Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσεων. Επίλυση διαγώνιων και τριγωνικών συστημάτων.

1. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Γραμμική ΄Αλγεβρα
Γραμμικά Συστήματα
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
11 Οκτωβρίου 2013

2. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο γραμμικών
εξισώσεων:

3. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο γραμμικών
εξισώσεων:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

4. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο γραμμικών
εξισώσεων:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Λύση του συστήματος είναι μια λίστα
s1, ..., sn ∈ R
η οποία αποτελεί λύση όλων των m εξισώσεων ταυτόχρονα.

5. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύνολο γραμμικών
εξισώσεων:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Λύση του συστήματος είναι μια λίστα
s1, ..., sn ∈ R
η οποία αποτελεί λύση όλων των m εξισώσεων ταυτόχρονα.
Δηλαδή, όλες οι m εξισώσεις αληθεύουν όταν
x1 = s1, x2 = s2, ..., xn = sn.

6. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Η κρίσιμη πληροφορία βρίσκεται στα aij , bi .

7. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Η κρίσιμη πληροφορία βρίσκεται στα aij , bi .
΄Αρα τοποθέτησε όλους αυτούς τους αριθμούς σε έναν πίνακα
a11x1 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + . . . + amnxn = bm

8. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Η κρίσιμη πληροφορία βρίσκεται στα aij , bi .
΄Αρα τοποθέτησε όλους αυτούς τους αριθμούς σε έναν πίνακα
a11x1 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + . . . + amnxn = bm





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





m × n πίνακας συντελεστών

9. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Η κρίσιμη πληροφορία βρίσκεται στα aij , bi .
΄Αρα τοποθέτησε όλους αυτούς τους αριθμούς σε έναν πίνακα
a11x1 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + . . . + amnxn = bm





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn





m × n πίνακας συντελεστών





a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
...
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn bm





m × (n + 1) επαυξημένος
πίνακας

10. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Τετραγωνικά συστήματα
Στις επόμενες εβδομάδες θα
περιοριστούμε στην
περίπτωση m = n.

11. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Επίλυση Τετραγωνικού Συστήματος
Περίπτωση ai,j = 0, ∀i = j, i, j = 1, 2, . . . , n

12. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Επίλυση Τετραγωνικού Συστήματος
Περίπτωση ai,j = 0, ∀i = j, i, j = 1, 2, . . . , n
(διαγώνιο σύστημα)

13. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Επίλυση Τετραγωνικού Συστήματος
Περίπτωση ai,j = 0, ∀i = j, i, j = 1, 2, . . . , n
(διαγώνιο σύστημα)
xi = bi/ai,i, i = 1, 2, . . . , n

14. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Επίλυση Τετραγωνικού Συστήματος
Περίπτωση ai,j = 0, ∀i < j, i, j = 1, 2, . . . , n

15. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Επίλυση Τετραγωνικού Συστήματος
Περίπτωση ai,j = 0, ∀i < j, i, j = 1, 2, . . . , n (κάτω
τριγωνικό σύστημα)

16. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Επίλυση Τετραγωνικού Συστήματος
Περίπτωση ai,j = 0, ∀i < j, i, j = 1, 2, . . . , n (κάτω
τριγωνικό σύστημα)
xi =

bi −
i−1
j=1
ai,jxj

 /ai,i

17. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Επίλυση Τετραγωνικού Συστήματος
Περίπτωση ai,j = 0, ∀i > j, i, j = 1, 2, . . . , n

18. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Επίλυση Τετραγωνικού Συστήματος
Περίπτωση ai,j = 0, ∀i > j, i, j = 1, 2, . . . , n (άνω
τριγωνικό σύστημα)

19. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Επίλυση Τετραγωνικού Συστήματος
Περίπτωση ai,j = 0, ∀i > j, i, j = 1, 2, . . . , n (άνω
τριγωνικό σύστημα)
xi =

bi −
n
j=i+1
ai,jxj

 /ai,i

20. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης
Κάθε διαγώνιο ή τριγωνικό
σύστημα έχει λύση ανν
ai,i = 0 ∀i.

21. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
Εναλλάξουμε την σειρά
των εξισώσεων

22. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
Εναλλάξουμε την σειρά
των εξισώσεων
Πολλαπλασιάσουμε
κάποια εξίσωση με έναν
αριθμό c = 0

23. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
Εναλλάξουμε την σειρά
των εξισώσεων
Πολλαπλασιάσουμε
κάποια εξίσωση με έναν
αριθμό c = 0
Αντικαταστήσουμε μια
εξίσωση με τον εαυτό της
συν το πολλαπλάσιο μιας
άλλης εξίσωσης

24. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
Εναλλάξουμε την σειρά
των εξισώσεων
Πολλαπλασιάσουμε
κάποια εξίσωση με έναν
αριθμό c = 0
Αντικαταστήσουμε μια
εξίσωση με τον εαυτό της
συν το πολλαπλάσιο μιας
άλλης εξίσωσης
Πράξεις:
Ενάλλαξε την σειρά δύο
γραμμών (εναλλαγή)

25. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
Εναλλάξουμε την σειρά
των εξισώσεων
Πολλαπλασιάσουμε
κάποια εξίσωση με έναν
αριθμό c = 0
Αντικαταστήσουμε μια
εξίσωση με τον εαυτό της
συν το πολλαπλάσιο μιας
άλλης εξίσωσης
Πράξεις:
Ενάλλαξε την σειρά δύο
γραμμών (εναλλαγή)
Πολλαπλασιασμός μια
γραμμής με c = 0
(στάθμιση)

26. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
Εναλλάξουμε την σειρά
των εξισώσεων
Πολλαπλασιάσουμε
κάποια εξίσωση με έναν
αριθμό c = 0
Αντικαταστήσουμε μια
εξίσωση με τον εαυτό της
συν το πολλαπλάσιο μιας
άλλης εξίσωσης
Πράξεις:
Ενάλλαξε την σειρά δύο
γραμμών (εναλλαγή)
Πολλαπλασιασμός μια
γραμμής με c = 0
(στάθμιση)
Αντικατάσταση μια
γραμμλης με τον εαυτό
της συν το πολλαπλάσιο
μιας άλλης γραμμής
(Αντικατάσταση)

27. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων
παραμένει αναλοίωτο αν:
Εναλλάξουμε την σειρά
των εξισώσεων
Πολλαπλασιάσουμε
κάποια εξίσωση με έναν
αριθμό c = 0
Αντικαταστήσουμε μια
εξίσωση με τον εαυτό της
συν το πολλαπλάσιο μιας
άλλης εξίσωσης
Πράξεις:
Ενάλλαξε την σειρά δύο
γραμμών (εναλλαγή)
Πολλαπλασιασμός μια
γραμμής με c = 0
(στάθμιση)
Αντικατάσταση μια
γραμμλης με τον εαυτό
της συν το πολλαπλάσιο
μιας άλλης γραμμής
(Αντικατάσταση)
στόχος: Χρησιμοποίησε τις παραπάνω πράξεις για να
απλοποιήσεις το πρόβλημα.

28. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
1x1 + 2x2 = 3
2x1 + 1x2 = 3

29. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
1x1 + 2x2 = 3
2x1 + 1x2 = 3
Αφαίρεσε δύο φορές την 1η α-
πο την 2η:
1x1 + 2x2 = 3
−3x2 = −3

30. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
1x1 + 2x2 = 3
2x1 + 1x2 = 3
Αφαίρεσε δύο φορές την 1η α-
πο την 2η:
1x1 + 2x2 = 3
−3x2 = −3
Πρόσθεσε 2
3 της 2ης στην 1η:
1x1 = 1
−3x2 = −3

31. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
1x1 + 2x2 = 3
2x1 + 1x2 = 3
Αφαίρεσε δύο φορές την 1η α-
πο την 2η:
1x1 + 2x2 = 3
−3x2 = −3
Πρόσθεσε 2
3 της 2ης στην 1η:
1x1 = 1
−3x2 = −3
Πολλαπλασίασε την 2η με −1
3
x1 = 1
x2 = 1

32. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
1x1 + 2x2 = 3
2x1 + 1x2 = 3
Αφαίρεσε δύο φορές την 1η α-
πο την 2η:
1x1 + 2x2 = 3
−3x2 = −3
Πρόσθεσε 2
3 της 2ης στην 1η:
1x1 = 1
−3x2 = −3
Πολλαπλασίασε την 2η με −1
3
x1 = 1
x2 = 1
1 2 3
2 1 3

33. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
1x1 + 2x2 = 3
2x1 + 1x2 = 3
Αφαίρεσε δύο φορές την 1η α-
πο την 2η:
1x1 + 2x2 = 3
−3x2 = −3
Πρόσθεσε 2
3 της 2ης στην 1η:
1x1 = 1
−3x2 = −3
Πολλαπλασίασε την 2η με −1
3
x1 = 1
x2 = 1
1 2 3
2 1 3
1 2 3
0 −3 −3

34. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
1x1 + 2x2 = 3
2x1 + 1x2 = 3
Αφαίρεσε δύο φορές την 1η α-
πο την 2η:
1x1 + 2x2 = 3
−3x2 = −3
Πρόσθεσε 2
3 της 2ης στην 1η:
1x1 = 1
−3x2 = −3
Πολλαπλασίασε την 2η με −1
3
x1 = 1
x2 = 1
1 2 3
2 1 3
1 2 3
0 −3 −3
1 0 1
0 −3 −3
1 0 1
0 1 1

35. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Πρώτο βήμα:
Χρησιμοποίησε τον x1 άγνωστο [άνω αριστερά] για να
απαλοίψετε όλους τους x1 υπόλοιπους όρους [κάνε τα υπόλοιπα
στοιχεία της πρώτης στήλης 0]:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 : 2x1 − 4x2 − 3x3 = 8
L3 : −3x1 + 6x2 + 8x3 = −5

36. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Πρώτο βήμα:
Χρησιμοποίησε τον x1 άγνωστο [άνω αριστερά] για να
απαλοίψετε όλους τους x1 υπόλοιπους όρους [κάνε τα υπόλοιπα
στοιχεία της πρώτης στήλης 0]:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 : 2x1 − 4x2 − 3x3 = 8
L3 : −3x1 + 6x2 + 8x3 = −5
Αφαίρεσε 2× 1η απο την 2η
Πρόσθεσε 3× 1η στην 3η:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 − 2L1 : 2x2 + x3 = −4
3L1 + L3 : −3x2 + 2x3 = 13

37. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Πρώτο βήμα:
Χρησιμοποίησε τον x1 άγνωστο [άνω αριστερά] για να
απαλοίψετε όλους τους x1 υπόλοιπους όρους [κάνε τα υπόλοιπα
στοιχεία της πρώτης στήλης 0]:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 : 2x1 − 4x2 − 3x3 = 8
L3 : −3x1 + 6x2 + 8x3 = −5
Αφαίρεσε 2× 1η απο την 2η
Πρόσθεσε 3× 1η στην 3η:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 − 2L1 : 2x2 + x3 = −4
3L1 + L3 : −3x2 + 2x3 = 13


1 −3 −2 6
2 −4 −3 8
−3 6 8 −5



38. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Πρώτο βήμα:
Χρησιμοποίησε τον x1 άγνωστο [άνω αριστερά] για να
απαλοίψετε όλους τους x1 υπόλοιπους όρους [κάνε τα υπόλοιπα
στοιχεία της πρώτης στήλης 0]:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 : 2x1 − 4x2 − 3x3 = 8
L3 : −3x1 + 6x2 + 8x3 = −5
Αφαίρεσε 2× 1η απο την 2η
Πρόσθεσε 3× 1η στην 3η:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 − 2L1 : 2x2 + x3 = −4
3L1 + L3 : −3x2 + 2x3 = 13


1 −3 −2 6
2 −4 −3 8
−3 6 8 −5




1 −3 −2 6
0 2 1 −4
0 −3 2 13


Προχώρησε στο δεύτερο βήμα! - δεύτερη στήλη

39. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Δεύτερο βήμα:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 : 2x2 + x3 = −4
L3 : −3x2 + 2x3 = 13

40. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Δεύτερο βήμα:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 : 2x2 + x3 = −4
L3 : −3x2 + 2x3 = 13
Πρόσθεσε 3
2 × L2 στην L1 και
στην L3:
L1 +
3
2
L2 : x1 −
1
2
x3 = 0
L2 : 2x2 + x3 = −4
L3 +
3
2
L2 :
7
2
x3 = 7

41. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Δεύτερο βήμα:
L1 : x1 − 3x2 − 2x3 = 6
L2 : 2x2 + x3 = −4
L3 : −3x2 + 2x3 = 13
Πρόσθεσε 3
2 × L2 στην L1 και
στην L3:
L1 +
3
2
L2 : x1 −
1
2
x3 = 0
L2 : 2x2 + x3 = −4
L3 +
3
2
L2 :
7
2
x3 = 7


