SlideShare a Scribd company logo
1 of 31
6 DAĞILIM ÖLÇÜLERİ
Dağılım
• Toplum ya da bir örnek grubu içindeki verilerin değerlerini
tanımlamak için ortalamalar kullanılır.
• Verilerin dağılımı hakkında bilgi sahibi olunurken ortalamalar yalnız
başlarına yeterli olamazlar.
• Ortalamalar yalnız verilerin yığılım yaptıkları yeri gösterirler.
• Yığılma noktasına olan uzaklıklar ve yığılma derecesi hakkında bir
bilgi veremezler.
• Yığılmaya ilişkin bilgileri ölçmek için dağılım ölçüleri adı verilen ayrı
ölçüler kullanılmaktadır.
• örneklerden elde edilen veriler aynı değere eşit olmayıp grubun
aritmetik ortalaması etrafında bir dağılım gösterirler.
• Verilerden söz edilirken, onların aritmetik ortalaması ile birlikte
dağılımının da bilinmesinde yarar vardır.
• Her iki grupta aritmetik ortalama 25 yıldır. Ortalamalara bakarak
gruplar hakkında karar vermek yanıltıcı olur.
• Yaş ortalaması ikisinde de eşit olmasına karşın A grubunda yaş 22-
29 arası değişirken diğerinde 5-70 aralığına yayılmıştır.
• Dağılımın fazla olması, hatayı artırmasından dolayı istenmeyen bir
etkendir.
• Bir gruptaki dağılımı ölçmek için değişik dağılım ölçüleri
kullanılmaktadır.
• Bunlar dağılım aralığı, ortalama sapma, variyans, standart sapma,
değişme katsayısı ve kuartil sapmadır.
Örnek 6.1: A ve B olmak üzere 10'ar kişilik iki grup düşünelim. Bunların yaşları yıl olarak,
A: 23, 24, 29, 28, 22, 24, 25, 23, 27, 25 x A= 25
B: 5, 10, 15, 20, 22, 30, 23, 27, 28, 70 x B = 25
şeklinde olsun
Dağılım Aralığı
• Verilerin dağıldığı aralığın büyüklüğünü
gösteren bir dağılım ölçüsüdür.
• Yalnız iki uç değere göre hesaplanır. Diğer
verilerin bir katkısı olmaz.
• Aşırı uçlardan etkilendiği ve yalnız uç
değerlere göre hesaplandığı için kaba bir
ölçüdür. Bu nedenle, gerçek dağılımı
belirleyemez.
• Gruptaki en büyük değerden en küçük
değerin çıkarılmasıyla bulunur.
• Dağılım aralığı,
A grubu için 29-22= 7
B grubu için 70-5= 65
Örnek 6.1: A ve B olmak üzere 10'ar kişilik iki grup düşünelim. Bunla
A: 23, 24, 29, 28, 22, 24, 25, 23, 27, 25 x A=
B: 5, 10, 15, 20, 22, 30, 23, 27, 28, 70 x B =
şeklinde olsun
Ortalama Sapma
• Gruptaki verilerin hepsinin katkısıyla bulunan bir
dağılım ölçüsüdür.
• Verilerin aritmetik ortalamadan olan
sapmalarının mutlak büyüklüklerinin aritmetik
ortalaması olarak tanımlanır.
• Verilerin aritmetik ortalamadan olan farkları
toplamı sıfır olduğu için farkların mutlak değerleri
alınmaktadır.
• n, veri sayısını ve x de verileri göstermek üzere ortalama sapma
O S
x x
n
. .=
−∑
Örnek 6.2: A ve B grubundaki verilerin O.S. değerlerini bulalım.
A grubu için:
x
O S x
= =
= ∑ − = =
250 10 25
25 10 18 10 1 8
/
. . ( )/ / .
B grubu için:
5.1110/11510/)25(..
2510/250
==−∑=
==
xSO
x
Örnek 6.1: A ve B olmak üzere 10'ar kişilik iki grup düşünelim. Bunların yaşları
A: 23, 24, 29, 28, 22, 24, 25, 23, 27, 25 x A= 25
B: 5, 10, 15, 20, 22, 30, 23, 27, 28, 70 x B = 25
şeklinde olsun
Varyans
• Verilerin aritmetik ortalamadan olan fark
karelerinin aritmetik ortalaması varyans
olarak adlandırılır.
• Varyans, fark kareleri toplamının serbestlik
derecesi olan (n-1)'e bölünmesiyle
bulunan bir değerdir. Yani fark karelerinin
ortalamasıdır.
• x, verileri ve n de veri sayısını göstermek
üzere varyans değeri ,
Formülde geçen, n tane farktan (n-1) tanesi bağımsız olup 1 tanesi, toplamı
sıfır yapacak şekilde bağımlı olarak değişir. Bu nedenle, aritmetik ortalama
tanımına göre, fark kareleri toplamı n yerine serbest oluşan (n-1)'e bölünür.
(n-1)'in kullanılmasının başka bir nedeni de, toplum değerine göre daima
küçük çıkan örnek varyansını büyülterek gerçek değere yaklaştırmaktır.
1
)( 2
2
−
−
=
∑
n
xx
S i
B: 5, 10, 15, 20, 22, 30, 23, 27, 28, 70 x B = 25
Örnek 6.3: B grubundaki verilerin varyans değerini bulalım.
5 -20 400
10 -15 225
15 -10 100
20 -5 25
22 -3 9
30 5 25
23 -2 4
27 2 4
28 3 9
70 45 2025
Toplam: 2826
n=10
Standart Sapma
• Varyansın karekökünün alınmış hali standart
sapmadır
• Standart sapma İstatistiki hesaplamalarda
dağılım ölçüsü olarak kullanılır.
