![130. ,, 5a 21
’ 7 20a^
5a 7 3 ,_3^.
’ 4a ’
2)
3)
4)
5)
7-4a-5a
3,5 4g^ _ 0.5-7-2о’’ -2а 2a a .
14a“ ' 5& 7-2a=' 0,510& Ю& 56’
c“ 20 _ c c lO-2 _ 2c .
30 cm 3 1 0 c m 3m ’
3m a Zma_____ 1
5a^ 9m“ ba a Zm Zm 15ma’
6) -
7p
5;c‘'
7i/’
m . 1)
21p'
2
1
1
/
^
'
Zbx
15m“
і х ^ г і р 3 .
7p-4x“ -2x 2x '
2 bx x Z ly‘
‘ _ Zx
Ту ^ у Ь х Ъ by’
11 b m Z m l l
2)
3)
4)
5)
6)
22 10m 2 П -2 5m
б£ 2.5c“ 2-3p 5 0,5c‘’ c“
7 15p“ l Z p b p ‘
‘ 7p‘
15 1 5 - x x
xp 45
3m.
4 ’
X
' Z p ’
x p l 5 Z
- ^ ] =- = _ .
8 a 4 P ip-4a-2a 2ap’
_5 ^
71
/ 10c’ І у Ь г - І с 2c’
6a“
’ б5&*
136
30a J
= (-!)'’ •
256“
132. 1) 9p
6a g -136
136-56“ -5 6 a ‘
36
6p“
3 3 p г _ _ _
1 2 p Z p 2 p ’
2)
3) 9a6“
4m
®
X
56
3a“
1 x“ l
3a-36“ 56
= 4m’ x;
Z a Z b ^ b b _ 156’
l- 3 a a a
8mn
n
'' 2 ’
5) -4mn“
4 m n n
2-4mn
6) - l l a “6 ^ -
„ l la “6 5
7o 2 l-2-7a
4 m n n 1
3a a
2 ’
2 -4 т л
22a’ 6“
= (-!)“X
ll a “6-5
1 211a“6 а6 1-2 ll a “6 а6 2ab'
133. 1)
16m“
r-12m =
3-4m
4m-4m
a Z - 4 m 3a
4 m -4 m l
7x^
2) a
3)
4m ’
g a“ 7x’ _ a a‘ 7x‘
1 ■ g“ l a “
= 7ax’ :
- - ^ ■ 1 2 V = - / ^ - ^ ^ =
4x^ 4x-x 1
7y-34xj/^^ 2 ly
4x x l X ’
4) 5cm*
15c;
5c m* m
3 5c
_ 5c m* m
1 3'5c
5) -5g6
_ _5a6 •6
6) 13c“d-
m
■ 3
f - — 1 =
lOabJ
1 5a6 6 1 _ 6 .
2-5a6 1-2 5g6 2 ’
7 13c“d 7
26c’ d“ 1 2 13c“d c d ‘
13c“d-7
l-2 1 3 c “d c d 2cd'
7c’ 25m’ 7c’ -5m“-5m
Ї 3 4 . 1)
2)
___________ 5m,
10m“ 14c' 2-5m“ -7c’ -2c‘ 4c“ ’
8g’ 45c‘ 8a’ -5c-9c* 5c
27e* 16a’ ■
4c’
15o*
5a'з^
3 9c* 2 8a’
4c’ -5a’
6 ’
1
25рУ
8c*J 3o‘ -5a’ -2 4c’ c 6a'c’
_1 0 £ Ї
11
- ( !)■ 2p-5flV _2p
' ' 5-5pV l l 55'
■/35 n 9m“ 35g’ _ 9m“ -So“ -70 7a
25o“ 18m‘ 5'5a“ -9m“ -2m’ 10m’ ’
2)
18a’
27a*
14p’ J
3) -
5m’ 7n“
7p’ 3a-9a’ 3a.
2 9a’ -2-7p’ 4 ’
5m“-7n“ 1
21n' 10m‘ ~ 7n“-3n‘ -2m“ 5m“ 6m“n*’
4) - 1
18c’d*
136. 1)
12c‘ d*
7
o“ + 2o
= ( - l f
2c6c’d* 2c
3 6c’ d* 7 21’
a ^ a (a + 2) a g“
4a + 8 “ 5 4 (a + 2)^20
2)
7m -a b _ l m a ( a - b ) m (a - b )
3 2a -b 15g“ _ (6-2g)-3g-5g 3g
’ lOg 6 -2 g 2-5g (6 -2 g ) 2
4 ) ІОаб x^-y^ 2 5ab { x - y ) i x + у)
x + y 5ab (x + y)-5ab
^ 2 ( x - y ) ;
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g](https://image.slidesharecdn.com/8gdzai-220326190824/85/8_gdz_a_i-pdf-17-320.jpg)
![г
д »-о + 1 -3 + З а + 3 a (g + l)-(2 a - l)
=■ a’ + l а +1
(аЧ2о-)-1)(а'’ -о + 1 )_ (а + 1)^(д‘'-а-і-1)_^
“ (ä+lK a"-a + lXa + l) (a + l)“(o’ -o + l)
ЯКЩ
О fl -+
■ 1 9Ї 0, а 5
C-1 . Таким чином,
значення даного виразу не залежить від
а при всіх допустимих значеннях а
192.
Ь- 2
15
1 .^96 + 6 1-2Ь
уЬ -2 Ь* - 8 & Ч 2&+ 4 ;
Ь - 2 &42& + 4 + 9fe+ 6 -(& -2 )(l-2 fc )
" 15 ' Ь‘ - 8
ІЬ-2)(Ь‘ + 2Ь+ 4+ 9Ь+ 6 - Ь + 2Ь‘ +2-4Ö)
15(Ь-2КЬ^ + 2&+ 4)
3fc*+ 6fc+ 12 3(b‘ + 2b + 4) 1
“ l5(&* + 2b+ 4) 15(&Ч2Ь + 4) 5’
якщо b - 2^0, b*2 .
Отже, при всіх значеннях fc^ 2 значен
ня даного виразу не залежить від Ь.
ш . і ) Г ^ - 4 = [ —
п т ) тп ) т
ГпГ
2)
o'* - 2 a V -і-Ь* + а* +2а^Ь^ + Ь*
Ь^
2о‘ + 2&
‘ 2(а*+Ь*)
— Ь^ ’
3)
K - 1
2
+
' {a^-b‘f (а‘ +ь у 1 1 1 1 1 '
b .b j b‘ b‘ 1 P 2p .P 2p,
f 4 - 4 T + f 4 + 4 '
1 5 -1 f 3 - i l
1 с U j
1 _ ( 3 - c f
2
4.
, * V J
д
:*+у*У (jc*-y*)4 (x 4 y*)^
ж* - 2х^у^ + 1
/
°+ X* + 2х^у^ + {/" _
x W
^ 2х * + 2у° 2(х’ + у‘ ) _
x V х*у*
fl + Ь ^а - Ь
аЬ + Ь“ +а* -аЬ
а&
(,2чг
afc+ b“ - а ‘ +аЬ
ab
_{а^ + Ь У + 2ab-a^f
a V
(а* +0*-6*-2оЬ + а*К<»* + 6*+Ь* + 2а6-а^)
= =
_ (2а‘‘ -2а&)(2Ь^ + 2оЬ)
_ 2а{а-Ь) 2Ь(а + Ь) Ца‘ -Ь^)
~ ab •
194.1) £ + ]/
КУ X ху
{х ^+ у У .
~ x V ’
2
Г 1Y _ ' m + n‘
~ V - ' J -
( п У
(т + п^ ~т + п^)(т + п‘ + т- п^ ) ^
п'
2п ■2т im
„* “ „2 ■
195. 1)
7 х -а
- і f i - i U ,
X х ) х - 1 .
х + Ґ
1 + і
( - 9 -
2) _а_
+ 1
7 х - а
+ 1
7х + а
-1
7х + а
7 х - а + а _ 7 ,
' 7 х + а - а 7 ’
-1
2р‘
1 1
2р* 2р'
-9
2р^
2 - І ^
6с-9 6с-9
4) ^ ---- V
с“ -6 х + 9
3 -с
8 -е
X ї + 1
1 - І I .
. X x + l''
■{ *
X x - 1 " U - 1 X ; i x + 1 X
5)
1+ 1 І
(х‘ -(Х^ -1 ) ) Ах^ -{х^ -1 ) ) _
х ( х - 1 ) ■ х(х + 1)
1 л:(д: + 1) х(д: + 1 )^ У + 1.
~ x ( x - l ) ' 1 х(д:-1) х - 1 ’
_ J L _
g n -m n + m _ ( 1
_______L _
1 ^ 1 l,ra-m n + m,
n ~ m n + m
n + m - n + m .
n^-m^
_n + m + n - m 2m ( n ^ - m ^ ) _ m
n^-m^ { n ^ - m ‘ ) 2n n
^ n - m n-¥mj
196. 1)
m+ 4
1 - —
m 'ПІ
( i 4 ^ m - 4 ’
1 m
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g](https://image.slidesharecdn.com/8gdzai-220326190824/85/8_gdz_a_i-pdf-26-320.jpg)
![_ (p - l)(p + l)(2 p - 2 p - 2 )
4(p + l ) ( l - p )
1 - P
<p + l)(p - l)- 2 1
' 4 ( P + 1 )(P -D 2-
202. ^
( 2х ^ 2 4х 2х^ -2х + 2х + 2+ 4х ,, ( ,2
U + 1 ^ -1 х‘ - і )
г, 2 г » „ , п , О л..
(х’ - І ) = 1: ^ ^.п ~ п + п ]
V “ 1 ,
= 4.
2x"‘ - 2
x:+ 2x + 2-4x _
^ x‘ - l
i(x‘ + 2x^ l)(x^ -2x + l) _
_4(x +l)-(x -1)^
(x^-1)^ ( x - lf (x + l)
Отже, значення даного виразу не зале
жить від допустимих значень змінної.
m^-3m 1
203. m’ +3m^+3m + l т^ + 2т + 1
3 - т 2
- 2 т + 1 1 - т )
-З т 1
U m + i r ( т + 1)"
3 - т
( т - і У т - 1
_ - З т + т + 1 3 - т + 2 т - 2 _
{m + l f ( m - l f
{m‘ - 2m +l){m + l) _ { т - 1)Чт + 1) 1
(m+l)’(m-l)" (m+l)'(m-l)' (m+l f
Таким чином, при всіх допустимих зна
ченнях змінної значення даного виразу
є додатним як відношення двох додат
них значень.
204. 1) 1- - = 1 - х :
1-
1-
х + 1
х + 1
Х + 1
+ 1 ) = 1 - х - х ^ ;
2) ---------
д: + 1
f m ^
m - 1: m -----
1 - m )
т
т ----
1 - т
1 - т
т - 1
= m
= т:
, m
^
m -1:---- -
m-1^
m -m-1-l
205. 1) 1+
т - т + 1
2х
= U 2 x :
1 - -
1- -
х + 2
1О Супор ГДЗ, 8кл . кн
. 2
= l + 2 .r :^ ± 2 z £ = l + M ^ :
х + 2 2
= 1 і х~ + 2х = ( х + 1)‘;
2) - = 1: л -1 :
п - 1
п - 1
= 1
- п + 1
206.
п п - п +1
1) X^.X^-.X^=^L^
= х х = х'’;
2) {х^:х^):х = ^ : х = х^:х = х^;
3) (а^)^ а = а‘ а = а’ ;
4) ( x ^ f : x ^ = ^ = x''.
1) — — ^ ^ = 0, я к щ о (т - 1)х
т + 2
X m = О, тобто т - 1 = 0, т = 1, або т = 0;
х ‘ - 2х
207.
X п
2) - = 0, якщох:^-2л: = 0 ,х (х -2 )=
= 0. Отже, х = 0 або дґ-2 = 0, х = 2;
3) спростимо дріб:
(т + 2)т (т + 2)т т
т‘
‘ - 4 ( т - 2)(т + 2) т - 2 ‘
Дріб має зміст, якщо т - 2 ^ 0 т а т + 2^
* О, тобто т * 2 т а т * -2.
т
Тоді
4)
т - 2
X
= О, якщо m = 0;
X 1
, якщо X * о
х^ + х х(х + 1) х + 1’
тах + 1з^0бх7^:-1.
Отже, не існує допустимих значень
змінної X, при яких значення дробу
дорівнює нулю.
208. 8’ - 4'“=(2*)®- (2
2
)>
2= ■
(2^- 1)=
= 2^^ (8 - 1) = 7 2^К Отже, число 8’ -4'2
кратне 7.
209. 1) Графіком функції у = 2х + А
є промінь, обмеж ений «виколотою »
точкою Л(0; 4), оскільки у = 2 0 + 4 = 4,
якщ о X = О. Промінь проходить через
точку В (-2 ; 0), дійсно, якщо і/ = О, то
2х + 4 = 0, звідки х = -2. Графіком функції
1
/= 4 - Xє промінь, обмежений точкоюЛ
(точка зклейки частин графіка функції,
даної в умові). Цей промінь проходить
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g](https://image.slidesharecdn.com/8gdzai-220326190824/85/8_gdz_a_i-pdf-28-320.jpg)
![через точку С(4; 0), дійсно, якщо у = 0,
т о 4 -ж = 0, д: = 4 (рис. 7).
2) Графік даної функції складається з
трьох частин прямих: у = 2х + 5 — про
мінь, обмежений точкою Л (-1 ; 3). Цей
промінь проходить через точку В (-2;
1). у = 3 — відрізок горизонтальної пря
мої, обмежений точками А та С(4; 3).
у = X - 1 — промінь, обмежений точкою
С (рис. 8).
§ 8. Розв’язування раціональних
рівнянь
2 1 0 . Рівняння 2) і 3) не мають змінної
у знаменниках, тому являються цілими
раціональними рівняннями. В рівняннях
1) і 4) в знаменниках присутня змінна х,
тому ці рівняння являються дробовими.
2 1 1 . 1) Якщох = 1 . т о ^ = ^ = і .
Оскільки 4 о, то число 1 не є коренем
о
х - 1
рівняння.
2) При д: = 1 чисельник дробу
дорівнює нулю, тому число 1 є коренем
рівняння.
3) Якщо X = 1, то дріб не має
змісту, отже, число 1 не є коренем
рівняння.
4) Чисельник дробу при X = 1
дорівнює нулю, тому число 1 є коренем
рівняння.
212. 1) Якщо ж= 2, то J
C- 2 = о, тому
число 2 є коренем рівняння = 0.
+ з
2) Прил: = 2
X ^ О, тому число 2 не є
х-ьЗ
коренем рівняння.
3) Число 2 не є коренем рівняння
^^ 2 ~ X = 2 дріб не має
змісту.
4) Якщо д: = 2, то 4 - ж’’ = О, тому число
4t-x'‘
2 є коренем рівняння г- = 0.
213.1)
х = 2 ;
2)
х - 2
х + 3
= О<
=
>
х - 2 = 0; х = 2;
х ^ - 3 ;
3)
4)
X
х - 3 = 0;
х * 0 ; ^
: = 3;
х - 1
х + 2 = 0;
х - 1 * 0 ;
X = -2;
х ^ І ;
- 2 ;
X
хн-5 = 0;
X ^ 0;
X = -5;
х?іО;
-5.
д: =0:
x + lfiO;
214.1) ^ = 0 «
х = 0;
2) = = ;с= 2:
' X [х 0;
х = 0;
х Ф - 1;
3) =
х = -3;
4) £ ± 1 = 0 «
х-(-3 = 0;
х - 4 ^ 0 ;
х = -3;
х * А ;
х + 7 = 0
-,
х * 0;
х = - 1 .
215.1)
х = 4;
2х - 8
х + 4
= 0 о
2х - 8 = 0;
х + 4*0-.
х = 4;
X ^ -4;
2) Зж-і-7 = 0; _ _ 7
х * 0 ; З ’
4) f f i - O e
* = 0;
х = 1;
х = 0;
х е 0.
х -1 = 0;
1 - х * 0;
(Рівняння не має коренів, бо при х = 1
дріб не має змісту.)
216. 1) Зх+^^о^|Зх + 12= 0
;
х - 4 х - 4 ^ 0 ]
2)
х = -4;
х * 4 ;
2 х -5
х = -4;
= 0 «
2 х -5 = 0;
х^О; ^ = 2 =
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g](https://image.slidesharecdn.com/8gdzai-220326190824/85/8_gdz_a_i-pdf-29-320.jpg)
![= 0 «
2 - | = 0 «
х" = 0;
^ = х = 0; 1 ^
х - 5 3 - х X - 5 - 3 + X Q. 2 х -8 Q
х + і ф О; х * - 1; X X X ’ X ~ '
2 - х = 0; X = 2; ] ^2 х -8 = 0; їх = 4; .
Y — Л
х - 2 * 0; х * 2 . І х * О і х^іО;
3) ITT
4) Ї - 2
При x = 2 дріб не має змісту, тому дане
рівняння не має коренів.
217. 1)
2) х + 2
- х - 4
= 2;
X
3 - х = 0;
х^О;
X
х = 3;
1 = 0; ^ = 0;
х +2 1 х +2
х + 2
= 0;
- х - 4 = 0; х = -4; . ! л:-1 „ х - 1 = 0; X = 1;
х + 2 * 0 [х ^ -2 ; ^ = 1 Зх = “ = Зх * 0; х * 0;
3)
х - 4 і
- 4 х = -36;
х ^ 4 ;
5х = 9{х-4У,
х - 4 * 0
х = 9;
5 х - 9 х = -36-,
х*4
х * 4 ;
х = 9;
4)
х - 2 х - 3 ’
3 ( х - 3 ) = 2(х -2 );
х - 2 * 0;
х - 3 * 0 ;
З х - 9 = 2 х- 4 ; З х -2 х = 9 -4 ;
1 X X
х * 2; х ф 2 х = 5. 2 х -6 = 0;
х^З; х^З ; І X
1
х * 0;
218. 1)
1 - х
- = 0;
2 ^ _ 3 = 0; 2 £ ± І ^ ^ о.
X X
1 - х = 0; х = и
X # 0; Ід: 0;
ж = 1;
2)
х - 4
- 4Х + 20
х - 4
X
3)
х + 2
- 2* = 10;
X Ф -2;
=5;
= 0;
^5.
З’
X 5 Q.х - Ь х + 2 0 Q
,
а::-4 1 ’ х - 4
-4х+20=0;
х - 4 * 0 ;
Зх = 5{х + 2У,
х + 2 * 0;
х = 5;
х = 5;
х*4 ;
Зх-5х = 10;
х * ~ 2-
.
4)
х = -5;
х ^ - 2;
З
х = -Ь;
х - 2 х + 4 ’
5(х+4) = 3(х-2);
х - 2 ф0;
х+4*0
5х-Зх = -20-6; 2х = -2б; х = -13;
xjs; х^2; х?^2;
х^ -4 ; хт^-4; х * - 4 ;
х = -13.
219. 1)
f i - 4 = 0;
х - 2 ^ 0 ;
х - 2 х - 2 ’
х = 4
-.
х - 4
х - 2
= 0;
х * 2 ;
х = 4;
Рівняння рівносильні, бо мають одна
кові корені.
х^ + 2х х ‘ - 4 х^ + 2х -х ^ + 4
2)
х - 3
2 х -3 х - 2
х - 3 ’
2х + 4 = 0;
х - 3 ^ 0 ;
Зх Зх
= 0;
х - 3
X = - 2 ;
х^^З;
2х - З - X + 2
= 0;
Зх
х = 1.
х = - 2 .
= 0;
Рівняння мають різні корені, тому не є
рівносильними.
220. 1)
х+1 х+1
= 0;
х - 3
х + 1
= 0;
х - 3 = 0;
х + 1/0;
х - 4 2 - х
х = 3;
х ^ - 1;
= 0;
х = 3.
Х - 4 - 2 + Х
= 0;
х = 3;
х = 3.
х^О;
Рівняння рівносильні, бо мають одна
кові корені.
х " - х х^ + 5
2) ; ліву частину рівнян-
х - 1 х - 1 ’
ня можна записати у вигляді
х ( х - 1)
х - 1
рівняння втрачає зміст.
Зх -1 2х - 5 _ Q. Зз; -1 - 2х -н5 _ q.
- = X, якщо X - 1 0. При X = 1
2х
Х-Н4
2х
= 0;
2х
х ^ -х х^ + 5
х - 1 х -1
- х - 5
х-і-4 = 0;
2x ^ 0;
= 0;
2х
х = -4.
х ‘ - х - х ^ - 5
х - 1
= 0;
х -1
X = -5;
= 0;
х = -5.
- X - 5 = 0;
х-1 т;0 ; х * 1;
Рівняння не рівносильні, бо їх корені —
різні числа.
рр- ,, 2 х '- 1 _ 2 х 2х ^ - 1 = 2х(х + 1);
' x - fl “ 1 ’ ї х -1
-1 ^ 0;
-1 = 2х;
Х7^-1;
2)
X * -1 ;
Зх"-ь1 З х -1 . З х Ч і = х(З х-1);
XTtO;
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g](https://image.slidesharecdn.com/8gdzai-220326190824/85/8_gdz_a_i-pdf-30-320.jpg)
![го
а
и
Ü
О
го
S
C
S
X
X
>ч
Q.
ч;
Ъ
о
3
ю
ш
|_
<
G
N
J
OS
evj
3)
4)
1= -д:;
х * 0;
х - 3
X= -1;
1
2х ‘ + 1 2х ’
2 х ( х - 3 ) = 2х ‘ + 1;
2х * 0;
-6x = 1; [x = - i ; 1 1
6 x = - i ; 1 x = 18-15;
x * 0;
x^O ; ® ] x?il8 ;
4х^- 4 _ 2 х + 3.
2х - 1 1 ’
4 х^-3 = (2х-1){2х + 3у,
2х - 1 * 0;
4х‘ - 3 = 4х^ + 6 х - 2 х - 3 ;
2x ^ 1;
4х = 0; х = 0;
222. Зх^ + 2 = Зх (х - 2);
х - 2 * 0;
x = - h
X j t 2;
х ф 2;
2)
2х ‘ - 1 _ 2х + 1 ,
X
- l = X
-,
1
3)
х * 0;
2 х - 3 1
2x^ + 3 х ’
X = -1;
3 ’
'2х ^ - 1 = х(2х + 1);
х^О;
х ( 2 х - 3 ) = 2x^ + 3;
х ф О
;
-Зх = 3;
хфО;
4)
х^О-,
6x^-1 З х -1
2х + 3 1
х = -1;
6x^-1 = (2х + 3)(Зд:-1);
2д:+ 3?ї0;
223. За умовою
X З
-1 = 7х- 3;
3 ( х - 5 ) = 2х;
х * 0;
'Зх-2д: = 15;
х * 0;
х = 15;
х:^ 0;
224. За умовою ^
х = 15.
1
І4х = 12;
х * - 12;
х + 12 5’
х = 3;
5х = х + 12;
х + 1 2 * 0
X * -12;
х = 3.
225. За умовою = |; 2(х + 3) = Ю;
2jc = 1 0 -6 ;2 x = 4;x = 2.
226. За умовою
1 8 -д :'
х = 3;
ХРІІ8;
1 ,
‘ 3 ’
’5 3 = 1 8 -х;
1 8 -x;tO ;
227. 1)
х = 3.
= 0;
2 х -1 2х + 1
(х + 4)(2х +1) - (х + 8)(2х -1 ) = 0;
2х-1;4 0;
2х + 1 ^ 0;
2 х Ч 8 х + х + 4 - 2 х Ч х - 1 6 х + 8 = 0;
" 4 ^
-16х = -12;
2) J - - ^ = j _ .
5х 10х 30’
1 _ 1
lOx ЗО’
3)
lOx = ЗО;
lOx * 0;
2 - 1 _
lOx
x = 3;
30’
x = 3;
2 - 1 1+ 8 - x „ 9 - x _ 2
'2 - х 2 - х ’ 2 - х “ ’ 2 - x “ l ’
9 - x = 2 (2 -x );
2 - х 5=0;
'9 - x = 4 -2 x :
x * 2;
X = -5;
x?i2;
X = -5;
1
4)
1 5 -1 21
_______________= 2-i-- = —
x - 1 5 (x - l) 10’ 5 (x - l) 10’
4 21
5 (x - l) 10’
'8 = 21x-21;
х - ІїіО ;
4 10 = 21 5 (x - l);
5 (x - l)^ 0 ;
x - ^ - 29
21’ х = Щ .
x ^ l ; 21
228. 1) x + l
= 0;
3x +1 3x -1
(x + l)(3 x - l)- x (3 x + l) = 0;
3x + 1^0;
3 x -l? i0 ;
Зх“' - х + З х -1 -З х^ - x = 0;
” 1^
x = l;
” 1'
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g](https://image.slidesharecdn.com/8gdzai-220326190824/85/8_gdz_a_i-pdf-31-320.jpg)
![1Пд^-40 1 0 (x-2 )(x + 2) 10(д:-2)
' ' х Г х + 2) х ( х + 2) X
10 (1 0 0-2 ) _ 98
= Ш 10 ’ ’
я к щ о х = 1 0 0 .
У Л 4а^-Ь‘ + 2 а -Ь
' 4а‘ +4аЬ + Ь^+ 2а + Ь
(2a - b ) ( 2a + b) + (2a - b )
° (2а + Ь )'+ (2 а + Ь)
(2о-Ь)(2а + Ь+ 1 )_. 2а -Ь
^ ( 2а + Ь)(2а + Ь+ 1) 2а + Ь'
§ 9. Ступінь 3 цілим показником
242. Рівності 1), 2) та 4) правильні;
рівність 3) неправильна; правильною є
рівність
243 1) 4-' = — = ^ —;
4) с - * 4 ; 5) (2а)-’ = ^ = ^ ;
244. 1) Ь^=^; 2) 7-‘ = і;
2-’ 4 = ї і з ; 4) . - = 1 ;
5) (3m)-"= ^ ^ ■
6) ( c - d r =
(3mf 9 т‘
1
( c - d y
24!. 1) і . 9-, 2) І - Р - ;
5) (а6)
246. 1) ^ = 2) ^ = 19-;
4) І = Г ';
5) г ^ =(стҐ-> 6) т -^ =(а+ху
(cm) (a + x f
6) 1 0 ’ =
1
10* 1000
: 7) = 3^ = 9;
8, ( - | ) - ' = 4 „ ( - І
U . H
64.
'2 7 ’
-2
12) ( - 2 1 J ’ .
13) 0,1-'- ( і ]
4
'з,
П
' 5
_9^.
16’
■ ц ’
= 10;
14) (-0 ,2 )-^ = [-| j =(-5f=25;
15) (1,2)-^ = i ä
'3 6 ’
16) (-0,25)-*= =(-4 )* = -64.
248. 1) 2-^ = і = і ; 2) (-1)^ = f ^ = ^’
3) 15-‘ = i ;
4) ( - ^ У ' = i = - h
5) = 8“ = 64; 6)
3
2
i l
“ 8 ’
7) 16
l^4j UJ UJ 25’
8, f з i V ’ - L ^ Y ' - - X •
^ l 7 J " l 7 j 2 2 ’
9) 0 ,2 ‘ = ^ | j =5;
10) ( - 0 , l ) - ^ = ( - i ) '=(-1 0 )^ = 1 0 0 ;
11) (1.5)-^ =
3
U J 'U J 9 ’
12) (-0,5)-^= = (-2 )‘ =16.
249. 16 = 2^8 =2*;4= 2^2 =2‘;l =2°;
l_ o - i. 1 _ 1 - 2~
‘ - І - — - 2 ‘*-
2 " ^ ’ 4 ~ ¥ ~ ’ 8 “ 2 * ~ '‘ ’
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g](https://image.slidesharecdn.com/8gdzai-220326190824/85/8_gdz_a_i-pdf-34-320.jpg)
![. ( - « ' • { і ?
ЗІ с - « - “ = ( - і Г = - ' " ( і Г =
= - ( § ) " <0: 4) -(-2 .1 Г ’ =
2 1 ' r i o '
7
1 0 '
7
>0. 1 3) (m + ra”')(m ' + n) = L . i l
io> .21y . 2 1 ; 1 V ^ /
258. 1) Якщо а > О і п — ціле число,
то а" > 0;
2) я к щ о а < О іл — парне від’ємне чис
ло, то а" > 0;
3) якщо а < О і л — непарне від’ємне
число, то а" < 0.
259. 1) Якщо &= 5, m= "13, ТО
1 / 1
2) якщог> = -1, т = -200, то
Ь" = (- І )- '“ = — = і = 1> 0;
V ) (_і)2оо 1
3) якщо Ь = -З, m =-1 3 , то
tm / 04-13 _ 1 ______ 1
_________ 1 - ґ
^ “ (-3 )" “ (-!)■'>-З'“ " 3’ ^
0«Л т‘
‘п^р~^ т‘п‘ р " т‘п‘
' сх'а - ~ -
” •" ' - - “
' 1 1
Ї І . Р І '
сх^ а '
2)
'a 'J
5 ’‘х-‘т
сх^ сх^р^ ’
^ = a 'b = :(5 -^ x ^ m -‘ ) =
1 .2 П J _ J _ '| _ 2 5 b V m
~ а ' W х ^ ' т ) а ‘
26t. 1) — = 3a:“ - = 3 *V *‘ :
Р Р
2) І| і^ = і5 т = V ^
п 'с' п' с'
3)
2х
г= 2д
:4 — Л т ^ = 2х&-‘ (а-Ь)-^
b a - b f ( a - b f
262. 1) =5т^■
—
=5т‘х
^
';
2)
3)
7с
, _ , = 7 c ^ . i 4 = 7 c W ^
<
/ л !/ fl
cx-yf ’’ с* (х-уУ
263. 1) = +4 =
2) afc‘ + 6 а '+ с ° = а i + b —+ 1=
О а
_ а fc 1 + аЬ + Ь^
Ь а аЬ
_ 1 + тп 1 + тп (1 + тп)‘ _
п т ~ тп '
4) (a -'+ r '):(a -^ + 6 -^ ) = ( i + i
1 l ^ a + b +b‘
Ча^ Ь Ч ab - a V "
(a + b ) a V ab(a + b) a‘b + ab‘
ab(a^ + b‘ ) a^ + b^ a‘ +b‘
264. 1) = ^ Л +- г
/
' =
у ^
- X , у' _ x ‘ + y
y^ X xy^
L _ J _
i _ i
у
_ y - x y - x
xy
x V
{ y - x ) ( y + x) xy _ x + y
x V ( y - x ) xy
14-
f-T'l
-1
'49'
і T
.25) l^ ^ 2 4 j - I 24J
a .
49’
( T _
16
- ( ‘ 4 Г
( ± Ґ "
-2
f l -^-1
,3j le j
■ = (¥
256
49 ■
266. (1+(1- 3-')-■)' +(1- (1+3')-')-' =
/ -.4-1А“’
f ('-Г JH'-(-l)
. „ s i x ' Ґ
-l> -1'
+
/
1-
f f
-i> -1 -1
+
U > 2;
1
І - ]
-1
+ f i l
-1
= 2 + 4 = 4 2
U J U ; 5 5
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g](https://image.slidesharecdn.com/8gdzai-220326190824/85/8_gdz_a_i-pdf-36-320.jpg)
![Сполучаючи точки плавними лініями,
отримуємо графік (рис. 13).
1) у (-2 ) = -5;і/(2,5) = 4;і/(-1) = -10;
2) І/= 10 при J
C= 1; І/= -4 при д: = -2 ,5 ;
у = 2 при х = 5;
3) у < 0 , якщо X є (-оо; 0); у > О, якщо
X є (0; +~).
354. Складемо таблицю значень функції
4
У - ~ ~ яля деяких значень аргументу,
позначимо на координатній площині точ
ки, координати яких подані в таблиці:
X -8 -4 - 2 - 1 1 2 4 8
у
0,5 1 2 4 -4 - 2 - 1 -0,5
Сполучаючи точки плавними лініями,
отримуємо графік (рис. 14).
За допомогою графіка знаходимо:
1) j/(-0,5) = 8;(/(2) = -2 ;j/(-4) = l;
2) у = 4 при X = -1; у = -1 при ж = 4;
у = 2 при X = -2;
3) у < О, якщо є(0; + « ); у > О, якщо
х є (-~ ; О).
355. За ум овою то ч к а М ( ~ 4 ; 12)
k
належить графіку функції у = —, тоді
k = x y = (-4 ) ■12 = -48. Отже, функція
задається формулою У = ~ ~ -
356. Точка Р
1л
12; іі
о
належить графі-
Отже,
14
ку функції у = —, тоді
функція задається формулою у =
л
357. На відрізку 1 < J
C< 4 неперервна
функція У = ~ монотонно спадає і дося
гає найменщого та найбільшого значень
Q
на кінцях відрізка, = у(4) = 7 = 2;
8
Уим - !/ (!)- Отже, область значень
функції Е(у) = [2; 8] на заданому відрізку
д :є [1 :4 ].
358. На одній координатній площині
будуємо графіки гіперболи та прямої,
знаходимо точки їх перетину. Абсциси
цих точок будуть розв’язками відповідних
рівнянь.
g
1 ) У - ~ — гіпербола з вітками, роз
ташованими в І і ПІ координатних
чвертях; у = 2 — горизонтальна пряма
(рис. 15). Графіки перетинаються
в точці А(4; 2), тому х = 4 є розв’ язком
Q
рівняння —= 2 .
18
2) У ~ ~ ^ — гіпербола, вітки якої роз-
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g](https://image.slidesharecdn.com/8gdzai-220326190824/85/8_gdz_a_i-pdf-45-320.jpg)
![X 0,5
0,25
1,5
2,25
2,5
6,25
Позначаючи на координатній площині
точки, координати яких подані в таб
лиці, та сполучаючи ці точки плав
ною лінією, отримуємо графік функції
у = х^ — параболу (рис. 27).
1) При л: = -2 ,5 ;-1 ; 1; 1,5; З значення
І/відповідно дорівнюють 6,25; 1; 2,25; 9
(див. табл. та рис. 27).
2) Якщо І/= 1, то л: = -1 або J
C= 1; якщо
j/= 9, то х = -3 або д; = 3; якщо і/= 3,5, то
приблизно маємо .г = -1,9 або х = 1,9.
3) у > 2, якщо, наприклад, х = -3; -2;
2; 3. При x = -1; 0; 1 і/< 2.
478. Користуючись графіком функції
у = х^ (рис. 27) та даними таблиці, знахо
димо:
1) у (-3 ) = 9; у(-0,5 ) = 0,25; у(2,5) =
= 6,25;
2) Якщо у = 4, то х = -2 або І = 2; якщо
у = 5, то приблизно маємо х = -2,25 або
х = 2,25.
3) у < 1, якщо -1 < д: < 1, напри
клад, при X = -0,5; 0; 0,5; у > 1, якщо
X є (-о о ; -1 ) U (1; +о=), наприклад, при
л: = -3 ;- 2 ;2 ;3 .
479. Графіком функції у = х^, якщо
-1 < д:<4, є частина параболи, обмежена
точкамиЛ(-1; l)iß (4 ; 16).
480. Графіком функції у = х ^ , - 2 < х <
< Зє частина параболи, обмежена точками
М (-2 ; 4)іЛГ(3; 9).
481. Графік функції у = х‘ проходить
через точки ß (-5 ; 25) і С(0; О), дійсно,
якщо X = -5, то І/= (-5)^ = 25; якщо х =
О, то ^ = 0. Точки А (-1 ; -1 ) і D{25; 5) не
належ ать графіку ф ункції, оскільки
(-1)2 = 1, 1 -1 і 25^ = 625, 625 * 5.
482. ТочкиА(-4; 16)і с належать
графіку функції у = х ‘
‘ , якщо л: = -4, то
1 .. n V .1
'4 '
=(І]
у = (-4)^ = 16; якщо х = —,то у
Точки В(16; -4 )і Д(0; 2) йому не належать,
бо 16^ = 256, 2 5 6 ;t-4 i0 2 = 0, 0?і2.
483. 1) На відрізку-З < X < о непере
рвна функція у = х^ монотонно спадає,
тому досягає найменшого та найбільшого
своїх значень на кінцях відрізка, а саме
= у(0 )=0. г/..«,= !/(-3)=(-3)2=9. Тому
область значень функції Е(у) = [0; 9].
2) На відрізку-1 < X < 2 функція і/=
не є монотонною, тому найменше зна
чення = 0 має у вершині параболи.
Найбільше значення функція досягає
на одному з кінців відрізка. В даному
і/„м. = '/(2) = 4. Тому£(і/) = [0; 4].
484. 1) у(2,1 ) = y ( - 2J ) , бо { ~ x f = х^
для всіх значень х;
2) і/(-1,9) > і/(1,8), бо І-1,9І = 1,9 і
1,9 >1 ,8, тоді 1,92 >1,82;
3) ^(0) < у(-3,2), бо 0= = О, (-3,2)2 > 0;
4) і/(-1,1)<і/(1,2),бо|-1,1|<1,2.
485. 1) На координатній площ ині
будуємо параболу у = х^та пряму у = 4х.
Вони перетинаються в точках 0(0; 0) і
А{4; 16) (рис. 28). Дійсно, якщо ж= О, то
= О і 4x = 4 •О = 0; якщо jc = 4, то х2 =
42 = 16 і 4ж = 4 •4 = 16. 2) Парабола y = x
^
^
Q
перетинає гіперболу у = — вточціА(-2;
4) (рис. 29). ^
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g](https://image.slidesharecdn.com/8gdzai-220326190824/85/8_gdz_a_i-pdf-49-320.jpg)
![554. l ) x ‘ + 0,01 = 0,26; j:- = 0,26 - 0,01;
^2 = 0,25, тоді X = -Jo,25, л: = 0,5 або
^__^0,25, x = -0,5
2) - 14 = 2; j:* = 14 + 2; = 16, тоді
X = Jl6, a: = 4 або jc= -/Гб, x = -4;
3) 17 - 0; = 17, тоді x = 'Jl або
з; = —УТТ; рівняння має ірраціональні
корені —v
/Tt ; Л7;
4) - і х ^ = 5; j.v^+5 = 0 — рівняння
н е має коренів, бо ^х^ + Ь>0 при будь-
яких значеннях X .
555. Графіку функції у = х'^ належать
точки М{[Е;5) і Р(-%/3;3), бо {4b f =Ь
і (_7з)- = 3; точки Л^(7; V7) і Т(ТЇЇ); n/TÖ)
графіку функції у = не належать, бо
7^= 49, 49?^V7 і (VlÖ f = 10, 10?tVlÖ.
556. Якщо площа квадрата дорівнює
S, то його сторона а = fs. Отже, якщо:
1) S = 36cм^ а = ч/36, а = 6(см);
2) S = 49дм^ а = /49, а = 7 (дм);
3) S = 0 , 0 9 м ^ a = V o , 0 9 , а = 0 , 3 ( м ) ;
V25
„ 2 5 , 2 5
4 ) S = ^ д м ^ а = ^ - ;
0 = 1 (д м ).
557. 1) ( - ( V 5 f f = (“ 5 f = 25;
2) (2л/5)"^-(5-У2)"=2" (V 5 )"-5 - (7гУ =
= 4 - 5 - 2 5 2 = -30;
■3) 3 6 j^ -|v'l7j - і (2715)=^ =
= 36
1
_
'1
"з
( V l 7 f -|-2-* (7 Ї5 )- =
= 36 ^ 1 7 - і 4 15= 4 ■17 - 4 З = 4 X
У Ö
Х (1 7 -3 ) = 4 14 = 56;
4) V 5 ^ 9 + f|v/34 j =7^7=*+
=7,7 + і 34 = 7,7 + ^^ = 16,2;
4 г
5) (- 3,^)^ - 3(75)“ = (-3)^ (/5)" - З■5 =
= 9 5 - З 5 = 5 (9 - 3) = 5 6 = ЗО;
1 2 '"
6)
5 V32
З ї ї
4V9
558. 1) ((-77)^)^ =7^ =49;
2) (з7 7 )^-(773 )"=3‘‘ -(7 7)"-7"(73 )“ =
= 9 7 - 49 з = 3 - 3 7 - 7 - 7 3 =
= З - 7 (З - 7) = 21 ■(-4 ) = -84;
X (78)=^ _ 16-25 9-8 _ 1 1 _ Q
(7 9 f 25 32 16 9 2 2
3) 16
+ 1 4' (7 з)‘ = 16 і-7-ь^-16-3 = 16х
= 16 ~ = 4 II =44;
5> ( » - I ' 81’
. 5 „ / Т
9 V81
4 5 2 , 5 2
— ; І/— = — або и - —= — ;
8 1 ’ 9 9 ^ 9 9 ’
!/=д:
D
і / - д = -
,V = ^ ; ,У = | а б о у
1
у = з;
6) р і в н я н н я (х + 5)^ = -9 н е м ає
р о з в ’ я з к і в , б о -9 < 0.
560. 1) ( г + 1 ) " = 1 6 ; х + 1 = 7їб або
X + 1 = -% Я б ; X 1 = 4 ,л г = 3 а б о д; + 1 =
-| Т 7 ] Д .(4 7 з )^ =16 i (T 7 f +
4 ) 7 7 0 ,5 6 -
1
2
ч / Ї2 ) = 7 8,4" - ± ( 7 4 2 ) " =
и
= 8 , 4 - і - 4 2
4
= 8 , 4 - f = ;
8 , 4 - 1 0 , 5 = -2,1;
5) ( 5 7 2 ) " - 5 ( - 7 2 ) " = 5'
= 5 5 - 2 - 5 2 =
= 5 - 2 ( 5 1) = 10 4 = 40;
6)
'2 Гэ'''
3 1 0
2
+
5 /36 '
6 6 5
2" (79)"
, ( - 5 ^ (736)^ 4 9 , £І 5 36
-ґ----
6 " ( M f ‘ 9 - 1 0 36 5 13
_ 2 5 2 13 + 5 5 _ 26 + 25 _ 51
^ 5 ■^13 5 13 65 65 ‘
559,, 1) (х - 2)2 = 36; х - 2 = л/^ або
х - 2 = -736 ; X - 2 = 6 а б о х - 2 = -6;
д: = 8 а б о х = - 4 ;
2 ) ( у + 3 ) ^ - 4; ;7 -
І-3 = або у -f 3 = -7 Ї;
і = 2 а б о у + 3 = -2;
!/= 1 або у ■
= ' 5 ;
3) ( х - 1 2 ) ^ = 0 , Т О Д І X - 1 - 0 , X - 1 ;
4) ( х^ 3 f = 7; х + 3 = 7т або X + 3 = - -У?;
X = --3 + 7? або. X = -3 - ■
V/;
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g](https://image.slidesharecdn.com/8gdzai-220326190824/85/8_gdz_a_i-pdf-56-320.jpg)
![S) +W -^ = U +2)
' V д: +4JC + 4 ( ^ + 2)^
( £ + В ^ = .^ (^ Ц ^ = 5, я к щ о д :> -2 ;
' |;t+ 2
| ^ + 2
6 ) <
“ - W a ^ - 2 k b ^ - = ‘ “ - '’^ ; ^ F
_ ( о ^ ^ _ Ж і ^ = _2, якщ оа<Ь.
= a -ö
603. 1) V(m-2)' =|m-2|=ra-2,
якщо m > 2;
2) yjp’
‘ + 8p + 16=^ip + 4f =|p + 4
|= -p -4 ,
якщор < -4 ;
a - 5
Юо+ 25 ^ (a -5 f |a-5|
= 1
,
якщо а > 5;
= = якщод:< 1.
|at-l| x -1
604. 1) =
= |>/3-5|+>/3-1 = -ч/3 + 5+ %/3-1 = 4;
2J y]{3-yllf + V (2 -V 7 f =|з-,/7| +
+І2- л/7І = 3- >/7-(2 - n
/7) = 1
;
3) yJisfH-öy -7(n/21-4)' =|л/2Ї-5 -
-г / 2 Ї-4 = 5 -л / ^ -ч / 2 Ї + 4 = 9-2ч/И;
4) Vt + 4
>/з =^4 + 4ч/з+3= ^(2+ s
/з)' =2 + %
/
з
.
605. 1) ( y J b - S f = 5 -
n
/8-13 = 5 - n
/8+ n
/8-13 = -8;
2) V 3 -2 n
/
2 =V l-2x/2+ 2 = 7(1- n
/2)" =
= |і-л/2| = ч/2-1.
606. 1 ) 2 x V - Sxy^ = 2 x y 4 x - 4 y ‘ );
2) 49a^ - 36 = (7a)2 - 6^ = (7a - 6)(7a + 6);
3) 36ra^/i + 27m^n» = 9m2n(4m + 3n^);
5 4 2
.ym -Л
607 1) m^-4 _,(m -2)(m + 2) m -2 .
6 + 3 m 3 ( m + 2) 3 ’
+ 1 0 g + 25 ( g + 5)^ _ g + 5 .
4 a + 2 0 ~ 4 ( a + 5 ) 4
- 2 5 ( x - 5 ) ( x + 5) _ x + 5 ,
X ~ 5 ’
д
: -10x + 25 ( x - 5 f
x" - 8 x + 16 _ (л:-4)^
x ^ - 8 ~ x ^ - S '
Зауваження
д:^-8д: + 16. ( x - 4 f
x ^ - S ( x - 4 ) { x ^ + 4x + 16)
x - 4
x^ + 4x + W '
608. 2a
a - 6 g^-12a + 36
У a -8
J' 3 6 -a '
12а .. а 2д -д )(6 + а) ,
а -6 [ а - 6 (а-6)®^ а -8
12а (а^ -6 а -2 а )(6 -■а)(а + 6) , 12а
а -6 (а -б )^ (а --8) а -6
а(а - 8)(а-6)(а + 6) ^ 12а а(а + 6)
(а - 6 f (g - 8 ) ' -
а -6 а -6 ^
12а - 0^-6 g + 12a а(а
-®) = -а
а -6 а -6 а --6
Т О Т О Ж Н І С Т Ь доведено.
609. y = 3x + = 3x +
х= дх - X = 2x,
якщо д
ґ < 0. Графіком є промінь у = 2х,
обмежений точкою 0(0; 0) (рис. 36).
Рис. 36
§ 18. Тотожні перетворення
виразів, що містять квадратні
корені
610. 1) 5V2 + 4n/2 = 9n/2;
2 ) 7,Уз-2ч/3 = 5л/3: 3) З^ІЇ + = 4^■,
4 ) 2n/ 5 - n/5 = n/5.
611. 1) 7ч/п' +2 % / и = 9 7 Г Г ;
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g](https://image.slidesharecdn.com/8gdzai-220326190824/85/8_gdz_a_i-pdf-62-320.jpg)
![г
= 10-Уа + 8-Уа -1 In
/Ö= 7л/а;
2) V48-V27 + x/75 = V l F 3 - V F i +
+ ^25- 3 = 4-Уз —
З-Уз + 5-/з = 6->/3;
3) , / 5 0 Ь + х / 2 5 0 6 =V25 -26 -
-i.V 2 5 -3 6 + V25 106 = 5%/26-і 5х/36 +
5 5
+ 5-Л0Ь=5у
/ ^ - уіЗЬ + 5у
/Ї0Ь]
4) -Jla + yfb+ -У6За = + %
/б+ V9 7a =
= -v/Ta + fb + ЗуІТа = 4ч/Та + л/б.
• 622. 1) >/2(ч/8-ч/72) = ч/Г8-
- VFT2 = Vl6 - VT44 = 4 -12 =-8 ;
2) (2ч/3->/бЗ + ч/45) ^/з = 2(^/3)"-
• -V63-3 + V45-3 =2 3->/9-21 + V915 =
= 2-3-V9-21 + V915 = 6 -3 n
/ E + 3n
^5;
' 3) (2 + ч/3)(1-лУз) = 2-2ч/з + л/3-
- (>/3)^ = 2- ^ - З = -л/з -1;
4) (3-V 5) (1+ ч/5) = 3+ Зл/5-х/5-(,/5)' =
= 3+ 2у
[ Е - Ь = 2у
/Е-2.
623. 1) ^
f
5ф+SÖ)=
^[ь■ф+^^Г5)=
= г/5■
(л/5+ 2ч/5)= ч
/
5■
Зл/б= З (75 )^ = З■
5= 15.
Д р у ги й м етод: -JE ■(-JE + y f ^ ) = (y/Ef +
+ V5-20 = 5+ x/IÖÖ = 5+ 10 = 15;
2) (5>/2-ч/Ї8 + лУ50) х/2=5 (>/2f-
-V18-2 + n/50-2= 5 - 2 - уізЕ + у
/ Ш =
= 10-6 + 10 = 14;
3) (1 - у [2 ){ г + уІ2) = 3 + у/2-ЗуІ2~фУ =
■ 3-2n/2-2 = 1-2n/2;
4) (2+ Т7)(1-х/7) = 2-2х/7 + ,/7-(ч/7)' =
= 2 - - J l - 1 = - у
! Ї -Ъ.
624. 1) (^ЯЇ+^/7
) (%/П-ч/7) =
= (%/її)"-(ч/7)" = 11-7 = 4;
2) ( 2 - n
/3)(2 + n
/3) = 2 '- ( n
/3)‘’ = 4 -3 = 1
;
3) (27з -%/5) (2х
/3+ %
/5) = (2л
/
3 )'-
-(V s )“ = 2' (n
/З)' - 5= 4- 3 - 5 = 1 2 -5 = 7;
4) (y[2 + y F i f - Q = (- j2 f + 2-j2-Jl +
+ (n
/7)" - 9 = 2+ 2n
/
u + 7 -9 = 2ТЇ4;
5) (■ j2 -- j3 f + 2 y I & = ( - j 2 f - 2 4 2 - S +
+ (л/З)'“+ 2n
/
6 = 2- 2ч/б + З+ 2n
/6 = 5;
6) (л
/ 3 -7 ^ )“= (7 3 -7 9 ^ )^ = (ч
^ - З ч
/3)^ =
= (-2 n
/3)^ = ( - 2 f ■(73)" = 4•З= 12.
625. 1 ) ( ^ + S ) ( y / ^ - S ) =
= (^УГ9)"-(л/3)^ = 1 9 - 3 = 16;
2) (3 -V 2 )(3 + v/2) = 3 '-(r/ 2 f = 7;
3) (47з - ч
/Ї9)(4ч
/
з +,Я9)=(4х
/
3^-('/Г9)'=
= 4 '(v '3 f-1 9 = 16 3 - 19 = 4 8 -1 9 = 29;
4) (V 3 - x
/5)^-8 = (V 3 )'-2 n
/3>/5 +
+ (V s )'-8 = 3- 2Vl5 + 5-8 = -2>/Ї5;
5) ( S + yf2f-2yflÖ = (s!bf + 2 S y [ 2 +
+ (x/2f - 2л/ЇЇЇ = 5+ 2V1Ö + 2- 2>/ЇЇЇ = 7;
6) (s[5Ö-sl2f =(уІ25-2 - sf2f= (Ьуі2 -
- >/2f = (4^2)' = 4^ ■
(72)^ = 16■2 = 32.
626. 1) х ' - 3 = х '- ( х / 3 ) ' = ( л : - 7 з ) X
х ( х + у/3); я к щ о д : > 0 .
2) 17-а"'={7Г7)"-а'=(ч/Г7-а)(7Г7 + а);
якщо а > 0.
3) 4а' - 5= (2а)=' - (л/б)' = (2а - >/5)(2а + ,/5);
я к щ о а > 0.
4) 1-2 і:' = 1-(-У2д
: )'= (1 - х
^ х)(1 + 72х);
я к щ о J
C> 0.
5) а - 9 = (7 ^ )"-3 " = (л/ї-3)(л/^ + 3),
а>0 ;
6) b - c = {-Jbf-{yfcf =(-Jb-sfc){^ + Jc),
я к щ о 6 > о , с > 0.
627. 1 ) = =
я к щ о X > 0.
2) 9m '-7 = (3mf-(>/7)'=(3m-77K3m + ,/7);
я к щ о X > 0.
3) 16-36^ = 4^-(7з6 )*=(4 -ч
/36К4+ %
/
3
6
);
я к щ о X > 0.
4) b - 2 = ( S f - Ф ) ^ =('ІЬ~уі2 ) Ф + уі2),
д е 6 > О, я к щ о X > 0.
сов х ^-5
0/0. І) --------^ = -------- ^ -
X + V5 X + V5
_ (х -7 5 )(х + 7 5 )_^_.у^.
x + 'Jb
7-ч/^_ 7-ч/^ _
4 9 -а
1 - 4 а _ і _ .
(7-%/а)(7 + Та) 7+ %
/
а
2)
; якщо а > 0 .
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g](https://image.slidesharecdn.com/8gdzai-220326190824/85/8_gdz_a_i-pdf-64-320.jpg)
![+ И х = 0; x(x + 11) = 0; тоді Д
Г
] = О або
х + 11=0,х^ = -11.
747. За умовою для чисел а і Ьповинні
виконуватись рівності;
а Ь = ^ . , 2 ;
а - Ь = 1;
2{Ь+ І ) Ь = Ь + 1+ Ь;
а = 6+ 1
;
2ft'-1 = 0;
a = ft+ l;
ф ь + 1 ) ф ь - 1 ) = 0;
а = Ь+ 1;
■J2
2аЬ = а + Ь
а = ft+ 1
;
2 ft4 2 ft-2 ft-l = 0;
a = b - l;
(ч/26)"-1 = 0;
а = ft+1;
ч/2Ь+ 1= 0;
V2ft -1 = 0;
a = ft+l;
6 =
1
Т 2 '
а = ft+1.
Якщо ft, = ■
T z ’ '7 ?
+1; якщо
“- А " ' -
748. Згідно з умовою маємо:
^ = ia.ft;i.2;
a-ft = 2;
(ft + 2) + ft-(ft + 2 )ft = 0;
a = ft+ 2;
ft+ 2 + ft-ft'-2ft = 0;
a = b + 2;
a + b = ab;
а = b+ 2;
2-ft" =0;
а = ft+ 2;
ф - Ь ) ф + Ь) = 0
-,
a = b + 2.
(n
/
2)' -fc' = 0;
а = ft+ 2;
(^/2-ft)(^/2 + ft) = 0, якщо ч/2-Ь = 0,
ft, = V2 або х/2+ ft= О
, ftj = -V2.
Відповідно знаходимо u, =2 + ч/2,
а, = 2-ч/2.
749. 1) - 5
Іл:| = 0. За означенням
модуля маємо - 5л: = О, якщо х > 0 або
+ 5д: = О, якщо Л
- < О, тобто х ( х - 5) = 0,
х > 0 або х(х + 5) = О, X < О, звідки знахо
димо х^ = 0, х^ = 5, х^ = -5;
2) - ^ + 4 = 0. При д
: = О рівняння не
Ul
має змісту, якщо х > О, маємо рівняння
- х ‘ + 4 = 0, звідки д
е
, = 2 (другий корінь
X = -2 не задовольняє умові х > 0).
Якщо д
: < О, маємо рівняння + 4 = О,
яке не має розв’язку, бо х“ + 4 > О при
будь-яких значеннях х. Отже, рівняння
- ^ + 4 = 0 має єдиний корінь д
ґ= 2.
1
^
1
750. 1) За означенням модуля маємо
- х ’- Зх = О, якщо д
: > Оабо -х^ - Зх = О,
якщо д
: < О, тобто -х { х - 3) = О, ж> О або
~х(х -f 3) = О, д
е< О, звідки знаходимо х,
= 0, х, = 3, Хз = -3.
2) При X = Орівняння ^ - 9 = 0 немає
f I
змісту. Якщо X < О, отримуємо рівняння
-х^ - 9 = 0, яке не має розв’язку, бо ~х‘ -
- 9 < О при будь-яких значеннях х.
Якщо X > О, маємо рівняння х^ - 9 = 0;
(х - 3)(х -І- 3) = О, тоді X - З = О, X, = З
або X -І- З = О, X = -З — не задовольняє
х^
умові X > 0. Отже, рівняння т-т-9 = 0
кі
має єдиний корінь х = 3.
751. 1) >/Г8=7^ = з72;
2) > / ^ = V100-3=10n
/3;
3) ч
/Ї08 = 736-3 = 6л
/3;
4) v/363=Vl21-3 = llv/3.
752.
х-нЗ 1
Зх-і-3
х ' - х
З(х-И). _
х(х-1)Ч (^-1)(д: + 1) х(х +))
3(х -І-1) х(х - 1)(х4-1) 3(х -І-1)“
ї х - І X - і - х ^
х-нЗ 1
х (х -1 ) х '+ З х -х -н І х^н-2х-і-1
3(х + 1)" „ „ „
= = 3; З = З при ВСІХ допустимих
значеннях X, тотожність доведено.
753. Графік складається зтрьох частин,
з’єднаний між собою в точках А{-2; 4)
g
В(2; 4) І/= - —, X < -2 задає частину лівої
вітки гіперболи, яка обмежена точкоюЛ:
у - х^, - 2 < х < 2 задає параболу, обмеже
ну точками А і В; у = 8 - 2х, х > О задає
промінь, який проходить через точку
С(4; 0) і обмежений точкою В. Дійсно,
якщох = 4, то і/= 8 - 8 = 0. Графік подано
на рисунку 45.
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g](https://image.slidesharecdn.com/8gdzai-220326190824/85/8_gdz_a_i-pdf-73-320.jpg)
![f = -1 , Xj = з, тому - 2x - 3 = (x + l ) x
X (* - 3); 3x^ - 6x - 9 = 3(1 + IKX - 3); -4x^ +
+ 8д:+12 = -4(д; + 1)(л:-3).
840. 1) Неправильно, потрібно: 2x‘ +
+ 4 i:-6 = 2 (jc -l)(x + 3);
2) правильно, бо квадратний тричлен
х ‘ - 2х + 1 має один двократний корінь
х = 1.
841. 1) Правильно, оскільки квад
ратний тричлен х‘ - 2х - З має корені
х, = 3,х^ = -1;
2) неправильно, правильний запис
2x‘ - S x + 8 = 2(х - 2У.
0J0 і ^ “ 1 _ _ 1
’ i^ -4 x + 3 “ (* - l)(a :- 3 )” * - 3 ’
х ^ - Ъ х - Ы _ (х + 2 )(х -'!) ^
843. 1)
х+ 2 х+ 2
х+1 1+ 1 1
іЧ З х + 2 (х + 1Хх + 2) х + 2’
х‘ +3х-10 (Х-2КХ + 5)
- і - 2 ■
844. 1) £» = 2 2 - 4 1 - 7 = -2 4 ,D < 0 ;
2) і) = 2 2 -4 (-2 ) (-7 ) = -4 0 ,Z )< 0 .
Отже, дані квадратні тричлени не ма
ють коренів, тому не можуть бути роз
кладені на лінійні множники.
845. 1) х‘ +2 х - 5 =
х^ +2х +1 - 1 - 5 =
= ( х + 1)^-6;
2) х ^ - 4 х + 7 = х‘ - 4 х + 4 - 4 + 7 = ( х -
- 2)‘ + 3;
3) 2х‘ - 4 х + 10 = 2(х‘ - 2 х + 1 - 1 + 5) =
= 2 ( х - і у + 8;
4) Зд:^-18л: + 27 = 3(a:2-6д:-^-9) = 3(J:-
-3 )^
846. 1) х‘ - 2 х + 7 = х ^ - 2 х + 1 + 6 =
= ( х - 1 ) ‘ + 6;
2) + 4х - 13 = + 4л: + 4 - 4 - 13 =
= ( х + 2 ) ‘ - 1 7 ;
3) 3х‘‘ -24д:-1-3 = 3(д:2-8д:-1-16-16-и) =
= 3 (х -4 )2 -4 5 ;
4) 2x‘ + 4x + 2= 2(x^ + 2x + l ) = 2(x + l f .
847. 1) ix' -2x- 7 = i(x “-6*-21) =
О о
= + 9 - 9 - 21) = і ((л - 3)' - ЗО) =
О о
= ^ ( х - 3 - у
Ш ) ( х - 3 + у
/Ш);
2) 0,2д:Ч7д:+4+40 = 0,2(хЧ35х+200) =
= 0,2
f „ -35-5УІЇ7'' ( -35+5jV7'
^ ■
■ '2 ...... 2 ,
бо D = 35^ - 4 ■ 1 • 200 = 425 = 25 17;
квадратний тричлен х ‘ + 35х + 200 має
корені =
8 4 8 . 1 ) x ‘ + 2 x - 1 5 = h x ^ + 8 x -
4 4
-60) = 8i +16 -16-60) =1((Д^ + 4)“-
’ 4
-7 6 ) = і(д:-ь4 - 2^/Г9)(x + 4 + 2-Jl9);
2) 0 ,2 jc '-3 i-9 = 0 ,2 (i:'-1 5 x-4 5 ) =
= 0,2
( 15-9n/5'| f 15-
і-9л
^ ' і
2 2
V /
тому, що D = 15^ - 4 • 1 • (-45) = 405 =
= 81 ■5 і квадратний тричлен д
:* - 15ж -1
-
+ 45 має корені х^^ =
8 4 9 . 1 ) х ' - 2 х - 1 1 = д :'-2 д:-і-1 - 1 2 =
= (х -1 )* - (2>/3)' = (л: -1 - 2>/3)(х-1 + 2>/3);
2) D = ( - 3 )2 - 4 - 2 - 7 = -47, D <0.ToM y
квадратний тричлен 2х‘ - З х + 7 немож
ливо розкласти на лінійні множники;
3) Л = (-3 )2 -4 (-2 ) 7= 65, ж
, =-^“ ' ^ -
„ 3 + ^/65.
-4
-4
тому-2д: - Зх + 7 =
= -2
з -у / б Е ) ( ... з + у І б Е ]
4) D = (-5)=' - 4 (-1 ) • (-8 ) = 25 - 32 =
= -7, D < О, тому квадратний тричлен
-х^ - 5х - 8 = О неможливо розкласти
на лінійні множники.
850. 1) x^-h4jc-7 = x“h
-4x -i-4-11 =
= (X-н 2)“-11 = (X-н 2 - V n )(х-І-2 + л/ГЇ):
2) Z) = 3^ - 4 •(-2 ) •(-6 ) = 9 - 48 = -37,
D < О, тому квадратний тричлен -2х^ -I-
+ Зх - 6 неможливо розкласти на ліній-
НІ множники.
851. Квадратні тричлени розкладаємо
на лінійні множники, якщо це можливо,
потім скорочуємо даний дріб:
1) 4Х-12 4 (х -3 ) 4 .
2)
х ‘'-5х-н6 (х -2 )(х -3 ) х - 2 ’
х ‘’ - х - 1 2 _ (х-нЗ )(х-4) х - 4 .
х^'+Зх х(х + 3) X ’
3)
2 х Ч 5 х -3
х " -9
4 - І )
2) 2 ^ .
(х -3 )(х + 3) х - 3 ’
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g](https://image.slidesharecdn.com/8gdzai-220326190824/85/8_gdz_a_i-pdf-86-320.jpg)
![4)
5)
6)
X-4X +4 { x~2Y x-2
х^ + 5 х - Ы ( x - 2 ) ( x + 7) x + 7 ’
2 x^ - 9 x -S
З х'-14д:-5'
5 x " - 371 + 14
2(x-5)
■ a . 2x + i
3(x-5)
" Ї
ix-7)
'Зж + 1’
5 x - 2
22x-2x^-56 -2{x-i)(.x-7) 2x- 8'
S52 + 5 (ж+ 1)(д: + 5) л: +1
x^ + 5x x( x + 5)
2)
3)
4)
x ^ - i e
3x‘ - 1 0 x - 8 '
(X-4KX + 4)
3(x-4)
X
x + 4 .
'Зд: + 2’
д
:^+ л:-6 _ (лг-2)(д: + 3) д
с+ З.
x ' ^ - l x + lO ( х - 2 ) ( х - 5 ) х - 5 '
2х‘ + 4х + 2 _^ 2(x + f _ 2(х + 1)
Z x ^ - G x - 9 3 (х-3 )(х + 1) 3(л:-3)-
2(jc + 5)
853. 1 )
2х^ +9х-5 .
х Ч 8 х + 15‘
2 х-1 2-97-1
I'l
^ 2
(* + 5)(х + 3)
х + 3 97+3
якщод: = 97;
Зд:'-24д: + 48
= 1,93,
2)
3 ( x - 4 f
7х-Зд:'+20
-3 (х -4 )
х - 4
4 -
- І ) .
(" § )■
"^■^3 з'*'з
8 5 4 . 1 )
X
2
2 ,5 =4 -,я к щ о л: = - - .
