Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan real, pertidaksamaan bilangan real, dan cara menyelesaikan pertidaksamaan bilangan real termasuk yang menggunakan nilai mutlak. Secara khusus, dibahas tujuan pembelajaran yaitu memahami sistem bilangan real dan mampu menyelesaikan pertidaksamaan bilangan real dan dengan nilai mutlak.
Struktur bilangan real terdiri dari bilangan bulat, pecahan, irasional, rasional, dan kompleks. Bilangan kompleks memiliki dua dimensi yaitu bilangan real dan imajiner. Bilangan real digunakan dalam ilmu pengetahuan dan kehidupan sehari-hari, sedangkan bilangan rasional dapat ditulis dalam bentuk pecahan atau desimal berulang. Interval bilangan real dapat ditulis menggunakan notasi himpunan, garis, atau pasangan batas atas dan b
Dokumen tersebut merupakan ringkasan bab pertama tentang sistem bilangan riil, operasi hitungan, dan konsep dasar kalkulus seperti fungsi, limit, derivasi, dan integral.
Struktur bilangan real terdiri dari bilangan bulat, pecahan, irasional, rasional, dan kompleks. Bilangan kompleks memiliki dua dimensi yaitu bilangan real dan imajiner. Bilangan real digunakan dalam ilmu pengetahuan dan kehidupan sehari-hari, sedangkan bilangan rasional dapat ditulis dalam bentuk pecahan atau desimal berulang. Interval bilangan real dapat ditulis menggunakan notasi himpunan, garis, atau pasangan batas atas dan b
Dokumen tersebut merupakan ringkasan bab pertama tentang sistem bilangan riil, operasi hitungan, dan konsep dasar kalkulus seperti fungsi, limit, derivasi, dan integral.
Dokumen tersebut membahas tentang remidi matematika khususnya sistem persamaan linear dua variabel dan cara penyelesaiannya melalui metode substitusi dan metode grafik."
Dokumen tersebut membahas tentang pertidaksamaan, yang didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang dihubungkan dengan notasi <, >, ≤ atau ≥. Pertidaksamaan dibedakan menjadi beberapa jenis seperti pertidaksamaan linier, kuadrat, tingkat tinggi, dan bentuk pecahan. Setiap jenis pertidaksamaan memiliki cara penyelesaian tersendiri seperti menggunakan garis bilangan, sketsa grafik, atau kuadrat
Dokumen tersebut berisi ringkasan singkat tentang materi pertidaksamaan kuadrat, pecahan, akar, dan nilai mutlak beserta contoh soal latihan. Diberikan pula petunjuk penyelesaian menggunakan garis bilangan.
Dokumen tersebut membahas tentang variabel dan fungsi matematika. Variabel dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel terikat, sedangkan fungsi dijelaskan sebagai hubungan antara variabel. Jenis-jenis fungsi seperti fungsi linier, kuadrat, dan pangkat juga dijelaskan beserta contohnya.
Dokumen tersebut membahas tentang materi persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel beserta contoh-contoh soalnya. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan definisi persamaan dan pertidaksamaan linear, sifat-sifatnya, cara penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak, serta contoh soal beserta penyelesaiannya.
Operasi hitung bilangan bulat dalam pemecahan masalah copyEddy Cla
Dokumen ini membahas operasi hitung bilangan bulat, termasuk penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, sifat-sifat operasi, dan cara menyelesaikan soal campuran. Juga dibahas menentukan FPB dan KPK beberapa bilangan dengan menggunakan faktor prima, serta operasi pangkat dan akar pangkat.
1. Dokumen ini membahas tentang persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel beserta penyelesaiannya. Langkah-langkah penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linear, serta pengenalan awal tentang persamaan kuadrat.
Dokumen tersebut membahas tentang:
1. Penilaian tugas, presentasi, dan makalah pada suatu mata kuliah
2. Koordinator kelas dan penyelesaian permasalahan sebelum akhir semester
3. Sistem persamaan linier dan berbagai metode penyelesaiannya seperti eliminasi, substitusi, dan eliminasi Gauss.
Dokumen tersebut membahas tentang materi fungsi rasional pada pelajaran matematika. Terdapat pengertian fungsi rasional, contoh fungsi rasional, grafik fungsi rasional, dan langkah-langkah menggambar grafik fungsi rasional.
