885 высшая математика для экономистов клименко ю.и-2005 -736с

Электронная версия книги подготовлена для открытой библиотеки учебников 1bitt
Ю.И. Клименко
Высшая математика для
экономистов
теория, примеры, задачи
Учебник для вузов
Издательство «ЭКЗАМЕН»
МОСКВА
2005
УДК 517(075.8) ББК22.16я73
Клименко Ю.И.
К49 Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи:
Учебник для вузов / Ю.И. Клименко. —М.: Издательство «Экзамен»,
2005. — 736 с. (Серия «Учебник для вузов») ISBN 5-472-00421-7
Рецензенты: кафедра математики и естественно-научных дисциплин
Московского гуманитарного института им. Е.Р. Дашковой, зав. каф.
доктор ф.-м. наук, проф. Б.В. Холомай; профессор кафедры
математического моделирования экономических процессов
Финансовой академии при Правительстве РФ Л.Г. Лабскер
Пособие написано в соответствии с типовой программой курса высшей
математики для высших учебных заведений по общеэкономическим
специальностям. Эта программа составлена на основании
Государственного стандарта и соответствует новым требованиям,
предъявляемым к математическому образованию современного
экономиста.
В пособии изложены методы решения основных типов задач и
примеров, каждый раздел содержит необходимый теоретический
минимум, подробное решение задач и примеров, а также упражнения
для самостоятельного решения.
Подписано в печать с диапозитивов 10.09.2004
Формат 60x90/16. Гарнитура «Тайме». Бумага типографская
Уч.-изд. л. 23,87. Усл. печ. л. 46,00. Тираж 3000 экз. Заказ № 6367
© Клименко Ю.И., 2005
© Издательство «ЭКЗАМЕН», 2005
---------- 0 ----------
только для ознакомления
PDF-версия специально для MirKnig.com

Электронная версия книги подготовлена для открытой библиотеки учебников
---------- 1 ----------

---------- 2 ----------

---------- 3 ----------
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие... 10
Часть I
Глава I. Элементы линейной алгебры.. 13
§ 1. Решение системы алгебраических уравнений. Правило Крамера.
Метод Гаусса.. 13
1. Два уравнения с двумя неизвестными (13). 2. Два уравнения с тремя
неизвестными (15), 3. Три уравнения с тремя неизвестными (18). 4. Свойства
определителей (21). 5. Однородная система трёх уравнений с тремя неизвестными
(22). 6. Понятие об определителе n-го порядка (23). 7. Метод Гаусса (26).
§2. Матрицы и действия с ними. Ранг матрицы. Обратная матрица.
Теорема Кронекера-Капелли .. 31
1. Умножение матрицы на число (33). 2. Сложение матриц (33). 3. Умножение матриц
(33). 4. Обратная матрица (35). 5. Ранг матрицы (44). 6. Теорема Кронекера-Капелли
(45). 7. Собственные значения и собственные векторы матрицы (48). 8.
Квадратичные формы (50).
Вопросы для самопроверки. 58
Упражнения. 59
Ответы. 61
Глава II. Аналитическая геометрия и элементы векторной алгебры.. 63
§ 3. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости..... 63
1. Декартова прямоугольная система координат (63). 2. Расстояние между двумя
точками на плоскости (63). 3. Деление отрезка в данном отношении (64). 4.
Вычисление площади треугольника (65).
§ 4. Различные виды уравнения прямой на плоскости............ 66
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом (66). 2. Общее уравнение прямой
(67). 3. Уравнение прямой в отрезках (67). 4. Уравнение прямой, проходящей через
заданную точку с заданным направлением (68). 5. Уравнение прямой, проходящей
через две точки (68). 6. Нормальное уравнение прямой (69).