1
х - 2 х'‘ + 2 х - Ъ х - 2
Л +4 -Х 4
(Ж-2КДС+ 4) (х-2)(ж + 4) (Х-2КХ + 4)’
2)
1
д
:+ 4 жЧбх + 8 х + 4 (х + 2Х
д: + 4)
д
г+ 2+ 2 х + 4 1
3)
(х + 2)(х + 4) (х + 2)(х + 4) х + 2'
х + 4 З х^-1 0 х-8
Зх + 2 х^-16
(x + 4)-3(x-4)(^x + | j з(^х + | ]
(3x + 2 )(x -4 )(x + 4)
3x + 2
Зх + 2
Здг+ 2
= 1;
4)
-2х" + 5д:-2 2x' + 5 x -3
2Х+ 10
-2 (х -2 )
х ‘ - 2 5
-I
2(х + 5)
( х - 5 ) ( х + 5)
2(z + 3 ) ( x - i
(2 - х){2х - 1)(х - 5)(х + 5) _ (2- х ) ( х - 5)
2(x + 5)(x + 3 )(2 x-l) 2(х + 3) •
1 . 7 1 ,
х+ 2 х^-Зх+10
х - 5 + 7
х + 2
х + 2
8 5 5 . 1 )
7 _ ____________
( х - 5 ) ( х + 2) ( х - 5 ) ( х + 2) {х - 5 ){ х + 2У
1
х - 5 ’
2)
З х - 2
- 4 ' Зл:^ + 4 х -4
З х -2
(х -2 )(х + 2)
(х + 2)(Зх-2)
(х -2 )(х + 2 )(З х -2 )'
х - 2 '
856. 1) х^ - 4х + 9 = х*'- 4х + 4 + 5 =
= (х - 2)^ + 5 > О при будь-якому зна
ченні х;
2) 2х^ + 8х-1-8= 2(х^ + 4х + 4) = 2(х+-2)2>
> Опри будь-якому значенні х;
3) -х ^ + 6х - 16 = -х ^ + 6х - 9 - 7 =
= - ( х - 3)^ - 7 < о при будь-якому зна
ченні х;
4) -х^ + 10х - 25 = -(х - 5)^ < О при
будь-якому значенні х.
857. 1) х2 + 6х + 17 = х® + 6х + 9-1-8 =
= (х 3)^ +- 8 > О при будь-якому зна
ченні х;
2) -х^'-Ь 1 2 x - 3 7 = - x ^ + 1 2 Х - 3 6 - 1 =
= -{х - 6)^ - 1 < О при будь-якому зна
ченні X.
858. 1) х^+ Зх2+ 2х=х(х2+ Зх+ 2)=
= х(х + 1)(х + 2);
2) -2х^ - 5x2 + Зх = -х(2х2 -I- 5х - 3) =
= -х-2(х + 3)
= х(х + 3)(1 - 2х);
1
^ - 2
= -х (х + 3 )(2 х -1 ) =
3) 4 ^ ‘ + x ' - f x ' = | x '( x ' + 4 x -5 ) =
= ix ^ (x + 5 )(x -l):
4) - ix * + 2 x V 6 x ' = - i x ’ (x '- 4 x - 1 2 ) =
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g](https://image.slidesharecdn.com/8gdzai-220326190824/85/8_gdz_a_i-pdf-87-320.jpg)
![859. 1) л г З - + 32л: = х(х“- 12x +
32) = x(x - 4)(x - 8);
2) i x ^ - 4 x ^ + 9x^ = ^ x 4 x ‘ - 12x + 27) =
3 о
= і х Ч х - 3 ) ( х - 9 ) .
860. 1) Скоротимо дріб:
£ і ± ^ = М М = . + 2, я к щ о
х - 1 х - 1
х - 1 ^ 0 , х ^ І .
функція у = х + 2 , х Ф І задає пряму, яка
проходить через точкуА(0; 2)1 «виколо
ту» точку В(1; 3) (рис. 46);
•
<
г х ^ - 2 х ^ - З х
2) скоротимо дріб: ------=
-----------=
х^ + х
х ( х ^ - 2 х - 3 ) _ х{х + 1 ) { х - 3 ) _
~ х(ж + 1) х(х + )
якщо х(х + 1) 5
і о, тобто лс? іО т ах+1 ^
* О, X ^ -1. Функція у = X - З, X Ф -1,
* ^ О задає пряму, яка проходить через
«виколоті* точки А (-1 ; -4 ) і В(0; -3 )
(рис. 47).
^ _ ix * (x + 2 ) ( x - 6 ).
у> к
3
2, W
! = Х + 2/
Х г 0 1
V,
‘ У = х - ^
-1! 0 / г * х
в
< 3
-4
Рис. 46 Рис. 47
х - А
■' % і г (5?Т 1ІХ -4
16 х (х -4 )(х + 4)
1 6 -х ";
х -4
х + 40
16
3(х + 4 )| х - і
(х -4 )(х + 4)
_ х(х - 4)(х + 4)((х - 4)" + 16(3х -1 )
(х + 40)(х - 4)(х + 4)(3х -1 )
_ х (х "-8 х + 16 + 48х-16)
(х + 40)(3х-1)
х(х"-і-40х) _ х"
“ (х + 4)(3х-1) З х - Г
24 1 , { а_________а + 2
( 2 а - 2 ) ' ■ U ' - 2 a + l а ' + а - 2
а + 2
'4 (а-1 )^
. j a - l f 1
а - а + 1 4
4 { а - і Г
1
U a-1 )^ (a + 2 )(a -l)J
1 1
( а - 1 ) ' а - 1 4(0-1)^
862.
' 1, ( ^ - 1 1 ^ ]
І2 хЧ З х + 1 x ' - l j
х - 4
х-1
2(х + 1)
' 4
( Х - 1 ) ( Х + 1)
Х (х "-1 ).
х -4
_ ((х -1 )"-(2 х + 1)) х (х -1 )(х + 1)
(х -1 )(х + 1)(2х + 1 )(х-4 )
(х^-2 х + 1 - 2 х - 1 ) х _ (х "-4 х )х
(2х + 1 )(х-4 ) (2х + 1)(х-4 )
х"
2х + 1’
2) (3&-9)'
= 9(6-3)^'
= 9(Ь -3)“
Ь^-6Ь + 9
Ь Ь+ 2
Ь+ 2
Ь ^ - Ь - б )
[ ( b - 3 f (b + 2Kb-3)J
b 1
b - 3
[ b - 3 f
9 (Ь - 3 )Ч Ь - Ь + 3)
- ( b - 3 f
8 6 3 . 1 ) x^ -4 x = x(x2 -4 ) = x ( x - 2 )x
X (X + 2);
2) x" - 3x^ + 4x = x(x^ - 3x^ + 4) = x(x^ +
+ 1 - 3x^ + 3) = x((x + l)(x^ - X + 1) - 3(x -
- l)(x + l)) = x(x + l)(x ^ - x + l - 3x + 3) =
= x(x + 1)(x^ - 4x + 4) = = x(x + 1)(x - 2)2;
3) x ä -4 x ^ -9 x + 36 = x“( x - 4 )- 9 (x - 4 ) =
= (X - 4)(x^ - 9) = (x - 4)(x - 3)(x + 3);
4) x^ + X* - X - 1 = x^(x + 1) - (x + 1) =
= (x + l)(x^ - 1) = (x - l)(x + 1)^
8 6 4 . 1 ) V0,16aV" X
XVÖcY = 0,4 |a’ I•|x’ I= -0 ,4o"x’ ,
якы;о a > 0, X < 0;
2) = уІ2т-2^ =
= 2т|р"|ч/2т = 2тр^Т2т, якщ ор>0.
865. Згідно з умовою X, і X j — корені
рівняння х^ - 2х - 10 = 0, тому за теоре
мою Вієта Xj -t- Xj = 2 і XjXj = -10. Тоді
знаходимо:
1) х^ + ХІ = xf + 2X1
X2+ Xj - 2х,Х2“
- Ь х / - 2 х , х , = 2 ^ - 2 (-1 0 ) = 24;
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g](https://image.slidesharecdn.com/8gdzai-220326190824/85/8_gdz_a_i-pdf-88-320.jpg)
![+ 180 = 0;
D = (-2 7 )2 -4 1 180 = 729-720 = 9 = 3^:
a , = ^ = 12; a . = ^ = 15.
Тоді ft, = 27 - 12 = 15, b = = 27 - 15 = 12.
Отже, числа 12 і 15 — шукані.
900. ^ =
Зх + 2 2х - 5х + 2 1- 2jc
(д:-2)(Зд;-2)(Зл; + 2) х
(Зж+ 2)(2х -1 )(л: - 2) 2х-1
Зх^2 .2 + £ ^ 4 £ ^ ^
2д:-1 2х-1
З х -2 X
'2 х -1 2х-1
2(2х-1) „
§ 26. Розв’язування задач
за допомогою квадратних рівнянь
та рівнянь, які зводяться
до квадратних
901. Нехай п — менше натуральне
число, тоді більше число — л + 2. Згідно з
^ = ^Тоді5п(л + 2)= 12л +
+ 12(п + 2); 5п2+ 10л - 12/1- 12п - 24 = 0;
5л2 - 14л - 24 = 0; Z) = (-14)= - 4 •5 •(-24) =
= 196+ 480 = 676 = 26^ п , = і І ^ = 4;
14-26
— = -1.2. За умовою п — на
туральне число, тому другий корінь не
задовольняє умови задачі. Отже, л = 4.
і - + і = А .
Im л 24’
902. Нехай п іт — натуральні числа, які
m + п = 20;
треба знайти. Тоді за умовою
[л = 2 0 -т;
т 20- т 24
Спрощуємо і розв’язуємо друге рів
няння системи: 24(20 - от) + 24от -
- 5т(20 - л) = 0; 480 - 24т + 24т -
- 100т + 5т‘ = 0; 5т‘ - 100т + 480 =
= 0]:5;m *-20m + 96 = 0 ;(m -1 2 )(m -8 ) =
= 0; m, = 12, O
T
j, = 8. Тоді л, = 20 - 12 = 8;
л^ = 20 - 8 = 12. Отже, розв’язком задачі
є числа 8 і 12.
903. За умовою — нескоротний
1 ^
дріб, який на - більший від дробу
^ тоді число X є коренем рівняння
х - 5 ’
х -1 х -8 1
= - . Розв’язуємо церівняння.
X —о Ä
2(х - 1)(х - 5) - 2х(х - 8) - х(х - 5) =
= О, якщо х ^ О т а д с -5 ^ 0 . Спрощуємо
рівняння: 2х *- 12х + 10- 2х^ + 16х -
+ 5х = 0; - х ‘ + 9 х + 1 0 = 0; - ( х - 10)(x +
+ 1) = О, тобто X - 10 = О, X, = 10 або
X + 1 = О, Xj = -1. Тоді відповідно маємо
X - 1 = О або X - 1 = -2. Умові задачі за-
9
довольняє дріб — •
904. За умовою нескоротний дріб
J
C+ 5
1 х + 4
на -- менший віддробу-----— .Отже, число
4 х-(-11
X єр о зв я з к о м р ів н я н н я
І 1 х + 4
х+ 5 4 Х +1 Г
Спрощуємо і розв’язуємо це рівняння:
4х(х + 11) + (х + 5)(х + 11)- 4(х + 4)(х +
5) = О, якщох + 5?t0, х + 11#0; 4х* + 44х
+ х‘ + 16х + 55 - 4х= - Збх - 80 = 0; х^ +
24х - 25 = 0; (х + 25)(х - 1) = О, тобто х +
25 = 0, X, = -25 а б о х - 1=0, х^= 1, тоді х
+ 5= -20 або х + 5 = 6. Отже, умові задачі
задовольняє дріб - .
О
905. Якщо и км/год — швидкість пер
шого велосипедиста, то, згідно з умовою,
швидкістьдругоговелосипедистастановить
(и + 4) км/год. Тоді на подолання відстані
4§
и
= 1.
год та
у 48 км вони витратили, відповідно,
год. За умовою — -
у+4 V V + 4
Розв’язуємо рівняння: и(и + 4) - 48(и +
+ 4) + 48у = 0; + 4и - 48и - 192 + 48и =
= 0; + 4ü - 192 = 0; (и + 16)(у - 12) = О,
тобто X + 16 = о, и, = -16 або Ü - 12 = О,
и^=12. Зрозуміло, що швидкість не може
бути від’ємною, тому велосипедисти мали
швидкість 12 км/год та 16 км/год.
906. Згідно умови, якщо перший ав
томобіль їхав зі швидкістю и км/год, то
другий мав швидкість (и + 10) км/год.
Тоді відстань 420 км вони подолали
420
420
за ----- год та год відповідно.
V " у+10
При цьому різниця в часі склала 1 год.
Отримуємо рівняння
420 420
= 1
:
V и+ 10
u(v + 10) - 420(і> + 10) + 420и = 0; +
+ ІОи - 420и + 420и - 4200 = 0; и* + 20и -
- 4200 = 0; (и + 70)(и - 60) = О, тобто и+ 70=
= 0; и, = -70 або и-60 = О, [>
2= 60. Очевидно,
швидкість не може бути від’ємною, тому
автомобілі мали швидкість 60 км/год
та 70 км/год.
w
w
w
.
4
b
o
o
k
.
o
r
g](https://image.slidesharecdn.com/8gdzai-220326190824/85/8_gdz_a_i-pdf-97-320.jpg)
More Related Content
8_gdz_a_i.pdf
- 1. го Q. (U U d r o s X T a . 5 с о uo c : < evj GB CVJ §1. Дроби. Дробові вирази. Раціональні вирази. Допустимі значення змінних 1 . Вирази +2п - 8, “ ■(/’ “ 2) ' + 7р — цілі раціональні а+1 1 2 2 вирази, а вирази ------, —5 г, а + ------ а д:“ + т^ а дробові тому, що в їх знаменниках при сутні змінні. 2. 1 ) а^ -а б ; — цілі ра ціональні вирази; РОЗДІЛ І. Р А Ц ІО Н А Л Ь Н І ВИРАЗИ l-1 -j: 1-t-O -5 — дробові 2) m - D - i- - : а р X +1 раціональні вирази, бо мають у знамен никах змінні величини. 3. Маючи на увазі, що сума, різниця, добуток, частка та степінь раціональних дробів є раціональний дріб, можна ствер джувати, що дроби а . а‘ - 3 ' р‘ - 2 х‘ - 4 х + 5 !/'-9 х + 2 т - 3 € раціональними при всіх допустимих значеннях змінних. 4. 1) Якщо а = 1, то Зач-9 31 + 9 - = 12; За+9 3(-2) +9 -6+9 З якщоа = - 2, т о ^ = - і - ^ = — = -; якщо о = -З, то Зо+9 3 (-3) +9 -9+9 (-3)' = 0. 2) Якщо х = 4, то і+З X 4+3 4 * х - 2 4 якщо X = -1, то J C+ 3 X -1 + 3 = - - 2 = 1 - - 2 = - і- 4-2 4 4 4’ -1 2 -1 х - 2 -1 -1 -2 -1 -З ' - 2 - 5 - 4 ' якщ о X - - 2 , то l + x _ ^ l- 2 1 - х 1 + 2 ' 1. ■3 ’ якщо х = -1, то 1+ Д Г ^ І-І 1 - х 1+1 = 0; якщо X = О, то „ 1+ х 1 - х 1+ 2 1 -0 = 1; якщо X = 2, l _ ^ - l - 2 = 3 j- = -3; якщ ох = 3,то 1+ д г 1 - х 1 -3 -2 значеннях змінної х вираз При однакових 5 х - 1 має значення: -3 -1 - = -5; -1 -1 2 ’ 0 -1 ’ 2 -1 Заповнюємо таблицю: 4 ’ -2 -1 к ^ с відповідно _5______ 5 З’ 5 _ 5 3 -1 2' X -3 -2 - 1 0 2 3 1+ х 1 - х 1 2 1 3 0 1 -3 -2 5 5 5 5 _с к 5 х - 1 4 3 2 о о 2 6. 1) Згідно з умовою цей дріб має а - Ь ; вигляд: ----- ^ а+ Ь 2) за умовою Ж . ^ ^ ■шуканий дріб. 7 . Вираз не має сенсу, якщо його зна менник дорівнює нулю. Тому у виразах 7Ь+ 9 З т‘ -5 ; 8 ' х ‘ + 1 значення змінної — - -D За —5 довільні. Вираз -------- не існує, якщо а = О, отже D(a) = (-<»; 0) и (0; +~); f - 9 <+ l не існує, якщо f + l = 0;t = - l , тому D (() = 2 = ( о; -1 ) W (-1 ; + ~ ); ^ ^ -^ + - X І - І існує коли д : = о або д : - 1 = 0, x = l , тобто D(x) = (-~ ; 0) U (0; 1) и (1; +=<=); ^ 0 ^ не існує, якщо р(р - 1) = о, тобто р = О або р - 1 = 0 , р = 1 , отже D(p) = 0) u и (О; 1) U (1;+■»); вираз ^ ^ 1^ |т|+ 5 існує, якщо т = о, оскільки |т| + 5 > О при будь-яких значеннях т, тому ö(m ) = = (-■»; 0 )и (0 ; +~). 8. Вираз + 2 приймає тільки додатні значення при будь-яких значеннях т . w w w . 4 b o o k . o r g
- 2. , „ Ь- 9 4 ТОМУ для виразів р + 9, — та допустимі які завгодно значення змін них p t Ь і т відповідно. Вираз не існує, якщо а + 4 = О, а = -4, отже, D{a) = д-2 _ з _ ( _ о о ; (-4; +~): коли х(х + 2) = о,тобто д : = Оабо х + 2 = 0, X = -2, тому D(x) = -2 ) ^ (-2 ; 0) u 2у з и (0 ;+~); ^-;5^-+ ^ ^ н е іс н у є ,я к щ о у -1= = 0, і/= 1 або 1 /+ 2 = О, у = -2, тобто £)(у) = = (-оо; - 2 )и (- 2 ; 1 )и (1 ; +~). 9. Якщо, рухаючись з постійною швид кістю У, автомобіль за час t здолав відстань (=240 км, то його швидкість визначається »а формулою Ü= у . В даному разі v = —^ . Якщо t = З, то и = 240 = 80(км/год); якщо t = 4, то и = 240 = 60 (км/год). 10. За умовою сума загальних витрат S складає 12 грн. Тоді одна ручка коштує 12 12 З р = — грн. Якщо а = 8, то p = = (І О ^ 12 (грн): якщо а = 10, то Р ~ Т п ~ ^ ' ^ (П>н). або 1 грн 20 коп. 1 1 . За означенням частки, якщо ^ = с, о тоа = Ь ■с. Тоді: 1) х + 2 = -2; х + 2 = -2 -8;дг + 2 = -16; ж= - 1 6 - 2 = -18; 2) х + 2 = 9; л + 2 = 8 9; X + 2 = 72; х = 7 2 -2 ;л : = 70; 3 ) х + 2 8 = 0,01; х + 2 = 0 ,0 1 -8 ;х + 2 = = 0,08; X = 0,08 - 2; х = -1,92; 4 ) х + 2 8 = -4,9; х + 2=8 (-4 ,9 );х + 2 = = -39,2; X = -39,2 - 2; х = -41,2. 12 . 1) т - І 10 = -8; т - 1 = -8 10; X - 1 = = -80; т = -80 + 1; то = -79; 2) m -1 10 = 0,25; то-1 = 10 0 ,25;то-1 = = 2,5;m = 2,5 + l,m = 3,5. 13. 1) При всіх допустимих значеннях змінної дріб дорівнює нулю, якщо дорівнює _ 4 х -8 „ нулю його чисельник. Тому ---- —= 0; 4 х - 8 = 0; 4х = 8 ;х = 2; ^ 2) користуючись основною властивіс тю дробу, маємо ^ — якщо X X X * 0. Отже, = 0 коли X - 2 = 0; х = 2; ^ 3) якщ о(х-1)(х->-7) = X + О = о, тобто X - 1 = О або X -t- 7 = О, звідки, відповідно, знаходимо х = 1 та х = -7; 4) скористаємося властивостями дробів: ^ = _ ^ = _ f c 2 ) _ 3 8 -4 х 4 х -8 4 (х -2 ) 4 ’ Q X - 2 ^ О у X ^ 2. Оскільки — фО, то да- 4 ний дріб не може дорівнювати нулю ні при якому допустимому значенні х. 14. 1) 5^ = 0 приі/ = 0; 5і/ 2) скоротимо дріб: я к щ о у ^ 0 ,о т- У у у у же ^ = 0; і/+1 =0 ;і/ = -1; У 3) + = о, якщо {у + 2)(у - 3) = у +4 = О, тобто у + 2 = О, у = -2, або і/- З = О, І/= 3; 4) ^ ^ = г • якщо у -f 1 О, 5у + 5 5(у + 1) 5 у ^ -1. Оскільки 4 5*0, то даний дріб не О може дорівнювати нулю при всіх допус тимих значеннях X. а + 1 — існує, якщо (а ~ 1) X (а-1Х 2а-ь7)' X (2а -t- 7) О, тобто a ~ l i ‘ 0 i2 a -f7 ?^ 0 , звідки отримуємо о 1 і аФ - —; 2) існує,якщо<^“ 7<5і0,<(г-7)яі * 0 , т о д і(^ 0 і/ -7 ? = 0 , г#7; 3) то існує, коли т‘ - 2 Ь * О, тоб- то‘'-2 5 то (то - 5 )(т + 5 ) * 0 , звідки m - 5 Ота то -І- 5 О, отже, m ?! 5 і то * -5; 5 4) (х - 9 )“ існує, якщо (х - 9)2з; О, тоб- w w w . 4 b o o k . o r g
- 3. т о х- 9 ^ 0 і Х5^9. 1 6 . 1) існує, якщо (9 - (9 -р )(4 р + 10) -р )(4 р + 10)?і0, тобто 9 - р ^ 0 , р * 9 і а 4р + 10*0, р7=-|: 2) а + 2 Y існує, отже Ьа - ФО, 5 а - а а(5 - а ) * 0 , тобто а ^0 т а 5 - а * 0 , а ^ 5; 3) to О. І U 0 го >£ S 1 т Ё: 5 с о S ю t ! -Г існує, якщо 4 - ^ о, (2 - с)х 4 - е х(2 + с) О, отже 2 -с?і0 ,с?і2 та 2 + с5і0, cjt-2 ; а 4) існує, коли (а + 1 і4о, отже (а + 1)“ а + ІФ 0 ,а Ф -1 . 1 7 . Вираз має зміст, якщо його знамен ник не дорівнює нулю, і таких виразів безліч. 1) За умовою X * 2, отже знаменник дробу має множник (х - 2), якого не по винен мати чисельник. 2) За умовою х * І т а х * -4, отже в знаменнику дробу є вираз (х - 1)(х + 4), якого немає в чисельнику. 18. 1) Розкладем о знаменник дробу 37 — ----jT— на множники: а(а - 2) - а(а-2 )-З а-і-6 - За + 6 = а (а - 2 ) - (З а - 6 ) = = а(а - 2) - 3(0 - 2) = (а - 2)(а - 3). За умовою (а - 2)(а - 3) / О, тому а - 2 ^ О, а / 2 т а а - 3 ; і0 , 05^3; 2) вираз j- ^ має зміст, якщо | д :|- 1 і* О, | j;{ ^ 1; з означення модуля знаходимо т а ї^ 1; 5 т 3) вираз 1 - і має ЗМІСТ, коли має ЗМІСТ — , тобто т * 0. Крім того т 1 - — 5tO, звідки т 4) 4А існує якщо 4 - | А- 2 | о. ем 4-|А-2| k-2^ 4, тобто або к - 2 ф -4, k * -2, або к - 2 Ф 4 , к Ф б . 1 9 . 1) Знаменник дробу розкладаємо на множники: х( х - 2) - - 4 х - 8 = х{х +2) - (4ж + 8) = х{х + 2 ) - - 4(х + 2) = (х + 2)(х -4 ). Тоді дріб має зміст, якщо {х + 2){х- 4)/ О, тобто х + 2* * 0 , X * -2та X - І ^ О , X * 4. 2) За умовою 4 - |т| О, т *■ 4; тоді m q t -4 та m 5 1:4. 7 3) Вираз — має зміст, коли - + 1 X і -1-1?; О та має зміст вираз -і-. X X О тж е х ^ і-І тах^О. 4) і— Щ—- має значення, коли | а-Ь2 |- Д+ 2 —О - з о, |а + 2 | з, тобто або а + 2 ^ -З, а ^ - 5 , або а-І- 2?^3, a?t 1. 20. 1) Якщо X > о,то і х ’ > 0; степінь у - парна, тому і при і/> Оі при {/< Оу* > 0; віднощення двох чисел чи виразів одного знаку є величина додатна, тому — > 0. 2) Якщо m > О, то m -І-1 > 0; 7 — число непарне, тому п' < О, якщо п < 0. Від ношення виразів різних знаків є вели чиною від’ємною, отже при т > 0 , п < 0 . " 3) Модуль будь-якого виразу є вели чиною невід’ємною, тому 1 р- 1 |> О при всіх значеннях р (крім р = 1), в тому числі і при р < 0; степінь додатного чис ла — додатна, тому п'* > О, якщо п > 0. Отже п 4) | а |-Ь 1 > О при всіх значення а; с* > О для всіх с ф О, оскільки 8 — парне чис- И + 1 ' ло. Тому Ц - д >0. 21. 1) -І-1 >Одля всіх значень аяк сума 7 квадратів двох чисел, тому — ^ ----->0 як віднощення двох додатних чисел. 4 4 4 2) V - 2 - ( р ‘ + 2) р^ + 2 4 < О, ос- ■>0 для всіх значеньр. р Ч 2 3) (а + 1)^ — невід’ємне (дорівнює ну лю лише при а = -1), + 7 > О для всіх значень а; тому > 0. а^+7 4) (р - 2)^ > О(дорівнює нулю лише при р = 2), тому -{р - 2У < 0; р‘ ' + 1 > О для w w w . 4 b o o k . o r g
- 4. г всіх значеньр, оскільки 4 — парне чис- діо.Отже, 22. 1) + 2а - 7) - (а^ - 4а - 9) = а" + + 20 - 7 - а^ + 4а + 9 = (а^ - а^) + (2а + + 4а) + (“ 7 + 9) = 6а + 2; 2) Зї^і/(2х - Зі/ + 7) = - Эд:';/'' + + Zlx^y; 3) (х‘ - 2 х ) { х + 9) = х х + 9 ) - 2 х ( х + 9) = = + 9*^' - 2х^ - 18х = х^ + 7х^ - 18х; 4) { x ^ - b f + l 0x^= x * - l 0x^ + 2b + l 0x^= = х*~ ІОл:^ + ІОх^ + 25 = х" + 25. 23. 1) + 6х + 9 = + 2 • X • З + 3^ = = (х + 3)^ 2) х ’‘ -2 5 = х2-52 = (х - 5 )(х + 5); 3) а^+ а6 + 7а + 7Ь = (а^ + а6) + (7а + 7Ь) = = а(а + Ь) + 7(а + ft) = (а + ft)(a + 7). 24. Спростимо ліву частину рівняння; 4х(2х - 7) + Зх(5 - 2х) = 8х^ - 28х + 15х - - 6х* = (8х^ - 6x2) + (-28х + 15х) = 2х^ - - ІЗх. Тоді дане рівняння має вигляд: 2х* - ІЗх = 2х^ + 39 або 2х^ - ІЗ х - 2х^ - - 39 = О, (2х^ - 2х^) - (ІЗ х + 39) = О, -13(х + 3) = 0, х = -3. § 2. Основна властивість дробу. Скорочення дробу 25. 3) 5) 26. 3) 5) 6) 27. 2) 3) 4) 1^ ї х X , іу ~ у ’ м . = У. хт т бос а- 5с 5 . 4аЬ а- 46 4 1) Зт Зр _ m . " Р ’ ab ^Ь. ар' ' р ’ 9ху X 9у ' 8x 2 X ■8г 4тп 4 п т 2) 4) 6) 2) 4) За З о 15Ь ab _ 3-5Ь a b а . '5 6 ’ а^_ Ь ’ Ь Ь Юху ІОі/ X х Юту ІОу т т' і х _ 4-х ^ X . 4 Зі/ Зу’ t t t 121 / tx t x 8г ' _ т 4рп 4п -р р ' 15aft _ 5o-3ft 20am Ьа-4т ~2a^m a-2am 3b . 4m ’ 2am bap Ыах'^ a b p bp 4x 4ox 4ox 20xft 4x-5ft 5b ’ -Sm^n ( - l ) -2n -4m^ _ 4m‘‘ . -2n^ ~ ( - l ) - 2 n n'‘ ’ 5) ^ = — 2 ^ = — ^ ; p^c p^ pc pc 6) 7) 8) 4aftc 4ac b 12ac^ 4ac 3c‘ 3c‘ ’ 26m^n 2 m l 3 m n _2 m. 39mn^ ІЗтп-Зп 3n ’ a^c* _ a° ■ ■с _ с с' a" a о 4o-2( 2t 28. 1) ^ _______ 12op 4a 3p 3 p ’ 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) -3xy 3 xy _ 3 7x‘y 7 x x y 7 x ’ 12m‘n 4m 3mn 3mn. 20xm 5x-4m ~ 5x ’ -6 p V (-l)-3 p ^ -2 c _2 c - з у ( - І ) З р ^ р p ' - V k p^ _ ft p^ pt p t ’ bxyz x b y z X 15y^z Зу-буг 3y’ 22x^y 2 x x j/ 11 2x. -ЗЗу^х 3y y x l l 3y’ t P P P - P p V 29. 1) i2xV:(4x,^) =^ =5 ^ =^ ; 4X 1/“ 4xyy‘ y‘ 2) 3 o V :(- 1 8 o ftV ) = - ^ % ^ = nj Q. _u Ü Ö s s I T g Ъ о S LU 1_ < ЗаЬс а a . 3abc-6bc~ 6ftc’ 3) -lOop" :(-1 5 o") = 2, -lOop^ -15o" (-1 ) бо 2p^ _ 2p (-l)-5 a Зо За ’ 4) -14x’ :(2x'y) = -14i’ 2x'-7x' 7x‘ 2x’y 2x’ i/ у ' 30. 1) Помножимо чисельник і знаменник . 5 5 5 25 д р о б у н а 5, ТОДІ ^ = ^ = 2) П О М Н О Ж И В Ш И чисельник і знамен ник дробу на о^, дістанемо дріб зі зна менником о*, отже, = а‘ а“ 31, 1) Помноживши чисельник і знаменник даного дробу на 5, дістанемо дріб зі зна- іп CD N w w w . 4 b o o k . o r g
- 5. 4 5-4 менником 15p,отже, = і 20 Зр 5 Зр 15р' 2) Оскільки 1/* •1 / ^= у', то Д : - ^ У* V !/ * !/' У* / ■ 1 9 ,> т ( а - 2 ) _ т , о, 4(дг + 2 ^ _ 4 U + 2 f 4 ' (л: + 2) (л: + 2)‘' л + 2 ’ g тп(р + 7) тп(,р + 7) m^nip + l f т т п { р + 7 ) ( р + 7) т а а Ü та S X т а et о З LQ Ш І— < 4) 16m^(g + 3)^ т( р + 7 ) ’ *' 2 0 т '(а + 3) _ 4-4m^(a + 3 )(g + 3) 4(а + 3) 5m-4m^(a + 3) 5т 33. 1) 2) 5 ( т ^ - ^ < / (&+ 7) у ’ ’ ( т - 3 ) ‘ 5 (m - 3 f 5 (m - 3 )(m - 3 )“ т - 3 ’ a‘y ( x - 2f _ а ау(х- 2) j x ~ 2) a y ( x - 2) а у і х - 2) Зх-4д:^(у-7) ^ 3x 4 { y - 7 ) - 4 x 4 y - 7 ) M y - 7 ) ' 34 4ан-12Ь^ 4 (а + ЗЬ) а + ЗЬ, IGab 4 4ab 4ab 2) 3) 4) 5) 6) 7) Ьх-Ъу _ Ц х - у ) _ 5. 7 ( x - y ) 7 { x - y ) 7' 3m{x + 2) 3 m { x + 2) 3m. x ‘ + 2x ~ x {x + 2) ~ X ’ a x - a а (д :-1 ) а а - l ~ = . = x ~ l ; y‘ - y x y { y - x ) y - x ’ 2 x - 6 y 2 ( x - 3 y ) 2_ 5x-15y 5 ( x - 3 y ) 5 ’ a + 2b _ a + 2b 1 a‘ + 2ab a { a + 2b) a' 8) 2x^-'i^0xy _ 2x ( x - b y ) x - 5 y x - 5 y 35 1 ^ 3a + 15b _ 3 (g + 5b) a + bb, ■ ’ 9ab 3 3ab ~ 3ab ’ 2) CJ m n - m _ m ( n - l ) _ m 4 (n - l) 4 ( n - l ) " 4 ' p^-3 p _ p (p - 3 ) _ p . ^ 4 A (p -3 ) 4* (p - 3 ) 4Л’ 4) 5) 6) д: д: ^ m t ; m^ + mn m ( m + n) m + n' 4 a -126 4 (a-3 ft) 4 7a-21b 7 (a - 3 b ) 7' 36 n a(JC -y)_ а (з:-і/ )^ g, • ’ 5 ( y - x ) 5 ( x - y ) 5 ’ 2 ) 3g-9b 3g-96 _ 3 (g-3fe)_ 3 15ft-5g 5g-15ft 5 (a -3 b ) 5’ 3 > 7.I/-14 7 ( y - 2 ) 7 . ^2 -4 (1/-2) (I/+ 2) I/+ 2 ’ 4) 5) m ^-9 _ (m -3 )(m + 3) _ m + 3 . m '-6 m + 9 (m -3 )' " m - 3 ’ p ^-1 (p -1 ) (p + 1) . p + 1. p^ ( p - l ) p^ ’ g- x 4 lO a : + 25 (д: + 5)^ л: + 5 mx + 5m m (.x + 5) m 3 7 n 'п (р - 2 )_ ^ m ( p - 2 ) _ m. g (2 -p ) g (p - 2 ) g ’ 3g + 12 3 (g + 4) 3 g "-1 6 (g - 4 ) (g + 4) g - 4 ’ д ^ -4 ^ + 4 ^ { x - 2f _ x - 2 . x ^ - 4 ( x - 2) ( x + 2) x + 2 ’ mc + 4c c ( m + 4) с n^ + 8m + 16 (m + 4)‘ m + 4' 3g m^n~m m ( m n - l ) m ( m n - l ) m m (mn-X) J_, 15m‘ -15mn m lOn^-lOnm^ 15m(m^-n) 3m 5(m ^-n) 3m, lO n(n-m ^) 2n 5{m‘ - n ) 2n ’ 3 ) m^ + 27 (m + 3) (m ^-3m + 9) m ^-3m + 9 m‘ - 3 m + 9 = m + 3; 4) 20 + 10a + 5g^ g= -8 5 (g ‘' + 2g + 4) 5 (g - 2 ) (a 4 2 ü + 4) “ g - 2 ’ g, 3p + p n - 3 y - y n {3p~ 3y) + (pn - yn) 7p-7y 7{p-n) 3 (p -y ) + /i(p -v) _ (p -v ) (3 + n) n+ 3. 7(p-i/) 7 ip -y) 7 ’ w w w . 4 b o o k . o r g
- 6. г am+ an-bm-bn (am-Ът)+ (an-bn) в) am-an-bm + bn (am-bm)-(an-bn) m(a-b) + n(a- b) (a -b ) (m + n) _ m + n “ 'in(a-b)-n(a-b) ~ (a -b ) ( m - n ) ~ m - n ' 12pg-12pg^ 1 2 p g (l-g ) 4p-4(p‘ - 9 ) 4(p‘ - g ) _ = 4 p -3 9 (l-g) 3 g (l - g )’ a‘ -2 a + 4 _ a^-2o + 4 _ 1 . a*+8 (a + 2 )(a * -2 a + 4) o + 2 ’ 7+ 7a + 7a‘ _ 7 (a^ + a + l) 7 . 3) a’ - l (a - l)(a ^ + a + l) a - 1 ’ 5m+ an-5n-am (5m-am)-(5n-an) o'-10a + 25 ■ (a-5 )' m (5 -a)-n (5 -a) _ (5-a) ( m - n ) _ m - n “ (5-а)'' (5-a) (5 -a ) 5-а ' 40. 1) Помноживши чисельник і знамен ник дробу на а, взнаменнику отримуємо о(а - Ь) або - ab, отже —^ . ■ ^ а - Ь а -a b 2) Помноживши чисельник і знамен- ввк дробу на (т + п), в знаменнику матимемо (т + п)‘ = т* + 2тп + п‘, тоді 4 _ 4(т + п) т+ п ~ т‘ + 2тп + п^' 3) Помноживши чисельник і зна менник дробу на ( X + у ), в знаменнику матимемо (х - у)(х + у) = - у‘, отже 9 Щх + у) х - у х‘ - у ‘ ■ 4) Оскільки*’ - 1 = ( Л - Л - І - 1), то 4 _ 4(k^ + k+ l) к - 1 5) Зазначимо, щ;о Ь - а - (-1 ) ■(а - Ь), а ( - І ) а -а Ь - а отже а - Ь Ь - а Ь - а в) 4 - р ‘ = ( 2 - р ) ( 2 + р ) = ( - 1 ) ( р - 2 ) х 41. 1) Помножившичисельникі знаменник дробуна т, взнаменникуотримуємот (т + , . 2 , 7 7гп + п ) - + тп, отже -------- = — = ------- . т+ п т +тп 2) х‘ -2 х у + у‘ = ( х - у ) ‘ = ( х - у ) ( х - у ) , х - у х - 2 х у + у‘ 3) а‘ - Ь‘ = (а - Ь)(а + Ь), тоді а а(а -Ь ) а‘ -аЬ а+ Ь а^-Ь^ а‘ -Ь'‘ ' 4) Оскільки 7 - с = (-1 ) ■ (с - 7), то с _ (-1) с . -с с - 7 7 - е 7 - е ' 42. Спочатку скоротимо даний дріб: -2(с^Г(х“')^ 2е'‘ х ‘' _ 2 с"> е 5(с^)‘ (х^)‘ 5е'“ л:” 5 с" 2с‘ 2 Ї 1 І ' А = - _ U J _ = - ^ = - A : 5 = 5 “ 5 25 якщо с = - незалежно від зна- 1^0 D ч е н ь і^ О . 43 _ Зх(2х-у) ^ З х _ ‘" 2 ^ 3 8ху-4у‘ 4у(2х-у) 4у ^ 1 2 ’ 4 якщо Х = ^ , 1/= і . JJ а^-а^ _а^ (а^-1) а^ а £ І ± £ І = £ : (£ І ± 1 )^ £ І і£ І = _ . . р^ + р^ р Ч і + р ^) р ‘ 2а‘ - а ‘ а‘(2-а ) а*(а-2) 1 . а '-2 о ‘ аа-2) а’ а'(а-2 ) ” а’ ’ 5f‘ -10c‘ 5с*(с-2) 5с*(с-2) 5 _ 12с‘ -6с‘ " 6с’(2- с )" 6с с‘ (с- 2 )" ” 6с■ 2) 3) 4) 45. 1) = = ґ - t ' а" + а^ а’ (а * -hl) а’ _ 1 a V a ‘ " a ‘ (а^-ні) а^ а^ а” Zb‘ -b’ ь з - ь )_ ьЧь-г) . і . 6*-3&’ б’(Ь-З) Ь^ЬЦЬ-3) 4 а * -8а’ _ 4д’ ( а - 2 ) _ 12а’ ‘ -б а ’ 6а '(2 - а ) 2а 2(а-2)а‘ . 2а 2-З а Ч а -2 ) З ‘ 46. 1) ( £ ± 2 ) L z r i = (j:-h2-(j-2))(3:-H 2-t-x-2) 48х ( Х + 2 - Х + 2) (х + х + 2 -2 ) 4-2х _1 48д: 6 4 2х 6 ’ O V х ' - у ' ( х - у ) (х^ + ху + у‘ ) ’ х ' - у * ( х ^ - у ‘ )(х^ + у‘ ) ( х - у ) (х^ + ху + у^) _ х‘ + ху + у^ . ( х - у ) (х + у)(х‘ + у‘ ) (х + у)(х^ + у^)’ (ЗЬ-9с)‘ _ (3(ь-3с))‘ _ 9 (Ь-Зс)‘ 9(Ь-Зс) ’ 56-Ібс 5(Ь-Зс) ■ 5 (Ь-Зс) ' 5 w w w . 4 b o o k . o r g
- 7. ca ем 47 1 )(m + b f + ( m - b f m^+25 m‘ + 10m + 25 + m^-10m + 25 m‘ + 25 ^ 2 m 4 5 0 ^ 2 (m^ + 25) ^ g. m^+25 m‘ +25 2) П З а О» н u ü Ö 03 S I T Ё: . 5 с о S m LU L_ c:; < a^ + 6“ (a + b)(a - a b + b^) _ ( a - b ) ( a + b ) ( a ‘ +b‘ ) ( a - b ) ( a ‘ +b^) _ (a + b ) ( a ^ - a b + b^) a‘ - a b + b‘ „ 6m + 2n ^ 2(3m + n) (12m + 4 n f (4(3m + n ) f _ 2(3m + n) ______2(3w + n)_______ ~16(3m + n f ~ 8 2(3m + n ) ( 3 m + n ) ~ 1 8(3m + n) ' АЯ Л Л x^ + &x ж (д: + 6) X ^ = 6 J T 3 6 = 6 lF T 6 ) = 6 ’ ™ X + & ^ 0 , X ^ - 6 . Графіком функції є пряма з «виколо тою» точкою Л(-6; -1 ) (рис. 1) Рис. 1 х ^ - і х + і ( x - 2f (2 - x f - 2 - х ; якщо 2 - X ф О, х ^ 2. Графіком функції є пряма у = 2 - х з «виколотою* точкою А(2; 0), яка прохо дить через точку В(0; 2). Дійсно, якщо х = 0,тоу = 2 - 0 = 2 (рис. 2). Відповідно область визначення функції має вигляд: 1) Z)(at) = ( - “ >;-6) и (-6; 2) D (x) = (-~ ; 2 )и (2 ; 49. 1) „ = ’ ^ 2 5 - б х 5 (5 - х ) = Іг = - 4 . якщ ох - 5 ^ 0 , Х5І 5; 5 ( x - 5 ) 5 D(x) = (“ оо; 5) U (5; +оо). Графік функції X — пряма У = - - г з ♦виколотою* точ- 5 кою А(5; -1 ), що проходить через точку 0(0; 0) (рис. 3). 2) у = х^ + 6х + 9 (д:-ьЗ) = х + 3, якщо 3 + х х + 3 X + 3 * 0 , х ^ -3; D (x) = (-~ ; -3 ) U (-3 ; -Н»»). Графік фун кції — пряма, яка проходить через точ ку А(0; 3) і «виколоту» точку В (-3; 0) (рис. 4). Дійсно, якщо X = 0, тоі/ = 0-н3 = 3; якщо 1/= О, то д: -Ь З = О, д: = -3. Ук 50. 1) з* ^ = _ 2 _ = J_ = 1. 2“ 2^-2‘* 2^ 4 ’ З*-З® 3“ 3“ 49 7' ' = 3^=27; 7“ -7' 125 5* 7' 5' = 7'‘ = 49; ■5^ 25' 5* 5* 5^-5* 51. 1) з першого рівняння системи ви разимо X через у : х = 2 - 3 у . Даний вираз підставляємо у друге рівняння системи: З ( 2 - З у ) - 2 у = 17, 6 - 9г/ - 2і/ = 17, 6-11і/ = 1 7 ,-1 1 у = 1 7 -6 ,-1 1 і/ = 1 1 . Отже, І/= 11 : (-1 1 ) = -1 , тоді д: = 2 - З X х (- 1 ) = 2 + 3 = 5. 2) Додаючи почленно дані рівняння, отримуємо: Зх -І- 7з: 2і/ - 2у = 2 - 22, ІОх = -20, X = -2. Тоді з першого рів няння системи маємо З ■(-2 ) + 2у = 2, - 6 + 2у = 2, 2у = 2 + 6, 2у ^ 8, у = 4. 52. 1) (2д: ЗуГ - ( х + 7у)(4х - у) = w w w . 4 b o o k . o r g
- 8. s4x* + 12*!/+ - x(4x - y ) - 7y(.4x - y) = = 4x:>+ I 2xy + 9y^ - ix^ + x y - 2bxy + ly^ = * (4Ж* - 4л:^) + (,1 2 xy + xy - 28xy) + + (9y^ + 7i/^) = - 1 5 x y + 16y^; 2) (m + 3 )(m ^-5 )-m (m -4 )^=m (m *-5 ) + + 3(m ‘ - 5) - ra(m“ - 8m + 16) = - 5m + + 3m* - 15 - m^ + 8m^ - 16m = (m^ - m^) + + (3 /n*+ 8m ^)-(5m + + 16m) - 15 = 11m“ - _ 21m - 15. § 3. Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками 53 1) х _ у ^ ^ 5 5 5 ’ ’ 9 9 9 ’ 3 ) 4 ) 1 - 1 = ^ - ^ - ^ ' а а а а о Ь 54. 1) f . | = 2х , X 2х + х _ 3 х , 5 ’ 7у 2 у _ 7у-2у Ьу_ 3 3 З З ’ а + Ь а а + Ь - а _ а - а + Ь _ X х ~ X ~ X х ’ 7 х 5 х ^ 7х‘ +Ьх‘ 12х ‘ 2) 3 ) 55. 1) Зт ^ 2т _ Зт + 2т 5 т 8 8 8 2) 9 £ - ^ ^ g i? IL P = g£- ' 17 17 17 1 7 ’ 3) £ z y + Ä = £ r y ± £ = Ä ; т т т т ’ 5с' 2с' 5 с '-2 с ' Зс' 8 ’ 4 ) т т ш ш 1а За 7 а - 3 а _ .4 а ^ а . 4х х ’ 56. 1) М _ 3 а ^ 4х 4х 4х х + у х - З у _ х + у - х + 3у _4у у _ ' 8 8 8 8 2 ’ 04 а + 4 5 - а a + 4 + 5 - a 9 , 3 ) - ^ + - д - = ------9-------=9 = 1 . х + Зу 4х + 7у _ х + 4х + 3у + 7у _ ’ 10 10 10 _5дс + 10і/ 5 {х + 2у) х + 2у _ 10 " 5 2 ” 2 ’ 5) 5 т - 2 т - 1 0 5 m -2 -m + 10 8m 8m 8m 4m + 8 _ 4 (m + 2) _ m + 2 _ 8m 4 2m 2m 7a + 13 1 7 -a 7a + 13 + 1 7 -a 6) — ^— - + - - ■ 6a 6a 6a 6a+ 30 6 (a + 5) _ g + 5 6a ~ 6-а "" а 57 X) I Зл: 5x + 3x _ Sx _ 4 x , 2a 2a “ 2a 2a а ’ 2) a + b а -5b a + b —a + 5b 66 b 12 12 12 12 2 ’ o. b - 3 .1 3 - 6 Ь -З + 13- ö 10 „ = -------5--------= T = a + 2ft 3a + 66 a + 26 + 3a + 6ft ^ 8 8 ~ 8 _ 4a + 8fe _ 4 (o + 2ft) а + 26 “ 8 " 8 ~ 2 ’ 5) 6 m -3 m -13 6 m -3 -m + 13 10m 10m 10m 5m+ 10 _ 5 (m + 2) _ m + 2 . 10m 5-2m 2m ’ ß, 5 x - 3 ^ 1 1 - x 5 X -3 + 11-JC - ^ ^ - 4 T = -------4 i ^ 4x + 8 _ 4 (x + 2) ^ x + 2 4x 4 X x ' 58. 1) " + 3 x - 7 y 15y-3x _ 4xy 4xy _ 3x-7i/ + 1 5 y-3 x _ Sy_ 2 _ 4xy 4xy X ’ 7 a+ / 7a-2p^ ’ 3p 3p — —7a + 2p^ _ 3p^ __ 2. 3p ~ 3p ’ 5a-b* fc‘ + 5 a _ 5 a -& ‘ - ^ ^ 5 a il) 6b" 66“ 66= -2b* 1 ^4 3a- 4 4 a+ 5 ' 66' " 36’ 8a 8a 1 -а 3 a -4 + 4a + 5 - l + a 8 a _ . 8a 8a 8a CQ 3 a -6 56 + 3a 3 a - b - b b - 3 a -Л ab ab -66 ab ab 6. a' 2) 9m + 2ft' 9m -3fe' _ 5k 5k 9m + 2fc' - 9m + 3ft" _ 5ft' _ ь. 5ft 5ft 5 6 -m ' m' + 56 _ 5 6 -m '-m '-5 6 4m^ 4m’ 4m® -2m ' 2L1= - J - 4) 4m* 2m 4o-3 ^g + 8 5-а 6o 6o 6a w w w . 4 b o o k . o r g
- 9. ем 4 a -3+ a + 8 -5 + g 6 а _ . 6а 6а 60. З а -5 ^5+ а З а -5 + 5 + а 4а 4а" 4а-' 4а'’ 4а" 1 1 о 1 = - = Т = 2,якщо а = - . 61. 2 56-7 6ft' 7 + Ь 5Ь-7 + 7 + Ь 6Ь 6Ь^ 6ft* eft’' rs CL ё Ü (О s I T а . g с о S Ю c : < 25 л * - 2 5 . Л = | = 7,якщоЬ = І 7 . - 5 - . - 5 - (д:-5)(;с + 5) " + 2) _36 у" З б - у " _ (6 - у ) (6 + і/) J /+ 6 І/+ 6 6 + 1 / І/+ 6 = 6-1/; х - З 3) л:"-9 л + 3 6 х - 3 + 6 д:"-9 х ‘ - 9 4) (х -3 )(л: + 3) х - 3 ’ 7 а -1 7&-1 7 а -1 -7 6 + 1 7а-7ft 7(0-ft) а " -ft" 7 ~ a ‘ - b ‘ (a -ft)(a + ft) a + ft’ 2j c+ j/ , j;-4 j/ 2x + i/+ x -4 i/ . 0 “ .Л — ( x - y Y ( x - y f ( x - y ) 3 x - 3 y 3 { x - y ) 3 (x-y)^ 6) (x - y ) - ( x - y ) x - y ’ 9m + 5n m - 3 n 9m + b n - m + 3n (m-vnf {m + n f (m + n f 8m + 8n 8 (m + n) 8 {т + пУ 6 3. 1) (m + n ) ( m - n ) m + n' 49 m" 49-m '“ 7 -m 7 -m 7 - m = M 7 ± Z E ) = 7+ m; 7 - m 2) x + 7 6 . x + 7 - 6 x ‘ - l x " - l * " - 1 x + l 1 . (x -1 ) (Л Г+ 1) x - 1 ’ 5Ж-2 5j/-2 5 x-2 -5 j/ + 2 ;t"-j/" x ‘ - y ^ - x"-j/ " “ Ъх-Ъу 5 ( x - y ) 5 . ( J C - y ) ( x + y ) JC + I/ ’ .. 3a - 4ft 2a - ft 3a - 4ft + 2a - ft (a -ft)" (a -ft)" (a -ft)" 5a-5ft 5 (a - ft ) _ 5 (a -ft)" (a -ft) (a -ft) a - ft ' 64. 1) ^ + c - 3 3 - c ~ c + 3 ’ c - 3 “ 7 ^ ¥ 3) 5x ^ 5i/ ^ 5j; 5у 5лс - 5y x - y y - x x - y x - y x - y a 5 g - 5 x - 1 ' 1 - х x - 1 x - 1 x - 1 ’ m P _ m p m + p О o “ ^ 0 » = i i £ : : £ ) = 5; x - y lOp ^ 5m 2p - m m - 2p lOp 5m 10p-5m 5 (2 p -m ) ^ 2p - m 2p - m ~ 2p - m ~ 2p - m ~ ' 65. 1) 2) С ^ Д С _ С X с - X a - 2 2 - а a - 2 a - 2 a - 2 ' a 8 “ . + . 8 _ a + 8 . x - y y - x x - y X - y x - y 3) 2m ^ 2/t ^ 2m 2n rti'-n n —tn rn —n m —n _ 2m - 2n _ 2 ( m - n ) _ 4) Ібд: ^ iy ^ 16л; 4y 4 x - y y - i x A x - у 4 x - y 16x-4y _ 4 ( 4 x - y ) _ ^ 4 x - y 4 x - y 4 -m 66. 1) - _ m" + 4m + 4 m" + 4m + 4 m‘ - m - 4 + m _ /n"-4 (m -2)(m + 2) (m + 2)" “ (m + 2)" ” (m + 2)(m + 2 )' 9c 18 + 6c m - 2 . m + 2 ’ 2) c "-6 c c "-6 c 9 c -1 8 -6 c _ 3 c-18 3 (c - 6 ) 3 c "-6 c c "-6 c с (c - 6 ) c ' 67 1 ^ a" +3g 3a+9 a" +3 a-3 a-9 . a" + 6a+9 a" +6a+9 (a +3)" a " - 9 ( a - 3 ) ( a + 3) a - 3 . (a + 3)" (a + 3 )(a + 3) a + 3 ’ 2 ) 3m m + 10 _ 3 w -m -1 0 m" - 5m m" - 5m m" - 5m 2m -10 2 (m -5 ) 2 m‘ - 5 m m (m - 5 ) m ’ 68. 1) (g -ft)" (a + ft)" 2aft 2ab ,2 _ _ a -2gft + ft"-(a"+ 2gft + ft") -4aft „ 2aft ~ 2ab ~ ’ w w w . 4 b o o k . o r g
- 10. (a+b)’ (a-bf a^+2ab+b‘+a^-2ab+b^ 2) T T F '^ o ’ + ft*' аЧ б‘ 2a' + 2fc‘‘ _ 2 V + ^ _ _ 2 - - 2 ; a‘ + b‘ = 2, 2 = 2. 69. 1) . r ^ + 2m -10 10-2m 2m -10 25 m '-2 5 (m - 5 )(m + 5) "2m -1 0 2m -10 2 (m - 5 ) 2) : « ^ = 2 ^ = ^ = 15 , я к щ о т = 25; 2 2 2 + ^ 6л:у з : Ч У 6xy x - Z y Z y - x x - Z y x - Z y x‘ - 6xy + 9y^ ( x - Z y f = x - Z y x - Z y ^ = 2008 - 3 і = 2008 -1 = 2007, О якщо л = 2008, J /= |- 70. 1) 36 Зх-18 18-Зл: Зл:-18 36 ^ л:^-36 (д:-6)(дг + 6)_;е + 6 Зх-18 Зл-18 3 ( х - 6) 3 = г1 | ± 6 = : ^ = -2, якщод: = -12: 3 3 2) 25А^-10с/г с - 5 * Ъ к - с с - Ь к гък^- lOcft ^ с'' - lOcfe + 2Ьк^ _(с - bkf с- Ък с - Ь к с-Ък = c-5 ft = 199-5 0,2 = 1 9 9 -l = 198, якщо с = 199, к = 0,2. 7 1 1) = 2) 3) т а* +а^ - Ь і Ч б х - З х ‘ + 5х х + 5 а ' а “ 5 2^ 5 = — тН— 2 — + а - - т а‘ а ‘ а‘ 3 _ х(х + 5) х + 5 х +5 х + 5 4) х + 5 х + 5 ’ _ 4 а -4 & ^ 7 4 (а -Ь ) ^ 7 а -Ь а -Ь а -Ь a -ft 72. 1) “^ = “ -1 = 1-1; 4а-4Ь + 7 а - Ь = 4 + а - Ь ' 2) т^-т^ + 7 т „2 3) г/ ^+ У + 2 _ у^ + у ^ 2 _ у(|/+ 1 ) ^ у + 1 1/+ 1 I/+ 1 у + 1 ’ У + 1 ^^i/ + l ’ - 5 p -5 g ___ 1 5 (p - g )___ ^ ^ 5 ____1 4) 5 p - 5 g - l P - 9 P -9 P - ? 7-4m 73. 1) /’ -9 P - 4 9 -5m P -9 (2 - m f (m -2 )‘‘ 7 -4 m - 9 + 5m m -2 1 ( m - 2f ( m - 2f m - 2 ’ 2) 12a ^ 3 a 4 l2 ^ 3 o ‘'-1 2 a + 12. (2 - a f ( a - 2f ( a - 2f 3(a^-4g + 4) 3 ( g - 2 f _ 3 ( a - 2 f ( a - 2 f a - 2 ’ - 6n 2 (m -Z n ) 3) (m -2 )(n -3 ) (2 -m )(3 -n ) m‘ - 6n 2m - 6n (m -2 K n -3 ) ( - l f ( m - 2 ) ( n - 3 ) ‘ _ - 6n - 2m + 6n - 2m (m -2 )(n -3 ) “ ( т - г К л - З ) ' m (m - 2 ) m (m - 2 )(n - 3 ) Л -3 74. 1) 16-7a 13-6a ( 3 - a f ( a - 3 f 1 6 -7 a -1 3 + 6 a 3 - a 2) (3 - a ) (3 - a ) 3 - o ’ 5m^ 30m-4 5 (a-3)^ 15(2m -3) _____ (3 -m )* ^ (m -3 )" (3 -m )" 5 ( m '- 6 m + 9 ) _ 5 ( m ^ j f _ 5 3) Ът _____________ _________________ (3-m )’ (m-Zf (m-Zf m -3 ’ P^-9(7 3 (p -3 g ) (P - 3 )(9 - 4 ) (3 - p )(4 - g ) - 9 q Zp - 9 q (P - 3 )(9 - 4 ) (p -3 )(9 -4 ) p ^ - 9 q - Z p + 9 q _ - Z p (p - 3 )(g - 4 ) “ (p - 3 )(? - 4 ) p ( p - Z ) p (p - 3 ).(g - 4 ) 9 -4 74 1^ 1 , 5 1 2 5 __2 5 _ ^ 7 14 7-2 14 14 14 = 2+ 5 ^ X = i . 2^ 5 3 5 4 14 14 2’ ^ 12 16 12-4 w w w . 4 b o o k . o r g
- 11. C N J 1«^ C N J Г О Q. dl U та s X T >N Q. 5 с о з ю ш 31 1 3, 7 1-6 3-3 7 2 _ 8 16 24 8 6 16 З 24 2 9_ 14 6 -9 + 14 . 11 48 48 "^48“ 48 48' 7 6 . 1) baV=Z-b a a ^ b = b ^=Zab^ x 5 a V ; 2) l 5 a V = (-3 ) ■(-5 ) ■a‘ a b'’ = -5а^М x х (-З а ); 3) 1 5 a V = -15a^b i-b<'); 4) 15 a V = 15ab ■a^b 77 + y ^ - z ^ - 2xy _ { x ^ - 2xy + y^)-z^ ^ - y ‘ + z^ + 2xz {x^+ 2xz + z^)-y^ ( x - y f - z ^ _ ( x - y - z ) ( x - y + z) (x + z f - y ^ (x + z - y ) ( x + z + y) ( x - y - z ) ( x - y + z) _ x - y - z (дг-і/ + г)(лг + і/+ г) x + y + z ’ § 4. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками 78. Спільний знаменник даних дробів повинен ділитись на кожен з їх знамен ників. Отже маємо: 1) 6; 2) 24; 3) ху, 4 )3 т . 79. 3-3 _ 20 9 2 0 -9 11. 16 3 48 48 48 48’ 3) « - г . - * -У ; у х ху 2 k 6 + eft 7 ^ з = - з ^ - ол ,, X а 4х + 5а m п т-2п ’ 5 4 20 ’ ^ 6 з “ 6 ’ 04 а . Ь а^ + Ь^ 4) 1 - 1 = £.1-20, 5 р Ьр 81. 1) ± - ± = § ^ : ’ 5а 2а 10а 14 10а _7_, ' 5 а ’ 3) 4) 21 а 7о _ 5а + 28а _ ЗЗо. ’ 4Ь 5Ь 206 206’ 2а ^ 5а 4 а Ч 5 а ' 9а" а 96 186 7 т m 186 186 26’ 21m-2m 19m 12n‘‘ 18n‘' 36n" 36n^ 82. 1) 3 2 _1 5 + 8 23 4m 5m 20m 20m ’ 21 X 3jc 4x - 9x _ 5x . ^ 6y 8y 24y 24y’ 3) 4a 5a 9m' 12m' 16a + 15a 31a 36m' '3 6 m '’ 4) 1 5y lOy 8 x ^ - 3 x ‘ 5x‘ 30y 30y 6 y ' oo , , 2 x x - 4 10x + 3x-12 13дг-12 15 - ~ T 5 — ’ 2) 4m -2n m - n 2(2 m- n ) m - n 3) 10 5 2 5 5 2m - n m - n 2m - n - m + n _ m _ 5 5 “ 5 “ 5 ’ g + 2 3 - 7 g ^ 3(a + 2 )- 2 (3 - 7 a )_ 4a 6a 12a 3a + 6 -6 + 14a 17a 17 12a “ 12a “ 12’ 4) 2 -3 y 5 - З х _ х (2 -З у )-і/ (5 -З л :)_ у X х у _ 2x - Zxy - 5y + 3xy _ 2 x - 5 y xy ~ xy g. x + 7 3y + 4 _ 3i/(y + 7)-x(3i/ + 4) ^ bx Iby 15xy 3xy + 2 l y - 3 x y - 4 x 2 1 y - 4 x , 15xy ~ 15xy ’ g. 4a+ 6 a-66 _ 36(4a + 6) + 2a(a-66) ' 2 a 36 “ 6ab 12a6 + 3 6 '+ 2 a '-1 2 a6 2 a '+36' 6a6 6ab aA 14 a a - 2 _ 3a + 4 a- 8 7 a-8 ■ ^ 4 3 12 “ 12 ’ 21 2j:-i/ x - y _ 2x - y - 2x + 2y _ у ' 14 7 14 14’ 3 ) д:-6 ^7-2і/ 2 ху-1 2у + 7з:-2д:і/ 2x 4y 4xy ^ I x - I 2y _ 4xy ’ 4) G m - n 8 л -5m 3m 4n _ 4 n ( 6 m - n ) - 3 m { 8 n - 5 m ) _ 12mn 24m n-4n'-24m n + 15m' 15m '-4n' 12m/i 12mn 1 , g - 2 l + a (a -2 ) 85. 1) i a u a '- 2 a + l (a -1 )' : 2) 2+ m m '-5 a a m* 2m + m '- m ' + 5 2m+ 5 m 41 1 , l - 3 x ' _ x ' + 2 -6 x ' 2 - 5 x '. 2x^ x ’ 2x ’ ’ 2x ’ ’ 4) Q -6 6 -а b ( a - b ) - a ( b - a ) ab 6' “ аб' a b - b ^ -a b + a^ a^-b^ a b ab‘ w w w . 4 b o o k . o r g
- 12. 3n+ m n-3mm(3n + m) + n(n-3m) mn^ m}n т п ‘я‘ Ятп + т^ + n^ - 3 m n m‘ + n‘ _ 6) x - 2y y - 2x x { x - 2y ) - y { y - 2x) xy X у X ,2 o „ . , „ 2 _ .,2 86. 1) x V m + 2 1 _ m + 2 -m _ 2 m m 5 , 3-4n^ 5 лЧ З -4 п ^ п Ч з . 2) 5 ^7 “ „7 “ ^7 » п п п п 3) ^~у у - ^ ^ х^ ху Х^у х у - у ^ - х у + х^ х ^ - у 4) с -2 р 2с - р _ с - 2ср + 2с р - р _ ср^ рс^ = £ І г / гр^ 0 7 1 1 1 Ьс+ ас + аЬ аЬ+ Ьс + са О/. 1) —+ —+ —= ----г-------= -------Г ------ ; а Ь с аЬс аЬс 1 2 , 3 1 -2с + Зс^ 2) ^3 ^2 + ^ - ^3 . 3) + = ху 1 / 2XZ хуг 4 ) Д + Ь fe+ c I Д + с aft fee де c(fl + fe) - д(& + с) + &(g + с) abc ac + b c - a b - a c + ab + bc 2bc 2 flfec abc а ' 88. 1) 1 1 , 1 + p m n mnp „, 2 3 4 2 х Ч З х - 4 ? ' 3 ) 1 ^ 1 ^ 1 . с + д + fe _ д + fe+ c , ab bc ca abc abc 4) xy yz XZ _ z ( x - y ) + x ( y - z ) + y(x + z) xyz _ XZ - yz + xy - XZ + xy + yz _ 2xy _ 2 xyz xyz z ' DQ 3x + l 1/-1 7x + y _ I x 2y U x y 2y(3x + l ) - 7 x ( y - l ) - ( 7 x + y) _ 14xy 6xy + 2y-7xy + 7 x - 7 x - y 14xy _ y - x y _ y ( l - x ) 1 - х l^xy 14xy 14x ' Д - X ;— , що Й треба було довести. 14л: 14х QQ Зт + 2 п - 1 5т + 3п 5т 2п Ютп 2п(3т + 2) - 5m(n -1 ) - (5m + Зп) Ютп _ 6тп + 4 п -5 т п + 5 т - 5 т - 3 п _ Ютп _ тп + п _ /і(/п+ 1) _ m +1 Ютп Ютп Ю т ' т + 1 т + 1 Ют Ю т — ТОТОЖНІСТЬ доведено. 9 f. 1) У і У у 1 _ З т ^ -1 . т m 3) 4) 4 2 _ 4 р 4 - р Р Р 1 р ’ Д^+у д _.д^+і/ а _ а‘ + у - а ‘ у _ 5) 2 x - д 1 а а 6x ^+1 2х 6x ^+1 Зх 1 Зл: 6х^-6 x ^ -1 1 . 6) „i+ 2 -4 m n ^ Зх Зх ’ 4п _ т ^2 - 4 т п __ 4тп + 2 - 4 т п _ 2 1 1 4п 4п 4л 2п' 92. 1) п 1 п п 2) 4 р Д = І £ а = і £ ^ : ^ Р 1 Р Р £ V _ „ = £ V _ У = = £ . !/ у 1 У у ’ 3) 1 4 р^-1 4 р ^ -3 _ 3^ 2р 2р- по , т п 1 т п _ 6 - 3 т - 2 п y j. 1) l - y - g - i 2 З 6------ = 2) + а Ь 1 а t> а6 3) т - 2 j^^m + 2 m -2 1 ^m + 2 w w w . 4 b o o k . o r g
