Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
BÖLÜM 3:
MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
Hazırlayan
GülĢah BaĢol
TOKAT - 2013
T.C.
GAZĠOSMANPAġAÜNĠVERSĠTESĠ
EĞĠTĠMFAKÜ...
Konu BaĢlıkları
• BÖLÜM 3: KONUM ÖLÇÜLERĠ
• 3.1. Nicel Verilerde Konum Ölçüleri
• 3.1.1. Aritmetik Ortalama
• 3.1.2. Geome...
• 3.2. Nicel Verilerde DeğiĢim Ölçüleri
• 3.2.1. DeğiĢim Aralığı (Range)
• 3.2.2. Varyans
• 3.2.3. Standart Sapma
• 3.2.4....
Kazanımlar
• KONUM ÖLÇÜLERĠ
• Aritmetik Ortalamayı hesaplar.
• Geometrik Ortalamayı hesaplar.
• Harmonik Ortalamayı hesapl...
…..
DEĞĠġĠM ÖLÇÜLERĠ
• Dizi geniĢliği (Range) hesaplar.
• Varyansı hesaplar.
• Standart Sapmayı hesaplar.
• Standart Hatay...
3.1.1. Aritmetik Ortalama
• Genellikle ortalama Ģeklinde ifade edilmesine alıĢık
olduğumuz aritmetik ortalama, dağılımda u...
3.1.1. Aritmetik Ortalama
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
Puanların aritmetik ortalaması=
∑X (Tüm puanların to...
3.1.1. Aritmetik Ortalama
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
Puanların aritmetik ortalaması=
∑fX0 (Tüm puanların ...
3.1.2. Geometrik Ortalama
• n sayının çarpımının n. kuvvetten kökü bu sayıların
geometrik ortalamasıdır. Diğer bir deyiĢle...
3.1.3. Harmonik Ortalama
• Harmonik ortalama, gözlem sonuçlarının terslerinin
aritmetik ortalamasının tersidir.
• Genellik...
3.1.4. Ağırlıklı Ortalama
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
Bazı durumlarda daha önceden alınan birkaç ölçümün o...
3.1.5. Tepe Değeri (Mod)
• Bir dizi puan arasında en sık tekrarlanan değere denir.
Dağılımda uç değer olduğunda merkezî eğ...
3.1.6. Ortanca (Medyan)
• Ortanca değer, puanlar büyükten küçüğe ya da küçükten
büyüğe sıralandığında orta noktadaki değer...
3.1.7. Yüzdelikler
• Yüzdelik puanlar standart değerlerden biridir. Yüzdelik
puan bireyin norm grubundaki bireylerin yüzde...
Yüzdelik Hesabı
L: hangi yüzdelik bulunmak isteniyorsa ilgili puanın isabet ettiği aralığa ait alt
limittir.
y: hesaplanma...
3.1.8. Çeyrekler
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
Sola Çarpık Dağılımda Merkezi Eğilim
Ölçüleri
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
Sağa Çarpık Dağılımda Merkezi Eğilim
Ölçüleri
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
3.2. Nicel Verilerde DeğiĢim Ölçüleri
• 3.2.1. Dizi GeniĢliği(Range)
• 3.2.2. Varyans
• 3.2.3. Standart Sapma
• 3.2.4. Sta...
3.2.1. Dizi GeniĢliği (Range)
• Dizi geniĢliği dağılımdaki puanların geniĢliği hakkında
kabaca fikir veren bir ölçüdür. Bu...
3.2.2. Varyans
• Varyans puanların dağılımı hakkında bilgi verir. Puanların
aritmetik ortalamadan farkları kareleri toplam...
3.2.3. Standart Sapma
• Standart sapma, puanların aritmetik ortalamadan ne
derece farklılaĢtığının ölçüsüdür. Puanların ar...
Standart Sapma
BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
3.2.4. Standart Hata
• Standart hata bir örneklemi kullanarak örneklemler üzeri
kestirimde bulunurken yapılabilecek olası ...
