ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.
З. А. Скопец, Л. И. Кузнецова http://matematika.advandcash.biz/?p=863
In this paper we formulate singular theories (determined by degenerate Lagrangians) without involving constraints. We construct a partial Hamiltonian formalism in reduced phase space (with arbitrary number of momenta). The equations of motion are first-order differential equations, and they coincide with ones of the multi-time dynamics under a certain condition, which in a singular theory is coincidence of number of generalized momenta to the rank of the Hessian matrix. Non-canonical generalized velocities satisfy the system of linear algebraic equations, which sets the appropriate classification of singular theories (gauge and nongauge). To describe the time evolution of physical quantities we introduce a new anti-symmetric bracket (similar to the Poisson bracket). It is shown how the extension of the phase space leads to constraints, and the new bracket goes into the Dirac bracket. Quantization is briefly discussed.
ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.
З. А. Скопец, Л. И. Кузнецова http://matematika.advandcash.biz/?p=863
In this paper we formulate singular theories (determined by degenerate Lagrangians) without involving constraints. We construct a partial Hamiltonian formalism in reduced phase space (with arbitrary number of momenta). The equations of motion are first-order differential equations, and they coincide with ones of the multi-time dynamics under a certain condition, which in a singular theory is coincidence of number of generalized momenta to the rank of the Hessian matrix. Non-canonical generalized velocities satisfy the system of linear algebraic equations, which sets the appropriate classification of singular theories (gauge and nongauge). To describe the time evolution of physical quantities we introduce a new anti-symmetric bracket (similar to the Poisson bracket). It is shown how the extension of the phase space leads to constraints, and the new bracket goes into the Dirac bracket. Quantization is briefly discussed.
1. Кинематика Лекция 8
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Механическое движение – изменение положения материального
тела с течением времени по отношению к какому–либо другому телу,
называемому телом отсчета.
Механическое движение происходит в пространстве и времени. В
теоретической механике в качестве моделей реальных пространства и
времени принимаются их простейшие модели – абсолютное
пространство и абсолютное время.
Абсолютное пространство представляет собой трехмерное,
однородное и изотропное неподвижное евклидово пространство.
Абсолютное время считается непрерывно изменяющейся
величиной, оно течет от прошлого к будущему. Время однородно,
одинаково во всех точках пространства и не зависит от движения
материи.
Абсолютное пространство и абсолютное время считаются
независимыми одно от другого, напротив, реальное пространство не
существует вне времени и нет времени вне пространства.
2. Кинемктика Лекция 8
Система отсчета – это совокупность тела отсчета и связанной с
ним системы координат. Обычно эту систему координат и
рассматривают как систему отсчета, полагая, что она является
абстрактной моделью тела отсчета, которое можно представить
неподвижно скрепленным с этой системой координат.
Траектория точки – это непрерывная кривая, описываемая точкой
при ее движении. Если траектория точки прямая линия, то движение
точки называется прямолинейным, в противном случае криволинейным. В небесной механике траекторию называют орбитой.
Перемещение точки за некоторый промежуток времени – это
вектор, соединяющий начальное и конечное положение точки на этом
промежутке времени.
Основные кинематические характеристики движения (положение,
скорость, ускорение) определяются при помощи единиц длины и
времени. За единицу длины выбирается 1 м, за единицу времени – 1 с.
3. Кинемктика Лекция 8
1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
1.1. Способы задания движения точки
Задать движение точки – значит указать способ нахождения ее
положения в выбранной системе отсчета в любой момент времени.
1. Векторный способ.
r = r (t ),
r
M
(1.1)
Уравнение (1.1) называется векторным
уравнением движения точки или законом
движения точки в векторной форме.
O
Годографом
какого-либо
вектора
называют кривую, которую описывает
конец этого вектора, когда его начало находится все время в одной и
той же точке.
Годографом радиуса – вектора точки будет ее траектория.
4. Кинемктика Лекция 8
1. Координатный способ
x = x(t ),
z
y = y(t ),
(1.2)
M
z = z(t ).
Выражения (1.2) называются
r
k
уравнениями
или
законом
z
j
y
O
движения точки в координатной
i
форме, их можно рассматривать
x
x
как параметрические уравнения
y
траектории точки М
Связь между векторным и
координатным способами задания движения точки определяется
выражением
r = xi + yj + zk
(1.3)
5. Кинемктика Лекция 8
1. Естественный способ
σ = σ (t )
(1.6)
O
Уравнение (1.6) называется
законом движения вдоль заданной
σ
траектории.
z
При естественном способе
M
задания
движения
точки
+
задаются:
y
x
O1
1) линия,
на
которой
находится
траектория
точки,
2) начало отсчета (точка О),
3) положительное и отрицательное направление отсчета дуги
σ,
4) закон движения точки по траектории (1.6).
6. Кинемктика Лекция 8
1.2. Скорость точки
1. Определение скорости и ее вычисление при векторном способе задания
движения
∆ r
Vcp =
(1.9)
M
∆t
Скоростью точки в момент
времени
t
называется
M1
векторная величина V , к
1
которой стремится средняя
сp
скорость Vcp при стремлении
O
r ∆r
V
V
r
промежутка
нулю:
времени
∆t
к
∆
V = lim Vcp = lim
∆ t→ 0
∆ t→ 0 ∆
dr
V =
.
dt
r
.
t
(1.10)
7. Кинемктика Лекция 8
1. Вычисление скорости при координатном способе задания
движения
Проекции скорости точки на оси координат равны первым
производным по времени от соответствующих координат точки:
Vx = x, V y = y , Vz = z
(1.11)
По проекциям находится модуль вектора скорости
(1.12)
V = Vx2 + V y2 + Vz2
и его направляющие косинусы:
∧ Vz
∧ Vx
∧ V y
cos(i ,V ) = , cos( j ,V ) =
, cos(k ,V ) = .(1.13)
V
V
V