G検定対策社内数学講座　行列とベクトル

1. 行列とベクトル
〜数学の基礎／線形代数〜
Jun. 2019 created by ITO Akihiro

2. 線形／非線形
● 「線形に回帰する」とか
● 関係を直線で表せる
つまり、一次関数
比例と同じ
線形 非線形

3. 例
( )( )=( )a1 a2
a3 a4
b1 b2
b3 b4
a1b1+a2b3 a1b2+a2b4
a3b1+a4b3 a3b2+a4b4
( )( )=( )1 2
3 4
5 6
7 8
1×5+2×7 1×6+2×8
3×5+4×7 3×6+4×8
=( )19 22
43 50

4. 例
( )( )=( )a1 a2
a3 a4
b1 b2
b3 b4
a1b1+a2b3 a1b2+a2b4
a3b1+a4b3 a3b2+a4b4
( )( )=( )1 2
3 4
5 6
7 8
1×5+2×7 1×6+2×8
3×5+4×7 3×6+4×8
=( )19 22
43 50

5. 例
( )( )=( )a1 a2
a3 a4
b1 b2
b3 b4
a1b1+a2b3 a1b2+a2b4
a3b1+a4b3 a3b2+a4b4
( )( )=( )1 2
3 4
5 6
7 8
1×5+2×7 1×6+2×8
3×5+4×7 3×6+4×8
=( )19 22
43 50

6. 例
( )( )=( )a1 a2
a3 a4
b1 b2
b3 b4
a1b1+a2b3 a1b2+a2b4
a3b1+a4b3 a3b2+a4b4
( )( )=( )1 2
3 4
5 6
7 8
1×5+2×7 1×6+2×8
3×5+4×7 3×6+4×8
=( )19 22
43 50

7. a b
c d
x
y
ax + by
cx + dy
a b c d
e f g h
x
y
z
t
ax + by + cz + dt
ex + fy + gz + ht

8. ● 計算できない場合もある
● 左右どちらからかけるかに
よって結果が異なる
● 「行列の積」と
「行列の内積」は別モノ
● 行列の内積
同じサイズの行列A,Bの、対
応する成分の積のすべての
和
a b
c d
a b c
d e f
x
y
z
r s t
u v w
x y z
⭕ 計算できる
❌ 計算できない
2×3行列 3×1行列
2×2行列 3×3行列

9. 単位行列 E
● 積の結果が元と同じ
(x1と同じ)
● 左右どちらからかけても同じ
1 0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
n = 2のとき n = 3のとき
En =
1 0 ‥ 0 0
0 1 ‥ 0 0
：： ：：
0 0 ‥ 1 0
0 0 ‥ 0 1
1 2
3 4
1 0
0 1
1 2
3 4
例

10. 行列 に対して逆行列 は、
逆行列 Inverse
2 5
1 3
の逆行列は
3 -5
-1 2
2 5
1 3
3 -5
-1 2
1 0
0 1
例
● 積の結果が単位行列
● 左右どちらからかけても同じ

11. 転置行列 Transpose
● 行と列を入れ替える
● 裏返すイメージA = x y z x
y
z
A =
T
a b
c dB =
a c
b dB =
T
1 2 3
4 5 6
1 4
2 5
3 6
A = A =
t
例

12. y
x
ベクトルは、大きさ+向き（スカラーは、大きさ）
分解
x成分
y成分
A
B
大きさ
向き
始点
終点
A
B

13. ベクトルの足し算
平行四辺形を作ればOK
y
x
0
(1, 2)
(3, 1)
(3+1, 1+2)
a
b
a+b
y
x
0
(3, 1)
(4, 3)
a
b
a+b

14. 三次元の場合
y
x
z
P
(x, y)
(x, y, z)

15. “単語をベクトル空間にマッピングして……”
man
woman
king
queen
cat
lion
dog
cow
horse
car
truck
bike
bicycle
plane
ship
camra
mic
TV
projector

16. a.k.a. “word2vec”
man
king
woman
queen
Tokyo
Japan
Paris
France
London
GreatBritain Capital
Greeting
Country
こんにちは
Bonjour
Hello
word2vec = word to vector

17. word2vec での足し算／引き算
man
king
woman
queen
Tokyo
Japan
Paris
France
Capital
Greeting
Country
こんにちは
Bonjour
“Japan” - “France” + “Greeting” = “Bonjour”
θ
a
b
※コサイン類似度
cosθ が1に近ければ、
aとbは似ている
a
bb’
θ
cosθ = b’/a