1. Квантовые алгоритмы:
возможности и ограничения.
Лекция 5: Нижние оценки квантовой
коммуникационной сложности. Другие модели
коммуникации
М. Вялый
Вычислительный центр
им. А.А.Дородницына
Российской Академии наук
Санкт-Петербург, 2011
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 1 / 29

2. План
1 Нижние оценки квантовой коммуникационной сложности
2 Нижняя оценка для функции пересечения множеств
3 Модель коммуникации SMP
4 Квантовая (псевдо-)телепатия
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 2 / 29

3. Разложение Яо – Кремера
...
...
|0, x ...
A
U1 U3 ...
...
|0 ...
U2 ... U
...
|0, y ...
B ...
...
Теорема
Состояние квантовой памяти после раундов общения с передачей по
одному кубиту представляется в виде
|ψ = |αm A ⊗ |m ⊗ |βm B,
m∈{0,1}
где |αm | 1, |βm | 1, а m последний бит двоичной строки m.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 3 / 29

4. Разложение Яо – Кремера: доказательство
Индукция по длине протокола.
Начальное состояние |x, 0 A ⊗ |0 ⊗ |0, y B разложимо.
Пусть после раундов состояние имеет вид
|ψ = |αm A ⊗ |m ⊗ |βm B.
m∈{0,1}
Рассмотрим случай четного (следующий ход Алисы). Получаем:
U +1 |αm A ⊗ |m = |αm0 ⊗ |0 + |αm1 ⊗ |1 ,
|αm0 |2 + |αm1 |2 = |αm |2 1,
U +1 |ψ = |αm A ⊗ |m +1 ⊗ |βm B,
m∈{0,1} +1
где |βm0 = |βm1 = |βm .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 4 / 29

5. Разложение Яо – Кремера: доказательство
Индукция по длине протокола.
Начальное состояние |x, 0 A ⊗ |0 ⊗ |0, y B разложимо.
Пусть после раундов состояние имеет вид
|ψ = |αm A ⊗ |m ⊗ |βm B.
m∈{0,1}
Рассмотрим случай четного (следующий ход Алисы). Получаем:
U +1 |αm A ⊗ |m = |αm0 ⊗ |0 + |αm1 ⊗ |1 ,
|αm0 |2 + |αm1 |2 = |αm |2 1,
U +1 |ψ = |αm A ⊗ |m +1 ⊗ |βm B,
m∈{0,1} +1
где |βm0 = |βm1 = |βm .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 4 / 29

6. Разложение Яо – Кремера: доказательство
Индукция по длине протокола.
Начальное состояние |x, 0 A ⊗ |0 ⊗ |0, y B разложимо.
Пусть после раундов состояние имеет вид
|ψ = |αm A ⊗ |m ⊗ |βm B.
m∈{0,1}
Рассмотрим случай четного (следующий ход Алисы). Получаем:
U +1 |αm A ⊗ |m = |αm0 ⊗ |0 + |αm1 ⊗ |1 ,
|αm0 |2 + |αm1 |2 = |αm |2 1,
U +1 |ψ = |αm A ⊗ |m +1 ⊗ |βm B,
m∈{0,1} +1
где |βm0 = |βm1 = |βm .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 4 / 29

7. Разложение Яо – Кремера: доказательство
Индукция по длине протокола.
Начальное состояние |x, 0 A ⊗ |0 ⊗ |0, y B разложимо.
Пусть после раундов состояние имеет вид
|ψ = |αm A ⊗ |m ⊗ |βm B.
m∈{0,1}
Рассмотрим случай четного (следующий ход Алисы). Получаем:
U +1 |αm A ⊗ |m = |αm0 ⊗ |0 + |αm1 ⊗ |1 ,
|αm0 |2 + |αm1 |2 = |αm |2 1,
U +1 |ψ = |αm A ⊗ |m +1 ⊗ |βm B,
m∈{0,1} +1
где |βm0 = |βm1 = |βm .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 4 / 29

8. Разложение Яо – Кремера: доказательство
Индукция по длине протокола.
Начальное состояние |x, 0 A ⊗ |0 ⊗ |0, y B разложимо.
Пусть после раундов состояние имеет вид
|ψ = |αm A ⊗ |m ⊗ |βm B.
m∈{0,1}
Рассмотрим случай четного (следующий ход Алисы). Получаем:
U +1 |αm A ⊗ |m = |αm0 ⊗ |0 + |αm1 ⊗ |1 ,
|αm0 |2 + |αm1 |2 = |αm |2 1,
U +1 |ψ = |αm A ⊗ |m +1 ⊗ |βm B,
m∈{0,1} +1
где |βm0 = |βm1 = |βm .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 4 / 29

9. Разложение Яо – Кремера: доказательство
Индукция по длине протокола.
Начальное состояние |x, 0 A ⊗ |0 ⊗ |0, y B разложимо.
Пусть после раундов состояние имеет вид
|ψ = |αm A ⊗ |m ⊗ |βm B.
m∈{0,1}
Рассмотрим случай четного (следующий ход Алисы). Получаем:
U +1 |αm A ⊗ |m = |αm0 ⊗ |0 + |αm1 ⊗ |1 ,
|αm0 |2 + |αm1 |2 = |αm |2 1,
U +1 |ψ = |αm A ⊗ |m +1 ⊗ |βm B,
m∈{0,1} +1
где |βm0 = |βm1 = |βm .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 4 / 29

10. Разложение Яо – Кремера: доказательство
Индукция по длине протокола.
Начальное состояние |x, 0 A ⊗ |0 ⊗ |0, y B разложимо.
Пусть после раундов состояние имеет вид
|ψ = |αm A ⊗ |m ⊗ |βm B.
m∈{0,1}
Рассмотрим случай четного (следующий ход Алисы). Получаем:
U +1 |αm A ⊗ |m = |αm0 ⊗ |0 + |αm1 ⊗ |1 ,
|αm0 |2 + |αm1 |2 = |αm |2 1,
U +1 |ψ = |αm A ⊗ |m +1 ⊗ |βm B,
m∈{0,1} +1
где |βm0 = |βm1 = |βm .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 4 / 29

11. Разложение Яо – Кремера: доказательство
Индукция по длине протокола.
Начальное состояние |x, 0 A ⊗ |0 ⊗ |0, y B разложимо.
Пусть после раундов состояние имеет вид
|ψ = |αm A ⊗ |m ⊗ |βm B.
m∈{0,1}
Рассмотрим случай четного (следующий ход Алисы). Получаем:
U +1 |αm A ⊗ |m = |αm0 ⊗ |0 + |αm1 ⊗ |1 ,
|αm0 |2 + |αm1 |2 = |αm |2 1,
U +1 |ψ = |αm A ⊗ |m +1 ⊗ |βm B,
m∈{0,1} +1
где |βm0 = |βm1 = |βm .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 4 / 29

12. Матрица положительных ответов
pxy вероятность ответа 1 на входе x, y ; x ∈ X , y ∈ Y .
Лемма
Для протокола длины выполняется
22 −2 −1
pxy = ax,k · by ,k , |ax,k | 1, |bx,k | 1.
k=0
Доказательство
Из (∗) вероятность наблюдения исхода 1
pxy = αm 1 |αm 1 · βm 1 |βm 1
m ,m
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 5 / 29

