Г. Полиа, Г. Сеге. Задачи и теоремы анализа. 1

1. Г.Полиа, Г.Сеге
ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ ИЗ АНАЛИЗА
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
РЯДЫ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Содержание
От издательства 7
Предисловие 8
Обозначения и сокращения 16
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Глава 1. Вычисления со степенными рядами задачи решения
1 (1-31). Задачи из аддитивной теории чисел 19 181
2 (32-43). Биномиальные коэффициенты и прочее 23 188
3 (44-49). Дифференцирование степенных рядов 25 189
4 (50-60). Определение, коэффициентов при помощи
функциональных уравнений
27 190
5 (61-64). Мажорантные ряды 28 193
Глава 2. Преобразования рядов. Теорема Чеэаро задачи решения
1 (65-78). Преобразование последовательностей в
последовательности в случае, когда в каждой строке схемы
имеется только конечное число элементов, отличных от
нуля
29 194
2 (79-82). Преобразование последовательностей в
последовательности (общий случай)
32 197
3 (83-97). Преобразования последовательностей в функции.
Теорема Чезаро
33 198
Глава 3. Структура вещественных последовательностей и
рядов
задачи решения
1 (98-112). Структура бесконечных последовательностей 37 202
2 (113-116). Показатель сходимости 40 206
3 (117-123). Максимальный член степенного ряда 40 207
4 (124-132). Части рядов 43 208
5 (133-137). Перестановки членов вещественного ряда 44 210
6 (138-139). Распределение знаков членов ряда 46 211
Глава 4. Смешанные задачи задачи решения
1 (140-155). Обвертывающие ряды 46 212

2. 2 (156-185). Прочие задачи, относящиеся к вещественным рядам 50 216
ОТДЕЛ ВТОРОЙ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 1. Интеграл как предел сумм площадей
прямоугольников
задачи решения
1 (1-7). Нижние и верхние суммы 57 227
2 (8-19). Степень приближения 59 228
3 (20-29). Несобственные интегралы в конечных пределах 61 232
4 (30-40). Несобственные интегралы в бесконечных пределах 63 234
5 (41-47). Теоретико-числовые применения 65 236
6 (48-59). Средние значения. Произведения 67 238
7 (60-68). Кратные интегралы 70 241
Глава 2. Неравенства задачи решения
1 (69-97). Неравенства 72 244
Глава 3. Из теории функций действительного переменного задачи решения
1 (98-111). Интегрируемость в собственном смысле 82 252
2 (112-118). Несобственные интегралы 84 256
3 (119-127). Непрерывные, дифференцируемые, выпуклые
функции
86 258
4 (128-146). Особые интегралы, теорема Вейерштрасса 87 264
Глава 4. Различные типы равномерного распределения задачи решения
1 (147-161). Числовая функция. Регулярные последовательности 91 269
2 (162-165). Критерии равномерного распределения 94 273
3 (166-173). Распределение кратных иррационального числа 95 275
4 (174-184). Распределение цифр в таблице логарифмов и
аналогичные задачи
97 276
5 (185-194). Другие типы равномерного распределения 99 281
Глава 5. Функции больших чисел задачи решения
1 (195-209). Метод Лапласа 103 283
2 (210-217). Модификации метода Лапласа 106 287
3 (218-222). Асимптотическое вычисление некоторых
максимумов
108 291
ОТДЕЛ ТРЕТИЙ. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО. ОБЩАЯ ЧАСТЬ
Глава 1. Комплексные числа и последовательности задачи решения
1 (1-15). Области и кривые. Вычисления с комплексными
числами
110 293

3. 2 (16-27). Расположение корней алгебраических уравнении 112 296
3 (28-35). Продолжение: теорема Гаусса 115 299
4 (36-43). Комплексные числовые последовательности 116 302
5 (44-50). Продолжение: преобразования рядов 118 304
6 (51-54). Изменение порядка членов в комплексных рядах 119 308
Глава 2. Отображения и векторные поля задачи решения
1 (55-59). Дифференциальные уравнения Коши-Римана 120 309
2 (60-84). Специальные элементарные отображения 121 310
3 (85-102). Векторные поля 126 315
Глава 3. Геометрическое поведение функции задачи решения
1 (103-116). Отображение окружности кривизна и опорные
функции
131 320
2 (117-123). Средние значения вдоль окружности 134 322
3 (124-129). Отображение круга. Площадь области, получаемой
при отображении
136 323
4 (130-144). Поверхность модуля. Принцип максимума 137 324
Глава 4. Интеграл Коши. Принцип аргумента задачи решения
1 (145-171). Интеграл Коши 140 328
2 (172-178). Формулы Пуассона и Иенсена 145 338
3 (179-193). Принцип аргумента 148 341
4 (194-206). Теорема Рушэ 150 344
Глава 5. Последовательности аналитических функций задачи решения
1 (207-229). Ряд Лагранжа и его применения 152 347
2 (230-240). Вещественная часть степенного ряда 157 355
3 (241-247). Полюсы на границе круга сходимости 159 359
4 (248-250). Тождественное обращение в нуль степенных рядов 160 361
5 (251-258). Распространение сходимости 162 363
6 (259-262). Сходимость в разделенных областях 163 365
7 (263-265). Порядок возрастания последовательностей
полиномов
164 368
Глава 6. Принцип максимума задачи решения
1 (266-279). Различные формулировки принципа максимума 165 369
2 (280-298). Лемма Шварца 167 372
3 (299-310). Теорема Адамара о трех кругах 171 378
4 (311-321). Гармонические функции 173 381

