20200605 oki lecture4

2020年度建築計画第二
（第10回 2020.06.05）
建築・都市における
相関・因果関係の分析手法２
東京工業大学環境・社会理工学院建築学系
沖拓弥
12020年度建築計画第二第10回（沖拓弥）

2
第９回のテーマ
相関分析と回帰分析
相関分析（Correlation analysis）
２種類の変数XY間の因果関係を考えずに，変数
間の関係の強さを測定する方法。
回帰分析（Regression analysis）
２種類の変数XY間の因果関係を仮定し，変数X
が変数Yに与える影響の測定や，予測に用いら
れる方法。

3
れる方法。
変数間の関係を１対１で考え，回帰式を推定した
⇒実際は様々な要因が複合して関係する場合が多い
⇒精度高く予測するためには，複数の要因を説明変数
とした「重回帰式」を推定する必要がある。

4
れる方法。

5
例えば・・・
賃貸住宅の賃料にはどのような要因が関係するだろう？
 最寄り駅
 最寄り駅からの徒歩時間
 間取りタイプ
 築後年数
 専有面積
 バス・トイレ別かどうか
 2階以上かどうか
 オートロックかどうか
 構造
 採光（向き/面数）
・・・・・・
それぞれ賃料に影響していそうだが，ひとつの要因で決まるわけ
ではない。また，影響度合いも要因によって異なる。

6
れる方法。

7
第10回のテーマ
重回帰分析と数量化理論Ⅰ類
重回帰分析（Multiple regression analysis）
複数の説明変数X（定量的データ）が目的変数Yに与
える影響の測定や，予測に用いられる方法。
数量化理論Ⅰ類（Hayashi’s quantification theory I）
複数の要因X（定性的データ）が外的基準Yに与える
影響の測定や，予測に用いられる方法。
＊定性的データ：名義尺度，順序尺度など
Yes/No，ランク

8
Yes/No，ランク

9
重回帰分析の基本的な流れ
重回帰式は，一般に以下のような形で表される。
0 1 1 2 2 p py x x xβ β β β= + + + +
y：目的変数
x1, x2, ・・・, xp：説明変数
β0, β1, β2, ・・・, βp：回帰係数
※偏回帰係数，重回帰係数とも。
単回帰分析（第９回）の場合と同様にして，
回帰係数 βi の求め方を考えよう。

10
次のようなn個の観測データが得られていたとする。
y x1 x2 x3 ･･･ xp
1 y1 x11 x21 x31 ･･･ xp1
2 y2 x12 x22 x32 ･･･ xp2
3 y3 x13 x23 x33 ･･･ xp3
: : : : : :
n yn x1n x2n x3n ･･･ xpn
yとx1, x2, ･･･, xpとの間の関係を定式化すると，
0 1 1 2 2i i i p pi iy x x xβ β β β ε= + + + + + 誤差項 or
確率的攪乱項

11
0 1 1 2 2i i i p pi iy x x xβ β β β ε= + + + + +
誤差自乗和が最小となるときの回帰係数を採用する。
( ){ }
2
2
0 1 1 2 2
1 1
n n
i i i i p pi
i i
S y x x xε β β β β
= =
= = − + + + +∑ ∑ 
( ){ }0 1 1 2 2
10
2 0
n
i i i p pi
i
S
y x x xβ β β β
β =
∂
=− − + + + + =
∂
∑ 
( ){ }1 0 1 1 2 2
11
2 0
n
i i i i p pi
i
S
x y x x xβ β β β
β =
∂
=− − + + + + =
∂
∑ 
( ){ }2 0 1 1 2 2
12
2 0
n
i i i i p pi
i
S
x y x x xβ β β β
β =
∂
=− − + + + + =
∂
∑ 
・・・

12
整理すると，
0 1 1 2 2
1 1 1 1
n n n n
i i i p pi
i i i i
y n x x xβ β β β
= = = =
= + + + +∑ ∑ ∑ ∑
1 0 1 1 1 1 2 1 2 1
1 1 1 1 1
n n n n n
i i i i i i i p i pi
i i i i i
x y x x x x x x xβ β β β
= = = = =
= + + + +∑ ∑ ∑ ∑ ∑
・・・
2 0 2 1 2 1 2 2 2 2
1 1 1 1 1
n n n n n
i i i i i i i p i pi
i i i i i
= = = = =
= + + + +∑ ∑ ∑ ∑ ∑
0 1 1 2 2
1 1 1 1 1
n n n n n
pi i pi pi i pi i p pi pi
i i i i i
= = = = =
= + + + +∑ ∑ ∑ ∑ ∑
・・・①
・・・②

