SlideShare a Scribd company logo
А.К.Боярчук, Г.П.Головач
    ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
           Справочное пособие по высшей математике. Т. 5
                        М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 384 с.
    «Справочное пособие по высшей математике» выходит в пяти томах и
представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание
«Справочного пособия по математическому анализу» тех же авторов. В новом
издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики —
математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функций
комплексной переменной.
    Том 5 охватывает все разделы учебных программ по дифференциальным
уравнениям для университетов и технических вузов с углубленным изучением
математики. Наряду с минимальными теоретическими сведениями в нем
содержится более семисот детально разобранных примеров. Среди вопросов,
нестандартных для такого рода пособий, следует отметить примеры по теории
продолжимости решения задачи Коши, нелинейным уравнениям в частных
производных первого порядка, некоторым численным методам решения
дифференциальных уравнений.
    Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физико-
математических, экономических и инженерно-технических специальностей,
специалистов по прикладной математике, а также лиц, самостоятельно
изучающих высшую математику.
                                  Оглавление
Предисловие                                                              3
Введение                                                                 4
Основные понятия. Составление дифференциальных уравнений                 4
      Основные определения (4) Задача Коши (4) Построение
      дифференциального уравнения по заданному семейству кривых (5)
      Примеры (5)
Упражнения для самостоятельной работы                                   10
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка                     11
§ 1. Уравнения с разделяющимися переменными                             11
      Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (11)
      Разделение переменных линейной заменой аргумента (11) Примеры
      (11)
§2. Геометрические и физические задачи, приводящие к уравнениям с       15
      разделяющимися переменными
      Использование геометрического смысла производной (15)
      Использование физического смысла производной (15) Примеры (15)
§ 3. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним               29
      Однородное уравнение (29) Уравнение, сводимое к однородному (30)
      Обобщенно-однородное уравнение (30) Примеры (30)
§ 4. Линейные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним                 39
      Линейное уравнение первого порядка (39) Обмен ролями между
функцией и аргументом (39) Уравнения, приводимые к линейным
      (39) Уравнение Миндинга — Дарбу (40) Примеры (40)
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель                              53
      Уравнение в полных дифференциалах (53) Интегрирующий
      множитель (53) Дифференциальное уравнение для интегрирующего
      множителя (54) Примеры (54)
§ 6. Уравнение Эйлера — Риккати                                                              67
      Уравнение Эйлера — Риккати. Специальное уравнение Риккати (67)
      Каноническое уравнение Эйлера — Риккати (67) Примеры (67)
§ 7. Уравнения, не разрешенные относительно производной                                      73
      Уравнение, не разрешенное относительно производной (73) Общий
      интеграл уравнения F(y')=0 (73) Представление решения в
      параметрической форме. Разрешение неполных уравнений ( 73)
      Примеры (74)
§ 8. Существование и единственность решения                                                  82
      Теоремы Пикара, Пеано и Осгуда (82) Существование и
      единственность решения задачи Коши для уравнения, не
      разрешенного относительно производной (82) Продолжение решения
      задачи Коши (82) Существование и единственность решения
      векторной задачи Коши (83) Примеры (83)
§ 9. Особые решения                                                                          99
Особое решение. Дискриминантная кривая (99) Огибающая как особое
      решение (100) Примеры (100)
§ 10. Задачи на траектории                                                                   106
      Изогональные и ортогональные траектории (106) Эволюта и
      эвольвента (106) Примеры (107)
Упражнения для самостоятельной работы                                                        112
Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков                                          114
§ 1. Виды интегрируемых нелинейных уравнений                                                 114
      Дифференциальное уравнение вида F ( x, y ( n ) ) = 0 (114)
      Дифференциальное уравнение вида F ( y ( n −1) , y ( n ) ) = 0 (114)
      Дифференциальное уравнение вида F ( y ( n − 2 ) , y ( n ) ) = 0 (114) Примеры
      (115)
§ 2. Уравнения, допускающие понижение порядка                                                122
      Дифференциальное уравнение вида F ( x, y ( k ) , y ( k +1) ,..., y ( n ) ) = 0 (122)
      Дифференциальное уравнение вида F ( y , y ' ,..., y ( n ) ) = 0 (122)
      Однородное дифференциальное уравнение вида F ( x, y , y ' ,..., y ( n ) ) = 0
      (122) Обобщенноe однородное дифференциальное уравнение вида
       F ( x, y , y ' ,..., y ( n ) ) = 0 (122) Уравнение, приводимое к виду
      (ϕ( x, y , y ' ,..., y ( n −1) ))' = 0 (123) Примеры (123)
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными                                       135
коэффициентами
      Линейное дифференциальное уравнение n -го порядка с постоянными
      коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение
      (135) Поиск частного решения линейного уравнения n-го порядка с
      постоянными коэффициентами методом неопределенных
      коэффициентов (136) Метод вариации произвольных постоянных
      (136) Метод Коши нахождения частного решения неоднородного
      линейного дифференциального уравнения n-го порядка с
      постоянными коэффициентами (137) Примеры (137)
§ 4. Линейные дифференциальные уравнения с переменными                  150
      коэффициентами
      Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с переменными
      коэффициентами. Линейно зависимые функции. Определитель
      Вронского (150) Критерий линейной независимости функций (151)
      Фундаментальная система решений (151) Формула Остроградского
      — Лиувилля (151) Общее решение неоднородного линейного
      дифференциального уравнения с переменными коэффициентами
      (151) Уравнение Эйлера. Уравнение Чебышева (152)
      Дифференциальные уравнения второго порядка (152) Связь между
      линейным дифференциальным уравнением второго порядка и
      уравнением Эйлера — Риккати (152) Сведение линейного
      дифференциального уравнения второго порядка с переменными
      коэффициентами к уравнению с постоянными коэффициентами (153)
      Об асимптотическом поведении решений дифференциальных
      уравнений второго порядка (153) Примеры (153)
§ 5. Краевые задачи                                                     169
      Определение краевой задачи (169) Функция Грина краевой задачи
      (170) Задача Штурма — Лиувилля (170) Условие эквивалентности
      краевой задачи интегральному уравнению (170) Примеры (170)
Упражнения для самостоятельной работы                                   180
Глава 3. Системы дифференциальных уравнений                             182
§ 1. Линейные системы                                                   182
      Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с
      переменными коэффициентами. Фундаментальная матрица
      уравнения. Определитель Вронского (182) Метод вариации
      произвольного вектора (183) Матрицант (183) Неоднородные
      линейные системы с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера
      (184) Примеры (184)
§ 2. Нелинейные системы                                                 200
      Нормальные системы дифференциальных уравнений. Метод
      исключения (200) Подбор интегрируемых комбинаций (201)
      Примеры (201)
Упражнения для самостоятельной работы                                   211
Глава 4. Уравнения в частных производных первого порядка                212
§ 1. Линейные и квазилинейные уравнения                                     212
      Основные понятия (212) Решение квазилинейного уравнения в
      частных производных первого порядка (212) Задача Коши (272)
      Уравнение Пфаффа (213) Примеры (213)
§ 2. Нелинейные уравнения первого порядка                                   228
      Нелинейные уравнения в частных производных первого порядка
      (228) Решение задачи о нахождении интегральной поверхности,
      проходящей через заданную кривую (228) Метод Коши (229)
      Обобщение метода Коши (229) Примеры (229)
Упражнения для самостоятельной работы                                       239
Глава 5. Приближенные методы решения дифференциальных                       240
      уравнений
§ 1. Зависимость решения от начальных условий и параметров                  240
      Об оценке погрешности приближенного решения (240) Об отыскании
      производных от решений по параметру (240) Примеры (241)
§2. Аналитические приближенные методы                                       246
      Метод степенных рядов (246) Метод малого параметра (247)
      Примеры (247)
§ 3. Численные методы решения дифференциальных уравнений                    266
      Метод Эйлера k-го порядка (266) Метод Рунге — Кутта 4-го порядка
      (267) Метод Штермера (267) Примеры (267)