4. 5 (322-340). Метод Фрагмена и Линделёфа 174 383
Предметный указатель 389
Предметный указатель
Адамара теорема о трех кругах 171,
172
Аналитическая функция 120
Аналитический ландшафт 138
Бернулли формула 128
- числа 49
Бесселевы функции 36, 105
Биномиальные коэффициенты 23
Бюрмана-Лагранжа ряд 153
Вейерштрасса теорема об
аппроксимации непрерывных
функций 89, 91
Векторное поле 120
- - безвихревое 126
- - без источников и стоков 127
Гамма-функция 64
Дирихле - Мелера формула 142
Дирихле ряды 31
Дифференциальные уравнения
Коши-Римана 120
Дополнительные части ряда 44, 45
Дроби Фарея 101
Задача на взвешивание 182, 183
- - почтовые марки 182
- - размен денег 182
Звездообразная относительно точки
кривая 132
Иенсена формула 145, 146, 325
Колебание функции 84
Конформное отображение 121
Конформный центр тяжести кривой
137
Коши неравенство 78
- теорема об арифметическом и
геометрическом средних 74
Коши-Римана дифференциальные
уравнения 120
Коэффициенты Фурье 90
Критерий Римана интегрируемости
84
Лагерра обобщенные полиномы 155
Лапласа уравнение 127
- формула 142
Лежандра полиномы 142, 154
Лемма Шварца 167
Лемниската с n фокусами 140
Линейное искажение 123
Линии тока 127
Мажоранта 28
Максимальный член 41
Меркаторская проекция 122
Миноранта 28
Моменты функции 89
Неравенство Коши 78
- Шварца 78
Нули полинома 112, 114
Обвертывающий ряд 46
Опорная прямая 133, 205
- функция 133
Определенный интеграл
несобственный 61
- - собственный 56, 57
Ортогональные функции 134
Отображение 120
Паскаля треугольник 154
Плоскость потенциала 130
- потока 130
- скоростей 130
Поверхностное искажение 123
Поверхность модуля 137, 138
Показатель сходимости 40
Полиномы Лагерра обобщенные 155
- Лежандра 142, 154
- - производящая функция 155
- Якоби 154, 155
Полное изменение функции 228
Последовательность равномерно
распределенная 94, 95
- регулярная 93
Постоянная Эйлера 60, 231, 232

5. Потенциал векторного поля 127
Преобразование
последовательностей,
сохраняющее сходимость 29,
30, 33, 118
Принцип аргумента 148, 149
- максимума 138, 139
Производящая функция полиномов
Лежандра 155
Пуассона формула 145, 146
Римана критерий интегрируемости
84
Рушэ теорема 150
Ряд Бюрмана-Лагранжа 153
- обвертывающий число 46
Ряды Дирихле 31
Силовые линии 127
Среднее (арифметическое,
геометрическое,
гармоническое) функции 68, 73,
75
- (арифметическое, геометрическое,
гармоническое) чисел 67, 72, 73
Степенной ряд примитивный 157
Стереографическая проекция 121,
122
Сумма верхняя, нижняя 56, 58, 70
Теорема Адамара о трех кругах 171,
172
- Вейерштрасса об аппроксимации
непрерывных функций 89, 91
Теорема Коши об арифметическом и
геометрическом средних 74
- Рушэ 150
- Чезаро о степенных рядах 33
Треугольник Паскаля 154
Тригонометрические моменты 90
Угол поворота 123
Уравнение Лапласа 127
Фарея дроби 101
Форма Эрмита 111
Формула Бернулли 128
- Дирихле-Мелера 142
- Иенсена 145, 146, 325
- Лапласа 142
- Пуассона 145, 146
Функции Бесселя 36, 105
- интегрируемые в смысле Римана 57
- ортогональные 134
- с ограниченным изменением 228,
229
Функция аналитическая 120
- выпуклая снизу (сверху) 75
- кусочно-постоянная 83
- медленно возрастающая 92
- невогнутая снизу (сверху) 75
- однолистная 124
- опорная 133
- тока 127
Фурье коэффициенты 90
Целые точки 22
Центральный индекс 41
Часть ряда 43
Чезаро теорема о степенных рядах 33
Числа Бернулли 49
Число оборотов кривой 148
Числовая функция
последовательности 91
Шварца лемма 167
- неравенство 78
Эйлерова постоянная 60, 231, 232
Эквипотенциальные линии 127
Эрмитова форма 111
Якоби полиномы 154, 155