104學年度四技二專統一入學測驗－數學

1. 104-1104 年統測數學（C）
單選題（每題 4 分，共 100 分）
( ) 1.已知a 、b 為實數，若不等式 2
x ax b  之解為 5 3x   ，則a b 
(A) 17 (B) 13 (C)13 (D)17 。
( ) 2.下列方程式所對應的圖形中，何者恆在 x 軸的上方？
(A) 2
5 3 1y x x   (B) 2
3 5 1y x x   (C) 2
5 3y x x  
(D) 2
3 5y x x   。
( ) 3.已知33位遊客在科學教育館參觀，他們的年齡及人數分布如表。若這群遊客
年齡的中位數為32歲，則這群遊客中哪個年齡的人數最多？
(A)8 (B)12 (C)54 (D)60 。
年齡（歲） 8 12 32 54 60 62
人數（人） 7 a 1 b 5 1
( ) 4.若二元一次方程組
2 3 4
3 4 5
x y
x y
  

 
的解為 x a 、 y b ，則a b 
(A)
23
17

(B)
21
17

(C)
21
17
(D)
23
17
。
( ) 5.將 4 3 3
( 3 2 5)( 2)( 3)x x x x x     乘開化簡後， 3
x 項的係數為何？
(A) 5 (B) 3 (C)3 (D)5。
( ) 6.已知
3 1
sin
2


 ，則
sin sin
1 cos 1 cos
 
 
 
 
(A)2( 3 1) (B)4( 3 1) (C)2( 3 1) (D)4( 3 1) 。
( ) 7.若
1
sin
3
  ，則 2 2cos2 
(A)
1
3
(B)
2
3
(C)
2
3
(D)
2 2
3
。
( ) 8.已知平面上四點坐標為 (57,23)A 、 (7, 2)B  、 (5,12)C 、 ( , )D x y 。若向量
7 3
4 4
AD AB AC  ，則 x y 
(A) 4 (B) 2 (C)2 (D)4 。
總 分
104 學年度四技二專統一入學測驗
數學(C)

2. 104-2 104 年統測數學（C）
( ) 9.已知 1i   且a 、b 為實數，若  (2 ) 15 5i a bi i    ，則a b 
(A)4 (B)6 (C)8 (D)10。
( ) 10.從1﹐2 ﹐3 ﹐4 ﹐5 ﹐6 ﹐7 ﹐8 這八個數字中，任取3 個相異數字，若每個
數字被取中的機會均相等，則取出之3個數字中，最大的數字大於6 的機率為
何？
(A)
5
14
(B)
5
12
(C)
7
12
(D)
9
14
。
( ) 11.若在聯立不等式
2 0
3 7
4 0
x y
x y
x y
 

 
  
的條件下，目標函數 ( , ) 2 3 2f x y x y   的最大值
為M ，最小值為m ，則M m 
(A) 5 (B) 3 (C)3 (D)5。
( ) 12.求
0
2 2
lim
h
h h
h
  

(A)
1
4
(B)
2
4
(C)
1
2
(D)
2
2
。
( ) 13.求
3
3
(1 2 )(1 2 )x x dx

  
(A) 66 (B) 33 (C)33 (D)66 。
( ) 14.已知m 、n 為整數，若 500 500log 5 log 2 1m n  ，則m n 
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10。
( ) 15.今有人欲測一山的高度，當此人在此山的正東方一點
A，測得山頂C 的仰角為45，又當他在山的南60西
方向一點B，測得山頂C 的仰角為60，如圖所示。若
A 、B 兩點相距500公尺，則此山高h 為多少公尺？
(A)
500
3
3
(B)
500
21
7
(C)
500
21
3
(D)500 3 。
( ) 16.已知 ( ,1)P a 、 ( 1, )Q b 為平面上兩點。若 P 為直線 :3 4 2L x y  上一點，且
直線PQ 與直線L 垂直，則a b 
(A)7 (B)9 (C)11 (D)13。
( ) 17.已知a、b、c、d 為實數，若 3 2 3 2
2 5 3 ( 1) ( 1) ( 1)x x x a x b x c x d          ，
則abcd 
(A) 20 (B) 10 (C)10 (D)20 。

3. 104-3104 年統測數學（C）
( ) 18.已知四個正數a、b 、c、d 為一等比數列，若 20a b  ， 65a b c d    ，
則a 
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 。
( ) 19.橢圓 2 2
25 16 100 32 284 0x y x y     之兩焦點在哪兩個象限？
(A)一、二 (B)二、三 (C)三、四 (D)一、四。
( ) 20.已知a 、b 為實數，若過函數 2
( )f x ax bx  圖形上一點 (1,5)P 的切線斜率為
3，則 (2)f  
(A) 3 (B) 1 (C)1 (D)3。
( ) 21.由
2
1
2 2
x
y x    ， 1y  和 0x  所圍成的區域，
如圖陰影部分，則此區域面積可由下列何式求得？
(A)
2
1
0
1
( )
2 2
x
x dx  
(B)
2
1
0
1
( )
2 2
x
x dx 
(C)
2
1
0
1
( )
2 2
x
x dx  
(D)
2
1
0
1
( )
2 2
x
x dx  。
( ) 22.若行列式
1 1 1
2 2 2
3 3 3
2
a b c
a b c
a b c
 ，則
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
2
2
2
a c a b c
a c a b c
a c a b c
 
  
 
(A) 4 (B) 2 (C)2 (D)4 。
( ) 23.已知a 、b 為實數，且3 5a
 ，5 9b
 ，則ab 
(A) 15log 45 (B) 3log 5 (C)2 (D)3。
( ) 24.已知三角形的三邊長分別為3公分、3公分、4 公分，則此三角形之外接圓半
徑為何？
(A)
2 5
5
(B)
3 5
5
(C)
7 5
10
(D)
9 5
10
。
( ) 25.將6 顆相同紅球分給三個人且全部分完，若每人至少分到一顆紅球，則共有多
少種分法？
(A)6 (B)10 (C)20 (D)27 。

4. 104-4 104 年統測數學（C）
104 年統一入學測驗 數學(C)
1.
不等式( )( ) 0x x    的解為 x   ，
其中 
5 3x  
 [ ( 5)]( 3) 0x x   
 ( 5)( 3) 0x x  
 2
2 15 0x x  
 2
2 15x x 
上式與 2
x ax b  作比較，
則 2a  ， 15b 
故 2 15 17a b   
2.
當 0a  時，
2
y ax bx c   為開口向上的拋物線，
令 2
4D b ac  ，則其圖形
(1) 0D  ：與 x 軸有2 個交點
(2) 0D  ：與 x 軸有1個交點
(3) 0D  ：與 x 軸沒有交點
∵ 四個選項的 2
x 項係數均為正數
∴ 皆為開口向上的拋物線
(A) 2
( 3) 4 5 1 11 0      
(B) 2
5 4 3 ( 1) 37 0     
(C) 2
( 5) 4 1 3 13 0     
(D) 2
1 4 3 ( 5) 61 0     
故選項(A)的圖形恆在 x 軸的上方
3.
設n 個數： 1 2 3 nx x x x    ，
(1) 若n 為奇數，
則其中位數 1
2
nMe x 
(2) 若n 為偶數，
則其中位數
1
2 2
1
( )
2
n nMe x x

 
有33位遊客且其年齡的中位數為32 歲
∵ 32 歲的遊客只有1位，
而
33 1
16
2


∴ 小（大）於32 歲的遊客均有16 位
即7 16a   9a 
5 1 16b     10b 
故54 歲的人數最多
1.D 2.A 3.C 4.A 5.C 6.C 7.C 8.A 9.B 10.D
11.B 12.D 13.A 14.A 15.B 16.A 17.C 18.D 19.D 20.B
21.D 22.B 23.C 24.D 25.B

