2. Marian ANDRONACHE • Dinu SERBANESCU
Marius PERIANU • Catalin CIUP ALA • Florian DUMITREL
Matematica
pentru examenul
de bacalaureat
Ml
~
MATEMATICIENILOR
4. Tema 2.3 - Structuri algebrice..............................................................................74 226
Algebra/Ceornetrie
Clasele IX-X
Tema 2.4 - Polinoame cu coeflclentl intr-un corp comutativ................ 85 235
Partea 3.ANALiZA MATEMATICA (clasele XI-XII)
Tema 3.1- Limite de ~iruri. Limite de functll,
Functii continue. Functii derivabile........................................... 97 239 Tema 1.1. Mullimi de numere. Mullimi ~ielemente de loqica rnatematica
(cia sa a IX-a)
Tema 1.2. Functil definite pe multimea numerelor naturale (slrurl)
(cia sa a IX-a)
Tema 1.3. Functil. Proprletati generale. Lecturi grafice
(clasele IX-X)
Tema 1.4. Functia de gradull. Functia de gradul al ll-Iea
(clasa a IX-a)
Tema 1.5. Puteri ~iradicali. Ecuatil irationale
(clasa a X-a)
Tema 1.6. Exponentiale ~i logaritmi
(clasa a X-a)
Tema 1.7. Numere complexe
(clasa a X-a)
Tema 1.8. Metode de nurnarare. Elemente de cornblnatorica
(clasa a X-a)
Tema 1.9. Vectori in plan. Geometrie vectorlala. Geometrie analltica
(clasele IX-X)
Tema 1.10. Elemente de trigonometrie. Functli ~iecuatli trigonometrice
(clasa a X-a)
Tema 3.2 - Primitive..................................................................................................
118254
T ma 3 3 - Fri'" t bll
e • un•..
,II In egra I e 124 258
Partea 4. VARIANTE DE SUBIECTE
Tema 4.1- Subiecte date la examenul de bacalaureat
in anii anteriori 143 280
Tema 4.2 - Variante de subiecte propuse spre rezolvare 156 304
5. Tema 1.1
Multimi de numere .
.
Multimi ~i elemente de logica matematica
1. Partea intreaga ,i partea fraclionara a unui numar real
Defini~ie. Fie x E lR. Cel mai mare numar intreg mai mic sau egal dedit x se numeste
par/ea fntreagii a lui x. Se noteaza: [x] = max {p E IE Ip ~ x} .
Numarul real {x} = x - [x] se numeste partea fractionard a lui x.
Proprletatl
1. [x]~x<[x]+l, VXElR;
2. x-1<[x]~x, VXElR;
3. [X]=X<=>XEIE;
4. [x + n] = [x] +n <=> n E IE ;
Identitatea lui Hermite.
[X]+[x+~J+[x+~J+ ... +[x+ n~lJ=[nx], VXElR, VnEN*{l}.
1. {x}E[O,l), VXElR;
2. {x} = 0 <=> X E IE ;
3. {x} = {y} <=> x- Y E IE,
4. {x + n} = {x} <=> n E IE.
Probleme propuse
1. Stabiliti valoarea de adevar a urmatoarelor propozitii
a) p: ,,[x]+[Y] = [x+ y], pentru orice x,y E lR", unde [a] reprezinta partea intreaga a
numarului real a.
b) q : ,,{3x} = 3{x} , pentru orice x E R", unde {a} reprezinta partea fractionara a
numarului real a.
c) r : " Vx E R, 3y E lR astfel incat X2 + y2 = 2012 ".
2. Determinati valoarea de adevar a afirmatiei: "Suma oricaror doua numere irationale
este un numar irational."
3. a) Calculati [ J2012 J+( 2+.J2).{-.J2}.
b) Calculati [_1_+_1_+ ...+ 1 ].
, 1·2 2·3 2012·2013
c) Calculati [J2009 ] + 3· {-~} .
d) Calculati [.Ji] + [.J2]+ ...+ [.JiOo].
e) Calculati [( J3+ .J7f ] .
Variante bacalaureat 2009
i
I
<
U
~
~
w
~
Variante bacalaureat, februarie 2008 ~
•
7
6. 4. a) Determinaj] multirnea A=={xe[O,2]1[2x]==2[x]}, unde [a] reprezinta partea
tntreaga a numarului real a.
b) Determinati multimea B == {x E [ -1,2] 13{x} == I}, unde {a} reprezinta partea
fractionara a numarului real a.
S. Aratap ca [.Jn
2
+ n ] = n , pentru orice n EN.
6. Fie x E lR* .Aratati ca [~J= 0 daca si numai daca x > 1.
Variante bacalaureat .februarie 2008
7.a) Aratati ca {{x} + y} = {x + {y }} , pentru orice x, Y E lR .
b) Aratati ca {{x + Y} + z} = {x + {y + z}} , pentru orice x, y, Z E lR.
Variante bacalaureat 2009, enunt adaptat
8. a) Aratati ca [x] +[ x+~J = [2x], pentru orice x E lR.
b) Aratati ca daca [x + a] = [x + b]' pentru orice x E lR, atunci a = b .
9. Determinati mElR pentrucare {xElRl (m2-1)x+2>0}=lR.
10. Determinati cel mai mic element al multimii {x E lRI(x + 2) (x2 - 4) ~ O}.
~1. Se considera A = { X E lRI (x -1) ( x - 13
0
)s o}.Determinati eel mai mare element al
multimii B = {I a=b Ila,b E Z, a < b, [a, b) c A} .
12. Determinati numerele naturale din multimea A = {x E lRI 1 < xs2} .
.fi+J3
13. Se considera multimile A = {x E lR Ilxl < 2} ~i B = [-3,0) . Determinati An B n Z .
14. Se considers multimile A - {O 2 4 6 50} . B {O }
" t
LUll
-", , ••• , ~l = ,3,6,9, ...,48. Aflati cardinalul
fiecareia dintre multimile A , B , An B ~i A uB .
15. Se considera fractia zecimala infinita 1 0
"7 = ,a1a2••• • Determinati nurnarul de elemente
ale multimii A = {a a a. }
t.l.ll.J. I' 2'--:}"" .
16. Se considera fractia zecimala infinita 4
11= ao' al a2 ••• • Determinati suma elementelor
multimii A = {a a. a }
t 0'--1' 2"" .
7. Se considera fractia zecimala infinita ~~ = 0,ala2~'" . Calculati al +a2 + ... +a
2012
•
Variante bacalaureat .februarie 2008, enunt adaptat
18. Determinati m e IR pentru care {1;2} ~ {x E IR Ix2 +mx+4 == o] .
19. Determinati perechile (m,n) E IRxlR pentru care {1;2} == {x E IR Ix2
+mx+n == o].
20. Determinati a E Z pentru care {x E IR I X2 -ax+ 4 == o] n{O, 1,2, ...,2011} ;to 0.
21. Se considera multimea A = {a + bJ31 a, b E Z} .
a) Aratati ca numerele ~4+2J3 si {J3} apartin multimii A.
b) Aratap ca X· YEA, pentru orice x,YEA.
c) Aratati ca multimea B == {x E A I [x] = O} are eel putin 2012 elemente.
22. Aratati ca J3 ~ {a + b.fi Ia, b E Z} .
Variante bacalaureat .februarie 2008
23. Determinati (x, y) E lRx lR pentru Care x2 + 2xy + 2l = 0 .
24. Aratati ca x2 + 3xy + 4y2 ~ 0, Vx, Y E lR .
Variante bacalaureat 2009
25. Determinati x+ Y+ Z stiind ca x2 + l + Z2+4x+6y-2z +14 = O.
26. a) Aratati ca daca x,y,z E lR ~i x2 + l +Z2 = xy+xz+ yz, atunci x = Y = z.
b) Determinati multimea {Ca,b) E Rx R I a2 +b2 +4 = ab+2a+2b}.
27. a) Aratati ca !:+!!.. ~ 2, Va,b > O.
b a
b) Aratati ca (a+b)(b+c)(c+a) ~ 8abc, Va,bc ~ O.
28. Se considera numerele x, y ~ 1 .
, Ar~ . ~ ../x-l 1
a/ atati ca --~-.
x 2
b) Aratati ca x~ y -1+ y../x -1 ~ xy .
29. Determinati multimea {(a,b) E Nx N I Fa + ~ = 2} .
30. Dati un exemplu de doua numere naturale a si b care indeplinesc conditia
Fa -log3 b E N' .
31. Dati un exemplu de doua numere irationale a ~i b care indeplinesc conditiile
a +b E N* ~i a- b E Z . i
I
>0(
U
~
~
w
!c
~
32. Determinati un element (a, b, c) E N x N x N care verifica conditia 2° < b < log, c .
33. Ordonati crescator numerele.
a) -Ii. ifj, ln2; b) Ji, ifj, ~ ;
1 1 t: 1 t;
c) -, r; ~,,,5; d) -, log32, In2, ,,3, 1.
2 ,,3 -,,2 2
•
9
7. Tema 1.2
Functii definite pe multlmea numerelor naturale (~iruri)
1. $iruri
Definitie. Sirul de numere reale (Xn ).;'1 este monoton (strict) crescator daca
Xn~xn+1 (xn<xn+I), Vn~l.
Sirul de numere reale ( )
xn n;,1 este mono ton (strict) descrescdtor daca
Xn ~xn+1 (xn >xn+I)' Vn~l.
Definitie. Sirul de numere reale (Xn tl este mdrginit inferior daca exists un numar
real (notat cu) m astfel meat m ~ xn
' Vn ~ 1.
Sirul de numere reale (Xn )."1 este mdrginit superior daca exista un numar real (notat
cu) M astfel incat xn ~ M, Vn ~ 1.
Daca sirul (xn tl este marginit atdt inferior cat si superior, spunem ca sirul este
margin it.
2. Progresii aritmetice
Definitie. Sirul de numere reale (an )."1 este 0 progresie aritmetica de rape r daca
an+1- an = r, Vn ~ 1 (adica diferenta oricaror doi termeni consecutivi este constanta).
Proprietati
1. an = al +(n-l)·r, Vn ~ 1. 2. a = an_I +an+1 '"' > 2
n 2 ' vn_ .
_n{al+an)_ n{n-l)
3.8n- 2 -nal+r 2 ,Vn~l,unde8n=al+a2+··.+an·
a -al
4. n=-n __ +l, Vn~l, r#O.
r
3. Progresii geometrice
Definilie. Sirul de numere reale nenule (bn tl este 0progresie geometricd de rape q daca
bn+1 = bn • q (adica raportul oricaror doi termeni consecutivi este constant).
Proprietati
1. bn = b. .«: Vn ~ 1
2. b; = bn_1·bn+p Vn ~ 2.
{
qn_l
bl--, q#l
3.8n= q-l ,unde8n=bl+b2+ ... +bn.
nb., q = 1
--- -------------------------- --------------------
Probleme propuse
1. Aratati ca sirul (an) >1 cu termenul general a = ~ este crescator.
ne: n n+3
Variante bacalaureat 2009
2. Aratati ca sirul (a ) de termen general a = n2
- n este strict monoton.
t· 'I n n~l' n
Variante bacalaureat 2009
3. Aratati ca sirurile urmatoare sunt monotone.
I I I
a) x =--+--+ ... +--, Vn~l
n n+I n+2 n+n
b) xn = J;+l-J;;, Vn ~ 1.
n I
c) »: = L ( )'Vn ~ I .
k=1 k k+I
4. Aratati ca sirurile urmatoare sunt marginite.
n I
a) xn = L ( )( )'Vn ~ 1.
k=1 k k+l k +Z
n 2k+I
b) xn = L 2' Vn ~ l.
k=1 e(k+l)
n k
c) Xn = Il-,Vn~I.
k=1 k+ 1
5. Fie progresia aritmetica (an to astfel meat as = 7 si a2l = 43 .
a) Determinati a13
•
b) Stabiliti daca numarul2015 este termen al progresiei?
c) Calculati suma T = a2 + as + as + ...+ a2012 •
6. Calculati suma primilor 20 de termeni ar progresiei aritmetice (an LI' stiind ca
a4 - a2 = 4 ~i al + ~ + as + a6 = 30. Variante bacalaureat 2009
7. Determinati xEIR stiind ca x, (x_l)2 si x+2 sunt in progresie aritmetica.
8. Determinati numarul real x stiind ca numerele x + 1, 1- x si 4 sunt in progresie
aritmetica.
9. Aflati a E IR pentru care numerele 20
-
1
, To
+
2
+ 1, 20
+
1
+ 1 sunt in progresie aritmetica.
Variante bacalaureat 2009
10. Calculati sumele.
a) 1+4+7+ +100; b) 2+6+10+ ... +2010;
c) 1+ 3 + 5 + + (2n + 3), n E N* ; d) 1+ 5+ 9 + ... + (4n - 3), n E N * .
11. Aratati ca suma primelor n numere naturale impare este un patrat perfect.
12. Se considera sirul (an LI. Stiind ca pentru orice n E N * are Ioc
al + a2 + ... + an = n2 + n , demonstrati ca sirul (an ).;'1 este 0 progresie aritmetica,
•..
~
1
IC(
V
~
~
egalitatea W
~
~
•
11
8. 13. Determinati numarul natural x din egalitatile:
a) 1+ 5+9+ + x = 231.
b) 1+3+5+ +x = 225.
c) x+(x+l)+ +(x+x) =45.
d) 2+5+8+ +x = 57.
Variante baca/aureat 2009
14. Determinati al zecelea termen al sirului xpx2,7,10,13, ...
15. Fie (an ).2c1
0 progresie aritmetica. Stiind ca Cl:J + al9 = 10, calculati a6 + a16·
Variante bacalaureat 2009
16. Se considera progresia aritmetica (an ).2c1
astfel incat a2 + a3 + al9 + a20= 8 . Calculati.
a) al +a2 + ...+a21; b) a2 +a4 + ...+a20.
17. Se considera progresia aritmetica (an tl ~i Sn suma primilor n termeni ai progresiei.
a) Daca al + a4 = 100, an_3 + an = 200 ~i Sn = 600, determinati n.
b) Daca S3n = 9Sn si a4 = 21, calculati al .
18. Aratati ca daca numerele reale a,b ~i C sunt in progresie aritmetica si progresie
geometries, atunci a = b = c .
19. Determinati a,b E JR stiind ca numerele 2,a,b sunt in progresie geometrica ~i 2,17,a
sunt in progresie aritmetica. Variante bacalaureat 2009
20. Fie a.b,c numere naturale in progresie geometries. Stiind ca a +b +c este un numar
par, aratati ca numerele a.b,c sunt pare. Variante bacalaureat 2009
21. Determinati x > 0 stiind ca numerele 1,x -1, x + 5 sunt in progresie geometrica.
22. Fie ecuatia x2 - 4x + a = 0, cu radacinile XI si x2. Determinati a E JR* stiind ca
XI'x2' 3x2 sunt in progresie geometries.
23. Fie ecuatia x2
+ ax + 2 = 0, cu radacinile XI si x2• Determinati a E JR stiind ca
XI' x2' x; sunt in progresie geometrica.
24. Determinati primul termen al sirului ao,apa2,4,8,16,32, ....
25. Determinati primul termen al progresiei geometrice cu termeni pozitivi bp6,b),24, ...
Variante bacalaureat 2009
1 1 1
26. Se considera numarul real s = 1+2+22+ ...+ 2100. Aratati ca s E (1; 2).
1 1 1 1 2
27. Aratati ca s = 1-
2+"4-8+"'+ 22012
>"3'
1 1 1 1 1 1
28. Fie a=I+
5+"'+510 si b=I-5+52"-53+"'-SU' Calculati [a]+[b], unde [x]
este partea intreaga a numarului real x.
29. Aratati ca, pentru orice X E IR este adevarata egalitatea
(1+ X +X2 +...+Xllt _Xii == (1+ X+X2 +...+xIO)(1 +x+ ... + X12) .
30. Calculati ratia progresiei geometrice (b') n2c
I cu termeni pozitivi, daca b, +b2 == 6 ~i
b) +b, == 24 . Examen Baca/aureat 201
1
31. Se considera progresia geometrica cu termeni pozitivi (bn ).~osi S; == bo +b, +...+bn,
astfel tncat b, -bo == 15 si b2 +bo == 5.
a) Determinati b2• b) Calculati S8'
32. Fie progresia aritmetica (an LI cu elemente numere naturale. Aratati ca ratia
progresiei este un numar natural.
33. Fie progresia geometries (bn
LI cu toate elementele numere naturale. Aratati ca ratia
progresiei este un numar natural.
34. Stiind cli doi termeni ai unei progresii geometrice sunt b) = 6 si bs == 24, determinati
termenul b., Model subiect MEeTS, Bacalaureat 2011
35. Se considera functia /: JR~ JR,lex) == x + 1 . Calculati suma
/(2)+ /(22)+ ...+ /(29
).
36. Se considers functia t :
JR~ JR,/ (x) == 3x + 1. Calculati sumele:
SI = /( (-3t)+ /((-3y)+ /( (_3)2)+ ...+ /(( -3YO)
S2= /(0)+ /(1)+ /(2)+ ...+ /(11).
