Exerciții și probleme .pdf

6
CAPITOLUL I
NUMERE NATURALE
I.1.
I.1.
I.1.
I.1. Compararea şi ordonarea numerelor naturale
Compararea şi ordonarea numerelor naturale
Proprietăţile inegalităţii între numere naturale
Reţineţi! Numărul natural a este mai mare sau cel mult egal cu numărul natural b dacă există
un număr natural c astfel încât să avem a = b + c.
1. a ≤ a, oricare ar fi a număr natural (reflexivitatea);
2. a ≤ b şi b ≤ a ⇒ a = b (antisimetria);
3. a ≤ b şi b ≤ c ⇒ a ≤ c (tranzitivitatea);
4. a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c şi a – d ≤ b – d (oricare ar fi c şi d numere naturale cu a ≥ d şi b ≥ d);
5. a ≤ b ⇒ a · c ≤ b · c (oricare ar fi c număr natural);
6. a ≤ b ⇒ a : c ≤ b : c (oricare ar fi c număr natural nenul, iar a: c şi b: c sunt numere naturale);
7. Oricare ar fi numerele naturale a şi b are loc una şi numai una din relaţiile: a b sau a = b
sau a b.
Probleme rezolvate:
1. Pe o tablă sunt scrise numerele 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10, 23, 48. Dan și Ana au șters fiecare câte patru
numere și au observat că suma numerelor șterse de Dan este de patru ori mai mare decât suma
numerelor șterse de Ana.
a) Ce număr a rămas pe tablă?
b) Ce numere a șters fiecare copil?
(Concursul „Florica T.Câmpan“, etapa județeană, Iași, 2012)
Rezolvare:
a) Notăm cu a, b, c, d numerele șterse de Dan și cu e, f, g, h, e f g h cele șterse de Ana și cu
p numărul care a rămas pe tablă. Avem: a + b + c + d = 4 · (e + f + g + h) și 5 · (e + f + g + h) +
+ p = 109, (1). Prin încercări se obține p = 9, soluție unică.
b) Dacă p = 9, din (1) rezultă e + f + g + h = 20. Se observă că e ≥ 3 conduce la situații
imposibile. Dacă e = 1, atunci f + g + h = 19, de unde f = 2, g = 7 și h = 10 sau f = 3, g = 6, h = 10.
e = 2, conduce la f + g + h = 18, imposibil. Prin urmare, Ana a șters numerele 1, 2, 7, 10, iar Dan
numerele 3, 6, 23 și 48 sau Ana a șters numerele 1, 3, 6, 10 iar Dan numerele 2, 7, 23 și 48.
2. Se numește număr „împerecheat“ un număr natural scris în baza zece care are patru cifre și este
format din două perechi de cifre egale (exemple: 5577, 7755, 5555, 5757 etc.).
a) Găsiți toate numerele „împerecheate“ care au suma 2011.
b) Dacă se așază într-un șir toate numerele „împerecheate“ în ordine crescătoare, aflați primii
patru și ultimii patru termeni ai șirului.
c) Câte numere „împerecheate“ există? Justificați răspunsul!
(Concursul „Matematica de drag“, Bistrița, 2013, Cătălin Budeanu)
Rezolvare:
a) 1001 + 1010 = 2011.
b) 1001, 1010, 1100, 1111, ..., 9966, 9977, 9988, 9999.
c) Numerele sunt formate cu cifrele a și b, unde a și b sunt numere nenule distincte. Avem 6
numere împerecheate formate cu cifrele a și b: aabb , abab , abba , bbaa , baba , baab . Dacă a = 1
și b ∈ {2, 3, ..., 9} avem 8 · 6 = 48 numere împerecheate. Dacă a = 2 și b ∈ {3, 4, ..., 9} avem
7 · 6 = 42 numere împerecheate. Dacă a = 3 și b ∈ {4, 5, ..., 9} avem 6 · 6 = 36 numere
împerecheate. Dacă a = 4 și b ∈ {5, 6, 7, 8, 9} avem 6 · 5 = 30 numere împerecheate. Dacă a = 5

7
și b ∈ {6, 7, 8, 9} avem 6 · 4 = 24 numere împerecheate. Dacă a = 6 și b ∈ {7, 8, 9} avem 6 · 3 = 18
numere împerecheate. Dacă a = 7 și b ∈ {8, 9} avem 6 · 2 = 12 numere împerecheate. Dacă a = 5
și b = 9 avem 6 · 1 = 6 numere împerecheate. În total avem 6 · (1 + 2 + … + 8) = 6 · 8 · 9 : 2 = 216
numere împerecheate. În total avem 6 · (1 + 2 + … + 8) = 6 · 8 · 9 : 2 = 216 numere împerecheate.
Dacă a = b atunci numerele sunt de forma aaaa , unde a ∈ {1, 2, ..., 9} și atunci vor fi 9 numere
împerecheate. Dacă b = 0 atunci numere împerecheate vor fi de forma 00
aa , 0 0
a a și 00
a a ,
unde a ∈ {1, 2, 3, ..., 9} și vor mai fi 3 · 9 = 27 numere împerecheate. În total 216 + 9 + 27 = 252
numere împerecheate.
3. Se dă mulțimea A = {a1, a2, a3, ..., a2012, a2013}, unde a1 = 1, a2 = 7, a3 = 17, a4 = 717,
a5 = 17717, a6 = 71717717, … (fiecare element al mulțimii A este un număr format prin „lipirea“
celor două numere din fața sa. Aflați:
a) Câte cifre are a11?
b) a 16-a cifră a lui a2013;
c) a 20-a cifră a lui a2012. Justificați răspunsul!
(Concursul „Unirea“, Focșani, 2013, Artur Bălăucă)
Rezolvare:
a) a7 are 5 + 8 = 13 cifre;
a8 are 8 + 13 = 21 cifre;
a9 are 13 + 21 = 34 cifre;
a10 are 21 + 34 = 55 cifre;
a11 are 34 + 55 = 89 cifre.
b) Se observă că a9 are mai mult de 16 cifre, iar primele 16 cifre ale numerelor a11, a13, ..., a2013
sunt aceleași cu primele 16 cifre a lui a2013. Deci a 16-a cifră a lui a2013 este 7.
c) a8 are mai mult de 20 cifre, iar primele 20 cifre ale numerelor a10, a12, ..., a2012 sunt aceleași cu
primele 20 cifre a lui a2012. A 20-a cifră a lui a2012 este 1.
4. Pe o tablă sunt scrise numerele 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 16. Gigel și amicul său, Ionel, au șters
fiecare câte patru numere și au observat că suma numerelor șterse de unul dintre copii este de trei
ori mai mare decât suma numerelor șterse de celălalt.
i) Ce număr a rămas pe tablă?
ii) Ce numere a șters fiecare copil? Justificați răspunsurile!
(Concursul „Dimitrie Pompeiu“, Botoșani, 2014)
Rezolvare:
a) i) Notăm cu s suma tuturor numerelor șterse de cei doi copii, cu r numărul care rămâne pe tablă
și cu A = {1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 16}. Avem 4/s și s 70. Dacă s = 68, atunci r = 2 imposibil, 2 ∉ A.
Dacă s = 64, atunci r = 6, soluție, 6 ∈ A. Dacă s ∈ {60, 56}, atunci r ∈ {10, 14}, imposibil;
10, 14 ∉ A. Dacă s ≤ 52, atunci r ≥ 18, imposibil, r ∉ A. Prin urmare, r = 6.
ii) Gigel șterge numerele 1, 3, 4 și 8, iar Ionel șterge numerele 9, 11, 12 și 16 sau invers.
5. Numerele naturale sunt așezate ca în tabelul de mai jos. Să se afle numărul liniei și a coloanei
pe care este scris numărul 2014. (Concursul „Dimitrie Pompeiu“, Botoșani, 2014, Artur Bălăucă)
1 2 6 7 15 16 ..…
3 5 8 14 17 ……………
4 9 13 18 ……………………..
10 12 19 ……………………………….
11 20 ……………………………………….
21 ………………………………………………
22 ………………………………………………

