Не секрет, что в первых числах сентября, в самом начале нового учебного года, препо- давателям приходится приводить ребят в необ- ходимую форму, а иногда даже и в чувство — после длительных летних каникул. Конечно, хочется потратить на это как можно меньше времени. Тем более, что не за горами — оче- редные математические регаты, карусели, бои, олимпиады… И здесь, в деле скорейшего вос- становления формы, существенна роль таких задач, которые нетрудны и игривы — с одной стороны — и вместе с тем качественны и полез- ны — с другой. Они позволяют быстро вспом- нить и повторить важнейшие факты, формулы, теоремы. Вот о таких задачах, которые представ- ляются целесообразными в начале девятого класса (и даже в сильном восьмом классе), мы и поведем разговор. Во всех из них вопрос (ес- ли очень кратко) будет один и тот же: КАК? Вариантов ответа получается ровно два: НИ- КАК! или ВОТ КАК! Понятно, что оба варианта должны быть сопровождены соответствующими (порой весьма короткими) пояснениями. Итак, приступаем…

1. № 25–26 (469–470) вересень 2015 р.
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
22
МАТЕМАТИКАВШКОЛАХУКРАЇНИ
Не секрет, что в первых числах сентября,
в самом начале нового учебного года, препо-
давателям приходится приводить ребят в необ-
ходимую форму, а иногда даже и в чувство —
после длительных летних каникул. Конечно,
хочется потратить на это как можно меньше
времени. Тем более, что не за горами — оче-
редные математические регаты, карусели, бои,
олимпиады… И здесь, в деле скорейшего вос-
становления формы, существенна роль таких
задач, которые нетрудны и игривы — с одной
стороны — и вместе с тем качественны и полез-
ны — с другой. Они позволяют быстро вспом-
нить и повторить важнейшие факты, формулы,
теоремы.
Вот о таких задачах, которые представ-
ляются целесообразными в начале девятого
класса (и даже в сильном восьмом классе), мы
и поведем разговор. Во всех из них вопрос (ес-
ли очень кратко) будет один и тот же: КАК?
Вариантов ответа получается ровно два: НИ-
КАК! или ВОТ КАК! Понятно, что оба варианта
должны быть сопровождены соответствующими
(порой весьма короткими) пояснениями. Итак,
приступаем…
Задача 1. Как построить треугольник, в ко-
тором инцентр делит биссектрису пополам?
НИКАК!
Пусть инцентр I (точка пересечения бис-
сектрис) делит биссектрису AL треугольника
ABC пополам, то есть AI IL= (рис. 1). По-
скольку известно, что
AI
IL
b c
a
=
+
(важнейшее свойство инцентра), то получаем:
b c a+ = .
Однако это противоречит неравенству треуголь-
ника:
b c a+ > .
А
b c
I
a
L BC
рис. 1
Задача 2. Как провести на плоскости хотя
бы одну прямую, равноудаленную от трех дан-
ных точек?
ВОТ КАК!
Если три данные точки лежат на одной пря-
мой (например, l), то любая прямая, проведен-
ная параллельно l, будет искомой. Если же три
данные точки образуют, скажем, треугольник
ABC, то искомой будет любая из прямых, со-
держащих среднюю линию треугольника ABC.
Например, KN BC|| (рис. 2). Действительно,
AD BE CF= =
(покажите!).
А
F K N E
D
C B
рис. 2
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
день ГеоМетрических Знаний
9 класс
Г. Б. Филипповский, г. Киев

2. № 25–26 (469–470) вересень 2015 р.
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
23
МАТЕМАТИКАВШКОЛАХУКРАЇНИ
описанный около треугольника ABC. Если же
в треугольник ABC один из углов не меньше
90° (например, A ≥ °90 ), то искомым будет
круг, построенный на BC как на диаметре
(рис. 4). Действительно, для всех других кру-
гов BC будет лишь хордой, но не диаметром.
Самостоятельно покажите, какой круг бу-
дет «наименьшим», если точки A, B и C ле-
жат на одной прямой.
Задача 5. Как найти гипотенузу прямоуголь-
ного треугольника с радиусом вписанной
окружности 4 и одним из катетов, равным 6?
НИКАК!
Пусть a и b — катеты ( a = 4), c — гипо-
тенуза и r = 4. Тогда согласно формуле
r
a b c
=
+ −
2
имеем:
r
a c b a
= −
−
<
2 2 2
— радиус вписанной окружности должен быть
меньше половины любого из катетов. А у нас
4
6
2
3> = .
Задача 6. Как быстро измерить толщину ли-
ста бумаги?
ВОТ КАК!
Возьмем стопку из большого количества
листов (например, 100 листов). Измерим тол-
щину стопки и разделим на 100.
Задача 7. Как найти углы треугольника
ABC, если около четырехугольника BICT
можно описать окружность, где T — точка,
симметричная инцентру I относительно сто-
роны BC (рис. 5)?
НИКАК!
Известно, что
∠ = ° +BIC
A
90
2
.
Тогда и
∠ = ° +BTC
A
90
2
(из соображений симметрии). Так как сумма этих
двух углов больше, чем 180°, то около четыре-
хугольника BICT нельзя описать окружность.
Задача 3. Как разделить отрезок AK на три
равные части, не прибегая к использованию
теоремы Фалеса?
ВОТ КАК!
Через точку K произвольно проводим пря-
мую и откладываем на ней отрезки KB KC=
(рис. 3). Соединяем точку A с точкой B
и C. Делим AC пополам (точка N) и прово-
дим медиану BN в треугольнике ABC. Тог-
да M BN AK= ∩ — точка пересечения медиан
в треугольнике ABC. А это значит, что
AM MK: := 2 1.
Остается разделить отрезок AM пополам (точ-
ка T):
AT TM MK= = .
А
T
N
M
C K B
рис. 3
Задача 4. Как построить круг наименьшего
радиуса, содержащий три данные точки A, B
и C?
ВОТ КАК!
А
BC
рис. 4
Если данные точки образуют остроугольный
треугольник ABC, то, очевидно, это будет круг,

