NADIA FEBIANTI TUGAS PPT(GAMMA APP).pptx
NADIA FEBIANTI TUGAS PPT(GAMMA APP).pptxNADIA FEBIANTI TUGAS PPT(GAMMA APP).pptx
NADIA FEBIANTI TUGAS PPT(GAMMA APP).pptx
 
TUGAS pelaksana pekerjaan jalan jenjang empat 4 .pptx -.pdf
TUGAS pelaksana pekerjaan jalan jenjang empat 4 .pptx -.pdfTUGAS pelaksana pekerjaan jalan jenjang empat 4 .pptx -.pdf
TUGAS pelaksana pekerjaan jalan jenjang empat 4 .pptx -.pdf
 
Metode Clayperon (Persamaan Tiga Momen) untuk balok menerus.pptx
Metode Clayperon (Persamaan Tiga Momen) untuk balok menerus.pptxMetode Clayperon (Persamaan Tiga Momen) untuk balok menerus.pptx
Metode Clayperon (Persamaan Tiga Momen) untuk balok menerus.pptx
 
Daftar Lembaga Penyedia Jasa Linkungan.pdf
Daftar Lembaga Penyedia Jasa Linkungan.pdfDaftar Lembaga Penyedia Jasa Linkungan.pdf
Daftar Lembaga Penyedia Jasa Linkungan.pdf
 

Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika (1).pdf

  • 1. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika Kuliah#3 TKC205 Sistem Digital Eko Didik Widianto Departemen Teknik Sistem Komputer, Universitas Diponegoro http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 1
  • 2. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Pengantar I Dalam proses analisis dan sintesis diperlukan satu model untuk mendeskripsikan fungsi logika. Salah satu model yang digunakan adalah aljabar Boolean I Proses sintesis bertujuan untuk merancang rangkaian logika optimal berdasarkan kebutuhan fungsional sistem yang diinginkan. I Kebutuhan sistem dapat dinyatakan dalam deskripsi tekstual, tabel kebenaran maupun diagram pewaktuan I Jika tidak ada konstrain (misalnya waktu sintesis), hasilnya adalah rangkaian yang minimal atau paling sederhana I Rangkaian logika minimal diperoleh dari persamaan logika yang paling sederhana I Penyederhanaan persamaan logika dilakukan menggunakan aljabar Boolean, peta Karnaugh dan metode tabular Quine McKluskey http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 2
  • 3. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Umpan Balik I Sebelumnya dibahas tentang konsep rangkaian logika: I Representasi biner dan saklar sebagai elemen biner I Variabel dan fungsi logika I Ekspresi dan persamaan logika I Tabel kebenaran I Gerbang dan rangkaian logika I Analisis rangkaian dan diagram Pewaktuan I Umpan Balik: I Gambarkan rangkaian untuk fungsi logika f(x1, x2, x3, x4) = (x1x2) + (x3x4) dan analisis untuk masukan {x1, x2, x3, x4} = {0, 1, 0, 1}, 12 I Buktikan bahwa (x1x2) + (x3x4) = (x1x2) (x3x4) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 3
  • 4. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Tentang Kuliah I Dalam kuliah ini, akan dibahas tentang implementasi fungsi logika menjadi suatu rangkaian logika (disebut proses sintesis), baik menggunakan tabel kebenaran maupun aljabar Boolean I Aljabar Boolean: aksioma, teorema, dan hukum I Diagram Venn I Penyederhanaan persamaan secara aljabar I Sintesis ekspresi logika dari tabel kebenaran I minterm, persamaan SOP (Sum of Product) dan notasi kanonik SOP I Maxterm, persamaan POS (Product of Sum) dan notasi kanonik POS I Konversi SOP ke POS dan sebaliknya I Rangkaian dua level AND-OR dan OR-AND I Rangkaian dua level NAND-NAND dan NOR-NOR http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 4
  • 5. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Kompetensi Dasar I Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa akan mampu: 1. [C1] memahami aksioma (dalil), teorema dan hukum aljabar Boolean 2. [C2] memahami notasi aljabar operasi logika (AND,OR, NOT) dan urutan operasi logika 3. [C2] membuktikan kesamaan dua ekspresi logika dengan menggunakan aljabar dan diagram Venn 4. [C2] menyatakan persamaan logika dalam bentuk SOP maupun POS jika diberikan kebutuhan fungsional sistem 5. [C2] mengkonversikan persamaan SOP ke POS atau sebaliknya dengan benar 6. [C3] melakukan penyederhanaan persamaan logika secara aljabar dengan benar jika diberikan suatu persamaan logika, tabel kebenaran maupun deskripsi tekstual kebutuhan desain 7. [C4] mendesain dan menganalisis rangkaian AND-OR dan OR-AND minimal jika diberikan kebutuhan desain yang diinginkan 8. [C4] mendesain dan menganalisis rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR minimal jika diberikan kebutuhan desain yang diinginkan I Link I Website: http://didik.blog.undip.ac.id/2017/03/06/ tkc205-sistem-digital-2016-genap/ I Email: didik@undip.ac.id http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 5
