Άλγεβρα Ά λυκείου

1. Μάθημα 10
Πράξεις και Ιδιότητες Πραγματικών Αριθμών
ΠΑΝΑΓΙΏΤΗΣ ΒIΩΝΗΣ 1
Θα ξέρεις τα σύνολα των αριθμών που είναι
 Φυσικοί {0,1,2,...}
 Ακέραιοι {...., 2, 1,0,1,2,...}
 Ρητοί είναι οι πραγματικοί αριθμοί
που μπορούν να πάρουν τη
μορφή
κ
,κ,λ ακεραιοι και λ 0
λ
 Άρρητοι c
είναι οι πραγματικοί αριθμοί
που δεν είναι ρητοί.
* *
{1,2,3,....} { 1, 2,...}
Θα ξέρεις τις ιδιότητες των πράξεων που είναι
1.
2.
Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός
αντιμεταθετική α+ β = β+α α.β = β.α
προσεταιριστική α+( β+γ ) = ( α+β )+γ α.( β.γ ) = ( α . β) .γ
επιμεριστική α . ( β + γ ) = α . β + α .γ
ουδέτερο α + 0 = α α . 1 = α
αντίθετο α + (-α ) = 0
α .
1
α
= 1 , α0
αντίστροφο

2. Μάθημα 10
Πράξεις και Ιδιότητες Πραγματικών Αριθμών
ΠΑΝΑΓΙΏΤΗΣ ΒIΩΝΗΣ 2
Μπορώ να προσθέσω ή να
αφαιρέσω και από τα δύο μέλη
μίας ισότητας τον ίδιο αριθμό.
Μπορώ να πολλαπλασιάσω ή να
διαιρέσω και τα δύο μέλη μίας
ισότητας με τον ίδιο μη μηδενικό
αριθμό.
Ένα γινόμενο είναι ίσο με το μηδέν
αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον
από τους παράγοντές του είναι
ίσος με το μηδέν.
Ένα γινόμενο είναι διάφορο του
μηδενός αν και μόνο αν όλοι οι
παράγοντές του είναι διάφοροι του
μηδενός.
Θα ξέρεις τις ιδιότητες που ισχύουν για τις ισότητες δηλαδή
Για κάθε πραγματικούς αριθμούς α, β , γ , ισχύει:
α = β α + γ =β + γ
Αν γ 0 τοτε α = β α . γ = β .γ
α.β = 0 α = 0 η β = 0
α . β 0 α 0 και β 0
Η ιδιότητα της διαγραφής στον πολλαπλασιασμό ισχύει μόνο
αν γ 0 , διότι μόνο τότε υπάρχει ο
1
.
γ
Μπορώ να προσθέσω και να πολλαπλασιάσω ισότητες κατά
μέλη
Δηλαδή:
Σημείωση
1 1
Αν γ 0 α . γ = β . γ α . γ. β . γ. α = β.
γ γ
α+γ = β+δ
Αν α = β και γ = δ τοτε
α. γ = β .δ
3.

3. Μάθημα 10
Πράξεις και Ιδιότητες Πραγματικών Αριθμών
ΠΑΝΑΓΙΏΤΗΣ ΒIΩΝΗΣ 3
Θα ξέρεις τις ιδιότητες των αναλογιών που είναι
α γ
α δ = β γ
β δ
αν β δ 0
α γ α β
β δ γ δ
αν β γ δ 0
α γ α+β γ+δ
β δ β δ
αν β δ 0
α γ α γ α+γ
β δ β δ β+δ
αν β δ (β+δ) 0
Θα ξέρεις τον ορισμό της δύναμης αν δηλαδή ότι
ν ν παραγοντεςα
α ,ν=1
ν 2α. α. ... .α ,
Θα ξέρεις τις ιδιότητες των δυνάμεων
Δύναμη με βάση τον πραγματικό α
και εκθέτη τον φυσικό νονομάζουμε
το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με α.
Επιπλέον αν α0 ορίζουμε : α0 = 1 και α-ν = ν
1
α
4.
5.
6.
μ μ+νν
α .α α μ
μ-ν
ν
α
α , α 0
α
μ μ.ν
α α