8
Rezolvare:
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C63
L1 1 2 6 7 15 16 28 …2016
L2 3 5 8 14 17 27
L3 4 9 13 18 26
L4 10 12 19 25
L5 11 20 24
L6 21 23
L7 22
.
.
.
Se observă că:
3 = 1 + 2 =
2 · 3
2
6 = 1 + 2 + 3 =
3 · 4
2
10 = 1 + 2 + 3 + 4 =
4 · 5
2
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 =
5 · 6
2
21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =
6 · 7
2
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 =
7 · 8
2
36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 =
8 · 9
2
45 =
9 · 10
2
……………………………………………………………………
1953 =
62 · 63
2
2016 =
63 · 64
2
2016 se află pe linia 1, coloana a 63-a. Deci, 2014 se află pe linia a 3-a, coloana 61.
6. Există numere naturale astfel încât suma şi diferenţa lor să conţină toate cifrele din sistemul
zecimal de numeraţie o singură dată? Justificaţi răspunsul!
Rezolvare:
Răspunsul este afirmativ. 9000000000 –
876543210
8123456790
9000000000 +
876543210
9876543210

9
EXERCIŢII ŞI PROBLEME
1.*
Suma dintre cel mai mare şi cel mai mic număr de patru cifre distincte este:
A) 10890; B) 10899; C) 10898; D) 10900.
2. Reconstituiţi înmulţirea: a) ***3 x b) 46 x
** **
***7 ***
**0* ***
3****7 1*78
unde steluţele reprezintă cifre scrise în baza 10.
3. Scrieţi în ordine crescătoare toate numerele naturale de două cifre care se pot
forma cu cifrele: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 şi care se împart exact la 3.
4. În expresia 8 ·30 + 48 : 8 + 4 puneţi paranteze astfel încât să se obţină:
a) cel mai mic număr posibil; b) cel mai mare număr posibil.
5. Ştiind că a 3b + 7, comparaţi: a) 7a cu 21b + 49; b) a + 2b + 5 cu 5b + 12,
unde a, b ∈ .
6. Ştiind că numerele a, b, c satisfac condiţiile: a ≥ 2; b ≥ 7; c ≥ 10, să se arate că:
a) 2a + 3b + 4c ≥ 65; b) 2ab + 3ac + 4bc ≥ 368.
7. Câte numere naturale de patru cifre distincte două câte două pot fi scrise cu
cifrele 1, 2, 3 şi 4? Dar cu cifrele 1, 2, 3, 4 şi 5?
8. Aflaţi toate numerele naturale de patru cifre în baza 10, ştiind că fiecare dintre
ele are cifrele distincte scrise în ordine crescătoare, iar suma cifrelor este 18.
9. Găsiţi cinci numere naturale care să se bucure de proprietatea că suma cifrelor
este egală cu produsul cifrelor. Sunt multe asemenea numere?
10. a) Câte numere naturale de trei cifre în baza 10 au cifra unităţilor egală cu 5?
b) Dar care au cifrele distincte?
11*
. Numărul numerelor pare de trei cifre în baza 10 care au suma cifrelor fiecăruia
dintre ele mai mică decât 5 este egală cu: A) 10; B) 9; C) 11; D) 12.
12*
.Câte numere cuprinse între 1 şi 1 000 000 au suma cifrelor 3?
A) 60; B) 58; C) 54; D) 55; E) 56.
13. Să se găsească cel mai mic număr natural care are suma cifrelor egală cu 2001.
(Concursul „Alexandru Cojocaru”, Roman, 2002)
14. Suma a 10 numere naturale consecutive de forma 5n + 1, n ∈ este egală cu
1235. Aflaţi numerele.
*
La problemele 1, 11 şi 12 numai un răspuns este corect.
*
La problemele 11 şi 12 numai un răspuns este corect.

10
15. Un tehnoredactor numerotează paginile unei cărţi, ultima pagină fiind 1001.
De câte ori a folosit cifra 8?
16. Un elev numerotează paginile unui dicţionar, ultima pagină numerotată fiind
985. De câte ori a scris cifra 8?
17. Câte pagini are o carte dacă pentru numerotarea paginilor sale au fost folosite
3889 cifre ?
18. De câte ori utilizaţi cifra 0 şi de câte ori utilizaţi cifra 8 pentru a scrie toate
numerele naturale de trei cifre în baza 10?
19. Fie numărul n = 510152025...20002005. a) Câte cifre are numărul n?
b) Care este a 1000-a cifră a lui n? (Revista „Sinus“, Artur Bălăucă, 2005)
20. Fie numărul a = 122333444455555...2020...20. a) Câte cifre are numărul a?
b) Precizaţi cifra de pe locul 50. (etapa judeţeană, Botoşani, 1996)
21. Fie numărul a = 12345678910111213...20002001. a) Câte cifre are acest
număr? b) Determinaţi cifra de pe locul 2001 şi stabiliţi dacă a se divide cu 3.
(Artur Bălăucă)
22. Câte numere de 9 cifre în baza 10 sunt egale cu răsturnatele lor?
23. Numărul n este scris cu 666 cifre de 3, iar numărul m este scris cu 333 de cifre
de 6. Determinaţi cifrele numărului m · n.
24. Se consideră numărul 123456789101112…99100. Să se suprime 100 de cifre
astfel încât numărul rămas să fie cel mai mare posibil.
25. Determinaţi toate numerele naturale care încep cu 6 şi se micşorează de 25 de
ori atunci când această cifră este ştearsă.
26. Un şir de numere naturale pare consecutive are suma dintre primul şi ultimul
termen 204, iar suma dintre ultimii doi termeni 398. a) Găsiţi termenii şirului.
b) Câţi termeni are şirul? c) Calculaţi suma termenilor şirului.
(etapa locală, Botoşani, 1995)
27. Se dă numărul a = n2
– 6n + 7 (n ∈ ). a) Să se determine n ∈ , astfel ca
a ∈ . b) Să se determine n ∈ , astfel ca a să fie număr natural impar.
(Artur Bălăucă)
28. Fie numerele naturale a şi b astfel încât a b. Să se arate că an + 1
+ bn
≤ an
+ bn + 1
,
oricare ar fi n ∈ *
. (Concursul „Dimitrie Pompeiu”, Botoşani, 2001)
29. Determinaţi cel mai mic număr natural (scris în baza 10) cu cifre nenule pentru
care suma cifrelor sale este 1999. (etapa locală, Cluj, 1999)
30. Scriem şirul numerelor naturale nenule pare fără să le separăm: 24681012… .
Să se determine a 2003-a cifră a numărului astfel obţinut.
31. Fie numărul n = 1234567891011…9899100. 1. Precizaţi câte cifre are n.
2. Aflaţi suma cifrelor numărului n. (etapa judeţeană, Hunedoara, 2003)

