http://e-taksh.blogspot.gr/2015/05/846.html# Μαθηματικά Ε΄ 8.46. ΄΄ Αξιολόγηση πληροφοριών σε ένα πρόβλημα ΄΄

1. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
http://e-taksh.blogspot.gr
Μαθηματικά Ε΄ Τάξης - Ενότητα 8 - Κεφάλαιο 46:
΄΄ Αξιολόγηση πληροφοριών σε ένα πρόβλημα ΄΄
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.1

2. Αξιολόγηση των πληροφοριών σ' ένα πρόβλημα (10/03)
Για να μπορέσουμε να λύσουμε ένα πρόβλημα πρέπει να
εντοπίσουμε τα δεδομένα, δηλαδή τις πληροφορίες που μας δίνει
το ίδιο το πρόβλημα. Αυτές οι πληροφορίες μπορεί να δίνονται :
 Με λόγια, στην εκφώνηση του προβλήματος π.χ.
αν διπλασιάσουμε τους εργάτες σε ένα έργο...
 Με ένα γεωμετρικό σχήμα π.χ. αν δίνεται ένα τρίγωνο με ίσες
πλευρές ή αν δίνεται ένα σχήμα με τα μήκη των πλευρών του...
 Με γεωμετρικά σχήματα που αναλύονται σε άλλα
απλούστερα.
 Με εικόνες και σκίτσα.
 Με πίνακες δεδομένων (γραφήματα).
Κάποια προβλήματα μοιάζουν. Κάποια άλλα όμως
χρειάζονται ιδιαίτερη στρατηγική για να λυθούν. Για να το
πετύχουμε αυτό, θα πρέπει να μπορούμε να παρουσιάσουμε
και να εξηγήσουμε τα βήματα που επιλέγουμε, για να γίνει το
πρόβλημα κατανοητό, αν θέλουμε να το εξηγήσουμε σε
κάποιον άλλον.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.2

3. Αξιολόγηση πληροφοριών
σε ένα πρόβλημα
Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.3

4. Τα γνωστά στοιχεία
ενός προβλήματος
 Τα δεδομένα (γνωστά στοιχεία)
ενός προβλήματος μπορούν να δοθούν
διάφορους τρόπους.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.4

5. Τα δεδομένα δίνονται:
 Με λόγια
 Με ένα γεωμετρικό σχήμα (το οποίο
αναλύεται σε απλούστερα)
 Με εικόνες
 Με πίνακα
 Με κανόνες παιχνιδιού
Υπάρχει και περίπτωση συνδυασμού των
παραπάνω τρόπων.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.5

6. Αξιολόγηση δεδομένων
και λύση του προβλήματος
 Εξετάζοντας κάθε φορά τα δεδομένα,
προσπαθούμε να ξεχωρίσουμε
τις μαθηματικές πληροφορίες, οι οποίες
περιέχονται σ’ αυτά και, με βάση τις
πληροφορίες αυτές, να σχεδιάσουμε την
κατάλληλη λύση.
Γιάννης Φερεντίνος
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.6

7. Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.7

8. 242
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ
ÃÉÁ ÔÇÍ Å’ ÔÁÎÇ ÄÇÌÏÔÉÊÏÕ
Ðåñéå÷üìåíá:
46. Aîéïëüãçóç ðëçñïöïñéþí óå Ýíá ðñüâëçìá ............ óåë. 243
47. Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá -
ÓõíäõÜæïíôáò ðëçñïöïñßåò (á)................................... óåë. 250
48. Áîéïëüãçóç ðëçñïöïñéþí -
äéüñèùóç ðñïâëÞìáôïò .............................................. óåë. 259
49. Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá -
ÓõíäõÜæïíôáò ðëçñïöïñßåò (â)................................... óåë. 264
50. Óìßêñõíóç - ÌåãÝèõíóç ............................................. óåë. 271
8ï
Åðáíáëçðôéêü .......................................................... óåë. 276
Ãéá ðåñéóóüôåñç åîÜóêçóç ........................................... óåë. 278
ÊñéôÞñéï áîéïëüãçóçò.................................................. óåë. 286
Áðáãïñåýåôáé ç áíáðáñáãùãÞ ôïõ ðáñüíôïò
âéâëßïõ ìå ïðïéïíäÞðïôå ôñüðï, ÷ùñßò ôçí
Ýããñáöç Üäåéá ôïõ åêäüôç.
Äéåýèõíóç åêðáéäåõôéêÞò óåéñÜò:
ÆÕÑÌÐÁÓ ÁÍÄÑÅÁÓ
Õðåýèõíïé Ýêäïóçò:
ÖÅÔÓÇÓ ÃÅÙÑÃÉÏÓ
ÂÏÕÄÏÕÑÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓ
ÄÅÌÅÑÏÕÔÇ ÁÉÊÁÔÅÑÉÍÇ
ÓõíôáêôéêÞ ïìÜäá:
ÁËÁÌÁÍÇ ÃÅÙÑÃÉÁ
ÂÏÕÄÏÕÑÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓ
ÃÅÑÏÍÔÏÐÏÕËÏÓ ÓÔÅÖÁÍÏÓ
ÄÅÌÅÑÏÕÔÇ ÁÉÊÁÔÅÑÉÍÇ
ÌÏÉÑÁÓ ÐÁÍÁÃÉÙÔÇÓ
ÌÏÕÓÏÕËÇÓ ÉÙÁÍÍÇÓ
ÏÑÓÏÐÏÕËÏÓ ÉÙÁÍÍÇÓ
ÖÅÔÓÇÓ ÃÅÙÑÃÉÏÓ
×ÁÍÉÙÔÇ ÉÙÁÍÍÁ
Êáëëéôå÷íéêÞ äéåýèõíóç:
FORWARD CREATIVE BUREAU
210 9585645
DTP - ÃñáöéêÜ:
ÔÓÅËÉÊÈÅÏ×ÁÑÉÄÏÕ ÖÙÔÅÉÍÇ
ÅéêïíïãñÜöçóç:
ÊÁËÁÍÔÙÍÇÓ ÅËÅÕÈÅÑÉÏÓ
ÆÏÕËÁÊÇÓ ÅÌÌÁÍÏÕÇË
ÔÓÉÏÌÐÁÍÉÄÇÓ ÓÔÁÕÑÏÓ
Copyright:
Ç. ÌáíéáôÝáò
ÅêäïôéêÝò Åðé÷åéñÞóåéò Á.Å.
ÈçóÝùò 50, ÊáëëéèÝá
ôçë. 210 9546555
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.8

9. 243
46. Áîéïëüãçóç ðëçñïöïñéþí óå Ýíá ðñüâëçìá
¢óêçóç á
Íá õðïëïãéóôåß óôï äéðëáíü ó÷Þìá:
á. ç ðåñßìåôñïò ôïõ
â. ôï åìâáäüí ôïõ
ëýóç
á. Ç ðåñßìåôñïò ôïõ ó÷Þìáôïò åßíáé ç åîÞò:
3 + 7 + 6 + 3 + 3 + 4 = 26 åê.
â. Ãéá íá õðïëïãßóù ôï åìâáäüí ôïõ ó÷Þìáôïò èá ôï ÷ùñß-
óù óå ãíùóôÜ ó÷Þìáôá áðü ôá ïðïßá áðïôåëåßôáé. Èá
áèñïßóù ôá åðéìÝñïõò åìâáäÜ ôïõ ó÷Þìáôïò êáé Ýôóé èá
âñù ôï åìâáäüí ôïõ áñ÷éêïý ìïõ ó÷Þìáôïò.
Åìâáäüí (1) = 3 · 4 = 12 ô.åê.
Åìâáäüí (2) = 3 · 6 = 18 ô.åê.
Åìâáäüí ó÷Þìáôïò = 12 + 18 = 30 ô.åê.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.9

10. 244
Áîéïëüãçóç ðëçñïöïñéþí óå Ýíá ðñüâëçìá
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 6
• Ïé ëéãüôåñïé âáèìïß óõãêåíôñþíïíôáé êáôÜ ôç äéáäñïìÞ:
100 + 200 + 300 + 70 +1.100 = 1.770
• Ïé ðåñéóóüôåñïé âáèìïß óõãêåíôñþíïíôáé óôç äéáäñïìÞ:
100+500 + 900 + 1.000 + 600 + 200 + 300 + 400 + 800 + 1.200 + 1.100 = 7.100
• Áí áêïëïõèÞóïõìå ôç äéáäñïìÞ: 100-500-600-200-300-700-1100
ïé âáèìïß ðïõ óõãêåíôñþíïíôáé åßíáé100 + 500 + 600 + 200 +300 + 700 + 1.100 = 3.500
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.10