13. Матрица положительных ответов
pxy вероятность ответа 1 на входе x, y ; x ∈ X , y ∈ Y .
P = (pxy ) матрица положительных ответов.
Лемма
Для протокола длины выполняется
22 −2 −1
pxy = ax,k · by ,k , |ax,k | 1, |bx,k | 1.
k=0
Доказательство
Из (∗) вероятность наблюдения исхода 1
pxy = αm 1 |αm 1 · βm 1 |βm 1
m ,m
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 5 / 29

14. Матрица положительных ответов
pxy вероятность ответа 1 на входе x, y ; x ∈ X , y ∈ Y .
P = (pxy ) матрица положительных ответов.
Лемма
Для протокола длины выполняется
22 −2 −1
pxy = ax,k · by ,k , |ax,k | 1, |bx,k | 1.
k=0
Доказательство
Из (∗) вероятность наблюдения исхода 1
pxy = αm 1 |αm 1 · βm 1 |βm 1
m ,m
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 5 / 29

15. Матрица положительных ответов
Разложение Яо – Кремера |ψ = |αm A ⊗ |m ⊗ |βm B =
m∈{0,1}
= |αm0 A ⊗ |0 ⊗ |βm0 B + |αm1 A ⊗ |1 ⊗ |βm1 B (∗)
m∈{0,1} −1 m∈{0,1} −1
Лемма
Для протокола длины выполняется
22 −2 −1
pxy = ax,k · by ,k , |ax,k | 1, |bx,k | 1.
k=0
Доказательство
Из (∗) вероятность наблюдения исхода 1
pxy = αm 1 |αm 1 · βm 1 |βm 1
m ,m
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 5 / 29

16. Матричные нормы
Скалярное произведение операторов (произведение Фробениуса):
A, B = Tr(A† B)
Норма Фробениуса
A F = A, A
Операторная норма
A = max |Ax|
x:|x|=1
Следовая норма
A tr = max A, X
X =1
Утверждение
Норма Фробениуса, операторная норма и следовая норма
удовлетворяют свойствам нормы:
(1) x 0; (2) λx = |λ| · x ; (3) x + y x + y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 6 / 29

17. Матричные нормы
Скалярное произведение операторов (произведение Фробениуса):
A, B = Tr(A† B)
Норма Фробениуса
A F = A, A
Операторная норма
A = max |Ax|
x:|x|=1
Следовая норма
A tr = max A, X
X =1
Утверждение
Норма Фробениуса, операторная норма и следовая норма
удовлетворяют свойствам нормы:
(1) x 0; (2) λx = |λ| · x ; (3) x + y x + y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 6 / 29

18. Матричные нормы
Скалярное произведение операторов (произведение Фробениуса):
A, B = Tr(A† B)
Норма Фробениуса
A F = A, A
Операторная норма
A = max |Ax|
x:|x|=1
Следовая норма
A tr = max A, X
X =1
Утверждение
Норма Фробениуса, операторная норма и следовая норма
удовлетворяют свойствам нормы:
(1) x 0; (2) λx = |λ| · x ; (3) x + y x + y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 6 / 29

19. Матричные нормы
Скалярное произведение операторов (произведение Фробениуса):
A, B = Tr(A† B)
Норма Фробениуса
A F = A, A
Операторная норма
A = max |Ax|
x:|x|=1
Следовая норма
A tr = max A, X
X =1
Утверждение
Норма Фробениуса, операторная норма и следовая норма
удовлетворяют свойствам нормы:
(1) x 0; (2) λx = |λ| · x ; (3) x + y x + y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 6 / 29

20. Матричные нормы
Скалярное произведение операторов (произведение Фробениуса):
A, B = Tr(A† B)
Норма Фробениуса
A F = A, A
Операторная норма
A = max |Ax|
x:|x|=1
Следовая норма
A tr = max A, X
X =1
Утверждение
Норма Фробениуса, операторная норма и следовая норма
удовлетворяют свойствам нормы:
(1) x 0; (2) λx = |λ| · x ; (3) x + y x + y .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 6 / 29

21. Теорема о сингулярном разложении
Теорема
Любой оператор представляется в виде
r
A= sk |ξk ψk | или для матриц A = UDV ,
k=1
где {ξk }, {ψk } ортонормированные системы векторов,
sk 0 сингулярные числа, r ранг оператора,
U, V унитарные, D неотрицательная диагональная.
Утверждение
Для любого оператора A оператор A† A эрмитов.
Упражнение
Выведите теорему о сингулярном разложении из утверждения и
теоремы о существовании для эрмитова оператора
ортонормированного базиса из собственных векторов.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 7 / 29

22. Теорема о сингулярном разложении
Теорема
Любой оператор представляется в виде
r
A= sk |ξk ψk | или для матриц A = UDV ,
k=1
где {ξk }, {ψk } ортонормированные системы векторов,
sk 0 сингулярные числа, r ранг оператора,
U, V унитарные, D неотрицательная диагональная.
Утверждение
Для любого оператора A оператор A† A эрмитов.
Упражнение
Выведите теорему о сингулярном разложении из утверждения и
теоремы о существовании для эрмитова оператора
ортонормированного базиса из собственных векторов.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 7 / 29

23. Теорема о сингулярном разложении
Теорема
Любой оператор представляется в виде
r
A= sk |ξk ψk | или для матриц A = UDV ,
k=1
где {ξk }, {ψk } ортонормированные системы векторов,
sk 0 сингулярные числа, r ранг оператора,
U, V унитарные, D неотрицательная диагональная.
Утверждение
Для любого оператора A оператор A† A эрмитов.
Упражнение
Выведите теорему о сингулярном разложении из утверждения и
теоремы о существовании для эрмитова оператора
ортонормированного базиса из собственных векторов.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 7 / 29

24. Свойства следовой нормы
Утверждение
A tr = k sk .
Доказательство
r
Пусть A = UDV = k=1 sk |ξk ψk |. Тогда
A, UV = Tr(A UV ) = Tr(V † DU † UV ) = Tr(D) =
†
sk .
k
С другой стороны,
Tr(A† X ) sk Tr(|ψk ξk |X ) = sk Tr( ξk |X |ψk ) =
k k
= sk ξk |X |ψk sk X |ψk X sk .
k k k
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 8 / 29

25. Свойства следовой нормы
Утверждение
A tr = k sk .
Доказательство
r
Пусть A = UDV = k=1 sk |ξk ψk |. Тогда
A, UV = Tr(A UV ) = Tr(V † DU † UV ) = Tr(D) =
†
sk .
k
С другой стороны,
Tr(A† X ) sk Tr(|ψk ξk |X ) = sk Tr( ξk |X |ψk ) =
k k
= sk ξk |X |ψk sk X |ψk X sk .
k k k
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 8 / 29

