дослідження операцій

1. Дослідження операцій

2. Цільова функція
Обмеження
(2)
(3)
(4)
(1)
1
, 1, ;
n
ij j i
j
a x b i m

 

1
min(max) ;
n
j j
j
z c x

 
0, 1, ;
j
x j n
 
, 1, .
j
x ціла j n


3. Один з найпростіших підходів до вирішення ЗЦЛП:
1) вирішити неперервну задачу (ЗЛП)
2) округлити координати отриманого оптимуму до
допустимих цілих значень.

4. Один з найпростіших підходів до вирішення ЗЦЛП:
1) вирішити неперервну задачу (ЗЛП)
2) округлити координати отриманого оптимуму до
допустимих цілих значень.
АЛЕ
немає гарантії, що округлений розв’язок буде
допустимим і / або оптимальним.

5. Випадок 1
Серед вихідних обмежень є обмеження-рівності.
В цьому випадку округлений розв’язок (майже)
завжди є недопустимим

6. Випадок 2
Вихідні обмеження є обмеженнями-нерівностями.
У просторі 𝑅𝑛
кожна повністю нецілочислова точка має
2𝑛 цілочислових точок-сусідок.
Оскільки заздалегідь не відомо, в який бік потрібно виконувати
округлення, необхідно перебрати усі сусідні точки.
В цьому випадку округлений розв’язок не завжди є допустимим
та/або оптимальним.

7. Випадок 2.1
Вихідні обмеження є обмеженнями-нерівностями.
Усі округлені точки можуть виявитися
не допустимими (не задовольнятимуть усім
обмеженням )

8. Випадок 2.1
Вихідні обмеження є обмеженнями-нерівностями.
Усі округлені точки можуть виявитися
не допустимими (не задовольнятимуть усім
обмеженням )
Оптимум ЗЦЛП

9. Випадок 2.2
Вихідні обмеження є обмеженнями-нерівностями.
Округлена допустима точка може виявитися
не оптимальною.
Приклад 1 2
1 2
1 2
610 500 max
6 5 15
,
z x x
x x
x x Z
  
 


10. 0
,
5
.
2 2
1 
 x
x 1 2
2, 0
1220.
x x
z
 

1 2
0, 3
1500.
x x
z
 

1 2
1 2
1 2
610 500 max
6 5 15
,
z x x
x x
x x Z
  
 

Розв’язок ЗЛП
(без умов: 𝑥𝑗 цілі) Округлений розв’язок ЗЛП Оптимум ЗЦЛП

11.  Методи відсікань Гоморі
 Метод гілок та меж

12. Дослідження операцій

13. Цільова функція
Обмеження
(2)
(3)
(4)
(1)
1
, 1, ;
n
ij j i
j
a x b i m

 

1
min (max) ;
n
j j
j
z c x

 
0, 1, ;
j
x j n
 
, 1, .
j
x ціла j n

Існує принципова можливість звести розв’язання ЗЦЛП (1) - (4)
до знаходження оптимального розв’язку деякої ЗЛП

14. Нехай
𝑋 = 𝑥 ∈ 𝑅𝑛|𝐴𝑥 = 𝑏, 𝑥 ≥ 0 - багатогранник
𝑋ц = 𝑥 ∈ 𝑍𝑛|𝑥 ∈ 𝑋 - множина усіх
цілих точок в 𝑋, 𝑋ц
⊆ 𝑋
𝑋ц - опукла лінійна оболонка
точок множини 𝑋ц
, 𝑋ц
⊆ 𝑋ц
𝑋
−багатогранник 𝑋ц
− скінчена
множина
𝑋ц
− багатогранни,
у якого УСІ
вершини ЦІЛІ

15. Нехай
𝑋 = 𝑥 ∈ 𝑅𝑛|𝐴𝑥 = 𝑏, 𝑥 ≥ 0 - багатогранник
𝑋ц = 𝑥 ∈ 𝑍𝑛|𝑥 ∈ 𝑋 - множина усіх
цілих точок в 𝑋, 𝑋ц
⊆ 𝑋
𝑋ц - опукла лінійна оболонка
точок множини 𝑋ц
, 𝑋ц
⊆ 𝑋ц
𝑋
−багатогранник 𝑋ц
− скінчена
множина
𝑋ц
− ЦІЛОЧИСЛОВИЙ
багатогранник

16. Будь-який оптимальний базисний розв’язок ЗЛП
max 𝑐𝑇𝑥
𝑥 ∈ 𝑋ц
є оптимальним розв’язком задачі
max 𝑐𝑇
𝑥
𝑥 ∈ 𝑋ц
(5)
(6)

17. Пусть
~*
x - оптимальное базисное решение задачи (5) (лучшее в ц
X
~
),
x*
- оптимальное решение исходной задачи (6) (лучшее в ц
X ),
и пусть Xцв - множество вершин
ц
X
~
(они целочисленные).
(5)
(6)