- 13. ечі _ 4 m-8 -1 2 + 3m + 6 7/n-14 12 ~ 12 ’ 4) a + b + a - b = - a - b a + b 1 l + (a - b )( a + b) _ l + a‘ -b^ a+b a+b 94 и £L+ n _ i = ^ + ' i _ i = ^^ 3 4 3 4 1 2) 4m -3n-12 с d с d 12 5cd - d + с . cd 3) a + 3 _ j ^ a - 2 a + 3 (O Ql ё Ü Ö го s I T >s Q. 5 Ъ о З ю с : < 5 * ' 2 5 1 2o + 6 -1 0 + 5 a -1 0 _ 7 a -1 4 . 10 10 ’ 4) l + ( x - y ) ( x + y) + x'‘ - y ^ x - y x - y 1 + ^ - 95. 1) 1 x + y + x - y 2x 2) 3) 4) x - y ' x + y (x - y )( x + y) x^-y^' 1 1 _ x + y - x + y _ 2y _ x - y x + y ( x - y ) ( x + y) x ‘ - y ^ ’ 1 ^ 1 _ a + a + b _ 2a + b . a + b a a(a + b) a(a + b )’ 1 a + b 96. 1) a - a - b a(a + b) 1 a{a + b) 2a - b + 2a + b 2a + b 2a - b (2a - b ) ( 2a + b) 4a . 1 1 ' Aa^-b^' 2a - b - 2a - b 2a+ b 2a - b 26 (2a + b)(2a-ft) 4 a^-6 ' 2) m 1 ^1 n + m - n _________ m - n n n ( m - n ) n { m - n ) ’ 1 n - m + n 2n - m m - n n n ( m - n ) n ( m - n ) ' 97 1) 2^ 3 _ 2 a -2 + 3 a _ 5 o - 2 . a a - 1 a ( a - l ) a ( a - l ) ’ a - c 3 . a c - a c + c a a ( a - c ) a ( a - c ) ’ ^ 2 _ 3x-3y + 2x + 2 .i/ 5 x - y x + y^ x - y (л:+ і/)(^с-!/) ~ x ’‘ - y ‘ X . 2 x‘ -2 x+ 2 x -2 x^-2 x - 1 1 - 2 ( i - l ) ( i - 2 ) ( i - l)(x - 2 )’ q + 1 a (o -lX a + l)-g ^ 1 a a-1 a (a - l) a (a - l)’ a g a(2a + l ) - a ( 2 a - l ) 2 a - l 2a + l ~ (2 a -l)(2 a + l) a(2a + l - 2 g + l) 4a“ -1 2a 4a’' - 1 ' 98 n 4 7 _ 4b + 8 + 7b llb + 8 ’ b b + 2 b(b + 2) b(b + 2)' 2) 3) 3______2 __ 3m+ 3it— 2m+ 2n _ m + 5n m - n m + n (m-n){m + n) ~ m‘ -n^' p 3 + 3 p - 3 p + 6 p - 2 p + 3 ~ (P -2 K P + 3) (P-2K P + 3 )’ X 1+ л: 4) 99. 1) 2) 1 - х X a - 2 x ‘ + l - x 1 ї(1 -д :) jc(l-;c)- a a - 2 + 2a 3a -2 2(g + l) 0 + 1 2m 3m 2(a + l) ______________________ m 4(a + 6) 5(a + b) 2(a + b )‘ 3m 5m —6m m 2 ( a + l ) ’ 3) 5(a + b) 10(a + ft) 10(a + {>)’ a - 2 a+1 a - 2 a+1 2a + 6 3a + 9 2(a + 3) 3(a + 3) 3a- 6 - 2a- 2 a - 8 4) 6(a + 3 )’ 5 4 6(a + 3) ^ ________ a x - a y b x -b y a ( x - y ) 5 5a + 4ft b ( x - y ) а Ь {х -у У r, 5 30 ^ x x(x + 6) 6) 6 5X+ 30-30 5x x(x + 6) 2 6 x(x + 6) x + 6 ’ 2 6 - 2 X - 6 x^ + 3x 2x X x(x + 3) x 2 x(x + 3) x{x + 3) Л Г+ 3' 1 = 1 — тотожність доведено. 106. 1) m‘ + n‘ m - n - - m - n m + n 1 ( m - n ) ( m + n)- (m^ +n^) m + n - 2n‘ 2) p - m + n 4 m + n _ 2 = £ :i2 _ _ 4 _ ^ p - 2 1 p - 2 { p - 2 ) ‘ - 4 _ p‘ - 4 p + 4 - 4 _ p‘ - 4 p _ p - 2 ~ p - 2 ~ p - 2 ’ 3) a“ - l -+ 1= g* + l a^ - 1 w w w . 4 b o o k . o r g
- 14. (а‘ -Ша ^+ і ) - а ' а * - 1 - а _ 1 . а‘ - 1 а‘ - 1 а‘ - і ’ _ 8 £ І- _ 4 р - і = - ^ - І £ ± і = 2 р -3 ^ 2 р - 3 1 8р‘‘ - (2 р -3 )(4 р + 1) 2р -3 8 р * -8 р * -2 р + 12р + 3 10р + 3 2 р -3 “ 2 р -3 • 9 1 „ . з - (w + 3 )^ - 9 _ m^ + 6m + 9 - 9 ^ m^ + 6m . ~ т + 3 т + 3 т + 3 ’ 6т^ 2 т -4 З/л+ 1 1 6m "-(3m + l)(2 m - 4 )_ 3m + 1 6m^-6m^ +12m -2m + 4 _ lOm + 4 3m+ 1 3m+ 1 4m -5 m -1 4m -5 m -1 f 0 8 , _________ 7m-21 2m -6 7(m -3) 2(m -3) 8 m -1 0 -7 m + 7 „ m -3 _ 1 14(m -3) 14(m -3) 14' Вираз не залежить від m при усіх допус тимих значеннях змінної m # 3. 109. 1) х ^ - х + 1 л:“ +1 X - ї + 1 ^ 2 - х ( х - Щ х + 1) + 2 - х (x + l)(i* - o : + l) ж’ +1 х ‘ - 1 + 2 - х х ^ - х + 1 1 . х® + 1 (х + 1)(х^ - х + 1) х + ' 2) 2 т 2 т т - 5 т + 5 2 5 -т ^ т - 5 5 2т^ т + 5 (m -5 )(m + 5) 2m'* + 10m -5m + 25-2m “ 5m+ 25 т '^ -г б 5(m + 5) 5 (m -5K m + 5) m - 5 ’ 6 _^ ,m -1 2 _ m“ -2 5 6 m“ - 6 m '6 m - 3 6 m (m -6 ) m-12 36 + m^-12m (ffi-6 )’^ .." » - б . 6(m -6) 6m(m-6) 6m ( m - 6) 6m 4) = 2a + 6 ■ а^'-Э a ^ - a - 3 1 2(a + 3) (a -3 )(a + 3) 1 3 a- 9 + га“ ' - 2 a - 6 - 2 a 4 18 2(a^-9) а + 3 2 (a -3 )(a + 3) 2 (a -3 )* a + 1 a + 2 a + 1 a + a + 1 a - 1 a + a + 1 g + 2________ (a - l)(a + l)+ g + 2 _ (a -l)(a ^ + a + l) a^-1 a ^ - l + a + 2 a^ + a + 1 1 2) a ' - l 2a . (a -l)(a ^ + a + l) a - 1 ’ 2a‘ 2a а a - 3 a + 3 9-a^ a - 3 a + 3 2a' г а Ч в а + а^'-З а -га" (a -3 )(a + 3) a'"-9 a ' + 3 a _ a(g + 3) _ а —9 (a —3)(a + 3) a - 3 ’ m+ 8 m+ 8 3) ^ __________________ m' + 4m 4m + 16 m(m + 4)^ 4(m + 4) 16 + m‘ + 8m ^ (m + 4 f „ m + 4 . 4m(m + 4) 4m(m + 4) 4m ’ 4) - b - 2 - 1 = : 3b + 6 b^ -4 * 3(ft + 2) b^-b-2 1 2Ь-4 + Ь^-Ь-2-З і>Ч і2_ (ft-2Xft + 2) Г 6 + Ь-2Ь^ 3(6^-4) 6 + 3&-4b-2ft" 3 (ft'-4 ) 3 (ö '-4 ) 3(2 + b)-2b(2 + b) (ft + 2)(3-2&)_ 3-2fc 3(ft^-4) 3(b-2Xb + 2) 3(ft-2)- 1 1 1 . 0,3a + 0,6 0,25a + 0,5 0 ,5 a 4 2 a + 2 0.9 0,3(0+ 2) 18 0,25(a + 2) 0 ,5 (a 4 4 a + 4) 5(a + 2) 3(a + 2) ^ 18________3 _ 1 8 -3 ’ 5(0 + 2)' 5(a + 2) 5(o + 2) 5(a + 2) — тотожність дове- a + 2 ’ a + 2 a+ 2 деко. 112 0,35 0.2a-0 ,6 ■ 0 ,5 a -l,5 a '- 6 a + 9 0,35 0 ,2 (a -3 )_ 0,7 0,2 _ 0 ,5 (a -3 ) (a - 3 )“ a - 3 a - 3 - 0,5 _ 1 . 1 _ 1 a - 5 2 (a - 3 )’ 2 (a -3 )2 (a -3 ) тотожність доведено. a‘ -2ab + 4b‘ ^a'+2ab + 4b' a '-4 b ' (a + 2ft)' 113. 1) w w w . 4 b o o k . o r g
- 15. a“ - 2ab+ 4b^ + 2ab + 4b^ (a-2b)(a + 2b) {a + 2bf . (g +2»)(a^ - 2ab+ib') +{a- 2b){a‘ +2ab+ib‘ ) {a-2b)(a +2bf a’ +8b^ + a’ -8ft’ 2a* 2) ( a - 2b{a + 2bV ( a ~ 2b){a + 2b f ’ 2 4 ^ 2 2 (a - 3 )' 0=^-9 (a + 3 f ( a - 3 f ‘ 4 , 2 (a -3 H a + 3) (0 + 3 ) '“ 2(a + 3 f - 4(0^ - 9) + 2(g - 3)' _ (a - 3 )‘‘(a + 3)' 2a* + 12o +18 - 4 a 4 36 + 2a' - 12a +18 72 ((a -3 )(a + 3))' 114. 1) = x^-y^ (x + y f x‘ - x y + y^ ^x‘ + xy + y^_ ( x - y X x + y) (x + y f {x + y){x^-xy + y^) + (x-y){x^+xy + y^) (x - y ) { x + y f _ x‘ + y^ +x ^-y ^ ^ 2x^ 2) ( x - 2f x '- 4 (x + 2f ( x - 2f (jc-2)(;c + 2) (x + 2f (^: + 2 ) '- 2 ( j '- 4 ) + (x + 2)' _ (x + 2 f ( x - 2 f j : '+ 4дг+ 4-2зс'+8 + x ' -4 x + 4 16 ((X + 2KX-2))' 115, 2+^ = g -f-g - = g^-- -» ^ ° . x - i 1 x - 4 x - 4 2ü + Я—Я Тотожність -------- — = ------- маємісце, х - 4 х - 4 якщо а - 8 = О, тобто а = 8. 11ß а^ + За З а '-1 4 а + 16 ^ _ а + 2 а‘ - 4 а^ + За З а '- 14а+ 16 2а _ а + 2 (х-2 )(д: + 2) 1 “ (а - 2Ха’ +Зо) - (За' -1 4а +16) + 2а(а' - 4) о '-4 а‘ + За’ - 2о^ - бо - Зо' + 14о -16 + 2а‘ - 8о а^-4 а‘ - 1 6 (о '- 4 )(а ' + 4) _ о '- 4 = “ Значення виразу додатне як сума квад ратів при всіх допустимих значеннях а є (-~ ; -2 ) и (-2 ; 2) и (2; +~). 117. „+а Ч 2 £ І± 3 £ ± 1 _ а 1 + 2 а ^ о '- 1 а -1 о + о ' 2 о'+ З о + 1 а* + 2 а _ 1 (а -1 )(а + 1) а -1 (o' - 1)(а + а ') + 2а' + За +1 - (а +1)(а^ + 2о) а '-1 _ а’ +а' - а- а Ч 2а' +За+1 - о* - 2а' - а* - 2а - о '+ 1 о '- 1 а '- 1 а '- 1 а'-1 = -1; -1 = -1 — тотожність доведено. 118. — 1= -2)j х + 4 З х - & ) = 15 3j: + 4 Ь { х - 2) х + 4 9х + 1 2-5л:-20 3 (д :-2 ); 1 5 (х-2 ) 4д:-8 4(л:-2) х - 2 х - 2 ’ якщо X - 2 * 0 , х-^2. Графік функції — горизонтальна пряма у = 4 з «виколо тою* точкоюЛ(2; 4) (рис. 5). 1 Уі у = 4 ' А г-2 )' 4 0 2 "х За + 0,5& Рис. 5 12а За-0,5Ь 9а'-1,5о6 9а'-0,25Ь' 9а'+1,5аЬ‘ За+0,56__________ 12а За-О,» 3а(3а-0,5і) {За-0,ЭДЗа+0,й) 3а(3а+0,5й)' (3а+0,56)'-3а 12a-(3a-0,5ft)' За(9а'-0,25б') (За+0,5іі-За+0,56КЗа+0,5і)+За-0,5<))-36а' За(9а'-0,256’ ) 6аЬ-36а' 6о(&-6о') 3o(9a'-0,25b') За(9о'-0,25б') 2(6-6о') 2 (19-6 (-3 )') _ 2 (19-54) _ 9 а'-0,256' 9 (-3)'-0,25 19' 9^-9,5' 70 70 70-2 280 (9-9,5Х9 + 9,5)~ -0,5 18,5 18,5 3 7 ’ якщо а = -З, Ь= 19. У20 х + 0,2у________ 12,5х 4х‘ -0,8ху 12,5х'-0,5і/' w w w . 4 b o o k . o r g
- 16. x-0,2y _ x+ 0,2y 0.5-25X ' i x ‘ +0,Sxy 0,Sx{5x-y) 0,5(25x^-y‘ ) x-0,2y _ 0,2(5x + y) 25x ~0,8x(5x + y) 0,8x(5x-y) (5x-y)(5x + y) 0.2(5x-y) (Sx + y)‘ -100x‘ - ( 5 x - y f ~0,8x(5x-hy) 4x{25x‘ - y ‘ ) (bx + y - 5 x + y)(5x + y + 5 x - y ) - 1 0 0 x ‘ 4x(25x‘ -y^) 20xy-100x‘ - 4 x 5 (5 x- y) ~ 4x(25x‘ - y ^ ) ~ 4x{5x-y)(5x + y) 5 _ 5 5 g 5 ( - 1 0 ) + 4 9 - 1 ’ bx + y якщод: = -10, j/= 49. J 1_ 2 + x 121. 1 2 - х 1 4д:' 2x ^ - x x^ + 4 ' 2 - х 2 + x 4 - x ‘ 2 x ( 4 - x ‘ ) 4x + 2x‘ - 4 x + 2x‘ - 2 x ‘ - x ‘ - 4 x ‘ - 4 2x(4-x^) 4 - x ‘ 2x ’ ~ 2 x ( 4 - x ‘ ) 2 x ( 4 - x ‘ ) якщо 4 - x‘ * 0, ( 2 - x )(2 + x)jtO, тобто x -2 та x 2. Оскільки чисельник дробу відмінний від нуля, то даний вираз не може дорівнювати нулю ні при якому допустимому значенні х. 4 5 - 3 _ 3 4 ’ 122. 2) П 4 15 4 1 5 ' 5 16 5 1 6 ‘ З , 5 ^ 3 14 3-7-2 7' 9 7 9 7-3-3 5 4 - 4 . 2 . ‘ З ’ „2 „З 8 15 2-4 3 5 ^ 3 ^ 4 = 3 Т - ” з Т ~ - ^ ° ’ 7 І 2 І = ^ Ü 7 5 1 0 1 1 7 7 ' 5 2 7 ' 5 ' 2 7 - 5 - 2 4) = 5 1 1 = 5 5 . 123. у 1 к г 5 - в і д с о т к о в о г о р о з ч и н у м і с т и т ь с я 0 ,0 5 ■1 0 0 0 = 5 0 (г) с о л і , т о д і 6 0 к г р о з ч и н у м і с т я т ь 0 , 0 5 ■ 6 0 = З ( к г ) с о л і . 124. За умови, що велосипедисти весь час їхали з постійною швидкістю, за t год вони подолали, відповідно, відстань üj і км та Uj ( км, що разом склало весь шлях s км. Отже, + Ujf = s, або(і)| + v^) t = s, звідки •Я к щ о 8 = 1 5 0 к м , Uj = 1 2 K M / ro A , 1 5 0 t = - s u, +a V - 13 км/год, TO t = 12 + 13 = 6 (год). 125. Відомо, що ^ = 3; тоді: 1) = £ + Ü = £ + i = 3+ i = 4; У У У У 2) ^ ^ = і - . ^ = - - 1 = 3 -1 = 2; У У У У 3) = £ + і £ = £ + 7 = з + 7 = і О ; У У У У 4 х^ + 2ху _ х{х + 2у) _ х + 2у _ х ^2у ху ху У У У = - + 2 = 3 + 2 = 5. § 5. Множення дробів. Піднесення дробу до ступеня 126. 2) 1) ' а З т 4 х Ь 4Ьх 3) 4) а •З т Зат ’ 2 а 2 -а 2. а 5 а-5 5 ’ 5т З _ 5/п-З 1 5 т . 4п р 4 п р 4пр' ^ 1 _ 3д: 1 З 8 8 X 8 ‘ 127. 2) П ^ д : _ Ьр X _ 5рх_ ^ а ' 2 Ь а 2Ь 2аЬ’ 3) 4) 128. 2 ) 3) 4) 129. 2) - Ь Т _ Ь 7 7. 9 Ь 9 6 9 ’ 4_ 5Ь _ 4 5&^20&. 7а' З 7а З 21а’ т _ 1 т _ 1 ^ m 8 m 8 S' £2 7 _ а а-7 7а. 5 а 5-а 5 ^ 5 _ Ь^ Ь^-5_ 5 Ь З 1) А . “ а“ З З fc" l a а а - 3 9 . X _ 3 - 3 X З х х З 1 ) 1 -^- Ь З 3) 4) А а^' 2 т 8 5 а" За' _ З X ' 7 Ь Ь 7Ь. Ь З З ’ а^ Ьа^ а^-2 т 1 2 1 8 m m ^ 4 а а-4 _ а 12 а З 4-а З' Зт ’ w w w . 4 b o o k . o r g
- 17. 130. ,, 5a21 ’ 7 20a^ 5a 7 3 ,_3^. ’ 4a ’ 2) 3) 4) 5) 7-4a-5a 3,5 4g^ _ 0.5-7-2о’’ -2а 2a a . 14a“ ' 5& 7-2a=' 0,510& Ю& 56’ c“ 20 _ c c lO-2 _ 2c . 30 cm 3 1 0 c m 3m ’ 3m a Zma_____ 1 5a^ 9m“ ba a Zm Zm 15ma’ 6) - 7p 5;c‘' 7i/’ m . 1) 21p' 2 1 1 / ^ ' Zbx 15m“ і х ^ г і р 3 . 7p-4x“ -2x 2x ' 2 bx x Z ly‘ ‘ _ Zx Ту ^ у Ь х Ъ by’ 11 b m Z m l l 2) 3) 4) 5) 6) 22 10m 2 П -2 5m б£ 2.5c“ 2-3p 5 0,5c‘’ c“ 7 15p“ l Z p b p ‘ ‘ 7p‘ 15 1 5 - x x xp 45 3m. 4 ’ X ' Z p ’ x p l 5 Z - ^ ] =- = _ . 8 a 4 P ip-4a-2a 2ap’ _5 ^ 71 / 10c’ І у Ь г - І с 2c’ 6a“ ’ б5&* 136 30a J = (-!)'’ • 256“ 132. 1) 9p 6a g -136 136-56“ -5 6 a ‘ 36 6p“ 3 3 p г _ _ _ 1 2 p Z p 2 p ’ 2) 3) 9a6“ 4m ® X 56 3a“ 1 x“ l 3a-36“ 56 = 4m’ x; Z a Z b ^ b b _ 156’ l- 3 a a a 8mn n '' 2 ’ 5) -4mn“ 4 m n n 2-4mn 6) - l l a “6 ^ - „ l la “6 5 7o 2 l-2-7a 4 m n n 1 3a a 2 ’ 2 -4 т л 22a’ 6“ = (-!)“X ll a “6-5 1 211a“6 а6 1-2 ll a “6 а6 2ab' 133. 1) 16m“ r-12m = 3-4m 4m-4m a Z - 4 m 3a 4 m -4 m l 7x^ 2) a 3) 4m ’ g a“ 7x’ _ a a‘ 7x‘ 1 ■ g“ l a “ = 7ax’ : - - ^ ■ 1 2 V = - / ^ - ^ ^ = 4x^ 4x-x 1 7y-34xj/^^ 2 ly 4x x l X ’ 4) 5cm* 15c; 5c m* m 3 5c _ 5c m* m 1 3'5c 5) -5g6 _ _5a6 •6 6) 13c“d- m ■ 3 f - — 1 = lOabJ 1 5a6 6 1 _ 6 . 2-5a6 1-2 5g6 2 ’ 7 13c“d 7 26c’ d“ 1 2 13c“d c d ‘ 13c“d-7 l-2 1 3 c “d c d 2cd' 7c’ 25m’ 7c’ -5m“-5m Ї 3 4 . 1) 2) ___________ 5m, 10m“ 14c' 2-5m“ -7c’ -2c‘ 4c“ ’ 8g’ 45c‘ 8a’ -5c-9c* 5c 27e* 16a’ ■ 4c’ 15o* 5a'з^ 3 9c* 2 8a’ 4c’ -5a’ 6 ’ 1 25рУ 8c*J 3o‘ -5a’ -2 4c’ c 6a'c’ _1 0 £ Ї 11 - ( !)■ 2p-5flV _2p ' ' 5-5pV l l 55' ■/35 n 9m“ 35g’ _ 9m“ -So“ -70 7a 25o“ 18m‘ 5'5a“ -9m“ -2m’ 10m’ ’ 2) 18a’ 27a* 14p’ J 3) - 5m’ 7n“ 7p’ 3a-9a’ 3a. 2 9a’ -2-7p’ 4 ’ 5m“-7n“ 1 21n' 10m‘ ~ 7n“-3n‘ -2m“ 5m“ 6m“n*’ 4) - 1 18c’d* 136. 1) 12c‘ d* 7 o“ + 2o = ( - l f 2c6c’d* 2c 3 6c’ d* 7 21’ a ^ a (a + 2) a g“ 4a + 8 “ 5 4 (a + 2)^20 2) 7m -a b _ l m a ( a - b ) m (a - b ) 3 2a -b 15g“ _ (6-2g)-3g-5g 3g ’ lOg 6 -2 g 2-5g (6 -2 g ) 2 4 ) ІОаб x^-y^ 2 5ab { x - y ) i x + у) x + y 5ab (x + y)-5ab ^ 2 ( x - y ) ; w w w . 4 b o o k . o r g
- 18. f ab- а с25p а(с~Ь)-5 5p 5a. ” 10p x c - x b 2- 5p-x(c-b) 2 x ’ a‘ +ab xy _ a{a+b) x y _ ay 6) 137.1) Sa x" a‘ + 2ab+ b‘ m‘ - 3 m X i- 2) 3) 4) 5) 6) 2m-6 5 a x X x (a + bf x(a + 6)' m ( m - Z ) X m x , 7-2(m -3) “ 14 ' x ‘ + x y 15 X (x + y) 5-3 3(x + y )' a - b 24m _ (a-b)-3-8m 3 Ібт^ b - a ~ 2m Sm { a - b ) ~ 2m' x‘ + y‘ 20pc ^ {x‘ + y " ) i - 5 p c Mx‘ +y‘ ) . 5pc x - y 5 p c ( x ~ y ) ~ x - y 18x mb-та За-3b 12x nt^ - 2mn + n‘ pc 3(a-b) 3 6x _ 9 . 2 6x m(a~b) 2m' ( m - n f ■p - p ( m - n ) p ~ p c m ( m - n ) cm 4‘ m- »“ • ■ > (jS; Зс^^У 81cV m J m* m* ' ( 3m^n Г 7 64m* 2) 3) 4) 5) 6) m 2) ' ( - t f _ 9 m V . 2m‘ 3x^ 2a^b = ( - l f 49 8m* 7 ‘ , 2^ ( т У ________ 3* 27x’ ’ 2' (a“f -6’ 32a‘*6' ix ^f i ’ * ’ ( c T i ^ _ c V „ 2 „ 3 V _ £ ^ J = (_ i)‘o I. 1) f _ £ _ Y = _ £ l _ = _ £ !_ . 5m) 5^ m^ 25m^ ’ ( 3) ( - 2 x ^ 4c‘m^ ^ _ y . 2^ ( х У 16x‘" ’ = (- iy 16c*m° 25 4) 5) 6) 140. 3c" m c ^ m =(-if 3 ^( c^ f 270= (m’ f ~ m^' 2a ab’' 64a 1) -r-n» ' (c“ ')* ' C-“ ■ 5 4 a ^ c 3 2 o & 52ftc^ _ 81ö’ 13c' 128a" _ 2 27a^c-32a&-413ftc^_ 3 27 ft’' -ft 13c“ 128a* _ 2 a* c* 128 ft" l3 2 . 3 ft^-6 13 c*128 a* 36’ 2) 1 4 7 x V lOxp^ p" ‘ 105x‘y 7-21x‘ y^-2 5 x p^ y^ y _ 14y^ p p‘ -5 21x^y p 141. 1) 1 4 х г 1 ^ 4 ^ ^ 81y‘ 5xz 7z‘ 7 -21x‘ y^ -2-5 x p‘ u‘ u _ 14y^ p p ^ 5 21x^y p o n,,.-3 74m*b _ ft* 3 m c* -2-37m* ft _ 2b" 3-37 -m-m -m* c* c mc ’ ■/42 1) ~4m + 4 m^ -9 m^ + 6m + 9 3m-6 _ (m - 2 f (m -3 )(m + 3) (m -2 )(m -3 ). (m + 3)' 3 (m -2 ) “ 3{m + 3) ’ х*-10л: + 25 x*+27 2) -- x '- 3 x + 9 2 5 -x " (x - 5 )^ ^(X + 3)(x^ - 3x + 9) _ (X - 5)(x + 3) (x ''-3 x + 9 )(x -5 )(x + 5) x + b 143 1) + + l a - 7 a'‘ - 2a + l a^-16 (a + 4 )^ -7 (g -l) . 7(a + 4) ( a - l f ( a - 4 ) ( a + 4) ( a - l ) ( a - 4 ) ’ 24 y * - 8 i/"-6i/ + 9 _ 9-1/“' i/" + 2i/+ 4 (y - 2)(y‘’ + 2y + 4)(y - 3 ) _ ( y - 2Xy - 3) ( y - 3 K y + 3)(y^ + 2y + 4) y + 3 5 _ 4(а + 5Ь) 1) (4a+ 20ft) 5 а'-25Ь' 1 20(g + 5&) 20 ^ (a-5 ft)(a + 56) (a -5 b )(a + 56) a -5 & ’ 2m 2m(m + 2 ). ^ (m - 2 )^ “ m -2 3) - -.(a '-6 a + 9) = - ; 2a‘ - 1 8 '“ ' 2(a-3Ka + 3) (g-3 )^ a (g -3 ) _ a (3 -g ) 1 ~ 2(a + 3) 2(g + 3 )’ 4) {x‘ + 27y^)- 3x^-9xy + 27y‘ w w w . 4 b o o k . o r g
- 19. {x + 3y)(x^-Зхц + 9и‘ ) ■ - X 5 _ 5(x + 3y) 3{x‘ - 3 xy + 9y‘ ) 3 145. 1) 4 j ( 6 x + 18i/) = 24 { x - 3 y )( x + 3y) 2) (c^+4c + 4) с______ ’^3(с-2)(с + 2 )" 146. 1) x^ -9y &{x + 3y) 1 x - 3 y ' _(£ ±2 )1 1 3c^-12 c(c + 2) _ c(c + 2) 3 (c -2 ) 3 (2 -c)- 25х‘ 3 16І/° Sy' 125x^j = ( - l f X (5^)^ 5» x°-2‘ - .r у (2 *f (j/“f 2^ y^ b‘ -x^ r xl - 2x}j ^ y ( ^ ^ _ ( x - y f х^^гхул-у^ x - y ) {x + yY .. (x + i/ f (x - i/ f(j: + y f ( x + y) x + y { x - y f (x + y f ( x - y f ( x - y ) x - y - 9n* V Ї47. 1) f 16mM I 27л’ J Urn" 2) (З')’ (лМ* 2'm‘ -3 '«'" л' 3 “л“>2 ’m ' 2’ т - л У + 2mn + n^ _ ( m - n f ^ m + n ) m‘ - 2mn + n^ (m + n f (m + n f ( m - n ) ( m - n f ( m - ¥ n f m - n (m + n){m + n f { m ~ n f m + n ' 6a b-b 25a‘ - b ‘ ( m - n y 148. 1) 5a+ b 6a - 1 b(6a-l)(5a-b)(5a + b) -----(5a + ft)(6a-l)------ b ( b a - b ) = 6 ( 5 x x l , 2 - 6 ) = 6 0 = 0; якщо a = 1,2; b = 6; a *+ 8 a‘ + a 2) a^-1 a‘ - 2 a + 4 _ (a + 2)(g^-2a + 4) a(g + l) a{a + 2) (a - l)(a + l)(a ^ -2 a + 4) “ a -1 6 (6 + 2) 6 8 48 6 -1 g = — = 9,6, якщо a = 6. 14Q 1 ) ^ + a x - c x - c a x +ac + xc + xa x^ - ax + cx - ac x‘ + ac - xc - xa x[x + a )- c{x + a) x{x + a )+ c( x + a) ~ x {x ~a ) + c { x - a ) x(x - a ) - c ( x - a) ^ (x + a ) ( x - c ) ( x + a)(x + c) (х + а) ~ ( x - a ) ( x + c) ( x - a ) ( x - c ) ~ ( x - a ^ ’ 2 ^ 5a-6fe с - у - c - y _ 3c + 3y a‘ - b ‘ + a - b 5 (a - b ) (c~y)(c + y ) - ( c + y) _ 3(c + y) (a - b )( a + b) + ( a - b ) _ 5 (a - b ) (c + y ) ( c - y - l ) _ 5 ( c - y - l ) 3(c + y ) ( a - b X a + b + l) 3(a + b + l ) ' 150. a - b ‘ + a + b Aa-4b a‘ -b^ + a - b 8 a+ 86 {a-b)(a + b) + {a + b) 4 (a -b ) “ (a-& )(a + b) + (a -fc )'8 (a + &)“ _ (a + b)(a-& + l)(a -& ) _ a - b + 1 ~ 2{a-b){a + b + l){a + b)^ 100-101+1 0 2(a + b+ l) = 0, 2 (100 + 101 + 1) 2 202 якщо a = 100, b = 101. 151. 1 ) M - 5 L = 2 6 135 2 13 3 45 6 4 5 ’ 135 4 5 ' 91 45 13 7 7 ' = 1 16_ 5 2 8 8. 2 '1 6 2 15 2 5 3 3 ’ _ ч і . о А = _ ^ 14_ 2 117-2 7 ■ 14 7 33 711 3 4. ■3 ’ -5 Ч 5 ) ' ' 15 33 8 11-5 5 40 3 5 1 13 9 ' | (х + і/) = 3 ■8; д :+ і/= 24 4. l i x - y ) = 5 3; х - у = 1 5 г 152.1) x + y + x ~ y = 24 + 15; x + y - x + y = 24-15; 2x = 39; 21/= 9; 39 2) ^ + M z l - 2 3 * 2 x - 1 y - 1 5 6 3 д : = 19,5; !/= 4,5; 6; 6; j 2 ( x - l ) + 3 ( y - l ) = 12; з ( х - 1 ) - ( у - 1 ) = 10. Позначимо x - l = a , y - l = b , тоді маємо систему рівнянь: 2a + 3ft = 12; J2a + 3b = 12; За-& = 10; j& = 3a-10; 2а + 3(3а-10) = 12; J2a+ 9о-ЗО = 12; fc= 3a-10; jft = 3a-10; w w w . 4 b o o k . o r g
- 20. 110 = 30+ 12; Є ,= За-10; 42 “ = Ї Т - Отже маємо: 1 42. 1 16 _ 42 “ 1 Г &=з | | -10; 153. ¥ 53 27 у = 2* + 4і -2 / 0 Рис. 6 х ^ - 8 , . ( х - 2 ) ( х ‘ + 2х + 4) , х - 2 х - 2 = х‘ + 2х + 4 - х ‘ = 2х + 4, якщо * - 2 ^ / О, тобто J C 2. Графіком даної функції є пряма І/= 2х + 4, що проходить через «виколоту» точкуЛ(2; 8)таточкуВ(0; 4). Дійсно, якщо д: = 2, тоі/ = 2 - 2 + 4 = 8; якщо 1 = 0, тоі/ = 2 0 + 4 = 4 (рис. 6). § 6. Д іл е н н я дробів 154. 2) п і- 5 = ^ ^ = ’ а ' Ь а З З а’ 1 .У = 1 .^ = 1 ± . х ' 2 X у х у ’ 3) 4) 155. 2) 4т HL-ÜL-HL — _____ З ■4 ” З т ~ Зт г = 1 - 2 '7 2 а 4. З ’ 7а^ _ 7а 2 ■ 2а 1) 1 . і = 1 .К = йК. х ' у X 2 2х ’ 3) 4) а 5 _ ^ Ь_ a b . 2 ’ Ь " 2 ' 5 “ 10’ 4 . 5 ^ 4 * ^ ^ ^ 4 , X ■д е д: 5 5x 5' £ ! . £ = £і 2 2х^ 2х 3 2 З X Зх З ■ 2) t56. 1) 36 . 21Ь" З Ь 4 4а 3) 4) 12а ■16а З 4а 21Ь & 210’ 15 ,3т _ 3-5 4 2п 20 . 2п‘ ' Sn ~ 2 п п З т т п ’ 9Ь 5Ь‘ З ЗЬ З іа^ 27а. 14а’ 21а^ 2-7а Зд:" 6х^ Зх‘ 56" ІОЬ’ 5) 1 4 х ^ ^ = ; 6) 7) 7а ' 12а' а 2x 3x* ■■Ix а : 2ax; 1 I x 4x-2x'^ 1 la 2д:* 3-4a* 1 4-4а^ а 2х ’ І £ . 7а ’ 4Ь’ 8) -40то’ : 157.1) 3 “ 2) 8т* - ,.г 8т-5о‘ о 5а‘ 8т m m ' а Ь 'Ь ‘ ,2 За а Ь Ь = ЗаЬ; З р . 15р _ Зр с‘ ___1_. с’ ■ с Зр Ьр ~ 5ср’ 4р . 8р^ 4р Зс‘ 5с Зс 5 с " 15с’ 5с 4р-2р 2 р ' 1 5 т , ,п _ 2ч Зт-5т‘ 1 Зт 1 -Па^Ьс: 4аЬ Ь 4•2а* 4аЬ Зас т ‘ 46’ <ЄВ 12пг' 6т* 7с* ■3 5 с’ ■ 7 с’ с 6 т ‘' т ' cm * 1 2-6m' 4а& 5-7с’ = -Заст. 10 9т* 22n’ ■ lln'J lab 21a'ft 4cd 8cd’ 27m*n .( 9т' 11п’ п’ _ 9л*. ’ 211п’ т* т ’ ~ 2 т*’ lab 4cd-2d*_ 2d*. 4cd la b-За За 9mn2'S = (-іУ t59. 1) 4a* 7c*x Л 7c*д:’ , 2 3m -9mn 7c‘x x ‘ _ Зтдс* 7c*x 9 m n n n 6a' 2a’ 3 2a' 3 5fe 2) - 6 56*'1 5 6 5ft ft 2a‘ a ab’ a* 4a* 9j coc'^ 2 7 * ’ 9 x ’ 3 9 jc a ' a * i£ _ 'За* 3) Ä . [ _ 1 5 £ V 2m*ra . Smn’ _ 5xy 2 m n n ‘ _ 2mn m Ьху-Зх 3m x’ w w w . 4 b o o k . o r g
- 21. 4) - 2аЬ‘ 9х^р 2а‘Ь Л 27х^р = (-1)2 9х^р-3р‘ _ ЗЬр^ 9х^р ’ 2аЬа а 160 1) 2a+fc.b+.2 a ^ 2 ^ 4£;2£^ ' i p • 8 / 4р 2а + Ь 2) 3) 4) 5) 6) З а - 2 л : . 2 х - 3 а _ 2x-Za 2-7х _ 2 . ■ 14х 7 j:* 2х-3а~ х' -З а . 5д _ а (а -З ) 9у _ а - 3 . 9i/^ ‘ Э;/ 9і/ у 5а 5і/ а^+ 0 . 5 + 5а а(а + 1) Ъ _ а Ь _ 9Ь^ ■ ~ 9Ö* '5(а + 1 )" 4 5 ’ 7о& , 14аЬ^_ lab З(с-З) 3 . с^ -З с ‘ Зс-9 с{с-3)7аЬ-2Ь 2Ъс' 11а . 22а^ m ^-2m ‘ 6 - З т 11а 3 (т - 2 ) 3 m (m -2 ) 2а 11а 2а/п ’ 1) .y n £ = _ £ z i ' . i : ^ = _ i ; 2а^ 8а 2а-а х - у а' 2) 3) 4) р^ + 2р _7р _ р(р + 2) 9а _ р + 2 18а^ ‘ 9а 2а-9а 7р 1 4 а ’ х‘ + х , 5х + 5 _ х(х + 1) 2а-9аЬ _ 2ах _ 9аЬ ’ 18о*Ь 9аЬ 5(дг+ 1) 5 З х - х ‘ 2 х - 6 _ х ( х - З ) 2р 7р 7р ■ 14р^ 7р '2 (1 -3 ) 2рх _ ~ 2 ~ рх. 162 1) 't ■тп + т p + 2q ' 2p + 4q (m -n )(m + n) 2(p + 2g) _ 2(m - n) . p + 2g m(m + n) m 6 x - 3 0 x ^ - 2 5 6 ( x - 5 ) ’ 2 x + 5 ‘ 4 x + 1 0 2 x + 5 .. 2 (2 x + 5 ) 1 2 . 3) (x -5 )(x + 5) x + 5 ’ a + 2 _a‘ +4a + 4 a + 2 5(a-2) a - 2 ' 5a-10 a -2 (a + 2f 4 ) x + y _x^ + 2xy + y‘ p - 2m 2m^ -m p _ x + y m(2m - p ) _ m 2m - p (x + y f ~ x + y' ab + b‘ - b ‘ a + 2 ' 163. 1) m - 3 n ' 2m -6 л b(a + b) 2(m~3n) 2b m - 3 n (a-b){a + b) a - b ' 2) x - 5 2x -10 x - 5 j,^ - 4 ‘ 3j/-6 ( y - 2)(y + 2) ^ . . 3 (y -2 ) 3 . 2(x - 5 ) 2(1/+ 2 )’ x ^ - 9 . x^ + 6x + 9 _ (x - 3 )(x + 3) ’ x^ + x ’ 7x + 7 x(x + l) 7(x + l) 7 (x - 3 ). (x + 3 f x(x + 3 )’ 4) 2) 3) 4) X - 4i/ 4x1/- X “ x - 4 y a‘ - 2ab + b‘ a - b ( a - b f a - b 1 x ( x - 4 y ) (a - ft)x ‘ 64. 1) 4a“ 8a’ . 14c“ _ 4a“ 5ft’ ■7c’ '1 5ft“ 5ft“ -ft 7c^c 3-5ft' 3c . 2a-4a' 2-7c‘ ' 4ab' , 2a® lOfc’ . 4a“ 2a“ a 2-56“ 56 3c 25f>* 3c' '156c 5ft“ -56 3c c= 2-2a“ 9c“ 27c“p^ c’ 18p' ■l20p’ ■ 10 ^ 18p‘ ■ 9e“ 10 ^ c’ . 1 6c’ p* 10-2p’ 9c“ 3pj 18p‘ ■6p* 18p‘ 115a’ .92a* 4ft“ 23.5a’ ^ 3 ’ 34ft' '516^ ISa’“ 17 2b‘ 317ft’ 4ft“ ' ft 23-4a“ 3-5a‘‘ 165. 3a^ 1) 2a‘ 7c‘ 9ab 3a ■a 2 ftV 6ft" 14c" 26"c" ^ 2-3ft’ 2-7c“ 2a. 7 c' 'За-ЗЬ с ' ’ 2 > 7x^ 216x° . 18x* . 4j/' 343i/’ ■49j/‘ _ 7 x " l2 18x‘ -49i/^ 3x 4i/'-7-49y^ l8x* I/ ■ 166 n 9 + 6a + 4a^ 27-8a^ _ ’ 2 a - l • l - 4 a ' " (9 + 6a + 4a^)(2a-l)(2a + l) (2 a -l)(3 -2 a )(9 + 6a + 4a') 2a+1 2a+1 2) 3 -2 a 2 a - 3 ’ 8 + x ’ . x^ -2 x + 4 1 6 - x " ‘ x “ + 4 (x + 2 )(x^-2 x + 4)(x^ + 4) . (x “ - 4 )(x ' + 4)(x'*-2x + 4) w w w . 4 b o o k . o r g
- 22. л + 2 =' ( х - 2 Х х + 2)~ х - 2 ~ 2 - х ’ 3) (25ж‘’ -1 0 ху + 1 / = ):^ 1 ^ ^ = ( v - 5 x f 7 Ц у - 5 х ) _ = 1 у(у-5х) у • 4) f c ^ : ( V - 1 2 x j / + 4x^) = (2{3у-2х))‘ A 3 y - 2 x f “ з і 4 (3 y -2 i:f = З 167. 1) ( 3 y - 2 x f З ’ х “ - 8 л*+2дг + 4 9д:“ - 1 б ’ Зж -4 (х -2 )(х ‘’ + 2д: + 4) З ж -4 х - 2 '' (3 x -4 )(3 x + 4) х ‘ + 2х + 4 Зх + 4 - 3 - 2 ■ 3 (-3 ) + 4 -9 + 4 -5 -5 -5 , „ = — = 1, ЯКЩ О X = -3; 2) (т‘ -10тп + 25л“) : j g - = 5 ( m - b n f . 0,2(m“ -2 5 n “) ° 1 • 5 ( m - b n f Ъ ^ 2 5 (m -5 n )_ ~ 0,2(m -5n)(m + 5n) ~ m + 5n 25-(10-5-3) 25 (-5 ) 10 + 5 3 25 якщо m = 10, n = 3. 168. 1) 25 ■ ( а У ( у У (-1)^-5^ aV 5 ^ 5" (a*)“(!/‘ )* 5’ a'j/* = 5 0,02 = 0,1, якщо у = 0,02 неза лежно від того, яких значень набуває змінна а, в тому числі і при а = 117 ; о ,, { 2 x - y f , i x ‘ - y { 2 x - y f (х‘ -4 у‘ ) ( x - 2y f х ^ - і у ‘ ( x - 2y f ( i x ^ - y ‘ ) _ (2х - у ) Н х - 2уЦх + 2у) _ {2х - у ) (х + 2у) ~ { х - 2у)Ч2х - у)(2х + у) { X - 2у)(2х + у) ^ , (2 .3 4 -(-1 7 )).(3 4 + 2 (-1 7 ))^ (3 4 -2 (-1 7 )) (2 3 4 -1 7 ) ’ х = 34,у = -1. Дійсно, 34 + 2 (-1 7 ) = 34 - 34 = О, тому чисельник дробу дорівнює нулю, отже, і сам дріб дорівнює нулю. Їб 9 0,5а‘'- 3 2 . 0,2а + 1,6 0,5а’ -62,5 0 ,2 а '+ 0 + 5 _ 0 ,5 (а '-6 4 ) 0,2(а'+5 а + 25) 0,5(а’ -1 2 5 )' 0,2(а + 8) _ (а '-6 4 )(а ' + 5а + 25) (а’ -125)(а + 8) (а - 8)(а + 8)(а“ + 5а + 25) _ о -8 (а - 5 )(а Ч 5 а + 25)(а + 8) а - 5 ‘ 170. т^ + 27 з ”і^ -т а + 3 75m“ - 1 2 ' от-0 ,4 т ® +2 7 і(5 о т -2 ) -3 (2 5 т“ -4 ) (т + 3)(т‘ - З т + 9)- 3(5т - 2) 3(5т - 2)(5т + 2) ■5(m“ - З т + 9) от+ 3 т + 3 / 7 1+ 3 5 ( 5 т + 2 ) 2 5 т + 1 0 ’ 2 5 т + 1 0 " = — тотожність доведено. 172 “ + аЬ+40-2а-8 _ х - а сх + х у - а с - а у „ а + 4 (cx + xi/)-(ac + ay) х - а ' (аЬ + 4 6 )-(2 а + 8) “ 0 + 4 х(с + у )- а (с + у) х - а Ь(а + 4 )-2 (а + 4) (q + 4)(c + y ) ( x - a ) _ c+i/ (х - о )(а + 4)(& -2) Ь - 2 ' 173. 1) 2 а - Ь _ 2 а Ь _ 2 1. ab ab ab Ь а ’ 2) !/’ І/ “ І/ > / У 04 4т‘ + 5п‘ 4m“ , 5n“ 4, 5 л. 2 — 2 2 ” ^ 2> m п m л m п п т . Ьх-24х‘у 18х 24х“у ^ 3 х 4х“ 30j/“ 30j^“ ЗОу“ 5і/“ Ьу ■ 174. 1) m“ + 6 т л + 9л“ (2 т + 6л)“ ^ ( т + Зл)“ ^ ( т + Зл)“ _ 1 дуд^_. (2 (т + 3л))“ 4 (т + 3л)“ 4 яких значеннях зміннихm і л, в тому числі при т = 2 ^ , п = -2-=. 13 ( Виняток складає лише випадок, коли m + Зл = 0. В цьому разі даний дріб не має рації (неможливе ділення на нуль). w w w . 4 b o o k . o r g
- 23. го о . ё и О го X т >ч Q. 5 Ъ о 5 LO Ш 1_ с:: < 2 )0.1^'-2,5!/^ 0Л(х‘ - 2 5 у ‘ ) -10ху + 25у‘ ( x - b y f _ 0 . 1 ( x - 5 . v ) ( x + 5 .v) _ 0 , l ( x + 5 y ) ( x - b y f х - Ь у Якщ о:с= 100,1/= 20, r o x - 5у= 100 - 5x X 20 = 100 - 100 = 0. Знаменник перетво рюється в нуль, тому даний дріб не має змісту. 175. 1 + х 1 - х 1+ х ‘ 1+ х^ 1 -Х + 1 + Х ^ 2 (1 + j:)(1 -x ) 1 + х^ 2 , 2 , 4 1 + х* 1 - х ' ‘ 1 + х^ 1 + х* 2( + х^) + 2(1-х^) ^ 4 _ 2 + 2x^ + 2-2x^ ^ 4 4 І - х * І + д :-* 1 - х ' 4 4(1 + х^) + 4(1-х^) ’* ’ і + х" ( l - x '‘ )(l + * ') 4 + 4 х * + 4 - 4 х * 8 8 1 -х * 8 1-х® 1 - л “ 1 -х ' _ _ ТОТОЖНІСТЬ доведено. § 7. Тотожні перетворення раціональних виразів 12а+ Ь 7b' а 12а+ Ь 7Ь^а 176. 1) “ За а 12a + ft За - п 21Ь За 21a“ft ‘ 12a + b-ft 12а За х - 3 т За = 4; 2) — х ‘ - 9 т - п х + 3 (т - п ) ( т л - п ) { х - 3 ) т т + п { х - 3 ) ( х + 3 ) ( т - п ) х + 3 ~ х + 3 т т л - п - т п 3) х + 3 а - Ь х + 3 , 1 х + 3 ’ 2а + Ь а - Ь 2а+6 а - Ь (а - Ь)(а + Ь) _ ■(а - Ь)(2а + Ь )~ 2а + 6 ' 2а + 6 2а+ 6 a - ö _^_a + ö 4) ечі а - Ь + а + Ь 2а 2а+ Ь 2а+ Ь х ^ - х у X х ( х - у ) х 179. 1) X 1 т ^ 5 5 т ( т - Ь х + у х - у ( х + у ) ( х - у ) X х^ х ( х + у ) - х ‘ 1 х + у х + у т~5 2) -- У Ьт(т - ґ И і + - у) _ X +ХІ/-Х _ ху х + у ~ х + у' І 7 7 іч ІОз:-*-!/ Зі/’’ X Юх+ у Зу‘х ’ Ьх X* 15у 5х ~х^15у _ 10х + у у _ 10х + у - у ^ ІОх 5х 5х 5х 5х 2) а ^ -4 . а - 2 ___2 (а -2 )(а + 2)(3+Ь) 9 -Ь “ '3 +Ь 3-6 {3-Ь)(3 + Ь){а-2)~ 2 а+2 2 а + 2 -2 а . 3-fc 3 -Ь 3-і> З-ft 3 - Ь ’ 3) - £ ± i + _ J _ , £ ! : V = _ £ ± E . + З х -і/ х+ і/ З х - у З х - 1 / ^ ( х - у ) ( х + у) Х + 1 / ^ Х-1/ ^ (х + у )( 3 х - у ) З х - у З х - у _ х + у + х - у ^ 2х . З х - у З х - у ’ 4 ) т т(т + п )т п~т т + п (т.-п){т + п) т т ( т - п ) - т ^ 1 т - п т - п —ш т і — шп т - п п - т х + 7 х Ч 4 9 + 14х 1 (х + 7)^ + 7х х + 7 7х(х + 7) 7х ’ Зп + т З п - т Зп Зп (3п + т)-3п Зп + т . З п ( З п - т ) З п - т ’ „ . f a „„'і а + 2 а -З а (а + 2), ^ а + 2 (а -З а ^ -6 а )(а + 2) а (а + 2) а 4) а(3а + 5) а 2+ - = -З а -5 ; 9х + 6 2(х + 1) + х , х + 1 Л 5 х Ч 5 х х + 1 . , 5х(х + 1) (Зх + 2)-5х(х + 1) 5х 3{Зх + 2) (х + 1) 3(Зх + 2) З ■ 1 т “ + 25-10пг т - Ь 5т 5т У У(У+х) у+х w w w . 4 b o o k . o r g
- 24. г ft- зft-2 6 (ft-3 ) 6 -3 ft ft-3 ft ft_2ft'+6ft ft-3 ft(7-26Kft-3) „ = ■ Ь^^З ft (ft-3 ) ft 3) 4) ( з - m + 2 ) 4m + 12 3(m + 2)-OT m+ 2 m(m + 2) _ (3m + 6 - m) m(m + 2 )_ ^ 4(m + 3) “ (m + 2) 4(m + 3) 2(m + 3 )m m " 4(m + 3) “ 2 ■ f80. 1) 1 - ^ + “ b b b’ ‘ - 2ab + a^ ____ 6^ a ~b a - b _ a - b __ b a - b ft ( a - b f b ft'(a -ft) a - b ft l n “ m j 4 n m j n^m (m~ n)( m + n) nm m + n _ n‘m ( , m - n ) n m + n m + n ТОТОЖНІСТЬ доведено; m - n nm n — ТОТОЖНІСТЬ доведено. 181. 1) y^ + 2xy + x^ y‘ ‘ Х + І/ _ x + y У У 2) 1 + ^ + 4 у y^ у x-¥y . 2m + n 2mn 2m - n n 182. у _ (x + y f y _ x + y _ x-^y y ^ ( x + y) у - тотожність доведено; 4m^ - л “ n f2 m 1 у f i + n I n " 2m j ' , Л 2 m , 2mn‘ _ (2m - n)(2m + yi) ■2nm _ 2m - n _ 2mn^ (2m + n) 2m - n l'x - 2 x + 2 l * + 2 x - 2 тотожність доведено. x ^ - 4 4 x _ ( x - 2f - ( x + 2f x ^ - 4 (x + 2 ){ x - 2 ) 4x _ {x‘ - 4 x + 4 - x‘ -4x- 4)ix ^ - 4 ) _ - 8x _ _g. (x '- 4 ) 4x ~ 4x ~ ' 2) Ґ Д+ 3 q - 3 V 24a l,a -3 а + з і'а ^ - 6 а + 9 _ (a + 3 )"-(g -3 )^ (0 -3 )" (a -3 )(a + 3) 24a _ (g"+ 6 a + 9 - g ^ + 6 a - 9 )(g - 3 ) (g + 3) 24g _ 1 2 g(g-3 ) g - 3 (a + 3)-24g 2(g + 3 )’ 183 1) 8m ( m + l ~ ^У m ‘ - l m - l m + l ) m”- l ^ (m -l)(m + l) (m + 1)^ - (m -1 )" ~ ___________8ffi(m^ -1) ____ = ^ = 2; (m ^-l)(m % 2m + l- m ’ + 2 m -l) 4m 2) 0:z 2 _^_a^ a‘ - 4 a + 4 _ l.g + 2 a - 2 j ' 2g“ + 8 ( g - 2 ) 4 ( g + 2)^ (a - 2 )^ _ (a + 2 )(g -2 ) гд^'+в _ (g" - 4a + 4 + + 4g + 4)(g - 2)^ (g + 2 )(g -2 )(2 g '+ 8 ) (2 g 4 8 K g - 2 )^ q - 2 (а + 2)(2д“ + 8) g + 2' 184. 36 1) 36 g - 3 g + 3 g - 3 g - 3 g + 3 36 „2 g ^ -9 ■ g -3 (g + 3 )* - (g - 3 )” + 36 ___________3 6 (g-3 )(q + 3>___________ ■(g - 3)(g* + 6g + 9 - g’' + 6g - 9 + 36) 36(g + 3) 36(g + 3) ■12a + 36 2) 12(g + 3) 2x + y 2 x -i/ 'j x ^ - 4 y ‘ _ x - 2y x + 2y ) x^ + y‘ J x + 2y)i2x + y) + ( x - 2y)(2x - y ) x^-4y^ ( x - 2y)(x + 2y) x‘ +y‘ _{2x‘+xy+ixy+2y‘+2x‘-xy-ixy+2y‘)(,x‘-4y^) (x‘ -4y‘ )(x^+y^) 4x^+4y‘ _ 4(x^+y^) ^ x ‘ +y‘ x^+y^ x ‘ - 4 16 x - 2 ‘ - 4 X + 2 J 16 _ x + 2 (x + 2 ) '- 1 6 - (x - 2 )' ^ __________16 (x - 2 )(x + 2)_________ (x + 2)(x‘ + 4x + 4 - 1 6 - x ^ + 4 x - 4 ) ' 16(x- 2) _ 1 6 ( x - 2) _ 8 x-1 6 8 (x -2 ) ’ 2) 5g +1 ^ 5a -1 I, g -2 g + 2 g^ -4 . 5 g "+ 2 ' (g + 2)(5g + l ) + ( g - 2 ) ( 5 g - l ) g ’’ - 4 _ (g - 2 K a + 2) 5 g *+ 2 (5a^ + a + IQg + 2 + 5a^ - g - lOg + 2Xg^ - 4) (а ^ -4 )(5 а Ч 2 ) w w w . 4 b o o k . o r g
- 25. го а _и и 0 г о S 1 т а . 5 с о 3 ю ш I— с : < 10а‘+ 4 _ _ 2 (5 а ^ + 2 ) ^ 5а^ + 2 5а^ + 2 а а а^+25 186. а - 5 а+5 2 5 -а а , а^ + 25 а - 5 + 10а + 25 а - 5 (а + 5)= ^ а -5 а + 5 а^-25, _ а(а + 5 ) - а (а -5 ) + + 25 а - 5 (а -5 )(а + 5) (a + 5 f . (a^ + 5 a-a^ + 5 a + g^ + 2 5 )(a-5 ) (а -5 )(а + 5)(а + 5)' Ч Ю а + 25 (а + 5)^ ■(a + 5)(a + 5 f (a + 5)(a + 5 f а + 5 ’ ^ ^ — тотожність доведено. Ь-7 а+5 а+5 / f87. Ö+ 7 ft* + 49 b _V -49 b - 7 ) ' &Ч146 + 49' ft(ft-7) + b 4 4 9 -b (6 + 7) (ft+ 7)* (ft-7)(ft + 7) ' ft-7 (ft*-7ft+6449-6^-7ft)(ft+7)^ (ft-7X& + 7)(6-7) (ft^-14ft + 49)(b+7) (ft-7 f(& + 7 ) (6 -7 )“ (ft- 7 f ft + 7 = ft + 7 — тотожність доведено. 2a 2a + lJ a‘ - l Ц а -1 )(а + 1) (a + l f j (a + l + a - l ) ( o - l ) ( a + l) (a - l)(a + lf- 2 a 2 a (a -l)(g + l) 1 2 a (a -l)(a + l)^ a‘ - l 2a 2) x+ 1 x + 3 0 + 1’ 6 L 2 x -2 2Л + 2 2л:“ -2 x + 1 д: + 3 . 6 4д:“ -4 l^ 2 (x-l) 2(* + l ) " 2 ( x “ - l)J _(д: + 1)“ -(д :-1 )(х + 3 )+ 6 4(x“ - l ) 2(x“ - l ) 5 _ (x “ + 2 x + l- x “ -3 x + x + 3+6) 4(x“ - l ) 2(x“ - l ) 5 10 4(x“ - l ) _ ^ 1 0 (x “ - l ) 189. 1) ',4-a'^ a -4 a + 4 j g“ -4 2a еа 1 1 ' д“ -4 1 Г 1 3 , 3 '(Г 2а-і' 00 ечі [(д -2 К а + 2) (а - 2 )“ , 2д Lg + 1 а^+ 1 a“ - g + l J l а+1 J a -2 + o + 2 a‘ - 4 2) (a - 2 f (a + 2) 2a 2 a (a - 2 )(o + 2) ‘ (a - 2 )“(g + 2)-2a a+1 a + 2 a - 2 2 - o ’ 21-£ 3 a -3 3a + 3 3a“ a + 1 - а Л 4 - 3 j ' a “ - l " g + 2 _^.21-a g“ - l І^З(а-І) 3(a + l) 3(a“ - l ) j 4 (a + l)“-(a -l)(a + 2 )+ 2 1 -g g“- l _ 3(a“ - l ) ’ 4 (a“+ 2 a + l-a “-2 a+ a+ 2 + 2 1 -a)(a“ -1) 3(a“ -l)-4 24(a“ - l ) 12(a“ - l ) ■ 190.1) 2 - 2a“ - a a“ - g + 1 a-1 ,a + l a“ - g + l. . 2a“ -2 a + 2 -2 a “ + g (a + l)(o “ - a + 1) a“ - g + 1 a“ - a + l - ( a “ -1 ) (2 -g )(a + l)(a “ - a + l) ^ ^ (a“ - a + 1)(2 - a) a + l = a + l — тотожність доведено; 2) m -2 6 m -13' m“ -2/71+ 4 m“ + 8 ^ .. m“ -4 -6 m + 13 2 (m 4 8 ) ra®+8 6(3-m ) (3 -m )“ -2(m^ + 8) 3 - m . (m^ + 8 )-6 (3-m ) 3 ’ 3 - m 3 - m 2m^+16 18-6m ■ — тотожність доведено. За-8 4а-28 + 2 а“ -2а + 4 д*+8 J а + 2 g“ - 2о + 4+(а + 2)(3а - 8) - (4а - 28) ” 16 ' а Ч 8 (о +2)(а“ -2а + 4+За“ -8о +6а-16-4а +28) Щ а Ч 8 ) (а + 2)(4а“ -8 а + 16) 16(д* + 8) _ 4(д + 2)(g“ - 2а + 4) 4(а° + 8) 1 16(а’ + 8) 16(а* + 8 ) " 4 ’ якщо д^ + 8 ^ О, g -2. Отже, при всіх допустимих значеннях а значення даного виразу не залежить від а. w w w . 4 b o o k . o r g
- 26. г д »-о +1 -3 + З а + 3 a (g + l)-(2 a - l) =■ a’ + l а +1 (аЧ2о-)-1)(а'’ -о + 1 )_ (а + 1)^(д‘'-а-і-1)_^ “ (ä+lK a"-a + lXa + l) (a + l)“(o’ -o + l) ЯКЩ О fl -+ ■ 1 9Ї 0, а 5 C-1 . Таким чином, значення даного виразу не залежить від а при всіх допустимих значеннях а 192. Ь- 2 15 1 .^96 + 6 1-2Ь уЬ -2 Ь* - 8 & Ч 2&+ 4 ; Ь - 2 &42& + 4 + 9fe+ 6 -(& -2 )(l-2 fc ) " 15 ' Ь‘ - 8 ІЬ-2)(Ь‘ + 2Ь+ 4+ 9Ь+ 6 - Ь + 2Ь‘ +2-4Ö) 15(Ь-2КЬ^ + 2&+ 4) 3fc*+ 6fc+ 12 3(b‘ + 2b + 4) 1 “ l5(&* + 2b+ 4) 15(&Ч2Ь + 4) 5’ якщо b - 2^0, b*2 . Отже, при всіх значеннях fc^ 2 значен ня даного виразу не залежить від Ь. ш . і ) Г ^ - 4 = [ — п т ) тп ) т ГпГ 2) o'* - 2 a V -і-Ь* + а* +2а^Ь^ + Ь* Ь^ 2о‘ + 2& ‘ 2(а*+Ь*) — Ь^ ’ 3) K - 1 2 + ' {a^-b‘f (а‘ +ь у 1 1 1 1 1 ' b .b j b‘ b‘ 1 P 2p .P 2p, f 4 - 4 T + f 4 + 4 ' 1 5 -1 f 3 - i l 1 с U j 1 _ ( 3 - c f 2 4. , * V J д :*+у*У (jc*-y*)4 (x 4 y*)^ ж* - 2х^у^ + 1 / °+ X* + 2х^у^ + {/" _ x W ^ 2х * + 2у° 2(х’ + у‘ ) _ x V х*у* fl + Ь ^а - Ь аЬ + Ь“ +а* -аЬ а& (,2чг afc+ b“ - а ‘ +аЬ ab _{а^ + Ь У + 2ab-a^f a V (а* +0*-6*-2оЬ + а*К<»* + 6*+Ь* + 2а6-а^) = = _ (2а‘‘ -2а&)(2Ь^ + 2оЬ) _ 2а{а-Ь) 2Ь(а + Ь) Ца‘ -Ь^) ~ ab • 194.1) £ + ]/ КУ X ху {х ^+ у У . ~ x V ’ 2 Г 1Y _ ' m + n‘ ~ V - ' J - ( п У (т + п^ ~т + п^)(т + п‘ + т- п^ ) ^ п' 2п ■2т im „* “ „2 ■ 195. 1) 7 х -а - і f i - i U , X х ) х - 1 . х + Ґ 1 + і ( - 9 - 2) _а_ + 1 7 х - а + 1 7х + а -1 7х + а 7 х - а + а _ 7 , ' 7 х + а - а 7 ’ -1 2р‘ 1 1 2р* 2р' -9 2р^ 2 - І ^ 6с-9 6с-9 4) ^ ---- V с“ -6 х + 9 3 -с 8 -е X ї + 1 1 - І I . . X x + l'' ■{ * X x - 1 " U - 1 X ; i x + 1 X 5) 1+ 1 І (х‘ -(Х^ -1 ) ) Ах^ -{х^ -1 ) ) _ х ( х - 1 ) ■ х(х + 1) 1 л:(д: + 1) х(д: + 1 )^ У + 1. ~ x ( x - l ) ' 1 х(д:-1) х - 1 ’ _ J L _ g n -m n + m _ ( 1 _______L _ 1 ^ 1 l,ra-m n + m, n ~ m n + m n + m - n + m . n^-m^ _n + m + n - m 2m ( n ^ - m ^ ) _ m n^-m^ { n ^ - m ‘ ) 2n n ^ n - m n-¥mj 196. 1) m+ 4 1 - — m 'ПІ ( i 4 ^ m - 4 ’ 1 m w w w . 4 b o o k . o r g
- 27. 2) Зр + т^ ( І Р ± Ц _ х 3) 4) m m у ^ = 1 - 3p U t t ) _ 3p + m - m _ 3 £ _ ^. 3 p - m + m 3p Т Ґ 1— M (■41 4Ґ t + 4t _ 5( _ 1 + 4 ^ 5 “ ’ :c -l ■ -2ДГ+ Г (x-1)^ x - 1 ’ 5) 2 - m m ^ 2 -m { т J2 + т^ { 1 ^ ^ 2 - т т ) • І тоді 1 х ~ — х ) 2 + m m m 2 -m +i- m ^ + 4-m^ m{2 ~m) ' m(2 + m) 4m{2 + m ) 2 + m . 4m (2-m ) ~ 2 - m ' 1 7 ^ “ i T2 д:-2 r + 2 (*-2Кд: + 2) 1 1 1 - 2 x+2 (I-2K X + 2) д: + 2+ д:-2 2x J C ' X + 2 - X + 2 4 2 ' 1Q7 8 ( 2o-0,5& 4 o -ft l^4a^ + aft + 0,25b^ , 24ab . 1 - Ч . q + “ 64a^-fe' 2a-0,5ft 0,5(4a-ft) 4a - ft ■ 24aft .0,25(16a44aft + b*) 64a’ -ft" 1 8 2(4a-ft) 0,5(4a-ft)J 4 а - Ь ' Л 6а‘ + 4аЬ + Ь‘ ^ 24а6 2 8 . 63а’ -Ь> • 4 а - Ь ) 4 а - л 2(4o-6)424ab-i-(16a44ai4-ft') 2 8 64а’ -6’ 4а-Ь' 32а" - ІбаЬ-ь 2Ь’“-і-24aft-ь32а" + 8ап -ь2ft" 64a’ -ft’ 8(4a-ft)(16a^ + 4aft + &^) (4a-ft)(64a“ + 16afe + 4b") 8(16a44aft + ft^ „ , , „ = -----5 ----- ;— ГЇГ = 2, якщо 4a - 6 0. 4(16a44aft + 6') Таким чином, за всіх допустимих зна чень а і Ь значення даного виразу не за лежить від а і Ь. 198.1) 1,5а-4 2а-14 1 0,5a"-ü-t-2 0,5аЧ4 a-t-2j 0,5(За-8) 2(а-7) 1 = ( 0,5(а"-2а-н4) 0,5(аЧВ) a-h2j За-8 4 (а-7 ) 1 а-1-2 'a-t-2' а^-2а+4 а^-н8 a-b2j (а-ь2)(За-8)-4(а-7)-ьа^-2а-ь4 а+2 а Ч 8 4 4а^-8а-і-16 4(а^-2а-і-4) 4(а^-2а + 4) 4(а^-2а-і-4) лежно від допустимих значень змінної а, в тому числі й при а = 197. 199. 1 X ---- X j За умовою X = 7, = 7' = 49, але = х^ - 2 х - + = х^ - 2 + . Звідси отримуємо: ..2 .1 ’ - i j -l-2 = 7‘'-f2 = 51. 200. Якщо х -н і = 3,то =3^ = 9, f П ’ " але жн -— V х ) Тоді х^+ — = х^ = х^ + 2 х - + = х^ + 2 + . X х^ х^ ^ ' -2 = 9 -2 = 7. Х + — X 2 0 1 . 1) 8х^ + 2х 2х + 1 8д:“ -1 4х'‘ + 2х + 1 2Х-І-1 4хЧі0х1 8хЧ2ж -(4х^-1). 8x^-1 2х 4 x 4 2л , 4 x 4 2д:-н(2х -t-1)^ - (4ж Ч 1Ох) 4 x 4 2х 8 х 4 2 х - 4 х 4 і 8x^-1 . 4х 4 2 х + 4х 4 4 х -ь 1 - 4 х ’^ -1 0 х 4 x 4 2х 4 x 4 2 х -1-1 4 х ‘'-4 х -і-1 ( 2 х - 1 ) ( 4 х 4 2 х -і- 1) 2 х ( 2 х - ь 1 ) 1 ( 2 x - l f _ 2д:-1 2 х -1 2х(2х-н1) 4 x 4 2 х ’ 2) Р ^ - 2р + 1 2р . 1 -р р + 1 2 р 4 і р -р -н і р - 1 2 р ( р " - р + 1) {р + 1 ) ( р - р + 1 ){ 1- р ) р - 1 р + 1 9р-1){р + 1) р - 1 4 j £ _ w w w . 4 b o o k . o r g
- 28. _ (p -l)(p + l)(2 p - 2 p - 2 ) 4(p + l ) ( l - p ) 1 - P <p + l)(p - l)- 2 1 ' 4 ( P + 1 )(P -D 2- 202. ^ ( 2х ^ 2 4х 2х^ -2х + 2х + 2+ 4х ,, ( ,2 U + 1 ^ -1 х‘ - і ) г, 2 г » „ , п , О л.. (х’ - І ) = 1: ^ ^.п ~ п + п ] V “ 1 , = 4. 2x"‘ - 2 x:+ 2x + 2-4x _ ^ x‘ - l i(x‘ + 2x^ l)(x^ -2x + l) _ _4(x +l)-(x -1)^ (x^-1)^ ( x - lf (x + l) Отже, значення даного виразу не зале жить від допустимих значень змінної. m^-3m 1 203. m’ +3m^+3m + l т^ + 2т + 1 3 - т 2 - 2 т + 1 1 - т ) -З т 1 U m + i r ( т + 1)" 3 - т ( т - і У т - 1 _ - З т + т + 1 3 - т + 2 т - 2 _ {m + l f ( m - l f {m‘ - 2m +l){m + l) _ { т - 1)Чт + 1) 1 (m+l)’(m-l)" (m+l)'(m-l)' (m+l f Таким чином, при всіх допустимих зна ченнях змінної значення даного виразу є додатним як відношення двох додат них значень. 204. 1) 1- - = 1 - х : 1- 1- х + 1 х + 1 Х + 1 + 1 ) = 1 - х - х ^ ; 2) --------- д: + 1 f m ^ m - 1: m ----- 1 - m ) т т ---- 1 - т 1 - т т - 1 = m = т: , m ^ m -1:---- - m-1^ m -m-1-l 205. 1) 1+ т - т + 1 2х = U 2 x : 1 - - 1- - х + 2 1О Супор ГДЗ, 8кл . кн . 2 = l + 2 .r :^ ± 2 z £ = l + M ^ : х + 2 2 = 1 і х~ + 2х = ( х + 1)‘; 2) - = 1: л -1 : п - 1 п - 1 = 1 - п + 1 206. п п - п +1 1) X^.X^-.X^=^L^ = х х = х'’; 2) {х^:х^):х = ^ : х = х^:х = х^; 3) (а^)^ а = а‘ а = а’ ; 4) ( x ^ f : x ^ = ^ = x''. 1) — — ^ ^ = 0, я к щ о (т - 1)х т + 2 X m = О, тобто т - 1 = 0, т = 1, або т = 0; х ‘ - 2х 207. X п 2) - = 0, якщох:^-2л: = 0 ,х (х -2 )= = 0. Отже, х = 0 або дґ-2 = 0, х = 2; 3) спростимо дріб: (т + 2)т (т + 2)т т т‘ ‘ - 4 ( т - 2)(т + 2) т - 2 ‘ Дріб має зміст, якщо т - 2 ^ 0 т а т + 2^ * О, тобто т * 2 т а т * -2. т Тоді 4) т - 2 X = О, якщо m = 0; X 1 , якщо X * о х^ + х х(х + 1) х + 1’ тах + 1з^0бх7^:-1. Отже, не існує допустимих значень змінної X, при яких значення дробу дорівнює нулю. 208. 8’ - 4'“=(2*)®- (2 2 )> 2= ■ (2^- 1)= = 2^^ (8 - 1) = 7 2^К Отже, число 8’ -4'2 кратне 7. 209. 1) Графіком функції у = 2х + А є промінь, обмеж ений «виколотою » точкою Л(0; 4), оскільки у = 2 0 + 4 = 4, якщ о X = О. Промінь проходить через точку В (-2 ; 0), дійсно, якщо і/ = О, то 2х + 4 = 0, звідки х = -2. Графіком функції 1 /= 4 - Xє промінь, обмежений точкоюЛ (точка зклейки частин графіка функції, даної в умові). Цей промінь проходить w w w . 4 b o o k . o r g
