3. แคลคูลัส 2
ตัวอยาง 8.1.3 จงหาพจนที่ 50 ของลําดับ 19, 12, 5, 2, 9, ...
วิธีทํา จะเห็นไดวา ลําดับนี้เปนลําดับเลขคณิต มีผลตางรวมเทากับ 9 2 7
และมีพจนแรกของลําดับเปน a 19 1
จากสูตร a = a (n 1)d
n 1
นั่นคือ a = a 49d = 19 49(7) = 324
50 1
ดังนั้น พจนที่ 50 ของลําดับดังกลาวคือ 324
ตัวอยาง 8.1.4 จงหาพจนทั่วไปของลําดับ 15, 12, 9, 6, …
วิธีทํา จะเห็นไดวา ลําดับนี้เปนลําดับเลขคณิต มีผลตางรวมเทากับ 12 15 3
และมีพจนแรกของลําดับเปน a 15 1
จากสูตร a = a (n 1)d
n 1
นั่นคือ a = 15 ( n 1)( 3) = 18 3n = 3(6 n)
n
ดังนั้น พจนทั่วไปของลําดับดังกลาว คือ 18 3n หรือ 3 6 n
1.3 ลําดับเรขาคณิต
บทนิยาม 8.1.3 ลําดับเรขาคณิต (Geometric Sequence) คือ ลําดับที่มีอัตราสวนของพจนสอง
พจนที่อยูติดกัน มีคาเทากันเสมอ อัตราสวนที่เทากันเสมอนี้เรียกวา
อัตราสวนรวม (common ratio)
a
a , a , a , ..., a , a , ... เปนลําดับเรขาคณิต ก็ตอเมื่อ มีคาคงตัว r โดยที่ r
1 2 3 n n 1 สําหรับ n 1
an
ทุกจํานวนเต็มบวก n จะไดวา
an 1 an r
และ a ar n 1
n 1
ตัวอยาง 8.1.5 จงหาพจนที่ 7 ของลําดับ 1 , 2 , 4
, ...
3 9 27
2 1
วิธีทํา จะเห็นไดวา ลําดับนี้เปนลําดับเรขาคณิต มี r =
และ a1
3 3
จากสูตร a = ar
n 1
n 1
6
1 2 64
นั่นคือ a7 = a1r = = 6
3 3 2187
ตัวอยาง 8.1.6 จงหาพจนทั่วไปของลําดับ 27, 9, 3, 1, ...
วิธีทํา จะเห็นไดวา ลําดับนี้เปนลําดับเลขคณิต มี r = 1 และ a1 27
3
จากสูตร an = a1r n 1
n1 n
1 1
นั่นคือ an = (27) = 81
3 3
n
ดังนั้น พจนทั่วไปของลําดับดังกลาว คือ 81 1
3
บทที่ 8 ลําดับและอนุกรม หนา 167
4. แค ลัส 2
คลคู
1.4 ลิมิตของลํา บ
าดั
ในหั
ใ วขอนี้จะ าวถึงลิมต าดับอนนตโดยการพิจารณาพจนที่ n ของลํา บ เมือ n มีคา
ะกล ตของลํ นั
ิ น าดั ่
เพิ่มขึ้นเเรื่อยๆ อยางไ มีที่สด หรื
ื ไม ุ รออาจกลาววา n มีคาเขาสูอนันต และ ยนแทนคา n เขาสูอนันตดวย
ะเขี ั
n ดังตัวอยางตอไปนี้
ต
ตัวอยาง 8.1.7 กําห าดับ a 1 1 จง ยนกราฟข าดับนี้ พ อมทั้งพิจา กษณะ a
หนดลํ n งเขี ของลํ พร ารณาลั ะของ n
n
ในขณะที่ n มีคาเพิ่มขึ้นอยาง มีที่สนสุด
งไม ิ้
วิธีทํา ถาเขียนลําดับนี้ ใหอยูในรูปเซ
ขี ซตของคูอันดับ (n, a ) จะเขียนไดดัง ้
n งนี
3 4 5 1
1, 2 , 2, , 3, , 4, , ..., n,1 , ...