• Aynı ölçü birimine sahip grupların dağılımlarının
karşılaştırılmasında önemli bir yeri olan standart
sapma, normal dağılımdaki birimlerin dağılımını
da oransal olarak belirleyen bir istatistiktir.
1
2
−
−
=
∑
n
)xx(
s i
Örnek 6.1: A ve B olmak üzere 10'ar kişilik iki grup düşünelim. Bunların yaşları yıl olarak,
A: 23, 24, 29, 28, 22, 24, 25, 23, 27, 25 x A= 25
B: 5, 10, 15, 20, 22, 30, 23, 27, 28, 70 x B = 25
şeklinde olsun
Örnek 6.4: İki gruba ait standart sapma değerlerini bulalım.
A grubu için:
, n=10
B grubu için:
, n=10
Sınıflandırılmış frekans tablosundan
standart sapma değerlerinin
hesaplanması,
S
fu
fu
n
n
C=
∑ −
∑
−
⋅
2
2
1
( )
f : frekans
u : sınıflara verilen ve A ve C'ye bağlı olarak .....-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...... değerlerini alan bir kodlama
n : veri sayısı
C : sınıf aralığı
Örnek: Sınıflandırılmış
frekans tablosundan
standart sapma değerlerini
bulalım.
fu = -12, fu²=1256, n=100, C=2
S =
−
−
⋅ =
1256
12
100
99
2 7 1
2
( )
.
S
fu
fu
n
n
C=
∑ −
∑
−
⋅
2
2
1
( )
f : frekans
u : sınıflara verilen ve A ve C'ye bağlı olarak .....-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...... değerlerini alan bir kodlama
n : veri sayısı
C : sınıf aralığı
Değişme Katsayısı
• Standart sapma değerleri, ölçü birimi aynı olan
dağılımların karşılaştırılmasında iyi bir istatistiktir.
• Değişik ölçü birimlerine sahip dağılımların
karşılaştırılmasında kullanılamaz.
• Bir grup insanın kan basıncı değerleri dağılımı ile nabız
sayısı değerleri dağılımı D.K. ile karşılaştırılabilir
• Standart sapma değeri grupların aritmetik ortalamalarına
göre orantılı olarak değişkenlik gösteriyorsa,
karşılaştırma için standart sapma kullanılması hatalı
sonuç verir.
• Bir grubun standart sapmasının aritmetik ortalamasına göre yüzde
değeri, değişme katsayısı olarak adlandırılır
• Değişme katsayısının başka bir yararı, verilerin sonuca olan
etkilerinin güvenilirliği hakkında karar vermededir.
• Verilerin değişme katsayısı ne kadar küçük olursa, bunlardan elde
edilecek sonuç da o denli güvenilir olur.
• Sağlık bilimlerindeki veriler için D.K.<10 olması, gerçeği tahmin
bakımından çok iyidir.
• D.K. 30'dan büyük olduğu zaman doğruyu tahmin etme derecesi
kötüdür.
• Bu değer 10-20 arası için normal ve 20 - 30 arası için kritik olarak
kabul edilir.
D K
S
A O
. .
. .
= ⋅100
Örnek 6.6: iki gruba ait değişme katsayılarını bulalım.
xA = 25, SA = 2.3, xB = 25, SB = 17.7
A grubu için, D K. .
.
% .= ⋅ =
2 3
25
100 9 2
B grubu için, D K. .
.
% .= ⋅ =
17 7
25
100 70 8
Örnek 6.1: A ve B olmak üzere 10'ar kişilik iki grup düşünelim. Bunla
A: 23, 24, 29, 28, 22, 24, 25, 23, 27, 25 x A=
B: 5, 10, 15, 20, 22, 30, 23, 27, 28, 70 x B
şeklinde olsun
Kuartil Sapma
• Aritmetik ortalama yerine ortanca değerin kullanıldığı dağılımlar için
geçerli olan bir dağılım ölçüsüdür.
• Üçüncü ve birinci çeyrek değerleri farkının ikiye bölünmesiyle
bulunur.
K S
Ç Ç
. .=
−3 1
2
Örnek 6.7: Sınıflandırılmış frekans tablosunda verilen verilerin kuartil sapma değerlerini bulalım.
Ç1=25.7 ve Ç3=36 olarak bulunmuşlardı
K S. .
.
.=
−
=
36 25 7
2
5 15
Standart Hata
• Ortalamalar bölümünde tanımları verilen aritmetik ortalama ve
oran değerleri, örnekten bulunan istatistik değerleri olup, ait
oldukları örneğin alındığı toplumdaki aritmetik ortalama (µ ) ve
oranın (P) tahmini değerleridir.
• Çeşitli etkenlere bağlı olarak, örnekten bulunan bu istatistik
değerleri toplumdaki tahmini yapılacak parametre değerlerine
tam eşit olmayıp bir sapma gösterirler. Ortaya çıkan sapmanın
ölçüsü standart hata ile belirtilir.
• Standart hata, bir toplumdan seçilmiş örneklerden bulunan
istatistik değerlerinin toplum parametresinden olan
sapmalarının bir ölçüsüdür.
• Standart hata sıfır olduğu zaman, örnekten bulunan aritmetik
ortalama ve oran değerleri toplumdaki parametre değerlerine
eşit olurlar.
• Standart hata sıfırdan farklı olduğu zaman, örnekteki
değerin gerçek değere eşit olmadığı anlaşılır.
• Bu durumda, toplumdaki parametre değerinin belirli
bir olasılıkla hangi değerler arasında bulunacağı