18. *
x –
ДБР
задачи (5)
эта точка –
целочисленная
вершина
*
x  цв
X  ц
X
* *
T T
c x c x

* *
T T
c x c x

*
x –
целочис-
ленное
решение
* ц ц
x X X
 
(выпуклая
оболочка
охватывает все
целые точки)
* *
T T
c x c x

Пусть
~*
x - оптимальное базисное решение задачи (5) (лучшее в ц
X
~
),
x*
- оптимальное решение исходной задачи (6) (лучшее в ц
X ),
и пусть Xцв - множество вершин
ц
X
~
(они целочисленные).
(5)
(6)

19. *
x –
ДБР
задачи (5)
эта точка –
целочисленная
вершина
*
x  цв
X  ц
X
* *
T T
c x c x

* *
T T
c x c x

*
x –
целочис-
ленное
решение
* ц ц
x X X
 
(выпуклая
оболочка
охватывает все
целые точки)
* *
T T
c x c x

Пусть
~*
x - оптимальное базисное решение задачи (5) (лучшее в ц
X
~
),
x*
- оптимальное решение исходной задачи (6) (лучшее в ц
X ),
и пусть Xцв - множество вершин
ц
X
~
(они целочисленные).
(5)
(6)

20. *
x –
ДБР
задачи (5)
эта точка –
целочисленная
вершина
*
x  цв
X  ц
X
* *
T T
c x c x

* *
T T
c x c x

*
x –
целочис-
ленное
решение
* ц ц
x X X
 
(выпуклая
оболочка
охватывает все
целые точки)
* *
T T
c x c x

Пусть
~*
x - оптимальное базисное решение задачи (5) (лучшее в ц
X
~
),
x*
- оптимальное решение исходной задачи (6) (лучшее в ц
X ),
и пусть Xцв - множество вершин
ц
X
~
(они целочисленные).
(5)
(6)

21. Будь-який оптимальний базисний
розв’язок ЗЛП
max 𝑐𝑇
𝑥
𝑥 ∈ 𝑋ц
є оптимальним розв’язком ЗЦЛП
max 𝑐𝑇𝑥
𝑥 ∈ 𝑋ц
Отже, в основі методів відсікань
лежить заміна розв’язання ЗЦЛП (6)
деякою процедурою побудови і
розв’язання допоміжної ЗЛП (5).
(5)
(6)
Опт. ДБР (5) =
оптимум (6)
Опт. ДБР (5) =
оптимум (6)
Оптимальни
й небаз.
розв. задачі
(5) не є
допустимим
розв. задачі
(6)

22. Визначення. Послабленою називається задача ЛП, яка
отримана з ЗЦЛП шляхом відкидання умов
цілочисловості.
Властивості ПосЗ
1) якщо ПосЗ не має допустимих розв’язків, їх не має і
вихідна задача;
2) оптимальне значення ЦФ послабленої задачі визначає
нижню (верхню) границю оптимального значення ЦФ
вихідної задачі на min (max)
3) якщо оптимальний розв’язок ПосЗ є допустимим для
вихідної ЗЦЛП, то він є і оптимальним для неї.

23. ЗЦЛП ПосЗ (ЗЛП)

24. 1) Вихідною точкою є оптимальний розв’язок
відповідної послабленої задачі.
2) На кожній ітерації додається лінійне обмеження,
яке задовольняє цілочисловим розв’язкам вихідної
задачі, але виключає поточний нецілочисловий
розв’язок (багатогранник стискується).
3) Обчислювальний процес припиняється, як тільки
буде досягнуто будь-який цілочисловий розв’язок.

26. Вихідною точкою є оптимальний розв’язок
відповідної послабленої задачі

27. На кожній ітерації додається лінійне обмеження, яке
задовольняє цілочисловим розв’язкам вихідної задачі,
але виключає поточний нецілочисловий розв’язок

28. На кожній ітерації додається лінійне обмеження, яке
задовольняє цілочисловим розв’язкам вихідної задачі,
але виключає поточний нецілочисловий розв’язок
(багатогранник стискується).

32. Обчислювальний процес припиняється, як тільки
буде досягнуто будь-який цілочисловий розв’язок

33. Оптимум ЗЦЛП знайдено.

34.  Метод відсікань для розв’язання повністю
цілочислових задач
 Метод відсікань для розв’язання частково
цілочислових задач
Будемо розглядати перший з методів

35.  У повністю цілочислових задач цілими є всі змінні
(основні 𝒙𝒋 , залишкові 𝒔𝒊, надлишкові 𝑺𝒊 змінні).
 Для досягнення цього перед приведенням задачі до
канонічної формі треба перетворити систему
обмежень таким чином, щоб усі коефіцієнти
𝑎𝑖𝑗, та 𝑏𝑖 були цілими.