---------- 4 ----------
§ 5. Взаимное расположение двух прямых на плоскости........... 72
1. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух
прямых (72). 2. Уравнение пучка прямых (79).
Вопросы для самопроверки........................... 82
Упражнения............:........................ 82
Ответы......................................... 83
§ 6. Линии второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола 84 1.
Окружность (84). 2. Эллипс (88). 3. Гипербола (89). 4. Парабола (92).
§ 7. Преобразование общего уравнения линии второго порядка...... 95
1. Параллельный перенос, начала координат (95). 2. Поворот осей координат (96).
3. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду (97).
4. Полярная система координат (102).
Упражнения..................................... 106
Ответы......................................... 107
§ 8. Векторная алгебра................................. 108
1. Декартова прямоугольная система координат (108). 2. Понятие вектора (108). 3.
Линейные операции над векторами (ПО). 4. Разложение вектора по координатному
базису (111). 5. Скалярное произведение векторов (113). 6. Векторное
произведение векторов (114). 7. Смешанное произведение трёх векторов (116). 8.
Линейные пространства (117).
Упражнения...................................... 122
Ответы......................................... 123
§ 9. Различные виды уравнений плоскости.................... 123
1. Общее уравнение плоскости (123). 2. Нормированное уравнение плоскости (124).
3. Уравнение плоскости в отрезках (125). 4. Взаимное расположение двух
плоскостей (125).
§10. Прямая линия в пространстве.......................... 128
1. Канонические уравнения прямой (128). 2. Параметрические уравнения прямой
(128). 3. Уравнения прямой, проходящей'через две точки Mi(xi,yi,z) и Мг{х2,1/2,22)
(129). 4. Прямая линия как линия пересечения двух плоскостей (129). 5. Угол между
прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых
(130): 6. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости (130).
7. Пучок плоскостей (131). 8. Дополнения (138).
Упражнения.............,....................... 141
Ответы......................................... 142

---------- 5 ----------
Оглавление 5
Глава III. Введение в математический анализ.............. 144
§ 11. Функция одного переменного.......................... 144
§ 12. Классификация функций...................... ....... 146
§ 13. Предел функции в точке............................. 151
§ 14. Бесконечно малые и их свойства.......................... 154
§ 15. Основные теоремы о пределах......................... 156
§ 16. Непрерывность функций.............................. 163
§ 17, Предел числовой последовательности.................... 164
§ 18. Неопределённые выражения........................... 169
1. Неопределённость вида 0/0 (170). 2. Неопределённость вида оо/оо (175). 3.
Неопределённость вида со — оо (177). 4. Неопределённость вида 0 •со (179). 5.
Раскрытие неопределённости 1°° (180).
Вопросы для самопроверки..... 182
Упражнения...... 182
Ответы...... 184
Глава IV. Дифференциальное исчисление функций одной переменной... 185
§ 19. Производная функции в точке, её геометрический и механический
смысл .... 185
§ 20. Нахождение производных дифференцируемых функций ........ 188
§21. Производная сложной функции...... 193
§22. Производная функции, заданной неявно ....... 194
§23. Производная обратной функции . .... 197
§24. Производная функции, заданной параметрически........... . 199
§ 25. Дифференциал функции .............................. 203
§ 26, Применение дифференциала в приближённых вычислениях..... 205
§ 27. Производные и дифференциалы высших порядков............ 206
§28. Уравнения касательной и нормали к графику функции......... 210
§29. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.......... 217
§30. Формула Тейлора.................................. 225
§ 31. Представление функций е", sin х, cos ж, 1п(1 + as), (1 + ж)" с помощью
формулы Тейлора........ 226
§ 32. Приложение формулы Тейлора......................... 230
Упражнения......... 236
Ответы.............. 237
Глава V. Исследование функций с помощью производных . . .... 239
§ 33. Условия возрастания и убывания функций................. 239
§34. Необходимое и достаточное условия экстремума............. 241