hesaplanabilir.
• Bu nedenle, toplum parametrelerinin tahmininin
yapılabilmesi için bir örnekten bulunan aritmetik
ortalama ve oran değerinin önüne ± işareti ile birlikte
onun standart hatası da verilir.
• Bu sayede toplum parametresinin belirli bir olasılıkla
hangi aralıkta olacağı tahmin edilebilir.
• Bir istatistiğin standart hatası, bir toplumdan n
birimli çok sayıda seçilen örneğe ait istatistik
değerlerinin oluşturduğu dağılımın standart
sapması olarak tanımlanır.
• İstatistik değeri eğer aritmetik ortalama ise,
standart hata aritmetik ortalamaya ve istatistik
değeri eğer oran ise o zaman da standart hata
orana ait olur.
• Standart hata, örnekteki birim sayısı arttıkça ve
örneğin standart sapması azaldıkça azalır, aksi
halde artar.
• Bir toplumdan seçilen örneklerin istatistik
değerlerinin dağılımı örnekteki birim sayısına göre
değişir.
• Değişim, dağılımın standart sapmasında ve aynı
zamanda standart hata değerinde olur.
• n büyüdükçe dağılım sivrileşir ve standart hata
değeri küçülür. Aksi olduğunda dağılım basıklaşır
ve standart hata değeri büyür.
• Belirsiz toplumlarda n =∞ ve belirli toplumlarda n =
N durumunda standart hata sıfır ve örneğin
istatistik değerleri de toplum parametrelerine eşit
olurlar.
• Örnekten bulunan her istatistik değerinin
bir standart hatası vardır.
• Toplumdaki parametre değerlerini tahmin
bakımından bu hata değerlerinin, istatistik
değeri ile birlikte verilmeleri çok uygun
olur.
• Aritmetik ortalama ve oran için bu hataları
gösterme işi,
x SHx± ve P
SHP ˆ
ˆ ±
Örnek Ortalamalarının Standart Hatası
Bir toplumdan seçilen n birimli örneklerin
aritmetik ortalamalarının dağılımının standart sapmasının,
n büyüdükçe σ/ n değerine yaklaşmaktadır
Bu nedenle aritmetik ortalamanın standart hatası,
SH
n
x =
σ
σ : Topluma ait standart sapma
n : Örnekteki birim sayısı
Çoğu uygulamalarda toplumun standart sapması bilinemez.
Bunun yerine, standart hatayı bulurken
örnekten bulunan standart sapma (S) değeri kullanılır.
ise
ya da
Örnekleme iadeli bir şekilde yapılmışsa,
aritmetik ortalamanın standart hatası
ise
Standart hata formülüne bir düzeltme faktörü
eklemek gerekir. Bu koşullarda standart hata,
Örnek 6.8: 100 annenin yaşı için standart sapma S=7.1 , x = 30 26.
aritmetik ortalama değerinin standart hatasını bulalım.
Örneğin seçildiği toplumdaki anne sayısı bilinmediği için
düzeltme faktörü kullanılmadan standart hatayı bulmak zorundayız.
Formülde geçen σ yerine de örnekten bulunan
standart sapma değeri kullanılacaktır.
XSH
S
n
− = = =
7 1
100
0 71
.
.
Örnek 6.9: Örnek 6.8'de belirtilen örneğin,
bölgede yaşayan 800 anne arasından seçildiğini varsayalım.
Bu durumda n> (1/10) N olacağı için standart hatayı
düzeltme faktörünü ilave ederek bulalım.
XSH
S
n
N n
N
− = ⋅
−
−
=
⋅
⋅
−
=
1
7 1
100
800 100
799
0 66.
Örnek Oranlarının Standart Hatası
Belirli bir özelliği gösteren birimlerin oranının P olduğu
bir binomial toplumdan
n birimli çok sayıda örnekler alındığını varsayalım.
Bu örneklerdeki aynı özelliği gösteren birimlerin oranlarını da Pˆ şeklinde belirtelim.
n≥30 durumunda ya da np, nq>5 durumunda Pˆ 'lerin dağılımı bir normal dağılım olur.
Bu normal dağılım, ortalaması P
ve
standart sapması da pq n/ 'e yaklaşır.
Dağılımın standart sapması o dağılımı oluşturan istatistik değerinin standart hatası olduğuna göre,
örnek oranı Pˆ 'nin standart hatası,
pq
n
pq
SH p
−=
=
1
ˆ
n≥(1/10)N durumunda, düzeltme faktörü ilave edilerek hesaplama yapmak gerekir.
1ˆ
−
−
⋅=
N
nN
n
pq
SH p
Formülde geçen p, topluma ait bir orandır. Bu bilinmediği zaman yerine örnekten bulunan oran kullanılır.
Örnek 6.10: Bir ilçeden seçilen 2000 kişilik bir örnekte tüberkülozluların sayısı 10 olarak bulunuyor.
a) İlçe nüfusu belli olmadığına göre,
b) İlçe nüfusu 18000 olduğuna göre,
örnekten bulunan oranın standart hata değerlerini bulalım.
a) Pˆ =10/2000=0.005, n=2000, q=1-0.005= 0.995
0016.0
2000
995.0005.0
SHPˆ
=
×
=
b) N=18000 ve n>(1/10) N olduğuna göre,
0015.0
118000
200018000
2000
995.0005.0
SHPˆ =
−
−
⋅
×
=