37. Se considera functia J :JR~ JR,/ (x) == 5x -1. Calculati sumele
SI == /(0)- /(1)+ /(2)- /(3)+ ...+ /(50), S2= /(0)+ /(1)+ /(2)+ ...+ /(50) ~i
S3== /(2°)- /(i)+ /(22)- /(23
)+ ...+ /(2
9
).
•
13
9. Tema 1.3
Functli, Proprietati generale. Lecturi grafice
Fie A ~i B doua multimi nevide. Spunem ca I: A ~ Beste o functie daca fiecaru]
element x E A ii corespunde un unic element I(x) E B .
A se numeste domeniul functiei f, iar B se numeste eodomeniul functiei f Dona functii
sunt egale daca au acelasi domeniu, acelasi codomeniu si aceeasi lege de definitie.
Grafieul functiei f: A ~ Beste multimea GJ = {(x,f(x») I x E A} c A x B .
Imaginea functiei f: A ~ B sau (multimea valorilor functieifi este multimea
Imf = {y E B I 3.xE A, f(x) = Y} = {j(x) Ix E A}.
Observatii. 1. M(u, v) E GJ <=> feu) = v.
2. Functia identica a multimii zt este IA :A~A, IA(x)=x, 'v'xEA.
1. Operatii cu functii
Definitie. Fie D ~ JR 0 multime nevida si functiile f,g: D ~ JR. Atunci:
• suma functiilorj''si g este functia j" + g: D ~ JR,(f +g)(x) = f(x) + g(x);
• produsul functiilor j'si g este functiaf· g: D ~ JR,(f. g)(x) = f(x)· g(x);
• daca g(x);c 0, 'v'xED, cdtul functiilor hi g este functia f: D ~ JR (L)(x) = f(x) .
g g g(x)
Compunerea funqiilor. Fie f: A ~ B ~i g :B ~ C doua functii. Functia
gof:A~C, (go flex) = g(j(x») , 'v'XE A, se numeste eompunerea functiilor g ~if
Observatie. Compunerea functiilor este asociativa, dar nu este comutativa.
2. Monotonia functiilor
.
Definitie. Fie D ~ JR 0 multime nevida. Functia f: D ~ JR este monoton (strict)
crescdtoare daca pentru orice X,Y E D, x < y, avem f(x)::; fey) (f(x) < fey) ).
Functia f: D ~ JR este monoton (strict) descrescatoare daca x,y E D, x < y, avem
I(x) ~ fey) (f(x) > fey) ).
Observatii.
1 D f(x)-f(y)
. aca raportul de variatie RJ(x,y) >0, 'v'x,YED,x;cy, atunci
x-y
functia f este strict crescatoare, iar daca RJ ( x, y) < °,'v'x ;c y , atunci f este descrescatoare.
2. Compunerea a doua functii monotone, de aceeasi monotonie, este 0 functie
crescatoare; compunerea a doua functii monotone, de monotonii diferite, este 0 functie
descrescatoare.
3. Functii pare, impare, period ice.
Definitie. Fie D ~ JR 0 rnultirne nevida centrata in origine ('v'x ED<=> -x ED).
a. Functia f :D ~ JR este functie para daca I( -x) = I(x), 'v'XED.
b. Functia f: D ~ JR eeusfunctie imparii daca I(-x) = - I(x), 'v'x ED.
Proprietiiti .
1. Daca f: D ~ JR este 0 functie impara ~i °ED, atunci f(O) = °<=> 0(0,0) E GJ .
2. Suma f + g: D ~ JR a doua functii pare (impare) f,g: D ~ JR este tot 0 functie
para (impara). . ~ A Id.
3. ProdusuVcatul a doua functii pare/imp are este 0 functie para. ProdusuVcatu mtre 0
functie para si una impara este 0 functie impara. .
4. Compuncrea a doua functii pare/impare este 0 functie para. Compunerea dintre 0
functie para si una impara este 0 functie impara.
Definitie. Functia f :D ~ JR este periodica cu perioada T daca f(x+ T) = f(x) , pentru
orice xED pentru care x + TED. Cea mai mica perioada pozitiva (daca exista) se
numeste perioada principala.
4. Simetrii ale graficului unei functll
Definitie. Dreapta x = a este axa de simetrie pentru graficul functiei f: D ~ JR
daca f(a - x) = f(a +x), pentru orice XED astfel incat a - x, a + xED.
Punctul M (a, b) E xOy este eentru de simetrie pentru graficul functiei f: D ~ JR
daca f(a-x)+ f(a+x) = 2b, pentru orice xED astfel incat a-x, a+x ED.
Observatii. 1. Graficul unei functii pare este simetric fata de axa Oy.
2. Graficul unei functii impare este simetric fata de origine.
S. Functll injective, surjective, bijective, inversabile
Definitie. Functia f: A ~ Beste:
• injective daca pentru orice xl'x2 E A, XI ;c x2 avem f(xl);c f(xJ;
• surjectivd dad pentru orice y E B , exista x E A astfel incat f(x) = y;
• bijectiva daca este injective si surjectiva.
Definitie. Functia f: A ~ Beste inversabila daca exista 0 functie g: B ~ A astfel
incat go f = 1A ~i fog = lB. Notam g = r' si spunem ca r' este inversa functiei f
Observatii
1. Functia f :A ~ Beste injective daca ~inumai dad este indeplinita una din conditiile:
a. Pentru orice xl'x2 E A astfel incat f(xl) = f(x2) , rezulta XI = x2• i
b. Pentru orice y E B , ecuatia f(x) = yare eel mult 0 solutie x EA. I
2. Functia f: A ~ B e surjectiva daca si numai daca este indeplinita una din conditiile: ~
~
a.lmf=B. :::liE
1&.1
b. Pentru orice y E B , ecuatia f(x) = yare eel putin 0 solutie x EA. !;(
3. Functia f: A ~ Beste bijectiva daca oricarui element y E B ii corespunde un unic :::liE
element x E A astfel incat f(x) = y.
•
15
10. 4. Functia f· A ~ B t· b ·1- d .
t· es e tnversa I a aca i;ll numai daca este bijectiva. Inversa
functiei bijective f :A -'0. B t funetl·af-I
. B .
t' . ---, es e t . ~ A care indeplinei;lte propnetatea:
l(x)=y¢:>x=F1(y),unde xEA si YEB.
-------------------------------- -------------------
Probleme propuse
1. Aratat! eii ~ D U este perioada pentru functia I: JR~ JR, I (x) = {x} + {2x} .
2. Aratati eii ~ este perioada pentru functia I: JR~ JR, I(x) = {3x} .
3. Determinati cate 0 perioada pentru fiecare dintre functiile de mai jos.
a) I:JR~JR,J(x)={~}+{x}; b) g:JR~JR, g(x)={~}+{~}.
4. Determinati a E JR stiind cii functia I: JR ~ JR, I(x) = (1- a2) x + 4 este constants.
Bacalaureat 2011
5. Aratati ca functia I: JR~ JR, I(x) = 14x-81-214-2xl este constanta.
Variante bacalaureat 2009
6. Aratati ca functia I: [3, 8] ~ JR,J (x) = 1x - 81 + 13 - x 1 este constanta.
7. Aratati ca functia I: (0,+00) ~ JR, I (x)= [_x_J este constanta unde [a] este
x2
+1 '
partea intreaga a lui a.
8. Aratati ca functia I: (1,+00) ~ JR, I (x) = ~ este strict descrescatoare,
x-I
9. Se considera functiile I :JR ~ JR, I (x) = 2x -1 si TlJ) TlJ) ()
"I g :A ~ A, g X = X + a .
Determinati a E JR stiind ca log = g 0 I .
10. Se considera functia I: JR~ JR, I(x) = 1- 2x . Aratati ca functia 10 I 0 I este strict
descrescatoare. Variante bacalaureat 2009
11. Se considera functia I: JR ~ JR, I(x) = X4- X . Calculati (f 0 1)(0).
Examen Bacalaureat, iunie 2006
12. Determinati a E JR stiind cii functiile I: JR ~ JR, I(x) = Xl - 4x ~i g: JR ~ JR ,
g(x) = ax + 1 se intersecteaza intr-un punct pe axa Ox.
13. Pentru functia I:JR~JR,/(x)=Xl-4x+2 determinati eel mai mare element al
multimii A = {x E JR 1 I(x ) ~ 2} .
4. Se considera functia I: JR~ JR, I(x) = Xl -8x. Determinati suma eiementeior din
multimea A = {a E JR 1 I(a) = a}.
15. Aratati ea imaginea functiei f :R ~ lR, f (x) = ~ +x +
1 este intervalul [.!.,3J .
x -x+l 3
16. Determinati multimea valorilor functiei I: JR ~ JR., f (x) = Ixl·
Examen Bacalaureat, septembrie 2010
17. Se considera functiile I:JR.~JR., I(x)=x-I ~i g:JR.~JR., g(X)=X2. Determinati
imaginiie functiilor log si go I .
18. Se considers functia I: JR ~ JR,J (x) = +- si 1mI imaginea functiei f
x +1
a) Aratat! cii 1~ Im I .
. i functi ·1 1
b) Aratati ca cea mal mare va oare a cpei este"2.
Ar- . - 1 Im j"
c) atati ca -- E .
2
19. Aratati ca minimui functiei I: JR~ JR, I(x) = X4-2X2 este egal cu -1.
20. Se considers functia I: JR~ JR, I (x) = x
2
-1. Pentru 0 submultirne A a lui JR
defmim multimea rl
(A) = {x E JR 1 I(x) E A} . Determinati:
a) rl
({0,2}); b) rl
(3,+oo»); c) rl
([3,8J);
d) Determinati m e JR pentru care multimea r' ({m}) are un singur element.
21. Determinati m, n E JR stiind ca puncteie A(I, 0) si B(O, -I) apartin graficului functiei
I: JR~ JR, I(x) = Xl +mx+n.
22. Aratati cii urmatoarele functii sunt impare:
1 r+r
a) I: JR*~ JR, I(x) = Xl -- ; b) I: JR* ~ JR, I(x) = Xl + ;
X X
c) l:lR~JR,J(x)=ln(X+.JX2+1); d) 1:(-3,3)~JR,J(X)=ln(3-X).
3+x
Examen Bacalaureat, 2009, 2010
23. Aflati a E JR. pentru care functia I: JR~ JR, I (x) = x( e' +e-X) + a este impara,
24. Determinati a + b e JR pentru care functia I: JR~ lR, I(x) = X4+axl + 2X2+bx+ 1 este
functie para.
25. Fie I: JR ~ JR 0 functie para. Aratati ca/nu este injectiva.
26. Fie I: JR ~ JR 0 functie irnpara. Aratati ca originea axelor de coordonate apartine •.•
graficului functiei f :::E
I
27. Se considera functiile l,g:JR.~JR,J(x)=2x+1 si g(x)=ax+b. Determinati oct:
u
a, b E JR astfei incat log = IR . ~
:::E
28. Fie functia I: JR ~ JR,J(x) = 2x+l. Aratati cii f 0 I ~...o f,(x) = 2" x+2" -I, pentru ~
0(
:::E
n-ori
orice x E JR. si orice n E N* .
•
17
11. 29. a) Aratati ca functia I: lR~ lR, I (x) = x3
+X +1 este injectiva
b) Aratati ca functia I: lR~ R, I(x) = x3
- X + 1 nu este injectiva.
c) Verificati daca functia I: JR~ JR, I(x) = x2
+x+ 1 este injectiva,
d) Aratati ca functia I: N ~ N , I(x) = 3x + 1 nu este surjectiva.
Variante bacalaureat 2007,2008,2009
30. Aratati ca functia I: [1,+00) ~ [2, +00), I (x) = x +~ este inversabila.
x
Variante bacalaureal, 2008
31. Determinati inversa functiei bijective I: JR ~ (0, +00), I(x) = 22x-1 •
32. Determinati inversa functiei bijective I: (0,00) ~ (1,00), I(x) = x2 + X + 1,.
Variante bacalaureal, 2008
33. Fie g: JR ~ JR inversa functiei bijective I: JR ~ JR, I(x) = x3
+ 2x +3. Calculati
g(O) + g(3).
34. Aflati a E Z pentru care functia I: [1,+00) ~ [a, +00), I (x) = x2
+ 4x este surjectiva,
35. Aflati a E JR pentru care functia I: (--oo,a] ~ JR, I(x) = x2
-2x+2, este injectiva,
36. Fie I: JR ~ JR 0 functie bijectiva cu 1(1)= 2 ~i 1(1(1») = 4. Calculati r1 (4) .
Variante bacalaureal, februarie 2008
37. Se considera functia I: JR~ JR, I(x) = ax + b . Aratati di exista 0 infmitate de perechi
(a,b)EJRxJR pentrucare lol=IR'
Variante bacalaureat, 2009, enunt adaplal
38. Se considera 0 functie functia j": JR ~ R Notam H ={T ElRl l(x+T) = I(x)} .
a) Aratati ca daca T E H ,atunci - T E H .
b) Aratati ca daca I;, T2 E H , atunci I; + 7; E H .
Variante bacalaureal 2009, enunt adaptat
Tema 1.4
Functia de gradull. Func~ia de gradul alII-lea
1. Functia de gradull
Functia I: JR ~ JR., I(x) = ax + b (cu a, b e JR, a ~ 0 ), se numeste functie de gradulI.
Graficul functiei I: JR ~ JR, I(x) = ax+b este 0 dreapta de panta a.
Monotonia. Daca a> 0, atunci functiaj" este strict crescatoare,
Daca a < 0 , atunci functia f este strict descrescatoare.
_lL
a
x
Semnul fun tiei de gradul I
f(x) - sgn(a) 0 sgn(a)
2. Functia de gradul alII-lea
Functia f:JR~JR, f(x)=ax2+bx+c(cu a,b,cEJR,a~O), se nume~tefunclie de
gradul al II-lea.
Forma canonica, f(x) = ax' +bx+c = a[ (x+ ;a)2 - 4~2l'unde 11= b
2
-4ac.
semnul f~ ~ gradol al don ••
1. 11< 0 f(x) sgn(a)
Observatii
{
a>o
f(x) >0, VXEJR~
11<0
2. 11= 0
o sgn(a)
x --00
b
-2,;
{
a>o
f(x)~O, VXEJR~ 11:S;0
f(x) sgn(a)
x
{
a<o
f(x) <0, VXEJR~ 11<0
3.11 > 0
f(x) sgn(a) 0 - sgn(a) 0 sgn(a)
Graficul functiei f: JR ~ JR, f(x) = ax' +bx+c este 0 parabola de varf
v(-~ -~) axa de simetrie x = -~, care are ramurile orientate in sus daca a> 0 ~i
2a' 4a ' 2a
injos daca a < O.
Monotonia ~i punctele de extrem
b
+00
x --00 -2,;
1. a>O
f(x) ', _..A..
/'
4a
b
+00
X --00 -2,;
2. a<O
I(x) ? A ', a>O a<O
-4;
•
19
12. • Daca a> 0, min J = - 4~ , care se atinge in puncmj (de minim) x= - ;a .
Functiaj" este strict crescatoare pe [-!!..-, +ooJ si strict descr Xt ( ~ _!!..-J
2a esca oare pe ~, 2a .
• Daca a < 0, max 1
= -~ , care se atinge in punctul (de maxim) x = _!!..-.
4a 2a
Functia 1
este strict crescatoare pe [ - 2~ ,+00 ) si strict descrescatoare pe ( -00, - ;aJ .
. { b
~ +-Xi =-
Relatiile lui ViCte. Fie XI' x2 radacinile ecuatiei ax
2
+ bx + c = 0 . Atunci ca.
~-Xi =-
a
Observatii.
2 2 ()2 3 3 ( 3
1. XI +X2 = XI +X2 -2XIX2; XI +X2 = XI +X2) -3XIX2 (XI +X2).
2. Ecuatia de gradul al II-lea cu radacinile XI ~i x2
este x2
- sx + P = 0, unde
s = XI +x2 si P = XI .x2 .
-----------------------------------------------------
Probleme propuse
1. Determinati functia de gradul I al carei grafic trece prin punctele A(l, 2) ~i B(-1,0) .
2. Se considera functia 1
:
~
~~,
1
(x) = 2x + 1. Determinati functia
g: ~ ~~, g(x) = ax+ b stiind ca graficele functiilorl~i g sunt simetrice ~ata de: '
a) axa Ox; b) axa Oy; c) punctul 0(0,0).
3. Determinati functia 1
:
lR ~ lR stiind cii graficul sau ~i graficul functiei
g: lR ~~, g(x) = -3x+3 sunt simetrice fata de dreapta x = 1.
Variante bacalaureat 2009
4. Sa se determine a, b E ~ stiind ca functia 1: [1,3] ~ [a, b]' 1 (x) = -2x + 1 este
bijectiva.