11. 245
Áîéïëüãçóç ðëçñïöïñéþí óå Ýíá ðñüâëçìá
¢óêçóç â
• Íá õðïëïãéóôåß ôï åìâáäüí ôïõ ó÷Þìáôïò.
• Ðüóï åßíáé ôï åìâáäüí ôïõ ÷ñùìáôéóìÝíïõ ôìÞìáôïò;
ëýóç
• Ôï ó÷Þìá áðïôåëåß ìïôßâï, ôïõ ïðïßïõ ôï åðáíáëáìâáíüìåíï êïììÜôé åßíáé
Ôï åìâáäüí ôïõ åßíáé 2 · 1,5 = 3 ô.åê.
Ïðüôå ôï åìâáäüí ôïõ ó÷Þìáôïò èá åßíáé 6 ÷ 3 = 18 ô.åê.
• 3 : 2 = 1,5 ô.åê.
6 ÷ 1,5 = 9 ô.åê. åßíáé ôï åìâáäüí ôïõ ÷ñùìáôéóìÝíïõ ôìÞìáôïò.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 6
Åêôéìþ: ðåñßðïõ 20ô.åê. äéüôé åßíáé 9 ïñè. ôñßãùíá ðïõ ôï êáèÝíá Ý÷åé åìâáäüí ôï
1
4
ôïõ ôåôñáãþíïõ ðïõ åßíáé 9ô.åê. Üñá ôï êáèÝíá Ý÷åé ðåñßðïõ 2ô.åê.
Õðïëïãßæù ìå áêñßâåéá: τριγ τετραγώνου
1 21
Ε Ε 200 42
4 100
= = ⋅ = Ôï óõíïëéêü åìâáäüí åßíáé
9 81
9 τ.εκ.
4 4
⋅ =
• åßíáé ôï
1
4
ôïõ ôåôñáãþíïõ: κόκκινηςεπιφάνειας
9
Ε τ.εκ.
4
=
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.11

12. 246
Áîéïëüãçóç ðëçñïöïñéþí óå Ýíá ðñüâëçìá
¢óêçóç ã
ÄéáèÝôïõìå ôïõò áñéèìïýò 100, 200, 300, 400, 500, ........, 1800, 1900, 2000 êáé ôñåßò ößëïé ï ÊùóôÜêçò, ç
ÑÜíéá êáé ç Ëüëá ðáßæïõí Ýíá ðáé÷íßäé ÷ñçóéìïðïéþíôáò ôïõò ðáñáðÜíù áñéèìïýò ìå ôïõò åîÞò êáíüíåò.
Ê1. Ï ÊùóôÜêçò åðéëÝãåé Ýíáí áñéèìü ôï ðñþôï øçößï ôïõ ïðïßïõ áí åßíáé ôñéøÞöéïò Þ ôá äýï ðñþôá
øçößá áí åßíáé ôåôñáøÞöéïò üôáí äéáéñïýíôáé ìå ôï 2 áöÞíïõí õðüëïéðï 1.
Ê2. Óôç óõíÝ÷åéá ç ÑÜíéá êáé ç Ëüëá åðéëÝãïõí Ýíá áðü ôá äýï ãñÜììáôá Ð Þ Ì (áí ð.÷. ç ÑÜíéá
åðéëÝîåé Ð, ç Ëüëá åðéëÝãåé áíáãêáóôéêÜ Ì ãé’áõôü åðéëÝãåé ðñþôá ìéá öïñÜ ç ìßá êáé ôçí Üëëç
öïñÜ ç Üëëç). Ìå ôï ãñÜììá Ð ðáñéóôÜíåôáé ôï Üèñïéóìá üëùí ôùí áñéèìþí ðïõ åßíáé ìéêñüôåñïé
áðü ôïí áñéèìü ðïõ åðÝëåîå ï ÊùóôÜêçò, ôùí ïðïßùí üìùò ôï ðñþôï øçößï áí åßíáé ôñéøÞöéï Þ ôá
äýï ðñþôá øçößá áí åßíáé ôåôñáøÞöéïé äéáéñïýíôáé áêñéâþò ìå ôï 2.
Ìå ôï ãñÜììá Ì ðáñéóôÜíåôáé ôï Üèñïéóìá üëùí ôùí áñéèìþí ðïõ åßíáé ìåãáëýôåñïé áðü ôïí
áñéèìü ðïõ åðÝëåîå ï ÊùóôÜêçò ìå ôçí ßäéá âÝâáéá ðñïõðüèåóç ãéá ôá øçößá ôïõò üðùò óôï
ãñÜììá Ð.
Ê3. Ôá áèñïßóìáôá Ð, Ì áðïôåëïýí ôïõò âáèìïýò ôïõ ðáéäéïý ðïõ ôá åðéëÝãåé. Êåñäßæåé üðïéï ðáéäß
Ý÷åé óõãêåíôñþóåé óôï ôÝëïò ôïõ ðáé÷íéäéïý ôï ìåãáëýôåñï Üèñïéóìá âáèìþí.
1. Íá õðïëïãßóåôå, óå êÜèå ðåñßðôùóç áñéèìïý ðïõ åðéëÝãåé ï ÊùóôÜêçò, ôá Ð, Ì.
2. Ìðïñåß ç ÑÜíéá êáé ç Ëüëá óå êÜðïéá öÜóç ôïõ ðáé÷íéäéïý íá åðéëÝîïõí ð.÷. ç ÑÜíéá Ð êáé ç Ëüëá
Ì êáé íá éó÷ýåé Ð + Ì = 11.000
3. Ðïéïí áñéèìü ðñÝðåé íá åðéëÝîåé ï ÊùóôÜêçò þóôå ç ÑÜíéá íá åðéëÝîåé ôï Ð ãéá ôï ïðïßï íá éó÷ýåé
Ð = 9000 êáé ç Ëüëá ôï Ì ãéá ôï ïðïßï íá éó÷ýåé Ì = 11.000
4. ¼ôáí ï ÊùóôÜêçò åðéëÝãåé áñéèìü ôÝôïéïí þóôå ôï ðëÞèïò ôùí áñéèìþí ðïõ öôéÜ÷íïõí ôï Ð åßíáé ßóï
ìå ôï ðëÞèïò ôùí áñéèìþí ðïõ öôéÜ÷íïõí ôï Ì. Íá õðïëïãßóåôå ôá Ð, Ì êáé íá ôá óõãêñßíåôå.
5. ÕðÜñ÷åé ðåñßðôùóç åðéëïãÞò áñéèìïý áðï ôïí ÊùóôÜêç Ýôóé þóôå Ð = Ì êáé ðïéïò åßíáé áõôüò ï
áñéèìüò;
6. Áí ç ÑÜíéá äéáëÝîåé üëá ôá Ð êáé ç Ëüëá üëá ôá Ì ðïéÜ èá åßíáé êåñäéóìÝíç êáé ðïéá èá åßíáé ç
äéáöïñÜ óôçí âáèìïëïãßá ôïõò;´
Óçìåßùóç: Ôïõò áñéèìïýò ðïõ äéáéñïýìåíïé ìå ôï 2 áöÞíïõí õðüëïéðï 1 ôïõò ïíïìÜæïõìå ðåñéôôïýò
(ìïíïýò).
Ôïõò áñéèìïýò ðïõ äéáéñïýìåíïé ìå ôï 2 áöÞíïõí õðüëïéðï 0 (äéáéñïýíôáé äçëáäÞ áêñéâþò)
ôïõò ïíïìÜæïõìå Üñôéïõò (æõãïýò).
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.12