More Related Content

Viewers also liked

Olasılık Dağılımları
Olasılık DağılımlarıOlasılık Dağılımları
Olasılık Dağılımları
Gülşah Başol
 
Dispersion of light
Dispersion of lightDispersion of light
Dispersion of light
mahdelana85
 
İstatistiğin Temel Kavramları
İstatistiğin Temel Kavramlarıİstatistiğin Temel Kavramları
İstatistiğin Temel Kavramları
Gülşah Başol
 

Viewers also liked (16)

Istatistik
IstatistikIstatistik
Istatistik
 
Z ve T Puanları
Z ve T PuanlarıZ ve T Puanları
Z ve T Puanları
 
t testleri
t testlerit testleri
t testleri
 
z testi
z testiz testi
z testi
 
Olasılık Dağılımları
Olasılık DağılımlarıOlasılık Dağılımları
Olasılık Dağılımları
 
LİSE - PERMÜTASYON KOMBİNASYON 2 (SLAYT)
LİSE - PERMÜTASYON KOMBİNASYON 2 (SLAYT)LİSE - PERMÜTASYON KOMBİNASYON 2 (SLAYT)
LİSE - PERMÜTASYON KOMBİNASYON 2 (SLAYT)
 
3 time management
3 time management3 time management
3 time management
 
TRIANGULAR DISTRIBUTIONS
TRIANGULAR  DISTRIBUTIONSTRIANGULAR  DISTRIBUTIONS
TRIANGULAR DISTRIBUTIONS
 
Dispersion of light
Dispersion of lightDispersion of light
Dispersion of light
 
Olasılık
OlasılıkOlasılık
Olasılık
 
Olasilik
OlasilikOlasilik
Olasilik
 
OLASILIK
OLASILIKOLASILIK
OLASILIK
 
LIGHT DISPERSION SPECTRUM-REFRACTION & REFLECTION
LIGHT DISPERSION SPECTRUM-REFRACTION & REFLECTIONLIGHT DISPERSION SPECTRUM-REFRACTION & REFLECTION
LIGHT DISPERSION SPECTRUM-REFRACTION & REFLECTION
 
ANOVA
ANOVAANOVA
ANOVA
 
Dispersion
DispersionDispersion
Dispersion
 
İstatistiğin Temel Kavramları
İstatistiğin Temel Kavramlarıİstatistiğin Temel Kavramları
İstatistiğin Temel Kavramları
 

Similar to dağılım ölçüleri(fazlası için www.tipfakultesi.org)

ortalamalar(fazlası için www.tipfakultesi.org)
ortalamalar(fazlası için www.tipfakultesi.org)ortalamalar(fazlası için www.tipfakultesi.org)
ortalamalar(fazlası için www.tipfakultesi.org)
www.tipfakultesi. org
 
Analiz sonuçlarının istatistiksel değerlendirilmesi
Analiz sonuçlarının istatistiksel değerlendirilmesiAnaliz sonuçlarının istatistiksel değerlendirilmesi
Analiz sonuçlarının istatistiksel değerlendirilmesi
ibrahim bulduk
 
grafik çizimi(fazlası için www.tipfakultesi.org)
grafik çizimi(fazlası için www.tipfakultesi.org)grafik çizimi(fazlası için www.tipfakultesi.org)
grafik çizimi(fazlası için www.tipfakultesi.org)
www.tipfakultesi. org
 
Analitik Yöntem Validasyonu ve Detaylı Açıklamalar
Analitik Yöntem Validasyonu ve Detaylı AçıklamalarAnalitik Yöntem Validasyonu ve Detaylı Açıklamalar
Analitik Yöntem Validasyonu ve Detaylı Açıklamalar
HalilIbrahimUlusoy
 
Istatistik ve olasilik_ders_notu
Istatistik ve olasilik_ders_notuIstatistik ve olasilik_ders_notu
Istatistik ve olasilik_ders_notu
Yasin Bektaş
 
Truncated Regression. Heckman Sample Selection/Kesikli Regresyon. Heckman Örn...
Truncated Regression. Heckman Sample Selection/Kesikli Regresyon. Heckman Örn...Truncated Regression. Heckman Sample Selection/Kesikli Regresyon. Heckman Örn...
Truncated Regression. Heckman Sample Selection/Kesikli Regresyon. Heckman Örn...
Dokuz Eylül University
 

Similar to dağılım ölçüleri(fazlası için www.tipfakultesi.org) (20)

Biyoistatistik
BiyoistatistikBiyoistatistik
Biyoistatistik
 
17_02_15_1d0e1.pptx
17_02_15_1d0e1.pptx17_02_15_1d0e1.pptx
17_02_15_1d0e1.pptx
 
1 tanimlayici ista
1 tanimlayici ista1 tanimlayici ista
1 tanimlayici ista
 
temis.pdf
temis.pdftemis.pdf
temis.pdf
 
ortalamalar(fazlası için www.tipfakultesi.org)
ortalamalar(fazlası için www.tipfakultesi.org)ortalamalar(fazlası için www.tipfakultesi.org)
ortalamalar(fazlası için www.tipfakultesi.org)
 