---------- 6 ----------
6 Оглавление
§35. Схема исследования функции на экстремум................ 244
§ 36. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке....... 246
§37. Направление выпуклости графика функции, точки перегиба..... 257
§ 38. Асимптоты кривых......... 259
1. Вертикальные асимптоты (259). 2. Наклонные асимптоты (259).
§ 39. Общая схема исследования функции и построения её графика ... 265
Упражнения......
Ответы....
Часть II
Глава VI. Интегральное исчисление...................... 293
§40. Первообразная и неопределённый интеграл . . .............. 293
§41.Основные методы интегрирования ........ 295
1. Непосредственное интегрирование (295). 2. Введение переменной под знак
дифференциала (299). 3. Метод подстановки (замена переменной в неопределённом
интеграле) (302). 4. Интегрирование по частям (306).
§ 42. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный
трёхчлен.. 311
§43. Интегрирование простейших рациональных функций.......... 314
§44. Интегрирование простейших иррациональных функций........ 319
§ 45. Интегрирование тригонометрических функций.............. 320
§46. Определённый интеграл и его свойства................... 337
§47. Вычисление определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница ...340
§ 48. Вычисление определённого интеграла методом замены переменной
и интегрирования по частям. 350
1. Замена переменной в определённом интеграле (350). 2. Интегрирование по частям
(353).
§ 49. Несобственные интегралы............................ 360
1. Интегралы с бесконечными пределами (360). 2. Интеграл от функций, имеющих
разрыв (363).
§ 50. Геометрическое приложение определённого интеграла......... 368
1. Вычисление площадей плоских фигур (368). 2. Нахождение объёма тела по
поперечным сечениям (376). 3. Объём тела вращения (378). 4. Длина дуги плоской
линии (381).
Вопросы для самопроверки......... 404
Упражнения............................ . . 405
Ответы.......... 407

---------- 7 ----------
Глава VII. Функции нескольких переменных.............. . 409
§51. Функции двух переменных, их графическое изображение....... 409
§52. Частные производные первого и высших порядков. Теорема о равенстве
смешанных производных....................... 412
1. Предел функции нескольких переменных (412). 2. Частное и полное приращение
функции (413). 3. Непрерывность функции нескольких переменных (414). 4.
Частные производные первого порядка (415). 5. Полный дифференциал функции
нескольких переменных (418). 6. Частные производные высших порядков (420). 7.
Теорема о равенстве смешанных производных (421). 8. Дифференциалы высших
порядков (423). 9. Производные и дифференциалы функции, заданной неявно (429).
10. Применение дифференциала в приближённых вычислениях (432). 11.
Дифференцирование сложных функций (433).
§ 53. Экстремум функции нескольких переменных............... 435
1. Необходимое условие экстремума (435). 2. Достаточные условия экстремума
(435). 3. Наибольшее и наименьшее значения функции (438). 4. Условный
экстремум функции двух переменных (446). 5. Производная по направлению и
градиент (452).
§ 54. Построение эмпирической линейной функции методом наименьших
квадратов....................................... 454
§ 55. Комплексные числа................................ 456
Вопросы для самопроверки.... 477
Упражнения..................................... 478
Ответы.................................... . . . . . 479
Глава VIII. Дифференциальные уравнения................. 482
§ 56. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия 482 1.
Дифференциальные уравнения с разделёнными переменными (484). 2,
Дифференциальные уравнения с .разделяющимися переменными (484). 3.
Однородные дифференциальные уравнения (486). 4. Линейные дифференциальные
уравнения (488). 5. Уравнение Бернулли (490).
Упражнения...................................... 494
Ответы........ 495
§ 57. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами............................. 495
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами (496). 2. Линейные неоднородные
дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
(499). 3. Системы линейных дифференциальных уравнений (511).
Упражнения............ 517
Ответы......................................... 517