5. 104-5104 年統測數學（C）
4.
利用加減消去法解二元一次方程組
2 3 4
3 4 5
x y
x y
  

 
3 ：6 9 12x y  
2 ：6 8 10x y 
 ：17 22y   
22
17
y  
22
17
y   代回 ：
22
2 3 ( ) 4
17
x      
1
17
x  
則
1
17
a   ，
22
17
b   ，
故
1 22 23
( )
17 17 17
a b      
5.
多項式的乘法：
運用乘法的分配律展開，其中兩項相乘時，
係數相乘，次數相加
如： n m n m
ax bx abx 
 
4 3 3
( 3 2 5)( 2)( 3)x x x x x    
3
x 項 3
3 ( 2) 3x     3
( 5) 3x  
3 3 3
18 15 3x x x  
故 3
x 項的係數為3
6.
三角恆等式：
2 2
sin cos 1  
 2 2
1 cos sin  
所求
1 1
sin ( )
1 cos 1 cos

 
  
 
( 1 c o s ) ( 1 c o s )
s i n
( 1 c o s ) ( 1 c o s )
 

 
  
 
 
2
2
s i n
1 c o s


 

2
2 2 2
s i n
s i ns i n 3 1
2


   

4 4 ( 3 1 )
3 1 ( 3 1 ) ( 3 1 )

 
  
4 ( 3 1 )
2 ( 3 1 )
2

  
7.
餘弦的二倍角公式：
2 2
cos2 cos sin   
2
2cos 1 
2
1 2sin  
2
cos2 1 2sin  
21 7
1 2 ( )
3 9
   
所求
7 4 2
2 2
9 9 3
    

6. 104-6 104 年統測數學（C）
8. 〈法一〉
設 1 1( , )P x y 、 2 2( , )Q x y ，
則 2 1 2 1( , )PQ x x y y  
( 57, 23)AD x y  
(7 57, 2 23) ( 50, 25)AB       
(5 57,12 23) ( 52, 11)AC      
7 3
4 4
AD AB AC 
7 3
( 50, 25) ( 52, 11)
4 4
     
350 175 156 33
( , ) ( , )
4 4 4 4
   
 
97 71
( , )
2 2
  
由 與 ：
則
97
57
2
x    
17
2
x 
71
23
2
y    
25
2
y  
故
17 25
( ) 4
2 2
x y     
〈法二〉
設 1 1( , )P x y 、 2 2( , )Q x y ，
則 2 1 2 1( , )PQ x x y y   ，
即： PQ Q P 
7 3
4 4
AD AB AC 
4
 4 7 3AD AB AC 
 4( ) 7( ) 3( )D A B A C A    
 4 7 3 7(7, 2) 3(5,12)D B C    
(49, 14) (15,36) (34, 50)    
4

17 25
( , )
2 2
D   
17
2
x  ，
25
2
y  
故
17 25
( ) 4
2 2
x y     
9.
(1) 複數的除法：
( )( )
( )( )
a bi a bi c di
c di c di c di
  

  
2 2
( ) ( )ac bd bc ad i
c d
  


其中 2 2
0c d 
(2) 複數的相等：
設a 、b 、c 、d 均為實數，
若a bi c di   ，
則a c 且b d
(2 )( ) 15 5i a bi i   

15 5 5(3 )
2 2
i i
a bi
i i
 
  
 
5(3 )(2 )
(2 )(2 )
i i
i i
 

 
2
2 2
5(6 3 2 )
2 1
i i i  


5(7 )
7
5
i
i

  
則 7a  ， 1b   ，故 7 ( 1) 6a b    
10. 〈法一〉
(1) 分類討論
(2)
( )
( )
( )
n A
P A
n S

設任取3 個相異數字的樣本空間為 S
最大數字為7 的事件為 A
最大數字為8 的事件為 B
則 8
3
8 7 6
( ) 56
3!
n S C
 
  
6
2
6 5
( ) 15
2!
n A C

  
7
2
7 6
( ) 21
2
n B C

  
所求
15 21 9
( ) ( )
56 56 14
P A P B    

7. 104-7104 年統測數學（C）
〈法二〉
(1)
( )
( )
( )
n A
P A
n S

(2) ( ) 1 ( )P A P A  
設任取3 個相異數字的樣本空間為 S
而3 個數字 6 的事件為 A
8
3
8 7 6
( ) 56
3!
n S C
 
  
6
3
6 5 4
( ) 20
3!
n A C
 
  
( ) 20 5
( )
( ) 56 14
n A
P A
n S
  
所求 (3 6)P 個數字中，最大的數
1 ( 3 6 )P  個數字中，最大的數
1 ( 3 6 )P  個數字
5 9
1 ( ) 1
14 14
P A    
11.
線性規劃的步驟：
(1) 圖解聯立不等式
(2) 求出可行解區域的頂點
(3) 目標函數的最大（小）值會發生在頂點
聯立不等式的圖解如下：
其頂點為(0,0) 、(4,1) 、(1,2) ，
而 (0,0) 2 0 3 0 2 2f       
(4,1) 2 4 3 1 2 3f      
(1,2) 2 1 3 2 2 6f       
則 ( , )f x y 的最大值 3M  ，最小值 6m  
故 3 ( 6) 3M m     
12.
極限lim ( )
x a
f x

的求法：
若 x a 代入 ( )f x ，出現
0
0
的情形，則可以用
因式分解、合併或有理化來約掉使分母為0 的
公因式，再以 x a 代入來求極限值
所求
0
( 2 2 )( 2 2 )
lim
( 2 2 )h
h h h h
h h h
     

  
2 2
0
( 2 ) ( 2 )
lim
( 2 2 )h
h h
h h h
  

  
0
2
l i m
( 2 2 )h
h
h h h

  
0
2 2
lim
2 2 2 0 2 0h
h h
 
     
2 2
22 2
 
13.
(1) 11
1
n n
x dx x c
n

 
 ，其中 1n  
(2) 若 ( ) ( )F x f x  ，則
( ) ( ) ( ) ( )
b b
aa
f x dx F x F b F a  
所求
3
2 2
3
[1 (2 ) ]x dx

 
3
2
3
( 1 4 )x d x

 
3
2 1
3
1
( 4 )
2 1
x x 

  

3
3
3
4
( )
3
x x

 
3 34 4
(3 3 ) [( 3) ( 3) ]
3 3
       
( 3 3 ) 3 3 6 6    

8. 104-8 104 年統測數學（C）
14.
設a 、 x 、 y 皆大於0 ，且 1a  ，則
(1) log log n
a an x x
(2) log log log ( )a a ax y xy 
(3) log loga ax y  x y
(4) x y
a a  x y
1
2
500 500 500 500log 5 log 2 log 5 log (2 )m n
m n  
2 2
500 500 500log 5 log 2 log (5 2 )
n n
m m
   
而 3 2
500 5001 log 500 log (5 2 )   ，
則 3 22
5 2 5 2
n
m
    3m  ， 4n 
故 3 4 7m n   
15.
餘弦定理：
2 2 2
2 cosc a b ab   
設山的底部為O 點，山高 3h x （公尺）
在 OAC 之中， 3OA x
在 OBC 之中，OB x
∵ A 點在山的正東方且 B 點在山的南60 西
∴ 150AOB  
在 OAB 之中，由餘弦定理可知：
2 2 2
500 ( 3 ) 2 3x x x x      cos150
2 2 2
3 2 3x x x   
3
( )
2

2 2 2 2
3 3 7x x x x   

2
2 500
7
x 

500 500
7
77
x  
故山高 3h x
500
3 7
7
 
500
21
7
 （公尺）
16.
(1) 設 1 1( , )P x y 、 2 2( , )Q x y ，
則直線 PQ 的斜率 1 2
1 2
PQ
y y
m
x x