3. № 25–26 (469–470) вересень 2015 р.
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
24
МАТЕМАТИКАВШКОЛАХУКРАЇНИ
∠ = ° +AFB
C
90
2
( F AL BD= ∩ ).
А
Q
F
C K B
рис. 6
А
C L B T
D
F
рис. 7
Задача 11. Как, проведя не более трех ли-
ний, построить в данном квадрате ABCD угол,
равный 15°?
ВОТ КАК!
Из вершин A и D раствором циркуля,
равным стороне квадрата, делаем две засечки.
Пусть они пересекаются в точке T. Тогда тре-
тья линия TB дает искомый угол: ∠ = °TBC 15
(рис. 8). Действительно,
B
А
C
D
T
2 3
1
рис. 8
А
I
T
BC
рис. 5
Задача 8. Как найти углы выпуклого 360-
угольника, если все они выражаются целым
числом градусов?
ВОТ КАК! Если внутренний угол выража-
ется целым числом градусов, то и внешний —
тоже целым числом градусов. Известно, что
сумма всех внешних углов равна 360°. Тогда
(поскольку все они равны целому числу граду-
сов) каждый внешний угол равен 1°. Тогда все
искомые углы равны по 359°.
Задача 9. Как найти точку Q на стороне
AC треугольника ABC, чтобы медиана AK
делила отрезок BQ пополам?
НИКАК!
Пусть такая точка Q найдена и BF FQ= ,
где F AK BQ= ∩ (рис. 6). Тогда FK — средняя
линия в треугольнике BQC. То есть, отрезок
FK должен быть параллелен CQ. Но прямые
CQ и FK пересекаются в точке A. Противо-
речие…
Задача 10. Как найти углы треугольника
ABC, в котором внешняя биссектриса угла A
параллельна внутренней биссектрисе угла B?
НИКАК!
Пусть AT — внешняя биссектриса угла A
и BD — внутренняя биссектриса угла B. Про-
ведем AL — внутреннюю биссектрису угла A
(рис. 7). Очевидно, ∠ = °LAT 90 — угол между
биссектрисами смежных углов. Согласно усло-
вию AT BD|| . Следовательно, и угол между AL
и BD равен 90°, чего быть не может. Поскольку

4. № 25–26 (469–470) вересень 2015 р.
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
25
МАТЕМАТИКАВШКОЛАХУКРАЇНИ
А
B
C
рис. 10
А
C BK
N
T
1
2
3
рис. 11
Задача 15. Как, пользуясь только линейкой,
построить в каждой из двух пересекающихся
окружностей по хорде, чтобы эти хорды были
параллельны друг другу?
ВОТ КАК!
Пусть окружности пересекаются в точках
A и B. Через точку A проведем произволь-
но секущую C A D− − . А через точку B (тоже
∠ = ° − ° = °1 90 60 30 .
Тогда
∠ = ∠ =
° − °
= °2 3
180 30
2
75 .
А ∠ = ° − ∠ = ° − ° = °TBC 90 2 90 75 15 .
Задача 12. Как расположить на плоскости
6 точек, чтобы любые три из них были верши-
нами равнобедренного треугольника?
ВОТ КАК!
Такими точками могут быть вершины пра-
вильного пятиугольника ABCDE и его центр
O (рис. 9).
А
E B
O
D C
рис. 9
Задача 13. Как нарисовать на плоскости че-
тыре разные окружности и три различные пря-
мые — таким образом, чтобы каждая прямая
касалась любой из окружностей?
ВОТ КАК!
Рис. 10!
Это как раз тот случай, когда три прямые
в пересечении образуют треугольник ABC,
а окружности — это вписанная в него окруж-
ность, а также три вневписанные окружности
этого треугольника.
Задача 14. Как построить прямую, образую-
щую равные углы со сторонами треугольника?
НИКАК!
Пусть такая прямая N K T− − существует
и ∠ = ∠ = ∠1 2 3 (рис. 11). Но ∠ = ∠1 3 — вну-
тренние накрест лежащие, из чего следует,
что прямые BA и CA — параллельны. А они
пересекаются в вершине A.