26. Свойства следовой нормы
Утверждение
A tr = k sk .
Доказательство
r
Пусть A = UDV = k=1 sk |ξk ψk |. Тогда
A, UV = Tr(A UV ) = Tr(V † DU † UV ) = Tr(D) =
†
sk .
k
С другой стороны,
Tr(A† X ) sk Tr(|ψk ξk |X ) = sk Tr( ξk |X |ψk ) =
k k
= sk ξk |X |ψk sk X |ψk X sk .
k k k
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 8 / 29

27. Свойства следовой нормы
Утверждение
A tr = k sk .
Доказательство
r
Пусть A = UDV = k=1 sk |ξk ψk |. Тогда
A, UV = Tr(A UV ) = Tr(V † DU † UV ) = Tr(D) =
†
sk .
k
С другой стороны,
Tr(A† X ) sk Tr(|ψk ξk |X ) = sk Tr( ξk |X |ψk ) =
k k
= sk ξk |X |ψk sk X |ψk X sk .
k k k
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 8 / 29

28. Оценка следовой нормы матрицы P
Лемма
−2
P tr 22 |X | · |Y |.
Доказательство
Из предыдущей леммы
22 −2 −1
pxy = ax,k · by ,k , |ax,k | 1, |bx,k | 1.
k=0
∗
Введем векторы ak = (ax,k ), b k = (by ,k ). Тогда P = |ak b k | и
k
22 −2 −1 22 −2 −1
−2
P tr |ak b k | tr
= |ak | · |b k | 22 |X | · |Y |.
k=0 k=0
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 9 / 29

29. Оценка следовой нормы матрицы P
Лемма
−2
P tr 22 |X | · |Y |.
Доказательство
Из предыдущей леммы
22 −2 −1
pxy = ax,k · by ,k , |ax,k | 1, |bx,k | 1.
k=0
∗
Введем векторы ak = (ax,k ), b k = (by ,k ). Тогда P = |ak b k | и
k
22 −2 −1 22 −2 −1
−2
P tr |ak b k | tr
= |ak | · |b k | 22 |X | · |Y |.
k=0 k=0
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 9 / 29

30. Оценка следовой нормы матрицы P
Лемма
−2
P tr 22 |X | · |Y |.
Доказательство
Из предыдущей леммы
22 −2 −1
pxy = ax,k · by ,k , |ax,k | 1, |bx,k | 1.
k=0
∗
Введем векторы ak = (ax,k ), b k = (by ,k ). Тогда P = |ak b k | и
k
22 −2 −1 22 −2 −1
−2
P tr |ak b k | tr
= |ak | · |b k | 22 |X | · |Y |.
k=0 k=0
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 9 / 29

31. Оценка следовой нормы матрицы P
Лемма
−2
P tr 22 |X | · |Y |.
Доказательство
Из предыдущей леммы
22 −2 −1
pxy = ax,k · by ,k , |ax,k | 1, |bx,k | 1.
k=0
∗
Введем векторы ak = (ax,k ), b k = (by ,k ). Тогда P = |ak b k | и
k
22 −2 −1 22 −2 −1
−2
P tr |ak b k | tr
= |ak | · |b k | 22 |X | · |Y |.
k=0 k=0
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 9 / 29

32. Оценка следовой нормы матрицы P
Лемма
−2
P tr 22 |X | · |Y |.
Доказательство
Из предыдущей леммы
22 −2 −1
pxy = ax,k · by ,k , |ax,k | 1, |bx,k | 1.
k=0
∗
Введем векторы ak = (ax,k ), b k = (by ,k ). Тогда P = |ak b k | и
k
22 −2 −1 22 −2 −1
−2
P tr |ak b k | tr
= |ak | · |b k | 22 |X | · |Y |.
k=0 k=0
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 9 / 29

33. Оценка следовой нормы матрицы P
Лемма
−2
P tr 22 |X | · |Y |.
Доказательство
Из предыдущей леммы
22 −2 −1
pxy = ax,k · by ,k , |ax,k | 1, |bx,k | 1.
k=0
∗
Введем векторы ak = (ax,k ), b k = (by ,k ). Тогда P = |ak b k | и
k
22 −2 −1 22 −2 −1
−2
P tr |ak b k | tr
= |ak | · |b k | 22 |X | · |Y |.
k=0 k=0
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 9 / 29

34. Оценка следовой нормы матрицы P
Лемма
−2
P tr 22 |X | · |Y |.
Доказательство
Из предыдущей леммы
22 −2 −1
pxy = ax,k · by ,k , |ax,k | 1, |bx,k | 1.
k=0
∗
Введем векторы ak = (ax,k ), b k = (by ,k ). Тогда P = |ak b k | и
k
22 −2 −1 22 −2 −1
−2
P tr |ak b k | tr
= |ak | · |b k | 22 |X | · |Y |.
k=0 k=0
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 9 / 29

35. Оценка следовой нормы матрицы P
Лемма
−2
P tr 22 |X | · |Y |.
Доказательство
Из предыдущей леммы
22 −2 −1
pxy = ax,k · by ,k , |ax,k | 1, |bx,k | 1.
k=0
∗
Введем векторы ak = (ax,k ), b k = (by ,k ). Тогда P = |ak b k | и
k
22 −2 −1 22 −2 −1
−2
P tr |ak b k | tr
= |ak | · |b k | 22 |X | · |Y |.
k=0 k=0
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 9 / 29

36. Пример: нижняя оценка для скалярного произведения
n
Функция IP(x, y ) = k=1 xk yk .
Утверждение
Q1/3 (IP) = Ω(n).
Эскиз доказательства
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 10 / 29

37. Пример: нижняя оценка для скалярного произведения
n
Функция IP(x, y ) = k=1 xk yk .
Утверждение
Q1/3 (IP) = Ω(n).
Эскиз доказательства
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 10 / 29

38. Пример: нижняя оценка для скалярного произведения
n
Функция IP(x, y ) = k=1 xk yk .
Утверждение
Q1/3 (IP) = Ω(n).
Эскиз доказательства
Полагаем X = Y = {0, 1}n .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 10 / 29

39. Пример: нижняя оценка для скалярного произведения
n
Функция IP(x, y ) = k=1 xk yk .
Утверждение
Q1/3 (IP) = Ω(n).
Эскиз доказательства
Полагаем X = Y = {0, 1}n . Матрица скалярных произведений:
⊗n
1 1
M= (проверьте, что Mxy = (−1)IP(x,y ) ).
1 −1
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 10 / 29

40. Пример: нижняя оценка для скалярного произведения
n
Функция IP(x, y ) = k=1 xk yk .
Утверждение
Q1/3 (IP) = Ω(n).
Эскиз доказательства
Полагаем X = Y = {0, 1}n . Матрица скалярных произведений:
⊗n
1 1
M= (проверьте, что Mxy = (−1)IP(x,y ) ).
1 −1
Пусть P матрица положительных ответов для протокола,
вычисляющего IP.
Тогда Mxy = 1 ⇒ Pxy > 2/3, Mxy = −1 ⇒ Pxy < 1/3.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 10 / 29