, ,
2 3 4 n
เมื่อลงพิกัดของคูอันดับบนระ
คู ะนาบพิกัดฉาก จะพบวาในนขณะที่ n มีคามากขึ้น คาของ
ค
a ซึ่งเปนจํานว
n วนจริงบวกจะ คาลดลงเขาใกล 1 นั่นคือ lim a 1
ะมี ข n
n
ตัวอยาง 8.1.8 กําห าดับ a 2 จงเขียนกราฟข าดับนี้ พ อมทั้งพิจารณาลักษณะของ
หนดลํ n
2 n 1
ของลํ พร an
ในขณะที่ n มีคาเพิ่มขึ้นอยาง มีที่สนสุด
งไม ิ้
วิธีทํา ถาเขียนลําดับนี้ ใหอยูในรูปเซ
ขี ซตของคูอันดับ (n, a ) จะเขียนไดดัง ้
n งนี
1, 2 , 2, 8 , 3, 32 , 4, 128 , ..., n, 2 , ...
2 n1
เมื่อลงพิกัดของคูอันดับบนระ
คู ะนาบพิกัดฉาก จะพบวาใน นขณะที่ n มีคามากขึ้น คาของ
ค
a ซึ่งเปนจํานว
n วนจริงบวกจะ คาเพิ่มขึ้นอยางไมมีทสนสุด นั่นคือ lim a
ะมี อ ส้ิ้
ี่ n
n
บทที่ 8 ลําดับและอนกรม
นุ หนา 168
ห
5. แค ลัส 2
คลคู
ตัวอยาง 8.1.9 กําห าดับ a cos(n ) จงเขียนกราฟของลําดับ ้ พรอมทั้งพจารณาลักษณะของ
หนดลํ n บนี พิ ษ
a ในขณะที่ n มีคาเพิ่มขึ้นอ างไมมีที่สนสุด
n อย น
ิ้
วิธีทํา ถาเขียนลําดับนี้ ใหอยูในรูปเซ
ขี ซตของคูอันดับ (n, a ) จะเขียนไดดัง ้
n งนี
1, 1 , 2, 1 , 3, 1 , 4, 1 , ..., n, cos(n ) , ....
c
เมื่อลงพิกัดของคูอันดับบนระ
คู ะนาบพิกัดฉาก จะพบวาใน นขณะที่ n มีคามากขึ้น คาของ
ค
a จะสลับระหวาง -1 กับ 1 นั่นคือ lim a หาคาไม
n ว n m มได
n
1
จากตัวอยางที่ 8.1.7 ถึงตวอยางที่ 8.1.9 จะเห็นวา ลําดับ
ตั 1 หาลิมิตได สวนลําดับ
มิ
n
2 ลิมิตมีคาอนันต และลําดับ cos n หาคาลิมิตไมได
2 n1
นั มิ
บทนิยาม 8.1.4 ลําดับ เเปนลําดับลูเ ขา (converg sequenc มีคาเขาสู L เขียนแท วย
an gent ce) ทนด
lim a L ก็ตอเมื่อสําหรับจํานวนจ ง 0 ใดๆ จะมีจํานวนเต็ม N ซึงเมื่อ
n จริ ง
่
n
n N แลว a a n
ถาลําดับที่ไมเปนลําดับลูเเขา เราจะกลาววาเปนลําดับลูออก (diivergent seq
ม ล ด quence) หรือลําดับ
อ
ไมลูเขา
บทนิยาม 8.1.5 ลําดับ a เเปนลําดับลูออกสู (div to ) เขียนแทนดวย lim a
n verge ด n
n
ก็ตอเมื่อทุกๆ จํานวน M 0 จะมีจํานวนเต็มบว N ซึ่งเมื่อ n M แลวจะ
วก ล
ไดวา a M n
ลําดับ a เปนลําดับลูออ (diverge to ) เขียนแทน วย lim a
ป n อกสู นด n
n
ก็ตอเมื่อทุกๆ จํานวน M 0 จะมีจํานวนเต็มบว N ซึ่งเมื่อ n M แลวจะ
วก ล
ไดวา a M n
คา L เปนคา มิตของลําดบ จากนิยาม นวาเปนเชนเดียวกับคาลิมิตของฟงกชัน f ( x) เมื่อ
าลิ ดั มจะเห็ ป กั
x เราสามารถแ แสดงไดวา liim f (n) lim f ( x) เมือ x เปนจํานวนจริง และ n เปนจํานวน มบวก
m ่ นเต็
n x
1
