1

1. Практичне заняття 3.
Інтегрування виразів, які містять квадратний тричлен.
Інтегрування раціональних функцій
Мета заняття: ознайомлення студентів з методами інтегрування виразів, які
містять квадратний тричлен та інтегрування раціональних
функцій.
Зміст заняття.
Завдання 1. Надання коротких теоретичних відомостей про метод інтегрування
виразів, які містять квадратний тричлен та розв’язання прикладів на
задану тему.
Завдання 2. Надання коротких теоретичних відомостей про метод інтегрування
раціональних функцій та розв’язання прикладів на задану тему.
Основні теоретичні відомості, формули та приклади.
Якщо інтеграл має вигляд 2
Mx N
dx
ax bx c
+
+ +
∫ або
2
Mx N
dx
ax bx c
+
+ +
∫ , тоді його
обчислюють за допомогою заміни:
2
b
t x
a
= + .
Для того щоб проінтегрувати правильний раціональний дріб його за
допомогою методу невизначених коефіцієнтів розкладають на елементарні
раціональні дроби. Елементарні раціональні дроби бувають 4 видів:
1)
A
x a
−
; 2)
( )n
A
x a
−
, n >1; 3) 2
Mx N
x px q
+
+ +
; 4)
( )
2 n
Mx N
x px q
+
+ +
, n >1.
Для обчислення інтегралу від елементарного дробу 3-го типу 2
Mx N
dx
x px q
+
+ +
∫
доцільно використати заміну
2
p
t x
= + .
Приклад 1. Обчислити 2
4 6
dx
x x
+ −
∫ .
Розв’язання. Даний інтеграл можна обчислити двома способами.
Перший спосіб. Виділимо цілий квадрат із знаменника:
( ) ( )2
2 2
4 6 4 4 10 2 10
x x x x x
+ − = + + − = + −

2. Отже, 2 2
1 2 10
ln
4 6 ( 2) 10 2 10 2 10
dx dx x
C
x x x x
+ −
= = +
+ − + − + +
∫ ∫ .
Другий спосіб. Зробимо заміну:
2
b
t x
a
= + , тобто
( ) ( )
2 2
4
2
2
4 6 2 4 2 6
2
t x x
dx dt
x x t t
x t dx dt
= + = +
= = =
+ − − + − −
= − =
∫ ∫
2 2
1 10 1 2 10
ln ln
4 4 4 8 6 10 2 10 10 2 10 2 10
dt dt t x
C C
t t t t t x
− + −
= = = + = +
− + + − − − + + +
∫ ∫
Приклад 3. Обчислити
( )
2
3 2
2
x
I dx
x x
+
=
+
∫
Розв’язання. Маємо інтеграл від правильного дробу
( )
2
3 2
2
x
x x
+
+
.
Розкладемо правильний дріб на елементарні дроби з невизначеними
коефіцієнтами
( )
2 2
3 2
2
2
x A B C
x x
x x x
+
= + +
+
+
.
Зведемо дроби в правій частині до спільного знаменника. Спільний
знаменник виразу справа буде ( )
2
2
x x + , тобто такий як знаменник зліва.
Оскільки якщо дроби рівні, і рівні їх знаменники, то рівні чисельники:
( ) ( ) 2
3 2 2 2 .
x A x Bx x Cx
+ = ⋅ + + ⋅ + +
Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях x .
2
1
0
0
3 2
2 2
х B C
x A B
A
x
= +
= +
=
;
2
1
0
0
3 2
2 2
x B C
x A B
A
x
= +
= +
=
.
Отримали систему трьох рівнянь з трьома невідомими.
Розв’язок системи 1, 1, 1.
A B C
= = = −
Підставляючи коефіцієнти в розклад, а розклад в інтеграл, маємо:

3. ( )
2
1 1 1 1
ln ln 2 .
2
I dx x x C
x x x
x
 
= + − = − + − + +
 
+
 
∫
Приклад 4. Обчислити
5
3
2
1
x
dx
x
+
−
∫
Розв’язання. Виділимо цілу частину:
5 2
2
3 3
2 2
1 1
x x
x
x x
+ +
= +
− −
.
Розклавши правильний дріб на елементарні маємо
2 2
3 2 3
2 ( 1) ( 1) ( )
1 1 1 1
x A Bx C A x x x Bx C
x x x x x
+ + ⋅ + + + − ⋅ +
= + =
− − + + −
.
Отже, 2 2
2 ( 1) ( 1) ( )
x A x x x Bx C
+ = ⋅ + + + − ⋅ + .
Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях, отримаємо і розв’язуємо
систему рівнянь:
2
1
0
1,
0,
2,
x A B
x A B C
x A C
+ =
− + =
− =
1,
0,
1.
A
B
C
=


⇒ =

 = −

Далі дістаємо 2 2
2
2
1 1 1 1
1 1 1 1 3
2 4
I x dx x dx
x x x x
x
 
 
   
= + − = + − =
   
− + + −
   
+ +
 
 
 
