1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1) Véc tơ chỉ phương, các dạng phương trình đường thẳng
( ) 2 2 2
; ; , 0= + + >u a b c A B C có phương song song hoặc trùng với (d) được gọi là véc tơ chỉ phương của (d).
(d) đi qua điểm ( )0 0 0; ;M x y z và có véc tơ chỉ phương ( ); ;=u a b c thì có phương trình
+ Phương trình tham số ( )
0
0
0
:
= +

= +
 = +
x x at
d y y bt
z z ct
+ Phương trình chính tắc ( ) 0 0 0
: .
− − −
= =
x x y y z z
d
a b c
+ Phương trình tổng quát của đường thẳng:
0
( ) ( ) :
' ' ' ' 0
Ax By Cz D
d P Q d
A x B y C z D
+ + + =
= ∩ ⇒ 
+ + + =
Trong đó véc tơ chỉ phương của d được xác định bởi ;d P Qu n n =  
(d) đi qua điểm A và song song với đường thẳng (∆) thì ta chọn cho du u∆=
(d) đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng (d1), (d2) thì
1
1 2
2
;
 ⊥  → =  
⊥
d d
d d d
d d
u u
u u u
u u
(d) đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng (α), (β) thì ;
α
α β
β
 ⊥  → =  ⊥
d
d
d
u n
u n n
u n
(d) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng ∆; song song mặt phẳng (P) thì ;
d
d P
d P
u u
u u n
u n
∆
∆
 ⊥  → =  
⊥
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP d
u cho trước:
a) − = −(1;2; 3), ( 1;3;5)dM u b) − =(0; 2;5), (0;1;4)dM u
c) − = −(1;3; 1), (1;2; 1)dM u d) − − = −(3; 1; 3), (1; 2;0)dM u
Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước:
a) ( ) ( )2 3 1 1 2 4−; ; ; ;A , B b) ( ) ( )1 1 0 0 1 2−; ; ; ;A , B
c) ( ) ( )3 1 5 2 1 1− −; ; ; ;A , B d) ( ) ( )2 1 0 0 1 2; ; ; ;A , B
Ví dụ 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng ∆ cho trước:
a) ( )3 2 4− ≡∆; ;A , Ox c)
2 3
2 5 3 3 4
5 2
 = −

− = +
 = −
∆( ; ; ), :
x t
A y t
z t
d)
2 5 2
4 2 2
4 2 3
+ − −
− = =∆( ; ; ), :
x y z
A e)
3 4
1 3 2 2 2
3 1
 = +

− = −
 = −
∆( ; ; ), :
x t
A y t
z t
Ví dụ 4: Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước:
04. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng

2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
a)
6 2 2 3 0
3 5 2 1 0
 + + + =
 − − − =
( ):
( ):
P x y z
Q x y z
b)
2 3 3 4 0
2 3 0
 − + − =
 + − + =
( ):
( ):
P x y z
Q x y z
c)
3 3 4 7 0
6 2 6 0
 + − + =
 + + − =
( ):
( ):
P x y z
Q x y z
d)
2 3 0
1 0
 + − + =
 + + − =
( ):
( ):
P x y z
Q x y z
Ví dụ 5: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 cho
trước:
a) 1 2
1 2 1
1 0 5 3 2 2
1 1 3
 = + = −
 
= − = + 
 = + = − 
( ; ; ), : , :
x t x t
A d y t d y t
z t z t
b) 1 2
1 1 3
2 11 2 2
3 3
 = + = +
 
− = − + = − + 
 = = + 
( ; ; ), : , :
x t x t
A d y t d y t
z z t
c) 1 2
1 1
1 2 3 2 2 2
3 3 3
 = − =
 
− = − − = − + 
 = − = + 
( ; ; ), : , :
x t x
A d y t d y t
z t z t
d) 1 2
7 3 1
4 1 4 4 2 9 2
4 3 12
 = − + = +
 
= − = − + 
 = + = − − 
( ; ; ), : , :
x t x t
A d y t d y t
z t z t
Ví dụ 6: Viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng
a) đi qua A(1; 2; –1) và có vectơ chỉ phương là ( )1; 2;1 .= −u
b) đi qua hai điểm I(–1; 2; 1), J(1; –4; 3).
c) đi qua M(1; 2; 4) và vuông góc với mặt phẳng (P): 3x – y + z – 1 = 0.
d) đi qua M(1; 2; 0) và song song với 2 mặt phẳng (P): 2x – 5y – z + 1 = 0 và (Q): 3x + 4z – 4 = 0.
Ví dụ 7: Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng:
a) qua A(3; –1; 2) và song song với đường thẳng ( )
1 2
: 3
= −

∆ = +
 = −
x t
y t
z t
b) qua A(4; 4; 1) và song song với hai mặt phẳng (P): x + 2z – 4 = 0, (Q): x + y – z + 3 = 0
c) qua M(1; 1; 4) và vuông góc với hai đường thẳng 1
1 2
: 3
= −

= +
 = −
x t
d y t
z t
và 2
1 2 1
:
2 1 3
− − +
= =
−
x y z
d
d) qua M(2; 1; 0) và song song với (P): x + 2z = 0 đồng thời vuông góc với ( )
1 2
:
2 3 1
− +
∆ = =
−
x y z
2) Ứng dụng cơ bản của phương trình tham số
Cho đường thẳng ( )
0
0
0
:
= +

= +
 = +
x x at
d y y bt
z z ct
, nếu điểm M thuộc d thì ( )0 0 0; ; .+ + +M x at y bt z ct
Phương trình tham số giúp cho bài toán tìm điểm trên đường thẳng được quy về một ẩn t giải dễ dàng hơn.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
= +

= −
 = +
1
: 2 .
2 2
x t
d y t
z t
Tìm điểm M thuộc d sao cho
a) ( )= −13; 2; 1;0 .MA A
b) ( ) ( )⊥ −; 0;1;2 , 1;2; 2 .MI IA I A
c) ∆∆∆∆MAB cân tại A, với A(2; 1; 3), B(0; −−−−2; 1).