จากตัวอ างที่ 8.1.7 ถึงตัวอยางที่ 8.1.9 จะไดวา ลําดับ
อย ที ด 1 เปน าดับลูเขา ลําดับ 2 และ
นลํ
2 n1
n
ลําดับ cos n เเปนลําดับลูออก
บทที่ 8 ลําดับและอนกรม
นุ หนา 169
ห
6. แคลคูลัส 2
ทฤษฎีบทตางๆ ที่เกี่ยวกับลิมิตของฟงกชันของจํานวนจริงก็ยงคงเปนจริงสําหรับลิมิตของลําดับ
ั
ทฤษฎีบท 8.1.1 ถา a และ b เปนลําดับลูเขา จะได
n n
1. lim k an k lim an
n n
2. lim an bn lim an lim bn
n n n
3. lim an bn lim an lim bn
n n n
a lim an
4. lim n n
n b
เมื่อ lim bn 0
n
n lim bn
n
การหาลิมตของลําดับมีวิธการเชนเดียวกับการหาลิมตของฟงกชัน
ิ ี ิ
ตัวอยาง 8.1.10 ลําดับ 3 , 2, 9 , 12 , ... เปนลําดับลูเ ขาหรือไม
2 4 5
วิธีทํา จากลําดับ , 2, 9 , 12 , ... เขียนใหอยูในรูปพจนทั่วไปได an 3n
3
2 4 5 n 1
3n 3 3
เพราะวา lim
n n 1
lim 3
n
1
1 1 0
n
นั่นคือ ลําดับลูเขาหา 3
ทฤษฎีบท 8.1.2 ลําดับเรขาคณิต a, ar , ar , ..., ar , ...
2 n
1. ถา r 1 ลําดับจะลูเขา 0
2. ถา r 1 ลําดับเปนลําดับคงที่ (ลูเขา)
3. ถา r 1 ลําดับจะลูออกสู
4. ถา r 1 ลําดับจะลูออก
ตัวอยาง 8.1.11 จงตรวจสอบวาลําดับตอไปนี้เปนลําดับลูเขาหรือไม ถาเปนลําดับลูเ ขา จงหาลิมิต
1 n 2 ln n
1. 2.
n5 n
1 2 3 4 1 1 1 1
3. , , , , ... 4. 1, , , , , ...
2 3 4 5 2 4 8 16
5 8 11 14 5 2 7 4 9 8 11 16
5. , , , , ... 6. , , , , ...
2 3 4 5 1 2 3 4
7. 2n
1
n
3n 2
8.
n3
1
1
1 n2 1 n 2
n2
วิธีทํา 1. จากลําดับ an จะไดวา lim an lim lim
n5 n n n 5 n 1
2
5
n n
ดังนั้น ลําดับดังกลาวเปนลําดับลูออก
บทที่ 8 ลําดับและอนุกรม หนา 170
7. แคลคูลัส 2
ln n ln n
2. จากลําดับ an จะไดวา lim an lim อยูในรูป ใชกฎของโลปตาล
n n n n
1
จะได lim ln n lim n lim 1 0 ดังนั้น ลําดับดังกลาวเปนลําดับลูเขา 0
n n n 1 n n
1 2 3 4 n
3. จากลําดับ , , , , ... เขียนในรูปพจนทั่วไปได an
2 3 4 5 n 1
จะได lim an lim n lim 1 1 1 1
n n 1
n n
1 1 0
n
ดังนั้น ลําดับดังกลาวเปนลําดับลูเขา 1
n 1
1 1 1 1 1
4. จากลําดับ 1, , , , , ... เขียนในรูปพจนทั่วไปได an
2 4 8 16 2
1 1
ซึ่งเปนลําดับเรขาคณิตที่มี r 1
2 2
ดังนั้น ลําดับดังกลาวเปนลําดับลูเขา 0
3n 1
5. จากลําดับ 5 , 8 , 11 , 14 , ... เขียนในรูปพจนทั่วไปได an
2 3 4 5 n 1
1
3
3n 1 n 30 3
จะได lim an lim
n n n 1
lim
n 1 1 0
1
n
ดังนั้น ลําดับดังกลาวเปนลําดับลูเขา 3
5 2 7 4 9 8 11 16 (4n 2 6n)
6. จากลําดับ , , , , ... จะได an (1) n
1 2 3 4 n
(4n 6n)
2
นั่นคือ lim an lim(1)n lim