36. Приклад
Канонічна форма
1 2
1 2
5 3 15.5
,
0
x x s
x x Z
s НЕ ціла

  


1 2
1 2
5 3 15.5
,
x x
x x Z
 

1 2
1 2
50 30 155
,
x x
x x Z
 

1 2
1 2
50 30 155
,
0
x x s
x x Z
s ЦІЛА

  


1 2
1 2
50 30 155
, ,
x x s
x x s Z
  


37. Спочатку розв’язуємо послаблену задачу.
Якщо її розв’язок цілочисловий, то він же є і розв’язком ЗЦЛП
Інакше – реалізуємо ідею відсікання.

38. 1) знаходження універсального правила формування
додаткових обмежень;
2) доведення скінченності відповідного процесу
відсікання;
3) боротьба з надмірним «розростанням» задачі при
додаванні додаткових обмежень.

39. Як побудувати додаткове лінійне
обмеження, якому задовольняє
кожний розв’язок, допустимий за
умовами (2) - (4)?
Базисные
переменные 1
x 2
x 3
x 4
x Решение
z 0 0
24
7
24
11
4
13
1
x 1 0
24
1

24
1
2
1
2
x 0 1
8
1
8
1
4
3
Стартовою точкою є оптимальна симплекс-таблиця послабленої задачі.
Наприклад:

40. 1
n
ij j i
j
x

  

1
[ ]
n
ij j i
j
x

  

Символом [] позначатимемо цілу частину
дійсного числа : найбільше ціле, менше
або рівне за , тобто []  .
1
[ ] [ ]
n
ij j i
j
x

  

1
[
0,
] [ ]
n
ij j i
j
x s
s ціле

 

 
 - рівняння в цілих частинах
Дробовою частиною числа  називається
величина f, що визначається рівністю [] + f = 
(7)
(8)
(8)-(7):
1
( )
n
j j
j
f x s f

   
 [ ] , [ ]
ij j ij i i
f f
       
де
- рівняння в дробових частинах
𝑖-й рядок оптимальної симплекс-таблиці ПосЗ

41. Число Ціла частина Дробова частина
1.2 1 0.2
-1.2 -2 0.8
0.5 0 0.5
-0.5 -1 0.5
6
1
3
6 1
3
- 6
1
3
-7 2
3
За визначенням дробова
частина 𝑓 завжди ≥ 0
[𝛼] ≤ 𝛼 𝛼 + 𝑓 = 𝛼

42.  Рівняння в дробових частинах називається
рівнянням відсікання (відсіканням Гоморі)
 Рівняння (7), за яким побудували рівняння
відсікання, називається породжуючим рівнянням
 Задача (1) - (3) + додаткове рівняння відсікання
називається розширеною.

43. КРОК 1. Знайти оптимальний розв’язок послабленої задачі.
КРОК 2. ЯКЩО розв’язок поточної ЗЛП є цілочисловим, то припинити
обчислення
ІНАКШЕ
{1.1 Обрати дробову базисну змінну 𝑥𝑘 .
1.2 По рівнянню оптимальної симплекс-таблиці, яке відповідає
змінній 𝑥𝑘 :
𝑥𝑘 +
𝑗∈𝐼𝑁
α𝑖𝑗𝑥𝑗 = β𝑖
скласти рівняння відсікання
𝑗∈𝐼𝑁
−𝑓𝑖𝑗𝑥𝑗 + 𝑠 = −𝑓𝑖
}
КРОК 2. Додати до поточної ЗЛП отримане рівняння відсікання, знайти за
допомогою двоїстого симплекс-методу оптимальний розв’язок
розширеної ЗЛП і повернутися до КРОКУ 2.

44. БП x1 x2 x3 x4 Реш
z 9/2 0 0 5/4 35/2
x3 3/2 0 1 -5/4 3/2
x2 3/2 1 0 1/4 7/2 Породжуюче рівняння (*)

 


i
n
j
j
ijx
1 2
7
4
1
1
2
3
4
2
1 

 x
x
x

 


i
n
j
j
ij x
1
]
[
 
2
7
4
1
1
2
3
4
2
1 














x
x
x
2
7
1
1 2
1 
 x
x
]
[
]
[
1

 


i
n
j
j
ij x 







2
7
1
1 2
1 x
x
3
1
1 2
1 
 x
x
]
[
]
[
1

 



i
n
j
j
ij s
x 3
1
1 2
1 

 s
x
x (ур.в целых частях)
f
s
x j
n
j
j
f 





)
(
1 2
1
4
1
2
1
4
1 



 s
x
x

45. 
 