- 29. через точку С(4;0), дійсно, якщо у = 0, т о 4 -ж = 0, д: = 4 (рис. 7). 2) Графік даної функції складається з трьох частин прямих: у = 2х + 5 — про мінь, обмежений точкою Л (-1 ; 3). Цей промінь проходить через точку В (-2; 1). у = 3 — відрізок горизонтальної пря мої, обмежений точками А та С(4; 3). у = X - 1 — промінь, обмежений точкою С (рис. 8). § 8. Розв’язування раціональних рівнянь 2 1 0 . Рівняння 2) і 3) не мають змінної у знаменниках, тому являються цілими раціональними рівняннями. В рівняннях 1) і 4) в знаменниках присутня змінна х, тому ці рівняння являються дробовими. 2 1 1 . 1) Якщох = 1 . т о ^ = ^ = і . Оскільки 4 о, то число 1 не є коренем о х - 1 рівняння. 2) При д: = 1 чисельник дробу дорівнює нулю, тому число 1 є коренем рівняння. 3) Якщо X = 1, то дріб не має змісту, отже, число 1 не є коренем рівняння. 4) Чисельник дробу при X = 1 дорівнює нулю, тому число 1 є коренем рівняння. 212. 1) Якщо ж= 2, то J C- 2 = о, тому число 2 є коренем рівняння = 0. + з 2) Прил: = 2 X ^ О, тому число 2 не є х-ьЗ коренем рівняння. 3) Число 2 не є коренем рівняння ^^ 2 ~ X = 2 дріб не має змісту. 4) Якщо д: = 2, то 4 - ж’’ = О, тому число 4t-x'‘ 2 є коренем рівняння г- = 0. 213.1) х = 2 ; 2) х - 2 х + 3 = О< = > х - 2 = 0; х = 2; х ^ - 3 ; 3) 4) X х - 3 = 0; х * 0 ; ^ : = 3; х - 1 х + 2 = 0; х - 1 * 0 ; X = -2; х ^ І ; - 2 ; X хн-5 = 0; X ^ 0; X = -5; х?іО; -5. д: =0: x + lfiO; 214.1) ^ = 0 « х = 0; 2) = = ;с= 2: ' X [х 0; х = 0; х Ф - 1; 3) = х = -3; 4) £ ± 1 = 0 « х-(-3 = 0; х - 4 ^ 0 ; х = -3; х * А ; х + 7 = 0 -, х * 0; х = - 1 . 215.1) х = 4; 2х - 8 х + 4 = 0 о 2х - 8 = 0; х + 4*0-. х = 4; X ^ -4; 2) Зж-і-7 = 0; _ _ 7 х * 0 ; З ’ 4) f f i - O e * = 0; х = 1; х = 0; х е 0. х -1 = 0; 1 - х * 0; (Рівняння не має коренів, бо при х = 1 дріб не має змісту.) 216. 1) Зх+^^о^|Зх + 12= 0 ; х - 4 х - 4 ^ 0 ] 2) х = -4; х * 4 ; 2 х -5 х = -4; = 0 « 2 х -5 = 0; х^О; ^ = 2 = w w w . 4 b o o k . o r g
- 30. = 0 « 2- | = 0 « х" = 0; ^ = х = 0; 1 ^ х - 5 3 - х X - 5 - 3 + X Q. 2 х -8 Q х + і ф О; х * - 1; X X X ’ X ~ ' 2 - х = 0; X = 2; ] ^2 х -8 = 0; їх = 4; . Y — Л х - 2 * 0; х * 2 . І х * О і х^іО; 3) ITT 4) Ї - 2 При x = 2 дріб не має змісту, тому дане рівняння не має коренів. 217. 1) 2) х + 2 - х - 4 = 2; X 3 - х = 0; х^О; X х = 3; 1 = 0; ^ = 0; х +2 1 х +2 х + 2 = 0; - х - 4 = 0; х = -4; . ! л:-1 „ х - 1 = 0; X = 1; х + 2 * 0 [х ^ -2 ; ^ = 1 Зх = “ = Зх * 0; х * 0; 3) х - 4 і - 4 х = -36; х ^ 4 ; 5х = 9{х-4У, х - 4 * 0 х = 9; 5 х - 9 х = -36-, х*4 х * 4 ; х = 9; 4) х - 2 х - 3 ’ 3 ( х - 3 ) = 2(х -2 ); х - 2 * 0; х - 3 * 0 ; З х - 9 = 2 х- 4 ; З х -2 х = 9 -4 ; 1 X X х * 2; х ф 2 х = 5. 2 х -6 = 0; х^З; х^З ; І X 1 х * 0; 218. 1) 1 - х - = 0; 2 ^ _ 3 = 0; 2 £ ± І ^ ^ о. X X 1 - х = 0; х = и X # 0; Ід: 0; ж = 1; 2) х - 4 - 4Х + 20 х - 4 X 3) х + 2 - 2* = 10; X Ф -2; =5; = 0; ^5. З’ X 5 Q.х - Ь х + 2 0 Q , а::-4 1 ’ х - 4 -4х+20=0; х - 4 * 0 ; Зх = 5{х + 2У, х + 2 * 0; х = 5; х = 5; х*4 ; Зх-5х = 10; х * ~ 2- . 4) х = -5; х ^ - 2; З х = -Ь; х - 2 х + 4 ’ 5(х+4) = 3(х-2); х - 2 ф0; х+4*0 5х-Зх = -20-6; 2х = -2б; х = -13; xjs; х^2; х?^2; х^ -4 ; хт^-4; х * - 4 ; х = -13. 219. 1) f i - 4 = 0; х - 2 ^ 0 ; х - 2 х - 2 ’ х = 4 -. х - 4 х - 2 = 0; х * 2 ; х = 4; Рівняння рівносильні, бо мають одна кові корені. х^ + 2х х ‘ - 4 х^ + 2х -х ^ + 4 2) х - 3 2 х -3 х - 2 х - 3 ’ 2х + 4 = 0; х - 3 ^ 0 ; Зх Зх = 0; х - 3 X = - 2 ; х^^З; 2х - З - X + 2 = 0; Зх х = 1. х = - 2 . = 0; Рівняння мають різні корені, тому не є рівносильними. 220. 1) х+1 х+1 = 0; х - 3 х + 1 = 0; х - 3 = 0; х + 1/0; х - 4 2 - х х = 3; х ^ - 1; = 0; х = 3. Х - 4 - 2 + Х = 0; х = 3; х = 3. х^О; Рівняння рівносильні, бо мають одна кові корені. х " - х х^ + 5 2) ; ліву частину рівнян- х - 1 х - 1 ’ ня можна записати у вигляді х ( х - 1) х - 1 рівняння втрачає зміст. Зх -1 2х - 5 _ Q. Зз; -1 - 2х -н5 _ q. - = X, якщо X - 1 0. При X = 1 2х Х-Н4 2х = 0; 2х х ^ -х х^ + 5 х - 1 х -1 - х - 5 х-і-4 = 0; 2x ^ 0; = 0; 2х х = -4. х ‘ - х - х ^ - 5 х - 1 = 0; х -1 X = -5; = 0; х = -5. - X - 5 = 0; х-1 т;0 ; х * 1; Рівняння не рівносильні, бо їх корені — різні числа. рр- ,, 2 х '- 1 _ 2 х 2х ^ - 1 = 2х(х + 1); ' x - fl “ 1 ’ ї х -1 -1 ^ 0; -1 = 2х; Х7^-1; 2) X * -1 ; Зх"-ь1 З х -1 . З х Ч і = х(З х-1); XTtO; w w w . 4 b o o k . o r g
- 31. го а и Ü О го S C S X X >ч Q. ч; Ъ о 3 ю ш |_ < G N J OS evj 3) 4) 1= -д:; х *0; х - 3 X= -1; 1 2х ‘ + 1 2х ’ 2 х ( х - 3 ) = 2х ‘ + 1; 2х * 0; -6x = 1; [x = - i ; 1 1 6 x = - i ; 1 x = 18-15; x * 0; x^O ; ® ] x?il8 ; 4х^- 4 _ 2 х + 3. 2х - 1 1 ’ 4 х^-3 = (2х-1){2х + 3у, 2х - 1 * 0; 4х‘ - 3 = 4х^ + 6 х - 2 х - 3 ; 2x ^ 1; 4х = 0; х = 0; 222. Зх^ + 2 = Зх (х - 2); х - 2 * 0; x = - h X j t 2; х ф 2; 2) 2х ‘ - 1 _ 2х + 1 , X - l = X -, 1 3) х * 0; 2 х - 3 1 2x^ + 3 х ’ X = -1; 3 ’ '2х ^ - 1 = х(2х + 1); х^О; х ( 2 х - 3 ) = 2x^ + 3; х ф О ; -Зх = 3; хфО; 4) х^О-, 6x^-1 З х -1 2х + 3 1 х = -1; 6x^-1 = (2х + 3)(Зд:-1); 2д:+ 3?ї0; 223. За умовою X З -1 = 7х- 3; 3 ( х - 5 ) = 2х; х * 0; 'Зх-2д: = 15; х * 0; х = 15; х:^ 0; 224. За умовою ^ х = 15. 1 І4х = 12; х * - 12; х + 12 5’ х = 3; 5х = х + 12; х + 1 2 * 0 X * -12; х = 3. 225. За умовою = |; 2(х + 3) = Ю; 2jc = 1 0 -6 ;2 x = 4;x = 2. 226. За умовою 1 8 -д :' х = 3; ХРІІ8; 1 , ‘ 3 ’ ’5 3 = 1 8 -х; 1 8 -x;tO ; 227. 1) х = 3. = 0; 2 х -1 2х + 1 (х + 4)(2х +1) - (х + 8)(2х -1 ) = 0; 2х-1;4 0; 2х + 1 ^ 0; 2 х Ч 8 х + х + 4 - 2 х Ч х - 1 6 х + 8 = 0; " 4 ^ -16х = -12; 2) J - - ^ = j _ . 5х 10х 30’ 1 _ 1 lOx ЗО’ 3) lOx = ЗО; lOx * 0; 2 - 1 _ lOx x = 3; 30’ x = 3; 2 - 1 1+ 8 - x „ 9 - x _ 2 '2 - х 2 - х ’ 2 - х “ ’ 2 - x “ l ’ 9 - x = 2 (2 -x ); 2 - х 5=0; '9 - x = 4 -2 x : x * 2; X = -5; x?i2; X = -5; 1 4) 1 5 -1 21 _______________= 2-i-- = — x - 1 5 (x - l) 10’ 5 (x - l) 10’ 4 21 5 (x - l) 10’ '8 = 21x-21; х - ІїіО ; 4 10 = 21 5 (x - l); 5 (x - l)^ 0 ; x - ^ - 29 21’ х = Щ . x ^ l ; 21 228. 1) x + l = 0; 3x +1 3x -1 (x + l)(3 x - l)- x (3 x + l) = 0; 3x + 1^0; 3 x -l? i0 ; Зх“' - х + З х -1 -З х^ - x = 0; ” 1^ x = l; ” 1' w w w . 4 b o o k . o r g
- 32. 3c=l; 1 1 -3 2)6* 2x 6 ’ 6л: 1 . 6 ’ -2 6 = 6x; 6x ^ 0; * = -2: x = -2; : * 0; 1’ 3 = x + 1 , x - 1 ’ 3( x - l ) = x + l; = 2; 4) Зл: - д; = 1+ 3; x ^ l ; 3 1 -4 2x = 4; X 1; 4x + 4 x + 1 8 ’ 4(* + l) 8 ’ -3 4 (ї + 1) 8 ’ - 2 = x + l; x + l * 0 ; 990 2 J C+ 6 3 x - 7 * + l x - 2 -3-8 = 3 4(x + l); 4(x + l)5t0; X = -3; x ; t - l; x = -3. = 5; (x -2 )(2 x + 6) + (x + l)(3 x -7 ) (x + l)(x - 2 ) 2д^ + 6 х -4 х -1 2 + Зх^-7х + З х -7 ..g. x ‘'- 2 x + x - 2 5 x ^ -2 x -1 9 _ 5 x * - x - 2 1 ’ 5 x *-2 x -1 9 = 5 (x '- x - 2 ); x + l;tO ; x - 2 ^ 0 ; -2x + 5x = 19-10; x * - l ; x * 2; x - 2 x +2 8 * + 2 x - 2 x ^ -4 3x = 9; x ^ -1 ; x = 3. X 2; = 0; ( х - 2Г + ( х + 2У - 8 x ^ - 4 x * -4 x + 4 + x^ + 4x + 4 - 8 2x“ x '- 4 2x“ = 0; = 0; I * -4 = 0; x = 0; x * - 2; x = 0. x ^ 2; x + 2?;0; x-2 ? t0 ; Рівняння нерівносильні, бо не мають однакових розв’язків. 230. 3 X -1 2 ^X J:12^^ х - 3 X х(3 х-1 2 ) + (х - 3 )(х + 12) л:(х-3) з х ^ - іг х + х ^ '+ іг х - з х - з б х (х -З ) 4х" -З х -3 6 _ 4 х(х - 3) ” 1 ’ 4 х '- 3 х - 3 6 = 4 (х '-3 х ): х^О; х-Зт^О; 1 2 х-3 х = 36; х^О; X ^3; =4 ; 9х = 36; х^О ; х = 4. хзіЗ; х + 1 ^х -1 х - 2 х + 1 х^ '-І (x + l ) 4 ( x - l f - 2 х^ '-І х Ч 2 х + 1+ х ^ -2 х + 1 -2 - = 0; L ’ =0; = 0; = 0; х^'-І '2 х' = 0; х -1 ;іО ; ■х+ 1?іО; х = 0. Оскільки 4 О, то дані рівняння нерів- 2х^ (х -1 )(х + 1) х = 0; х * 1; х * - 1; носильні. 231. Згідно умови початковий (х - 5 ) + 14 дріб, дріб ^ -------- обернении до ньо- , х + 9 , х - 5 го,тобто г = 1: х + 9 х - 1 * ' X ’ х - 1 х - 5 ’ (х + 9 )(х -5 ) = х (х -1 ); х-1?^0; x-5viO ; х^ -5 х + 9 х -4 5 -х ^ + х = 0; х ^ І; х * 5 ; 5 х -4 5 = 0; х*-, X = 9. Тоді X - 5 = 4 і почат- х * 5 ; (0 Q. U го і£ S X т .5 с о S ю с : < ковий дріб дорівнює —. 232. а дріб тобто За умовою х + 8 (х + 3 )-1 х + 8 , X ; — початковий дріб, х + 2 = 1: х + 3 — обернений до нього, х + 8 х+ 3 х + 3 ’ х + 2 х(х + 8) = (х + 2)(х + 3); х + 2?їО; х * 0; СО sa pg w w w . 4 b o o k . o r g
- 33. 8х-5д: = 6: x* - 2- , ХФО-, + 8x = + 2x + 3x + 6; Х Ф - 2; х ф О ; 3x = 6; x * - 2 ; x = 2. Тоді x + 3 = 5 і - — no- матковий дріб. 233. 1) x - l x + 3 x x + 2 = 0; x ^ - 2 - ( x + 2 ) ( x - l ) - x { x + 3) x(x + 2) ' x ^ - 2 - x ‘ + x - 2 x + 2 - x ‘ - 3 x x{x + 2) = 0; - x ^ - 4 x = 0. Чисельник дорівнює ну- x(x + 2) ЛЮ, коли - х { х + 4) = о, тобто х = О або ж = -4. А ле л: = О не належить до облас ті допустимих значень змінної х, тому рівняння має єдиний корінь х = -4. 2) ^-1 х +1 х - 1 = 0; х^ + 1 - х ( х - 1) - 2(х + 1) U + lK x - l ) х^ + 1-х^ + х - 2 х - 2 (х + 1 )(х-1 ) х+1 (х+1)(х-1) = 0; = 0; -1 х-1 = 0; 1 -х = 0, якщо X + Ії^ О .х ^ іІт а х -Іт ^ О , х?^1. При усіх допустимих значеннях х чи сельник дробу відмінний від нуля, тому рівняння коренів не має. 234. 1) X - X х-і-2 х + 3 X х - 1 = 0; х ^ -2 -(х -1 )(х -н 2 )-х (х + 3) х (х -1 ) х ‘'-2 -х ^ -2 х -і-х -н 2 -х ^ -З х = 0; = 0; х (х -1 ) 2 чисельник дробу дорівнює = 0; нулю, якщо х = Оабо X-І-4 = 0, х = -4. А л е х = 0 не належить до області допустимих значень змінної х, тому рівняння має єдиний корінь х = -4. x^-t-8 X З 2) х " - 4 Х-Н2 х - 2 -і-8-х^-(-2х-З х-6 = 0; X - 4 = 0; -Х-Н2 -= 0; -1 = О, якщо (хн -2 )(х -2 ) ’ х + 2 Х-Ь2?^0, х ? і2 т а х -2 ^ 0 ,х 7 і2 . При усіх допустимих значеннях х чисельник дробу відмінний від нуля, тому дане рівняння не має розв’язків. 235. 1) Згідно означенню модуля маємо два випадки: х - 1 - 5 = Оабо -(х - - 1) - 5= О, звідки, відповідно, знаходимо X = 6 або X = -4. При X = 6 даний дріб не має змісту, тому рівняння має єдиний корінь X = -4. 2) За означенням модуля маємо(х - 1)- - 1 = 0 або - (х - 1) - 1 = О, тобто X = 2 або X = 0. Ц і значення змінної не входять до ОДЗ, тому рівняння коренів не має. 236. 1) За означенням модуля можливі випадки (.t - 2) - З = Оабо - (х - 2) - З= О, тобто X = 5 або X = -1. При х = 5 дріб не має змісту, тому рівняння має єдиний корінь X = -1. 2) За означенням модуля маємо ( х - 2 )- - 2 = 0 або - (х - 2) - 2 = О, звідки знахо димо X = 4 або X = 0. Ці значення змінної не входять до ОДЗ, тому рівняння ко ренів не має. 237. 1) Рівняння не має розв’ язків, коли корінь чисельника дробу дорівнює кореню його знаменника, тобто, якщо X - 2а = х, 0 = 0 абох - 2а = х - 8 , -2а = -8, а = 4. 2) Рівняння не має розв’язків, якщо х - а - И = х, -a-t-l = 0 ,a = l або х - а + 1 = = X - З, -а = -1 - З, а = 4. При цих зна ченнях а даний дріб не має змісту. 238. Рівняння має один корінь, коли один із множників чисельника дробу дорівнює (або пропорційний) його зна меннику. Отже, маємо: х - а = х - З, а = З а б о х - 2 а - і= х - 3 , 2а-і-1 = 3, 0 = 1. 239. 1) 2‘ - 3^ = 3 2 -9 = 23; 2) (-1)®-І-(-1)® = - И - 1 = 0; 3) - 4 ^ (-1 )^ -3^ 4) f 2 40 . ( - ! ) = <!)■= ІОх 5" 6" 5^ х - 8 = 9; = 5-6" = 5 36 = 180. 120 Юх х + 2 Зх + 6 х ^ -8 х (х - 8 ) 120 Юх х + 2 40 3(х + 2) X (х - 8 ) х + 2 х(х + 2) w w w . 4 b o o k . o r g
- 34. 1Пд^-40 1 0(x-2 )(x + 2) 10(д:-2) ' ' х Г х + 2) х ( х + 2) X 10 (1 0 0-2 ) _ 98 = Ш 10 ’ ’ я к щ о х = 1 0 0 . У Л 4а^-Ь‘ + 2 а -Ь ' 4а‘ +4аЬ + Ь^+ 2а + Ь (2a - b ) ( 2a + b) + (2a - b ) ° (2а + Ь )'+ (2 а + Ь) (2о-Ь)(2а + Ь+ 1 )_. 2а -Ь ^ ( 2а + Ь)(2а + Ь+ 1) 2а + Ь' § 9. Ступінь 3 цілим показником 242. Рівності 1), 2) та 4) правильні; рівність 3) неправильна; правильною є рівність 243 1) 4-' = — = ^ —; 4) с - * 4 ; 5) (2а)-’ = ^ = ^ ; 244. 1) Ь^=^; 2) 7-‘ = і; 2-’ 4 = ї і з ; 4) . - = 1 ; 5) (3m)-"= ^ ^ ■ 6) ( c - d r = (3mf 9 т‘ 1 ( c - d y 24!. 1) і . 9-, 2) І - Р - ; 5) (а6) 246. 1) ^ = 2) ^ = 19-; 4) І = Г '; 5) г ^ =(стҐ-> 6) т -^ =(а+ху (cm) (a + x f 6) 1 0 ’ = 1 10* 1000 : 7) = 3^ = 9; 8, ( - | ) - ' = 4 „ ( - І U . H 64. '2 7 ’ -2 12) ( - 2 1 J ’ . 13) 0,1-'- ( і ] 4 'з, П ' 5 _9^. 16’ ■ ц ’ = 10; 14) (-0 ,2 )-^ = [-| j =(-5f=25; 15) (1,2)-^ = i ä '3 6 ’ 16) (-0,25)-*= =(-4 )* = -64. 248. 1) 2-^ = і = і ; 2) (-1)^ = f ^ = ^’ 3) 15-‘ = i ; 4) ( - ^ У ' = i = - h 5) = 8“ = 64; 6) 3 2 i l “ 8 ’ 7) 16 l^4j UJ UJ 25’ 8, f з i V ’ - L ^ Y ' - - X • ^ l 7 J " l 7 j 2 2 ’ 9) 0 ,2 ‘ = ^ | j =5; 10) ( - 0 , l ) - ^ = ( - i ) '=(-1 0 )^ = 1 0 0 ; 11) (1.5)-^ = 3 U J 'U J 9 ’ 12) (-0,5)-^= = (-2 )‘ =16. 249. 16 = 2^8 =2*;4= 2^2 =2‘;l =2°; l_ o - i. 1 _ 1 - 2~ ‘ - І - — - 2 ‘*- 2 " ^ ’ 4 ~ ¥ ~ ’ 8 “ 2 * ~ '‘ ’ w w w . 4 b o o k . o r g
- 35. 16 2' 250. 100= 10^; 10 = 10>; l = 10'>: 0.1 = i = 10-‘ ; 0.01 = j ^ = ^ 251. 1) -5-=-^ =-^; 3) = -(-2 )^ = -(-8 ) = 8: V 4) - f - l l = - (- 3 )‘ =-81. = 1 0 l 16’ 252. 1) -2-’ = 4 = - | ; 2) (-0,4)-^ = .. -2 5 Г 2 ) ■ 4 ’ 3) - = -(-3 )^ = -9 ; « -(-ir=-(-i 253. 1) 2a“' =2-і-=4-: 2) 3mb' =3m-j =^ ; 0 0 3) a V »c = a^e-^ = ^ ; 254. 1) 4 Ь - ‘ =4 .І =А; 2) 7 a ‘p = 7 p .i = ^ ; 3) т „ - у = т р ’ Л = - ^ : Л n - 1 1 1 3 ' 27^ 27 1 I + '2 ' к I 8 ; 8 • 1 1 ко/ 255. 1) 8i-3-* = 3‘ ^ = | l = |: 2) -25 10-^ = -5‘ (2 5)^ = - j ^ = - i = - i : 3) 2 7 (-1 8 )-‘ =3’ 4) 2І- 5 11 -2-9 2 3' (-5) = -11: 5 )-8 2“‘ +3“ = -2“ ■•^+ l = - 4 + l = - l + l = i■ 2^ 2' 2 2’ С Чq-2 I ß-1 1 , 1 1 . 1 • ^ ~ 8 ' 6 “ 64 6 “ 'l9 2 “ 192’ 7) 2,5“‘ +(-1 3 )" = 8)4-’ - (- 4 Ґ = : ^ - 2 2 9) (-8 ) Ч (0 ,4 Г ‘ = 1 l _ l - 4 4“ (-4 f 4* 4* 4* ' 1 ‘ 64’ ((-2)^)^' -(I) 1 5 1+ 5 2^ Л + 5-32_161. 2* 2 2® 64 64 ’ 10) 11) 1п’ -я2 _L-foä* 1 _ 2‘ 8 , 10*'*^ '2“-5>‘ 2 ’ -5“ 'l2 5 ’ (f) 17 12) 1,25-'+2,5'* = 7’ -4 ^ ' 7-2* - 23,72 2> .16 8 . 5 16 + 8 80 + 8 _ 88 ' 5" 5" 5® 5’ 125' 4* 4 2) 36 (-27)-' = (2-3)^((-3)*)-' = ‘’' (-3)* 4, ■3 ’ 4) -7 0 ,l- 4 5 “ = -7 l oj + 1= = -7 •І О Ч 1=-700 +1 =-699; 54 5-2 10-. _ 1 1 _ 1 1 2-5 3 . ' 5“ 10~5 5 2-5 5 5-2' 50’ 6) 3,2“' + A 4 f)4 l 16 = A + A = l i = Z. 16 16 16 8 ’ 7) 1 20-^ = 5 * - ^ - ^ = - =A = A. (4-5)" 4' 5'' 4' 16’ 8) 1,5-^'-1,2’ = 5' '3> -2 '6 ' -3 .2) .з і 1)’ ^ _4 5’ 4 ________^ 9 2’ 3* 9 8 3 9 257. 1) 8 - = ^ = 2) (-3,7)“*'’ = 125 96-125 24 9 29 '216' >0; 37^ -.0 10' . 10; Ч 37 j w w w . 4 b o o k . o r g
- 36. . ( -« ' • { і ? ЗІ с - « - “ = ( - і Г = - ' " ( і Г = = - ( § ) " <0: 4) -(-2 .1 Г ’ = 2 1 ' r i o ' 7 1 0 ' 7 >0. 1 3) (m + ra”')(m ' + n) = L . i l io> .21y . 2 1 ; 1 V ^ / 258. 1) Якщо а > О і п — ціле число, то а" > 0; 2) я к щ о а < О іл — парне від’ємне чис ло, то а" > 0; 3) якщо а < О і л — непарне від’ємне число, то а" < 0. 259. 1) Якщо &= 5, m= "13, ТО 1 / 1 2) якщог> = -1, т = -200, то Ь" = (- І )- '“ = — = і = 1> 0; V ) (_і)2оо 1 3) якщо Ь = -З, m =-1 3 , то tm / 04-13 _ 1 ______ 1 _________ 1 - ґ ^ “ (-3 )" “ (-!)■'>-З'“ " 3’ ^ 0«Л т‘ ‘п^р~^ т‘п‘ р " т‘п‘ ' сх'а - ~ - ” •" ' - - “ ' 1 1 Ї І . Р І ' сх^ а ' 2) 'a 'J 5 ’‘х-‘т сх^ сх^р^ ’ ^ = a 'b = :(5 -^ x ^ m -‘ ) = 1 .2 П J _ J _ '| _ 2 5 b V m ~ а ' W х ^ ' т ) а ‘ 26t. 1) — = 3a:“ - = 3 *V *‘ : Р Р 2) І| і^ = і5 т = V ^ п 'с' п' с' 3) 2х г= 2д :4 — Л т ^ = 2х&-‘ (а-Ь)-^ b a - b f ( a - b f 262. 1) =5т^■ — =5т‘х ^ '; 2) 3) 7с , _ , = 7 c ^ . i 4 = 7 c W ^ < / л !/ fl cx-yf ’’ с* (х-уУ 263. 1) = +4 = 2) afc‘ + 6 а '+ с ° = а i + b —+ 1= О а _ а fc 1 + аЬ + Ь^ Ь а аЬ _ 1 + тп 1 + тп (1 + тп)‘ _ п т ~ тп ' 4) (a -'+ r '):(a -^ + 6 -^ ) = ( i + i 1 l ^ a + b +b‘ Ча^ Ь Ч ab - a V " (a + b ) a V ab(a + b) a‘b + ab‘ ab(a^ + b‘ ) a^ + b^ a‘ +b‘ 264. 1) = ^ Л +- г / ' = у ^ - X , у' _ x ‘ + y y^ X xy^ L _ J _ i _ i у _ y - x y - x xy x V { y - x ) ( y + x) xy _ x + y x V ( y - x ) xy 14- f-T'l -1 '49' і T .25) l^ ^ 2 4 j - I 24J a . 49’ ( T _ 16 - ( ‘ 4 Г ( ± Ґ " -2 f l -^-1 ,3j le j ■ = (¥ 256 49 ■ 266. (1+(1- 3-')-■)' +(1- (1+3')-')-' = / -.4-1А“’ f ('-Г JH'-(-l) . „ s i x ' Ґ -l> -1' + / 1- f f -i> -1 -1 + U > 2; 1 І - ] -1 + f i l -1 = 2 + 4 = 4 2 U J U ; 5 5 w w w . 4 b o o k . o r g
- 37. 267. 1 -^ - . ' x - ' - l ■д:''+1 x^- 1 i - 1 i +1 1-1: Л - Х + 1:- 3 с x 1 3 ) : m ® .щЗ = „-3+3 = „0 = 1 1 + x ^ x“ - l (1 ^ 1 ^ ' 1 4 ) m~'^ : m ®= m ' • m® = = m ’’ . J “ :r^ 1 - х 1 + X y 1275. 1 ) c ® : c - ' ==c ^ c = c**' = c®; 1 + - ^ + - ^ x-1 x + 1 ) x ‘ - l х^-1+х'+х+х‘ - х (x^-lX3x‘ - l ) 3x^-1 x^-1 x^(x^-l) ~ • 268. 1) aV=a**^ = a*; 2) = 3) (c*)^=c"‘ = c “ ; 4) = 5 ) < " : ( = ^ = (®; 6) ( p ^ f = p ^ ‘ = p' 269. 1) = m V‘; 2) (-2 p ^ f = (-2 )^ (p ^ )“ = V ; 3) (-5cm“f = (-1)^5" = -125c"m®; 4) ( - a V r = ( - l ) “>(a^)''>(c^)'“ = a^ V “. 270. 1) (5mV(0,2mV =5*('n'fn’ x r i ' U J Э 10* 2) (- 0 ,lp V r (lOpc^f = X X lO’ p^c^)^ = = O.lp^V'*. § 10. Властивості ступеня з цілим показником 271. 1) Н еп р а в и льн о , ■т~'’ = = ■т '’ “’’ = т г*-, 2) правильно, а’ -а“* = а’“®= а^^; 3) неправильно, ■а'® = а®“* = а° = 1; 4) правильно, с®: с‘®= с®■ = с'^; 5) неправильно, с*-.с^^ = с* • = с'*“®= с"’ ; 6) правильно, = m m *= *= 7) правильно, (а’ )"‘ = а "'* ’ = а 8) неправильно, = 6«; 9) неправильно, (f*)"* = = і '“. 272. 1) а*а-2= а* ^= а^ 2) а-'а“ = а-’ « = а-‘ ; 3) а»а-® = а^-* = а“ = 1 ;4 ) а = а-’ з= = а - ’ ». 273. 1) Ь’Г* = 2) fe-“fc s= ft-»*3, = b-“; = = 4) = = = &» = 1. 274. 1) = m“ ; 2) : m®= •m“®= m *• 2) : c®= •с * = ®= c"®; 3) : c'^ = c“^• = c* = c; 4) с ■': c~* = c"* ■c*“= = c“ = 1. 276. 1) ( д : = = 2) (*->)>' = ж'-» ” = 3) = = 1; 4) (х')-‘‘ = х ’ '-" = л-2*. 277. 1) (ге-2)-’ = л-2'"”= л‘*: 2) (n‘=) ‘ = ni='-*' = n-'=; 3) (/1-*)" = « *“ = /г'>=1; 4) = = п 278. 1) а-1»= а-''-' = а-® а 2) а-“ = а'-” = а’ а-": 3) а ^ = а-‘-®= а-» а »; 4) а-'» = а’ 2-2 2= а‘2. 279. Наприклад: 1) т‘ = т^ т^; 2) т~“ = т? ■ 3) от“” = т^ ■т' 4) т “ = т га ^ т ^ 280. 2) 1) 2' - 2'« = 2’ ®= 2> = 2; 5-^-5 = 5-““ = 5 - ^ = і ; 3) 4) 1 . UJ 1 2 йгкігкі; = 2==і 5) 3*:3 ’ =3 *-3 '’ =3*-® = 3-‘ = i ; З 6 ) 7 ” ^ ®* 7 "^®= 7 ”^ ®• 7 ^ ®—7 -15+ie _ = 7 * 7) 9 : 9 ' = 9 -9 = 81; -15 8) -15 ' 1 ' Д 5 , = 1; 9) (2-^)® =2 '"" = 2 '= ; ^ ; 64 2 ) 4 ’ -4 = 10^ = 10 000; 10) 2, 11) (0 ,r ')' = 12) 1 2, rjLV'^ 1 0 j _ 10) ' 0 ' 1 ^ -8 0 ' 1 ' Д 9 І Д 9 ; .19, = 1. w w w . 4 b o o k . o r g
- 38. 4 ) 1) 3 ®3-*і= 3®-*= 3' = 3; 2* 2= 2 ~ 3 + i _ 2-2 _ 1. 4’ f r f . 1^ 5 ГГ Ґ = і f - f = 7 ; І7.I .7; І7у1 1 І7;1 1^ -9 ГЛ 7 1^ -9 + 7 1' -2 = 32 .3y ,3, .3> ,3y 5) 10^10' = 10" 10 *= 10‘-* = 10 ‘ = ^ ; 6) 8“‘* : 8 '^ = 8-*^ •8‘^= 8 = 8' = 8; 7) 7 : 7 ' = 7 - 7= 49; 8) 9) (3 ->)^=3 '^=3 -‘ = ^ = i ; (І)"І'=(ІГ"ЧЙ їГ 10) .j _ . 25’ = 1; 11) (0,2“) ' = = 5* =125; 12) ( J j 13, = r '^ = l . 282. 1) o’: ■ a ~ '^=d’ a ~ ^ ^ ~ _ Д 7-3-12_ q-8. 2) (a*)-^ ■ = а '^+іг = д-з. 3) (a-*)ä: a* = a = a ^ ^ '*= a “ ; 4) a" ■(a-ä)* ■ = 1■ **^= a = a '; 5) a‘3 ■ a“ : : a = a‘3 • 1 ■a ® ■a“‘ = = = a-®; 6) (a^)^2■(a ‘)-« = аЗі-2ж-і).(-в) = д-в+в= ^ ^ 283. 1) :b ’■ = “ 6 - ^ 2 ) (b - 2 )- l . b >0 = fe-2 < + 1 0 = fc-8+l<l = fc2; 3) (fc3)-2: = &3I-2). ft-3 = fe-6-з = ft-9. 4) b^ ■(ft-2)3 .fe O= ft7+l-2|3+0^ J,7-e = ftl = {,; 5) ft» ■b ■•; ft*: b = 1 ft • *•ft ^ ^ i = (,-4 з і = = 6-»; 6) (ft-“)-' •(ft2)'2 = (,(-4)l-D+2(-2) = ft4-4= (," = 1. 284. 1) 4a-V-5a''>ft-ä = 4-5a-*+‘'>ft’-ä= = 20a^ft^ 2) 0 ,4 m -V • 10m«/i » = 0,4 x X l0 m -»* V * = 4n 3) (-9x*!/-^) = 4 9x*y^^ = -3xj/’ ; 4) < £t-e_ - - b m _2 ('_7 e i j 'l 6 28^ m 1) lOm^n'^ 2m~^n* = 10 x X = 20m'^n'‘- , 2) 0,02a *ft^ x X lOOa'ft-' = 0,02 100a «"«ft*-’ = 2a»b ‘ = 2ft-; = -2дг(/-*; 4) * V - - 3 = ip ^ c « . 286. 1) {x y)- ^=x-Y‘; 2) (ab-^y^ = a-*ft-2<-3>= a'^ft«; 3) (л--*!/*)-’ = x-4<-iy (-1) = д.4у-3. 4) (m"c-*) * = = с*; 5) 6) (0 ,la -')-‘ = | ^ ij a-^'"‘>= 10a^ Г і -3 ^ ' f i ) U '" Із . 7) (-2c->)-* = (-2)-*c-*‘ 8) |»-v ft-'<-"c-*^-"=|ftc« 287. 1) (p ^'n)-==p-2<-5in-»=p'»n ^ 2 ) (a - ^ f t * )- * = a -2 '~ < i ■ ft3i ■» = a * f t - ‘ 2; (0,2m -)-‘ = ( | j ‘ m ^'-‘>=5m^ 3) 4) a»-%-^=25a'b-^; 5) (-4aft-')"* =(-4)'*a'*ft-'<-*’ = ; ^ a V ; 04 6) | Л - ‘ )■ 288. 1) 64m*=4*OT* = 2) 0,01p'*=10-'p*'-"’ =(10p^)-^ 3) 0,0025c *p'2 = 0,05^ ■C-“У 2= = ( 0 , 0 5 с - у ) ^ 4 ) 5 І с - ^ ; с - ^ » = | - Л - ^ ‘ = 289. 1) ((5 - v (5 Т)-'=(5-^<-«> 5-«2)-‘ = ^(512-16)1 = 5 41-1)^54^625; 2) = : 1 0 - = = 10-‘®10‘* = 10-‘*"'*= 1 0 ‘ = j^ ; 3 ) (3 ^)* ■ (3 ‘ _ j j- 2 3 » (- U 5 .g6<-2| _ (3*) 2 = 3 '" -3‘2= 3 ‘“ 2= 3'=3; C r V j 7 V _ . (7®)- (7 ')-' w w w . 4 b o o k . o r g
- 39. 1 290. 1) ((4<)-2 (4"*Л ‘ =(4 ‘ ^Г' = = 4“2<i>= 42= 16; 2~* (2 n -8 < (-2 )5 . q - 1 « » 2 4 9 -1 8 . ' ( P 7 W " “ • •2'*^ = 2'^® 2 ^ ®= = 2"^ = — 4 ’ 291 1) 243-3“®=3’ 3^ = 3 ® -®= 3 ’ =i ; 3 = 7“2 : 1'* = 7-2. = 7-2+‘ = 72 = 4 9 . fO Q . V. _ u и Ö го 5C S I T > 4 a g с о Ю < 2) 64 (2 '* f 3) 5-» ■252; 4) 49 ‘ r n J , 5) 36-'- 6-* (-6 ) -13 = 6 -e-8+13 _ -6 6) 8-’ -2- 10 16"‘ = 7 -‘'- 7 ' = 7 -"*" = 7 " = 4 9 ; 292. l)128-2-5 = 2'-2-* = 2'-‘ = 22= 4; 2) 81 (3 '^ f =3* 3-® =3''® =3 = i ; 9 3) 7 *•343’ :49 = 7 * •7’ ■ = 7"**’ ' = 7"' = |; 4) 36 “ =6-" ■6'= б "*" = 6^ =36; 100-' 1 0 ’ 5) = 10'^10-’ l0®=10-‘"’ *®= lOOQ-* = 10-'-’ ** = 1 0 -'= 0,01; 6) = 5-35»».5 > 5= 5-3 *«-» = 5-2= J_ 125* 25 293. 1) 3,5a^b’ : (0,5a ‘b^) = 3,5aW x X 2a='ft-®= 3,5 ■2a’ +2(,7-9^ 7aSj,-2. 2) 3 | * V ‘ : ( - l f x V ) = = - | - | ^ ‘^ V ‘^ ^ = - 2 x V . 2) - 12a-' 7x- 35x 6a-® 35-6 12-7^-a.s^_„^ n = _ 2 5 - 8 ^ _ ^ 5 “ ^ 5 ;c «- 295. 1 ) 4 , 9 т ^ :(0,7тл-') = і| га= л-‘ х X m-'n' = 7т^-‘п“ ' ‘ = 7m'/j-' = 2)1 7 " ^ '. r x ’ > - r-3r-* ' 21c-1 * 1 .-3tl,,-5+ 7 1 -2 2 X‘ - 3 " ^ с = - ■ 3 ■c X = ------ ^ 3c‘ 296.1) „1 6 *3 0 = y v - v < * » = 4 j l ^ ; с m 2) = b'-®c“ '=ft-3c” = 4 ^ ; 3) 7д:.-2^ Зг/- X 7'x-"i/* = 7-'*' -3 'x '-V _S У ■4 9 x-y = 7-'*-'<-'>3'y‘ <-'>x -2+2 o 2 4-4 - ^ 3 _ = 7'>-9x V = 4 : 4) ■ '/ 2 4 ; U “ V j = a-3 <-a&-2.2-2 <-2)x X 2-3a' '-3)j,-2 (-3) = 2‘ -3a»-«fe-2+« = га^Ь* = 2ft^ , - 7 „ 2 -3 297.1) c"'a Ь-'л: «21^3 = c ' 'a - * f t - V = ^ ; a®&® 2) ' fx -M U s Ъ - = * ^ V * ' = x - y = f r : 3) 5a 2b- ■25a-^ft'= 5 -'a -''-^ > x X 2-' •*3 (-2) . 52 . g-4J,2^ 5 -2+2. 22. a*-“ X xb2« = 5o.2 2 .a».b -‘ = 4) 7 M [ 4 J = m-"<-3)n3'-3>2-2'-3'x x23 <-2>m 3 i-2)„-4 (-2)_2в-»;„в-в„-9+8_ i_ Л 298. 1) ||^ = (5'Г 5-""*=5"''=’"** = 5' = 125; Э р і ^ = (2 '-З Г .2 -^ " “ 3 - '- '= 2 '" 3 - х 2) w w w . 4 b o o k . o r g
- 40. ^ 2-»*+‘ •3'"‘‘ = ■З ''" ’ = 2 ■3“' = 0 ^4/i-2n l 2/i - 1 -3-2« „ 2 n t - 4 Ö 3) = - ^ = “ ^ = - ^ - 49" = 7 2 ”- 2'"*2 = 7 2 = 4 9 . 299.1) 18 п'П-т-2o2 m -2 / n «l n-2ol 3, 2) g»,^2.32m -i -3 -2 3 „9m ,,3m -2 „6/n 300. = = = 2) 12 12 12 x ’ + x '“ _ і Ч ї ’ *’ _ х ’ (1 + л=) x-' +x ^ x - '+ x '* ' л:-‘ (1 + ї: ')' 3) m~^ +b -m' m~^(l + 5 w ^-m ‘°) 5m“ -m® + m ‘ - m ' ° + 1) =m = m =- 3 0 1 . = 18 18 4»*‘ _ 4 ” 4 "(4 -1 ) 4’’ 3 4 " ’ 2) ь ' ^ + г - ь ‘ ^ ь Ч і+ з ь ^ -ь ^ ) ь~^ ’ ЗЬ^-Ь^ +Ь-^ 6-“(3ft‘ - 6 ’ + l) b-‘‘ — 1,-3 1 = b =ft = ^ . 302. 1) 2- - з і ; -2 :1 :3 1 ^ 2 '"-З" _2"' -3" -3~‘ - 2 ” 2 ' З" 2" З^СЗ ’ -г-*) 2” -З" . 1 1 _ 2 -3 _ _ 1. '3 2 6 6 ’ г^-з" 2) 72- . 4" 4 9 т«-! . 2 2 я -і _ 4 9 '" - * . 2 ^'*** у 2 / п у 2 т rj2 ^2п 2 “ ! _ у 2т . у “ 2 2 2 '' g rj2m 2^2п = 72™.22-(7=' -2-’ -7 ^ 2 )" 1 1 7-2*4 2“' _7 2 2 '* 2 7 2 2 '(7'' -2^) 7‘ 2 2 49 98 98 (7’ -2)(7Ч2) (49-2)(49 +2) 47 51 2397' 303. 1) 2,7 10^ = 27 10^ = 2700; 2) 1,32 10* =132 10^ = 132 000; 3) 4,7 10-^ = 4,7 0,001 = 0,0047; а‘ + 2а 4) 3,42 10 * = 3,42 0,0001 = = 0,000342. 304. 1) 4а 2) а‘ - 4 а + 4 а‘ - 4 а + 4 а^ + 2а~4а а‘ - 2а ^ а(а- 2) _ а . а "-4 а + 4 ~ { a - 2 f ( a - 2 f а - 2 ’ Зр 8 - р _ З р - (8 - р ) _ р ^ - 2р р ^ - 2р р‘ - 2р ^ 4 р - 8 4 { р - 2 ) _ 4 р ^ - 2р р ( р - 2) р ' 305. Нехай Xта ^ — початкова вартість огірків і помідорів відповідно. Тоді після переоцінки вартість огірків становить О,8jc, а вартість помідорів — l,lj/. Згідно з умовою маємо: Зж-н2у = 17; 2^ = 17-3x: 2■ 0.8х + З 1,ly = 18; [і, бх -нЗ,Зі/= 18; ІГ= 0,5(17-Зх); l,6 i-i-3 ,3 0 ,5 (1 7 -3 *) = 18; i/= 0,5(17-3x); 1,6х + 1,65 17-1,65 Зх = 18; у = 0,5(17-3*); (l,6 -4 ,9 5 )x = 18-28,05: у = 0,5(17-З х); -3,35д: = -10,05. Отже, X = З, у = 0,5 ■(17 - З ■3) = 0,5 X X (17 - 9) = 0,5 -8 = 4. Спочатку огірки коштували З гри, а помідори — 4 грн за 1 кг. 306. Два послідовні непарні числа можна записати як ( 2п -1 ) і (2га + 1), де п — будь-яке число. Тоді(2п + 1)“-(2 п - 1)*= = 4га“ ' + 4га + 1 - 4п“ + 4га-1 = 8п — число, кратне 8. § 11. Стандартний вигляд числа 307. Числа2,9; 3,7 10 «; 1,92 Ю '^та 1,001 10’ мають стандартний вигляд; числа 0,42; 0,05 Ю ’ ^; 19,2 10^ та 1,92 в ^» записані не в стандартному вигляді. 308. Стандартний вигляд мають чис ла 3,0017; 4,2 10 “; 1,115 10” та 2,7 ■ 10 ^ Числа 0,03; 117; 10,5 10’ та 2,7 5 ’ подано не в стандартному вигляді. 309. Порядок числа, поданого у стан дартному вигляді, визначає показник степеня. Тому в даному випадку маємо: 1) 5; 2) -17; 3) 1; 4) 0. w w w . 4 b o o k . o r g
- 41. 310. 1) -5:2 ) 12; 3) 0; 4) -1. 311. 1) 200000= 2 1 0 =: 2) 5800 = 5,8 10^: 3) 20 500 = 2,05 10-*: 4) 739 = 7,39 10^: 5) 107,5 = 1,075-10^ 6) 37,04 = 3,704-10'; 7) 2700,5 = 2,7005 10^; 8) 300,8 = 3,008-102; 9) 0,37 = 3,7 10 '; 10) 0,0029 = 2,9 IQ-ä; 11)0,000007 = 7-10 «; 12)0,010203 = 1,0203 10 ^ 312. 1) 50 000 = 5 10^ 2) 470 000 = 4,7-10“; 3) 5 030 000 = 5,03 10«; 4) 975 = 9,75 10^; 5) 32,5 = 3,25 10‘ ; 6) 409,1 = 4,091 10^; 7) 12900,5 = 1,29005 10^: 8) 87,08 = 8,708-10'; 9) 0,43 = 4,3 10 '; 10)0,00017= 1,7- 10 11)0,00004 = 4 - 10 ^ 12)0,90807 = 9,0807 10 4 313. 1) 27 10* = 2,7 10 10» = 2,7 10«; 2) 427-10-5 = 4,27-102 10^’ = = 4,27- 10-’ ; 3) 0,00027 10= = 2,7 10-“ -10“ = = 2,7-10'; 4) 0,0037 10-^ = 3,7 10-3 10-' = = 3,7 - 10-’ . 314. 1) 58-10 » = 5,8-10-10 « = = 5,8- Ю '; 2) 237,2 - 10" = 2,372 10^ 10' = = 2,372 - Ю”: 3) 0,2 10"‘ = 2 10 ' 10"‘ = 2 10 =; 4) 0,0017 - 10= = 1,7 - 10-5 - 10= = = 1,7- 10=. 315. 1) 137 152 = 137 200= 1,372-10=; 2) 12 311 = 12 300 = 1,23 10^ 3) 2197,2 = 2200 = 2,2-10^ 4) 1000,135 = 1000= 103. 316. 1) 6,037 10= = 603 700; 2) 2,8 10 ^= 0,00000028; 3) 2,611 10“ = 2 611 ООО; 4) 1,7-10-^ = 0,0017. 317. 1) 2,735 10* = 27 350; 2) 3,7 10-^ = 0,0037; 3) 3,17 10^ = 31 700 000; 4) 1,2 10 == 0,000012. 318. 1) (1,7 10^) (3 10-“)= 1 ,7 Зх X 10= - 10-» = 5,1 - 10=; 2) (2,5 10 =) (6 - 10-2) = 2,5 - 6 - 10 =X X 10 2 = 15,0 10-' = 1,50 - 10 - 10 ' = = 1,50 10 «. 319. 1) (1,2 10 *) (4 10=) = 1 ,2 X х4 - 10 * - 10= = 4,8 - 10-ä; 2) (1,5 - 10') -(8 - 10^)= 1,5 8 - 10' - 10^= = 12 - 10'“ = 1,2 ■10 10'“ = 1,2 10". 320. 1)(4,2 10’ );(2,1 10') = | !у х X (4,2-10’):(2,1 10')=|4 1 2) (1,4 10’ ):(2,8-10 2) = 14-10* 2,8 10-2 10**2 =5-10“. 14 2,8 321. 1)(7,2 10'):(2,4 102) = (7,2-10"):(2,4-10") = |^-10®-2 =3103. 2) (1,7-10 Ъ : (8,5 ■ 10-') = = o,ö'lU = 2 10 ■ ■ " ’ = 2 10^ 322. 1) 1,7 10= < 2,8 - 10=, тому що це числа одного порядку і 1,7 < 2,8; 2) 1,3 10-■* > 1,29 10-*, тому що це числа одного порядку! 1,3 > 1,29. 323. 1) 2,8 1 0 -3 < 3,7 10 3бо 2.8 <3,7; 2) 1,42 10= <1,5-10= бо 1,42 <1,5. 324. 1) 2,7 103 + 3,2-103 = (2 ,7 + + 3,2)- 103 = 5,9- 103; 2) 4,7 - 10 '= - 3,2 - 10 '= = (4,7 - 3,2) х X 10 '= = 1,5- 10'=. 325. 1) 4 ,7-1 0 * + 5,1 10-3 = (4,7 + + 5,1)- 10-3 = 9,8- 10-3; 2) 2,9 10' - 1,8 10' = (2,9 - 1,8) 10' = = 1,1 - 10'. 326. 1) 1,8 1Q3 = 18 10», то м у 2.9 10з< 1,8 1 0 ^бo2 ,9 < 18; 2) 1,12 • 10 ' = 11,2 10*, тому 1,12 10 ' > 1,12 ■10-3, бо 112 > 1,12. 327. 1) 1,7 10= = 17 10*, то м у 1,7-10= >1 ,7-10*, бо 17 >1,7; 2) 1,8 ■10-“ = 18 - 10 ', тому 1,8 10 “ > >8,9 10 ', бо 18 >8,9. w w w . 4 b o o k . o r g
- 42. w 328. 1) 2,710^+ 3,2 10* = 0,27 10* + + 3,2 • 10* = (0,27 + 3,2) 10* = 3,47 • 10=; 2) 1,42 • 10 ' - 2,8 10 2= 1,42 10 ‘ = _ 0,28 • 10 ^ = (1,42 - 0,28) 10 ‘ = = 1 .14-10-‘ . 329. 1 ) 2 , 7 1 0 - * + 1 , 7 ■ lO"* = 0 , 2 7 X X 1 0 - ‘ + 1 , 7 ■ 1 0 ■ ■ = ( 0 , 2 7 + 1 , 7 ) 1 0 “ = = 1 , 9 7 - 1 0 - : 2 ) 3 ,7 -1 0 ^ -2 ,3 -1 0 ^ = 3 ,7 -1 0 ^ -0 ,2 3 X X 10^ = (3,7 - 0,23) 10^ = 3,47 10^ 330. 8,1 10^ 2,61 10- 8110* 81 100 = ■2.6110- 2,61 8,1 10* 2,61 10- 32 (% ). «1,3710® (сек.). 332. 1) 8,3 10« (T) = 8,3 10’ = 8,3 10>*(r): 2) 3,7210-^ (r) = 3,72 10 ’ = 3,72- 1 0 ‘Чт): 3) 4,9 10 * ( k m ) = 4,9 10* ■ = 4,9- 10“ = 4,9 ( c m ); 4) 4,97 10’ ( c m ) = 4,97 10“^ = 4,97 - 10* ( m ). 333. 1 ) 3,87 1 0 * ( C M ) = 3,87 1 0 * 1 0 * = = 3,87 (k m ); 2) 4,92 • 10^ ( k m ) = 4,92 10^ = 4,92 10' ( m ); 3) 3,7 10-^ ( к г ) = 3,7 10-2 = 3,7- 10* (ц); 4) 1,8 • 10’ (т) = 1,8 10^ = 1 , 8 - 1 0 ‘ Ч к г ). 334. 1) 100a =a 10^, пopядoкл= 2- - 1 8 = - 1 6 ; 2) 0,00001а = а • 10**, порядок л = -5 - -1 8 = -23; 3) а • 10ч порядок л = 7 - 18 = -11; 4) J ^ = a•10^ порядок л = 3 - 18 = = -15. 335. 1) 1000& = Ь 10^ л= 3 + 15 = 18; 2) 0,01& = 6 - 10 ^ л = -2 + 15 = 13; 3) & 10-ä, л = -3 + 15 = 12; Ь 10» = 10-ä = 10 * = 10’ = 10-^ = 10-3 ^ 10’ = 4) ЛО* = Ь 1 0 “*, л = -5 + 15 = 10. 336. 1) у = 2х - I. Я кщ о дг = О, то | /= -1; якщ ох = 2, т о 1 /= 3. Графік функ ції — пряма, що проходить через точки A (0 ; - l)iS (2 ; 3 ) (рис. 9). 2) у = - 5 х — пряма, що проходить че рез початок координат 0(0; 0) та точку С(1; -5), бо у = - 5 ■ 1 = -5, якщо ж = 1 (рис. 9). 3) у = - ^ х + 5 - пряма, що проходить через точки А(0; 5) і В(3; 3); дійсно, 2 якщо X = О, то 1 /= ~ — 0 + 5 = 5; якщо д; о о = 3,то 1 /= - —-3 + 5 = 3 (рис. 10). О 4) у = - 5 — горизонтальна пряма, всі точки якої мають однакові ординати І/= -5 (рис. 9). 5) І/ = 4 — горизонтальна пряма, всі точки якої мають однакові ординати І/= 4 (рис. 10). 6) у = 0,Зх + 2 — пряма, що проходить через точки С(0; 2) та £)(-10; -1). Дійс но, якщо 1 = 0, то у = 0,3 0 + 2 = 2; якщо а:= -10, то І/= 0,3 (-10) + 2 = -1 (рис. 10). 2х ' - 6х^ _ 2хЧх‘ - 3 ) _ 12х^-4х^ 4х^(х‘ - 3 ) іу т = = 1, якщо X = -,05; “ 2. 337. 1 ) ~2х ' 2) 8j/°-8;/- _ 8.і/-(і/-1)(у + 1 )_ 4і/-+4і/^ і уЧ у + 1 ) w w w . 4 b o o k . o r g
- 43. 338. Я кщо спочатку у Сергія було X грн, а у Олексія — у грн, то згідно з умовою для знаходження значень х і у маємо систему рівнянь: = 2i/(i/-l) = 2 10 (10-1) = 180,якщоу = 10. Х-І/ + 4 = 0; 2 л : - 6 = 0; у = х + 4; 2 х - х - 4 - 6 = 0; х + 2 = у - 2 ; 2 { х - 2 ) = у + 2; у = х + 4; 2х - (д: + 4 ) - 6 = 0; у = х + 4; fi/ = 10 + 4; fi/ = 14; x = lO; [д: = 1 0 ; [ х = 1 0 . 339. За умовою число повинне бути не парним, тобто остання його цифра — 5 або 7. В кожному випадку інші чотири цифри, не повторюючись, можуть сполучатися у довільному порядку. Таких сполучень кожного разу буде 24. Дійсно, для вибору першої цифри існує 4 можливості, дру гої — З, третьої 2, для останньої цифри залишається одна можливість. Отже, всього маємо 4 ■З ■2 ■1= 24 можливості. Таким чином, з даних цифр можна скласти 24 -І- 24 = 48 п’ятицифрових чисел, які задовольняють умові задачі. § 12. Функція У = —’ її графік і властивості 340. Обернену пропорційність задають . . . . 8 2 0,0002 ф у н к ц і ї у = - ; г/ = - - ; У = — j — • 341. Обернену пропорційність задають ^ ... 7 З 0,01 функції (/= - ; !/= - - : !/= — 342. 1) k > о, графік функції У - ~ розташований в І і III координатних чвертях; g 2) k < О, графік функції у = — роз ташований в II і IF координатних чвер тях. 343. Знаходимо значення функції У = ~ при даних значеннях аргументу. Якщо х -~2, у = Щ - -10; якщ ох = 5, і/= ^ = 4; 20 якщо х = -10, я к щ о * = 1. У - ^ і - 2 0 . 344. Для функції І /= — маємо: якщо о 12 . , 12 ^ х = -3, (/= — = -4;якщод: = 4, y = ~ = s- 12 якщо X = -о , і/= —^ 7= -2; якщ о д - -- і -о » - T - 1 2 - 345. Обчислюємо значення функції 100 У = за даними значеннями її аргументу та значення аргументу за даними значен нями функції. Якщо X = -50, У = = -2; — ои якщо X = -2 0 , у = і ^ = -5; якщо ,v = 5, у = 1 ^ = 20; якщо х = 10, у = і і ^ = 10 . О 10 „ . 100 . Перепишемо рівняння у = ----- у вигляді 100 , 100 х = ----- , тоді: якщо и= -4, х = -----= -2d; у -4 якщоу = 1000, л: = = 0,1; якщо;/= 5, ;с = І М = 20;якщо!/ = 0,1, х = ^ = 1000. U и, 1 Заповнюємо таблицю: у = 100 X -50 -25 -20 0,1 у -2 -4 -5 1000 X 5 10 20 1000 у 20 10 5 0,1 346. За формулою у = — обчислюємо значення у по даних значеннях х: якщо ЯП х = -8 0, і/= - ^ = -1; якщ од: = ~40, — OÜ i/= -^|j^ = -2; я к щ од := 1 , у = ^ = 80; 80 якщо л: = 160, = — — = 0,5. За формулою ІЬи X = — обчислюємо значення х по даних У 80 значеннях у: якщо у = -З, х = — = - 6; ~D 80 якщо і/= 20, ^ = = якщо і/= 16, w w w . 4 b o o k . o r g
- 44. 80 „ _ ^= 5; якщ оу = 0,1, л: = ^ = 800. * 16 0,1 80 Заповнюємо таблицю: у = — -80 -1 -40 -16 80 X 4 5 160 1000 у 20 16 0,5 0,1 347. Складемо таблицю значень функ- 8 ції у = — ДЛЯ даних значень аргументу, позначимо на координатній площині точки, координати яких подано в таблиці і про ведемо через них плавні лінії, які дають нам графік даної функції (рис. 11). Рис. 11 X -8 -4 -2 -1 1 2 4 8 У 1 2 4 8 -8 -4 -2 -1 348. С к лад аєм от а б л и ц юзн а ч е н ьф у н к ц ії 12 у = — , заданими таблиці позначаємо на координатній площині отримані точки і будуємо графік даної функції, сполуча ючи плавними лініями позначені точки (рис. 12). !/= ^ X -12 -6 -4 -3 -2 -1 У -1 -2 -3 -4 -6 -12 X 1 2 3 4 6 12 У 12 6 4 3 2 1 349. Графік ф ункції і/= і ^ про х о д и ть через то ч к и А і С. Д ій с н о , якщод: = 4, і/= і ^ = 32; якщо X = -2 , . = i f = -64. 350. Гр аф ік у ф у н к ц ії у = - 162 належ ать точки А і D. Дійсно, якщ о с 162 л: = - о , у = ---- — = 27; якщ о х = 81, -о 162 У = - 81 = -2. 351. Через точку А(4; -3 ) проходять 12 графіки функцій У - ~ ~ т а у = х ~ 1 . .12- X 12 , ' 4 ■ -З і Дійсно, якщо д : = 4, то X - 7 = 4 - 7 = -3 . 352. Один зошит коштує X грн, тоді за 15 грн можна купити У зошитів. Фор мула задає обернену пропорційність. 353. Складемо таблицю значень функції І/= — для деяких значень аргументу, поз- X начимо на координатній площині точки, координати яких подані у таблиці: X -10 -5 -2 У -1 -2 -5 X -1 1 2 5 10 У -10 10 5 2 1 w w w . 4 b o o k . o r g
- 45. Сполучаючи точки плавнимилініями, отримуємо графік (рис. 13). 1) у (-2 ) = -5;і/(2,5) = 4;і/(-1) = -10; 2) І/= 10 при J C= 1; І/= -4 при д: = -2 ,5 ; у = 2 при х = 5; 3) у < 0 , якщо X є (-оо; 0); у > О, якщо X є (0; +~). 354. Складемо таблицю значень функції 4 У - ~ ~ яля деяких значень аргументу, позначимо на координатній площині точ ки, координати яких подані в таблиці: X -8 -4 - 2 - 1 1 2 4 8 у 0,5 1 2 4 -4 - 2 - 1 -0,5 Сполучаючи точки плавними лініями, отримуємо графік (рис. 14). За допомогою графіка знаходимо: 1) j/(-0,5) = 8;(/(2) = -2 ;j/(-4) = l; 2) у = 4 при X = -1; у = -1 при ж = 4; у = 2 при X = -2; 3) у < О, якщо є(0; + « ); у > О, якщо х є (-~ ; О). 355. За ум овою то ч к а М ( ~ 4 ; 12) k належить графіку функції у = —, тоді k = x y = (-4 ) ■12 = -48. Отже, функція задається формулою У = ~ ~ - 356. Точка Р 1л 12; іі о належить графі- Отже, 14 ку функції у = —, тоді функція задається формулою у = л 357. На відрізку 1 < J C< 4 неперервна функція У = ~ монотонно спадає і дося гає найменщого та найбільшого значень Q на кінцях відрізка, = у(4) = 7 = 2; 8 Уим - !/ (!)- Отже, область значень функції Е(у) = [2; 8] на заданому відрізку д :є [1 :4 ]. 358. На одній координатній площині будуємо графіки гіперболи та прямої, знаходимо точки їх перетину. Абсциси цих точок будуть розв’язками відповідних рівнянь. g 1 ) У - ~ — гіпербола з вітками, роз ташованими в І і ПІ координатних чвертях; у = 2 — горизонтальна пряма (рис. 15). Графіки перетинаються в точці А(4; 2), тому х = 4 є розв’ язком Q рівняння —= 2 . 18 2) У ~ ~ ^ — гіпербола, вітки якої роз- w w w . 4 b o o k . o r g
- 46. т ташовані в Iі III координатних чвер тях! — пряма, яка проходить че- цез точку 0(0; 0) і перетинає гіперболу “ точках А(3; 6) і ß (-3 ; -6 ) (рис. 16). Числа = -З та д; = З є розв’язками рів- яяяяя — - -іх. 3 ) у = — — гіпербола, вітки якої розташовані в II і IV чвертях; у = З - - X — пряма, яка перетинає гіперболу в точках А (-1 ; 4) і В(4; -1 ) (рис. 17). Тому а: = -1 та X = 4 є коренями рівнян ня - —= 3 - х . 359. На одній координатній площині будуємо графіки гіперболи та прямої і знаходимо точки їх перетину. С 1) І/= — — гіпербола, вітки якої зна ходяться в І і III координатних чвертях. Складаємо таблицю значень функції для деяких значень аргументу. Позна чаючи на координатній площині точки координати яких подані в таблиці, та сполучаючи їх плавними лініями, отри муємо графік функції, у = З — горизон тальна пряма, яка перетинає гіперболу вточціЛ{2; 3)(рис. 18). Значення д: = 2 є розв’ язком рівняння X -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 у -1 -2 -3 -6 6 3 2 1 2) — гіпербола, вітки якої зна ходяться в Ті III координатних чвертях. Складаємо таблицю і будуємо графік. 4 -4 -2 -1 -1 -2 -4 !/ = X — пряма, яка перетинає гіперболу в точках А(-2; -2 ) і В(2; 2). Значення X = - 2 т а X = 2 є розв’язками рівняння j = x (рис. 19). w w w . 4 b o o k . o r g