S. Determinati a,b E ~ stiind ca functia 1: [1,4] ~ [1,7], l(x) = ax + b este bijectiva.
6. Determinati m E ~ astfel incat functia 1:~~ ~, l(x) = (m2 - 2h- 3 sa fie strict
descrescatoare. Variante bacalaureat 2009
7. Se considera functiile 1m :~ ~ ~, I; (X) = m -1 x +3 m E ~ {-I}
2m+2' .
a) Determinati m stiind ca functia I; este strict crescatoare.
b)Determinati m stiind ca A(1,O) E Gf~.
c) Determinati m stiind ca 1m(1) > t;(3) .
d)Determinati m stiind ca 1m (1) = 1m (3) .
8. Rezolvati in multimea nurnerelor reale ecuatiile:
a) Ix+ll = 21xl; b) IX2-41 = 3x;
c) Ix+ 21+ Ix2+ X - 21= 0 ; d) Ix- 31+ 14- xl = l.
Variante bacalaureat,jebruarie 2008
9. Rezolvati in multimea nurnerelor reale inecuatiile.
1 X x + 1 X2 - 16 (
a) -~2; b) -~-; c) ( ) >0; d) (x-2) x2-3x+2)~0.
x +I x+2 x-I X x+4
10. Rezolvati in multimea nurnerelor intregi inecuatiile.
a) 3X2-5x+2~0; b) _2X2+3x+5~0.; c) x4-5x2+4<0.
11. Rezolvati in multimea numerelor reale inecuatiile.
a) Ix-11 ~ 3 ; b) Ix-11 + Ix+ 11
~ 4 ; c) Ix
2
-11 < 1.
12. Rezolvati in multimea numerelor intregi inecuatiile.
a) Ix+21 ~ 1; b) 112-4xl s2Ix-31; c)lx+21+lx2 -41 s1.
13. Se considera functia 1:(0,00) ~ ~, 1(x) = x - 2m + 2 . Determinati m E ~ astfel incat
graficul functieij'sa nu intersecteze axa Ox. Variante bacalaureat 2009
14. Determinati toate functiile de gradul intiii 1:~~ ~ strict crescatoare care in-
deplinesc conditia (f 0 1)(x) = 4x +3, Vx E ~ . Variante bacalaureat,februarie 2008
1S. Determinati solutiile intregi ale inecuatiei x2
+ 2x - 8 < 0 .
16. Aratati ea solutiile ecuatiei x
2
+ 2x +-2 _1_ = 2 sunt irationale,
x +2x
17. Determinati valorile reale ale lui m pentru care dreapta x = 2 este axa de simetrie a
parabolei y = X2 + mx + 4 . Bacalaureat 2011
Bacalaureat 2010
18. Determinati multimea valorilor functiei 1:~~ R, l(x) = x
2
+ x+ 1.
Bacalaureat 2011-model subiect
19. Determinati multimea valorilor functiei 1:(0,00) ~ R, l(x) =~ -4x+1.
20. Se considera functia 1:~~R, 1(x) = x
2
- 2x + 2 .
a) Determinati imaginea functiei 10101 .
b) Determinati a E ~ stiind ea imaginea functiei g: (-00, a) ~ R, g(x) = l(x) este
intervalul [1,+00) .
c) Determinati m E ~ stiind ea l(m-x) = l(m+x), Vx E ~.
•..
21. Determinati m E ~ stiind ea varful parabolei y = X2 + (2m -1) X + m' + m este in ~
eadranulI. I
IC(
U
~
~
UoI
~
~
22. Determinati a E ~ stiind ea distanta de la viirful parabolei de ecuatie y = x2
+ 2x + a
la axa Ox este egala eu 1. Variante bacalaureat 2009
23. Determinati functia 1 de gradul al doilea daca 1 (-1) = 1,1 (0) = 1,1 (1)= 3.
Variante bacalaureat 2009
•
21
13. 24. Determinati a, b E IR stiind ea varful parabolei y = X2 +ax +b este V( 1,2) .
25. PunetuIV(2,3) este varful parabolei asoeiate functiei f:IR~IR, I(x)=.l+at+b.
Calculati 1(3). Bacalaureat 2011
26. Determinati a, b E JR stiind ell dreapta x = 2 este axa de simetrie pentru parabola
y = - x2
+ ax + b si ea punetul este M (1,2) apartine aceleiasi parabole.
27. Determinati m E JR stiind ea varful parabolei asociate functiei I :
JR~ JR,
I (x) = x2 + 2x + m2 se afla pe graficul functiei g: JR~ JR, g (x ) = X2 .
28. Se considera functiile 1m :JR~ JR,J; (X) = mx' - 2{m -I)x+ m + I, m e JR' .
a) Determinati m stiind ca graficul functiei j; nu intersecteaza axa Ox.
b) Determinati multimea valorilor functiei h.
c) Determinati imaginea functiei g: JR~ JR, g(x) = h (sin x) .
d) Determinati m stiind ca dreapta x = 2 este axa de simetrie pentru graficul functieij"
e) Determinati m stiind ca I(x) > 0, "ix E JR.
1) Determinati m stiind ca I(x) > 0, "ix > o.
29. Determinati m E JR pentru care ecuatia x2
- x + m' = 0 are doua solutii reale egale.
Bacalaureat 2010
30. Fie functiile I: JR~ JR,f(x) = 2x+a ~i g: JR~ JR,g(x) = x2 -a. Determinati
a E JR pentru care (f 0 g)(x) > 0, oricare ar fi x E JR. Bacalaureat 2010
31. Determinati a E JR pentru care graficul functiei I:JR~, I(x) =(a+l).l +3(a-l)x+a-l,
intersecteaza axa Ox ill doua puncte distincte.
Variante bacalaureat 2009
32. Se considera functia I: JR~ JR, I(x) = (a -1)x2
+ 2(a + I)x + a + 1 , a E IR .
a) Determinati a stiind ca ecuatia I(x) = 0 nu are nicio solutie.
b) Deterrninati a stiind ca inecuatia I(x) > 0 nu are nicio solutie.
c) Determinati a stiind ca graficul functieij este tangent axei Ox.
d) Determinati a stiind ca varful parabolei asociate graficului functiei I se afla pe
dreapta x = 2 .
33. Determinati a E JR astfel incat valoarea minima a functiei I :
JR~ JR,
I(x) = x2
+ (2a -1)x + a2 + 1 este egala cu 2.
34. Aflati a E JR pentru care functia I: (l,+<xl
) ~ JR, I (x) = x2 + (2a -1) x + a2 + 1 este
strict crescatoare.
35. Aflati aEJR pentru care functia 1:{~,2)~JR, l(x)=-x2+(2a+l)x+a2+1
este strict crescatoare.
36. Determinati mEJR astfel incdt radacinils XI ~i x2 ecuatiei .l +(2m+3)x+m+I=0
veri fica pe rand conditiile.
1 1 2 2 • .1 I I
a) -+-=1; b) Xi =x2, c) XI-X2 =1; d) xl+l=x2.
XI X2
37. Se considera ecuatia X2 - (2m -1)x + m -1 = 0, m E IR eu radacinile Xl si X2•
Determinati valoarea minima a expresiei X;X2 + Xl xi .
38. Se considera ecuatia x2
- (2m + l)x + m + 1= 0, m E IR eu radacinile XI ~i x2•
Detenninati m E JR stiind ca x~x2 = xlxi .
39. Determinati m E JRstiind cll radacinile ecuatiei x2
+ 2 (m -I) x + m -I = 0au sernne opuse.
40. Se considera ecuatia ax' + bx + c = 0 cu coeficienti reali si cu radacinile Xi ~i x2•
Aratati ca daca XI .x2 < 0 , atunci XI' x2 E JR si XI :I; x2 .
41. Aflati m E JR stiind ca {x E JRI x2 - X + m = O}n {x E JRI x
2
- 2x + m + 10 = O} :I; 0 .
42. Fie ecuatia x2 + 2x + a = 0 cu radacinile Xi si x2. Determinati a E Z stiind ca
xl·,a,x2 sunt ill progresie aritmetica.
x
Se considera functia I: JR~ JR,I (x) = -2- .
x +1
a) Determinati multimea valorilor functieij.
b) Determinati m e JR stiind ca I(x) < m, "ix E JR.
c) Determinati n E JR stiind ca I(x):?: n, "ix E JR.
44. Fie XI si x2 radacinile ecuatiei x2 + x -13 = 0 .
43.
a) Calculati x;.x; +~ X:z •
+X:z -12 +.x; -12
b) Calculati x;.x; + ~ X:z •
+2X:z
-13 +2.x;-13
c) Aratati ca S; = x~ + x; E Z, "in EN.
45. Fie XI si x2 radacinile ecuatiei x2 + x - 3 = O. Determinati a, b E JR stiind ca
~d~ . ·1 .. 2 b 0 I. 1
ra aCllll e ecuanei x + ax + = sunt - ~l -.
, Xl x2
46. Determinati 0 ecuatie de gradul al doilea cu coeficienti intregi care are 0 radacina
XI =1+J3.
47. Determinati numerele reale a si b stiind ca solutiile XI si X2 ale ecuatiei
x2 - ax + b = 0 veri fica relatiile XI + X2 = 3 si xlxi + X2X~ = 6 .
{
x+ y =3
48. Rezolvati sistemul ~ + Z. = ~ , unde X E JR,Y E JR.
Y X 2
{
2X+ y2 = 3
49. Rezolvati sistemul , unde X E JR,y E JR.
x2 +2x- / =2
•
23
14. Tema 1.5
Puteri ~i radicali. Ecuatii irationale
Functia f: JR~ JR,f(x) = x" , unde n E N, n ~ 2, se numeste functie putere.
Functia f: D ~ JR,f(x) = ~ , unde n E N, n ~ 2 , si D = JR daca n este impar,
respectiv D = [0, +00) daca n este par, se numeste functie radical de ordin n.
Functia radical de ordinul2 este f: [0,00) ~ JR,f(x) = Fx , iar functia radical de
ordinul 3 este f: JR~ JR,f(x) = ~ .
Proprietali
1. Functiile f,g: [0,00) ~ [0,00), f(x) = x2n si g(x) = 2~ , unde n E N*, sunt functii
bijective, fiecare fiind inversa ceIeilaite.
2. Functiile f,g: JR~ JR,f(x) = x2n+l ~i g(x) = 2n+rx, unde n E N*, sunt functii
bijective, fiecare fiind inversa celeilalte.
3. Functia putere de exponent impar este strict crescatoare pe JR. Functia putere de
exponent par este strict descrescatoare pe (-<Xl, 0] ~i strict crescatoare pe [0, +00) .
4. Functia radical de ordin impar este strict crescatoare pe JR.
Functia radical de ordin par este strict crescatoare pe [0, +00) .
5. Functia radical de ordin impar este convexa pe (-<Xl, 0] ~i concava pe [0, +00) .
Functia radical de ordin par este concava pe [0, +00) .
Proprietiili ale puterilor
Fie a,bEJR*, r,sEQ.
1. aO = 1 si l' = 1;
S
a' r+s
.~=a ;
a
2. a'· as = a'H; 3. (a. br= as .bS
; 4. (a' r= a"s ;
{
pentru a > 1 avem a' < as <=> r < S
bs' 7. ( )
pentru a E 0,1 avem a' < as <=> r > S .
as
Proprietiili ale radicalilor
Pentru a,bEJR si n,kEN, n,k~3 impare sau pentru aE[O,+oo), bE(O,+oo) ~i
n, kEN· numere pare, avem
1. fi =a', 3. n~ = ~ b*O' 4. ~ =nd:/.
Vb ifb" sia: ,
7. ~<ifb<=>a<b.
-------------------------------- -------------------
Probleme propuse
1. Ordonati crescator numere1e
a) .fi,:if4,~.
b) J3,~,~.
1 1 1
c) J3 -.Ji' J5 - J3 '17- J5 .
t: t: 41r .fi +J3 2.J6
d) -;3, -;2, ,,6, 2 ' J3 +.fi .
2. Aratali ca [ if,;]= 1, Vn EN, n ~ 2 , unde [a] este partea intreaga a numarului real a.
3. Aratati ca numarul a = ~7 + 4J3+ ~7 - 4J3 este numar natural.
Variante bacalaureat 2009
Variante bacalaureat 2009
Variante bacalaureat 2009
1 1'21'3
1
4. Fie x E JR astfel mcat x+- = 4. Calcu ap x +2" ~l x +3'
x x x
5. Fie functia f :JR~ JR, f (x) = x2
- 4x + 2 . Ordonati crescator numerele
f(I),/( .fi)'/(~).
6. Fie n E N {0,1} fixat. Determinati un numar a E JR {O;I} pentru care
~a~a~a ...J; EN.
~ n radica1i
7. Daca x=~5-a+~4+a, aE[-4,5], determinati in functie de x expresia
~5-a·~4+a .
8. Aratati ca ~2~2J2J2 E (1,2).
9. Aratati ca ~6~6~6 ...!if6 E (1,6), pentru orice n E N, n ~ 2.
10. Determinati a E Q daca ~ 21~ = 2Q .
. ~4
11. Aratati ca (.fi + 1)(ii + 1)(Vi+ 1)(1{[2 + 1) = ~ -1 .
po
==
I
..:(
U
~
==
Variante bacalaureat 2009 ~
c(
==
1 1 1 1
12.Aratati ca numarul ==r:+.fi J3 + J3 J4 + ... + ci: r.;;:;;, este natural.
1+-;2 2+ 3 3+ 4 -;99+-;100
13.Aratati ca numarul ~3-J29-12J5 -J5 este intreg.
•
2S
15. 14.Fie XElR astfel incat ~5-X+3~ .. ,~ 1~
V.j +x = 3 . Deterrninap V 5 - x .V 3 +x .
15.Numarul .JlOl seris sub fi a
D t
. . orm de fractie zecimala infinita este egal eu
e errrunap a2•
16.Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatiile.
II) .Jx+2 = x.
b) .Jx+l=x-5.
c) x+..{; = 6.
d) .Jx +1 = 1- 2x .
17.Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatiile.
II) .Jx2
- 2x + 1= x +1.
b) .J2x-l = x.
c) .Jx-l +.J2-x = 1.
d) .Jx+l=5-x.
e) I..{;-11= 2 .
Bacalaureat 2010
Variante bacalaureat 2009
Variante bacalaureat 2009
Variante bacalaureat 2009
Bacalaureat 2011
18.Rezolvati urmatoarele ecuatii:
II) .Jx + 4 + 2 .Jx - 4 =!.!..
.Jx-4 .Jx+4 3'
b) ~X+4 +2~X-4 =!.!..
x-4 x+4 3
19.Rezolvap urmatoarele ecuatii:
II) ~(x+2)(x+3) =.J12.
b) .Jx+2 ·.Jx+3 =.J12 .
20.Rezolvap in multimea numerelor reale ecuatiile.
II) ..{; + X + 1 = ~
x+l ..{; 2
b) .Jx2
+x -1 +.Jx2
+X+2 = 3.
c) _x_+ 2+..{; =!Q
2+..{; x 3
21.Rezolvati in multirnea numerelor reale ecuatiile,
II) ~x+l = 2
b) ~x-l=l-x.
c) ~1- x = 1+ x .
d) ~ x + 1= 1- 2x .
Variante bacalaureat 2009
Bacalaureat 1999
e:tolvati In multimea numerelor reale ecuatijle.
_)F+8 - 6~ = 1. Variante bacalaureat 2009
b) ~-6~-1 +J4x-3-4.Jx-l = 3. Variante bacalaureatJebruarie 2008
S
eonsiderafunetia f:[I,+oo)...-+lR, f(x)=Jx-2.Jx-1 +Jx+3-4.Jx-1 .
23. e
a) Rezo1vap eeuapa f (x) = 1.
b) Determinati m E lR stiind ca ecuatia f (x) = m admite eel putin 0 solutie reala.
14.S
e
eonsidera funetia f: [1,+00)"'-+ lR , f(x) = J x+ 2.Jx-I +Jx +3 +4.Jx-l .
II) Rezo1vati eeuatia f (x) = 3 .
b) Pentru m E [3, +00 ) , aratati ea ecuatia f (x ) = m admite 0 singura solutie reala.
ls.Rezo1vati in multimea numerelor reale ecuatiile.
II) .Jx +~ = 2.
b) Jx+I+Vx-3=2.
c) x +2' +Fx = 4 .
d) X+log2 x+fx = 2 .
e) .Jx +1+~ = 5 . Variante bacalaureatJebruarie 2008
26.Determinap pereehile (x, y) E lR2
pentru care x + y + 6 = 2.Jx -I + 4J y + 2 .
27.Rezolvap in multimea numerelor reale urmatoarele inecuatii.
II) .Jx+2 < x.
b) .Jx +2 ? x .
c) ~h_X2 z i. Variante bacalaureat 2009
•
27
16. Tema 1.6
Func~~a.~xponentiala ~i functia logaritmica.
Ecuatll ~I mecuatii exponentiate ~ilogaritmice
1.Logaritmi
Definitie. Fie a > 0, a * 1 ~i x » o. Unicul numar real y cu proprietatea aY:::: X se
numeste logaritmul numarului x in baza a si se noteaza logo x .
Cu alte cuvinte, logo x = y daca si numai dad! a" = x .
Observatii• 1. Daca a = 10, numarul log., x = 19x se numeste logaritmul zecimal al lui x.
