Аннотация
Тема реферата «Исследование производной»
Руководитель: Гиниятуллина Рауфа Нурловна.
Автор: Миннегареев Роман
Предмет: математика
Класс, образовательное учреждение: 11 «а» класс МКОУ СОШ №18 п. Октябрьский
Реферат выполнен в рамках предметной области «Математика». Работа содержит все основные составные элементы реферата: введение, основная часть, заключение, приложение. Общий объем страниц, включая приложения, составляет 33 страницы. Во введении сформулированы актуальность, цель и задачи выполненной работы.
Аннотация
Тема реферата «Исследование производной»
Руководитель: Гиниятуллина Рауфа Нурловна.
Автор: Миннегареев Роман
Предмет: математика
Класс, образовательное учреждение: 11 «а» класс МКОУ СОШ №18 п. Октябрьский
Реферат выполнен в рамках предметной области «Математика». Работа содержит все основные составные элементы реферата: введение, основная часть, заключение, приложение. Общий объем страниц, включая приложения, составляет 33 страницы. Во введении сформулированы актуальность, цель и задачи выполненной работы.
Точечная оценка. Определение
Пример 1
Свойства точечных оценок
Несмещенность
Пример 2
Состоятельность
Эффективность
Асимптотическая нормальность
Робастность
1. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
2. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
3. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
4. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
5. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
6. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
7. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
8. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
9. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
10. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
11. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
12. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
13. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
14. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
15. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
16. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
17. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
18. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
19. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
20. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
21. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
22. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
23. В теореме о достаточных условиях II порядка условие
регулярности (Im F (ˆx) = Y) можно заменить на условие
ослабленной регулярности (Im F (ˆx) — замкнут в Y),
но это условие уже является существенным.
Пример. f : l2 → R, f({xn}) = − x 2
l2
= −
∞
n=1
x2
n ,
F : l2 → l2, F({xn}) = xn
n − x2
n ,
f(x) → min; F(x) = 0. (P)
Функция Лагранжа
L (x) = λ0f(x) + λ, F(x) = −λ0
∞
n=1
x2
n +
∞
n=1
λn
xn
n
− x2
n .
Условие стационарности:
L (x) = 0 ⇔ −2λ0xn + λn
1
n
− 2xn = 0 ∀ n ∈ N. (∗)
Если взять λ0 = 1, λn = 0 ∀ n ∈ N, то точка ˆx = 0
удовлетворяет соотношению (∗) и, следовательно, является
стационарной.
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
24. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
25. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
26. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
27. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
28. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
29. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
30. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
31. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
32. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
33. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
34. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
35. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
36. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
37. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
38. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
39. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
40. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
41. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
42. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
43. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
44. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
45. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
46. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
47. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
48. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
49. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации
50. f(x) = −
∞
n=1
x2
n , F(x) = {xn
n − x2
n }.
F (ˆx)[h] = hn
n − 2ˆxnhn ˆx=0
= hn
n .
Покажем, что Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Возьмем последовательность
ξn = 1, 1
2, . . . , 1
n , 0, . . . ∈Im F (ˆx) F (ˆx)[(1, . . . , 1, 0, . . .)]=ξn ;
ξn → ξ = 1, 1
2 , . . . , 1
n , . . . ∈ l2 и ∈Im F (ˆx) (1, . . . , 1, . . .)∈l2 .
Значит, Im F (ˆx) не является замкнутым множеством.
Проверим в точке ˆx = 0 достаточное условие II порядка.
F (ˆx)[h] = hn
n = 0 ⇔ h = 0 ⇔ Ker F (ˆx) = 0. Тогда условие
L (ˆx)[h, h] ≥ α h 2 ∀ h ∈ Ker F (ˆx) будет выполняться.
Таким образом, все достаточные условия II порядка
минимума (кроме ослабленной регулярности) выполняются,
но ˆx = 0 ∈ locmin P. Действительно, для последовательности
xn = (0, . . . , 0, 1
n , 0, . . .), xn → ˆx = 0, но f(xn) < 0 = f(ˆx).
Галеев Э. М. МГУ
Лекции: Методы оптимизации