Сытник В. С. Основы расчета и анализа точности геодезических измерений в стро...Иван Иванов
В книге изложены вопросы теории и практики расчета, бценки
и анализа точности геодезических измерений, выполняемых при
возведении промышленных, жилых и общественных зданий й\цн-
женериых сооружений. На основе существующих в теории вероят^~—-
ностей
математической статистики и ошибок измерений рассмат
риваются методы расчета необходимой и достаточной точности гео
дезических измерений
применительно к определенным стадиям
строительно-монтажных работ и конструктивным решениям зданий
и сооружений. Значительное внимание уделено анализу точности
результатов геодезических измерений
Poialkova v.m. -_lifter-akademiia_(2007)Иван Иванов
The document is illegible as it contains random characters and symbols with no discernible words, sentences or meaning. It appears to be gibberish with no real information that can be summarized.
Сытник В. С. Основы расчета и анализа точности геодезических измерений в стро...Иван Иванов
В книге изложены вопросы теории и практики расчета, бценки
и анализа точности геодезических измерений, выполняемых при
возведении промышленных, жилых и общественных зданий й\цн-
женериых сооружений. На основе существующих в теории вероят^~—-
ностей
математической статистики и ошибок измерений рассмат
риваются методы расчета необходимой и достаточной точности гео
дезических измерений
применительно к определенным стадиям
строительно-монтажных работ и конструктивным решениям зданий
и сооружений. Значительное внимание уделено анализу точности
результатов геодезических измерений
Poialkova v.m. -_lifter-akademiia_(2007)Иван Иванов
The document is illegible as it contains random characters and symbols with no discernible words, sentences or meaning. It appears to be gibberish with no real information that can be summarized.
This document provides an introduction to a master's thesis that analyzes the legal and commercial issues in EU-Russia relations in the context of sanctions policy. It outlines the goals and structure of the thesis. The thesis will examine EU-Russia relations before and after sanctions were imposed in 2014 over Ukraine, the legal framework around the sanctions, and their impact on trade. It will also explore ways to optimize EU-Russia relations going forward. The introduction establishes that relations between the EU and Russia are an ongoing issue that significantly impacts international politics and economics.
Заковряшин А. И. Конструирование РЭА с учетом особенностей эксплуатацииИван Иванов
Показана роль конструкторского проектирования в обеспечении эффективности технического обслуживания РЭА по фактическому состоянию. В книге
взаимосвязанно решаются вопросы обеспечения ремонто- и контролепригодности
при конструировании РЭА. Ремонтопригодность рассматривается лак решающи”
фактор обеспечения эффективности применения аппаратуры. Область значений
конструктивных показателей РЭА определяется как результат решения задачи
оптимизации заданного качества функционирования.
The document provides guidance for directors of music in senior high schools on producing effective musical programs. It discusses various types of programs, considerations for program building such as attention, contrast and continuity. Organization, administration, publicity, programs/tickets, staging, lighting, costuming and other elements are covered. Experimental research was conducted, including visits to Radio City Music Hall and small theaters, to study professional practices.
1) Adolph W. Berkner of Cayuga, North Dakota invented an improved elevator bucket design.
2) Berkner's elevator bucket has a yieldingly supported bottom plate that can open under excessive weight to prevent overloading, and automatically closes when the weight reaches a predetermined amount to deliver accurate amounts.
3) The bottom plate is flexibly supported by a leather or metal strip attached to the top edge and backed by a metal strip, and is held closed by an arcuate leaf spring.
This document describes a radio navigation system that provides continuous indications of bearing and distance from a transmitter beacon to a receiver. It utilizes a single transmitter and receiver at the beacon location and a transmitter and receiver at the mobile location. The pulsed output of the distance measuring beacon is amplitude modulated with fundamental and harmonic bearing signals. At the mobile receiver, the distance is obtained from the timing of distance measuring pulses while the bearing is obtained by comparing the phase of the envelope wave components and reference signals.
This document describes a process for producing hydrocarbon drying oils through the polymerization of butadiene and styrene monomers in the presence of sodium catalyst. It discusses conducting the reaction in a reactor, then treating the product solution with an organic acid to convert the sodium into a filterable salt. The process aims to improve upon large-scale production by continuously feeding reagents to a reactor while removing the polymerized product, and pre-treating make-up materials to improve reaction efficiency.
This document describes improvements to a carbonating apparatus for producing aerated water. It details a conventional carbonator design and issues with maintaining proper carbonation levels and water temperature. The invention aims to address these issues by wrapping the carbonating chamber in helical coils of pipes, with one pipe carrying water and the other a refrigerant. This design cools the chamber directly to maintain carbonation levels while reducing operating pressures and refrigeration needs.
This document describes improvements in magnetic recording and reproduction of television signals. It discusses converting a high standard television signal into lower standard signals that can each be recorded on separate tracks of a magnetic tape. This allows the full high standard signal to be reconstructed by reading all the tracks simultaneously. The conversion is done using electro-optical converters like picture tubes, with the image on one tube scanned by multiple pickup tubes to generate the lower standard signals for recording.
This document describes a patent for an electrolysis process to produce bromine and iodine from aqueous electrolytes. It involves feeding fresh electrolyte into the electrochemically neutral zone between the anolyte and catholyte in an electrolytic cell. This keeps the position of the neutral zone stable without needing a diaphragm. Magnesium or calcium salts can be added to precipitate their insoluble hydroxides and improve current efficiency. Examples are provided testing the process with different electrolyte compositions.
This document describes an automatic toll ticketing telephone system that produces records of call information. It aims to improve the system by eliminating certain apparatus from individual register senders and making it available to multiple register senders instead. This involves removing switching mechanisms from each register sender and controlling common translating apparatus based on called office code digits to select routing for calls. The goals are to simplify register sender design and translate office codes into routing digits even if the full called number is not received.
This document describes a patent for an improved portable drilling rig mounted on a vehicle. Some key points:
1) The drilling rig allows lengths of drill pipe to be added to the drill string without needing to remove the string from the borehole, saving time.
2) The drill string is driven directly by a motor near the point of suspension from a movable jib, rather than using a rotating Kelly bar that requires removing from the borehole.
3) As additional lengths of pipe are added, the motor and bit remain near the bottom of the hole, avoiding debris falling down.
1. The document describes an improved method for adding ferrosilicon to a molten metal or alloy to simultaneously desulphurize or deoxidize it.
2. The method involves using briquettes containing ferrosilicon and calcium oxide in the form of burnt lime, calcium carbonate, or dolomite. When submerged in the molten metal, the briquettes react to increase the silicon content while forming calcium sulfide and silicon dioxide, removing sulfur from the melt.
3. The excess silicon in the briquettes helps drive the reaction and dissolve into the melt, while magnesium can be added to the briquettes to further accelerate their consumption and improve
This patent document describes an electromagnetic motor with a reciprocating armature. It includes a fixed magnetic field member with an opening for an iron armature to move through. Current rectifying means create a pulsating magnetic flux to drive the armature in one direction. A spring or additional magnetic field member drives it in the opposite direction. Adjusting the spring tension can match the natural frequency of the armature to the pulsating flux frequency for increased stroke length. The motor can power an air compressor with pistons connected to the armature.
This document describes improvements relating to forming ductile parts. Specifically, it describes using an articulated die held against the part by a templet to form parts of different curvatures using the same die by changing the templet. The articulated die allows the die surface to flex and conform to the part, enabling a variety of part shapes to be formed with one die set rather than requiring a separate rigid die for each shape. Examples of applying this technique to stretch forming and press forming processes are provided.
This document provides an introduction to a master's thesis that analyzes the legal and commercial issues in EU-Russia relations in the context of sanctions policy. It outlines the goals and structure of the thesis. The thesis will examine EU-Russia relations before and after sanctions were imposed in 2014 over Ukraine, the legal framework around the sanctions, and their impact on trade. It will also explore ways to optimize EU-Russia relations going forward. The introduction establishes that relations between the EU and Russia are an ongoing issue that significantly impacts international politics and economics.
Заковряшин А. И. Конструирование РЭА с учетом особенностей эксплуатацииИван Иванов
Показана роль конструкторского проектирования в обеспечении эффективности технического обслуживания РЭА по фактическому состоянию. В книге
взаимосвязанно решаются вопросы обеспечения ремонто- и контролепригодности
при конструировании РЭА. Ремонтопригодность рассматривается лак решающи”
фактор обеспечения эффективности применения аппаратуры. Область значений
конструктивных показателей РЭА определяется как результат решения задачи
оптимизации заданного качества функционирования.
The document provides guidance for directors of music in senior high schools on producing effective musical programs. It discusses various types of programs, considerations for program building such as attention, contrast and continuity. Organization, administration, publicity, programs/tickets, staging, lighting, costuming and other elements are covered. Experimental research was conducted, including visits to Radio City Music Hall and small theaters, to study professional practices.
1) Adolph W. Berkner of Cayuga, North Dakota invented an improved elevator bucket design.
2) Berkner's elevator bucket has a yieldingly supported bottom plate that can open under excessive weight to prevent overloading, and automatically closes when the weight reaches a predetermined amount to deliver accurate amounts.
3) The bottom plate is flexibly supported by a leather or metal strip attached to the top edge and backed by a metal strip, and is held closed by an arcuate leaf spring.
This document describes a radio navigation system that provides continuous indications of bearing and distance from a transmitter beacon to a receiver. It utilizes a single transmitter and receiver at the beacon location and a transmitter and receiver at the mobile location. The pulsed output of the distance measuring beacon is amplitude modulated with fundamental and harmonic bearing signals. At the mobile receiver, the distance is obtained from the timing of distance measuring pulses while the bearing is obtained by comparing the phase of the envelope wave components and reference signals.
This document describes a process for producing hydrocarbon drying oils through the polymerization of butadiene and styrene monomers in the presence of sodium catalyst. It discusses conducting the reaction in a reactor, then treating the product solution with an organic acid to convert the sodium into a filterable salt. The process aims to improve upon large-scale production by continuously feeding reagents to a reactor while removing the polymerized product, and pre-treating make-up materials to improve reaction efficiency.
This document describes improvements to a carbonating apparatus for producing aerated water. It details a conventional carbonator design and issues with maintaining proper carbonation levels and water temperature. The invention aims to address these issues by wrapping the carbonating chamber in helical coils of pipes, with one pipe carrying water and the other a refrigerant. This design cools the chamber directly to maintain carbonation levels while reducing operating pressures and refrigeration needs.
This document describes improvements in magnetic recording and reproduction of television signals. It discusses converting a high standard television signal into lower standard signals that can each be recorded on separate tracks of a magnetic tape. This allows the full high standard signal to be reconstructed by reading all the tracks simultaneously. The conversion is done using electro-optical converters like picture tubes, with the image on one tube scanned by multiple pickup tubes to generate the lower standard signals for recording.