Analiz sonuçlarının istatistiksel değerlendirilmesi
Analiz sonuçlarının istatistiksel değerlendirilmesiAnaliz sonuçlarının istatistiksel değerlendirilmesi
Analiz sonuçlarının istatistiksel değerlendirilmesi
 
Biyofizik pratik
Biyofizik pratikBiyofizik pratik
Biyofizik pratik
 
grafik çizimi(fazlası için www.tipfakultesi.org)
grafik çizimi(fazlası için www.tipfakultesi.org)grafik çizimi(fazlası için www.tipfakultesi.org)
grafik çizimi(fazlası için www.tipfakultesi.org)
 
Analitik Yöntem Validasyonu ve Detaylı Açıklamalar
Analitik Yöntem Validasyonu ve Detaylı AçıklamalarAnalitik Yöntem Validasyonu ve Detaylı Açıklamalar
Analitik Yöntem Validasyonu ve Detaylı Açıklamalar
 
İleri İstatistik ve Bilimsel Araştırma Yöntemleri
İleri İstatistik ve Bilimsel Araştırma Yöntemleriİleri İstatistik ve Bilimsel Araştırma Yöntemleri
İleri İstatistik ve Bilimsel Araştırma Yöntemleri
 
Istatistik ve olasilik_ders_notu
Istatistik ve olasilik_ders_notuIstatistik ve olasilik_ders_notu
Istatistik ve olasilik_ders_notu
 
Truncated Regression. Heckman Sample Selection/Kesikli Regresyon. Heckman Örn...
Truncated Regression. Heckman Sample Selection/Kesikli Regresyon. Heckman Örn...Truncated Regression. Heckman Sample Selection/Kesikli Regresyon. Heckman Örn...
Truncated Regression. Heckman Sample Selection/Kesikli Regresyon. Heckman Örn...
 
Parametrik Olmayan (Non-Parametric) Hipotez Testleri
Parametrik Olmayan (Non-Parametric) Hipotez TestleriParametrik Olmayan (Non-Parametric) Hipotez Testleri
Parametrik Olmayan (Non-Parametric) Hipotez Testleri
 
IST 211 .pptx
IST 211 .pptxIST 211 .pptx
IST 211 .pptx
 
İstatistik - Verilerin Grafiklerle Açıklanması
İstatistik - Verilerin Grafiklerle Açıklanmasıİstatistik - Verilerin Grafiklerle Açıklanması
İstatistik - Verilerin Grafiklerle Açıklanması
 
Örnekleme Yöntemleri
Örnekleme YöntemleriÖrnekleme Yöntemleri
Örnekleme Yöntemleri
 
Fuzzy Regression&Bulanık Regresyon
Fuzzy Regression&Bulanık RegresyonFuzzy Regression&Bulanık Regresyon
Fuzzy Regression&Bulanık Regresyon
 
Veri̇anali̇zi̇
Veri̇anali̇zi̇Veri̇anali̇zi̇
Veri̇anali̇zi̇
 
Veri̇anali̇zi̇
Veri̇anali̇zi̇Veri̇anali̇zi̇
Veri̇anali̇zi̇
 
Veri̇anali̇zi̇
Veri̇anali̇zi̇Veri̇anali̇zi̇
Veri̇anali̇zi̇
 

More from www.tipfakultesi. org

More from www.tipfakultesi. org (20)

Oksijen tedavisi
 Oksijen tedavisi Oksijen tedavisi
Oksijen tedavisi
 
Noninvaziv mekanik ventilasyon
Noninvaziv mekanik ventilasyonNoninvaziv mekanik ventilasyon
Noninvaziv mekanik ventilasyon
 
astım
astım astım
astım
 
Mekanik ventilasyon
Mekanik ventilasyonMekanik ventilasyon
Mekanik ventilasyon
 
Konsültasyon
KonsültasyonKonsültasyon
Konsültasyon
 
Koah
KoahKoah
Koah
 
Dr önder tani ve siniflama
Dr önder tani ve siniflamaDr önder tani ve siniflama
Dr önder tani ve siniflama
 
Diyabetes mellitus
Diyabetes mellitusDiyabetes mellitus
Diyabetes mellitus
 
Bronşektazi
BronşektaziBronşektazi
Bronşektazi
 
Bbh'da pnömoni
Bbh'da pnömoniBbh'da pnömoni
Bbh'da pnömoni
 
Astım tanı ve sınıflama
Astım tanı ve sınıflama Astım tanı ve sınıflama
Astım tanı ve sınıflama
 
Astım ve koah ilaç farmakolojisi
Astım ve koah ilaç farmakolojisiAstım ve koah ilaç farmakolojisi
Astım ve koah ilaç farmakolojisi
 
Astim tedavileri
Astim tedavileriAstim tedavileri
Astim tedavileri
 
Astim tani ve tedavi rehberi
Astim tani ve tedavi rehberiAstim tani ve tedavi rehberi
Astim tani ve tedavi rehberi
 
Astım ilaçları
Astım ilaçlarıAstım ilaçları
Astım ilaçları
 
Ape
ApeApe
Ape
 
bronkoskopi ünitesi yönetimi
bronkoskopi ünitesi yönetimi bronkoskopi ünitesi yönetimi
bronkoskopi ünitesi yönetimi
 
Akciğer kanseri
Akciğer kanseriAkciğer kanseri
Akciğer kanseri
 
Akut ve subakut öksürük
Akut ve subakut öksürükAkut ve subakut öksürük
Akut ve subakut öksürük
 
bronşit ve bronlşektazi alevlenme tedavisi
bronşit ve bronlşektazi alevlenme tedavisibronşit ve bronlşektazi alevlenme tedavisi
bronşit ve bronlşektazi alevlenme tedavisi
 

dağılım ölçüleri(fazlası için www.tipfakultesi.org)

