Документ описывает физические принципы прямолинейного движения материальной точки, включая понятия перемещения и пройденного пути, а также различные формулы для расчета этих величин. Рассматриваются графики зависимости скорости от времени как средство визуализации и вычисления пути при равномерном и равноускоренном движении, с акцентом на площади фигур под графиками. Включены формулы для определения пути при равноускоренном движении в зависимости от начальной и конечной скорости, времени и ускорения.

1. При прямолинейном движении материальной точки в одном направлении пройденный
путь равен модулю перемещения. Поэтому модуль перемещения и пройденный путь в
этом случае обозначают одной и той же буквой s.
Положительная проекция вектора (в том числе и перемещения), параллельного
координатной оси, равна его модулю со знаком «плюс», а отрицательная проекция
вектора равна его модулю со знаком «минус». В первом случае направление вектора и оси
одинаковы, во втором случае — противоположны. Если знать проекцию перемещения на
координатную ось, вдоль которой в одном направлении движется данная материальная
точка, то можно определить модуль перемещения и пройденный путь.
s
Формула для проекции скорости равномерного прямолинейного движения: v  . Из этой
t
формулы видно, что проекция перемещения на координатную ось при равномерном
прямолинейном движении равна: s  vt .
Рассмотрим график зависимости скорости от времени для равномерного движения.
Каждый график скорости такого движения имеет вид прямой, параллельной оси времени,
и отстоит от неё на расстоянии, равном проекции скорости. Выделим промежуток
времени, в течение которого совершено перемещение s (рис. 1).
Рис. 1.
Обозначим точку пересечения графика с осью ординат буквой В, затем выберем на оси
абсцисс некоторую точку D, соответствующую моменту времени t и восстановим из точки
D перпендикуляр к оси абсцисс до пересечения его с линией графика; эту точку
пересечения обозначим буквой С. На рисунке после проведённого построения получился
прямоугольник ОВСD. Отрезку ОВ на нашем графике соответствует некоторое значение
скорости равномерного движения v, а отрезку ОD — время движения t. Известно, что
путь, пройденный телом при равномерном движении, можно найти как произведение
скорости на время движения: s  vt . Если заменить в этой формуле обозначения
физических величин на обозначения соответствующих отрезков, то мы увидим, что s =
ОВ∙ОD. Поскольку ОВСD — прямоугольник, то произведение ОВ∙ОD численно равно его
площади. Следовательно, и путь, пройденный телом при равномерном движении,
численно равен площади прямоугольника ОВСD — площади фигуры под графиком
зависимости скорости движения от времени.
В высшей математике доказывается, что при любом движении площадь фигуры под
графиком зависимости скорости движения от времени численно равняется пройденному
пути. Применим это правило для вывода формулы пути равноускоренного движения.
Известно, что график зависимости скорости равноускоренного движения от времени
представляет собой прямую линию, расположенную под некоторым углом к оси абсцисс
(рис. 2).

2. Рис. 2.
На рисунке 3 значению начальной скорости v0 соответствует отрезок АВ, скорости v в
момент времени t — отрезок CD, а времени движения — отрезок AD.
Рис. 3.
Так как площадь фигуры под графиком зависимости скорости движения от времени
численно равна пройденному пути, тогда путь, пройденный телом при равноускоренном
движении численно равен площади фигуры ABCD (рис. 4).

3. Рис. 4.
Эта фигура представляет собой прямоугольную трапецию с основаниями AB и CD и
высотой AD. Площадь S трапеции равна произведению полусуммы её оснований на
AB  CD
высоту: S  AD.
2
Заменив обозначения отрезков AB, CD и AD на обозначения соответствующих
физических величин, получим:
v0  v
s  t. (1)
2
С помощью этой формулы можно рассчитать путь, пройденный телом при
равноускоренном движении. Известно, что v  v0  a t . Подставим в формулу (1) вместо
v0  v0  a t
v её значение: s  t . Теперь несколько преобразуем записанное выражение:
2
2v0  at 2v t  att 2v0t  at 2
s t 0  .
2 2 2
Если поделить каждое слагаемое числителя на 2, то получим формулу пути при
равноускоренном движении.
Формула пути при равноускоренном движении:
a t2
s  v0 t  , (2)
2
где s — проекция перемещения, измеряется в метрах, сокращённо м;
v0 — начальная скорость, измеряется в метрах в секунду, сокращённо м/с;
а — ускорение, измеряется в метрах на секунду в квадрате, сокращённо м/с 2 ;
t — время, измеряется в секундах, сокращённо с.
Можно провести аналогичные рассуждения и рассчитать путь, пройденный телом при
равноускоренном движении, когда ускорение отрицательное, то есть при торможении.
a t2
При торможении пройденный путь будет равен s  v0t  .
2
Здесь s — проекция перемещения, измеряется в метрах, сокращённо м;

4. а — ускорение, измеряется в метрах на секунду в квадрате, сокращённо м/с 2 ;
v — конечная скорость, измеряется в метрах в секунду, сокращённо м/с;
v0 — начальная скорость, измеряется в метрах в секунду, сокращённо м/с;
t — время, измеряется в секундах, сокращённо с.
На практике часто встречаются задачи, в которых нужно найти перемещение тела при
равноускоренном прямолинейном движении, но время движения при этом неизвестно. В
этих случаях используют другую формулу проекции перемещения. Получим её.
Из формулы проекции скорости равноускоренного прямолинейного движения
v  v0
v  v0  a t выразим время: t  .
a
Подставив это выражение в формулу проекции перемещения, получим:
v  v0 a  v  v0  v 2  v0
2 2
s  v0    . Отсюда s  .
a 2 a  2a
Формула перемещения тела при равноускоренном прямолинейном движении когда
время движения при этом неизвестно:
v 2  v0
2
s ,
2a
или
v2  v0  2as ; v 2  v0  2as .
2 2
Здесь s — проекция перемещения, измеряется в метрах, сокращённо м;
а — ускорение, измеряется в метрах на секунду в квадрате, сокращённо м/с 2 ;
v — конечная скорость, измеряется в метрах в секунду, сокращённо м/с;
v0 — начальная скорость, измеряется в метрах в секунду, сокращённо м/с.
Если начальная скорость тела при разгоне равна нулю, то
v2
v  2as . Отсюда s 
2
.
2a
При торможении v 2  v0  2as .
2
Полученная формула позволяет рассчитать тормозной путь транспортных средств, т. е.
путь, который проезжает, например, автомобиль до полной остановки:
v2
0  v0  2as , отсюда v0  2as , а s  0 .
2 2
2a
При решении конкретных задач перед отрицательной проекцией (по смыслу задачи)
будем сразу писать знак «минус» либо только в исходных данных, либо только в
исходных формулах. Знак «минус» в ответе покажет нам, что направление этой векторной
величины противоположно направлению координатной оси. На рисунке 5 приведены
понятия и формулы равноускоренного движения.

5. Рис. 5.
Если проекция v0 начальной скорости равна нулю (в начальный момент времени тело
покоилось!), то эта формула принимает вид:
a t2
s  .
2
График скорости такого движения показан на рисунке 6.
Рис. 6.
Таким образом, мы видим, что при равноускоренном движении перемещение растёт со
временем не так, как при равномерном движении: теперь в формулу входит квадрат
времени. Это значит, что перемещение со временем растёт быстрее, чем при равномерном
движении.