3. ¿QUÉ ES UN LÍMITE?
Es la base del Cálculo diferencial e
integral, por lo cual su aprendizaje y
entendimiento es esencial en este
curso.
Es una herramienta de análisis sobre
el comportamiento de una función o
relación.
4. ¿PARA QUE SIRVE UN LÍMITE?
Determina el comportamiento de los valores
de una función o relación a la vecindad
próxima de un valor específico de la
variable independiente. Por ejemplo:
situaciones de discontinuidad en un punto o
comportamiento asintótico.
Explica el comportamiento de una función o
una relación cuando los valores de la
variable independiente toma valores muy
pequeños o muy grandes. Un ejemplo de
esto lo constituyen las asíntotas
horizontales.
Preparado por: Ing. Mario René De León
6. ANÁLISIS DE UNA FUNCIÓN O UNA RELACIÓN A LA
VECINDAD DE UN VALOR DEL DOMINIO
CASOS TÍPICOS
7. CASO 1: DISCONTINUIDAD POR AGUJERO
Se presenta en casos donde una función o
relación no esta definida en un valor x = a
ya que se obtiene una expresión
indeterminada de la forma 0 / 0.
9. SOLUCIÓN INTUITIVA POR MÉTODO NUMÉRICO.
Se dan valores muy próximos a x = 1,
tanto a lo izquierda como a la derecha.
Al valuar estos valores en la función, los
valores de las imágenes se acercan a y =
3, tanto por la izquierda como por la
derecha.
𝑥 se aproxima a 1 por valores a su izquierda
𝑥 → 1−
𝑥 se aproxima a 1 por valores a su derecha
𝑥 → 1+
𝒙 0.5 0.9 0.99 0.99999 1 1.00001 1.001 1.1 1.5
𝒚 1. 75 2. 71 2. 9701 2. 99997 ??? 3. 00003 3. 003001 3. 31 4. 75
𝑓 𝑥 se aproxima a 𝑦 = 3,
por valores inferiores a 3.
En 𝑥 = 1 𝑓 𝑥 no está definido, por tanto:
lim
𝑥→1−
𝑥3
− 1
𝑥 − 1
= 3
Conclusión:
Si 𝑥 → 1
Entonces
𝑦 → 3
𝑓 𝑥 se aproxima a 𝑦 = 3,
por valores superiores a 3.
En 𝑥 = 1 𝑓 𝑥 no está definido, por tanto:
lim
𝑥→1+
𝑥3
− 1
𝑥 − 1
= 3
13. CASO 2: DISCONTINUIDAD POR SALTO
Se presenta cuando el límite por la izquierda
no es igual al límite por la derecha en un
valor x = a.
La función podría o no estar definida en x =
a.
Este caso se presenta usualmente en
funciones definidas por partes.
17. CONCLUSIÓN:
El límite por la izquierda de x = 2 es y = –1.
El límite por la derecha de x = 2 es y = 1
Ya que los límites unilaterales no tienen el
mismo valor, el límite absoluto en x = 2 no
existe.
En estas condiciones, se tiene una
discontinuidad por salto.
18. CASO 3: ASÍNTOTA VERTICAL
Cuándo en un valor x = a, la función toma la
forma indefinida c / 0, existe la posibilidad de
un comportamiento asintótico a la vecindad
de este valor de x.
Este comportamiento es típico de funciones
racionales, aunque también se encuentra en
otras funciones, como en algunas
trigonométricas o logarítmicas.
22. CONCLUSIÓN
En este ejemplo el límite de la función en x = –
2 no existe, ya que los límites unilaterales
tampoco existen.
Sin embargo, cada límite unilateral describe el
comportamiento de la función a la vecindad
del valor x = –2.
A la izquierda de x = –2 los valores de la
función decrecen sin cota.
A la derecha de x = –2 los valores de la
función crecen sin cota.
23. CASO 4: COMPORTAMIENTO OSCILANTE
Para entender mejor este caso, vea el siguiente
ejemplo:
24. MÉTODO GRAFICO
La grafica muestra que el comportamiento es
oscilante, variando los valores de la función
entre –1 y 1.
25. MÉTODO NÚMÉRICO
El comportamiento descrito se puede
observar en la siguiente tabla de valores,
junto con la conclusión.