---------- 8 ----------
8 Оглавление
Глава IX. Ряды. .................................... 519
§ 58. Числовой ряд. Сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда 519 § 59.
Достаточные условия сходимости ряда с неотрицательными членами.... 521
1. Признак сравнения (521). 2. Признак Даламбера (522). 3. Признак Коши (523). 4.
Интегральный признак сходимости (524).
§ 60. Знакопеременные ряды...
§61. Функциональные ряды.............................. 531
§62. Разложение функций в степенной ряд. Применение степенных рядов... 542
§63. Суммирование рядов................................ 556
Упражнения..................................... 566
Ответы......................................... 568
Глава X. Линейное программирование.................... 573
§ 64. Постановка, различные формы записи и геометрическая интерпретация задач
линейного программирования................. 573
Упражнения......................................579
Ответы......................................... 579
§ 65. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
М-метод........................................ 580
Упражнения..................................... 597
Ответы.......................................... 598
§ 66. Двойственные задачи линейного программирования и решение их
двойственным симплексным методом..................... 599
Упражнения..................................... 612
§ 67. Транспортная задача................................ 613
Упражнения..................................... 625
Глава XI. Основные понятия о кратных интегралах....... . . . 627
§ 68. Двойной интеграл................................. 627
1. Двойной интеграл и его основные свойства (627). 2. Вычисление двойного
интеграла (628). 3. Двойной интеграл в полярной системе координат (636). 4.
Некоторые приложения двойного интеграла (640).
§ 69. Тройной интеграл................................. 641
1. Тройной интеграл и его основные свойства (641). 2. Некоторые приложения
тройного интеграла (649).

---------- 9 ----------
Приложение.
Формулы для справок..................... 652
§1. Алгебра................................... 652
§ 2. Тригонометрия......................... 656
§ 3. Геометрия............................... 670
§ 4. Линейная алгебра..................... 679
§ 5. Векторная алгебра..................... 680
§ 6. Аналитическая геометрия........... 682
§ 7. Дифференциальное исчисление. 688
§ 8. Интегральное исчисление........... 694
§ 9. Функция нескольких переменных. 698
§ 10. Ряды....................................... 699
§ 11. Поверхности второго порядка.... 705
§ 12. Плоские кривые...................... 708
Список литературы......................... 713
Предметный указатель.................... 714

---------- 10 ----------
10
Предисловие
Настоящее учебное пособие является справочным пособием по
решению примеров и типовых задач по высшей математике.
Содержание пособия определяется типовой программой курса высшей
математики для высших учебных заведений по общеэкономическим
специальностям, написанной на основании «Государственного
стандарта» и охватывает следующие разделы: элементы линейной и
векторной алгебры; аналитическая геометрия; дифференциальное и
интегральное исчисление функции одной переменной;
дифференциальное исчисление функции нескольких переменных;
комплексные числа; дифференциальные уравнения; ряды; основные
понятия о кратных интегралах, а также элементы линейного
программирования.
В начале каждого раздела приводится необходимый теоретический
минимум и подробно разъясняется его использование на большом
количестве примеров и задач различной трудности, а методы их
решения по мере возможности систематизированы.
После каждого раздела приводится контрольные вопросы и примеры
для самостоятельного решения, причём все примеры снабжены
ответами, а некоторые и методически указаниями по их решению.
В разделе «Приложение» приводится справочный материал по
элементарной и высшей математике необходимый для успешного
усвоения, рассматриваемых в пособии примеров и задач.
Пособие написано на основании опыта преподавания высшей
математике в ИМЭ (институт мировой экономики) и в других вузах
экономического профиля.
Автор выражает искреннюю признательность проф. кафедры
«Математическое моделирование экономически процессов»
Финансовой академии при Правительстве РФ Л. Г. Лабскеру,
заведующему научной редакцией, научному редактору «Издательства
«Экзамен» проф. В. И. Осипову и зав. кафедрой математики доктору
ф.-м. наук, Проф. Б. В. Холомаю за ценные замечания и пожелания,
способствовавшие улучшению рукописи.

---------- 11 ----------
11

---------- 12 ----------
12
ЧАСТЬ I.

Глава 1. Элементы линейной алгебры
---------- 13 ----------

---------- 14 ----------

---------- 15 ----------

---------- 16 ----------

---------- 17 ----------

---------- 18 ----------

Произведение элементов, стоящих, на главной диагонали
определителя, а также произведения стоящие на двух параллельных к
ней содержащих по три элемента, возьмём со знаком плюс.
Произведение элементов, стоящих на побочной диагонали и двух
параллельных к ней содержащих по три элемента, возьмём со знаком
минус. Алгебраическая сумма, этих шести произведений даёт
определитель третьего порядка. Аналогично можно приписать к
определителю две строчки и, проведя те же действия, также получим
определитель третьего порядка.
Пример 4. Вычислить определитель третьего порядка
1 2 3
Д= 4 5 6 7 8 9
Решение. Д= 1-5-9 + 2-6-7 + 3-4-8 — (3 -5-7-1-2 -4-9 + + 1 • 6 • 8) =
225 - 225 = 0.
При решении системы (6) возможны три случая.
1. Определитель системы не равен нулю, т.е. Д ^0. Система имеет
единственное решение, определяемое формулами Крамера:
---------- 19 ----------

