Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

8,093 views

Published on

Το φυλλάδιο της καλοκαιρινής προετοιμασίας

Published in: Education
  • Be the first to comment

Σημειώσεις Στατιστική Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

  1. 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
  2. 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 2 “Το χαρακτηριστικό γνώρισµα ενός πραγµατικά καλά αναθρεµµένου ανθρώπου είναι ότι συγκινείται βαθιά από τις στατιστικές .» Τζωρτζ Μπέρναρντ Σω ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστική είναι η επιστήµη που προσπαθεί να ερµηνεύσει φαινόµενα του πραγµατικού κόσµου που εµπεριέχουν µεταβλητότητα και αβεβαιότητα. Εφαρµόζει µεθόδους συλλογής και ανάλυσης αριθµητικών, κατά βάση, δεδοµένων και χρησιµοποιείται σε όλους τους κλάδους της επιστήµης. Η στατιστική ονοµάζεται επαγωγική επιστήµη , γιατί µελετώντας ένα µέρος του πληθυσµού µπορεί να βγάλει συµπεράσµατα για όλο τον πληθυσµό. Ορισµός: Βασικές έννοιες και ορισµοί Πληθυσµός είναι το σύνολο των µετρήσεων ή παρατηρήσεων που αναφέρονται σε κάποιο χαρακτηριστικό ή σε κάποια ιδιότητα των µονάδων του συνόλου που εξετάζουµε. Κάθε στοιχείο του πληθυσµού ονοµάζεται άτοµο. Το πλήθος των ατόµων ενός πληθυσµού λέγεται µέγεθος του πληθυσµού, και συµβολίζεται µε το γράµµα ν. Παράδειγµα (1) Αν µας ενδιαφέρει να εξετάσουµε την επίδοση των µαθητών της πολης του Αγρινίου στα Μαθηµατικά, τότε ο πληθυσµός είναι όλοι οι µαθητές που πηγαίνουν σχολείο στην πόλη του Αγρινίου.Κάθε µαθητής αποτελεί ένα άτοµο. Το πλήθος όλων των µαθητών είναι το µέγεθος του πληθυσµού. ∆είγµα είναι κάθε υποσύνολο δεδοµένων του πληθυσµού που έχουµε πάρει τυχαία µε κανόνες και κριτήρια που στοχεύουν στην πληρέστερη αντιπροσώπευση του πληθυσµού. (Ένα δείγµα θεωρείται αντιπροσωπευτικό του πληθυσµού, αν έχει επιλεγεί κατά τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε µονάδα του πληθυσµού να έχει την ίδια δυνατότητα να επιλεγεί.) Παράδειγµα (2) Στην περίπτωση που ελέγχουµε τη διάρκεια ζωής των τηλεοράσεων, δεν θα εξετάσουµε όλες τις τηλεοράσεις της βιοµηχανίας αλλά έναν µικρό αριθµό από αυτές, τις οποίες θα θέσουµε σε λειτουργία µέχρι να χαλάσουν και θα χρονοµετρήσουµε το χρόνο ζωής τους. Μεταβλητή (ή τυχαία µεταβλητή) είναι ένα χαρακτηριστικό του πληθυσµού, ως προς το οποίο εξετάζεται ο πληθυσµός. Συνήθως συµβολίζονται µε κεφαλαία γράµµατα Χ, Υ, Ζ... Από τη µελέτη των ατόµων ενός πληθυσµού ως προς κάποιο χαρακτηριστικό τους, προκύπτουν παρατηρήσεις που λέγονται στατιστικά δεδοµένα και είναι κατάλληλα για επικοινωνία, ερµηνεία και επεξεργασία Στατιστική είναι ο κλάδος των Μαθηµατικών που έχει ως αντικείµενο: • Το σχεδιασµό της διαδικασίας συλλογής δεδοµένων • Τη συνοπτική και αποτελεσµατική παρουσίασή τους • Την ανάλυση και εξαγωγή συµπερασµάτων Περιγραφική Στατιστική είναι ο κλάδος της Στατιστικής που ασχολείται µε τη συγκέντρωση στοιχείων, την ταξινόµησή τους, την περιγραφή και την παρουσίασή τους σε κατάλληλη µορφή, ώστε να µπορούν να αναλυθούν και να ερµηνευθούν για την εξυπηρέτηση διαφόρων σκοπών.
  3. 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 3 Παράδειγµα (3) Το φύλο ενός ατόµου (µε τιµές αγόρι ή κορίτσι) Ο αριθµός των παιδιών σε µια οικογένεια (µε τιµές 0, 1, 2, 3, 4...) Οι τιµές της θερµοκρασίας στην Αθήνα (µε τιµές -10,....,45) Τιµές της µεταβλητής Χ λέγονται όλες οι τιµές που µπορεί να πάρει µια µεταβλητή Χ, και συµβολίζονται µε χ1, χ2, χ3...χκ. Οι τιµές µιας µεταβλητής δεν είναι, αναγκαία, αριθµητικές τιµές. Έτσι, διακρίνονται σε: 1. Ποιοτικές µεταβλητές: είναι εκείνες των οποίων οι τιµές δεν µπορούν να µετρηθούν (δεν είναι αριθµοί) Παράδειγµα Η κατάσταση της υγείας των κατοίκων µιας πόλης µε τιµές «πολύ καλή», «καλή», «µέτρια» και «κακή». 2. Ποσοτικές µεταβλητές: είναι εκείνες, των οποίων οι τιµές µπορούν να µετρηθούν (είναι αριθµοί) Παράδειγµα: Η βαθµολογία των µαθητών της Γ΄ τάξης στα Μαθηµατικά Οι ποσοτικές µεταβλητές διακρίνονται σε: • ∆ιακριτές µεταβλητές στις οποίες κάθε άτοµο του πληθυσµού µπορεί να πάρει µόνο διακεκριµένες (µεµονωµένες) τιµές. Για παράδειγµα «ο αριθµός των παιδιών που έχει µια οικογένεια» • Συνεχείς µεταβλητές στις οποίες κάθε άτοµο του πληθυσµού µπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγµατική τιµή που ανήκει σε διάστηµα πραγµατικών αριθµών Για παράδειγµα «το ύψος των µαθητών της Γ΄ τάξης».
  4. 4. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 4 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ∆Ε∆ΟΜΕΝΩΝ Ορισµός Οι πίνακες διακρίνονται σε 1. Γενικούς πίνακες, οι οποίοι περιέχουν κάθε πληροφορία που µας έχει δώσει µια µεγάλη στατιστική έρευνα, είναι µεγάλου µεγέθους, περιλαµβάνουν πολλά λεπτοµερειακά στοιχεία και αποτελούν πηγές στατιστικών πληροφοριών. 2. Ειδικούς πίνακες, οι οποίοι είναι συνοπτικοί και σαφείς. Τα στοιχεία τους προέρχονται συνήθως από τους γενικούς πίνακες. Κάθε πίνακας που έχει κατασκευαστεί σωστά, πρέπει να περιέχει • Τον τίτλο, που γράφεται στο πάνω µέρος του πίνακα και πρέπει µε σαφήνεια να δηλώνει το περιεχόµενο του πίνακα και να είναι περιληπτικός. • Τις επικεφαλίδες των στηλών και των γραµµών, που δείχνουν συνοπτικά τη φύση και τη µονάδα µέτρησης των δεδοµένων µας. • Την πηγή, που γράφεται στο κάτω µέρος του πίνακα και δείχνει την προέλευση των στατιστικών δεδοµένων µας. • Το κύριο σώµα , που περιέχει διαχωρισµένα µέσα στις γραµµές και στις στήλες τα στατιστικά δεδοµένα. Συχνότητα Παρατηρήσεων Θεωρούµε τη µεταβλητή Χ µε τιµές 1 2 3 kx ,x ,x ,...,x που αφορούν τα άτοµα (στοιχεία) ενός δείγµατος µεγέθους ν, µε κ ≤ ν. Ονοµάζουµε: • Συχνότητα (απόλυτη) της τιµής χi της µεταβλητής Χ, τον αριθµό νi, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή χi της µεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Ισχύει: 0 ι≤ ν ≤ ν και 1 2 3 k...ν + ν + ν + + ν = ν . • Σχετική συχνότητα της τιµής χi της µεταβλητής Χ, τον αριθµό fi που είναι ίσος µε το πηλίκο της απόλυτης συχνότητας της τιµής χi προς το µέγεθος ν του δείγµατος. ∆ηλαδή i i v f v = Ισχύει ότι i0 f 1≤ ≤ και ότι 1 2 3 kf f f ... f 1+ + + + = διότι 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 k v v v ...v v v v v v v v v ...v v f f f ... f 1 .... 1 v v v v v v v v κ κ κ+ + + + + + + + + + = = = = + + + + = = = . • Σχετική συχνότητα επί τις 100 είναι το γινόµενο 100 fi . Συµβολίζεται µε fi % = 100⋅fi • Όταν έχουµε ποσοτικές µεταβλητές, εκτός των συχνοτήτων, χρησιµοποιούµε και τις αθροιστικές συχνότητες. Αθροιστική συχνότητα Νi µιας τιµής xi λέγεται το άθροισµα των συχνοτήτων νi των τιµών που είναι µικρότερες ή ίσες µε την τιµή αυτή, δηλαδή: i 1 2 iN v ..= + ν + + ν • Όταν έχουµε ποσοτικές µεταβλητές, εκτός των σχετικών συχνοτήτων, χρησιµοποιούµε και τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες. Αθροιστική σχετική συχνότητα Fi µιας τιµής xi λέγεται το άθροισµα των σχετικών συχνοτήτων fi των τιµών που είναι µικρότερες ή ίσες µε την τιµή αυτή, δηλαδή: i 1 2 iF f f .. f= + + + Ισχυουν οι ιδιοτητες : i i 1 i i 1i i N N N N− −= + ν ⇔ ν = − , i i 1 i i 1i i F F f f F F− −= + ⇔ = − , 1 1 N = ν , kN = ν , i i N F = ν Στατιστικοί πίνακες είναι ο τρόπος µε τον οποίο παρουσιάζουµε τα στατιστικά δεδοµένα µετά τη συλλογή τους, ώστε να είναι εύκολη η κατανόησή τους και η εξαγωγή σωστών συµπερασµάτων