13
①について，
0 1 1 2 2
1 1 1 1
n n n n
i i i p pi
i i i i
y n x x xβ β β β
= = = =
= + + + +∑ ∑ ∑ ∑
1 2
0 1 2
1 1 1 1
1 n n n n
p
i i i pi
i i i i
y x x x
n n n n
ββ β
β
= = = =
 
= − + + + 
 
∑ ∑ ∑ ∑
整理して両辺nで割ると，
つまり，
( )0 1 1 2 2 p py x x xβ β β β= − + + +
1 1
1 1n n
i k ki
i i
y y x x
n n= =
= =∑ ∑ただし，である（平均値）。
・・・①’

14
②について，
0 1 1 2 2
1 1 1 1 1
n n n n n
pi i pi pi i pi i p pi pi
i i i i i
= = = = =
= + + + +∑ ∑ ∑ ∑ ∑
ここで，①’を代入すると，
( ){ }1 1 2 2
1
n
pi i p p p
i
x y y x x x nxβ β β
=
= − + + +∑ 
1 1 2 2
1 1 1
n n n
pi i pi i p pi pi
i i i
x x x x x xβ β β
= = =
+ + + +∑ ∑ ∑
整理すると，
1
n
p
pi pi p p p
i
x x x x
n
β
β
=
+ + −∑
1 2
1 1 1 2 2 2
1 1 1
1 n n n
pi i p pi i p pi i p
i i i
x y x y x x x x x x x x
n n n
β β
β β
= =
−= − + −∑ ∑ ∑

15
ここで，共分散の定義が，
1
1 n
p pi pi p p
i
x x x x
n
β
=
 
+ + − 
 
∑
1 1 1 2 2 2
1 1 1
1 1 1n n n
i i i
n n n
β β
= =
   
−= − + −   
   
∑ ∑ ∑
（つづき）
( )( )
1 1 1 1
1 1n n n n
xy i i i i i i
i i i i
x x y y x y y x x y nxy
n n
σ
= = = =
 
= − −= − − + 
 
∑ ∑ ∑ ∑
1 1
1 1n n
i i i i
i i
x y xy xy xy x y xy
n n=
= − − += −∑ ∑
と変形できることに着目すると，

16
（つづき）
1
1 n
p pi pi p p
i
x x x x
n
β
=
 
+ + − 
 
∑
1 1 1 2 2 2
1 1 1
1 1 1n n n
i i i
n n n
β β
= =
   
−= − + −   
   
∑ ∑ ∑
σpy
σp1 σp2
σpp
つまり，
1 1 11 2 12 1
2 1 21 2 22 2
y p p
y p p
σ β σ β σ β σ
= + + +
= + + +


1 1 2 2py p p p ppσ β σ β σ β σ= + + +
・・・
という連立方程式を解けば，回帰係数が得られる。
通常，パッ
ケージソフト
等を用いる。

17
1 1 11 2 12 1
2 1 21 2 22 2
y p p
y p p
= + + +
= + + +


1 1 2 2py p p p ppσ β σ β σ β σ= + + +
・・・
という連立方程式を解けば，回帰係数が得られる。
（つづき）
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
1 2
y p
y p
py p p pp p
σ σ σ σ β
σ σ σ σ β
σ σ σ σ β
     
     
     =
     
     
          


     

𝝈𝝈𝑦𝑦 = 𝝈𝝈𝝈𝝈

18
（つづき）
𝜷𝜷 = 𝝈𝝈−1
𝝈𝝈𝑦𝑦
連立方程式𝝈𝝈𝑦𝑦 = 𝝈𝝈𝝈𝝈が1組しか解を持たないことは，
𝝈𝝈が正則であること，すなわち，逆行列𝝈𝝈-1が存在する
こと（行列式|𝝈𝝈|≠0）と同値である。
逆行列𝝈𝝈-1が存在するとき，

19
推定した回帰係数を用いることで，最終的に
0 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆi i i p piy x x xβ β β β= + + + +
という重回帰式が得られる。

20
推定結果の解釈
①モデルの選択
②残差分析
③重相関係数R（自由度調整済み決定係数R2）
④回帰係数の値と符号
⑤標準化回帰係数
⑥多重共線性の発生有無の確認
⑦説明変数の有意性の検証（t値，P値）

21
②残差分析

22
説明変数が多いほど良いか？
 重回帰モデルの説明変数の数や次数を増やせば増やす
ほど，データとの適合度を高めることができる（重相関係
数Rや自由度調整済決定係数R2の値も上昇する）。
 しかし，その反面，ノイズなどの偶発的な変動にも無理矢
理合わせてしまうため，同種のデータには合わなくなる
（過適合：Overfitting）。
 そこで，モデルの複雑さと，データの適合度（当てはまり
具合）とのバランスを取るために，AIC（赤池情報量規準）
がよく使用される。
 AICの値が最小となるモデルを選択すれば，多くの場合，
良いモデルが選択できる。

23
AIC（赤池情報量規準）
AIC （Akaike’s Information Criterion：赤池情報量規準）
 モデルの複雑さと，データの適合度（当てはまり具合）との
バランスを取るために使用される。
 公式は次の通りである。
𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴 = −2（モデルの最大対数尤度） + 2（モデルの自由パラメータ数）
𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴 = 𝑛𝑛 log 2𝜋𝜋
𝑠𝑠𝑒𝑒
𝑛𝑛
+ 1 + 2 𝑝𝑝 + 2
ここで，pは説明変数の個数，nはサンプルサイズ，Seは残
差平方和。モデルの自由パラメータ数とは，（p+1）個の回
帰係数と誤差分散の計（p+2）個。
説明変数の個数pが少なく，残差平方和Seが小さいほど，
AICは小さくなる。⇒AICが最小のモデルを採用
モデルの複雑さと適合度は
トレードオフの関係

24
AICの考え方を整理
AIC＝－２（モデルの最大対数尤度）＋２（モデルの自由パラ
メータ数）
 モデルの良さは，データから構築したモデルが将来の現象
予測にどの程度有効に機能するか，という観点から捉える
必要がある。
 観測データに対して当てはまりの良いモデルを求めるには，
多数のパラメータを含む複雑なモデルの方が良いが，複雑
すぎるモデルは将来の現象予測に有効に働かない。
 予測の観点から最適なモデルを選択するには，モデルの
データへの適合度とモデルの複雑さを適切に制御する必
要がある。
 AICは，観測データへのモデルの当てはまりの良さを最大
対数尤度で測り，自由パラメータ数がモデルの複雑さに対
するペナルティとして機能している。

25
モデルの選択について
 説明変数の候補がN個あるとすると，単純な線形重
回帰であっても2N通りのモデルが考えられる。
⇒効率の良いモデル選択方法が必要。
 ステップワイズ（stepwise）法を用いて，1つずつ説明
変数を追加したり，削除したりしながら，最適な説明
変数の組み合わせを探すことが多い。
 ステップワイズ法にも，変数増加法，変数減少法，変
数増減法，変数増減法の4通りがある。

26
ステップワイズ（stepwise）法の種類
https://datachemeng.com/stepwise/

27
どのように説明変数を増やすか？
https://datachemeng.com/stepwise/
AIC

28
②残差分析

29
残差分析
推定した回帰係数を用いることで，最終的に
0 1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆˆi i i p piy x x xβ β β β= + + + +
という重回帰式が得られる。
y
ˆy
残差 ˆi i ie y y= −
観測値yと予測値の散布図を描き，
残差分析を行うことが大事。
ˆy
45度線付近に点が集まっている
ほど，予測結果は良好といえる。

30
②残差分析

31
重相関係数と自由度調整済み決定係数
重相関係数
自由度調整済み決定係数
実際に観測された目的変数（被説明変数）の値と，
重回帰式をあてはめて計算した推定値（理論値）との
相関係数（0≤R≤1）。
AICと同じく，重相関係数もモデルが複雑になるほど
大きくなるため，その影響を考慮した決定係数。

32
②残差分析

33
回帰係数の値・符号と標準化回帰係数
 （偏）回帰係数は，相関分析での回帰直線の傾き
と同じく，その説明変数xiと目的変数yとの間に正
負どちらの相関があるか，および，xiを1単位変化
させることがyをどの程度影響を与えるかを表す。
 一方，標準化（偏）回帰係数は，説明変数と目的
変数をそれぞれ（平均0，標準偏差1に）標準化した
上で得られる回帰係数で，オーダーの異なる説明
変数間の重要度を比較できる。符号は標準化前と
変わらない。
𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 − �𝑥𝑥𝑖𝑖
𝜎𝜎𝑥𝑥𝑥𝑥

34
【出典】橋本真一・丸木健：木造戸建て住宅の工事費と価格変動要因の傾向，日本建築学会
大会学術講演梗概集，F-1分冊，pp.91-92，2014
（例）木造戸建て住宅の工事費と建物規模、
使用木材、地域等の要因との関係