Mesin Turing merupakan model matematis sederhana untuk komputer yang diajukan oleh Alan Turing pada tahun 1936. Meskipun sederhana, Mesin Turing mampu menggambarkan perilaku komputer umum dan dapat digunakan untuk menghitung fungsi bilangan bulat tertentu. Mesin Turing terdiri dari komponen kontrol berhingga, pita masukan yang panjangnya tak terhingga, dan kepala pembaca/penulis. Mesin Turing dapat menerima
Dokumen tersebut membahas tentang remidi matematika khususnya sistem persamaan linear dua variabel dan cara penyelesaiannya melalui metode substitusi dan metode grafik."
Dokumen tersebut membahas tentang pertidaksamaan, yang didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang dihubungkan dengan notasi <, >, ≤ atau ≥. Pertidaksamaan dibedakan menjadi beberapa jenis seperti pertidaksamaan linier, kuadrat, tingkat tinggi, dan bentuk pecahan. Setiap jenis pertidaksamaan memiliki cara penyelesaian tersendiri seperti menggunakan garis bilangan, sketsa grafik, atau kuadrat
Dokumen tersebut berisi ringkasan singkat tentang materi pertidaksamaan kuadrat, pecahan, akar, dan nilai mutlak beserta contoh soal latihan. Diberikan pula petunjuk penyelesaian menggunakan garis bilangan.
Dokumen tersebut membahas tentang variabel dan fungsi matematika. Variabel dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel terikat, sedangkan fungsi dijelaskan sebagai hubungan antara variabel. Jenis-jenis fungsi seperti fungsi linier, kuadrat, dan pangkat juga dijelaskan beserta contohnya.
Dokumen tersebut membahas tentang materi persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel beserta contoh-contoh soalnya. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan definisi persamaan dan pertidaksamaan linear, sifat-sifatnya, cara penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak, serta contoh soal beserta penyelesaiannya.
Operasi hitung bilangan bulat dalam pemecahan masalah copyEddy Cla
Dokumen ini membahas operasi hitung bilangan bulat, termasuk penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, sifat-sifat operasi, dan cara menyelesaikan soal campuran. Juga dibahas menentukan FPB dan KPK beberapa bilangan dengan menggunakan faktor prima, serta operasi pangkat dan akar pangkat.
1. Dokumen ini membahas tentang persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel beserta penyelesaiannya. Langkah-langkah penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan linear, serta pengenalan awal tentang persamaan kuadrat.
Dokumen tersebut membahas tentang:
1. Penilaian tugas, presentasi, dan makalah pada suatu mata kuliah
2. Koordinator kelas dan penyelesaian permasalahan sebelum akhir semester
3. Sistem persamaan linier dan berbagai metode penyelesaiannya seperti eliminasi, substitusi, dan eliminasi Gauss.
Dokumen tersebut membahas tentang materi fungsi rasional pada pelajaran matematika. Terdapat pengertian fungsi rasional, contoh fungsi rasional, grafik fungsi rasional, dan langkah-langkah menggambar grafik fungsi rasional.
Mesin Turing merupakan model matematis sederhana untuk komputer yang diajukan oleh Alan Turing pada tahun 1936. Meskipun sederhana, Mesin Turing mampu menggambarkan perilaku komputer umum dan dapat digunakan untuk menghitung fungsi bilangan bulat tertentu. Mesin Turing terdiri dari komponen kontrol berhingga, pita masukan yang panjangnya tak terhingga, dan kepala pembaca/penulis. Mesin Turing dapat menerima
Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan biner dan pecahan dalam sistem bilangan biner, termasuk konversi bilangan desimal ke biner dan sebaliknya. Gerbang logika juga dijelaskan sebagai blok dasar untuk membentuk rangkaian elektronika digital yang meliputi gerbang AND, OR, NOT, NAND, NOR, EX-OR, dan EX-NOR.