(2) 直線 0ax by c   （ 0b  ）的斜率
a
m
b
 
(3) 兩直線互相垂直，若斜率皆存在，則其斜
率乘積為 1
∵ ( ,1)P a 為 :3 4 2L x y  上一點
∴ 3 4 1 2a   
 2a  ，則 (2,1)P
直線 PQ 的斜率
1 1
2 ( 1) 3
PQ
b b
m
 
 
 
直線 L 的斜率
3 3
4 4
m   

∵ PQ L
∴ 1PQm m  

1 3
1
3 4
b
  
 5b 
故 2 5 7a b   

9. 104-9104 年統測數學（C）
17.
利用綜合除法
由綜合除法：
2 1 5 3 1
2 1 4
2 1 4 1 d
2 3
2 3 1 c 
2
2
a
5
b

故 2 ( 5) ( 1) 1 10abcd       
18.
在公比為r 的等比數列 na  之中， 1
1
n
na a r 

設等比數列的公比為r （ 0r  ）
則b ar ， 2
c ar ， 3
d ar
20a b   20a ar 
 (1 ) 20a r 
a b 65c d    20 65c d  
 45c d 
 2 3
45ar ar 
 2
(1 ) 45ar r 
：
2
(1 ) 45
(1 ) 20
ar r
a r



 2 9
4
r 

3
2
r   （負不合）
3
2
r  代回 ：
3
(1 ) 20
2
a    8a 
19.
(1) 橢圓一般式配方成標準式
(2)
2 2
2 2
( ) ( )
1
x h y k
b a
 
  （ 0a b  ）
為上下型橢圓，若 2 2 2
a b c  ，
則焦點為( , )h k c
把橢圓方程式配方成標準式：
25 2
( 4x x  4 )  16 2
( 2y y  1 )
284  25 4  16 1
 2 2
25( 2) 16( 1) 400x y   
400

2 2
( 2) ( 1)
1
16 25
x y 
 
這是一個上下型的橢圓，其中心為(2, 1)
2
25a  ， 2
16b 
而 2 2 2
a b c   2
25 16 c   3c 
橢圓的焦點為(2, 1 3) (2,2)   、(2, 4)
故其焦點分別在第一、四象限
20.
( )f x 在 x a 的切線斜率為 ( )f a
∵ 點 (1,5)P 在 ( )f x 的圖形上
∴ 2
(1) 1 1 5f a b a b      
( ) 2f x a x b  
∵ ( )f x 的圖形上一點 (1,5)P 的切線斜率為3
∴ (1) 2 1 2 3f a b a b      
 ： 2a  
2a   代回 ： 2 5b    7b 
則 ( ) 2 ( 2) 7 4 7f x x x        
故 (2) 4 2 7 1f       

10. 104-10 104 年統測數學（C）
( 1)  2
21.
在區間[ , ]a b 上，若 ( ) ( )f x g x ，
則 A 的面積 [ ( ) ( )]
b
a
f x g x dx 
2
1
2 2
x
y x    與 1y  的交點坐標為(1,1)
在區間[0,1]上，
所求面積
2
1
0
1
[1 ( )]
2 2
x
x dx    
2
1
0
1
( )
2 2
x
x dx  
22.
行列式的性質：
(1) 行列式可以把某一行（列）的k 倍加到另一
行（列），其值不變
(2) 行列式任兩行（列）可以互換，其值變號
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2
2 2
2 2
a c a b c a c b c
a c a b c a c b c
a c a b c a c b c
  
   
  
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
2
a c b a b c
a c b a b c
a c b a b c
    
23.
對數的定義與運算：
設a 、b 、 0c  ，且 1a  ，則
(1) x
a b  loga b x
(2) log log loga b ab c c  ，其中 1b 
由對數的定義：
3 5a
  3log 5 a
5 9b
  5log 9 b
則 3 5 3log 5 log 9 log 9 2ab    
24.
(1) ABC 的面積 ( )( )( )s s a s b s c    ，
其中
1
( )
2
s a b c  
(2) 若 ABC 的外接圓半徑為 R ，
則 ABC 的面積
4
abc
R

設外接圓的半徑為 R ，
1
(3 3 4) 5
2
s    
ABC 的面積 5(5 3)(5 3)(5 4) 2 5    
又 ABC 的面積
3 3 4 9
4R R
 
 
則
9
2 5
R
 
9 9 5
102 5
R  
25.
重複組合：
(1) 1n n k
k kH C  

(2) n 個人去分k 個相同東西的方法有 n
kH 種
每一個人先給一顆紅球，
再將剩下的三顆紅球任意分給三人，
則方法數為 3 3 3 1 5
3 3 3
5 4 3
= =10
3!
H C C   
  種

11. 104-11104 年統測數學（B）
104 年統測數學 C 試卷的難易度與 103 年相差無幾，預估 104 年
的滿分人數可能有機會超越 103 年（註：103 年有 1050 位滿分，這是
歷年來最多人數的紀錄）。對於考生來說，大部分試題的類型應該都有
見過。所以，只要擁有基本的熟悉度，這次數學應該可以很容易地獲取不錯的分數。這
次試題的冊次分布如下：第一、二冊各占 28％，第三冊占 24％，第四冊只占 20％。另
外，二次曲線只占 4％，而且統測已經連續兩年未出現關於圓的試題。
本年度試卷的其他特色如下：
1. 不好算的基本題：第 4、8 題都是基本題，但是複雜的數字也在考驗學生的耐心。
2. 很多的考古題：第 1、4、8、11、13、16、17、20、21 題，若與前幾年統測 B、C
卷的題目做對照，會有似曾相識的感覺。
3. 空間三角測量：第 15 題通常會讓考生感到棘手，所幸試卷有提供圖形，大部分的考
生有機會找到地面三角形的邊長關係，再用餘弦定理就可以解出來了，此題頗具鑑
別度。
綜合上述，104 年試卷對於全體考生的得分都是有利的，但是中、高程度的考生表
現將不會有很明顯的差別。由於題目連續兩年都是呈現基本、簡單的風格，而且 104 年
的考古題特別多，因此考生在考前若有練習歷屆試題，再加上謹慎答題，應該都會有很
好的表現。
單元名稱 題數 單元名稱 題數
直線方程式 2 數列與級數 1
三角函數及其應用 4 指數與對數及其運算 2
向 量 1 排列組合 1
式的運算 2 機率與統計 2
方程式 2 二次曲線 1
複 數 1 微積分及其應用 4
不等式及其應用 2
總 分104 年數學(C)

12. 104-12 104 年統測數學（B）
單選題（每題 4 分，共 100 分）
( ) 1.若通過 (1,1)A 和 (3, )B k 兩點的直線其斜率為3，則k 
(A)3 (B)5 (C)7 (D)9。
( ) 2.若 sin45a  、 tan45b  、 sec45c  ，則 2 2 2
a b c  
(A)3 (B)
7
2
(C)4 (D)
9
2
。
( ) 3.已知向量 (1,2)a  與向量 (2,3)b  ，若3 2 ( , )a b r s  ，則 2s r 
(A) 2 (B) 1 (C)2 (D)3。
( ) 4.已知k 為實數，若向量 (1, 1)a k  與向量 (2 ,3)b k 的內積為18，則k 
(A) 1 (B)1 (C)3 (D)5。
( ) 5.甲、乙、丙三人至速食店用餐。若該速食店僅提供三種套餐，且甲、乙、丙
每人皆點一套餐，則此三人會有多少種點餐方式？
(A)6 (B)9 (C)18 (D)27 。
( ) 6.已知一等差數列之第3項為8 ，第7 項為20 ，則該等差數列之第32項為何？
(A)93 (B)95 (C)96 (D)98。
( ) 7.已知小華就讀學校之學期成績是以四次段考的分數分別依序乘以 20% 、
20%、30%及30%後再加總計算。若小華前三次段考的分數分別依序為60 、
54、51，則小華的第四次段考分數至少需幾分才能使他的學期成績達到60 分
（含）以上？
(A)69 (B)71 (C)73 (D)75。
( ) 8.若一組數值為12、17 、24 、7 、10、4 、27 ，則其中位數為何？
(A)12 (B)17 (C)24 (D)27 。
( ) 9.下列何者可為不等式 2
2 2log log (4 3)x x  的解？
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 。
( ) 10.下列何者與不等式 2
6 16 0x x   有完全相同的解？
(A)( 2)( 8) 0x x   (B) 3 5 3x    (C) 2
( 3) 25x  
(D) 2
6 16 0x x    。
104 學年度四技二專統一入學測驗
數學(B)