  • 2. Dağılım • Toplum ya da bir örnek grubu içindeki verilerin değerlerini tanımlamak için ortalamalar kullanılır. • Verilerin dağılımı hakkında bilgi sahibi olunurken ortalamalar yalnız başlarına yeterli olamazlar. • Ortalamalar yalnız verilerin yığılım yaptıkları yeri gösterirler. • Yığılma noktasına olan uzaklıklar ve yığılma derecesi hakkında bir bilgi veremezler. • Yığılmaya ilişkin bilgileri ölçmek için dağılım ölçüleri adı verilen ayrı ölçüler kullanılmaktadır. • örneklerden elde edilen veriler aynı değere eşit olmayıp grubun aritmetik ortalaması etrafında bir dağılım gösterirler. • Verilerden söz edilirken, onların aritmetik ortalaması ile birlikte dağılımının da bilinmesinde yarar vardır.
  • 3. • Her iki grupta aritmetik ortalama 25 yıldır. Ortalamalara bakarak gruplar hakkında karar vermek yanıltıcı olur. • Yaş ortalaması ikisinde de eşit olmasına karşın A grubunda yaş 22- 29 arası değişirken diğerinde 5-70 aralığına yayılmıştır. • Dağılımın fazla olması, hatayı artırmasından dolayı istenmeyen bir etkendir. • Bir gruptaki dağılımı ölçmek için değişik dağılım ölçüleri kullanılmaktadır. • Bunlar dağılım aralığı, ortalama sapma, variyans, standart sapma, değişme katsayısı ve kuartil sapmadır. Örnek 6.1: A ve B olmak üzere 10'ar kişilik iki grup düşünelim. Bunların yaşları yıl olarak, A: 23, 24, 29, 28, 22, 24, 25, 23, 27, 25 x A= 25 B: 5, 10, 15, 20, 22, 30, 23, 27, 28, 70 x B = 25 şeklinde olsun
  • 4. Dağılım Aralığı • Verilerin dağıldığı aralığın büyüklüğünü gösteren bir dağılım ölçüsüdür. • Yalnız iki uç değere göre hesaplanır. Diğer verilerin bir katkısı olmaz. • Aşırı uçlardan etkilendiği ve yalnız uç değerlere göre hesaplandığı için kaba bir ölçüdür. Bu nedenle, gerçek dağılımı belirleyemez. • Gruptaki en büyük değerden en küçük değerin çıkarılmasıyla bulunur.
  • 5. • Dağılım aralığı, A grubu için 29-22= 7 B grubu için 70-5= 65 Örnek 6.1: A ve B olmak üzere 10'ar kişilik iki grup düşünelim. Bunla A: 23, 24, 29, 28, 22, 24, 25, 23, 27, 25 x A= B: 5, 10, 15, 20, 22, 30, 23, 27, 28, 70 x B = şeklinde olsun
  • 6. Ortalama Sapma • Gruptaki verilerin hepsinin katkısıyla bulunan bir dağılım ölçüsüdür. • Verilerin aritmetik ortalamadan olan sapmalarının mutlak büyüklüklerinin aritmetik ortalaması olarak tanımlanır. • Verilerin aritmetik ortalamadan olan farkları toplamı sıfır olduğu için farkların mutlak değerleri alınmaktadır.
  • 7. • n, veri sayısını ve x de verileri göstermek üzere ortalama sapma O S x x n . .= −∑ Örnek 6.2: A ve B grubundaki verilerin O.S. değerlerini bulalım. A grubu için: x O S x = = = ∑ − = = 250 10 25 25 10 18 10 1 8 / . . ( )/ / . B grubu için: 5.1110/11510/)25(.. 2510/250 ==−∑= == xSO x Örnek 6.1: A ve B olmak üzere 10'ar kişilik iki grup düşünelim. Bunların yaşları A: 23, 24, 29, 28, 22, 24, 25, 23, 27, 25 x A= 25 B: 5, 10, 15, 20, 22, 30, 23, 27, 28, 70 x B = 25 şeklinde olsun
  • 8. Varyans • Verilerin aritmetik ortalamadan olan fark karelerinin aritmetik ortalaması varyans olarak adlandırılır. • Varyans, fark kareleri toplamının serbestlik derecesi olan (n-1)'e bölünmesiyle bulunan bir değerdir. Yani fark karelerinin ortalamasıdır.
  • 9. • x, verileri ve n de veri sayısını göstermek üzere varyans değeri , Formülde geçen, n tane farktan (n-1) tanesi bağımsız olup 1 tanesi, toplamı sıfır yapacak şekilde bağımlı olarak değişir. Bu nedenle, aritmetik ortalama tanımına göre, fark kareleri toplamı n yerine serbest oluşan (n-1)'e bölünür. (n-1)'in kullanılmasının başka bir nedeni de, toplum değerine göre daima küçük çıkan örnek varyansını büyülterek gerçek değere yaklaştırmaktır. 1 )( 2 2 − − = ∑ n xx S i
  • 10. B: 5, 10, 15, 20, 22, 30, 23, 27, 28, 70 x B = 25 Örnek 6.3: B grubundaki verilerin varyans değerini bulalım. 5 -20 400 10 -15 225 15 -10 100 20 -5 25 22 -3 9 30 5 25 23 -2 4 27 2 4 28 3 9 70 45 2025 Toplam: 2826 n=10
  • 11. Standart Sapma • Varyansın karekökünün alınmış hali standart sapmadır • Standart sapma İstatistiki hesaplamalarda dağılım ölçüsü olarak kullanılır. • Aynı ölçü birimine sahip grupların dağılımlarının karşılaştırılmasında önemli bir yeri olan standart sapma, normal dağılımdaki birimlerin dağılımını da oransal olarak belirleyen bir istatistiktir. 1 2 − − = ∑ n )xx( s i