11
32. Se consideră şirul de numere: 2; 7; 12; 17; 22; … a) Aflaţi al 501-lea termen al
şirului. b) Stabiliţi dacă numărul 2007 este termen al şirului. c) Calculaţi suma
primilor 100 de termeni ai şirului. (Etapa locală, Argeş, 2007)
33. Demonstraţi că există x1, x2, ..., xp, p numere naturale astfel încât: x1 + x2 + ... + xp =
= x1 · x2 · ... · xp = 2005. (Concursul „Dimitrie Pompeiu“,Botoşani, G.M., 2007)
34. Se dă şirul de numere naturale a1, a2, a3, ..., astfel încât: a1 = 1 · 2; a2 = 2 · 3 · 4 · 5;
a3 = 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10; a4 = 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17.
a) Scrieţi a5; b) Scrieţi a20. (Concursul „Sinus“, 2005)
35. Fie şirul de numere naturale: 85, 92, 99, 106, ..., 2003.
a) Determinaţi câte numere conţine şirul. b) Aflaţi câte cifre s-au utilizat pentru
scrierea numerelor din şir. c) Precizaţi care este cifra de pe locul 365 din numărul
859299106113...2003. (Concursul „Sinus“, Gabriela Bedrulea, 2006)
36. Stabiliţi dacă există numere naturale a, b, c care verifică relaţia:
ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) = 2003. (etapa locală, Argeş, 2001)
I.2
I.2
I.2
I.2. Factor comun
. Factor comun
. Factor comun
. Factor comun
Rețineți! a · b + a · c = a · (b + c) pentru orice a, b, c numere naturale, (1).
a · b – a · c = a · (b – c) pentru orice a, b, c numere naturale cu b ≥ c, (2).
Relațiile (1) și (2) exprimă faptul că înmulțirea numerelor naturale este distributivă față de
adunare și scădere.
În ambele cazuri spunem că l-am scos în factor comun pe a.
Relațiile (1) și (2) se pot extinde pentru un număr finit de termeni.
Avem ab1 + ab2 + ab3 + ... + abn = a(b1 + b2 + b3 + ... + bn).
Probleme rezolvate
1. Să se arate că:
a) (a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(Am notat a2
= a · a).
b) (a + b)(a – b) = a2
– b2
, oricare ar fi a și b numere naturale.
Rezolvare:
a) (a + b)2
= (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2
+ ab + ba + b2
= a2
+ 2ab + b2
.
b) (a + b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) = a2
– ab + ab – b2
= a2
– b2
.
Observație: Rețineți relațiile din problema 1, ele sunt foarte mult utilizate din acest moment.
2. Știind că a = 20 și ab + ac + 10b + 10c = 90, aflați numerele naturale b și c.
Rezolvare:
ab + ac + 10b + 10c = a(b + c) + 10(b + c) = (b + c)(a + 10) = (b + c) · (20 + 10) = 30 · (b + c) = 90,
de unde b + c = 3. Avem b = 0, c = 3 sau b = 1, c = 2 sau b = 2, c = 1 sau b = 3 și c = 0.
3. Suma unor numere naturale impare consecutive este egală cu 144. Aflați numerele.
Rezolvare:
Mai întâi, observăm că numărul numerelor este par, deoarece suma lor este pară. Dacă notăm
primul număr cu 2p + 1 avem relația:
(2p + 1) + (2p + 3) + (2p + 5) + ... + [2p + (2k – 1)] + [2p + (2k + 1)] = 144, unde k este număr
natural impar.

118
CAPITOLUL II
PROBLEME DE NUMĂRARE ŞI DE COLORARE.
PROBLEME DE PERSPICACITATE. PROBLEME
DISTRACTIVE. PROBLEME RECREATIVE
Probleme de numărare (probleme de combinatorică)
Combinatorica reprezintă una din ramurile moderne ale matematicii. Ea reuşeşte să înglobeze
noţiuni din toate domeniile şi face apel la forma cea mai „pură“ a inteligenţei, intuiţia. Combinatorica
este domeniul cel mai degajat de suveranitatea axiomatizării şi în care libertatea de expunere a
ideilor este nelimitată. O gamă diversă de probleme întrebuinţează în enunţul lor un limbaj
colocvial, accesibil şi fără vaste cunoştinţe teoretice. Combinatorica nu dispune de un aparat
complex de teoreme care să-i rezolve întrebările, în prim plan situându-se aportul personal al
elevului.
Probleme rezolvate:
1. Trei băieţi Ion, Ionel şi Ionuţ afirmă următoarele:
Ion: Ionel şi Ionuţ nici nu se cunosc, dar Ionel e cel mai bun prieten al meu.
Ionel: Ion şi Ionuţ sunt cei mai buni prieteni, iar eu pe Ion nici nu-l cunosc.
Ionuţ: Ion şi Ionel sunt cei mai buni prieteni, dar ei nu mă cunosc pe mine.
Ştiind că doi dintre băieţi spun adevărul şi unul minte, să se găsească cine cu cine este prieten.
Rezolvare:
Rezolvarea problemei include şi înţelegerea unor situaţii aparent evidente: doi
băieţi care nu se cunosc nu pot fi prieteni şi dacă un băiat, să zicem Ion, este
prieten cu Ionel, atunci vom avea şi reciproc, Ionel este prieten cu Ion.
Rezolvarea „clasică“ este următoarea:
În figura alăturată, vom uni doi prieteni cu o linie dreaptă şi
doi băieţi care nu se cunosc cu o linie în „zig-zag“.
Dacă Ion minte, atunci Ionel şi Ionuţ spun adevărul şi vom obţine următoarea
diagramă:
Observăm Ion şi Ionel, respectiv Ion şi Ionuţ sunt simultan şi prieteni şi nu se
cunosc. Deci Ion spune adevărul.
Dacă Ionuţ minte, vom avea diagrama:
Observăm că Ion şi Ionel vor fi prieteni şi necunoscuţi, simultan.
Deci şi Ionuţ spune adevărul. Deci „mincinosul“ este Ionel, iar diagrama va fi.
Ion şi Ionel sunt prieteni, iar Ionuţ nu-i cunoaşte pe ceilalţi doi. Evident, o
asemenea rezolvare este corectă şi completă. Însă ea necesită un anumit timp
pentru analizarea tuturor cazurilor şi redactarea lor. Problemele de combinatorică
au însă o rezolvare „ascunsă“ în enunţul problemei, o idee pe care
rezolvitorul dacă o găseşte termină problema. În cazul nostru, ne vom
focaliza atenţia asupra afirmaţiilor a doi băieţi: Ion şi Ionuţ. Ambii afirmă că
Ion şi Ionel sunt prieteni. Deci dacă unul din ei minte şi celălalt va minţi şi
cum din cei trei băieţi doar unul minte, acesta va fi Ionel.
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ
Ion Ionel
Ionuţ

