1. CONCURSUL DE MATEMATICA
“CEZAR IVANESCU”
EDITIA a V -a , Targoviste, 20 martie 2004
CLASA a V-a
SUBIECTUL I
Un numar de trei cifre, adunat cu produsul cifrelor sale si cu suma cifrelor sale da
rezultatul 135. Aflati numarul.
SUBIECTUL II
Determinati o multime A formata din patru numere naturale diferite, stiind ca doua
elemente ale sale au suma egala cu 126 si aceste elemente sunt de 360 de ori,
respectiv de 144 de ori mai mici decat produsul tuturor elementelor multimii A.
SUBIECTUL III
Determinati un numar natural N stiind ca indeplineste urmatoarele doua
proprietati :
a)Daca N se imparte la 9, se obtine restul 0, iar catul este un numar simetric de 5
cifre.
b)Daca N se inmulteste cu 11111,se obtine un numar care se termina cu …655.
(prin numar simetric intelegem un numar care ramane neschimbat, daca se citeste
de la dreapta la stanga.De exemplu numerele : 373, 25752, 91019, 38683 sunt
simetrice.
Clasa a VI-a
SUBIECTUL I

2. Scrieti in ordine crescatoare numerele 33
3
22
2
,,
yx
x
yx
x
yx
x
+++
, stiind ca x, y sunt
numere rationale nenule, direct proportionale cu 8 si respective 4.
SUBIECTUL II
Se considera un triunghi isoscel ABC cu AB=AC si ∠ A=45°. Perpendiculara in A
pe AB intersecteaza pe BC in M. Fie N piciorul perpendicularei din M pe AC si P
piciorul perpendicularei din C pe AB. Demonstrati ca :
a) [MB este bisectoarea unghiului ∠ AMN.
b) Triunghiul ∆ CNP este isoscel.
SUBIECTUL III
Se considera multimea A={1, 2, 3, …, 999}. Un element al multimii A se va numi
numar norocos daca nu se divide cu 37.
a) Cate numere norocoase contine multimea A ?
b) Calculati suma tuturor numerelor norocoase ale multimii A.
c) Demonstrati ca daca n este numar norocos, atunci 999-n este numar norocos.
d) Calculati suma cifrelor tuturor numerelor norocoase ale multimii A.
CLASA a VII-a
SUBIECTUL I
a) Calculati: ( )
( ) ( )
Znn
n
n
n
∈
+







+
+− +
+
+
+
;
7616
2
:
738
1
738 32
42
32
32

3. b) Pretul unui produs s-a marit de doua ori consecutive cu 20%. Care este
procentul de majorare fata de pretul initial ?
SUBIECTUL II
Determinati numerele reale x,y pentru care 146823 =−+−++ yxyx .
SUBIECTUL III
Demonstrati ca patrulaterul convex ABCD este paralelogram daca si numai
daca BC2
+AD2
=2MP2
, unde M,P sunt mijloacele laturilor [AB] si [CD].
CLASA a VIII-a
SUBIECTUL 1
Fie x,y,z ∈ R* astfel incat a
X
X =+
1
; b
Y
Y =+
1
; c
XY
XY =+
1
.
Demonstrati ca 4222
+=++ abccba
SUBIECTUL II
Fie nnx 52
+=
a) Demonstrati ca ∈∀ n)( N {0,4},x∈R Q
b) Determinati partea intreaga a lui x.

4. SUBIECTUL III
In cubul '''' DCBABCDA de muchie „a” notam M mijlocul lui B’C’, N mijlocul lui
AA’, si P centrul bazei ABCD.
a) Demonstrati ca planul (MNP) sectioneaza cubul dupa un pentagon.
b) Determinati aria pentagonului de sectiune in funtcie de muchia cubului.
CLASA a IX-a
S UBIECTUL I
Intr-un sistem cartezian Oxy, se considera punctele A(0,a), B(-b,0), C(c,0), cu
a,b,c >0.
Fie o dreapta d care trece prin A, situata in exteriorul triunghiului ABC si notam cu
B1, C1 proiectiile punctelor B, respectiv C pe dreapta d. Dreapta care uneste B1 cu
mijlocul laturii AB si dreapta care uneste C1 cu mijlocul laturii AC se intersecteaza
in D.
a) Determinati ecuatiile dreptelor B1D si C1D.
b) Demonstrati ca punctul D este piciorul inaltimii din A a triunghiului ABC
(fiind situat pe latura BC) daca si numai daca d//BC.
SUBIECTUL II:
Fie a,b numere intregi astfel incat numarul a2
- 4b este patrat perfect.
Demonstrati ca :
a)Numarul a2
– 2b se poate scrie ca suma a doua patrate perfecte.