2. Daca a = e ,numiirul loge x = In x se numeste logaritmul natural allui x.
Proprietiti1e logaritmilor
1. alogQx=x, Vx>O;
2. logo a" =X, VXEJR;
3. logo a = 1, Va> 0, a *1;
4. logo 1= 0, Va> 0, a * 1;
Operatii cu logaritmi
1. logox+logoy=logo(~)' Vx,y>O;
2. logo x-logo y = logo (;). Vx,y > 0;
Schimbarea bazei unui logaritm
1 ~gbx 1 In
1. ogax=-l--' Va,b,x>O, a.b e i ; Consecinti: log X= gx =---..::.
ogb a 0 19a In a .
2. logo b .log, C = log c Va b c > ° a b ..•.1.
a' " "..,-,
3. loga x" = ploga x, Vx> 0, Vp E JR;
1
4. logaP X = -loga x, vx » 0, Vp E JR*.
p
1
3. loga b =--, Va,b > 0, a,b * 1.
log, a
2. Funclia expcnentlala ~ifunctia logaritmica
Functia exponentiala de baza a (a> 0, a *1) este functia f: JR~ (0,00), f(x) = a' .
Functia logaritmica de baza a (a> 0, a *1) este functia g: (0,00) ~ JR,g(x) = log ax .
Proprietiti
1. F~c~iile exponentiala de baza a si logaritmica de baza a sunt functii bijective, fiecare
fiind mversa celeilalte.
2. Functiile ex~onentiala de baza a si logaritmica de baza a sunt functii strict crescatoare
daca a> 1 ~l strict descrescdtoare daca a E (0,1) .
3. Functia exponentiala de baza a este convexa pentru orice a E (0,1) u(1,(0) .
Functia logaritmica de baza a este concava daca a > 1 si convexa daca a E (0,1) .
------- --------------------------- -------------------
Probleme propuse
y.vati exemplu de numere a,b E N care indeplinesc .conditia ~ -l~g3 b E N* .
j.'oeterminati un triplet (a,b,c) E NxNxN care verifica conditia 2 < b < log, c.
2""" Calculati:
/"'." log2 10+ log, 6 -log2 15 ; b) log3I2 -Iog, 3 -log4 9 ;
c) logJ2 ifj-Iog, 2 ; /log2012 (tgx) + log2012
(ctgx), x E (0,1) ;
1 32· 1) 41+log23
. 6log,168
,log2 3·1og3 4· ... · og31' ..
4. Aratati ca:
a) log, 5 E (2,3) ;
c) 2 E ( log, 4,.J5) ;
b) 3 E (log, 9, 7logs 2) ;
d) ifj E (v'2, log, 27). Bacalaureat 2009. Variante MEdC
5. a) Exprima!i, in functie de a = log, 2, numiirul b = log1218.
b) Exprimati, in functie de a = log2o2, numarul b = logs 20 .
c) Exprimati, in functie de a = log, 5, numarul b = log., 45 .
d) Exprima!i, in functie de a = log, 3 ~i b = log, 5, numarul c = Iog, 60 .
~ Calculati sumele:
,IIf A = log, x+loga x2
+loga x3
+ ... +loga x", unde a,x > 0, a * 1, n E N*;
1b) B = In ~ + In 2rx + In 3$ + ...+ In n(n+'rx , unde x> °;
1 2 3 999
.Pf'"C = Ig"2 + 193"+ 194+ ... + 191000 ;
_ 1 1 1 n 2 *
d) D - + + ... + - --log2 10 , unde n EN.
Ig2·1g4 194·lg8 Ig2n ·lg2n+1 n+I
1 1 1
e) E= + + ... +-------
log21 + log, 2 + ...log2IO log31 + log, 2+ ...1og31O 19i + 192+ ...+ 19iO
7. Calculati suma S = [lg 1]+ [lg 2] + [lg3] + ...+ [lg10
2OO8
] .
Bacalaureat 2008. Variante MEdC
8. Fie a,b > °.Aratati ca au loc urmatoarele echivalente:
a) 19a + b = 19a + 19b ~ a2 + b2 = 7ab ; b) 19a + b = 19a + 19b ~ a = b ;
3 2 2 2
.11 2a+3b _lga+lgb a {I 9}. drll a+Sb _lga+lgb -3b
c) g-5-- 2 ~bE '4' v g 2J3 - 2 ~a- . i
Bacalaureat 2008 - 2009. Variante MEdC 1
>C(
9. Aflati domeniul maxim de definitie D al functiei f: D ~ JR, definita prin: ~
~
a) f(x) = log2 (2x - 4) ; b) f(x) = 19(x+ 1)+ 19(x-1) ; :E
w
c) f(x) = log, ..)I-x2 ; d) f(x) = logx+2(2-x); i
e) f(x) = log, (x2 -7 x + 12) ; 1) f(x) = loglxl(x
2
) ;
•
29
17. 10. a) Aratati ca functia f: (0,00) ---+ JR, f(x) = x+ log , 2x este injectiva.
b) Aratati ca functia f: (0,00) ---+ JR, f(x) = x - log, 2x
este injectiva,
11. Fie x E (0,1) u (1,(0) si numerele a, b,c > ° astfel incat log, a, log, b, log, c sunt in
progresie aritmetica. Aratati ca a, b, c sunt in progresie geometrica.
Bacalaureat 2003
12. Fie numerele a,b,c,xE(O,I)u(l,oo) astfel incat logax, log, X, loge X sunt in
progresie aritmetica. Aratati ca 1+ loge a = 210gb a .
13. Fie numerele distincte a,b,c E (0,00) {I} in progresie geometrica. Aratati ca are loc
log x-log X log, x-loge x
egalitatea a b = ,pentru orice x E (0,00) {I}.
log, X loge x
14. Rezolvati ecuatiile:
a) 24x+1= 512;
c) (0,25)4-x = 32 ;
b) 73-lxJ = 49 ;
d) 3x-..[; = 9 ;
( r;:;)4+X-x2 3r;:;;;
J) ...,3 =,,27.
15. Rezolvati in multi mea numerelor reale ecuatiile:
2
a) 4x -5x+6 = 16x; b) 2x .4x+1 .8H2 = 16x+3.,
c) (~JHI
.m=%;
(
4)X (125)X-1 5
e) - '-
25 8 2'
625
81
16. Rezolvati ecuatiile:
a) 2x +4x =20;
c) 5x
+ 5-x
= 2 ;
e) 22x+1+ 2x+2 = 160 .
,
g) 3
2x
+
1
-10· y+1 + 27 = °; h) 2
x
+ 16· T
X
= 10. Bacalaureat 2009, Variante MEdC
17. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatiile:
a) (2--J3t = (7 + 4-J3fx ; b) (v'2+IY +(v'2-IY =6.
18. a) Aratati ca, pentru orice numar real x, numerele 2x
, 4x, 8x sunt termeni consecutivi
ai unei progresii geometrice.
b) Aratati ca exista un unic numar real x pentru care numerele 2x, 4 8x sunt termeni
consecutivi ai unei progresii aritmetice.
19. Determinati x E lR pentru care numerele 32x-1, 9x _ 3 . 3x
~ ~I + 6 sunt termeni
consecutivi ai unei progresii aritmetice. "t
20. Rezolvati ecuatiile:
a) log2 bx2 -x-2) = 3;
c) log2 (3x-2)+log2 (x+2) = 4;
b) 9x
_3x = 72;
d) 16x
-3·4x
= 4;
J) 22x - 3· 2x+1+ 8 = °;
b) 10gHI (x2 -3x+ I) = 1;
d) logH2 (2x2 + 5x + 2) = 2 .
b) log2 [4 -log3(X+3)] = 1;
d) logs(x+ 1)- 210gs(3x-7) = -1;
j) 1+ log2(x+ 1)= log2 (x+ 2) ;
h) log2 x+log.,J2 x+ log~ x = 14.
Bacalaureat 2009, Variante MEdC
22. Rezolvati urmatoarele ecuatii in multimea numerelor reale:
a) 210g3 (9x) - 310g27 x = 6 ; b) logx(9x) + log, x = 4;
c) log9(2x + 10) ·logx+l 3 = I; d) log~ (2x) + 310g2 (4x) = 13 ;
e) Ig2 x - 51gx + 6 = °; j) 41g
4
x -10 Ig2 x
2
+ 36 = °;
g) log, (9x -6) = x; h) log2 (9x + 7) = 2+ log2 (3x + I).
21. Rezolvati ecuatiile:
a) log2 (10g3(logs x») = 0;
c) 10g3(2x2 + 1) -log3 (x + I) = 1 ;
e) log, (x +4) + log, (2x -1) = log, (20 - x);
g) log2(x+I)+log4(x+I)+log8(x+l) = 22;
23. Aflati numerele reale x> 2 pentru care numerele log2(x-2), log, x si log2(x+4)
sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
24. Se considera numerele reale a,x E (0,00), a *1. Demonstrati ca;
log 2 x + log 23 X + log J.4 X + ...+ log n(n+1) X = _n_loga x , pentru orice n E N* .
a a a a n+1
25. Rezolvati urmatoarele ecuatii in multimea numerelor reale:
a) (3x)1+1og3x=81; b) X1og2(4x)=8;
2
d) 101og2
x = 21og2
x;
j) logv'll (x + 1- v'x + 2) = 2 ;
c) 310g1oox100 = 4 log lOx 10 ;
e) log3(5-x)+210g3 v'3-x = 1;
26. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia
log2 (£+v'x+ 2)+ 210g4 (v'x+2 -£) = log2 x.
• Fie a E (1,00) un numar real flXat. Se considera expresia
E(x)=~loga~+logx~+ 10ga~+IOgx~ ,unde xE(I,oo).
a) Verificati egalitatea E(a) = 1.
{
~IOga x, daca x > a
b) Aratati ca E(x) = .
~logx a, daca x E (l,a)
c) Rezolvati ecuatia E(x) = a .
•
31
18. Tema 1.7
Numere complexe
C = {Z = x + iy Ix, Y E 1R},unde i
2
= -I , este multimea numerelor complexe.
Dad! Z = x + iy , unde x, y E 1R, numerele reale x ~i y se numesc partea reala i
. .. ~
respectiv partea imaginara a numarului complex z; notam x = Rez, y = Irnz .
Elementele rnultimii ilR* = {iy/ y E IR {O} } se numesc numere pur imaginare,
Modulul unui numar complex z = x + iy este numarul real Iz 1=~ x2 + l .
Proprietati: 1. Iz I~ 0, fz E C; Iz 1= 0 ¢::> z = O.
2. IZl .Z2 I= IZl 1·1Z2 I,fzl' Z2 E C .
3. IZl + z2 I:<:; IZl I+ Iz2 I,f Zl,Z2 E C .
Conjugatul unui numar complex Z = x + iy este numarul complex ; = x - iy .
Proprietati: 1. Zl +z2 = ~ +z2' fzl,z2 E C; 3. Izi = 1;1, fz E C;
2. Zl .Z2 = Zl .Z2' f Zl,Z2 E C ; 4. z·; = I Z 1
2, f Z E C .
Observatii. 1. Z E IR daca si numai daca z = Z •
2. Z E ilR* daca si numai daca z = -z. '
1. Forma trigonometrica a unui numar complex
Pentru orice numar complex nenul Z = x + iy exista si sunt unice numerele reale
si qJE [0, 21l") astfel incat Z = r( cos qJ+ isin qJ).
r>O
Avem r = IZ 1=~ x
2
+ y2 si qJ= arctg (-; ) + kst , unde k = {~, :::: : : ~ si y ~ 0 .
2, daca x > 0 ~iy < 0
Daca x = 0 si y > 0 ,atunci qJ= ; ; daca x = 0 si y < 0 , atunci qJ= 3; .
. Operatii cu numere complexe scrise sub forma trigonometrica
FIe Z = r(COSqJ+isinm) _ ( ..) .
-r , ZI - 'i COSqJl
+z sm e, ,Z2 = r2(cos qJ2+iSInqJ2)' Atunci:
1. ZIz2 = 'ir2 ( cos( qJl+ qJ2)+ i sineqJl+ qJ2)); 2. z" = r" (COS
rup + i sin nqJ) ;
3• .!. =.!.( cos( ) ., ( ») ZI r:
Z r -qJ +ISIn -qJ; 4. -=--.L.(cos(qJl-qJ2)+isin(qJ -qJ »).
z2 r2
I 2
Fie n E!~ n > 2 R ~d~ . 'L d di I
' - . a acini e e or. InU n ale numarului complex Z = r(cOSqJ+isinqJ)
sunt Zk =~(cosqJ+2k;r .' qJ+2k7r) _ ~ ~ ..
n + I SIn n ' k - 0, I,...,n -I. Radaclmle de ordinul n ale
unitiitii fonneaza multimea U = {z E dzn
= I} = {cos 2k7r +i . 2k7r/
k
}
t n Ism -- = 0 1 n -I
n n ' ,..., .
2. Aplicatii ale numerelor complexe in geometrie
~ 1. Formula distantei dintre doua puncte: MN = IZ M - Z N I .
~. Patrulaterul ABCD este paralelogram daca si numai daca ZA + Zc = ZB + ZD •
~3. Fie punctele 0(0), A(a), B(b), C(c), D(d) in planul xOy. Atunci:
-- b -- c-a - d-c
a. m(AOB) = arg- ; b. m(BAC) = arg--; c. m(AB, CD) = arg-- ;
a b+a b-a
d-c d-c
d. AB IICD ¢::> -- E 1R*; e. AB 1- CD ¢::> -- E ilR* ;
b-a b-a
f. A, B, C sunt coliniare dad! si numai daca b - a E 1R*;
c-a
D . I' I" da b-a b-d llU
g• A, B, C, sunt concic Ice sau co miare ca --: -- Ea.
c-a c-d
A4. Fie A(a), B(b), C(c), A'(d), B'(b'), C'(c'). Atunci:
a. Triunghiurile la fel orientate ABC si A'B'C' sunt asemenea daca b'-a' = b -a.
c'-a' c-a
. hiurile i . ABC' A'B'C' d b'-a' b-a
b. Tnung lUn e myers onentate ~I sunt asemenea aca -- = =--= .
c'-a' c-a
Observatie. Triunghiul ABC este pozitiv orientat daca sensul A-B-C, parcurs pe
cercul circumscris triunghiului ABC, coincide cu sensul direct trigonometric. in caz contrar
triunghiul ABC este negativ orientat.
AS. Fie R'J.t rotatia de centru M si ungbi u, Consideram punctele A(a), B(b), C(c). Atunci:
a. Daca B=R~(A),atunci b=a(cosa+isina).
b. Daca C = R~ (B) , atunci c- a = (b -a)(cosa + isina) .
Probleme propuse
YCalculati:
aYi .p .p .....ilO
; ~ 1+ i + P + ... + i10
;
~ (1- i)(1 + 20 - 3(2- 0 ; )fr(2 + i)(3 - 2i) - (1- 2i)(2 - 0 ;
»(l_i)(I_P)(I_P) ...(I_i2OO8); 'y2+i)4 +(2_i)4;
11) (1- 2i)(3i _1»)4. laY~ +~ .
~ 5' ~ 4+~ 4-~'
Bacalaureat 2007 - 2009, variante MEdCT
/- Demonstrati ca:
~
25 25
u) --+--EZ'
4+3i 4-3i '
r:i,fiY +(3-i.fif E Z;
( )
2008
? e) cos 7r + isin 7r E IR ;
, 4 4
•..
~
~
+3i 1-3i lll>. I
--+--E~, 101(
1-3i 1+3i v
/ (I + i)2008+(1_0
2008
EN; i
~(I + i)2008+ (1- i)2008EN; ~
Bacalaureat 2008 - 2009, variante MEdCT •
33
19. 7~) Determinati x, y E lR stiind ell x(l + 2 o
l7" I +y(2 - i) = 4 +3i .
b) Determinap numereJe reale a pentru care ~
2
E lR.
+ai
c) Aflati a E lR pentru care numarul Z = 1 2
(1) are partea reala egala cu -.
a +i + 1-2i 5
/. Baca/aureat 2008 - 2009, variante MEdeT
,;4. f Determinati numerele comple~e z care veri fica relatia Z + 7i = 6· ~ .
~
"Dt .. "... iind z+11
'/ e errrunap Z E Il.- stun ca -- = _ .
z+3 2
~ Determinati numerele complexe z care verifica relatia 2~+ z = 3+ 4i .
Baca/aureat 2008, variante MEdeT
~ aFie z E C . Aratati ca daca 2z +3~ E lR , atunci Z E lR .
~Fie Z E C . Aratali ca daca Z2 +~2 ~ 21z12, atunci Z E lR.
Baca/aureat 2009, variante MEdeT
I?J . Z2 4
~ a) Calculati 16+-; , stiind ca Z este solutie a ecuatiei Z2 - 4z + 16 = O.
. Z5 27
b) Calculati 27 - -; , stiind ca z este solutie a ecuatiei z2 +3z + 9 = 0 .
c) Calculati z2 - ~ , unde z este solutie a ecuatiei z2 + 2z +4 = 0 .
z
t:~tat~ c~ dac~ z E C~ ver~fica relatia Z2 +Izl2 +~2 = 0, atunci z2010= ~2010 .