n n n
แต lim(1)n หาคาไมได
n n
ดังนั้น ลําดับดังกลาวเปนลําดับลูออก
1 1
7. จากลําดับ a 2n จะไดวา lim a
n
n
n lim 2n n อยูในรูป 0
n n
1
1
1 lim n
ใชกฎของโลปตาล จะไดวา lim 2n e
lim ln(2 n )
n n n
e n 1
e0 1
n
ดังนั้น ลําดับดังกลาวเปนลําดับลูเขา 1
2
3 n
3n 2 3n 2 n
8. จากลําดับ an จะไดวา lim an lim lim
n3 n n n 3 n 3
1
n
ดังนั้น ลําดับดังกลาวเปนลําดับลูออกสู
บทที่ 8 ลําดับและอนุกรม หนา 171
8. แคลคูลัส 2
แบบฝกหัด 8.1
1. ลําดับเลขคณิตมีพจนแรกเปน 1 กําหนด a , a , a เปน 3 พจนแรกของลําดับเรขาคณิต จงหา
7 11 17
วาผลบวกของ 3 พจนแรกในลําดับเรขาคณิตนี้เทากับเทาไร
2. จํานวนที่ 9 หารลงตัว ซึ่งมีคาอยูระหวาง 500 และ 800 มีกี่จํานวน
3. ถา u a, u a b, n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 2 และ u 2u u แลว จงหาวา
1 2 n n 1 n2
u au
2
n เทากับเทาใด
2 n 1
4. ถาพจนที่ 1 ของลําดับเรขาคณิตคือ 8 มีอัตราสวนรวมเทากับ 3 ถามวา 729 เปนพจนที่เทาไร
2 8
5. ลําดับเรขาคณิตมี n พจน สามพจนสุดทายรวมกันได 1,024 เทาของสามพจนแรกรวมกัน ถาพจน
ที่ 5 เทากับ 20 พจนสุดทายเทากับเทาไร
6. จํานวน 5 จํานวนเรียงกันเปนลําดับเรขาคณิต ผลบวกของพจนที่ 1, 3 และ 5 เทากับ 273 ผลคูณ
ของพจนท่ี 2 และ 4 เทากับ 256 ผลบวกของ 5 พจนแรกเทากับเทาใด (มีมากกวา 1 คําตอบ)
7. กําหนดลําดับเรขาคณิต 2, 6, 18, … จงหาพจนที่เล็กที่สุดและมีคามากกวา 1,000
8. ให a , a , a , a เปนพจน 4 พจนเรียงกันในลําดับเรขาคณิต โดยมี a เปนพจนแรก ถา
1 2 3 4 1
a a 6 และ a a 12 คาสัมบูรณของพจนที่ 5 ของลําดับนี้มีคาเทาไร
2 3 3 4
9. ให a, b, c เปนลําดับเรขาคณิตซึ่งมีผลคูณเทากับ 27 และ a, b 3, c 2 เปนลําดับเลขคณิต
จงหา a b c
10. ให x, y, z เปนลําดับเลขคณิตซึ่งผลบวกทั้งสามพจนมคาเทากับ 12 ถานํา 1, 4, 11 มาบวกกับแต
ี
ละพจนตามลําดับ ปรากฏวาไดเปนลําดับเรขาคณิต จงหาคาของ xyz
11. ถา a เปนพจนที่ n ของลําดับลูเขา และ a 1 a 1 จงหาลิมิตของลําดับ a นี้
n n 1 n n
2 5
12. จงตรวจสอบวาลําดับตอไปนี้เปนลําดับลูเขาหรือไม ถาเปนลําดับลูเ ขา จงหาลิมิต
n 3n n2 3n 1
1) 2) 3) 4) 2
2n 1 2n 1 3n 1 n
n2 1 n n 1
2
n n 1
2
5) 2 6) (1) 2 7) (1) 3 8) 1 (1) n
n 1 n 1 n 1
1)n 1 n 1 n
9) 2 10) n 11) ln 12) n
n e n 2
n n
13) sin 14) cos 15) n 16)
n 2n 4 2
n
17) cos
2
18) n e
2 n
19) n 2 3n n 20) n2 n
3 (1)n ln(n 2 ) 2n 1 2 3 n
21) 22) 2 23) tan 1 24) ...