  5. 5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 5 Παράδειγµα (4) Από τους µαθητές µιας τάξης πήραµε 30 και τους εξετάζουµε ως προς τον χαρακτηρισµό του βαθµού τους : µέτριο (Μ) , καλά (Κ) , πολύ καλά(Π), άριστα (Α). Προέκυψαν τα παρακάτω αποτελέσµατα: Κ Μ Μ Κ Κ Π Κ Α Μ Κ Μ Κ Π Μ Μ Μ Π Κ Κ Α Μ Π Α Κ Κ Μ Α Π Μ Π α) Να βρεθεί το µέγεθος ν του δείγµατος . β) Να βρεθεί η συχνότητα εµφάνισης του κάθε χαρακτηρισµού. γ) Να βρεθεί η σχετική συχνότητα εµφάνισης του κάθε χαρακτηρισµού. Λύση α) Το µέγεθος του δείγµατος εκφράζεται από τους 30 µαθητές , άρα ν=30. β)Το χαρακτηρισµό (Μ) έχουν 10 µαθητές , άρα η συχνότητα εµφάνισης νi του χαρακτηρισµού (Μ) είναι ίση µε 10 , δηλαδή ν1 =10. Αντίστοιχα ο χαρακτηρισµός (Κ) έχει συχνότητα ν2=10 , ο χαρακτηρισµός (Π) έχει συχνότητα ν3 =6 και ο χαρακτηρισµός (Α) έχει συχνότητα ν4= 4 γ) Η σχετική συχνότητα εµφάνισης του χαρακτηρισµού (Μ) στο δείγµα , είναι: 1 1 v 10 f 0.333 33,3% v 30 = = = = Αντίστοιχα η σχετική συχνότητα του χαρακτηρισµού (Κ) είναι: 2 2 v 10 f 0.333 33,3% v 30 = = = = του χαρακτηρισµού (Π) είναι: 3 3 v 6 f 0.2 20% v 30 = = = = και του χαρακτηρισµού (Α) είναι: 4 4 v 4 f 0.133 13.3% v 30 = = = = Οι πληροφορίες που αφορούν τις συχνότητες και τις σχετικές συχνότητες µπορούν να παρασταθούν σε ένα πίνακα που λέγεται πίνακας συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Η απεικόνιση των πληροφοριών αυτών αποτελεί µια κατανοµή συχνοτήτων ( σχετικών συχνοτήτων). Χαρακτηρισµός Συχνότητες Σχετικές συχνότητες if Σχετικές συχνότητες if % (Μ) µέτρια 10 0,333 33,3 ο /ο (Κ) Καλά 10 0,333 33,3 ο /ο (Π) Πολύ καλά 6 0,2 20 ο /ο (Α) Άριστα 4 0,133 13,3 ο /ο Σύνολο 30 1 100 ο /ο
  6. 6. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 6 Παράδειγµα (5) Οι εβδοµαδιαίες αποδοχές σε ευρω ενός δείγµατος µεγέθους 24, από τους εργάτες ενός εργοστασίου, είναι 200 175 160 175 180 190 170 160 160 175 190 190 180 200 170 200 190 200 160 175 190 170 160 170 Σε έναν πίνακα να παρουσιαστούν οι συχνότητες, οι σχετικές συχνότητες, οι αθροιστικές συχνότητες και οι σχετικές αθροιστικές συχνότητες. Λύση Μισθός σε € ix Συχνότητες iν Σχετικές συχνότητες if Αθροιστικές Συχνότητες iΝ Σχετικές Αθροιστικές Συχνότητες iF % 160 5 20,83 5 20,83 170 4 16,66 9 37.49 175 4 16,66 13 54,15 180 2 8.3 15 62.45 190 5 20,83 20 83,28 200 4 16,66 24 100.00 Σύνολο 24 100 Σηµείωση Για την κατασκευή του πίνακα που περιέχει τις αθροιστικές συχνότητες, είναι απαραίτητο οι τιµές της µεταβλητής να έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά:(160, 170, 175, 180,...) Παράδειγµα (6) Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανοµή συχνοτήτων 40 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους Αριθµος Παιδιων ix Αριθµος οικογενειων iv 0 8 1 11 2 9 3 6 4 3 5 2 6 1 Να βρείτε το ποσοστό και το πλήθος των οικογενειών που έχουν α)πάνω από τρία παιδιά β)από 3 έως και 5 παιδιά γ)το πολύ 6 παιδιά δ) ακριβώς 2 παιδιά ε) τουλάχιστον 1 παιδί στ) λιγότερα από 3 ή περισσότερα από 5 Λύση α)Πάνω από 3 παιδιά έχουν 3+2+1=6 οικογένειες , ποσοστό 6 0.15% 15% 40 = = . β)Από 3 έως και 5 παιδιά 6+3+2=11 οικογένειες , ποσοστό 11 0.275% 27.5% 40 = = . γ)το πολύ 6 παιδιά έχουν 40 οικογένειες ,ποσοστό 40 1 100% 40 = = . δ)ακριβώς 2 παιδιά έχουν 9 οικογένειες , ποσοστό 9 0.225 22.5% 40 = = .
  7. 7. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 7 ε)τουλάχιστον 1 παιδί έχουν 32 οικογένειες (11+9+6+3+2+1) , ποσοστό 32 0.80 80% 40 = = . στ) λιγότερα από 3 ή περισσότερα από 5 έχουν 28+1=29οικογένειες , ποσοστό 29 0.725 72.5% 40 = = . ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ Τα στατιστικά δεδοµένα παρουσιάζονται και µε τη µορφή γραφικών παραστάσεων ή διαγραµµάτων. Η χρησιµότητα των διαγραµµάτων είναι µεγάλη διότι παρέχουν πιο σαφή εικόνα ενός φαινοµένου σε σχέση µε τους πίνακες, προκαλούν την προσοχή µας, διατηρούνται σχετικά εύκολα στη µνήµη µας. Σε ένα διάγραµµα κατανοµής συχνοτήτων, στον οριζόντιο άξονα τοποθετούµε τις τιµές της µεταβλητής χι , ενώ στον κατακόρυφο άξονα τοποθετούµε τις αντίστοιχες συχνότητες. Τα κυριότερα είδη στατιστικών διαγραµµάτων είναι: 1. Ραβδόγραµµα Χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιµών µιας ποιοτικής µεταβλητής. Αποτελείται από ορθογώνιες στήλες ίσου πλάτους που οι βάσεις τους βρίσκονται πάνω στον οριζόντιο άξονα (οριζόντιο ραβδόγραµµα) ή στον κατακόρυφο άξονα (κατακόρυφο ραβδόγραµµα). Το ύψος των ορθογώνιων στηλών είναι ίσο µε τη συχνότητα ή τη σχετική συχνότητα της µεταβλητής στην οποία αντιστοιχεί η ορθογώνια στήλη. Η απόσταση µεταξύ των ορθογώνιων στηλών καθορίζεται αυθόρµητα. 2. ∆ιάγραµµα συχνοτήτων Χρησιµοποιείται αντί του ραβδογράµµατος, όταν έχουµε ποσοτική µεταβλητή. Το διάγραµµα συχνοτήτων αποτελείται από κάθετες γραµµές που υψώνεται σε κάθε χi . Τα χi έχουν τοποθετηθεί από το µικρότερο στο µεγαλύτερο, δηλαδή χ1 < χ2 < χ3 <..... <χκ που έχουν ύψος ίσο µε την αντίστοιχη συχνότητα. 3. Κυκλικό διάγραµµα Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται τόσο για ποιοτικές όσο και για ποσοτικές µεταβλητές. Είναι εύχρηστο όταν οι διαφορετικές τιµές της µεταβλητής είναι σχετικά λίγες. Το κυκλικό διάγραµµα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισµένος σε κυκλικούς τοµείς, που ο καθένας αντιστοιχεί σε τιµές χi της µεταβλητής. Το µήκος των τόξων των κυκλικών τοµέων (ή τα εµβαδά τους) είναι ανάλογα µε τις συχνότητες νi ή τις σχετικές συχνότητες fi των τιµών χi της µεταβλητής. Αν υποθέσουµε αi το µήκος του τόξου του κυκλικού τοµέα που αντιστοιχεί στην τιµή χi , τότε: αi = i i f v v ⋅=⋅ 00 360360 4. Εικονόγραµµα Χρησιµοποιείται, συνήθως, στη µελέτη µεγάλων δειγµάτων
  8. 8. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 8 5. Σηµειόγραµµα Εάν έχουµε λίγες παρατηρήσεις, η κατανοµή τους µπορεί να περιγραφεί µε το σηµειόγραµµα, στο οποίο οι τιµές παριστάνονται γραφικά σαν σηµεία πάνω από έναν οριζόντιο άξονα. 6. Χρονόγραµµα Το χρονόγραµµα ή χρονολογικό διάγραµµα χρησιµοποιείται για την παρουσίαση της διαχρονικής εξέλιξης ενός µεγέθους (συνήθως οικονοµικού). Ο οριζόντιος άξονας χρησιµοποιείται ως άξονας χρόνου και ο κατακόρυφος ως άξονας των τιµών της εξεταζόµενης µεταβλητής. Παραδειγµα (7).Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας iχ iv if iN iF if % iF % 1 8 0.4 2 10 3 5 0.25 15 4 18 5 10 Σύνολο 100 Λύση 1 1 8= =N v , 2 2 1 10 8 2= − = − =v N N , 3 3 3 3 5 20 0.25 = ⋅ ⇔ = ⇔ = = f v v f v v v 2 2 2 2 0.1 20 = ⇔ = = v f f v , 4 4 3 18 15 3= − = − =v N N , 5 1 2 3 4( ) 2= − + + + =v v v v vν 4 4 4 3 0.15 20 = ⇔ = = v f f v , 5 5 5 2 0.1 20 = ⇔ = = v f f v 5 20= =N v .Η συµπλήρωση των στηλών iF , if %, iF % γίνεται πλέον εύκολα. iχ iv if iN iF if % iF % 1 8 0.4 8 0.4 40 40 2 2 0.1 10 0.5 10 50 3 5 0.25 15 0.75 25 75 4 3 0.15 18 0.90 15 90 5 2 0.1 20 1 10 100 Σύνολο 20 100
  9. 9. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 9 Παράδειγµα (8) Στον παρακάτω πίνακα, δίνεται ο αριθµός των 400 υπαλλήλων ενός Υπουργείου που έχουν συγκεκριµένο χρόνο υπηρεσίας: Έτη υπηρεσίας Αρ. υπαλλήλων 5 100 6 80 7 130 8 30 9 40 10 20 α) Να συµπληρωθεί ο πίνακας, µε τις σχετικές συχνότητες. β) Να παρασταθούν µε όλους τους δυνατούς τρόπους, η κατανοµή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. Λύση α) Ο πίνακας µε τις σχετικές συχνότητες, γίνεται: Έτη υπηρεσίας ix Αριθµός υπαλλήλων iν Σχετικές συχνότητες if Σχετικές Αθροιστικές Συχνότητες if % 5 100 0,25 25 6 80 0,2 20 7 130 0,325 32,5 8 30 0,075 7,5 9 40 0,10 10 10 20 0,05 5 Σύνολο 400 1 100 β) Γραφική παράσταση κατανοµής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων Γραφική παράσταση Γραφική παράσταση κατανοµής συχνοτήτων κατανοµής σχετικών συχνοτήτων
  10. 10. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 10 Ραβδόγραµµα κατανοµής Ραβδόγραµµα κατανοµής συχνοτήτων (κατακόρυφο) σχετικών συχνοτήτων (κατακόρυφο) Ραβδόγραµµα κατανοµής Ραβδόγραµµα κατανοµής συχνοτήτων (οριζόντιο) σχετικών συχνοτήτων (οριζόντιο) Κυκλικό διάγραµµα Στην τιµή "5 χρόνια υπηρεσίας" αντιστοιχεί κυκλικός τοµέας: 0 2 360f ⋅ =25% .360° =90°. Στην τιµή "6 χρόνια υπηρεσίας" αντιστοιχεί κυκλικός τοµέας: 0 2 360f ⋅ 3=20% .360° =72°. Στην τιµή "7 χρόνια υπηρεσίας" αντιστοιχεί κυκλικός τοµέας: 0 3 360f ⋅ =32, 5% .360° =117°. Στην τιµή "8 χρόνια υπηρεσίας" αντιστοιχεί κυκλικός τοµέας: 0 4 360f ⋅ = 7, 5% .360° =27°. Στην τιµή "9 χρόνια υπηρεσίας" αντιστοιχεί κυκλικός τοµέας: 0 5 360f ⋅ = 10% .360° =36°. Στην τιµή "10 χρόνια υπηρεσίας" αντιστοιχεί κυκλικός τοµέας: 0 6 360f ⋅ = 5% .360° =18°.