3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
d) ∆ =
7
,
2
MABS với A(2; 1; 3), B(0; −−−−2; 1).
Hướng dẫn giải:
Ta có, ( ) ( )1 ; 2 ;2 2 .M d M t t t∈ ⇒ + − +
a) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 22 2
1 0;2;0
13 13 1 1 2 2 2 13 9 2 7 0 7 16 14 23
; ;
9 9 9 9
t M
MA MA t t t t t
t M
 = − ⇒

= ⇔ = ⇔ − + − + + = ⇔ + − = ⇔   = ⇒ −   
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Ta có ( ) ( )1 ;1 2 ; 2 , 1;1; 4MI t t t IA= − − + − = −
( ). 0 1 1 2 8 0 0 1;0;2MI IA MI IA t t t t M⊥ ⇔ = ⇔ − − + + + = ⇔ = ⇒
c) Ta có ( ) ( )1 ;1 2 ;1 2 , 1 ; 2 2 ;1 2MA t t t MB t t t= − + − = − − − + −
Theo bài, 2 2 2 2 2 2 2 2
(1 ) (1 2 ) (1 2 ) ( 1 ) ( 2 2 ) (1 2 )MA MB MA MB t t t t t t= ⇔ = ⇔ − + + + − = − − + − + + −
2 2 3 11 3 11
9 2 3 9 10 6 8 3 ; ; .
8 8 4 4
t t t t t t M
 
⇔ − + = − + ⇔ = ⇔ = ⇒ − 
 
d) Ta có ( ) ( ) ( )1 ;1 2 ;1 2 , 1 ; 2 2 ;1 2 ; 3 6 ; 2 4 ; 1 7MA t t t MB t t t MA MB t t t = − + − = − − − + − → = − − + − + 
Khi đó 2 2 2 21 1 1
; (3 6 ) ( 2 4 ) ( 1 7 ) 101 66 14
2 2 2
MABS MA MB t t t t t = = − + − + + − + = − + 
( )
2 2
1 2; 2;4
1 7
101 66 14 101 66 35 0 35 136 70 272
2 2 ; ;
101 101 101 101
t M
t t t t
t M
 = ⇒ −

⇔ − + = ⇔ − − = ⇔   = ⇒ −   
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2: Tìm điểm M trên đường thẳng
2 1
:
1 2 1
x y z
d
+ −
= =
−
thỏa mãn
a) thuộc mặt phẳng (P): x – y + 2z + 2 = 0. Đ/s: M(2; 2; –1)
b) tam giác MAB vuông tại A với A(3; 1; 0), B(2; –1; –3)
c) tam giác MAB cân tại M với A(1; 0; –1), B(4; –2; 3)
d)
30
,
2
MABS = với A(2; 3; 1) và B(1; –1; –2) Đ/s: M(1; 0; 0)
Ví dụ 3: Tìm điểm M trên đường thẳng
1 2
:
2
x t
d y t
z t
= +

=
 = −
thỏa mãn
a) thuộc mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0. Đ/s: M(3; 1; 1)
b) 2 2 2
3 5.M M Mx y z+ + = Đ/s: M(1; 0; 2)
c) 14,MA = với A(0; 2; 1) Đ/s: M(–1; –1; 3)
d) IM ⊥ d, với I(3; 0; –4)

4. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Ví dụ 4: Tìm điểm M trên đường thẳng
1
: 2 3
x t
d y t
z t
= +

= −
 =
thỏa mãn
a) thuộc mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0. Đ/s: M(2; –1; 1)
b) 2 2 2
2 37.M M Mx y z+ − = Đ/s: M(2; –4; 2)
c) tam giác MAB vuông tại M với A(2; 1; 1), B(1; 1; –10) Đ/s: M(0; 5; –1)
d) 2 3,MA = với A(3; 0; –2) Đ/s: M(2; –1; 1)
Ví dụ 5: Tìm điểm M trên đường thẳng
2 1
:
1 1 2
x y z
d
− −
= =
−
thỏa mãn
a) 30,MI = với I(2; 0; –3) Đ/s: M(1; 1; 2)
b) tam giác MAB cân tại M với A(1; 1; –3), B(–2; 1; –2) Đ/s: M(2; 1; 0)
c) 2 2 2
3 13.M M Mx y z+ − = Đ/s: M(–1; 4; 6)
Ví dụ 6: Cho hai điểm A(3; 1; –2), B(2; 3; –4) và đường thẳng
1 1 1
:
2 1 1
+ − +
∆ = =
x y z
Tìm điểm C trên ∆ sao cho:
a) tam giác ABC đều.
b) tam giác ABC cân tại A.
c) diện tích tam giác ABC bằng 9/2.
d) tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.
e) 2 2 2
= − +M M MF x y z đạt giá trị lớn nhỏ nhất.
f) CA2
+ CB2
đạt giá trị nhỏ nhất.