1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng
( )
( )
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
: 0
: 0
P A x B y C z D
P A x B y C z D
 + + + =

+ + + =
Đặt ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
.
α ( );( ) cosα cos ;
. .
n n A A B B C C
P P n n
n n A B C A B C
+ +
= ⇒ = = =
+ + + +
Chú ý:
( ) 0 0
1 2α ( );( ) 0 α 90P P= ⇒ ≤ ≤
( ) ( ) 0
1 2 1 2/ / α 0⇔ = ⇒ =P P n kn
( ) ( ) 0
1 2 1 2. 0 α 90 .P P n n⊥ ⇔ = ⇒ =
Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng
( ): 3 1 0
( ):(2 1) 3 0
P x y z
Q m x my z m
+ + − =

+ + − + + =
Tìm m để
a) ( ) ( )P Q⊥
b) ( )( );( ) αP Q = với
5
cosα
33
= (Đ/s: m = –1)
Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng
( ): 1 0
( ):( 1) 3 (4 3) 3 0
+ + + =

− + + − + =
P x y z
Q m x y m z
Tìm m để ( )( );( ) αP Q = với
8
sinα
35
= (Đ/s: m = 1)
Ví dụ 3: Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:
a)
3 4 3 6 0
3 2 5 3 0
x y z
x y z
− + + =

− + − =
b)
1 0
5 0
+ − + =

− + − =
x y z
x y z
c)
3 3 3 2 0
4 2 4 9 0
 − + + =

+ + − =
x y z
x y z
d)
2 2 3 0
2 2 12 0
− − + =

+ + =
x y z
y z
Ví dụ 4: Xác định m để góc giữa các cặp mặt phẳng sau bằng α cho trước?
a)
0
(2 1) 3 2 3 0
( 1) 4 5 0
α 90
− − + + =

+ − + − =
 =
m x my z
mx m y z b)
0
2 12 0
7 0
α 45
+ + − =

+ + + =
 =
mx y mz
x my z
c)
0
( 2) 2 5 0
( 3) 2 3 0
α 90
+ + − + =

+ − + − =
 =
m x my mz
mx m y z d)
0
3 0
(2 1) ( 1) ( 1) 6 0
α 30
− + + =

+ + − + − − =
 =
mx y mz
m x m y m z
II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
05. BÀI TOÁN VỀ GÓC
Thầy Đặng Việt Hùng

2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Cho đường thẳng d1 và d2 có véc tơ chỉ phương lần lượt là ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2; ; , ; ; .= =u a b c u a b c
Đặt ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
.
β ; cosβ cos ;
. .
+ +
= ⇒ = = =
+ + + +
u u a a b b c c
d d u u
u u a b c a b c
Chú ý:
( ) 0 0
1 2β ; 0 β 90= ⇒ ≤ ≤d d
( ) ( ) 0
1 2 1 2/ / β 0⇔ = ⇒ =d d u ku
( ) ( ) 0
1 2 1 2. 0 β 90 .⊥ ⇔ = ⇒ =d d u u
Ví dụ 1: Cho các đường thẳng 1
1 3
:
2 1 1
− −
= =
−
x y z
d và 2
3 ( 1)
: –1 3
4
= + +

= +
 = +
x m t
d y t
z mt
Tìm m để
a) d1 và d2 cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm tương ứng. (Đ/s: m = 1)
b) ( )1 2
165
; α; sinα
15
= =d d
Ví dụ 2: Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) 1 2
1 2 2 –
: –1 : –1 3
3 4 4 2
= + = 
 
= + = + 
 = + = + 
x t x t
d y t d y t
z t z t
b) 1 2
1 2 4 2 3 4
: ; :
2 1 2 3 6 2
− + − + − +
= = = =
− −
x y z x y z
d d
c) 1
3 1 2
:
2 1 1
+ − −
= =
x y z
d và d2 là các trục tọa độ
Ví dụ 3: Xác định m để góc giữa các cặp mặt phẳng sau bằng α cho trước?
0
1 2
1 2
: 2; : 1 2; α 60
2 2
= − + = + 
 
= − = + = 
 
= + = + 
x t x t
d y t d y t
z t z mt
III. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Cho đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là ( ); ;=du a b c và mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến ( ); ; .=Pn A B C
Đặt ( ) ( ) 2 2 2
.
γ ; sin γ cos ;
. .
+ +
= ⇒ = = =
+ + + +
d P
d P
d P
u n Aa Bb Cc
d P u n
u n a b c A B C
Chú ý:
( ) 0 0
γ ; 0 γ 90= ⇒ ≤ ≤d P
( )/ / . 0 0⇔ = ⇔ + + =d Pd P u n Aa Bb Cc
( )⊥ ⇔ = ⇔ = =d P
a b c
d P u kn
A B C
Ví dụ 1: Tính góc giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau:
a)
( )
1 1
:
2 1 1
:3 2 5 3 0
+ −
= =
−
 − + − =
x y z
d
P x y z
b) ( )
1 2
: 2 ; :2 2 1 0
3
= +

= − − + − =
 =
x t
d y t P x y z
z t
Ví dụ 2: Tìm tham số m để đường thẳng d song song với (P):

3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
a)
( )
1 2
:
2 3 1
: (2 1) 3 1 0
+ −
= =
−
 − + + − + =
x y z
d
P x m y mz m
b) ( )
2 2
: 1 3 ; : 2 (1 ) 2 3 0
= −

= + − − + − + =
 =
x t
d y t P mx m y z m
z t
Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng d tạo với (P) góc 300
a)
( )
2 1
:
1 2 1
:( 1) 2 0
+ +
= =
−
 + + + − =
x y z
d
P m x my z m
b) ( )
1
: 2 ; : ( 2) 5 3 0
3
= +

= − + + + + − =
 =
x t
d y t P x m y mz m
z t
Ví dụ 4: Cho đường thẳng và mặt phẳng
( )
1 2
:
1 1 1
:2 ( 2) 3 0
− −
= =
−
 + + + − =
x y z
d
P x m y mz
Tìm giá trị của tham số m để
a) d // (P) Đ/s: Không tồn tại m.
b) d tạo với (P) góc φ với
7
cosφ
3
= Đ/s: m = 2; m = –4
Ví dụ 5: Cho đường thẳng và mặt phẳng
( )
1 1
:
1 3 2
:2 ( 3) (4 1) 1 0
+ −
= =
−
 + + + − + =
x y z
d
P x m y m z
Tìm giá trị của tham số m để
a) d // (P) Đ/s: Không tồn tại m.
b) d tạo với (P) góc φ với
8
sinφ
406
= Đ/s: m = 1