  • 12. Örnek 6.1: A ve B olmak üzere 10'ar kişilik iki grup düşünelim. Bunların yaşları yıl olarak, A: 23, 24, 29, 28, 22, 24, 25, 23, 27, 25 x A= 25 B: 5, 10, 15, 20, 22, 30, 23, 27, 28, 70 x B = 25 şeklinde olsun Örnek 6.4: İki gruba ait standart sapma değerlerini bulalım. A grubu için: , n=10 B grubu için: , n=10
  • 13. Sınıflandırılmış frekans tablosundan standart sapma değerlerinin hesaplanması, S fu fu n n C= ∑ − ∑ − ⋅ 2 2 1 ( ) f : frekans u : sınıflara verilen ve A ve C'ye bağlı olarak .....-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...... değerlerini alan bir kodlama n : veri sayısı C : sınıf aralığı
  • 14. Örnek: Sınıflandırılmış frekans tablosundan standart sapma değerlerini bulalım. fu = -12, fu²=1256, n=100, C=2 S = − − ⋅ = 1256 12 100 99 2 7 1 2 ( ) . S fu fu n n C= ∑ − ∑ − ⋅ 2 2 1 ( ) f : frekans u : sınıflara verilen ve A ve C'ye bağlı olarak .....-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...... değerlerini alan bir kodlama n : veri sayısı C : sınıf aralığı
  • 15. Değişme Katsayısı • Standart sapma değerleri, ölçü birimi aynı olan dağılımların karşılaştırılmasında iyi bir istatistiktir. • Değişik ölçü birimlerine sahip dağılımların karşılaştırılmasında kullanılamaz. • Bir grup insanın kan basıncı değerleri dağılımı ile nabız sayısı değerleri dağılımı D.K. ile karşılaştırılabilir • Standart sapma değeri grupların aritmetik ortalamalarına göre orantılı olarak değişkenlik gösteriyorsa, karşılaştırma için standart sapma kullanılması hatalı sonuç verir.
  • 16. • Bir grubun standart sapmasının aritmetik ortalamasına göre yüzde değeri, değişme katsayısı olarak adlandırılır • Değişme katsayısının başka bir yararı, verilerin sonuca olan etkilerinin güvenilirliği hakkında karar vermededir. • Verilerin değişme katsayısı ne kadar küçük olursa, bunlardan elde edilecek sonuç da o denli güvenilir olur. • Sağlık bilimlerindeki veriler için D.K.<10 olması, gerçeği tahmin bakımından çok iyidir. • D.K. 30'dan büyük olduğu zaman doğruyu tahmin etme derecesi kötüdür. • Bu değer 10-20 arası için normal ve 20 - 30 arası için kritik olarak kabul edilir. D K S A O . . . . = ⋅100
  • 17. Örnek 6.6: iki gruba ait değişme katsayılarını bulalım. xA = 25, SA = 2.3, xB = 25, SB = 17.7 A grubu için, D K. . . % .= ⋅ = 2 3 25 100 9 2 B grubu için, D K. . . % .= ⋅ = 17 7 25 100 70 8 Örnek 6.1: A ve B olmak üzere 10'ar kişilik iki grup düşünelim. Bunla A: 23, 24, 29, 28, 22, 24, 25, 23, 27, 25 x A= B: 5, 10, 15, 20, 22, 30, 23, 27, 28, 70 x B şeklinde olsun
  • 18. Kuartil Sapma • Aritmetik ortalama yerine ortanca değerin kullanıldığı dağılımlar için geçerli olan bir dağılım ölçüsüdür. • Üçüncü ve birinci çeyrek değerleri farkının ikiye bölünmesiyle bulunur. K S Ç Ç . .= −3 1 2
  • 19. Örnek 6.7: Sınıflandırılmış frekans tablosunda verilen verilerin kuartil sapma değerlerini bulalım. Ç1=25.7 ve Ç3=36 olarak bulunmuşlardı K S. . . .= − = 36 25 7 2 5 15
  • 20. Standart Hata • Ortalamalar bölümünde tanımları verilen aritmetik ortalama ve oran değerleri, örnekten bulunan istatistik değerleri olup, ait oldukları örneğin alındığı toplumdaki aritmetik ortalama (µ ) ve oranın (P) tahmini değerleridir. • Çeşitli etkenlere bağlı olarak, örnekten bulunan bu istatistik değerleri toplumdaki tahmini yapılacak parametre değerlerine tam eşit olmayıp bir sapma gösterirler. Ortaya çıkan sapmanın ölçüsü standart hata ile belirtilir. • Standart hata, bir toplumdan seçilmiş örneklerden bulunan istatistik değerlerinin toplum parametresinden olan sapmalarının bir ölçüsüdür. • Standart hata sıfır olduğu zaman, örnekten bulunan aritmetik ortalama ve oran değerleri toplumdaki parametre değerlerine eşit olurlar.