  • 6. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Buku Acuan/Referensi Eko Didik Widianto, Sistem Digital: Analisis, Desain dan Implementasi, Edisi Pertama, Graha Ilmu, 2014 (Bab 3: Aljabar Boolean dan Sintesis Rangkaian Logika) I Materi: I 3.1 Aljabar Boolean I 3.2 Sintesis Rangkaian Logika I 3.3 Rangkaian Logika Dua Level I Website: I http://didik.blog.undip.ac.id/ buku/sistem-digital/ http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 6
  • 7. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 7
  • 8. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Aljabar Boolean (Tahun 1849) I Boole memberikan skema untuk deskripsi aljabar dari proses berpikir secara logika dan penalaran (reasoning) I Kemudian digunakan untuk menjabarkan rangkaian logika I desain dan analisis rangkaian I menyederhanakan suatu ekspresi logika untuk implementasi fisik rangkaian yang lebih sederhana George Boole (1815-1864) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 8
  • 9. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 9
  • 10. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Dalil Aljabar Boolean dan Prinsip Dualitas I Aljabar Boolean menggunakan aturan-aturan yang diturunkan dari asumsi dasar (aksioma/dalil/postulat) I Tidak perlu dibuktikan karena self-evident, kebenarannya terjamin 1a. 0 · 0 = 0 2a. 1 · 1 = 1 3a. 0 · 1 = 1 · 0 = 0 4a. Jika x = 0, maka x = 1 1b. 1 + 1 = 1 2b. 0 + 0 = 0 3b. 1 + 0 = 0 + 1 = 1 4b. Jika x = 1, maka x = 0 I Dalil dituliskan berpasangan →untuk menunjukkan prinsip dualitas I Jika diberikan sebarang ekspresi logika, dual dari ekspresi tersebut dapat dibentuk dengan mengganti semua + dengan · atau sebaliknya serta mengganti 0 dengan 1 atau sebaliknya I dalil(b) merupakan dual dari dalil(a) dan sebaliknya I Dual dari pernyataan benar adalah juga benar http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 10
  • 11. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Teorema 1 Variabel I Teorema ini diturunkan dari aksioma. x adalah variabel tunggal I Perlu dibuktikan dengan aksioma atau teorema lain 5a. x · 0 = 0 6a. x · 1 = x 7a. x · x = x 8a. x · x = 0 5b. x + 1 = 1 6b. x + 0 = x 7b. x + x = x 8b. x + x = 1 9. x = x I Pembuktian teorema dengan induksi I Memasukkan nilai x = 0 dan x = 1 ke dalam ekspresi I Pernyataan di teorema (a) adalah dual dari pernyataan (b) dan sebaliknya I f1(x1, x2) = x1 + x2 dualnya adalah f2(x1, x2) = x1 · x2 Misalnya: f1 = 0 + 0 = 0, f2 = 1 · 1 = 1, sehingga f1dan f2 dual http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 11
  • 12. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Latihan I Tunjukkan bahwa teorema 6a adalah dual dari 6b dan 8a dual dari 8b! http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 12
  • 13. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Hukum-hukum Aljabar I Hukum ini mendefinisikan aturan untuk persamaan dengan banyak variabel I Disebut juga identitas atau properti 10a. x · y = y · x 10b. x + y = y + x →Komutatif 11a. x · (y · z) = (x · y) · z 11b. x + (y + z) = (x + y) + z →Asosiatif 12a. x · (y + z) = x · y + x · z 12b. x + y · z = (x + y) · (x + z) →Distributif 13a. x + x · y = x 13b. x · (x + y) = x →Absorsi 14a. x · y + x · y = x 14b. (x + y) · (x + y) = x →Penggabungan 15a. x · y = x + y 15b. x + y = x · y →DeMorgan 16a. x + x · y = x + y 16b. x · (x + y) = x · y 17a. x ·y +y ·z +x ·z = x ·y +x ·z 17b. (x + y) · (y + z) · (x + z) = (x + y) · (x + z) →Konsensus I Pembuktian hukum (identity, property) tersebut dapat dilakukan secara induktif (dengan tabel kebenaran) maupun dengan melakukan perhitungan aljabar I Contoh: teorema DeMorgan secara induktif I Buktikan 12a,b 13a,b 16a,b dan 17a,b secara induktif dan aljabar http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 13
  • 14. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Pembuktian Aljabar I Buktikan persamaan logika berikut benar 1.(x1 + x2) · (x1 + x2) = x1 · x2 + x1 · x2 2. x1 · x3 + x2 · x3 + x1 · x3 + x2 · x3 = x1 + x2 f = x1 · x3 + x2 · x3 + x1 · x3 + x2 · x3 = x1 · x2 + x1 · x2 + x1 · x2 = x1 + x2 I Menghasilkan ekspresi logika yang lebih sederhana, sehingga rangkaian logika akan lebih sederhana I Teorema dan property menjadi basis untuk sintesis fungsi logika di perangkat CAD http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 14
  • 15. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 15
  • 16. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Diagram Venn (John Venn 1880) I Membuktikan ekuivalensi 2 ekspresi logika secara visual I Suatu set s merupakan koleksi elemen yang merupakan anggota dari s I dalam hal ini s merupakan koleksi variabel dan/atau konstan I Elemen (variabel/konstan) dinyatakan sebagai area dengan kontur seperti kotak, lingkaran atau elips John Venn (1834-1923) Wikipedia http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 16