- 47. X -5 -2,5-2 -1 1 2 2,5 5 у 1 2 2,5 5 -5 -2,5 -2 -1 3) — гіпербола, ВІТКИ якої роз міщені в II і IK чвертях. Складаємо таблицю і будуємо графік. і/= 4 - X — пряма, що перетинає гіпер болу в точках А (-1 ; 5) і В(5; -1 ) (рис. 20). Значення х = -1 т а х = 5є коренями рівняння = 4 -х . ш w = 1) За означенням м одуля X, якщ олоО ; ^ ’ тому графік функ- -JC, як щ ох<0 ; ■ ’ і- ЦІЇ складається з правої вітки 4 гіперболи у = — та лівої вітки гіпербо- 4 ли У = - ~ - Складаємо таблицю значень функції для деяких значень аргументу і будуємо графік (рис. 21). , = - 1 -4 -2 -1 2) Використовуючи означення моду- 8 8 ля, маємо: j/= — , якщо д: > О і і/= —, X X якщо д: < 0. Складаємо таблицю і будує- О мо графік функції | /= -р| (рис. 22). 8 W X -8 -4 -2 -1 1 2 4 8 У -1 -2 -4 -8 -8 -4 -2 -1 Рис. 21 361. Графік функції складається з двох частин віток гіперболи у = - ~ , які з’єднані між собою відрізком прямої у = -1,5ж, обмеженого точками Л (-2 ; 3) іВ (2 ;-3 )(р и с . 23). 6 у=-~- -6 -З -2 -З -2 -1 362. Графік функції складають дві час- 4 тини віток гіперболи у = —.з’єднаних між собою відрізком прямої у - х , обмеженого точками А (-2 ; -2 ) і В(2; 2) (рис. 24). w w w . 4 b o o k . o r g
- 48. w 4 У ^Х -4 -2 -1 363.1 ) !/=- 24 (х + З У - ( х - З У 24 24 2 “ x ‘ + 6 x + 9 - x ‘ + 6 x - 9 12x X ~ г іп е р б о л а , ВІТКИ якої розміщені в I і III координатних чвертях. Складаємо таб лицю і будуємо графік (рис. 25). 2 Рис. 25 б х -1 8 6 (х -3 ) 6 бола, якій не належить точка Л(3; -2), бо при X = З дріб втрачає зміст. Зх —X Складаємо таблицю і будуємо графік (рис. 26). у = - ^ , х і і З . X -6 -3 -2 -1 1 2 6 у 1 2 3 6 -6 -3 -1 2) (-19)-' = -19 19’ 3) f l T = 49 ,8 j 6 4 ’ 4) (-0 ,2)-'=(-1 )^-5 * = -125. 365. 1) = 9 y ‘ 7 3 а У l O a V U a J l l O o V j 2b) ' 9 a o o V j 9 a ^ l0 a “b^ 5a 2) 4b“ 9 2 -1 4mn 8m 5a 8a^ 5an^-8a - v v = f ^ l Ъап^ 10a' 366. ((-1-(1 +2-')-')-' = . 4 - 4 -Л 1 - ■ 4 -I [-(I) V .a j 3* 81 РОЗДІЛ II. К В А Д РАТН І КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИ С ЛА § 13. ф ун к ц ія у = х^та ї ї граф ік 474. Графіками функцій у = — та 8 ^ V - - — є гіперболи; функцій у = &х, у = 6 , у = 2х - З — п р ям і, ф ун к ц ії у = х^ — парабола. 475. Я к щ од г=-3,тоі/=(-3)“=9;якщ о л=О ,т оІ /=0; якщ оX=5 , т оІ /=5 ^=2 5 . 476. Якщод: = ~2,тоі/ = (-2 )“= 4;якщо x = l , T o y = V = l ; якщо х = 6, т о у = 6^= = 36. 477. Складемо таблицю значень функції у = х^ для деяких значень аргументу: X -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 У 9 6,25 4 2,25 1 0,25 0 w w w . 4 b o o k . o r g
- 49. X 0,5 0,25 1,5 2,25 2,5 6,25 Позначаючи накоординатній площині точки, координати яких подані в таб лиці, та сполучаючи ці точки плав ною лінією, отримуємо графік функції у = х^ — параболу (рис. 27). 1) При л: = -2 ,5 ;-1 ; 1; 1,5; З значення І/відповідно дорівнюють 6,25; 1; 2,25; 9 (див. табл. та рис. 27). 2) Якщо І/= 1, то л: = -1 або J C= 1; якщо j/= 9, то х = -3 або д; = 3; якщо і/= 3,5, то приблизно маємо .г = -1,9 або х = 1,9. 3) у > 2, якщо, наприклад, х = -3; -2; 2; 3. При x = -1; 0; 1 і/< 2. 478. Користуючись графіком функції у = х^ (рис. 27) та даними таблиці, знахо димо: 1) у (-3 ) = 9; у(-0,5 ) = 0,25; у(2,5) = = 6,25; 2) Якщо у = 4, то х = -2 або І = 2; якщо у = 5, то приблизно маємо х = -2,25 або х = 2,25. 3) у < 1, якщо -1 < д: < 1, напри клад, при X = -0,5; 0; 0,5; у > 1, якщо X є (-о о ; -1 ) U (1; +о=), наприклад, при л: = -3 ;- 2 ;2 ;3 . 479. Графіком функції у = х^, якщо -1 < д:<4, є частина параболи, обмежена точкамиЛ(-1; l)iß (4 ; 16). 480. Графіком функції у = х ^ , - 2 < х < < Зє частина параболи, обмежена точками М (-2 ; 4)іЛГ(3; 9). 481. Графік функції у = х‘ проходить через точки ß (-5 ; 25) і С(0; О), дійсно, якщо X = -5, то І/= (-5)^ = 25; якщо х = О, то ^ = 0. Точки А (-1 ; -1 ) і D{25; 5) не належ ать графіку ф ункції, оскільки (-1)2 = 1, 1 -1 і 25^ = 625, 625 * 5. 482. ТочкиА(-4; 16)і с належать графіку функції у = х ‘ ‘ , якщо л: = -4, то 1 .. n V .1 '4 ' =(І] у = (-4)^ = 16; якщо х = —,то у Точки В(16; -4 )і Д(0; 2) йому не належать, бо 16^ = 256, 2 5 6 ;t-4 i0 2 = 0, 0?і2. 483. 1) На відрізку-З < X < о непере рвна функція у = х^ монотонно спадає, тому досягає найменшого та найбільшого своїх значень на кінцях відрізка, а саме = у(0 )=0. г/..«,= !/(-3)=(-3)2=9. Тому область значень функції Е(у) = [0; 9]. 2) На відрізку-1 < X < 2 функція і/= не є монотонною, тому найменше зна чення = 0 має у вершині параболи. Найбільше значення функція досягає на одному з кінців відрізка. В даному і/„м. = '/(2) = 4. Тому£(і/) = [0; 4]. 484. 1) у(2,1 ) = y ( - 2J ) , бо { ~ x f = х^ для всіх значень х; 2) і/(-1,9) > і/(1,8), бо І-1,9І = 1,9 і 1,9 >1 ,8, тоді 1,92 >1,82; 3) ^(0) < у(-3,2), бо 0= = О, (-3,2)2 > 0; 4) і/(-1,1)<і/(1,2),бо|-1,1|<1,2. 485. 1) На координатній площ ині будуємо параболу у = х^та пряму у = 4х. Вони перетинаються в точках 0(0; 0) і А{4; 16) (рис. 28). Дійсно, якщо ж= О, то = О і 4x = 4 •О = 0; якщо jc = 4, то х2 = 42 = 16 і 4ж = 4 •4 = 16. 2) Парабола y = x ^ ^ Q перетинає гіперболу у = — вточціА(-2; 4) (рис. 29). ^ w w w . 4 b o o k . o r g
- 50. w Дійсно, якщо X= -2 , то = ( - 2 f = 4 і _ 8 = - % = 4. Тому X - - 2 — корінь рівняння Ю і . 1) Пряма 1 /= 4 перетинає параболу j,= л* вточкахЛ(-2; 4) іВ(2; 4), бо (-2)^' = 4 і 2* = 4 (рис. ЗО). Тому значення д := -2 та х = 2 — корені рівняння = 4. 2) Пряма І/= -2л: перетинає параболу 1 / = в точках 0(0; 0) і М (-2 ; 4) (рис. 31). Дійсно, якщо X = О, то = Оі - 2 х = -2 х х0 =0 ; якщо о: = -2, то = (-2)^ = 4 і -2л: = = -2 •(-2 ) = 4. Отже, х = 0 та д: = -2 — ко рені рівняння = 2х. Рис. ЗО 487. 1) = = = х + 1 ї + 1 якщ о X ^ -1 . Маємо параболу, з якої вилучена точка Л (-1 ; 1), бо прим * = -1 дріб не має змісту (рис. 32). І 1 2) !/= 4х^-х^ х^(4-х^) = X , якщ о 4 - 4 - х ^ 4 - х ^ ~ х^ ^ О, тобто X ^ -2 та д : 2, бо при цих значеннях X дріб втрачає зміст (рис. 33). Отже, графіком функції є парабола з вилу ченими точкамиЛ(-2; 4) і В(2; 4). 488. 1) у=— =x^якщoл:^O.Гpaфiк функції — парабола з вилученою точкою 0(0; 0)(рис. 34). 2) у = ^ ^ = = якщо 1 -j: 1 - х 1 - О, тобто X -1 та X 1. Графік функції — парабола з вилученими точ- камиЛ(-1; 1 )ІВ (1 ; 1)(рис. 35). Ук ^ X:'J О 'jr -1 01 Рис. 34 Рис. 35 489. 1) 25"+ (-6)2 = 625-)-36 = 661; 5 5) 4 -8 4 + i 4 1 2 " 5-5 ■ М ‘ 25’ 3) 0,0Ґ:(-0,1)' = 1 lOO 4-4 = 4. 100" 4) (-4)^.(-0,5)^ = 4’' ( | j - 2 2 490. Рівності a" = (-a)^ та a‘ = |apвикону ються при будь-яких значеннях а; рівності д 2 _ _ ц 2 .pg ( _ д )2 _ _ д 2 виконуються ЛИШЄ при а = о, бо а" > о, ( - a f > О, - а ‘ < 0. 491. 1) Вираз х^ - 19 досягає най меншого значення, рівного -19, коли найменшим є = О при х = О ', вираз 18 -І-(х - 3)2досягає найменшого значення, рівного 18, коли найменшим є (х - 3)* = О, тобто при = 3. 2) Найбільше значення виразу 17 - дорівнює 17, коли найменшим є х^ = О при X = 0; значення виразу - 9 - {х + I f стає найбільшим, рівним -9, коли най меншим є (х + 1У = О, тобто при X = -7. § 14. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь 492. Квадратний корінь з чисел 9; 16; О існує, з числа -4 неможливо добути квадратний корінь, бо не існує числа, квадрат якого є від’ємним. w w w . 4 b o o k . o r g
- 51. 493. 1) -Д д о р і в н ю є 2 а б о - 2 , б о 2^ = 4 ; ( - 2 У = 4 ; п р и ц ь о м у ч и с л о 2 є а р и ф м е т и ч н и м к в а д р а т н и м к о р е н е м . 2 ) n/25 дорівнює 5 або — 5, бо 5^ = 25; (-5 )^-25 . 494. 1) ^/() = о, б о 02 = 0; 2) ^Я = 1 T a -l,6 o l^ = l i ( - l f = l ; 3 ) ч/36 = 6 або = - 6 , бо 6" = 36 і (- 6)2 = 36. 495. Н е м а є з м і с т у в и р а з - J - A , б о не Існує числа, квадрат якого є від’ємним. 496. В и р а з V - 3 6 н е м ає з м і с т у , б о не іс н у є ч и с л а , к в а д р а т я к о г о д о р ів н ю є - 3 6 . 497. 1) Ч и с л о 2 — а р и ф м е т и ч н и й к в а д р а т н и й к о р і н ь з ч и с л а 4, б о 2^ = 4 і 2 >0; 2 ) ( - 2 ) 2 = 4 , а л е - 2 < О, т о м у ч и с л о - 2 н е є а р и ф м е т и ч н и й к в а д р а т н и й к о р і н ь з ч и с л а 4; 3 ) ч и с л о 0 ,1 — а р и ф м е т и ч н и й к в а д р а т н и й к о р і н ь з ч и с л а 0 , 0 1 , б о 0,1^ = = 0,01 І0,1 >0 ; 4 ) ч и с л о 0 ,2 не м о ж е в з а г а л і б у т и к в а д р а т н и м к о р е н е м з ч и с л а 0 , 4 , бо 0,22 = 0 , 0 4 , 0 , 0 4 5^0,4. 498. 1) ^/Ї69 = 13, б о 132 = 1 6 9 і 499. Знаходимо арифметичні квадратні корені з даних чисел: n /16=4; ч /І9 = 7; ^0,25 =0,5; V 6 4 0 0 = 80; ^/0,09 = 0,3; = 16 1 6 4 4 ’ V 16 1 6 4 4 ’ 500. Знаходимо арифметичні квадратні корені з даних чисел: 7 ^ 5 = 5; ч / 3 6 = 6 ; Д і б = 0,4 ; 7 4 9 0 0 = 70; V o , 04 = 0 , 2 ; V Ь 4 о іі1 = М = 2.5 2 5 5 5 ’ 501 Рівності 7900 = 30; V0,64 =0,8 правильні; рівність = -2 неправильна тому, що -2 < О, а рівність л/оТз = О , З неправильна тому, що 0,3^ = 0,09. 502. ч/і296 = 36; 79409 = 97; 72916=54; 73025 =55. 503. 1) 764 + 7 ^ = 8+ 5 = 13; 2) 79-70,36 =3 0,6 = 1,8; 3) 7Г00-7Ї44 = 1 0 -1 2 = -2 ; 4) 78Т;7о,01 = 9:0,1 = 9 10 = 90; 5) -б70,64+ 3,9 = -5 0,8+ 3,9 = = -4 + 3,9 = -0,1; 6) 75^-25 = 725-25 = 7Ö = 0; 7) 7б"‘ + 8' =736 + 64 = v ^ = 10; 8) 72 ■(0 ,2 4 0 ,46) = 72 ■(0 ,04 + 0 ,46 ) = = 7 2 0,5 = 7 Г = 1 . 504. 1 ) 7 4 9 + 79 = 7 + 3 = 10; 2) 74 ■7100 = 2 10 = 20; 3) 2 7 Г 2 Ї - 7 8 Ї = 2 1 1 - 9 = 2 2 - 9 = 13; 4 ) 7 б 4 : 7 0 ,2 5 = 8 :0 ,5 = 8 2 = 16; 5) - 570,3 6 + 2,8 = - 5 0 ,6 + 2,8 = = - 3 + 2,8 = -0 ,2 ; 6) 7і 0 2 -8" =7100 - 64 = 7 ^ = 6; 7) 73^42 =79 + 16 = 7 ^ = 5; 8) 7о. З" - 0,09 = 7 0 ,09 - 0,09 = 7Ö = 0. 5051 1) Я к щ о а = 4, то 7 і2 + а = 7 і 2 + 4 = 7 Ї6 = 4; якщ о а = - 8, то 7 і 2 + а = 7 і 2 - 8 = 7 Ї = 2; якщо а = - 12,т о 7 і2 + а = 7 і 2 - 1 2 = 7 0 = 0 . 2) Якщо m = 0,09; л = 0,07, то [тТп = 70,09 + 0,07 =7о,16 =0,4. 3) Якщох=49,то х + 47х =49 + 4 749 = = 49 + 4-7 = 49 + 28 = 77; якщох=121,то ж+ 4 7 Ї = 121 + 4 7 Ї ^ = 121 + 4 -1 1 = 121 + 44 = 165. 4) Якщо Ь = 1,96, то з7й - Ь = 37і,96 - -1,96=3 1,4 - 1,96 = 4 ,2 - 1,96 = 2,24; якщоЬ = 0,04,то 3'Jb-b = 370,04 -0,04 = = З 0,2 - 0,04 = 0,6 - 0,04 = 0,56. 506. 1) Я к щ о і) = - 9 , то 7 і 6 - Ь = 7 і6 + 9 = 7 2 5 = 5; якщо fc= 15, то 7 і 6 - Ь = V16-15 = 7 Ї = 1. 2) Якщо m = 1,69, то 2 7 т - т = 271,69-1,69= 2 1 ,3 - 1,69 = 2,6-1,69 = 0,91; w w w . 4 b o o k . o r g
- 52. г якшо ™ "0>49, то 2 [т- т = 2^0,49- _0,49= 2 0,7-0,49 = 1,4-0,49 = 0,91. 507, 1) 7 Ї = 2, якщ о л; = 2^ = 4; 2) -/х=0, якщо д : = 0^ = 0; 3J 7* = ~2 — не має розв’язку, бо -2 < 0; 4) -У*-3 = 0, якщо ^/x = 3, x = 3^ = 9; 5) 2/Г = 8, якщо n /I = 4, л: = 4^ = 16; 6) і>/Г = 2, якщо fx=6, j: = 6^ = 36. З 508. 1) ч/ї = і, ЯКЩО д: = = 1; 2) >/ї = -З — немає розв’язку, бо -З < 0; 3) >/ї-5 = 0, якщо V I = 5, X = 5 '= 25; 4 ) 3^/x = 21, якщо n /I = 7, X = 72= 49. 509. 1) Vl2 14-13" =ч/і68-169 = = >/^ — не має змісту, бо-1 < 0; 2 ) V2009'-2008' = = 7(2009 - 2008) (2009 + 2008) = V4017 — має зміст; 3 ) 7 і О О О '- 1 0 0 1 ' = = 7 (1000- 1001) (1000 + 1001)= n/-2001 — не має змісту, бо -2001 < 0. 510. 1) -р= має зміст, якщо X > 0; ЫХ 2) -Jx^ має зміст при будь-яких зна ченнях х; 8) - J 7 має зміст, якщо х® > О, тобто жгО; 4) -Д = має зміст, якщо -х > О, тобто V - X * < 0 . 511. 1) 7 ^ має зміст, якщо у > 0 ; 2) має зміст, якщо > О, тобто 1 7 V> 0; 8) V 7 має зміст при будь-яких зна ченнях у, бо у®> 0; ■ 4) 7 ^ має зміст, якщо - у > О, тобто . ilSO. •,'512. 1) ЗТЇ-Ь7 = 0; зТ Ї = -7 , рівняння не має розв’язку, бо -7 < 0; •.2) 2 ^ - 4 = 0, якщо ^ 1 = 4:2; Y = 2, тобто -^ = 2'; X= 8 4, X= 32; ü “ О О 3) 16 7 х + з = 4, якщо 7х + З = 16 : 4 ; 7х Т з = 4; х-ь3 = 4 ^ ;х = 1 6 -3 ;х = 13; 4) 772Х -5 -1 4 = О , якщо 772х -5 = 14, 72х -5 = 2, тобто 2х - 5 = 2^ 2х = 4 + 5, 2х = 9, х = 9 : 2, х = 4,5. 573. 1) | 7 ^ - 3 =0; |ТЗх=3; 7 ^ = 6, тоді Зх = 6^ Зх = 36, X= 12; 2) 2 ^ + 6 = 0; 2 ^ = -6; ^ = -3 - немає розв’язків, бо -З < 0; 3) ^ = 28; 7 ^ = 1- 2х = : 4) 2 7 2 х + 7 - 6 = 0; 2 7 2 ^ + 7 = 6 ; 7 2 х + 7 = З, тоді 2 х -і- 7 = З', 2 х = 9 - 7, х = 1. 5Ї4. 1 ) 7 -а ' має зміст лише при а = 0 ; 2) 7 -(а + 3)^ має зміст, якщо а + З = О, а = -3; 3) 7а‘“ + 1 має зміст, якщо а — будь- яке число, бо а’° завжди невід’ємне і а’° -t- 1 — додатне; 4) ^ має зміст, якщо а > 0 т аа -3 ? ^ fl —О О, а 3. 5Ї5. 1) 7і2л:-1|=3; |2х - 1 |= 3'; |2х- - 1 |= 9. Тоді за означенням модуля маємо 2 х - 1 = 9, 2 х = 1 + 9, 2 х = 10, X = 5 або 2 х - 1= -9, 2 х = 1- 9, 2 х = - 8 , X = -4. Отже, X = -4 та X = 5 — корені рівняння. 2 ) 75-н7х =3; 5-ь 7 Ї = 3'; 71 = 9-5; 7х = 4; х = 4 ';х = 16; 3) Vl + V2 + ^ = 2; 1-1-72+ 71 = 2'; 72 + 7 Ї =3; 2+ 71 = 3^ 7? = 9-2; 7 Ї = 7; х = 7 ' ; х = 49. 5 7 6 . 1) 7 | 2 х + ЗІ = 5; | 2 х + 3 | = 5 '; |2х + 3 | = 2 5 . Згідно означенню модуля маємо: 2 х + З = 2 5 або 2 х + З= - 2 5 , тобто 2 х = 2 2 або 2 х = - 2 8 . Отже, х = -14 та X = 11 — корені даного рівняння. 2) 79 + 7 Ї= 4 ; 9 + 7х = 4'; 7х = 16-9; ч/х = 7; х = 7^; х = 4 9 . w w w . 4 b o o k . o r g
- 53. 517. 3) 1,2 518. » 0.3 .і 2 , 0 , 2 5 - 5 § . 1 . - l A . l l , 4 ) 2 , 5 . 2 А . 2 і , 1) 1 = 0,5; 2> З _ З 25_ 75 4 4 25 100 = 0,75; 3) 2 - о 5Ї9. »> г « І= 520. - г ^ . 2 . 2 ; 4 , s i . s Ä . 3 . 2 5 . 1) 1 = 0,666... = 0(6); = 0,272727... = 0,(27); 0,777... = 0,(7); 0,8333... = 0,8(3). 4а а + 2 {а -2 У а^-4 4а "а + 2 4а а + 2 5а + 2 ■ а + 2 ,2 3(а + 2) + 2 (а -2 ) (а-2 )П а + 2) (а-2 )^ (За + 6+ 2 а - 4 )_ 4а (а -2 )‘'(а + 2) а + 2 4 а -5 а -2 - а - 2 а + 2 а + 2 = -1. § 15. Раціональні числа. Ірраціональні числа. Дійсні числа. Числові множини 521. 1) 5 — натуральне число; 2) -2,1 не є цілим числом, це раціо нальне число; 3) V3 — Ірраціональне число; 4) - у — дійсне (раціональне) число. 522. 1)52 та 19 — натуральні числа; 2) О; 19; 52 — цілі числа; 3) -2 ^ ; -2,(1); -3,7 — раціональні У від’ємні числа; 4) -Д; п; -sfE — Ірраціональні числа. 523. 1) 8 — натуральне число; 2) -5; О— цілі числа; 2 3) д; 3,(7); 5,137 — раціональні до датні числа; 4) -л/7; ^/Ї7; у/ЇЗ — Ірраціональні числа. 524. 1) 31 = у ; .31 4) 2) -8 = ^ ; _ 5 1 - _ 5 - L - z 51 ^ 1 0 “ 10 • 2) 10 = ^ ; 4) 2.8 = 2 А = 2| = И , 5 тому 525. 1) -21 = 526. ^ = 0,60606... = 0,(06); ОО І = 0,06; А = о,061. 527. ^ = 0,363636... = 0,(36); тому ^ = 0,36; ^ = 0,0364. 528. 1) Ні, 7єЛГ; 2) так, 10 є Z, навіть 10 є iV; 3) ні, Ь е N, тобто 5 є Q; 4) так, 32 є R, навіть 32 є N; 5) так, -3,9 є Q; 6) так,-9,2 є Q; 7) н і,-3,17 є R, навіть-3,17 є Q; 8) ні, у/з — Ірраціональне число; 9) так, бо 7б4 = 8; 10) ні, — 727 — дійсне число; 11)так, ^ = |, тому ^ e Q ; 12)так,бо Л = ^ = |. 529. 1) 1,366 < 1,636; 3 ) - ^ < 0 ; 2)-2,63<2,36; 4) 7і< 3,2, бо я = 3,41; 5) -л < -3 ,1 ; 6) 1,7 < 1,(7), бо 1,(7)= 1,777...; 7) -1,41 >-ч/2; бо ->/2 = -1,4142; 8) ч/3<1,8, бо ч/з=1,7; 2-^<2,(39), бо - ^ = 0,385. 13 13 9) хо хо 530. 1) -2 ,1 7>-2,71; 2) 0 < і ; ІО 3) 2,(3) >2,3, бо 2,(3) = 2,333...; 4) у/2>1,4, бо -ч/2 = -1,4142; 5) -^/з = -1,7, бо -ч/З = -1,73; 6 ) j^>0,(08), бо і = 0,0909... = 0,(09). w w w . 4 b o o k . o r g
- 54. 531. 1) %/7+2.12= 3,46 + 2,12 = 5,58; 2) ЗД8-ч/5 = ЗД 8-2,24 = 0,94. 532. | > о ,(і)> о ,іі> ^ > о ,о і. 533. 0,02<^<0,22<0,{2)<j. 534. Твердження 1), 2)та4) — правильні; твердження 3) — хибне, натуральними є лише цілі додатні числа. 535. Наприклад, 1,555; 1,5555; 1,55555. 536. Наприклад, 2,3333 і 2,33333. 537. Припустимо, що у/2 — раціональне число, тобто %І2=—, д е р і д — взаємно прості числа (НСД(р, ?) = 1), тоді ^ = 2, р* = 2q‘. — парне число, тобтор — парне число. Отже, числа р і g не являються взаємно простими. Хибність припущення доводить, що >/2 — ірраціональне чис ло. 538. Припустимо, що /з = —, де р і ^ 2 q — взаємно прості числа; тоді = 3, р* = 3q^. Числор* кратне 3; це можливо, коли р = Зп; тоді р^ = 9п^ і 9л* = 3?S = Zn‘, тобто число q кратне 3. Таким чином, припущення, що р i q — взаємно прості числа, виявилося хибним. Це й доводить, що >/з — ірраціональне число. 539. 1) Якщ о S = 39, то >/5 = х/39= 736 + 3 = х/бЧЗ=6 + ^ = б і Z О 4 тобто -Js =6,25. Якщ о S = 83, то >/s = v/83 = V81 + 2 = >/942 = 9+ - ^ = 1 = 9—= 9,(1). За допомогою кальку лятора знаходимо; V ^ = 6,249979, 783 = 9,1104335. 540. 1) 16 = 0 ; U - 4 ) ( x - f 4 ) = 0, тоді л :-4 = 0, * = 4 або х + 4 = 0, х = -4; числа -4 і 4 — корені даного рівняння. 2) 4л:2-9 = 0 ;(2 л :-3 )(2 і+ 3 ) = 0;якщо 2д:-3 = 0, х = | або 2х-^ 3 = 0, л: = - | . З з Числа і — — корені рівняння. 3) 5^ - . ^ = 0; 1 4 ^ а - = О, якщо 1 ■ 7 -д: = 0; х = або -7+ j: = 0, x = ~ —j 4 4 4 4 числа і — — корені рівняння. 4 4 4) А - . - . « . ( І - , ) І - = о, якщо | - х = 0; д ^= | або |-і-ж = 0; = о 5 5 о З . З числа - g i g — корені рівняння. 541. За t год автомобілі подолали від стань Liji км та u^t км, що разом складає відстань між містами S; и/ + v^t = S, с звідки отримуємо t = — - — . Якщо S = 375, и, = 78, = 72, то 375 t = ________ 375 _ 5 _ „ _ , 78 + 72 150 “ 2 “ 542. 1) x*-6x + 9-l-j,‘'=0;(j:-3)‘'-l-i/*= = 0. Сума квадратів двох чисел дорівнює нулю, якщо кожне зчисел дорівнює нулю. Отже, х -3 = 0; х = 3; у = 0; 1у = 0. 2 ) х + 2 + + 2 у + = 0 ; х + 2 + + (у + 1У = 0. Сума двох невід’ємних чи сел дорівнює нулю, якщо кожне з чисел дорівнює нулю. Отже, х-і-2 = 0; і/+ 1= 0; X= -2; § 16. Тотожність (V äf = о, а > 0. Рівняння х^ = а 543. 1) (7 3 )'=3 ; 2) {ylÖf = 0; ( І— 3) (Т2Д)^ = 2,1; 4) U y =7 - 544. 1) {Sf= 5; 2) {J4l2f =4,2. 545. 1) Якщо д :* = 9, то X= v/9; J C= З або X = - у І 9 ; х = -3. 2) Якщо х ‘ = 37, то л = -Уз7 або д с= -/37; рівняння має ірраціональні корені. 3) Якщо х^ = 0 , т о х = у / 0 = 0 . 4) Рівняння х^ = -5 не має коренів, бо -5 <0. 546. 1) Якщо X * = 25, то X = w w w . 4 b o o k . o r g
- 55. л х = Ьабо X =--л/25; х = -5. 2) Рівняння = -1 0 не має коренів, бо -10 <0. 547. 1 ) 2) 7 и ч /Г Ї = (%/ГЇ)' = 11; a З 3) (7 3 f = -| 3 = |; 4) (-2V5)" = (-2)^ (ч/б)" = 4-5 = 20; 5) - о 72 ч/ 2 = -5 (v'2)' = -5-2 = -10; 6) = 0 ,3 1 0 = 3; 1 У 1- 1. 7 ’ 7) 8) 2 ’(V7)^ ■ ( J 7 f 548. 1 ) (-Vnf =ii; 2) n /T9 n / i 9 = ( x / i 9)' = 19; 3) (2n /7)= = 2' (n/ ? )'= 4-7 = 28; 5) -7 -7 з -Тз = - 7 (Т з)" = -7-3 = -21; 6) 0,2-(-N/5f = 0,2-5 = 1; 1 ч/І5 8) УГоУ (V lo f ^10 " з з" ' 9 ■ 549. 1) (%/Ї5)"-3 ,8 = 15-3,8 = 11,2; 2) 3) 7: 4 V5 ' 8 = 5-1 = 4; - 5 - ^ i S f „ (T s f 7 8 „ 4) 1 - ( - Л в ) - . і 16.2. 550. 1) 2,7 + (-7ЇЗ)'^ =2,7-1-13 = 15,7; 2) 8- fs' 8 (V5)^ 5 _ _ ■ д а - ® 8 - ^ ’ 3) 12: = 1 2 - Ь ^ = 12-| = 16; (73)^ З 4) I ^ ( V i i f = ~ 1 9 = l. 55'/. 1) Якщо = 25, то д : = %^5, X = 5 або X = - у [ ^ , X = -5. Значення х = -5 та л: = - 5 — корені рівняння. За уваження. Рівняння можна розв’язати інакше, а саме, запишемо дане рівнян ня у вигляді - 25 = О, х ‘ ~ 5^ = 0. Роз клавши ліву частину цього рівняння на .множники, маємо (х - 5)(х -ь 5) = О, тобто х - Ь = 0 , х = 5 або х + 5 = 0, х = -5. Отримуємо ті ж самі корені -5; 5. 2) Якщо = 0,36, то X = л/оі^б, д : = 0,6 або х = -л/0Гзб, д : = -0,6. 3) Якщо = 121, то X = л/і21, X = 11 або X = -Vl21, х = - П . 4) Якщо х^ = -9, то рівняння не має ко ренів, бо -9 <0. 5) Якщо X- = 11, то х~^Дл або X = -Т ІЇ; рівняння має ірраціональні корені -уі її; л /ЇТ; 9 З / їб ’ ^ = 4 6 ) ЯКЩО т о 16 /9 3 а б о х = - ^ - = - - . 552. 1) Якщо х" = 49, то X = n/49, X = 7 або X = -V49, х = -7; 2) Якщо х^= 0,16, то X = -7о,16, х = 0,4 або X = -^0,16, х = -0,4. 3) Якщо х^ = 169, то X = /і69, X = 13 або X = -%/і69, х = -13. 5) Якщо X* = 5, то X = n / s або х = -/5; корені рівняння — ірраціональні числа -VS; 6) Якщо X =-g, то -^= у д . = 3 ” 4 — І- 553. 1) х" - 0,05 = 0,04; х^ = 0,09, тоді X = 70709, X = 0,3 або х = -^0,09, х = -0,3; 2) 2 4 -Ь х* = 25; х^ = 25 - 24; х^= 1, ТОДІ Х = л/Г, х = 1 а б о х = -/Г, х = --1; 3) рівняння х^ -Ь 12 = О не має коренів, бо ліва частина додатна при будь-яких значеннях х; 4) = х" = З - 7; х^ = 21, тоді X = л/2Ї або X = -42Л рівняння має ір раціональні корені -Т 2 Ї; V S . w w w . 4 b o o k . o r g
- 56. 554. l )x ‘ + 0,01 = 0,26; j:- = 0,26 - 0,01; ^2 = 0,25, тоді X = -Jo,25, л: = 0,5 або ^__^0,25, x = -0,5 2) - 14 = 2; j:* = 14 + 2; = 16, тоді X = Jl6, a: = 4 або jc= -/Гб, x = -4; 3) 17 - 0; = 17, тоді x = 'Jl або з; = —УТТ; рівняння має ірраціональні корені —v /Tt ; Л7; 4) - і х ^ = 5; j.v^+5 = 0 — рівняння н е має коренів, бо ^х^ + Ь>0 при будь- яких значеннях X . 555. Графіку функції у = х'^ належать точки М{[Е;5) і Р(-%/3;3), бо {4b f =Ь і (_7з)- = 3; точки Л^(7; V7) і Т(ТЇЇ); n/TÖ) графіку функції у = не належать, бо 7^= 49, 49?^V7 і (VlÖ f = 10, 10?tVlÖ. 556. Якщо площа квадрата дорівнює S, то його сторона а = fs. Отже, якщо: 1) S = 36cм^ а = ч/36, а = 6(см); 2) S = 49дм^ а = /49, а = 7 (дм); 3) S = 0 , 0 9 м ^ a = V o , 0 9 , а = 0 , 3 ( м ) ; V25 „ 2 5 , 2 5 4 ) S = ^ д м ^ а = ^ - ; 0 = 1 (д м ). 557. 1) ( - ( V 5 f f = (“ 5 f = 25; 2) (2л/5)"^-(5-У2)"=2" (V 5 )"-5 - (7гУ = = 4 - 5 - 2 5 2 = -30; ■3) 3 6 j^ -|v'l7j - і (2715)=^ = = 36 1 _ '1 "з ( V l 7 f -|-2-* (7 Ї5 )- = = 36 ^ 1 7 - і 4 15= 4 ■17 - 4 З = 4 X У Ö Х (1 7 -3 ) = 4 14 = 56; 4) V 5 ^ 9 + f|v/34 j =7^7=*+ =7,7 + і 34 = 7,7 + ^^ = 16,2; 4 г 5) (- 3,^)^ - 3(75)“ = (-3)^ (/5)" - З■5 = = 9 5 - З 5 = 5 (9 - 3) = 5 6 = ЗО; 1 2 '" 6) 5 V32 З ї ї 4V9 558. 1) ((-77)^)^ =7^ =49; 2) (з7 7 )^-(773 )"=3‘‘ -(7 7)"-7"(73 )“ = = 9 7 - 49 з = 3 - 3 7 - 7 - 7 3 = = З - 7 (З - 7) = 21 ■(-4 ) = -84; X (78)=^ _ 16-25 9-8 _ 1 1 _ Q (7 9 f 25 32 16 9 2 2 3) 16 + 1 4' (7 з)‘ = 16 і-7-ь^-16-3 = 16х = 16 ~ = 4 II =44; 5> ( » - I ' 81’ . 5 „ / Т 9 V81 4 5 2 , 5 2 — ; І/— = — або и - —= — ; 8 1 ’ 9 9 ^ 9 9 ’ !/=д: D і / - д = - ,V = ^ ; ,У = | а б о у 1 у = з; 6) р і в н я н н я (х + 5)^ = -9 н е м ає р о з в ’ я з к і в , б о -9 < 0. 560. 1) ( г + 1 ) " = 1 6 ; х + 1 = 7їб або X + 1 = -% Я б ; X 1 = 4 ,л г = 3 а б о д; + 1 = -| Т 7 ] Д .(4 7 з )^ =16 i (T 7 f + 4 ) 7 7 0 ,5 6 - 1 2 ч / Ї2 ) = 7 8,4" - ± ( 7 4 2 ) " = и = 8 , 4 - і - 4 2 4 = 8 , 4 - f = ; 8 , 4 - 1 0 , 5 = -2,1; 5) ( 5 7 2 ) " - 5 ( - 7 2 ) " = 5' = 5 5 - 2 - 5 2 = = 5 - 2 ( 5 1) = 10 4 = 40; 6) '2 Гэ''' 3 1 0 2 + 5 /36 ' 6 6 5 2" (79)" , ( - 5 ^ (736)^ 4 9 , £І 5 36 -ґ---- 6 " ( M f ‘ 9 - 1 0 36 5 13 _ 2 5 2 13 + 5 5 _ 26 + 25 _ 51 ^ 5 ■^13 5 13 65 65 ‘ 559,, 1) (х - 2)2 = 36; х - 2 = л/^ або х - 2 = -736 ; X - 2 = 6 а б о х - 2 = -6; д: = 8 а б о х = - 4 ; 2 ) ( у + 3 ) ^ - 4; ;7 - І-3 = або у -f 3 = -7 Ї; і = 2 а б о у + 3 = -2; !/= 1 або у ■ = ' 5 ; 3) ( х - 1 2 ) ^ = 0 , Т О Д І X - 1 - 0 , X - 1 ; 4) ( х^ 3 f = 7; х + 3 = 7т або X + 3 = - -У?; X = --3 + 7? або. X = -3 - ■ V/; w w w . 4 b o o k . o r g
- 57. = - 4, x = -5; 2) (у - 2Г = 25; у ф - 2 = ^ або у - 2 = -л/^; у - 2 = Ь, у = 7 або у - 2 = =- ь , у =-г-, 3) (т + 2 f = О, якщо m + 2 = О, тобто m = -2; 4) ( x ~ 2 f = d -, x - 2 = S a.to x - 2 = S - , х = 2 + у/3 або л: = 2-л/3; го Q. 0 J U О г о S X X >ч Q. .д с о з LQ Ш 1_ і::; < _ 1 З _ ГТ” , 100’ ^ 10 Vioo з _ ГТ~. _ А = А ^ 10 Vioo’ ^ 10 101 0 , 3 1 3+1 ^ -Ї Ї Ї = " Ї 0 = ^^=-їїї-= г /= — або 5 з_гі. „ л . 10 ’ ^ 5 ’ У = - 6) рівняння (от - 3)^ = -4 не має розв’язків, бо -4 < 0. 561. Рівняння = а має: 1) один корінь х = О, якщо а = 0; 2) два цілих корені, якщо а е Z^, на приклад, X є {-1; 1} при а = 1; 3) не має коренів, якщо а < О, напри клад, приа = -1; 4) два раціональних корені, якщо а е Q, наприклад, х є {-0,5; 0,5} при а = 0,25; 5) має д в а і р р а ц і о н а л ь н і к о р е н і , н а п р и к л а д , X є {-УІ2; ч/2} П р и а - 2 . х + 1 562. 1) х - 1 = 6 4, якщо л: - 1 О, тобто ; (X + 1)(х - 1) = х^ -1 = 24; ХФІ; х^ = 25; Х5^1; х = 4 ^ х = Ь -, X = -ч/25 ■ = -5; x * v , -5; 5 — корені рівняння. 2) (2ж - 3)2-ь (2д: + 3)^ = 20; 4x2 - 12х-І- Ч-9 -І-4^2-І-12* + 9 = 20; 8д;2 = 20 - 9 - 9; 8д:2 = 2; х ‘ =^ ; x = J ^ р- 4 V4 або х = - ^ ^ , тобто ^ = ^ або ^ = Cßo х - 2 12 563. 1) - ^ = — = 5 12, якщо X -І- 2 3 ^0; ; ( X - 2)(х + 2) = тобто еч д:"-4 = 60; .г -2; х^-64; хФ -2 ; X = /б4; X = -/бї; ХФ-2; X = -8; -8; 8 — корені рівняння. хФ -2 ; 2) (Зг + 1)2-Ь(Зд:-1)2 = 4;9ж2-н6л:+1 + 4 - 9x2 - 6 і -t-1 = 4; 18^2 = 4 - 1 - 1 ; 18x2=2; х 2 = і; x = J I або x = - J I ; х = | а б о х = - | . 564. 1) V 7 W 5 +^ = 3;7-hV2+^ =3 2 ; V2-HX2 = 9 -7 ; 2-Нх2 = 22;х2 = 4 -2 ; *2 = 2, тобто х - І 2 або х = —У2; = 5-3;|х2-5| = X =- J E ; x = -V6; 2) 2|х2-5| + 3= 5;2|х2-5 = 1; х ^ -5 = 1; х " -5 = -1; х2 = 6; х2= 4; х = 2; х = -2. х2 -4 = 5; х2 =4 + 5; х 2 -4 = -5; х2 =4 -5 ; Рівняння має два цілих корені -2; 2 та два ірраціональні корені -%/б; ч/б. 565. 1 )VviVx^TT=2 ; 1-I-V x2 ^ =2 2 ; 7 x 4 4 = 3 ; х2+ 4 = 32;х2= 9 -4 ; х2 = 5, тобто X = ч /б або х = —7б; 2) 2 | х2- 4 | + 1 = 11; 2|х2 - 4 | = 11 - 1; 2| х2-4|=10; |х2-4| = 5; х 2=9; х2 = -1. Рівняння х2 = -1 не має розв’язків, бо -1 < 0. Отже, дане в умові рівняння рівносильне рівнянню х2 = 9, коренями якого є числа -З та 3. Дійсно, (-3)2 = 9 і 32= 9. 566. 1) V& існує, якщо Ь>0, (/&)2 > о, тоді рівність (yfbf = -Ь має місце при -Ь > О, тобто одночасно мають виконува тись нерівності &> Оі Ь < О, що можливо лище при Ь= 0; 2) з тотожності (Vä)2 = а, а > О випли ває, що (/г>-4)2 = Ь- 4, якщо Ь- 4 > О, Ь >4; 3) Ö (v^ft)2 = 6-6 = fc 2 якщо 6 > 0. 567. 1) Рівняння/пх2= 1маєдвакорені — t і якщо от >0; ■Jm уіт 2) одного кореня рівняння тх2 = 1 ма ти не може ні при яких значеннях т; w w w . 4 b o o k . o r g
- 58. 3) рівняння mx^= 1 не має коренів, якЩ® ш <0. « « • х ( х - 2 ) - ( 4 х - 9 ) х - 2 х - 2 2 х { х - 2 ) - 2 х х ‘ - 2 х - 4 х + 9 х - 2 х - 2 ' 2 х ^ - 4 х - 2 х ( х ^ - 6 х + Щ х - 2 ) { x - 3 f х - 3 ~ ( х - 2 ) ( 2 х ‘ - 6 х ) 2 х ( х - 3 ) 2х S69, Якщо 2ж - 4у = 1, то ж- 2і/= 0,5, тому: 4 4 = 4 2 = 8: х -2 у 0,5 8 у - 4 х 4(х-2і/) 4 0,5 2. 5 5 5 5 ’ :»:‘‘ -4у^ _ и -2 у )(х + 2у) 2,Ьх + Ьу 2,5(х + 2у) х - 2 у _ 0 , 5 _ 5 _ 1 2,5 2,5 25 5 ’ § 17. Арифметичний квадратний корінь з добутку, дробу і степеня. Добуток і частка квадратних коренів. Тотожність /о^= | а | 570. 1) Правильно, всі перетворення ріввосильні; « V4 2 2 ) неправильно, бо у — = - j ~ = - . 1) Неправильно, бо ' л/36-4=ч/36 л/4=6 2= 12; '2) правильно. 572. 1 ) ■ j 2 ^ = - M S = b Z = b-, ■ 2) Vl6 ■ 900 = л/ї6 ч/900 = 4 30 = 120; 3 ) 70254^4 =ч/0^>/М4 =0,5 1,2= 0,6; 4) V0,04 169 =>/004 >/їб9 = 0,2 13= 2,6; 5) ^2,25 0,09 100 = 7 ^ ^/Ö ІÖ 9 ^/ЇÖÖ= = 1,50,310 = 4,5; 6) 0,01 6,25 = ^ / ї^ V0,01 X X -^ 2 5 = 1,4 0,1-2,5 = 0,35. 573. 1) 736-49 = >/36 ч /49 = 6 7 = 42; 2 ) VlOO 4=>Я00 7 Ї = 10 2 = 20; 3) ^0,49 1,69 = 7049 ^/^69 = 0,7 1,3 = = 0,91; 4) V0,09 196 = v/ÖiÖ9>/l96 = 0,3 14= 5,2; 5) ч/і,44 0,16-400 =>/1,44 V0.16 х X >/4ÖÖ= l,2 0,4-20 = 9,6; 6) ^2,89 10ООО-0,25 = л/2.89 ОООх xVo,25 = l,7-100-0,5 = 8i 574. 1) [49 л/І9 7. У81 >/8Ї 9’ /121 л/121 _ 11. /400 ■ л /iÖÖ 20’ 3) ^ /36 6 . /625 ■ ' V625 25’ М = [9 s/9 3 4 VJ 2’ /Й 'V16 n / 25 5 V l6 “ 4’ 6) ^ h l 7400 " 79 = 20 3 575. 1) /25 64 7 ^ 5. 7б4 8 ’ |289 ^289 17 /900 v/900 ЗО’ 3) ^1 ® 79 3 . /784 ■ Т т ії 28’ L 11 [36 7 ^ _ 6 . /'25 = V25 ^ 5’ N L 19 /юо _ Тіоо _ 10 1^81 = 81 9 ’ / “ г 7і 69 “ 74 ' 13 2 • 576. 1) Vo,2" = | 0 ,2 |= 0 ,2 ; Г О О. _у и о S S X т ё : сс с S LÜ ш L _ < 2) V (-0 .9 f =|-0,9( = 0,9; 3) 2Тз^= 2-13|= 2-3 = 6; 4) -Зч/^ = -3-|9| = -3-9 = -27; 5) 0,5 V (-IO )“=0,5 |-10|= 0,5-10=5; 6, - 1 J P . _ 1 H . - 1 5 - і : 7) -3 -(V (-7 f =-3-|-7|=-3-7 = -21; 8) I '7 ' ^ 2 7 2 7 .8> 7 8 7-8 577. 1) V v^ =| i.7 |= i.7; 2) =|-0,3| = 0,3; ва РО w w w . 4 b o o k . o r g
- 59. 3 ) Зч / ? = 3|4| = 3-4 = 12; 4) - 2 n/ ^ = -2|7| = -2 -7 = -1 4 ; 5) | 7 ( ^ = | И = | -9 = 3; 6) -0,1n / ^ = -0,1|20| = -0,1 20 = -2; 7) - 5 V (- 3 )' = - 5 |-3| = - 5 3 = -1 5 ; 1 Ї 8 2 '4 9 9 ' 578. 1) ^ / ^ = ^/2 ч/7; 2) -Ігь = 4 ^ = -Jb ypi 3) V l7 & = V l7 b = v ^ 7 -Tb; 4 ) ^ = ^ 2 - 3 p = y / 2 - S -4 p - 579. 1) > / Г Ї Ї =7 з n /ГЇ; 2) >Я5=л/Г5 = ч/Зч/5; 3) лЯІа = = VT9 V^; 4) ■JWb = sl2-5 b = s/2 sfE yfb. 580. 1) J = ^ ; 2) ^ 3) Д = ^ Vm 582. 1) n/2-Vm= n/F32 = 4/64=8; ч/б ^/45 = 4 /5-45 = 4 / ^ = 15; ^J0,02■SÖ = ■Л = l■ , 4 / 0^ 7275 = 4 / 0,9 2,5 = = 1.5; 2) 3) 4) 5) 4/З6 1, 6 ’ 583. 1) 4/5 7 ^ = 75-20 = Viö() = 1 0 ; 2) 4 / 2 -n/5Ö = V2 50 = 4/100 = 10; 3 ) 4/ 2 0 -4/0,05 = 4/20-0,05 = VT = 1; 4 ) 4/ 0 ^ - 4 / 0 7 9 = Vo, 4 0,9 = V o ,36 = 0 ,6 ; 2) 3) 4) 5) 6) .. f • Я і 25 5 ’ 4/0.27 І0,27 [ Ж - І V57^ V0.75 V25 5' 4/50 585. 1 ) 2) 3) 4) 5) 6) Ж ї _ / М _ / 5 - 3 . VÖ73 о,з = 4/64 = 8; 586. 1) V ^ = V (9 ")" =|9'^| = 81; 2) ■J¥ = yJ(2^f =|2'| = 8; 3) 4/5* = V ( ^ = 15“ І= 625; 4 ) V (- 2 )'° = J ( ( - 2 f f = |(-2)=| = 2=' = 32; 5) ч/(-ЗҐ = V « - 3 ) ') ' =|(-3)=^| = 9; 6) V (-l)'' = '/ ((-!)')• = |(-1)“і= 1- w w w . 4 b o o k . o r g
- 60. 587. 1) v/Ü V=v/(10-)" =|l0-j = 100; 2) Тз^ = ^(з¥ = | з’ |= 27; 3) V ? = V ( ^ = |2 ‘ | = 16; 4) '^ / ( ^ = ^/«-'57?' = |(-5)^| = 25; 5) = i(-if| = -i; 6) = = j(-2 fj = 64. 588. 1) >/i^ = |m !; 2 ) 4T/^ = 4|pj; 3) -0,1n /Ö ^ = -0,lja|; 4) ^ = |^. 589. 1) V^ =H; 2) -2Vb^ = --2 | 6 i; 3 , 1 V 7 - - 1 H . M , 4, 3) n /2 0 "-1 6 ' = V (2 0 -1 6 )(2 0 + 1 6 ) = = V4-36 = V4 n/36 = 2 6 = 12; 4 ) V o.8 5 '-0 ,8 4 " = = V(0,85-0,84) (0,85 + 0,84) = V0,01 1,69 = = V0,01 V l.69 = 0 ,1 1,3 = 0,13. 59Ї. 1) , 2 1 „ 7 3 ^25^^8T = 121 1936 25 81 ■ 121 1936 _ 11 44 _ 11-44 _ 484 , „ 3 4 . V 25 V 81 5 9 5-9 45 4 5 ’ 3 ) / 3 7 " - 1 2 " = v ^ 3 7 - 1 2 ) (3 7 + 12) = = y f 2 b - 4 9 = 7 2 5 >/49 = 5 7 = 35; 4 ) V o , 2 5 " - 0 , 2 4 " = = ,/ (0 , 2 5 - 0 ,2 4 ) (0,25 + 0,2 4) = V0,01 0,49 = = V Ö ^ V Ö l ^ = 0,1 0,7 = 0,07. 11Cynep ГД З , 8кл., KH 2 592. 1) V90 490' = V ^IO 4910 = = V 9 4 9 И Ю = 7 9 7 4 9 ч Я о О = 3 7 10 = 210; 2 ) 7 т^ ^ = 7 з 6 2 1 ^ = 7 3 6 16 4 = = 7Ї^ 7Гб 7Ї = 6 4 ■2 = 48; 3 ) 7 4 , 9 32,4 ^ Т;49 0 ,1 - 3 2 4 0,1 = = 7 4 9 3 2 4 0 ,0 1 = 7 4 9 7 Ш - 7 0 ^ = = 7 18 0,1 = 12,6; 4) 7 ^ 5 -7 ^ = 7 9 1 ^ 7 3 6 ^ = = 79 36 1 =79 7зб = 3 6 = 1 8 ; 5) 7Гз-7з 7з9 = 7 і з - з 39 = = 739-39 = 7 3 ^ = 1 3 9 1= 39; 6) 7 ^ -7 ЇІ 7 ^ = 722-14-77 = = 7 1 1 - 2 - 7 2 - 1 1 - 7 = 7 і і '-2"-7" = = 7(11-2-7)" = |11-2 7j = 1 1 - 2 - 7 = 154. 593. 1) 740 640 = 74 10-64-10 = = 7 4 6 4 1 0 0 = 7 І 7 б 4 - 7 ї о 0 = 2 8 10 = 160; 2) 745 125 =79 5 5 25 = 79-25-25 = = 7 9 - 7 ^ 7 ^ = 3 -5 5 = 75; 3) 7 і 4 > 4 8,1 = 7 і , 4 4 10-8,1 = 71 .4 4- 81 = = 7 М 4 7 8 Ї = 1,2 - 9 = 10,8; 4 ) 7Гб 7 ^ = 7і.6 9 10 = 7і 6-9 = = 7 Г б - 7 э = 4 3 = 12; 5) 7і 7-7з4 72 = 717 34-2 = = 7і7-17-2-2 = 7і7"-2" = ;17і-|2|=17-2 = 34; 6) 763-7Ї8-7Ї4 =77-9-2-9-2-7 = = 77"-9"-2" = | 7- 9 - 2 1= 7 - 9 - 2 = 126. 594. 1) 7з’ -б"-(-2)' = = = 9 - | 6 | - |-8| = = 9 6 8 = 432; 2) V ^ - V T ^ = V(2^ V i^ -V (H )¥ = = | 2 -’| | 5 І- ^-4)"| = 32 5 - 16= 160 - 16= 144; 3) 7І5^ = 7(5')’ = 7 ( ^ = 5'“=125; 4) 7 ^ = 7 ^ = 7 (3 ^ = 3“ =243. w w w . 4 b o o k . o r g
- 61. пз Q- _u и 0 г о S 1 т >ч Q. 5 ’с о 3 ю ш 1_ 1=: < 595. 1 )7з’ (-б )' - V (- 2 f =V (3 ')' X X V (-6)' -% /((-2f)' =|3^| ■|-6| - К-2Я = = 9 6 - 8 = 5 4 -8 = 46; 2) sfa^ = =yj(6^f =|6'| = 216. 596. 1) ^12 544 = s/4-4 784 = = = V ? •V28^ = 4•28 = 112; 2) 7l86 624 = Vl6 16-729 = ' = V l6'-27' =/їб^ ■^/2^ = 16■27 = 432. 597. 1 ) 7 а зб 7 = Д зб л/7=о,б|х|=о,бх; якщод:>0; 2) = л / т л / ? ^ = іі|г/|= -іі!/: якщо І/< 0; 3) -3 ^ | 7 = -3-J|x/7=-3|b|=-|p| = p; якщор < 0; 4) 5%/?’ = 5 V (*')' =5|д:'|= 5л:% бо > О при будь-яких значеннях д е ; 5) V25a® = у І ^ - ^ ( а У =5|а'| = 5а якщо а > 0; = ^.(_<;*) = _5|__якщос <0. 598. 1) ^0,49р^= 7 0 4 9 -^ = = 0,7-|р| = 0,7р, якщ ор>0; 5 _ [25 Г Т 5 І І 64"* - У б і '/™ = 8 'Н = - 8 '" ’ CM СЧІ со і якщо т < 0 ; 3) 7 V ^ = ? V ( ^ = 7|6'|= 7b б о М = 6<; 4) yj0,01a'* =7оЖ ■^/(ä7 =0Д|а'| = -0,1о'. бо < О, якщо а < 0. 599. 1) ^І25т^п'^ = n / 2 5 -n / ^ х X7(л‘ =5|т|л® =-5/пл®, я к щ от<0 ; якщо т > 0 , п < 0 ; 3) | v V 6 4 ? 7 = | W 6 4 . V Ü ¥ X = І ■ 8 jc' | і/ |= . якщо у > 0; X . , 3 ^ 6 = -■- 'f , якщо р < 0 ; V Т ;;;? |т| = -2 т “р'°, якщо m < 0; .v.3,.8-,12 ^ З .,8 ^ 1 2 “ д : 1 / 2 ■і/■ х у г — = -х *2, якщо X > О, г < 0. ^ у ^ 600. 1) V ilö v =V64VÖ^V^ = = 8■| a | & ■ * = 8aft‘ , якщо a > 0; 2) j^ftcV25feV‘’ = ^ b c ^ J ( i ^ X х 7 ^ ^ = З^Ьс 5 И . И = X с* = - i b '‘c“, якщо b < 0 , о 0; C v n / ö^ n /(77 x v x v V— = - ^ = - — якщо г < 0; 0„2 jb^ ^ 2 о 2 ^ 0 1 .1 4) 3“ V ^ = 3 a . ^ = 3 a . ^ = 3b, якщо b > 0. 601. 3a умовою X < 0, у < Q, тому: 1 ) -Jxy = s l(-x ) (-y ) = у Р х ■ 602. i ) V ( i r ^ = |x-j/|= x - I/, ЯКЩО X 2) ^{m- = [m- n |= n- m, якщо m < n; 3) Vx‘'-10x + 25 = V(x-5)' =|x-5| = x-5, якщ ох>5; 4) -Узб-12а + а* =sl{&-af =|б-а| = 6-а, якщо а < 6; w w w . 4 b o o k . o r g
- 62. S) +W -^= U +2) ' V д: +4JC + 4 ( ^ + 2)^ ( £ + В ^ = .^ (^ Ц ^ = 5, я к щ о д :> -2 ; ' |;t+ 2 | ^ + 2 6 ) < “ - W a ^ - 2 k b ^ - = ‘ “ - '’^ ; ^ F _ ( о ^ ^ _ Ж і ^ = _2, якщ оа<Ь. = a -ö 603. 1) V(m-2)' =|m-2|=ra-2, якщо m > 2; 2) yjp’ ‘ + 8p + 16=^ip + 4f =|p + 4 |= -p -4 , якщор < -4 ; a - 5 Юо+ 25 ^ (a -5 f |a-5| = 1 , якщо а > 5; = = якщод:< 1. |at-l| x -1 604. 1) = = |>/3-5|+>/3-1 = -ч/3 + 5+ %/3-1 = 4; 2J y]{3-yllf + V (2 -V 7 f =|з-,/7| + +І2- л/7І = 3- >/7-(2 - n /7) = 1 ; 3) yJisfH-öy -7(n/21-4)' =|л/2Ї-5 - -г / 2 Ї-4 = 5 -л / ^ -ч / 2 Ї + 4 = 9-2ч/И; 4) Vt + 4 >/з =^4 + 4ч/з+3= ^(2+ s /з)' =2 + % / з . 605. 1) ( y J b - S f = 5 - n /8-13 = 5 - n /8+ n /8-13 = -8; 2) V 3 -2 n / 2 =V l-2x/2+ 2 = 7(1- n /2)" = = |і-л/2| = ч/2-1. 606. 1 ) 2 x V - Sxy^ = 2 x y 4 x - 4 y ‘ ); 2) 49a^ - 36 = (7a)2 - 6^ = (7a - 6)(7a + 6); 3) 36ra^/i + 27m^n» = 9m2n(4m + 3n^); 5 4 2 .ym -Л 607 1) m^-4 _,(m -2)(m + 2) m -2 . 6 + 3 m 3 ( m + 2) 3 ’ + 1 0 g + 25 ( g + 5)^ _ g + 5 . 4 a + 2 0 ~ 4 ( a + 5 ) 4 - 2 5 ( x - 5 ) ( x + 5) _ x + 5 , X ~ 5 ’ д : -10x + 25 ( x - 5 f x" - 8 x + 16 _ (л:-4)^ x ^ - 8 ~ x ^ - S ' Зауваження д:^-8д: + 16. ( x - 4 f x ^ - S ( x - 4 ) { x ^ + 4x + 16) x - 4 x^ + 4x + W ' 608. 2a a - 6 g^-12a + 36 У a -8 J' 3 6 -a ' 12а .. а 2д -д )(6 + а) , а -6 [ а - 6 (а-6)®^ а -8 12а (а^ -6 а -2 а )(6 -■а)(а + 6) , 12а а -6 (а -б )^ (а --8) а -6 а(а - 8)(а-6)(а + 6) ^ 12а а(а + 6) (а - 6 f (g - 8 ) ' - а -6 а -6 ^ 12а - 0^-6 g + 12a а(а -®) = -а а -6 а -6 а --6 Т О Т О Ж Н І С Т Ь доведено. 609. y = 3x + = 3x + х= дх - X = 2x, якщо д ґ < 0. Графіком є промінь у = 2х, обмежений точкою 0(0; 0) (рис. 36). Рис. 36 § 18. Тотожні перетворення виразів, що містять квадратні корені 610. 1) 5V2 + 4n/2 = 9n/2; 2 ) 7,Уз-2ч/3 = 5л/3: 3) З^ІЇ + = 4^■, 4 ) 2n/ 5 - n/5 = n/5. 611. 1) 7ч/п' +2 % / и = 9 7 Г Г ; w w w . 4 b o o k . o r g
- 63. 2) 5n /2-3n /2 =2n /2; 3) ч /3+ 6 % /3 = 7ч/3; 4) Z-Jl-sFi = 2уіЇ. 612. 1) ,/2n/5 = > / ^ = n/iÖ; 2) ^ = 3 ) S S = s/3^ = J ^ ; « ! = # ■ 6f3. 1) 73ч /7=л /3^ =Т^; 2) ^ = Я : 3) = V l3 “ V l3 ’ . . s/vr ІЇ7 6f4. 1) =^/Г2 =ч /і ч / 2=2n / 2 ; 2) >/бЗ = л/9^ = >/9ч/7=Зч/7; 3) >/25Ö= V25 10 = v ^ n / i Ö = 5n /TÖ: 4) ч/363 = ч/і21-3 = чЯ п 4/3= 114/ 3; 5) х / з ^ = >/з= VT9 = 3Vr9; 6) V 2 M = V 5 Y V7=2^ V7=4V7; 7) >/5'-7* =V 5'-7 '-7 = 4/5^V7^4/7 = = 5-7ч/7=35л/7; 8) V5'-2‘ = V5'-5-2‘ -2 = n/5^ V (2')' x X4 /5^ = 5■ 2 'чЯо = 20ч/ЇЇЇ. 6t5. 1) 4/20 = > / 4^ = 24/ 5; 2) V5Ö = n/2 5 -2 =5 V 2 ; 3) 7 ^ = 4/9^ = Зч /3; 4) 4/192 = ч/б4-3=8ч/3; 5) ч/5“ і7 = 54/17, - 6) 4 / 3* ■2 = V(3')' ■2 = 3*4/2= 94/ 2; 7) 4 /7' -2^ = 7 7 '-2 " -2 = 7 -24/2 = 144/^; 8) 4 / з‘ -5* = 4 /(3“)" •3-5'-5=3“-54/?5 = 454Й5. 6ЇЄ. 1) І 7 ^ = | 7 Г Т = І.2 Т ^ = 4/7; 2) - I 4/5 ÖÖ = -|4/іОО 5 = - | 10^^ = - 6 4 ^ ; 3) 1,24/ ^ = 1,24/25-3 = 1,2-54/3 = 64/3; 4) -1,25ч /48 = -1.257і 6 ^ = -1,25-47з = -54/з , 6)7. 1) 0.54/44 = 0,64/4-11 = = 0,5-24/ГЇ = 4/ГЇ; 2) - 1 v'125 = - | 4 / 25^ = - | -54/5= - 24/ 5; 3) 0,74^ÖÖ = 0,7Vi00 3=0,7 104/3 = 74/ 3; 4) -l,5>/n2=-l,54^6T = -1,5-4^7 = - 64/ 7. 6Ї8. 1) 372 =4^ 4/2 =4/ 9^ =4/ 18; 2) 775 = 4 /7^-4/5= 4 / 49-5 = 4 / ^ 5; 3) -2у/з = -yf¥ ■ S = -у/4^ = -у/Ї2; 4) - 54/10 = - 4 / 5" VlÖ = - 4 / 25I Ö = - 4 / ^ ; 5) loVm = 4/ 10^-4 /m = V l 00m; 6) 7) - 0,14/ 10^ = - 4 / 04^ -лЯ0а = = - 4 / 0,01 10a = - 4 / 0,10; 619. 1) 4 4 / 3 = 4/4 “ -4 / 3 = 4 /1 6 - 3 = 4/4 8 ; 2 ) 2 V T T = V 2 ^ -4 / 1 1 = 4 / 4 1 1 = 4/4 4 ; 3 ) - 3 4 / 5 = - 4 / ^ - 4 / 5 = - 4/ ^ = - 4/4 5 ; 4) - 74/2 = - 4 / 7" - 4/2 = - 4 / 49-2 = - 4 / ^ ; 5 ) 5 V p = n / 5 ^ -4/^ = 4/ ^ ; 6) |7r8^ = j(|J -4 /l8 ^ = J i-1 8 x = V ^ ; 7) -0,2^/lÖt = -y /(ä W y /IÖ t = = - 4 /0,0 4 - 1 Of = - 4 /0^ : 8) 6 ^ = 4 / б ^ - ^ = ^ 3 6 - | і / = 4 / б ^ . 620. 1) ^ / ^ +^ /49x-^/Ш x=5^/x + + 7fx-6yfx =6sfx; 2) 4 /18- 4/ ^ + 4/ ^ = 4/ ^ - 4 /16-2 + + 4 /25-2 = 34/2 - 44/2 + 54/2 = 44/2; 3 ) 4/8^ + ^ 4/ 2000- 4/56^ = 4/4-20 + + 1 4 ^ 0 0 ^ - 7 2 5 ^ = 24/ ^ + 1 -104/ ^ - - 54/20 = 24^ + 54/20 - 54/ ^ = 4 ) 7 з m - 4/ ^ + 4/12m = 4/ З т - y f p + + 'І4 ~ З Іп = y jS m - y f p + 24/ З т = 3 13т - . 621 I) 4/1000 + 4/64^-4/1210 = w w w . 4 b o o k . o r g