2n 1 n n n n
2
n n
บทที่ 8 ลําดับและอนุกรม หนา 172
9. แคลคูลัส 2
2. อนุกรม (Series)
บทนิยาม 8.2.1 ถา a , a , a ,..., a เปนลําดับจํากัดที่มี n พจน แลว
1 2 3 n a1 a2 a3 ... an
n
เปนอนุกรมจํากัด เขียนแทนดวย a หรือ S i n
i 1
ถา a , a , a ,..., a ,... เปนลําดับอนันต แลว
1 2 3 n a1 a2 a3 ... an ... เปน
อนุกรมอนันต เขียนแทนดวย a i
i 1
2.1 สัญลักษณแทนการบวก
จะใชอักษรกรีก (capital sigma) เปนสัญลักษณแทนการบวก ซึ่งมีสมบัตดังนี้
ิ
n
1. c cn เมื่อ c เปนคาคงตัว
i 1
n n
2. cai c ai
i 1 i 1
เมื่อ c เปนคาคงตัว
n n n
3. ai bi ai bi
i 1 i 1 i 1
n
n(n 1)
4. i 1 2 3 ... n
i 1 2
n
(n 1)(2n 1)
5. i 2 12 22 32 ... n 2
i 1 6
n(n 1)
n 2
6. i3 13 23 33 ... n3 2
i 1
ตัวอยาง 8.2.1 คาของ 1 3 3 5 5 7 ... 21 23 เทากับเทาใด
11 11
วิธีทํา 1 3 3 5 5 7 ... 21 23 = (2i 1)(2i 1)
i 1
= (4i
i 1
2
1)
11
11
(11 1)(22 1)
= 4 i 2 1 = 4 1(11)
i 1 i 1 6
= 2013
ตัวอยาง 8.2.2 คาของ 1 2 2 2 32 3 4 2 ... 19 20 2 เทากับเทาใด
19 19
วิธีทํา 1 2 2 3
2 2
3 4 2 ... 19 20 2 = i(i 1)2 =
i 1
(i
i 1
3
2i 2 i )
19 19 19
= i 3 2 i 2 i
i 1 i 1 i 1
19(19 1) (2 1)(2 2 1) 19(19 1)
2
=
2 2
6
2
= 36,100 + 4,940 + 190
= 41,230
บทที่ 8 ลําดับและอนุกรม หนา 173
10. แคลคูลัส 2
2.2 อนุกรมเลขคณิต
บทนิยาม 8.2.2 ถา a1 , a2 , a3 ,..., an เปนลําดับเลขคณิต ทีมีผลตางรวมเทากับ d แลวจะไดวา
่
n
Sn a1 an
2
n
หรือ S n 2a1 n 1 d
2
ตัวอยาง 8.2.3 คาของ 1 6 11 16 ... 101 เทากับเทาใด
วิธีทํา 1 6 11 16 ... 101 เปนอนุกรมเลขคณิตที่มี a 1 , 1 d 5 และ an 101
หาจํานวนพจนในอนุกรม จากสูตร a a (n 1)d n 1
แทนคา จะได 101 = 1 + (n – 1)(5)
n = 21
นั่นคือ อนุกรมนี้มี 21 พจน
n
จากสูตรผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต Sn a1 an
2
21
จะได 1 6 11 16 ... 101 = 1 101 = 1071
2
2.3 อนุกรมเรขาคณิต
บทนิยาม 8.2.3 ถา a , a , a ,..., a เปนลําดับเรขาคณิต ที่มีอัตราสวนรวมเทากับ
1 2 3 n r 1
a a r
แลวจะไดวา S , r 11 n
1 r
n
a1 (1 r n )
หรือ Sn , r 1
1 r
ตัวอยาง 8.2.4 คาของ 2 4 8 16 ... 2048 เทากับเทาใด
วิธีทํา 2 4 8 16 ... 2048 เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 2 , r 2 และ an 2048
หาจํานวนพจนในอนุกรม จากสูตร a a r n 1