13. 247
Áîéïëüãçóç ðëçñïöïñéþí óå Ýíá ðñüâëçìá
ëýóç
Áñ÷éêÜ ðáñáôçñïýìå ôïõò áñéèìïýò ðïõ äéáèÝôïõìå êáé ãéá áðëïýóôåõóç, ÷ùñßò íá ÷Üíïõìå ôßðïôá
áðü ôéò ðñïõðïèÝóåéò ðïõ ðñÝðåé íá ðëçñïýíôáé óôç óõíÝ÷åéá, ôïõò äéáéñïýìå üëïõò ìå 100.
¸ôóé ãßíïíôáé:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
Óôç óõíÝ÷åéá êáôáóôñþíïõìå ôïí ðáñáêÜôù åõöõÞ êáé óõíïðôéêü ðßíáêá ðÜíù óôïí ïðïßï öáßíåôáé
îåêÜèáñá ç ó÷Ýóç ôïõ Ð,Ì ãéá ïðïéáäÞðïôå åðéëïãÞ áñéèìïý, åîçãþíôáò ïôé ïé áñéèìïß ðïõ ìðïñåß
íá åðéëÝîåé ï ÊùóôÜêçò åßíáé:
100 300 500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
êáé ïé áñéèìïß ðïõ ìåôÝ÷ïõí óôá áèñïßóìáôá Ð,Ì åßíáé:
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
1. Õðïëïãßæïõìå ôá Ð,Ì óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ï ÊùóôÜêçò åðéëÝãåé ôïí áñéèìü 900 (9):
Ð = 200 + 400 + 600 + 800 = 2000
äçë. Ð = 2 + 4 + 6 + 8 = 20
êáé Ì = 1000 + 1200 + 1400 + 1600 + 1800 + 2000 = 9000
äçë. Ì = 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 = 90
¼ìïéá êáé óôéò Üëëåò ðåñéðôþóåéò êáé êáôáóôñþíïõìå ôïí ðßíáêá.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Ð Ì
1: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 110
3: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2 108
5: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 6 104
7: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 12 98
9: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 20 90
11: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 30 80
13: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 42 68
15: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 56 54
17: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 72 38
19: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 90 20
Óýíïëï 330 770
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.13