41. Пример: нижняя оценка для скалярного произведения
n
Функция IP(x, y ) = k=1 xk yk .
Утверждение
Q1/3 (IP) = Ω(n).
Эскиз доказательства
Тогда Mxy = 1 ⇒ Pxy > 2/3, Mxy = −1 ⇒ Pxy < 1/3. Поэтому
P, M = Pxy Mxy 22n /6.
x,y
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 10 / 29

42. Пример: нижняя оценка для скалярного произведения
n
Функция IP(x, y ) = k=1 xk yk .
Утверждение
Q1/3 (IP) = Ω(n).
Эскиз доказательства
Тогда Mxy = 1 ⇒ Pxy > 2/3, Mxy = −1 ⇒ Pxy < 1/3. Поэтому
P, M = Pxy Mxy 22n /6.
x,y
Но M = 2n/2 (упражнение) и
−2
P, M P tr M = 2n/2 P tr 23n/2 22 .
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 10 / 29

43. Пример: нижняя оценка для скалярного произведения
n
Функция IP(x, y ) = k=1 xk yk .
Утверждение
Q1/3 (IP) = Ω(n).
Эскиз доказательства
Тогда Mxy = 1 ⇒ Pxy > 2/3, Mxy = −1 ⇒ Pxy < 1/3. Поэтому
2n
P, M = Pxy Mxy 2 /6.
x,y
−2
P, M P tr M = 2n/2 P tr 23n/2 22 .
Окончательно,
−2 1 n/2
22 2 , т. е. = Ω(n).
6
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 10 / 29

44. План
1 Нижние оценки квантовой коммуникационной сложности
2 Нижняя оценка для функции пересечения множеств
3 Модель коммуникации SMP
4 Квантовая (псевдо-)телепатия
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 11 / 29

45. √
Оценка Разборова Q1/3 (DISJ) = Ω( n) (план)
n
Выбираем X = Y = n/4 множество слов длины n веса n/4
(вес количество единиц).
Подбираем такие матрицы µs , 0 s n/4, что
1 P, µ0 ∈ (2/3; 1] , а P, µs ∈ [0; 1/3) для s = 1, . . . , n/4;
2 для любого d n/4 существует многочлен p степени d такой, что
P tr
|p(s) − P, µs | n для 0 s n/8.
n/4 2d/4
Для d = 8 + 8 из леммы о следовой норме матрицы
положительных ответов получаем
−2 n
22 n/4 1
|p(s) − P, µs | n = .
n/4 22 −2 24
Поэтому к многочлену p можно применить теорему о нижней
оценке степени многочлена.
√ √
Значит, d = Ω( n) и = Ω( n).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 12 / 29

46. √
Оценка Разборова Q1/3 (DISJ) = Ω( n) (план)
n
Выбираем X = Y = n/4 множество слов длины n веса n/4
(вес количество единиц).
Подбираем такие матрицы µs , 0 s n/4, что
1 P, µ0 ∈ (2/3; 1] , а P, µs ∈ [0; 1/3) для s = 1, . . . , n/4;
2 для любого d n/4 существует многочлен p степени d такой, что
P tr
|p(s) − P, µs | n для 0 s n/8.
n/4 2d/4
Для d = 8 + 8 из леммы о следовой норме матрицы
положительных ответов получаем
−2 n
22 n/4 1
|p(s) − P, µs | n = .
n/4 22 −2 24
Поэтому к многочлену p можно применить теорему о нижней
оценке степени многочлена.
√ √
Значит, d = Ω( n) и = Ω( n).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 12 / 29

47. √
Оценка Разборова Q1/3 (DISJ) = Ω( n) (план)
n
Выбираем X = Y = n/4 множество слов длины n веса n/4
(вес количество единиц).
Подбираем такие матрицы µs , 0 s n/4, что
1 P, µ0 ∈ (2/3; 1] , а P, µs ∈ [0; 1/3) для s = 1, . . . , n/4;
2 для любого d n/4 существует многочлен p степени d такой, что
P tr
|p(s) − P, µs | n для 0 s n/8.
n/4 2d/4
Для d = 8 + 8 из леммы о следовой норме матрицы
положительных ответов получаем
−2 n
22 n/4 1
|p(s) − P, µs | n = .
n/4 22 −2 24
Поэтому к многочлену p можно применить теорему о нижней
оценке степени многочлена.
√ √
Значит, d = Ω( n) и = Ω( n).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 12 / 29

48. √
Оценка Разборова Q1/3 (DISJ) = Ω( n) (план)
n
Выбираем X = Y = n/4 множество слов длины n веса n/4
(вес количество единиц).
Подбираем такие матрицы µs , 0 s n/4, что
1 P, µ0 ∈ (2/3; 1] , а P, µs ∈ [0; 1/3) для s = 1, . . . , n/4;
2 для любого d n/4 существует многочлен p степени d такой, что
P tr
|p(s) − P, µs | n для 0 s n/8.
n/4 2d/4
Для d = 8 + 8 из леммы о следовой норме матрицы
положительных ответов получаем
−2 n
22 n/4 1
|p(s) − P, µs | n = .
n/4 22 −2 24
Поэтому к многочлену p можно применить теорему о нижней
оценке степени многочлена.
√ √
Значит, d = Ω( n) и = Ω( n).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 12 / 29

49. √
Оценка Разборова Q1/3 (DISJ) = Ω( n) (план)
n
Выбираем X = Y = n/4 множество слов длины n веса n/4
(вес количество единиц).
Подбираем такие матрицы µs , 0 s n/4, что
1 P, µ0 ∈ (2/3; 1] , а P, µs ∈ [0; 1/3) для s = 1, . . . , n/4;
2 для любого d n/4 существует многочлен p степени d такой, что
P tr
|p(s) − P, µs | n для 0 s n/8.
n/4 2d/4
Для d = 8 + 8 из леммы о следовой норме матрицы
положительных ответов получаем
−2 n
22 n/4 1
|p(s) − P, µs | n = .
n/4 22 −2 24
Поэтому к многочлену p можно применить теорему о нижней
оценке степени многочлена.
√ √
Значит, d = Ω( n) и = Ω( n).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 12 / 29

50. √
Оценка Разборова Q1/3 (DISJ) = Ω( n) (план)
n
Выбираем X = Y = n/4 множество слов длины n веса n/4
(вес количество единиц).
Подбираем такие матрицы µs , 0 s n/4, что
1 P, µ0 ∈ (2/3; 1] , а P, µs ∈ [0; 1/3) для s = 1, . . . , n/4;
2 для любого d n/4 существует многочлен p степени d такой, что
P tr
|p(s) − P, µs | n для 0 s n/8.
n/4 2d/4
Для d = 8 + 8 из леммы о следовой норме матрицы
положительных ответов получаем
−2 n
22 n/4 1
|p(s) − P, µs | n = .
n/4 22 −2 24
Поэтому к многочлену p можно применить теорему о нижней
оценке степени многочлена.
√ √
Значит, d = Ω( n) и = Ω( n).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 12 / 29