~ atati ca daca z E C verifica relatia Z2 -lzl2 + Z2
= 0, atunci Z2010= ~2010 .
~ Anitati ca daca Z E C' verifica relatia z+;~ = 0 • atunci (1:1J=-1.
" Deterrninar] numerele complexe z care veri fica egalitatea:
a) z2 = i~ . b) -2 .
..,' ,/Z=IZ.
~Rez~lva!i In rnultimea numerelor complexe ecuatiile:
a) Z + 100 = 0 ; b) z2 = 2i .
2 '
c) z - 4z + 5 = 0 ; d) z2 - 8z + 25 = 0 .
,
e) Z4+8z2-9=0' j) (Z+I)3 (Z+I)2 z+1
, + -- +--+1=0'
z-1 z-1 z-1 '
g) z2 - (1+ i)z + i = 0 ; h) iZ2 + (3 + i)z + 2 - 2i = 0 .
..I
..,
II:
E
;)
:l
.:
.5
~
)
i
;
Baca/aureat 2008 - 2009, variante MEdeT
') 1O. Aratati ca, daca e este solutie a ecuatiei x2 +x + 1= 0 atunci tru ori
2 ' nCI, pen once a,b,c E lR
are loc egalitatea (a + be + ce )(a + be2 + ce) ~ O.
('11. Aratati ca daca OJ este solutie a ecuatiei x
2
- x + 1= 0 , atunci, pentru orice a, b, c E lR
• relOCegalitatea (a-bOJ+cOJ2)(a+ba/-cOJ)~O.
~ Demonstrap ca 2 Re a :5; lal2
, unde a este solutie a ecuatiei x2
- 2ax + a
2
+ 1= 0 ,
aElR.
Ja) Demonstrati ca daca a E lR ~i a > ~ , atunci solutiile ecuatiei ax
2
- (2a -1)x + a = 0
au modulul 1.
b) Demonstrap ca daca a E lR si lal < 2, atunci solutiile ecuatiei x2
- ax + 1= 0 au
modulul egal cu 1 .
@. Determinati modulele solutiilor ecuatiei 2009x2 - 2 .2008x + 2009 = 0 .
WDeterminap argumentul redus al numerelor complexe nenule z care veri fica relatia:
a) z+~=lzl; b) 1~-il=lz-lI;
c) Iz- il = Iz-11 ; d) z2 = -2i .
tJ. Demonstrati ca oricare ar fi z E C* imaginile geometrice ale numerelor complexe
}' 0, z, ~ si z +~ sunt varfurile unui romb.
~o~:trat~ ~: +.ar ~ Z E ~* ~ imaginile geometrice ale numerelor complexe
z, tz, I Z ~I I Z sunt varfurile unui patrat.
Dernonstrati ca imaginile geometrice ale solutiilor ecuatiei x3
= 1 sunt viirfurile unui
• triunghi echilateral.
~ ~emonstrati ca:
/1'- a) imaginile geometrice ale numerelor complexe Z care veri fica relatia (z + i~)4 = 0
.• sunt situate pe dreapta de ecuatie x + y = 0 .
b) imaginile geometrice ale numerelor complexe z care veri fica relatia (z - i~t= 0
sunt situate pe dreapta de ecuatie x - y = 0 .
astfel incat Izi= 1, atunci Z2009 + 2~ ~ 2 .
z
b) Aratati ca daca z E C astfel Inciit Izl= 1, atunci Iz2OO9 - z2~ 1 ~ 2 .
c) Aratati ca pentru orice z E C are loc relatia (Z2009 _ ;2009) (~2oo9 + i2OO9
) ~ 0 .
Demonstrati ca pentru orice z E Care loc relatia I;-~I
:5; 2 .
F· 1Tb{(2k) I k 'll}' l-cosa-isina Ar~ . ~ R 0
ie a E ~ + 1 rc E a- ~l Z = ..' atatl ca e z = .
1+cos a + I Sill a
. ( 1+ i tg ip In 1+ i tg nip . {
• Aratati ca = , oncare ar fi n E Z si ip E lR qrc I q E Q} .
1-i tg ip 1- i tg nip
3S
20. ----------------------------------,---:O:b:s:e:N:a:t:~~.;F~AO~~~n~~~BO~~~m~~~A~:
-t Tema 1.8 and functiilor injective f: A ~ Beste egal cu A;;,.
1. Daca n ~ m , num t' _ 1
_ arul functi ilor bijective f: A ~ Beste egal cu Pn - n..
. ." Daca m - n , num t' . a f .A ~ B
Metode de numarare. Elemente de combinatorica. •.. . amI functiilor strict crescatoare/descresc toare .
3. Daca A, B c IR f?l n ~ m , num t
Matematici financiare
este egal cu C;.
1. Probleme de numirare
Pentru orice n E N* se noteaza cu n! = 1· 2 ..... n si O!= 1.
Numarul submultimiJorunei multimi finite cu n elemente este 2
n
•
Regula sumei. Daca un obieet A poate fi ales in m moduri, iar un obiect B poate fi
ales in n moduri, astfel tncat nieio alegere a lui A sa nu coincida eu vreo alegere a lui B,
atunei alegerea .Jui A sau B " poate fi realizata in m + n moduri.
Regula produsului. Daca un obiect A poate fi ales in m moduri, iar pentru fieeare
astfel de alegere, un obiect B se poate alege in n moduri, atunci alegerea pereehii (A,B)
poate fi realizata in m- n moduri.
Principiul incJuderii ~i excJuderii. card( A uB) = card A + card B - card( A nB) .
ii:l 2. Elemente de combinatorici
Ie
E 0 submultime ordonatii cu k elemente a multimii A este un k-uplet
~ (Xl,X2, ••• ,Xk) E ~, in care Xi:l=Xj, pentru orice i,j = l,k, i:l=j .
~ k-ori
•
5 Permutari. Fie A = {aI' a2, •.. , an} 0 multime cu n elemente. 0 permutare a multimii A
E
! este 0 multime ordonata formam cu cele n elemente ale multimii A. Orice functie bijective
, f :A ~ A defineste 0 permutare a multimii A.
i
Nurnarul permutarilor unei multimi cu n elemente este p" = n! ipermutari de n). Prin
conventie, Po = 1 .
Aranjamente. Numarul submultimilor ordonate cu k elemente dintr-o multime cu n
elemente este A! = _n_!_ = n- (n -1)· ....(n - k + 1) (aranjamente de n luate elite k).
(n-k)!
Combinari. Numarul submultimilor cu k elemente dintr-o multime eu n elemente este
c: = n! _ n·(n-l)· ... ·(n-k+l)
---- - (combinari de n luate elite k).
n k!.(n -k)! k!
Proprietati
1.Formula combinarilor complementare: C:= C;-k ;
2. Formula de recurenta pentru combinari: c:+ Ck+1 = Ck+1
tu . n n n+l
3. c~+ c!+ ...+ C; = 2n
• 4. C~ + C~ + C: +...= c!+ c;+ C; + ...= 2n
-
1
.
Ck Ck+1
s. ic: = Ck-l 6 _n__ ~
n n n-I' • k + 1 - n + 1 .
3. Binomullui Newton . *
nOn cl n-Ibl + + ck an-k bk + ...+ cnb" , pentru orice a, b E IC f?l n EN.
(a+b) =Cna + na .., n n
1 Dezvoltarea binomials are n + 1 termeni.
• ~ .. 1', - Ck n=k bk (termenul de rang k +1)
2. Termenul general al dezvoltarii este k+1 - na
3. C: se numeste eoeficientul binomial al termenului Tk+l•
-------------------------------------------------
----
Probleme propuse
n!+(n+l)! _~
~eterminati n E N pentru care (n -1)!+ n! - 4 .
n!+(n+l)! < 4
,Determinap n E N pentru care (n -I)! - 2 .
!Determinap X E N, x ~ 3 astfel incat Cix-3 = 3.
~Determinap x E N, x ~ 2 astfel incat C; + A; = 30.
/ fDelennina~ nEli, n' 2 astfel incat C; +~ = 18.
q 6. Aratati ca (20!)2 divide numarul 40!
• 2
/
• Rezolvati in multimea numerelor intregi inecuatia C:n+5 > 10 . . 2008
t' Variante bacalaureat,
. ~ Cn 4
• a) Rezolvati ecuatia .4;;+2 + n2 = .
b) Determinati x E N astfel meat Ci~~2 = 3.
Variante bacalaureat 2009
Variante bacalaureat, 2008
-: 10 II Cl2 C13 C
l3
/ 9. Calculati Cl5 + Cl5 + 16 + 17 - 18'
100 CIOI CI02
1 .---- . C2011 +2 2011 + 2011
-+'rOo Calculati CI02 .
• 2013
}1: Aratati ca C;+b = C!+b' pentru oricare a,b E N*.
..:I . ~ CIOO CI912
. ,(2. Aratati ca 2012 < 2013'
/-
•
37
21. ~alculati C,oo- C,20+ c,ri - C,~+ C,80
- c,'g .
.• .; •. ltJ> C0,-,2 4 6 8 C'O 2X
....-. Determinati X E ~ pentru care 10 + L-,o + CIO
+ C, 0 + C
IO
+ '0 = .
)B:" Determinati n stiind ca C~ + C~ + C; +...= 1024 . z:--;,.4..q(J~" (a.-",)II>-
•
•••.~ . C,ooo+ C,'oo + C,~ + ...+ c,':
~Vu.
Calculati 0 2 4 '00 .
, c'oo + c'oo + c'oo +...+ c'oo
~ Determinati termenul care nu ncontine pe X din dezvoltarea ( if;+ lJOO
( •18. Fie aE R' . Aflati tennenul care-l contine pe a' din dezvoltarea (a' + J.;J
Variante bacalaureat 2009
• Determinati x stiind ca suma dintre termenii al treilea ~i al patrulea din dezvoltarea
(2x -1 Y sa fie 20· 2
X
• Variante bacalaureat, februarie 2008
• Determinati numarul termenilor rationali din dezvoltarea (.fi +ifi)'oo .
~ 21. Calculati sumele:
CI: CO 2C' 22 C2 22n+' C2n+'
i a) 2n+' - 2n+' + 2n+' - ... - 2n+' .
5 b) C~o +3cio +3
2
C;o + ... +320C;g.
c) C,oo+S2Cl~ + ... +S,oc,'g .
...:
.
IS:
oJ
~ 22. Din cei 18 baieti ~i II fete aflati intr-o clasa se alege 0 echipa de 7 elevi.
:> a) Determinati in cate rnoduri se poate alege aceasta echipa.
~ b) Determinati care este numarul de echipe care se poate forma stiind ca sunt 4 baieti.
; 23. Determinati nurnarul de segmente orientate cu extremitatils in varfurile unui poligon
~ convex cu 100 de laturi.
2~
~ ~ Aflati numarul de submultuni ale multimii {I,2, 3, ...,18} care contin elernentul "1".
~
r 25. Determinati probabilitatea ca alegand 0 functie I: {1,2,3} ~ {1,2,3,4,S} aceasta sa
)
I fie strict crescatoare.
~
.
C
!
i
••
i
26. Determinati probabilitatea ca, alegand 0 functie I :
{o,I, 2, 3} ~ {o,1,2, 3} , aceasta sa
indeplineaseg proprietatea 1(0) +1(1)+1(2) + 1(3) = 1.
27. Determinati probabilitatea ca, alegand 0 functie I: {1,2,3,4,S} ~ {1,2}, aceasta sa
fie surjectiva.
28. Un elev se joaca cu cifrele I, 2, 3, 4 si cu literele a, b, c, d, e,J, formand "cuvinte" CU
S astfel de sernne diferite (cifre sau litere) intr-o ordine oarecare.
a) Cate "cuvinte" poate forma elevul?
b) Cate .cuvinte" se pot forma astfel incat prirnele doua sernne sa fie cifre?
c) Cate astfel de "cuvinte" poate forma elevul astfel incat sa foloseasca numai litere?
29. a) Aflati nurniirul de submultimi cu 3 elernente ale multimii A = {I,2, ...,8}.
. h numarul elernentelor unei multimi care are 45 de submultirni cu exact
J)eterrDlnat,
doulel~ment~* pentru care multimea A={1,2, ...,n} are 35 de submultimi cu exact
c) Aflal1 n E ""
ueielemente. . A _ {O 1 2 9}. Determinati numarul submultirnilor multimii A
da mulpmea - ", ..., ,
d) Se di tr care exact doua sunt numere pare .
care au S elemente, in e Variante bacalaureat 2009
d trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 2, 4, 6 sau 8?
30 II) Cate numere de atru cifre distincte se pot forma cu cifrele 1,3, S, 7 sau 9?
• b) Cate nurnere de p tru ifre nu neaparat distincte, se pot forma cu cifrele 1,3, S, 7, 9?
c) Cate nurnere e pa c , Variante bacalaureat 2009
Aflati numiirul functiilor I: {1,2,3,4} ~ {1,2,3,4} cu p~op~etate~ 1(1)= 1(4).
31.II) . ~ 1 functiilor I· {O 1 2} ~ {2 3 4} care venfica relatia 1(2) = 2.
b) Aflap nurnaru , ., , , , .
. ~ I functiilor I· {O 1 2 3} ~ {0,1,2,3} cu propnetatea 1(0) = 1(1)= 2.
c) Aflall numaru t· ., , , .
d) Aflati numarul functiilor I: {O,I, 2,3,4} ~ {0,1,2,3,4} cu propnetatea 1(1)~=1 .
e) Aflati numarul functiilor I: {1,2,3} ~ {1,2,3,4} pentru care 1(1) este numar par.
j) Aflati numarul functiilor strict monotone I: {1,2,3} ~ {1,2,3,4,S} .
Variante bacalaureat 2009
32.II) Determinati probabilitatea ca, alegand un numar din multimea numerelor naturale de
doua cifre acesta sa fie patrat perfect.
b) Deterrninati probabilitatea ca, ale~and un nurnar din multimea numerelor naturale de
trei cifre, acesta sa aiba exact doua cifre egale. . .
c) Calculati probabilitatea ca, alegand un numar din multimea numerelor naturale de
doua cifre acesta sa aiba suma cifrelor egala cu 4.
d) Calculati probabilitatea ca, alegand trei cifre din multimea {0,1,2, ...,9}, acestea sa
fie toate pare. . . tur I
e) Determinati probabilitatea ca, alegand un numar dill pnmele 40 de numere na a e
nenule, acesta sa nu con tina cifra 7. . .
j) Deterrninati probabilitatea ca, alegand un numar din pnmele 30 de numere naturale
nenule, acesta sa contina cifra I. .
g) Se considera multimea A = {1,2,3,4,S,6}. Alegem la intamplare 0 submultime
nevida B a lui A. Determinati probabilitatea ca B sa aiba toate elementele irnpare.
Variante bacalaureat 2009
33. Calculati probabilitatea ca, alegand un element din multimea {J;z In EN, n < 100} ,
acesta sa fie numar rational,
34. Se considers multimea A = {1,2,3,4,S,6}. Calculati probabilitatea ca, alegand 0 i
pereche (a,b) din produsul cartezian A x A, produsul numerelor a si b sa fie par. I
>C(
u
~
:::E
w
~
:::E
•
39
22. Tema 1.9
Vectori in plan. Geometrie vectortala.
Geometrie analitica
1.Vectori in plan
Regula paralelogramului: in paralelogramul ABCD avem AB + AD = AC .
Regula triunghiului. in triunghiul ABC avem AB + BC = AC .
Consecinta AB = OB - OA , pentru orice punct 0 din plan.
Inmultirea vedorilor cu scalar. Pentru ~ un vector oarecare din plan si pentru un
numAr real k, k~ este un vector cu aceeasi directie ca si ~, de modul egal cu Ik 1·1~ I ~i
care are acelasi sens cu ~ pentru k > 0 si sens opus lui ~ ,pentru k < 0 .
Teorema medianei (forma vectoriala). Punctul M este mijlocul segmentului [AB]
daca si numai daca, pentru orice punct 0 din plan, avem OA + OB = 20M.
Pundul care imparte un segment intr-un raport dat. Pentru un punct M E AB
--- --l-k-
astfel incat MA = kMB , avem OM = --OA ---OB pentru orice punct 0 din plan
l-k l-k ' .
Relalia lui Leibniz. Punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC daca si
numai daca OA + OB + OC = 30G , pentru orice punct 0 din plan.
Relalia lui Sylvester. Fie H si 0 ortocentrul, respectiv centrul cercului
circumscris triunghiului ABC. Atunci OH = OA + OB + OC .
Produsul scalar dintre vectorii ii si v este ii·~ =1ii 1·1 v l·cosM.
Proprietalile produsului scalar
a) ~.~=~.~; b) ~·G+;)=~·~+~·;;
,I (-::-::-) ii .v _ _ (-) 1r
e/ cos U,V = ,. cl u·v >O~ ii v <_.
liil·lvl '/ '2'
J) ii·v=O~iil.v.
d) - - 0 (-::-::-) 1r
'/ u·v< ~ u,V >-.