Standart Hata
Aritmetik ortalamadan olan sapma kareleri
ortalamasının karekökü kiĢi sayısının
kareköküne bölünerek aritmet...
3.2.5. Çeyrekler Arası Sapma
• Dağılımda uç değerler varken merkezî eğilim ölçüsünü
ortaya koymak için aritmetik ortalama ...
3.2.5. Çeyrekler Arası Sapma
Dağılım çeyrekler olarak ele alınırsa,
bir dağılımda 4 çeyrek vardır. Birinci
çeyrek 25. yüzd...
Çeyrek Sapma mı Standart Sapma mı?
• Çeyrek sapma mı standart sapma mı denilecek olursa,
dağılımda uç değerler olmadığı sü...
Dizi geniĢliği mi çeyrek sapma mı?
• Dizi geniĢliği mi çeyrek sapma mı denildiğinde ise dizi
geniĢliği sadece iki uç değer...
3.2.6. Mutlak Sapma
• Bilindiği gibi ortalamadan sapmalar toplanırsa 0 değeri
elde edilir. Bu nedenle sapmaların iĢareti d...
3.2.7. DeğiĢim Katsayısı
• Aynı aritmetik ortalamalara sahip iki örneklem farklı
değiĢim katsayılarına sahip olabilir.
BÖL...
DeğiĢim Katsayısı
100
x
s
DK
Farklı birimlere sahip verilerin dağılımını karĢılaĢtırmak için değiĢim
katsayısından yararla...
Sorular
• 1. Bir grup veri için merkezi eğilim ölçülerini hesaplayınız.
• 2. Bir grup veri için merkezi dağılım ölçülerini...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri

12,906 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri

  1. 1. BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI Hazırlayan GülĢah BaĢol TOKAT - 2013 T.C. GAZĠOSMANPAġAÜNĠVERSĠTESĠ EĞĠTĠMFAKÜLTESĠ
  2. 2. Konu BaĢlıkları • BÖLÜM 3: KONUM ÖLÇÜLERĠ • 3.1. Nicel Verilerde Konum Ölçüleri • 3.1.1. Aritmetik Ortalama • 3.1.2. Geometrik Ortalama • 3.1.3. Harmonik Ortalama • 3.1.4. Ağırlıklı Ortalama • 3.1.5. Tepe Değeri (Mod) • 3.1.6. Ortanca (Medyan) • 3.1.7. Yüzdelikler • 3.1.8. Çeyreklikler BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  3. 3. • 3.2. Nicel Verilerde DeğiĢim Ölçüleri • 3.2.1. DeğiĢim Aralığı (Range) • 3.2.2. Varyans • 3.2.3. Standart Sapma • 3.2.4. Standart Hata • 3.2.5. Çeyrekler Arası Sapma • 3.2.6. Mutlak Sapma • 3.2.7. DeğiĢim Katsayısı BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  4. 4. Kazanımlar • KONUM ÖLÇÜLERĠ • Aritmetik Ortalamayı hesaplar. • Geometrik Ortalamayı hesaplar. • Harmonik Ortalamayı hesaplar. • Ağırlıklı Ortalamayı hesaplar. • Tepe Değeri (Mod) hesaplar. • Ortancayı (Medyanı) hesaplar. • Yüzdelikleri hesaplar. • Çeyreklikleri hesaplar. BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  5. 5. ….. DEĞĠġĠM ÖLÇÜLERĠ • Dizi geniĢliği (Range) hesaplar. • Varyansı hesaplar. • Standart Sapmayı hesaplar. • Standart Hatayı hesaplar. • Çeyrekler Arası Sapmayı hesaplar. • Mutlak Sapmayı hesaplar. • DeğiĢim Katsayısını hesaplar. BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  6. 6. 3.1.1. Aritmetik Ortalama • Genellikle ortalama Ģeklinde ifade edilmesine alıĢık olduğumuz aritmetik ortalama, dağılımda uç değer olmadığı sürece merkezî eğilim ölçüleri arasında en güvenilir olanıdır. Aritmetik ortalamayı elde etmek için gruptaki puanlar toplanır ve kiĢi sayısına bölünür. Aritmetik ortalama puanların eğilimi hakkında karar vermede en sık kullanılan merkezî eğilim ölçüsüdür. BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  7. 7. 3.1.1. Aritmetik Ortalama BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI Puanların aritmetik ortalaması= ∑X (Tüm puanların toplamı)/n(KiĢi sayısı)