  11. 11. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 11 Παραδειγµα (9) Σε κυκλικό διάγραµµα παρουσιάζονται οι προτιµήσεις των ψηφοφόρων του ∆ήµου Αγρινίου ως εξής : Η επικεντρη γωνία που αντιστοιχεί στον υποψήφιο κ. Μαυρογιαλουρο είναι 5χ+2ψ για τον υποψήφιο κ. Φαφλατα είναι 2χ+2ψ και για τον τρίτο υποψήφιο κ. Καλοχαιρετα είναι χ.Αν ισχύει χ+4ψ=108ο να υπολογίσετε τα ποσοστά των τριών υποψηφίων . Λύση Έχουµε 0 0 0 0 5 2 2 2 360 8 4 360 2 90 90 2 + + + + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − χ ψ χ ψ χ χ ψ χ ψ ψ χ Αλλά 0 90 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 108 4(90 2 ) 108 360 8 108 7 360 108 7 252 36 = − + = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ − = − + ⇔ − = − ⇔ = ψ χ χ ψ χ χ χ χ χ χ χ 0 0 0 0 0 0 90 2 90 2 36 90 72 18= − ⇔ = − ⋅ ⇔ = − ⇔ =ψ χ ψ ψ ψ Άρα ο υποψήφιος κ.Μαυρογιαλούρος έχει επικεντρη γωνία 0 0 0 5 36 2 18 216⋅ + ⋅ = . Ο υποψήφιος κ. Φαφλατάς έχει επικεντρη γωνία 0 0 0 2 36 2 18 108⋅ + ⋅ = . Ο υποψήφιος κ.Καλοχαιρέτας έχει επικεντρη γωνία 0 36 . Το ποσοστό του κ.Μαυρογιαλουρου είναι : 0 0 0 1 1 0 216 216 360 0.60 60% 360 = ⋅ ⇔ = = =f f Το ποσοστό του κ. Φαφλατά είναι : 0 0 0 2 2 0 108 108 360 0.30 30% 360 = ⋅ ⇔ = = =f f Το ποσοστό του κ. Καλοχαιρέτα είναι : 0 0 0 3 3 0 36 36 360 0.10 10% 360 = ⋅ ⇔ = = =f f Παραδειγµα (10) Η βαθµολογία µιας οµάδας µαθητών σε ένα τεστ είναι 4,5,6,7,8.Το 80% έχει βαθµό τουλάχιστον 5 , οι µαθητές που έχουν βαθµό 4 είναι διπλάσιοι αυτών που έχουν 8, είκοσι ένας µαθητές έχουν βαθµό κάτω από 6 , το 55% έχει βαθµό 6 η 7 .Να κάνετε τον πινακα κατανοµής συχνοτήτων iv , iN , if %, iF % . Λύση Έχουµε το 80% των µαθητών έχει βαθµό τουλάχιστον 5 άρα το 20% των µαθητών έχει βαθµό 4 οπότε 1% 20F = 1% 20=f ,οι µαθητές µε βαθµό 4 είναι διπλάσιοι αυτών που έχουν 8 άρα 1 52v v= οπότε 1 5% 2 %f f= άρα 5 20 % 10 2 = =f 5 % 10=f . 2 21N = , 5 % 10f = 3 4% % 55f f+ = οπότε 1 2% % 100 55 10 35+ = − − =f f άρα 2 % 35=F άρα 2 21 21 % 35% 21 60 0.35 = ⇔ ⋅ = ⇔ = ⇔ =F ν ν ν ν .Οπότε 1 1 20 % 60 12 100 = = =fν ν 1 5 12 6 2 2 = = = ν ν και 1 1 12Ν = =ν , 2 21Ν = οπότε 2 2 1 21 12 9= Ν − = − =ν ν 4 24 6 18= − =ν οπότε 3 1 2 4 5( ) 60 (12 9 18 6) 15= − + + + = − + + + =ν ν ν ν ν ν .
  12. 12. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 12 ΟΜΑ∆ΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν έχουµε διακριτή µεταβλητή και το πλήθος των παρατηρήσεων είναι µεγάλο, αλλά πολύ περισσότερο αν έχουµε συνεχή µεταβλητή που µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή στο διάστηµα ορισµού της, ταξινοµούµε τα δεδοµένα σε µικρό πλήθος οµάδων που ονοµάζονται κλάσεις, έτσι ώστε κάθε τιµή να ανήκει σε µια µόνο κλάση. Τα άκρα των κλάσεων ονοµάζονται όρια των κλάσεων. Συνήθως χρησιµοποιούµε την περίπτωση που µια κλάση περιέχει το κάτω άκρο της αλλά όχι το άνω. ∆ηλαδή, είναι της µορφής [ , ). Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται όµοιες, οπότε µπορούν να αντιπροσωπευθούν από τις κεντρικές τιµές των κλάσεων (δηλαδή τα κέντρα κάθε κλάσης). Αν έχουµε την κλάση [ακ-1, ακ), τότε η κεντρική της τιµή είναι: χκ = 2 1 kk aa +− Αν έχουµε την κλάση [ακ-1, ακ), τότε η διαφορά: c = ακ – ακ-1 (ανώτερο όριο – κατώτερο όριο) ονοµάζεται πλάτος της κλάσης Μέθοδος οµαδοποίησης παρατηρήσεων Για την οµαδοποίηση των παρατηρήσεων ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα: 1)Βρίσκουµε τον αριθµό κ των κλάσεων που θα χρησιµοποιήσουµε. Για την επιλογή του κατάλληλου αριθµού µπορεί να χρησιµοποιηθεί ο παρακάτω πίνακας. Μέγεθος δείγµατος ν Αριθµός κλάσεων κ <20 5 20-50 6 50-100 7 100-200 8 200-400 9 400-700 10 700-1000 11 > 1000 12 2) Προσδιορίζουµε το πλάτος των κλάσεων χρησιµοποιώντας τον τύποc = k R , όπου R είναι το εύρος του δείγµατος, δηλαδή η διαφορά της µικρότερης παρατήρησης από τη µεγαλύτερη του συνολικού δείγµατος. Σηµειώνουµε ότι αν ο αριθµός c που προκύπτει από τη διαίρεση δεν είναι ακέραιος, τότε στρογγυλοποιούµε πάντα προς τα πάνω. 3) Κατασκευάζουµε τις κλάσεις. Ξεκινάµε από τη µικρότερη παρατήρηση ή για πρακτικούς λόγους λίγο πιο κάτω από τη µικρότερη παρατήρηση και προσθέτοντας κάθε φορά τον αριθµό c δηµιουργούµε τις κ κλάσεις. 4) Κάνουµε τη διαλογή των παρατηρήσεων. Ονοµάζουµε νi τη συχνότητα της κλάσης i, Xi την κεντρική τιµή της κάθε κλάσης και νi το πλήθος των παρατηρήσεων που προκύπτουν από τη διαλογή για την κλάση ί.
  13. 13. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 13 Παράδειγµα (11) Ζυγίστηκαν 30 αθλητές και τα βάρη τους (σε kg) που προέκυψαν ήταν: 55 70 69 73 72 59 54 71 67 62 60 54 63 52 80 73 74 70 63 64 65 58 53 45 56 50 48 57 60 62 Να οµαδοποιηθούν οι παραπάνω παρατηρήσεις. i) Πόσες κλάσεις θα χρησιµοποιηθούν; ii) Ποιο είναι το πλάτος κάθε κλάσης; iii) Να κατασκευαστεί πίνακας συχνοτήτων µε στήλες για τη συχνότητα, την αθροιστική συχνότητα, τη σχετική συχνότητα επί τοις εκατό, την αθροιστική σχετική συχνότητα επί τοις εκατό και την κεντρική τιµή κάθε κλάσης. iv) Ποιο ποσοστό των αθλητών έχει βάρος µικρότερο από 63 kg και ποιο µεγαλύτερο ή ίσο από 63 kg; v) Ο προπονητής της οµάδας, βλέποντας τα αποτελέσµατα της µέτρησης, συµπέρανε ότι το 43,33 % των αθλητών είναι «υπέρβαροι». Πόσοι σε πλήθος είναι οι υπέρβαροι αθλητές; Λύση i) To πλήθος των παρατηρήσεων είναι 30, οπότε θα τις χωρίσουµε σε κ = 6 κλάσεις. ίί) Η µεγαλύτερη παρατήρηση είναι η 80 και η µικρότερη η 45, οπότε το πλάτος της κάθε κλάσης είναι ίσο µε R c , k 80 45 35 5 83 6 6 6 − = = = = ≈ iii) Ο ζητούµενος πίνακας είναι: Κλάσεις [ , ) Κεντρικές τιµές Xi Συχνότητα νi Αθροιστική συχνότητα Νi Σχετική συχνότητα Αθροιστική σχετική συχνότητα Fi% 45-51 48 3 3 10 10 51-57 54 6 9 20 30 57-63 60 8 17 26,67 56,67 63-69 66 5 22 16,67 73,34 69-75 72 7 29 23,33 96,67 75-81 78 1 30 3,33 100 Σύνολο 30 - 100 ίν) Παρατηρώντας τη στήλη των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων προκύπτει ότι το 56,67% των αθλητών έχει βάρος µικρότερο από 63 kg και το 43,33% µεγαλύτερο ή ίσο από 63kg. ν) Παρατηρούµε ότι το 43,33% αντιστοιχεί στις τρεις τελευταίες κλάσεις. Άρα το πλήθος των υπέρβαρων αθλητών είναι ίσο µε 5+ 7 + 1=13.