i
n
j
j
ijx
1 2
7
4
1
1
2
3
4
2
1 

 x
x
x

 


i
n
j
j
ij x
1
]
[
 
2
7
4
1
1
2
3
4
2
1 














x
x
x
2
7
1
1 2
1 
 x
x
]
[
]
[
1

 


i
n
j
j
ij x 







2
7
1
1 2
1 x
x
3
1
1 2
1 
 x
x
]
[
]
[
1

 



i
n
j
j
ij s
x 3
1
1 2
1 

 s
x
x (ур.в целых частях)
f
s
x j
n
j
j
f 





)
(
1 2
1
4
1
2
1
4
1 



 s
x
x
БП x1 x2 x3 x4 Реш
z 9/2 0 0 5/4 35/2
x3 3/2 0 1 -5/4 3/2
x2 3/2 1 0 1/4 7/2 Породжуюче рівняння (*)

46. 
 


i
n
j
j
ijx
1 2
7
4
1
1
2
3
4
2
1 

 x
x
x

 


i
n
j
j
ij x
1
]
[
 
2
7
4
1
1
2
3
4
2
1 














x
x
x
2
7
1
1 2
1 
 x
x
]
[
]
[
1

 


i
n
j
j
ij x 







2
7
1
1 2
1 x
x
3
1
1 2
1 
 x
x
]
[
]
[
1

 



i
n
j
j
ij s
x 3
1
1 2
1 

 s
x
x (ур.в целых частях)
f
s
x j
n
j
j
f 





)
(
1 2
1
4
1
2
1
4
1 



 s
x
x
БП x1 x2 x3 x4 Реш
z 9/2 0 0 5/4 35/2
x3 3/2 0 1 -5/4 3/2
x2 3/2 1 0 1/4 7/2 Породжуюче рівняння (*)

47. 
 


i
n
j
j
ijx
1 2
7
4
1
1
2
3
4
2
1 

 x
x
x

 


i
n
j
j
ij x
1
]
[
 
2
7
4
1
1
2
3
4
2
1 














x
x
x
2
7
1
1 2
1 
 x
x
]
[
]
[
1

 


i
n
j
j
ij x 







2
7
1
1 2
1 x
x
3
1
1 2
1 
 x
x
]
[
]
[
1

 



i
n
j
j
ij s
x 3
1
1 2
1 

 s
x
x (ур.в целых частях)
f
s
x j
n
j
j
f 





)
(
1 2
1
4
1
2
1
4
1 



 s
x
x
БП x1 x2 x3 x4 Реш
z 9/2 0 0 5/4 35/2
x3 3/2 0 1 -5/4 3/2
x2 3/2 1 0 1/4 7/2 Породжуюче рівняння (*)
Рівняння в цілих частинах
Рівняння відсікання (саме його
додаємо до оптимальної
симплекс-таблиці ПосЗ)

48. БП x1 x2 x3 x4 Реш
z 9/2 0 0 5/4 35/2
x3 3/2 0 1 -5/4 3/2
x2 3/2 1 0 1/4 7/2
БП X1 x2 x3 x4 s Реш
z 9/2 0 0 5/4 0 35/2
x3 3/2 0 1 -5/4 0 3/2
x2 3/2 1 0 1/4 0 7/2
s -1/2 0 0 -1/4 1 -1/2
БП x1 x2 x3 x4 s Реш
z 2 0 0 0 5 15
x3 1 0 1 0 -5 4
x2 4 1 0 0 1 3
x4 2 0 0 1 -4 2
Рівняння відсікання,
яке сформовано по
рядку 𝑥2 оптимальної
симплекс-таблиці
ПосЗ)
Оптимальна симплекс-таблиця ПосЗ
Оптимальна симплекс-таблиця розширеноі ЗЛП
Усі змінні цілі  розв’язок ЗЦЛП
Застосо-
вуємо
двоїстий
СМ

49. БЗ x1 x2 x3 Розв.
z 0 5/4 3/4 9/2
x1 1 3/4 1/4 3/2
Оптимальна симплекс-таблиця ПосЗ
𝑧 = 3𝑥1 + 𝑥2 → max
4𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 6
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
𝑥1, 𝑥2 цілі
𝑧 = 3𝑥1 + 𝑥2 + 0𝑥3 → max
4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 6
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3цілі

50. БЗ x1 x2 x3 Розв.
z 0 5/4 3/4 9/2
x1 1 3/4 1/4 3/2
𝑧 = 3𝑥1 + 𝑥2 → max
4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 6
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3цілі
𝑗∈𝐼𝑁
−𝑓𝑖𝑗 𝑥𝑗 + 𝑠 = −𝑓𝑖