119
2. Într-o reţea de aeroporturi, avioanele zboară de pe un aeroport
numai spre cel mai apropiat aeroport de acesta. Pot ateriza
simultan şapte sau mai multe avioane pe un aeroport?
Rezolvare:
Răspunsul este negativ, iar argumentul este de natură
geometrică.
Presupunând că există şapte sau mai multe avioane care aterizează
simultan pe un aeroport, obţinem că există două aeroporturi A şi B
de pe care pleacă simultan două avioane spre un aeroport astfel încât m(ACB) 60°. Dar în
triunghiul ABC, m(ACB) 60°⇒ AB AC sau AB BC ceea ce contrazice modul de zbor al
avioanelor (AB AC implică că avionul din A va zbura spre aeroportul B şi nu C).
3. Într-o cameră se află 6 persoane. La un moment dat, din iniţiativa gazdei, cele 6 persoane vor
face schimb de numere de telefon. Să se arate că în orice moment, sau există 3 persoane care au
schimbat numerele de telefon între ele, sau 3 persoane astfel încât nici una nu cunoaşte numărul de
telefon al celorlalte două.
Rezolvare:
Pentru redactarea unor probleme de combinatorică se poate face apel la metode de simplificare a
enunţului, transformându-l într-o sinteză de informaţii matematice. Astfel, vom considera
persoanele ca fiind 6 puncte. Dacă două persoane vor schimba numărul de telefon, le vom uni cu o
linie roşie. Dacă nu au făcut schimbul, le vom uni cu o linie neagră. Concluzia problemei revine
astfel la a demonstra că, după ce am unit fiecare cu fiecare din cel 6 puncte cu una din cele două
linii (roşie sau neagră), va exista un triunghi monocolor.
Vom considera una din cele 6 persoane. Ea este „unită“ cu celelalte prin 5 linii. Indiferent de
colorarea lor, vor exista 3 linii (cel puţin) cu aceeaşi culoare.
Fără a restrânge generalitatea vom considera culoarea roşie ce uneşte persoana 1 de persoanele 2, 3
şi 4.
Dacă segmentul 2 - 3 este roşu, atunci triunghiul 1, 2, 3 este monocolor.
Deci considerăm cazul în care 2 şi 3 sunt unite printr-un segment negru.
Dacă 3 – 4 este roşu 1, 3, 4 este monocolor, dacă 2 – 4 este roşu, 1, 2, 4 este
monocolor.
Dacă nici unul din segmentele 2 – 3, 3 – 4, 2 – 4 nu este roşu, atunci toate vor
fi negre şi triunghiul 2, 3, 4 va fi monocolor.
Deci va exista totdeauna un triunghi monocolor cu vârfurile în cele 6 puncte.
4. Se consideră mulțimea A = {x ∈ / 1 ≤ x ≤ 51}. Câte submulțimi are A știind că au cardinalul
3, iar suma a două elemente ale fiecărei submulțimi este egală cu al treilea element?
Rezolvare:
Putem realiza următorul tabel, de triplete de numere naturale:
(23, 24, 47)
(24, 25, 49) (23, 25, 48)
(25, 26, 51) (24, 26, 50) (23, 26, 49)
(24, 27, 51) (23, 27, 50)
(23, 28, 51)
2 + 3 = 5 (2, 3, 5)
2 + 4 = 6 (2, 4, 6)
2 + 5 = 7 (2, 5, 7)
…………..
2 + 47 = 49 (2, 47, 49)
2 + 48 = 50 (2, 48, 50)
2 + 49 = 51 (2, 49, 51)
1 + 2 = 3 (1, 2, 3)
1 + 3 = 4 (1, 3, 4)
1 + 5 = 6 (1, 5, 6)
1 + 6 = 7 (1, 6, 7)
………..
1 + 47 = 48 (1, 47, 48)
1+ 48 = 49 (1, 48, 49)
1 + 49 = 50 (4, 49, 50)
1 + 50 = 51 (1, 50, 51)
A B
C
60°
1
2 3 4

120
Observăm că în tabel avem:
O submulțime care conține pe 25 și nu conține numere mai mici decât 25; 3 submulțimi care conțin
pe 24 și nu conțin numere mai mici decât 24; 5 submulțimi care conțin pe 23 și nu conțin numere
mai mici decât 23; …; 47 de submulțimi care conțin pe 2 și nu-l conțin pe 1. În sfârșit, 49 de
submulțimi care îl conțin pe 1. În total, avem 1 + 3 + 5 + … + 47 + 49 = (24 + 1)2
= 625 de
submulțimi.
5. Într-o cutie se află 2013 jetoane. Gigel și sora sa Gicuța, iau pe rând, din cutie cel puțin un jeton
și cel mult 19 jetoane. Primul începe jocul Gigel, iar câștigător este declarat cel care ia ultimele
jetoane din cutie.
a) Arătați că Gigel poate câștiga jocul indiferent de strategia sorei sale.
b) Dacă în cutie sunt inițial 2000 de jetoane, arătați că Gicuța poate căștiga jocul indiferent de
strategia fratelui său.
(Concursul „Dimitrie Pompeiu“, Botoșani, 2013, Artur Bălăucă)
Rezolvare:
a) Gigel aplică următoarea strategie: Începe jocul luând 13 jetoane din cutie. Dacă Gicuța începe
jocul luând n jetoane, unde 1 n 19, atunci Gigel ia în etapa a II-a a jocului (20 – n) jetoane
ș.a.m.d. În ultima etapă a jocului Gicuța nu poate lua decât (20 – m) jetoane, unde 1 m 19.
Deci, în cutie rămâne cel puțin un jeton pe care le ia Gigel și, câștigă jocul.
b) Prima dată Gigel nu poate lua decât k jetoane, unde 1 ≤ k ≤ 19, iar sora lui aplică strategia
căștigătoare luând (20 – k) jetoane. Cum 20 / 2000 la ultima etapă a jocului, Gicuța va fi cea care
ia la urmă cel puțin un jeton.
6. La magazia unei fabrici a sosit un vas cu 240 litri dintr-o substanță care trebuia repartizată în
mod egal la cele trei secții ale fabricii. În momentul acela magazionerul nu avea la îndemână decât
trei bidoane goale, unul de 50 litri, unul de 110 litri și altul de 130 litri. Voi îl puteți ajuta pe
magazioner să repartizeze substanța? Cum?
(Monica Sas)
Rezolvare:
Putem realiza tabelul:
Operația
Cantitatea de substanță din vasul de:
240 ℓ 130 ℓ 110 ℓ 50 ℓ
inițial 240 ℓ – – –
I 80 ℓ – 110 ℓ 50 ℓ
a II-a 80 ℓ 110 ℓ – 50 ℓ
a III-a 80 ℓ 130 ℓ – 30 ℓ
a IV-a 80 ℓ 130 ℓ 30 ℓ –
a V-a 80 ℓ 80 ℓ 30 ℓ 50 ℓ
a VI-a 80 ℓ 80 ℓ 80 ℓ –
1. Din şirul de numere: 123, 32, 321, 112, 222, 312, 3, 12, 43, 233 unul trebuie
eliminat. Care?
2. Exact cinci numere din şirul: 73, 28, 56, 19, 46, 55 respectă regula de alcătuire a
şirului. Care este „intrusul“?
3. Se poate împărţi numărul 18 888 în aşa fel încât fiecare jumătate să fie 10 000?
4. Cum poate fi împărţit numărul 12 în două, astfel încât fiecare parte să fie 7?