51. √
Оценка Разборова Q1/3 (DISJ) = Ω( n) (план)
n
Выбираем X = Y = n/4 множество слов длины n веса n/4
(вес количество единиц).
Подбираем такие матрицы µs , 0 s n/4, что
1 P, µ0 ∈ (2/3; 1] , а P, µs ∈ [0; 1/3) для s = 1, . . . , n/4;
2 для любого d n/4 существует многочлен p степени d такой, что
P tr
|p(s) − P, µs | n для 0 s n/8.
n/4 2d/4
Для d = 8 + 8 из леммы о следовой норме матрицы
положительных ответов получаем
−2 n
22 n/4 1
|p(s) − P, µs | n = .
n/4 22 −2 24
Поэтому к многочлену p можно применить теорему о нижней
оценке степени многочлена.
√ √
Значит, d = Ω( n) и = Ω( n).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 12 / 29

52. Выбор матриц µs
1
µs = n n/4 n−n/4
Jn,n/4,s ,
n/4 s n/4−s
где Jn,k,s матрица из схемы отношений Джонсона
1, если |x ∩ y | = s,
Jn,k,s (x, y ) = x, y ∈ {0, 1}n ; |x| = |y | = k.
0, в противном случае,
Матрица µs соответствует случайному выбору пары x, y с заданным
размером пересечения s.
Поэтому для протокола, вычисляющего DISJ(x, y ), выполняется
условие 1:
P, µ0 ∈ (2/3; 1], P, µs ∈ [0; 1/3) для s = 1, . . . , n/4.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 13 / 29

53. Выбор матриц µs
1
µs = n n/4 n−n/4
Jn,n/4,s ,
n/4 s n/4−s
где Jn,k,s матрица из схемы отношений Джонсона
1, если |x ∩ y | = s,
Jn,k,s (x, y ) = x, y ∈ {0, 1}n ; |x| = |y | = k.
0, в противном случае,
Матрица µs соответствует случайному выбору пары x, y с заданным
размером пересечения s.
Поэтому для протокола, вычисляющего DISJ(x, y ), выполняется
условие 1:
P, µ0 ∈ (2/3; 1], P, µs ∈ [0; 1/3) для s = 1, . . . , n/4.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 13 / 29

54. Выбор матриц µs
1
µs = n n/4 n−n/4
Jn,n/4,s ,
n/4 s n/4−s
где Jn,k,s матрица из схемы отношений Джонсона
1, если |x ∩ y | = s,
Jn,k,s (x, y ) = x, y ∈ {0, 1}n ; |x| = |y | = k.
0, в противном случае,
Матрица µs соответствует случайному выбору пары x, y с заданным
размером пересечения s.
Поэтому для протокола, вычисляющего DISJ(x, y ), выполняется
условие 1:
P, µ0 ∈ (2/3; 1], P, µs ∈ [0; 1/3) для s = 1, . . . , n/4.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 13 / 29

55. Алгебраическая комбинаторика
Матрицы Jn,k,s попарно коммутируют.
Поэтому у них есть общая система собственных пространств
E0 , . . . , Ek .
Собственное число λs,t , отвечающее матрице Jn,k,s и пространству
Et , выражается формулой
t k −r n−k −t +r
λs,t = (−1)t−r .
r
r s −r k −s −t +r
Докажите, что соответствующие собственные числа λs,t (µs )
матриц µs задаются многочленом от s степени t.
При k n/4 и s k/2 выполняется неравенство
−1
n
|λs,t (µs )| 2−t/4 .
k
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 14 / 29

56. Алгебраическая комбинаторика
Матрицы Jn,k,s попарно коммутируют.
Поэтому у них есть общая система собственных пространств
E0 , . . . , Ek .
Собственное число λs,t , отвечающее матрице Jn,k,s и пространству
Et , выражается формулой
t k −r n−k −t +r
λs,t = (−1)t−r .
r
r s −r k −s −t +r
Докажите, что соответствующие собственные числа λs,t (µs )
матриц µs задаются многочленом от s степени t.
При k n/4 и s k/2 выполняется неравенство
−1
n
|λs,t (µs )| 2−t/4 .
k
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 14 / 29

57. Алгебраическая комбинаторика
Матрицы Jn,k,s попарно коммутируют.
Поэтому у них есть общая система собственных пространств
E0 , . . . , Ek .
Собственное число λs,t , отвечающее матрице Jn,k,s и пространству
Et , выражается формулой
t k −r n−k −t +r
λs,t = (−1)t−r .
r
r s −r k −s −t +r
Докажите, что соответствующие собственные числа λs,t (µs )
матриц µs задаются многочленом от s степени t.
При k n/4 и s k/2 выполняется неравенство
−1
n
|λs,t (µs )| 2−t/4 .
k
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 14 / 29

58. Алгебраическая комбинаторика
Матрицы Jn,k,s попарно коммутируют.
Поэтому у них есть общая система собственных пространств
E0 , . . . , Ek .
Собственное число λs,t , отвечающее матрице Jn,k,s и пространству
Et , выражается формулой
t k −r n−k −t +r
λs,t = (−1)t−r .
r
r s −r k −s −t +r
Докажите, что соответствующие собственные числа λs,t (µs )
матриц µs задаются многочленом от s степени t.
При k n/4 и s k/2 выполняется неравенство
−1
n
|λs,t (µs )| 2−t/4 .
k
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 14 / 29

59. Алгебраическая комбинаторика
Матрицы Jn,k,s попарно коммутируют.
Поэтому у них есть общая система собственных пространств
E0 , . . . , Ek .
Собственное число λs,t , отвечающее матрице Jn,k,s и пространству
Et , выражается формулой
t k −r n−k −t +r
λs,t = (−1)t−r .
r
r s −r k −s −t +r
Докажите, что соответствующие собственные числа λs,t (µs )
матриц µs задаются многочленом от s степени t.
При k n/4 и s k/2 выполняется неравенство
−1
n
|λs,t (µs )| 2−t/4 .
k
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 14 / 29

60. Алгебраическая комбинаторика (окончание)
Задача
Выведите из этих свойств условие 2:
для любого d n/4 существует многочлен p степени d такой, что
P tr
|p(s) − P, µs | n для 0 s n/8.
n/4 2d/4
Указание: перейдите к базису, в котором матрицы Jn,k,s
диагонализуются.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 15 / 29

61. План
1 Нижние оценки квантовой коммуникационной сложности
2 Нижняя оценка для функции пересечения множеств
3 Модель коммуникации SMP
4 Квантовая (псевдо-)телепатия
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 16 / 29

62. Коммуникационная сложность проверки равенства
1, если x = y ,
EQ(x, y ) =
0, иначе.
Коммуникационная сложность в основной модели
D(EQ) = n; Rε (EQ) = O(log n).
Коммуникационная сложность в модели SMP
SMP √ SMP
Rε (EQ) = Ω( n); Qε (EQ) = O(log n).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 17 / 29

63. Коммуникационная сложность проверки равенства
1, если x = y ,
EQ(x, y ) =
0, иначе.
Коммуникационная сложность в основной модели
D(EQ) = n; Rε (EQ) = O(log n).
Коммуникационная сложность в модели SMP
SMP √ SMP
Rε (EQ) = Ω( n); Qε (EQ) = O(log n).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 17 / 29