- 64. г = 10-Уа +8-Уа -1 In /Ö= 7л/а; 2) V48-V27 + x/75 = V l F 3 - V F i + + ^25- 3 = 4-Уз — З-Уз + 5-/з = 6->/3; 3) , / 5 0 Ь + х / 2 5 0 6 =V25 -26 - -i.V 2 5 -3 6 + V25 106 = 5%/26-і 5х/36 + 5 5 + 5-Л0Ь=5у / ^ - уіЗЬ + 5у /Ї0Ь] 4) -Jla + yfb+ -У6За = + % /б+ V9 7a = = -v/Ta + fb + ЗуІТа = 4ч/Та + л/б. • 622. 1) >/2(ч/8-ч/72) = ч/Г8- - VFT2 = Vl6 - VT44 = 4 -12 =-8 ; 2) (2ч/3->/бЗ + ч/45) ^/з = 2(^/3)"- • -V63-3 + V45-3 =2 3->/9-21 + V915 = = 2-3-V9-21 + V915 = 6 -3 n / E + 3n ^5; ' 3) (2 + ч/3)(1-лУз) = 2-2ч/з + л/3- - (>/3)^ = 2- ^ - З = -л/з -1; 4) (3-V 5) (1+ ч/5) = 3+ Зл/5-х/5-(,/5)' = = 3+ 2у [ Е - Ь = 2у /Е-2. 623. 1) ^ f 5ф+SÖ)= ^[ь■ф+^^Г5)= = г/5■ (л/5+ 2ч/5)= ч / 5■ Зл/б= З (75 )^ = З■ 5= 15. Д р у ги й м етод: -JE ■(-JE + y f ^ ) = (y/Ef + + V5-20 = 5+ x/IÖÖ = 5+ 10 = 15; 2) (5>/2-ч/Ї8 + лУ50) х/2=5 (>/2f- -V18-2 + n/50-2= 5 - 2 - уізЕ + у / Ш = = 10-6 + 10 = 14; 3) (1 - у [2 ){ г + уІ2) = 3 + у/2-ЗуІ2~фУ = ■ 3-2n/2-2 = 1-2n/2; 4) (2+ Т7)(1-х/7) = 2-2х/7 + ,/7-(ч/7)' = = 2 - - J l - 1 = - у ! Ї -Ъ. 624. 1) (^ЯЇ+^/7 ) (%/П-ч/7) = = (%/її)"-(ч/7)" = 11-7 = 4; 2) ( 2 - n /3)(2 + n /3) = 2 '- ( n /3)‘’ = 4 -3 = 1 ; 3) (27з -%/5) (2х /3+ % /5) = (2л / 3 )'- -(V s )“ = 2' (n /З)' - 5= 4- 3 - 5 = 1 2 -5 = 7; 4) (y[2 + y F i f - Q = (- j2 f + 2-j2-Jl + + (n /7)" - 9 = 2+ 2n / u + 7 -9 = 2ТЇ4; 5) (■ j2 -- j3 f + 2 y I & = ( - j 2 f - 2 4 2 - S + + (л/З)'“+ 2n / 6 = 2- 2ч/б + З+ 2n /6 = 5; 6) (л / 3 -7 ^ )“= (7 3 -7 9 ^ )^ = (ч ^ - З ч /3)^ = = (-2 n /3)^ = ( - 2 f ■(73)" = 4•З= 12. 625. 1 ) ( ^ + S ) ( y / ^ - S ) = = (^УГ9)"-(л/3)^ = 1 9 - 3 = 16; 2) (3 -V 2 )(3 + v/2) = 3 '-(r/ 2 f = 7; 3) (47з - ч /Ї9)(4ч / з +,Я9)=(4х / 3^-('/Г9)'= = 4 '(v '3 f-1 9 = 16 3 - 19 = 4 8 -1 9 = 29; 4) (V 3 - x /5)^-8 = (V 3 )'-2 n /3>/5 + + (V s )'-8 = 3- 2Vl5 + 5-8 = -2>/Ї5; 5) ( S + yf2f-2yflÖ = (s!bf + 2 S y [ 2 + + (x/2f - 2л/ЇЇЇ = 5+ 2V1Ö + 2- 2>/ЇЇЇ = 7; 6) (s[5Ö-sl2f =(уІ25-2 - sf2f= (Ьуі2 - - >/2f = (4^2)' = 4^ ■ (72)^ = 16■2 = 32. 626. 1) х ' - 3 = х '- ( х / 3 ) ' = ( л : - 7 з ) X х ( х + у/3); я к щ о д : > 0 . 2) 17-а"'={7Г7)"-а'=(ч/Г7-а)(7Г7 + а); якщо а > 0. 3) 4а' - 5= (2а)=' - (л/б)' = (2а - >/5)(2а + ,/5); я к щ о а > 0. 4) 1-2 і:' = 1-(-У2д : )'= (1 - х ^ х)(1 + 72х); я к щ о J C> 0. 5) а - 9 = (7 ^ )"-3 " = (л/ї-3)(л/^ + 3), а>0 ; 6) b - c = {-Jbf-{yfcf =(-Jb-sfc){^ + Jc), я к щ о 6 > о , с > 0. 627. 1 ) = = я к щ о X > 0. 2) 9m '-7 = (3mf-(>/7)'=(3m-77K3m + ,/7); я к щ о X > 0. 3) 16-36^ = 4^-(7з6 )*=(4 -ч /36К4+ % / 3 6 ); я к щ о X > 0. 4) b - 2 = ( S f - Ф ) ^ =('ІЬ~уі2 ) Ф + уі2), д е 6 > О, я к щ о X > 0. сов х ^-5 0/0. І) --------^ = -------- ^ - X + V5 X + V5 _ (х -7 5 )(х + 7 5 )_^_.у^. x + 'Jb 7-ч/^_ 7-ч/^ _ 4 9 -а 1 - 4 а _ і _ . (7-%/а)(7 + Та) 7+ % / а 2) ; якщо а > 0 . w w w . 4 b o o k . o r g
- 65. 3) n / 2-2 _ (n / 2 -2 )■^/2 _.(v /2)^-2n /2 _ % / 2 ф ) ^ 2 2V3 + 3 (2>/3+3) У з 2(ч/3)ЧзУз 5^3 5(ч/3)" 5 3 _ 6+ з7з _ 3 (2 + n /3)_ 2+ n /3 5 3 5 3 5 ■ 629. 1) 0^-3 a‘ - {y [ 3 f a —>Уз a —Vs = < ^ : = ^ % ^ ^ = а + х/5;якщо;г>0. a-yjZ 5+ V b ^ 5+ >/б ^ 5+ >/б 25-ft ( b - S ) { b + S ) =; якщо ft> 0. b - S ’ S + b _ ( S + b ) S _ { S f + b S V s (x / s f 5 3) 3 2 4) 7 V 2 -2 _ (7V2-2) ^/2 _7(V2f-2>/2 3x^ 3(ч/2)' ^ 2 (7 - V 2 )_ 7 - n /2 3-2 3 ■ 630. 1 ) 2 =_2 J : _ _ 2 ^ . r/3 (73)‘' 3 2) 3) 4) 10 ^ 10>/5 10n /5 Vs (Vs)^' 5 m _ mVn_ mVn Vn (V ^)“ n 6 _ 6V3 = 2VS; якщо n > 0. _________ бУз _ 2V3 SVS 5 (V 3 )' 5 3 5 «>• i = ; ^ = ¥ - V 3 , aVfe 3) a ^ aVb_ ft>0. Vb (Vft)' ь 8 _ 8 V2 _ 8 V2 4V2 3V2 3 (V 2 f 3-2 3 632, 1) Vl3m^ =Vl3 Vw^ =V is| m |=m Vl3, якщо m > 0; 2) V ^ = V ^ = V ^ V f e = | f c | V 6 = f c V 6, 60 6 > 0 ; 3 ) V ^ = V 7 - V ( a ' f = V 7 | a '| = - 7 a ’ , якщо a < 0; 4 ) V l6 ^ :' = V T 6 V x" i- = 4 V (x “ f V J = = 4|x^| V x = 4 x ^ y f x , 60 X > 0 . 633. 1) Viix" =Vn V?=|x|Vn = = xVTT, якщо X > 0; 2) Vc* = V (c ^ Vc = c^Vc; якщо с >0. 3 ) ^ / 2 / = V i V 7 = V2|p^| = V V 2 , якщо p < 0; 4 ) v ^ 6 m® = V 3 6 0 n Y ^ = 6zn ‘ V i^ , якщо m > 0 . 634. 1) aV2 = Vä"4/^ = V2Ö', ЯКЩ О a > 0; 2) 6'V5 = - 7 ( ^ V 5 = -V 5 ^ , якщо b < 0 ; 3 ) f t j | = V ^ J | = J ^ = V 3 & , 6 o & > 0 ; Vo Vo V o 4 ) x ^ V ^ = - / ( - x “ f V ^ = - V ^ , 60 x < 0 . 635. 1) feV 3= V^ V3 = Vi^, ЯКЩ О fc>0; 2) c'V7 = -V (-c ’ )' ■Vr = - V ^ . якщо 3, 60 X > 0 ; 4 ) ! / V ^ = - V ( - ! / ) ' V ^ = - - / V . 60 i/<0. 636. 1 ) ( V 2 - 3 V 5 ) 4 V 3 6 0 = (V2 )^- - 6 ^ S + ( S V S )" + V 3 6 •1 0 = = 2 - 6 V Ü Ö + 9 - 5 + 6V Ic t = 2 + 4 5 = 4 7 ; 2 ) ( 3 V 2 + 7 V 3 ) ' - V l 5 0 = ( 3 V 2 ) ' + + 2 - 3 V 2 7 V 3 + ( 7 V 3 f - ч / 2 5 - б = = 9 2 + 4 2 V 6 + 4 9 - 3 - s V 6 = 1 6 5 + 3 7 V 6 : 3 ) ( 2V 3 - 3V 2 ) " - ( 2V 3 - 3V 2 ) (2 V 3 + 3 V 2 ) = = ( 2 V 3 - 3 V 2 ) X ( 2 V 3 - 3 V 2 - 2 V 3 - 3 V 2 ) = = - 6 V 2 ( 2V 3 - 3V 2 ) = - 1 2 V 2 + 1 8 (V 2 )' = w w w . 4 b o o k . o r g
- 66. -12ч/2 Vs +18(ч/2)' = 36 - 12>Уб. 637. 1 ) 'Jü —'Jzä = у[л —Vs ■ Va - Vfl(l “ >/3); 2) T ^ +V^P = + л/р = ’/p('/^ + 2); 3) ^ ^ + ^У7=^/7■Vз + ^/7=77(^/з + l); 4) 7б-%/Т0 = ^2^3-72-ч/5 = ч/2(Л-ч/5); 5) 2fm - 4&m = 4 i 4 Ї - 4m - 4 2 - 4 Ї = = У І 2 т ф - 4 г m ): 6) ,/5Г-ч /Ї0Ї = 7 5 Ї-ч / 2 ч/5Ї = /5Т(1-ч/2). якщо j: > 0. 638. l)^/p + V ^ = ^/p+ ^ / 2 Vp = n/p(1+ V2); якщор>0. 2) х/42->/б = ч/б >/7 -7 б =ч /б(% /7 -1 ); 3) 3-Tfl+ "УбА= Vs ■ V3■ Vfl + V2 ■ Vs ■ = = V3a(V3 + V ^ ). ЯКЩО а > 0. Ä90 i^ x + ö V x V x(V x+6 ) Vx ^ 3 3 6 - = (V I - 6 ) ( V I + 6 ) V ^ - 6 ’ якщо д : > 0 та X 36. a + eVaVft + 9fe (fä + 3fbf 2) а - 9 Ь ^ ; ЯКЩ О a>0 ; Ь>Отаа^ 9b. V a - s V ft V I Ö - 5 ^ ^ S S - i S f 2 - V l Ö ( V 2 ) '- V ä V s . S ^ - S ) V5 /5 V 2 (V 2 - V ö ) V 2 V 2 ‘ 640 " a - 2 5 _ 3) 1) a -ö V a (V a)^-5V ä _ ( V ä - 5 ) ( V a + 5 ) V a + 5 “ V^ a(Va -5 ) ; якщо а > 0. x-4VxVy+4y^(Vxf-2Vx27bi+(2V^f (Vx-2Tyf _ yfx-2yjy { s f x - 2 ^ ) { j x + 2 ^ ) 4х + 2 4 у' 3 1 1 + V ^ ^ ( V n f + V ir 2 ^ V ^ + 2 V l l 2 + (ч ^ )' _ vri(Vn+V2) . v n _ ДТ V2(Vn +V2) V2 V 2 ' 15 _ 15(V6 + 1) V e - i (V 6 -i)(V 6 + i) _ 15(V6 + 1) 15(V6 + 1) . yg (V6)*-i 6-1 2) 2 2 (V n -V 7 ) V n + V 7 (V rr+ V 7 )(V iT -V 7 ) = 2(^ - V 7 ) ^ 2 (V n -V 7 ) _ V r i - V 7 . “ (VTl)-’-(V7f 11-" 2 3) 1 _ 3 4 2 + 2 S 3V2 - 2V3 (3V2 - 2V3K3V2+2V3) 3V2 +2V3 _ 3V2+2V3^ 3V2+2V3 (3 V 2 f-(2 V 3 f “ 9 2-4-3 6 1) 10 _ 10(V3-1) _ V3 + I (V3 + IXV3 - I ) 642. io (V 3 -i) _ io (V 3 -i) Г Г 2) 3 _ 3(Vl5 + V3) V1 5 - V 3 (V i5 -V 3 )(> ^ + V 3 ) 3^^|Ї5 + 4 з ) _ 3(VT5 + V 3 )_ Vl5 + V3 (Vs)^-(V3)^ 15 -3 4 ’ 1 _ 5V2 + 2V5 5V2 - 2V5 (5V2 - 2V5 X5V2 + 2V5 ) 5V2 + 2V5 5V2+2V5 b-B + Z-jb (5 V 2 f-(2 V sf 25-2-4 5 30 ' 643. 1) (/3-V5 - V3+ V 5)= = 3 - V 5 - -27(3-V5)(3 + V5)+3 + Vs =6-2^3'-(Vs)* = = 6 -2 V 9 ^ = 6-2V4 = 6 -4 = 2; 2) _ 1 5 = 11 + 2 V ^ I I - 2V3O 1 5 (11-2V ^) + 15(11 + 2V3Ö) (11 + 2Vm )(11-2V3Ö) 1 5 (ll-2 V ^ + ll-f 2 V ^ ) _ 15-22 ll'-(2V3Ö)=' 121-4 30 = 330; Vs-fVs . V5 - V 3 _ V i ^ V C T ' _ (-Vs + -Уз)^ + (Vs —-Уз) _ (Vs + n ^ k Vs - V s ) 5+ 2V5 V3 + 3+ 5-2V s-V 3 + 3 _ ( 4 b f - ( S f 16 4) 'i-v ^ Y i i + V s 1+V^J ^ il- V ^ (i - V s f (u V3)(i -V3), w w w . 4 b o o k . o r g
- 67. { i +S f (1-ч/з)(1+7з), ( 1 - Ф п a-2sf3 + 3 f + a + 2 S + 3 f ( l - 3 f _ i . 4 - 2 S y + { 4 + 2 S f i - 2 f _ 16-16л/з + 12 + 16 + 16ч/з + 12 56 4 4 644. 1 ) {^І7+4■Jз + ^ l ^ - ‘^^fз)‘ = ^ + + 4n /3+ 2V(7 + 4V3)(7-44/3) + 7 -4 n /3 = = U + 2yj7‘ -(.4s/3f =14 + 2V49-48 = = 14+ 2 = 16; 2 ) 3 , 3 10-3%/п Ю + Зч/ГЇ _ 3(10+з>/ГТ+1 0 - Sn/IT) _ (10-Зч/ГЇ)(10 + 3% ^) з 20 60 = 60; 10'-(3% /її)“ 100-99 ^/7+^^ ^^/7-^/6 (^/7+^/6)Ч(^/7-^/6) Тт-Тб ч/7+,/б' (sl7S){yfj +S ) _ 7+ 2V7 v /6+ 6 + 7 -2 n /7 n /6+ 6 26 3) 4) f l ± ^ ' l-v/5 IW F 7-6 (1 + ч/5)^ ,(1 - n /5)(1 + n/5) (1+V5)(1-V5) ( d + S f f + g i S f f (l + 24E + 5 f + { l - 2 S + 5 f _ ( l - 5 f (2 (3 + V 5 )4 2 (3 - n /5)' (-4)= _ 4(9 + 6>/5+ 5+ 9+ 9 - 64/ 5 + 5) _ 4 28 16 16 , 1 n /5-n /I ^ n /9 -n /5 ^ 4/45 + 4/49 Ф ^ - Ф Т , 4 / 13- 4/9 ^ , - Л ^ - У І Ї ь ■ ■ ■ (4 / 49)^ - (4 / 45)" 4 / 5-1 , 4/9-4/s ^4 / ЇЗ -4/9 ^ ^7 -4 /І5 _ 5-1 9 -5 13-9 49-45 4/5 - 1 + 4/9 - 4 / 5 + 4/1 3 - 4/9 + ... + 7 - V 4 5 4 - 1 + 7 _ 6 . . 3 " 4 4 2 ' 646. 1) 4 /m +1 1 m.'fm + m + 'Jm ni^-fm ■J^ + l . 1 4/m(m + 4/m+ l) 4 m ( ( f m f - l ) (4m + 1)■sfni(y[m - l)(m + 4/m + 1) fm(m + y f m + l ) l = (4 /m+ l)(4 /m - 1) = (4/^)'-1 = m - 1; g + ft 24/0 а + b fäb-b fä-fb fb(4ä-[b) 2-Ja _ g - 24/ä -yfb + b s[ä~y/b у / ьф -у ІЬ ) -J ä-slb _ J b { 4 ^ - S ) ' 2) 3) V T 4 /Г V ^-4 /yl. ( 4 x ) ^ - ( 4 x - 4 у )і 4х + у [ у ) 4 x _ yfx{sfx + 4y) yfy ( 2 - ( x - y ) ) - 4 x _ -Jxy ■Jxyfy(yfx + 4 y ) ■Jx^yi'fx + 4 у ) = ^ якщо X > 0, у > 0. 'J x +уІУ 647. Графіком функції у = х ‘, п.е х > 0 е права вітка параболи (рис. 37). Область значень функції Е(у) = [0; +'=). І 648. 1) о 1 д ; Рис. 37 216^ _ (8-27f ^ (2^-3^)^ 36* (4 9)‘ (2^ 3')* 2“-3“ '2 * -З* 81® = 2 3 = 6 або (З*)« 27“ (З'Г 4*16 4*-4 216^ ^ (6^)У 6 ^ ' 36* (6^У 6* ’ = 1 ; 64^ 2“ 13® 3,3 4; (4^)' 2* 13 26" (2 13) - = 26. w w w . 4 b o o k . o r g
- 68. 2x+l 2 x^ 649. 1. j : x - 1 x - x ( X - 1 ) ( 2 x + 1 ) - x = 2 x ^; x ( x - l ) * 0 ; 2x ‘ + x - 2 x - l = 2 x ‘ ; - x ~ l = 0 ; x * 0 ; x ^ O ; x - 1 ^ 0 ; X = - 1 ; ;C/0; x = - l — корінь рівняння. X * 1 ; 650. зробимо припущення, що зна чення виразу VlO n-3, де п є N, може бути натуральним числом при деяких значеннях п, V lO n -3 = m, т є N. Тоді 10л - З = 10л = + З, тобто вираз + Зповинен мати дільником число 10, що можливо, коли число закінчується цифрою 7. Але не існує таких чисел, крім ірраціональних, що задовольняють цю вимогу. Помилковість зробленого при пущення доводить, що значення виразу ■JlOn-Зне можебути натуральним числом ні при якому значення п е N. 651. Якщо д : = О, то y = 'j9 = = 3; якщо X = о, то і/= VÖ = 0; якщо х = 81, то у = ч/8Ї = ч/э" = 9. 652. Я к щ о х = 1 , то у = 7 ї = 1; якщо J C= 4, то У = УІ4= 4 ^ = 2; якщо х = 100, то у = у [ Ш = ^ = 10. 653. Складемо таблицю значень функції у = [х для деяких значень аргументу: X 0 0,25 1 2,25 4 у 0 0,5 1 1,5 2 X 6,25 9 12,25 16 у 2,5 3 3,5 4 Позначимо точки, координати яких подано в таблиці, на координатній пло щині і з’єднаємо їх плавною лінією. Ця лінія (вітка параболи) є графіком функ ції і/=л/х (рис. 38). Тоді: 1) якщо X = 1,5, то y = ^/M=l,2; якщо X = З, то у = Гг = 1,7; якщо X = 4, то і ( = л / і = 2 ; якщо х = 6,5, то і/= ^/б^ = 2,55. 2) якщо !/ = 1, то ч/х =1, X = 1; якщо у = 2,5, то X = 6,25; 3) у > 2, наприклад, якщо х = 9; 16; у <2, наприклад, якщо х = 1; 2. У ^4 х Ук о 1 2,25 4 6,25 9 12,25 16 д г Рис. 38 654. Користуючись графіком функції i/= Vx (рис. 38), знаходимо: 1) г /= ч/0Г5 = 0,7, якщо х = 0,5; y = J^ = l,4, якщо X = 2; у = = 2,35, якщо X = 5,5; 2) X = 0,25, якщо у = 0,5; х = 1, якщо !/= 1; 3) у > 1, якщо X > 1, наприклад при X = 4; 9; І/ < 1, якщо х < 1, наприклад, при X = 0; 0,25. 655. Графік функції у = [х прохо дить через точки А(36; 6) і D(0; 0), бо 736 = 6і n /Ö= 0. ТочкиВ(4; 16),С(-4;2), М(1; -1)іР(0,5; 0,25)не належать графі ку функції у = Vx, бо відповідно маємо: 74=2, 2 1 6 ;-4 < 0; VT = 1, 1 ^ - 1 ; JÖ^^0,25. 656. Точка F(16; 4) належить графі ку функції у = 4х, бо лУГб=4. Точки АГ(-36; 6), Х(51 25) і ЛГ(0,9; 0,81) графіку функції у = у/х не належать, бо відповідно маємо:-36 < 0; -JE *25; *0,81. 657. 1) 2V3 = V5~3 = л/І2, оскільки 12> 11,то Vl2>%/n, тобто 2-Д>у[її; 2) V ^ > 2 n / 7, бо л/М>ч/Й; 2ч/7 = л/р7 = ч/М; 3) 375 = 7 ^ = 745; 27ЇЇЇ = 7410 = 740; 45 > 40, тому з7б > 27Ї0; 4) 47з = 716-3 = 748; 377 = 7 ^ = 763, 48 < 63, тому 7І8 < 7бЗ, тобто 47з < зТ?. 658. 1 ) 572 = 725^ = 4 ^ , 7 ^ < 7 ^ , тому 572<75і ; 2) 77з = 749 З = Jl47, чЯіб < 7Ї47, тому 7Ї46<773; w w w . 4 b o o k . o r g
- 69. 3) 2n/ 5 =>/4^ = х/20; 3>/2 = = ТШ; ^ ^ 2 Ö > ^ , том у 2 у / ь > 3 ^ ; 4) 2n/7 = 7 5 ^ = ,/28. Зх/З = л/9^ = ^ [И , л/28 > n/27, тому 2ч/7 > Зч/З. 659. 1 ) I v/45 = |V 9^ = |3n/5 = 2^5 = З ö О = 74~5 = n / ^ : | v ^ = | V r n = V2T. Оскільки у / Ш < у / ^ , то ^-У 4 5 < і% / 8 4 ; п 4 Й Ї - 2 / Ц _ / 4 1 1 Г V32 5V32 V25 32 V2 11 /200’ Отже. 0 , 2 Л = 0 ,4 ^ іі. 660.l)~s/^ =yy/Te~3= ^-4s/3=3 s / 3 ; 4 4 4 | V t5 = | V 2 5 ^ = | 5х/з = 3х/3; отже, 5 5 5 | Л 5 = | ^ 5 ; КІЛЬКИ т о 0 , 3 J 1 ^ > 0 , 2 J 1 ~ . 661. y = fx — монотонно зростаюча функція на всій області визначення, тому: 1) я к щ о0<х<4 , то /0< л/ї</4, тоб то О< (/< 2; 2) якщо 1 < л: < 9, то /І < л/ї^< -УІ), тоб то 1 < у < 3. 662. На одній координатній площині будуємо графіки параболи у = [х та прямої у = 6 - X , які перетинаються в точці А(4; 2) (рис. 39). Дійсно, при х = 4 має.мо: [ї = 2 і 6 - 4 = 2. Отже, х - і — розв’язок рівняння УІХ=6-Х. 663. На одній координатній площині будуємо пряму у = 3 - 2 х і вітку параболи які перетинаються вточціА(1; 1) (рис. 40). Дійсно, якщо jr = 1, то -Л = 1 і 3 - 2 = 1 . Отже, х = 1 — корінь рівняння 3 -2 х = VJ. Рис. 39 Рис. 40 664. 1) Графік функції у - X ~ 2 промінь, обмежений точкою Л(4; 2), бо І/= 4 - 2 = 2, якщо X= 4; функція у = у[х, X > 4 задає частину вітки параболи з по чатковою точкоюЛ, бо якщо X = 4, то у = ' ї ї = 2. Графік подано на рисунку 41. .. Х - 2 І І ( I Z f - 2 4 i якщо 7 Ї - 2 ^ 0 , х ^4. ч/І-2 Маємо вітку параболи y = fx, з якої вилучена точка А (4 ; 2), бо якщо х = 4, то Іх = 2; при X = 4 дріб ^ gg •Jx - 2 змісту. Графік подано на рисунку 42. 665. 1) 7 = x^ X < 1 - - частина парабо ли, обмежена точкоюЛ(1; 1); у = [х — частина вітки параболи з початком у точці Л (рис. 43). 2) l- V x 1 - sfx 1-х/х якщо 1 -ч/хгїО, х ^ 1. Має.мо вітку параболи у = >/х, з якої вилучена точка Л(1; 1)(рис.44). w w w . 4 b o o k . o r g
- 70. Рис. 43 y= 'Jx Рис.44. ISS. ,> Л . | ; „ ( І ) ’; „ А , 2) vx = -5 — рівняння не має розв’язку, бо -5 < 0; 3) х‘ = 16, якщо х = 'Лб, X = 4, або зс= — Vl6, J C= -4; 4) л:^= - 1 — рівняння не має розв’язку, бо -1 < 0. 667. 1) V? =Vc‘ c=с‘'ч/ с; 2) ^/з6^ = ^/з(&^ = |Ь"|^/з = -b ’ ^/з, якщо Ь < 0. 668. (7э + 4%/5+/9-4>/5)" =9 + 4ч/5 + + 2^/(9+ 4r^)(9-4>y5) + 9-4v'5= 18 + + 2 ^ / І М 4 ^ = 18+ = 18+ 2= 20. Інший спосіб розв’язку: 9+ 4V5 = 5+ 2-2-s/5+4 = (V5 + 2)'; 9 -4 n/ 5 = 5 - 2 -2 У5 + 4 = (ч/5-2^. Тоді V9+ W 5 = ч /5+ 2 = % / 5+ 2; У І 9 - 4 ^ = n/5-2 =^/5-2. Отже, (V9 + 4 ^ + V9^^T4^)==(V5 + 2+ + /Е-2У = (2-Jbf = 20. Маємо той же ре зультат. РОЗДІЛ III. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ § 20. Квадраті рівняння. Неповні квад ратні рівняння, їх розв’язування 725. Квадратними е рівняння - - + З= О , 7і - х“= Ота 1- 5і^ =0. Рівняння ж * - Зл* = О не є квадратним, бо в ньому присутній член -3;с’; рівняння + -^ = 5 неє квадратним, бо має член ^ ; рівняння х'“ 4ж - 5 = 2х + 7 є лінійним. 726. Неповними квадратними рів няннями є рівняння 5х^ = О, 2х^ - Зх = О, 7х* -2 1 = 0 . Рівняння - Зх + 4 = О та х“- і х + і = 0 є зведеними. 727. 1) Якщо 2х“ + Зх - 5 = О, то а= 2, Ь= 3, с = -5; 2) якщо Зх^ + 9 = О, то а = З, і> = О, с = 9; 3) якщо Зх - х^ + 7 = О, то а = -1, і) = З, с = 7; 4) якщо Зх^ = О, то а = З, &= О, с = 0; 5) якщо 7х - = О, то а = -1, Ь = 7, с = 0; 6) якщо 2 + 4х - х^ = О, то U = -1, ft = 4, с = 2. 728. 1) Якщо а = з, Ь = 5, с = -2 , то рівняння має вигляд Зх^ + 5х - 2 = 0; 2) якщо а = -1 , ft= 5, с = О, то рівняння має вигляд -х^ + 5х = 0; 3) якщо а = -4 , ft= О, с = О, то маємо рів няння -4х^ = 0; 4) якщо а = 13, ft = О, с = -39, то маємо рівняння ІЗх^ - 39 = 0. 729. Заповнюємо таблицю: Квадратне рівняння Коефіцієнти рівняння ах2 + ftx + с = 0 а ft с 5x2- З х - 17 = 0 5 -3 -17 2x2 - Зх + 4 = 0 2 -3 4 -15x2 + 14х = 0 -15 14 0 -3x2 + 7 = 0 -3 0 7 -х2 + 5х + 6 = 0 -1 5 6 -5 х 2 -х + 19 = 0 -5 -1 19 730. Використовуючи тотожні пере творення виразів, спрощуємо дані рів няння: 1) (5 х -1 )(5 х + 1) = х ( 7 х - 13); 2 5х"- 1 = 7x2 „ 13J-. 25x2- 7x2+ ІЗх -1 = 0 ; 18x2+ 1 3 х - 1=0; w w w . 4 b o o k . o r g
- 71. 2) (2 x-3 )“= (x + 2 )(x -7 ): 4^2 - 12x + 9 = д :2- 7x + 2x - 14; 4x^ - - 12д: + 7ї - 2л: + 9 + 14 = = 0 ;3х2 -5 х + 23 = 0. 731. Зводимо дане рівняння до квад ратного: 1) (2х + 3)(2д:-3) = л:(9д:-12);4д:^-9 = = 9д-2- 12х; 4х^ - 9х^ + 12л: - 9 = 0; -5л:2+ 1 2 х -9 = 0; 2) (4д- + 1)^= (х -3 )(х + 2);16х2 + 8л: + 1= = х^ + 2 х - 3 х - 6 ; 16х^ - + 8д: - 2л: + Зх + 1 + 6 = 0 ,• 15д:2+9д:+7=0. 732. 1) - 5jr = 0; х(х - 5) = о, тому ж= Оабо X - 5 = О, X = 5. Рівняння має корені х, = 0, х^ = 5; 2) = О, З т іО, тому = О — рівняння має єдиний (двократний) корінь х = 0; 3) х ^ - З х + 2 = 0 ; х ^ - 2 х - х + 2 = 0; х ( х - 2 ) - ( х - 2 ) = 0; (х - 1 ) ( х ~ 2) = О, тому л: - 1 = О, X= 1 або х - 2 = 0,х = 2. Рівняння має корені х, = 1, х^ = 2; 4) х 2 - 2 х - 3 = 0 ;х ^ -3 х + х - 3 = 0; х (х -3 ) + ( х - 3) = 0; (х + 1 )(х - 3) = 0, тому х + 1= 0, х = -1 або х - 3 = 0,х = 3. Рівняння має корені Xj = -1, х^ = 3. Отже, з множини чисел {-2; -1; 0; 1; 2} коренями даних рівнянь є, відповідно, числа: 1) 0; 2) 0; 3) 1; 2; 4) -1. 733. 1) х^ + 2х = 0; х(х + 2) = о, тому X = Оабо X + 2 = О, X = -2. Х | = Ота Xj =-2 — корені рівняння; 2) - 5 х ‘ = 0; оскільки -5 О, то х^ = О — рівняння має єдиний корінь х = 0; 3) х^ - X - 6 = 0; х^ + 2х - Зх - 6 = 0; х(х + 2 )-3 (х + 2) = 0; (X + 2)(х - 3) = 0, тому X + 2= О, х = -2 або х - 3 = 0,х = 3. X, = -2 та Xj = З — корені рівняння; 4) х^ - 25 = 0; (х + 5)(х - 5) = О, тому X + 5 = О, X = -5 або X - 5 = О, X = 5. Xj - 5 та Xj = 5 — корені рівняння. Таким чином, з множини чисел {-5; -2; 0; 2; 5} коренями даних рів нянь, відповідно, є числа: 1) -2 іО ; 2) 0; 3) -2; 4) -5 і 5. 734. 1) 3х^-27 = 0;3 (х-ь3 )(х-3 ) = 0; 3^0, тоді X -t - З = О, X, = -З, або х - З = О, X =3; 2) 3,7х^ = 0; 3,7 О, тому х^ = О — рів няння має єдиний корінь х = 0; 3) 2х“ -1-8 = 0 — рівняння не має розв’язку, бо 2х^ -t- 8 > О при будь-яких значеннях х; 4 ) -5х^ -І- 10 = 0; х^ = 2, тоді X, = s/2, Xj = -'v/2 — ірраціональні корені рів няння; 5) -5,7х^ = 0;-5,7?іО, томух^ = 0 — рів няння має єдиний (двократний) корінь х = 0; = х^ = 2, тоді Х; = -л/2, х^ = 4 І — ірраціональні корені рівняння. 735. 1) 2х^-2 = 0;х^ = 1,тодіх, = -1, X, = 1; інакше: 2х^ - 2 = 0; 2(х^ - 1) = 0; 2 (х+ 1 )(х - 1) = 0; х-ь1 = 0; х = -1; х - 1 = 0; [х = 1. 2) 3x^-f9 = 0;x^ = -3 — рівняннянемає розв’язку; 3) 1,4х^ = 0; 1,4 ^ О, тому х^ = О — рів няння має єдиний корінь х = 0; 4) -7 х2 -І-2 1 =0 ;-7 (х“ - 3 ) = 0; -7 О, тоді - З = О, х^ = З, X , = 7 3 , Х2= -7 з — ірраціональні корені рів няння; 5) -1,8x2 = 0; -1,8 О, тоді х^ = О — рів няння має єдиний корінь х = 0; 6) у х “ - | = 0; і(х ^ - б ) = 0; і=^0, то му х ^ -5 = 0, х^ = 5, звідки Х; = ~ІЬ, Xj = -5 — ірраціональ ні корені рівняння. 736. 1) х^ -t - 6х = 0; х(х -І- 6) = О, тоді Xj = О або X 4 - 6 = О, Xj = -6; 2) 2х^ - 8х = 0; 2х(х - 4) = 0; 2 О, тоді X, = О або X - 4 = О, Xj = 4; 3) 4 х ^ -х = 0 ;4 х = 0; 4 зі О, т о д і х , = 0 а б о х - і = 0, х , = і ; 1 4 4 4 ) 0,1х2-і-2х = 0:0,1х(х-і-20) = 0;0,1зі ф О, т о д і Xj = О а б о X -І- 20 = О, Xj = -20; 5 ) | х Ч т о д іХ | = О а б о х - ь ^ = 0, х^ = - ^ ; 6) Зх^-7х = 0: Зх х -:^ 3/0, тоді х, = 0або J :-| = 0, х^= | . w w w . 4 b o o k . o r g
- 72. г 737. 1) д :“-5х=0; Х (Д !:- 5) =о, тому f =Оабох - 5 = 0, Xj = 5; 2) Зх‘ + Эх = 0; Зх(х + 3) = 0; 3 зі О, тому g = 0 s l 6o x + 3 = 0 , x ^= -3; 3) 5д с*+ л: = 0; 5х(х + 0,2) = 0; 5 О, тому f -О п р и X + 0,2 = О, Xj = -0 ,2 ; 4) 0,2д :"-1 0 д := 0;0,2х(л :-5 0 ) = 0;0,2 7 ^ ^ О, тому д :, = Оабо х - 50 = О, = 50; =0; б) = і ^ о, тому х = О або X - і = О, Xj = і ; 4 о о 6) + 9х = 0; 4х^х + ^ = 0; 4 ^ О, то- 9 9 луд:і = Оабо х + - = 0, х^ = - - . 738. 1) Наприклад, х“+ 1 = 0; 2) наприклад, 6x“= 0; 8) наприклад, х^ - 1 = О, розв’язки *,=1,д=з=1; 4) наприклад, х^ - 2 = О, розв’язки *, = -ч/2, х,=>/2. 739. Число X, = 3 є коренем рівняння (M C *+ 2х - 7 = о, тому а З ^ + 2 3 - 7 = 0; 9о + 6 - 7 = 0; 9а = 1, тобто 740. Число -2 є коренем рівняння ж *+ bx - 8 = о, тому (-2)'' + Ь ■(-2 ) - 8 = 0; 4 - 26 - 8 = 0; -26 - 4 = О, тобто 6 = -2. 741. За умовою X, = 1та Xj = 2 — корені рівняння ах^ + 6х + 4 = О, тому: о1^ + 61 + 4 = 0; fa + 6+ 4 = 0; а-г'^ + б 2+ 4 = 0; Ь= -4 - о; 2а + 6+ 2= 0; Ь = - 4 - а ; а - 2 = 0; 6= -4 -2 ; |б = -6; а = 2; |а = 2. Числа 1 і 2 є коренями рівняння ax“ + + 6х + 4 = Опри а = 2, b = -6. 742. Числа Xj = 1 та Xj = 3 е коренями рівняння х^ + bx + с = О, тому: 1*+Ь1 + с = 0; Jl + b + c = 0; З Ч Ь 3+ с = 0; l9 + 3b + c = 0; 4а + 2Ь+ 4 = 0; Ь = -4 - а; 2 а - 4 - а + 2 = 0; Ь= -4 -а ; а = 2; с = -Ь -1 ; 9+ ЗЬ-Ь-1 = 0; с = -Ь -1 ; 2Ь+ 8 = 0; с = -Ь -1 ; 6 = -4; Ы } с = -(-4 )-1 ; Г с= 3; .6= -4; [Ь = -4. Числа 1і 3є коренями рівняння x“+ bx + + с = О, якщо b = -4, с = 3. 743. 1 ) (x - 2)(x + 3) = - 6 ; x^ + 3x - - 2x - 6 + 6 = 0; x^ + X= 0; x(x + 1) = 0; тоді X, = 0 або x + l = o , X 2 = -1; 2) | x (x + 9) = |x(x-16)|-24; 32x(x + 9) - 3x(x - 16) = 0; 32x2 + io8x - 3x^ + 48x = 0; 29x2 + 156x = 0; x(29x + 156) = 0; тоді X, = 0 або 29x + 156 = 0, V - 156.. ,11. 2 - 29 ' 29’ 3) (3 x -l)2 = (x-3 )2 ; (3 x - 1 )2 -( x - 3)2 = 0; (3x - 1 - X + 3)(3x - 1 + X - 3) = 0; (2x + 2)(4x - 4) = 0; тоді 2x + 2 = 0, X , - 1 або 4x - 4 = 0, x^ = 1; 4) (2x + l)(3 x -l) = x (x -2 ) + 3 6x2 - 2x + 3x - 1 - x2 + 2x + 3x + 1 = Q. 5x2 = 0; 5 ^ 0, тому x2= 0 — рівняння має єдиний корінь X = 0. 744. 1) (х + 3 )(х -5 ) = -1 5 ;х 2 -5 х + + Зх - 15 + 15 = 0; х2 - 2х = 0; х(х - 2) = 0; тоді Xj = Оабо X - 2 = О, Xj = 2; 2) | х (х -3 ) = |х (х + 4)| 6; 4х(х - 3 ) - - Зх(х + 4) = 0; 4x2 _ і2х - 3x2 - 12х = О; х2 - 24х = 0; х(х - 24) = 0; тоді х, = О або х -2 4 = 0, Xj = 24; 3) (2х - 3)2 = (Зх - 2)2; (2х - 3)2 - (Зх - -2)2 = 0; (2х - З - Зх + 2)(2х - З + Зх - 2) = 0; ( - х - 1 ) ( 5 х - 5 ) = 0; -5 (х + 1)(х - 1) = 0; -5 зі 0; тоді х + 1 = О, х, = -1 а б о х - 1 =0, Xj = 1; 4) (5x + l)(2 x -l) = x(x + 3 )-6 ^ x + | j; 10x2 - 5х + 2х - 1 - х2 - Зх + 6х + 1= 0; 9x2 = 0; 9 т і0; тому х2= О— рівняння має єдиний корінь X = О. 745. За умовою (Зх - 1)(х + 4) + 4 = = х(х + 2); 3x2 + 12х - X - 4 + 4 - - -2 х = 0; 2x2 + 9 д ^= 0; х(2х + 9) = 0; тоді Xj = О або 2х + 9 = 0, Х2= - | = -4,5. 746. За умовою (2х + 1)(х + 3) - З = = х(х - 4 ); 2x2 + 6х + X + З - З - х2 + 4 х = О; w w w . 4 b o o k . o r g
- 73. + И х= 0; x(x + 11) = 0; тоді Д Г ] = О або х + 11=0,х^ = -11. 747. За умовою для чисел а і Ьповинні виконуватись рівності; а Ь = ^ . , 2 ; а - Ь = 1; 2{Ь+ І ) Ь = Ь + 1+ Ь; а = 6+ 1 ; 2ft'-1 = 0; a = ft+ l; ф ь + 1 ) ф ь - 1 ) = 0; а = Ь+ 1; ■J2 2аЬ = а + Ь а = ft+ 1 ; 2 ft4 2 ft-2 ft-l = 0; a = b - l; (ч/26)"-1 = 0; а = ft+1; ч/2Ь+ 1= 0; V2ft -1 = 0; a = ft+l; 6 = 1 Т 2 ' а = ft+1. Якщо ft, = ■ T z ’ '7 ? +1; якщо “- А " ' - 748. Згідно з умовою маємо: ^ = ia.ft;i.2; a-ft = 2; (ft + 2) + ft-(ft + 2 )ft = 0; a = ft+ 2; ft+ 2 + ft-ft'-2ft = 0; a = b + 2; a + b = ab; а = b+ 2; 2-ft" =0; а = ft+ 2; ф - Ь ) ф + Ь) = 0 -, a = b + 2. (n / 2)' -fc' = 0; а = ft+ 2; (^/2-ft)(^/2 + ft) = 0, якщо ч/2-Ь = 0, ft, = V2 або х/2+ ft= О , ftj = -V2. Відповідно знаходимо u, =2 + ч/2, а, = 2-ч/2. 749. 1) - 5 Іл:| = 0. За означенням модуля маємо - 5л: = О, якщо х > 0 або + 5д: = О, якщо Л - < О, тобто х ( х - 5) = 0, х > 0 або х(х + 5) = О, X < О, звідки знахо димо х^ = 0, х^ = 5, х^ = -5; 2) - ^ + 4 = 0. При д : = О рівняння не Ul має змісту, якщо х > О, маємо рівняння - х ‘ + 4 = 0, звідки д е , = 2 (другий корінь X = -2 не задовольняє умові х > 0). Якщо д : < О, маємо рівняння + 4 = О, яке не має розв’язку, бо х“ + 4 > О при будь-яких значеннях х. Отже, рівняння - ^ + 4 = 0 має єдиний корінь д ґ= 2. 1 ^ 1 750. 1) За означенням модуля маємо - х ’- Зх = О, якщо д : > Оабо -х^ - Зх = О, якщо д : < О, тобто -х { х - 3) = О, ж> О або ~х(х -f 3) = О, д е< О, звідки знаходимо х, = 0, х, = 3, Хз = -3. 2) При X = Орівняння ^ - 9 = 0 немає f I змісту. Якщо X < О, отримуємо рівняння -х^ - 9 = 0, яке не має розв’язку, бо ~х‘ - - 9 < О при будь-яких значеннях х. Якщо X > О, маємо рівняння х^ - 9 = 0; (х - 3)(х -І- 3) = О, тоді X - З = О, X, = З або X -І- З = О, X = -З — не задовольняє х^ умові X > 0. Отже, рівняння т-т-9 = 0 кі має єдиний корінь х = 3. 751. 1) >/Г8=7^ = з72; 2) > / ^ = V100-3=10n /3; 3) ч /Ї08 = 736-3 = 6л /3; 4) v/363=Vl21-3 = llv/3. 752. х-нЗ 1 Зх-і-3 х ' - х З(х-И). _ х(х-1)Ч (^-1)(д: + 1) х(х +)) 3(х -І-1) х(х - 1)(х4-1) 3(х -І-1)“ ї х - І X - і - х ^ х-нЗ 1 х (х -1 ) х '+ З х -х -н І х^н-2х-і-1 3(х + 1)" „ „ „ = = 3; З = З при ВСІХ допустимих значеннях X, тотожність доведено. 753. Графік складається зтрьох частин, з’єднаний між собою в точках А{-2; 4) g В(2; 4) І/= - —, X < -2 задає частину лівої вітки гіперболи, яка обмежена точкоюЛ: у - х^, - 2 < х < 2 задає параболу, обмеже ну точками А і В; у = 8 - 2х, х > О задає промінь, який проходить через точку С(4; 0) і обмежений точкою В. Дійсно, якщох = 4, то і/= 8 - 8 = 0. Графік подано на рисунку 45. w w w . 4 b o o k . o r g
- 74. г § 21. Формулакоренів квадратного рівняння 754. 1 ) D = 4 > о, рівняння має два корені; 2) ІЗ= О, рівняння має один корінь; 3) D <0 , рівняння коренів не має; 4) D = 17 > О, рівняння має два корені. 755. 1) в = -7 < о, рівняння коренів не має; 2) D = 49 > О, рівняння має два корені; 3) D = 13 > О, рівняння має два корені; 4) 0 = 0, рівняння має один корінь. 756. 1) Неправильно, правильний запис: D = 3^ - 4 •2 ■(-1); 2) і 3) — правильно; 4) неправильно, правильний запис; Х) = 2 '_ 4 .і.(_ 4 ). 757. 1) D = (-5)2 - 4 6 (~1) = 25 + + 24 = 49, D > О, рівняння має два ко рені; 2) D = (-4)2 - 4 1 4 = 1 6 -1 6 = 0, рів няння має один корінь; 3) 0 = 22-4 1-5 = 4 -2 0 = -1 6 ,D < О, рівняння коренів не має; 4) D = 42 - 4 • 7 (-1 ) = 16 -t- 28 = 44, D > 0 , рівняння має два корені. 758. 1) 0 = (-3 )2 -4 2 1 = 9 - 8 = 1, ß > О, рівняння має два корені; 2) D = 1 2 - 4 1 7 = 1 - 28 = -27, £» > О , рівняння коренів не має; 3) D = 62- 4 1 9 = 36 - 36 = 0, рівняння має один корінь; 4) D = 42 - 4 ■З (-1 ) = 1 6 + 12 = 28, •D> О, рівняння має два корені. 759. 1) х^-5х + 6 =0;0 =(-5у-4х X I -6 = 2 5 -2 4 = 1; 5+ n /T 5±1 2 5-ьІ 2 . . = ^ = 2; = 3; х , = 4 ^ = -1; 2) :с2 + 5д: - З = 0; D = 52 - 4 1 (-3 ) = = 25 + 12 = 37; = .. ^2- 2 ’ 3) 3x2 + 5л: 2 = 0; D = 52 - 4 З 2 = = 2 5 -2 4 = 1; -5 + 1 _ 2. 6 •'2- 6 З’ 4) д:2+10х + 25 = 0;/)= 102-4 1-25 = = 100- 100 = 0; рівняння має один корінь 2а 2 1~ 5) х2 + ж -9 0 = 0 ; £ )= 1 '- 4 1 (-90) = = 361; „ _-1 -% / З б Т _-1 -1 9 ^ Q . 2 2 -1 + ч / т -1 + 19 = 9; 2 2 2 6) *2 - 1 0 л: - 24= 0; Z) = (-10)2 - 4 ■1х X(-24)= 196= 1 4 2 ; 760. 1) л:2-4х-5 = 0;0 = (-4)2-4х х 1 (-5) =16 + 20= 36= 6 2 ; V V -1±6-5- X, - 2 - 1, Xj — 2 2) 2x2+ 7x-4 = 0;D = 72-4-2 (-4) = = 49 + 32= 81= 9 2 ; х = ^ ^ = -4- X = ^ ^ = і; X, 4 'і, X , 4 2 ’ 3) x2-12x + 36=0;D=(-12)2-4 1 36= = 144 - 144= 0; л :, = х ^= ^ = 4) х^-л:-56 =0;0 =(-1)2-4 1(-56) = = 1+ 224= 225= 1 5 2 ; 1-15 X, = - - = -7; 1+ 15 „ X, = — ; г - = 0- 761. 1) 10x2= 5х + 0,6; 10x2- 5 х - 0,6 = = О; Л = (-5)2 - 4 10 (-0,6) = 25 + 24 = = 49 = 72; 5 -7 1 20 “ 10’ 20 2) л :2 + 3 = 4х;х2 -4x + 3 = 0;D = (-4 )2 - ~4 1 3 = 1 6 -1 2 = 4 = 2 2 ; X, = ^ = 0,6; w w w . 4 b o o k . o r g
- 75. 3) Л -2 +5;i:=-6; д ;2+ 5x + 6 = 0; ß = 52 - 4 1 6 = 25 - 24 = 1; ^ . = ^ ^ = -3; x, = = ^ ^ - 2 ; 4) 1 - 4л-= 5x*: 5л:2 + 4л: - 1 = 0; £) = 42 - 4 ■5 ■(-1 ) = 16 + 20 = 36 = G =; - 4 - 2 _ . ^ 4 + 2 _ x , = 4 ^ = -i; ^ , = 4 ^ = 0.2; 10 10 5) 81i/^+l=-18i/;81i/=* + 1 8 i/ + l = 0 ; Л = 18^ - 4 81 • 1 = 324 - 324 = 0; -18 _ 1 2-81 9 ’ 6) 3p = 5 p 2 -2; 5 p 2 -3 p -2 = 0; D = (-3)2 - 4 5- (-2 ) = 9 + 40 = 49 = 7=; 3 - 7 2. 3 + 7 л = - 10 5 ’ 'lO 762. 1) 10x2 = 0,4-Зд:;10л:2 + Зд:-0,4 = = 0; J3 = 32 - 4 10 (-0 ,4 ) = 9 + 16 = = 25 = 52; X = Z ^ = --8- = _o 4- ‘ 20 20 ’ ’ -3 + 5 2 *2 20 20 ’ ’ 2) x2 + 7 = -6 x ;x 2 + 6 x + 7 = 0; D = 62- 4 - 1 7 = 3 6 - 28 = 8 ; -6 - -У 8 - 6 - 2V 2 ' “ 2 ~ 2 3) 7x = x2 + 12; * 2 - 7 x + 12 = 0; Л = ( - 7 ) 2 - 4 - 1 ■12 = 49 - 48= 1; . . = ^ = 3, = 4) 4і/= 4у2 + 1; 4у2 _ _ Q. Z) = (-4)2 - 4 4 1 = 1 6 - 1 6 = 0; 4 1 !/ .= !/ 2 = ^ = 2- 763. 1) j;2 - 2x - 3 = 0 ; D = ( - 2 )2 - 4 X x l (-3 ) = 4 + 12 = 16 = 42; ^ . = ^ = - 1; ^2 = ^ = 3; 2) x2 + 2a: = 0,5x + 2 ,5 ;x2 +1 .5 x-2 .5 = 0 I 2; 2^2 + 3* - 5 = 0; D = 32 - 4 2 ■(-5 ) = 9 + 40 = 49 = 72; _ - 3 - 7 _ 10 _ -3 + 7 X, - 4 - 4 - -2 , 5 , X , - 1, 3) 10x2-8x = 9x2 + 2 x - 2 5 ; 1 0 x2-9 x2 - - 8x - 2x + 25 = 0; x2 - lOx + 25 = 0; ( X - 5)2 = 0; X - 5 = 0; x = 5. 764. 1) 1 / 2+ 41/- 5 = 0 ; £> = 42 - 4■1X - = 1. ^= -3 -V 2 ; - 4 - 6 ^ -4 + 6 , = -5; У2 = —y ~ = 1 ; 2) j/ 2- 3y = 0,5y + 4,5 I■2; 2y2 - 7i/ - 9 = 0 ; Z3= (-7)2 = 4-2 (-9 ) = 49 + 72 = 121 = 112’; 7-11 , 7+11 9 , ^ </,=— =-1; !/ 2 = - j- = 2 = ' ‘’5; 3) 4 i/2- 6 1 /= 4 + 2j/ - y2; - 8y - 4 = 0; D = (-8)2 - 4 ■5 ■(-4 ) = 64 + 80 = 144 = 12=; 8-1 2 „ , 8+ 12 i / , = ^ = -0,4; < / 2 = - i ^ = 2 . 765. 1) (x - 3)2 = 2x - 3; x2- 6x - 9 - -2 x + 3 = 0 ;x 2 -8 x + 12 = 0; D = (-8)2 - 4 ■1 • 12 = 64 - 48 = 16 = 4^; 8 - 4 „ 8 + 4 „ ^.= — = 2; x ^ = ^ = 6; 2) 3(x + l)2 = 2x + 2; 3x2 + 6x + 3 - 2 .V = 2 = 0; 3x2 + 4x + 1= 0; n = 42 - 4 ■ 3 ■ 1 = 16 - 12 = 22; - 4 - 2 , -4 + 2 1 6 ’ ""2- 6 “ 3 ’ 3) (x + 3 ) ( x - l ) = 2x(x - 2) + 5; x2-X + + 3x - 3 - 2x2 + 4x - 5 = 0; -x2 + 6x - 8 = 0; Ö = 62 - 4 ■(-1 ) (-8 ) = = 36 -3 2 = 4 = 22; x . = ^ = 4; x. = ^ = 2; 4) x ( x - 3 ) - ( x - 5 ) ( x + 5) = (x + l)2 ; x 2 -3 x -(x 2 -2 5 )-(x 2 + 2x + 1) = 0; -x2 - 5x + 24 = 0; D = (-5)2 - 4 •(-1 ) ■24 = = 25 + 96 = 121 = 112; . -5 ц 1 1 _ ^ . ^ 5 + 11 X , - ^2 - 'J> ^2 - _ 2 - 766. 1) (x + 2)2 = 2x + 3;x2 + 4 x + 4 - - 2 x - 3 = 0 ; x 2 + 2 x + l = 0 ; (x + 1)2 = 0; x + l = 0;x = - l ; 2) 5(x - 2)2 = 3x - 6; 5x2 „ 20x + 20 - - 3x + 6 = 0; 5x2 - 23x + 26 = 0; I) = (-23)2 - 4 ■5 ■26 = 529 - 520 = 9 = З^; ^ 2 3 -3 ^23 + 3 2 g. 10 ’ 2 10 ’ ’ 3) (x + 2 ) ( x - 3 ) = 2 x ( x - 4 ) + 6 ;x 2 - 3 x + + 2 x - 6-2x2 + 8 x - 6 = 0; -x2 + 7x - 12 = 0; £) = 72- 4 •(-1 ) ■(-12) = = 4 9 -4 8 = 1; -7 + 1 X (-5 ) = 16 + 20 = 36 = 62; x , = ^ = 4; - = 3; -2 *’ "2 _ 2 4) x ( x - 1 ) - (X - 3)(x + 3 ) = (x + 2 )2-1; x2 - X - (x2 - 9) - x2 - 4x - 4 + 1 = 0; - x 2 - 5 x + 6 = 0; S = (-5)2 - 4 ■ (-1 ) 6 = 25 - 24 = 1; , , = ^ = -2; x, = ^ = - 3 . -2 -2 w w w . 4 b o o k . o r g
- 76. г 767. 1) =5(х^ + 2х) = О о = 3(4дг + 1 ); Зх- - 10х - 12х - 3 = 0; 5х^ - 2.Г - 3 = 0; ß = (- 2 У - 4 5 (-3 ) = = 4 + 60 = 64 = 8^; 10 10 2) £ +2 + і 1 ^ = І ; 2 ( х -.-2)+ 3(х^-1)= ’ 3 2 3 ’ - 2; 2х + 4 + - 3 - 2 = 0; Зд;2 + 2 х - 1 = 0; ZJ = 2 ^ ^ - 4 3 (-1 ) = 4- + 12 = 16 = 4^: ,^ = -2 -4 1 6 ■’ 6 X " - Зх 2х + 5 3' 768. 1) = 3 (х ^ - 3 х ) = 4 3 = 4(2х + 5); Зх= - 9х - 8х - 20 = 0; Sx^ - 17х - 20 = 0; Л = (- 17)2 4 3 (-20) = 289 + 240 = 529 = 23-; , 1 7 -2 3 _ 17 + 2 3 _ 2 0 _ 2. * 1 “ 6 - 6 3 3 ’ 2) х + 1 , х '-1 = 1; 5 (х * 1 ) + 2(х=*-1) = 2 5 10; 5 х + 5 + 2х=^ - 2 - 1 0 = 0; 2ж^ + о х - 7 = 0; Л = 5^ - 4 2 ( - 7) = 2 5 + 56 = 81 = 9 ’ ; Ї - 5 - 9 _ 3 5 - . _ - 5 + 9 _ д:, - ^ - 3,0, х ^ - ^ - 1 . 769. 1 ) | х ' - х - 7 = 0; D = ( - l ) " - 4 •| ( - 7 ) = 1 + 14 = 15; л , = 1 - 7 1 5 ; х , = 1 + - М - , 2) - x 2 - 2 x + 4 = 0 ; D = ( - 2 ) ^ - 4 ( - 1 ) - 4 = = 4 + 16 = 20; 2 - V ^ 2 - 2 ^ 5 _ , Хг = 1 + /5; 3 ) 0 , l x 2 - 3 x - 5 = 0 ; D = ( - 3 ) - 4 0,1 ( - 5 ) = = 9 + 2 = 11; X . = ^ ^ ^ = 5 ( 3 - V l T ) ; X , = 5 ( 3 + V n ) ; 4) 0 , 5 х " + 1 ,5 х - 4 = 0 ! 2; х " + З х - 8 = = 0; S = 3 ^ - 4 - 1 ■( - 8 ) = 9 + 32 = 41; ■ ^ 1~ 770. -З -ч / ії. -з + Т ЇТ 1) іх ^ + х~3 = 0; D = l '- 4 і - ( - 3 ) = 1+ 6 = 7; -1 -7 ^ = - l - V 7 ; x , = - 1 + n/7; 2) -x^ + 2x + 11 = 0; D = 2^ - 4 (-1 ) X X II = 4 + 44 = 48; x^ = 1-273; 3) 0,2x* + 2x - 3 = 0 I 5; x^ + lOx - - 1 5 = 0; D = 10" - 4 1 (-5 ) = 100 + 60 = 160; -10^7160. ^ ^ 1 0 ^ X2 = -5 + 27IÖ; 4) 0,5x^-2,5x-4 = 0 | -2 ;x 2 -5 x -8 = 0; / J = (-5)=* - 4 1 - (-8 ) = 25 + 32 = 57; 5 - 7 ^ 5 + 757 - 2 ’ 2 • 771. 1) (7 x - 2)(x* + x - 2) = 0; тоді 7 x - 2 = 0; 7 x = 2; x = 4a6ox^ + x - 2 = = 0; D = 1^- 4 1 ( - 2 ) = 1 + 8 = 9 = 3^: — 1—3 X, = — ^— = -2 — не задовольняє умові x > 0 ; X2 = = 1. Числа 1; 4 — корені да ного рівняння. о 2 2) Рівняння х ^ --І—г - 4 = О |х1 рівносильне рівнянню х^ - 3|х| - 4 = 0 , якщо X Ф 0; при X = О рівняння не має змісту. Якщо X > О, маємо рівняння х^ - Зх - 4 = 0; D = (-3)^ - 4 1 - (-4 ) = 3-5- = - 1 - не 9 + 16 = 25 = 5^; X , = ■ 3+ 5 задовольняє умові х > 0; х^= - - ■= 4; якщох<0, маємо рівняння х“+ 3 х -4=0; D = 32- 4 1 (-4 ) = 9 + 16 = 25 = 5^; -3 -5 , -3 + 5 , Х з = — ^ = -4; X, = - ^ = 1 - не за довольняє умові X < 0. Отже, рівняння ■ 1 ^ 1 іх = 4. 3) Якщо X > О, отримуємо рівняння х ^ - З х - 4 = 0; D = 3^ - 4 1 (-4 ) = 9 + 16 = 25 = 5^; -4 = 0 має два корені х = -4 w w w . 4 b o o k . o r g
- 77. -3 -5 . -— 2— “ ~ задовольняє умові > 0; х^ = 1• Якщо д с < О, рів няння набуває вигляду -д:^ + Зд: - 4 = 0. Це рівняння не має коренів, бо D < 0; дійсно, D = 3^ - 4 •(-1 ) ■(-4 ) = 9 - 16 = -7. Отже, рівняння хх+ Зх - 4 = 0 має один корінь х = 1. 4) Рівняння -р т -х -г г О не існує при 1 * 1 л- = 0. Якщо а: > О, рівняння набуває ви гляду - х - 2=0; В =(-1 )= - 4 1 ■(-2 )= = 1-Ь8 = 9 = 3'; 1-3 - = -1 X > 0; х , = 1-1-3 ■не задовольняє умові = 2. Якщо j: < О, маємо рівняння -х^ - х - - 2 = 0, яке не має коренів, бо його дис кримінант D < 0; дійсно, D = (-1)^ - ~ 4 ■(-1 ) -2 = 1 - 8 = -7. Отже, дане рів няння має один корінь х = 2. 772. 1) (^/ї-3)(д:'-д:-6) = 0; тоді [х - 3 = 0; J x = 3; X = 9 або - х - 6 = = 0; О = (-1)2 - 4 ■1 ■(-6 ) = 1 -f 24 = 25 = 5“; *1 = = -2 — не задовольняє умові д:>0; l-^5 = 3. Числа З і 9 — корені дано- - 2 - 2 ГО р і в н я н н я . 2 2) При X = О рівняння x ^ - - j ^ - 3 = 0 не має змісту. 1 *1 Якщо д :> О, отримуємо рівняння х ‘ - 2 х - - 3 = 0; D = (-2)2 - 4 1 (-3 ) = 4 -І- 12 = 16 = 4^; 2—4 х, = —— = -1 — не задовольняє умові дс> 0; х, = 2-f4 = 3. 2 2 Якщо X < О, маємо рівняння + 2д: - - 3 = 0; D = 22- 4 1 ■(-3 ) = 4 -І- 12 = 16 = 42; -2 -4 „ -2-Н4 , Хз=— ^ = -3; X, = - у - = 1 — не за довольняє умові X <0 . 2 х ‘ Отже, рівняння р -3 = 0 має два 1 * 1 корені X = -З та X= 3. 3) Використовуючи означення моду ля, отримуємо рівняння х^ ~ 4х - 5 = О при J C> Ота рівняння -х^ - 4х - 5 = 0 при X < 0. Друге рівняння не має коренів, бо його дискримінант — від’ємне чис ло. Дійсно, D = (-4)2 - 4 X X (-1 ) (-5 ) = = 16 - 20 = -4. Розв’язуємо рівняння х ^ - 4 х - 5 = 0; £ >= (-4 )2 -4 l(-5 )= 1 6 -t -2 0 = 36 = 62: 4 -6 X, = —- — = -1 — не задовольняє умові х > 0 ; х, = Ц ^ = 5. х^ 4) Рівняння ■ г-7-н4х - 12 = 0 не має 1 *1 змісту прих = 0. Якщо X > о, отримуємо рівняння Х2-І-4Х- 12 = 0; /) = 42 -4 - 1 •(-12) = 16-І-48 = 64 = 82; -4 - 8 Х) = — - — = -6 — не задовольняє умові * > 0 ; х, = ^ ^ = 2. Якщо X < О, маємо рівняння -х2 + 4х - -1 2 = 0, яке не має коренів, бо його дис кримінант — від’ємне число. Дійсно, D = 42 - 4 (-1 ) (-12) = 16 - 48 = -32. Дане рівняння має один корінь х = 2. 773. Квадратне рівняння має один (двократний) корінь, якщо його диск римінант 0 = 0, тому: 1) £» = 1 2 -4 -2 (- а ) = И -8 а ;И -8 а = 0; 2) D = ( - a ) 2 - 4 1 - 4 = a 2 -1 6 ;a 2 -1 6 = = 0; (а - 2 )(а -f 2) = 0; тоді а - 2 = о, а, = 2 або а -Ь2 = О, = -2. 774. Квадратне рівняння, дискримі нант якого Z) = о, має один корінь, тому маємо: 1) (-1)2 - 4 • 4 • Ь = 0; 1 - 16& = 0; 2) b 2 _ 4 .i .9 = 0;fc2-36 = 0;(6-6)(b-t- 6) = 0; тобто і>- б = 0; 6, = 6 або Ы- 6 = О, bj = -6. 775.1) . а -1 4 а + 49 ( а - 7 у ' а - 1 ' 2) _ ^ , (*.. 1 ) ( * - - * ^ 1 ) , , , і . х - х + 1 х ^ - х + 1 776, За умовою у = 0,2х - 15. Якщо X = 0,то у = -15; якщо у = 0,то 0,2х - -1 5 = 0; w w w . 4 b o o k . o r g