---------- 20 ----------

---------- 21 ----------

---------- 22 ----------

---------- 23 ----------

---------- 24 ----------

---------- 25 ----------

---------- 26 ----------

---------- 27 ----------

---------- 28 ----------

---------- 29 ----------

---------- 30 ----------

---------- 31 ----------

---------- 32 ----------

---------- 33 ----------

---------- 34 ----------

---------- 35 ----------

---------- 36 ----------

---------- 37 ----------

---------- 38 ----------

---------- 39 ----------

---------- 40 ----------

---------- 41 ----------

---------- 42 ----------

---------- 43 ----------

---------- 44 ----------

---------- 45 ----------

---------- 46 ----------

---------- 47 ----------

---------- 48 ----------

---------- 49 ----------

---------- 50 ----------

---------- 51 ----------

---------- 52 ----------

---------- 53 ----------

---------- 54 ----------

---------- 55 ----------

---------- 56 ----------

---------- 57 ----------

---------- 58 ----------

---------- 59 ----------

---------- 60 ----------

---------- 61 ----------

---------- 62 ----------

Глава II. Аналитическая геометрия и элементы
векторной алгебры
---------- 63 ----------

---------- 64 ----------

---------- 65 ----------

---------- 66 ----------

---------- 67 ----------

---------- 68 ----------

---------- 69 ----------

---------- 70 ----------

---------- 71 ----------

---------- 72 ----------

---------- 73 ----------

---------- 74 ----------

---------- 75 ----------

---------- 76 ----------

---------- 77 ----------

---------- 78 ----------

---------- 79 ----------

---------- 80 ----------

---------- 81 ----------

---------- 82 ----------

---------- 83 ----------

---------- 84 ----------

---------- 85 ----------

---------- 86 ----------

---------- 87 ----------

---------- 88 ----------

---------- 89 ----------

---------- 90 ----------

---------- 91 ----------

---------- 92 ----------

---------- 93 ----------

---------- 94 ----------

---------- 95 ----------

---------- 96 ----------

---------- 97 ----------

---------- 98 ----------

---------- 99 ----------

---------- 100 ----------

---------- 101 ----------

---------- 102 ----------

---------- 103 ----------

---------- 104 ----------

---------- 105 ----------

---------- 106 ----------

---------- 107 ----------

---------- 108 ----------

---------- 109 ----------

---------- 110 ----------

---------- 111 ----------

---------- 112 ----------

---------- 113 ----------

---------- 114 ----------

---------- 115 ----------

---------- 116 ----------

---------- 117 ----------

---------- 118 ----------

---------- 119 ----------

---------- 120 ----------

---------- 121 ----------

---------- 122 ----------

---------- 123 ----------

---------- 124 ----------

---------- 125 ----------

---------- 126 ----------

---------- 127 ----------

---------- 128 ----------

---------- 129 ----------

---------- 130 ----------

---------- 131 ----------

---------- 132 ----------

---------- 133 ----------

---------- 134 ----------

---------- 135 ----------

---------- 136 ----------

---------- 137 ----------

---------- 138 ----------

---------- 139 ----------

---------- 140 ----------

---------- 141 ----------

---------- 142 ----------

---------- 143 ----------

Глава III. Введение в математический анализ
---------- 144 ----------

---------- 145 ----------

---------- 146 ----------

---------- 147 ----------

---------- 148 ----------

---------- 149 ----------

---------- 150 ----------

---------- 151 ----------

---------- 152 ----------

---------- 153 ----------

---------- 154 ----------

---------- 155 ----------

---------- 156 ----------

---------- 157 ----------

---------- 158 ----------

---------- 159 ----------

---------- 160 ----------

---------- 161 ----------

---------- 162 ----------

---------- 163 ----------

---------- 164 ----------

---------- 165 ----------

---------- 166 ----------

---------- 167 ----------