Упражнения для самостоятельной работы                                       273
Глава 6. Устойчивость и фазовые траектории                                  274
§ 1. Устойчивость                                                           274
      Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость (274)
      Исследование на устойчивость по первому приближению: первая
      теорема Ляпунова (274) Исследование на устойчивость с помощью
      функций Ляпунова: вторая теорема Ляпунова (275) Условия
      отрицательности всех действительных частей корней уравнения
       a0λn + a1λn −1 + ... + an −1λ + an = 0, a0 > 0 , с действительными
      коэффициентами (275) Примеры (276)
§ 2. Особые точки                                                           292
      Определение особых точек и их классификация (292) Практические
      приемы исследования особых точек (293) Примеры (294)
§ 3. Фазовая плоскость                                                      305
      Основные понятия (305) Построение фазового портрета (305)
      Предельные циклы (306) Признаки отсутствия предельных циклов
      (306) Признаки наличия предельных циклов (306) Примеры (307)
Упражнения для самостоятельной работы                                       322
Глава 7. Метод интегральных преобразований Лапласа решения                  323
      линейных дифференциальных уравнений
§ 1. Преобразование Лапласа. Основные понятия и свойства                    323
      Оригинал и изображение (323) Свойства преобразования Лапласа
(324) Примеры (325)
§ 2. Свертка функций. Теоремы разложения                                             336
      Определение свертки (336) Теорема умножения (Э. Бореля) (336)
      Обобщенная теорема умножения (А. М. Эфроса) (336) Формулы
      Дюамеля (337) Примеры (337)
§3. Обратное преобразование Лапласа                                                  339
      Формула обращения Римана — Меллина (339) Сведения из теории
      функций комплексного переменного (340) Теоремы разложения (341)
      Примеры (342)
§ 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы                                   346
      Интегрирование уравнений с постоянными коэффициентами (346)
      Решение систем линейных дифференциальных уравнений с
      постоянными коэффициентами (347) Решение уравнений с нулевыми
      начальными условиями при помощи интеграла Дюамеля (347)
      Примеры (347)
§ 5. Интегральные уравнения типа свертки. Особые уравнения                           357
      Интегральные уравнения типа свертки (357) Интегральные уравнения
      второго рода (358) Интегральные уравнения первого рода (359)
      Особые интегральные уравнения. Интегральное уравнение Абеля
      (359) Примеры (360)
§ 6. Применение операционного исчисления к решению уравнений с                       366
      частными производными
      Примеры (367)
Упражнения для самостоятельной работы                                                370
Ответы                                                                               372
Предметный указатель                                                                 377
                              Предметный указатель
    Настоящий предметный указатель призван облегчить поиск терминов по алфавитному
признаку. Для поиска терминов по тематическому признаку пользуйтесь подробно составленным
оглавлением.
    В указателе, как правило, приводятся ссылки только на страницу, содержащую определение
термина; составитель указателя не ставил своей целью отследить все упоминания приведенных
терминов в тексте. Исключение составляют термины, описывающие методы, приемы,
практические результаты: для них в некоторых случаях после номеров страниц курсивом указаны
также задачи, в которых они используются существенным образом.
    С целью уменьшения громоздкости указателя вместо термина "дифференциальное(ые)
уравнение(я)" применяется сокращение "д. у.".
А                                              Бернулли уравнение, 39, 115, 97, 99,
Абеля                                               101, 103, 106, 168, 265, 447
— уравнение интегральное, 359                  Бихари лемма, 83, 201, 202
— — формула, 159, 363, 364                     Бореля теорема умножения, 336, 711-
астроида, 111                                       715, 719, 720, 740, 752, 753, 762
Б                                              В
Бендиксона признак отсутствия                  вид канонический линейного д. у. 2-го
     предельных циклов, 306, 672, 675               порядка, 152
Вольтерра уравнение интегральное        интегрирующий множитель, 53
— 1-го рода, 358                        К
— 2-го рода, 358                        канонический вид линейного д. у. 2-го
— особое, 359                                порядка, 152
Вронского                               Клеро уравнение, 78, 191, 194
— матрица, 182                          косинус-интеграл Френеля, 334, 707,
— определитель, 151, 183                     712, 713, 763
вычет функции, 340                      Коши
Г                                       — задача,4
Гессе                                   — — векторная, 83
— прием, 208, 460-462                   — метод
— система, 208                          — — отыскания интегральной
гипербола вырожденная, 18                    поверхности, 229, 519—521
Грина функция краевой задачи, 170,      — —, обобщение, 229, 522-524
      393-406                           — отыскания частного решения
Гурвица матрица, 275, 616-619, 621,          неоднородного д. у., 137
      622, 624-627                      — формула о вычетах, 341
Д                                       краевая задача, 169
Дюамеля                                 — нестационарная, 367
— интегралы, 337                        кривая дискриминантная, 99
— формулы, 337, 347, 721, 742-744,      критерий
      766                               — линейной независимости функций,
З                                            151
задача                                  — Льенара—Шипара, 276, 618, 619,
— Коши, 4                                    626-628
— — векторная, 83                       — Михайлова, 276, 620, 621, 623
— краевая, 169                          — Рауса—Гурвица, 276, 616, 617, 621,
— — нестационарная, 367                      625
— Штурма—Лиувилля, 170                  Л
— —, собственные значения, 170          Лагранжа
— —, собственные функции, 170           — уравнение, 78, 192, 193
значения собственные задачи             — — второго рода, 438-440, 629, 630,
      Штурма—Лиувилля, 170                   750
И                                       — функция, 582, 629, 630
инвариант линейного д. у. 2-го          Лагранжа—Шарли метод, 228, 504, 517
      порядка, 152                      Лапласа преобразование, 324
интеграл                                —, линейность, 324, 686, 688, 710, 734
— вероятности, 338, 715-718, 724, 733   —, однородность, 324
— полный, 228                           Левинсона—Смита теорема о наличии
— системы д. у. первый, 201                  предельных циклов, 306, 676
интегралы                               лемма Бихари, 83, 201, 202
— Дюамеля, 337                          Липшица условие, 82, 240
— независимые, 201                      Лиувилля преобразование, 165, 381—
интегрируемая комбинация, 201                387
Лорана ряд, 340                                комбинаций, 201, 443-448
—, главная часть, 340                     — последовательных приближений, Ш
—, правильная часть, 340                  — разбиения данного уравнения на две
Льенара—Шипара критерий, 276, 618,             части, 53, 149, 154-156, 15S-160
     619, 626-628                         — Рунге—Кутта численного решения
Ляпунова                                       д.у., 267, 572—575
— теорема                                 — степенных рядов, 246-247, 537-555,
— — вторая, 275, 606-609, 611, 615             576, 577
— — первая (об устойчивости по            — Штермера численного решения д.у.,
     первому приближению), 274-275,            267, 575—577
     589-593, 595, 598-600, 602, 615,     — Эйлера
     630                                  — — отыскания общего решения
— функция, 275, 606-615, 630                   неоднородной системы д.у., 184,
М                                              420-429, 433, 437, 439
матрица                                   — — численного решения д. у., 266,
— векторного д. у.                             569—571
— — интегральная, 182                     Миндинга—Дарбу уравнение, 40, 106-
— — фундаментальная, 182                       109
— Вронского, 182                          Михайлова критерий, 276, 620, 621,
— Гурвица, 275, 616-619, 621, 622, 624-        623
     627                                  множитель интегрирующий, 53
матрицант, 183                            О
метод                                     определитель Вронского, 151, 183
— вариации                                Осгуда теорема, 82
— — произвольного вектора, 183,           Остроградского—Лиувилля формула,
     429—431                                   151, 362, 363
— — произвольных постоянных, 39,          П
     136, 151, 87-89, 91-93, 97, 108,     Пеано теорема, 82
     325, 326, 331, 342, 360, 431         Пикара теорема, 82, 199-204, 207
— исключения, 200, 408-420, 431, 435,     плоскость фазовая, 305
     442, 449-451, 453, 454               показатель роста функции, 323
— Коши                                    полюс, 340
— — отыскания интегральной                порядок полюса, 340
     поверхности, 229, 519—521            преобразование
— — —, обобщение, 229, 522-524            — Лапласа, 324
— — отыскания частного решения            ——, линейность, 324, 686, 688, 710,