- 78. = 75. Отже,графік даної функ- 0,2 дії перетинає осі координат в точках ^ (0 ;-1 5 )iß (7 5 ;0 ). 777. За умовою а + Ь =5, аЬ = -7, тому маємо: 1) аЬ^ + а‘Ь = аЬ{Ь + а) = ab ■(а + Ь) = = -7 -5 = -35; 2) а‘ + Ь‘ = а‘ + 2аЬ + Ь^~ 2аЬ = (а + ЬУ - - 2аЬ = 5^ - 2 •(-7 ) = 25 + 14 = 39. § 22. Теорема Вієта 778. Згідно з теоремою Вієта маємо: 1) ж,+ ij= 1 5 ;x , ^2=14; 2) ж,+ д :2= -1 2 ;д :, •X2 = -28,■ 3) х^ + х^ = - П ; х ^ - х^ = 52; 4) ї , + Х2= 6; д :; Х2 = 5; 5) л , + j;j= -2 ;X j J:j= 0; 6) х, + х^ = 0; Xj - х^ = -8. 779.1)х,+х, =-^=-2 ; х, х,=-^; 2) j c ,+X2 = - ^ = 5; 9 = ^ = 6; 3) *,+JC, = - ^ = 2; ^г^2 = -тт: 4 ) X j + J C j - 4 ~ 4 ’ 780. 1)X, + X, = -(-2 ) = 2; д:, X, = = -8; 2) Xj + ^2 = -1 ; X, ■Х2= -6; 3) X,+Х2 = -9; Xj •Х 2= 5; g Q 4 ) Х,+Хг = - — = 3; JCr*2 = 2 ' 781. 1) x“ + 4 x - 5 = 0; D = 4 2 - 4 - ї х X (-5 ) = 1 6 + 30 = 36 = 62; _ _ 4 ^ _ . -4 + 6 _ * 1 - 2 - * 2 - 2 Перевірка; -5 + 1 = -4, -5 1= -5. 2) x='-4x-21 = 0;D = (-4 )2 -4 1 (-2 1 ) = = 16 + 84 = 100=10^; = .і»о - HO, - 3 + 7 = 4, -З - 7 = -2 1 . 3) 2 х ^ -5 х + 3 = 0 ;Л = (-5 )2 -4 2 3 = = 2 5 -2 4 = 1; - ! = § ■ 5+ 1 З ^ 2 = —^ = 2 ’ Діи'=“0 > 1 з _ з 2 2‘ 4) 2 х ' + 5 х + 2 = 0; D = 5' - 4 • 2 ■2 = X, = = -2; = 2 5 - 16 = 9 = 3“; -5 + 3 1. 2 ’ Д ій с н о - - 2 І = -^ - 2 2 ’ -2 = 1. 782. 1) х2 + З х -2 8 = 0; J 5= 3“- 4 1 •(-28) = 9 + 112 = 121 = 1Р; . . = Z 3 ^ = _V; х, = ^ = 4; Дійс но,-7 + 4 = -3 ;- 7 4 =-2 8 ; 2) 2х“- 1 3 х + 15 = 0;Z) = (-1 3 )2 -4 2х х15 = 169- 120 = 49 = 7“; 13-7 З 13+7 с - X, = j — = 2' ^2 =— 3 ^ . , 1 ^ . _ „ 1 13. З . 15 - + 5 = 1 - + 5 - 6 - = - ; - 5 = - . 783. Зведене квадратне рівняння має вигляд х“+ рх - g = О. За теоремою, обер неноюдо теореми Вієта, маємо: р = -(Xj + + x^);q = x^x^. 1) р = ~(2 + 3) = -5 ;? = 2 3 = 6 ;x“-5 x + + 6 = 0 — шукане рівняння; 2) р = -(-3 + 4) = -1 ;9 = (-3 ) 4 = -1 2 ;х“ - х - 1 2 = 0 — шукане рівняння; 3) р = - ( ( - 2 ) + (-7 )) = 9; 9 = (-2 ) (-7 ) = 14; х“ + 9х + 14 = О — шукане рівнян ня; 4) р = -(0,7 + (-0,1)) = -0,6; g = 0,7 X X (-0,1) = -0,07; x“ - 0,6х - 0,07 = О — шукане рівняння. 784. 1) р = -(5 + 1 ) = -6 ;7 = 5 - 1= 5; 2) р = -(2 + (-7 ))= 5 ;? = 2 (-7 ) = -14; 3) р = -((-2 ) + (-3 )) = 5;д = (-2 ) (-3 ) = = 6; 4) р = -(0,3 + (-0,5)) = 0,2; ? = 0,3 х X (-0,5) = -0,15. Відповідні зведені квадратні рівняння мають вигляд: 1) х“- 6 х + 5 = 0;2) х“+ 5 х -1 4 = 0; 3) х “+ 5х + 6 = 0;4) х“ + 0 ,2х-0,15 = = 0. 785. 1) -8 < о, тому корені рівняння X j і X j мають різні знаки; 2) 4 > О, тому X , і X j одного знаку; 3) і> 0 , тому X, і Xj одного знаку; О 4) О , тому X, і Xj — корені різних w w w . 4 b o o k . o r g
- 79. 1 786. Якщо зведенеквадратне рівнян ня має цілі корені, вони повинні бути дільниками вільного члена рівняння. Нехай Xji — корені даного рівняння, тоді маємо: 1) я:, + = 5; XjXj = 6; рівність = 6 означає, що числа і одного знаку, а рівність J C |+ Xj = 5, то вони додатні, от же, Xj = 2, jCj = З, бо 2 -І- З = 5 і 2 ■З = 6; 2) х^ + х^ = 1; х^х^ = -6; тоді х, х^ — числа різних знаків; х^ - 2, х^ = З, бо -2-І-3 = 1 і-2 3= -6; 3) = -7, тому х, і — числа різ них знаків, причому х^ + х^ = 6, Xj = -1, Xj = 7; дійсно, -1 • 7 = -7, -1 -І- 7 = 6; 4) x,Xj = -4, тому Xj і Xj — числа різних знаків, оскільки х, -І- х^ = -З, то х, = -4, х^ = 1, бо -4 -І- 1= -З, -4 ■1= -4; 5) XjXj = 42, тоді Xj і Xj — числа одного знаку; вони додатні, бо Xj -І- х^ = 17 > 0. Отже, Xj = З, Xj = 14. Дійсно, 3-1-14 = 17 ІЗ - 14 = 42; 6) XjXj = -24, тому X, і Xj — числа різних знаків, оскільки Xj -Ь х^ = 5, то X, = -З, Xj = 8. Дійсно, -З -І- 8 = 5, -З ■8 = = -24. 787. 1) XjXj = 4, тоді Xj і Xj — числа одного знака; Xj -І- х^ = 5, отже, Xj = 1, х^ = 4, б о И -4 = 5 ,1 -4 = 4; 2) XjXj, = -6, тоді Xj і Xj — числа різних знаків; х^ + х^ = 1, отже, х, = -2, х^ = З, б о -2 -Ь З = 1 і-2 -3 = -6; 3) XjXj = З і Xj -Ь Xj = -4, тоді X, і Xj — від’ємні числа; х, = -З, х^ = -1, бо - 3 - 1 = -4, (-3 ) (-1 ) = 3; 4) XjXj = 27 і Xj -І- Xj = 12, тоді х, і Xj — додатні числа; Xj = З, х^ = 9, бо З -Ь9 = 12; 5) XjXj = -6, тоді Xj і X j, — числа різ них знаків; причому х, -Ьх^ = 1; Xj = -З, Хз = 2, бо -З 2 = -6, -З -t- 2 = -1; 6) XjXj = -22, отже Xj і Xj — числа різ них знаків; х^ -І- х^ = -9, тоді, х, = -11, х^ = 2, бо-11 ■2 = -2 2 ,-1 1 -І-2 = -9 . 788. 1) Згідно з теоремою Вієта XjXj = 5, отже, корені одного знаку. Ос кільки Xj -(- х^ = -8, то корені рівняння від’ємні; 2) XjX^ = -1, тому корені рівняння різ них знаків; 3) XjXj = -7, тому Xj і Xj мають різні знаки; 4) рівняння має додатні корені, бо 7 1 x , + x , = j ; х,х, = - . 789. Обчислимодискримінант кожного з даних рівнянь: 1) D = (-13)='-4 1 (-2)=169-(-8 = 177; D > 0. Рівняння має два кореня різних знаків тому, що х^х^ = -2, -2 < 0; 2) Л = 17^-4 1 1= 285;D >0. Рівнян ня має два від’ємні корені, бо х^х^ = 1 і Xj 4- Xj = -17; 3) ö = (-1 4 )^ -4 -5 1 = 196 - 20= 176; Л > 0. Рівняння має два додатні корені, бо ХіХг = |, і > 0 і Х,-НХ2= |; 4) D = 7 2 -4 -З (-18) = 494- 216 = 265; D > 0. Рівняння має два корені різних знаків, бо XjXj = - 790. Корені рівняння задовольняють 389 умові - — — у тому числа і х^ мають різні знаки. 791. 1) X, = -і;х ^ = 5,тодізаоберненою = -4 2 = _І1 . з З ’ теоремою Вієта Р = 9 = 5= - - . Отже X , і Xj, — корені 14 5 рівняння X - — х - —= 0 З З - 14 х- 5 = 0; - - В - І ) або Зх^ - 3 + 1 0 13. 12 12’ 9 = 5 = — ; тому Xj 1Xj — ко рені рівняння х^ + Щ х + - ^ = 0 або24х“ 4-26х + 5 = 0; 3) р = -(ч/5-ч/5) = 0; q = S i S ) = -{y/bf = -5. Тоді Xj і Xj — корені рівняння х^ - 5 = 0; 4) р = -(2-ч/3-н2 + ч/3) = -4; 9 = (2 - >/з)(2-н>/з) = 4 - (ч/з)‘^= 4 - З= 1. Тоді Xj і Xj — корені рівняння х^ - 4х 4 - 4-1 = 0. 792 1) р=- = і2 = 5; З З ’ 1 2 9 = (-2 )-■ ^ = -■5 ; т о д і X , і X j — к о р е н і w w w . 4 b o o k . o r g
- 80. г 5 2 р івн я н н я х^ + - х - - = 0 а 6 о З х ^ + 5 х - - 2 = 0: 2) Р = - О г ж е X, И , 5. ‘ 8 ’ = 1 і = -і- ^ 8 2 16’ І л; — корені рівняння jc *_| * + j ^ = 0 або Ібх^'- 10д:+ 1 =0; 3) p = - ( - n /7+V7) = 0; g = (-V 7)>/7=-(V 7)^ = -7; тоді *1 і *2 — корені рівняння х ^ - 7 = 0; 4) р = -(3 + ч /7+ 3->/7) = -6; g = (З+ х/^)(3 - >/7) = 9 - (>/7f = 9 - 7 = 2; тому •*! і ^2 — корені рівняння - - 6ж+ 2 = 0. 793. За умовою Xj = 1,5 — корінь рів няння + рх - 9 = О, тоді 1 ,5 + *2 = -p ; | -р = 1,5+ х2 ; 1,5-;с2= -9; [х2= -9;1,5; -р = 1,5-6; |р = 4,5; Xj = -6; 1*2 = -6- 794. За умовою ж, = -3 ,5 — корінь рівняння х‘ + 6х + д = 0, тоді ж , + (-3,5) = -6; 1*2 = -6 + 3,5; -3,5 *2 = 9; [д = -3,5 *2! *2 = -2,5; *2 = -2,5; д = -3,5 (-2,5); [д = 8,75. 795. Відомо, що корені і х^ рівнян ня X* - 4* + g = о задовольняють умові 2jCj - 3*2 = 13. Крім того, *, -І- *2 = 4 за теоремою Вієта. Одержуємо систему рівнянь для знаходження х^ і х^: х^ + х^ = 4; 2Х | —3x2 = 13j = 4 -*2 ; 2 (4 -*2 )-3 *2 = 13; *1 = 4 -* г ; 8 -2*2-3 *2 =13 ; * і = 4 -*2 ; 1*1=5; ~"5л2 “ 5j Х2 ~ 1- Тодід = *, *2 = 5 (-1 ) = -5. 796. Відомо, що корені *J і *2 рівнян ня *2 4 -р * - 10= о задовольняють умові 2*j -І- 5*2 = О- Крім того, за теоремоюВієта, *, -І- *2 = -р та *|. *2 = -10. Отже, 2 * , -І- 5 * 2 = 0 ; *,*2 = -10; *2 + *2 = -р: * = - ^ * - ■ * 1 2 -|*2^ = -10; *, + *2=-р; _5, 2^ *2=4; *2-Н*2=-р. з другого рівняння системи знаходимо *2=2 або *2= -2, тоді, відповідно, *, = -5, р = -(-5 + 2) = З або *, = - | (-2 ) = 5, р = -(- 5 - 2) = -3. Таким чином, маємо два розв’язки: *^ = 5, *2 = -2 , р = -З та *, = -5, *2 = 2,р = 3. 797. Числа *j і *2 — корені рівняння *j -Н4* - З= О, тому задовольняють умовам *, -І- *2 = -4 , * j*2 = -З (теорема Вієта). Використовуючи ці умови, знаходимо: 1 _ * і + * 2 _ - 4 _ 4 . *, 1) *, *2 *1*2 -З З’ 2) *f*2 -ь* 1 * . = * . * 2 ( * , + * 2 ) = -З (-4) = 12; 3) *f + *2 = *f - I -2*,*2 + х - 2*,*2 = (*, + -I- x^f - 2* 1*2= (-4 )'- 2 (-3 ) = 16 -t -6 = 22; 4) *2 І *1 *2+*f *1 *2 *1*2 22 -3 - h 5) 1 1 _х^ + хІ _ 22 22 ХІ ( Х , Х , Г ~ (-3)^ 9 ■ 6) (*1 ”*2) — *1 *2-2*1*2 = 22 х(--3) = 22-1-6= 28. Зауважимо, що при розв’язку при кладів 4)-6) був використаний резуль тат, отриманий в прикладі 3). 798. Числа *, і *2 — корені рівняння *^ - 5* - 2= О, тому задовольняють умовам *, -І- *2 = 5.* 1*2= -2. Тоді: 1) + = 5 =_2,5; *, *2 *1*2 -2 2) * f* 2-i-*2*i = *,*2(*1 -І-* 2 ) = -2-5 = -10; 3) xf + х І = xf + 2*1*2 + *1 - 2* 1*2 = (*і + -Ь* 2 )' - 2*1*2 = 5 ^-2 (-2 ) = 25 -Н4 = 29; 4) £ і + £а. = і ± £ І = ^ = -14,5; *2 *1 *1*2 -2 * f% 2 ^ -(* i* 2 )^ '(-2 )^ 4 - " ’25. 6) (*1- * 2)" = *,Ч *| -2 *і*2 = 2 9 -2 X X (-2 ) = 29-ь4 = 31. 799. Корені *1 і *2 рівняння *^ - з* - - 9 = 0 задовольняють умовам х^ + х^ = w w w . 4 b o o k . o r g
- 81. = з, =-9 . За умовою задачі числа j/j= X, + 2 і + 2являються коренями рівняння +рі/ + q = 0. Тоді за теоремою, оберненою до теореми Вієта, маємо: р = -(Уі + J/j), 9= i/iJ /j. Знаходимо ці числа: р = -(де, + 2 + х^ + 2) = = -(X, + Хз) - 4 = = -З - 4 = -7 , 9 = (X, + 2)(х, + 2) = х,х, + + 2(х, + Xj) + 4 = -9 + + 2 ■З + 4 = 1. Отже, - 7у + І = 0 — шукане рівняння. 800. Числа х^і х^ — корені рівняння х“ ' + 2х - 7= О, тому X, + X j = -2, х,х^ = -7. За умовою І/, = Xj - 3 ,1 / 2= - З, тоді і/, + + і/, = х, - 3 + Х2-3 = х, + Х2-6 = - 2 - 6 = = -8; = (х, - ЗКх^ - 3) = X jX j - 3(х, + + Xj) + 9 = -7 - З (-2 ) + 9 = 8. Отже, у* + 8і/ + 8 = О — шукане рівняння. 801. Згідно з умовою числа а і Ь є розв’язками системи рівнянь: 0+ 6= 32; а = 7Ь; 7&+ Ь = 32; а = 7Ь; fb = 4; а = 28. 86 = 32; а = 76; 802. Позначимо через х і у вагу першого і другого сплавів відповідно. Тоді цинку в них міститься відповідно 0,8х кг та 0,65j/ кг, що разом складає 0,29 ■200 кг цинку в новому сплаві. Отже, числа х і у є розв’язками системи рівнянь: х + у = 200; р,8х + 0,65і/ = 0,29 200; у = 200 - х; 0,8х + 0,65(200 - X ) = 0,29 200; І/= 200-х; (0,8 + 0,65)х = (0,29 - 0,65) •200; І/= 200-х; Г і/= 200-х; 0,15х = -72; |х = -72:0,15; fy = -280; їх = -480. Рішення не задовольняє умову задачі, бо числа X і у мають бути додатними. 802 П означим о через х і у вагу першого і другого сплавів відповідно. Тоді міді в них міститься, відповідно, 0,2х кг та 0,35у кг, що разом дає 0,29 х X 200 кг міді в новому сплаві. Отже, числа х і у є розв’язками системи рівнянь: х + у = 200; 0,2х + 0,35і/ = 0,29 200; ■ у= 200-х; р, 2х + 0,35(200 - х) = 0,29 200; у= 200-х; (0,2-0,35)х = 200 (0,29-0,35); у = 200-х; fi/= 200-80; -0,25х = -0,06-200; X= 80; у = 120. 803. (у = 200 [х = 80; •Jx + yjy yfx-уІУ _ {s/x + ^ ) { ^ - y f y ) -Jx-yfy _ Vx(>/x-Vy) yfy (•Jxf -(-J x f -jx-yjy ^ •JxiJx-Jy ) yfy y ( 4 x - ^ ) _ %/y^ fy 'Jx,Jy{-Jx -.Jy) 4x Vx § 23. Розв’язування задач за допомогою квадратних рівнянь 804. Нехай одне з чисел є х, тоді дру ге — (х - 5). За умовою х ■(х - 5) = 204, х^ - 5х - 204 = 0; D = (-5)2 - 4 •1 ■(-204) = = 25 + 816 = 841 = 29^ х, = = -12; 5+ 29 х^ = — 2— = 17. За змістом задачі число X — натуральне, тому нас задоволь няє лише X = 17. Тоді друге число є 12 (1 7 -5 = 12). 805. Нехай менше з натуральних чисел дорівнює п, тоді більше дорівнює п + 3. За умовою п(п + 3) = 180; /і* + Зп - 180 = = 0; D = 3^-4 ■1 (-180) = 9 + 720 = 729 = = 272; ^ -3 -2 7 = -15; п ,= -3 + 27 = 12. 2 ’ 2 2 За змістом задачі число п — натуральне, тому нас задовольняє п = 12, тоді п + 3 = = 15. Числа 12 і 15 — шукані. 806. Нехай менша сторона прямокут ника дорівнює а см, тоді більша сторона дорівнює а + З см. За умовою а(а + 3) = = 108; а^ +З о - 108 = 0; D = З* - 4 1 108 = 9 + 432 = 441 = 21^; o . = Z ^ = -12; о. = ^ = 9. За змістом задачі число о — додатне, то- w w w . 4 b o o k . o r g
- 82. лу a =9, тоді a + З = 12. Отже, периметр даного прямокутника дорівнює 2 • (9 + + 12) = 42(см). 507. Нехай менша сторона ділянки дорівнює Ь (м), тоді більша сторона дорівнює h+ 10 (м). За умовою Ь(Ь + 10) = = 375; + ІОЬ - 375 = 0; В = 102 - 4 X X 1 •(-375) = 100 + 1500 = 1600 = 40^ Нас задовольняє додатний корінь рівняння, тому Ь = ^ fc + 10 = 25. Отже, довжина паркана становить 2(1 5 + + 25) = 80(м). 808. Нехай менший катет трикутника дорівнює а см, другий катетдорівнює Ьсм. За умовою а + Ь= П і ^ а Ь -35; тобто ab = = 70. Тоді а і ft— додатні корені рівняння -1 7л + 70 = 0.І) = (-1 7 )*-4 - 1 •70 = 289- -2 8 0 = 9 = 3 2 ; = Отже, катети прямокутного трикутника дорівнюють 7 см і 10 см. 809. Нехай менший катет прямокутного трикутника дорівнює а см, тоді більший катетдорівнює (а + 7)см. За умовою а‘ + + (а + 7У = 13^ (теорема Піфагора), тобто а“+ + 14а + 49-169 = 0; 2а^ + 14а - 120 = = 0a6oa^+7a-60 = 0 .D =7 ^-4 1 (-6 0 ) = = 49 + 240 = 289 = 17^ За змістом задачі -7 + 17 , число а — додатне, тому а = — - — = 5, тоді 0 + 7 =1 2 . Периметр трикутника дорівнює 5 + 12 + 13 = зо (см). 810. Нехай а і 6 — сторони прямокут ника. За умовою а + Ь = 14; а Ч б " = 10"; ft= 14-а; а " -(1 4 -а )" = 100; ft= 14-а ; а Ч і9 6 -2 8 а + а '-1 0 0 = 0. Спростимо і розв’яжемо квадратне рів няння 2а^ - 28а + 96 = О або - 14а + + 48 = 0; £>= (-14)2-4 1-48 = 196- 192 = = 4 = 22; а . = І І ^ = 6; а , = ^ ^ = 8. Тоді bj = 1 4 -a , = 1 4 -6 = 8;ftj=1 4-a2 = = 14 - 8 = 6. Отже, сторони прямокут ника дорівнюють 6 см і 8 см. Тоді його Площа S = 6 8 = 48 (см^). 811. Нехай п — натуральне число, тоді (п + 1) — наступне натуральне число. За умовою п{п + 1) — 181 = л + (л + 1); + п - 181 - 2 / 1- 1 = 0; - л - 182 = 0; D = (-1)2 - 4 1 (-182) = 1 + 728 = 729 = = 272. Оскільки п — натуральне число, 1+ 27 то п = - = 14; п + 1 = 15. 812. Нехай сторона квадрата дорівнює а см. Коли від нього відрізали смужку шириною ЗОсм, утворився прямокутник зі сторонами а см і (а - ЗО) см. За умовою а (а - ЗО) = 2800; а^ - 30а - 2800 = 0; D = (-30)2 - 4 1 (_2800) = 900 + 11 200 = = 121 000 = 1102. За змістом а — додатне число, тому а = ^ 5 і і і 2 = 70 (см). 813. Нехай менша сторона прямокут ника дорівнює а дм, тоді його більша сторона дорівнює (а + 5) дм. За умовою а{а + 5) = 300; а2 + 5а - 300 = 0. Знахо димо додатний корінь цього рівняння: D = 52- 4 1 (-300) = 25 + 1200 = 1225 = 352; а = ^—І — = 15 (дм). Другий корінь рів няння а = - -5 -3 5 = -20 не задовольняє змісту задачі. 814. Нехай (л - 1), п і (л + 1) — три по слідовних цілих числа. За умовою3(л - 1)^- - 242 = + (п + 1)2, тобто Зл2 - 6л + З - -2 4 2 -л 2 -л 2 -2 л -1 = 0 ; л2-8л-2 40 = 0; Ü = (-8)2 = 4 1 ■(-240) = 64 + 960 = 1024 = = 322; 2 ''2 2 Таким чином, маємо два набори цілих послідовних чисел {-13; -12; -1 1 } та {19; 20; 21), які задовольняють умову задачі. 815. Нехай п - 1; п; п + 1 — три послідовних цілих числа. За умовою 2(л - 1)2+ 2л2 - 970 = (л + 1)2. Спрощуємо це рівняння та знаходимо його цілі корені 2л2 - 4п + 2 + 2л2 - 970 - л2 - 2л - 1 = О Зл2 - 6л - 969 = 0; л2 - 2л - 323 = О £ >= (-2 )2 -4 1 (-323) = 4 + 1292= 1296 = = 362 2 -3 6 ,7. п, = — — = -17; л, = ^ = 19. 2 2 Отже, два набори цілих послідовних чисел {-18; -17; -16) та {18; 19; 20) за довольняють умові задачі. w w w . 4 b o o k . o r g
- 83. 816. Нехай пі т — шукані натуральні m+ п = 12; m ®+ n’ = 468; числа. За умовою т + п = 12-, (т + п)(т^ - т п + п‘ ) = 468; п = 12-т; /ті^-тл + л" = 468:12; m 2 - т(12 - т ) + (12 - m f = 39; - 12т + + 144 - 24т т^ - 39 = О 3т‘ -36т + 105 = 0|: 3; п^- 12ш + 35 = 0 D = (-12)2 - 4 1 35 = 144 - 140 = 4 = 2^ 1 2 - 2 ^ 12+2 ^ т, = — ^ = 5; т , = — ^ = 7. Відповідно знаходимо п^ = 7 і п^ = 5. От же, 5 і 7 — шукані натуральні числа. 817. Нехай швидкість першого велоси педиста дорівнює V км/год, тоді швидкість другого становить (і; - 4) км/год. За 2 год вони подолали відповідно відстань 2v км та 2(v - 4) км. За умовою велосипедисти рухаються зі спільної точки у взаємно перпендикулярних напрямках і через дві години відстань між ними була 40 км. Тоді за теоремою Піфагора маємо рівняння (2иУ + (2(и - 4)У = 40=; 4v‘ + 4v‘ - 32v + + 64 - 1600 = 0; 8v^ - 32v - 1536 = 0 | : 8; n ^ - 4 n - 192 = 0; D = (-4)2 = 4 1 (-192) = = 16 + 768 = 784 = 28^; u, = = -12; 4+ 28 1Й о • ^2 ” — 2— ЗМІ СТОМ з а д а ч і з н а ч е н н я V — д о д а т н е ч и с л о , т о м у и - = 16 ( к м / г о д ) , т о д і и - 4 = 12 ( к м / г о д ) . 818. Нехай а іЬ — сторони прямокут ника. Тоді за умовою 2(а + Ь) = 44; а‘ +Ь^ = 244; а + &= 22; а^ + Ь^ = 244; ft= 22-a; а“+ (22-а )" -244 = 0. Спрощуємо та розв’язуємо друге рів няння системи: + 484 - 44а + - 244 = 0; 2а^ - 44а + + 240 = ОІ; 2; - 22а + 120 = 0; D = (-22)2 - 4 1 120 = 484 - 480 = 4 = 22; а . = ^ = Ю; а , = ^ = 12. Отже, прямокутник має сторони дов жиною 10 см і 12 см. 819. Нехай X — ширина рамки, тоді її сторони дорівнюють (2л: + 10) см та (2х + + 15) см. За умовою (2х + 10)(2д: + 15) = = 204; 4.г2 + ЗОх + 20х + 150 - 204 = О 4д:2 + 50д- - 54 = О І2; 2^2 + 25х - 27 = О Л = 252- 4 2 (-27) = 625 + 216 = = 841 = 292 ^ -2 5 -2 9 27 2 -25 + 29 , X , = --------- :---------- = 1 . ‘ 4 2 ’ 2 4 За змістом задачі значення х — додатне число, тому х = 1 (см). 820. Нехай X— ширина доріжки, тоді клумба має довжину (8 - 2х) м і ширину (6 - 2х) м. За умовою (8 - 2х)(6 - 2x) = 15; 48 - 16х - 12д: + 4^2 - 15 = 0; 4*2 - 28л: + 33 = 0; D = (-28)2 _ 4 . 4 . 33 = = 784 - 528 = 256 = 162; За змістом задачі сторони клумби по винні бути додатними, тому ширина доріжки становить 1,5 м. 821. Нехай п — кількість учасників турніру. Кожний з учасників зіграв п - 1 партію. Отже, всьогозіграно п{п - 1) партій, але при цьому кожна партія враховува лась двічі, тому насправді партій зіграно • ■ г, п ( п - І ) вдвічі менше. За умовою — — ^= 45; п (л -1 ) = 90;7!2- л -9 0 = 0; D = (-1)2 - 4 1 (-90) = 1 + 360 = 361 = = 192; „ . = 1 : ^ =-9 ; я , = 1 ^ = 10. Змісту задачі задовольняє натуральне значення п, тому п = 10. 822. Якщо родина налічує п членів і кожний підготував подарунки іншим членам родини, то всього підготовано п{п - 1) подарунків. За умовою п(п - 1) = 20; д2 - л - 20 = 0; £ ) = ( - 1 ) 2 - 4 . 1 . ( - 2 0 ) = 1 + 8 0 = 8 1 = 9 2 ; _ 1 -9 , _ 1+9 , п , = ~ = -4; П з = - ^ = 5. Отже, родина налічує 5 членів. 823. Знайдемо значення з формули h = v^t - 5f2 при t = 1, h = 10: 10 = - 5; = 15. Отже, потрібно знайти значен ня аргументу t, при якому значення h = 15t - 5<2дорівнює 10,8. Маємо рівняння 5t^ - 15< + 10,8 = О |■5; 25(2-75« + 54 = 0; D = ( - 7 5 ) 2 - 4 25 54 = 5625 - 5400 = = 225 = 2 5 2 ; w w w . 4 b o o k . o r g
- 84. На висоті 10,8м м’яч буде через 1,2 сек при підйомі та через 1,8 сек при спуску. 824. з формули h - h^ = v ^ t- 5t‘знай демо значення при t = 0,4; = 1,8; Л = 3,8: 3,8 - 1,8 = 0,4i)„ - 5 ■ (0,4)^; 0,4i>„ = 2 + 5 ■0,16; 0,4и„= 2,8; l > „= 7. За умовою потрібно знайти значення t, при яких значення функції h = l t - ~ + 1,8 дорівнює 4,25:5і^-7г + 4,25-1,8 = = 0; 5t‘ - 7 t - 2,45 = О |■5; lOOi" - 140« + + 49 = 0; В = (-140)2 - 4 100 49 = = 19600- 19600 = 0 ,тоді ' = = На висоті 4,25 м над землею м’яч буде через 0,7 сек. 825. з формули Л- Л„= - 5(2 знайдемо значення У д при t = 2, h = 40: 40 = 2и^ - - 5 - 4 ; 2v^ = 40 + 20; = ЗО. За умовою 44,2 = 30i-5f2| 5; 25(2 - 150і + 221 = 0; Ö = (-150)= - 4 25 х х221 = 22 500 - 22 100 = 400 = 20^; 150 + 20 , 75-15 6 75+15 о t , = - ’ = 3,4. 50 ’ ’ 2 50 На висоті 44,2 м ракета буде через 2,6 сек під час руху вверх та через 3,4 сек під час руху вниз. 826. 1) Зл:2 - 12 = о І : 3; - 4 = 0; х‘ = 4, тоді X, = 2 або х^ = -2; 2) 5х‘ - 9х = 0; х(5х - 9) = 0; тоді ж, = 0;5д :-9 = 0; л :2= | = 1,8; 3) Зд:2-10д; + 3 = 0 ;І) = (-1 0 )2 -4 З 3 = = 100-36 = 64 = 82; „ 10 -8 1. .. 10+ 8 о. * ' - - б “ = з ’ *2 = ~ б - - з . 4) ^2 4д, 4 _0; (j; + 2)2=0, тоді д ; + 2 = = 0,л: = -2. 827. 1) Згідно з теоремою, оберненою до теореми Віета, маємо: р = - ( - 2 + 6) = = -4; 9 = -2 6 = -12, тому д :2- 4д; ^ 12 = = 0 — шукане рівняння; 2) р = -(-7 - 3) = 10; 9 = (_7) (-3 ) = = 21, тому х ‘ + ІОх + 2 1 = 0 — шукане рівняння. 828. 1) (х+ 2)2=5 х -7; J f2+ 4 д :+4- 5 д :+ + 7 = 0; х^ - X + 11 = 0; рівняння не має коренів, бо Ü < О, дійсно, D = (-1)2 - 4 х XI ■11 = -43. 2) ^ х ‘ - Ь х = 0; х ( х - 2 0 ) = 0; і ^ О , тоді X, = Оабо X - 20 = О, А Г = 20. § 24. Квадратний тричлен, його корені. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники 829. Квадратними тричленами є виразп д ;2+ X - З та Зх - 7 + 5х*, всі інші вирази не є квадратними тричленами. 830. Квадратними тричленами є ви рази: х2- X- 1; 4x2 ^ lg + 5д ; 5 та -7 + ІОх + 14x2. 831. 1) х2 - 2 х -Г 1 = 0; (х - 1)2 = 0; X = 1 — корінь квадратного тричлена х 2 -2 х + 1; 2) х2 + 8х - 9 = 0; £ 1 = 82 - 4 ■1 (-9 ) = = 100; Xj = -9, Xj = 1 — корені квадратно го тричлена х2 + 8х - 9; 3) х 2 -5 х + 6 = 0;£і = ( - 5 )2 - 4 - 1-6 = 1; Xj = 2; Xj = З — корені квадратного тричлена х2 - 5х + 6; 4) х 2 - 2 х - 3 = 0; £ >= (-2 )2 -4 • 1 (-3 ) = = 16; Xj = -1; Xj = З — корені квадратно го тричлена х2 - 2х - 3. Таким чином, з чисел 1; 2; Зкоренями да них квадратних тричленів є: 1)1; 2)1; 3)2 ІЗ; 4)3. 832. 1) Л = 22-4 1 (-5 ) = 2 4 ,0 > 0 ; х2 + 2х - 5 має два корені; 2) £ 1= 32-4 1 7 = -1 9 ,D < 0 ;x 2 + 3x + + 7 не має коренів; 3) £) = (-2 )2 -4 1 1 = 0 ;х 2 -2 х + 1має один корінь; 4) £) = (-1)2 - 4 1 (-2 ) = 9, £» > 0; х2 - - X - 2 має два корені. 833. 1) Z )= 1 2 -4 1 (-6 ) = 25,£)>0; х2 + X - 6 має два корені; 2) Z) = 62 - 4 1 9 = О; х2 + 6х + 9 має один корінь; 3) £» = ( - 2 ) 2 - 4 1 5 = - 1 6 , £ ) < 0 ; х 2 - 2 + + 5 не має коренів; 4) £ > = 32 - 4 1 (-7 ) = 37, £) > 0; х2 + + Зх - 7 має два корені. 834. 1) х 2 -6 х + 5 = 0; D = (-6 )2 -4х х1 5 = 16; х . = ^ = 1; Х з = ^ = 5; Xj І A Tg — к о р е н і к в а д р а т н о г о т р и ч л е н а w w w . 4 b o o k . o r g
- 85. л х ^ -6 х + 5; 2) д:2-4д--12 = 0;/) = (-4 )^ -4 1 (-12) = 4 -8 „ 4 + 8 „ = 64; х , = ~ = -2; х , = — = 6; х^ і х^ — к о р е н і к в а д р а т н о г о т р и ч л е н а д:^-4л:- 12; 3) 5х‘ - 1 0 х + 5 = 0 ; 5 ( х - 1 Г = 0; X = 1 — к о р і н ь к в а д р а т н о г о т р и ч л е н а 5х^ -1 0 х + 5; 4) -2л:^-3л: + 2 = 0; D = (-3 )^ -4 (-2 )х х2 = 25; д :, = -4 _ 3 + 5 _ 2 . * 2 - _ 4 - Д Xj і *2 — корені квадратного тричлена -2 x ^ - 3 * + 2. 835. 1) 12 = 0;D = (-7 )2 -4 x 1 1 0 1 7“ l o '^■^1/1 x l l2 = l; x ,= — = 3; x , = ~ = 4; jC j і — корені квадратного тричлена х^-7ж + 12; 2) a:2 -x - 20 = 0;D = (-1 )2 -4 -1 (-20) = = 81; x , = i ^ = -4; ^, = ^ = 5; л:, і — корені квадратного тричлена х ^ - х - 20; 3) 6х^ - 7х + 1 = 0; Ö = (-7)^ - 4 - 6 1 = 7 -5 1 7+5 , = 25; д г , = = - ; х^= = 1; 12 12 Xj І х^ — корені квадратного тричлена 6 х ^ - 7 х + 1 ; 4) -3х^ + 6 х - 3 = 0 і : ( - 3 ) ; х ^ - 2 х + 1 = = 0; (х - 1)^ = 0; X = 1 — корінь квадрат ного тричлена -Зх^ + 6х - 3. 836. 1) 16х^ - 5х + 1не розкладається на множники, бо D < 0 (перевірте); 2) 4х* + 4х + 1=(2х + 1)^; 3) 2х^ + х -1 9 = 0 ;£)=1 ='-4 2 (-19) = = 153, D > О, тоді 2x2 + X- 19 = 2(^ - X (х - Xj), де X; 2= . 837. l ) ö = (-5)=*-4 1 4 = 9; X , = ^ = 1 Д С г= = 4; х2 - 5х + 4 = (х - 1)(х - 4) 2) Х І=7 "-41 (-8 ) =81; х, = -7 - 9 = 1; + 7х - 8 = (х + 8)(х - 1) 3) £ >= (-5 )^ -4 2 2 = 9; х . = ^ = | -, = ^ = 2; 2х"-5х + 2 (х -2 ) = (2х-1)(х-2); 4) D = I V - 4 ■ (-1 ) (-24) = 25; х , = ^ = 8 ; х , = ^ = 3; -х^ + 1 І Х - 24 = -(х - 8)(х - 3); 5) £) = 8^ - 4 (-3 ) • З = 100; - 8 -Ю „ -8 + 10 1. -3х48х +3= -3(х-3) = (х-3)(1 + 3х); 6 ) £1= 1 2 - 4 4 ( - 3 ) = 4 9 ; X, = - ^ ^ = - 1 ; -1 + 7 3. 4 ’ 4х" + х -3 = 4(х + 1) X - = (х + 1)(4х-3). 838. 1) D = (-8 )2 -4 1 7 = 36; X = ^ = 1- X = ^ - 7 - х " -8 х + 7 = ( х - 1 )(х - 7 ); 2) В = 8^-4 ■ 1 • (-9 ) = 100; _ - 8 - 1 0 _ _ -8 + 10_ . — 2 - -^ 2- 2 — ’ х^ + 8 х -9 = (х + 9 )(х -1 ); 3) 0 = (-7 )2 -4 2 3 = 25; х^ = х, = І ^ = 3; 7 - 5 1 . 4 2 ’ 2 х'-7 х + 3= 2 - І (х -3 ) = (2х-1)(х-3); 4) і>= 12-4 (-1 ) 12= 49; X, = - і ^ = 4; Х2~ _2 — ’ -х^ + х + 12 = - ( х - 4)(х + 3); 5) D = (-5)2 - 4 • (-6 ) 1 = 49; , , = ^ 4 ; х , = ^ = -1; -12 6 -6д ;2-5х + 1= -6 -12 (х + 1) = (1-6і)(х + 1); 6) Z )=1 92 -4 7 (-6 ) = 529; -19 + 23_ 2 . 14 7 ’ = (х + 3)(7х-2). -19-23 14 --3 . 7 х Ч і9 х-6 = 7(х + 3) ' - І ' 839. Оскільки 3 x2 -6 х - 9 = 3 (х 2 -2 х - - 3); -4x2 + 8х + 12 = -4(х2 - 2х - 3), то д а н і т р и ч л е н и м а ю т ь о д н і й т і с а м і к о р е н і w w w . 4 b o o k . o r g
- 86. f = -1, Xj = з, тому - 2x - 3 = (x + l ) x X (* - 3); 3x^ - 6x - 9 = 3(1 + IKX - 3); -4x^ + + 8д:+12 = -4(д; + 1)(л:-3). 840. 1) Неправильно, потрібно: 2x‘ + + 4 i:-6 = 2 (jc -l)(x + 3); 2) правильно, бо квадратний тричлен х ‘ - 2х + 1 має один двократний корінь х = 1. 841. 1) Правильно, оскільки квад ратний тричлен х‘ - 2х - З має корені х, = 3,х^ = -1; 2) неправильно, правильний запис 2x‘ - S x + 8 = 2(х - 2У. 0J0 і ^ “ 1 _ _ 1 ’ i^ -4 x + 3 “ (* - l)(a :- 3 )” * - 3 ’ х ^ - Ъ х - Ы _ (х + 2 )(х -'!) ^ 843. 1) х+ 2 х+ 2 х+1 1+ 1 1 іЧ З х + 2 (х + 1Хх + 2) х + 2’ х‘ +3х-10 (Х-2КХ + 5) - і - 2 ■ 844. 1) £» = 2 2 - 4 1 - 7 = -2 4 ,D < 0 ; 2) і) = 2 2 -4 (-2 ) (-7 ) = -4 0 ,Z )< 0 . Отже, дані квадратні тричлени не ма ють коренів, тому не можуть бути роз кладені на лінійні множники. 845. 1) х‘ +2 х - 5 = х^ +2х +1 - 1 - 5 = = ( х + 1)^-6; 2) х ^ - 4 х + 7 = х‘ - 4 х + 4 - 4 + 7 = ( х - - 2)‘ + 3; 3) 2х‘ - 4 х + 10 = 2(х‘ - 2 х + 1 - 1 + 5) = = 2 ( х - і у + 8; 4) Зд:^-18л: + 27 = 3(a:2-6д:-^-9) = 3(J:- -3 )^ 846. 1) х‘ - 2 х + 7 = х ^ - 2 х + 1 + 6 = = ( х - 1 ) ‘ + 6; 2) + 4х - 13 = + 4л: + 4 - 4 - 13 = = ( х + 2 ) ‘ - 1 7 ; 3) 3х‘‘ -24д:-1-3 = 3(д:2-8д:-1-16-16-и) = = 3 (х -4 )2 -4 5 ; 4) 2x‘ + 4x + 2= 2(x^ + 2x + l ) = 2(x + l f . 847. 1) ix' -2x- 7 = i(x “-6*-21) = О о = + 9 - 9 - 21) = і ((л - 3)' - ЗО) = О о = ^ ( х - 3 - у Ш ) ( х - 3 + у /Ш); 2) 0,2д:Ч7д:+4+40 = 0,2(хЧ35х+200) = = 0,2 f „ -35-5УІЇ7'' ( -35+5jV7' ^ ■ ■ '2 ...... 2 , бо D = 35^ - 4 ■ 1 • 200 = 425 = 25 17; квадратний тричлен х ‘ + 35х + 200 має корені = 8 4 8 . 1 ) x ‘ + 2 x - 1 5 = h x ^ + 8 x - 4 4 -60) = 8i +16 -16-60) =1((Д^ + 4)“- ’ 4 -7 6 ) = і(д:-ь4 - 2^/Г9)(x + 4 + 2-Jl9); 2) 0 ,2 jc '-3 i-9 = 0 ,2 (i:'-1 5 x-4 5 ) = = 0,2 ( 15-9n/5'| f 15- і-9л ^ ' і 2 2 V / тому, що D = 15^ - 4 • 1 • (-45) = 405 = = 81 ■5 і квадратний тричлен д :* - 15ж -1 - + 45 має корені х^^ = 8 4 9 . 1 ) х ' - 2 х - 1 1 = д :'-2 д:-і-1 - 1 2 = = (х -1 )* - (2>/3)' = (л: -1 - 2>/3)(х-1 + 2>/3); 2) D = ( - 3 )2 - 4 - 2 - 7 = -47, D <0.ToM y квадратний тричлен 2х‘ - З х + 7 немож ливо розкласти на лінійні множники; 3) Л = (-3 )2 -4 (-2 ) 7= 65, ж , =-^“ ' ^ - „ 3 + ^/65. -4 -4 тому-2д: - Зх + 7 = = -2 з -у / б Е ) ( ... з + у І б Е ] 4) D = (-5)=' - 4 (-1 ) • (-8 ) = 25 - 32 = = -7, D < О, тому квадратний тричлен -х^ - 5х - 8 = О неможливо розкласти на лінійні множники. 850. 1) x^-h4jc-7 = x“h -4x -i-4-11 = = (X-н 2)“-11 = (X-н 2 - V n )(х-І-2 + л/ГЇ): 2) Z) = 3^ - 4 •(-2 ) •(-6 ) = 9 - 48 = -37, D < О, тому квадратний тричлен -2х^ -I- + Зх - 6 неможливо розкласти на ліній- НІ множники. 851. Квадратні тричлени розкладаємо на лінійні множники, якщо це можливо, потім скорочуємо даний дріб: 1) 4Х-12 4 (х -3 ) 4 . 2) х ‘'-5х-н6 (х -2 )(х -3 ) х - 2 ’ х ‘’ - х - 1 2 _ (х-нЗ )(х-4) х - 4 . х^'+Зх х(х + 3) X ’ 3) 2 х Ч 5 х -3 х " -9 4 - І ) 2) 2 ^ . (х -3 )(х + 3) х - 3 ’ w w w . 4 b o o k . o r g
- 87. 4) 5) 6) X-4X +4 {x~2Y x-2 х^ + 5 х - Ы ( x - 2 ) ( x + 7) x + 7 ’ 2 x^ - 9 x -S З х'-14д:-5' 5 x " - 371 + 14 2(x-5) ■ a . 2x + i 3(x-5) " Ї ix-7) 'Зж + 1’ 5 x - 2 22x-2x^-56 -2{x-i)(.x-7) 2x- 8' S52 + 5 (ж+ 1)(д: + 5) л: +1 x^ + 5x x( x + 5) 2) 3) 4) x ^ - i e 3x‘ - 1 0 x - 8 ' (X-4KX + 4) 3(x-4) X x + 4 . 'Зд: + 2’ д :^+ л:-6 _ (лг-2)(д: + 3) д с+ З. x ' ^ - l x + lO ( х - 2 ) ( х - 5 ) х - 5 ' 2х‘ + 4х + 2 _^ 2(x + f _ 2(х + 1) Z x ^ - G x - 9 3 (х-3 )(х + 1) 3(л:-3)- 2(jc + 5) 853. 1 ) 2х^ +9х-5 . х Ч 8 х + 15‘ 2 х-1 2-97-1 I'l ^ 2 (* + 5)(х + 3) х + 3 97+3 якщод: = 97; Зд:'-24д: + 48 = 1,93, 2) 3 ( x - 4 f 7х-Зд:'+20 -3 (х -4 ) х - 4 4 - - І ) . (" § )■ "^■^3 з'*'з 8 5 4 . 1 ) X 2 2 ,5 =4 -,я к щ о л: = - - . 1 х - 2 х'‘ + 2 х - Ъ х - 2 Л +4 -Х 4 (Ж-2КДС+ 4) (х-2)(ж + 4) (Х-2КХ + 4)’ 2) 1 д :+ 4 жЧбх + 8 х + 4 (х + 2Х д: + 4) д г+ 2+ 2 х + 4 1 3) (х + 2)(х + 4) (х + 2)(х + 4) х + 2' х + 4 З х^-1 0 х-8 Зх + 2 х^-16 (x + 4)-3(x-4)(^x + | j з(^х + | ] (3x + 2 )(x -4 )(x + 4) 3x + 2 Зх + 2 Здг+ 2 = 1; 4) -2х" + 5д:-2 2x' + 5 x -3 2Х+ 10 -2 (х -2 ) х ‘ - 2 5 -I 2(х + 5) ( х - 5 ) ( х + 5) 2(z + 3 ) ( x - i (2 - х){2х - 1)(х - 5)(х + 5) _ (2- х ) ( х - 5) 2(x + 5)(x + 3 )(2 x-l) 2(х + 3) • 1 . 7 1 , х+ 2 х^-Зх+10 х - 5 + 7 х + 2 х + 2 8 5 5 . 1 ) 7 _ ____________ ( х - 5 ) ( х + 2) ( х - 5 ) ( х + 2) {х - 5 ){ х + 2У 1 х - 5 ’ 2) З х - 2 - 4 ' Зл:^ + 4 х -4 З х -2 (х -2 )(х + 2) (х + 2)(Зх-2) (х -2 )(х + 2 )(З х -2 )' х - 2 ' 856. 1) х^ - 4х + 9 = х*'- 4х + 4 + 5 = = (х - 2)^ + 5 > О при будь-якому зна ченні х; 2) 2х^ + 8х-1-8= 2(х^ + 4х + 4) = 2(х+-2)2> > Опри будь-якому значенні х; 3) -х ^ + 6х - 16 = -х ^ + 6х - 9 - 7 = = - ( х - 3)^ - 7 < о при будь-якому зна ченні х; 4) -х^ + 10х - 25 = -(х - 5)^ < О при будь-якому значенні х. 857. 1) х2 + 6х + 17 = х® + 6х + 9-1-8 = = (х 3)^ +- 8 > О при будь-якому зна ченні х; 2) -х^'-Ь 1 2 x - 3 7 = - x ^ + 1 2 Х - 3 6 - 1 = = -{х - 6)^ - 1 < О при будь-якому зна ченні X. 858. 1) х^+ Зх2+ 2х=х(х2+ Зх+ 2)= = х(х + 1)(х + 2); 2) -2х^ - 5x2 + Зх = -х(2х2 -I- 5х - 3) = = -х-2(х + 3) = х(х + 3)(1 - 2х); 1 ^ - 2 = -х (х + 3 )(2 х -1 ) = 3) 4 ^ ‘ + x ' - f x ' = | x '( x ' + 4 x -5 ) = = ix ^ (x + 5 )(x -l): 4) - ix * + 2 x V 6 x ' = - i x ’ (x '- 4 x - 1 2 ) = w w w . 4 b o o k . o r g
- 88. 859. 1) лг З - + 32л: = х(х“- 12x + 32) = x(x - 4)(x - 8); 2) i x ^ - 4 x ^ + 9x^ = ^ x 4 x ‘ - 12x + 27) = 3 о = і х Ч х - 3 ) ( х - 9 ) . 860. 1) Скоротимо дріб: £ і ± ^ = М М = . + 2, я к щ о х - 1 х - 1 х - 1 ^ 0 , х ^ І . функція у = х + 2 , х Ф І задає пряму, яка проходить через точкуА(0; 2)1 «виколо ту» точку В(1; 3) (рис. 46); • < г х ^ - 2 х ^ - З х 2) скоротимо дріб: ------= -----------= х^ + х х ( х ^ - 2 х - 3 ) _ х{х + 1 ) { х - 3 ) _ ~ х(ж + 1) х(х + ) якщо х(х + 1) 5 і о, тобто лс? іО т ах+1 ^ * О, X ^ -1. Функція у = X - З, X Ф -1, * ^ О задає пряму, яка проходить через «виколоті* точки А (-1 ; -4 ) і В(0; -3 ) (рис. 47). ^ _ ix * (x + 2 ) ( x - 6 ). у> к 3 2, W ! = Х + 2/ Х г 0 1 V, ‘ У = х - ^ -1! 0 / г * х в < 3 -4 Рис. 46 Рис. 47 х - А ■' % і г (5?Т 1ІХ -4 16 х (х -4 )(х + 4) 1 6 -х "; х -4 х + 40 16 3(х + 4 )| х - і (х -4 )(х + 4) _ х(х - 4)(х + 4)((х - 4)" + 16(3х -1 ) (х + 40)(х - 4)(х + 4)(3х -1 ) _ х (х "-8 х + 16 + 48х-16) (х + 40)(3х-1) х(х"-і-40х) _ х" “ (х + 4)(3х-1) З х - Г 24 1 , { а_________а + 2 ( 2 а - 2 ) ' ■ U ' - 2 a + l а ' + а - 2 а + 2 '4 (а-1 )^ . j a - l f 1 а - а + 1 4 4 { а - і Г 1 U a-1 )^ (a + 2 )(a -l)J 1 1 ( а - 1 ) ' а - 1 4(0-1)^ 862. ' 1, ( ^ - 1 1 ^ ] І2 хЧ З х + 1 x ' - l j х - 4 х-1 2(х + 1) ' 4 ( Х - 1 ) ( Х + 1) Х (х "-1 ). х -4 _ ((х -1 )"-(2 х + 1)) х (х -1 )(х + 1) (х -1 )(х + 1)(2х + 1 )(х-4 ) (х^-2 х + 1 - 2 х - 1 ) х _ (х "-4 х )х (2х + 1 )(х-4 ) (2х + 1)(х-4 ) х" 2х + 1’ 2) (3&-9)' = 9(6-3)^' = 9(Ь -3)“ Ь^-6Ь + 9 Ь Ь+ 2 Ь+ 2 Ь ^ - Ь - б ) [ ( b - 3 f (b + 2Kb-3)J b 1 b - 3 [ b - 3 f 9 (Ь - 3 )Ч Ь - Ь + 3) - ( b - 3 f 8 6 3 . 1 ) x^ -4 x = x(x2 -4 ) = x ( x - 2 )x X (X + 2); 2) x" - 3x^ + 4x = x(x^ - 3x^ + 4) = x(x^ + + 1 - 3x^ + 3) = x((x + l)(x^ - X + 1) - 3(x - - l)(x + l)) = x(x + l)(x ^ - x + l - 3x + 3) = = x(x + 1)(x^ - 4x + 4) = = x(x + 1)(x - 2)2; 3) x ä -4 x ^ -9 x + 36 = x“( x - 4 )- 9 (x - 4 ) = = (X - 4)(x^ - 9) = (x - 4)(x - 3)(x + 3); 4) x^ + X* - X - 1 = x^(x + 1) - (x + 1) = = (x + l)(x^ - 1) = (x - l)(x + 1)^ 8 6 4 . 1 ) V0,16aV" X XVÖcY = 0,4 |a’ I•|x’ I= -0 ,4o"x’ , якы;о a > 0, X < 0; 2) = уІ2т-2^ = = 2т|р"|ч/2т = 2тр^Т2т, якщ ор>0. 865. Згідно з умовою X, і X j — корені рівняння х^ - 2х - 10 = 0, тому за теоре мою Вієта Xj -t- Xj = 2 і XjXj = -10. Тоді знаходимо: 1) х^ + ХІ = xf + 2X1 X2+ Xj - 2х,Х2“ - Ь х / - 2 х , х , = 2 ^ - 2 (-1 0 ) = 24; w w w . 4 b o o k . o r g
- 89. 2) xf += (x^+x^ )(x^ -x^x^ + x f ) = = {x ,+x,)({xf+xl)-x^x^)= 2 (2 4-(~1 0))= = 2-34 = 68; 3) £ L + f | = £ L ± 4 = ^ = 0,68; ^2 xf (X,X,Y (-10)' 4) x; + = x; + 2x,'xf + xl - 2xfx| = = ( x , 4 x | ) '- 2 ( x ^ f = 2 4 =* ~ 2 ■(-10)2 = = 576-200 = 376. § 25. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних 866. Біквадратними є рівняння х‘‘ + + Зх= - 4 = 0; -7х^ - 8х^ - 11 = 0; 1 4 8х^-9х‘ -5=0та рівняння — т + — = О X X при додатковій умові х 0. 867. Біквадратнимиєрівняння - 5х^- - 6 = 0; 7х^ + 15х^ - 9 = О та 5 - 9х^ - -8x^ = 0. 868. 1) х^-5х^ + 4= 0. Зробимо заміну змінної x^ = t, тоді х* = і^. Маємо рівняння «2 - 5( + 4 = 0; (f - l){t - 4) = О, тобто f, = = 1 або t ^ - i . Повертаємось до змінної х: а) t= l:x ^ = l,x j = l,x , = - l ; б) ( = 4:х^ = 4,Хз = 2,х, = -2. Дане рівняння має чотири корені — числа -2; -1; 1; 2. 2) х“-9х2 + 8 = 0;х=’= <,тодіі2-9г + 8 = = 0 ; ( t - 8 ) ( i - D = 0;tj = 8 ;i2 = l. Повертаємось до змінної х: а) f = 8:x2 = 8, X, =2n / 2, Х г= -2,/2; б) f = 1: х2 = 1, Хз= 1, х _ ^= -1. Числа -2 л/ 2; -1; 1; 2-У2 — корені дано го рівняння. 3) х“ - 2x2 - 8 ^2 ^ (2 _ 2( - 8 = = 0; (f - 4)(t + 2) = 0; = 4, = -2. Повертаємось до змінної х: а) t = 4:x2 = 4,x, = 2, х^ = -2; б) t = - 2 ‘ .x^ = - 2 — рівняння не має ко ренів. Отже, дане біквадратне рівняння має два корені — числа 2 і -2. 4) 2х^ - х^ - 6 = 0; х^ = і; 2f2 - t - 6 = 0; і і = і ^ = - | ; «2= І ^ = 2. Повертає- мось до змінної х: £1= (-1)2 - 4 ■2 ■( - 6 ) = 49 = 72; а) ^= - | : ^" = ” 1 •рівняння не має коренів; б) f = 2:x2 = 2; Хі=л/2; х, = -л/2 — ко рені даного рівняння. 5) X* + 5x2 4 _ Q — рівняння не має коренів, бо X* + 5x2 + 4 > о при будь-яко му значенні змінної х. 6) 9х- ‘ - 6 х2 -И = 0 ;(З х2)2-2-Зх21 + 1= = 0; (3x2-1)2 = 0; 3x2-1 = 0 ; 1 2 1 1 ^ = ö ; ^1 = З ’ 7з корені біквадратного рівняння. 869. 1) x“ -17x2-l-16 = 0; x 2= f, тоді f2 - 17f -І- 16 = 0; (( - 1)(< - 16) = 0; г - 1 = О, fj = 1 або t - 16 = О, «2= 16. По вертаємось до змінної х: а) t = 1: х2= 1; Xj = 1, Xj = - 1; б) (=16:х2 = 16;хз = 4, х, = -4. Корені даного рівняння — числа -4 ; -1; 1;4. 2) Х* - 6x2 g _ 0; д;2= ^ОДІ ~ 6t + 8 = = 9 ; (t - 2 )(t - 4 ) = 0 ; i - 2 = 0; = 2 або і - 4 = О, = 4. Повертаємось до змінної х: а) t = 2;Xj = 2; х, =л/2; Х2= -V 2; б) г= 4:х2 = 4;хз = 2, х^ = - 2. Корені рівняння — числа -2; ~І2; -J2; 2. 3) х^ -І- 2x2 _ 15 ^ 0; х2 = і, тоді +2 t - -15 = 0; (( -f 5)(< - 3) = 0; f -f 5 = 0; f, = -5 або t - З = О, < 2= 3. Повертаємось до змінної х: а) f = -5;x2 = -5 — рівняння не має ко ренів; б) f = 3:x2 = 3; Xi=V3; х^ = -у/3 — ко рені рівняння. 4) Зх“ - 2x2 - 8 = 0; х2 = ^ 3^2_ 2<- - 8 = 0; 3 (f-2 )^ i-h | j = 0; t - 2 = 0; 4 4 і = 2 або f + —= 0; Для змінної о о w w w . 4 b o o k . o r g
- 90. X маємо: а) t= 2:x^ = 2-, х^=уІ2; х^=-уІ2; б) t = - —: X = —т — рівняння не о о має розв’язків. Отже, дане біквадратне рівняння має два ірраціональні корені - S і -J2. 5) x^+10x^ + 9 = 0 — не має коренів, бо X* + 10*^ + 9 > Опри будь-якому значен ні 6) 25х* - ІОх^ -1-1 = 0; (5х‘ - 1)^ = 0; 1 S ' 5 х * -1 = 0; х , = ^ ; *1 і ^2 — корені даного рівняння. 870. Дріб дорівнює нулю, якщо його чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. х ‘ - х - 2 1) д :+ 3 -= 0. Знаходимо корені 2 = 0; рівняння Х‘‘ (х + 1)(ж - 2) = о, тобто J C-І- 1 = О, д:, = -1 або ї - 2 = О, = 2. При х = -1 і х = 2 знаменник дробу х + 3 * 0 , тому х^іх^ — корені даного рівняння. + Х -6 2) х - 2 ■= 0. Розв’язуємо рівнян- я я х ‘ + X - 6 = 0; (х + 3)(х - 2) = О, тоді X -f З = О, X, = -З або X - 2 = О, х^ = 2. Другий корінь неможливий, бо при х - 2 даний дріб не існує. Отже, рівнян ня має один корінь х = -3. 871. 1) £_jL 2 ^ _ 3 _ o. Розв’язуємо рівняння х“-Ь2х - З= 0; (х-І-3)(х - 1) = 0, тоді X -t- З = 0, X, = -3 або х - 1 = 0, х^= 1. При цих значеннях х вираз х - 4 / О, тому числа -З і 1 — корені рівняння. х ^ -х -1 2 (х-4)(х-нЗ) ’ х + 3 ’ х+3 х -4 = 0; х + 3?і0; х = 4; X * -3. Число 4 — корінь рівняння. „ 2 872. 1) X х + 1 х + 1’ - = 0; •г(х-І) х-И = 0; х (х -1 ) = 0; X-1-1/0; х + 1 х = 0; х -1 = 0; х * - 1 . Рівняння має два корені Xj = О, х^ = 1. 2) х - 2 х - 2 ’ (х-2)(х-н2) х -2 = 0; х ^ -4 х -2 X-1-2= 0; X- 2 з; 0; = 0; X = -2; х?^2. Рівняння має один корінь х = -2. 2х^ х -1 4 2х’‘ -ьх-14 3) = 0. 1 -х х - 1 ’ 1 -х Розв’язуємо рівняння 2х’’ -ьх - 14 = 0; Х ) = Р - 4 2 (-14) = 113; .. _ - 1-ч /п з. - І + Л Ї З X , - — ^ > ^ 2 -------4 • Якщо X= Xj чи X= Xj, то X- 15 ^О, тому Xj і Xj — корені рівняння. 4) х '- 5 _ 2 х - 1 0 . х'-5 -і-2 х-1 0 х - 3 3 - х х -3 = 0; х Ч 2 х -1 5 „ (х-і-5)(х-3) „ х - 3 ’ х -3 х-н5 = 0; х-З^іО; X = -5; х ^ З . Число -5 — корінь даного рівняння. х" Зх 873. 1) х - 2 х - 2 ’ х (х -З ) х -2 = 0; x-25t0; [х?і2. Числа Оі З — корені рівняння. х' 9 (х -3 )(х + 3) 2) х-нЗ х-ьЗ’ х-нЗ = 0; х - 3 = 0; х-і-3?і0. Рівняння має один корінь х = 3. Зх' х -1 4 3 x V x -1 4 3) х -1 = 0. 1 -х х - 1 ’ Розв’язуємо рівняння Зх^ -І- X - 14 = 0: D = P - 4 З (-14) = 169 = 132; ^ _ - 1 - 1 3 _ 7. ^ _ -1-н13_д 6 ~ “ 3 ’ 6 7 Якщох ~ 2 або X = --т, т о - 1 тому о числа і 2 — корені рівняння. О 4) х '- З 2 х -5 . х -2 2 - х ’ х '-3 -і-2 х -5 х - 2 = 0 ; w w w . 4 b o o k . o r g
