Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Numerical integration rom

241 views

Published on

  • Be the first to comment

Numerical integration rom

  1. 1. Integrarea numerică CAPITOLUL 501/29/13 1
  2. 2. Integrarea numericăDacă funcţia f(x) – continuă pe [a, b]; primitiva acesteia, F(x), este cunoscută,atunci, integrala definită b I = ∫ f ( x ) dx = F( b ) − F( a ) a01/29/13 2
  3. 3. Integrarea numericăCând se aplică ? funcţiaf(x) – definită tabelar; determinarea primitivei acesteia, F(x), prin metode analitice, implică un efort de calcul prea mare (se evaluează f(x) pentru câteva argumente, problema revenind la prima situaţie).01/29/13 3
  4. 4. Integrarea numerică Cuadratură - calculul numeric al integralelor simple; Cubatură - calculul numeric al integralelor duble.01/29/13 4
  5. 5. Integrarea numerică5.1 Formulele de cuadratură Newton-Cotes Se cere calculul integralei definite b I = ∫ f ( x ) dx a01/29/13 5
  6. 6. Integrarea numerică5.1 Formulele de cuadratură Newton-Cotes1. Se împarte intervalul [a, b], în n-1 subintervale egale, de lungime b−a h= n −1 cu ajutorul punctelor x i = a + (i − 1)h , i = 1,2,..., n h h h a=x1 x2 x3 xn-1 b=xn01/29/13 6
  7. 7. Integrarea numerică5.1 Formulele de cuadratură Newton-Cotes2. Se presupune că sunt cunoscute valorile funcţiei f(x) în nodurile xi, y i = f ( x i ) , i = 1,2,..., n Se aproximează funcţia f(x) prin polinom Lagrange de interpolare. ∏(x − x ) n n j L n −1 ( x ) = ∑ j≠i yi ∏(x − xj) n i =1 i j≠i01/29/13 7
  8. 8. Integrarea numerică5.1 Formulele de cuadratură Newton-Cotes reţeaua punctelor de interpolare – ECHIDISTANTĂ se introduce notaţia x − x1 q= h Produsele din expresia polinomului de interpolare Lagrange devin: ∏ ( x − x ) = h ∏ [ q − ( j − 1) ] n n n −1 j j≠i j≠i n ∏ ( x i − x j ) = (−1) n −i h n −1 (i − 1)!(n − i)! j≠i01/29/13 8
  9. 9. Integrarea numerică5.1 Formulele de cuadratură Newton-CotesPolinomul de interpolare Lagrange devine: n n ∏ [ q − ( j − 1) ] L n −1 ( x ) = ∑ j≠ i n −i yi i =1 (−1) (i − 1)! (n − i)!01/29/13 9
  10. 10. Integrarea numerică5.1 Formulele de cuadratură Newton-Cotes3. Dacă se consideră : b b ∫ f ( x ) dx ≈ ∫ L a a n −1 ( x ) dx Rezultă formula de cuadratură b n ∫ f ( x ) dx ≈ ∑ A y a i =1 i i01/29/13 10
  11. 11. Integrarea numerică 5.1 Formulele de cuadratură Newton-Cotes b n ∫ f ( x ) dx ≈ ∑ A y a i =1 i i unde, Schimbare de variabilă x q n n−1 n b ∏[q −( j −1)]dx h ∫ ∏[q −( j −1)]dqAi = ∫ j≠i j≠i n −i = 0 n −i a ( −1) (i −1)! ( n −i)! ( −1) (i −1)! ( n −i)! 01/29/13 11
  12. 12. Integrarea numerică5.1 Formulele de cuadratură Newton-CotesPunând aceşti coeficienţi sub formaA i = (b − a )H icu, n−1 n ∫ ∏[q −( j −1)]dq j≠iHi = 0 n −i , i =1,2,..., n (−1) (i −1)! ( n −i)!( n −1)se obţine formula de cuadratură Newton-Cotesb n∫ f ( x ) dx = (b − a )∑ H ya i =1 i i01/29/13 12
  13. 13. Integrarea numerică5.1 Formulele de cuadratură Newton-CotesCoeficienţii Hi – coeficienţii CotesProprietăţi 1. n ∑H i =1 i =1 2. H i = H n −i+1ObservaţieSunt independenţi de: funcţia de integrare intervalul de integrare01/29/13 13