 
∫ ∫
3 3
1
2 2 2 1
2
ln 1 arctg ln 1 arctg
3 3
3 3 3 3
2
x
x x x
x C x C
+ +
= + − − + = + − − + .
Завдання для індивідуальної роботи № 3.
Номер варіанта визначається за списком в журналі групи.
Відповіді слід надіслати у вигляді документу з розширенням
«.doc» або «.pdf»
Обчислити інтеграли:

4. 3.1. а) 2
2 7
6 8
x
dx
x x
−
− +
∫ ; б)
2
3 2
2 7
6 8
x
dx
x x x
−
− +
∫
3.2. а) 2
7
6 8
x
dx
x x
−
+ +
∫ ; б) 2
5 3
( 1)( 4)
x
dx
x x
+
− +
∫
3.3. а) 2
4 8
x
dx
x x
− +
∫ ; б)
2
2
4 3
( 1)( 1)
x
dx
x x
−
+ −
∫
3.4. а) 2
1
8 8
x
dx
x x
−
+ +
∫ ; б) 2
3 5
( 1)( 2)
x
dx
x x
−
+ +
∫
3.5. а) 2
6
4 8
x
dx
x x
− +
∫ ; б)
2
2
3 1
( 2)( 4)
x
dx
x x
+
− −
∫
3.6. а) 2
3 8
x
dx
x x
+ +
∫ ; б)
( )
2
3 2
1
4 4
x x dx
x x x
+ +
− +
∫
3.7. а) 2
1
4 6
x
dx
x x
−
− −
∫ ; б)
( )
( )( )
2
2
3
4 5 1
x x dx
x x x
−
+ + −
∫
3.8. а) 2
2
18
x
dx
x x
+ +
∫ ; б) 3 2
3 3
xdx
x x x
− + −
∫
3.9. а) 2
4
6 6
x
dx
x x
− +
∫ ; б)
( )
3
5
9
x dx
x x
+
+
∫
3.10. а) 2
8
14 8
x
dx
x x
+
− +
∫ ; б)
( )
3
3
4
x dx
x x
−
+
∫
3.11. а) 2
5
4 5
x
dx
x x
+
− +
∫ ; б)
( )
( )( )
2
2
2 2 1
x dx
x x x
+
− − +
∫
3.12. а) 2
2
8 18
x
dx
x x
+ +
∫ ; б)
( )
2
3 2
1
4 3
x dx
x x x
+
+ +
∫
3.13. а) 2
7
4 3
x
dx
x x
−
+ +
∫ ; б)
( )
2
3
2
9
x dx
x x
+
+
∫
3.14. а) 2
3
14 6
x
dx
x x
− +
∫ ; б)
( )( )
2
1
1 2 1
x
dx
x x x
−
+ + +
∫
3.15. а) 2
1
4 6
x
dx
x x
−
− −
∫ ; б)
( )
2
3 2
5 4
3 3
x x dx
x x x
+ −
− + −
∫
3.16. а) 2
8
18 8
x
dx
x x
+
− +
∫ ; б)
( )
3
4
8
x dx
x
−
−
∫
3.17. а) 2
6
8 6
x
dx
x x
+
− +
∫ ; б)
( )
2
3 2
1
6 10
x dx
x x x
−
+ +
∫

5. 3.18. а) 2
2
7
x
dx
x x
− +
∫ ; б)
( )
2
3 2
5
2
x x dx
x x
+
−
∫
3.19. а) 2
2
2 8
x
dx
x x
− +
∫ ; б)
( )
( )
2
3
2
2
x dx
x
−
−
∫
3.20. а) 2
4
6 8
x
dx
x x
+
− +
∫ ; б)
( )
( )
3
5
1
x dx
x
+
+
∫
3.21. а) 2
6
7 8
x
dx
x x
+
+ −
∫ ; б)
( )
3
3
xdx
x −
∫
3.22. а) 2
4
4 8
x
dx
x x
− +
∫ ; б)
2
2
1
16
x
dx
x x
+
+
∫
3.23. а) 2
7
8 9
x
dx
x x
−
− +
∫ ; б)
( )
3 2
4
5 5
x
dx
x x x
−
− + −
∫
3.24. а) 2
6
8
x
dx
x x
+
− +
∫ ; б)
( )
3
1
4
x
dx
x x
+
+
∫
3.25. а) 2
3
14 6
x
dx
x x
− +
∫ ; б)
( )
( )( )
2
2
1
1 2
x
dx
x x x
+
− + −
∫
3.26. а) 2
7
4 3
x
dx
x x
−
+ +
∫ ; б)
( )( )
2
4 12 1
xdx
x x x
− − −
∫
3.27. а) 2
3
4 1
x
dx
x x
−
− +
∫ ; б)
( )( )
2
2 2 1
xdx
x x x
+ + +
∫
3.28. а) 2
2
8 18
x
dx
x x
+ +
∫ ; б)
( )
3 2
2
2 2
x dx
x x x
+
+ + +
∫
3.29. а) 2
5
4 5
x
dx
x x
+
− +
∫ ; б)
( )
( )
3
5
1
x dx
x
+
+
∫
3.30. а) 2
4 8
x
dx
x x
− +
∫ ; б)
( )
( )
3
5
1
x dx
x
+
+
∫