n 1
แทนคา จะได 2048 = (2)(2) n1
2048 = 2 n
n = 11
นั่นคือ อนุกรมนี้มี 11 พจน
a1 an r
จากสูตรผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต Sn ; r 1
1 r
2 (2048)(2)
จะได 2 4 8 16 ... 2048 = = 4094
1 2
แบบฝกหัด 8.2 -
บทที่ 8 ลําดับและอนุกรม หนา 174
11. แคลคูลัส 2
3. การทดสอบการลูเขาหรือลูออกของอนุกรม
3.1 การทดสอบอนุกรมทั่วไป อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต
บทนิยาม 8.3.1 กําหนดลําดับของจํานวนจริง a , a , a ,... เรียก S a a a ... a วา
1 2 3 n 1 2 3 n
ผลบวกยอย (partial sum) n พจนแรกของอนุกรม และเรียกลําดับ S , S , S , ... 1 2 3
วาลําดับของผลบวกยอยของอนุกรม
ทฤษฎีบท 8.3.1 ถาลําดับ S เปนลําดับลูเขา และ lim S S แลวอนุกรมอนันตเปนอนุกรม
n
n
n
ลูเขา (convergent series) และเรียก S วาผลบวกของอนุกรม บางครั้งแทนดวย
สัญลักษณ S
ถาลําดับ S เปนลําดับลูออก นั่นคือ lim S ไมมคา แลวอนุกรมอนันตเปน
n ี n
n
อนุกรมลูออก (divergent series)
จากบทนิยามเกี่ยวกับอนุกรมลูเขาและอนุกรมลูออก จะไดวา
1. อนุกรมเลขคณิตเมื่อเปนอนุกรมอนันต :
ถาพจนท่วไปของลําดับเลขคณิตอยูในรูป a a (n 1)d จะไดวาอนุกรมนี้เปนอนุกรมลูออก
ั n 1
เสมอ ยกเวน a d 0 1
2. อนุกรมเรขาคณิตเมื่อเปนอนุกรมอนันต :
ถาพจนทั่วไปของอนุกรมเรขาคณิตอยูในรูป a a r จะไดวา n 1
n 1
- อนุกรมเรขาคณิตเปนอนุกรมลูออก เมื่อ r 1
- อนุกรมเรขาคณิตเปนอนุกรมลูเขา เมือ r 1 และหาผลบวกไดจากสูตร S a
่ 1
1 r
สมบัติที่สาคัญเกี่ยวกับอนุกรมลูเขาและอนุกรมลูออก เปนดังนี้
ํ
1. ถาอนุกรม a เปนอนุกรมลูเขา แลว lim a 0 แตถา lim a 0 แลวไมสามารถสรุป
n n n
n n
n 1
ไดวา a เปนอนุกรมลูเขา
n
n 1
2. ถา lim an 0
n
แลว a เปนอนุกรมลูออก n
n 1
3. ถา a และ b เปนอนุกรมลูเขา แลว a
n n n bn เปนอนุกรมลูเขา
n 1 n 1 n 1
4. ถา a เปนอนุกรมลูเขา แต b เปนอนุกรมลูออก แลว a
n n n bn เปนอนุกรมลูออก
n 1 n 1 n 1
5. ถา a และ b เปนอนุกรมลูออก แลว a
n n n bn อาจจะเปนอนุกรมลูเขาหรือ
n 1 n 1 n 1
อนุกรมลูออกก็ได
บทที่ 8 ลําดับและอนุกรม หนา 175
12. แคลคูลัส 2
ตัวอยาง 8.3.1 จงทดสอบอนุกรมตอไปนี้วาเปนอนุกรมลูเ ขาหรืออนุกรมลูออก ถาลูเขา จงหาผลบวก
n 1
1 n 2
1. 2. 3.
n 1 n n 1 n 1 n 1 3
n 1
5 2 2 2 2
4. 3 4
n 1
5.
1 3 9 27
... 6. 1 5 25 125 ...
