Πώς τα πάμε με τους λογαρίθμους; Σε αυτό το μάθημα εξετάζουμε μία πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα των λογαρίθμων που, στην ουσία, μας λέει ότι χρειαζόμαστε μονάχα έναν λογάριθμο για να υπολογίσουμε κάθε άλλο λογάριθμο με οποιαδήποτε βάση. Αν και εκτός ύλης, αυτό ο τύπος έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον! ;) Στη συνέχεια ασχολιόμαστε με διάφορα παραδείγματα κι εφαρμογές των λογαρίθμων σε παράξενες και, μέχρι πρότινος δύσκολες, εξισώσεις και ανισώσεις. Καλό διάβασμα!

1. Εκθετικές & Λογαριθμικές Συναρτήσεις
΄Αλγεβρα — Β΄ Λυκείου
Μάθημα 28ο — Λογαριθμικές Συναρτήσεις (Γ΄)
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr
Μάρκος Βασίλης
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Β΄ Λυκείου

2. Εκθετικές & Λογαριθμικές Συναρτήσεις
Λογαριθμικές συναρτήσεις
Ιδιότητες των λογαρίθμων
I logb x =
loga x
loga b
. Πράγματι, έχουμε:
alogb x loga b
=
aloga b
logb x
= blogb x
= x = aloga x
.
Συνεπώς:
logb x loga b = loga x ⇔ logb x =
loga x
loga b
,
που ήταν το ζητούμενο.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Β΄ Λυκείου

3. Εκθετικές Λογαριθμικές Συναρτήσεις
Λογαριθμικές συναρτήσεις
Λιτότητα
Η τελευταία ιδιότητα μας αποκαλύπτει ότι αρκεί να
χρησιμοποιούμε μία βάση στους λογαρίθμους μας, καθώς όλες
μπορούν να εκφραστούν μέσα από αυτήν. Επιλέγουμε αυτή η
βάση να είναι, συνήθως, το e και μάλιστα θα δώσουμε στον
λογάριθμο loge ένα ιδιαίτερο όνομα: ln — από το logarithmus
naturalis, δηλαδή φυσικός λογάριθμος.
Σε πολλές άλλες εφαρμογές θα χρησιμοποιούμε το 10 και θα
γράφουμε log αντί για log10.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Β΄ Λυκείου

4. Εκθετικές Λογαριθμικές Συναρτήσεις
Λογαριθμικές συναρτήσεις
Εφαρμογές
Παράδειγμα
Αν γνωρίζετε ότι: ln 2 ≈ 0.69, ln 3 ≈ 1.10 και ln 5 ≈ 1.61 τότε να
υπολογίσετε (κατά προσέγγιση) τους παρακάτω λογαρίθμους:
I ln 6
I ln 0.06
I ln 288
I ln 10.8
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Β΄ Λυκείου

5. Εκθετικές Λογαριθμικές Συναρτήσεις
Λογαριθμικές συναρτήσεις
Συνέχεια. . .
Απευθείας από τις ιδιότητες έχουμε:
I ln 6 = ln(2 · 3) = ln 2 + ln 3 = 0.69 + 1.10 = 1.79.
I ln 0.06 = ln 6
100 = ln 6 − ln 100 = 1.79 − ln 102 =
= 1.79 − 2 ln 10 = 1.79 − 2 ln(2 · 5) =
= 1.79 − 2(ln 2 + ln 5) = 1.79 − 2(0.69 + 1.61) =
= −2.81.
I ln 288 = ln(25 · 32) = ln 25 + ln 32 = 5 ln 2 + 2 ln 3 =
= 5 · 0.69 + 2 · 1.10 = 5.65.
I ln 10.8 = ln 108
10 = ln 108 − ln 10 = ln(22 · 33) − 2.3 =
= ln 22 + ln 33 − 2.3 = 2 ln 2 + 3 ln 3 − 2.3 =
= 2 · 0.69 + 3 · 1.10 − 2.3 = 2.38.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Β΄ Λυκείου

6. Εκθετικές Λογαριθμικές Συναρτήσεις
Λογαριθμικές συναρτήσεις
Εφαρμογές
Παράδειγμα
Να λύσετε την ακόλουθη ανίσωση για x 0:
xx
x.
Επειδή η ln x είναι γνησίως αύξουσα, την εφαρμόζουμε και στα
δύο μέλη της ανίσωσης χωρίς να αλλάζει η φορά:
xx
x
ln x:↑
⇐=
=⇒ ln xx
ln x ⇔ x ln x − ln x 0 ⇔ (x − 1) ln x 0.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Β΄ Λυκείου

7. Εκθετικές Λογαριθμικές Συναρτήσεις
Λογαριθμικές συναρτήσεις
Συνέχεια. . .
I x − 1 = 0 ⇔ x = 1.
I x − 1 0 ⇔ x 1.
I ln x = 0
ex :1−1
⇐=
=
=⇒ eln x = e0 ⇔ x = 1.
I ln x 0
ex :↑
⇐=
=⇒ eln x e0 ⇔ x 1.
Με τα παραπάνω μπορούμε να φτιάξουμε έναν πίνακα
προσήμου — βλ. επόμενη διαφάνεια.
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Β΄ Λυκείου

8. Εκθετικές Λογαριθμικές Συναρτήσεις
Λογαριθμικές συναρτήσεις
Συνέχεια. . .
x 0 1 +∞
x − 1 − 0 +
ln x − 0 +
(x − 1) ln x + 0 +
Συνεπώς:
(x − 1) ln x 0 ⇔ x ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞).
g/aftermaths.gr ¡ @aftermathsgr 7@aftermathsgr Μάρκος Βασίλης
΄Αλγεβρα — Β΄ Λυκείου