     неоднородного д. у., 137                  734
— Лагранжа—Шарпи, 228, 504, 517           ——, однородность, 324
— малого параметра, 247, 559—566,         — Лиувилля, 165, 381-387
     568                                  прием Гессе, 208, 460-462
— неопределенных коэффициентов,           признак отсутствия предельных циклов
     136, 141, 315—324, 328, 329, 410,    — Бендиксона, 306, 672, 675
     432                                  — Пуанкаре, 306, 673, 678
— подбора интегрируемых                   пространство фазовое, 305
Пуанкаре признак отсутствия              — линейных д. у.
     предельных циклов, 306, 673, 678    — — автономная, 305
Пфаффа уравнение, 213, 233, 491-500,     — — неоднородная, 182, 184
     503, 505-508, 511, 517              — — нормальная, 200
Р                                        — — однородная, 182
Рауса—Гурвица критерий, 276, 676,        — решений однородного д. у.
     6/7, 621, 625                            фундаментальная, 151
Рейссига теорема о наличии               скорость фазовая, 305
     предельных циклов, 306—307,         Т
     677                                 теорема
решение                                  — запаздывания, 324, 689, 739, 741,
—-дифференциального уравнения                 768
— — изолированное, 105                   — Левинсона—Смита о наличии
— — особое, 99                                предельных циклов, 306, 676
— задачи Коши                            — Ляпунова
— — общее, 4                             — — вторая, 275, 606-609, 611, 615
— — частное, 4                           — — первая (об устойчивости по
— неустойчивое в смысле Ляпунова,             первому приближению), 274-275,
     274                                      5*9-595, 595, 598-600, 602, 615,
— — обыкновенного д. у. n -го                 630
     порядка, 4                          — о дифференцировании
— устойчивое                             — — изображения преобразования
— — асимптотически, 274                       Лапласа, 325, 704—706, 723, 749
— — по Ляпунову, 274                     — — оригинала преобразования
Риккати уравнение специальное, 67,            Лапласа, 324, 700—702, 740
     70—71, 164—167, 169-171             — о линейности преобразования
Романа—Мемина формула обращения,              Лапласа, 324, 686, 688, 710, 734
     339-340                             — о предельных соотношениях, 325
Рунге—Кутта метод численного             — о существовании и единственности
     решения д. у., 267, 572—575              решения задачи Коши, 82
ряд                                      — об интегрировании
— Лорана, 340                            — — изображения преобразования
——, главная часть, 340                        Лапласа, 325, 708—710, 732
——, правильная часть, 340                — — оригинала преобразования
— Фурье, 556-55S, 728                         Лапласа, 325, 707, 708, 718, 724,
С                                             733, 742
самосопряженная форма линейного д.       — об однородности преобразования
     у. 2-го порядка, 152                     Лапласа, 324
седло,293 синус интегральный, 335        — опережения, 324
— гиперболический, 335                   — Осгуда, 82
синус-интеграл Френеля, 334, 707, 712,   — Пеано, 82
     713, 763                            — Пикара, 82, 199-204, 207
система                                  — подобия, 324, 6*7, 6*9, 765
— Гессе, 208                             — разложения
— — вторая, 342, 725, 727, 728, 736,          54
      738, 739, 741, 743-745, 747, 750,   — — линейное
      751, 767                            — — — 1-го порядка, 39
— — первая, 341, 729                      — — — 2-го порядка, 152
— Рейссига о наличии предельных           — — — —, инвариант, 152
      циклов, 306—307, 677                — — — —, канонический вид, 152
— смещения, 324, 699, 7У5, 734            — — — —, самосопряженная форма,
— умножения                                   152
— — обобщенная А. М. Эфроса, 336,         — — — n-го порядка, 135, 150
      764                                 — — — — неоднородное, 135
— — Э.Бореля, 336, 711-715, 719, 720,     — — — — однородное, 135
      740, 752, 753, 762                  — — не разрешенное относительно
— Четаева о неустойчивости, 275,              производной, 73
      612—614                             — — обобщенно-однородное, 30, 122
точка                                     — — однородное, 29
— разветвления многозначной               — — однородное относительно
      функции, 342                            функции и ее производных, 122
— системы двух д. у. первого порядка      — — с разделяющимися переменными,
      особая, 293                             11
— функции особая                          — интегральное
— — однозначного характера, 340           — — Абеля, 359
— — устранимая, 340                       — — Вольтерра линейное
— функции существенно особая, 340         — — — 1-го рода, 358
траектории                                — — — 2-го рода, 358
— изогональные, 106                       — — — особое, 359
— на фазовой плоскости. 305               — — Фредгольма
— ортогональные, 106                      — — — 1-го рода, 357
У                                         — — — 2-го рода, 357
узел, 293                                 — — — однородное, 357
— вырожденный, 293                        — — — особое, 359
— дикритический, 293                      — Клеро, 78, 191, 194
уравнение                                 — Лагранжа, 78, 192, 193
— Бернулли, 39, 115, 97, 99, 101, 103,    — — второго рода, 438-440, 629, 630,
      106, 168, 265, 447                      750
— в частных производных                   — Миндинга—Дарбу, 40, 106-109
— — гиперболического типа, 366            — Пфаффа, 213, 233, 491-500, 503, 505-
— — квазилинейное 1-го порядка, 212           508, 511, 517
— — нелинейное 1-го порядка, 228          — Риккати специальное, 67, 70-71,
— — параболического типа, 366                 164-167, 169-171
— дифференциальное                        — характеристическое, 136, 184
— — n-го порядка, 4                       — Чебышева, 152
— — — каноническое, 4                     — Эйлера, 152, 371, 372, 39J
— — в полных дифференциалах, 53           — Эйлера—Риккати, 67, 152, 163, 282
— — для интегрирующего множителя,         — — каноническое, 67, 172
условие Липшица, 82, 240                — Грина краевой задачи, 170, 393-406
Ф                                       — дробная, 340
фокус, 293                              — Лагранжа, 582, 629, 630
форма                                   — Ляпунова, 275, 606-615, 630
— векторная системы линейных д. у.,     — мероморфная, 340
     182                                — моногенная в области, 340
— самосопряженная линейного д. у. 2-    — однородная степени m, 29
     го порядка, 152                    — регулярная в области, 340
— симметрическая нормальной             — Хевисайда, 323, 679, 733
     системы д. у., 201                 — — обобщенная, 329, 690-694, 728
формула                                 — целая, 340
— Абеля, 159, 363, 364                  функция-изображение преобразования
— Коши о вычетах, 341                        Лапласа, 324
— обращения Римана—Меллина,             — обобщенная, 326
     339—340                            функция-оригинал преобразования
— Остроградского—Лиувилля, 151,              Лапласа, 323
     362, 363                           — обобщенная, 326
— Циолковского, 29                      Фурье ряд, S56-SSS, 728
формулы Дюамеля, 337, 347, 721, 742-    X
     744, 766                           характеристическое уравнение, 136,
Фредгольма уравнение интегральное            184
     линейное                           Хевисайда функция, 323, 679, 733
— 1-го рода, 357                        — обобщенная, 329, 690-694, 728
— 2-го рода, 357                        Ц
— однородное, 357                       центр, 293
— особое, 359                           цепная линия, 110
Френеля                                 цикл предельный, 306
— косинус-интеграл, 334, 707, 712,      — неустойчивый, 306
     713, 763                           — полуустойчивый, 306
— синус-интеграл, 334, 707, 712, 713,   — устойчивый, 306
     763                                циклоида, 111
фундаментальная матрица векторного      Циолковского формула, 29
     д. у., 182                         Ч
фундаментальная система решений         часть ряда Лорана
     однородного д. у., 151             — главная, 340
функции                                 — правильная, 340
— линейно зависимые, 151                Чебышева уравнение, 152
— линейно независимые, 151              Четаева теорема о неустойчивости,
— собственные задачи Штурма—                 275, 612—614
     Лиувилля, 170                      Ш
функция                                 Штермера метод численного решения
— аналитическая в области, 340               д. у., 267, 575—577
— влияния для задачи Коши, 137          Штурма—Лиувилля задача, 170
— голоморфная, 340                      —, собственные значения, 170
—, собственные фуншии, 170                   569—571
Э                                       — уравнение, 152, 371, 372, 391
эвольвента, 106                         Эйлера—Риккати уравнение, 67, 152,
эволюта, 106                                 163, 282
Эйлера                                  — каноническое, 67, 172
— метод                                 Эфроса теорема умножения
— — отыскания общего решения                 обобщенная, 336, 764
     неоднородной системы д. у., 184,   Я
     420-429, 433, 437, 439             ядро интегрального уравнения, 357
— — численного решения д. у., 266,
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk
Boyarchuk