35

36

37
②残差分析

38
多重共線性の問題について
多重共線性（Multicollinearity，マルチコ）
説明変数のうちのいくつかが，相互に関連しており，そ
のために単独の影響を分離したり，効果を評価したりす
ることが，不可能ではないにしても，困難な状態。
（Goldberger, 1968）
𝜷𝜷 = 𝝈𝝈−1
𝝈𝝈𝑦𝑦
𝝈𝝈が正則でない，つまり，逆行列𝝈𝝈-1が存在しないとき，
のβ の解は不安定となり求めることができない。
（回帰係数の正負が矛盾するなどの問題が生じる）

39
多重共線性の問題について
どういうことか？
p個の説明変数のうち，極めて相互に相関の高い変数
が含まれていたり，あるいはある変数が他の変数群と
因果関係にあり，そのために近似的に一次式で表現で
きたりする場合。
0 1 1 2 2i i i p pi iy x x xβ β β β ε= + + + + +
0 2 2i i p pi iy x xβ β β ε= + + + +
ランク落ちが発生

40
多重共線性の発見方法
代表的な方法
p個の説明変数それぞれを目的変数として，それをそれ
以外の説明変数から予測すべく，重回帰分析を反復。
いま，変数 xj を目的変数としたときの重相関係数をRjと
すると，
で求められる値がひとつの目安であり，通常，VIF>10の
とき，多重共線性が見られるとされる（Chatterjee, 1977）。
𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑉𝑉 = 1 − 𝑅𝑅𝑗𝑗
2 −1
VIF：分散拡大要因（Variance inflation factor）

41
②残差分析

42
回帰係数の有意性
 説明変数が被説明変数に対して影響を及ぼしている
かどうかを確認するために，推定した回帰係数の有
意性を確認する必要がある。
 対象となる回帰係数βについて，「説明変数xは被説
明変数yに影響を与えていない」（xとyは無相関）とい
う帰無仮説を設定する。
H0（帰無仮説）：
説明変数xは被説明変数yに影響を与えていない
H1（対立仮説）：
説明変数xは被説明変数yに影響を与えている
帰無仮説が棄却⇒対応する回帰係数βは有意

43
 「説明変数xは被説明変数yに影響を与えていない」
という帰無仮説を検定するために，t検定を行う。
http://www.soumu.go.jp/ict_skill/pdf/ict_skill_3_4.pdf
t検定は，母集団の平均値μが特定
の値μ0と等しいかどうかの帰無仮説
を検定する際などに用いられる。
※t分布の式自体を覚える必要はない
̅𝑥𝑥を標本平均，sを標本標準偏差，n
を標本サイズとすると，
は自由度n-1のt分布に従う（平均値
や標準偏差によらない）。

44
 直前のスライドで説明したt検定を，回帰係数の有意
性の検定に応用する。
𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 =
̂𝛽𝛽 − 𝛽𝛽0
𝑉𝑉 ̂𝛽𝛽
ここで𝑉𝑉 ̂𝛽𝛽 は ̂𝛽𝛽の分散を表し， 𝑉𝑉 ̂𝛽𝛽 =
𝑠𝑠𝑒𝑒
2
∑𝑖𝑖=1
𝑛𝑛
𝑥𝑥𝑖𝑖 − ̅𝑥𝑥 2
𝑠𝑠𝑒𝑒
2
は回帰の残差（誤差）分散を表し， 𝑠𝑠𝑒𝑒
2
=
∑𝑖𝑖=1
𝑛𝑛
𝑦𝑦𝑖𝑖 − �𝑦𝑦𝑖𝑖
2
𝑛𝑛 − 2
（導出過程は省略。n-2となるのは，回帰係数分の自由度を除くため。）

45
（つづき）整理すると，
𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 =
̂𝛽𝛽 − 𝛽𝛽0
∑𝑖𝑖=1
𝑛𝑛
2
𝑛𝑛 − 2
�
1
∑𝑖𝑖=1
𝑛𝑛
=
̂𝛽𝛽 − 𝛽𝛽0 𝑛𝑛 − 2
∑𝑖𝑖=1
𝑛𝑛
2
∑𝑖𝑖=1
𝑛𝑛
「説明変数xは被説明変数yに影響を与えていない」とい
う帰無仮説を検定したいので，回帰係数 ̂𝛽𝛽がゼロと見な
せるかどうか，つまり，𝛽𝛽0 = 0としたときの𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠の値に
着目する。

46
（つづき） 𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠の値をもとにすれば，「どの程度の確率
で ̂𝛽𝛽 = 0と見なせるか」が求まる。
例えば 𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 2.5 だったとすると，
両側5%（片側2.5%）の基準では，
仮説が棄却され， ̂𝛽𝛽 ≠ 0 （回帰係
数が有意）であると判断できる。
一方，両側1%（片側0.5%）の基準
では，仮説が棄却されず，その回
帰係数は有意とならない。
***0.1%有意，**1%有意，*5%有意，などというように表す。