51. БЗ x1 x2 x3 s1 Розв.
z 0 5/4 3/4 0 9/2
x1 1 3/4 1/4 0 3/2
s1 0 -3/4 -1/4 1 -1/2
БЗ x1 x2 x3 s1 Розв.
z 0 0 1/2 5/3 11/3
x1 1 0 0 1 1
x2 0 1 1/3 -4/3 2/3
𝑧 = 3𝑥1 + 𝑥2 → max
4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 6
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3цілі
𝑗∈𝐼𝑁
−𝑓𝑖𝑗 𝑥𝑗 + 𝑠 = −𝑓𝑖

52. БЗ x1 x2 x3 s1 Розв.
z 0 5/4 3/4 0 9/2
x1 1 3/4 1/4 0 3/2
s1 0 -3/4 -1/4 1 -1/2
БЗ x1 x2 x3 s1 Розв.
z 0 0 1/2 5/3 11/3
x1 1 0 0 1 1
x2 0 1 1/3 -4/3 2/3
𝑧 = 3𝑥1 + 𝑥2 → max
4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 6
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3цілі

53. БЗ x1 x2 x3 s1 Розв.
z 0 5/4 3/4 0 9/2
x1 1 3/4 1/4 0 3/2
s1 0 -3/4 -1/4 1 -1/2
БЗ x1 x2 x3 s1 Розв.
z 0 0 1/2 5/3 11/3
x1 1 0 0 1 1
x2 0 1 1/3 -4/3 2/3
𝑧 = 3𝑥1 + 𝑥2 → max
4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 6
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3цілі

54. БЗ x1 x2 x3 s1 Розв.
z 0 5/4 3/4 0 9/2
x1 1 3/4 1/4 0 3/2
s1 0 -3/4 -1/4 1 -1/2
БЗ x1 x2 x3 s1 Розв.
z 0 0 1/2 5/3 11/3
x1 1 0 0 1 1
x2 0 1 1/3 -4/3 2/3
𝑧 = 3𝑥1 + 𝑥2 → max
4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 6
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3цілі
𝑗∈𝐼𝑁
−𝑓𝑖𝑗 𝑥𝑗 + 𝑠 = −𝑓𝑖

55. БЗ x1 x2 x3 s1 Розв.
z 0 5/4 3/4 0 9/2
x1 1 3/4 1/4 0 3/2
s1 0 -3/4 -1/4 1 -1/2
БЗ x1 x2 x3 s1 s2 Розв.
z 0 0 1/2 5/3 0 11/3
x1 1 0 0 1 0 1
x2 0 1 1/3 -4/3 0 2/3
s2 0 0 -1/3 -2/3 1 -2/3
𝑧 = 3𝑥1 + 𝑥2 → max
4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 6
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3цілі

56. БЗ x1 x2 x3 s1 Розв.
z 0 5/4 9/4 0 9/2
x1 1 3/4 3/2 0 3/2
s1 0 -3/4 -1/2 1 -1/2
БЗ x1 x2 x3 s1 s2 Розв.
z 0 0 1/2 5/3 0 11/3
x1 1 0 0 1 0 1
x2 0 1 1/3 -4/3 0 2/3
s2 0 0 -1/3 -2/3 1 -2/3
БЗ x1 x2 x3 s1 s2 Розв.
z 0 0 0 1 1 3
x1 1 0 0 1 0 1
x2 0 1 0 -2 0 0
x3 0 0 1 2 -3 2
Усі змінні цілі  розв’язок ЗЦЛП
𝑧 = 3𝑥1 + 𝑥2 → max
4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 6
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3цілі

57. Приклад 2

58. БЗ x1 x2 x3 s1 Розв.
z 0 5/4 9/4 0 9/2
x1 1 3/4 1/4 0 3/2
s1 0 -3/4 -1/4 1 -1/2
𝑧 = 3𝑥1 + 𝑥2 → max
4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 6
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3цілі
БЗ x1 x2 x3 s1 s2 Розв.
z 0 0 1/2 5/3 0 11/3
x1 1 0 0 1 0 1
x2 0 1 1/3 -4/3 0 2/3
s2 0 0 -1/3 -2/3 1 -2/3
БЗ x1 x2 x3 s1 s2 Розв.
z 0 0 0 1 1 3
x1 1 0 0 1 0 1
x2 0 1 0 -2 0 0
x3 0 0 1 2 -3 2
𝑥1 + 𝑠1 = 1
𝑥1 ≤ 1

59. БЗ x1 x2 x3 s1 Розв.
z 0 5/4 9/4 0 9/2
x1 1 3/4 1/4 0 3/2
s1 0 -3/4 -1/4 1 -1/2
𝑧 = 3𝑥1 + 𝑥2 → max
4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 6
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3цілі
БЗ x1 x2 x3 s1 s2 Розв.
z 0 0 1/2 5/3 0 11/3
x1 1 0 0 1 0 1
x2 0 1 1/3 -4/3 0 2/3
s2 0 0 -1/3 -2/3 1 -2/3
БЗ x1 x2 x3 s1 s2 Розв.
z 0 0 0 1 1 3
x1 1 0 0 1 0 1
x2 0 1 0 -2 0 0
x3 0 0 1 2 -3 2
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 2
𝑥1 + 𝑠1 = 1
𝑥1 ≤ 1