More Related Content

What's hot

Aa97b0f540f686123fa4f693a35aa8d0
Aa97b0f540f686123fa4f693a35aa8d0Aa97b0f540f686123fa4f693a35aa8d0
Aa97b0f540f686123fa4f693a35aa8d0tomik1044
 
Линейная алгебра ll. Разбор задач второго модуля
Линейная алгебра ll. Разбор задач второго модуляЛинейная алгебра ll. Разбор задач второго модуля
Линейная алгебра ll. Разбор задач второго модуля
DEVTYPE
 
М.Г.Гоман (1986) – Дифференциальный метод продолжения решений систем конечных...
М.Г.Гоман (1986) – Дифференциальный метод продолжения решений систем конечных...М.Г.Гоман (1986) – Дифференциальный метод продолжения решений систем конечных...
М.Г.Гоман (1986) – Дифференциальный метод продолжения решений систем конечных...
Project KRIT
 
15
1515
15JIuc
 
Г. Полиа, Г. Сеге. Задачи и теоремы анализа. 1
Г. Полиа, Г. Сеге. Задачи и теоремы анализа. 1Г. Полиа, Г. Сеге. Задачи и теоремы анализа. 1
Г. Полиа, Г. Сеге. Задачи и теоремы анализа. 1
Yura Maturin
 
7 алг мерзляк_полонский_2016_рус
7 алг мерзляк_полонский_2016_рус7 алг мерзляк_полонский_2016_рус
7 алг мерзляк_полонский_2016_рус
Aira_Roo
 
Г. Полиа, Г. Сеге. Задачи и теоремы анализа. 2.
Г. Полиа, Г. Сеге. Задачи и теоремы анализа. 2.Г. Полиа, Г. Сеге. Задачи и теоремы анализа. 2.
Г. Полиа, Г. Сеге. Задачи и теоремы анализа. 2.
Yura Maturin
 
Линейная алгебра - I. Разбор задач
Линейная алгебра - I. Разбор задачЛинейная алгебра - I. Разбор задач
Линейная алгебра - I. Разбор задач
DEVTYPE
 
метод пособие
метод пособиеметод пособие
метод пособие
oquzaman
 
9
99
Линейная алгебра - II
Линейная алгебра - IIЛинейная алгебра - II
Линейная алгебра - II
DEVTYPE
 