  8. 8. 3.1.1. Aritmetik Ortalama BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI Puanların aritmetik ortalaması= ∑fX0 (Tüm puanların toplamı frekansları ile çarpımlarının toplamı)/n(KiĢi sayısı)
  9. 9. 3.1.2. Geometrik Ortalama • n sayının çarpımının n. kuvvetten kökü bu sayıların geometrik ortalamasıdır. Diğer bir deyiĢle her bir değerin birbirleriyle çarpımlarının, n'inci dereceden köküne geometrik ortalama denir. Gözlem sonuçları arasındaki göreceli farklar mutlak farklardan önemli ise geometrik ortalama hesaplanmalıdır. Gözlem sonuçlarının her biri bir önceki gözlem sonucuna bağlı olarak değiĢtiğinde bu değiĢimin hızını saptamada geometrik ortalamadan yararlanılır (veride sıfır olmayacak tamamı pozitif olacak). • BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  10. 10. 3.1.3. Harmonik Ortalama • Harmonik ortalama, gözlem sonuçlarının terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir. • Genellikle ekonomide kullanılır. Bir birimin üretimi için gereken harcamayı gösterir. BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  11. 11. 3.1.4. Ağırlıklı Ortalama BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI Bazı durumlarda daha önceden alınan birkaç ölçümün ortalamasını almaya ihtiyaç duyarız. Ancak elde etmek için harcanan çabayla orantılı olarak bazı puan değerlerine, diğerlerinden daha çok ağırlık vermek istenebilir. Bu gibi durumlarda puanlara kendi içinde ağırlıklar verilerek ortalamalarının alınması yoluna gidilir. Bir bütün % 100 olarak ifade edildiğine göre, tek tek ortalaması alınacak değerler önem derecesine göre 100’e bölüĢtürülür. Örneğin; kapsamı daha fazla olan II. arasınavın ağırlığı % 40 iken, I. arasınava % 20 ve final sınavına % 40 ağırlık verilebilir.
  12. 12. 3.1.5. Tepe Değeri (Mod) • Bir dizi puan arasında en sık tekrarlanan değere denir. Dağılımda uç değer olduğunda merkezî eğilimi aritmetik ortalamadan daha güvenilir Ģekilde kestiren bir değerdir. Bir dağılımda tepe değer birden çok olabilir. Dağılımda iki tepe değer varsa dağılım iki modlu, üç tepe değer varsa üç modlu olarak adlandırılır. BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  13. 13. 3.1.6. Ortanca (Medyan) • Ortanca değer, puanlar büyükten küçüğe ya da küçükten büyüğe sıralandığında orta noktadaki değerdir. Puan adedi tek sayıysa tıpkı ortanca parmak ya da ortanca çocuk durumlarında olduğu gibi ortanca tam ortada yer alan değerdir. Ortancası aranan grup mevcudu tek sayıyla ifade edildiğinde bir eklenerek ikiye bölünür, elde edilen sıra değerine karĢılık gelen kiĢinin puanı ortanca olarak alınır. Örneğin; 35 kiĢilik bir grupta ortanca değer (35+1)/2=18’dir. Yani ortanca 18. inci kiĢinin puanıdır. BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  14. 14. 3.1.7. Yüzdelikler • Yüzdelik puanlar standart değerlerden biridir. Yüzdelik puan bireyin norm grubundaki bireylerin yüzde ne kadarının üzerinde puan aldığını yani bulundukları yüzdelik dilimi verir. Yüzdelik değerlere çevirerek aynı testi alan grubun ölçümleri kıyaslanabilir. Bir testin normlarını bulmak uzun süreli ve yorucu bir süreçtir. Ancak normlar elde edildiğinde yaĢlarına göre, cinsiyete göre veya ilgili olabilecek her türlü özelliğe göre gruplar arasında kıyaslama yapmak mümkün olur. • Doktor kontrollerinde kullanılan norm tabloları bu Ģekilde hazırlanır. Çocukların yaĢ düzeyine göre zeka geliĢimleri, hormon seviyeleri, kan sayımı değerleri vb gibi. BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  15. 