This document describes a patent for an electrolysis process to produce bromine and iodine from aqueous electrolytes. It involves feeding fresh electrolyte into the electrochemically neutral zone between the anolyte and catholyte in an electrolytic cell. This keeps the position of the neutral zone stable without needing a diaphragm. Magnesium or calcium salts can be added to precipitate their insoluble hydroxides and improve current efficiency. Examples are provided testing the process with different electrolyte compositions.
This document describes an automatic toll ticketing telephone system that produces records of call information. It aims to improve the system by eliminating certain apparatus from individual register senders and making it available to multiple register senders instead. This involves removing switching mechanisms from each register sender and controlling common translating apparatus based on called office code digits to select routing for calls. The goals are to simplify register sender design and translate office codes into routing digits even if the full called number is not received.
This document describes a patent for an improved portable drilling rig mounted on a vehicle. Some key points:
1) The drilling rig allows lengths of drill pipe to be added to the drill string without needing to remove the string from the borehole, saving time.
2) The drill string is driven directly by a motor near the point of suspension from a movable jib, rather than using a rotating Kelly bar that requires removing from the borehole.
3) As additional lengths of pipe are added, the motor and bit remain near the bottom of the hole, avoiding debris falling down.
1. The document describes an improved method for adding ferrosilicon to a molten metal or alloy to simultaneously desulphurize or deoxidize it.
2. The method involves using briquettes containing ferrosilicon and calcium oxide in the form of burnt lime, calcium carbonate, or dolomite. When submerged in the molten metal, the briquettes react to increase the silicon content while forming calcium sulfide and silicon dioxide, removing sulfur from the melt.
3. The excess silicon in the briquettes helps drive the reaction and dissolve into the melt, while magnesium can be added to the briquettes to further accelerate their consumption and improve
This patent document describes an electromagnetic motor with a reciprocating armature. It includes a fixed magnetic field member with an opening for an iron armature to move through. Current rectifying means create a pulsating magnetic flux to drive the armature in one direction. A spring or additional magnetic field member drives it in the opposite direction. Adjusting the spring tension can match the natural frequency of the armature to the pulsating flux frequency for increased stroke length. The motor can power an air compressor with pistons connected to the armature.
This document describes improvements relating to forming ductile parts. Specifically, it describes using an articulated die held against the part by a templet to form parts of different curvatures using the same die by changing the templet. The articulated die allows the die surface to flex and conform to the part, enabling a variety of part shapes to be formed with one die set rather than requiring a separate rigid die for each shape. Examples of applying this technique to stretch forming and press forming processes are provided.
теоретические сведения и типовые задания по разделу «дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных»
1. И.В. Игнатушина, Е.О. Каракулина,
В.И. Каширина, Н.А. Спиридонова
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ
ПО РАЗДЕЛУ
«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»
Учебно-методическое пособие
2015
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
И.В. Игнатушина, Е.О. Каракулина,
В.И. Каширина, Н.А. Спиридонова
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ
ПО РАЗДЕЛУ
«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»
Учебно-методическое пособие для студентов
физико-математических факультетов педвузов
Оренбург
2015
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. 5
Предисловие
Настоящее пособие адресовано студентам дневного и заочного
отделений, обучающимся по направлениям: 44.03.01 Педагогическое
образование (профили Математика, Математика и информатика,
Математика и физика), 02.03.03 Математическое обеспечение и
администрирование информационных систем, 01.03.04 Прикладная
математика, при изучении теории функций нескольких переменных.
Оно составлено в соответствии с программой этого курса. Вначале
сообщаются краткие теоретические сведения по каждому из разделов.
Затем приводятся примеры типовых заданий и демонстрируется их
решение.
В конце пособия представлены варианты контрольных работ,
перечень вопросов к зачету, задачи для подготовки к зачету, а также
список рекомендуемой литературы.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. 6
Часть I. Дифференциальное исчисление
функций нескольких переменных
1. Область определения функции нескольких переменных
Определение. Отображение f некоторого подмножества D
двумерного евклидова пространства R2
во множество R действительных
чисел называют действительной функцией 2-х действительных
переменных.
Обозначение функции 2-х переменных: ( )yxfz ,= .
Множество ( )fDD
обозн.
= и называют областью определения функции f.
Так как D ⊂ R2
, то геометрическим образом области определения ( )fD
является множество точек плоскости.
Пример 1. Найти и изобразить область определения функции
( ) 2
424ln yxxyz −+−−= .
Решение. Данная функция является суммой двух функций:
( )xy 24ln −− и 2
4 yx − , поэтому её область определения является
пересечением областей определения этих функций. Первая функция
определена при условии, что выражение, стоящее под знаком логарифма,
положительно, а вторая – при условии, что выражение, стоящее под
знаком квадратного корня, неотрицательно, то есть
!
"
#
≤
<+
⇔
!
"
#
≥−
>−−
.4
,42
,04
,024
22
xy
xy
yx
xy
Неравенство 42 <+ xy задаёт на плоскости
хОу полуплоскость без границы (границу
42 =+ xy изображают штриховой линией),
а неравенство xy 42
≤ задаёт часть
х
у
4
2
0
4
-2
-4
1 2 4
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. 7
плоскости, которая лежит внутри параболы xy 42
= , включая точки самой
параболы.
Следовательно, областью определения данной функции является
множество точек плоскости хОу, заключённых между параболой xy 42
= ,
включая её точки, и прямой 42 =+ xy , исключая её точки.
Ответ: ( ) ( ) ( ) ( ){ }xyxyyxfD 442; 2
≤∧<+∈= 2
R .
Пример 2. Найти и изобразить область определения функции
( ) 22
4
1
1arcsin
yx
yxz
−−
++−= .
Решение. Данная функция определена при условии, что
!
"
#
<+
≤−≤−
⇔
!
"
#
>−−
≤+−≤−
.4
,02
,04
,111
2222
yx
yx
ух
yx
Двойное неравенство 02 ≤−≤− yx задаёт на плоскости хОу полосу,
между прямыми 2−=− yx и 0=− yx , а неравенство 422
<+ yx задаёт
открытый круг радиуса 2 с центром в точке ( )0;0 .
Следовательно, областью
определения данной функции является
множество точек полосы, заключённых
внутри открытого круга, включая точки
прямых 2−=− yx и 0=− yx , и исключая
точки окружности 422
=+ yx .
Ответ: ( ) ( ) ( ) ( ){ }402; 22
<+∧≤−≤−∈= yхуxyxfD 2
R .
2. Предел функции нескольких переменных
Для функции нескольких переменных, как и для функции одной
переменной, существует несколько определений предела функции в точке:
х
у
0
4
2
2
-2
-2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. 88
«на языке окрестностей», «по Гейне» (или «на языке
последовательностей»), «по Коши» ( или «на языке ε–δ»).
Сначала введем понятие сходимости последовательности точек на
плоскости 2
R . Напомним, что для последовательности чисел 1
Rxт ∈
соотношение axn → при ∞→n равносильно стремлению к нулю
расстояния между nx и a . На плоскости 2
R расстояние между двумя
точками ( )111 b,aM и ( )222 ,baM определяется равенством
( ) ( ) ( )2
21
2
2121, bbaaMM −+−=ρ .
Поэтому будем говорить, что последовательность точек ( ) 2
, Ryx nn ∈
сходится при ∞→n к точке ( ) 2
, Rba ∈ , если ( ) ( ) 0
22
→−+− byax nn , ∞→n .
В этом случае точку ( )ba, будем называть пределом указанной
последовательности точек ( )nn yx , и писать: ( ) ( )bayx nn ,, → при ∞→n .
Ясно, что если ( ) ( )bayx nn ,, → , то axn → и byn → ; верно и обратное
утверждение.
Например, последовательность !
"
#
$
%
& −
n
n
n
23
;
1
сходится к пределу ( )3;0 .
Теперь введем понятие предельной точки множества 2
RM ⊂ .
Определение. Точку ( )00, yx называют предельной точкой множества
2
RM ⊂ , если существует последовательность точек ( ) Myx nn ∈, ,
( ) ( )00 ,, yxyx nn ≠ , такая, что ( ) ( )00 ,, yxyx nn → при ∞→n .
Примеры. 1. Пусть ( ){ }1:, 22
<+= yxyxM , тогда множество его
предельных точек совпадает с кругом ( ){ }1:, 22
≤+= yxyxM .
2. Множество ( ){ }1:, 22
=+= yxyxG совпадает с множеством своих
предельных точек.
3. Множество ( )
!
"
#
$
%
&
∈=== Nmn
m
y
n
xyxF ,,
1
,
1
:, имеет единственную
предельную точку ( )0,0 .
Эти примеры показывают, что предельные точки множества могут и
не принадлежать ему.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. 9
Определение. ε-окрестностью точки ( )00 , yx называется
множество точек ( ) 2
, Ryx ∈ , удовлетворяющих неравенству:
( ) ( ) 22
0
2
0 ε<−+− yyxx , т.е. . ε-окрестность точки ( )00 , yx – это круг радиуса ε с
центром в точке ( )00 , yx .
Выколотая окрестность точки ( )00 , yx получается из обычной
окрестности этой точки путем выкалывания ее центра, т.е. ( )00 , yx .
Теперь введем понятие предела функции в точке.
Пусть точка ( )00, yx – предельная точка области определения функции
( )yxfz ,= .
Определение («на языке окрестностей»). Число A называют
пределом функции ( )yxfz ,= при ( ) ( )00 ,, yxyx → , если для любой
окрестности точки A найдется такая выколотая окрестность точки ( )00, yx ,
что для всех точек из области определения функции и этой выколотой
окрестности значения функции попадают в окрестность точки A .
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )AUyxfyxUDyxyxUAUyxfA f
def
yxyx
∈∩∈∀∃∀⇔=
⋅⋅
→
,,,,:,,,lim 0000
,, 00
.
Определение («по Коши»). Число A называют пределом функции
( )yxfz ,= при ( ) ( )00 ,, yxyx → , если для любого положительного ε найдется
такое положительное δ, что для всех точек из области определения
функции, для которых расстояние до точки ( )00, yx удовлетворяет двойному
неравенству: ( ) ( )( ) δρ << 00 ,,,0 yxyx , значения функции удовлетворяют
неравенству ( ) ε<− Ayxf , .
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) δρδε <<∈∀>∃>∀⇔=
→
00
,,
,,,0:,:0,0,lim
00
yxyxDyxyxfA f
def
yxyx
,
( ) ε<− Ayxf , .
Определение («по Гейне»). Число A называют пределом функции
( )yxfz ,= при ( ) ( )00 ,, yxyx → , если для любой последовательности
точек( ) fnn Dyx ∈, такой, что ( ) ( )00 ,, yxyx nn → и ( ) ( )00 ,, yxyx nn ≠
последовательность соответствующих значений функции ( )nnn yxfz ,=
сходится к A .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. 1010
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) .,
,,,
,,,
,
:,,lim
00
00
,
,, 00
Ayxf
yxyx
yxyx
Dyx
yxyxfA nn
nn
nn
fnn
nn
def
yxyx
→
"
#
"
$
%
≠
→
∈
∀⇔=
→
При кажущейся полной аналогии предела функции одной и
нескольких переменных существует глубокое различие между ними. В
случае функции одной переменной для существования предела в точке
необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел – пределов по двум
направлениям: справа и слева от предельной точки 0x , в то время как уже
для функций двух переменных стремление к предельной точке ( )00 , yx на
плоскости 2
R может происходить по бесконечному числу направлений, и
потому требование существования предела у функции двух переменных
«жестче» по сравнению с функцией одной переменной.