μμ
μ
α α
, β 0
ββ
μμ μ
α .β = αβ
-μ μ
α β
= , α.β 0
β α

4. Μάθημα 10
Πράξεις και Ιδιότητες Πραγματικών Αριθμών
ΠΑΝΑΓΙΏΤΗΣ ΒIΩΝΗΣ 4
Θα ξέρεις τις βασικές ταυτότητες
Θα ξέρεις ότι επίσης ισχύουν και οι παρακάτω ταυτότητες
Χρήσιμες ταυτότητες
7.
2 2 2
α+β α 2αβ+β
2 2 2
α-β α 2αβ + β
3 3 2 2 3
α+β = α + 3α β +3αβ +β
3 3 2 2 3
α-β = α - 3α β + 3αβ - β
2 2
α β = α+β α β
3 3 2 2
α β = α+β α αβ + β 3 3 2 2
α β = α β α + αβ + β
ν ν ν-1 ν-2 ν-3 2 2 ν-3 ν-2 ν-1
α β α β α +α β+α β +....+α β +αβ +β
8.
22 2
α + β = α+β - 2αβ
33 3
α + β = α+β - 3αβ α+β
2 2 23 3 3 1
α +β + γ - 3αβγ = α+β+γ α-β + β-γ + γ-α
2
3 3 3
:Αν α +β + γ = 0 τοτε α β γ 3αβγ
3 3 3
Ενω αν α β + γ = 3 αβγ τοτε: α = β = γ α + β + γ =0η

5. Μάθημα 10
Πράξεις και Ιδιότητες Πραγματικών Αριθμών
ΠΑΝΑΓΙΏΤΗΣ ΒIΩΝΗΣ 5
Λύση
Λύση
1. Να σχεδιάσεις τα σύνολα Ν, Ζ, , c
,R και να
γράψεις τι σχέση έχουν μεταξύ τους.
Αφού ο καθηγητής στην τάξη σου εξηγήσει τις έννοιες
υποσύνολο (  ), ένωση (  ) και τομή (  ) θα καταλάβεις ότι
ισχύει..
c c c
N Z Q R, Q R, Q Q , Q Q R
2. Να κάνεις τις πράξεις που είναι σημειωμένες στην
παράσταση Α και να εξηγήσεις ποιες ιδιότητες
εφάρμοσες
Α = [5.
(3x –1) +2 (2x-3] – 11(4x-1)
Είναι
Q
Z
N
-2,7171..
1
2
2
3
-0,12
+2,723
-5
0. 1.
2. -1
-2
c
3
5 3
R
1 2

6. Μάθημα 10
Πράξεις και Ιδιότητες Πραγματικών Αριθμών
ΠΑΝΑΓΙΏΤΗΣ ΒIΩΝΗΣ 6
Λύση
Πρώτα θα βρούμε τα γινόμενα 5(3x-1), 2(2x-3), -11(4x-1)
εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα. Έτσι έχουμε
Α = 5. (3χ) +5 . (-1)+2. (2χ) +2 (-3) –11.(4χ) – 11.(-1)
Τώρα στα γινόμενα 5 .(3χ), 2.(2χ) 11.(4χ) εφαρμόζουμε την
προσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασμό και έχουμε:
Α =(5.
3)χ –5+(2.
2)χ+ (-6) –(11.
4)χ +11=15χ–5+4χ –6-44χ+11=
(εφαρμόζουμε προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης για
πολλούς όρους)
=(15χ +4χ –44χ )+( -5 –6 +11) = (19χ –44χ) +(-11+11)=
=(εφαρμόζουμε την ιδιότητα του αντίθετου στοιχείου )=
=-25χ+0=εφαρμόζουμε ιδιότητα ουδέτερου στοιχείου)= -25χ
Σίγουρα εσύ θα την έλυνες πολύ πιο σύντομα εδώ όμως έγινε
προσπάθεια να δεις πώς εφαρμόζονται οι ιδιότητες των
πράξεων που έμαθες.
3. Αν
α 1
β 2
να εφαρμόσεις ιδιότητες των αναλογιών για
να βρεις τους λόγους
β α+β α α+1
, , ,
2 β β+α β+2
 Από την ιδιότητα
α γ α β
β δ γ δ
έχουμε ότι
α 1 α β β
= Αρα α
β 2 1 2 2
Από την ιδιότητα
α γ α+β γ+δ α 1 α+β 1 2
εχουμε
β δ β δ β 2 β 2
δηλαδή
α+β 3
=
β 2

α 1 β 2 β+α 2+1 β+α α 1
= = = =3 =
β 2 α 1 α 1 α β+α 3
δηλαδή
α 1
β+α 3
ΠΠΠΑΑΑΡΡΡΑΑΑΤΤΤΗΗΗΡΡΡΗΗΗΣΣΣΗΗΗ:::