64. Коммуникационная сложность проверки равенства
1, если x = y ,
EQ(x, y ) =
0, иначе.
Коммуникационная сложность в основной модели
D(EQ) = n; Rε (EQ) = O(log n).
Коммуникационная сложность в модели SMP
SMP √ SMP
Rε (EQ) = Ω( n); Qε (EQ) = O(log n).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 17 / 29

65. Одновременная передача сообщений (модель SMP)
f (x, y) =?
x y
Алиса (знает x) и Боб (знает y ) посылают сообщения Чарли, который
должен вычислить f (x, y ).
Аналогично предыдущему формулируются вероятностная модель
(с частными или общими генераторами) и квантовая (с
предварительной сцепленностью или без).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 18 / 29

66. Хорошие коды
Определение
Семейство подмножеств Cn ⊂ {0, 1}n называется (асимптотически)
хорошим кодом, если найдутся такие две константы δ, r , что
|Cn | 2rn ;
x ⊕y δn при x, y ∈ Cn , x = y .
r назовем пропускной способностью,
δ (относительным) кодовым расстоянием.
Задача
Докажите, что хорошие коды существуют при r + H2 (δ) < 1, δ < 1/2.
Здесь H2 = −δ log2 δ − (1 − δ) log2 δ.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 19 / 29

67. Хорошие коды
Определение
Семейство подмножеств Cn ⊂ {0, 1}n называется (асимптотически)
хорошим кодом, если найдутся такие две константы δ, r , что
|Cn | 2rn ;
x ⊕y δn при x, y ∈ Cn , x = y .
r назовем пропускной способностью,
δ (относительным) кодовым расстоянием.
Задача
Докажите, что хорошие коды существуют при r + H2 (δ) < 1, δ < 1/2.
Здесь H2 = −δ log2 δ − (1 − δ) log2 δ.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 19 / 29

68. Хорошие коды
Определение
Семейство подмножеств Cn ⊂ {0, 1}n называется (асимптотически)
хорошим кодом, если найдутся такие две константы δ, r , что
|Cn | 2rn ;
x ⊕y δn при x, y ∈ Cn , x = y .
r назовем пропускной способностью,
δ (относительным) кодовым расстоянием.
Задача
Докажите, что хорошие коды существуют при r + H2 (δ) < 1, δ < 1/2.
Здесь H2 = −δ log2 δ − (1 − δ) log2 δ.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 19 / 29

69. Хорошие коды
Определение
Семейство подмножеств Cn ⊂ {0, 1}n называется (асимптотически)
хорошим кодом, если найдутся такие две константы δ, r , что
|Cn | 2rn ;
x ⊕y δn при x, y ∈ Cn , x = y .
r назовем пропускной способностью,
δ (относительным) кодовым расстоянием.
Задача
Докажите, что хорошие коды существуют при r + H2 (δ) < 1, δ < 1/2.
Здесь H2 = −δ log2 δ − (1 − δ) log2 δ.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 19 / 29

70. Хорошие коды помогают вычислять EQ
Задача
Докажите, используя хорошие коды, что Rε (EQ) = O(log n).
Задача
SMP, pub
Докажите, используя хорошие коды, что Rε (EQ) = O(log n).
Однако:
SMP √
Rε (EQ) = Ω( n)
(Babai, Kimmel, 1996: в SMP модели разрыв между вероятностной и
детерминированной коммуникационной сложностью не более чем
квадратичный.)
Квантовые сообщения экспоненциально эффективнее:
SMP
Qε (EQ) = O(log n)
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 20 / 29

71. Хорошие коды помогают вычислять EQ
Задача
Докажите, используя хорошие коды, что Rε (EQ) = O(log n).
Задача
SMP, pub
Докажите, используя хорошие коды, что Rε (EQ) = O(log n).
Однако:
SMP √
Rε (EQ) = Ω( n)
(Babai, Kimmel, 1996: в SMP модели разрыв между вероятностной и
детерминированной коммуникационной сложностью не более чем
квадратичный.)
Квантовые сообщения экспоненциально эффективнее:
SMP
Qε (EQ) = O(log n)
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 20 / 29

72. Хорошие коды помогают вычислять EQ
Задача
Докажите, используя хорошие коды, что Rε (EQ) = O(log n).
Задача
SMP, pub
Докажите, используя хорошие коды, что Rε (EQ) = O(log n).
Однако:
SMP √
Rε (EQ) = Ω( n)
(Babai, Kimmel, 1996: в SMP модели разрыв между вероятностной и
детерминированной коммуникационной сложностью не более чем
квадратичный.)
Квантовые сообщения экспоненциально эффективнее:
SMP
Qε (EQ) = O(log n)
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 20 / 29

73. Хорошие коды помогают вычислять EQ
Задача
Докажите, используя хорошие коды, что Rε (EQ) = O(log n).
Задача
SMP, pub
Докажите, используя хорошие коды, что Rε (EQ) = O(log n).
Однако:
SMP √
Rε (EQ) = Ω( n)
(Babai, Kimmel, 1996: в SMP модели разрыв между вероятностной и
детерминированной коммуникационной сложностью не более чем
квадратичный.)
Квантовые сообщения экспоненциально эффективнее:
SMP
Qε (EQ) = O(log n)
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 20 / 29

74. Хорошие коды помогают вычислять EQ
Задача
Докажите, используя хорошие коды, что Rε (EQ) = O(log n).
Задача
SMP, pub
Докажите, используя хорошие коды, что Rε (EQ) = O(log n).
Однако:
SMP √
Rε (EQ) = Ω( n)
(Babai, Kimmel, 1996: в SMP модели разрыв между вероятностной и
детерминированной коммуникационной сложностью не более чем
квадратичный.)
Квантовые сообщения экспоненциально эффективнее:
SMP
Qε (EQ) = O(log n)
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 20 / 29

75. Вычисление EQ в модели SMP (квантовое хеширование)
Фиксируем хорошее семейство кодов Cm с пропускной способностью r
и кодовым расстоянием δ. (Для определенности δ = 1/4, r = 1/8.)
Выберем кодирующую функцию (инъективное отображение)
cn : {0, 1}n → Cn/r .
Алиса готовит сообщение (Боб действует аналогично):
1 по x находит u (x) = cn (x), где n = |x|;
2 строит квантовое состояние
m
1 (x) (x)
|ψx =√ |k, uk , m = n/r , uk k-й бит u (x) ,
m
k=1
на O(log m) кубитах (k представляется двоичной записью).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 21 / 29

76. Вычисление EQ в модели SMP (квантовое хеширование)
Фиксируем хорошее семейство кодов Cm с пропускной способностью r
и кодовым расстоянием δ. (Для определенности δ = 1/4, r = 1/8.)
Выберем кодирующую функцию (инъективное отображение)
cn : {0, 1}n → Cn/r .
Алиса готовит сообщение (Боб действует аналогично):
1 по x находит u (x) = cn (x), где n = |x|;
2 строит квантовое состояние
m
1 (x) (x)
|ψx =√ |k, uk , m = n/r , uk k-й бит u (x) ,
m
k=1
на O(log m) кубитах (k представляется двоичной записью).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 21 / 29