วิธีทํา 1. จากอนุกรม 1 ให 1 1
S n จะไดวา lim S n lim 0
n n n
n
n 1 n
ดังนั้น อนุกรมดังกลาวเปนอนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับ 0
1
2. จากอนุกรม n ให S n จะไดวา lim S lim n lim 1
n 1 n 1 n 1
n n
n n n 1
n 1
1
n
ดังนั้น อนุกรมดังกลาวเปนอนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับ 1
n 1
3. จากอนุกรม 2 จะไดวา เปนอนุกรมเรขาคณิตอนันตที่มี
a1 1 และมี
3
n 1
2 2
r 1
3 3
a1 1 1
นั่นคือ ผลบวกของอนุกรมเทากับ S 3
1 r 1 2 1
3 3
ดังนั้น อนุกรมดังกลาวเปนอนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับ 3
n 1
4. จากอนุกรม 3 5 จะไดวา เปนอนุกรมเรขาคณิตอนันตที่มี
a1 3 และมี
4
n 1
5 5
r 1
4 4
ดังนั้น อนุกรมดังกลาวเปนอนุกรมลูออก
n 1
2 2 2 2 1
5. จากอนุกรม ...
1 3 9 27
เขียนในรูปสัญลักษณแทนการบวกได 2 3
n 1
1 1
จะไดวา เปนอนุกรมเรขาคณิตอนันตที่มี a1 2 และมี r 1
3 3
a1 2 2
นั่นคือ ผลบวกของอนุกรมเทากับ S 3
1 r 1 1 2
3 3
ดังนั้น อนุกรมดังกลาวเปนอนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับ 3
6. จากอนุกรม 1 5 25 125 ... เขียนในรูปสัญลักษณแทนการบวกได 5 n 1
n 1
จะไดวา เปนอนุกรมเรขาคณิตอนันตที่มี a 1 และมี r 5 5 1
1
ดังนั้น อนุกรมดังกลาวเปนอนุกรมลูออก
บทที่ 8 ลําดับและอนุกรม หนา 176
14. แคลคูลัส 2
3.3 การทดสอบแบบเปรียบเทียบ (Comparison Test)
ทฤษฎีบท 8.3.3 กําหนดอนุกรม a และ b โดยที่ a 0 และ b 0 สําหรับทุก
n n n n
n 1 n 1
n 1, 2, 3, ... จะไดวา
1. ถา b เปนอนุกรมลูเขา และ a b สําหรับทุก n แลว a จะเปน
n n n n
n 1 n 1
อนุกรมลูเขา
2. ถา b เปนอนุกรมลูออก และ
n an bn สําหรับทุก n แลว a จะเปน n
n 1 n 1
อนุกรมลูออก
ตัวอยาง 8.3.3 จงทดสอบอนุกรมตอไปนี้วาเปนอนุกรมลูเ ขาหรืออนุกรมลูออก
1 sin 2 n
1. n 1 n 1
2. n2 1
n 1
5
n 1
2
1 1 1 1
3. n 1 n3
4.
1 3 2 5 3 7 4 9
...
n 1 1 1
5. ln n
n 1
6. 1 ...
2! 3! 4!
1 1
วิธีทํา 1. เนื่องจาก สําหรับทุก n 2, 3, ...
n 1 n
และอนุกรม 1 เปนอนุกรมลูออก เพราะเปนอนุกรมพี ซึ่ง p
1
n 1 n 2
ดังนั้น อนุกรม 1 เปนอนุกรมลูออก
n 1 n 1
2. เนื่องจาก 1 sin n 1 สําหรับทุก n 1, 2, 3, ...
sin 2 n 1
ดังนั้น 0 sin 2 n 1 คูณดวย n2 1 ตลอด จะได 0 2 …(1)
n 1 n 1
2
1 1
เนื่องจาก 2 สําหรับทุก n 1, 2, 3, ... …(2)
n 1 n
2
sin 2 n 1 1
จาก (1) และ (2) จะได 2 2 สําหรับทุก n 1, 2, 3, ...
n 1 n 1 n
2
และอนุกรม 1 เปนอนุกรมลูเขา เพราะเปนอนุกรมพี ซึ่ง
2
p2
n n 1
2
ดังนั้น sin n เปนอนุกรมลูเขา
n 1n 1
2
บทที่ 8 ลําดับและอนุกรม หนา 178
15. แคลคูลัส 2
5 5
n 1 n
2
1 13
1 1
3. เนื่องจาก 3
3 3 3 สําหรับทุก n 1, 2, 3, ...