Пример. Покажем, что функция ( ) 22
,
yx
xy
yxf
+
= не имеет предела в
точке ( )0,0 .
Рассмотрим две последовательности точек: ( )0,0
1
,
1
→"
#
$
%
&
'
nn
,
( )0,0
2
,
1
→"
#
$
%
&
'
nn
. Тогда последовательности соответствующих значений
функции будут иметь следующие пределы:
2
1
2
1
11
11
1
,
1
22
→=
+
⋅
=#
$
%
&
'
(
nn
nn
nn
f ,
5
2
5
2
41
21
2
,
1
22
→=
+
⋅
=#
$
%
&
'
(
nn
nn
nn
f .
Поскольку пределы получились разными, то по определению Гейне 22
0
0
lim
yx
xy
y
x +
∃
→
→
.
Сформулируем понятие предела для случая, когда предельная точка
имеет бесконечные координаты. Ограничимся случаем, когда ,+∞→x
+∞→y (остальное предоставляем читателю!).
Определение. Число А называют пределом функции ( )yxfz ,= при
,+∞→x +∞→y , если для 0>∀ε 0>∃K такое, что из неравенства Kx > и
Ky > следует неравенство ( ) ε<− Ayxf , .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. 11
Читателю будет полезно сформулировать понятие предела функции,
когда одна координата предельной точки ( )00, yx бесконечна. Также будет
полезным упражнением доказать какое-нибудь из утверждений следующей
теоремы, являющейся аналогом теоремы об арифметических операциях
над пределами функций одной переменных.
Теорема 1. Если существуют ( )yxf
yy
xx
,lim
0
0
→
→
и ( )yxg
yy
xx
,lim
0
0
→
→
, то
( ) ( )( ) ( ) ( )yxgyxfyxgyxf
yy
xx
yy
xx
yy
xx
,lim,lim,,lim
0
0
0
0
0
0
→
→
→
→
→
→
±=± ;
( ) ( ) ( ) ( )yxgyxfyxgyxf
yy
xx
yy
xx
yy
xx
,lim,lim,,lim
0
0
0
0
0
0
→
→
→
→
→
→
⋅=⋅ ;
( )
( )
( )yxg
yxf
yxg
yxf
yy
xx
yy
xx
yy
xx ,lim
,lim
,
),(
lim
0
0
0
0
0
0
→
→
→
→
→
→
= , при ( ) 0,lim
0
0
≠
→
→
yxg
yy
xx
.
Примеры. 1. 1510
limlim
4
lim310
4
3lim
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
=+
⋅
−
#
#
$
%
&
&
'
(
=##
$
%
&&
'
(
+−
→
−→
→
−→→
−→
→
−→ yx
x
xy
x
y
x
y
xy
x
y
x
.
2.
3
1
2
3
7
lim
3
1
lim
sin
lim
3
1sin
lim
3
1
0
0
3
sin
lim
7
0
7
0
7
0
7
0
7
0
−=−==⋅=⋅=#
$
%
&
'
(
=
−→
→
−→
→
−→
→
−→
→
−→
→
yy
xy
xy
y
xy
xy
x
xy
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
.
3. Непрерывность функции в точке
Особый интерес представляет класс непрерывных функций. Пусть
дана функция ( )yxfz ,= с областью определения fD и пусть точка ( )00, yx –
предельная точка множества fD .
Определение. Говорят, что функция ( )yxfz ,= непрерывна в точке
( )00, yx , если:
1) ( ) fDyx ∈00 , ;
2) ( ) ( )00 ,,lim
0
0
yxfyxf
yy
xx
=
→
→
.
Выбирая одно из определений предела функции в точке, получим
соответствующее определение непрерывности функции в точке: «на языке
окрестностей», «по Гейне», «по Коши».
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. 1212
Определение. Говорят, что функция ( )yxfz ,= разрывна (или имеет
разрыв) в точке ( )00, yx , если:
1) либо ( ) fDyx ∉00 , , т.е. ( )00 , yxf∃ ;
2) либо ( ) fDyx ∈00 , , при этом ( )yxf
yy
xx
,lim
0
0
→
→
∃ или ( ) ( )00 ,,lim
0
0
yxfyxf
yy
xx
≠
→
→
.
Сформулируем равносильное определение непрерывности функции
в точке «на языке приращений». С этой целью через 0xxx −=Δ и 0yyy −=Δ
обозначим приращения независимых аргументов, а через
( ) ( )00 ,, yxfyxfz −=Δ .
Определение. Говорят, что функция ( )yxfz ,= непрерывна в точке
( ) fDyx ∈00 , , если выполнено равенство 0lim
0
0
=Δ
→Δ
→Δ
z
y
x
.
Определение. Точка ( ) Dyx ∈00 , называется изолированной точкой
некоторого множества D, если существует такая выколотая окрестность
этой точки, в которой нет точек из множества D.
Определение. Если функция определена в изолированной точке
области определения, то она в ней непрерывна.
Пример. Показать, что функция yx
ez 52 +
= непрерывна в произвольной
точке ( ) 2
00 , Ryx ∈ . Зададим приращения 0≠Δx и 0≠Δy , составим
приращение функции в точке ( )00, yx :
( ) ( )
( )152525252 000000
−=−=Δ Δ+Δ++Δ++Δ+ yxyxyxyyxx
eeeez .
Так как
( )( ) 111111 52525252
−+−+−−=−=− ΔΔΔΔΔΔΔ+Δ xxyxyxyx
eeeeeee ~ yxyx Δ+Δ+Δ⋅Δ 5252 ,
то ( ) 01052limlim
0
0
52
0
0
00
=ΔΔ+Δ+Δ=Δ
→Δ
→Δ
+
→Δ
→Δ
yxyxez
y
x
yx
y
x
, т.е. функция непрерывна.
Пример. Рассмотрим функцию ( ) 22
44
,
yx
yx
yxf
+
+
= . Доопределим ее в
точке разрыва ( )0,0 так, чтобы она стала непрерывной. Для этого вычислим
( ) 0
sincos
lim
sin
cos
0
0
lim 2
444
022
44
0
0
=
+
=!
"
#
$
%
&
=
=
='
(
)
*
+
,
=
+
+
→
→
→ ρ
ϕϕρ
ϕρ
ϕρ
ρy
x
yx
yx
y
x
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14. 13
Теперь составим функцию ( )
( ) ( )
( ) ( )!
"
!
#
$
≠
≠
+
+
=
,0,0,,0
,0,0,,
, 22
44
yx
yx
yx
yx
yxg которая и
будет искомой.
Определение. Функция называется непрерывной на множестве,
если она непрерывна в каждой точке этого множества.
На примерах функций
yx
z
−
= 2
1
и 22
1
yx
z
−
= отметим, что множества
точек разрыва функции могут представлять собой кривые, называемые
линиями разрыва: соответственно параболу 2
xy = и пару пересекающихся
прямых xy ±= .
Теорема 2. Если функции ( )yxf , и ( )yxg , непрерывны в точке ( )00 , yx ,
то этим же свойством обладают функции: ( ) ( )yxgyxf ,, ± и ( ) ( )yxgyxf ,, ⋅ , а
если ( ) 0, 00 ≠yxg , то и функция
( )
( )yxg
yxf
,
,
.
Теорема 3 (о непрерывности сложной функции). Пусть функция
( )yxfz ,= непрерывна в точке ( )00 , yx , а функции ( )τϕ ,tx = и ( )τψ ,ty =
непрерывны в точке ( )00 ,τt , где ( )000 ,τϕ tx = и ( )000 ,τψ ty = . Тогда сложная
функция ( ) ( ) ( )( )τψτϕτ ,,,, ttftFz == непрерывна в точке ( )00 ,τt .
Пример. Функция ( )22
1ln yxxyz ++= непрерывна в любой точке
( ) 2
00 , Ryx ∈ . В самом деле, так как она является суперпозицией
непрерывных функций ( ) ττ ln, ttf = , xyt = , 22
1 yx ++=τ , то ее
непрерывность следует из теоремы 3.
Определение. Точку ( ) 2
00 , RDyx ⊂∈ назовем внутренней точкой
множества D, если существует ε - окрестность этой точки, целиком
лежащая в D.
Ясно, что каждая внутренняя точка множества D является
одновременно и предельной точкой множества. Обратное, конечно, не
верно.
Определение. Множество 2
RD ⊂ называют областью, если: все его
точки внутренние, и любые две его точки можно соединить непрерывной
кривой, лежащей в D.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. 1414
Определение. Предельные точки области D, не принадлежащие ей,
образуют ее границу D∂ . Область D вместе с ее границей называют
замкнутой областью и обозначают D ( )DDD ∂∪= . Множество D называют
также замыканием области D.
Теорема 4 (Первая теорема Вейерштрасса). Если функция
( )yxfz ,= непрерывна на D , то она ограничена, т.е. существуют m и
M такие, что ( ) Myxfm ≤≤ , для ( ) Dyx ∈∀ , .
Теорема 5 (Вторая теорема Вейерштрасса). Если функция
( )yxfz ,= непрерывна на D , то она достигает на D своего минимального и
максимального значения, т.е. существуют ( )11, yx , ( )22 , yx D∈ такие, что
( ) ( )11,, yxfyxf ≥ и ( ) ( )22 ,, yxfyxf ≤ для ( ) Dyx ∈∀ , .
4. Частные производные и полные дифференциалы первого и
второго порядка функции нескольких переменных
Пусть ( )000 , ухМ – внутренняя точка области определения функции
( )yxfz ,= . Рассмотрим частное приращение по х (по у) этой функции в
точке ( )000 , ухМ :
( ) ( )0000 ,, yxfyxxfzx −Δ+=Δ .
( ) ( )( )0000 ,, yxfуyxfzу −Δ+=Δ
Определение. Если существует конечный
x
zx
x Δ
Δ
→Δ 0
lim , то его называют
частной производной по х функции ( )yxfz ,= в точке ( )000 , ухМ и
обозначают:
( ) ( ) ( )0000 ,или,или yxfМzМ
x
z
xx !!
∂
∂
.
Таким образом,
( ) ( )
x
yxfyxxf
x
z
x
z
x
x
x
def
Δ
−Δ+
=
Δ
Δ
=
∂
∂
→Δ→Δ
0000
00
,,
limlim .
Аналогично,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16. 15
( ) ( )
у
yxfуyxf
у
z
у
z
у
у
у
def
Δ
−Δ+
=
Δ
Δ
=
∂
∂
→Δ→Δ
0000
00
,,
limlim .
