lavoro a conclusione attività M@t.abel "ESPLORAZIONE DI FIGURE PIANE: DALLE CONGETTURE ALLA DIMOSTRAZIONE"

1. Ecco la traccia del problemaEcco la traccia del problema
considerato:considerato:
 Dato un triangolo qualsiasi tracciare laDato un triangolo qualsiasi tracciare la
bisettrice di uno dei suoi angoli.bisettrice di uno dei suoi angoli.
Può accadere che, modificandoPuò accadere che, modificando
opportunamente il triangolo, tale bisettriceopportunamente il triangolo, tale bisettrice
risulti perpendicolare rispetto al latorisulti perpendicolare rispetto al lato
opposto all’angolo considerato?opposto all’angolo considerato?

2. RELAZIONE DI GEOMETRIARELAZIONE DI GEOMETRIA
 Con l’utilizzo del programma Geogebra, abbiamo verificato cheCon l’utilizzo del programma Geogebra, abbiamo verificato che
modificando opportunamente il triangolo la bisettrice risultavamodificando opportunamente il triangolo la bisettrice risultava
perpendicolare rispetto al lato opposto all’angolo consideratoperpendicolare rispetto al lato opposto all’angolo considerato
quando il triangolo risultava isoscele.quando il triangolo risultava isoscele.
 Abbiamo disegnato un triangolo qualsiasi e abbiamo tracciato laAbbiamo disegnato un triangolo qualsiasi e abbiamo tracciato la
bisettrice dell’angolo di vertice A. Abbiamo poi misurato sia glibisettrice dell’angolo di vertice A. Abbiamo poi misurato sia gli
angoli formati da essa con il lato opposto sia i lati del triangolo.angoli formati da essa con il lato opposto sia i lati del triangolo.
Modificando opportunamente il triangolo, siamo arrivati allaModificando opportunamente il triangolo, siamo arrivati alla
conclusione che entrambi gli angoli, aventi origine nel punto diconclusione che entrambi gli angoli, aventi origine nel punto di
intersezione della bisettrice col lato opposto, formavano quattrointersezione della bisettrice col lato opposto, formavano quattro
angoli retti quando il triangolo diventava isoscele.angoli retti quando il triangolo diventava isoscele.

3. Da questo ne abbiamo ricavato le ipotesi, la tesiDa questo ne abbiamo ricavato le ipotesi, la tesi
ed infine la dimostrazioneed infine la dimostrazione
Ipotesi TesiIpotesi Tesi

AHAH ┴ CBCB AC = CBAC = CB
 CCÂÂ H = BH = BÂÂHH

4. Dimostrazione:Dimostrazione:
Considero i triangoli rettangoli HAC e BHCConsidero i triangoli rettangoli HAC e BHC
 CCÂÂ H = BH = BÂÂH per ip. Per 2°C.U.H per ip. Per 2°C.U.
ACH = BAHACH = BAH
 AH in comuneAH in comune
AC = AB

5. ECCO LA TRACCIA DEL
PROCEDIMENTO INVERSO
 se un triangolo è isoscele, allora la
bisettrice dell’angolo al vertice è
perpendicolare al lato opposto

6. CONSIDERAZIONI
 Anche con tale problema, abbiamo usufruito delAnche con tale problema, abbiamo usufruito del
Geogebra. Qui dovevamo verificare che, avendo unGeogebra. Qui dovevamo verificare che, avendo un
triangolo isoscele, la bisettrice di un angolo fossetriangolo isoscele, la bisettrice di un angolo fosse
perpendicolare al lato opposto.perpendicolare al lato opposto.
 Abbiamo costruito un triangolo isoscele dopodichéAbbiamo costruito un triangolo isoscele dopodiché
abbiamo tracciato la bisettrice dell’angolo di vertice C.abbiamo tracciato la bisettrice dell’angolo di vertice C.
Poi abbiamo misurato gli angoli che essa formava con ilPoi abbiamo misurato gli angoli che essa formava con il
lato opposto, e risultavano di 90°. Quindi siamo arrivatilato opposto, e risultavano di 90°. Quindi siamo arrivati
alla conclusione che la bisettrice era perpendicolare alalla conclusione che la bisettrice era perpendicolare al
lato opposto.lato opposto.

7. Da questo ne abbiamo ricavato le
ipotesi, la tesi ed infine la
dimostrazione
 Ipotesi Tesi
 AC = BC CH ┴ AB
 A Ĉ H = B Ĉ H

8. Dimostrazione:
considero I triangoli ACH e BCH
 AC = BC per ip Per 1° C.U.
 A Ĉ H = B Ĉ H per ip ACH = BCH
 CH è in comune
 Rossi e Letizia
CH ┴ AB