60. БЗ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Розв.
z 0 0 0 25/16 0 5/16 4/16 9/16
x1 1 0 0 -2/16 0 3/16 1/16 3/16
x2 0 1 0 19/16 0 1 -1/16 4/16
x3 0 0 1 -19/16 0 1/16 -3/16 8/16
x5 0 0 0 1/16 1 1/16 3/16 26/16
𝑗∈𝐼𝑁
−𝑓𝑖𝑗 𝑥𝑗 + 𝑠 = −𝑓𝑖

61. ;
,
1
,
1




n
j
i
j
ij m
i
b
x
a
;
min(max)
1



n
j
j
j x
c
z
;
,
1
,
0 n
j
xj 

ЗЦЛП
ЗЛП
.
,
1
, n
j
ціле
xj 
Кількість базисних
(ненульових) змінних
ДОРІВНЮЄ 𝑚
Кожна точка в 𝑅𝑛
(𝑍𝑛
)
має не більше 𝑛
ненульових координат
⇒ в симплекс-таблиці
розширеної ЗЛП
кількість рядків ≤ 𝑛

62. Для задання точки в
𝑹𝒏 нам не потрібно
більше, ніж 𝒏
ненульових
(базисних) змінних
Число обмежень РЗ
не повинно
перевищувати
кількості 𝒏 змінних
вихідної задачі в КФ
РЗ – розширена задача

63. Якщо
розширена
ЗЛП містить
більше, ніж
𝒏
обмежень
то одна або кілька
залишкових
змінних 𝒔,
асоційованих з
відсіканнями
Гоморі, є
базисними,
значить відповідні
обмеження стають
надлишковими і
можуть бути
виключені з таблиці

65. 𝑧 = 4𝑥1 + 1𝑥2
4𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 17
1𝑥1 + 1𝑥2 ≤ 5
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0, цілі
Оптимальна СТ послабленої задачі

66. Приклад 3. Шлях розв’язання 1
Рівняння відсікання,
яке сформовано по
рядку 𝑥1 оптимальної
симплекс-таблиці ПосЗ
(1𝑥1 ≤ 4)
Рівняння відсікання,
яке сформовано по
рядку 𝑥2 (або 𝑧 або 𝑠2)
оптимальної симплекс-
таблиці розширеної
ПосЗ (2𝑥1 + 1𝑥2 ≤ 8)
В цьому прикладі
змінні, пов’язані з
обмеженнями
відсіканнями,
позначаються 𝐺𝑖
Оптимум досягнуто за
дві ітерації

67. Приклад 3. Шлях розв’язання 2
Рівняння відсікання,
яке сформовано по
рядку 𝑠2 оптимальної
симплекс-таблиці ПосЗ
(3𝑥1 + 1𝑥2 ≤ 12)
В цьому прикладі
залишкова змінна,
пов’язана з
обмеженням
відсіканням,
позначена 𝐺1
Оптимум досягнуто за
одну ітерацію

68. Одна і та ж оптимальна симплекс-таблиця
розширеної ЗЛП породжує різні відсікання.
???? Яке з них є найбільш ефективним?
Ефективність відсікання характеризується розмірами
області, що відсікається від багатогранника
допустимих розв'язків

69. Це відсікання ефективніше!

70. Нехай по рядку 𝑖 побудовано таке
обмеження-відсікання
𝑗∈𝐼𝑁
−𝑓𝑖𝑗𝑥𝑗 + 𝑠𝑖 = −𝑓𝑖
𝑗∈𝐼𝑁
𝑓𝑖𝑗𝑥𝑗 − 𝑠𝑖 = 𝑓𝑖
𝑗∈𝐼𝑁
𝑓𝑖𝑗𝑥𝑗 ≥ 𝑓𝑖 (∗)
Нехай по рядку 𝑘 побудовано таке
обмеження-відсікання
𝑗∈𝐼𝑁
−𝑓𝑘𝑗𝑥𝑗 + 𝑠𝑘 = −𝑓𝑘
𝑗∈𝐼𝑁
𝑓𝑘𝑗𝑥𝑗 − 𝑠𝑘 = 𝑓𝑘
𝑗∈𝐼𝑁
𝑓𝑘𝑗𝑥𝑗 ≥ 𝑓𝑘 (∗∗)
Правило 1.
Відсікання (*) ефективніше відсікання (**), якщо
причому, принаймні, в одному випадку виконується строга
нерівність (> або <).
,
k
i f
f 
,
, j
f
f kj
ij 


71. Відсікання (*) ефективніше відсікання (**),
якщо
причому, принаймні, в одному випадку
виконується строга нерівність (> або <).
,
k
i f
f 
,
, j
f
f kj
ij 