77. Вычисление EQ в модели SMP (квантовое хеширование)
Фиксируем хорошее семейство кодов Cm с пропускной способностью r
и кодовым расстоянием δ. (Для определенности δ = 1/4, r = 1/8.)
Выберем кодирующую функцию (инъективное отображение)
cn : {0, 1}n → Cn/r .
Алиса готовит сообщение (Боб действует аналогично):
1 по x находит u (x) = cn (x), где n = |x|;
2 строит квантовое состояние
m
1 (x) (x)
|ψx =√ |k, uk , m = n/r , uk k-й бит u (x) ,
m
k=1
на O(log m) кубитах (k представляется двоичной записью).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 21 / 29

78. Вычисление EQ в модели SMP (квантовое хеширование)
Фиксируем хорошее семейство кодов Cm с пропускной способностью r
и кодовым расстоянием δ. (Для определенности δ = 1/4, r = 1/8.)
Выберем кодирующую функцию (инъективное отображение)
cn : {0, 1}n → Cn/r .
Алиса готовит сообщение (Боб действует аналогично):
1 по x находит u (x) = cn (x), где n = |x|;
2 строит квантовое состояние
m
1 (x) (x)
|ψx =√ |k, uk , m = n/r , uk k-й бит u (x) ,
m
k=1
на O(log m) кубитах (k представляется двоичной записью).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 21 / 29

79. Вычисление EQ в модели SMP (квантовое хеширование)
Фиксируем хорошее семейство кодов Cm с пропускной способностью r
и кодовым расстоянием δ. (Для определенности δ = 1/4, r = 1/8.)
Выберем кодирующую функцию (инъективное отображение)
cn : {0, 1}n → Cn/r .
Алиса готовит сообщение (Боб действует аналогично):
1 по x находит u (x) = cn (x), где n = |x|;
2 строит квантовое состояние
m
1 (x) (x)
|ψx =√ |k, uk , m = n/r , uk k-й бит u (x) ,
m
k=1
на O(log m) кубитах (k представляется двоичной записью).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 21 / 29

80. Вычисление EQ в модели SMP: действия Чарли
Чарли получает два сообщения |ψx , |ψy и должен ответить,
справедливо ли равенство x = y . Его действия описываются схемой:
1 1 1
H=√ SWAP : |u ⊗ |v → |v ⊗ |u
2 1 −1
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 22 / 29

81. Вычисление EQ в модели SMP: действия Чарли
Чарли получает два сообщения |ψx , |ψy и должен ответить,
справедливо ли равенство x = y . Его действия описываются схемой:
|0 H H
|ψx
SWAP
|ψy
1 1 1
H=√ SWAP : |u ⊗ |v → |v ⊗ |u
2 1 −1
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 22 / 29

82. Вычисление EQ в модели SMP: действия Чарли
Чарли получает два сообщения |ψx , |ψy и должен ответить,
справедливо ли равенство x = y . Его действия описываются схемой:
|0 H H
|ψx
SWAP
|ψy
1 1 1
H=√ SWAP : |u ⊗ |v → |v ⊗ |u
2 1 −1
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 22 / 29

83. Вычисление EQ в модели SMP: действия Чарли
Чарли получает два сообщения |ψx , |ψy и должен ответить,
справедливо ли равенство x = y . Его действия описываются схемой:
|0 H H
|ψx
SWAP
|ψy
1 1 1
H=√ SWAP : |u ⊗ |v → |v ⊗ |u
2 1 −1
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 22 / 29

84. Вычисление EQ в модели SMP: действия Чарли
Чарли получает два сообщения |ψx , |ψy и должен ответить,
справедливо ли равенство x = y . Его действия описываются схемой:
|0 H H
|ψx
SWAP
|ψy
1 1 1
H=√ SWAP : |u ⊗ |v → |v ⊗ |u
2 1 −1
c-U : |0 ⊗ |ψ → |0 ⊗ |ψ
c-U =
U c-U : |1 ⊗ |ψ → |1 ⊗ U|ψ
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 22 / 29

85. Анализ протокола
Сообщения Алисы и Боба:
m m
1 (x) 1 (y )
|ψx = √ |k, uk , |ψy = √ |k, uk .
m m
k=1 k=1
Из свойств кода
1 (x) (y )
ψx |ψy = #(k : uk = uk ) 1 − δ, если x = y ,
m
ψx |ψx = 1 (для любого состояния).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 23 / 29

86. Анализ протокола
Сообщения Алисы и Боба:
m m
1 (x) 1 (y )
|ψx = √ |k, uk , |ψy = √ |k, uk .
m m
k=1 k=1
Из свойств кода
1 (x) (y )
ψx |ψy = #(k : uk = uk ) 1 − δ, если x = y ,
m
ψx |ψx = 1 (для любого состояния).
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 23 / 29

87. Анализ протокола (продолжение)
Действия Чарли с заметной вероятностью обнаружат разницу в случае
x = y . Вычисления:
H 1
|0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − √ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy
→
2
c-SWAP 1 1
− − − √ |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + √ |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx
− −→
2 2
H 1 1
−
→ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |0 − |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx =
2 2
1 1
= |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |ψy ⊗ |ψx + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx
2 2
1
Pr(1) = ψx | ⊗ ψy | − ψy | ⊗ ψx | |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx =
4
1 1 1
= 2 − ψx |ψy ψy |ψx − ψy |ψx ψx |ψy = − | ψx |ψy |2 .
4 2 2
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 24 / 29

88. Анализ протокола (продолжение)
Действия Чарли с заметной вероятностью обнаружат разницу в случае
x = y . Вычисления:
H 1
|0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − √ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy
→
2
c-SWAP 1 1
− − − √ |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + √ |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx
− −→
2 2
H 1 1
−
→ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |0 − |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx =
2 2
1 1
= |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |ψy ⊗ |ψx + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx
2 2
1
Pr(1) = ψx | ⊗ ψy | − ψy | ⊗ ψx | |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx =
4
1 1 1
= 2 − ψx |ψy ψy |ψx − ψy |ψx ψx |ψy = − | ψx |ψy |2 .
4 2 2
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 24 / 29

89. Анализ протокола (продолжение)
Действия Чарли с заметной вероятностью обнаружат разницу в случае
x = y . Вычисления:
H 1
|0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − √ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy
→
2
c-SWAP 1 1
− − − √ |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + √ |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx
− −→
2 2
H 1 1
−
→ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |0 − |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx =
2 2
1 1
= |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |ψy ⊗ |ψx + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx
2 2
1
Pr(1) = ψx | ⊗ ψy | − ψy | ⊗ ψx | |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx =
4
1 1 1
= 2 − ψx |ψy ψy |ψx − ψy |ψx ψx |ψy = − | ψx |ψy |2 .
4 2 2
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 24 / 29

90. Анализ протокола (продолжение)
Действия Чарли с заметной вероятностью обнаружат разницу в случае
x = y . Вычисления:
H 1
|0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − √ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy
→
2
c-SWAP 1 1
− − − √ |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + √ |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx
− −→
2 2
H 1 1
−
→ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |0 − |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx =
2 2
1 1
= |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |ψy ⊗ |ψx + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx
2 2
1
Pr(1) = ψx | ⊗ ψy | − ψy | ⊗ ψx | |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx =
4
1 1 1
= 2 − ψx |ψy ψy |ψx − ψy |ψx ψx |ψy = − | ψx |ψy |2 .
4 2 2
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 24 / 29