- 91. x^+2x~8 = 0; л:-2 Ja :+ 4 = 0; |x = -4; Х Ф 2 . lx + 4 = 0-, ( x-2*0-, [x - 2 0; рівняння. 874. 1 ) Число “4 “ (х+Щх-2) x-2 = 0 ; корінь дг-З 8 .Використовуючи X х + 3 основну властивість пропорції, .маємо { х - 3)(jr + 3) = 8x, якщо X ^ О, X ^ З * 0; тоді х^ - 8х - 9 = 0; [ х - 9){х + 1) = 0, тобто д : - 9 = 0, д:, = 9 або X + 1 = 0, a :j, = -1. При цих значеннях змінної x ^ O i x + T i ^ t O , тому числа -1 і 9 — корені рівняння. 2) = ( 2 х - 3 ) ( х + 6) = х ( х + + 2), якщо J C+ 27^0і я :+ бз^О. Розв’язуємо рівняння 2х^ + 12л - Зх - 18 - - 2х = = 0; Xj = -9, ^2= 2. Числа -9 і 2 — корені даного рівняння. 10 3) - = х; 10 = (З ~ х)х, якщо З - X 3 - х ф0; х‘ - Зх + 10 = О — рівняння не має коренів, бо його дискримінант D < О (перевірте). 4) ^ = Зх + 2; х(3х + 2) = 8, якщо X 0; Зх^ + 2 х -8 = 0; ІІ = 2^ - 4 • З (-8 ) = 4 + 96 = 100 = 10"; Хі - - Xj - •2+ 10 4 „ - ^ = 3- л а -2 ; — — корені даного рівняння. О 875. 1) За основною властивістю пропорції маємо (х - 2)(х + 2) = Зх, якщо X О, X + 2 It 0. х^ - Зх - 4 = 0; ( X - 4)(х + + 1) = О, тоді X - 4 = О, X, = 4 або х + 1 = О, Xj = -1. Числа -1; 4 — корені рівняння. Зх-1 2) (3х-1)(х + 1)=х(х + 3), х +3 х+1 якщо x + 3qt0, х + 1#0. Спрощуємо і розв’язуємо рівняння: Зх" + Зх - X - 1 - х^ - Зх = 0; 2х" - X - -1 = 0 ; 2(х-1) - І = 0, тоді ^1 = --| ; ^2= 1 “ корені рівняння. 3) ^ ^ = х; З= х(4 - х), якщо 4 - X 0. Розв’язуємо рівняння; х " - 4 х + З = 0; ( х - 1 ) ( х - 3) = 0. Тоді Xj = 1, Xj = З — корені рівняння. 4) — = 2х - 1 ; х(2х - 1) = 6, якщо х ? : 0. 2х- - X - 6 = 0 ; 2 (х -2 ) = О , тоді X - 2 = О, X = 2 - корені рівняння. 4х = 0; х(х" - 4) = 0; Числа 2 876. 1 ) х ^ х ( х - 2 ) ( х + 2 ) = О, тоді Х | = Оабо X - 2 = О, х^ = 2, або X + 2 = О, Хз = - 2 . Рів няння має три коренічисла -2; 0; 2. 2 ) х^ + 9 х = 0; х ( х " + 9 ) = 0. Вираз х^ + + 9 > Опри будь-якому значенні х , тому рівняння має один корінь х = 0. 3) 4 х ‘ - х " = 0 ; х " ( 4 х " - 1 ) = 0; х " ( 2 х - 1 ) ( 2 х + 1) = О, тоді х " = Оабо 2 х - 1 = О, або 2 х + 1 = О, тобто х , = О, корені рівняння. X = і X = - і • > ^ 2 2 ’ "^ 3 2 4) х^ + х 2 -6 х = 0;х(х" + х - 6 ) = 0; х(х + 3)(х - 2) = О — рівняння має три корені — числа -3; 0; 2. 877. 1) х ^ -9 х = 0 ;х (х "-9 ) = 0; х(х - 3)(х + 3) = о — рівняння має корені Xj = -З, Xj = О, Xj = 3. 2) х" + 4х = 0; х(х" + 4) = 0. Вираз х" ^ + 4 > О при будь-якому значенні х, тому рівняння має один корінь х = 0. 3) 16х-'-х" = 0;х"(1 6 х"-1 ) = 0; х"(4х - 1)(4х + 1) = О, тоді X = О або х = і , або х = - і . Числа - і ; 0; і є 4 4 4 4 коренями даного рівняння. 4) - 2х - 0; х(х^ + х ~ 12) = 0; х{х + 4){х - 3) = 0. тоді X, = О, X -н 4 = 0. ^2= -4; X - З = О, Хз = 3. Числа -4; 0; З ~ корені рівняння. 878. 1) Спростимо рівняння: ^ - ^ ^ = 1 ; х(х + 1) = 20(х + 1)~ 20х; якщо X / О, X + 1 ті 0; X- + X - 20х - 20 ^ + 20х = 0; х" » X - 20 = 0; (х -г 5)(х - 4) = = О, тоді X + 5 = О, Х| = -5 або х - 4 = О, X = 4. При цих значеннях змінної х 5 ^О w w w . 4 b o o k . o r g
- 92. j ^ -I-1 5 ?о, тому числа -5 і 4 — корені рівняння. 2 1 2) = 1; х{х--2) = 2(х - 2) + д г , я к щ о дг ?! 0 . X - 2 * 0 ; Х^'- 2х - 2х + 4 - X = 0[ х^ - 5х ^ і = 0; ( X - 1)(^ - 4) = О, тоді л: - 1 = О, д -j = 1 або X - 4 = О, х^ = 4. Числа 1 і 4 — корені рівняння. 879. 1) Приводи.чо рівняння до спіль- 12 12 , ного знаменника: — - - - -- = 1; х {х + 1) = 1 2 ( х + 1) - 1 2 х , якщо X * 0 , Х + 1 * 0 ; + 12д:-- 12 + 12д: = 0; дгМ л : - 12 = 0; (х + 4 )(х - 3) = О, тоді X + 4 = 0, х^ = - 4 або * - 3 = 0 ,х , = 3. Числа -4 і З — корені рівняння. 1 2) - + X Д ґ - 4 = 1 ; 3(.г - 4) + х ^ х ( х - 4), якщо X * о, X - 4 * 0 ; л :'*- 4х - Зд: + 12 - д : = 0; - 8х + 12= 0; {х - 2){х - 6) = О, тоді X - 2 = О, д :, = 2 або х - 6 = 0 ,х ,= 6. Числа 2 і 6 — корені рівняння. 880. 1) = Знайдемо х + 3 значення X, при яких чисельник дробу дорівнює нулю, - ІОх^ + 9 = 0; (х^ - 1)х Х(ж‘'- 9 ) = 0 ;(х -1 )(х + 1 )(х -3 )(х + 3) = 0, тодіx, = l,X j = - l , X 3= 3,x^ = -3. Останнє значення X не задовольняє умові,бо х + З= = 01 даний дріб не має змісту. Отже, рів няння має три корені — числа -1; 1; 3. 2) 6 х Ч і9 х -7 = 5. Зведемо рівняння 1-Зх ДОдробу, який дорівнює нулю. 6 д :Ч і9 х -7 -5 (1 - Зх) 1-Зх ■= 0; 6 хЧ 3 4 х-1 2 „І „ Зх^ + 17х-6 „ 1-Зх ' ’ 1-Зх Розв’язуємо рівняння Зх^ + 17х - 6 = 0: 0 = 17^ - 4 ■З ■(-6 ) = 289 - 72 = 361 = 19^; ^ -1 7 -1 9 ^ -17+19 1 ■------- 6 " ’ 6 “ З- Другий корінь не з ад о воль н яє р ів н я н ню, бо 1 Зх = О, то.чу рів н я н н я має один ко р ін ь X = - 6 . 12 Супер ГДЗ, 8кл., кн 2 ^ ~ 2 І) = 3; = З, якщо X - 2 ^ 0. = 2. Тоді 6x4-5 = 2; 3^ 2 х - - 5 х + 2 ^ '- 4 ’ (х-2){х-ь2) 2 х - 1 х-1-2 Тоді 2 х - 1 = 3 ( х + 2 ), якщо х + 2 0; 2х - 1 - Зх 6 = 0; X - 7 = 0; X = -7 корінь рівняння. 4) y^ “ = 6x + .5 . Якщо 1 + 2х ^ О, то 4Х-І-2 2(2х-і-1) 1-І-2Х 2Х-НІ 6 х -І- З = 0; 3 ( 2 х 1 ) = О, щ о неможливо. Рівняння не має коренів. 881. 1) ^ —^ = 0. Розкладемо чисельник на множники: х^ + х^ - 2 = = (X* -ь 2)(х2 - 1) = (х^ + 2)(х - 1)(х -І- 1). Вираз х^ + 2 > Опри будь-якому значенні X, томудане рівняння рівносильне рівнянню X - 1 = О, якщо X + 1 ^ 0. Отже, рівняння має один корінь х = 1. 2) ^ —^ = 4. Зведемо рівняння до дробу, який дорівнює нулю. 6 х"-і-7 х-5 -4 (1 -2 х) , 1-2х 6 х Ч і5 х -9 „І о 2х'4-5х -3 „ 1-2х 1-2х Розв’язуємо рівняння 2х^ 5х - З = 0; D = 5 "-4 2 (-3 ) = 49 = 7=: Хі = = -3; Xj = = |. Другий корінь не задовольняє рівнянню, бо 1 - 2х = О, тому дане рівняння має один корінь X = -3. 3) 3х^-10х + 3 Зх-1 х-нЗ З(х-З) (x-3)(x-^3) = 2, якщо X - З ? ! О, тоді Зх - 1 = = 2(х + 3), якщо X + Зз! 0 ; Зх - 1- 2х - б = 0; х - 7 = 0, х = 7 — корінь рівняння. 4 + якщо 1 -І-4х?і0, то l-t-4x ^ ^ І ^ = 2; тоді2=12х + 5; 1 - І - 4 Х 12х + З= 0; 3(4х + 1) = О, що неможливо. Отже, дане рівняння не має коренів. w w w . 4 b o o k . o r g
- 93. 882. 1) x+ l , x - i = 1;(х-2)(д: + 7)- x + 2 x - 2 + (j: + 2){x - 4) - (x^ - 4) = 0, якщо x + 2^ * 0 , x ~ 2 ^ 0 ; x ^ + 7 x - 2 x - l i + x‘ - 4 x + + 2x: - 8 - + 4 = 0; + 3x - 18 = 0; (г + 6)(x - 3) = 0. Рівняння має два корені х, = -6,д:, = 3. (3x-2)(3x + 2) Зл:+ 2 ' З х -2 при умові, що Зх - 2 о, Зх + 2 0. {Зх + 3)(3х - 2) + (2х - 6)(3х + 2) - 2(9х^ - - 4 ) = 0; 9х^ - 6х + 9х - 6 + 6х^ + 4х -18х - 12 - - 18x2 + 8 = 0; -3 х 2 -1 1 х -1 0 = 0|(-1);3х2 + 11х + 10= = 0;D = l l ^ - 4 З- 10 = 1; X 2- X - Z 1 1 + 1 - - 5 чис- Хі- ß - 2 , X,- g - g. Чис л а -2 і — корені рівняння. О 3) х"+15 (х^ -25); при х - 5 х + 5 х '-2 5 умові, ЩОХ;і ±5. Маємо: х^+ 15 = 4(х + 5) - 2(х - 5); х^ + 15 - 4х - 20 + 2х - 10 = О; х^ - 2х - 15 = 0; (х + 3)(х - 5) = О, тоді Xj = - З, Xg = 5. Другий корінь неможли вий, бо рівняння не має змісту при х = 5. Отже, рівняння має один корінь х = -3. 4) 2х + 2 ___18 _^ ^.+.6 ,(д .2_9) ’ х - 3 х ^ - 9 х + 3 ' ’ ’ якщо - 9 0. ( 2 х + 2 ) ( х + 3) - 18 - ( х + 6)(х - 3) = 0; 2х^ + 6х + 2х + 6 - 18 - х^ + Зх - 6х + + 18 = 0; х^ + 5х + 6 = 0; (х + 2)(х + 3) = О, тоді Xj = -2, х^ = -3. Другий корінь неможливий, бо X + З = = О, рівняння не має змісту при х = -3. Отже, рівняння має один корінь х = -2. -6 883. 1) Зх + 9 X- х+1 х -1 = 3 -1). якщо Xт і ±1. Маємо (Зх + 9)(х - 1) + (х - - 6)(х + 1) - 3(х^ - 1) = 0; Зх^ - Зх + 9х - - 9 + х^ + X - 6х - 6 - Зх" + З = 0; х" + X - - 12 = 0; (х + 4)(х - 3) = О, тоді х, = -4, X , = З — корені даного рівняння. 2x4-8 , 10 х -4 2) х + 5 х^-25 х -5 якщо X Ф ±5. Маємо рівняння (2х + 8)х (х^-25), х (х -5 )+ 1 0 -(х -4 )(х + 5) = 0;2х2-10х + + 8х - 40 + 10 - х" - 5х + 4х + 20 = 0; х^ - Зх - 10 = 0; (х - 5)(х + 2) = 0. Тоді Xj = 5, Xj = -2. Перший корінь не задо вольняє рівняння, бо при X = 5 рівняння не має змісту. Отже, дане рівняння має один корінь X = -2. 2 х -3 х + 1 _ 5 . х" + 4х + 4 х" + 2х X ’ 2х-3 х+1 5 884. 1) д : +2х х(х + 2)^при умові, (x + 2 f х(х+2) X що X ^ о, х + 2 * о. Маємо рівняння х(2х - 3) - (х + 2)(х -И ) - 5(х + 2)2 = 0; 2х" - Зх - х2 - Зх - 2 - 5x2 _ 20х - 20 = 0; -4x2 _ 2бх - 22= ОІ: (-2); 2x2 + ІЗх -f 11 = 0; Z) = 132 - 4 ■2 ■11 = = 81 = 92; -1 3 -9 11. -13 + 9 4 2 ’ 2 - 4 - Рівняння має два корені Xj = -5,5; х, = -1. 2) 4 (х2-9)(х + 3) х ^ - 9 х2 + 6 х + 9 х - 3 при умові, що X - З О, X -Н З 0. Маємо рівняння 6(х -t- 3) - 4(х - 3) - х2 - - 9 - 6х = О; 6х + 18 - 4х -Ь 12 - х2 - 6х - 9 = 0; -х2 - - 4х -f 21 = 0; -(х 4- 7)(х - 3) = О, тоді Xj = -7, Xj = 3. Другий корінь неможли вий, бо при X = Зрівняння не має змісту. Отже, рівняння має один корінь х = -7. 6 З х+12 3) х2-36 6 ьбх З х ^ -6 х ’ х + 12 (х -6 )(х + 6) х(х + 6) ~ х (х - 6 )’ ( X + 6)(х + 12) - 6х + 3(х - 6) = 0; х2 + 18х -f 72 - 6х + Зх - 18 = 0; х2 + 15х + 54 = 0; (х + 6)(х -f 9) = О, тоді X, = -6, Xj = -9. Перший корінь немож ливий, бо при X = -6 рівняння не має змісту. Отже, рівняння має один корінь х = -9. Зх+ 2^_х + 4 3x2+1 (х2-2х -3), х +1 ■х -3 х“-2 х -3 якщох + 1;іО, х -3 ? ;0 . Тоді (Зх + 2)(х - 3) -f (х + 4)(х + 1) - 3x2 - - 1 = 0; 3x2 - 9х + 2х - 6 + х2 + X -Ь 4х + -ь 4 - 3x2 - 1 = 0; х2 - 2х - З = О, що не можливо. Отже, дане рівняння не має коренів. w w w . 4 b o o k . o r g
- 94. 21 12 x (x ‘ - 4) . л к щ о х * 0 , х ^ ± 2 . Тоді 5(х‘ - 4) - 21(д: + 2) + 14(л: - 2) = 0; 5х‘ - 20 - 21л: - 42 + 14д: - 28 = 0; 5^2 _ 7х - 90 = 0; D = 7^ - 4 5 (-90) = = 1849 = 23»; 7 -2 3 , 7+ 23 „ Числа -1,6 і З являються коренями рів няння. 2) д:^-4дс+4 х^-4 х+2 З . 4 , 1 = 0; ( Х - 2 У ( х - 2 ) ( х + 2) х + 2 ( x - 2 f ( x + 2), якщох - 2 * 0 , х + 2^ * 0 . Тоді 3(х + 2) + 4(х - 2 ) + ( х - 2)^ = 0; Зх + 6 + 4х - 8 + д е » - 4jc + 4 = 0; X» + Зх + + 2 = 0; (ж + 1)(л: + 2) = 0; тоді х, = -1, X, = -2. Другий корінь неможливий, бо при X = - 2 рівняння не має змісту. От же, X = -1 — єдиний корінь даного рів няння. 5 . х-і-20 10 3 ) х^-і-ІОж 5 , х-і-20 х '-1 0 0 ’ 10 *(х-і-10) х (х -1 0 ) (х-10)(х-і-10)' Якщо X - 10 О, X -І-10 ^ О, X О, маємо рівняння 5(х - 10) -Ь (X -1 - 20)(х -f 10) - ' - 1 0 х = 0 ; 5 х - 5 0 + х^+10х + 20х + 200 - - 10х = 0;х2-і-25х-і- 150 = 0; (л -І- 10)(х + 15) = О, тобто X, = -10 або *, = -15. Перший корінь неможливий, бо при X = -10 рівняння не має змісту. Отже, X - -15 — єдиний корінь даного рівняння. 2 Х -І-7 х -2 5 4 ) Якщо х-і-4 х -1 х^-і-Зх-4 ж * -(- Зх - 4 О, тобто x -t-4 ? ^ 0 ix -l? t0 , маємо рівняння (2х -t- 7)(х - 1) - (х - 2)х х(х-І-4)-5 = 0:2х2-2х + 7 х -7 -х 2 -4 х -!- + 2х -І- 8 - 5 = 0; х^ -І- Зх - 4 = 0; (X + 4)х х(х - 1) = о, що неможливо, бо рівняння не має змісту. Отже, дане рівняння не має коренів. 886. 1) За умовою 6 , X бх 1 - х Х-Н2 (1-х)(х-і-2) , тоді 6 (х -1-2)-t- -I- х(1 - х) = 6х, якщо l-x ? t O , х-і-2 ^0. Маємо: 6х -Ь 12 -і-х ~ х^ - 6х = 0; -х » + х + + 12 = 0; -(х -І- 3)(х - 4) = О, тобто X, = -З, Xj = 4 — корені рівняння. 2 , 6 2 . 6 2) За умовою 2 тобто х -3 6 х-і-3 х + г ' х - З ' х + З ’ х -3 ' х-нЗ З (х -З )' Якщо x -3 ;t 0 , х-1-3?ї0, маємо 2 3(х -І- -I- 3) -t- 6 •3(х - 3) - (х + 3)2 = 0; х^ -І- 6х 4 - -І- 9 - 6х - 18 - 18х -І- 54 = 0; х^ - 18х -I- -I- 45 = 0; (х - 3)(х - 15) = О, тобто х, = З, Xj = 15. Перший корінь не задовольняє рівняння, бо при X = З рівняння не має змісту. Отже, X = 15 — єдиний корінь даного рівняння. 887. 1) x^-2x‘^-9x-f 18=0;x2(x-2)- - 9(х - 2) = 0; (х - 2)(х» - 9) = 0; (х - 2)(х - 3)(х -І- 3) = 0. Рівняння має три корені X, = 2, Xj = З, Xj = -3. 2) Зх‘ -t- Зх^ - 4х - 4 = 0; ЗхЦх -Ь 1) - - 4(х + 1) = 0; (х -І- 1)(3х» - 4) = 0; (x + l ) ( y [ 3 x - 2 ) ( S x + 2) = 0. Рівняння має три корені х, = -1, 2 2 888. 1) x ^ -x 2 -4 x -(-4 = 0 ; x V - l ) - - 4(х - 1) = О; (х - 1)(х^ - 4) = 0; ( х - 1 ){ х - 2 )( х + 2) = 0. Рівняння має три корені X, = 1, Xj = 2, Xj = -2. 3) 4х’ -І- 8х» - Зх - 6 = 0; 4х»(х -t- 2) - - 3(х -t- 2) = 0; (х -І- 2)(4х» - 3) = 0; (x + 2 ) ( 2 x - S ) { 2 x + S ) = 0. Рівняння має три корені х, = -2, V V - ^ • * ^ 2“ 2 * З~ 2 ' 889. 1) (х^ -ь 3)2 - з(х2 4- 3) - 4 = 0. Зробимо заміну х^ + З = t, тоді - Зі - - 4 = 0; (f - 4)(t -I- 1) = 0; і, = 4, = Повертає мось до змінної х: а) « = 4:x2-t-3 = 4 ;x 2 = l;x , = l,x j = - l ; б) < 2= -1 : х^-Ь З = -1;х^ = -4 — рівнян ня коренів немає, бо х» > Опри будь-яко му значенні X. Тому рівняння має два корені Xj = 1, Xj = -1. 2) (х» - х)2 2(х» - х) - 8 = 0. Зробимо заміну х^ - X = <, тоді + 2t - 8 = 0; (t + + 4)(t - 2) = 0; f = -4, < 2= 2. Повертає- w w w . 4 b o o k . o r g
- 95. л мось до змінноїх: а) t = -І-. - X + і = 0-, D = (-1)2 - - 4 1 4 = - 15; D < 0 , тому рівняння не має коренів; б) і = 2: x“ - а: = 2; - jc - 2 = 0; ( х - 2 ) { х + 1) = 0;х, = 2, Хз = -1 — корені рівняння. 890. 1) + 2 )2 -2(л^ + 2 )-3 =0. Зро бимо заміну + 2 = t, тоді - 2( - З = 0; (t - 3)(< + 1) = 0; t, = З, = -1. Повертає мось до змінної х: а) і = 3:х^ + 2 = 3 ; х ‘ = 1;х, = 1,х^ = -1; б) ( = -1 : -Ь2 = -1 — рівняння не має розв’язків, бо -Ь2 > О при будь-якому значенні X. Отже, дане рівняння має два корені х, = 1,х^ = -1. 2) (х‘ + х )‘ - 5(х‘ + х ) - 6 = 0. Зробимо за міну x ‘ + x = t, тоді t‘ - 5 t - 6 = 0 ; ( t - 6 ) x X (t + 1) = 0; - 6, < 2= -1. Повертаємось до змінної х: а) у = 6:х^ + х = 6;х^ + х - 6 = 0;(х + 3)х х(х - 2) = 0; = -З, х^ = 2; б) t = - l : x ‘ + x + l = 0 ; D = l - 4 = -3, D < 0 , тому рівняння не має розв’язків. Отже, дане рівняння має два корені х, = -3 ,х , = 2. 1 1 1 _______ 2(гЧЗ) 3(и -4 )'хЧ 4 :сЧ З х + 12' Розкладемо на множники знаменник дробу, який знаходиться в правій час тині рівняння. + 4л:2-І- З ї 12 = (х^ + Зх) -1 -(4х‘ -f 12) = = х(х‘ -І- 3) + 4(х^ -І- 3) = (х‘ + ЗХх + 4). Якщо X -Н 4 О, то дане рівняння рів носильне рівнянню 3(х -І- 4) - 2(х^ + -1-3)-6 = 0; Зх-і-12-2л:‘' - 6 - 6 = 0;-2х2-»- + З* = 0; х (- 2 х + 3) = 0;х, = 0, = | ~ корені рівняння; 1 , 1 33 2) х - 1 х^+Зх + 2 х^ Розкладемо на множники знаменник дробу правоїчастини рівняння: х^ + 2х'^- - х - 2 = хНх + 2 ) - ( х + 2) = (х + 2)(х‘ - 1 ) = = (х + 2)(х - ІКх + 1). Крім того х‘ + 3х + + 2 = (х + 1)(ж + 2). Якщо X - 1 q t О, X -ь 4-l?tOijc-b2^0, то початкове рівняння рівноцінне рівнянню х^ + Зх + 2 + x - l - -3 3 = 0;х2-І-4д:-32 = 0: (x + 8 )(x -4 ) = 0; х^ = - 8; х^ = 4 — корені рівняння. 892. - і ________ Ü х - З х ^ - х ^ - 9 х + 9 х‘ +2х~3' Розкладемо знаменники дробів на множники: х^ - х‘ - 9х + 9 = хх - 1) - - 9(х - 1) = (ж - 1){х^ - 9) = (д: - 1) X X (д : - 3 ) ( л с + 3)-,х^ + 2 х - 3 = ( х - у ( х + 3 ) . Тоді дане в умові рівняння, якщо х -1 # ?!;0, х-3?!:0, х-ЬЗї^О, рівносильне рів нянню ( X - 1)(х - f 3 ) = 14 - (х - 3 ) = 0 ; х“ - b 2 x - 3 - 1 4 - - x - l - 3 = 0 ; x 2 - l - x - 1 4 = =0 ;D = P -4 1 (-1 4 )= 5 7 ; = ~ корені даного в умові рівняння. 893. 1 ) x5-hx^-6*ä-6x2-)-5x-b5 = 0 : х*(х -НІ) - 6х2(х -І-1) -І- 5(х + 1) = 0; ( X -h 1)(х< - &х^ Ч - 5) = 0; (х -(- 1)(х“- 1)(х^ - 5 ) = 0; (x-H )'(x-l)(x-N /5)(x-l-r/5) = 0. Таким чином, числа-1; 1; —Тб та Vs — корені даного рівняння, причому X = -1 — двократний корінь. 2) х^ -І- 2х^ - 2х - 1 = 0; (х® - 1) -f (2х= - - 2х) = 0; (х - 1)(х^ 4- X 4- 1) - 2х(х - 1) = 0; ( х - 1)(х^ + х-І- 1 - 2х) = 0; ( х - 1)(х2- х - и ) = 0.т о д і х - 1= 0,х; = 1 або х^ - X -И = 0; Z) = ( - l ) “- 4 = -3 ,D < 0 , рівняння не має коренів. Отже, дане рівняння має один корінь х = 1. 894. 1) x^-x^-2x^-l-2x2-3x-t-3 = 0; хх - 1) - 2х‘*(х - 1) - 3(х - 1) = 0; (х - 1)(х" - 2x2 - 3) = 0; ( X - 1)(х2 - 3) х X (х^ -Ь 1) = 0. Вираз х^ -(- 1 > О при будь- якому значенні X , тому початкове рів няння рівносильне рівнянню (х - 1) X X (х2 - 3) = 0: (х-і)(х-лУз)(х-н>/з) = о. Тоді X j = 1, X j = УІЗ, Хз = —Уз — корені рівняння. 2) х^ - 3x2 - 6х -І- 8 = 0. (^3 + 8) _ (Зд.2+ -к6х) = 0; (х-Ь 2)(х2- 2х-І-4) - 3х(х-І-2) = = 0; (х -І- 2)(х2 - 24х -І- 4 - Зх) = 0; (х -І- 2) х х(х2 -5 х-н 4 ) = 0; ( X + 2)(х - 1)(х - 4) = 0. Тоді X , = -2, Х 3 = = 1, Х3= 4 — корені рівняння. 895. 1) X- V x -6 = О.Зробимо заміну ■їх = t>0, тоді X = (2, (2 - « - 6 = 0; w w w . 4 b o o k . o r g
- 96. f f I _ 3)(«+ 2) = 0; = 3, = -2. Другий коріиь не задовольняє умові t > 0. По вертаємось до змінної х: уІх=3, х = з 9 — корінь рівняння; 2) + 2jc - 2)(д:‘' + 2х - 4) = 8. Зробимо замійу х ‘ + 2х = t, тоді (f - 2)(t - 4) - 8 = = 0; + 8 - 8 = 0; - 6< = 0; - 6) = = 0; < 1= О, < 2= 6. Повертаємось до змін ної х: а) t = 0: -І- 2* = 0; х(х + 2) = 0;х^ = О, х^ = -2; б) t = 6:x'‘ + 2 x - 6 = 0; iJ = 2 '- 4 2 (-6 ) = 28 = (2V7)^ Х ^ = - 1 - ' Я x^ = - + 'J^. Числа Xj, Xj, x^ — корені рівняння. 3) (х - 2У - 2(х - 2)2 - З = 0. Зробимо заміну (X - 2)2 = t > О, тоді (х - 2)‘ = <» - 2t - З = 0; (( - 3)(( -Ь 1) = 0; tj = 3; = -1. Другий корінь не задовольняє умові t > 0. Повертаємось до змінної х: (X - 2 )2 = З, тоді х - 2 = 73; x , = 2 + S або X- 2 = ->/3; х^ = 2 - л/з. Числа х, і ж, — корені рівняння. 4 ) ( x 2 - f x - b l ) 2 - 8 x 2 - 8 x - l = 0 ;(x 2 -l-x -(- •f 1)2 - 8(х2 -І- X 4- 1) -І- 7 = 0. Зробимо заміну х2 + X -t- 1 = (. Маємо: - 8t + -t- 7 = 0; (t - 7)(t - 1) = 0; = 7, (^ = 1. По вертаємось до змінної x; а) t = 7 :x 2 -fx -6 = 0 ;(x -f3 )(x -2 ) = 0; Xj = -3, Xj = 2; б) f = l:x 2 -H x -H = l;x2 + x = 0; x ( x + l ) = 0; Хз = 0; x, = - l . Числа X,, Xj, X3 x^— корені рівняння. 896. 1) x + 2fx-8 = Q. Зробимо за міну -Jx = t>0, тоді X= f2; < 2-t- 2« - 8 = 0; (f - 2)(t + 4) = 0; f. = 2; = -4. Другий корінь не задовольняє умову f > 0. По вертаємось до змінної х: t = 2, тоді х = 22,х = 4. 2) (х2 - 2х - 1)(х2 - 2х - 3) = З. Зробимо заміну x ‘ - x = t. Маємо: {t - 1)(( - 3) = 3; t* - 4f -І- З - З = 0; < 2- 4f = 0; t(t - 4) = 0; tj= О, (2= 4. Повертаємось до змінної х: а) t = 0: х2- X = 0; х(х - 1) = 0; х, = 0. *, = 1; б) t = 4 : x 2 - x - 4 = 0;Z) = (- l ) 2 - 4 1х Х (-4 ) = 17; Хз = 1-ч/Ї7 Числа Xj, Xj, Х3 , х^ — корені рівняння. 3) (х 1)'' - 5(х -Ь 1)2 - 6 = 0. Зробимо заміну (х -ь 1)2= <> О, тоді J 2- 5t - 6 = О; (t - 6)(t -I- 1) = 0; tj = 6; t2= -1. Другий корінь не задовольняє умові t > 0. По вертаємось до змінної х: t = 6: (х -I- -ь 1)2 = 6, тобто х-і-1 = -Уб; X, = -1 -н'Уб або х-н1 = -7б; х^ =-1-у/б. Числа Xj і X j — корені рівняння. 4) (х 2 -х -1 )2 -4 х 2 -ь 4 х -1 = 0 ;(х 2 -х - - 1)2 - 4(х2 - X - 1) - 5 = 0. Зробимо замі ну х2 - X - 1= t, тоді f2- 4t - 5 = 0; (t - 5) X x (t -t - 1) = 0; t, = 5; t2= - l . Повертаємось до змінної x: а) f = 5 : x 2 - x - 1 = 5; x 2 - x - 6 = 0; (x -3 )(x -H 2 ) = 0;x, = 3;x2 = -2; б) t = - l : x 2 - x - l = - l ; x 2 - x = 0; x ( x - l ) = 0; хз = 0;х^ = 1. Числа Xj, Xj, X3 , x^ — корені рівняння. 897. Нехай V — швидкість першого велосипедиста, тоді швидкість другого — - (и + 4) (км/год). За З год вони подолали, відповідно, відстань Зі) та 3(і) -Ь4) км. За умовою Зи -І- 3(и + 4) = 84; Зи -ЬЗи -І- 12 = = 84; би = 82 - 12; 6v = 72; о = 12, тоді у -І- 4 = 16. Отже, велосипедисти їхали зі швидкістю 12 км/год та 16 км/год. 898. За умовою Xj = - 7 i -^2= ^ — корені квадратного тричлена 3x2 тому за теоремою Вієта х, + ; ХіХ2= —. В даному разі -7 + 2 ^ _ Ь . З З’ -7 - = - ; З З’ -21 ч-2 Ь, jft 19, Отже, квадрат- ?= -14; [с = -14. ний тричлен має вигляд 3x2 ц . _ ц Розкладемо його на лінійні множники: 3x2-t-19x-14 = 3(x-t-7)(^x-i-| = = (х-н 7КЗх-н 2). 899.Нехай аіЬ — шукані числа. За умовою 0-1-0= 27; І6=27-а; а^+ Ь^ =369; |а2-К^27-а)2-369=0. Спростимо та розв яжемо друге рів няння системи; о2 + 729 - 54а + - -3 б9 = 0;2а2-54а + 360 = 0|:2;а2-27а-ь w w w . 4 b o o k . o r g
- 97. + 180 =0; D = (-2 7 )2 -4 1 180 = 729-720 = 9 = 3^: a , = ^ = 12; a . = ^ = 15. Тоді ft, = 27 - 12 = 15, b = = 27 - 15 = 12. Отже, числа 12 і 15 — шукані. 900. ^ = Зх + 2 2х - 5х + 2 1- 2jc (д:-2)(Зд;-2)(Зл; + 2) х (Зж+ 2)(2х -1 )(л: - 2) 2х-1 Зх^2 .2 + £ ^ 4 £ ^ ^ 2д:-1 2х-1 З х -2 X '2 х -1 2х-1 2(2х-1) „ § 26. Розв’язування задач за допомогою квадратних рівнянь та рівнянь, які зводяться до квадратних 901. Нехай п — менше натуральне число, тоді більше число — л + 2. Згідно з ^ = ^Тоді5п(л + 2)= 12л + + 12(п + 2); 5п2+ 10л - 12/1- 12п - 24 = 0; 5л2 - 14л - 24 = 0; Z) = (-14)= - 4 •5 •(-24) = = 196+ 480 = 676 = 26^ п , = і І ^ = 4; 14-26 — = -1.2. За умовою п — на туральне число, тому другий корінь не задовольняє умови задачі. Отже, л = 4. і - + і = А . Im л 24’ 902. Нехай п іт — натуральні числа, які m + п = 20; треба знайти. Тоді за умовою [л = 2 0 -т; т 20- т 24 Спрощуємо і розв’язуємо друге рів няння системи: 24(20 - от) + 24от - - 5т(20 - л) = 0; 480 - 24т + 24т - - 100т + 5т‘ = 0; 5т‘ - 100т + 480 = = 0]:5;m *-20m + 96 = 0 ;(m -1 2 )(m -8 ) = = 0; m, = 12, O T j, = 8. Тоді л, = 20 - 12 = 8; л^ = 20 - 8 = 12. Отже, розв’язком задачі є числа 8 і 12. 903. За умовою — нескоротний 1 ^ дріб, який на - більший від дробу ^ тоді число X є коренем рівняння х - 5 ’ х -1 х -8 1 = - . Розв’язуємо церівняння. X —о Ä 2(х - 1)(х - 5) - 2х(х - 8) - х(х - 5) = = О, якщо х ^ О т а д с -5 ^ 0 . Спрощуємо рівняння: 2х *- 12х + 10- 2х^ + 16х - + 5х = 0; - х ‘ + 9 х + 1 0 = 0; - ( х - 10)(x + + 1) = О, тобто X - 10 = О, X, = 10 або X + 1 = О, Xj = -1. Тоді відповідно маємо X - 1 = О або X - 1 = -2. Умові задачі за- 9 довольняє дріб — • 904. За умовою нескоротний дріб J C+ 5 1 х + 4 на -- менший віддробу-----— .Отже, число 4 х-(-11 X єр о зв я з к о м р ів н я н н я І 1 х + 4 х+ 5 4 Х +1 Г Спрощуємо і розв’язуємо це рівняння: 4х(х + 11) + (х + 5)(х + 11)- 4(х + 4)(х + 5) = О, якщох + 5?t0, х + 11#0; 4х* + 44х + х‘ + 16х + 55 - 4х= - Збх - 80 = 0; х^ + 24х - 25 = 0; (х + 25)(х - 1) = О, тобто х + 25 = 0, X, = -25 а б о х - 1=0, х^= 1, тоді х + 5= -20 або х + 5 = 6. Отже, умові задачі задовольняє дріб - . О 905. Якщо и км/год — швидкість пер шого велосипедиста, то, згідно з умовою, швидкістьдругоговелосипедистастановить (и + 4) км/год. Тоді на подолання відстані 4§ и = 1. год та у 48 км вони витратили, відповідно, год. За умовою — - у+4 V V + 4 Розв’язуємо рівняння: и(и + 4) - 48(и + + 4) + 48у = 0; + 4и - 48и - 192 + 48и = = 0; + 4ü - 192 = 0; (и + 16)(у - 12) = О, тобто X + 16 = о, и, = -16 або Ü - 12 = О, и^=12. Зрозуміло, що швидкість не може бути від’ємною, тому велосипедисти мали швидкість 12 км/год та 16 км/год. 906. Згідно умови, якщо перший ав томобіль їхав зі швидкістю и км/год, то другий мав швидкість (и + 10) км/год. Тоді відстань 420 км вони подолали 420 420 за ----- год та год відповідно. V " у+10 При цьому різниця в часі склала 1 год. Отримуємо рівняння 420 420 = 1 : V и+ 10 u(v + 10) - 420(і> + 10) + 420и = 0; + + ІОи - 420и + 420и - 4200 = 0; и* + 20и - - 4200 = 0; (и + 70)(и - 60) = О, тобто и+ 70= = 0; и, = -70 або и-60 = О, [> 2= 60. Очевидно, швидкість не може бути від’ємною, тому автомобілі мали швидкість 60 км/год та 70 км/год. w w w . 4 b o o k . o r g
- 98. 907. Згідно зумовою, якщо почат кова швидкість потягу була v км/год, 10 збільшена швидкість стала рівною /у + 5) км/год. Перегін завдовжки 300 300 км потяг мав подолати за ----- год, 300 а подолав за ----------- год, скоротивши при у+ Ö 2 цьому час на ^ год. О^же, початкова швидкість и є додатним коренем рів- 300 300 2 о , , , , „ „ няння — - ^ = д ; 2v(v ^ 5) - З X X 300(і; + 5) + З ЗООи = О; 2v'^ + lOu - - 900i) - 4500 + ЭООи = О : 2; + 5v - - 2250 = 0; (у + 50)(и - 45) = 0; и + 50 = = 0; у, = -50 або и - 45 = О, i> 2= 45.Отже, швидкість потяга за розкладом складає 45 км/год. 908. За умовою, рухаючись зі швидкістю у км/год, автомобіль до зупинки проїхав ^ шляху завдовжки 810 км, тобто 810-^ = с 450 ^ = 450 км, на що знадобилось ----- год. Решту шляху 810 - 450 = 360 (км), ру хаючись зі швидкістю (у + 10) км/год, 360 ВІН п о д о л а в за 1 у+ 10 год. Враховуючи зупинку за - год, за рахунок збільшення швидкості автомобіль прибув у пункт при значення вчасно. Отже, маємо рівняння: 360 _810 д МО 360 1 2’ _____ у 2 V+10 V V у-і-10 у(у 10) - 2 360(у -І- 10) -f 2 360у = 0; у* 4 - ІОу - 7200 = О; (у - 80)(у -і- 90) = О, тобто у - 80 = О, у, = 80 або у -і- 90 = О, = -90. Очевидно, швидкість у має бути додатною, тому у = 80 км/год. 909. Рухаючись зі швидкістю v км/год, потяг подолав би 320 км за V г о д . але з ц іє ю ш в и д к іс т ю в ін п р о їх а в л и ш е о 320 •~ = 120 км. Решту шляху завдовжки 8 320 - 120 = 200 (км) він рухався зі швид кістю (у - 10) км/год, на що знадобилось 200 - — год. Враховуючи, що потяг зупи нявся на 1 год і прибув у пункт призна чення через 7 год, отримуємо рівняння: 120 + 1+ 200 = 7 ; 120 , 200 = 6; у у-1 0 ■’ У у-1 0 6у(у - 10) - 120(у - 10) - 200у = 0; 6 у ^ - 6 0 у - 1 2 0 у -і- 1 2 0 0 - 2 0 0 у = О; 6 у " - 3 8 0 у + 1 2 0 0 = 0 ; З у “' - 1 9 0 у -t- -Ь 6 0 0 = 0 ; D = ( - 1 9 0 ) ^ - 4 З 6 0 0 = = 2 8 9 0 0 = 1 7 0 * ; = = 6 0 ; Уг = ~ = • Зрозуміло, що ” р6 О значення ü = 3 - не задовольняє умови З задачі. Отже, до зупинки п о т я г рухався зі швидкістю 6 0 км/год. 910. Відомо, що човен, власна швидкість якого 1 8 км/год, проплив за течією4 0 км і 1 6 км проти течії. Якщо у — швидкість 4 0 ~ год за течією год проти течії. На весь шлях, течії, то човен плив • 16 ^ 1 8 -у згідно умови, було витрачено Згод. Отже, 4 0 , 1 6 маємо рівняння: - = 3 ; 18-і-и 18-у 3(18 + у)(18 - у) - 40(18 - у) - 16(18 -І-у) = = 0; 972 - Зу2 - 720 -ь 40и - 288 - 16у = 0; -Зу2 -Ь 24у - 36 = = ОІ: (-3 ); v^-8v + 12 = = 0; (у - 2)(у - 6) = О, тоді и - 2 = О, Uj = 2 або у - 6 = О, у^= 6. За умовою у < 4, тому швидкість течії дорівнює 2 км/год. 911. За умовою шлях завдовжки 48 км можна подолати за течією і повернутися назад за 7 год. Оскільки швидкість течії дорівнює2км/год, товласнушвидкістьчовна 48 48 у знаходимо з рівняння —g “ ’ 7(у - 2)(у + 2) - 48(у - 2) - 48(у + 2) = = 0; 7у2 - 28 - 48у -і - 96 - 48у - 96 = 0; 7у2 - 96у - 28 = 0; ІЗ = (-96)* - 4 ■ 7 х x(-28)=10 000 = 100^; у, = 9 6 + 1 0 0 1 4 = 1 4 ; ^ ^ _ 9 6 ^ J ^ _ _ 2 Швидкість човна не може бути від’ємною, тому у = 14 км/год. 912. Згідно з умовою моторний човен пролив 18 км за течією річки і 28 км проти течії, яка має швидкість Зкм/год, затакий же час, що й 48 км у стоячій воді. Отже, власна швидкість човна у знаходиться з 18 рівняння у + з 28 48 „ = — . Домножимо у - З V р і в н я н н я на у(у - 3)(у + 3): 18у(у - 3) + 28у(у -і- 3) = 48(у - 3)(у + + 3); 48у* - 432 - - 18у=^ 54у - 28у" - 84у = 0; 2у* - ЗОу - - 432 = 01: 2; у 2- 15у - 216 = 0; (у - 24)(у + + 9) = О, тобто у - 24 = О, у^= 24 або у -f 9 = = 0, у = -9. Зрозуміло, що швидкість w w w . 4 b o o k . o r g
- 99. не може бутивід’ємним числом, тому швидкість човна дорівнює 24 км/год. 913. Згідно зумовоюзадачі, катер, маю чи власну швидкість 18 км/год, пропливає ЗОкм за течією річки і 8 км — проти течії за такий же час, що й пліт 4 км по ц і е м же річці. Отже, швидкість и течії річки ЗО 18 є коренем рівняння . - . ^ ^ 18 + и 1 8 - у и Спрощуємо це рівняння і знаходимо и: 30и(18 - и) + 8и(18 + + D) - 4(18 - и) х X (18 + и) = 0; 540и - 30и‘ + 144и + - - 1296 + 4и^ = 0; -18ü^ + 684и - 1296 = = О І : (-18): - 38и + 72 = 0; (і) - 2) X X (и - 36) = О, тоді и - 2 = О, üj = 2 або и - 36 = О, Ü2= 36. Очевидно, швидкість течії не може перевищувати власну швидкість катера, інакше катер не міг би рухатись проти течії. Отже, швид кість течії дорівнює 2 км/год. 9 1 4 . Згідно з умовою, моторний човен пройшов 40 км по озеру та 18 км по річці, що впадає в це озеро, маючи швидкість течіє З км/год, за 2 год. Тоді власна швидкість V човна є розв’язком рівнян ня - - І - =2. Спрощуємо рівняння V V — О І знаходимо значення v: 2 ф - 3) - 40(и - 3) - 18и= 01: 2; и" - Зи - - 20и + 60 — 9і) = 0; 1 !^- 32ч -г 60 = 0; (и - - 30)(і> - 2) = 0. Отже, и - ЗО = О, у, = ЗО або D- 2 = = О, Dj = 2. Очевидно, швид кість човна має бути більшою за швид кість течії річки, тому и= ЗО км/год. 9 1 5 . Нехай перша бригада виготовляє за 1 год X деталей, тоді друга бригада виготовляє (х - 10) деталей за 1 год. На виконання всього завдання першій бригаді потрібно 200 год, другій — 200 х -1 0 год. За умовою задачі маємо 200 200 рівняння — ^ = 1- Знаходимо його корені. х( х - 10) - 200(лг - 10) т -І- 200д: = 0; - Юх - 200х + 2000 + 200х = = 0; - ІОх -І- 2000 = 0; (х - 50)(х + 40) = = О, тобто X - 50 = О, X, = 50 або х -ь 40 = = О, Xj = -40. Очевидно, від’ємний корінь не задовольняє умови задачі. Отже, за 1 год перша бригада виготовляла 50 деталей, друга — 40 деталей. 916. Нехай для перевезення вантажу було використано х автомашин, тоді одна 60 „ машина перевезла — твантажу. Спочатку для перевезення вантажу планувалось використати (х ^ 3) автомашини, кожна 60 зяких мала перевезти ------ твантажу.За х + 3 60 = 1. Розв’язуємо . 60 умовою задачі------ X х-1-3 це рівняння: х(х + 3) - 60(х -ь3) 4 - бОх = 0; х^-І-Зх - бОх - 180-ьбОх = 0: х^-Ь Зх - 180 = = 0: (X - 12)(х + 15) = О, тобто X - 12 = О, X, = 12 абох + 15 = 0, х^= -15. Зрозуміло, що кількість автомашин не може бути від’є.мною, тому для перевезення 60 т вантажу використали 12 автомашин. 917. Нехай майстру, щоб виконати завдання, працюючи окремо, потрібно X год, тоді учневі для цього потрібно (х + 24) год. За 1годину майстер виконує 1 1 — частину завдання, а учень — — частину завдання. Працюючи разом, , 1 вони за 1 год виконують — частину 16 завдання, бо за умовою задачі майстер і учень, працюючи разом, виконали за вдання за 16 год. Отже, маємо рівняння 1 1 1 . —-І- ^ ^ = Yg звідки отримуємо: х(х -І- 24) - 16(х -і- 24) - 16х = 0: х^ -ь24х - 16х - 384 - 16х = 0: х2- 8х - 384 = = 0; (х - 24)(х -І- 16) = О, тобто х - 24 = О, X, = 24 або X -І- 16 = О, х^ = -16. Другий корінь не задовольняє умови задачі. От же, для виконання завдання майстру потрібно 24 год, а учню — 48 год. 918. Нехай перший маляр, працюючи окремо, може пофарбувати будинок за X год, тоді другий маляр виконає цю роботу за (х + 9) год за 1 год перший маляр виконає — частину роботи, а дру- 1 ^ гий----------- частинуроботи.Працюючи х + У J J разом, вони за 1год виконають —+ ------ X х-і-9 частину роботи. За умовою задачі обидва маляра, працюючи разом, закінчили роботу за 20 год, тому за 1 год вони виконували ^ частину роботи. Маємо рівняння: w w w . 4 b o o k . o r g
- 100. и ^ =дг(х + 9)-20(л: + 9)-20д; = = 0 ;х ‘ + 9х - 20х - 180 - 20.г= 0;х^-31х ~ - 180 = 0; (д: - 36)(дг + 5) = О, тобто д : - 36 = = О, J C , = 36 або л: + 5 = О, Xj = -5. Другий корінь не задовольняє умови задачі, т о м у перший маляр, працюючи окремо, може виконати всю роботу за 36 год, а другий — за 45 год. 919. Нехай перший кран наповнює басейн за х хвилин, тоді другий напов нює басейн за (х - 9) хвилин. Тоді за 1хв. перший кран наповнює — частину 1 ^ басейну, другий^ - — ^ частину басейну. За б хв. спільної роботи вони наповнять X х - 9 . 9 6 б 1 задачі - + - + _ = частину басейну. За умовою б 15 ^ 6 д : д:-9 2 ’ х ( х - 9 ) - 1 2 х - 3 0 ( х - 9 ) = 0 ; х ‘ - 9 х - 1 2 х ~ - 3 0 х + 27 0 = 0 ; х ‘ - 5 1 х + 27 0 = 0 ; ( х - 4 5 ) х х (* -6 ) = 0, тобтоX - 45= 0, Xj = 45 абод: - 6= = О, *2 = 6. Другий корінь не задовольняє умови задачі, тому, працюючи окремо, перший кран може наповнити басейн за 45 хв., другий — за 36 хв. 920. Нехай першому оператору, щоб виконати набір, працюючиокремо, потрібно д :днів, тоді другому оператору для цього потрібно (д г+ 12) днів. За один день робо ти перший оператор виконає і частину 1 ^ набору, другий----------—гчастину набору. X+ 1^ Згідно умови задачі перший оператор працював 10 днів, другий — 16 днів. За цей час вони набрали у рукопису. Отже, 10 маємо рівняння: — + + 1 2 )- 70(х-і- 1 2 )- 112x = 0; 5д:^-t - бО дг - - 70х - 840 - 112д: = 0; 5х^ - 122х - 840 = = 0; О = (-122)2 _ 4 . 5 . (-840) = 14 884 f -І- 16 800 = 31 684= 178^; 122-1-178 ' = 30; 122-178 X, = тт; = - 0 , 6 . 10 10 Другій корінь не задовольняє у.чови задачі, тому для набору рукопису пер шому операторові потрібно ЗО днів, а другому — 42 дні. 921. Нехай відстань між селами А і ß дорівнює S км, тоді з села А до села В S пішохід р у х а в с я зі швидкістю — км/год. На зворотному шляху перші 10 км пі шохід рухався з цією ж швидкістю, а решту (S 10) км пройшов зі швидкістю ! - > км/год. За умовою задачі на зво ротний шлях пішохід витратив 4,5 год. Складаємо рівняння: ^ ^ + ^ ~ ^ - = 4,5; _ _ _ 1 ¥ 4 40 4 (S -1 0 ) 9 - ^ + g _ 4 = 1 2 S (S -4 ), тоді 80(S - 4) + 8S(S - 10) = 9S(S - 4); 9S^ - ~ 36S - 80S + 320 - 8S- + 80S = 0; S= - 36S 4 - -I- 320 = 0; (S - 20)(S - 16) = 0, тобто S - 20= = 0, S, = 20 або S - 16 = 0, S, = 16. Отже, відстань між селами становить 20 км або 16 км. Можливі обидва випадки. 922. Нехай и км/год — власна швид кість човна, тоді його швидкість за течією річки дорівнює (і) -ь 3) км/год, а проти течії — (t) - 3) км/год. За умовою задачі відстань між пристанями дорівнює 3(и + 3)км, бочовен, рухаючись затечією, долає її за З год. Згідно з умовою задачі маємо рівняння: 3(і; + 3 )-3 0 , 3(и-ь3)-30 9. 2 ’ V + 3 3 { и - 7 ) ^ 3 ( и - 7 ) и + 3 и - 3 2 ( у - 7 ) ^2(1)-7) V + 3 и -3 и - 3 9 2 = 3 . 3. ’ 2 ’ ( u + 3 ) { v - 3 ) ; 2{v - 7)(t; - 3 ) і- 2 (i; - 7)t) + 3 ) - 3{u^ - 9) = = 0; 2(1)2 _ lou + 21) -t - 2(u‘ - i v - 21) - - 3(t)2 - 9) = 0; 2v^ -I- 2i)2 - 3u^ - 20v - 8 v + + 42 - 42 -b 27 = 0; - 28u -t - 2 7 = 0; {v - 2 7 ) ( d - 1) = 0, тобто L > - 2 7 = 0, D, = 2 7 або и- 1= 0, Dj = 1. Другий корінь не задовольняє умови задачі, бо власна швидкість човна не може бути меншою за швидкість течії. Отже, власна швид кість човна дорівнює 2 7 км/год. 923. Якщо першого разу відлили X л спирту і посудину долили водою, то в суміші зосталось (6 - х) л спирту. Коли другого разу відлили х л суміші, тобто ^ X л спирту, то в посудині залиши- w w w . 4 b o o k . o r g
- 101. лось 6 -х - літрів спирту, що за 6 умовою задачі становить 1,5 л спирту. . о { 6 - х ) х З Маємо рівняння: 6 - х -------^---- = -^, тобто 6(6 - х ) - ( 6 - х ) х = 9; ( 6 - х ) х X (6 - х) = 9; (6 - хУ = 9. Тоді 6 - д : = З, д :, = З або 6 - X= -З, Xj = 9. Другий корінь не задовольняє умови задачі, бо кількість спирту не повинна перевищувати об’єм посудини. Отже, першого разу відлили З л спирту. 924. 1) 2х*+ Зх“ *- 5 = 0. Зробимо замінуx ‘ = t > 0 , тоді 2г^ + 3( - 5 = 0; D = 3“- 4 •2 ■(-5 ) = 9 + 40 = 49 = 7^; 3 -7 <1=- t > 0; f, = Повертаємось до = - 1, що не задовольняє умови 3+ 7 10 ^ Г“ Г - змінноїх: тоді = або X, = = - ^ . Числа і х ^ — корені даного рівняння. 2) 36 * "-3 6 х - 6 1 - 6 ’ (л:-6)(д: + 6) х - 6 = 0; х -6 = 0. Я к щ о х -6 ;і0 , отримуємо рівняння X + 6 = О, коренем якого є число X = - 6. х^+З х-10 _(х + 5 )(х -2 )_ х + 5, х( х - 2 ) X ’ 925.1) 2) х^-2х х ^ - 9 _ ( х - 3 ) ( х + 3 ) _ 2 ( х ^ - 2 х - 3 ) 2х‘ - 4 х - 6 ( х - 3 ) ( х + 3) _ х + 3 2 (х -3 )( х + 1) 2(х + 1)' 926. 1) л:-2л/Г-8 = 0. Зробимо замі ну Vx = f > О , тоді - 2t - 8 = 0; (( - 4)(t + 2) = О, тобто і - 4 = О, = 4 або t + 2 = О, < 2= -2. Другий корінь не задовольняє умови ( > 0. Повертаємось до змінної х: t = 4, тоді -Jx =4; х = 4^; х=16. Дане рівняння має єдиний корінь д г= 16. 2) (х + 7)2 - 5(х + 7 У - 6 = 0. Зробимо заміну (х + 7У = t > О, тоді: t‘ - 5t - 6 = 0; (< - 6)(< + 1) = О, тобто t - 6 = 0,t^ = 6 або г+ 1= 0, (2= -1. Другий корінь не за довольняє умови і > 0. Повертаємось до змінної х: f = 6, тому (х + 7Y = 6, звідки х + 7 = у/б; х ^ = - 7 + у/б або X-І-7 = — v /б; х^ = -7 - -JE. Ірраціональні числа х^ і х^ — корені рівняння. w w w . 4 b o o k . o r g