n n n n n n
และอนุกรม 1 เปนอนุกรมลูออก เพราะเปนอนุกรมพี ซึ่ง p 1
n 1 n 2
5
ดังนั้น อนุกรม n 1 เปนอนุกรมลูออก
2
n 1 n3
1 1 1 1
4. จาก ... จะเขียนในรูป ไดวา 1
1 3 2 5 3 7 4 9 n 1 n(2n 1)
เนื่องจาก 1 21 1 12 สําหรับทุก n 1, 2, 3, ...
n(2n 1) 2n n 2 n
และอนุกรม 12 เปนอนุกรมลูเขา เพราะเปนอนุกรมพี ซึ่ง p 2
n 1 n
ดังนั้น 1 1 1 1 ... เปนอนุกรมลูเขา
1 3 2 5 3 7 4 9
5. เนื่องจาก ln n n สําหรับทุก n 1, 2, 3, ...
ดังนั้น 1 1
ln n n
n n 1
ln n n n
และอนุกรม 1 เปนอนุกรมลูออก เพราะเปนอนุกรมพี ซึ่ง p 1
n 1 n
ดังนั้น อนุกรม n เปนอนุกรมลูออก
ln n
n 1
6. จาก 1 1 1 1 ... จะเขียนในรูป ไดวา 1
2! 3! 4! n! n 1
1 1 1 1
เนื่องจาก n 1 สําหรับทุก n 1, 2, 3, ...
n ! 1 2 3 ... n 1 2 2 ... 2 2
และอนุกรม 11 เปนอนุกรมลูเขา เพราะเปนอนุกรมเรขาคณิต ซึ่ง r 1
n
n 1 2 2
ดังนั้น 1 1 1 1 ... เปนอนุกรมลูเขา
2! 3! 4!
บทที่ 8 ลําดับและอนุกรม หนา 179
16. แคลคูลัส 2
3.4 การทดสอบแบบเปรียบเทียบลิมต (Limit comparison Test)
ิ
ทฤษฎีบท 8.3.4 กําหนดอนุกรม a และ b โดยที่ a 0 และ b 0 สําหรับทุก
n n n n
n 1 n 1
n 1, 2, 3, ... จะไดวา
a
1. ถา lim L 0 แลวอนุกรมทั้งสองจะเปนอนุกรมลูเขาทั้งคูหรือลูออกทั้งคู
n
n bn
a
2. ถา lim n 0
n b
และ b เปนอนุกรมลูเขาแลว a จะเปนอนุกรมลูเขา
n n
n n 1 n 1
a
3. ถา lim n
n b
และ b เปนอนุกรมลูออกแลว a จะเปนอนุกรมลูออก
n n
n n 1 n 1
ตัวอยาง 8.3.4 จงทดสอบอนุกรมตอไปนี้วาเปนอนุกรมลูเ ขาหรืออนุกรมลูออก
2n 3 5
n 2 4n 5
1. 4n5 1
n 1
2. n3 n 2
n 1
en 3n
3. 1 e
n 1
2n
4.
n 1 1 e
n
1
5. sin 2n
n 1
2
1
6. 2
n 1 n ln n
2n3 5 1
วิธีทํา 1. ให an และ bn
4n5 1 n2
2n3 5
จะไดวา lim an lim 4n1 1 lim 2n 5n 1 0
5 5 2
n b n n 4 n 5 1 2
n
n2
และ 12 เปนอนุกรมลูเขา เพราะเปนอนุกรมพีซึ่ง p 2 1
n 1 n
ดังนั้น อนุกรม 2n 5 5 เปนอนุกรมลูเขาดวย
3
n 1 4 n 1
n 2 4n 5 1
2. ให an และ bn
n3 n 2 n
n 4n 5
2
จะไดวา lim lim n 1n 2 lim n 4n 5n 1 0
3 2
an 3
n b
n
n n n3 n 2
n
และ 1 เปนอนุกรมลูออก เพราะเปนอนุกรมฮารโมนิค
n 1 n
ดังนั้น อนุกรม n 4n 5 เปนอนุกรมลูเขาดวย
2
n n2 n 1
3
บทที่ 8 ลําดับและอนุกรม หนา 180