121
5. Folosind o singură dată fiecare din cifrele 4, 3, 2, 1 scrise în ordine
descrescătoare, semne de operaţii aritmetice şi, eventual parateze, alcătuiţi exerciţii
prin rezolvarea cărora să obţineţi rezultatul: a) 7; b) 8; c) 9; d) 10; e) 42; f) 33.
Exemplu: 4 · 3 : (2 + 1) = 4.
6. Ce cifre trebuie puse în 8 cerculeţe legate prin operaţii
aritmetice din figura alăturată pentru a obţine rezultatul 12?
7. Produsul vârstelor a 4 fraţi este 18, iar suma vârstelor
lor este mai mică decât 10. (Vârstele sunt exprimate în
ani întregi). Ce vârste au cei patru fraţi?
8. Se dau următoarele egalităţi: a) 1 2 3 = 1; b) 1 2 3 4 = 1; c) 1 2 3 4 5 = 1.
Fără a schimba ordinea cifrelor, puneţi între ele semne aritmetice (+, –, ·, :) şi,
eventual, paranteze pentru a obţine egalităţi matematice.
9. Puneţi între cifrele date semne de operaţii aritmetice şi utilizaţi paranteze pentru a
obţine propoziţii adevărate: a) 5 5 5 5 5 = 5; b) 5 5 5 5 = 6; c) 5 5 5 5 = 3.
10. Completaţi spaţiile libere dintre cifrele de mai jos cu semne de operaţii aritmetice
şi, eventual, paranteze, astfel încât să obţineţi egalităţi adevărate:
a) 1 9 8 4 = 19; b) 1 9 8 4 = 4; c) 1 9 8 4 = 8.
11. Se consideră numerele: 1, 21, 321, 4 321, ..., 987 654 321. Înmulţiţi fiecare din
aceste numere cu 9 şi scădeţi 1. Ce constataţi?
12. Ce număr trebuie înscris în căsuţa liberă?
45 62 79 96
13. Completaţi locul liber:
13 24 36 63 78 94
14. Ce număr trebuie înscris în spaţiul liber?
0 3 8 15 24
15. Ce număr trebuie înscris în spaţiul liber?
2 9 28 65 126
16. Între numerele de mai jos există un „intrus“. Acesta nu se
încadrează în regula după care sunt formate celelalte opt numere:
1925; 2719; 3542; 4261; 5762; 6827; 7536; 8753; 9572.
17. Analizaţi cu atenţie diagrama alăturată şi determinaţi
ce număr trebuie înscris în spaţiul notat cu x.
18. Ştergeţi patru cifre distincte din diagrama alăturată
astfel încât suma numerelor rămase să fie 19.
19. Găsiţi numărul care lipseşte în diagrama alăturată:
12
×
+
–
– =
× =
5 13
9
x
15
17
3 7
5
4
x
8
9
5 3
3
6
4
3
19
15 5 12
30 6 20
42 7

122
20. Ce număr credeţi că lipseşte?
10
9
7
1
2
3
3
2
3
4
?
27
14
3
8
a)
2 3 4 24
3 2 2 12
4 2 6 48
4 3 4 ?
b)
3 8 7 5
2 3 7 6
4 4 7 2
1 7 7 ?
a)
8 6 4
? 9 1
7 5 3
b)
36 1
4
9
?
25
c) ?
4
6
10
34
10
2 6
6
3
4
5
3
5
2
8
?
25. Înscrieţi în fiecare cerculeţ liber câte unul din numerele 1, 2, 4, 5, 7, 8 aşa încât
suma numerelor de pe fiecare latură a triunghiului să fie 21.
26. Priviţi desenele de mai jos şi determinaţi ce număr trebuie înscris pe coşul celui
de-al patrulea vaporaş.
?
14 25
5 9 16
3 2 7 9
6
9 3
4 4
2 5
87
3 4
2 6
29
7 2
1 1
56
1 5
3 2

152
IV. 2.
IV. 2.
IV. 2.
IV. 2. Ecuaţii în
Ecuaţii în
Ecuaţii în
Ecuaţii în şi
şi
şi
şi .
.
.
. Inecuaţii. Probleme
Inecuaţii. Probleme
Probleme rezolvate
1. Să se arate că ecuația x5
+ y5
+ z5
= x4
+ y4
+ z4
+ 2015 nu are soluție în mulțimea numerelor
naturale.
Rezolvare:
Ecuația este echivalentă cu: (x5
– x4
) + (y5
– y4
) + (z5
– z4
) = 2015 sau x4
(x – 1) + y4
(y – 1) + z4
(z – 1) = 2015
sau x3
· x(x – 1) + y3
· y(y – 1) + z3
· z(z – 1) = 2015. Însă perechile de numere naturale x și x – 1,
y și y – 1, z și z – 1 sunt numere consecutive, deci produsul fiecărei perechi de numere este par.
Prin urmare, numerele x5
– x4
, y5
– y4
și z5
– z4
sunt pare, iar ecuația din enunț nu are soluție în .
2. Să se rezolve în mulțimea nulmerelor naturale ecuația 3x
+ 4y
+ zt
= 194.
(Concursul „Ștefan Dârțu“, Vatra Dornei, 2013, Monica Sas)
Rezolvare:
3x
+ 4y
+ 7t
= 194 implică t ≤ 2.
Cazul t = 0 implică 3x
+ 4y
= 193, de unde y ≤ 3.
y = 0 implică 3x
= 192, fals.
y = 1 implică 3x
= 189, fals.
y = 2 implică 3x
= 177, fals.
y = 3 implică 3x
= 129, fals.
+ 4y
= 187, de unde y ≤ 3.
y = 0 implică 3x
= 186, fals.
y = 1 implică 3x
= 183, fals.
y = 2 implică 3x
= 171, fals.
y = 3 implică 3x
= 123, fals.
+ 4y
= 145, de unde y ≤ 3.
y = 0 implică 3x
= 144, fals.
y = 1 implică 3x
= 141, fals.
y = 2 implică 3x
= 129, fals.
y = 3 implică 3x
= 81, de unde x = 4.
Deci x = 4, y = 3 și t = 2.
3. Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuațțile:
a) xy = 3 · (x + y).
b) xy
+ y = 1034. (Artur Bălăucă)
Rezolvare:
a) Ecuația o putem scrie sub forma echivalentă: xy – 3x – 3y = 0, de unde xy – 3x – 3y + 9 = 9 sau
x(y – 3) – 3(y – 3) = 9 sau (y – 3)(x – 3) = 9 = 1 · 9 = 9 · 1 = 3 · 3.
y – 3 = 1 implică y = 4 și x – 3 = 9 implică x = 12. x – 3 = 3 și y – 3 = 3 implică x = y = 6.
Deci (x, y) ∈ {(4, 12), (12, 4), (6, 6)}.
b) x = 0 implică y = 1034, soluție. x = 1 implică y = 1033, soluție.
x = 2 implică 2y
+ y = 1034, de unde y = 10, soluție.
Dacă y 10, atunci 2y
+ y 1034, nu convine. Dacă y 10, atunci 2y
+ y = 1034, nu convine.
Dacă y = 10, atunci 2y
+ y = 1034, soluție. Să mai analizăm cazul x 2.
Dacă y = 0, atunci x = 1034, nu convine. Dacă y = 1, atunci x = 1033, soluție. Dacă y = 2, atunci
x2
= 1032, nu convin. Dacă y = 3, atunci x3
= 1031, nu convine. Dacă y = 4, atunci x4
= 1030, nu
convine. Dacă y ≥ 7, atunci xy
1034, nu convine. Dacă y = 5, atunci x5
= 1029, nu convine. Dacă
y = 6, atunci x6
= 1028, nu convine. Prin urmare (x, y) ∈ {(0, 1034), (1, 1033), (2, 10)}.