  14. 14. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 14 Παραδειγµα ( 12 ) ∆ίνεται ο επόµενος πίνακας των οµαδοποιηµένων παρατηρήσεων της µεταβλητής χ .Μηνιαία αµοιβή υπαλλήλων µιας επιχείρησης σε ευρώ Αµοιβή υπαλλήλων Συχνότητα 1000-1100 7 1100-1200 10 1200-1300 11 1300-1400 14 1400-1500 16 1500-1600 6 1600-1700 3 1700-1800 1 Σύνολο 68 i) Ποια είναι τα όρια της τρίτης κλάσης ; ii) Ποια είναι η κεντρική τιµή της έκτης κλάσης iii) Ποια είναι η συχνότητα της πέµπτης κλάσης ; iv) Ποια είναι η σχετική συχνότητα 4 %f της τέταρτης κλάσης ; v) Πόσοι υπάλληλοι παίρνουν τουλάχιστον 1400 ευρώ ; vi) Πόσοι υπάλληλοι παίρνουν από 1150 ευρώ έως 1450 ευρώ ; vii) πόσοι υπάλληλοι παίρνουν το πολύ 1600 ευρώ αλλά τουλάχιστον 1200 ευρώ; Λύση i)Τα όρια της τρίτης κλάσης είναι : κάτω όριο 1200 ευρώ .Άνω όριο 1300 ευρώ. ii) Η κεντρική τιµή της έκτης κλάσης είναι 1500 1600 1550 2 + = ευρώ. iii) Η συχνότητα της πέµπτης κλάσης είναι 5 16v = . iv) Η σχετική συχνότητα 4 4 14 % 100 100 21% 68 = ⋅ = ⋅ = v f v . v) Τουλάχιστον 1400 ευρώ παίρνουν 16+6+3+1=26 υπάλληλοι vi) Από 1150 ευρώ έως και 1450 ευρώ παίρνουν 5+11+14+8=38 υπάλληλοι vii) Τουλάχιστον 1200 ευρώ και το πολύ 1600 ευρώ παίρνουν 11+14+16+6=47 υπαλληλοι. Σχόλια στη θεωρία 1. Το πλήθος των κλάσεων ορίζεται συνήθως από τον κάθε ερευνητή. Επειδή όµως το πλήθος των κλάσεων είναι ανάλογο του µεγέθους του δείγµατος, χρησιµοποιούµε ως οδηγό τον πίνακα που αναφέραµε. 2. Στις περισσότερες πρακτικές εφαρµογές οι κλάσεις έχουν το ίδιο πλάτος (ισοπλατείς κλάσεις), εκτός από τις περιπτώσεις που επιβάλλεται από τα δεδοµένα να έχουν άνισο πλάτος. 3. Καµία παρατήρηση δεν µπορεί να µείνει έξω από κάποια κλάση. Η µεγαλύτερη τιµή του δείγµατος θα πρέπει να ανήκει οπωσδήποτε στην τελευταία κλάση. 4. Οι κεντρικές τιµές διαφέρουν µεταξύ τους στις κλάσεις που έχουν το ίδιο πλάτος και στο πλάτος των κλάσεων. Κάθε παρατήρηση που συµπίπτει µε το άνω άκρο µιας κλάσης θα τοποθετηθεί κατά τη διαλογή στην αµέσως επόµενη κλάση.Ιστόγραµµα συχνοτήτων Η γραφική απεικόνιση ενός πίνακα συχνοτήτων µε οµαδοποιηµένα δεδοµένα, γίνεται µε το ιστόγραµµα συχνοτήτων. Στον οριζόντιο άξονα ενός ορθογωνίου συστήµατος σηµειώνουµε, µε κατάλληλη κλίµακα, τα όρια των κλάσεων. Κατόπιν δηµιουργούµε διαδοχικά ορθογώνια, τα οποία έχουν βάση ίση µε το πλάτος των κλάσεων c και ύψος τέτοιο ώστε το εµβαδόν του ορθογωνίου να ισούται µε τη συχνότητα της κλάσης αυτής. Έτσι, το ύψος κάθε ορθογωνίου πρέπει να είναι
  15. 15. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 15 αντιστρόφως ανάλογο του πλάτους της κλάσης. Στην περίπτωση που έχουµε ισοπλατείς κλάσεις, το ύψος των ορθογωνίων είναι ίσο µε την αντίστοιχη συχνότητα της κάθε κλάσης. Με παρόµοιο τρόπο κατασκευάζεται και το ιστόγραµµα σχετικών συχνοτήτων. Οµοίως, επίσης, κατασκευάζεται το ιστόγραµµα αθροιστικών συχνοτήτων και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων, ενώνοντας τα δεξιά άκρα των άνω βάσεων των ορθογωνίων. Κλάσεις ίσου πλάτους Στις κλάσεις ίσου πλάτους συνήθως θεωρούµε το πλάτος c ως µονάδα µέτρησης. Αποτέλεσµα αυτού, είναι το ύψος των ορθογωνίων στο ιστόγραµµα να είναι ίδιο µε τη συχνότητα της κλάσης και το εµβαδόν του ορθογωνίου. Αν θεωρήσουµε άλλη µονάδα µέτρησης του χαρακτηριστικού που βρίσκεται στον οριζόντιο άξονα, τότε το ύψος των ορθογωνίων είναι διαφορετικό από τη συχνότητα. Πολύγωνο συχνοτήτων Αν θεωρήσουµε δυο επιπλέον κλάσεις µε συχνότητα µηδέν, µια στην αρχή και µια στο τέλος, και ενώσουµε τα µέσα των πάνω βάσεων των ορθογωνίων, τότε σχηµατίζεται το πολύγωνο συχνοτήτων. Με παρόµοιο τρόπο κατασκευάζεται και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων, θεωρώντας στον κάθετο άξονα τις σχετικές συχνότητες. Για το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων ενώνουµε τα δεξιά άκρα των άνω βάσεων των ορθογωνίων στα αντίστοιχα ιστογράµµατα. To εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε το άθροισµα των συχνοτήτων, δηλαδή είναι ίσο µε το µέγεθος του δείγµατος ν. Ανάλογα, το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε το άθροισµα των σχετικών συχνοτήτων, δηλαδή ίσο µε 1 (ή ίσο µε 100 αν πρόκειται για σχετικές συχνότητες επί τοις εκατό). Το εµβαδόν του χωριού που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων (ή σχετικών συχνοτήτων) είναι ίσο µε το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το ιστόγραµµα των συχνοτήτων ( ή των σχετικών συχνοτήτων).
  16. 16. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 16 Παράδειγµα (13) Από τους µαθητές ενός σχολειου πήραµε δείγµα µεγέθους 150 και τους µελετήσαµε ως προς το βάρος τους .Τα αποτελέσµατα της µελέτης αυτής φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Βάρος σε kgr [ )50,55 [ )55,60 [ )60,65 [ )65,70 [ )70,75 [ )75,80 Αριθµός µαθητών 15 24 30 45 27 9 α)Να γίνει πίνακας αθροιστικών συχνοτήτων και σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. β)Να κατασκευαστεί το πολύγωνο των συχνοτήτων και των σχετικών συχνοτήτων. γ)Να κατασκευαστεί το πολύγωνο των αθροιστικών και των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. Λύση α) Ο πίνακας συµπληρωµένος µε τις σχετικές συχνότητες fi , τις αθροιστικές συχνότητες και τις σχετικές αθροιστικές συχνότητες γίνεται: Βάρος σε kgr Αριθµός µαθητών νi Σχετικές συχνότητες f i Αθροιστικές συχνότητες Ni Αθροιστική σχετική συχνότητα Fi [ )50,55 15 0.1 15 0.1 [ )55,60 24 0.16 39 0.26 [ )60,65 30 0.2 69 0.46 [ )65,70 45 0.3 114 0.76 [ )70,75 27 0.18 141 0.94 [ )75,80 9 0.6 150 1 Σύνολο 150 1 β) Για να κατασκευάσουµε το πολύγωνο συχνοτήτων (ή σχετικών συχνοτήτων), κατασκευάζουµε πρώτα το αντίστοιχο ιστόγραµµα
  17. 17. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 17 γ) Το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτων και των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων κατασκευάζεται από τα αντίστοιχα ιστογράµµατα Πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων Πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων Πολύγωνο συχνοτήτων
  18. 18. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 18 Παραδειγµα (14 ) ∆ίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανοµής συχνοτήτων της µεταβλητής χ. Κλάσεις Κεντρικές τιµές iχ Συχνότητα iv Σχετική συχνότητα if Αθροιστική σχετική συχνότητα iF % 1-5 20 5-9 50 9-13 85 13-17 95 17-21 2 Σύνολο 1 Να συµπληρωθεί ο πίνακας Λύση Κεντρικές τιµές 1 5 6 3 2 2 + = = , 5 9 14 7 2 2 + = = , 9 13 22 11 2 2 + = = , 13 17 30 15 2 2 + = = , 17 21 38 19 2 2 + = = 1 1 1 20 % 100 0.20 100 = ⋅ ⇔ = =F F F οπότε 1 1f F= . 2 2 2 50 % 100 0.50 100 = ⋅ ⇔ = =F F F οπότε 1 2 2 20.50 0.50 0.20 0.30+ = ⇔ = − ⇔ =f f f f 3 3 3 85 % 100 0.85 100 = ⋅ ⇔ = =F F F οπότε 1 2 3 30.85 0.85 (0.20 0.30) 0.35+ + = ⇔ = − + =f f f f Οµοίως βρίσκουµε 4 0.1f = και 5 0.05f = 5 5 5 2 40 0.05 = ⇔ = ⇔ = ⇔ = v f f v v v v v 4 4 4 4 4 440 0.1 4= ⇔ = ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ = v f v f v v v v οµοίως βρίσκουµε και τις υπόλοιπες . Παραδειγµα (15) Οι χρόνοι τους οποίους έκαναν µια οµάδα φοιτητών για να λύσουν µια άσκηση είναι από 10 έως 20 sec χωρισµένοι σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους . Ισχύουν i) Το πολύγωνο συχνοτήτων του δείγµατος των φοιτητών µε µεταβλητή το χρόνο λύσης της άσκησης έχει εµβαδό 40. ii) Το ύψου του ορθογωνίου στο διάγραµµα σχετικών συχνοτήτων που αντιστοιχεί στην κλάση µε κεντρική τιµή το 19 είναι 0.1 iii) Η γωνία του κυκλικού τοµέα στο κυκλικό διάγραµµα που αντιστοιχεί στην κλάση[ )14,16 είναι 72ο . iv) Οι φοιτητές που έκαναν από 16 έως 18 sec είναι διπλάσιοι από τους φοιτητές που έκαναν χρόνο από 10 έως 12 sec v) Εικοσιτεσσερεις φοιτητές έκαναν χρόνο κάτω από 16 sec . τότε να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων iv , iN , if , , if %, iF % . Λύση Το εύρος του δείγµατος είναι 20 10 10= − =R Το πλάτος κάθε κλάσης είναι 10 2 5 = . Επειδή το πολύγωνο συχνοτήτων έχει εµβαδό 40 τότε το µέγεθος του δείγµατος είναι ν=40. Οι κλάσεις είναι [ ) [ ) [ ) [ ) [ )10,12 , 12,14 , 14,16 , 16,18 , 18,20
  19. 19. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 19 έχουµε: 5 5 5 5 50.1 0.1 0.1 40 0.1 4= ⇔ = ⇔ = ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ =f ν ν ν ν ν ν 0 03 3 3 3 0 3 40 72 72 360 72 360 72 40 360 8 ⋅ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ο ο ο ον ν α ν ν ν έχουµε : 4 12=ν ν , 3 1 2 324 24Ν = ⇔ + + =ν ν ν . Ακόµη 1 2 3 4 5 4 5 4 5 4 4 40 24 40 40 24 40 24 4 12 + + + + = ⇔ + + = ⇔ = − − ⇔ = − − ⇔ = ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν οπότε 4 1 1 12 6 2 2 = = ⇔ = ν ν ν .Ακόµη 2 1 324 24 6 8 10= − − = − − =ν ν ν . Κλάσης ix iv iΝ if if % iF % [ )10,12 11 6 6 0.15 15 15 [ )12,14 13 10 16 0.25 25 40 [ )14,16 15 8 24 0.20 20 60 [ )16,18 17 12 36 0.30 30 90 [ )18,20 19 4 40 0.10 10 40 1 100 Παράδειγµα (16) ∆ίνεται το ιστόγραµµα συχνοτήτων και το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών % συχνοτήτων της ιδιας µεταβλητής που αναφέρεται στους βαθµούς 50 φοιτητών στο µάθηµα της Ανάλυσης και από το οποίο λείπουν κάποια ορθογώνια. i) Να συµπληρωθούν τα ορθογώνια των ιστογραµµάτων. ii) Να κατασκευαστεί το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών % συχνοτήτων iii) πόσοι φοιτητές πέρασαν το µάθηµα (βάση το 5); Λύση
  20. 20. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 20 i)Από τα ιστογράµµατα έχουµε : 1 3 45, 20, 5= = =v v v , 1% 10%=F , 2 % 30%=F , 5 % 100%=F , 1 1 1 % 10 0.10 100 100 = = = = F f F 2 2 % 30 0.30 100 100 = = = F F 1 1 1 1 5 50 0.10 = ⇔ = ⇔ = = v v f v v v f , 1 2 2 2 2 1 2 0.30 0.10 0.20+ = ⇔ = − ⇔ = − =f f F f F f f 2 2 2 2 2 2 1 2 250( ) 50(0.30 0.10) 10= ⇔ = ⋅ ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = v f v v f v F F v v v 3 3 3 20 0.40 50 = ⇔ = = v f f v οπότε 3 1 2 2 0.10 0.20 0.40 0.70= + + = + + =F f f f άρα 3 % 0.70 100 70%= ⋅ =F 4 4 4 5 0.10 50 = ⇔ = = v f f v 4 3 4 0.70 0.10 0.80= + = + =F F f 4 4% 100 0.80 100 80%= ⋅ = ⋅ =F F 5 1 2 3 4( ) 50 (5 10 20 5) 10= − + + + = − + + + =v v v v v v 5 5 5 10 0.20 50 = ⇔ = = v f f v οπότε 5 4 5 0.80 0.20 1= + = + =F F f άρα 5 % 100%=F . ii) iii)Το µάθηµα το πέρασαν 10 +5+10=25 φοιτητές
  21. 21. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 21 Παραδειγµα (17) ∆ίνεται το παρακάτω ιστόγραµµα αθρ. σχετικών συχνοτήτων Να υπολογισθεί i) H σχετική συχνότητα της κλάσης [ )162,168 όταν το 25% των παρατηρήσεων έχει τιµή µικρότερη από 168. ii) Η σχετική συχνότητα της κλάσης [ )168,174 όταν το 35% των παρατηρήσεων έχει τιµή µέχρι και 170, Λύση 1 1 0.05= =f F 2 0.25=F οπότε 2 1 2 2 2 1 2 20.25 0.05 0.20= + ⇔ = − ⇔ = − ⇔ =F f f f F f f f Τα σηµεία Α(168,0.25) και Β(170,0.35) ορίζουν ευθεία πολυγώνου συχνοτήτων που διέρχεται από το (174, 3F ) . Έστω = +y ax β η ευθεία τότε έχουµε : 0.25 168 0.35 170 = ⋅ + = ⋅ + a a β β Λύνω το σύστηµα οπού και έχω: 0.05 8.15 = = − a β Η ευθεία είναι 0.05 8.15= −y x διέρχεται και από το (174, 3F ) οπότε 3 30.05 174 8.15 0.55= ⋅ − ⇔ =F F οπότε 3 1 2 3 3 30.55 (0.05 0.20) 0.30= + + ⇔ = − + ⇔ =F f f f f f Γενικά, για την καλύτερη κατανόηση των στατιστικών δεδοµένων, χρησιµοποιούµε: • Για ποιοτικές µεταβλητές 1. Ραβδογράµµατα απόλυτης συχνότητας ή σχετικής συχνότητας 2. Κυκλικά διαγράµµατα 3. Σηµειογράµµατα • Για ποσοτικές µεταβλητές 1. ∆ιαγράµµατα απόλυτης συχνότητας ή σχετικής συχνότητας
  22. 22. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 22 2. Πολύγωνα απόλυτης συχνότητας ή σχετικής συχνότητας 3. Κυκλικά διαγράµµατα 4. Χρονογράµµατα 5. Σηµειογράµµατα 6. Ιστογράµµατα και πολύγωνα συχνοτήτων απόλυτης συχνότητας ή σχετικής συχνότητας ή αθροιστικής συχνότητας ή αθροιστικής σχετικής συχνότητας Παραδειγµα (18) Στο παρακάτω κυκλικό διάγραµµα φαίνεται το ποσοστό των µαθητών που έρχεται στο σχολείο µε το συγκεκριµένο µεταφορικό µέσο. Αν το δείγµα αφορά 720 µαθητές, να βρεθεί: i. Αν το χαρακτηριστικό που µελετάµε αποτελεί ποιοτική ή ποσοτική µεταβλητή ii. Οι συχνότητες εµφάνισης του κάθε µεταφορικού µέσου Λύση i. Ο τρόπος µεταβίβασης στο σχολείο αποτελεί ποιοτική µεταβλητή ii. Είναι γνωστό ότι οι συχνότητες vi και οι σχετικές συχνότητες fi συνδέονται µε τη σχέση 100%= ⋅i i v f v , όπου ν το πλήθος των στοιχείων του δείγµατος. Με αυτοκίνητο µετακινούνται ν1 µαθητές, για τους οποίους ισχύει 1 1 1 1 25 100% 720 180 100 100 = ⋅ ⇔ = ⋅ = ⋅ = v f f v v v µαθητές. Με µοτοσυκλέτα µετακινούνται ν2 µαθητές, για τους οποίους ισχύει 2 2 2 2 15 100% 720 108 100 100 = ⋅ ⇔ = ⋅ = ⋅ = v f f v v v µαθητές. Με ποδήλατο µετακινούνται ν3 µαθητές, για τους οποίους ισχύει 3 3 3 3 30 100% 720 216 100 100 = ⋅ ⇔ = ⋅ = ⋅ = v f f v v v µαθητές. Πεζοί µετακινούνται ν4 µαθητές, για τους οποίους ισχύει: 4 1 2 3= − − −v v v v v =720-180-108-216=216 µαθητές. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ερωτήσεις τύπου «Σωστού –Λάθους» 1. Το χρώµα των µατιών είναι ποιοτική µεταβλητή 2. Ο αριθµός των µαθητών της Α΄ τάξης του 1ου Λυκείου αγρινιου είναι ποσοτική συνεχής µεταβλητή 3. Η χρονική διάρκεια ενός τηλεφωνήµατος είναι ποσοτική διακριτή µεταβλητή 4. Αν επιθυµούµε να µετρήσουµε το βάρος των µαθητών της Γ΄ τάξης ενός Λυκείου, τότε ο πληθυσµός είναι όλοι οι µαθητές του Λυκείου 5. Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουµε έναν πληθυσµό λέγονται µεταβλητές 6. Οι ποιοτικές µεταβλητές διακρίνονται σε συνεχείς και διακριτές 7. Η µη αντιπροσωπευτικότητα του δείγµατος είναι ένα µειονέκτηµα της συλλογής των δεδοµένων µε απογραφή 8. Αν εξετάσουµε 2.400.000 άτοµα θα πάρουµε καλύτερες και πιο ακριβείς πληροφορίες από το να εξετάσουµε 50.000 άτοµα 9. Οι στατιστικοί πίνακες διακρίνονται σε γενικούς και ειδικούς 10. Η σχετική συχνότητα παίρνει τιµές από 0 ως 1 11. Η συχνότητα είναι πάντα µικρότερη του 100 30% 25% 15% 30% αυτοκινητοπεζοι ποδήλατο µοτοσικλέτα
  23. 23. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 23 12. Το άθροισµα των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων Fi% ισούται µε 100 13. Αν γνωρίζουµε την νκ και την Νκ+1 , µπορούµε να υπολογίσουµε την αθροιστική συχνότητα Νκ 14. Η αθροιστική συχνότητα Νκ είναι πάντα µεγαλύτερη ή ίση από τη συχνότητα νκ 15. Για τις ποιοτικές µεταβλητές, χρησιµοποιείται το ραβδόγραµµα 16. Το διάγραµµα συχνοτήτων χρησιµοποιείται για τις ποιοτικές µεταβλητές 17. Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση ποιοτικών αλλά και ποσοτικών δεδοµένων, όταν οι διαφορετικές τιµές της µεταβλητής είναι σχετικά λίγες. 18. Το άθροισµα όλων των συχνοτήτων µιας κατανοµής είναι ίσο µε 1, δηλ ν1 + ν2 + ν3 + ... + νκ = 1 19. Η συχνότητα της τιµής χi µιας µεταβλητής Χ, είναι αρνητικός αριθµός. 20. Οι αθροιστικές συχνότητες Νi και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες Fi µιας κατανοµής, χρησιµοποιούνται στην περίπτωση των ποιοτικών µεταβλητών. 21. Οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες Fi µιας κατανοµής, εκφράζουν το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι µικρότερες ή ίσες της τιµής χi 22. Οι τιµές κάθε οµάδας µπορούν να αντιπροσωπευθούν από το κέντρο της οµάδας. 23. Οι οµάδες ενός δείγµατος έχουν όλες το ίδιο πλάτος. 24. Το ιστόγραµµα συχνοτήτων χρησιµοποιείται µόνο στην περίπτωση των οµαδοποιηµένων παρατηρήσεων Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1.Από τις παρακάτω µεταβλητές διακριτή ποσοτική είναι: • Η χρονική διάρκεια ενός τηλεφωνήµατος. • Ο αριθµός τερµάτων που σηµείωσε η ΑΕΚ το έτος 2013. • Η οικονοµική κατάσταση της χώρας. • Η ταχύτητα µε την όποία κινείται ένα αυτοκίνητο. • Τίποτα από τα προηγούµενα. 2.Από τις παρακάτω µεταβλητές ποιοτική µεταβλητή είναι: • Το ύψος των ανθρώπων. • Ο µισθός των δηµοσίων υπαλλήλων. • Ο βαθµός στο εθνικό απολυτήριο. • Η επιλογή ενός ραδιοφωνικού σταθµού. • Τίποτα από τα προηγούµενα. 3.Μειονέκτηµα της απογραφής είναι: • Κακή επιλογή δείγµατος. • Όχι σωστός καθορισµός του µεγέθους του δείγµατος. • Κακή εκπαίδευση των απογραφέων. • Το µεγαλο πληθος των στοιχειων προς εξεταση. 4.Για να βρούµε πόσοι είναι οι φίλαθλοι του ΟΣΦΠ στην Ελλάδα, αποφασίσαµε να πάρουµε ένα δείγµα 1000 ατόµων. Ποιος είναι, κατά τη γνώµη σας. Ο καλύτερος από τους παρακάτω τρόπους για να πάρουµε το δείγµα; Είναι προτιµότερο να πάρουµε: • Κατοίκους της Θεσσαλονίκης. • Μόνο άνδρες. • Μόνο γυναίκες. • Κατοίκους του Πειραιά. • Τίποτα από τα προηγούµενα. 5.Οι συνεχείς ποσοτικές µεταβλητές µπορούν να πάρουν: • Μόνο ακέραιες τιµές. • Κάθε τιµή ενός διαστήµατος πραγµατικών τιµών. • Μόνο κλασµατικές τιµές.
  24. 24. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 24 • Μόνο τιµές µικρότερες του 100. • Τίποτα από τα προηγούµενα 6.Το βαρος 20 µαθητων είναι: • Ποιοτική µεταβλητή • Ποσοτική συνεχής µεταβλητή • Ποσοτική διακριτή µεταβλητή • Τίποτα από τα προηγούµενα 7.Με τη δειγµατοληψία εξετάζουµε: • Όλον τον πληθυσµό • Ένα υποσύνολο του πληθυσµού • Πάντοτε 100 άτοµα • Τίποτα από τα προηγούµενα 8.Μια διακριτή ποσοτική µεταβλητή δεν µπορεί να πάρει την τιµή • 1 • 2 • ,1 3α < α < 9.Αν η σχετική συχνότητα if 0.4= και το πλήθος των παρατηρήσεων είναι 200, τότε η συχνότητα νi ισούται µε • 0,5 • 5 • 10 • 80 • Τίποτα από τα προηγούµενα 10. Το άθροισµα των σχετικών συχνοτήτων είναι ίσο µε • 0 • 100 • 1 • Το άθροισµα των απόλυτων συχνοτήτων 11. Αν f είναι η σχετική συχνότητα ν το µέγεθος του δείγµατος και Fk η αθροιστική σχετική συχνότητα µιας τιµής χκ , τότε: • Fk = f1 + f2 + f3 + … + fv • Fk+1 = Fk + fk+1 • Fk = f1 + (k-1)fk • Fk = v 1 (f1 + f2 + f3 + … + fv) 12. Αν Fk%=50% και Fk+1 = 65% , τότε η fk+1% ισούται µε • 5% • 10% • 15% • 50% • Τίποτα από τα προηγούµενα 13. Αν fi % = 30%, τότε το αντίστοιχο τόξο του κυκλικού τµήµατος στο κυκλικό διάγραµµα, είναι:
  25. 25. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 25 • 72% • 90% • 60% • 108% • Τίποτα από τα προηγούµενα 14. Οι αθροιστικές συχνότητες των τιµών µιας µεταβλητής Χ είναι: Ν1 = 10, Ν2 = 40, Ν3 = 100 και Ν4 = 120. Η σχετική συχνότητα f3% της τιµής χ3 είναι: • 40% • 50% • 25% • 66,6% • Τίποτα από τα προηγούµενα. Ασκησεις Ανάπτυξης 1. Ένα Γυµνάσιο έχει 200 µαθητές, 90 αγόρια και 110 κορίτσια. Ρωτήσαµε τα αγόρια: α) ποιο είναι το βάρος τους β) τι χρώµα µάτια έχουν. Ρωτήσαµε τα κορίτσια: γ)πόσες φορές πήγαν στον κινηµατογράφο τους 5 προηγούµενους µήνες, δ) σε ποιο από τα µαθήµατα Μαθηµατικά και Φυσική είχαν µεγαλύτερο βαθµό στο προηγούµενο τρίµηνο. Τέλος, ζητήσαµε από όλα τα παιδιά να µας πουν: ε)την ηµεροµηνία γέννησής τους (χωρίς το έτος). Α. Σε κάθε µια από τις παραπάνω περιπτώσεις να αναφέρετε: τον πληθυσµό, το µέγεθος του πληθυσµού, τη µεταβλητή, το είδος της µεταβλητής . Β. Σε ποιες από τις µεταβλητές των α), β), γ), δ) και ε) µπορούµε να θεωρήσουµε το δείγµα των µαθητών του Γυµνασίου αντιπροσωπευτικό για το σύνολο του πληθυσµού της Ελλάδας; 2. Τι έχετε να παρατηρήσετε για τα παρακάτω επιλεγόµενα δείγµατα; • Για να βρούµε το κατά κεφαλή εισόδηµα των Ελλήνων, πηγαίνουµε σε ένα ιδιωτικό κολέγιο και ρωτάµε τους µαθητές για το εισόδηµα των γονιών τους. • Για να βρούµε το ποσοστό των Ελλήνων που χρησιµοποιουν το διαδικτυο, ρωταµε ανθρωπους µε ηλικια ανω των 80 ετων. • Για να βρούµε το ποσοστό τωνχορτοφαγων στην Ελλάδα, πηγαίνουµε στην κεντρικη κρεαταγορα και ρωτάµε τους κατοίκους της πόλης. • Για να βρούµε το ποσοστό των Ελλήνων που έχουν ταξιδέψει µε πλοιο, πηγαίνουµε στο λιµανι και ρωτάµε τους εκεί παρευρισκόµενους. 3. Για να βρούµε ποια αθλητικα περιοδικα έχουν τη µεγαλύτερη κυκλοφορία αποφασίσαµε να πάρουµε δείγµα 10.000 ατόµων που αγοράζουν περιδικα σε µηνιαια βαση. Ποιος είναι κατά τη γνώµη σας ο καλύτερος από τους παρακάτω τρόπους για να επιλέξουµε το δείγµα; • Επιλέγουµε δείγµα µε άνδρες αποκλειστικά • Επιλέγουµε δείγµα µε γυναίκες αποκλειστικά • Επιλέγουµε δείγµα µόνο από την Αθήνα • Επιλέγουµε δείγµα από όλη τη χώρα. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας 4. Σε καθεµιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε ποιος είναι ο πληθυσµός και ποια η µεταβλητή ή οι µεταβλητές. Κατόπιν να διακρίνετε ποιες από τις µεταβλητές είναι ποσοτικές, ποιες ποιοτικές, και από τις ποσοτικές ποιες είναι διακριτές και ποιες συνεχείς • Μας ενδιαφέρει να εξετάσουµε πόσοι Έλληνες είναι οπαδοί του Παναιτωλικου • Μας ενδιαφέρει να εξετάσουµε πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια γεννήθηκαν στο Παλιαο Φαληρο τη δεκαετία του 1990 • Μας ενδιαφέρει να εξετάσουµε πόσοι Έλληνες µπασκετµπολίστες αγωνίζονται στο εξωτερικό • Μας ενδιαφέρει να εξετάσουµε τις επιδόσεις των αθλητών του στίβου στους ολυµπιακούς αγώνες της Αθήνας 5. Εξετάζουµε τους κατοίκους µιας πόλης ως προς τις µεταβλητές
  26. 26. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 26 • Φυλο • Οικογενειακή κατάσταση • Ύψος • Εισόδηµα • Επάγγελµα • Μεταφορικό µέσο που χρησιµοποιούν στις µετακινήσεις τους • Αριθµό συγγενών Σε ποια κατηγορία µεταβλητών ανήκει κάθε µια από αυτές; 6. Έγινε µια δειγµατοληπτική έρευνα για τον αριθµό των µαθητών που βρίσκονται σε κάθε τµήµα Λυκείων της Αιτωλοακαρνανίας. Βρήκαµε ότι ο αριθµός των µαθητών σε δέκα τµήµατα διαφόρων Λυκείων ήταν: 18, 32, 31, 36, 30, 23, 11, 16, 24, 33. Να βρείτε •Ποιος είναι ο πληθυσµός. •Ποιες είναι οι µονάδες. •Ποιο είναι το δείγµα. •Ποια είναι η µεταβλητή και ποιες οι τιµές της. 7. Τα αποτελέσµατα των εκλογών σε ένα εκλογικό τµήµα δίνονται από τον παρακάτω ελλιπή πίνακα: Κόµµα χι Συχνότητα vi Σχετική συχνότητα fi Α 0,15 Β 150 0,30 Γ 0,35 ∆ Σύνολο I.Να βρείτε πόσοι εκλογείς ψήφισαν στο τµήµα αυτό. II.Να βρείτε πόσες ψήφους πήρε κάθε κόµµα σε αυτό το εκλογικό τµήµα. III.Να σχεδιάσετε το ραβδόγραµµα των σχετικών συχνοτήτων. 8. Τα 16 τµήµατα ενός σχολείου έχουν τους εξής µαθητές: 28 30 27 29 31 27 31 29 31 29 30 28 29 28 27 29 Να κατασκευάσετε τον πίνακα των σχετικών συχνοτήτων και των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. 9. Ένας µαθητής ξοδεύει το εβδοµαδιαίο χαρτζιλίκι του ως εξής: Για φαγητό το 20%, για διασκέδαση το 25%, για σχολικά είδη το 10%, για εισιτήρια το 18%, για αποταµίευση το 10% και για διάφορες άλλες ανάγκες τα υπόλοιπα. α)Να βρείτε τι ποσοστό των χρηµάτων του ξοδεύει για τις άλλες ανάγκες β)Να κάνετε ένα κυκλικό διάγραµµα που να παριστάνει τις παραπάνω πληροφορίες 10. Σε µια πόλη µετρήσαµε τη µεγαλύτερη ηµερήσια θερµοκρασία επί 30 συνεχείς ηµέρες και βρήκαµε (σε βαθµούς Κελσίου) 23 24 24 24 22 19 19 20 22 24 23 25 20 20 22 21 21 24 23 24 20 21 25 22 21 19 19 21 21 20 I. Να κατασκευάσετε τον πίνακα: • Συχνοτήτων • Αθροιστικών συχνοτήτων II. Πόσες ηµέρες η θερµοκρασία ήταν: • Μικρότερη από 210 C. • Μεγαλύτερη από 220 C. • Τουλάχιστον 220 C.
  27. 27. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 27 11. Χρησιµοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων, που δίνει την κατανοµή συχνοτήτων 50 οικογενειών ως προς τις ξένες χώρες που έχουν επισκεφτεί, να βρεθεί ο αριθµός και το ποσοστό των οικογενειών που έχουν: I. Ταξιδέψει τουλάχιστον σε µια ξένη χώρα II. Ταξιδέψει σε περισσότερες από 3 χώρες III. Ταξιδέψει από 3 ως 5 χώρες IV. Ταξιδέψει το πολύ σε 6 χώρες V. Ταξιδέψει ακριβώς σε 6 χώρες Αριθµός ξένων χωρών xi Αριθµός οικογενειών νi 0 5 1 10 2 15 3 8 4 7 5 3 6 2 12. ∆ίνεται ο πίνακας : χι vi Ni fi% 1 λ 2 3λ 3 2 4+λ 4 2 2−λ λ 40 Σύνολο Να βρεθεί η τιµή του ∈λ ℤ και στην συνέχεια να συµπληρωθεί ο πίνακας. 13.Τρια δείγµατα τα έχουµε οµαδοποιήσει σε κλάσεις ισου πλάτους όπως φαίνεται στους παρακάτω πίνακες: 14.Ρίξαµε ένα ζάρι 30 φορές και φέραµε τα αποτελέσµατα του παρακάτω πίνακα Ένδειξη ζαριού Αριθµός εµφανίσεων 1 8 2 4 3 7 4 5 5 3 6 3 Σύνολο κλάσεις xi [ ), 3 [ ), [ ), 11 [ ), Σύνολο κλάσεις xi [ )2 , [ ), [ ), [ ), 18 Σύνολο κλάσεις xi [ ), 4 [ ), [ ), [ ), 14 Σύνολο
  28. 28. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 28 i.Να συµπληρωθεί ο πίνακας µε τις σχετικές συχνότητες fi% της κάθε ένδειξης, τις αθροιστικές Νi και τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες Fi% της κάθε ένδειξης ii.Να βρείτε το πλήθος των ενδείξεων που είναι α) µικρότερες του 4 β) µεγαλύτερες ή ίσες του 5 iii.Να βρείτε το ποσοστό των ενδείξεων που είναι από 3 µέχρι 5 15.Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανοµή συχνοτήτων για τη µεταβλητή Χ: «Απασχόληση στον ελεύθερο χρόνο» των µαθητών της Α λυκείου σε ένα σχολείο. Απασχόληση χi Συχνότητα νi Υπολογιστές 6 Αθλητισµός 6 Μουσική 11 Τηλεόραση 9 Κινηµατογράφος 3 Εκδροµές 2 ∆ιάβασµα 3 16.Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τη σχετική συχνότητα fi% µε την οποία οι µαθητές µιας τάξης κάνουν απουσίες κάθε µήνα: Αριθµός απουσιών 0 1 2 3 4 5 Σχετικές συχνότητες fi% 10 20 30 15 12,5 12,5 i.Να βρείτε πόσα από τα 80 παιδιά της τάξης κάνουν το κάθε είδος απουσίας. ii.Να κατασκευάσετε ένα οριζόντιο ραβδόγραµµα συχνοτήτων. iii.Να κατασκευάσετε ένα κατακόρυφο ραβδόγραµµα σχετικών συχνοτήτων fi%. 17.Η µεταβλητή Χ παίρνει τις τιµές χ1=2, χ2=5 και χ3=7, µε αθροιστικές συχνότητες Ν1=11, Ν2=19 και Ν3=25 I.Κατασκευάστε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων II.Ποιο ποσοστό αντιστοιχεί στην τιµή χ3; 18.Σε ένα κυκλικό διάγραµµα παριστάνεται η προτίµηση 500 µαθητών ενός Λυκείου στις αγαπηµνες τους οµαδες µπασκετ. Το 30% των µαθητών είναι οπαδοί του Ολυµπιακού. Η γωνία του κυκλικού τοµέα που αντιστοιχεί στους οπαδούς του ΠΑΟ είναι 900 . Οι οπαδοί του Πανιωνιου είναι τα 3 2 των οπαδών της ΑΕΚ και διπλάσιοι από τους οπαδούς του Παναιτωλικου και από αυτούς που υποστηρίζουν κάποια άλλη οµάδα. Να µετατρέψετε το κυκλικό διάγραµµα σε ραβδόγραµµα σχετικών συχνοτήτων. 19.Το διπλανό ραβδόγραµµα δίνει το ποσοστό τηλεθέασης 200 ατόµων, οι οποίοι παρακολουθούν περισσότερο ένα από τα κανάλια Α, Β, Γ και ∆. α) Να βρεθεί το πλήθος των παραπάνω τηλεθεατών οι οποίοι παρακολουθούν το κανάλι ∆. β) Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων ( ix , iν , if , iN , %if , %iF ) γ) Να µετατραπεί το ραβδόγραµµα σε κυκλικό διάγραµµα σχετικών συχνοτήτων. α)Να βρεθεί το πλήθος των µαθητών. β)Να συµπληρωθεί ο πίνακας µε τις στήλες Νi , fi , fi% και Fi%. γ) Ποιο ποσοστό των µαθητών i) Ασχολείται µε τη µουσική ii)Ασχολείται µε την τηλεόραση και τον κινηµατογράφο. iii)∆εν ασχολείται µε το διάβασµα.
  29. 29. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 29 20.Στο παρακατω πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων φαίνεται η βαθµολογία µιας τάξης σε ένα διαγώνισµα i)Να βρείτε πόσους µαθητές έχει η τάξη ii)Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων iii)Να σχεδιάσετε το ιστόγραµµα και το πολύγωνο συχνοτήτων 21.Η µεταβλητή Χ παίρνει τις τιµές χ1=2, χ2=5 και χ3=7, µε αθροιστικές συχνότητες Ν1=11, Ν2=19 και Ν3=25. I.Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων II.Ποιο ποσοστό αντιστοιχεί στην τιµή χ3; 22.Ο παρακάτω πίνακας συχνοτήτων δηµιουργήθηκε από τα αποτελέσµατα της ρίψης ενός ζαριού 40 φορες.Να βρείτε την τιµή του λ και στην συνέχεια να συµπληρώσετε τον πινακα. Ζάρια xi Συχνότητα vi Νi 1 5 2 2λ+1 3 7 4 25 5 λ 6 2 4+λ Άθροισµα 23.∆ίνεται ο παρακάτω ελλιπής πίνακας για τις τιµές µιας ποσοτικής µεταβλητής. Να συµπληρώσετε τις τιµές που λείπουν ix iν if iN iF 2 2 4 0.3 6 Σύνολο 20
  30. 30. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 30 24.Ρωτήθηκαν ν άτοµα σχετικά µε ποιο από τα τρία δηµόσια πρόσωπα Α, Β και Γ είναι πιο δηµοφιλές και τα αποτελέσµατα δόθηκαν περιέργως στον παρακάτω πίνακα. ix iν %iF Α Β 75 80 Γ 30 Να βρεθεί το πλήθος ν των ερωτηθέντων ατόµων. 25.Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας. ix iν if iN %if %iF 1 5 2 3 0.40 Σύνολο 20 26.Ο παρακάτω πίνακας δείχνει το προσωπικό µιας επιχείρησης ανάλογα µε τα χρόνια υπηρεσίας : Χρόνια Υπηρεσίας [ )1,5 [ )5,10 [ )10,15 [ )15,20 [ )20,25 [ )25,30 [ )30,35 Υπάλληλοι 10 15 20 12 8 5 2 i) Να βρείτε την κατανοµή των σχετικών συχνοτήτων, ii)Να παραστήσετε µε ιστόγραµµα την κατανοµή των συχνοτήτων και των σχετικών συχνοτήτων. iii)Να κατασκευάσετε το πολύγωνο συχνοτήτων. 27.Εξετάζουµε ένα δείγµα µεγέθους ν ως προς µία ποσοτική µεταβλητή Χ και οµαδοποιούµε τις παρατηρήσεις του δείγµατος σε 5 ισοπλατείς κλάσεις πλάτους c, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: ∆ίνεται ότι οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες 3F και 5F είναι οι ρίζες της εξίσωσης : 2 5 8 3 , ,− + ∈ ∈x x xκ κℝ ℝ α) Να αποδείξετε κ=1 και λ=10.
  31. 31. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 31 β)Να αποδείξετε ότι 1 2 3 4% 10, % 30, % 20, % 30= = = =f f f f και 5 % 10=f . γ)Αν το 25% των παρατηρήσεων είναι µικρότερες του 16 και το 25% των παρατηρήσεων είναι µεγαλύτερες ή ισες του 24 , τότε να αποδείξετε ότι α=10 και c =4. Να συµπληρώσετε τον πίνακα. δ)Αν το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι µεγαλύτερες ή ισες του 22 είναι 800, τότε να υπολογίσετε το µέγεθος των δείγµατος .
  32. 32. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 32 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΜΕΣΑ ( ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ,∆ΙΑΜΕΣΟΣ,∆ΙΑΣΠΟΡΑ,ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ,ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) Στη Στατιστική, εκτός από τους στατιστικούς πίνακες και τα διαγράµµατα, υπάρχουν και τα στατιστικά περιγραφικά µέσα, µε τα οποία µπορούµε να περιγράψουµε µε συντοµία µια κατανοµή συχνοτήτων Με τον όρο στατιστικό περιγραφικό µέτρο εννοούµε τον αριθµό που συνοψίζει βασικά χαρακτηριστικά των παρατηρήσεων του συνόλου των δεδοµένων που εξετάζουµε. Σκοπός των στατιστικών µέτρων είναι η αντικατάσταση µιας µεγάλης µάζας αριθµητικών δεδοµένων από ένα ή δυο αριθµούς, που από κοινού µεταφέρουν το µεγαλύτερο ποσοστό της βασικής πληροφορίας που περιέχεται στα δεδοµένα. Τα στατιστικά περιγραφικά µέτρα, χωρίζονται σε δυο κατηγορίες: • Μέτρα θέσης • Μέτρα διασποράς ή µέτρα µεταβλητότητας Μέτρα θέσης Τα στατιστικά µέτρα θέσης δίνουν πληροφορίες για τη θέση του κέντρου των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα και για το µέγεθος των τιµών των δεδοµένων. Στατιστικά µέτρα θέσης είναι τα ακόλουθα: 1. Μέση τιµή x Η µέση τιµή ενός συνόλου ν παρατηρήσεων αποτελεί το πιο σηµαντικό και συχνά χρησιµοποιούµενο στην πράξη στατιστικό µέτρο. Ορίζεται ως το άθροισµα των τιµών χ1, χ2, ....χν που παίρνει µια µεταβλητή χ, προς το πλήθος των τιµών της ∑ ∑ = = == +++ = ν ν ν ννν 1 121 1... i i i i t t ttt x Η µέση τιµή ορίζεται µόνο σε ποσοτικές µεταβλητές. Αν όµως, η µεταβλητή παρουσιάζει τιµές χ1, χ2, ....χκ µε αντίστοιχες συχνότητες ν1, ν2, ....νκ τότε, για να υπολογίσουµε εύκολα την µέση τιµή, δηµιουργούµε µια νέα στήλη στην οποία υπολογίζουµε τα χiνi και κατόπιν το άθροισµα τους . Έτσι, η µέση τιµή της µεταβλητής δίνεται από τον τύπο: ∑ ∑ ∑ = = = == +++ +++ = κ κ κ κ κκ ν ν ν ν ννν ννν 1 1 1 21 2211 1 ... ... i ii i i i ii x x xxx x Η παραπάνω σχέση ισοδύναµα γράφεται: όπου if οι σχετικές συχνότητες. 1 1 i i i i i i x x x f κ κ ν ν= = = =∑ ∑
  33. 33. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 33 Παράδειγµα (19) Σε δέκα αγώνες σε ένα πρωτάθληµα ποδοσφαίρου, σηµειώθηκαν τα παρακάτω τέρµατα: 3, 1, 3, 2, 5, 6, 3, 5, 1, 3. Η µέση επίτευξη γκολ ανά αγώνα είναι: x − = 2.3 10 32 10 3153652313 == +++++++++ Παράδειγµα (22) ii)Να βρεθεί η µέση τιµή των παρατηρήσεων που αντιστοιχούν στον παρακάτω πίνακα: Παρατηρήσεις χi Συχνότητες νi 1 6 2 7 3 2 4 8 5 13 Σύνολο 36 Λύση Στον πίνακα δηµιουργούµε την στήλη των χiνi και ο πίνακας γίνεται: Παρατηρήσεις χi Συχνότητες νi χiνi 1 6 6 2 7 14 3 2 6 4 8 32 5 13 65 Σύνολο 36 123 Η µέση τιµή είναι : 1 1 2 2 1 2 3 4 5 ....... 123 3,41 36 + + + = = = + + + + x x x x κ κν ν ν ν ν ν ν ν Παραδειγµα ( 20) Ένας ιδιοκτήτης ενοικιάζει 4 διαµερίσµατα µε µέσο ενοίκιο 500 ευρώ τον µήνα. i) Ενοικιάζει και ένα πέµπτο διαµέρισµα στην τιµή των 300 ευρώ .Ποιο είναι το µέσο ενοίκιο τώρα ; ii) Αν επιθυµούσε το µέσο ενοίκιο να γίνει 480 ευρώ, πόσο έπρεπε να είναι ενοίκιο στο πέµπτο διαµέρισµα; Λύση i) 4 500 1 300 2000 300 460 4 1 5 ⋅ + ⋅ + = = = + x Ευρώ ii)Έστω ω το ενοίκιο του πέµπτου διαµερίσµατος τότε: 4 500 1 ' 480 ... 400 4 1 ⋅ + ⋅ = = ⇔ ⇔ = + x ω ω ευρώ .
  34. 34. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 34 Παραδειγµα ( 21 ) Ένας αγρότης απασχολεί εργάτες για τρεις διαφορετικές εργασίες Συγκεκριµένα απασχολεί 10 εργάτες για το µάζεµα της ελιάς 15 εργάτες για σκάψιµο και κλάδεµα και 30 εργάτες για φόρτωµα καρπού. Πληρώνει κατά µέσο ορό 30 ευρώ την ηµέρα τον κάθε εργάτη. Να βρεθεί πόσο πληρώνει για την κάθε εργασία ηµερησίως αν από το µάζεµα της ελιάς κοστολογείται το ίδιο µε το σκάψιµο αλλά ακριβότερο κατά 6 ευρώ από το φόρτωµα Λύση Έστω χ: το ηµεροµίσθιο για το µάζεµα της ελιάς y: το ηµεροµίσθιο για το σκάψιµο z : το ηµεροµίσθιο για το φόρτωµα οπότε χ = y και χ = z+6 10 15 30( 6) 10 15 30( 6) 30 30 ... 33.27 10 15 30 10 15 30 = + + − + + − = ⇔ = ⇔ = + + + + x y x y x x x x χ άρα χ = y = 33.27 και z = 33.27-6 = 27.27 ΣΤΑΘΜΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Στις περιπτώσεις που δίνεται διαφορετική βαρύτητα (έµφαση) στις τιµές 1 2, ,..,x x xν ενός συνόλου δεδοµένων, τότε αντί του αριθµητικού µέσου χρησιµοποιούµε τον σταθµισµένο αριθµητικό µέσο ή σταθµικό µέσο (weighted mean). Εάν σε κάθε τιµή 1 2, ,..,x x xν δώσουµε διαφορετική βαρύτητα, που εκφράζεται µε τους λεγόµενους συντελεστές στάθµισης (βαρύτητας) 1 2, ,..,w w wν , τότε ο σταθµικός µέσος βρίσκεται από τον τύπο: ∑ ∑ = = = +++ +++ = ν i i ν i ii ν νν w wx www wxwxwx x 1 1 21 2211 ... ... . Για παράδειγµα, µε το νέο σύστηµα, για την εισαγωγή ενός µαθητή στην τριτοβάθµια εκπαίδευση θα συνυπολογίζονται ο βαθµός 1x του απολυτηρίου του Ενιαίου Λυκείου µε συντελεστή (βάρος) 1 7=w ,5, ο βαθµός 2x στο τεστ δεξιοτήτων µε συντελεστή 2 1=w , ο βαθµός 3x στο 1ο βασικό µάθηµα µε συντελεστή 3 1=w και ο βαθµός 4x στο 2ο βασικό µάθηµα µε συντελεστή 4 0,5=w . Εάν ένας µαθητής πάρει τους βαθµούς 1 16,5=x , 2 18=x , 3 17=x και 4 16,6=x , τότε ο σταθµικός µέσος της επίδοσης του θα είναι: 7,16 10 167 5,0115,7 5,06,161171185,75,16 == +++ ×+×+×+× =x . ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΣΕ ΟΜΑ∆ΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ∆Ε∆ΟΜΕΝΑ Αν έχουµε οµαδοποιηµένες κατά κλάσεις παρατηρήσεις, βρίσκουµε την κεντρική τιµή κάθε κλάσης, δηλαδή το µέσο κάθε διαστήµατος, και την πολλαπλασιάζουµε µε τη συχνότητα της κλάσης. Στη συνέχεια, υπολογίζουµε το άθροισµά τους και το διαιρούµε µε το µέγεθος του δείγµατος ν. Όπως και στην προηγούµενη περίπτωση, για να βρεθεί εύκολα η µέση τιµή δηµιουργούνται δυο νέες στήλες , µια µε τα κέντρα ix των κλάσεων και µια µε τα γινόµενα i ix ν⋅ .Στην συνεχεία υπολογίζεται το άθροισµα των ⋅i ix ν . Παράδειγµα (22) Τα κέρδη (σε χιλιάδες ευρώ) 50 καταστηµάτων την προηγούµενη 10ετία ήταν: 51 53 57 56 54 56 55 53 54 50 60 61 63 63 62 67 66 67 65 67 71 73 76 74 75 79 78 81 81 83 88 86 85 94 95 95 96 93 92 95 100 107 106 109 105 112 113 113 112 119 Θέλουµε να υπολογίσουµε το µέσο κέρδος των καταστηµάτων ∆ηµιουργούµε 7 κλάσεις, όπου το πλάτος κάθε κλάσης είναι c = 10.
  35. 35. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 35 Ο πίνακας συχνοτήτων είναι: ∆ιάστηµα κερδών Κεντρική τιµή xi Συχνότητα vi ii vx ⋅ 50-60 55 10 550 60-70 65 10 650 70-80 75 7 525 80-90 85 6 510 90-100 95 7 665 100-110 105 5 525 110-120 115 5 575 Σύνολο 50 4000 Άρα η µέση τιµή είναι: 1 1 2 2 ...... 550 650 525 510 665 525 575 4000 80 50 50 ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + + + + + = = = =v vv x v x v x x v Παρατήρηση • Αν δεν κάνουµε οµαδοποίηση των παρατηρήσεων, τότε βρίσκουµε µέση τιµή ελαφρώς διαφορετική από αυτή που προσδιορίσαµε µε την οµαδοποίηση. Φυσικά, η δεύτερη είναι πιο ακριβής αλλά αρκετά δύσκολη και χρονοβόρα στον υπολογισµό της. Αυτή είναι η αιτία που προτιµούµε την οµαδοποίηση. Χάνουµε λίγο ως προς την ακρίβεια, αλλά κερδίζουµε χρόνο. • Στην οµαδοποίηση των παρατηρήσεων δεχόµαστε ότι αυτές είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες στις κλάσεις και ότι οι τιµές της µεταβλητής σε κάθε κλάση αντιπροσωπεύονται από την αντίστοιχη κεντρική τιµή xi. • Αν έχουµε πληροφορίες ότι οι παρατηρήσεις δεν είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες σε κάθε κλάση, τότε δεν µπορούµε να υπολογίσουµε τη µέση τιµή κάνοντας χρήση των κεντρικών τιµών κάθε κλάσης. Η αιτία είναι ότι θα προσδιορίσουµε µέση τιµή αρκετά διαφορετική από την πραγµατική. Παράδειγµα (23) Θεωρούµε ένα δείγµα ν παρατηρήσεων µιας συνεχούς ποσοτικής µεταβλητής x , τις οποίες οµαδοποιούµε σε 4 ισοπλατεις κλάσεις όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: Κλάσεις Κεντρική τιµή ix Σχετική συχνότητα if [ )50, 0,1 [ ), 65 [ ), [ ), Η σχετική συχνότητα της τέταρτης κλάσης είναι διπλάσια από την σχετική συχνότητα της τρίτης κλάσης . Η µέση τιµή των παρατηρήσεων είναι 74=x . α)Να συµπληρώσετε τον πίνακα. β) Να υπολογίσετε την µέση τιµή των παρατηρήσεων που είναι µικρότερες του 80.
  36. 36. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ http://mathhmagic.blogspot.gr/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜ.∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 36 Λύση α)Αν c το πλάτος των κλάσεων τότε ο πίνακας παίρνει την µορφή : Κλάσεις Κεντρική τιµή ix Σχετική συχνότητα if [ )50,50 + c 0,1 [ )50 ,50 2+ +c c 65 [ )50 2 ,50 3+ +c c [ )50 3 ,50 4+ +c c Θα ισχύει η σχέση (50 ) (50 2 ) 65 ... 10 2 + + + = ⇔ ⇔ = c c c .Ο πίνακας παίρνει την µορφή : Κλάσεις Κεντρική τιµή ix Σχετική συχνότητα if [ )50,60 55 0,1 [ )60,70 65 [ )70,80 75 [ )80,90 85 Από υπόθεση θα ισχύει 4 32=f f και 1 2 3 4 2 3 3 2 31 0,1 2 1 3 0,9+ + + = ⇔ + + + = ⇔ + =f f f f f f f f f (1) Όµως 1 1 2 2 3 3 4 4 2 3 4 2 3 3 2 3 3 2 3 74 55 0,1 65 75 85 74 5,5 65 75 85(2 ) 74 5,5 65 75 170 68,5 65 245 (2) = + + + ⇔ = ⋅ + + + ⇔ = + + + ⇔ − = + + ⇔ = + x x f x f x f x f f f f f f f f f f f f Λύνουµε το σύστηµα των(1) και (2) και προκύπτει: 2 30.3, 0.2= =f f άρα 4 0.4=f . Ο πίνακας παίρνει την µορφή Κλάσεις Κεντρική τιµή ix Σχετική συχνότητα if [ )50,60 55 0,1 [ )60,70 65 0,3 [ )70,80 75 0,2 [ )80,90 85 0,4 1 α) Η ζητούµενη µέση τιµή είναι : 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 2 1 1 2 2 3 2 1 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) 200 ' .. ( ) 3 = ⇔ = + + + + + + + + = = = = = = + + + + + + + + i i i i f vf x v x v x v x vf x vf x vf x f x f x f x f x f x f x v v v vf vf vf f f f f f f ν ν ν ν ν 2. ∆ιάµεσος δ ∆ιάµεσος δ ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά, ορίζεται ως: • Η µεσαία παρατήρηση, όταν το πλήθος ν των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθµός • Το ηµιάθροισµα των δυο µεσαίων παρατηρήσεων, όταν το πλήθος ν των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθµός

×