Lecture 10 cont_joint_distr
Lecture 10 cont_joint_distrLecture 10 cont_joint_distr
Lecture 10 cont_joint_distr
Kurbatskiy Alexey
 
Линейная алгебра - I
Линейная алгебра - IЛинейная алгебра - I
Линейная алгебра - I
DEVTYPE
 
массивы.строки
массивы.строкимассивы.строки
массивы.строкиdasha2012
 
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВАРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
silvermlm
 
Suprun11 PROBLEMAS MATEMATICAS ESPECIALES 1
Suprun11 PROBLEMAS MATEMATICAS ESPECIALES 1Suprun11 PROBLEMAS MATEMATICAS ESPECIALES 1
Suprun11 PROBLEMAS MATEMATICAS ESPECIALES 1
Armando Cavero
 
Основы комбинаторики - I
Основы комбинаторики - IОсновы комбинаторики - I
Основы комбинаторики - I
DEVTYPE
 
556 1 алгебра. 10кл.-кузнецова, муравьева и др_минск, 2013 -271с
556 1  алгебра. 10кл.-кузнецова, муравьева и др_минск, 2013 -271с556 1  алгебра. 10кл.-кузнецова, муравьева и др_минск, 2013 -271с
556 1 алгебра. 10кл.-кузнецова, муравьева и др_минск, 2013 -271с
psvayy
 

What's hot (20)

Aa97b0f540f686123fa4f693a35aa8d0
Aa97b0f540f686123fa4f693a35aa8d0Aa97b0f540f686123fa4f693a35aa8d0
Aa97b0f540f686123fa4f693a35aa8d0
 
Линейная алгебра ll. Разбор задач второго модуля
Линейная алгебра ll. Разбор задач второго модуляЛинейная алгебра ll. Разбор задач второго модуля
Линейная алгебра ll. Разбор задач второго модуля
 
М.Г.Гоман (1986) – Дифференциальный метод продолжения решений систем конечных...
М.Г.Гоман (1986) – Дифференциальный метод продолжения решений систем конечных...М.Г.Гоман (1986) – Дифференциальный метод продолжения решений систем конечных...
М.Г.Гоман (1986) – Дифференциальный метод продолжения решений систем конечных...
 
15
1515
15
 
Г. Полиа, Г. Сеге. Задачи и теоремы анализа. 1
Г. Полиа, Г. Сеге. Задачи и теоремы анализа. 1Г. Полиа, Г. Сеге. Задачи и теоремы анализа. 1
Г. Полиа, Г. Сеге. Задачи и теоремы анализа. 1
 
7 алг мерзляк_полонский_2016_рус
7 алг мерзляк_полонский_2016_рус7 алг мерзляк_полонский_2016_рус
7 алг мерзляк_полонский_2016_рус
 
Г. Полиа, Г. Сеге. Задачи и теоремы анализа. 2.
Г. Полиа, Г. Сеге. Задачи и теоремы анализа. 2.Г. Полиа, Г. Сеге. Задачи и теоремы анализа. 2.
Г. Полиа, Г. Сеге. Задачи и теоремы анализа. 2.
 
Lection01
Lection01Lection01
Lection01
 
Линейная алгебра - I. Разбор задач
Линейная алгебра - I. Разбор задачЛинейная алгебра - I. Разбор задач
Линейная алгебра - I. Разбор задач
 
метод пособие
метод пособиеметод пособие
метод пособие
 
9
99
9
 
Линейная алгебра - II
Линейная алгебра - IIЛинейная алгебра - II
Линейная алгебра - II
 
Lecture 10 cont_joint_distr
Lecture 10 cont_joint_distrLecture 10 cont_joint_distr
Lecture 10 cont_joint_distr
 
Линейная алгебра - I
Линейная алгебра - IЛинейная алгебра - I
Линейная алгебра - I
 
массивы.строки
массивы.строкимассивы.строки
массивы.строки
 
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВАРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
 
Suprun11 PROBLEMAS MATEMATICAS ESPECIALES 1
Suprun11 PROBLEMAS MATEMATICAS ESPECIALES 1Suprun11 PROBLEMAS MATEMATICAS ESPECIALES 1
Suprun11 PROBLEMAS MATEMATICAS ESPECIALES 1
 
Основы комбинаторики - I
Основы комбинаторики - IОсновы комбинаторики - I
Основы комбинаторики - I
 
556 1 алгебра. 10кл.-кузнецова, муравьева и др_минск, 2013 -271с
556 1  алгебра. 10кл.-кузнецова, муравьева и др_минск, 2013 -271с556 1  алгебра. 10кл.-кузнецова, муравьева и др_минск, 2013 -271с
556 1 алгебра. 10кл.-кузнецова, муравьева и др_минск, 2013 -271с
 