  • 21. • Standart hata sıfırdan farklı olduğu zaman, örnekteki değerin gerçek değere eşit olmadığı anlaşılır. • Bu durumda, toplumdaki parametre değerinin belirli bir olasılıkla hangi değerler arasında bulunacağı hesaplanabilir. • Bu nedenle, toplum parametrelerinin tahmininin yapılabilmesi için bir örnekten bulunan aritmetik ortalama ve oran değerinin önüne ± işareti ile birlikte onun standart hatası da verilir. • Bu sayede toplum parametresinin belirli bir olasılıkla hangi aralıkta olacağı tahmin edilebilir.
  • 22. • Bir istatistiğin standart hatası, bir toplumdan n birimli çok sayıda seçilen örneğe ait istatistik değerlerinin oluşturduğu dağılımın standart sapması olarak tanımlanır. • İstatistik değeri eğer aritmetik ortalama ise, standart hata aritmetik ortalamaya ve istatistik değeri eğer oran ise o zaman da standart hata orana ait olur. • Standart hata, örnekteki birim sayısı arttıkça ve örneğin standart sapması azaldıkça azalır, aksi halde artar.
  • 23. • Bir toplumdan seçilen örneklerin istatistik değerlerinin dağılımı örnekteki birim sayısına göre değişir. • Değişim, dağılımın standart sapmasında ve aynı zamanda standart hata değerinde olur. • n büyüdükçe dağılım sivrileşir ve standart hata değeri küçülür. Aksi olduğunda dağılım basıklaşır ve standart hata değeri büyür. • Belirsiz toplumlarda n =∞ ve belirli toplumlarda n = N durumunda standart hata sıfır ve örneğin istatistik değerleri de toplum parametrelerine eşit olurlar.
  • 24. • Örnekten bulunan her istatistik değerinin bir standart hatası vardır. • Toplumdaki parametre değerlerini tahmin bakımından bu hata değerlerinin, istatistik değeri ile birlikte verilmeleri çok uygun olur. • Aritmetik ortalama ve oran için bu hataları gösterme işi, x SHx± ve P SHP ˆ ˆ ±
  • 25.
  • 26. Örnek Ortalamalarının Standart Hatası Bir toplumdan seçilen n birimli örneklerin aritmetik ortalamalarının dağılımının standart sapmasının, n büyüdükçe σ/ n değerine yaklaşmaktadır Bu nedenle aritmetik ortalamanın standart hatası, SH n x = σ σ : Topluma ait standart sapma n : Örnekteki birim sayısı Çoğu uygulamalarda toplumun standart sapması bilinemez. Bunun yerine, standart hatayı bulurken örnekten bulunan standart sapma (S) değeri kullanılır.
  • 27. ise ya da Örnekleme iadeli bir şekilde yapılmışsa, aritmetik ortalamanın standart hatası ise Standart hata formülüne bir düzeltme faktörü eklemek gerekir. Bu koşullarda standart hata,
  • 28. Örnek 6.8: 100 annenin yaşı için standart sapma S=7.1 , x = 30 26. aritmetik ortalama değerinin standart hatasını bulalım. Örneğin seçildiği toplumdaki anne sayısı bilinmediği için düzeltme faktörü kullanılmadan standart hatayı bulmak zorundayız. Formülde geçen σ yerine de örnekten bulunan standart sapma değeri kullanılacaktır. XSH S n − = = = 7 1 100 0 71 . . Örnek 6.9: Örnek 6.8'de belirtilen örneğin, bölgede yaşayan 800 anne arasından seçildiğini varsayalım. Bu durumda n> (1/10) N olacağı için standart hatayı düzeltme faktörünü ilave ederek bulalım. XSH S n N n N − = ⋅ − − = ⋅ ⋅ − = 1 7 1 100 800 100 799 0 66.
  • 29. Örnek Oranlarının Standart Hatası Belirli bir özelliği gösteren birimlerin oranının P olduğu bir binomial toplumdan n birimli çok sayıda örnekler alındığını varsayalım. Bu örneklerdeki aynı özelliği gösteren birimlerin oranlarını da Pˆ şeklinde belirtelim. n≥30 durumunda ya da np, nq>5 durumunda Pˆ 'lerin dağılımı bir normal dağılım olur. Bu normal dağılım, ortalaması P ve standart sapması da pq n/ 'e yaklaşır.
  • 30. Dağılımın standart sapması o dağılımı oluşturan istatistik değerinin standart hatası olduğuna göre, örnek oranı Pˆ 'nin standart hatası, pq n pq SH p −= = 1 ˆ n≥(1/10)N durumunda, düzeltme faktörü ilave edilerek hesaplama yapmak gerekir. 1ˆ − − ⋅= N nN n pq SH p Formülde geçen p, topluma ait bir orandır. Bu bilinmediği zaman yerine örnekten bulunan oran kullanılır.
  • 31. Örnek 6.10: Bir ilçeden seçilen 2000 kişilik bir örnekte tüberkülozluların sayısı 10 olarak bulunuyor. a) İlçe nüfusu belli olmadığına göre, b) İlçe nüfusu 18000 olduğuna göre, örnekten bulunan oranın standart hata değerlerini bulalım. a) Pˆ =10/2000=0.005, n=2000, q=1-0.005= 0.995 0016.0 2000 995.0005.0 SHPˆ = × = b) N=18000 ve n>(1/10) N olduğuna göre, 0015.0 118000 200018000 2000 995.0005.0 SHPˆ = − − ⋅ × =