Dokumen tersebut membahas tentang konsep limit fungsi pada satu titik dan sifat-sifatnya, termasuk pengertian limit secara intuitif, definisi matematis limit fungsi, konsep limit kiri dan kanan, serta contoh penghitungan nilai limit fungsi trigonometri dan tak hingga."
920200819851205101_Arsitektur Set Intruksi .pptxMunawirMunawir15
(1) Mahasiswa mempelajari karakteristik instruksi mesin, jenis operand dan operasi, serta arsitektur set instruksi Pentium. (2) Set instruksi terdiri dari kode operasi, referensi operand sumber dan hasil, serta referensi instruksi berikutnya. (3) Jenis instruksi meliputi pengolahan data, penyimpanan data, pemindahan data, kontrol, dan input/output.
Ada tiga jenis huruf dalam bahasa Jepang: Hiragana, Katakana dan Kanji. Hiragana dan Katakana adalah simbol fonetik yang mewakili penyebutan suku kata, sedangkan Kanji adalah ideogram yang digunakan untuk menggambarkan makna ujaran.
2. Tujuan PEMBELAJARAN
0 Memahami sistem bilangan real
0 Mampu menyelesaikan pertaksamaan bilangan real
0 Mampu menyelesaikan pertaksamaan bilangan real
dengan tanda mutlak
3. Sistem bilangan
3
N : bilangan
asli
Z : bilangan bulat
Q : bilangan rasional
R : bilangan real
N :
1,2,3,….
Z :
…,-2,-1,0,1,2,..
0
,
,
,
b
Z
b
a
b
a
q
Q :
Irasional
Q
R
,
3
,
2
Contoh Bil Irasional
4. Garis Bilangan
• Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebu
dengan garis bilangan(real)
• Selang
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
0 1
-3
2
5. Selang
5
Himpunan selang
{ }
a
x
x < ( )
a
,
-
{ }
a
x
x ( ]
a
,
-
{ }
b
x
a
x <
< ( )
b
a,
{ }
b
x
a
x
[ ]
b
a,
{ }
b
x
x > ( )
,
b
{ }
b
x
x [ )
,
b
{ }
x
x ( )
,
• Jenis-jenis selang
Grafik
a
a
a b
a b
b
b
6. Sifat–sifat Bilangan Real
• Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah
satu dari x < y atau x > y atau x = y
• Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
• Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan
bila z bilangan negatif, maka xz > yz
6
7. Pertidaksamaan
0 Bentuk umum pertidaksamaan :
0 dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak
(polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
7
( )
( )
( )
( )
x
E
x
D
x
B
x
A
<
8. Pertidaksamaan (lanj)
0 Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari
semua himpunan bilangan real yang membuat
pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini
disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP)
0 Cara menentukan HP :
1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
8
0
)
(
)
(
<
x
Q
x
P
9. 2. Faktorkan P(x) dan Q(x) menjadi faktor-faktor
linier dan/ atau kuadrat
2. Tentukan titik pemecah (pembuat nol faktor
linear) . Gambarkan titik-titik pemecah tersebut
pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda
(+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian
yang muncul
9
Pertidaksamaan (lanj)
10. Tentukan Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan
berikut :
1.
Penyelesaian :
HP =
10
5
3
2
13
-
x
3
5
2
3
13
x
8
2
16
x
4
8
x
8
4
x
[ ]
8
,
4
4 8
Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan
12. 3.
Faktorkan menjadi
Titik Pemecah (TP) untuk pertidaksamaan tersebut
adalah dan
- 3
,
2
1
12
0
3
5
2 2
<
-
- x
x
( )( ) 0
3
1
2 <
-
x
x
2
1
-
x 3
x
3
++ ++
--
2
1
-
Hp =
Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan (lanj)
13. 4.
Penyelesaian
dan
dan
dan
dan
dan
HP =
Jadi, HP = 13
6
3
7
6
4
2
-
- x
x
x
x
x 7
6
4
2 -
- 6
3
7
6
- x
x
4
6
7
2
x
x 6
6
3
7
-
-
- x
x
10
9
x 0
10
- x
9
10
x
0
10
x
9
10
x
0
x
Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan (lanj)
[ )
- ,
0
9
10
,
0 9
10
9
10
,
0
14. 5.
Penyelesaian :
TP- nya adalah -1,
1
3
dan 3
( )( )
0
1
3
1
3
<
-
-
x
x
x
14
1
3
2
1
1
-
<
x
x
0
1
3
2
1
1
<
-
-
x
x
( ) ( )
( )( )
0
1
3
1
2
2
1
3
<
-
-
-
x
x
x
x
3
++ ++
--
-1
--
3
1
Hp = ( )
-
- 3
,
3
1
1
,
Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan (lanj)
15. 15
x
x
x
x
-
3
2
1
0
3
2
1
-
-
x
x
x
x
( )( ) ( )
( )( )
0
3
2
2
3
1
-
-
-
x
x
x
x
x
x
( )( )
0
3
2
3
2
2 2
-
x
x
x
x
6.
Penyelesaian :
Perhatikan bahwa “bagian pembilang” dari
pertidaksamaan tersebut 2𝑥2 + 2𝑥 + 3 selalu bernilai positif
Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan (lanj)
16. 16
Ditandai juga dengan nilai diskriminan (D) < 0.
Karena itu, “bagian pembilang” tidak menghasilkan
titik pemecah.
Dengan demikian, TP untuk pertidaksamaan tersebut
adalah 2 dan -3
Gambarkan garis bilangan
Maka, himpunan penyelesaiannya adalah
-3 2
-- ++ --
( ) ( )
-
,
2
3
,
17. Pertidaksamaan dgn nilai mutlak
0 Definisi :
17
<
-
0
,
0
,
x
x
x
x
x
Arti Geometris |x| adalah Jarak dari x ke titik 0(asal)
Karena maknanya jarak, maka nilainya selalu positif
18. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
0 Sifat-sifat nilai mutlak:
1
2
3
4
5
6 Ketaksamaan segitiga
a. b.
y
x
y
x
y
x
y
x
18
2
x
x
a
x
a
a
a
x
-
0
,
a
x
a
a
x
0
, atau a
x -
y
x 2
2
y
x
y
x
y
x -
-
19. Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak
19
4
1 <
<
x
( )
4
,
1
3
5
2 <
-
x
Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
3
5
2
3 <
-
<
-
x
5
3
2
3
5
<
<
-
x
8
2
2 <
<
x
Hp =
1 4
1.
3
5
2 <
-
x
a
x
a
a
a
x
-
0
,
20. 20
( )( ) 0
4
2
2 <
-
-
x
x
3
5
2 <
-
x
2.
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,
karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
( ) 9
5
2
2
<
-
x
9
25
20
4 2
<
-
x
x
0
16
20
4 2
<
-
x
x
0
8
10
2 2
<
-
x
x
1 4
++
--
++
Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak (lanj)
3
5
2 <
-
x
Titik pemecahnya adalah 1 dan 4
HP = (1,4)
y
x 2
2
y
x
21. 21
5
4
3
2
x
x
3.
Penyelesaian :
Kita bisa menggunakan sifat 4
Didapatkan titik pemecah dari pertidaksamaan tersebut
adalah dan
( ) ( )2
2
5
4
3
2
x
x
25
40
16
9
12
4 2
2
x
x
x
x
0
16
28
12 2
-
-
-
x
x
0
4
7
3 2
x
x
3
4
-
-1
Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak (lanj)
5
4
3
2
x
x
0
)
1
)(
4
3
(
x
x
y
x 2
2
y
x
22. Jika digambar pada garis bilangan :
Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah
22
]
1
,
3
4
[ -
-
-1
3
4
-
++
--
Contoh Penyelesaian Pertidaksamaan Nilai Mutlak (lanj)
24. Soal Latihan
24
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
berikut, gambarlah grafik himpunan ini pada garis
bilangan real dan nyatakan himpunan ini dalam notasi
selang!
1. 3 − 2𝑥 ≤ 4𝑥 + 1 < 2𝑥 + 7
2.
3
1−𝑥
≤ 2
3. x2-5x-6>0
4. 4𝑥 + 2 ≥ 2
5. 𝑥 − 1 ≥ 2 𝑥 − 3