Matanal 31oct
Matanal 31octMatanal 31oct
Matanal 31oct
 

Boyarchuk

  • 1. А.К.Боярчук, Г.П.Головач ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Справочное пособие по высшей математике. Т. 5 М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 384 с. «Справочное пособие по высшей математике» выходит в пяти томах и представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание «Справочного пособия по математическому анализу» тех же авторов. В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики — математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функций комплексной переменной. Том 5 охватывает все разделы учебных программ по дифференциальным уравнениям для университетов и технических вузов с углубленным изучением математики. Наряду с минимальными теоретическими сведениями в нем содержится более семисот детально разобранных примеров. Среди вопросов, нестандартных для такого рода пособий, следует отметить примеры по теории продолжимости решения задачи Коши, нелинейным уравнениям в частных производных первого порядка, некоторым численным методам решения дифференциальных уравнений. Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физико- математических, экономических и инженерно-технических специальностей, специалистов по прикладной математике, а также лиц, самостоятельно изучающих высшую математику. Оглавление Предисловие 3 Введение 4 Основные понятия. Составление дифференциальных уравнений 4 Основные определения (4) Задача Коши (4) Построение дифференциального уравнения по заданному семейству кривых (5) Примеры (5) Упражнения для самостоятельной работы 10 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 11 § 1. Уравнения с разделяющимися переменными 11 Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (11) Разделение переменных линейной заменой аргумента (11) Примеры (11) §2. Геометрические и физические задачи, приводящие к уравнениям с 15 разделяющимися переменными Использование геометрического смысла производной (15) Использование физического смысла производной (15) Примеры (15) § 3. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним 29 Однородное уравнение (29) Уравнение, сводимое к однородному (30) Обобщенно-однородное уравнение (30) Примеры (30) § 4. Линейные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним 39 Линейное уравнение первого порядка (39) Обмен ролями между
  • 2. функцией и аргументом (39) Уравнения, приводимые к линейным (39) Уравнение Миндинга — Дарбу (40) Примеры (40) § 5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 53 Уравнение в полных дифференциалах (53) Интегрирующий множитель (53) Дифференциальное уравнение для интегрирующего множителя (54) Примеры (54) § 6. Уравнение Эйлера — Риккати 67 Уравнение Эйлера — Риккати. Специальное уравнение Риккати (67) Каноническое уравнение Эйлера — Риккати (67) Примеры (67) § 7. Уравнения, не разрешенные относительно производной 73 Уравнение, не разрешенное относительно производной (73) Общий интеграл уравнения F(y')=0 (73) Представление решения в параметрической форме. Разрешение неполных уравнений ( 73) Примеры (74) § 8. Существование и единственность решения 82 Теоремы Пикара, Пеано и Осгуда (82) Существование и единственность решения задачи Коши для уравнения, не разрешенного относительно производной (82) Продолжение решения задачи Коши (82) Существование и единственность решения векторной задачи Коши (83) Примеры (83) § 9. Особые решения 99 Особое решение. Дискриминантная кривая (99) Огибающая как особое решение (100) Примеры (100) § 10. Задачи на траектории 106 Изогональные и ортогональные траектории (106) Эволюта и эвольвента (106) Примеры (107) Упражнения для самостоятельной работы 112 Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 114 § 1. Виды интегрируемых нелинейных уравнений 114 Дифференциальное уравнение вида F ( x, y ( n ) ) = 0 (114) Дифференциальное уравнение вида F ( y ( n −1) , y ( n ) ) = 0 (114) Дифференциальное уравнение вида F ( y ( n − 2 ) , y ( n ) ) = 0 (114) Примеры (115) § 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 122 Дифференциальное уравнение вида F ( x, y ( k ) , y ( k +1) ,..., y ( n ) ) = 0 (122) Дифференциальное уравнение вида F ( y , y ' ,..., y ( n ) ) = 0 (122) Однородное дифференциальное уравнение вида F ( x, y , y ' ,..., y ( n ) ) = 0 (122) Обобщенноe однородное дифференциальное уравнение вида F ( x, y , y ' ,..., y ( n ) ) = 0 (122) Уравнение, приводимое к виду (ϕ( x, y , y ' ,..., y ( n −1) ))' = 0 (123) Примеры (123) § 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными 135
  • 3. коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение n -го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение (135) Поиск частного решения линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами методом неопределенных коэффициентов (136) Метод вариации произвольных постоянных (136) Метод Коши нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (137) Примеры (137) § 4. Линейные дифференциальные уравнения с переменными 150 коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами. Линейно зависимые функции. Определитель Вронского (150) Критерий линейной независимости функций (151) Фундаментальная система решений (151) Формула Остроградского — Лиувилля (151) Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами (151) Уравнение Эйлера. Уравнение Чебышева (152) Дифференциальные уравнения второго порядка (152) Связь между линейным дифференциальным уравнением второго порядка и уравнением Эйлера — Риккати (152) Сведение линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами к уравнению с постоянными коэффициентами (153) Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений второго порядка (153) Примеры (153) § 5. Краевые задачи 169 Определение краевой задачи (169) Функция Грина краевой задачи (170) Задача Штурма — Лиувилля (170) Условие эквивалентности краевой задачи интегральному уравнению (170) Примеры (170) Упражнения для самостоятельной работы 180 Глава 3. Системы дифференциальных уравнений 182 § 1. Линейные системы 182 Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Фундаментальная матрица уравнения. Определитель Вронского (182) Метод вариации произвольного вектора (183) Матрицант (183) Неоднородные линейные системы с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера (184) Примеры (184) § 2. Нелинейные системы 200 Нормальные системы дифференциальных уравнений. Метод исключения (200) Подбор интегрируемых комбинаций (201) Примеры (201) Упражнения для самостоятельной работы 211 Глава 4. Уравнения в частных производных первого порядка 212