13. 104-13104 年統測數學（B）
( ) 11.一位遊客在平地上測得某大樓頂端的仰角為30，他朝該大樓的方向直走了d
公尺後，再測一次，得到仰角為45。若該大樓高度為300公尺，則d 
(A)300( 3 2) (B)300( 2 1) (C)
300 2
2
(D)300( 3 1) 。
( ) 12.若小蕙穿紅色衣服參加晚會的機率是0.4，小玲穿紅色衣服參加晚會的機率是
0.5，且她們對衣服顏色的選擇互相獨立，則她們兩人同時參加晚會時，兩人
中恰有一人穿紅色衣服的機率為何？
(A)0.4 (B)0.5 (C)0.9 (D)1。
( ) 13.函數 3 2
( ) 2 2 3f x x x   在 1x  之導數為何？
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 。
( ) 14.若 ( )f x 為一個二次多項式，且 (0) 2f  、 (2) 0f  、 (3) 4f   ，則下列何者
為 ( )f x 的因式？
(A) 1x  (B) 2x  (C) 3x  (D) 4x  。
( ) 15.若 2
9 0x x k   的兩根為連續的整數，則 2
9 1 0kx x   的兩根和為何？
(A)
3
10
(B)
7
20
(C)
2
5
(D)
9
20
。
( ) 16.三階行列式
1 2 3
2 2 3
3 3 4



之值為何？
(A) 2 (B) 1 (C)1 (D)2 。
( ) 17.若想要利用一條繩子圍出一個面積至少為25 平方公尺的矩形花園，則所需要
的繩子總長度至少須為多少公尺？
(A)12 (B)16 (C)20 (D)24 。
( ) 18.給定一分式
2
2 2
1 6
1 6 9
x x x
x x x
  

  
。若已知該分式化成最簡分式為
2
2
2
ax bx c
dx x e
 
 
，
其中 3, 1,1x    ，則a b c d e    
(A) 2 (B)0 (C)2 (D)4 。
( ) 19.若 0x  且
1
3x
x
  ，則
1
x
x
 
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5。
( ) 20.若0 90   且
1
sin
3
  ，則2sin cos  
(A)
2
6
(B)
4 2
9
(C)
2
3
(D)
2 2
3
。

14. 104-14 104 年統測數學（B）
( ) 21.若拋物線 2
2 4 8 0x y y    的頂點為( , )a b ，則 2a b 
(A)8 (B)9 (C)10 (D)11。
( ) 22.若圓 2 2
: 2 2 4C x kx y y    的半徑為 3 ，且圓心 ( , )a b 在第一象限，則
a b 
(A)3 (B)5 (C)6 (D)8 。
( ) 23.某大賣場一天共有早班、中班、晚班三個值班時段，而每一值班時段皆需二
人值班。若某天要安排六名員工值班且每人恰值班一次，則共有多少種排班
方式？
(A)45 (B)60 (C)75 (D)90。
( ) 24.曲線 2
( ) 3 2 1y f x x x    在 1x  、 3x  之間與 x 軸所圍成之區域的面積為
何？
(A)12 (B)18 (C)24 (D)36。
( ) 25.已知 ,a b 為實數，若
2 6 8
2
x y
ax by
  

 
與
3 5 4
2 ( ) 6
x y
ax a b y
  

  
有相同的解，則
2
( )a b 
(A)9 (B)16 (C)25 (D)36。

15. 104-15104 年統測數學（B）
104 年統一入學測驗 數學(B)
1.
直線上兩點 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y ，則
2 1
2 1
y y
m
x x



即為直線斜率
通過 (1,1)A 和 (3, )B k 兩點的直線斜率為
1
3
3 1
k
m

 

 1 6k  
∴ 7k 
2.
(1) 三角函數基本定義：
sin
a
c
 
tan
a
b
 
sec
c
b
 
(2) 45 特別角之三邊比例：
1 : 1 : 2
根據三角函數定義知：
1
sin45
2
a   
tan45 1b   
sec45 2c   
∴ 2 2 2 1 7
1 2
2 2
a b c     
3.
(1) 向量係數積：
( , )a x y  ( , )r a rx ry
(2) 向量加減法：
1 1( , )a x y ， 2 2( , )b x y
 1 2 1 2( , )a b x x y y   
(3) 向量相等：
1 1( , )a x y ， 2 2( , )b x y ，
若 a b  1 2x x ， 1 2y y
已知 (1,2)a  ， (2,3)b 
則3 2 3(1,2) 2(2,3)a b  
(3,6) (4,6) 
( 1,0) ( , )r s  
 1r   ， 0s 
∴ 2 0 2 ( 1) 2s r     
4.
坐標表示法的向量內積運算：
1 1( , )a x y ， 2 2( , )b x y
 1 2 1 2a b x x y y  
1.C 2.B 3.C 4.C 5.D 6.B 7.C 8.A 9.B 10.C
11.D 12.B 13.B 14.A 15.D 16.B 17.C 18.C 19.D 20.B
21.A 22.A 23.D 24.D 25.A

16. 104-16 104 年統測數學（B）
已知 (1, 1)a k  ， (2 ,3)b k
 1 2 ( 1) 3 18a b k k      
 2 3 3 18k k    5 15k 
∴ 3k 
5.
重複排列：從m 種不同事物中任選n 件，可重
複選取之方法數為 n
m
甲、乙、丙三人，每人皆有3 種套餐可選擇
故方法數為 3
3 3 3 3 27   
6.
等差數列一般項： ( )n ma a n m d  
已知 3 8a  ， 7 20a 
 7 3 (7 3)a a d   
 20 8 4d   3d 
∴ 32 7 (32 7)a a d   
20 25 3 20 75 95     
7.
分數加權平均數
( )

分數 權數 之所有加總
總權數
=( )分數 所占比例 之所有加總
設第四次段考分數為 x 分，則
60 20% 54 20% 51 30% 30% 60x       
 1200 1080 1530 30 6000x   
 30 2190x 
 73x 
故小華至少需考73分以上
8.
奇數筆資料 1x 、 2x 、…、 nx （ n 為奇數）之
中位數為 1
2
nx 
將數值由小到大排成一列，得
1
4
x
、
2
7
x
、
3
10
x
、
4
12
x
、
5
17
x
、
6
24
x
、
7
27
x
共7 筆資料，其中位數為 7 1 4
2
12x x  
9.
當 1a  時， logay x 為遞增函數，
即 1 2log loga ax x  1 2x x
已知 2
2 2log log (4 3)x x 
真數 0

2
0
4 3 0
x
x
 

 

0
3
4
x x
x
 



，
得
3
4
x 
底數 2 1 
遞增函數，去底數大小方向不變
2
2 2log log (4 3)x x 
 2
4 3x x 
 2
4 3 0x x  
 ( 1)( 3) 0x x  
 1 3x 
由取交集得1 3x 
故選項(B)正確
10.
(1) ( )( ) 0x x    之解為
x  
(2) ( )( ) 0x x    之解為
x  
(3) ( )( ) 0x x    之解為
x  或 x 
(4) ( )( ) 0x x    之解為
x  或 x 

17. 104-17104 年統測數學（B）
2
6 16 0x x  
 ( 8)( 2) 0x x  
 2 8x  
(A) ( 2)( 8) 0x x    8 2x  
(B) 3 5 3x     2 8x 
(C) 2
( 3) 25x  
 5 3 5x   
 2 8x  
(D) 2
6 16 0x x   
 2
6 16 0x x  
 ( 8)( 2) 0x x  
 2x   或 8x 
故選項(C)正確
11.
(1) 將中文敘述化成數學圖形（三角測量能力）
(2) 30及45 特別角之三邊比例關係：
令遊客在 A 點測大樓仰角30
且在 B 點測大樓仰角45
依題意繪製圖形如右：
則 : 1 300 : 1BC 
 300BC 
且 : 3 300 : 1AC 
 300 3AC 
∴ 300 3 300d AB AC BC    
300( 3 1)  （公尺）
12.
A 、 B 為獨立事件
 ( ) ( ) ( )P A B P A P B  
設小蕙穿紅衣參加晚會機率為 ( )P A
則小蕙不穿紅衣參加晚會機率為 ( )P A
設小玲穿紅衣參加晚會機率為 ( )P B
則小玲不穿紅衣參加晚會機率為 ( )P B
∵ A 、 B 為獨立事件，則
A 、 B 及 A 、 B 及 A 、 B 皆互為獨立事件
∴ ( )P 恰一人紅色衣服
( ) ( )P A B P A B    
( ) ( ) ( ) ( )P A P B P A P B    
0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 5   
0 . 2 0 . 3 0 . 5  
13.
多項式函數的導函數：設實係數多項式函數
1 2
1 2 1 0( ) n n
n nf x a x a x a x a x a
     
（n 為正整數或0 ），則其導函數為
1 2
1 2 1( ) ( 1) 2n n
n nf x na x n a x a x a 

      
3 2
( ) 2 2 3f x x x    2
( ) 6 4f x x x  
∴ ( )f x 在 1x  之導數 (1) 6 4 2f    
14.
因式定理：
x a 為多項式 ( )f x 之因式  ( ) 0f a 
∵ (2) 0f 
∴ 2x  為 ( )f x 之因式
又deg ( ) 2f x 
則令 ( ) ( )( 2)f x ax b x  
已知 (0) 2f   (0 )(0 2) 2b  
 1b  
又 (3) 4f    (3 )(3 2) 4a b   
 (3 1) 1 4a      3 1 4a   
 3 3a    1a  
∴ ( ) ( 1)( 2) ( 1)( 2)f x x x x x       
有 1x  及 2x  兩個一次因式

18. 104-18 104 年統測數學（B）
15.
根與係數的關係：
若 、 為方程式 2
0ax bx c   之兩根，則
b
a
    ，
c
a
 
令兩根為a 、 1a  （ a 為整數）
由根與係數的關係知：
( 1) 9
( 1)
a a
a a k
  

  
由得2 1 9a    4a 
代入得 4 5 k   20k 
∴ 2
9 1 0kx x   即為 2
20 9 1 0x x  
 兩根和為
9 9
20 20

 
16.
三階行列式：
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 3 2 2 1 3a b c a b c a bc a b c a b c a bc     
所求 1 ( 2) 4 ( 2) 3 3 3 2 ( 3)           
3 ( 2) 3 ( 2) 2 4 1 3 ( 3)           
8 1 8 1 8 1 8 1 6 9      
1 
17.
算幾不等式：
0a  ， 0b  ，則
2
a b
ab


令矩形花園長 x 公尺，寬 y 公尺
（ 0x  ， 0y  ）
繩子總長 矩形周長 2 2x y 
面積 25xy 
利用算幾不等式

2 2
(2 ) (2 )
2
x y
x y

 
4 4 2 5 1 0xy   
 2 2 2 10 20x y   
18.
(1) 熟練一元二次多項式的因式分解
(2) 了解分式的化簡
(3) 分式相等的概念
2
2 2
1 6
1 6 9
x x x
x x x
  

  
2
1 ( 3)( 2)
( 1)( 1) ( 3)
x x x
x x x
  
 
  
1 2
1 3
x
x x

 
 
2 2
2 2 2
3 3 2 2 5
2 3 2 3 2 3
x x x x x
x x x x x x
    
  
     

2 2
2 2
2 5
2 3 2
x x ax bx c
x x dx x e
   

   
∵ 分母的2x 相同
則比較係數得
1a  ， 2b   ， 5c  ， 1d  ， 3e  
∴ 1 ( 2) 5 1 ( 3) 2a b c d e           
19.
(1) 乘法公式： 2 2 2
( ) 2a b a ab b   
(2) a 、b 互為倒數  1ab 
1
3x
x
 
兩邊平方，得 2 21
( ) ( 3)x
x
 
 2 21 1
( ) 2 ( ) ( ) ( ) 3x x
x x
    

1
2 3x
x
   
1
5x
x
 

19. 104-19104 年統測數學（B）
20.
已知三角函數任一值，藉由畫圖
求出另外五個三角函數值
sin
a
c
  ，cos
b
c
 
已知0 90   且
1
sin
3
 
作圖如右：
得 2 2
3 1 8 2 2x    

2 2
cos
3
 
∴
1 2 2 4 2
2sin cos 2
3 3 9
     
21.
(1) 配方法
(2) 利用配方法將拋物線一般式化為標準式
2
( ) 4 ( )y k c x h   ，進而求頂點( , )h k
2
2 4 8 0x y y     2
2 4 8y y x   
 2
2( 2 ) 8y y x   
 2
2( 1) 8 2y x    
 2
2( 1) 10y x   
 2
2( 1) ( 10)y x   
 2 1
( 1) ( 10)
2
y x   
故頂點為(10, 1) ( , )a b 
 10a  ， 1b  
∴ 2 10 2 ( 1) 8a b     
22.
(1) 圓標準式 2 2 2
( ) ( )x a y b r    ，其中
( , )a b 為圓心，r 為半徑
(2) 利用配方法將圓的一般式整理為標準式
2 2
2 2 4x kx y y   
 2 2 2 2
( ) ( 1) 4 1x k y k     
 2 2 2
( ) ( 1) 5x k y k     （ 2
5 0k   ，恆
為圓方程式）
已知 2 2 2
3 5r k  
 2
4k   2k  
當 2k  ，圓心 ( ,1) (2,1)k  在第一象限
當 2k   ，圓心 ( ,1) ( 2,1)k   在第二象限
依題意知圓心 (2,1) ( , )a b 
 2a  ， 1b 
∴ 3a b 
23.
熟練組合 n
mC 的計算規則：
!
! !( )!
n
n m
m
P n
C
m m n m
 

( 1) ( 1)
( 1) 2 1
n n n m
m m
     

    
每一時段皆選2 人，且此2 人不需排列（組合）
∴ 所求 6 4 2
2 2 2
6 5 4 3 2 1
2! 2! 2!
C C C
  
     
15 6 1 90    （種）
24.
設 ( )f x 為閉區間[ , ]a b 上的連續函數，當函數
( ) 0f x  時， ( )y f x 的圖形及 x 軸與 x a 、
x b 所圍成的區域面積為 ( )
b
a
A f x dx 
2 2 2
( ) 3 2 1 3( ) 1
3
y f x x x x x      
2 21 1 1 2
3( ) 1 3( )
3 3 3 3
x x      
∴ 頂點為
1 2
( , )
3 3
 ，且 (0) 1f  及開口向上

20. 104-20 104 年統測數學（B）
示意圖如下：
∴ 所求
3
2
1
(3 2 1)x x dx  
33 2
1
( )x x x  
(27 9 3) (1 1 1)     
39 3 36  
25.
先解其中兩個已知係數的二元一次聯立方程
組
2 6 8
3 5 4
x y
x y
  

  
，解出 x 、 y 。再將 x 、 y 代
入另外兩個有a 、b 的方程式解出a 、b
若
2 6 8
2
x y
ax by
  

 
與
3 5 4
2 ( ) 6
x y
ax a b y
  

  
有相同解
表示
2 6 8
3 5 4
x y
x y
  

  
與
2
2 ( ) 6
ax by
ax a b y
 

  
仍有相同解
由 3 2   得 8 16y   2y  
代入得 2x 
將 2x  ， 2y   代入及
得
2 2 2
4 ( ) ( 2) 6
a b
a a b
 

    

1
3
a b
a b
 

 
 2a  ， 1b 
∴ 2 2
( ) (2 1) 9a b   

21. 104-21104 年統測數學（A）
今年考題是歷年來最簡單的一次，大部分題目的觀念及計算皆不困難，對於程度中
等及中等以下的同學非常有利，可以輕易拿到 60 分以上，反而程度中上及優等的考生，
必須非常細心，若有任何粗心，則完全喪失在這科的優勢。
此次考試多數只要按照考題敘述計算，即可獲得答案。而所有計算也都偏整數型、
單一答案型，同學算出即可，不需加以判斷答案之可能性。
1. 第 02、11、20 題：此三題三角函數考題皆為銳角（非廣義角，無需正負號之判斷），
同學只要知道三角函數定義及特別角三角形的比例關係，皆可以輕易求解。
2. 以下題目皆為依題意套公式題型（只有一個式子），可輕易求解，屬於簡單考題。
第 01 題：兩點求斜率，則列式
1
3
3 1
k 


。
第 03 題：向量加減的坐標表示法，3 2 3(1,2) 2(2,3) ( , )a b r s    。
第 07 題：加權平均數60 20% 54 20% 51 30% 30% 60x        。
第 08 題：將數字由小到大排列即可求中位數。
第 13 題： 1x  代入 2
( ) 6 4f x x x   即可。
第 16 題：展開即可，不需利用各種行列式運算規則。
3. 以下題目乍看很難，但因為數據簡單或學生憑以往經驗，不需利用數學能力判斷也
會朝這方向解答，因此喪失鑑別度。
第 09 題： 2
2 2log log (4 3)x x  ，底數大於1，屬於遞增函數，去對數時不需改變大
小方向順序。而解出範圍1 3x  皆滿足對數有意義（真數 0 ），所以能
輕易選出答案為(B)。
第 17 題：此題利用算幾不等式求解，但面積為25 平方公尺的矩形，因為25 易聯想
為 2
5 ，導致學生易猜測為正方形，邊長為 5，周長即為 20。
第 24 題：此題觀念難度為中偏難，不過學生可以根據積分最常見題型猜測答案為
3
1
( )f x dx ，即可輕易求出正解。
104 年數學 B 考試的趨勢是在測驗學生數學的基本概念與簡易計算，不著墨於複雜
的考題，因此可提升學生對於數學學習的信心及興趣。
104 年數學(B)

22. 104-22 104 年統測數學（A）
單元名稱 題數 單元名稱 題數
直線方程式 1 不等式及其應用 2
三角函數 2 排列組合 2
向量 2 機率 1
指數與對數及其運算 1 統計 2
數列與級數 1 三角函數的應用 1
式的運算 2 二次曲線 2
方程式 4 微積分及其應用 2

23. 104-23104 年統測數學（A）
單選題（每題 4 分，共 100 分）
( ) 1.某高職想要了解全校學生的英文程度，今依各科別人數的比例，於每一科別
中，用簡單隨機抽樣抽出所需之學生，再集合各科別所抽出之學生進行英文
測驗。如上所述，則此校所採用的抽樣方法為下列哪一種？
(A)簡單隨機抽樣 (B)系統抽樣 (C)分層隨機抽樣 (D)部落抽樣。
( ) 2.若 (3,2)A 、 ( 1,5)B  、 (9, 4)C  為坐標平面上三點，則向量 2 3AB BC CA  
(A)( 2,3) (B)(1, 3) (C)(0,0) (D)(3,2)。
( ) 3.設袋中有大小相同的乒乓球10個，其中8 個白色，2 個黃色。今自此袋中任取
一個乒乓球，每個乒乓球被取到的機會均等，若取到白色的乒乓球可得50元，
取到黃色的乒乓球可得100元，則任取一個乒乓球可得金額的期望值為多少
元？
(A)55 (B)60 (C)65 (D)70 。
( ) 4.若多項式 ( )f x 除以 2x  的餘式為 1 ，則 3 2
(3 1) ( ) 1x f x x x    除以 2x  的
餘式為何？
(A) 3 (B)3 (C)13 (D)26 。
( ) 5.設七個實數 1 2 3 4 5 6 7, , , , , ,a a a a a a a成等比數列，公比為 r 。若 1 2 2a a  且
6 7 486a a  ，則r 
(A)3 (B)4 (C)6 (D)9。
( ) 6.設 a 、b 、c 均為實數，且直線bx cy a  通過第一、三、四象限，則直線
ax by c  可能為下列哪一個圖形？
(A) (B) (C) (D)
。
( ) 7.若直線L 過點(2,1) 及兩直線2 4x y  ， 3 5x y   的交點，則直線L 的斜率
為何？
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5。
總 分
104 學年度四技二專統一入學測驗
數學(A)

24. 104-24 104 年統測數學（A）
( ) 8.若
3
tan
4
   且sin 0  ，則5sin 10cos  
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 。
( ) 9.若 sin150a  ， sec( 420 )b    ， cot945c  ，則下列何者正確？
(A)a b c  (B)a c b  (C)b c a  (D)c a b  。
( ) 10.設平面上兩向量 a 與 b 的夾角為 ，若
33
cos
65
  ，且| | 5a  ，| | 13b  ，
則(4 ) (2 )a b a b   
(A) 39 (B)93 (C)97 (D)435 。
( ) 11.多項式 4 2 3 2
(9 5 7 1)(4 2 3 7)x x x x x x      的 5
x 項的係數為何？
(A) 20 (B) 2 (C)7 (D)63。
( ) 12.下列哪一個方程式有正的實數解？
(A) 2
7 9 0x x   (B)
1
2x
x (C)log( 1) 1x    (D)sin(3 ) 2x  。
( ) 13.已知log2 0.3010 ，log3 0.4771 ，則log7.2 
(A)0.7781 (B)0.8572 (C)1.8572 (D)2.8572 。
( ) 14.設a 、b 均為實數，若不等式 2
3 0ax x b   的解為
1
5
2
x   ，則3 6a b 
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 。
( ) 15.在坐標平面上，滿足聯立不等式
9
3 5
0
0
x y
x y
x
y
 
  


 
區域的面積為何？
(A)
77
2
(B)
79
2
(C)
81
2
(D)
83
2
。
( ) 16.設a 為實數，且直線3 4 1 0x y   與圓 2 2
( ) 4x a y   沒有交點，則a 可能為
下列哪一個數？
(A) 3 (B) 2 (C)3 (D)4 。
( ) 17.從7 位男生、3位女生中，任選4 人到醫院實習。若此4 人中至少有1位女生，
則共有多少種選取的方式？
(A)95 (B)135 (C)175 (D)215 。
( ) 18.某班學生期中考成績的平均分數為42 分、標準差為6 分。若將每位學生的原
始成績都乘以同一個數a 後再加4 ，使得調整後的平均分數為60 分，則調整
後的標準差為幾分？
(A)6 (B)8 (C)10 (D)12。

25. 104-25104 年統測數學（A）
( ) 19.某校對全體新生進行一項邏輯推
理的測驗，其成績呈常態分配，
如圖所示，平均數 為62 分、標
準差 為8 分。若成績低於70 分
的學生有672 人，則成績介於54
分到78分的學生約有多少人？
(A)600 (B)620 (C)638
(D)652 。
( ) 20.設點O 是 ABC△ 的外接圓圓心，且在 ABC△ 的內部，AB 的長度為m ， AC
的長度為n 。若 120AOB  ， 150BOC  ，則
m
n

(A)
3
3
(B)
6
3
(C)
3
2
(D)
6
2
。
( ) 21.若一圓與直線 4x  相切於點(4,6)，且與直線 2y  相切於點(8,2)，則此圓的
方程式為何？
(A) 2 2
( 8) ( 6) 16x y    (B) 2 2
( 6) ( 8) 9x y   
(C) 2 2
( 4) ( 2) 25x y    (D) 2 2
( 2) ( 4) 36x y    。
( ) 22.若sin 與cos 是方程式 2
3 0x x a   的兩根，則a 
(A)
4
3
 (B)
3
4
 (C)
3
4
(D)
4
3
。
( ) 23.已知 ABC△ 中， 120BCA   ， 3AC  ， 5BC  ，且D 在 AB 上。
若CD AB ，則CD 
(A)
5 3
14
(B)
15 3
14
(C)
35 3
2
(D)
105 3
2
。
( ) 24.甲、乙、丙、丁、戊、己六人排成一列。若甲、乙、丙三人相鄰，且丙介於
甲、乙之間，則此六人共有多少種排法？
(A)42 (B)44 (C)46 (D)48 。
( ) 25.從1、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 這九個數中，任取相異的三個數，若每
個數被取到的機會均等，則此三數的和為奇數的機率為何？
(A)
5
42
(B)
5
14
(C)
10
21
(D)
9
14
。

26. 104-26 104 年統測數學（A）
104 年統一入學測驗 數學(A)
1.
(1) 利用統計抽樣方法的定義加以判斷
(2) 分層隨機抽樣：母群體分為若干不重疊的
子群體稱為「層」，再依其比例分配樣本
數，從每一層中簡單隨機抽樣
將各科視為各層，以各科比例抽出人數，再進
行測驗，即為分層隨機抽樣
2.
(1) 向量定義 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y ，
則 2 1 2 1( , )AB x x y y  
(2) 向量加減法與係數積的應用
(3,2)A 、 ( 1,5)B  、 (9, 4)C 
( 1 3,5 2) ( 4,3)AB      
(9 ( 1), 4 5) (10, 9)BC       
(3 9,2 ( 4)) ( 6,6)CA      
2 3AB BC CA 
( 4,3) 2(10, 9) 3( 6,6)     
( 4,3) (20, 18) ( 18,18)     
( 2,3) 
3.
隨機試驗的期望值：
設 1 2{ , , , }kA A A 為一隨機試驗樣本空間 S 的
一 個 分 割 ， 且 事 件 iA 發 生 的 機 率 為 ip
（ 1,2, ,i k ），若事件 iA 發生之報酬為 im
（ 1,2, ,i k ），則 1 1 2 2E p m p m  
k kp m 稱為此試驗的數學期望值，簡稱為期望
值，其中 1 2 1kp p p   
8 2
10 10
50 100
p
m
白球 黃球
∴ 1 1 2 2E p m p m 
8 2
50 100 60
10 10
     （元）
4.
利用餘式定理：
若 ( ) ( ) ( ) ( )f x x a q x r x   ，
則餘式 ( ) ( )r x f a
( )f x 除以( 2)x  的餘式為 1
 ( 2) 1f   
欲求 3 2
(3 1) ( ) 1x f x x x    除以 ( 2)x  的餘
式，即將 2x   代回，可得
3 2
(3( 2) 1) ( 2) ( 2) ( 2) 1f       
( 23)( 1) 4 2 1     
26
1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.A 7.B 8.A 9.C 10.C
11.C 12.B 13.B 14.D 15.A 16.D 17.C 18.B 19.D 20.D
21.A 22.A 23.B 24.D 25.C

27. 104-27104 年統測數學（A）
5.
利用等比數列定義：
首項為 1a ，公比為r ，第n 項 1
1
n
na a r 
 
等比數列 1 2 3 6 7, , , , ,a a a a a
可設為 1a a ， 2a ar ， 2
3a ar ，…，
5
6a ar ， 6
7a ar
1 2
6 7
2
486
a a
a a
 

 
 5 6
2
486
a ar
ar ar
 

 
 5
(1 ) 2
(1 ) 486
a r
ar r
 

 
將 得 5
1 1
243r

∴ 3r 
6.
直線 : 0L ax by c   恆過( ,0)
c
a
 、(0, )
c
b

兩點
(1) 直線bx cy a  通過第
一、三、四象限，如圖：
令 0y  ， 0
a
x
b
 
令 0x  ， 0
a
y
c
 
由 0
a a
b c
  
2
0
a
bc
  0bc 
∴ a 、b 同號，a 、c 異號，b 、c 異號
(2) 直線ax by c  恆過(0, )
c
b
、( ,0)
c
a
∵ b 、c 異號 ∴ 0
c
b

∵ a 、c 異號 ∴ 0
c
a

故圖形為
7.
利用斜率定義：
1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y ，則 2 1
2 1
AB
y y
m
x x



解
2 4
3 5
x y
x y
 

  
可得交點為(1, 2)
故直線 L 通過(2,1) 與(1, 2)
∴
2 1 3
3
1 2 1
m
  
  
 
8.
任意角的三角函數值：
sin
y
r
  ，cos
x
r
 
由
3
tan
4
   且sin 0  ，
可知 為第四象限角
其
3
sin
5
y
r
    ，
4
cos
5
x
r
  
故
3 4
5sin 10cos 5 ( ) 10 5
5 5
       

28. 104-28 104 年統測數學（A）
9.
(1) sin(180 ) sin  
(2) sec( ) sec  
(3) cot(180 ) cot  
1
sin150 sin(180 30 ) sin30
2
a        
sec( 420 ) sec( 60 ) sec60 2b         
cot945 cot225 cot(180 45 )c       
cot45 1  
∴ b c a 
10.
由向量內積定義：
(1) | || | cosa b a b  
(2) 2
| |a a a 
| | 5a  ，| | 13b  ，
33
cos
65
 
先求 | || |cosa b a b  
33
5 13 33
65
   
則(4 ) (2 )a b a b  
2 2
8| | 2 | |a a b b   
2 2
8 5 2 33 13    
200 66 169  
97
11.
(1) 乘法對加法的分配律：
( )a b c ab ac  
(2) 指數律： m n m n
x x x 
 
在 4 2 3 2
(9 5 7 1)(4 2 3 7)x x x x x x      中
5
x 項的係數為9 3 ( 5) 4 7    
12.
利用：
(1) 一元二次方程式 2
0ax bx c   的公式解
2
4
2
b b ac
x
a
  

(2) 指數圖形
1
2x
y  的描繪
(3) 對數定義loga b x  x
a b
(4) 三角函數的範圍： 1 sin 1x  
(A) 2
7 9 0x x   
7 13
0
2
x
 
 
(B)視為求
1
2x
y  與 y x 的交點
由圖形可知有一正實數解
(C) log( 1) 1x     1
10 1x
 

1
1
10
x  
9
0
10
x   
(D)∵ 1 sin(3 ) 1x  
∴ sin(3 ) 2x  無解
故選(B)
13.
利用對數性質：
(1) log log logab a b 
(2) log log log
a
a b
b
 
72
log7.2 log log72 log10
10
  
3 2
log(2 3 ) log10  
3log2 2log3 log10  
3 0.3010 2 0.4771 1    
0.8572

29. 104-29104 年統測數學（A）
14.
利用一元二次不等式的性質：
( )( ) 0x x    之解為 x   ，
其中 
由
1
5
2
x  
可得不等式
1
( )( 5) 0
2
x x  
展開得 2 9 5
0
2 2
x x  
將式
2
( )
3
  得 22 5
3 0
3 3
x x   
與 2
3 0ax x b   比較係數
得
2
3
a   ，
5
3
b 
故
2 5
3 6 3 ( ) 6 8
3 3
a b      
15.
(1) 求出可行解區域
(2) 任意四邊形 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y 、
3 3( , )C x y 、 4 4( , )D x y 之面積
1 2 3 4 1
1 2 3 4 1
1
| |
2
x x x x x
y y y y y

1 2 2 3 3 4 4 1 2 1 3 2
1
|
2
x y x y x y x y x y x y     
4 3 1 4|x y x y 
0 9
9
9 0
0 5
3 5 5
0
3
0
0
x
x y
y
x
x y
y
x
y

 



  


 


解
9
3 5
x y
x y
 

 
之交點為(8,1)
繪圖如下：
四邊形面積
0 5 8 0 01
| |
0 0 1 9 02

1
(5 72)
2
 
77
2

16.
(1) 利用圓與直線關係的判別：
: 0L ax by c   ，
圓 2 2 2
: ( ) ( )C x h y k r   
則 L 與圓不相交，即 ( , )d O L r

2 2
| |ah bk c
r
a b
 


(2) 絕對值不等式的解法：
| |x a  x a 或 x a 
直線3 4 1 0x y  
圓 2 2
( ) 4x a y   ，其圓心 ( ,0)O a ，半徑 2r 
若 L 與圓沒有交點
即 ( , )d O L r

2 2
| 3 0 1|
2
3 4
a  


 |3 1| 10a  
 3 1 10a   或3 1 10a   
 3 9a  或3 11a  
 3a  或
11
3
a  
故a 可能為4

30. 104-30 104 年統測數學（A）
17.
組合題型的應用：
( 1) ( ( 至少有 全) 皆無)
至少有1位女生 ( ) ( ) 全 皆無女生
10 7
4 4C C 
10 9 8 7 7 6 5 4
4 3 2 1 4 3 2 1
     
 
     
210 35 
175 （種）
18.
利用統計量數的線性關係：
已知 i iy ax b 
則 y ax b  （ x 、 y 為平均數）
| |y xS a S （ xS 、 yS 為標準差）
原始平均 42x  ，標準差 6xS 
新的平均為 y ，標準差為 yS
則 4y x a  
 60 42 4a  

4
3
a 
∴
4
| | 6 8
3
y xS S a    
19.
利用68 95 99.7  法則：
有68% 落在( , )x S x S  區間內
95% 落在( 2 , 2 )x S x S  區間內
99.7%落在( 3 , 3 )x S x S  區間內
低於70 分的人：50% 34% 84% 
54 ～78 分的人：34% 47.5% 81.5% 
設全體新生共 x 人
則0.84 672x   800x  人
故54 ～78 分有0.815 800 652  人
20.
(1) 圓心角 2  圓周角
(2) 利用正弦定理：
sin sin sin
a b c
A B C
 
O 為外接圓圓心
若 120AOB   ，則 60C  
150BOC   ，則 75A  
則 180 60 75 45B      
由正弦定理：
sin sin
m n
C B
 
sin60 sin45
m n

 

3 2
2 2
m n

∴
3 6
22
m
n
 

31. 104-31104 年統測數學（A）
21.
利用圓與直線相切時，圓心至直線距離 半徑
由圖可知圓心為(8,6) ，且 4r 
∴ 圓方程式為 2 2 2
( 8) ( 6) 4x y   
即 2 2
( 8) ( 6) 16x y   
22.
(1) 利用根與係數的關係：
2
0ax bx c   兩根 、  ，
則
b
a
c
a
 


  

 

(2) 利用三角函數平方關係：
2 2
sin cos 1  
2
3 0x x a   兩根為sin 、cos
利用根與係數關係，得
1
sin cos
3
sin cos
3
a
 
 

 

  

將式兩邊平方得
2 2 1
sin 2sin cos cos
9
     

1
1 2sin cos
9
   （將代入）

1
1 2
3 9
a
  
∴
4
3
a  
23.
(1) 三角形餘弦定理：
2 2 2
2 cosa b c bc A  
(2) 三角形面積公式：
1 1
sin
2 2
bc A    底 高
(1)
2 2 2
3 5 2 3 5 cos120AB       
1
9 25 2 3 5 ( )
2
      
49
∴ 7AB 
(2) ABC△ 面積
1
2
AB CD 
1
sin
2
AC BC C  

1 1
7 3 5 sin120
2 2
CD      

3
7 15
2
CD  
∴
15 3
14
CD 
24.
排列計算應用：
(1) 相鄰：視為一體
(2) 指定者：排法先確認
甲丙乙先視為一體與丁戊己排法有：4!
又丙介於甲、乙中間，甲乙互換排法有：2!
故由乘法原理得排法總數 4! 2! 48  

32. 104-32 104 年統測數學（A）
25.
機率與組合計算應用：
(1) n 個不同物，取m 個的方法： n
mC
(2) A 事件發生的機率
( )
( )
( )
n A
P A
n S

奇數：1,3,5,7,9
偶數：2,4,6,8
( ) ( ) ( )n  三數和為奇數 一奇二偶 三奇
5 4 5
1 2 3C C C  
4 3 5 4 3
5
2 1 3 2 1
  
  
  
30 10 
40
9
3
9 8 7
( ) 84
3 2 1
n C
 
  
 
全
∴
40 10
( )
84 21
P  三數和為奇數

33. 104-33104 年統測數學（A）
今年度考題難度屬於中等，許多題目觀念靈活在計算上亦要細心，考生需要觀念清
楚、學習紮實方能拿到高分。例如：
(1) 第5題： 等比數列的考題，需要運用因式分解（提出公因式）與解聯立方程式的技
巧，才能解出公比r 。
(2) 第6 題：需要充分了解直線的截距求法與正負的判斷，不易解題。
(3) 第12題：是一個跨章節的考題，包含一元二次公式解、指數圖形、對數定義、三角
函數的範圍，考生在解題時須每個選項都了解，方能得分。
(4) 第19題：常態分配（68 95 99.7  原則）的考題，但與傳統考題不同，需先利用題
意解出全體新生人數，且細心計算才能進一步答題，在閱讀題目時亦考驗
考生理解力。
(5) 第20 題：此題需要運用圓心角與圓周角的關係，將圓的性質結合三角函數正弦定
理，考驗學生的臨場表現與對數學課程的橫向連結，為本卷的難題之一。
(6) 第21題：本題乍看之下很複雜，但學生若能一步一步跟著題目描出坐標、切線，便
能推論所求的圓心、半徑，解出圓方程式。
(7) 第25 題：機率與組合考題的整合，除了機率定義亦重視排列組合中「討論、列舉」，
學生只要能逐一討論，三數和為奇數的所有情況，便能解出。
整體來說，本份試卷章節分配尚稱平均，除了數列與級數僅出現1題，與三角函數
出現5題，其餘大約都有2 ～3題，難易分配得當，極具鑑別度，是一份理解與計算並重、
幾何與代數兼顧的考題。
單元名稱 題數 單元名稱 題數
直線方程式 2 圓與直線 2
三角函數及其應用 5 數列與級數 1
向量 2 排列組合 2
式的運算 2 機率 2
指數與對數及其運算 2 統計 3
不等式及其應用 2
104 年數學(A)