2
2. Vedori in planul xOy
Un vector ~=xi+y] arecoordonatele (x,y) si scriem ii(x,y).
Proprietali importante. Fie ii(x,y) si v(x',y') doi vectori din planul xOy. Atunci
1.1~1=~x2+y2. 2. ii(x,y)=v(x',y')~x=x',y=y'.
3. ii·v=xx'+y'y'. 4. ii(x,y)l.V(X',y')~XX'+y'y'=O.
- '+'
S. cos(ii,v)= R~Y.Y . 6. ii(x',y,)lIv(x',y')~~=L.
x2 +y2 X'2+ y,2 x' y'
7. Vectorul de pozitie al punctului A(XA'YA) E xOy este ; A = XAi+ YA] .
8. Pentru doua puncteA ~i B din planul xOy avem AB = (xs -xA)i+(ys - YA)] .
3. Dreapta in plan.
Fie do dreapta in planul xOy. Panta dreptei d este tangenta unghiului format de dreapta
cU semiaxa pozitiva Ox. Ecuatia generals a unei drepte d este d: ax + by +c = 0 .
Proprietati importante.
1. Dreapta care trece pin punctul A (x A ' YA ) si are panta data m are ecuatia
J:Y-YA =m(x-xA)·
2. Daca dreapta d are ecuatia d: Y = mx + n , atunci m este panta dreptei d.
3. Daca dreapta d are ecuatia d: ax + by +c = 0, atunci panta dreptei d este egala cu
a
m= __ , b # 0 .
b
4. Doua drepte sunt paralele daca si numai daca au pantele egale, adica
d. IId2 ~ ~ = m2 •
S. Doua drepte d, ~i d2
sunt perpendiculare daca si numai daca ~ .m2 = -1 .
6. Distanta dintre punctul A (x A ' YA ) si dreapta d :ax + by + c = 0 este
( )
laxA+bYA+cl
dA,d = ~ .
va2
+b
2
8. Dreptele d.: a1x + b.y + c1 = 0
daca !i.=!i#2.
a2 b2 c2
Chiar daca nu este scopul acestui capitol, consideram util sa introducem aici cateva
aplicatii ale determinantilor in geometrie.
9. Fie A(XA'YA) ~i B(xB'YB). Ecuatia dreptei AB cu sensa cu ajutorul
x Y 1
determinantului este AB: xA YA 1 = 0 .
xB YB 1
10. Fie A(XA'YA), B(xB'YB) ~i C(xc,Yc)·
Aria triunghiului ABC, sensa cu ajutorul determinantului, este egala cu
xA YA 1
1
SABc="2Ll,undeLl=xB YB 1. .-
Xc Yc 1 ~
I
11. Punctele A(XA'YA)' B(xB,YB) ~i C(xc,Yc) sunt coliniare daca si numai daca 5
1 ~
~
1=0. ~
1 ~
xA YA
A == xB YB
Xc Yc
----------------------------------------------------- .
41
23. Probleme propuse
1. Se considera triunghiul ABC si punetele M, N ,P astfel incat AM = ME, BN::::2NC
si AP = 2CP . Aratati ea punetele M, IV. ,P sunt eoliniare.
2. Se considera paralelogramul ABCD si punetele E ~i F astfel ine'
___ - at
AE = EB, DF = 2FE . Dernonstrati ca punetele A, F si C sunt eoliniare.
Variante bacalaureat 2009
- 1-
3. Se considera triunghiul MNP ~i punetul A astfel ineat MA = "3MN. Detenninai
numereie reale a si b pentru care PA = aPM +bPN.
4. Se considera paralelogramul ABCD si punetul E astfel iDeat AE = ~ AB . Detenninai
numerele reale a si b pentru care CE = aAB + bAD.
s. Fie hexagonul regulat ABCDEF de latura 4. Calculati modulul veetorului AC +Bfj.
Variante bacalaureat 2009
6. Se considers triunghiul ABC eu laturile AB = 3 si AC = 4. Daca D este punetul de
intersectie dintre bisectoarea unghiului A si dreapta AB, determinati numerele reale a ~i
b pentru care AD = aAB+bAC .
7. Se considera triunghiul ABC si punctele M,N,P mijloacele laturilor AB, BC, respectiv
AC. Aratati ca AN + BP + CM = 0 .
8. Dernonstrati ca pentru orice punct M din planul paralelogramului ABCD are loc
- - --
egalitatea MA + MC = ME + MD. Variante bacalaureat 2009
...•
w
a:
l-
i
:;)
Q
u.:
•
~
c:c
~
:;)
o
u
·
9. Fie M un punct din planul triunghiului ABC astfel incat AM + BM + CM = 0 . Arata!i
ca M este centrul de greutate al triunghiului ABC.
10. Se considera patrulaterul ABCD si punctele M si N mijloacele laturilor AB ~i CD.
Aratati ca MN = ~(BC + AD).
11. Se considera triunghiul ABC ~i punctele M,N,P astfel incat AM = 2MB, BN = 2NC si
·
a CP = 2PA . Aratati ca triunghiurile ABC si MNP au acelasi centru de greutate.
III
~ 12.Fie H ortocentrul triunghiului ABC. Aratati ca daca AH + BH + CH = 0, atunCI
~ triunghiul ABC este echilateral.
;. 13. Se considera triunghiul ABC, cu lungimile laturilor AB = c, A C = b si un punet D
cj astfel inc at AD = bAB + cAC . Aratati ca sernidreapta [AD este bisectoarea unghiulUi
~ BAC. Variante bacalaureat 2009
u
~ 14. In planul xOy se considera triunghiul ABC astfel lncat AB = 47- 3], A C = -57 + 12j .
~ Determinati perimetrul triunghiului ABC.
e
~ 1s. In planul xOy se considera vectorii ; = 47+3] .
~ a) Determinati un vector ~ de lungime 6 coliniar cu u.
b) Determinati un vector;' de lungime 5 perpendicular pe ; .
• lID pentru care veetorul ; = at- 3J este paraleJ eu dreapta
• aft aEll'.
+y_2::::0. _ -: -: _ -: -.
. h'ulABCastfelincat AB=41+3j, AC=I+2j.
nsiderA tnung 1 .' .
CO Ina . lungimea medlanel dIDA. • . .
pete~ a: vectorului BG , unde G este centrul de :reu~te ~ triun;ul~ ABC. . .
~petennm . hi I ABC astfel iDcat AB=-4i+3j, AC=51+l2j. Determmati
Se considera tnung. dl~ A
. bisectoarel III .
lUOgtmea . .
. I ABC are masura unghlUIUl A
". TriunghlU
An·AC . d rdonate xOy se considera punctele M(l, -2), N(-3, -I), p( -l,2) .
in sistemul e coo
. t' oordonatele lui Q astfel mcat MNPQ sa fie paralelogram.
J)etet1l11na1 C Examen Bacalaureat 2011
de 60°, AB = 4 si AC = 5. Calculati
Examen Bacalaureat, iunie 2011
.' lID C dcavectorii ~=2i+3] si ~=(a-l)7+] auaceea~ilungime.
21. J)eterrmnat1 a E l'" ~ un
.. - _ -:+3-. si ~ = (m - 2)7 - ] . Determinati m > 0 astfel incdt vectorii u
22. Fie vectOnI U - mi ) 'i
~i ~ sa fie perpendiculari. _ _ _ _
Deterrninati cosinusul unghiului format de vectorii u = i + 2j si v = 3i - j .
- - - - 0
24. Aflati a E lR pentru care unghiul dintre vectorii ~ =7+ j ~i v = ai - j este de 60 .
25. Se considers triunghiul ABC astfel tncat AB = -47 + 3], BC =7+ 2]. Determinati
coordonatele vectorului AD, unde D este proiectia lui A pe dreapta BC.
26. Arltati ca unghiul vectorilor ~ = 57- 4] ~i ~ = 27+3] este obtuz.
Variante bacalaureat 2009
27.Se considera triunghiul ABC astfel tncat AB=-47+3j, BC=47+3]. Determinati
lungimea inaltimii din A.
21. Paralelogramul ABCD are AD = 6, AB = 4 si m(:4DC) = 120
0
• Calculati AD+ AB.
Examen Bacalaureat 2010
29. Determinati aria triunghiului ABC stiind ca BA = 27+j si BC = -7 +3] .
30. In sistemul de coordonate xOy se considera punctele A(I,4), B(3,l), C(-l,I).
Determinati coordonatele vectorului A G, unde G este centrul de greutate al •..
triunghiului ABC. ==
31. Se considera vectorii u si ~ astfel tncat I~I
= 4, I~I
= 3 si cos(~) = 120
0
• ~
u
~
==
w
~
==
Determinati: a) ;.~; b) I~+~I; c) cos(~).
2. Determinati unghiul dintre vectorii ~ si ~ stiind ca I~I
= 3, I~I
= 2 si ;. ~ = -3J3 .
33. Determinati ecuatia mediatoarei segmentului AB, unde A(2,3) si B(-3,-2)
Variante bacalaureat 2009 •
43
24. 34. in planul xOy se considera punctele A(l, 1) ~i B( -1,3) .
a) Determinati ecuatia dreptei care trece prin 0(0, 0) ~i este paralela cu dreapta AB.
b) Determinati punctul C E Ox pentru care AC .1. AB .
35. Se considera punctele A(1,3), B(2, -I) ~i M(1, -1). Determinati coordonatele punctelor
C ~iD pentru care patrulaterul ABCD este paralelogram cu centrul in M
36. Se considera punctele A( -1, - 5) ~i B(2, I). Determinati coordonatele punctului M
- 2-
pentru care AM = "5AB .
37. in sistemul cartezian de coordonate xOy se considera punctele A(6,0), B(0,6) ~i
C(12,12). Determinati coordonatele punctului M(u, v) astfel incat AM = BM = CM.
Examen Bacalaureat 2001
38. Scrieti ecuatia dreptei ce contine punctul A(2, 5) ~i este paralela cu vectorul ~ = ii- 7.
39. Determinati ecuatia dreptei Care trece prin punctul M(1,2) si este perpendiculara pe
....•
1&1
a::
•...
i
~
Q
~
.
vectorul u = i + j .
40. In sistemul de coordonate xOy se considers A(3,5), B(-2,5), C(6,-3) . Determinati
ecuatia medianei corespunzatoare laturii [BC] in triunghiul ABC.
Examen Bacalaureat 2010
41. in sistemul de coordonate xOy se considera A(2,1), B(-2,3), C(1,-3) ~i
D( 4, a), a E IR . Determinati a astfel incat dreptele AB si CD sa fie paralele.
42. Fie G(I,O) centrul de greutate al triunghiului ABC, unde A(2,5) si B(-I,-3) .
Determinati coordonatele punctului C.
43. Calculati distanta de la punctul A (2,2) la dreapta determinata de punctele B (1,0) ~i
C(O,I) .
44. Determinati a E lR pentru care dreptele d.: ax + y + 2011 = 0 si d2
: x - 2y = 0 sunt
paralele.
45. Scrieti ecuatia care contine punctul A(3, 2) ~i este perpendiculara pe dreapta
3 d :x + 2y + 5 = 0 . Bacalaureat 2011, model subiect MEeTS
"
~ 46. in sistemul de coordonate xOy se considera punctele A(1, 2) si B( -2,1). Determinati
II:
~ ecuatia perpendicularei in A pe dreapta AB.
~ 47. in sistemul de coordonate xOy se considera punctele A( -2,3) si B(O,I). Determinati
~ distanta de la punctul M (1,5) la mediatoarea segrnentului [AB] .
~
J
C
•
s
i
t
~
~
.
48. In sistemul de coordonate xOy se considera punctele A (1,1), B (5,4) si C(2, -3) .
Determinati ecuatia inaltimii din C.
49. Determinati a E IR pentru care distanta dintre dreptele d.: x + y + 2011 = 0 ~i
d2 : x + y + a = 0 este egala cu 2.
SO. Determinati a E lR pentru care dreptele distincte d,: 3x + 4Y + 2 = 0, d2: 3x + 4Y = 0
~i d3
: 3x + 4y + a = 0 stint ecbidistante.
J)eterminati ecuatia dreptei d, stiind ca dreptele d, ~i d2 : x + 2y + 4 = 0 sunt simetrice
51.
fata de axa Ox.
52. Determinati a + b stiind ca punctele A (1,2) si B (-1,1) apartin dreptei
d:x+ay+b=O.
53. Determinati m E IR stiind ca dreptele d.: mx +(m - 2) y + 2 = 0 si d2: y = 3x + 1 sunt
paralele.
54. J)eterminati a +bE lR stiind ell dreptele d. : x + ay + 2 = 0 ~l d; :y = -2x + b
coincid.
55.Fiepunctele A(-1,3), B(1,-I) si C(a,b),unde a.b e Z:
II) Aratati ca, daca 2a + b :1=1, atunci punctele A,B si C sunt necoliniare.
b) Aratati ca daca b este numar par, atunci aria triunghiului ABC este un numar
natural impar.
25. Tema 1.10
Trigonometrie. Aplicalii ale trigonometriei ~i ale
produsului scalar in geometria plana
1. Elemente de trigonometrie
Cercul trigonometric este un cere de raza
1, cu centrul in originea reperului cartezian,
Axa Ox se numeste ~iaxa eosinusurilor,
iar axa Oy se numeste axa sinusurilor.
sin
y
(0,1)
(-1.0)
x
Formule trigonometrice fundamentale.
Pentru urmatoarele formule consideram nurnerele reale a,b astfel incat sa aiba sens
urmatoarele forrnule.
1. Formula fundamentala a trigonometriei. sin 2
a +cos' a = I .
2. Reducerea la primul cadran.
2.1. sin(~-a) =cosa, cos(~-a )=sina, tg(~-a )=ctga, ctg(~-a) =tga.
2.2. sin(Jr-a) = sin a, cos(Jr-a) = -cosa, tg(Jr-a) = -tga, ctg(Jr-a) = -ctga.
2.3. sin(Jr+a) = -sin a, cos(Jr+a) = -cosa, tg(Jr+a) = tga, ctg(Jr+a) =ctga .
2.4. sin(2Jr-a)=-sina, cos(2Jr-a)=cosa, tg(2Jr-a)=-tga, ctg(2Jr-a)=-ctga.
3. Paritatea functiilor trigonometrice.
sin(-a)=-sina, cos(-a)=cosa, tg(-a)=-tga, ctg(-a)=-ctga.
4. Periodicitatea functiilor trigonometrice. Pentru orice k E Z avem:
sin(2kJr+a) = sin a, cos(2kJr+a) = cosa, tg(kJr+a) = tga, ctg(kJr+a) = ctga,
5. cos(a±b) = cos ccos sz sin c sin a , sin(a±b) = sinacosb±cosasinb,
6. sin 2a = 2 sin a cos a, cos 2a = cos" a - sin 2
a = 1- 2 sin 2 a = 2 cos? a-I.
7 t ( + b)
- tga ± tgb 2 _ 2tga
• g a_ - , tg a----.
1+tgatgb 1-tg2a
8 . 2 1- cos 2a 2 1+ cos 2a
• sin a= ,cos a=---
2 2
9. Transformarea sumelor in produse ~i a produselor in sume
a sina±sinb = 2sin a±b cos a+b d. sinasinb=.!.[cos(a-b)-cos(a+b)]
• 2 2 2
a + b a - b 1 [ ( b)]
b cos a+cceb= 2cos--cos--' e. cosacosb=- cos(a-b)+cos a+
• 2 2' 2
. a + b . a - b . b 1[ . ( b) . ( b)]
C cosa-cosb=-2slD--slD--; f. slDacos =- SIDa- + SIDa+ .
• 2 2 2
a . 2t 1-t2
2t
10 Pentru t=tg: avem SIDa=--, cosa=--2' tga=--2' a e kn, VkEZ.
• 2 1+t2 l+t 1-t
2. Aplicatii ale trigonometriei ~iale produsului scalarin
geometria plana
Consideram triunghiul ABC cu notatiile cunoscute: a = BC, b = AC si e = AB , R este
raza cercului circumscris triunghiului, peste semiperimetrul triunghiului ABC, iar r este
raza cercului inscris,
Teorema cosinusului. In orice triunghi ABC avem a2 = b2 +e2
- 2be cos A .
• . a b e 2
Teorema sinusurilor. In orice triunghi ABC avem -,- = -,- = -,- = R,
slDA slDB SIDC
Formule pentru aria triunghiului, Daca notam cu SABC este aria triunghiului ABC
avem:
a-h absinC abe A -I' - I "
S BC = __ 0 = = - = pr , unde h este IDatimea corespunzatoare aturu a.
A 2 2 4R 0'
Formula lui Heron SABC = ~p(p-a)(p-b)(p-e),
Formule pentru triunghiul dreptunghic. Daca triunghiul ABC este dreptunghic cu
, be a' h be. di di A 1BC
Ipotenuza BC avem: SABC = - = __ 0 , h = - , lar me lana ID este mo = - .