153
4. Găsiți numerele naturale a și b pentru care 63a3
+ 78b2
= 2013.
(Concursul „Matematica de drag“, Bistrița, 2013, G.M. 5/2013, Victor Săceanu)
Rezolvare:
Avem: 63a3
+ 78b2
= 2013 / :3 ⇔ 21a3
+ 26b2
= 671 (1). Cum 21 · 33
= 567 și 21 · 43
= 1344 din
(1) rezultă că a ≤ 3. Tot din (1) rezultă că a este impar. Deci a ∈ {1, 3}. a = 1, conduce la b = 5 și
a = 3 conduce la b = 2.
5. Determinați numărul natural abcd scris în baza zece, știind că a +
1 195
1 31
1
b
c
d
=
+
+
.
Rezolvare:
Avem: a +
1 9 1 1 1 1
6 6 6 6 6 .
1 31 4 1 1
31 3 3 3
1 9 1
9 9 2
4 4
b
c
d
= + = + = + = + = +
+ + + +
+ +
Notăm cu a +
1
1
1
x
b
c
d
=
+
+
. Evident, o soluție a problemei se obține pentru a = 6, b = 3 și c = 2 și
d = 4. Am finalizat problema? Răspunsul este: Nu! Nu ne-am asigurat de unicitatea soluției. Pentru
ca a = 6 să fie singura valoare, ar trebui să arătăm că fracția etajată
1
1
1
b
c
d
+
+
este subunitară.
Dacă b = c = 0, atunci x = a +
1
d
≠ 6 +
9
31
, nu convine. Dacă b = 0 și c ≠ 0, atunci
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1
cd
c
d d d
cd cd
c
d
d
+
= = = = +
+ +
+
și x = a + c +
1
d
≠ 6 +
9
31
, nu convine. Dacă c = 0,
atunci x = a+
1 1
1
1
a
b d
b
d
= +
+
+
≠ 6 +
9
31
. Deci b, c ∈ *
, și în acest caz mai rămâne să observăm
că 0
1
1
1
b
c
d
+
+
1. Urmează a = 6 și
1 9
1 31
1
b
c
d
=
+
+
, de unde
1 9
31
cd
bcd b d
+
=
+ +
sau
31 4
3
1 9 9
bcd b d
cd
+ +
= = +
+
sau
( 1) 4
3 .
1 1 9
b cd d d
b
cd cd
+ +
= + = +
+ +
Rezultă b = 3 și
4
1 9
d
cd
=
+
(pentru că
1
d
cd +
1). Din
4
1 9
d
cd
=
+
rezultă că
1 9
4
cd
d
+
= sau c +
1 1
2
4
d
= + , de unde c = 2 și
d = 4. Conchidem că abcd ∈ {6324}.

154
6. Ionel și Vasile au cumpărat tricouri din două magazine. Fiecare a profitat de oferta promoțională
a magazinului, încercând să obțină cel mai bun preț mediu pentru un tricou. Magazinul de unde a
cumpărat Ionel avea oferta „2 + 1 gratis“ (la două tricouri cumpărate primești încă unul gratis).
Magazinul de unde a cumpărat Vasile avea oferta „3 + 1 gratis“. Cei doi copii au constatat că au
cheltuit aceeași sumă totală de bani și au în final același număr de tricouri.
a) Arătați că numărul de tricouri pe care le are în final fiecare copil este divizibil prin 12.
b) Aflați ce prețuri au afișat cele două magazine pentru un tricou, știind că la magazinul de unde a
cumpărat Ionel prețul era cu 2 lei mai mare decât la magazinul de unde a cumpărat Vasile.
(Concursul „Florica T.Câmpan“, etapa județeană, Iași, 2012)
Rezolvare:
Notăm cu n numărul tricourilor fiecărui copil.
a) Se observă că n 3 și n 4, deci n 12.
b) Ionel și Vasile au cumpărat fiecare câte 12 tricouri. Ionel plătește 8t tricouri, iar Vasile 9t
tricouri. Dacă p este prețul afișat la magazinul de unde cumpără tricourile Vasile, atunci prețul
afișat la magazinul de unde cumpără Ionel este p + 2. Avem relația: 8t(p + 2) = 9tp, de unde
p = 16. Prin urmare, prețurile afișate de cele două magazine sunt 16 lei și, respectiv, 18 lei.
1. Rezolvaţi în » ecuaţiile: a) 5x + 7 = 272; b) (8 + 3x) · 14 – 30 = 1762;
c)( )
72 : 25 17;
x
+ = d) ( )
{ }
3 5 3 5 3 5 3 5 281
x
 + ⋅ +  ⋅ + ⋅ + =
  ;
e) ( ) ( )
4
2 9 3 2
1 1 2 2 ... 2 2 :2 ;
x
 
+ + + + + ⋅ =
  f) 1981 1983
3 5 4 5
x x
− −
⋅ + ⋅ + 1984
2 5x−
⋅ = 1985.
(Artur Bălăucă)
2. Aflaţi x din: a) ( ) ( )
: x
− − = − ⋅ − ⋅
 
 
9 25 16 3 3 3 9 9 ;
b) 2 · ( )
{ }
3 4 5 1 3 2 2;
x
⋅ ⋅ + −  − =
  c) ( )
{ }
2 14 5 :6 5
x
⋅ + +  −
  : 9 + 7 =10;
d) ( )
{ }
2 120 2 2 18 :15 108 :11 200
x
⋅ − ⋅  + +  =
  .
3. Să se afle x din relaţia: 0 2 3
2010 {2·[3 ( – 2 )·5]}:6·7 2 .
x
+ + =
(Concursul „Dimitrie Pompeiu“, Botoşani, 2010)
4. Să se afle x din: a) ( )
{ }
2
8 56: 40 1568: 38 992: 36 12: x
− −  − − 
  = 1;
b) ( )
{ }
100 97 0 2
7 2 :2 4 5 2 10 1000 :9 :10 1
x
 
⋅ + ⋅ ⋅ + − =
  ;
c) { ( )
2
9 101
5 2 40 :

⋅ ⋅


( ) }
309 99 2 2
200 2 5 5 :10 5 0
x
⋅ ⋅ + − − =
 ;
d) ( )
2
1 2 3 631 2524
2 2 2 ... 2 16 3 4
x
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅ ; e) 1 + [55
– 5(x – 23
· 32
)] – 20020
= 2000;
f) 1 + 3{42
+ 5 · [36
–– 6 · (x – 3 · 25
) – 30]} + 20020
= 1985;
g) {5 · [(29
· 30101
)3
: ((2101
)3
· 15303
) + x – (23
)9
]} : 2 = 25.
5. Rezolvaţi ecuaţia: 2x + 4x + … +3986 · x = 1993 · 1994.