  14. 14. Integrarea numerică5.2 Formula trapezuluiPrin particularizarea coeficienţilor NC, n −1 n ∫ ∏ [ q − ( j − 1) ]dq 0 j≠ iHi = n −i , i = 1,2,..., n (−1) (i − 1)! (n − i)!(n − 1)pentru n=2, se obţin următoarele valori ale coeficienţilor Cotes: 1 1 1 1 H1 = − ∫ (q − 1)dq = H 2 = ∫ qdq = 0 2 0 201/29/13 14
  15. 15. Integrarea numerică5.2 Formula trapezuluiFormula NCb n∫ f ( x ) dx = (b − a )∑ H ya i =1 i i b h ∫ f ( x ) dx = 2 ( y1 + y 2 ) a01/29/13 15
  16. 16. Integrarea numerică5.2 Formula trapezuluiFormula NCb n∫ f ( x ) dx = (b − a )∑ H ya i =1 i i b h ∫ f ( x ) dx = 2 ( y1 + y 2 ) aDin punct de vedere practic, formulatrapezului NU prezintă interes ca atare.01/29/13 16
  17. 17. Integrarea numerică5.2 Formula trapezuluiPrin generalizareFormulă de cuadraturăde interes practicFormula generalizată a trapezului01/29/13 17
  18. 18. Integrarea numerică 5.2 Formula trapezului h h h Procedură a=x1 x2 x3 xn-1 b=xn •Se împarte intervalul [a, b] în n-1 subintervale egale de lungime h=(b-a)/(n-1), prin intermediul a n puncte echidistante x i = a + (i − 1)h, i = 1,2,...n •Se aplică formula trapezului pe fiecare subinterval [xi, xi+1], i=1, ..., n-1. b h h ∫ f (x )dx = 2 ( y1 + y 2 ) + ... + 2 ( y n −1 + y n ) a01/29/13 18
  19. 19. Integrarea numerică5.2 Formula trapezului Unde, f(xi)=yi, i=1, 2, ..., n. b  y1 n −1 yn  ∫ f (x )dx = h  2 + ∑ yi + 2  a  i=2 01/29/13 19
  20. 20. Integrarea numerică5.2 Formula trapezuluiGeometric, formula implică înlocuirea graficului funcţieif(x) cu o linie poligonală care uneşte punctele (x1, y1), ...,(xi, yi),..., (xn, yn).01/29/13 20
  21. 21. Integrarea numerică5.3 Formula lui Simpson •Grad de precizie mai ridicat decât formula trapezului •Rezultă din formulele NC pentru n=3 2 1 1 H1 = H 3 = ∫ (q − 1)(q − 2)dq = 40 6 12 2 H 2 = − ∫ q(q − 2)dq = 20 301/29/13 21
  22. 22. Integrarea numerică5.3 Formula lui Simpson y=f(x)Considerând b-a = x3-x1=2h y=L2(x)x3 h ∫ f ( x )dx = 3 ( y1 + 4 y 2 + y3 )x1 Geometric, formula implică înlocuirea curbei y=f(x) cu o parabolă y=L2(x)01/29/13 22
  23. 23. Integrarea numerică5.3 Formula lui Simpson Precizia de aproximare poate fi îmbunătăţită prin generalizarea Formulei lui Simpson01/29/13 23
  24. 24. Integrarea numerică 5.3 Formula Simpson h h h Procedură a=x1 x2 x3 xn-1 b=xn •Se împarte intervalul [a, b] în n-1 subintervale egale de lungime h=(b-a)/(n-1), prin intermediul a n puncte echidistante, obligatoriu n impar x i = a + (i − 1)h, i = 1,2,...n •Se aplică formula Simpson pe fiecare interval dublu [x1, x3], [x3, x5], ..., [xn-2, xn]. •Se obţine01/29/13 24
  25. 25. Integrarea numerică 5.3 Formula Simpsonb h h h∫a f (x)dx = 3 ( y1 + 4y 2 + y 3 ) + 3 (y 3 + 4y 4 + y 5 ) + ... + 3 ( y n − 2 + 4y n −1 + y n ) b h ∫ ydx = 3 ( y1 + 4σ 2 + 2σ1 + y n ) a ( n −3) / 2 ( n −1) / 2 σ1 = ∑ y 2i+1 i =1 σ2 = ∑y 2i i =1 01/29/13 25

×