47
https://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakuc/toukei/rp12
/rp12.htm
t値とp値（有意確率）の関係
t値が大きくなればp値が小
さくなり，回帰係数を有意と
見なせる確率が高まる。
逆にt値が小さくなればp値
が大きくなり，回帰係数を有
意と見なせる確率が低くな
る。

48
②残差分析
ExcelやRなどを使えば，重回帰分析自体は簡単にできるが，
以上の点を必ず確認しましょう

49
建築・都市計画分野での実例
【重回帰分析の例】
1. 河合伸治：ヘドニック・アプローチによる地域住民の選好の推
定ー西武池袋線・東武東上線・田園都市線沿線の賃貸住宅
を事例としてー，社学研論集，Vol.16，pp.180-193，2010.9
2. 樋口恵一・三村泰広・安藤良輔：交通事故と犯罪の発生件数
に影響する地域特性の抽出に関する研究ー豊田市の小学校
区を対象にしたケーススタディー，交通工学論文集，Vol.2，
No.2（特集号A），pp.A_193-A_198，2016.2
【数量化理論Ⅰ類の例】
1. 植田裕基・鵤心治・小林剛士：不動産鑑定評価による地域特
性を考慮した住宅地景観の経済価値に関する研究，日本建
築学会中国支部研究報告集，Vol.37，pp.693-696，2014.3

50
Yes/No，ランク

51
Yes/No，ランク

52
数量化Ⅰ類について（概要のみ）
 重回帰分析と非常によく似ているが，重回帰分析は
説明変数が定量データ，数量化Ⅰ類は説明変数が
定性データ（カテゴリーデータ）である点が異なる（目
的変数はどちらも定量データ）。
 ①説明変数の各カテゴリーの目的変数に対する貢
献度（影響度），②説明変数の重要度ランキング，③
予測，を明らかにする手法。
https://istat.co.jp/ta_commentary/method1

53
数量化Ⅰ類について（概要のみ）
カテゴリースコアは，重回帰分析の偏回帰係数に相当
する形で使われる。
https://istat.co.jp/ta_commentary/method1
カテゴリー内のカテゴリースコアの差（レンジ）
が大きい説明変数ほど重要度が高い。

54
建築・都市計画分野での実例
【重回帰分析の例】
1. 河合伸治：ヘドニック・アプローチによる地域住民の選好の推
定ー西武池袋線・東武東上線・田園都市線沿線の賃貸住宅
を事例としてー，社学研論集，Vol.16，pp.180-193，2010.9
2. 樋口恵一・三村泰広・安藤良輔：交通事故と犯罪の発生件数
に影響する地域特性の抽出に関する研究ー豊田市の小学校
区を対象にしたケーススタディー，交通工学論文集，Vol.2，
No.2（特集号A），pp.A_193-A_198，2016.2
【数量化理論Ⅰ類の例】
1. 植田裕基・鵤心治・小林剛士：不動産鑑定評価による地域特
性を考慮した住宅地景観の経済価値に関する研究，日本建
築学会中国支部研究報告集，Vol.37，pp.693-696，2014.3

55
重回帰分析以外の回帰分析手法
Esriジャパン：ランダムフォレストによる土地取引価格の予測，
https://www.arcgis.com/apps/Cascade/index.html?appid=24f20
d55c94144b99d799fae3f1c426f
 重回帰分析は，シンプルでありながら説明力が高い
ため，広く使われているが，限界もある。
 特に，説明変数xの線形和で表す構造となっているこ
とから，非線形の現象を記述することには適さない
（cf：非線形回帰モデル）。
 多変数を考慮した回帰分析手法には，重回帰分析
以外にも様々な手法がある。近年は，機械学習を用
いた回帰分析も行われる。

56
Yes/No，ランク

57
参考文献（第９・10回）
1. 吉田光雄：重回帰分析における多重共線性とRidge回帰に
ついて，大阪大学人間科学部紀要，13，pp.227-242，
1987.3
2. 小西貞則：多変量解析入門ー線形から非線形へー，岩波
書店，2020

58
6/5小レポート課題
建築・都市計画分野で，重回帰分析または
数量化Ⅰ類に関わる論文を１編読み，A4
用紙1ページ以内に要約する。
著者，タイトル，雑誌名，年，ページ
推定式，変数一覧，推定結果など図表を
載せ，授業内容とも関連させながら自分な
りの感想を述べる。
6/12（金）授業開始までにOCW-iに提出

20200605 oki lecture4

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