Сині відсікання ефективніші за зелені
Правило 1

72. Правило 1
,
k
i f
f 
,
, j
f
f kj
ij 

причому, принаймні, в одному випадку
виконується строга нерівність

73. x1 x2 x3 x4 x5 x6 P
Z 0 0 1/3 4/3 0 0 38/3
x2 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3
x1 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3
x5 0 0 -1 1 1 0 3
x6 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3
2*x1 + 2*x2 <= 9 x1 + x2 <= 4
x1 x2 x3 x4 x5 x6 s1 P
Z 0 0 0 1 0 0 1/2 25/2
x3 0 0 1 1 0 0 -3/2 1/2
x1 1 0 0 1 0 0 -1/2 7/2
x5 0 0 0 2 1 0 -3/2 7/2
x6 0 0 0 1 0 1 -1 1
x2 0 1 0 -1 0 0 1 1
x1 x2 x3 x4 x5 x6 s1 P
Z 0 0 0 1 0 0 1 12
x3 0 0 1 1 0 0 -3 2
x1 1 0 0 1 0 0 -1 4
x5 0 0 0 2 1 0 -3 5
x6 0 0 0 1 0 1 -2 2
x2 0 1 0 -1 0 0 2 0
Не оптимум(( Оптимум))

74. Серед відсіканнь
12
1
12
5
12
1
4
3 
 x
x
та
12
2
12
2
12
3
4
3 
 x
x
не можна однозначно вибрати більш ефективне.
Правило 1

75. Використання Правила 1 пов'язано з істотними
труднощами обчислювального характеру
Правило 2. У якості породжуючого обирається той
рядок, якому відповідає


n
j
ij
i
i
f
f
1
max ;
Правило 3. У якості породжуючого обирається
той рядок, якому відповідає
i
i
f
max .
Використання цих двох правил не завжди забезпечує
введення найбільш ефективного відсікання.
Правила 2 та 3

76. БЗ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Розв.
z 0 0 0 25/16 0 5/16 4/16 9/16
x1 1 0 0 -2/16 0 3/16 1/16 3/16
x2 0 1 0 19/16 0 1 -1/16 4/16
x3 0 0 1 -19/16 0 1/16 -3/16 8/16
x5 0 0 0 1/16 1 1/16 3/16 26/16
-9/16x4 -5/16x6 -4/16x7 +s1 =- 9/16
-14/16x4 -3/16x6 -1/16x7 +s2 =- 3/16
-1/16x4 -1/16x6 -3/16x7 +s5 =- 10/16
9/16x4 +5/16x6 +4/16x7 >= 9/16
14/16x4 +3/16x6 +1/16x7 >= 3/16
1/16x4 +1/16x6 +3/16x7 >= 10/16
…

77. БЗ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Розв.
z 0 0 0 25/16 0 5/16 4/16 9/16
x1 1 0 0 -2/16 0 3/16 1/16 3/16
x2 0 1 0 19/16 0 1 -1/16 4/16
x3 0 0 1 -19/16 0 1/16 -3/16 8/16
x5 0 0 0 1/16 1 1/16 3/16 26/16
9/16x4 +5/16x6 +4/16x7 >= 9/16
14/16x4 +3/16x6 +1/16x7 >= 3/16
1/16x4 +1/16x6 +3/16x7 >= 10/16

78. БЗ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Розв.
z 0 0 0 25/16 0 5/16 4/16 9/16
x1 1 0 0 -2/16 0 3/16 1/16 3/16
x2 0 1 0 19/16 0 1 -1/16 4/16
x3 0 0 1 -19/16 0 1/16 -3/16 8/16
x5 0 0 0 1/16 1 1/16 3/16 26/16
9/16x4 +5/16x6 +4/16x7 >= 9/16
14/16x4 +3/16x6 +1/16x7 >= 3/16
1/16x4 +1/16x6 +3/16x7 >= 10/16
𝟗
𝟏𝟔
𝟗
𝟏𝟔
+
𝟓
𝟏𝟔
+
𝟒
𝟏𝟔
𝟑
𝟏𝟔
𝟏𝟒
𝟏𝟔
+
𝟑
𝟏𝟔
+
𝟏
𝟏𝟔
𝟏𝟎
𝟏𝟔
𝟏
𝟏𝟔 +
𝟏
𝟏𝟔 +
𝟑
𝟏𝟔

79. БЗ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Розв.
z 0 0 0 25/16 0 5/16 4/16 9/16
x1 1 0 0 -2/16 0 3/16 1/16 3/16
x2 0 1 0 19/16 0 1 -1/16 4/16
x3 0 0 1 -19/16 0 1/16 -3/16 8/16
x5 0 0 0 1/16 1 1/16 3/16 26/16
9/16x4 +5/16x6 +4/16x7 >= 9/16
14/16x4 +3/16x6 +1/16x7 >= 3/16
1/16x4 +1/16x6 +3/16x7 >= 10/16

