It contains the derivation of some simplification of Richards equation at the hilllslope scale

1. L’acqua nei suoli e nel sottosuolo
Le equazioni di Richards in un versante
Riccardo Rigon
JayStrattonNoller,OregonInteriors,2009

2. R. Rigon
Obbiettivi:
!2
L’acqua nei suoli e nel sottosuolo
•Semplificare l’equazione di Richards in un versante piano

3. R. Rigon
!3
Iverson,2000;CordanoeRigon,2008
!3
The Richards equation on a plane hillslope
Richardsoniana

4. R. Rigon
!4
Iverson,2000;CordanoeRigon,2008
!4
The Richards equation made dimensionless
Richardsoniana

5. R. Rigon
!5
Ancora un po’ di discussione sulla condizione
iniziale
sulla falda la
pressione è nulla
sotto la falda, la pressione, in condizioni
statiche, segue la legge idrostatica
L’equazione di Richards semplificata

6. R. Rigon
!6
Ancora un po’ di discussione sulla condizione
iniziale
sopra la falda, in condizioni, insature, all’equilibrio, la pressione varia pure
idrostaticamente
Text
L’equazione di Richards semplificata

7. R. Rigon
!7
Iverson,2000;CordanoeRigon,2008
!7
Richards eq. solution expressed in terms of
the asymptotic hydrostatic solution and a transient
term:
See also. D’Odorico et al., 2003
Richardsoniana

8. R. Rigon
!8
and one equation for
Iverson,2000;CordanoeRigon,2008
!8
So Richards equation is
divided into one equation for
Richardsoniana

9. R. Rigon
!9!9
In turn
“Short term
solution” Taylor’s
expansion
Water table
equation Taylor’s
expansion
Slope normal flow
time scale Lateral flow
time scaleSee also. D’Odorico et al., 2003
Richardsoniana

10. R. Rigon
!10
Neglecting some details
that can be found in Cordano and Rigon, 2008
Zeroth perturbation order
First perturbation order
+ analogous for d*
Richardsoniana

11. !11
Integrating zeroth order solution in the column
Making a long story short
R. Rigon
Richardsoniana - Iversoniana

12. !12
Integrating zeroth order solution in the column
R. Rigon
Richardsoniana - Iversoniana

13. R. Rigon
!13!13
Integrating zeroth order solution in the column
Making a long story short
Topkapi model
Liu and Todini, 2002
Richardsoniana

14. R. Rigon
!14
Ipotesi
Perchè, per esempio, siamo in prossimità della saturazione e supponiamo che il
profilo di umidità pur variabile con la profondità non alteri significativa la
conducibilità idraulica
L’equazione di Richards semplificata

15. R. Rigon
!15
Questa decomposizione
E’ possibile nell’assunzione che il tempo in cui avviene l’infiltrazione
normale al pendio attraverso il suolo sia minore del tempo impiegato
dall’acqua per infiltrarsi:
Tempo scala dell’infiltrazione
profondità del suolo
diffusività costante
tempo scala del deflusso
laterale
l u n g h e z z a d e l
versante
conducibilità idraulica
di riferimento
capacità idraulica di riferimento
Iverson,2000;CordanoandRigon,2008
L’equazione di Richards semplificata

16. R. Rigon
C(⇥)
⇤⇥
⇤t
=
⇤
⇤z
⇤
Kz
⇤⇥
⇤z
cos
⇥⌅
+ Sr
Infiltrazione verticale: agisce su
un tempo scala relativamente
veloce perchè propaga un segnale
su uno spessore di pochi metri
!16
L’equazione di Richards!
L’equazione di Richards semplificata

17. R. Rigon
Sr =
⇤
⇤y
⇤
Ky
⇤⇥
⇤y
⌅
+
⇤
⇤x
⇤
Kx
⇤⇥
⇤x
sin
⇥⌅
Opportunamente trattato si riduce al moto
laterale della falda, in particolare alla
equazione di Boussinesq ed agisce su un
tempo scala più lento
!17
L’equazione di Richards!
L’equazione di Richards semplificata

18. R. Rigon
In questo caso, la soluzione dell’equazione di Richards (3D) si può
approssimare come somma di due contributi:
Iverson,2000;CordanoeRigon,2008
!18
L’equazione di Richards su un versante piano
Risposta lenta dovuta
al deflusso laterale
L’equazione di Richards semplificata

19. R. Rigon
In questo caso, la soluzione dell’equazione di Richards (3D) si può
approssimare come somma di due contributi:
Iverson,2000;CordanoeRigon,2008
!19
L’equazione di Richards su un versante piano
R i s p o s t a
t r a n s i e n t e
d o v u t a
all’infiltrazione
L’equazione di Richards semplificata

20. R. Rigon
In questo caso, la soluzione dell’equazione di Richards (3D) si può
approssimare come:
Iverson,2000;CordanoeRigon,2008
!20
L’equazione di Richards su un versante piano
Profondità
Profondità
della falda
Pendenza
del terreno
L’equazione di Richards semplificata

21. R. Rigon
Iverson,2000;D’Odoricoetal.,2003,
CordanoeRigon,2008
!21
L’equazione di Richards su un versante piano
s
L’equazione di Richards semplificata