  • 17. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Diagram Venn I Jika semesta integer N mulai 1 sampai 9 adalah N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 I Himpunan bilangan genap E = 2, 4, 6, 8 I sedangkan himpunan bilangan ganjil adalah komplemen dari E dan mempunyai anggota di luar E, sehingga E = 1, 3, 5, 7, 9. I Aljabar Boolean hanya mempunyai dua nilai (elemen) dalam semesta B, B = 0, 1, sehingga: I area dalam kontur s menyatakan s = 1, sedangkan I area di luar kontur menyatakan s = 0 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 17
  • 18. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Diagram Venn http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 18
  • 19. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Buktika DeMorgan: x · y = x + y I Hasil diagram Venn yang sama menunjukkan kedua ekspresi sama http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 19
  • 20. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Latihan I Buktikan 12a,b 13a,b dan 17a,b secara induktif dan aljabar! I Buktikan x + x · y = x + y dan x · (x + y) = x · y secara induktif, aljabar dan diagram Venn! I Buktikan bahwa x1x2x3 + x2 · x3 + x2 · x3 = x3 + x1x2 secara induktif, aljabar dan diagram Venn! I Buktikan (x1 + x2) · (x1 + x2) = x1 · x2 + x1 · x2 secara induktif, aljabar dan diagram Venn! http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 20
  • 21. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 21
  • 22. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Notasi Operator Fungsi Logika I Kemiripan operasi penjumlahan dan perkalian antara logika dan aritmetika I Operasi OR disebut sebagai logika penjumlahan (sum) I Operasi AND disebut sebagai logika perkalian (product) Operasi Notasi Operator Keterangan OR +, W , | Bitwise OR AND ·, V , Bitwise AND I Ekpresi ABC+A’BD+A’CE I Merupakan jumlah dari 3 operasi/term perkalian (SOP, sum-of-product terms) I Ekspresi (A+B+C)(A’+B+D)(A’+C+E) I Merupakan perkalian dari 3 operasi/term penjumlahan (POS, product-of-sum terms) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 22
  • 23. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi (Konvensi) Urutan Operasi I Jika dalam satu ekspresi tidak terdapat tutup kurung, operasi fungsi logika dilakukan dengan urutan: 1. NOT 2. AND 3. OR I Misalnya ekspresi x + x · y I variabel x di term kedua diinversikan, kemudian di-AND-kan dengan variabel y I term pertama dan kedua kemudian di-OR-kan http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 23
  • 24. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Latihan I Gambar rangkaian untuk persamaan logika f = (x1 + x2) · x3 dan f = x1 + x2 · x3 I Buktikan bahwa (x1 + x2) · x3 6= x1 + x2 · x3. Dan gambarkan rangkaian logika f1 = (x1 + x2) · x3 dan f2 = x1 + x2 · x3 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 24
  • 25. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 25
  • 26. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar I Suatu fungsi logika dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk ekspresi yang ekivalen I Misalnya: f1 = x1x2 + x1x2 + x1x2 dan f2 = x1 + x2 adalah ekivalen secara fungsional. f1 lebih sederhana (optimal) daripada f2 I Proses optimasi memilih salah satu dari beberapa rangkaian ekivalen untuk memenuhi constraint nonfungsional (area, cost) I Catatan: rangkaian dengan jumlah gerbang minimal bisa jadi bukan merupakan solusi terbaik, tergantung constraintnya. Misalnya constraint delay Fungsi: f = x1x2 + x1x2 + x1x2 I Replikasi term 2: f = x1x2 + x1x2 + x1x2 + x1x2 I Distributif (12b): f = x1 (x2 + x2) + (x1 + x1) x2 I Teorema (8b): f = x1 · 1 + 1 · x2 I Teorema (6a): f = x1 + x2 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 26
  • 27. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Umpan Balik: Aljabar Boolean Mahasiswa mampu: 1. memahami dalil, teorema dan hukum aljabar Boolean 2. membuktikan persamaan 2 ekspresi logika secara induktif (tabel kebenaran), manipulasi aljabar dan diagram Venn 3. menyederhanakan suatu ekspresi logika menggunakan dalil, teorema dan hukum aljabar (manipulasi aljabar) 4. mengerti tentang beragam notasi operasi logika (AND,OR) dan urutan operasi logika Latihan: I Buktikan x1x2x3 + x2 · x3 + x2 · x3 = x3 + x1x2 secara induktif, aljabar dan diagram Venn I Hitung jumlah gerbang yang dibutuhkan oleh tiap ekspresi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 27