Определение. Функцию ( )yxfz ,= называют дифференцируемой в
точке ( )000 , ухМ , если её полное приращение zΔ в этой точке можно
представить в виде
yxyBxAz Δ⋅+Δ⋅+Δ⋅+Δ⋅=Δ βα , (1)
где А и В – некоторые действительные числа, а ( ) 0, →ΔΔ= ухαα и
( ) 0, →ΔΔ= ухββ при 0→Δх и 0→Δу .
Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости). Если
функция ( )yxfz ,= дифференцируема в точке ( )000 , ухМ , то существуют
её частные производные в этой точке ( )00, yxfx! и ( )00, yxfy! .
Следствие. Если функция ( )yxfz ,= дифференцируема в точке
( )000 , ухМ , то
( ) ( ) yxyyxfxyxfz yx Δ⋅+Δ⋅+Δ⋅#+Δ⋅#=Δ βα0000 ,, ,
( ) 0, →ΔΔ= ухαα и ( ) 0, →ΔΔ= ухββ при 0→Δх и 0→Δу .
Теорема 2 (о связи между дифференцируемостью и
непрерывностью). Если функция ( )yxfz ,= дифференцируема в точке
( )000 , ухМ , то она непрерывна в этой точке.
Вывод: существование частных производных функции ( )yxfz ,= в
точке ( )000 , ухМ , а также непрерывность её в этой точке являются лишь
необходимыми условиями дифференцируемости функции в точке.
Теорема 3 (достаточные условия дифференцируемости). Если
функции ( )yxfz ,= в некоторой окрестности точки ( )000 , ухМ имеет
непрерывные частные производные ( )yxfx ,! и ( )yxfy ,! , то она
дифференцируема в точке ( )000 , ухМ .
Определение. Если функция ( )yxfz ,= дифференцируема в точке
( )000 , ухМ , то выражение ( ) ( ) yyxfxyxf yx Δ⋅#+Δ⋅# 0000 ,, называют полным
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17. 1616
дифференциалом функции в этой точке и обозначают: dz или ( )00, yxdf .
Таким образом,
( ) ( ) yyxfxyxfdz yx Δ⋅#+Δ⋅#= 0000 ,, .
y
y
z
x
x
z
dz Δ⋅
∂
∂
+Δ⋅
∂
∂
= – первая форма полного дифференциала функции.
Если х и у – независимые переменные, то их приращения совпадают
с дифференциалами, то есть dxx =Δ и dyy =Δ . Тогда получаем вторую
форму полного дифференциала функции:
dy
y
z
dx
x
z
dz ⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
= .
Определение. Если существует частная производная от частной
производной первого порядка функции ( )yxfz ,= , то её называют
частной производной второго порядка.
Функция ( )yxfz ,= имеет 4 частные производные 2-го порядка,
которые обозначают:
2
2
x
z
∂
∂
(читается «дэ два зет по дэ икс дважды») или ( )yxfzz xxxxх
,2 !!=!!=!! ;
2
2
у
z
∂
∂
или ( )yxfzz ууууу
,2 !!=!!=!! ;
уx
z
∂∂
∂2
(читается «дэ два зет по дэ икс дэ игрек») или ( )yxfz xуху ,!!=!! ;
ху
z
∂∂
∂2
или ( )yxfz уxух ,!!=!! э
Частные производные
уx
z
∂∂
∂2
и
ху
z
∂∂
∂2
называют смешанными.
Теорема 4. Если функция ( )yxfz ,= в некоторой точке ( )000 , ухМ
имеет непрерывные смешанные производные, то они в этой точке равны:
ху
z
уx
z
∂∂
∂
=
∂∂
∂ 22
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18. 17
Теорема 5. Если функции ( )tх ϕ= и ( )ty ψ= дифференцируемы в
точке 0t , а функция ( )yxfz ,= дифференцируема в соответствующей точке
( )00, yx , где ( )00 tх ϕ= , ( )00 ty ψ= , то сложная функция ( ) ( )( )ttfz ψϕ ,=
дифференцируема в точке 0t , причём её производная находится по
формуле:
dz
dt
=
∂z
∂x
⋅
dx
dt
+
∂z
∂y
⋅
dy
dt
.
Теорема 6. Если функции ( )yxuu ,= и ( )yxvv ,= дифференцируемы
в точке ( )00, yx , а функция ( )vufz ,= дифференцируема в
соответствующей точке ( )00,vu , где ( )000 , yxuu = , ( )000 , yxvv = , то
сложная функция ( ) ( )( )yxvyxufz ,,,= дифференцируема в точке ( )00, yx ,
причём её частные производные находятся по формулам:
x
v
v
z
x
u
u
z
х
z
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
и
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
.
Определение. Дифференциал от дифференциала первого порядка
называют дифференциалом 2-го порядка и обозначают ( ) zddzd 2
= .
Если х и у – независимые переменные и функция ( )yxfz ,= имеет
непрерывные смешанные производные второго порядка, то полный
дифференциал второго порядка вычисляют по формуле
2
2
22
2
2
2
2
2 dy
y
z
dxdy
yx
z
dx
x
z
zd
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
= .
Пример 1. Найти частные производные и полные дифференциалы
первого и второго порядков от функции
xуyхz cossin 32
+= .
Решение. 1) Сначала найдём частные производные первого порядка.
Для того чтобы найти частную производную по х, фиксируем у и
дифференцируем z как функцию одной переменной х:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
19. 1818
( ) xyyхxyyx
x
z
y
х sinsin2cossin 3
фикс.
32
−=
"
+=
∂
∂
−
.
Для того чтобы найти частную производную по у, фиксируем х и
дифференцируем z как функцию одной переменной у:
( ) xyyхxyyx
y
z
x
y cos3coscossin 22
фикс.
32
+=
!
+=
∂
∂
−
.
Полный дифференциал первого порядка функции ( )yxfz ,=
вычислим по формуле
dy
y
z
dx
x
z
dz ⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
= .
Подставляя в эту формулу частные производные первого порядка,
получаем
( ) ( )dyxyyxdxxyyхdz cos3cossinsin2 223
++−= .
2) Теперь найдём частные производные второго порядка.
Частную производную второго порядка 2
2
x
z
∂
∂
вычисляем,
дифференцируя частную производную первого порядка
x
z
∂
∂
по х (при
фиксированном у):
( ) xyyxyyх
x
z
y
х cossin2sinsin2 3
фикс.
3
2
2
−=
"
−=
∂
∂
−
.
Частную производную второго порядка
уx
z
∂∂
∂2
вычисляем,
дифференцируя частную производную первого порядка
x
z
∂
∂
по y (при
фиксированном x):
( ) xyyхxyyх
уx
z
х
у sin3cos2sinsin2 2
фикс.
3
2
−=
"
−=
∂∂
∂
−
.
Частную производную второго порядка
xy
z
∂∂
∂2
вычисляем,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20. 19
дифференцируя частную производную первого порядка
y
z
∂
∂
по x (при
фиксированном y):
( ) xyyхxyyx
xy
z
y
x sin3cos2cos3cos 2
фикс.
22
2
−=
"
+=
∂∂
∂
−
.
Частную производную второго порядка 2
2
y
z
∂
∂
вычисляем,
дифференцируя частную производную первого порядка
y
z
∂
∂
по y (при
фиксированном x):
( ) xyyхxyyx
y
z
х
у cos6sincos3cos 2
фикс.
22
2
2
+−=
"
+=
∂
∂
−
.
Зная частные производные второго порядка, вычислим полный
дифференциал второго порядка по формуле
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
= 2
2
22
2
2
2
2
2 dy
y
z
dxdy
yx
z
dx
x
z
zd
( ) ( ) ( ) .cos6sinsin3cos22cossin2 22223
dyxyyxdydxxyyxdxxyy +−+−+−=
Пример 2. Найти частные производные и полные дифференциалы
первого и второго порядков от функции у
хz = .
Решение. 1) Сначала найдём частные производные первого порядка:
( ) 1−
⋅=#=# у
х
у
х хухz и ( ) .ln xххz у
у
у
у =!=!
Тогда полный дифференциал первого порядка вычислим по формуле
dyxxdxxydyzdxzdz yy
yх ln1
+=!+!= −
.
2) Дифференцируя каждую частную производную первого порядка и
по х и по у, найдём частные производные второго порядка:
( ) ( ) ,1 21 −−
−="="" у
х
у
хх хуухуz
( ) ( ),ln1ln 1111
xyхxхуххуz ууу
у
у
ху +=+=!=!! −−−−
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
21. 2020
( ) ( ),1lnln
1
lnln 1111
+=+=+=!=!! −−−−
xyxхxyх
x
хxyхxхz yуууу
x
у
ух
( ) .lnlnlnln 2
xхxxхxхz уу
у
у
yy =⋅="=""
Полный дифференциал второго порядка вычислим по формуле:
=!!+!!+!!= 222
2 dyzdydxzdxzzd yyxyхх
( ) ( ) .lnln121 22122
dyxxdydxxyxdxхуу yyу
+++−= −−
Пример 3. Показать, что функция х
у
еz = удовлетворяет уравнению
.0
2
=
∂
∂
+
∂
∂
−
∂∂
∂
y
z
x
z
yx
z
x
Решение. Найдём частные производные первого порядка и
смешанную производную второго порядка:
х
у
х
у
х
у
е
x
y
x
y
ее
x
z
x
⋅−=#
$
%
&
'
(
−⋅=)
#
$
%
&
'
(
=
∂
∂
22
,
х
у
х
у
х
у
е
xx
ее
y
z
y
⋅=⋅="
#
$
%
&
'
(
=
∂
∂ 11
,
х
у
х
у
х
у
х
у
х
у
е
х
у
е
xx
е
x
y
е
x
е
x
y
yx
z
y
⋅−⋅−=⋅⋅−⋅−=#
$
%
&
'
(
)
⋅−=
∂∂
∂
32222
2
111
.
Подставим найденные выражения в левую часть уравнения:
=⋅+⋅+"
#
$
%
&
'
⋅−⋅−⋅=
∂
∂
+
∂
∂
−
∂∂
∂ х
у
х
у
х
у
х
у
е
х
е
х
у
е
х
у
е
х
х
y
z
x
z
yx
z
x
11
232
2
0
11
22
≡⋅+⋅+⋅−⋅−= х
у
х
у
х
у
х
у
е
х
е
х
у
е
х
у
е
х
.
Получаем тождество, следовательно, функция х
у
еz = удовлетворяет
данному уравнению.
Пример 4. Показать, что функция !
"
#
$
%
&
+= y
x
z
2
sin2 2
удовлетворяет
уравнению .02
2
2
2
=
∂∂
∂
−
∂
∂
yx
z
x
z
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22. 21
Решение. Найдём частную производную первого порядка по х:
( )yxy
x
y
x
y
x
x
z
х
2sin
2
1
2
cos
2
sin22
2
sin2 2
+=⋅"
#
$
%
&
'
+⋅"
#
$
%
&
'
+⋅=(
"
#
$
%
&
'
"
#
$
%
&
'
+=
∂
∂
.