14. 248
2. Óå êÜèå ðåñßðôùóç åðéëïãÞò áñéèìïý áðü ôïí ÊùóôÜêç éó÷ýåé Ð + Ì = 11.000
3. Äåí õðÜñ÷åé êáíÝíáò ôÝôïéïò áñéèìüò, äéüôé áí õðÞñ÷å ôüôå Ð + Ì = 9.000 + 11.000 = 20.000, ôï
ïðïßï åßíáé áäýíáôïí óýìöùíá ìå ôï 2 åñþôçìá.
4. Ï áñéèìüò ðïõ åðéëÝãåé ï ÊùóôÜêçò åßíáé 1.100 êáé ôüôå
Ð = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 (3000) êáé
Ì = 12 + 14 + 16 + 18 + 20 = 80 (8000)
5. Ðåñßðôùóç ôÝôïéá üðùò öáßíåôáé áðü ôïí ðßíáêá äåí õðÜñ÷åé.
6. Ó’áõôÞ ôçí ðåñßðôùóç åßíáé ïé âáèìïß ôçò ÑÜíéáò, ðïõ åðéëÝãåé üëá ôá Ð, 33.000 êáé ôçò Ëüëáò ðïõ
åðïëÝãåé üëá ôá Ì, 77.000. ÅðïìÝíùò èá åßíáé êåñäéóìÝíç ç Ëüëá êáé ç äéáöïñÜ ôçò âáèìïëïãßá
ôïõò èá åßíáé: 77.000 - 33.000 = 44.000
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 7 Óôá ó÷Þìáôá (â), (ã), (ä) ãíùñßæù êÜèå öïñÜ ôï åìâáäü
ôïõ ìåãÜëïõ ôåôñáãþíïõ êáé ðáñáôçñþ üôé 2 ìéêñÜ ôñß-
ãùíá Ý÷ïõí ßóï åìâáäü ìå 1 ìéêñü ôåôñÜãùíï.
ÅêöñÜæù óå êÜèå ðåñßðôùóç ôç ÷ñùìáôéóìÝíç åðéöÜíåéá:
( )α
3
4
Þ 0,75 ( )β
4
9
Þ 0,44
( )γ
2 1
ή
4 2
Þ 0,5 ( )δ
3
4
Þ 0,75
Áîéïëüãçóç ðëçñïöïñéþí óå Ýíá ðñüâëçìá
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.14

15. 249
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 7
• ÁèÞíá - Áãñßíéï: 300÷ì., ÓðÜñôç - Áãñßíéï: 400÷ì, ÐÜôñá - Áãñßíéï: 90÷ì.
• ÐñïóèÝôù ôá ÷éëéüìåôñá êÜèå óôÞëçò åîáéñþíôáò ôç ãñáììÞ ðïõ áíáöÝñåôáé óôï Áãñßíéï.
Ôá ëéãüôåñá ÷ì. ôá äéáíýïõí áí óõíáíôçèïýí óôçí ÁèÞíá: 210 + 230 = 440
Áîéïëüãçóç ðëçñïöïñéþí óå Ýíá ðñüâëçìá
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.15

16. 250
47. Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá - ÓõíäõÜæïíôáò ðëçñïöïñßåò (á)
¢óêçóç á
¸íáò êáèçãçôÞò ñùôÜåé ôïõò ìáèçôÝò ôçò ôÜîçò ôïõ. “ ¢í äéðëáóéÜóù ôï
ôñéðëÜóéï ôïõ ìéóïý ôçò çëéêßáò ôïõ ãéïý ìïõ èá Ýâñéóêá ôçí çëéêßá ìïõ.
Ç çëéêßá ìïõ åßíáé áñéèìçôéêÜ ßóç ìå ôï 21% ôïõ 200. Ðüóùí ÷ñïíþí Þôáí
ï ãõéüò ìïõ ôï 1996;
ëýóç
Áñ÷éêÜ âñßóêïõìå ôçí çëéêßá ôïõ êáèçãçôÞ:
21
200 42
100
⋅ = ÷ñïíþí
Ôï äéðëÜóéï ôïõ ôñéðëÜóéïõ ôïõ ìéóïý ôçò çëéêßáò ôïõ ãéïý åßíáé ç çëéêßá
ôïõ êáèçãçôÞ ðïõ üðùò âñÞêáìå åßíáé 42 ÷ñïíþí. ¢ñá ôï ôñéðëÜóéï ôçò
çëéêßáò ôïõ ãéïý ôïõ åßíáé 21 ÷ñüíéá.
¢ñá ï ãéüò ôïõ åßíáé áõôÞ ôçí óôéãìÞ (2006) 14 ÷ñïíþí.
2006 - 14 = 1992. ÃåííÞèçêå ôï 1992.
¢ñá ôï 1996 Þôáí 4 ÷ñïíþí.
¢óêçóç â
Óôá 100 ãñáìì. óïêïëÜôáò õðÜñ÷ïõí 620 èåñìßäåò.
• Ðüóç åßíáé ç èåñìéäéêÞ áîßá 125 ãñáìì. óïêïëÜôáò;
• Ðüóç åßíáé ç èåñìéäéêÞ áîßá 20 ãñáìì. óïêïëÜôáò;
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.16