5. № 25–26 (469–470) вересень 2015 р.
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
26
МАТЕМАТИКАВШКОЛАХУКРАЇНИ
1 4
32
C
K А B N
рис. 14
ВОТ КАК!
Пусть
∠ = ∠ =1 2 a и ∠ = ∠ =3 4 b.
Тогда 90 2 2 180° + + = °a b — сумма углов
треугольника ( ∆KCN). Следовательно,
2 2 90a b+ = ° и a b+ = °45 .
Значит,
∠ = ° + + = ° + ° = °KCN 90 90 45 135a b .
Задача 19. Как на медиане AK треугольни-
ка ABC построить точку Q такую, чтобы
∠ = ∠CQK BAK ( AC AB> )?
ВОТ КАК!
2
1
А
C B
Q
D
N
K
рис. 15
Из точки C раствором циркуля, равным
AB, делаем засечку на медиане AK (вторая
точка пересечения будет на продолжении ме-
дианы). Получим искомую точку Q. И вот по-
чему: проведем перпендикуляры BD и CN
к прямой AK (рис. 15). Они равны, так как
∆ ∆BDK CNK= — по гипотенузе и острому углу.
произвольно) — секущую K B N− − (рис. 12).
Покажем, что CK DN|| . Соединим точки A
и B. Обозначим ∠ACK через a. Тогда
∠ = ° −ABK 180 a.
А смежный с ним ∠ =ABN a. Поскольку четы-
рехугольник ABND — вписанный, то
∠ = ° −ADN 180 a.
Углы KCD и NDC — внутренние односторон-
ние при прямых CK и DN. Так как их сумма
равна 180°, то CK DN|| .
C
K
B
А
D
N
a
a
180° − a
180° − a
рис. 12
Задача 16. Как нарисовать два треугольни-
ка, чтобы каждая сторона первого была боль-
ше каждой стороны второго, а площадь была
большей у второго?
ВОТ КАК! — рис. 13.
1ый
2ой
рис. 13
Задача 17. Как построить треугольник, у ко-
торого центры вписанной и описанной окруж-
ностей совпадают, а точки пересечения высот
и медиан — нет?
НИКАК!
Если любые две из указанных четырех точек
совпадают, то совпадают и все четыре, и тре-
угольник является правильным. Покажите!
Задача 18. Как найти величину угла KCN
в предложенной на рис. 14 конструкции?

6. № 25–26 (469–470) вересень 2015 р.
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ
27
МАТЕМАТИКАВШКОЛАХУКРАЇНИ
Тогда равны треугольники ABD и CNQ — по
катету и гипотенузе. Следовательно,
∠ = ∠1 2, или ∠ = ∠CQK BAK.
Задача 20. Как найти основание BC равно-
бедренного треугольника ABC ( AB AC= ), в ко-
тором радиусы вписанной и описанной окруж-
ностей соответственно равны
r = 3 см и R = 5 см?
НИКАК!
Такого треугольника не существует, по-
скольку в любом треугольнике должно быть
выполнено неравенство R r≥ 2 (покажите!).
Несколько задачек на предложенную тему
можно порекомендовать для самостоятельного
решения.
Задача 21. Как построить точку K внутри
треугольника ABC, чтобы ∠BKC был меньше,
чем ∠BAC?
Задача 22. D, E, F — точки касания впи-
санной в треугольник ABC окружности со
сторонами BC, AC и AB соответственно. Как
найти углы треугольника ABC, если треуголь-
ник DEF — прямоугольный?
Задача 23. Как найти расстояние между
ортоцентром (точкой пересечения высот) и цен-
тром описанной окружности для прямоугольно-
го треугольника с гипотенузой, равной 13?
Задача 24. Как определить вид треугольни-
ка, в котором расстояние от одной из вершин
до центроида (точки пересечения медиан) равно
радиусу вписанной в этот треугольник окруж-
ности?
Задача 25. Как построить треугольник, все
высоты которого меньше 1 см, а площадь —
больше, чем 1 м2
?
Замечание 1. Ответы НИКАК! Будут содер-
жаться в задачах с номерами: 21, 22, 24.
Замечание 2. Очевидно, каждый преподава-
тель может предложить свой набор задач для
быстрейшего восстановления формы учащими-
ся. Все зависит от вкуса, предпочтений, опыта.
Важно только, чтобы они приносили пользу
и вызывали интерес у ребят.

7. № 25–26 (469–470) вересень 2015 р.
У СВІТІ ГЕОМЕТРІЇ