  • 28. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Proses Sintesis I Diinginkan suatu fungsi, bagaimana mengimplementasikannya dalam bentuk ekspresi atau rangkaian logika? I Proses ini disebut sintesis: membangkitkan ekspresi dan/atau rangkaian dari deskripsi perilaku fungsionalnya I Sintesis merupakan langkah utama dalam desain sistem digital http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 28
  • 29. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 29
  • 30. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Sintesis Rangkaian Logika Deskripsi Kebutuhan Sistem I Misalnya I Desain rangkaian logika dengan dua masukan x1dan x2 I Rangkaian memonitor switch, menghasilkan keluaran logika 1 jika switch (x1,x2) mempunyai keadaan (0,0), (0,1) atau (1,1) dan keluaran 0 jika switch (1,0) I Pernyataan lain: jika switch x1tersambung dan x2terputus maka keluaran harus 0, keadaan switch lainnya keluaran harus 1 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 30
  • 31. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Langkah Sintesis 1. menterjemahkan kebutuhan desain dan menuliskannya ke dalam tabel kebenaran 2. menuliskan persamaan SOP atau POS dari tabel kebenaran I Persamaan SOP diperoleh dengan menjumlahkan semua term perkalian yang bernilai 1 I Persamaan POS diperoleh dengan mengalikan semua term penjumlahan yang bernilai 0 3. menyederhanakan persamaan menggunakan aljabar Boolean untuk memperoleh rangkaian logika yang minimal http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 31
  • 32. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Tabel Kebenaran dan Hasil Ekspresi (SOP) I Tabel kebenaran untuk fungsi yang harus disintesis I Realisasi f adalah f = x1x2 + x1x2 + x1x2 (SOP) I Diimplementasikan dengan 2 gerbang NOT, 3 gerbang AND-2 dan 1 gerbang OR-3 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 32
  • 33. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Penyederhanaan Rangkaian Secara Aljabar Penyederhanaan fungsi : I Persamaan semula: f = x1x2 + x1x2 + x1x2 I Replikasi term 2: f = x1x2 + x1x2 + x1x2 + x1x2 I Distributif (12b): f = x1 (x2 + x2) + (x1 + x1) x2 I Teorema (8b): f = x1 · 1 + 1 · x2 I Teorema (6a): f = x1 + x2 I Rangkaian sederhana: f = x1 + x2 I Diimplementasikan dengan 1 gerbang NOT dan 1 gerbang OR-2 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 33
  • 34. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Latihan Sintesis 1. Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu (atau kedua) y atau z bernilai 1 1.1 Tuliskan ekspresi dan rangkaian logikanya 1.2 Sederhanakan rangkaian tersebut 2. Sederhanakan fungsi f = x1x2x3 + x2 · x3 + x2 · x3 untuk memperoleh rangkaian logika minimal! Hitung jumlah gerbang yang dibutuhkan oleh rangkaian tersebut! http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 34
  • 35. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 35
  • 36. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Minterm I Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabel f (x1, x2 . . . xn) I Sebuah minterm dari f adalah satu term perkalian dari n variabel yang ditampilkan sekali, baik dalam bentuk tidak diinverskan maupun diinverskan I Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, minterm dibentuk dengan memasukkan variabel xi jika xi = 1 atau xi jika xi = 0 I Notasi mj merupakan minterm dari baris nomor j di tabel kebenaran. Contoh: I Baris 1 (j = 0), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 minterm: m0 = x1x2x3 I Baris 2 (j = 1), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1 minterm: m1 = x1x2x3 I Fungsi fSOP (x1, x2 . . . xn) dapat dinyatakan sebagai fSOP (x1, x2 . . . xn) = N−1 P j=0 mj × fj http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 36
  • 37. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Minterm dan Bentuk Kanonik SOP I Tiap baris dari tabel kebenaran membentuk satu buah minterm I Fungsi f dapat dinyatakan dengan ekspresi penjumlahan dari semua minterm di mana tiap minterm di-AND-kan dengan nilai f yang bersesuaian Baris i x1 x2 x3 minterm mi f 0 0 0 0 x1x2x3 0 1 0 0 1 x1x2x3 1 2 0 1 0 x1x2x3 0 3 0 1 1 x1x2x3 0 4 1 0 0 x1x2x3 1 5 1 0 1 x1x2x3 1 6 1 1 0 x1x2x3 1 7 1 1 1 x1x2x3 0 I Contoh: diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik SOP: f = m0 · 0 + m1 · 1 + m2 · 0 + m3 · 0 + m4 · 1 + m5 · 1 + m6 · 1 + m7 · 0 = m1 + m4 + m5 + m6 = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 37