15. Yüzdelik Hesabı L: hangi yüzdelik bulunmak isteniyorsa ilgili puanın isabet ettiği aralığa ait alt limittir. y: hesaplanmak istenen yüzdelik, n: gruptaki kiĢi sayısı, a: aralık geniĢliği, fa: En düĢük puandan baĢlayarak ilgili yüzdeliğin yer aldığı alt puana kadar olan puanların frekansı, fb: yüzdeliğin bulunduğu aralıktaki frekans değeri. BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  16. 16. 3.1.8. Çeyrekler BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  17. 17. Sola Çarpık Dağılımda Merkezi Eğilim Ölçüleri BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  18. 18. Sağa Çarpık Dağılımda Merkezi Eğilim Ölçüleri BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  19. 19. 3.2. Nicel Verilerde DeğiĢim Ölçüleri • 3.2.1. Dizi GeniĢliği(Range) • 3.2.2. Varyans • 3.2.3. Standart Sapma • 3.2.4. Standart Hata • 3.2.5. Çeyrekler Arası Sapma • 3.2.6. Mutlak Sapma • 3.2.7. DeğiĢim Katsayısı BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  20. 20. 3.2.1. Dizi GeniĢliği (Range) • Dizi geniĢliği dağılımdaki puanların geniĢliği hakkında kabaca fikir veren bir ölçüdür. Bu değer en yüksek ve en düĢük puan dikkate alınarak hesaplandığından, dağılımda uç değerler varken, puanların dağılımını ortaya koymakta yetersiz kalacaktır. • GruplandırılmıĢ verilerde dizi geniĢliğini hesaplamak içinse en yüksek ve en düĢük puan aralıklarının orta noktaları arasındaki fark alınır. BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  21. 21. 3.2.2. Varyans • Varyans puanların dağılımı hakkında bilgi verir. Puanların aritmetik ortalamadan farkları kareleri toplamının kiĢi sayısının bir eksiğine bölünmesi ile elde edilen varyans standart sapmanın karesidir. BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  22. 22. 3.2.3. Standart Sapma • Standart sapma, puanların aritmetik ortalamadan ne derece farklılaĢtığının ölçüsüdür. Puanların aritmetik ortalamadan sapmaları alındığında bunların mutlak değerlerinin toplamı birbirine eĢit olacaktır. ĠĢaretleri dikkate alınarak toplandığında ise toplamları 0 olur. Puanların aritmetik ortalamadan farklar karesi toplamı kiĢi sayısının bir eksiğine bölündüğünde, ortalama farklar karesi yani varyans elde edilir. Bu değerin karekökü ise standart sapmayı verir. • Puanların % 68’i aritmetik ortalama artı eksi bir standart sapma arasında olacaktır. Buna göre öğrencilerin puanlarının üçte ikisi A.O+ 1SS aralığındadır. BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  23. 23. Standart Sapma BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  24. 24. 3.2.4. Standart Hata • Standart hata bir örneklemi kullanarak örneklemler üzeri kestirimde bulunurken yapılabilecek olası hatanın oranıdır. • Zaman, para ve olanakların sınırlılığından dolayı evren yerine örneklem üzerinde çalıĢılır. Ancak örneklemden alınacak verilerin güvenirliği örneklemin evreni temsililiği ile sınırlıdır. • Standart hata ne kadar küçükse örneklem istatistiği evren parametresine o derece yakın olacaktır. Böylece yapılan kestirime de güvenilebilir. BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  25. 