, 2 2 0 a 2
Formule pentru triunghiul echilateral. Daca triunghiul ABC este echilateral cu
a2
J3 aJ3 aJ3, ., aJ3
latura a avem: S BC = -- R = --, r = -- ~Imediana dIDA este mo = ho = -- ,
A 4' 3 6 2
3. Functii trigonometrice inverse ~iecuatli trigonometrice
Funqia arcsin :[-1,1] ~ [ - ~ , ~] este inversa functiei sin: [ - ~ , ~ ] ~ [-1,1] .
Proprietali. 1. sinx = y ~ x = arcsiny, x E [- ~' ~J.y E [-1,1].
2.arcsin(sinx)=x, vXE[-~'~l sin(arcsiny)=y, fYE[-l,l].
3. arcsin(-x) = -arcsin x, Vx E [-1,1].
•
47
26. 4. Pentru x E IR ecuatia sin x = y are solutii doar daca y E [-I, I], iar
multimea solutiilor este egala eu {(_1)* aresiny+kJr Ik E Z} .
S. Daca sinj(x)=sing(x),atunci j(x) =(-1)* g(x)+k1r, kEZ.
Fun~ia arccos :[-I, I] ~ [0, Jr] este inversa functiei eos: [0, Jr]~ [-I, I] .
Proprietati. 1. cos x e j ee x e arccos j-, XE[O,Jr] YE[-I,I].
2. arccos (cosx) = x, Vx E [O,Jr]; eoS( arccos y) = y, Vy E [-1,1].
3. arccos (-x) = Jr- arccos x, "Ix E [--1,1].
4. Pentru x E lR ecuatia cos x = y are solutii doar daca y E [-I, I]. iar
multimea solutiilor este egala cu {±arccos y + Zks: Ik E Z} .
S. Daca cosj(x) =cosg(x) ,atunci j(x)=±g(x)+2kJr, kEZ.
6. arcsinx+arccosx=Jr, VXE[-I,I].
2
7. sin (arccos x) = cos (arcsin x) = Jl-x2
,VxE[-I,t].
••. ( Jr Jr) . fun .. (Jr Jr) lll>
~ Funqla ardg :lR~ -2'2 este mversa cpei tg: -2'2 ~ lA. •
!Proprietati. 1. tgx= y ¢::> x = arctgy, x E ( -~, ~ Jy E lR .
~ 2. arctg( tgx) = x, Vx E ( -~,~} tg( arctg j/] = y, Vy E lR .
i)
:; 3. arctg (-x) = -arctg x, "Ix E lR.
)
. 4. Pentru x E lR ecuatia tg x = y are solutii pentru orice y E lR, tar
)
~ multimea solutiilor este egala cu {arctgy + kr: Ik E Z} .
2 I
~ s. Daca tgj(x) = tgg(x), atunci j x)=g(x)+kJr, kEZ.
, Funqia arcdg :lR~ (0, Jr) este inversa functiei ctg:(O,Jr) ~ lR .
)
, Proprietati. 1. etg X= y ¢::> x = arcctgy, x E(0,tr), )-E lR .
~
~ 2. arcctg(ctgx)=x, VXE(O,tr); ctg/areetgy)=y, VYElR.
l 3 arectg(-x)=tr-arcctgx,VxElR.
~ 4. Pentru x E lR ecuatia ctg x = y are solutii pentru orice y E R, iar
i multimea solutiilor este egala cu {arcdg y + kst Ik E Z} .
~ S. Daca ctgj(x)=ctgg(x),atunci j(x)=g(x)+kJr, kEZ.
! tr
~ 6. arctgx+arcctgx=-, VXElR.
~ 2
7. tg(arcctgx)=~ si ctg(arctgx)=~, VXElR·.
x r
-----------------------------------------------------
Probleme propuse
. S . 210 . 220 . 2900
1. Calculat1: a) = sin + sm + ... + sin ;
b) P=sinlo·sin2°· ·sin20110.
2. Calculati: a) S = sin 1°+ sin 2° + + sin 360° ;
b) P=cosIo·eos2°· ·cos20110.
3. Calculati: a) tg 1°.tg 2° ..... tg 89°;
b) cos l" +cos Z" + ...+cosI79°.
I J3
4 Ariitati ca --0 - --0 = 4 .
• sin lOcos 10
s. Fie a E R astfel lncat tga = 2 . Calculati:
sina+cosa b) 2sin2 a+l
a) . cos' a
sma
. tg78° - tgl8° . ° ° ° . 480
6 Calculati a = , b = sm 108 cos48 -cosl08 sm .
• 1+tg78° tgl8°
~ . ~ . 40° . 140° 2130°
7. Aratati ca sm .sm = cos .
8. Calculati:
° ° 23tr . tr . tr
a) sin 75 cosl5; b) cos
12
·sm
U
; c) sm
U
'
9. Determinati eel mai mare element al multimii {sin I, sin 2, sin 3} .
10. Comparati numerele sin I ~i cos I .
11. Pentru sin a = ~, a E ( ~ ,tr ). calculati: a) sin 2a; b) tga.
12. Stiind cii sinx = 2~ si x E (~ ,tr ), calculati cosx.
Bacalaureat 2011, model subiect MEeTS
Q!)Fie x un numar real care verifica egalitatea tgx + ctgx = 2 . Aratati cii sin 2x = I .
Variante bacalaureat 2009
14. Fie multimea A = {O'7r .tr .st: 37r}. Care este probabilitatea ca, alegand un element
'6' 2' , 2 po
:E
din multimea A, acesta sa fie solutie a ecuatiei sin:' x + cos' X = I ? Bacalaureat 2010. I
>c:C
. sinx-cosx (7r) v
15. Calculati . (7r )' x E 0'4 . ~
sin --x :E
4 ~
:E
16. Daca a E lR astfel Incat sin a + cos a = .!.,calculati sin 2a .
3
•
49
27. 17. Daca a,beR astfel incat sina+cosb=l si cosa+sinb=~ ,calculati sin(a+b).
18. Pentru a, b e ( 0, ;) astfel lncat a - b =: aratati ca tgb - tga + tgb· tga = -1.
tr J2;J2
19. Aratali ca cosg = 2 .
20. Determinati x e [0,tr) stiind ca numerele sin x, sin 2x, sin 3x sunt in progresie
aritmetica.
21. Calculati raza cercului inscris in triunghiul ABC stiind ca AB = A C = 5 ~i BC = 8 .
Examen Bacalaureat 2011
22. Se considers triunghiul ABC cu AB = 6, AC = 4 ~i A = 2; . Determinati.
a) Aria triunghiului ABC.
b) Perimetrul triunghiului ABC.
c) Raza cercului circumscris triunghiului ABC.
23. Se considera triunghiul ABC. Aratati ca daca sin 2
A + sin 2
B = sin 2
C , atunci triunghiul
ABC este dreptunghic.
24. Fie triunghiul ABC. Aratati ca daca cos" A + cos" B = 2 cos" C , atunci a2
+ b2 = 2c2 •
25. Se considera triunghiul ABC cu A = tr si B = tr . Calculati cos C .
4 3
26. Se da triunghiul ABC cu raza cercului circumscris R = 6 ~i A = tr . Calculati BC .
6
27. Calculati lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC, stiind ca BC = 3 ~l
1
cosA=-.
2
28. Se considera triunghiul ABC cu laturile a = 3, b = 3 ~i c = 4 . Calculati.
a) AB· AC; b) Raza cercului circumscris.
29. Se considera triunghiul ABC in care a + c = 2b . Aratati ca sin A + sin C = 2 sin B .
30. Aratati ca daca in triunghiul ABC este adevarata relatia a2
sin 2B = abc atunci
t' R '
triunghiul este dreptunghic.
31. Calculati sinusul unghiului ascutit dintre diagonalele dreptunghiului ABCD, stiind ca
AB = 6 si BC = 8 .
32. Se considera paralelogramul ABCD cu AB = 6, BC = 4 si m (4:A) = 60·. Aflati
distants de laD laAC.
33. Determinati lungimea celei mai mici inaltimi a triunghiului ABC cu laturile 5, 6 si 7.
34. Determinati lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic cu laturile in progresie
aritmetica cu ratia 1.
J5. se considera triunghiul ascutitung.hi~ .ABC. in care. are loc relatia
sin B + cos B = sin C + cos C . Demonstrati ca triunghiul ABC este isoscel.
Variante bacalaureat 2009
.••. Fie ABC un triunghi cu tgA = 2, tgB = 3 . Determinati masura unghiului C.
~. Variante bacalaureat 2009
D
terminati raza cercului inscris si raza cercului circurnscris unui triunghi cu laturile
J1. e
3 4 si 5.
~eterminati numerele naturale a pentru care nurnerele a, a+1 si a+2 sunt lungimile
J8. laturilor unui triunghi obtuzunghic.
Variante bacalaureat 2009
39. Calculati:
. 1 J3. b I arcsin (_ J3
2
3)+ arcsin 1,. cI arctg J3
3
3
- arcsin (- J2
2
2)
;
a) arcslll
2
+ arccos 2' '.I '.I
d) arctg (J3)+ arcctg (J2)+ arcctg (-J2) ; e) arcctg ~ - arcctg (-J3) .
40. Calculati:
a) sin (2 arcsin ~);
d) cos ( tr - arcsin ~ } e) tg (2arctg 3) .
41. Rezolvati ecuatiile.
a) sin x = .!., X e [0,2tr] ;
2
c) sin x + cos x = I, x e [0, 2tr) ;
e) sin 2x = cosx, X e R,
. (tr . I)
c) Sill "3- arcsin 3" ;
J2
b) cosx=--, xelR.;
2
d) tgx=-J3, xe(O,tr);
j) sin x = cosx, x E [0,4tr];
g) sin2x=- J2, XE[-tr,O].
2
42. Rezolvati ecuatiile.
a) sin(x+ ;)=cos(x- ~} xElR..
b) arctg J3+ arctg x = tr , X E lR..
2
c) 3sin x + J3cos x = 0, X E lR..
d) sinx = l+cos2
x, X E R.
e) arcsin.!. + arcsin x =!:., X E [-1,1].
2 3
•..
~
I
'5
~
Variante bacalaureat 2009 ~
III
~
~
•
51
28. Partea
Algebra (clasele XI-XII)
Tema 2.1. Permutari. Matrice. Determinanti
(cia sa a XI-a)
Tema 2.2. Sisteme de ecuatli liniare
(clasa a XI-a)
Tema 2.3. Structuri algebrice
(clasa a XII-a)
Tema 2.4. Polinoame cu coeflcienti lntr-un corp comutativ
(clasa a XII-a)
29. Tema 2.1
Permutarl. Matrice. Determinanti
1. Permutari
Oefinitia 1. Fie n un numar natural nenul. a functie bijectiva a : {I, 2, ..., n} ~ {I,
2,..., n} se numeste permutare de grad n.
Multimea permutarilor de grad n contine n! elemente ~i se noteaza Sn.
(
1 2 3 4) A
Exemplu de permutare. Functia 0" = 4 1 3 2 este 0 permutare de grad 4. In
acest caz a(l) = 4, a(2) = 1, a(3) = 3 si a(4) =2.
Tnmultirea permutarilor. Fie a si • doua permutari de grad n. Permutarea a 0., unde
0" este operatia de compunere a functiilor se numeste produsul permutarilor a si r ~i se
"
noteazl!.ar.
Proprietati
1. Inmultirea permutarilor este asociativa, deei au sens expresii de forma
(/ = 0" . 0" . 0" ... 0" , pentru orice a E Sn si orice numar natural nenul k.
~
k ori
(
1 2 ... n)
2. Permutarea e = are proprietatea ae = eo = 0" , pentru orice 0" E S; , si se
1 2 ... n
numeste permutarea identica,
(
0"(1) 0"(2) ... O"(n»)
3. Daca a E S; atunci permutarea E Sn se noteaza e', se numeste
1 2 ... n
inversa permutarii a si are proprietatea 0"0"-1 = 0"-10" = e.
Inversiuni, semnul unei permutari
Oefinitia 2. Se numeste inversiune a permutarii a E S; 0 pereche ordonata (i, j) E
E {l, 2, ... n} x {I, 2, ...n} eu i <j ~ia(i) > aU).
Numarul inversiunilor unei permutari a se noteaza mea) iar numarul (_l)m(cr)se noteaza
&(a) si se numeste semnul permutarii a. Daca &(a) = 1 (deei mea) este par) atunci a se
nume~te permutare para, iar daca &(a) = -1 (deci mea) este impar) se numeste permutare
impara.
Proprietati
4.&(a.) = &(a)· &(.) oricare ar fi 0", T E Sn.
5.&(e) = 1. •.•.
:E
6. &(o") = &(a) oricare ar fi 0" E S; . I
(
1 2 3 4 5) ><C
Exemplu. Fie 0" = . Inversiunile permutarii a sunt (1,2),(1,3), E
5 1 432 _
:E
(1,4),(1,5), (3,4),(3,5),(4,5), deei mea) = 7, &(a) = -1 si a este permutare impara. ~
:E
•
30. Definijia 3. Fie i, j E {I, 2, 3,... n} cu i ~ j. Pennutarea (J E Sn cu proprie~til
(J (i) = j, (J (j) = i ~i (J ( k ) = k pentru orice k E {I, 2, 3,... n} _ {i, j} se numeste transpoZifj' t:
e~
se noteaza (ij) .
Exemplu. (25) = G
Proprieta~i
7. (iJ) = (ji).
( ..)2
9. lj = e.
2 3 4 5 6)
5 3 4 2 6 E S6'
8. (iJr
l
= (iJ).
10. Orice transpozitie este 0 permutare impara.
2. Matrice
in cele ce urmeaza S reprezinta una din multimile IE, Q .R sau C, iar m ~i n sUo!
doua numere naturale nenule.
Defini~ie 4. 0 functie A : {I, 2,... m} x {I, 2,... n} ~ S se numeste matrice cu m linii ~.
n coloane (sau de tip (m, n» cu elemente din multimea S. I
Imaginile unei astfel de functii se aseaza intr-un tablou (tablou de tip matriceal) cu III
linii si n coloane, in care elementul de pe linia i si coloana j reprezinta imaginea perechii
(i, j) prin functia A, element care se noteaza aij E S.
....I Exemplu. A=(I ° 2), unde all = I,al2 = 0, an = 2, a21= 2, a22= -I si a23= I.
~ 2 -I 1
I-
~ Multimea matricelor de tip (m, n) cu elemente din multimea S se noteaza Mm,n(S)' 0
o
u.: matrice de tip (n, n) se numeste matrice patratica de ordin n, iar multimea lor se noteaza MnCs).
~ Opera~ii cu mat rice
~
::;) Adunarea matricelor. Fie A, B E Mm,n(S), A = (aij), B = (bij). Matricea (aij + bij) E
U
o Mm,n(S) se numeste suma matricelor A si B si se noteaza A + B.
.
::;) inmul~irea cu scalari. Fie A = (aij) E MmAs) si XES. Matricea (xaij) E Mm,n(S) se
z
~ numeste produsul matricei A cu scalarul x si se noteaza xA.
~ lnmultirea matricelor. Fie A = (aij) E Mm,n(S) si B = (bjk) E Mn,P(S). Matricea (Cik) E
~ Mm,p(s) unde Cik = ailblk + ai2b2k+...+ ainbnkpentru orice i E {I, 2, ... m} si k E {I, 2, ...p} se
::;)
u numeste produsul matricei A cu matricea B ~ise noteaza AB.
III
~ Proprieta~i
~ Daca operatiile de mai jos au sens, atunci:
ffi 1. (AB)C = A(BC), deci inmultirea matricelor, acolo unde are sens, este asociativa
;j 2. A(B + C) = AB + AC si (B + C)A = BA + CA, deci inmultirea matricelor eSte
.:. distributiva falii de adunarea matricelor.
o 3. Inmu1lirea matricelor este operatic algebrica pe multimea Mn(S), adica produsv' AS
~
~ are sens pentru orice A, B E MnCs) si, in acest caz, AB E Mn(S).
Q
Z
0(
:::E
•
_ [~ ~ ::: ~] E Mn (S) are proprietatea AIn = InA = A , oricare ar fi
.~
..••
I - .: .
~" : ..
001
. umeste matricea unitate.
J..S), ~1se n in general, AB"* BA, calculul algebric nu respecta regulile
_tie. Cum, 2 2 B'A B2
A tf I de exemplu, (A + B) = (A + B)(A + B) = A + AB + + .
'le la numere. s e, *
'A A B E M (S) , atunci (ABl = Ak~ si (A + B)* = LC:A*-; B; .
J)aCl AB == B ,cu r n ;=0
. matrice. Transpusa matricei A = (aij) EMm,n(S) este matricea
TrIInspusa unei
M (S) unde bji = aij pentru orice i E {l, ... m} ~ij E {l, ... n}.
A' == (bJI) E n,m I °
I. A=(I -I 2) EM2.3(Z)~i AI =[_1 I]EM3,2(Z).
exemp u. 0 I 3 2 3
Teorema(!Ui~)amilton-CaYley . 2 (0 00)
Fie A = C d E M2(S)' Atunci A - (a + d)A + (ad - bc)fz = O2 unde O2 = °
(in general, matricea de tip (m, n) cu toate elementele egale cu °se noteaza Om,n)'
3. Determinan~i
Defini~ia5. Fie A = (aij) E Mn(S). Numarul L e (a) aI0'(I)a20'(2)'"aM(n) se numeste
ueS"
determinanlu[ matricei A ~i se noteaza det(A) sau
a2n
. Un determinant de
anI an2 ann
ordin n este determinantul unei matrice patratice de ordin n.