17. 251
Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá - ÓõíäõÜæïíôáò ðëçñïöïñßåò (á)
ëýóç
• Áöïý ôá 100 ãñáìì. óïêïëÜôáò Ý÷ïõí èåñìéäéêÞ áîßá 620 èåñìßäåò.
Ôá 25 ãñáìì. èá Ý÷ïõí: 620 : 4 = 155 èåñìßäåò.
Ôá 125 ãñáìì. óïêïëÜôáò Ý÷ïõí 620 + 155 = 755 èåñìßäåò.
• Ôá 20 ãñáìì. óïêïëÜôáò Ý÷ïõí: 620 : 5 = 124 èåñìßäåò
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 8 Áãüñáóá 4,5 êéëÜ ôõñß êáé ðëÞñùóá 54 .
Ðüóï êïóôßæåé ôï Ýíá êéëü;
• Ôá 4,5 êéëÜ êïóôßæïõí 54 Üñá ôï 1 êéëü êïóôßæåé 54:4,5 = 12 êáé ôï
1
4
êïóôßæåé
12
3€
4
=
• Áí áãïñÜóïõìå
3
4
ôïõ êéëïý ôõñß, ðüóï èá ðëçñþóïõìå;
¢óêçóç ã
Óå Ýíá êáôÜóôçìá çëåêôñéêþí åéäþí, ï ðùëçôÞò ðïýëçóå Ýíá
ðëõíôÞñéï ðñïò 240 êáé Ýíá øõãåßï ðñïò 420 . Áí ôï Ö.Ð.Á.
åßíáé 19% êáé ôï êÝñäïò ôïõ åßíáé 6% ôçò áñ÷éêÞò ôéìÞò ÷ùñßò
Ö.Ð.Á. ðüóá ÷ñÞìáôá ðÞñå ï ðùëçôÞò;
ëýóç
Ç ôéìÞ ôïõ ðëõíôçñßïõ ÷ùñßò ôï Ö.Ð.Á. åßíáé:
19
240 240 240 45,6 194,4€
100
− = − =
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.17

18. 252
Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá - ÓõíäõÜæïíôáò ðëçñïöïñßåò (á)
Ç ôéìÞ ôïõ øõãåßïõ ÷ùñßò ôï Ö.Ð.Á. åßíáé:
19
420 420 420 79,8 340,20€
100
− = − =
Ï ðùëçôÞò èá ðÜñåé:
6
194,4 11,66€
100
=
6
340,20 20,41€
100
=
ÓõíïëéêÜ: 11,66
+ 20,41
32,07
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 8
Áí áðü ôï 86 áöáéñÝóïõìå ôçí çëéêßá ôïõ ËïõêÜ
86–11=75 ðáßñíïõìå ôï Üèñïéóìá ôçò çëéêßáò ôïõ
ðáôÝñá ôïõ êáé ôçò ìçôÝñáò ôïõ.
Áöïý Ý÷ïõí äéáöïñÜ 3 ÷ñüíéá, áöáéñïýìå ôï 3 áðü
ôï 75 (75–3=72)
Ôï ìéóü ôïõ 72 åßíáé 36 Üñá ï ðáôÝñáò ôïõ åßíáé 36
êáé ç ìçôÝñá ôïõ 36+3=39.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.18

19. 253
Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá - ÓõíäõÜæïíôáò ðëçñïöïñßåò (á)
¢óêçóç ä
Ï ÔÜóïò ðÞãå óôï ìáãáæß ôçò ãåéôïíéÜò ôïõ íá áãïñÜóåé îçñïýò
êáñðïýò. Áõôoß ðïõ ôïõ Üñåóáí êüóôéæáí 12 ôï êéëü.
• Ðüóï êïóôßæïõí ôá 100 ãñáìì. ;
• Áí åß÷å ìáæß ôïõ 3,5 ,ìðïñïýóå íá áãïñÜóåé 1/4 ôïõ êéëïý
áðü ôïõò êáñðïýò ðïõ ôïõ Üñåóáí;
ëýóç
Ôá 1.000 ãñáìì. êïóôßæïõí 12 .
Ôá 100 ãñáìì. êïóôßæïõí 1,2 .
Ôá 250 ãñáìì. êïóôßæïõí 12 : 4 = 3 .
Ìðïñåß íá ôá áãïñÜóåé êáé ôïõ ìÝíåé êáé ìéóü åõñþ.
¢óêçóç å
Óôéò áíáãñáöüìåíåò ôéìÝò ôï êÝñäïò ôïõ Ýìðïñïõ åßíáé 25%.
• Ðüóï åßíáé ôï êÝñäïò ôïõ óå êáèÝíá áðü ôá 3 ðñïúüíôá, êáé ðïéï ôï óõíïëéêü êÝñäïò;
• Áí óôéò áíáãñáöüìåíåò ôéìÝò ãßíåé Ýêðôùóç 10% ôé êÝñäïò èá Ý÷åé ï Ýìðïñïò ôåëéêÜ áðü êÜèå
ðñïúüí;
ëýóç
• êÝñäïò 25% óçìáßíåé üôé êåñäßæåé: 25 óôá 100 Þ 1 óôá 4
¢ñá 36 : 4 = 9, êåñäßæåé 9 åõñþ ....
40 : 4 = 10, êåñäßæåé 10 åõñþ ....
60 : 4 = 15, êåñäßæåé 15 åõñþ .....
ÓõíïëéêÜ êåñäßæåé: 9 + 10 + 15 = 34 .
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.19