80. В ході виконання ітерацій знаменники дробів рівняннях відсікань
зменшуються. Це є однією з характеристик методу Гоморі і забезпечує
збіжність алгоритму.
В рівняннях 𝑗∈𝐼𝑁
−𝑓𝑖𝑗 𝑥𝑗 + 𝑠 = −𝑓𝑖 є правильними дробами -
чисельник менший за знаменник

81.  Помилки округлення, що виникають в процесі
обчислень можуть привести до отримання невірного
(не оптимального) цілочислового розв’язку (вихід -
зберігати окремо чисельники і знаменники).
 Розв’язки, одержувані послідовно в процесі реалізації
алгоритму, не є допустимими (в процесі розв’язання усі
проміжні розв’язки або нецілочислові або мають
від’ємні компоненти). Тобто алгоритм не дозволяє
отримати будь-який цілочисловий розв’язок, відмінний
від оптимального (у разі вимушеної зупинки через
відсутність достатнього часу).

82. Пример 2.1.
2
x
z
max  , (2.13)
6
x
2
x
3 2
1 
 , (2.14)
0
x
2
x
3 2
1 

 , (2.15)
0
, 2
1 
x
x . (2.16)
2
1,x
x -целые . (2.17)
Приведем задачу к канонической форме:
2
x
z
max  , (2.13')
6
x
x
2
x
3 3
2
1 

 , (2.14')
0
x
x
2
x
3 4
2
1 


 , (2.15')
0
x
,
x
,
x
,
x 4
3
2
1  , (2.16')
4
3
2
1 x
,
x
,
x
,
x -целые . (2.17')

83. Начальная симплекс-таблица ослабленной задачи (2.13)’-(2.16)’:
Базисные переменные 1
x 2
x 3
x 4
x Решение
z 0 -1 0 0 0
3
x 3 2 1 0 6
4
x -3 2 0 1 0
Ооптимальная симплекс-таблица ослабленной задачи:
Базисные переменные 1
x 2
x 3
x 4
x Решение
z 0 0
4
1
4
1
2
3
1
x 1 0
6
1
6
1
 1
2
x 0 1
4
1
4
1
2
3

84. Базисные
переменные 1
x 2
x 3
x 4
x Решение
z 0 0
4
1
4
1
2
3
1
x 1 0
6
1
6
1
 1
2
x 0 1
4
1
4
1
2
3
Базисные
переменные 1
x 2
x 3
x 4
x 1
s Решение
Z 0 0
4
1
4
1
0
2
3
1
x 1 0
6
1
6
1
 0 1
2
x 0 1
4
1
4
1
0
2
3
1
s 0 0
4
1

4
1
 1
2
1


85. Базисные
переменные 1
x 2
x 3
x 4
x 1
s Решение
Z 0 0 0 0 1 1
1
x 1 0 0
3
1

3
2
3
2
2
x 0 1 0 0 1 1
3
x 0 0 1 1 -4 2
Базисные
переменные 1
x 2
x 3
x 4
x 1
s Решение
Z 0 0
4
1
4
1
0
2
3
1
x 1 0
6
1
6
1
 0 1
2
x 0 1
4
1
4
1
0
2
3
1
s 0 0
4
1

4
1
 1
2
1


86. Базисные
переменные 1
x 2
x 3
x 4
x 1
s Решение
Z 0 0 0 0 1 1
1
x 1 0 0
3
1

3
2
3
2
2
x 0 1 0 0 1 1
3
x 0 0 1 1 -4 2
Базисные
переменные 1
x 2
x 3
x 4
x 1
s 2
s Решение
Z 0 0 0 0 1 0 1
1
x 1 0 0
3
1

3
2
0
3
2
2
x 0 1 0 0 1 0 1
3
x 0 0 1 1 -4 0 2
2
s 0 0 0
3
2

3
2
 1
3
2


87. Базисные
переменные 1
x 2
x 3
x 4
x 1
s 2
s Решение
Z 0 0 0 0 1 0 1
1
x 1 0 0
3
1

3
2
0
3
2
2
x 0 1 0 0 1 0 1
3
x 0 0 1 1 -4 0 2
2
s 0 0 0
3
2

3
2
 1
3
2

Базисные
переменные 1
x 2
x 3
x 4
x 1
s 2
s Решение
Z 0 0 0 0 1 0 1
1
x 1 0 0 0 1
2
1
 1
2
x 0 1 0 0 1 0 1
3
x 0 0 1 0 -5
2
3
1
4
x 0 0 0 1 1
2
3
 1

89. Яка верхня
границя
кількості
ітерацій АГ?