91. Анализ протокола (продолжение)
Действия Чарли с заметной вероятностью обнаружат разницу в случае
x = y . Вычисления:
H 1
|0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − √ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy
→
2
c-SWAP 1 1
− − − √ |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + √ |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx
− −→
2 2
H 1 1
−
→ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |0 − |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx =
2 2
1 1
= |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |ψy ⊗ |ψx + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx
2 2
1
Pr(1) = ψx | ⊗ ψy | − ψy | ⊗ ψx | |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx =
4
1 1 1
= 2 − ψx |ψy ψy |ψx − ψy |ψx ψx |ψy = − | ψx |ψy |2 .
4 2 2
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 24 / 29

92. Анализ протокола (продолжение)
Действия Чарли с заметной вероятностью обнаружат разницу в случае
x = y . Вычисления:
H 1
|0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − √ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy
→
2
c-SWAP 1 1
− − − √ |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + √ |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx
− −→
2 2
H 1 1
−
→ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |0 − |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx =
2 2
1 1
= |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |ψy ⊗ |ψx + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx
2 2
1
Pr(1) = ψx | ⊗ ψy | − ψy | ⊗ ψx | |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx =
4
1 1 1
= 2 − ψx |ψy ψy |ψx − ψy |ψx ψx |ψy = − | ψx |ψy |2 .
4 2 2
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 24 / 29

93. Анализ протокола (продолжение)
Действия Чарли с заметной вероятностью обнаружат разницу в случае
x = y . Вычисления:
H 1
|0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − √ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy
→
2
c-SWAP 1 1
− − − √ |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + √ |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx
− −→
2 2
H 1 1
−
→ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |0 − |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx =
2 2
1 1
= |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |ψy ⊗ |ψx + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx
2 2
1
Pr(1) = ψx | ⊗ ψy | − ψy | ⊗ ψx | |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx =
4
1 1 1
= 2 − ψx |ψy ψy |ψx − ψy |ψx ψx |ψy = − | ψx |ψy |2 .
4 2 2
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 24 / 29

94. Анализ протокола (продолжение)
Действия Чарли с заметной вероятностью обнаружат разницу в случае
x = y . Вычисления:
H 1
|0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − √ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy
→
2
c-SWAP 1 1
− − − √ |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + √ |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx
− −→
2 2
H 1 1
−
→ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |0 − |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx =
2 2
1 1
= |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |ψy ⊗ |ψx + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx
2 2
1
Pr(1) = ψx | ⊗ ψy | − ψy | ⊗ ψx | |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx =
4
1 1 1
= 2 − ψx |ψy ψy |ψx − ψy |ψx ψx |ψy = − | ψx |ψy |2 .
4 2 2
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 24 / 29

95. Анализ протокола (продолжение)
Действия Чарли с заметной вероятностью обнаружат разницу в случае
x = y . Вычисления:
H 1
|0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − √ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy
→
2
c-SWAP 1 1
− − − √ |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + √ |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx
− −→
2 2
H 1 1
−
→ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |0 − |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx =
2 2
1 1
= |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |ψy ⊗ |ψx + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx
2 2
1
Pr(1) = ψx | ⊗ ψy | − ψy | ⊗ ψx | |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx =
4
1 1 1
= 2 − ψx |ψy ψy |ψx − ψy |ψx ψx |ψy = − | ψx |ψy |2 .
4 2 2
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 24 / 29

96. Анализ протокола (продолжение)
Действия Чарли с заметной вероятностью обнаружат разницу в случае
x = y . Вычисления:
H 1
|0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − √ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy
→
2
c-SWAP 1 1
− − − √ |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + √ |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx
− −→
2 2
H 1 1
−
→ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |0 − |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx =
2 2
1 1
= |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |ψy ⊗ |ψx + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx
2 2
1
Pr(1) = ψx | ⊗ ψy | − ψy | ⊗ ψx | |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx =
4
1 1 1
= 2 − ψx |ψy ψy |ψx − ψy |ψx ψx |ψy = − | ψx |ψy |2 .
4 2 2
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 24 / 29

97. Анализ протокола (продолжение)
Действия Чарли с заметной вероятностью обнаружат разницу в случае
x = y . Вычисления:
H 1
|0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − √ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy
→
2
c-SWAP 1 1
− − − √ |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + √ |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx
− −→
2 2
H 1 1
−
→ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |0 − |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx =
2 2
1 1
= |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |ψy ⊗ |ψx + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx
2 2
1
Pr(1) = ψx | ⊗ ψy | − ψy | ⊗ ψx | |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx =
4
1 1 1
= 2 − ψx |ψy ψy |ψx − ψy |ψx ψx |ψy = − | ψx |ψy |2 .
4 2 2
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 24 / 29

98. Анализ протокола (продолжение)
Действия Чарли с заметной вероятностью обнаружат разницу в случае
x = y . Вычисления:
H 1
|0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − √ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy
→
2
c-SWAP 1 1
− − − √ |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + √ |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx
− −→
2 2
H 1 1
−
→ |0 + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |0 − |1 ⊗ |ψy ⊗ |ψx =
2 2
1 1
= |0 ⊗ |ψx ⊗ |ψy + |ψy ⊗ |ψx + |1 ⊗ |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx
2 2
1
Pr(1) = ψx | ⊗ ψy | − ψy | ⊗ ψx | |ψx ⊗ |ψy − |ψy ⊗ |ψx =
4
1 1 1
= 2 − ψx |ψy ψy |ψx − ψy |ψx ψx |ψy = − | ψx |ψy |2 .
4 2 2
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 24 / 29

99. Анализ протокола (окончание)
Итак, вероятность наблюдения 1 равна
1 1
Pr(1) = − | ψx |ψy |2
2 2
Если x = y , то вероятность измерения 1 равна 0.
Если x = y то вероятность измерения 1 больше
1 1
− (1 − δ)2 = δ − δ 2 /2 > 1/5.
2 2
Чтобы достичь сколь угодно малой ошибки, Алиса и Боб должны
приготовить несколько сообщений такого вида, а Чарли должен
их обработать независимо и сказать x = y , если хотя бы один
из наблюдаемых исходов равен 1.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 25 / 29

100. Анализ протокола (окончание)
Итак, вероятность наблюдения 1 равна
1 1
Pr(1) = − | ψx |ψy |2
2 2
Если x = y , то вероятность измерения 1 равна 0.
Если x = y то вероятность измерения 1 больше
1 1
− (1 − δ)2 = δ − δ 2 /2 > 1/5.
2 2
Чтобы достичь сколь угодно малой ошибки, Алиса и Боб должны
приготовить несколько сообщений такого вида, а Чарли должен
их обработать независимо и сказать x = y , если хотя бы один
из наблюдаемых исходов равен 1.
М. Вялый (ВЦ РАН) Лекция 5 Санкт-Петербург, 2011 25 / 29