  • 4. § 1. Линейные и квазилинейные уравнения 212 Основные понятия (212) Решение квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка (212) Задача Коши (272) Уравнение Пфаффа (213) Примеры (213) § 2. Нелинейные уравнения первого порядка 228 Нелинейные уравнения в частных производных первого порядка (228) Решение задачи о нахождении интегральной поверхности, проходящей через заданную кривую (228) Метод Коши (229) Обобщение метода Коши (229) Примеры (229) Упражнения для самостоятельной работы 239 Глава 5. Приближенные методы решения дифференциальных 240 уравнений § 1. Зависимость решения от начальных условий и параметров 240 Об оценке погрешности приближенного решения (240) Об отыскании производных от решений по параметру (240) Примеры (241) §2. Аналитические приближенные методы 246 Метод степенных рядов (246) Метод малого параметра (247) Примеры (247) § 3. Численные методы решения дифференциальных уравнений 266 Метод Эйлера k-го порядка (266) Метод Рунге — Кутта 4-го порядка (267) Метод Штермера (267) Примеры (267) Упражнения для самостоятельной работы 273 Глава 6. Устойчивость и фазовые траектории 274 § 1. Устойчивость 274 Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость (274) Исследование на устойчивость по первому приближению: первая теорема Ляпунова (274) Исследование на устойчивость с помощью функций Ляпунова: вторая теорема Ляпунова (275) Условия отрицательности всех действительных частей корней уравнения a0λn + a1λn −1 + ... + an −1λ + an = 0, a0 > 0 , с действительными коэффициентами (275) Примеры (276) § 2. Особые точки 292 Определение особых точек и их классификация (292) Практические приемы исследования особых точек (293) Примеры (294) § 3. Фазовая плоскость 305 Основные понятия (305) Построение фазового портрета (305) Предельные циклы (306) Признаки отсутствия предельных циклов (306) Признаки наличия предельных циклов (306) Примеры (307) Упражнения для самостоятельной работы 322 Глава 7. Метод интегральных преобразований Лапласа решения 323 линейных дифференциальных уравнений § 1. Преобразование Лапласа. Основные понятия и свойства 323 Оригинал и изображение (323) Свойства преобразования Лапласа
  • 5. (324) Примеры (325) § 2. Свертка функций. Теоремы разложения 336 Определение свертки (336) Теорема умножения (Э. Бореля) (336) Обобщенная теорема умножения (А. М. Эфроса) (336) Формулы Дюамеля (337) Примеры (337) §3. Обратное преобразование Лапласа 339 Формула обращения Римана — Меллина (339) Сведения из теории функций комплексного переменного (340) Теоремы разложения (341) Примеры (342) § 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы 346 Интегрирование уравнений с постоянными коэффициентами (346) Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (347) Решение уравнений с нулевыми начальными условиями при помощи интеграла Дюамеля (347) Примеры (347) § 5. Интегральные уравнения типа свертки. Особые уравнения 357 Интегральные уравнения типа свертки (357) Интегральные уравнения второго рода (358) Интегральные уравнения первого рода (359) Особые интегральные уравнения. Интегральное уравнение Абеля (359) Примеры (360) § 6. Применение операционного исчисления к решению уравнений с 366 частными производными Примеры (367) Упражнения для самостоятельной работы 370 Ответы 372 Предметный указатель 377 Предметный указатель Настоящий предметный указатель призван облегчить поиск терминов по алфавитному признаку. Для поиска терминов по тематическому признаку пользуйтесь подробно составленным оглавлением. В указателе, как правило, приводятся ссылки только на страницу, содержащую определение термина; составитель указателя не ставил своей целью отследить все упоминания приведенных терминов в тексте. Исключение составляют термины, описывающие методы, приемы, практические результаты: для них в некоторых случаях после номеров страниц курсивом указаны также задачи, в которых они используются существенным образом. С целью уменьшения громоздкости указателя вместо термина "дифференциальное(ые) уравнение(я)" применяется сокращение "д. у.". А Бернулли уравнение, 39, 115, 97, 99, Абеля 101, 103, 106, 168, 265, 447 — уравнение интегральное, 359 Бихари лемма, 83, 201, 202 — — формула, 159, 363, 364 Бореля теорема умножения, 336, 711- астроида, 111 715, 719, 720, 740, 752, 753, 762 Б В Бендиксона признак отсутствия вид канонический линейного д. у. 2-го предельных циклов, 306, 672, 675 порядка, 152
  • 6. Вольтерра уравнение интегральное интегрирующий множитель, 53 — 1-го рода, 358 К — 2-го рода, 358 канонический вид линейного д. у. 2-го — особое, 359 порядка, 152 Вронского Клеро уравнение, 78, 191, 194 — матрица, 182 косинус-интеграл Френеля, 334, 707, — определитель, 151, 183 712, 713, 763 вычет функции, 340 Коши Г — задача,4 Гессе — — векторная, 83 — прием, 208, 460-462 — метод — система, 208 — — отыскания интегральной гипербола вырожденная, 18 поверхности, 229, 519—521 Грина функция краевой задачи, 170, — —, обобщение, 229, 522-524 393-406 — отыскания частного решения Гурвица матрица, 275, 616-619, 621, неоднородного д. у., 137 622, 624-627 — формула о вычетах, 341 Д краевая задача, 169 Дюамеля — нестационарная, 367 — интегралы, 337 кривая дискриминантная, 99 — формулы, 337, 347, 721, 742-744, критерий 766 — линейной независимости функций, З 151 задача — Льенара—Шипара, 276, 618, 619, — Коши, 4 626-628 — — векторная, 83 — Михайлова, 276, 620, 621, 623 — краевая, 169 — Рауса—Гурвица, 276, 616, 617, 621, — — нестационарная, 367 625 — Штурма—Лиувилля, 170 Л — —, собственные значения, 170 Лагранжа — —, собственные функции, 170 — уравнение, 78, 192, 193 значения собственные задачи — — второго рода, 438-440, 629, 630, Штурма—Лиувилля, 170 750 И — функция, 582, 629, 630 инвариант линейного д. у. 2-го Лагранжа—Шарли метод, 228, 504, 517 порядка, 152 Лапласа преобразование, 324 интеграл —, линейность, 324, 686, 688, 710, 734 — вероятности, 338, 715-718, 724, 733 —, однородность, 324 — полный, 228 Левинсона—Смита теорема о наличии — системы д. у. первый, 201 предельных циклов, 306, 676 интегралы лемма Бихари, 83, 201, 202 — Дюамеля, 337 Липшица условие, 82, 240 — независимые, 201 Лиувилля преобразование, 165, 381— интегрируемая комбинация, 201 387
  • 7. Лорана ряд, 340 комбинаций, 201, 443-448 —, главная часть, 340 — последовательных приближений, Ш —, правильная часть, 340 — разбиения данного уравнения на две Льенара—Шипара критерий, 276, 618, части, 53, 149, 154-156, 15S-160 619, 626-628 — Рунге—Кутта численного решения Ляпунова д.у., 267, 572—575 — теорема — степенных рядов, 246-247, 537-555, — — вторая, 275, 606-609, 611, 615 576, 577 — — первая (об устойчивости по — Штермера численного решения д.у., первому приближению), 274-275, 267, 575—577 589-593, 595, 598-600, 602, 615, — Эйлера 630 — — отыскания общего решения — функция, 275, 606-615, 630 неоднородной системы д.у., 184, М 420-429, 433, 437, 439 матрица — — численного решения д. у., 266, — векторного д. у. 569—571 — — интегральная, 182 Миндинга—Дарбу уравнение, 40, 106- — — фундаментальная, 182 109 — Вронского, 182 Михайлова критерий, 276, 620, 621, — Гурвица, 275, 616-619, 621, 622, 624- 623 627 множитель интегрирующий, 53 матрицант, 183 О метод определитель Вронского, 151, 183 — вариации Осгуда теорема, 82 — — произвольного вектора, 183, Остроградского—Лиувилля формула, 429—431 151, 362, 363 — — произвольных постоянных, 39, П 136, 151, 87-89, 91-93, 97, 108, Пеано теорема, 82 325, 326, 331, 342, 360, 431 Пикара теорема, 82, 199-204, 207 — исключения, 200, 408-420, 431, 435, плоскость фазовая, 305 442, 449-451, 453, 454 показатель роста функции, 323 — Коши полюс, 340 — — отыскания интегральной порядок полюса, 340 поверхности, 229, 519—521 преобразование — — —, обобщение, 229, 522-524 — Лапласа, 324 — — отыскания частного решения ——, линейность, 324, 686, 688, 710, неоднородного д. у., 137 734 — Лагранжа—Шарпи, 228, 504, 517 ——, однородность, 324 — малого параметра, 247, 559—566, — Лиувилля, 165, 381-387 568 прием Гессе, 208, 460-462 — неопределенных коэффициентов, признак отсутствия предельных циклов 136, 141, 315—324, 328, 329, 410, — Бендиксона, 306, 672, 675 432 — Пуанкаре, 306, 673, 678 — подбора интегрируемых пространство фазовое, 305