  • 38. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Notasi SOP I Persamaan SOP dapat dinyatakan dalam notasi m f = m1 + m4 + m5 + m6 = x1x2x3 | {z } 1 + x1x2x3 | {z } 4 + x1x2x3 | {z } 5 + x1x2x3 | {z } 6 I Notasi Persamaan SOP: f = P m(1, 4, 5, 6) I Implementasi: I Ekspresi fungsi f tersebut secara fungsional benar dan unik I Namun, mungkin tidak menghasilkan implementasi yang paling sederhana I Perlu penyederhanana fungsi SOP http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 38
  • 39. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Contoh SOP I Persamaan kanonik SOP berisi daftar maxterm yang bernilai 1 I Contoh. Diketahui fungsi SOP f (x1, x2, x3) = P m(0, 2, 5, 6). Tentukan nilai f (0, 0, 1), f (1, 0, 1) dan f (1, 1, 1) I Solusi. f (0, 0, 1) menyatakan nilai fungsi f jika nilai masukan x1 = 0, x2 = 0, dan x3 = 1. Nilai f (0, 0, 1) = 0 dan f (1, 1, 1) = 0, karena minterm m1 dan m7 tidak ada dalam persamaan, sedangkan f (1, 0, 1) = 1 karena m5 ada dalam daftar persamaan. http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 39
  • 40. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 40
  • 41. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Prinsip Duality SOP - POS I Jika suatu fungsi f dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran, maka ekspresi untuk f dapat diperoleh (disintesis) dengan cara: 1. Melihat semua baris dalam tabel dimana f=1, atau 2. Melihat semua baris dalam tabel dimana f=0 I Pendekatan (1) menggunakan minterm I Pendekatan (2) menggunakan komplemen dari minterm, disebut maxterm http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 41
  • 42. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Penjelasan Dualitas SOP-POS I Jika fungsi f dinyatakan dalam tabel kebenaran, maka fungsi inversnya f , dapat dinyatakan dengan penjumlahan minterm dengan f = 1, yaitu di baris di mana f = 0 f = m0 + m2 + m3 + m7 = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 I Fungsi f dapat dinyatakan f = m0 + m2 + m3 + m7 = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 = x1x2x3 · x1x2x3 · x1x2x3 · (x1x2x3) = (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) I Meletakkan dasar untuk menyatakan fungsi sebagai bentuk perkalian semua term perjumlahan, maxterm http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 42
  • 43. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Maxterm dan Bentuk Kanonik POS I Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabel f (x1, x2 . . . xn) I Sebuah Maxterm dari f adalah satu term penjumlahan dari n variabel yang ditampilkan sekali baik dalam bentuk tidak diinverskan maupun diinverskan I Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, maxterm dibentuk dengan memasukkan variabel xi jika xi = 0 atau xi jika xi = 1 I Notasi Mj (dengan huruf M besar) merupakan maxterm dari baris nomor j di tabel kebenaran. Contoh: I Baris 1 (j = 0), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 maxterm: M0 = x1 + x2 + x3 I Baris 2 (j = 1), x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1 maxterm: M1 = x1 + x2 + x3 I Fungsi fPOS (x1, x2 . . . xn) fPOS (x1, x2 . . . xn) = N−1 Q j=0 Mj + fj http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 43
  • 44. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Maxterm dan Bentuk Kanonik POS I Tiap baris dari tabel kebenaran membentuk satu buah maxterm I Fungsi f dapat dinyatakan dengan ekspresi perkalian dari semua maxterm di mana tiap maxterm di-OR-kan dengan nilai f yang bersesuaian Baris i x1 x2 x3 maxterm Mi f 0 0 0 0 x1 + x2 + x3 0 1 0 0 1 x1 + x2 + x3 1 2 0 1 0 x1 + x2 + x3 0 3 0 1 1 x1 + x2 + x3 0 4 1 0 0 x1 + x2 + x3 1 5 1 0 1 x1 + x2 + x3 1 6 1 1 0 x1 + x2 + x3 1 7 1 1 1 x1 + x2 + x3 0 I Contoh: diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik POS: f = (M0 + 0) (M1 + 1) (M2 + 0) (M3 + 0) (M4 + 1) (M5 + 1) (M6 + 1) (M7 + 0) = M0 · M2 · M3 · M7 = (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 44
  • 45. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Notasi POS I Persamaan POS dapat dinyatakan dalam notasi M f = M0 · M2 · M3 · M7 = (x1 + x2 + x3) | {z } 0 · (x1 + x2 + x3) | {z } 2 · (x1 + x2 + x3) | {z } 3 · (x1 + x2 + x3) | {z } 7 I Notasi Persamaan POS: f = Q M(0, 2, 3, 7) I Persamaan berikut benar untuk fungsi f (x1, x2, x3)di atas: X m(1, 4, 5, 6) = Y M(0, 2, 3, 7) x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 = (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 45
  • 46. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Contoh POS I Persamaan kanonik POS berisi daftar Maxterm yang bernilai 0 I Contoh. Diketahui fungsi POS f (x1, x2, x3) = Q M(1, 3, 4, 7). Tentukan nilai f (0, 0, 1), f (1, 0, 1) dan f (1, 1, 1) I Solusi. f (0, 0, 1) menyatakan nilai fungsi f jika nilai masukan x1 = 0, x2 = 0, dan x3 = 1. Nilai f (0, 0, 1) = 0 dan f (1, 1, 1) = 0, karena Maxterm M1 dan M7 terdapat dalam persamaan, sedangkan f (1, 0, 1) = 1 karena M5 tidak ada dalam daftar persamaan. http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 46