25. Standart Hata Aritmetik ortalamadan olan sapma kareleri ortalamasının karekökü kiĢi sayısının kareköküne bölünerek aritmetik ortalamanın standart hatası elde edilir. Puanların standart hatası ölçümlerin güvenirlik katsayısının birden farkının kareköküyle çarpılarak ilgili ölçüm için standart hata hesaplanır. BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  26. 26. 3.2.5. Çeyrekler Arası Sapma • Dağılımda uç değerler varken merkezî eğilim ölçüsünü ortaya koymak için aritmetik ortalama yerine ortanca, puanlar arasındaki ortalama farklılaĢmayı ortaya koymak içinse standart sapma yerine ise çeyrek sapma daha güvenilirdir. Çarpıklık söz konusuyken çeyrek sapma dağılımdaki sapma miktarını daha doğru yansıtacaktır (Tekin, 1996). Çeyrek sapma üçüncü çeyrek ve birinci çeyrek arasındaki geniĢliğin yarısıdır. BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  27. 27. 3.2.5. Çeyrekler Arası Sapma Dağılım çeyrekler olarak ele alınırsa, bir dağılımda 4 çeyrek vardır. Birinci çeyrek 25. yüzdelik, ikinci çeyrek 50. yüzdelik, üçüncü çeyrek 75. yüzdelik ve 4. çeyrek 100. yüzdelik hesaplanarak bulunabilir. Formül incelenirse Çeyrek sapma 25. ve 75. yüzdelikten 50. yüzdeliğe olan ortalama mesafedir. Bu değer ne kadar büyükse ortalama ile sağındaki ve solundaki çeyrekler arasında puanlar o kadar açılmıĢtır. Formülden çeyrek sapmanın 25. yüzdeliğin altını ve 75. yüzdeliğin üzerini hesaba katmadığı görülür. BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  28. 28. Çeyrek Sapma mı Standart Sapma mı? • Çeyrek sapma mı standart sapma mı denilecek olursa, dağılımda uç değerler olmadığı sürece ve diğer tüm koĢullar sabit tutularak bir dağılımın değiĢkenlik ölçüsü hesaplanmak isteniyorsa standart sapmanın daha güvenilir bir tercih olacağı söylenebilir. BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  29. 29. Dizi geniĢliği mi çeyrek sapma mı? • Dizi geniĢliği mi çeyrek sapma mı denildiğinde ise dizi geniĢliği sadece iki uç değeri dikkate alarak dağılımın sapması hakkında fikir verdiğinden, çeyrek sapma önerilir. BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  30. 30. 3.2.6. Mutlak Sapma • Bilindiği gibi ortalamadan sapmalar toplanırsa 0 değeri elde edilir. Bu nedenle sapmaların iĢareti dikkate alınmaksızın toplanarak gözlem sayısına bölünüp mutlak sapma değeri elde edilir. Böylece gözlem noktalarının ortalamadan toplam ne kadar uzaklaĢtıklarını görmek mümkün olacaktır. )0( XXi BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  31. 31. 3.2.7. DeğiĢim Katsayısı • Aynı aritmetik ortalamalara sahip iki örneklem farklı değiĢim katsayılarına sahip olabilir. BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  32. 32. DeğiĢim Katsayısı 100 x s DK Farklı birimlere sahip verilerin dağılımını karĢılaĢtırmak için değiĢim katsayısından yararlanılır. BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI
  33. 33. Sorular • 1. Bir grup veri için merkezi eğilim ölçülerini hesaplayınız. • 2. Bir grup veri için merkezi dağılım ölçülerini hesaplayınız. • 3. Hesapladığınız merkezi dağılım ölçülerini bir histogram üzerinde göstererek yorumlayınız. • 4. Verilerinizin merkezi eğilimini ortaya koymada hangi merkezi eğilim ölçüsü daha uygundur? • 5. Verilerinizin merkezi dağılımı hakkında ne söyleyebilirsiniz? BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

×