20. 254
Áí ãßíåé Ýêðôùóç 10% äçëáäÞ 1 óôá 10 , ôüôå ç ìðëïýæá èá ðùëçèåß 4 ëéãüôåñï äçëáäÞ 36 .
Ôï êÝñäïò ôïõ åìðüñïõ èá åßíáé ôüôå: 36 : 4 = 9 .
¢ëëïò ôñüðïò:
×ùñßò ôçí Ýêðôùóç êÝñäéæå 10 .
Áí êÜíåé Ýêðôùóç 10% èá êåñäßóåé êáé 10% ëéãüôåñï. Ôï 10% ôùí 10 åßíáé 1 .
¢ñá èá êåñäßóåé 9 . Ìå üìïéï ôñüðï âñßóêïõìå üôé óôï ðáíôåëüíé êåñäßæåé: 9 – 10% ôïõ 9 = 0,9 = 8,1 .
êáé óôï ìðïõöÜí 15 –10% ôïõ 15 = 15 –
10
15 1,5 13,5€
100
− = .
Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá - ÓõíäõÜæïíôáò ðëçñïöïñßåò (á)
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 8
• Åêôéìþ: Ôï ßäéï
Åîçãþ ðùò óêÝöôçêá: Ôá 250ãñáìì. ÷ïéñéíü êïóôßæïõí 9,5 : 5 ðåñßðïõ 2 .
Ôá 250ãñáìì. ìïó÷Üñé êïóôßæïõí 11,5 : 6 ðåñßðïõ 2
Õðïëïãßæù ìå áêñßâåéá:
• 9,5 : 5 = 1,9 êïóôßæïõí ôá 250ãñáìì., Üñá ôá 1.000 = 4·250 êïóôßæïõí 4 · 1,9=7,6
• ÐÞñáí äýï óõóêåõáóßåò ìå ÷ïéñéíü êáé ìéá óõóêåõáóßá ìå ìïó÷Üñé áöïý:
1.250 + 1.250 + 1.500 = 4.000 ãñáìì. Þ 4 êéëÜ.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.20

21. 255
Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá - ÓõíäõÜæïíôáò ðëçñïöïñßåò (á)
¢óêçóç óô
Ôñåéò ößëïé îåêéíïýí ìáæß êáé ôñÝ÷ïõí ôï ãýñï åíüò óôáäßïõ. Ï
ðñþôïò êÜíåé ôï ãýñï óå 60’’, ï äåýôåñïò óå 40’’ êáé ï ôñßôïò óå 45’’.
• Óå ðüóç þñá èá óõíáíôçèïýí êáé ïé ôñåéò ìáæß óôçí åêêßíçóç;
• ÕðÜñ÷åé ðåñßðôùóç íá óõíáíôçèïýí óôçí åêêßíçóç ìüíï ï
äåýôåñïò êáé ï ôñßôïò ðñéí óõíáíçèïýí êáé ïé ôñåéò ìáæß;
ëýóç
• Óýìöùíá ìå ôïí ðßíáêá: èá óõíáíôçèïýí ìáæß ãéá ðñþôç öïñÜ ìåôÜ áðü 180’’.
• Äåí õðÜñ÷åé ðåñßðôùóç íá óõíáíôçèåß ï äåýôåñïò êáé ï ôñßôïò ðñéí óõíáíôçèïýí êáé ïé
ôñåéò ìáæß.
÷ñüíï 60’’ 120’’ 180’’
ðñþôïò íáé íáé íáé
äåýôåñïò – íáé íáé
ôñßôïò – – íáé
¢óêçóç æ
Ðáñáôçñþ ôá äåäïìÝíá óôçí åéêüíá. ÅêöñÜæù ìå ëüãéá Ýíá ðñüâëçìá êáé
ðñïôåßíù ôç ëýóç ôïõ.
ëýóç
Ôá 25 êéëÜ ìÞëá êïóôßæïõí 50 . Ðüóï êïóôßæïõí ôá
3
4
ôïõ êéëïý;
Ôï 1 êéëü êïóôßæåé 50 : 25 = 2 Üñá ôï
1
4
ôïõ êéëïý êïóôßæåé: 2 : 4 = 0,5
êáé åðïìÝíùò ôá
3
4
ôïõ êéëïý êïóôßæïõí
3
x2 1,5€
4
= .
50 åõñþ
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.21