155
6. Numărul x din egalitatea: ( )
8 4 3
2 :2 :2:9 118 : 2
x
 
⋅ + +
  1 = 241 este suma a trei
numere naturale consecutive. Să se afle aceste numere.
(etapa judeţeană, Botoşani, 1990)
7. Fie a, b, c, d patru numere naturale pare consecutive crescătoare. Aflaţi
a + 2b +3c+ 4d , ştiind că b + d =20.
8. Rezolvaţi în ecuaţiile: a) x + y = xy; b) xy + xz + yz + 7z = 10; c) 3 7 21.
xy z
+ =
(Concursul centrelor de excelenţă din Moldova, Suceava, 2005, Artur Bălăucă )
9. Aflaţi numerele naturale a şi b care verifică egalitatea: ab
b
a =
− 3
4 .
10. a) Să se determine cifrele nenule a, b, c în baza 10 ştiind că a b c
şi
287.
a b c
a b c
+ + = (Concursul „Dimitrie Pompeiu“, 2010, G. M.)
11. Rezolvaţi în numere naturale ecuaţia: 2 2
37
x y y
+ + = .
12. Fie x, y ∈ » astfel încât 2
xy x y
= + + . Arătaţi că x + y = 6.
13. Rezolvaţi în » ecuaţia: xy + xz + yz + 3z = 5. (etapa locală, Botoşani, 1992)
14. a) Să se rezolve în » ecuaţia: 3 4 5 48
x y z
+ + = .
b) Aflaţi toate numerele naturale x, y, z care verifică relaţia 3x
+ 6y
+ 9z
= 731.
15. Rezolvaţi în » ecuaţiile: a) 2 3 4 47
x y z
+ + = ; b) 4x
+ 3y
+ 2z
= 59.
16. Rezolvaţi în » ecuaţiile: a) 9 5 3 126
x x
+ ⋅ = ; b) 2x
+ 2y
= 65; c) x3
(y + z4
) = 32 ;
d) 22x + 3
+ 23y + 1
+ 2z + 1
= 176 ; e) x2
– 17x – 110 = 0; f) 1001 + 1002 + ... + 2002 =
= 32
· (210
– 24
– 22
– 2 – 1) · x.
17. Determinaţi toate numerele naturale a şi b pentru care 2001
3 =
+
⋅
⋅ a
b
a .
(etapa locală, Hunedoara, 2002)
18. Se consideră mulţimile: { }
3
A / 2 7,
n
x x n
+
= = − ∈ şi B ={ }
16 1
y/y m , m
= + ∈ .
Aflaţi mulţimea A B
∩ . (etapa judeţeană, Hunedoara, 2002)
19. Să se rezolve ecuaţia: ∈
=
+
+ +
+
+
+
+
x
x
x
x
x
x
,
31
5
5
5
5
5
5
1
2
3
3
1
2
2
1
».
(etapa judeţeană, Botoşani, 1993)
20. a) Aflaţi numerele naturale x şi y care verifică egalitatea:
2 3
1
x y
+ = .
b) Determinaţi numerele naturale a, b, c, d ştiind că: 2a
+ 3b
+ 4c
+ 5d
= 37.
(Artur Bălăucă)
21. Rezolvaţi în »*
ecuaţia: ( )
1 1 1
t x y z
x y z
+ + = + + .

164
SOLUŢII. REZULTATE. INDICAŢII. COMENTARII
CAPITOLUL I. NUMERE NATURALE
I. 1. Compararea şi ordonarea numerelor naturale 1. B) 2. a) 1103 · 29 = 31987;
1003 · 39 = 39117; b) 46 · 43 = 1978. 3. 12, 15, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 42, 45, 51, 54, 57,
60, 63, 72, 75. 4. a) (8 · 30 + 48) : (8 + 4); b) 8 · (30 + 48 : 8 + 4 ). 5. a) a 3b +7 ⇔
⇔ 7a 7 · (3b + 7) etc. 6. a) 2a 4; 3b 21; 4c 40, de unde 2a + 3b + 4c 65.
7. 24 şi 120. 8. 1269, 1278, 1359, 1368, 1458, 1467, 2349, 2358, 2457, 3456. 9. 1111125;
11133; 11222 etc. 10. a) Numerele sunt de forma ab5 , unde 1 ≤ a ≤ 9 şi 0 ≤ b ≤ 9. Sunt
9 · 10 = 90 de numere de forma ab5 . b) a = 1 b
⇒ ∈ { }
, , , , , , ,
0 2 3 4 6 7 8 9 , deci sunt 8 numere
de forma ab5 care au cifra sutelor 1 şi a b a
≠ ≠ ≠
5 . Rezultă că sunt 8 · 8 = 64 de numere
care satisfac condiţiile din enunţ. 11. D). 12. E). 13. ...
cifre
222
3999 9

. 14. (5n + 1) + (5n + 6) +
+ (5n + 11) +...+ (5n + 46) = 5n · 10 + (5 · 0 + 1) + (5 · 1 + 1) +...+ (5 · 9 + 1) =
= 50n + 5(1 + 2 +...+ 9) + 10 = 50n + 235 = 1235 n = 20. Numerele sunt: 101, 106, 111, ... , 146.
15. De la pagina 1 la pagina 99 de 10 ori ca cifră a unităţilor şi de 10 ori ca cifră a zecilor.
De la pagina 100 la 199 tot de 20 de ori ş.a.m.d. De la pagina 800 la 899 de 100 de ori ca
cifră a sutelor, de 10 ori ca cifră a zecilor şi de 10 ori ca cifră a unităţilor etc. 16. 294 ori.
17. 1249 pagini. 18. 180 de ori, respectiv 280 de ori. 19. a) 1 + 18 · 2 + 180 · 3 + 202 · 4 = 1385
de cifre; b)
1000 cifre
510152025...15251530

. 20. a) 375 de cifre; b) 1. 21. a) 1 · 9 + 2 · 90 + 3 · 900 +
+ 4 · 1002 = 6897 cifre. b) Numărul 1234567891011 ... 702703 are 2001 cifre, iar cea de pe
locul 2001 este 3. c) Suma cifrelor lui a este egală cu: 2 [(1 + 2 +...+ 9 ) + 20 (1 + 2 +...+ 9) +
+ 180 (1 + 2 +...+ 9) ] + ( )
...
termeni
+ + +
1000
1 1 1

+ (2 + 2 + 1) = M3. 22. Trebuie să se afle câte numere
de forma abcdedcba , unde a ≠ 0, există; e, b, c , d ∈ { }
9
,...,
2
,
1
,
0 . Există 90000 de numere.
23.
666
333 666 333
666
66...6 33...3 999...9 22...2 (10 –1)
ori ori ori
ori
⋅ = ⋅ = ⋅

333
22...2
ori
=

ori
333
2
...
22

ori
666
0
...
00 –
333
22...2
ori
=

332
22...2
ori
=
333
199...9
ori

332
77...78
ori
. 24. Pentru că numărul rămas după suprimarea celor 100 de cifre
să fie cel mai mare, primele cifre ale sale trebuie să fie cât mai mari posibile. Putem face ca
el să înceapă cu 5 de 9, aceştia provenind de la 9, 19, 29, 39 şi 49. Pentru aceasta trebuie să
ştergem 8 + 19 + 19 + 19 + 19 = 84 cifre. Următoarea cifră nu mai poate fi 9, pentru că ar
trebui să mai ştergem 19 cifre: 5, 0, 5, 1, 5, 2, ..., 8, 5. Deci am suprima în total 84 + 19 = 103
cifre. Cel mai apropiat 8 dintre cifrele rămase se obţine suprimând 17 cifre, nu este posibil
pentru că am avea 84 + 17 = 101 100. Vom face ca următoarea cifră să fie 7 ştergând încă
15 dintre cifre. Am suprimat 84 + 15 = 99 cifre. Mai ştergem pe 5 din 58. Numărul căutat
este 99999785960...99100. 25. Fie x = 1
2
1...
6 a
a
a
a k
k − = 6 · 10k
+ 1
2
1... a
a
a
a k
k − =
= 25 · 1
2
1... a
a
a
a k
k − ⇒ 1
2
1... a
a
a
a k
k − =
4
10
24
10
6 k
k
=
⋅
∈ N*
⇒ k ≥ 2 ⇒ 1
2
1... a
a
a
a k
k − =
= 25 · 10k – 2
=
( )