Продифференцируем эту производную и по х и по у:
( )( ) ( ),2cos2sin2
2
yxyx
x
z
x +=!+=
∂
∂
( )( ) ( ).2cos22sin
2
yxyx
yx
z
y +=!+=
∂∂
∂
Подставляя найденные выражения в левую часть уравнения
( ) ( ) ,02cos22cos22
2
2
2
≡+−+=
∂∂
∂
−
∂
∂
yxyx
yx
z
x
z
получаем тождество. Следовательно, функция !
"
#
$
%
&
+= y
x
z
2
sin2 2
удовлетворяет данному уравнению.
5. Дифференцирование неявной функции
Определение. Функция ( )yxfz ,= называется неявной, если она
задается уравнением
( ) 0,, =zyxF ,
неразрешенным относительно z .
Пример 1. Уравнение 0=+−
y
x
arctgzxy задает неявную функцию
y
x
arctgxyz += .
Пример 2. Уравнение 1222
=++ zyx задает две неявные функции:
22
1 yxz −−= и 22
1 yxz −−−= .
Определение. Будем говорить, что в прямоугольном
параллелепипеде [ ]fedcba ,;,;, уравнение ( ) 0,, =zyxF задает неявную
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
23. 2222
функцию ( )yxfz ,= , если для любой точки ( )yx, , принадлежащей
прямоугольнику [ ]dcba ,;, , найдется единственное значение z из отрезка
[ ]fe, такое, что выполняется условие ( ) 0,, =zyxF .
Теорема (о существовании, непрерывности и дифференцируемости
неявной функции двух переменных).
Пусть функция ( )zyxF ,, удовлетворяет следующим условиям:
1) она определена и непрерывна в некотором замкнутом
параллелепипеде [ ]czczbybyaxaxD +−+−+−= 000000 ,;,;, с центром в точке
( )0000 ,, zyxP ;
2) значение функции ( )zyxF ,, в точке ( )0000 ,, zyxP равно нулю, т.е.
( ) 0,, 000 =zyxF ;
3) существуют частные производные ( )zyxF x ,,' , ( )zyxF y ,,' ;
( )zyxF z ,,' , которые непрерывны внутри D ;
4) ( ) 0,,' 000 ≠zyxF z ;
тогда справедливы следующие утверждения:
а) уравнение ( ) 0,, =zyxF задает неявную функцию ( )yxfz ,= в
некотором открытом прямоугольном параллелепипеде
( ) Dzzhyhyxx ∈+−+−+− εεδδ 000000 ,;,;, ;
б) ( ) 000 , zyxf = ;
в) функция ( )yxfz ,= непрерывна в открытом прямоугольнике
( )hyhyxx +−+− 0000 ,;, δδ ;
г) в открытом прямоугольнике ( )hyhyxx +−+− 0000 ,;, δδ существуют
частные производные ( ) ( )
( )yxF
yxF
yxfz
z
x
xx
,'
,'
,'' −== ; ( )
( )
( )yxF
yxF
yxfz
z
y
yy
,'
,'
,'' −== .
Частные производные неявной функции ( )yxfz ,= можно найти
другим способом. Для этого в уравнение ( ) 0,, =zyxF вместо z напишем
функцию ( )yxf ,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24. 23
( )( ) 0,,, =yxfyxF .
Найдем частные производные по x и y от левой и правой частей
полученного равенства, помня о том, что x и y независимые переменные,
а z − функция от них:
0=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
x
z
z
F
x
F
,
0=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
y
z
z
F
y
F
,
откуда найдем
z
x
F
F
x
z
!
!
−=
∂
∂
и
z
y
F
F
y
z
!
!
−=
∂
∂
.
Замечания. 1) Частные производные функции ( )nxxxfu ,...,, 21= ,
заданной неявно уравнением ( ) 0,,...,, 21 =uxxxF n находятся по формуле
u
x
k F
F
x
u k
!
!
−=
∂
∂
, где nk ,1= . (1)
2) Частные производные второго порядка находятся путем
дифференцирования по переменной mx , где nm ,1= , правой части равенства
(1)
!!
"
#
$$
%
&
'
'
−
∂
∂
=
∂∂
∂
u
x
mmk F
F
xxx
u k
2
.
Аналогично вычисляются частные производные более высокого порядка.
Пример. Найти ( )0'f и ( )0"f неявной функции ( )xfy = , заданной
уравнением 0222
=−+++− yxyxyx , если ( ) 10 =f .
Решение. Покажем, что предложенное в условии уравнение
0222
=−+++− yxyxyx действительно задает неявную функцию ( )xfy = .
Для этого проверим выполнение условий теоремы:
1) функция ( ) 2, 22
−+++−= yxyxyxyxF определена и непрерывна
на множестве 2
R , следовательно, она определена и непрерывна в любом
прямоугольнике с центром в точке ( )1;00P ;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
25. 2424
2) ( ) ( ) 01,0, 00 == FyxF ;
3) частные производные 12' +−= yxF x , 12' ++−= yxF y непрерывны
на множестве 2
R , следовательно, и в любом открытом прямоугольнике с
центром в точке ( )1;00P ;
4) ( ) ( ) 031,0',' 00 ≠== yy FyxF ;
следовательно, справедливо следующее:
а) существует неявная функция ( )xfy = , определенная уравнением
0222
=−+++− yxyxyx ;
б) ( ) 10 =f ;
в) функция ( )xfy = непрерывна;
г) существует производная ( )
( ) 12
12
,'
),('
'
−−
+−
=−=
yx
yx
yxF
yxF
xf
y
x
.
Найдем значение первой производной в указанной точке:
( ) 0
1120
1102
0' =
−⋅−
+−⋅
=f .
Первую производную можно было получить другим способом,
продифференцировав исходное уравнение 0222
=−+++− yxyxyx по
переменной x:
0'1'2'2 =++⋅+⋅−− xxx yyyyxyx . (2)
Из полученного равенства выражаем xy' :
12
12
'
−−
+−
=
yx
yx
y x .
Если продифференцировать еще раз по переменной x равенство
( ) 1212' −−=++− xyyxy x , которое эквивалентно равенству (2), то мы сможем
получить вторую производную для функции ( )xfy = :
( ) ( ) 2''21'12" −=+−+++− xxxxx yyyyxy ,
12
2)'(2'2
"
2
++−
−−
=
yx
yy
y xx
xx
.
Теперь найдем значение второй производной в указанной точке:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26. 25
( )
3
2
1120
20202
0" −=
+⋅+−
−⋅−⋅
=xxy .
6. Применение дифференциала в приближённых
вычислениях
Пусть функция ( )yxfz ,= дифференцируема в точке ( )000 , ухМ ,
тогда при достаточно малых приращениях аргументов xΔ и уΔ полагают
dzz ≈Δ . Так как
( ) ( ) ( ) ( )000000 ,,,, yxfyxfyxfyyxxfz −=−Δ+Δ+=Δ ,
то ( ) ( ) ( )0000 ,,, yxdzyxfyxf ≈− или
( ) ( ) ( ).,,, 0000 yxdzyxfyxf +≈
Пример 1. Вычислить приближённо значение ( )897,202,1ln 23
−⋅ .
Решение. Пусть 97,2,02,1 == ух , тогда получим функцию
( ) ( )8ln, 23
−⋅= yxyxf . Полагая 10 =х и 30 =у , найдём приращения
аргументов
02,0102,10 =−=−=Δ ххх и 03,0397,20 −=−=−=Δ ууу .
Вычислим значение функции ( ) ( ) ( ) 01ln831ln3;1, 23
00 ==−⋅=== fyxf .
Найдём частные производные первого порядка и вычислим их значения в
точке ( )3;1 :
( ) ( )( ) ;
8
3
8ln, 23
22
23
−⋅
=#−⋅=#
yx
ух
yxyxf хх ( ) ( ) ;27
831
313
3;1, 23
22
00 =
−⋅
⋅⋅
=#=# хx fyxf
( ) ( )( ) ;
8
2
8ln, 23
3
23
−⋅
=#−⋅=#
yx
ух
yxyxf уу ( ) ( ) ;6
831
312
3;1, 23
3
00 =
−⋅
⋅⋅
=#=# уy fyxf
Вычислим значение дифференциала в точке ( )3;1 по формуле
( ) ( ) ( ) yyxfxyxfухdz yx Δ⋅#+Δ⋅#= 000000 ,,, ,
то есть
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
27. 2626
( ) ( ) ( ) ( ) 36,018,054,003,0602,0273;13;13;1 =−=−⋅+⋅=Δ⋅$+Δ⋅$= yfxfdz yx .
Следовательно,
( ) ( ) ( ) ( ) 36,036,00,,,897,2021,ln 0000
23
=+=+≈=−⋅ yxdzyxfyxf .
Пример 2. Вычислить приближённо значение oo
44tg32sin ⋅ .
Решение. Пусть oo
44,32 == ух , тогда получаем функцию
( ) yxyxf tgsin, ⋅= . Полагая o
0 30=х и o
0 45=у , найдём приращения
аргументов
ooo
0 23032 =−=−=Δ ххх и ooo
0 14544 −=−=−=Δ ууу .
Переводя градусы в радианы, получим, что
034,0
90180
2 ≈=⋅=Δ
ππ
х и 017,0
180
−≈−=Δ
π
у .
Вычислим значение функции
( ) ( ) 5,015,045tg30sin45;30, ooоо
00 =⋅=⋅=== fyxf .
Найдём частные производные первого порядка и вычислим их значения в
точке ( )oo
45;30 :
( ) ( ) ;tgcostgsin, yxyxyxf хх ⋅="⋅="
( ) ( ) ;
cos
sin
cos
1
sintgsin, 22
y
x
y
xyxyxf уу =⋅="⋅="
( ) ( ) ;
2
3
1
2
3
45tg30cos45;30, oooo
00 =⋅=⋅="=" хx fyxf
( ) ( ) .1
2
1
:
2
1
45cos
30sin
45;30, o2
o
oo
00 ===!=! уу fyxf
Вычислим значение дифференциала в точке ( )oo
45;30 по формуле
( ) ( ) ( ) yyxfxyxfухdz yx Δ⋅#+Δ⋅#= 000000 ,,, ,
то есть
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28. 27
( ) ( ) ( )
( ) .012,0017,0034,0866,0017,01034,0
2
3
45;3045;3045;30 оооооо
≈−⋅≈−⋅+⋅≈
≈Δ⋅%+Δ⋅%= yfxfdz yx
Следовательно,
( ) ( ) ( ) 512,0012,05,0,,,44tg32sin 0000
oo
=+=+≈=⋅ yxdzyxfyxf .
7. Экстремумы функции двух переменных
Пусть функция ( )yxfz ,= определена в некоторой окрестности
точки ( )000 , ухМ .
Определение. Говорят, что функция ( )yxfz ,= имеет в точке
( )000 , ухМ максимум (или минимум), если существует проколотая
окрестность этой точки, в которой выполняется неравенство
( ) ( )00,, yxfyxf < (или ( ) ( )00,, yxfyxf > ).