5. b)Numarul a3
– 3ab se poate scrie ca suma a doua cuburi perfecte.
SUBIECTUL III
a) Demonstrati ca
1
1
+n
< 2 1+n -2 n <
n
1
, oricare ar fi numarul natural
n 1≥ .
b)Calculati partea intreaga a numarului S=
101
1
+
102
1
+
103
1
+ … +
200
1
.
c)Demonstrati ca
11
1
+
12
1
+… +
20
1
>
31
1
+
32
1
+…+
50
1
.
CLASA a X-a
SUBIECTUL I
Fie a,b,c,d,e,f numere complexe astfel incat |a|=|b|=|c|=r, |d|=|e|=|f|=R, 0<r<R si
{ 222222
fedcba
fedcba
++=++
++=++
Demonstrati ca a,b,c sunt afixele varfurilor unui triunghi echilateral, iar d,e,f sunt
afixele varfurilor unui alt triunghi echilateral.
SUBIECTUL II

6. a) Demonstrati ca pentru orice numar intreg k, exista numere intregi kkk cba ,,
astfel incat
.42)12( 333
kkk
k
cba ++=−
b) Demonstrati ca exista numere intregi a,b,c astfel incat
200433
10420 −
<++< cba .
SUBIECTUL III
a) Fie k∈ ∗
Ν , 1)( ≥nna o progresie aritmetica de ratie r>0 si notam
010 >−= raa .
Exprimati suma
kknnn
knnnkk
aaaaaaa
aaaaaaaaa
S
......
..........
2101
1113221
−
++
=
++
−+++
numai in functie de k si
r.
b) Fie n,k ∗
Ν∈ . Demonstrati ca exista un numar natural x astfel incat :
x
xn
k
nk
k
k
k
k
k
k A
x
AAAA ++++ =++++
1
...21
CLASA a XI-a
SUBIECTUL I
Fie sirul (xn)n≥1 dat de relatia 1,1 ≥⋅= −
+ nexx nx
nn , unde x1>0.
a) Demonstrati ca sirul (xn)n≥1 este monoton si marginit.
b) Calculati n
n
x
∞→
lim si n
n
xn⋅
∞→
lim .

7. SUBIECTUL II
Fie f :[0,2]→R o functie continua cu proprietatea ca f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2.
Demonstrati ca exista numere reale a,b∈(0,1) si c∈(1,2) astfel incat f(a)+f(b)+f(c)=3.
SUBIECTUL III
Fie A∈M2(R) cu proprietatea ca A4
=I2 si detA=-1. Demonstrati ca A2
=I2.
CLASA a XII-a
SUBIECTUL I
Determinati toate morfismele de inele [ ] ),,,(),,8(: 8 ⋅+Ζ→⋅+Ζf unde am
notat [ ] },|8{8 Ζ∈+=Ζ BAba ,iar 8Ζ este inelul claselor de resturi modulo 8.
SUBIECTUL II
Vom spune ca un grup G are proprietatea P daca pentru orice ,,, yxGyx ≠∈
exista doua subgrupuri GHH ⊆21, care au in comun cel mult 3 elemente, astfel
incat 1Hx ∈ si 2Hy ∈ .
a)Demonstrati ca daca G are proprietatea P, atunci ex =12
,pentru orice Gx ∈
.
b)Dati exemplu de un grup cu proprietatea P,avand mai mult de 2004 elemente.
SUBIECTUL III

8. Fie ,:, RRffn → cu *
Nn ∈ , functii integrabile pe orice interval compact
inclus in R ,satisfacand urmatoareel doua proprietati:
i) ndxxf
b
a
n ≤∫ )( ,pentru orice numere reale a,b si orice numar natural 1≥n .
ii) 22
1
)()(
xn
xfxfn
+
≤− ,pentru orice numar real x si orice numar natural 1≥n
.
Demonstrati ca exista un numar real M cu proprietatea ca ,)( Mdxxf
b
a
n ≤∫
1,, ≥∈∀ nRba .