  • 47. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 47
  • 48. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Desain Rangkaian SOP/POS I Jika suatu fungsi f dinyatakan dalam tabel kebenaran, maka persamaan fungsi f dapat diperoleh dengan dua cara, yaitu: 1. melihat semua baris dalam tabel dimana f = 1 Pendekatan ini menghasilkan persamaan SOP, yaitu jumlah dari minterm-minterm yang menghasilkan nilai fungsi 1 2. melihat semua baris dalam tabel dimana f = 0 Pendekatan ini menghasilkan persamaan POS, yaitu perkalian dari Maxterm-Maxterm yang menghasilkan nilai fungsi 0 X m(1, 4, 5, 6) = Y M(0, 2, 3, 7) x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 = (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) +x1x2x3 (x1 + x2 + x3) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 48
  • 49. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Konversi Bentuk SOP-POS I Jika suatu fungsi f diberikan dalam bentuk P m atau Q M, maka dengan mudah dapat dicari fungsi f atau f dalam bentuk P m atau Q M Bentuk Fungsi dan Bentuk yang Diinginkan Asal f = P m f = Q M f = P m f = Q M f = P m (1,4,5,6) - Nomor yg tdk ada dlm daftar (0,2,3,7) Nomor yang tdk ada dlm daftar (0,2,3,7) Nomor yang ada dlm daftar (1,4,5,6) f = Q M (0,2,3,7) Nomor yg tdk ada dlm daftar (1,4,5,6) - Nomor yang ada dlm daftar (0,2,3,7) Nomor yg tdk ada dlm daftar (1,4,5,6) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 49
  • 50. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Contoh I Nyatakan persamaan kanonik POS dari fungsi 3 variabel f (x1, x2, x3) = P m (1, 2, 4, 7) I Solusi. Persamaan 3 variabel mempunyai 8 buah minterm atau maxterm yang bernomor 0 sampai 7. Nomor yang ada dalam persamaan SOP di atas adalah {1, 2, 4, 7} dan nomor yang tidak ada {0, 3, 5, 6}, sehingga persamaan POS dari f (x1, x2, x3) = Q M (0, 3, 5, 6). Kesamaan dari fungsi SOP dan POS tersebut dapat dinyatakan sebagai X m (1, 2, 4, 7) = Y M (0, 3, 5, 6) x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 = (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) +x1x2x3 (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 50
  • 51. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Contoh #2 I Nyatakan persamaan kanonik SOP dari fungsi 4 variabel f (x1, x2, x3, x4) = Q M (0, 1, 2, 5, 6, 7, 11, 12) I Solusi. Nomor yang ada dalam persamaan POS adalah {0, 1, 2, 5, 6, 7, 11, 12} dan nomor yang tidak ada adalah {3, 4, 8, 9, 10, 13, 14, 15}, sehingga persamaan SOP dari f (x1, x2, x3, x4) = P m (3, 4, 8, 9, 10, 13, 14, 15). Kesamaan dari fungsi POS dan SOP tersebut dapat dinyatakan sebagai: Y M (0, 1, 2, 5, 6, 7, 11, 12) = X m (3, 4, 8, 9, 10, 13, 14, 15) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 51
  • 52. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Latihan I Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z. Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu (atau kedua) y atau z bernilai 1. Tuliskan ekspresi SOP dan POS berikut notasi kanoniknya I Cari minterm, Maxterm dan tuliskan bentuk kanonik SOP dan POS dari fungsi f = (x1 + x2) · x3 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 52
  • 53. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 53
  • 54. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Tips Penyederhanaan SOP dan POS I Operasi penyederhanaan adalah mengurangi minterm atau maxterm di ekspresi I SOP: menggunakan hukum 14a (x · y + x · y = x) I POS: menggunakan hukum 14b ((x + y) · (x + y) = x) I Penggunaan teorema 14a atau 14b akan mengurangi 1 variabel yang berbeda dalam dua minterm atau Maxterm yang berbeda hanya di 1 variabel tersebut x1x2x3 + x1x2x3 = x1x2(x3 + x3) | {z } =1 = x1x2 I Maxterm x1 + x2 + x3 dan x1 + x2 + x3 berbeda di 1 variabel, yaitu x2, sehingga dapat disederhanakan menggunakan teorema 14b, yaitu sebagai berikut: (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) = x1 + x3 + x2x2 |{z} =0 = x1 + x3 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 54