1 −3 −2 6
0 2 1 −4
0 −3 2 13




1 0 −1
2 0
0 2 1 −4
0 0 7
2 7


Πολ/σίασε την L3 με 2
7


1 0 −1
2 0
0 2 1 −4
0 0 1 2


Προχώρησε στο Τρίτο βήμα! - στην τρίτη στήλη

42. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Τρίτο βήμα:
L1 : x1 −
1
2
x3 = 0
L2 : 2x2 + x3 = −4
L3 : x3 = 2
Αφαίρεσε την L3 από την L2·
πρόσθεσε 1
2L3 στην L1:
L1 +
1
2
L3 : x1 = 1
L2 −
1
2
L3 : 2x2 = −6
L3 : x3 = 2

43. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Τρίτο βήμα:
L1 : x1 −
1
2
x3 = 0
L2 : 2x2 + x3 = −4
L3 : x3 = 2
Αφαίρεσε την L3 από την L2·
πρόσθεσε 1
2L3 στην L1:
L1 +
1
2
L3 : x1 = 1
L2 −
1
2
L3 : 2x2 = −6
L3 : x3 = 2


1 0 −1
2 0
0 2 1 −4
0 0 1 2




1 0 0 1
0 2 0 −6
0 0 1 2


Πολλαπλασίασε την L2 με
1
2


1 0 0 1
0 1 0 −3
0 0 1 2


Ορίστε η λύση: (x1, x2, x3) = (1, −3, 2)

44. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Θα υπάρξουν προβλήματα;
x1 + 2x2 = 3
x1 + 2x2 = 4

45. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Θα υπάρξουν προβλήματα;
x1 + 2x2 = 3
x1 + 2x2 = 4
Αφαίρεσε την L1 απο την L2:
x1 + 2x2 = 3
0= 1
ασυνέπεια
ΚΑΜΜ΄ΙΑ Λ΄ΥΣΗ

46. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Θα υπάρξουν προβλήματα;
x1 + 2x2 = 3
x1 + 2x2 = 4
Αφαίρεσε την L1 απο την L2:
x1 + 2x2 = 3
0= 1
ασυνέπεια
ΚΑΜΜ΄ΙΑ Λ΄ΥΣΗ
x1 + 2x2 = 3
2x1 + 4x2 = 6

47. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Θα υπάρξουν προβλήματα;
x1 + 2x2 = 3
x1 + 2x2 = 4
Αφαίρεσε την L1 απο την L2:
x1 + 2x2 = 3
0= 1
ασυνέπεια
ΚΑΜΜ΄ΙΑ Λ΄ΥΣΗ
x1 + 2x2 = 3
2x1 + 4x2 = 6
Αφαίρεσε 2L1 απο L2:
x1 + 2x2 = 3
0= 0
ασάφεια
΄ΑΠΕΙΡΕΣ Λ΄ΥΣΕΙΣ

48. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Σε ένα σύστημα με 3 μεταβλητές, μια εξίσωση καθορίζει ένα
επίπεδο στον R3.

49. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Σε ένα σύστημα με 3 μεταβλητές, μια εξίσωση καθορίζει ένα
επίπεδο στον R3.
Συνεπώς μια λύση είναι μια τομή 3 επιπέδων: P1, P2, P3:

50. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Σε ένα σύστημα με 3 μεταβλητές, μια εξίσωση καθορίζει ένα
επίπεδο στον R3.
Συνεπώς μια λύση είναι μια τομή 3 επιπέδων: P1, P2, P3:
P3
P2
P1P1 P3
P2
ασυνεπείς εξισώσεις (καμμία λύση)

51. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Σε ένα σύστημα με 3 μεταβλητές, μια εξίσωση καθορίζει ένα
επίπεδο στον R3.
Συνεπώς μια λύση είναι μια τομή 3 επιπέδων: P1, P2, P3:
P3
P2
P1P1 P3
P2
ασυνεπείς εξισώσεις (καμμία λύση)
μοναδική λύση ασάφεια

52. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Παραδείγματα Πιθανότητες
Ερώτηση
Πόσες λύσεις έχει το παρακάτω σύστημα
5x1 + 2x2 − 3x4 = 4
12x1 − 7x2 + 2x3 = 8
−3x1 + 4x2 + 5x3 = 10