7. Μάθημα 10
Πράξεις και Ιδιότητες Πραγματικών Αριθμών
ΠΑΝΑΓΙΏΤΗΣ ΒIΩΝΗΣ 7
Λύση
Λύση
Από την ιδιότητα
α γ α γ α+γ α 1 α+1 1
= = εχω = =
β δ β δ β+δ β 2 β+2 2
4. Να εφαρμόσεις όλες τις ιδιότητες των δυνάμεων που
υπάρχουν στην παράσταση Α και κάθε φορά να
γράφεις ποια ιδιότητα χρησιμοποιείς.
Α = ( 22
.35
)-2
.( 34
. 23
)2
Πρώτα χρησιμοποιώ την ιδιότητα (α.β)ν =αν .βν και έχω
Α = ( 22 )-2( 35 )-2 ( 34 )2(23)2
τώρα χρησιμοποιώ την ιδιότητα (αμ)ν =αμ.ν και έχω
Α = 2-4 3-10 38 26 =(2-4.26).(3-10.38)
σύμφωνα με την αμ. αν = αμ+ν είναι
Α = 2-4+6 3-10+8 = 22 . 3-2
σύμφωνα με την α-ν = ν
1
α
είναι
2
2
2
2
1 2
Α=2
3 3
μμ
μ
α α
και επειδη
ββ
2
2
ειναι Α=
3
5. Στην παράσταση Α = (1+χ+ψ) (1-χ –ψ) (1+χ2
+2χψ+ψ2
)
να εφαρμόσεις όσες ταυτότητες υπάρχουν και να
αποδείξεις ότι
Α = 1-(χ+ψ)4
Επειδή (1+χ+ψ) (1-χ-ψ) = [1+(χ+ψ)] [1-(χ+ψ)] =1-(χ+ψ)2 1
[σύμφωνα με την ταυτότητα (α+β) (α-β) = α2
-β2
]
1+χ2+ 2χψ+ ψ2 = 1+ (χ2+2χψ +ψ2)=1+(χ+ψ)2 2
[σύμφωνα με την α2
+2αβ +β2
= (α+β)2
]

8. Μάθημα 10
Πράξεις και Ιδιότητες Πραγματικών Αριθμών
ΠΑΝΑΓΙΏΤΗΣ ΒIΩΝΗΣ 8
Λύση
Λύση
Aπο1 2 είναι Α =[1-(χ + ψ)2] [1+(χ+ ψ )2]= 1-(χ+ ψ)4
[σύμφωνα με την (α + β) (α-β ) =α2
-β2
]
6. Αφού διαβάσεις από το βιβλίο σου την απόδειξη
α+β+γ =0 3 3 3α β γ 3αβγ να λύσεις την
εξίσωση (χ-2)3
-( 2χ-1) + (χ+1)3
= 0
Επειδή στην ταυτότητα οι κύβοι έχουν + ανάμεσά τους το
-(2χ-1)3 το γράφουμε (1-2χ)3 και έτσι γίνεται
(χ-2)3 + (1-2χ)3+ (χ+1)3 = 0
είναι λογικό να περιμένουμε τα
(χ-2) , (1-2χ), (χ+1) να έχουν άθροισμα 0
ώστε να εφαρμόζεται η παραπάνω ταυτότητα.
Πράγματι
χ-2 +1-2χ+χ+1 = 2χ-2χ+2-2 = 0 άρα στην θέση του
(χ-2)3+(1-2χ)3+(χ+1)3 μπορούμε να βάλουμε το ίσον του
3(χ-2) (1-2χ)(χ+1)
και η εξίσωσή μας να γίνει:
x- 2 = 0 x = 2
03 x-2 1 2x x 1
1
1 2x = 0 2x = 1 x =
2
x+1 = 0 x = -1
7. Να λυθεί η εξίσωση (χ –3) (χ- 4) = 2( χ- 3) αν είναι
δυνατόν με 2 τρόπους.
1ος τρόπος
Κάνω πράξεις και στα 2 μέλη και έχω χ2-4χ-3χ + 12= 2χ-6
επειδή η εξίσωση είναι 2ου βαθμού τα μεταφέρω όλα στο 10
μέλος για να λύσω με Διακρίνουσα έτσι έχω:
χ2 –4χ-3χ+12-2χ+6 = 0 2
x 9x 18 0