Максимумы и минимумы функции ( )yxfz ,= называют её
экстремумами.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если
дифференцируемая функция ( )yxfz ,= имеет в точке ( )000 , ухМ
экстремум, то её частные производные первого порядка в этой точке равны
нулю:
( ) ( ) .0,, 0000 =!=! yxfyxf yх
Определение. Точки, в которых частные производные первого
порядка равны нулю, называют стационарными.
Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Если функция
( )yxfz ,= дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки
( )000 , ухМ и дважды дифференцируема в самой точке 0М и при этом
определитель в этой точке
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )2
000000
0000
0000
0 ,,,
,,
,,
yxfyxfyxf
yxfyxf
yxfyxf
М xyyyxx
yyxу
xyxx
!!−!!⋅!!=
!!!!
!!!!
=Δ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
29. 2828
удовлетворяет следующим условиям:
1) ( ) 00 >Δ М , то в точке 0М функция ( )yxfz ,= имеет экстремум,
причём при ( ) 0, 00 >!! yxfxx – минимум, а при ( ) 0, 00 <!! yxfxx – максимум;
2) ( ) 00 <Δ М , то в точке 0М функция ( )yxfz ,= не имеет
экстремума;
3) ( ) 00 =Δ М – функция может иметь, а может и не иметь экстремум
(необходимо дополнительное исследование).
Алгоритм исследования функции ( )yxfz ,= на экстремум
1) Найти область определения функции ( )zD .
2) Найти частные производные 1-го порядка: xz! и уz! .
3) Используя необходимое условие экстремума, найти
стационарные точки, принадлежащие области определения
функции ( )zD , то есть точки в которых
!
"
#
=$
=$
.0
,0
y
x
z
z
4) Найти частные производные 2-го порядка: уyхyxx zzz !!!!!! и, .
5) В каждой стационарной точке ( )000 , ухМ определить знак
выражения ( ) ( ) ( ) ( )( )2
0000000 ,,, yxfyxfyxfM xyyyxx !!−!!⋅!!=Δ и,
пользуясь достаточным условием, сделать вывод о наличии в
этой точке экстремума функции.
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию 768 33
−++= xуyxz .
Решение. 1) Находим область определения функции ( ) 2
R=zD .
2) Находим частные производные первого порядка:
( ) ( )уxуxхуyxz xx 2363768 2233
+=+=!−++=! ;
( ) ( )хухухуyxz yy +=+=!−++=! 2233
46624768 .
3) Находим стационарные точки, принадлежащие области
определения функции ( )zD , используя необходимое условие экстремума:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30. 29
( )
( )
( )
!
!
!
!
!
"
#
$
%
&
−=
−=
$
%
&
=
=
⇔
)$
)
%
&
−=
=+
⇔
)$
)
%
&
−=
=+
⇔
)$
)
%
&
=+
=+
⇔
$
%
&
=*
=*
.5,0
,1
,0
,0
,4
,0182
,4
,0216
,046
,023
,0
,0
2
3
2
4
2
2
y
x
y
x
ух
уу
ух
уу
ху
уx
z
z
y
x
Получили две стационарные точки:
( ) ( )5,0;1и0;0 21 −−ММ .
4) Находим частные производные 2-го порядка:
( ) xуxz xxx 623 2
=!+=!! ; ( ) 623 2
=!+=!! yxy уxz ; ( ) yхyz yyy 4846 2
=!−=!! .
5) В каждой стационарной точке М определим знак выражения
( ) ( ) ( ) ( )( )2
,,, yxfyxfyxfM xyyyxx !!−!!⋅!!=Δ .
а) В точке ( )0;01М :
( ) ( ) ( ) ( ) 036600,60;0,00;0,00;0 2
1 <−=−⋅=Δ⇒=%%=%%=%% Мfff xуууxx .
Следовательно, в точке ( )0;01М заданная функция не имеет экстремума.
б) В точке ( )5,0;12 −−М :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .0108361446246
,65,0;1,245,0;1,65,0;1
2
2 >=−=−−⋅−=Δ⇒
⇒=−%%−=−−%%−=−−%%
М
fff xуууxx
Следовательно, в точке ( )5,0;12 −−М экстремум есть. Так как
( ) 065,0;1 <−=−−""xxf , то функция в точке 2М имеет максимум
( ) ( ) ( ) ( )( ) 675,0165,0815,0;1 33
max −=−−−+−⋅+−=−−= zz .
Ответ: ( ) 65,0;1max −=−−= zz .
Пример 2. Исследовать на экстремум функцию
223
324 ухуxz ++−= .
Решение. 1) Находим область определения функции ( ) 2
R=zD .
2) Находим частные производные 1-го порядка:
( ) ( )xуххуxухуxz xx −=+−="++−=" 1666324 2223
;
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
31. 3030
( ) ( )33223
222324 хуухухуxz yy −=+−="++−=" .
3) Находим стационарные точки, принадлежащие область
определения функции ( )zD , используя необходимое условие экстремума:
( )
( )
!
!
!
!
!
!
!
!
"
#
$
%
&
−=
−=
$
%
&
=
=
$
%
&
=
=
⇔
!
!
!
!
!
"
#
)$
)
%
&
=
=
$
%
&
=
=
⇔
!
!
!
!
!
"
#
$
%
&
=
=
$
%
&
=
=
⇔
$
%
&
=−
=−
⇔
$
%
&
=*
=*
,1
,1
,1
,1
,0
,0
,
,1
,0
,0
,
,1
,0
,0
,02
,016
,0
,0
3
4
3
3
y
x
y
x
y
x
ху
х
у
х
ху
ху
у
х
ху
xух
z
z
y
x
Получили три стационарные точки:
( ) ( ) ( )1;1,1;1,0;0 321 −−МММ .
4) Находим частные производные 2-го порядка:
( ) ( )хууxхz xxx 2166 2
−="−="" ; ( ) 22
66 хуxхz yxy −="−="" ; ( ) 22 3
=!−=!! yyy хуz .
5) В каждой стационарной точке М определим знак выражения
( ) ( ) ( ) ( )( )2
,,, yxfyxfyxfM xyyyxx !!−!!⋅!!=Δ .
а) В точке ( )0;01М :
( ) ( ) ( ) ( ) .01202600;0,20;0,60;0 2
1 >=−⋅=Δ⇒=%%=%%=%% Мfff xуууxx Следо
вательно, в точке ( )0;01М заданная функция имеет экстремум. Так как
( ) 060;0 >=!!xxf , то это минимум ( ) 40;0min == zz .
б) В точке ( )1;12М :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .048626,61;1,21;1,61;1 2
2 <−=−−⋅−=Δ⇒−=%%=%%−=%% Мfff xуууxx
Следовательно, в точке ( )1;12М функция не имеет экстремума.
в) В точке ( )1;13 −−М :
( ) ( ) ( ) ⇒−=−−##=−−##−=−−## ,61;1,21;1,61;1 xуууxx fff
( ) ( ) ( ) 048626 2
3 <−=−−⋅−=Δ М .
Следовательно, в точке ( )1;13 −М экстремума нет.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
32. 31
Ответ: ( ) 40;0min == zz .
8. Наибольшее и наименьшее значения функции
Если функция ( )yxfz ,= непрерывна на замкнутом ограниченном
множестве 2
R⊂D , то по 2-ой теореме Вейерштрасса она имеет на этом
множестве как наибольшее, так и наименьшее значения. Эти значения
функция может принимать как во внутренних точках множества D , так и
на его границе.
Алгоритм исследования функции ( )yxfz ,=
на наибольшее и наименьшее значения
1) Изобразить на плоскости замкнутое ограниченное множество
D .
2) Найти стационарные точки внутри множества D и вычислить
значения функции в этих точках.
3) Исследовать функцию на границе множества D .
4) Из всех найденных значений функции выбрать самое большое
и самое маленькое, они и будут соответственно наибольшим и
наименьшим значениями функции на замкнутом ограниченном множестве
D .
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
1642 22
+++−= xxyхyz в области, ограниченной прямыми
03,0,0 =−−== ухух .
Решение. 1) Построим на плоскости область D , ограниченную
координатными осями 0,0 == ух и прямой
03 =−− ух . Это замкнутое ограниченное
множество и данная функция непрерывна на нём,
поэтому она на этом множестве принимает и
наибольшее, и наименьшее значения.
х
у
0
4
-3
3
B
AO
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
33. 3232
2) Находим стационарные точки, лежащие внутри множества D . Для
этого сначала найдём частные производные первого порядка:
( ) ( )3226421642 22
+−=++−="+++−=" хуyxxxyхyz xx ,
( ) ( )хуxyxxyхyz yy +=+=!+++−=! 4441642 22
.
Теперь решим систему уравнений:
( )
( ) !
"
#
−=
=
⇔
!
"
#
−=
=+−
⇔
!
"
#
=+
=+−
⇔
!
"
#
=&
=&
.1
,1
,
,033
,04
,0322
,0
,0
y
x
xу
х
xy
ху
z
z
y
x
Получили стационарную точку ( )1;11 −М , которая является
внутренней точкой множества D . Вычислим значение функции в этой
точке: ( ) 41;11 =−= zz .
Заметим, что исследовать функцию на экстремум не надо.
3) Исследуем функцию на границе множества D . Поскольку граница
состоит из трёх участков, которые заданы разными уравнениями, то
исследуем функцию на каждом участке отдельно.
а) Рассмотрим участок ОА, который задаётся условиями
!
"
#
=
≤≤
.0
,30
y
x
Подставив 0=y в заданную функцию, получим 162
++−= xxz и,
следовательно, надо найти наибольшее и наименьшее значения функции
одной переменной на отрезке [ ]3;0 . Для этого найдём стационарные точки:
( ) 62162
+−="++−=" хxxz хх .
30620 =⇔=+−⇔=# ххzх .
Так как ( )3;03∉=х , то стационарных точек внутри отрезка [ ]3;0 нет.
Вычислим значения функции на концах отрезка ОА:
( ) 10;02 == zz , ( ) 100;33 == zz .
б) Исследуем функцию на участке АВ:
!
"
#
−=
≤≤
.3
,30
хy
x
Функция принимает вид:
( ) ( ) 19185163432 222
+−=++−+−−= ххxхxххz .
Находим ( ) 181019185 2
−="+−=" хxxz xx .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
34. 33
Тогда ( )3;08,1018100 ∈=⇔=−⇔=$ xxzx .
Получили стационарную точку ( )2,1;8,13 −М . Вычислим значения функции
в точках 3М и В:
( ) ( ) ( ) =+⋅+−⋅⋅+−−⋅=−= 18,162,18,148,12,122,1;8,1 22
4 zz
8,218,1064,824,388,2 =++−−= ,
( ) 193;05 =−= zz .
в) Рассмотрим участок ВО, который задаётся условиями
!