2
2500...0
k ori
−
⇒ x = 6
( )

...
k ori
−2
2500 0 , unde k ≥2. 26. a) 4, 6, 8, 10, ..., 200; b) 99;
c) 10098. 27. a) n = 0 ∈
=
⇒ 7
a N; n = 1 ∈
+
−
=
⇒ 7
6
1
a N; n = 2 ⇒ a = 4 – 12 + 7 ∉ N;

226
+ (110 + 2) + … + (110 + 112) = 110 ⋅ 112 +
2
113
112⋅
= 18648 etc. Se obţine x = 21.
31. n = 500. 32. a2
(b + 1) = 175 = 12
⋅ 175 = 25 ⋅ 7 ⇒ a = 5, b = 6. 33. x = 3. 34. (x, y, z) ∈
∈ {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2,), (3, 2, 1)}. 35. x = 0 conduce la y = 128 ⇒
⇒ (0; 128) soluţie. x = 1 ⇒ 1 + y = 128 adică y = 127 ⇒ (1, 127) soluţie. y = 1 x = 127 deci
(127, 1) soluţie. x = 2 ⇒ 2y
+ y = 128 dar 26
+ 6 128 iar 27
+ 7 128 ⇒ x ≠ 2. y = 2 ⇒
⇒ x2
= 126 imposibil în . x = 3 ⇒ 34
+ 4 128 şi 35
+ 5 128 ⇒ x ≠ 3. y = 3 ⇒ x3
= 125
adică x = 5 ⇒ (5, 3) soluţie. Dacă x ≥ 4 şi y ≥ 4 atunci xy
+ y 128. Prin urmare, avem:
(x, y) ∈ {(0, 128); (1, 127); (5, 3); (127, 1)}. 36. Din a|a; a|2ab; a|3abc; a|4abcd; a|abcde
şi relaţia dată, rezultă a|1, deci a = 1. Egalitatea devine: 2b + 3bc + 4bcd + 2 = bcde,
de unde rezultă b|2, adică b {1, 2} şi cum a ≠ b şi a = 1, rezultă b = 2. Procedând analog
se obţine: c = 3, d = 4 şi e = 5. 37. Cum 10 xy 99 100 (
((
( )
))
)
2
xy 9801
110 (
((
( )
))
)
2
xy + xy 9900 110 2xy
9900 xy {10, 11, 12, 13}. Deoarece
10, 11, 12, 13 nu verifică ipoteza, nu avem soluţie. 38. Avem: xn + 1
= yn + 1
= zn + 1
= xyz, deci
x = y = z. Prin urmare xn
= x2
şi rezultă x = y = z = 1, dacă n {2} şi x = y = z *
+
+
+
+ ,
dacă n = 2. 39. U(5x2
+ 35x) = U(5x(x + 7)) = 0, ∀x . U(2001y2
) {0, 4, 5, 6, 9}.
22000
+ 22001
+ 22002
+ 22003
+ 22004
+ 22005
+ 22006
= 22000
(1 + 2 + 22
+ ... + 26
) = 22000
(27
– 1).
U(22000
· (27
– 1)) = U(6 · 7) = 2. Deci ecuaţia nu are soluţii. 40. Ecuaţia este echivalentă cu
3333(a + b) = axxxb , de unde rezultă a = 2, b = 7, x = 9. 41. a) x {0, 1, 2, 3}; b) x {0, 1, 2};
c) x {0, 1, 2, 3}; d) x {0, 1, 2, 3, 4, 5}; e) x {0, 1, 2, 3}; f) (x, y) {(0,0), (0,1), (0,2),
(1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1)}. 42.
2004
2005 2
n
n

+
implică
2005n 2004n + 4008, de unde n 4008.
2005
2 2006
n
n

+
implică n 4010. Deci n = 4009.
43. (331, 332, 333, 334, 335, 336) şi (330, 331, 332, 333, 334, 335). 44. a = (1 + 9) ·
· (53
+ 312
: 39
· 3 – 2 · 9) = 10 · (125 + 81 – 18) = 10 · 188 = 1880. Avem ecuaţia
52y – 1
+ 2006x – 1
= 126. Cum 52y – 1
este impar oricare ar fi y ∈ * rezultă că 2006x – 1
este
impar, de unde x – 1 = 0 şi x = 1. Deci 52y – 1
= 125, de unde 2y − 1 = 3, adică y = 2 şi y – x = 1.
45. Dacă b = 0, atunci a(a + 3)(a + 15) = 1, imposibil; deci b este nenul. a par implică
(a + 3)(a + 15) este impar, contradicţie! Deci a este impar şi cum a/4 rezultă a = 1.
Prin urmare, a = 1 şi b = 3. 46. Remarcăm cu uşurinţă că y2
+ y = y · (y + 1) este număr par
şi urmează că 2x
= 1, adică x = 0. Avem y2
+ y = y · (y + 1) = 5112 = 23
· 9 · 71 = 71 · 72,
de unde y = 71. 47. 47, 48, 49, 50. 48. 30. 49. 120, 100, 180. 50. Dacă notăm cu x numărul
fetelor, atunci se obţine ecuaţia 8
2
7 −
=
+ x
x , care are soluţia 15. Rezolvaţi şi prin metoda
grafică. 51. Ionel are 250 lei şi Petrică 50 lei. 52. 25 ani. 53. Prin metoda figurativă sau cu
ajutorul ecuaţiei se obţine: primul a primit 1050 de euro, al doilea 255 de euro şi al treilea
270 de euro. 54. 600 şi 100. 55. Elevul are 5 euro şi fratele lui are 7 euro. 56. 65 de pagini.
57. 1578 de peri şi 1570 de meri. 58. Notăm cu x lungimea pasului primului copil şi cu y
lungimea pasului celui de-al doilea copil, deci 2x = 3y, de unde rezultă 4x = 6y. Dar ştiind
că în timp ce primul face 4 paşi, al doilea face numai 5 paşi, înseamnă că la fiecare 4 paşi ai
primului, al doilea rămâne în urmă cu un pas. Apoi din 16x = 24y şi din faptul că în timp ce
primul face 16 paşi, al doilea face numai 20, nu 24, rezultă că 4 paşi ai celui de-al doilea
copil reprezintă 2m ş.a.m.d. 59. În timp ce ogarul face 6 sărituri, vulpea face 9, lungimea
a 6 sărituri de-ale ogarului fac cât 14 sărituri de-ale vulpii. Deci la 6 sărituri de-ale

Exerciții și probleme .pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Exerciții și probleme .pdf

Similar to Exerciții și probleme .pdf (20)

Exerciții și probleme .pdf