9. Μάθημα 10
Πράξεις και Ιδιότητες Πραγματικών Αριθμών
ΠΑΝΑΓΙΏΤΗΣ ΒIΩΝΗΣ 9
Λύση
Δ = β2-4αγ = (-9)2-4.1.18 = 81 –72 =9
9 3
69 9-β Δ 9 3 2x =
2α 2.1 2 9 3
3
2
20ς τρόπος
Τα μεταφέρω όλα στο 10 μέλος ώστε το 20 μέλος να γίνει μηδέν
και έχω (χ-3)(χ-4) – 2(χ-3) = 0 κάνω τώρα παραγοντοποίηση
στο 10 μέλος και έχω
x-3 =0 x = 3
x-3 [ x- 4 2] 0 x-3 x-6
x-6 = 0 x = 6
Δυστυχώς ο 20ς τρόπος που είναι πιο εύκολος δεν γίνεται
πάντα γιατί δεν είναι βέβαιο ότι στο 10 μέλος θα γίνει
παραγοντοποίηση.
8. Να βρείτε τις τιμές του x R για τις οποίες ορίζεται
το κλάσμα
2
2
x 4
A=
x 2x
και μετά να το απλοποιήσετε
Για να απλοποιήσω το κλάσμα πρέπει να παραγοντοποιήσω
τους όρους του έτσι έχω
χ2-4 = (χ – 2)(χ+2) και
χ2-2χ = χ(χ-2) είναι λοιπόν
Πρώτα βρίσκουμε το πεδίο ορισμού βάζοντας χ(χ-2) 0 και
μετά απλοποιούμε ,είναι λοιπόν:
(x -2)(x 2)
A
x(x -2)
ΠΡΟΣΟΧΗ

10. Μάθημα 10
Πράξεις και Ιδιότητες Πραγματικών Αριθμών
ΠΑΝΑΓΙΏΤΗΣ ΒIΩΝΗΣ 10
x 0
x x-2 0
x-2 0 x 2
Άρα Α = R –{ 0, 2}
και μετά λέμε
x-2
A=
x+2
x x-2
x+2
x
1. Γράψτε στις παρακάτω πράξεις ποιες ιδιότητες
εφαρμόσαμε
α. χ2
(χ+3) = χ3
+3χ …………………………………………..
β. χ2
(χ. 3) = 3χ3
………………………………………………
γ. χ2
+(χ+3) = (3+χ2
)+χ……………………………………….
δ. (-χ)+(2χ) = 2………………………………………………..
ε.
1
2.α =2
α
……………………………………………………..
2. Αν
2
3
x
.
ψ
Να βρεις τους λόγους
x x+ψ x+2 ψ ψ+x
, , , ,
2 ψ ψ+3 x x
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

11. Μάθημα 10
Πράξεις και Ιδιότητες Πραγματικών Αριθμών
ΠΑΝΑΓΙΏΤΗΣ ΒIΩΝΗΣ 11
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
3. Να εφαρμόσεις τις ιδιότητες των δυνάμεων για να
υπολογίσεις τις παραστάσεις:
α) (1,253
.2,5-2
)4
.(86
.44
)2
β)
3 5
5 3
0,25 .4
0,25 .4
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
4. Να αποδείξεις ότι
α) (1-χ) (1+χ) (1+χ2
)(1+χ)4
=1-χ8
β) (α2
+2α+1) (α2
-2α+1) (α2
+1)2
= (α4
-1)2
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

12. Μάθημα 10
Πράξεις και Ιδιότητες Πραγματικών Αριθμών
ΠΑΝΑΓΙΏΤΗΣ ΒIΩΝΗΣ 12
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
5. Με την βοήθεια της ταυτότητας
α+β+γ = 0 33 3 3
α +β +γ αβγ να λύσεις την εξίσωση
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
6. Να λύσεις με 2 τρόπους την εξίσωση
(χ+1) (χ-2) = 3(χ-2)
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

13. Μάθημα 10
Πράξεις και Ιδιότητες Πραγματικών Αριθμών
ΠΑΝΑΓΙΏΤΗΣ ΒIΩΝΗΣ 13
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
7. Να βρεις το πεδίο ορισμού και να απλοποιήσεις το
κλάσμα
1
2
2
3 2
x
Α =
x x x
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

14. Μάθημα 10
Πράξεις και Ιδιότητες Πραγματικών Αριθμών
ΠΑΝΑΓΙΏΤΗΣ ΒIΩΝΗΣ 14
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
8. Να κάνετε τις πράξεις
α) 2 2
1 1α+β α-β
:
α-β α+β α+β α-β
β)
2 2 2
2
x x+1 x x+1 x 1
x+1 x 1 x 1
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

15. Μάθημα 10
Πράξεις και Ιδιότητες Πραγματικών Αριθμών
ΠΑΝΑΓΙΏΤΗΣ ΒIΩΝΗΣ 15
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
9. Να απλοποιήσετε τα κλάσματα
22 2 2 2
2 2 2 2
x 2x 3 α β γ 2αβ
i. ii
x 1 α γ β +2αγ
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

16. Μάθημα 10
Πράξεις και Ιδιότητες Πραγματικών Αριθμών
ΠΑΝΑΓΙΏΤΗΣ ΒIΩΝΗΣ 16
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _