【教師手冊Word檔】機械力學 II 內容介紹 1. 精選與該章節有關的知識進行補充說明，課堂補充更方便。 2. 提供課本隨堂練習、自我評量題目答案及難題解析，課後批改超輕鬆。

1. 第 9 章 張力與壓力 1
第 9 章 張力與壓力
一 相關知識補充
9－1 張應力、張應變、壓應力、壓應變及彈性係數
1. 內力：是指桿件承受外力作用時，所引起在桿件內相鄰部分間，分布力
系的合力，如圖 9－1 所示。
圖 9－1
由平衡方程式 Fx＝0 N－P＝0 ∴N＝P
式中，N 為桿件任一截面 m－m 上的內力，也與桿的軸線重合，即垂直
於橫截面，此種內力稱為軸力。
［註］
(1) 內力，代表物體系統間各物體相互作用力，若構件在外力作用下產生
變形，使內部各質點的相對位置發生變化，因此，各質點間相互平
衡所需的內力也將發生變化，即產生了附加內力（the associated
internal force），此力是阻止物體的變形抗力，並使物體能恢復原來

2. 2 第 9 章 張力與壓力
形狀和尺寸大小的趨向。
(2) 材料力學僅研究由外力作用所引起的附加內力，並簡稱為內力。
2. 軸力圖：以平行於桿件軸線的坐標，表示橫截面的位置，垂直於桿件軸
線的坐標，表示橫截面上軸力的數值，所獲得的關係圖線，稱為軸力圖，
習慣上將正值的軸力繪於上側；負值的軸力則在下側。
［例 1］如圖 9－2 所示，為桿件受力情形，試繪製其軸力圖。
圖 9－2
解：由平衡方程式先求各橫截面之軸力
AB 段：  Fx＝0 N1－50＝0
∴N1＝50（kN，張力）
BC 段：  Fx＝0 N2＋20－50＝0
∴N2＝30（kN，張力）
CD 段：  Fx＝0 －N3－20＝0
∴N3＝－20（kN，壓力）
軸力圖：
3. 強度：指承受負載的構件、對破壞的抵抗能力。
4. 剛度：指構件抵抗變形的能力。

3. 第 9 章 張力與壓力 3
9－3 應變的相互影響
三軸向應力作用時之應變，如圖 9－3 及表 9－1 所示。
（a） （b）
（c） （d）
圖 9－3
表 9－1 應變之相互影響
x y z
僅在 x 軸方向有應力x 作
用，如圖 9－3（b）
x
E
 x
E

－ x
E

－
僅在 y 軸方向有應力y 作
用，如圖 9－3（c）
y
E

－
y
E
 y
E

－
僅在 z 軸方向有應力z 作
用，如圖 9－3（d）
z
E

－ z
E

－ z
E

三軸向同時有應力x＋y
＋z 作用，如圖 9－3（a）
y zx
E E
    （ ）
－
y x z
E E
    （ ）
－
x yz
E E
    （ ）
－

4. 4 第 9 章 張力與壓力
9－5 體積應變與體積彈性係數
課本公式 9－14 推導
材料所承受的應力在比例限度內，則此應力與體積應變之比值稱為體積彈性係數
（elasticity modulus of volume），以 K 表示。即
K＝
v

＝
3
1 2
E


（ － ）
＝
E
3 1 2（ － ）
（公式 9－14）
二 隨 堂 練 習
9－1 張應力、張應變、壓應力、壓應變及彈性係數
（ C ）1. 一外徑為 70mm 的空心圓管，兩端承受 314kN 的壓力，已知材
料 的 容 許 壓 應 力 為 100MPa， 試 求 空 心 圓 管 的 最 大 內 徑 為
(A)20 (B)25 (C)30 (D)40 mm。
解： c 2 2
c o i
P 4P
A d d

 
＝ ＝
（ ）
100＝
3
22
i
4 314 10
3.14 70 d
 
（ － ）
di
2
＝900
∴di＝30（mm）
（ A ）2. 在正方形鑄鐵塊上施加 32kN 的壓力，其截面所生的壓應力為
20MPa，則此鑄鐵塊的邊長為 (A)40 (B)30 (C)26 (D)20
mm。
解：P＝32kN＝32000N
c 2
c
P P
A a
 ＝ ＝ ∴a＝
c
P 32000
1600 40
20
＝ ＝ ＝ （mm）

5. 第 9 章 張力與壓力 5
（ D ）3. 如圖 9－2 所示，AB 為一剛性桿，以一
鋼索 CD 支持，承受一負荷 P，若鋼索之
截 面 積 為 10mm2
， 容 許 拉 應 力 w ＝
200N/mm2
，則負荷之安全值為 (A)300
(B)360 (C)450 (D)600 N。
解：取 AB 桿為自由體圖，
＝ CDP
A
200＝ CDP
10
，∴PCD＝2000（N）
令MB＝0，P16－2000
3
5
8＝0 ∴P＝600（N）
（ B ）4. 有一金屬棒直徑 8mm，長度 50mm，受張力作用後，長度增長
到 60mm，其應變應為 (A)120 (B)0.2 (C)0.4 (D)0.6。
解：＝
－
＝
60 50
50
－
＝0.2
（ B ）5. 如圖 9－5 所示之 AB 及 BC 桿件，該桿件於 B 點及 C 點分別
承受 40kN 和 20kN 之作用力，各段材料的剖面積為 AAB＝
400mm2
，ABC＝200mm2
，下列敘述何者正確？ (A)AB 桿件
及 BC 桿件所受之軸向應力相等 (B)AB 桿件所受之軸向應力
較大 (C)BC 桿件所受之軸向應力較大 (D)AB 桿件與 BC 桿
件剖面積不同，無法比較。
圖 9－5
圖 9－2

6. 6 第 9 章 張力與壓力
解：各段受力情形如下
AAB＝400mm2
ABC＝200mm2
3
AB
AB
AB
P 60 10
σ 150 MPa
A 400

＝ ＝ ＝ （ ）
3
BC
BC
BC
P 20 10
σ 100 MPa
A 200

＝ ＝ ＝ （ ）
AB＞BC，故選(B)
（ B ）6. 長 3m，直徑 40mm 之軟鋼圓棒，受外力 P 之作用伸長 1.5mm，
若材料之彈性係數 E＝210GPa，則軸向應力為 (A)85 (B)105
(C)120 (D)175 MPa。
解：由＝
P
AE
＝
E

  ＝
E
＝
3
210 10 1.5
3000
 
＝105（MPa）
（ A ）7. 如圖 9－6 所示，均質水平桿 AB，懸掛在鋼棒 BD 及銅棒 AC 之
下，鋼棒之截面積為 160mm2
；銅棒之截面積為 200mm2
。若假
設水平桿之重量不計，且承受 12kN 之負荷後仍保持水平，而鋼
棒之彈性係數為 200GPa，銅棒之彈性係數為 100GPa，試求銅棒
之原長度為多少 mm？ (A)500 (B)550 (C)600 (D)650。
圖 9－6

7. 第 9 章 張力與壓力 7
解：MA＝0 PBD450－12300＝0 ∴PBD＝8（kN）
Fy＝0 PAC＋8－12＝0 ∴PAC＝4（kN）
又AC＝BD
 AC4
100 200


＝
8 400
200 160


∴ AC ＝500（mm）
（ B ）8. 在軟鋼之應力─應變圖中，其彈性變化曲線之斜率為 (A)
極限強度 (B) 彈性模數 (C) 剛性模數 (D) 應變能。
（ B ）9. 材料應力─應變曲線如圖 9－9
所 示 ， 下 列 敘 述 何 者 錯 誤 ？
(A) A 點之應力稱為比例限度
(B) E 點之應力稱為彈性限度
(C) B 點之應力稱為降伏強度
(D) D 點之應力稱為極限強度。
（ B ）10. 金屬材料的拉伸實驗中，下列哪個應力值以下是完全線彈性行
為？ (A)彈性限度 (B)比例限度 (C)降伏強度 (D)極限強度。
9－2 蒲松氏比
（ D ）11. 一圓形桿件長 1.5m，直徑 20mm，受到 78.5kN 的軸向拉力時，
長度增加 3mm，直徑減少 0.009mm，則 (A)軸向應力
＝25MPa (B)軸向應變 ＝0.00045 (C)蒲松氏比＝0.325
(D)彈性係數 E＝125GPa。
解：(1)＝
P
A
＝ 2
4P
d
＝
3
2
4 78.5 10
3.14 20
 

＝250（MPa）
(2) ＝

＝ 3
3
1.5 10
＝0.002
圖 9－9

8. 8 第 9 章 張力與壓力
(3)＝ t
＝
d
d


＝
3
0.009 1.5 10
20 3
 

＝0.225
(4)E＝

＝
250
0.002
＝125000（MPa）＝125（GPa）
（ C ）12. 截面為 25mm25mm 之正方形桿件長 2.5m，受到軸向拉力 P
＝90kN 後，其橫向變化量為若干？（已知彈性係數 E＝20GPa，
蒲松氏比＝0.3） (A)0.045 (B)－0.50 (C)－0.054
(D)－0.036 mm。
解：＝
P
AE
＝
90 2.5 1000
25 25 20
 
 
＝18（mm）
又 d ＝td＝（ － ）d＝－

d
＝－0.3
18
2500
25＝－0.054（mm 收縮量）
9－3 應變的相互影響
（ A ）13. 一薄鋼板受兩 正交 方向應力作用 ，如 x ＝200MPa，y ＝
80MPa，E＝210GPa，＝0.3，則該材料在 x 方向之應變為
(A)8.410
－4
(B)11.210
－4
(C)10.010
－4
(D)1.010
－4
。
解：x＝
x y
E
 
＝ 3
200 0.3 80
210 10


－
＝8.410
－4
（ C ）14. 承上題，若鋼板厚度 t＝5mm，則板厚的減少量z 為多少 mm？
(A)0.410
－3
(B)0.210
－3
(C)210
－3
(D)410
－3
。
解：z＝
x y
E
  （ ＋ ）
－ ＝ 3
0.3 200 80
210 10
（ ＋ ）
－ ＝－0.410
－3
∴z＝zt＝－0.410
－3
5＝－210
－3
（mm）
9－4 容許應力及安全因數

9. 第 9 章 張力與壓力 9
（ B ）15. 脆性材料以何者為標準來決定安全因數？ (A)降伏強度
(B)極限強度 (C)彈性強度 (D)比例強度。
（ C ）16. 一延性材料的降伏應力為y，容許應力為w，安全因數為 n，
則進行設計時，下列何者正確？ (A)n 須小於 1 (B)y＝ w
n

(C)w＝ y
n

(D)w 須大於y。
（ C ）17. 一圓柱形鑄鐵塊承受 157kN 之載重，其極限應力為 800MPa，
安全因數取 10，若欲安全承受此負荷，則此圓柱之直徑為若干？
(A)30 (B)40 (C)50 (D)60 mm。
解：w＝ u
n

＝
800
10
＝ 80（MPa）
又w＝
P
A
＝ 2
4P
d
d＝
w
4P

＝
3
4 157 10
3.14 80
 

＝50（mm）
9－5 體積應變與體積彈性係數
（ D ）18. 材料承受雙軸向應力如圖 9－17 所示，其中x＝－y，蒲松氏
比 為  ， 則 體 積 應 變 為 (A) x
1 2
2
E


＋
(B) x
1 2
2
E


－
(C) x
1 2
2
E


＋
－ (D)0。
圖 9－17

10. 10 第 9 章 張力與壓力
解：v＝
1 2
E
 －
（x＋y）＝
1 2
E
－
（－y＋y）＝0

11. 第 9 章 張力與壓力 11
（ C ）19. 邊長為 100mm 的立方塊，在外表面承受均勻的靜壓力 70MPa，
若材料之彈性係數為 210GPa，蒲松氏比＝0.3，則下列何者錯
誤？ (A)三軸向有相同之壓應力，x＝y＝z＝－70MPa (B)
體積應變v＝－0.410
－3
(C)體積彈性係數 K＝175MPa (D)
體積變化量為V＝－400mm3
。
解：(1) 由題中知三軸向有相同之壓應力
x＝y＝z＝－70（MPa）
(2) 體積應變v＝
3
E

（1－2）
＝ 3
3 70
210 10
（－ ）
（1－20.3）＝－0.410
－3
(3) 體積彈性係數 K＝
E
3 1 2 （ ）
＝
210
3 1 2 0.3 （ ）
＝175（GPa）
(4) 體積變化量V＝vV＝－0.410
－3
1003
＝－400（mm3
）
（ D ）20. 單位體積物體承受單一軸向應力時，其單位體積變化（體積應
變）為 (A)（1－） (B)（2－） (C)（1－3）
(D)（1－2）。（式中，為軸向應變，為蒲松氏比）

12. 12 第 9 章 張力與壓力
三 自 我 評 量
一、選擇題 題前標註＊，表示重要且常考的題目
9－1 張應力、張應變、壓應力、壓應變及彈性係數
（ D ）1. 有關彈性係數的敘述，下列何者錯誤？ (A)又稱為楊氏係數
(B)一般材料的拉伸彈性係數等於壓縮彈性係數 (C)彈性係數
的單位與應力的單位相同 (D)彈性係數愈大者，受力後愈容
易變形。
（ A ）2. 在一般結構鋼拉伸試驗中，若應力無明顯增加，但應變持續增
加，此時之應力稱為 (A)降伏應力 (B)比例極限 (C)極限應
力 (D)破壞應力。
（ D ）3. 依虎克定律，對桿件作拉伸試驗時，在比例限度內桿之伸長量
(A)與面積成正比，與桿長成反比 (B)與桿長成反比，與外力
成正比 (C)與彈性係數成正比，與外力成反比 (D)與桿長及
拉力成正比。
＊（ A ）4. 一長為 ，直徑為 d 的鋁合金圓棒。若此圓棒兩端同時承受 F
的軸向拉力，其彈性係數為 E，蒲松氏比為，則圓棒之總伸
長量為若干？ (A) 2
4F
d E
(B) 2
4FE
d
(C)
2
d E
4F

(D)
2
d
4FE

。
（ C ）5. 在延性材料之應力──應變圖中，應力與應變保持直線關係之
最大應力稱為 (A)極限應力 (B)降伏 應力 (C)比例限度
(D)破壞應力。
（ B ）6. 下列有關彈性係數 E 之敘述，何者錯誤？ (A)E 之單位和應力單
位相同 (B)E 之值為常數，不因材料之種類而改變 (C)一般拉
伸彈性係數等於壓縮彈性係數 (D)彈性係數 E 又稱楊氏係數。

13. 第 9 章 張力與壓力 13
＊（ A ）7. 圖（1）為軟鋼試驗棒之拉伸試驗應力──應變圖，下列敘述
何者為正確？ (A) A 點為比例限界，B 點為降伏強度 (B) C
點為降伏強度，E 點為極限強度 (C) C 點至 D 點發生頸縮現
象 (D) B 點至 C 點發生應變硬化現象。
＊（ A ）8. 圖（1）中，在何種範圍內材料具有完全彈性？
(A)OA (B)BC (C)CD (D)DE。
（ A ）9. 圖（1）中，在比例限度內若

應變（ ）
應力（ ）
值愈大，表示此材料 (A)
彈性係數愈小 (B)彈性係數愈大 (C)彈性限度愈小 (D)彈
性限度愈大。
（ D ）10. 有一長度為 ，斷面積為 A 之圓桿，受一軸向拉力 P，其伸長
量為，若彈性係數為 E，試問其應變為何？ (A)
P
A
(B)

(C)
P
AE
(D)
P
AE
。
（ C ）11. 直徑 d1：d2＝1：2 的階級桿，受到拉力 P 作用時，在各截面所
產生的應力1：2 為 (A)2：1 (B)1：2 (C)4：1 (D)1：4。
解：由＝
P
A
＝ 2
4P
d
知，與 d2
成反比
∴ 1
2


＝ 22
1
d
d
（ ）＝ 21
1
2d
d
（ ）＝
4
1
圖（1）

14. 14 第 9 章 張力與壓力
圖（3）
（ C ）12. 如圖（2）所示，2100N 垂直外力施於 C 點，BC 段為一繩索，
AC 段為一桿件，面積為 100mm2
，則 AC 桿件所承受之壓應
力為 (A)21 (B)28 (C)35 (D)42 MPa。
圖（2）
解：PAC＝
2100 5
3

＝3500（N）
∴AC＝ ACP
A
＝
3500
100
＝35（MPa）
（ D ）13. 如上題所示，若 AC 桿之彈性係數為 210GPa，則桿件之縮短量
為若干 mm？ (A)0.2 (B)0.3 (C)0.4 (D)0.5。
解： AC ＝ 2 2
2.4 1.8＋ ＝3（m）＝3000（mm）
E＝210GPa＝210103
（N/mm2
）
∴AC＝ AC ACP
AE

＝ 3
3500 3000
100 210 10

 
＝0.5（mm）
（ C ）14. 如圖（3）所示，在水平桿
CBD 的端點 D 處，承受一
負荷 P，如垂直桿 AB 之截
面積為 500mm2
，其所生之
應力為 20MPa，試求此負
荷 P 為
(A)3750 (B)5850 (C)6250

15. 第 9 章 張力與壓力 15
圖（4）
(D)7250 N。
解：AB＝ AByT
A
∴TABy＝ABA
＝20500
＝10000（N）
MC＝0 100001.5－P2.4＝0
∴P＝6250（N）
（ D ）15. 如圖（4）所示，設鋼線之截面積為 5mm2
，
容許應力為 14.14MPa，則其所能承受之最大
載重 P 為若干 N？ (A)53.5 (B)62.5
(C)70.7 (D)87.5。
解：由Fx＝0 BC AC
4 1
P P 0
5 2
－ ＝
PAC＝1.13PBC
∴PAC＝A＝14.145＝70.7（N）
又
P 70.7
3 4 4 2
＝
＋
∴P＝87.5（N）
（ A ）16. 一拉桿長度為 2m，受一軸向拉力作用後，軸向伸長 0.5mm，
試 求 此 桿 之 軸 向 應 變 為 若 干 ？ (A)0.00025 (B)0.0005
(C)0.025 (D)0.05。
解： ＝

＝
0.5
2 1000
＝0.00025
（ A ）17. 一截面積為 A，長度為 之均質桿件，彈性係數為 E，若桿的
一端固定而下垂，則此桿因自身重量 W 所生之伸長量為
(A)
W
2AE
(B)
W
AE
(C)
WA
E
(D)
WE
A
。

16. 16 第 9 章 張力與壓力
（ B ）18. 一圓形桿件直徑為 50mm，長度 5m，若受 10kN 拉力時伸長量
為 1.6mm，若改用直徑為 40mm 之桿件，則伸長量為多少 mm？
(A)5 (B)2.5 (C)10 (D)3.2。
解：由 ＝
P
AE
＝ 2
4P
D E
知與 D2
成反比
即 2
1


＝
2
1
2
2
D
D
2
1.6

＝
2
2
50
40
∴2＝2.5（mm）
＊（ B ）19. 如圖（5）所示已知 P1＝10kN，
P2 ＝ 20kN ， E ＝ 60GPa ， a ＝
0.4m，b＝0.3m，A＝0.02m2
。
試 求 桿 的 總 變 形 量 （ 1GPa ＝
1109
N/m2
，1kN＝1103
N）
(A)0.83106
(B)－0.83106
(C)0.83105
(D)－0.83105
m。
解：A＝0.02m2
E＝60GPa＝60109
N/m2
a＝0.4m b＝0.3m
各段受力情形如下：
總變形量＝b－a
＝
3
9
10 10 0.3
0.02 60 10
 
 
－
3
9
10 10 0.4
0.02 60 10
 
 
＝－0.83106
（m）
圖（5）

17. 第 9 章 張力與壓力 17
（ D ）20. 一端固定之均勻圓桿，材料直徑為 D，長度為 L，受拉力 P 作
用時，材料伸長量為：若相同材料，直徑為 2D，長度為 2L，
受 拉 力 P 作 用 時 ， 其 伸 長 量 應 為 (A)4 (B)2 (C)
(D)0.5。
解：∵＝
PL
AE
＝ 2
4PL
D E
∴1＝ 2
4P 2L
2D E
（ ）
（ ）
＝ 2
2 4PL
4 D E


＝0.5
＊（ A ）21. 如圖 （6） 所示 為鋼 桿受 力 情
形，若面積為 500mm2
，彈性係
數 E＝200GPa，其長度總變化
量為 (A)－5.9101
(B)－5.9102
(C)－5.9103
(D)5.9104
mm。
解：各段受力情形如下：
AB 段：
BC 段：
CD 段：
總變化量＝1＋2＋3
＝－ 1 1 2 2 3 3P P P
AE
＋ ＋
＝－
80 300 50 300 100 200
500 200
  

＋ ＋
＝－5.9101
（mm）
圖（6）

18. 18 第 9 章 張力與壓力
（ B ）22. 如上題所示，AB 段之軸向應力為 (A)200 (B)160 (C)100
(D)60 MPa。
解：AB＝ ABP
A
＝
3
80 10
500

＝160（MPa）
（ A ）23. 一長為 300mm 均質金屬桿之橫斷面，面積為 500mm2
，受拉力
50kN 後伸長量為 0.5mm，求該桿之彈性模數為何？ (A)60
(B)50 (C)40 (D)30 GPa。
解：E＝
P
A
＝
50 300
500 0.5


＝60（GPa）
（ C ）24. 如圖（7）所示，一鋼桿受到單一軸向拉力 P 作用，此鋼桿由
兩段長度相等但斷面不同的圓柱鋼桿組成。已知 AB 段的斷面
積是 BC 段斷面積的兩倍，若將此兩段圓柱鋼桿長度各減半，
在受到相同的單一軸向拉力作用下，則其軸向的總變形量與原
先總變形量的比值是多少？ (A)1 (B)0.75 (C)0.5 (D)0.25。
圖（7）
解：依題意：AAB＝2ABC，則原先總變形量
＝AB＋BC＝
AB
PL
A E
＋
BC
PL
A E
＝
BC
3PL
2A E
長度減半後之總變形量
'＝AB＋BC＝
AB
L
P
2
A E
（ ）
＋
BC
L
P
2
A E
（ ）
＝
BC
L
3P
2
2A E
（ ）
故
'

＝
L
2
L
＝0.5

19. 第 9 章 張力與壓力 19
9-2 蒲松氏比
＊（ C ）25. 一圓桿的長度為 100mm，直徑為 10mm，已知圓桿材料的蒲松
氏比為 0.25，若此圓桿受拉力而伸長 0.1mm，則其直徑將收縮
多少 mm？ (A)0.025 (B)0.01 (C)0.0025 (D)0.001。
解：＝
d
d


0.25＝
d 100
10 0.1
 

∴Δd＝0.0025（mm）
＊（ D ）26. 蒲松氏比理論之最大值為 (A)0.2 (B)0.3 (C)0.4 (D)0.5。
9-3 應變的相互影響
＊（ C ）27. 如圖（8）所示，元素受力後，若為蒲
松氏比，則其在 x 方向上的應變為
(A) yx
E E

＋ (B) y x
E E
 
＋
(C)
yx
E E

－ (D)
y x
E E
 
  。
＊（ C ）28. 一圓柱材料受單軸向載重，設蒲松氏比＝0.3，軸向壓應變為
0.5% ， 則 體 積 應 變 為 若 干 ？ (A)0.2 (B)0.02 (C)0.002
(D)0.0002。
解：v＝ （1－2）＝0.005（1－20.3）＝0.002
9-4 容許應力及安全因數
＊（ A ）29. 利用一鋼索懸吊一重量為 5kN 的物體，此鋼索之極限強度為
800MPa，若安全係數為 4，試求鋼索之斷面積應為若干 mm2
？
(A)25 (B)50 (C)75 (D)100。
解：w＝ y
n

＝
800
4
＝200（MPa）
又 A＝
w
P

＝
5000
200
＝25（mm2
）
圖（8）

20. 20 第 9 章 張力與壓力
9-5 體積應變與體積彈性係數
＊（ D ）30. 某一材料之蒲松氏比為 0.3，設在線性彈性限度內，則體積彈
性係數（K）與彈性係數（E）之關係式為 (A) K＝
1
6
E
(B) K＝
2
6
E (C) K＝
4
6
E (D) K＝
5
6
E。
解：K＝
E
3 1 2（－ ）
＝
E
3 1 2 0.3（－ ）
＝
E
1.2
＝
5
6
E
二、填充題
9-1 張應力、張應變、壓應力、壓應變及彈性係數
1. 材料力學主要研究材料承受外力作用後，內部所誘生的 應力 與 變
形 之關係。
2. 一般作用於材料上之外力有 張力 、 壓力 、 剪力 、 彎曲 及
扭轉 等五種。
3. 材料單位長度所產生的變形量，稱為 應變 。
4. 依虎克定律於拉伸試驗時，材料之伸長量與 外力、桿件長度 成正比，
與 截面積、彈性係數 成反比。
5. 促使材料失去彈性時之最大限度，稱為 彈性限度 。
6. 材料在比例限度內，彈性體之應力與應變成正比，稱為 虎克定律 。
其比值為一常數，此常數稱為材料之 彈性係數 。
9-2 蒲松氏比
＊7. 在比例限度內，橫應變與縱應變之比值稱為 蒲松氏比 ，其最大值不
得超過 0.5 。
9-4 容許應力及安全因數
8. 材料在彈性限度內，破壞應力與容許應力之比值，稱為 安全因數 ，
其值必大於 1。

21. 第 9 章 張力與壓力 21
9-5 體積應變與體積彈性係數
＊9. 各軸向均承受相同應力之材料，其體積應變為長度應變之 三 倍。
＊10. 材料之彈性係數（E）、蒲松氏比（）與體積彈性係數（K）三者之關係
式為
E
K
3 1 2
＝
（ － ）
。
三、計算題
9-1 張應力、張應變、壓應力、壓應變及彈性係數
1. 如圖（1）所示繩索及支柱裝置，如負荷 P＝20kN，繩索之
截面積為 500mm2
，支柱之長度為 5m，截面積為 1000mm2
，
若繩索及支柱之重量不計，試求支柱所承受之壓應力約若干
MPa？
解： ABP
1
＝
20
2
∴PAB＝10 2 kN＝10 2 103
（N）
AB＝ AB
AB
P
A
＝
3
10 2 10
1000

＝10 2
＝14.14（MPa）
＊2. 若以同大小之拉力作用於同尺寸之鋼棒及銅棒，其伸長量之比為 8：15，
鋼之楊氏係數 ES＝210GPa 時，則銅之楊氏係數 EC 為何？若鋼棒及銅棒
都產生 84MPa 之張應力時，其應變各為何？
解：由 ＝
P
AE
知  與 E 成反比，且 ES＝210GPa＝210103
N/mm2
C
S
E
E
＝ S
C


＝
8
15
∴EC＝ 38
210 10
15
  ＝112103
（N/mm2
）
圖（1）

22. 22 第 9 章 張力與壓力
又 S＝ S
SE

＝ 3
84
210 10
＝4104
C＝ C
CE

＝ 3
84
112 10
＝7.5104
＊3. 如 圖 （ 2 ） 所 示 之 構 件 ， 承 受 一 拉 力 P ＝
47100N，若其彈性係數為 60GPa，試求其伸長
量為若干 mm？
解：先求各段之伸長量，再求其和
1＝ 1
1
P
A E
＝ 1
2
1
4P
D E
＝ 2 3
4 47100 500
100 60 10
 
  
＝0.05（mm）
2＝ 2
2
P
A E
＝ 2
2
2
4P
D E
＝ 2 3
4 47100 500
50 60 10
 
  
＝0.2（mm）
故總伸長量＝1＋2＝0.05＋0.2＝0.25（mm）
4. 如圖（3）所示，將一截面積 AS＝80mm2
之鋼螺栓（ES＝210GPa），裝在一截面
積 A ＝ 160mm2
之 銅 管 中 （ E ＝
105GPa），當螺帽鎖緊後，此時兩者內
部均無應力產生，若再將螺帽多轉
1
4
圈，試求螺栓及銅管之作用力為若干（螺
距為 2mm）？
解：螺栓受拉力，銅管受壓力，兩者間之作用力由平衡關係
可知：PS＝－PC＝P
又 S＋C＝
1
4
2（螺距為 2mm） S
S S
P
A E
＋ C
C C
P
A E
＝0.5（mm）
3
P 500
80 210 10

 
＋ 3
P 500
160 105 10

 
＝0.5 ∴P＝8400（N）
圖（2）
圖（3）

23. 第 9 章 張力與壓力 23
＊5. 如圖（4）所示之均質水平桿 AB，長度為 5m，
兩端分別以長 3m 之黃銅索及 2m 之鋁索繫
之，水平桿本身重量不計，且承受 4kN 之負荷
後仍保持水平；已知鋁之彈性係數為 70GPa，
截 面 積 為 200mm2
， 而 黃 銅 之 彈 性 係 數 為
105GPa，試求黃銅索之截面積為何？
解：MA＝0 RB5－42＝0 ∴RB＝1.6（kN）
Fy＝0 RA＋1.6－4＝0 ∴RA＝2.4（kN）
又 A＝B

C
2.4 3 1000
A 105
 

＝
1.6 2 1000
200 70
 

∴AC＝300（mm2
）
＊6. 如圖（5）所示為鋼桿之受力情
形，AC 段之斷面積為 400mm2
，
CD 段為 200mm2
，若彈性係數 E
＝200GPa，則 AB 段之應變為若
干？（註：1GPa＝1kN/mm2
）
解：AB 段之受力為
P 400 300
δ 1.5
AE 400 200


＝ ＝ ＝ （mm）
故
δ 1.5
0.005
300
＝ ＝ ＝
圖（4）
圖（5）

24. 24 第 9 章 張力與壓力
9-2 蒲松氏比
7. 長 2m，外徑 220mm，壁厚 10mm 的超強鋼管有如一短柱，承載一中心軸
向拉力 1570kN。已知彈性係數 E＝200GPa，蒲松氏比＝0.3，則管壁厚
度的變化量為若干？
解：do＝220mm di＝do－2t＝220－210＝200（mm）
P＝1570kN E＝200GPa ＝0.3 t＝10mm
＝
P
A
＝ 2 2
o i
4P
d d（ － ）
＝ 2 2
4 1570
220 200

（ － ）
＝
5
21
（kN/mm2
）
又 t＝tt＝ t － ＝－
E

t
＝－0.3
5
21
200
10＝－0.0036（mm）
8. 直徑 100mm 的圓鋼棒，承受軸向張力 P 的作用，直徑縮小 0.02mm，已
知彈性係數 E＝210GPa、蒲松氏比為 0.3，試求 P 之值為何？
解：＝ t
∴ ＝ t

＝
d
d


＝
0.02
100 0.3
＝
1
1500
又 E＝

＝
P
A
P＝ EA ＝210
4

1002

1
1500
＝350（kN）
9-3 應變的相互影響
9. 如圖（6）所示，一材料受三軸向應力作用後，
x＝z＝－5105
、y＝－20105
，x＝z＝
－25MPa，y＝－50MPa，試求材料之彈性係數
及蒲松氏比各為若干？
圖（6）

25. 第 9 章 張力與壓力 25
解：x＝ x y z
E
   － （ ＋ ）
－5105
＝
25 50 25
E
－ － （－ － ）
＝
25 75
E
－ ＋
……
y＝ y x z
E
   － （ ＋ ）
－20105
＝
50 25 25
E
－ － （－ － ）
＝
50 50
E
－ ＋
……
得
1
4
＝
25 75
50 50


－ ＋
－ ＋
∴＝
1
5
……
代入得－5105
＝
1
25 75
5
E
－ ＋
∴E＝2105
（MPa）＝200（GPa）
9-4 容許應力及安全因數
＊10. 有一鑄鐵製圓管，其外徑為 100mm，內徑為 80mm，鑄鐵材料之抗壓極
限強度為 250MPa，若此圓管受到壓縮負荷作用，而安全因數取 2.5，則
此圓管之最大容許負荷為多少 kN？
解：n＝ u
w


2.5＝
w
250

∴w＝100（MPa）
又 w＝
P
A
＝ 2 2
o i
4P
d d（ － ）
100＝ 2 2
4P
100 80（ － ）
∴P＝90103
（N）＝90（kN）

26. 26 第 9 章 張力與壓力
11. 有一機械之各元件，受拉力後之容許應力分別為元件 1 是 60MPa，元件
2 是 80MPa，元件 3 是 120MPa，若各元件材料之降伏應力皆為 240MPa，
則該機械之安全因數為多少？哪個元件最安全？
解：安全因數＝
破壞應力
容許應力
∴元件 1：n1＝ y
1


＝
240
60
＝4
元件 2：n2＝ y
2


＝
240
80
＝3
元件 3：n3＝ y
3


＝
240
120
＝2
故該機械之安全因數為 2，以元件 1 為最安全
9-5 體積應變與體積彈性係數
12. 有一邊長 100mm 正方體鋼塊，受到均勻分布之液壓 14MPa 作用，若蒲
松氏比為 0.25，彈性係數為 210GPa，試求體積之變化量為何？
解：v＝
3
E

（1－2）
＝ 3
3 14 1 2 0.25
210 10


（－ ）（ － ）
＝－1104
又 V＝vV＝－1104
1003
＝－100（mm3
）