  • 8. Пуанкаре признак отсутствия — линейных д. у. предельных циклов, 306, 673, 678 — — автономная, 305 Пфаффа уравнение, 213, 233, 491-500, — — неоднородная, 182, 184 503, 505-508, 511, 517 — — нормальная, 200 Р — — однородная, 182 Рауса—Гурвица критерий, 276, 676, — решений однородного д. у. 6/7, 621, 625 фундаментальная, 151 Рейссига теорема о наличии скорость фазовая, 305 предельных циклов, 306—307, Т 677 теорема решение — запаздывания, 324, 689, 739, 741, —-дифференциального уравнения 768 — — изолированное, 105 — Левинсона—Смита о наличии — — особое, 99 предельных циклов, 306, 676 — задачи Коши — Ляпунова — — общее, 4 — — вторая, 275, 606-609, 611, 615 — — частное, 4 — — первая (об устойчивости по — неустойчивое в смысле Ляпунова, первому приближению), 274-275, 274 5*9-595, 595, 598-600, 602, 615, — — обыкновенного д. у. n -го 630 порядка, 4 — о дифференцировании — устойчивое — — изображения преобразования — — асимптотически, 274 Лапласа, 325, 704—706, 723, 749 — — по Ляпунову, 274 — — оригинала преобразования Риккати уравнение специальное, 67, Лапласа, 324, 700—702, 740 70—71, 164—167, 169-171 — о линейности преобразования Романа—Мемина формула обращения, Лапласа, 324, 686, 688, 710, 734 339-340 — о предельных соотношениях, 325 Рунге—Кутта метод численного — о существовании и единственности решения д. у., 267, 572—575 решения задачи Коши, 82 ряд — об интегрировании — Лорана, 340 — — изображения преобразования ——, главная часть, 340 Лапласа, 325, 708—710, 732 ——, правильная часть, 340 — — оригинала преобразования — Фурье, 556-55S, 728 Лапласа, 325, 707, 708, 718, 724, С 733, 742 самосопряженная форма линейного д. — об однородности преобразования у. 2-го порядка, 152 Лапласа, 324 седло,293 синус интегральный, 335 — опережения, 324 — гиперболический, 335 — Осгуда, 82 синус-интеграл Френеля, 334, 707, 712, — Пеано, 82 713, 763 — Пикара, 82, 199-204, 207 система — подобия, 324, 6*7, 6*9, 765 — Гессе, 208 — разложения
  • 9. — — вторая, 342, 725, 727, 728, 736, 54 738, 739, 741, 743-745, 747, 750, — — линейное 751, 767 — — — 1-го порядка, 39 — — первая, 341, 729 — — — 2-го порядка, 152 — Рейссига о наличии предельных — — — —, инвариант, 152 циклов, 306—307, 677 — — — —, канонический вид, 152 — смещения, 324, 699, 7У5, 734 — — — —, самосопряженная форма, — умножения 152 — — обобщенная А. М. Эфроса, 336, — — — n-го порядка, 135, 150 764 — — — — неоднородное, 135 — — Э.Бореля, 336, 711-715, 719, 720, — — — — однородное, 135 740, 752, 753, 762 — — не разрешенное относительно — Четаева о неустойчивости, 275, производной, 73 612—614 — — обобщенно-однородное, 30, 122 точка — — однородное, 29 — разветвления многозначной — — однородное относительно функции, 342 функции и ее производных, 122 — системы двух д. у. первого порядка — — с разделяющимися переменными, особая, 293 11 — функции особая — интегральное — — однозначного характера, 340 — — Абеля, 359 — — устранимая, 340 — — Вольтерра линейное — функции существенно особая, 340 — — — 1-го рода, 358 траектории — — — 2-го рода, 358 — изогональные, 106 — — — особое, 359 — на фазовой плоскости. 305 — — Фредгольма — ортогональные, 106 — — — 1-го рода, 357 У — — — 2-го рода, 357 узел, 293 — — — однородное, 357 — вырожденный, 293 — — — особое, 359 — дикритический, 293 — Клеро, 78, 191, 194 уравнение — Лагранжа, 78, 192, 193 — Бернулли, 39, 115, 97, 99, 101, 103, — — второго рода, 438-440, 629, 630, 106, 168, 265, 447 750 — в частных производных — Миндинга—Дарбу, 40, 106-109 — — гиперболического типа, 366 — Пфаффа, 213, 233, 491-500, 503, 505- — — квазилинейное 1-го порядка, 212 508, 511, 517 — — нелинейное 1-го порядка, 228 — Риккати специальное, 67, 70-71, — — параболического типа, 366 164-167, 169-171 — дифференциальное — характеристическое, 136, 184 — — n-го порядка, 4 — Чебышева, 152 — — — каноническое, 4 — Эйлера, 152, 371, 372, 39J — — в полных дифференциалах, 53 — Эйлера—Риккати, 67, 152, 163, 282 — — для интегрирующего множителя, — — каноническое, 67, 172
  • 10. условие Липшица, 82, 240 — Грина краевой задачи, 170, 393-406 Ф — дробная, 340 фокус, 293 — Лагранжа, 582, 629, 630 форма — Ляпунова, 275, 606-615, 630 — векторная системы линейных д. у., — мероморфная, 340 182 — моногенная в области, 340 — самосопряженная линейного д. у. 2- — однородная степени m, 29 го порядка, 152 — регулярная в области, 340 — симметрическая нормальной — Хевисайда, 323, 679, 733 системы д. у., 201 — — обобщенная, 329, 690-694, 728 формула — целая, 340 — Абеля, 159, 363, 364 функция-изображение преобразования — Коши о вычетах, 341 Лапласа, 324 — обращения Римана—Меллина, — обобщенная, 326 339—340 функция-оригинал преобразования — Остроградского—Лиувилля, 151, Лапласа, 323 362, 363 — обобщенная, 326 — Циолковского, 29 Фурье ряд, S56-SSS, 728 формулы Дюамеля, 337, 347, 721, 742- X 744, 766 характеристическое уравнение, 136, Фредгольма уравнение интегральное 184 линейное Хевисайда функция, 323, 679, 733 — 1-го рода, 357 — обобщенная, 329, 690-694, 728 — 2-го рода, 357 Ц — однородное, 357 центр, 293 — особое, 359 цепная линия, 110 Френеля цикл предельный, 306 — косинус-интеграл, 334, 707, 712, — неустойчивый, 306 713, 763 — полуустойчивый, 306 — синус-интеграл, 334, 707, 712, 713, — устойчивый, 306 763 циклоида, 111 фундаментальная матрица векторного Циолковского формула, 29 д. у., 182 Ч фундаментальная система решений часть ряда Лорана однородного д. у., 151 — главная, 340 функции — правильная, 340 — линейно зависимые, 151 Чебышева уравнение, 152 — линейно независимые, 151 Четаева теорема о неустойчивости, — собственные задачи Штурма— 275, 612—614 Лиувилля, 170 Ш функция Штермера метод численного решения — аналитическая в области, 340 д. у., 267, 575—577 — влияния для задачи Коши, 137 Штурма—Лиувилля задача, 170 — голоморфная, 340 —, собственные значения, 170
  • 11. —, собственные фуншии, 170 569—571 Э — уравнение, 152, 371, 372, 391 эвольвента, 106 Эйлера—Риккати уравнение, 67, 152, эволюта, 106 163, 282 Эйлера — каноническое, 67, 172 — метод Эфроса теорема умножения — — отыскания общего решения обобщенная, 336, 764 неоднородной системы д. у., 184, Я 420-429, 433, 437, 439 ядро интегрального уравнения, 357 — — численного решения д. у., 266,