  • 55. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Contoh Penyederhanaan SOP I Beberapa minterm atau maxterm dapat digabungkan menggunakan hukum 14a atau 14b jika berbeda hanya di satu variabel saja f = (m1 + m5) + (m4 + m5) + (m4 + m6) = (x1x2x3 + x1x2x3) + (x1x2x3 + x1x2x3) + (x1x2x3 + x1x2x3) = (x1 + x1) x2x3 + x1x2 (x3 + x3) + x1 (x2 + x2) x3 = x2x3 + x1x2 + x1x3 I Minterm m4 di atas telah disederhanakan di (m4 + m6) dan minterm m5 telah disederhanakan di (m1 + m5), sehingga penyederhanaan (m4 + m5) tidak perlu dituliskan kembali atau dihilangkan untuk menghasilkan persamaan yang ekivalen, namun lebih sederhana. f = (m1 + m5) + (m4 + m6) = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 = (x1 + x1) x2x3 + x1 (x2 + x2) x3 = x2x3 + x1x3 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 55
  • 56. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Contoh Penyederhanaan POS I Rancang rangkaian POS optimal untuk fungsi f (x1, x2, x3) = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3! I Solusi. Fungsi SOP tersebut dapat dituliskan sebagai f (x1, x2, x3) = P m (1, 4, 5, 6). Karena yang diinginkan rangkaian POS, maka persamaan SOP tersebut perlu dikonversi ke dalam POS. Persamaan POS ekivalennya adalah f (x1, x2, x3) = Y M (0, 2, 3, 7) = (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3) Terdapat 2 pasangan maxterm yang mempunyai satu perbedaan, yaitu Maxterm M0 dan M2 (berbeda di x2) dan Maxterm M3 dan M7 (berbeda di x1). Penyederhanaan dengan teorema 14b f (x1, x2, x3) = (M0 · M2) · (M3 · M7) = ((x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3)) ((x1 + x2 + x3) (x1 + x2 + x3)) = ((x1 + x3) + x2x2) (x1x1 + (x2 + x3)) = (x1 + x3) (x2 + x3) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 56
  • 57. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Umpan Balik Sintesis 1. Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z I Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu (atau kedua) y atau z bernilai 1 1.1 Tuliskan ekspresi SOP dan POS berikut notasinya 1.2 Cari invers fungsi tersebut 1.3 Sederhanakan rangkaian dan gambar rangkaian logikanya 2. Cari minterm, maxterm dan tuliskan bentuk SOP dan POS dari I fungsi f = (x1 + x2) · x3 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 57
  • 58. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Rangkaian Dua Level I Rangkaian logika yang diimplementasikan dari fungsi SOP dan POS membentuk rangkaian dua level I Fungsi SOP membentuk rangkaian AND-OR I Level pertama rangkaian AND, level kedua rangkaian OR I Fungsi POS membentuk rangkaian OR-AND I Level pertama rangkaian OR, level kedua rangkaian AND http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 58
  • 59. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Bahasan Aljabar Boolean Dalil, Teorema dan Hukum Aljabar Boolean Diagram Venn Notasi Operator dan Prioritas Operasi Penyederhanaan Rangkaian dengan Aljabar Sintesis Rangkaian Logika Sintesis dari Tabel Kebenaran Minterm dan Bentuk Kanonik SOP Maxterm dan Bentuk Kanonik POS Konversi SOP-POS Penyederhanaan Persamaan SOP dan POS Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 59
  • 60. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Rangkaian AND-OR dan OR-AND Langkah desain rangkaian AND-OR dan OR-AND adalah sebagai berikut: 1. menentukan tipe implementasi rangkaian: AND-OR atau OR-AND 2. menyatakan fungsi rangkaian f ke persamaan SOP atau POS. Persamaan bisa dalam bentuk kanonik. 2.1 Jika akan diimplementasikan dengan rangkaian AND-OR, maka fungsi f harus dinyatakan dalam bentuk kanonik SOP 2.2 Jika akan diimplementasikan dengan rangkaian OR-AND, maka fungsi f harus dinyatakan dalam bentuk kanonik POS 3. menyederhanakan fungsi tersebut menggunakan aljabar Boolean I Salah satu metode lainnya: dengan peta Karnaugh 4. merancang rangkaian logikanya http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 60
  • 61. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Contoh Desain Rangkaian Dua Level Desain rangkaian logika AND-OR dan OR-AND untuk fungsi f (x1, x2, x3) = P m (1, 4, 5, 6) I Rangkaian AND-OR dapat dibentuk langsung dari persamaan f (x1, x2, x3) = P m (1, 4, 5, 6), menghasilkan f = x1x3x2x3. I Rangkaian OR-AND dibentuk dari persamaan POS ekivalennya, yaitu f (x1, x2, x3) = Q M (0, 2, 3, 7), menghasilkan f = (x1 + x3) (x2 + x3). I Rangkaian AND-OR dan OR-AND untuk mengimplementasikan fungsi f (x1, x2, x3) = P m (1, 4, 5, 6) I Kedua rangkaian tersebut ekivalen http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 61
  • 62. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Rangkaian Logika dengan NAND dan NOR I Fungsi NAND adalah inversi fungsi AND f(x1, x2) = f1(x1, x2) = x1 · x2 I Gerbang NAND merupakan gerbang AND yang diikuti gerbang NOT I Fungsi NOR adalah inversi fungsi OR f(x1, x2) = f1(x1, x2) = x1 + x2 I Gerbang NOR merupakan gerbang OR yang diikuti gerbang NOT http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 62