·Determinan~i de ordin doi. all a12= all a22-a12 a21.
a21 a22
~I ~2 ~3
• Determinan~i de ordin trei. Ozl On On = ~IOn ~3 +al2On ~I +~3 Ozl~2 -
~I ~2 ~3 i
-a13a22
a a
31- 12a2Ia33-alla23a32' I
7oprieta~i. Fie A E Mn (S). Atunci: ~
ret'erito' det(A) == det(AI). Datorita acestei propozitii orice proprietate a unui determinant ::
are la r " , , c
2. D mu este adevarata si pentru coloane. ~
3. D~~A are? linie cu toate elementele egale cu 0, atunci det(A). = 0. _", ~
B) _ a matricea B se obtine din A prin schimbarea locului a doua linii, atunci
--det(A). •
57
31. 4. Daca A are doua linii egaJe, atunci det(A) = o.
S. Daca B se obtine din A prin inmultirea elementelor unei linii eu un numar a E S
atunci det (B) = a det(A). '
6. Dad! B se obtine din A prin adunarea liniei i eu linia j inmultita eu un numar a E S
atunei det(B) = det(A). '
7. flij (minorul (ij)) este determinantul matrieei obtinuta din A prin supcimarea liniei i ~i
eoloaneij. Numarul S, == (_I)i+J flij se numeste complementul algebric al elementului aij din
matrieeaA. Atunei det(A) == ail Oil + ai2Oi2+...
+ ainOin(dezvoltarea dupa linia i).
8.det(AB) == det(A) . det(B) orieare ar fi A, B E Mn(S).
4. Aplicatii ale determinantilor
• Ecuatia unei drepte determinate de doua puncte.
x Y 1
Ecuatia dreptei AB, unde A(XIoYl) si B(X2J'2), este ~ YI 1 == 0 .
x2 Y2 1
• Aria unui triunghi.
XI YI
Pentru punetele A(Xl' Yl), B(X2J'2) si C(X3J'3) se noteaza eu fl == x2 Y2
X3 Y3
si eu 8ABC
aria triunghiului ABC. Atunei:
1
a) 8ABC == -I z ],
2
b) A, B, C sunt eoliniare ¢:> fl == o.
-----------------------------------------------------
Probleme propuse
F. . (1
1. re permutarile a = 3
a) Calculati at si ta .
b) Calculati o":
. (1 2 3 4 5)
2. Fie permutarea a = E 8 .
4 1 325 5
a) Determinati inversiunile lui a si calculati e (a) .
b) Determinati e-'.
. (1 2 3 4)
3.Fle permutarea a = E 84•
4 1 2 3
a) Determinati eel mai rnie numar natural nenul k astfel ineat a' == e .
b) Calculati a2012
.
c) Rezolvati ecuatia ax = (I 2 3 4), X E S4 .
4 3 1 2
(
1 2 3 4 5 6
1
).
• Se considera permutarea a E 86, a =
• 24536
. . -I
a) Determmap a .
b) Aratati ea m( a) = m( a-I).
c) Aratati ca ecuatia X4 == a nu are solutii in 86•
5. Fie permutarile a == (
1
2 3 4 5) si b == (1 2 3 4
32145 2145
a) Rezolvati ecuatia ax == b,x E 85.
b) Determinati eel mai rnie numar natural nenul k astfel ineat (ab t == e .
c) Fie k E Z astfel ineat bk
== e. Aratati ca 6 divide k. Bacalaureat, 2008
6. Consideram permutarile a == (
1
2 3 4), b == (1 2 3 4), c == (1 2 3 4),
2341 3142 4312
a, b, c E 84.
a) Verificati daca c este solutia ecuatiei ax == xb.
b) Aratati ea a
4
== s.
c) Determinati 0 solutie a ecuatiei xb' = a3
x,x E 84.
Bacalaureat, 2008
~). a,b E 85.
Bacalaureat, 2009
(
1 2 3 4 5) •
7. Fie permutarea a == E 85 si multimea A = {an In EN} .
2 3 4 5 1
a) Determinati numarul inversiunilor lui a .
b) Determinati numarul elementelor lui A.
c) Aratati ea toate elementele lui A sunt permutari pare.
Bacalaureat, 2009
(
1 -1 2] (2-1
•• Fie A == 0 2 1 si B = 1 0
3 1 1 1 1
a) Calculati A +B, 2A ~iA - 2B.
b) Calculati AB, BA ~iA2.
9. Fie matrieele eu elemente reale A == G
atunei A == B.
. . (0 1). (1 1). I
10. Fie matncele eu elemente reale A == 1 1 ~I B = 1 0 . Aratati ca AB == (BA) .
11. . (0 1) . 2 100
• Fie matneea eu elemente reale X == . Aratati ea X +X +...+X == 02 .
-1 0
:) si B == ( ~ :). Aratati ea daca AB == BA ,
59
32. 12. Fie matrieea X = (~ :JE M2 (lR). Calculati X +X2 + ... +X10•
13. Fie matricele cu elemente reale A = (~ :} B = (~ ~J Determinati valorile reale
ale numarului a pentru care AB = BA.
14.Fie matricea A =[~~~J.
000
a) Calculati A3
•
b) Calculati (13 - A)( 13 + A + A
2
).
15. F;e matricele A~(I 2 3) EM" (Ill) I; B~n'}M'" (Ill),
a) Calculati AB si BA.
b) Calculati (BA r,n EN".
16. Pentru 0 matrice A E M; (C) notarn eu tr(A) suma elementelor de pe diagonala
...
~ principala a matricei A.
a) Aratati ca tr(aA) = a tr( A), oricare ar fi A E M; (C) si a E C.
b) Aratati ca tr(A + B) = tr( A) + tr(B).
L
C 17. Demonstrati teorerna lui Hamilton-Cayley: A2 -tr(A)A+det(A)12 =°
2
, oricare ar fi
...
E AEM2(C).
)
i I
j 18.Fie AEM2(C) cudet(A) =0. Aratati ca An = (tr(A)f A,oricarearfi nEN,n~2.
19. Fie A E M2 (C) cu A20J2= 02 . Aratap ca A2 = 02 .
[
(a+b)" +(a-b)"
20. Fie A=(a bJ E M2( C). Aratati ca An = 2
b a (a+b)" -(a-b)"
2
arfinEN·.
(a+bY -(a-bYJ
2 .
,oncare
(a+b)" +(a-b)"
2
(
r;:;)20J3
. 1 ,,3
21. Calculati
-J3 1
22. Fie A = (5 -8)E M2( lR). Calculati An, n EN".
1 -1
[
0 -1 2J
23. Fie matricea M = 0 0 -1 . Calculati M"; n EN".
o 0 0
[
1 -1 2]
24. Fie matricea A = 0 1 -1 . Calculati An, n EN".
o 0 1
25. Rezolvati ecuatia X2 = ( ~ 1:),X E M2 (lR) .
26. Rezolvap ecuatia X
3
= G ~),X E M2 (lR) .
27.Rezolvatiecuapa X3=(_~ -~l
XEM2(lR).
28. Fie matricea A = (~ ~) E M2( lR).
a) Aratati ca exista a E lR astfel incat A2 = aA.
(
,)2008
b) Calculati A - A .
Adaptare bacalaureat, 2008
29. Fie matricea A = (~ !
J.Calculati det] A2 - 5A - 12).
30.Fiematricele A=(_~ -:J si B=(_~ -:J.
a) Verificati egalitatea det (A) = det (B) .
b) Demonstrati ca An - B" = (2n -1)( A - B), oricare ar fi numarul n ~ 1 natural.
Adaptare bacalaureat, 2011
(
-1 2 2 J
31.Fie matricea A = 2 2 -1 E M2,3(lR).
a) Calculati det(AA').
b) Aratati ca det(AtA) = O.
Adaptare bacalaureat, 2008
32. Fie matricea A = (: !
JE M2 (lR).
a) Aratati ca det] A' A) ~ 0 .
b) Aratati ca daca AA'=A'A atunci (a-d)(b-c)=O.
[
1 -1 -1]
33. Se considera matricea A = -1 1 -1 E M3 (lR) .
-1 -1 1
a) Calculati det (A) .
b) Demonstrati ca A2 - A - 213 = 03.
•
61
33. 34. Se considera matricea A = [~ ~ ~JE M3 (lR) .
1 1 0
a) Calculati det(A).
b) Demonstrati di A2 -A-213 =03'
35. Se considera matricele A~[~~ HB ~[~ !~)E~(R)
a) Aratati ca AB = BA = °3,
. ( )2013 20J3 2013
b) Demonstratl ca A + B = A + B .
36. Se considers matricele A = ( _ ~ :], EJ = G ~], E2 = ( ~ :J.
a) Sa se calculeze A4.
b) Daca B E M2( 1R),BEl = EIB si BE2 = E2B aratati ca B = ali, cu a E 1R.
Adaptare bacalaureat, 2008
..• 37. Fie A=(O -IJ ~i B=(c~st -sintJ,tEIR.
~ 1 ° smt cost
a) Fie X E M2 (1R) cu AX = XA. Aratati ca exista a, b E lR astfel lncat X = ( :
(
cosnt -sinntJ
b) Aratat! ca B" = . , pentru orice n E N* .
smnt cosnt
c) Calculati A2OO8
•
~
•
1 2 1 2
40. Dezvoltati dupa prima coloana determinantul
° -1 3 5
1
° -2 4
° 1 1 -3
x-3 x x
41. Rezolvati in multimea numerelor reale ecuatia x x-3 x =0.
x x x-3
2
1
.2. a) Aratati ca V;= a b c = (c-b)(c -a)(b -a).
a2
b2
c2
1
d
2 = (d -a)(d -b)(d -c)(c-b)(c-a)(b-a) .
d
d3
. a
b) Aratap ca V4 = 2
a
1 1
I I . A b . A 2 b2 2
,3. Ca cu atl UJ = a c ~l U2 = a c .
a3
b3
c3
a3
b3
c3
44. Fie numerele reale a, b, c, functiaj": lR ~ IR,j{x) = x3
+ 2x + 3 ~i determinantii
1 1 1 1 1 1
A= a b c ,B= a be.
a3 b3 e3
f(a) f(b) fee)
0) Aratati ca A = (a + b + e)(e - b)(e - a)(b - a) .
b) Aratati ca A = B.
c) Aratati ell pentru orice trei puncte distincte, cu coordonate naturale, de pe graficul
functiei J, aria triunghiului cu viirfurile in aceste puncte este un numar natural
divizibil cu 3. Bacalaureat, 2009
45.FiepuncteleA(0, 6),B(I, 4) si C(-I, 8).
0) Aratati ca punctele A, B, C sunt coliniare.
b) Scrieti ecuatia dreptei AC. Adaptare bacalaureat, 2009
46. Fie punctele A(O, 1),B(1, 2) si C(2,4).
0) Scrieti ecuatia dreptei AB.
b) Calculati aria triunghiului ABC.
47. Fie punctele A (1, 0), B (2, -1), C(3, a). Determinati valorile reale lui a pentru care aria
triunghiului ABC este egala cu 1.
48. Fie punctele A( -1, 0), B(I,-I), C(a,a+ 3), unde a este un numar intreg .
0) Demonstrati ca punctele A,B,C nu sunt coliniare pentru nicio valoare a lui a.
b) Determinati valorile lui a pentru care aria triunghiului ABC este egala cu 1.
49.Fiepunctele A(-I, 0), B(I, -1), C(3,5) si D(2,2).
0) Demonstrati ca punctele B,C,D sunt coliniare.
b) Demonstrati ca aria triunghiului ABD este egala cu aria triunghiului A CD. •..
SO.Seconsiderapunctele ~(akA), k=I,2,3 si matricea A=(a
J
a
2
a
3
JEM2•3(1R). ~
bJ b2 b3 5
0) Demonstrati ca det( AA') ~ 0, oricare ar fi punctele ~,~,~. ~
:::liE
b) Demonstrati ca det (AA' ) = °daca si numai daca punctele ~, r;~ apartin unei ~
drepte care trece prin origine. Adaptare bacalaureat, 2010 :::liE
•
63
34. Tema2.2
Sisteme de ecuatii liniare
.
1. Matrice inversabile
Definitia 1. Matricea A E M; (C) se numeste inversabild daca exista 0 matrice
B E M; (C) astfel tncat AB = BA = In.
Daca pentru 0 matrice A exista 0 matrice B cu proprietatea din definitie, atunci Beste
unica cu aceasta proprietate, se noteaza cu A-I ~i se numeste inversa matricei A.
Teorema 1. Matricea A E M; (C) este inversabila daca ~inumai daca det(A) :t O.
Calculul inversei unei matice. Pentru A E Mn (C), se noteaza cu A* matricea transpusa
a complementilor algebrici ai elementelor matricei A. Matricea A * se numeste adjuncta lui A.
Daca det(A):t 0, atunci £' = _1_A*.
det(A)
Exemplul 1. Daca A = ( : !
J, atunci
A-'
=_I_A*=_I_(d -bJ
det(A) det(A) -c a .
Observatfl, Fie A E Mn (C) 0 matrice inversabila.
1. Daca A E M; (lR.) ,atunci £' E M; (1R) .
2. Daca AEMn(Q),atunci £' EMn(Q).
3. Daea A E Mn (Z), atunci £' E Mn (Q), adica rnatricea £1 nu are neaparat elemente
intregi.
(
d -bJ
A* = . Daca det(A) :t 0, atunci
-c a
2. Ecuatii matriceale
Fie A E Mm (C), BE Mn (C) doua matrice inversabile si C E Mm.n (C) . Atunci:
a) Ecuatia AX = C, X E Mm
•
n
( C) are solutia unica X = £1 C.
b) Ecuatia XB = C, X E Mm•n (C) are solutia unica X = CS-I.
c) EcuatiaAXB = C, X E Mm.n(C) are solutia unicaX=£ICS-I.
3. Sisteme liniare
{
allx, + a'2x2 + ... + a'nXn = b,
Definitie 2. Sistemul ~~,~.'..~_a.!~:Z_::::'::"':::~~n_x.."_~~~,
cu m,n E ff, aij E C, b, E C,
am,x, +am2X2 + ...+ amnxn = bm
se nume~te sistem liniar cu m ecuatii si n necunoscute (sau de tip (m, n).
Prin solutie a sistemului intelegem un n - uplu ordonat (Xl' X2, ... , xn) E en eu
proprietatea ca numerele xpx2,,,,,xn verifica cele m ecuatii ale sistemului. Matrieea
A == (aij) E M m.n{C) (adica matricea coeficientilor necunoscutelor) se numeste matricea
sistemu!ui.
[)efinitia 3. Un sistem liniar de tip (m, n) si matrice A se numeste sistem Cramer daca
m == n si matricea sistemului este inversabila.
Teoremi 2. Un sistem Cramer are solutie unica. Solutia (XI. X2, ... , xn) a unui sistem
. ~ tf 1 D., D.2 D.n dAd . 1
Cramer se deterrruna as e: x, = -, x2 = - ,..., xn = -, un e u este eterrrunantu
D. D. D.
rnatricei A a sistemului, iar D.;este determinantul matricei obtinuta din A prin inIocuirea
COlo""ei.r eu eoloana b = [ i1a termenilor liberi.
• Rangul unei matrice
Fie A E Mm,n( C) si 1 ~ k ~ min(m, n). Un determinant obtinut din determinantullui A
prin suprimarea a m - k linii si n - k coloane se numeste minor de ordinul k al matricei A.
Exemplu 2. A = (~1 ~3 ~5 -~). D.I= 111este minor de ordinull.
4 3 5 9
1 2 4
D.2= I~~I
este minor de ordinul 2~i D.3= -1 -3 -7 este minor de ordin 3.
.43 9
Definitie 4. Fie A E Mm.n (C),A:t Om.n si 1 ~ r ~ min(m, n). Nurnarul r se numeste
rangullui A daca:
a) exista un minor nenul de ordinul r;
b) toti minorii de ordin strict mai mare decat r (daca exista) sunt nuli.
Rangul matricei Om,neste O.
Proprietiti
1.r = rang(A) <=> a) exista un minor nenul de ordin k, si
b) toti minorii de ordin r + 1 (daca exista) sunt nuli.
2. r = rang(A) <=> a) exista D.un minor nenul de ordin r, si
b) toti bordatii lui D.(daca exista) sunt nuli. (Un bordat al lui D.
este un minor de ordinul r + 1 obtinut din adaugarea la D.a
elementelor unei linii si ale unei coloane disponibile din A). i
~ ~l ~l.
Rangul lui A este 2 pentru ell " =I~~=-3.0, ~
325 ~
w
123 12] ~
iar bordatii lui D.p sunt tl(33) = 2 1 -1 = 0 si 134) = 2 1 51
= O. ~
3 3 2 3 3 •
Exemplu 3. Fie
6S