---------- 168 ----------

---------- 169 ----------

---------- 170 ----------

---------- 171 ----------

---------- 172 ----------

---------- 173 ----------

---------- 174 ----------

---------- 175 ----------

---------- 176 ----------

---------- 177 ----------

---------- 178 ----------

---------- 179 ----------

---------- 180 ----------

---------- 181 ----------

---------- 182 ----------

---------- 183 ----------

---------- 184 ----------

---------- 185 ----------
Глава IV. Дифференциальное исчисление
функций одной переменной

---------- 186 ----------

---------- 187 ----------

---------- 188 ----------

---------- 189 ----------

---------- 190 ----------

---------- 191 ----------

---------- 192 ----------

---------- 193 ----------

---------- 194 ----------

---------- 195 ----------

---------- 196 ----------

---------- 197 ----------

---------- 198 ----------

---------- 199 ----------

---------- 200 ----------

---------- 201 ----------

---------- 202 ----------

---------- 203 ----------

---------- 204 ----------

---------- 205 ----------

---------- 206 ----------

---------- 207 ----------

---------- 208 ----------

---------- 209 ----------

---------- 210 ----------

---------- 211 ----------

---------- 212 ----------

---------- 213 ----------

---------- 214 ----------

---------- 215 ----------

---------- 216 ----------

---------- 217 ----------

---------- 218 ----------

---------- 219 ----------

---------- 220 ----------

---------- 221 ----------

---------- 222 ----------

---------- 223 ----------

---------- 224 ----------

---------- 225 ----------

---------- 226 ----------

---------- 227 ----------

---------- 228 ----------

---------- 229 ----------

---------- 230 ----------

---------- 231 ----------

---------- 232 ----------

---------- 233 ----------

---------- 234 ----------

---------- 235 ----------

---------- 236 ----------

---------- 237 ----------

---------- 238 ----------

Глава V. Исследование функций с помощью
производных
---------- 239 ----------

---------- 240 ----------

---------- 241 ----------

---------- 242 ----------

---------- 243 ----------

---------- 244 ----------

---------- 245 ----------

---------- 246 ----------

---------- 247 ----------

---------- 248 ----------

---------- 249 ----------

---------- 250 ----------

---------- 251 ----------

---------- 252 ----------

---------- 253 ----------

---------- 254 ----------

---------- 255 ----------

---------- 256 ----------

---------- 257 ----------

---------- 258 ----------

---------- 259 ----------

---------- 260 ----------

---------- 261 ----------

---------- 262 ----------

---------- 263 ----------

---------- 264 ----------

---------- 265 ----------

---------- 266 ----------

---------- 267 ----------

---------- 268 ----------

---------- 269 ----------

---------- 270 ----------

---------- 271 ----------

---------- 272 ----------

---------- 273 ----------

---------- 274 ----------

---------- 275 ----------

---------- 276 ----------

---------- 277 ----------

---------- 278 ----------

---------- 279 ----------

---------- 280 ----------

---------- 281 ----------

---------- 282 ----------

---------- 283 ----------

---------- 284 ----------

---------- 285 ----------

---------- 286 ----------

---------- 287 ----------

---------- 288 ----------

---------- 289 ----------

---------- 290 ----------

---------- 291 ----------

---------- 292 ----------
ЧАСТЬ II.

Глава VI. Интегральное исчесление
---------- 293 ----------

---------- 294 ----------

885 высшая математика для экономистов клименко ю.и-2005 -736с

885 высшая математика для экономистов клименко ю.и-2005 -736с

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to 885 высшая математика для экономистов клименко ю.и-2005 -736с

Similar to 885 высшая математика для экономистов клименко ю.и-2005 -736с (20)

More from robinbad123100

More from robinbad123100 (20)

885 высшая математика для экономистов клименко ю.и-2005 -736с