"
#
≤≤−
=
.03
,0
у
х
Функция на этом участке принимает вид: 12 2
+= уz . Находим
уzу 2=! . Тогда
( )0;30020 −∉=⇔=⇔=$ ууzу .
Стационарных точек внутри отрезка [ ]0;3− нет, а в точках А и В значения
функции уже вычислены.
4) Сравнивая значения
41 =z , 12 =z , 103 =z , 8,24 =z , 195 =z ,
заключаем, что наибольшее значение функции 19=z достигается в
точке ( )3;0 −В , а наименьшее значение 1=z – в точке ( )0;0О .
Ответ:
( )
( ) ( ) 193;0,наиб
у,
=−=
∈
zyxz
Dх
,
( )
( ) ( ) 10;0,наим
у,
==
∈
zyxz
Dх
.
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
( )ухухz −−= 42
в области, ограниченной прямыми хуух −=== 6,0,0 .
Решение. 1) Построим на плоскости область D , ограниченную
координатными осями 0,0 == ух и прямой
ху −= 6 . Это замкнутое ограниченное
множество и данная функция непрерывна на нём,
поэтому она на этом множестве принимает и
наибольшее и наименьшее значения.
2) Находим стационарные точки, лежащие
внутри множества D . Для этого сначала найдём частные производные
первого порядка:
х
у
0
4
6
3
B
AO
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
35. 3434
( )( ) ( ) ( ),23823844 2222322
уххухуyхxуухухухухухz xxx −−=−−="−−="−−="
( )( ) ( ) ( ).242444 223222322
уххухxхухухухухухz уyy −−=−−="−−="−−="
Теперь решим систему уравнений:
( )
( )
⇔
"
#
$
=−−
=−−
⇔
"
#
$
=&
=&
,024
,0238
,0
,0
2
ухх
ухху
z
z
y
x
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
"
#
$
%
&
=
=
$
%
&
=
=
$
%
&
=
=
$
%
&
=
=
$
%
&
=
=
⇔
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
"
#
$
%
&
=−−
=−−
$
%
&
=−−
=
$
%
&
=−−
=
$
%
&
=−−
=
$
%
&
=
=
⇔
.1
,2
,0
,4
,2
,0
,4
,0
,0
,0
,024
,0238
,024
,0
,024
,0
,0238
,0
,0
,0
у
х
у
х
у
х
у
х
у
х
ух
ух
ух
у
ух
х
ух
х
у
х
Получили пять стационарных точек:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1;2,0;4,2;0,4;0,0;0 54321 МММММ ,
из которых только точка ( )1;25М является внутренней точкой
множества D . Вычислим значение функции в этой точке: ( ) 41;21 == zz .
3) Исследуем функцию на границе множества D . Граница состоит из
трёх участков, которые заданы разными уравнениями, поэтому исследуем
функцию на каждом участке отдельно.
а) Рассмотрим участок ОА, который задаётся условиями
!
"
#
=
≤≤
.0
,60
y
x
Подставив 0=y в заданную функцию, получим 0=z , то есть данная
функция постоянна на отрезке [ ]6;0 .
б) Исследуем функцию на участке АВ:
!
"
#
−=
≤≤
.6
,60
хy
x
Функция принимает вид:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
36. 35
( )( ) ( ) ( )2322
6262646 ххххххххz −=−−=+−−−⋅= .
Находим ( ) ( ) ( )46123262 223
−=−="−=" ххххxxz xx .
Тогда ( ) !
"
#
=
=
⇔=−⇔=&
.4
,0
0460
х
х
ххzx
Получили две стационарные точки, но только 4=х является внутренней
точкой отрезка [ ]6;0 . Вычислим значения функции в точках ( )2;46М и В:
( ) 642;42 −== zz , ( ) 06;03 == zz .
в) Рассмотрим участок ВО, который задаётся условиями
!
"
#
≤≤
=
.60
,0
у
х
Функция на этом участке постоянна: 0=z .
4) Сравнивая значения
41 =z , 642 −=z , 03 =z ,
заключаем, что наибольшее значение 4=z функция имеет в точке ( )1;25М ,
а наименьшее значение 64−=z в точке ( )2;46М .
Ответ:
( )
( ) ( ) 41;2,наиб
у,
==
∈
zyxz
Dх
,
( )
( ) ( ) .642;4,наим
у,
−==
∈
zyxz
Dх
9. Производная по направлению. Градиент
Пусть функция двух переменных ( )yxfz ,= определена в некоторой
окрестности точки ( )000 , yxM . Пусть l – некоторый луч с началом в точке
0M и ( )yxМ , – произвольная точка луча, принадлежащая окрестности
( )0MU .
Определение. Производной функции ( )yxfz ,= в направлении
( )βα cos,cos=l
!
в точке ( )000 , yxM называют предел
( ) ( ) ( ).lim 0
0
0
0
M
l
z
MM
MfMf
ММ ∂
∂
=
−
→
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
37. 3636
Механический смысл производной по направлению состоит в том,
что это скорость изменения функции ( )yxfz ,= по направлению l в точке
( )000 , yxM .
Если l – единичный вектор, образующий с осями координат Ох и Оу
углы α и β, то он имеет координаты ( )βα cos,cos=l
!
.
Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке ( )000 , yxM , то в
этой точке существует производная
l
z
∂
∂
по любому
направлению ( )βα cos,cos=l
!
, причём
( ) ( ) ( ) βα coscos 000 ⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
∂
∂
М
y
z
М
х
z
М
l
z
(1)
Определение. Градиентом функции ( )yxfz ,= в точке ( )000 , yxM
называют вектор
( ) ( ) .00 jМ
y
z
iМ
х
z
zgrad ⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
!
(2)
Так как скалярное произведение
( ) ( ) ( ) ,coscos, 00 βα ⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
= М
y
z
М
х
z
lzgrad (3)
то из (2) и (3) следует, что
( ) ( )lzgradM
l
z
,0 =
∂
∂
.
Поскольку
( ) !
ϕϕ coscos,
1
⋅=⋅⋅= zgradlzgradlzgrad
""
,
где ϕ – угол между векторами zgrad и l , тогда при 1cos =ϕ или 0=ϕ , то
есть если направления векторов zgrad и l совпадают, получаем
( ) .0 zgradМ
l
z
=
∂
∂
Это равенство означает, что наибольшая скорость изменения функции
достигается в направлении градиента
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
38. 37
22
наиб.
!!
"
#
$$
%
&
∂
∂
+!
"
#
$
%
&
∂
∂
==!
"
#
$
%
&
∂
∂
у
z
х
z
zgrad
l
z
.
Пример 1. Найти производную функции 22
ухz −= в точке ( )2;10M
в направлении вектора l , составляющем угол о
30=α с положительным
направлением оси Ох.
Решение. 1) Найдём частные производные:
( ) ;222
xyx
х
z
x =!−=
∂
∂
( ) .222
yyx
y
z
y −="−=
∂
∂
2) Вычислим значения частных производных в точке ( )2;10M :
( ) ;22;1 =
∂
∂
х
z
( ) .42;1 −=
∂
∂
у
z
3) Найдём направляющие косинусы вектора l :
;
2
3
30coscos о
==α ( ) .
2
1
60cos3090coscos oоo
==−=β
4) Вычислим производную данной функции в направлении
вектора l в точке ( )2;10M :
( ) ( ) ( ) 23
2
1
4
2
3
2cos2;1cos2;12;1 −=⋅−⋅=⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
∂
∂
βα
y
z
x
z
l
z
.
Пример 2. Найти производную функции ( )22
ln ухz += в точке
( )4;30M в направлении градиента функции z.
Решение. 1) Найдём градиент функции ( )22
ln ухz += . Для этого
найдём её частные производные и вычислим их значения в точке 0M :
( )( ) ( )
25
6
169
6
4;3
2
ln 22
22
=
+
=
∂
∂
⇒
+
=#+=
∂
∂
х
z
yx
x
yx
х
z
x ;
( )( ) ( )
25
8
169
8
4;3
2
ln 22
22
=
+
=
∂
∂
⇒
+
=#+=
∂
∂
y
z
yx
y
yx
y
z
y ;
( ) ( ) .
25
8
25
6
00 jijМ
y
z
iМ
х
z
zgrad
!!
⋅+⋅=⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
2) Так как zgradl = , то
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
39. 3838
.
5
2
25
10
25
8
25
6
22
==!
"
#
$
%
&
+!
"
#
$
%
&
==
∂
∂
zgrad
l
z
Для функции трёх переменных ( )zyxfu ,,= направление
{ }γβα cos,cos,cos=l , где γβα и, – углы между вектором l и
положительными направлениями осей Ох, Оу и Оz.
Тогда производная функции ( )zyxfu ,,= в направлении вектора l в
точке ( )0000 ,, zyxM вычисляется по формуле
( ) ( ) ( ) ( ) γβα coscoscos 0000 ⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
∂
∂
М
z
u
М
y
u
М
х
u
М
l
u
,
где ( ) ( ) ( )000 и, М
х
u
М
х
u
М
х
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
– значения частных производных в
точке 0М .
Градиент функции ( )zyxfu ,,= в точке ( )0000 ,, zyxM – это вектор
( ) ( ) ( ) .000 kМ
z
u
jМ
y
u
iМ
х
u
ugrad ⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
Пример 3. Найти производную функции zухu 23
= в точке
( )3;2;10M в направлении вектора MM0 , где ( )5;4;2M .
Решение. 1) Найдём вектор { }2;2;10 =MM и его длину
34410 =++=MM .
2) Вычислим его направляющие косинусы:
.
3
2
cos;
3
1
cos;
3
1
cos === γβα
3) Найдём частные производные и вычислим их значения в точке 0M :
( ) ( ) 3632133;2;13 22223
=⋅⋅⋅=
∂
∂
⇒=$=
∂
∂
х
u
zyxzyx
х
u
x ;
( ) ( ) ;1232123;2;12 323
=⋅⋅⋅=
∂
∂
⇒=$=
∂
∂
y
u
zyxzyx
y
u
y
( ) ( ) .4213;2;1 22323
=⋅=
∂
∂
⇒=$=
∂
∂
z
u
yxzyx
z
u
z
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
40. 39
4) Найдём производную данной функции в направлении вектора
lМM
обозн.
0 = в точке 0M :
( ) ( ) ( ) ( ) =⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
∂
∂
γβα coscoscos 0000 М
z
u
М
y
u
М
х
u
М
l
u
.
3
2
22
3
8
812
3
2
4
3
2
12
3
1
36 =++=⋅+⋅+⋅=
Пример 4. Найти величину и направление градиента функции
zухu = в точке ( )1;1;20M .
Решение. 1) Найдём частные производные и вычислим их значения в
точке 0M :
( ) ( ) 1111;1;2 =⋅=
∂
∂
⇒=$=
∂
∂
х
u
yzxyz
х
u
x ;
( ) ( ) ;2121;1;2 =⋅=
∂
∂
⇒=$=
∂
∂
х
u
хzxyz
у
u
у
( ) ( ) .2121;1;2 =⋅=
∂
∂
⇒=$=
∂
∂
z
u
хyxyz
z
u
z
2) Найдём градиент заданной функции и его величину:
( ) ( ) ( ) ,22000 kjikМ
z
u
jМ
y
u
iМ
х
u
ugrad ++=⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
=
.39221 22
==++=zgrad
3) Вычислим направляющие косинусы градиента:
.