  • 63. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Rangkaian NAND Lebih Sederhana dari AND I Di CMOS, implementasi rangkaian dari gerbang NAND dan NOR lebih sederhana (dan cepat) daripada AND dan OR I Sehingga rangkaian lebih kecil dan lebih cepat untuk mewujudkan fungsi logika yang sama CMOS NAND (4 transistor) CMOS AND (6 transistor) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 63
  • 64. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Rangkaian NOR Lebih Sederhana dari OR CMOS NOR (4 transistor) CMOS OR (6 transistor) http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 64
  • 65. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Recall: Teorema DeMorgan http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 65
  • 66. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Rangkaian AND-OR dan NAND-NAND I Rangkaian AND-OR (bentuk SOP) dapat dikonversi menjadi rangkaian NAND-NAND I Bentuk ekspresinya: inverskan minterm, ganti (+) dengan (.), inverskan ekspresi I Contoh: f = P m(1, 4, 5, 6) f = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3 = x1x2x3 | {z } NAND · x1x2x3 | {z } NAND · x1x2x3 | {z } NAND · x1x2x3 | {z } NAND | {z } NAND http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 66
  • 67. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Contoh Desain NAND-NAND I Desain rangkaian logika AND-OR dan NAND-NAND paling sederhana dari fungsi f = P m(1, 4, 5, 6) I Solusi: f = X m(1, 4, 5, 6) = x2x3 + x1x3 = x2x3 + x1x3 = x2x3 |{z} NAND · x1x3 |{z} NAND | {z } NAND 2nd level http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 67
  • 68. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Latihan I Desain rangkaian logika AND-OR dan NAND-NAND paling sederhana dari fungsi f = P m(1, 3, 5, 6, 7)! http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 68
  • 69. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Rangkaian OR-AND dan NOR-NOR I Rangkaian OR-AND (bentuk POS) dapat dikonversi menjadi rangkaian NOR-NOR I Bentuk ekspresinya: inverskan maxterm, ganti (.) dengan (+), inverskan ekspresi I Contoh: f = Q M(0, 2, 3, 7) f = x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3 = x1 + x2 + x3 | {z } NOR + x1 + x2 + x3 | {z } NOR + x1 + x2 + x3 | {z } NOR + x1 + x2 + x3 | {z } NOR | {z } NOR−2nd level http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 69
  • 70. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Rangkaian AND-OR dan OR-AND Penutup dan Umpan Balik Lisensi Contoh Desain NOR-NOR I Gambarkan rangkaian logika AND-OR dan NOR-NOR dari fungsi f = P m(1, 4, 5, 6) I Solusi: f = X m(1, 4, 5, 6) = Y M (0, 2, 3, 7) = (x1 + x3) (x2 + x3) = (x1 + x3) (x2 + x3) = (x1 + x3) | {z } NOR + (x2 + x3) | {z } NOR | {z } NOR 2nd level http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 70
  • 71. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Umpan Balik I Yang telah kita pelajari hari ini: I Dalil, teorema dan hukum aljabar Boolean, diagram Venn serta penyederhanaan rangkaian secara aljabar I Sintesis rangkaian logika dari tabel kebenaran, SOP, POS dan koversinya I Rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR I Latihan: I Sederhanakan fungsi f(x1, x2, x3) = P m (0, 2, 4, 5) dan buat rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR-nya I Buat rangkaian multiplekser 2-masukan I Yang akan kita pelajari di pertemuan berikutnya adalah penyederhanaan fungsi logika menggunakan peta Karnaugh untuk memperoleh rangkaian yang optimal I Pelajari: http://didik.blog.undip.ac.id/2017/03/06/ tkc205-sistem-digital-2016-genap/ http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 71
  • 72. Aljabar Boolean dan Sintesis Fungsi Logika @2017,Eko Didik Widianto Aljabar Boolean Sintesis Rangkaian Logika Rangkaian Dua Level Penutup dan Umpan Balik Lisensi Lisensi Creative Common Attribution-ShareAlike 3.0 Unported (CC BY-SA 3.0) I Anda bebas: I untuk Membagikan — untuk menyalin, mendistribusikan, dan menyebarkan karya, dan I untuk Remix — untuk mengadaptasikan karya I Di bawah persyaratan berikut: I Atribusi — Anda harus memberikan atribusi karya sesuai dengan cara-cara yang diminta oleh pembuat karya tersebut atau pihak yang mengeluarkan lisensi. Atribusi yang dimaksud adalah mencantumkan alamat URL di bawah sebagai sumber. I Pembagian Serupa — Jika Anda mengubah, menambah, atau membuat karya lain menggunakan karya ini, Anda hanya boleh menyebarkan karya tersebut hanya dengan lisensi yang sama, serupa, atau kompatibel. I Lihat: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License I Alamat URL: http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/ @2017,Eko Didik Widianto 72