22. 256
Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá - ÓõíäõÜæïíôáò ðëçñïöïñßåò (á)
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 9
•
120
30
4
= êüêêéíåò. Áðü áõôÝò ôï
1
5
Ý÷ïõí ãåýóç öñÜïõëá, Üñá
1
30 6
5
= êáé ôá
3
5
Ý÷ïõí
ãåýóç êåñÜóé äçë.
3
30 18
5
⋅ = .
ÕðÜñ÷ïõí êáé 30 – 6 – 18 = 6 êüêêéíåò êáñáìÝëåò ìå Üëëç ãåýóç.
• Êüêêéíåò ìå ãåýóç öñÜïõëá:
6
5%
120
=
Êüêêéíåò ìå ãåýóç êåñÜóé:
18
15%
120
=
Êüêêéíåò ìå Üëëç ãåýóç:
6
5%
120
=
• åßíáé 120 – 30 = 90 êáñáìÝëåò ôï
3 3 25 75
ή 75%
4 4 25 100
= =
⋅
⋅
ôïõ óõíüëïõ.
¢óêçóç ç
Ï Ãéþñãïò åßíáé 46 ÷ñïíþí. Ï ößëïò
ôïõ ï Óôáýñïò åßíáé 17 ÷ñüíéá ìåãáëý-
ôåñïò áðü ôçí êïéíÞ ôïõò ößëç ôçí Êá-
ôåñßíá. Ðüóï ÷ñïíþí åßíáé ïé ößëïé ôïõ
Ãéþñãïõ áí ôï Üèñïéóìá ôùí çëéêéþí
êáé ôùí ôñéþí åßíáé 115 ÷ñüíéá;
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.22

23. 257
Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá - ÓõíäõÜæïíôáò ðëçñïöïñßåò (á)
ëýóç
Ôï Üèñïéóìá ôùí çëéêéþí ôçò Êáôåñßíáò êáé ôïõ Óôáýñïõ åßíáé: 115 – 46 = 69.
Ï Óôáýñïò åßíáé 17 ÷ñüíéá ìåãáëýôåñïò áðü ôçí Êáôåñßíá, Üñá : 69 – 17 = 52
¼ìùò, çëéêßá Êáôåñßíáò + çëéêßá Óôáýñïõ = 69.
Ç Êáôåñßíá åßíáé 26 êáé ï Óôáýñïò 26 + 17 = 43.
¢óêçóç è
Áðü ôïõò 150 ìáèçôÝò åíüò Äçìïôéêïý ôï
1
3
öïñÜ
ôæéí ðáíôåëüíé. Áðü áõôïýò ðïõ öïñïýí ðáíôåëüíé
ôï
1
5
öïñÜåé ðáíôåëüíé ìáýñïõ ÷ñþìáôïò êáé ôá
2
5
öïñïýí ìðëÝ. Ðüóïé ìáèçôÝò öïñïýí ôæéí ðáíôåëüíé
• ìáýñïõ ÷ñþìáôïò • ìðëå ÷ñþìáôïò
• Üëëïõ ÷ñþìáôïò
ëýóç
Ôï
1
3
ôïõ 150 åßíáé 150 : 3 = 50 ¢ñá 50 ìáèçôÝò öïñïýí ôæéí.
Ôï
1
5
ôïõ 50 åßíáé 50 : 5 = 10 ¢ñá 10 ìáèçôÝò öïñïýí ìáýñï ðáíôåëüíé.
Ôá
2
5
ôïõ 50 åßíáé 2 ÷ 10 = 20 ¢ñá 20 ìáèçôÝò öïñïýí ìðëÝ ðáíôåëüíé.
¢ñá 50 – 10 – 20 = 20 öïñïýí ðáíôåëüíé Üëëïõ ÷ñþìáôïò.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.23

24. 258
Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá - ÓõíäõÜæïíôáò ðëçñïöïñßåò (á)
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 9
•
Áí Ý÷åé åìâáäüí 36ô.åê. ðñÝðåé íá Ý÷åé ðëåõñÝò 4åê. êáé 9åê. áöïý 4 · 9 = 36
¢ëëåò ðéèáíÝò ðåñéðôþóåéò åßíáé ïé åîÞò: 4 · 8 = 32 ô.åê. Þ 3 · 12 = 36 ô.åê.
Þ 2 · 17 = 34 ô.åê., áöïý ôï ïñèïãþíéï ðáñáëëçëüãñáììï ðïõ èÝëù íá ó÷åäéÜóù
ðñÝðåé íá Ý÷åé åìâáäüí ìéêñüôåñï áðü 40 ô.åê. êáé ìåãáëýôåñï áðü 30 ô.åê.
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.24