3
2
cos;
3
2
cos;
3
1
cos === γβα
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
41. 4040
Часть II. Интегральное исчисление функций
нескольких переменных
1. Определение и условия существования двойного интеграла
Понятие интеграла можно обобщить на случай, когда
интегрирование проводится по двумерной области, лежащей в плоскости
хОу.
1.1. Понятие интегральной суммы для действительной функции
( )yxfz ,= двух действительных переменных, заданной в ограниченной
области D
Введем понятия разбиения и диаметра области.
Определение. Разбиением Т квадрируемой замкнутой области D
называют конечное множество { }nDDТ ,...,1= квадрируемых замкнутых
областей kD , называемых частичными областями разбиения, и
обладающих следующими свойствами:
1) никакие две частичные области не имеют общих внутренних точек;
2) объединение частичных областей составляет область D , то есть
k
п
k
DD
1=
= ∪ .
Определение. Диаметром замкнутой области называют
наибольшее расстояние между двумя точками контура этой области
(наибольшая хорда области).
Пусть в замкнутой квадрируемой области D определена
ограниченная действительная функция ( )yxfz ,= . Произведём
произвольно разбиение { }nDDТ ,...,1= области D сетью кривых и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
42. 41
составим сумму ( )∑=
Δ⋅=
n
k
kkk Pf
1
,ηξσ , где ( )kk ηξ , – точка частичной
области kD , а kPΔ – площадь kD .
Сумму ( )∑=
Δ⋅=
n
k
kkk Pf
1
,ηξσ называют интегральной суммой
функции ( )yxfz ,= в замкнутой области D.
Интегральная сумма зависит от разбиения T и от выбора точек ( )kk ηξ , .
1.2. Понятие предела интегральных сумм
Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных
областей kD .
Определeние. Число I называют пределом интегральных сумм σ ,
если для любого числа 0>ε существует такое число ( ) 0>= εδδ , что для
любого разбиения { }nDDТ ,...,1= замкнутой области D на части и любого
выбора точек ( ) kkk D∈ηξ , лишь только δλ < выполняется неравенство
εσ <− I .
1.3. Понятие двойного интеграла
Определение. Двойным интегралом функции ( )yxfz ,= по
области D называют конечный предел I интегральных сумм при 0→λ и
обозначают
( )dxdyyxf
D
∫∫ , .
Таким образом,
( ) ( )dxdyyxfPfI
D
k
n
k
kk ∫∫∑ =Δ⋅=
=
→
,,lim
1
0
ηξ
λ
.
В этом случае функцию ( )yxfz ,= называют интегрируемой в области D .
Необходимым условием интегрируемости функции, как и для
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
43. 4242
функции одного переменного, является её ограниченность.
Однако существуют ограниченные, но не интегрируемые функции.
Для нахождения достаточных условий интегрируемости, как и в
случае одного переменного, удобно воспользоваться теорией сумм Дарбу,
которая полностью переносится на случай двойного интеграла.
Определение. Нижней и верхней суммами Дарбу для функции
( )yxfz ,= , соответствующими разбиению Т, называют суммы вида:
( ) ∑=
Δ⋅=
n
k
kk PmTs
1
и ( ) ∑=
Δ⋅=
n
k
kk PMTS
1
,
где km и kM – точная нижняя и точная верхняя границы функции
( )yxfz ,= в частичной области kD , а kPΔ – площадь этой области.
Теорема 1 (критерий существования двойного интеграла в
терминах сумм Дарбу). Для того чтобы функция ( )yxfz ,= , ограниченная
в замкнутой квадрируемой области D , была интегрируема в этой области,
необходимо и достаточно, чтобы ( ) 0lim
0
=−
→
sS
λ
.
Важное значение в прикладных задачах имеет теорема, выражающая
достаточное условие интегрируемости.
Теорема 2. Всякая функция, непрерывная в замкнутой квадрируемой
области 2
R⊂D , интегрируема в этой области.
Имеет место и более общая теорема.
Теорема 3. Функция, ограниченная в замкнутой ограниченной
области и непрерывная в ней всюду, кроме точек, лежащих на конечном
числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций вида
( )xfу = или ( )ygx = , интегрируема в этой области.
2. Основные свойства двойного интеграла
Они аналогичны соответствующим свойствам определённого
интеграла. Обозначим через D плоскую замкнутую квадрируемую
область.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
44. 43
Свойство 1. ( )DPdxdy
D
=∫∫ , где ( )DP – площадь области D .
Свойство 2 (линейность двойного интеграла). Если функции ( )yxf ,
и ( )yxg , интегрируемы в области D , то их линейная комбинация
( ) ( )yxgbyxfa ,, + , где R∈ba, – произвольные константы, также
интегрируема в D , причём
( ) ( )( ) ( ) ( ) .,,,, dxdyyxgbdxdyyxfadxdyyxgbyxfa
DDD
∫∫∫∫∫∫ +=+
Свойство 3. Если функция ( )yxf , неотрицательна и интегрируема в
области D , то
( ) 0, ≥∫∫ dxdyyxf
D
.
Свойство 4. Если функции ( )yxf , и ( )yxg , интегрируемы в
области D и для любых ( ) Dyx ∈, ( ) ( )yxgyxf ,, ≥ , то
( ) ( )dxdyyxgdxdyyxf
DD
∫∫∫∫ ≥ ,, .
Свойство 5. Если функция ( )yxf , интегрируема в области D , то она
интегрируема в любой замкнутой квадрируемой области D!,
содержащейся в D .
Свойство 6 (аддитивность двойного интеграла). Если область D
является объединением областей 1D и 2D , не имеющих общих внутренних
точек, в каждой из которых функция ( )yxf , интегрируема, то в области D
эта функция также интегрируема, причем
( ) ( ) ( ) .,,,
21
dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf
DDD
∫∫∫∫∫∫ +=
Свойство 7. Если функция ( )yxf , интегрируема в области D , то и
функция ( )yxf , интегрируема в этой области, причем
( ) ( ) dxdyyxfdxdyyxf
DD
∫∫∫∫ ≤ ,, .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
45. 4444
3. Геометрический и физический смысл двойного интеграла
Двойной интеграл ( )dxdyyxf
D
∫∫ , по области D от неотрицательной
и непрерывной функции ( )yxfz ,= представляет собой
геометрически
• объём цилиндрического тела, ограниченного сверху
поверхностью ( )yxfz ,= , сбоку цилиндрической поверхностью с
образующими, параллельными оси Oz, и снизу областью интегрирования
D плоскости xOy ;
и физически
• массу пластины D с поверхностной плотностью ( )yxfz ,= .
4. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных
координатах
Различают два основных вида области интегрирования.
Первый вид: область интегрирования D
ограничена слева и справа прямыми ax = и
bx = ( )ba < , а снизу и сверху – графиками
непрерывных на отрезке [ ]ba, функций
( )xyy 1= и ( )xyy 2= , где ( ) ( )xyxy 21 < ,
каждый из которых пересекается
вертикальной прямой только в одной точке.
Тогда двойной интеграл от функции
( )yxfz ,= , непрерывной в области D , равен повторному интегралу:
( ) ( )
( )
( )
.,,
2
1
∫∫ ∫ ∫=
D
b
a
xy
xy
dyyxfdxdydxyxf (1)
y=y2(x)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
46. 45
Таким образом, вычисление двойного интеграла по области 1-го вида
сводится к вычислению двух определённых интегралов, а именно: сначала
вычисляется внутренний интеграл ( )
( )
( )
( )xIdyyxf
xy
xy
=∫
2
1
, , в котором
переменная х считается постоянной, а затем вычисляется внешний
интеграл ( )dxxI
b
a
∫ .
Второй вид: область интегрирования D
ограничена слева и справа прямыми
( )dcdусу <== , и графиками непрерывных
на отрезке [ ]dc, функций ( )yxx 1= и ( )yxx 2= ,
где ( ) ( )yxyx 21 < , каждый из которых
пересекается горизонтальной прямой только в
одной точке.
Тогда двойной интеграл от функции ( )yxfz ,= , непрерывной в
области D , равен повторному интегралу:
( ) ( )
( )
( )
∫∫ ∫ ∫=
D
d
c
yx
yx
dxyxfdydydxyxf
2
1
,, . (2)
Таким образом, вычисление двойного интеграла по области 2-го вида
сводится к вычислению двух определённых интегралов, а именно: сначала
вычисляется внутренний интеграл ( )
( )
( )
( )yIdxyxf
yx
yx
=∫
2
1
, , в котором
переменная у считается постоянной, а затем вычисляется внешний
интеграл ( )dyyI
d
c
∫ .
Если область интегрирования не относится к рассмотренным
основным видам, то её разбивают на части, каждая из которых относится к
одному из них. Тогда двойной интеграл по всей области в силу свойства
аддитивности равен сумме двойных интегралов по каждой части.
y
x0
x=x2(y)
x=x1(y)
c
d
y
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
47. 4646
4.1 Вычисление повторных интегралов
Пример 1. Вычислить повторный интеграл ( )∫ ∫
−
+
0
2
2
0
cos
π
π
dxyxdу .
Решение. Запишем данный повторный интеграл в виде
( ) ( ) dydxyxdxyxdу∫ ∫ ∫ ∫
− − #
#
#
$
%
&
&
&
'
(
+=+
0
2
2
0
0
2
2
0
coscos
π
π
π
π
.
Сначала вычислим внутренний интеграл, который находится в
скобках. Считая переменную у постоянной, находим
( ) ( ) yyyyyxdxyx sincossin
2
sinsincos 2
0
2
0
−=−"
#
$
%
&
'
+=+=+∫
ππ
π
.
Теперь вычислим внешний интеграл, для чего полученную функцию
интегрируем по у в пределах от до 0:
( ) ( ) 211cossinsincos
0
2
0
2
=+=+=− −
−
∫ π
π
уydyyу .
Пример 2. Вычислить повторный интеграл ∫ ∫
+3
1
5
2
2
2
1х
dу
х
dх .
Решение.
( )∫ ∫∫∫∫ ∫ =−+⋅=⋅==
+
++ 3
1
3
1
2
2
5
22
5
2
3
1
2
3
1
5
2
2
25
1111 2
22
dxx
х
y
х
dуdx
х
dу
х
dх
x
хх
43113
33
1
3
1
3
1
2
=+−−="
#
$
%
&
'
−="
#
$
%
&
'
+= ∫ x
xdx
x
.
4.2 Расстановка пределов интегрирования в повторных
интегралах
Поскольку вычисление двойного интеграла ( )∫∫D
dydxyxf , от
функции ( )yxfz ,= , непрерывной в области D сводится к вычислению
повторного интеграла, то одним из главных моментов является
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»