matemATICAS

1. ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACION PÚBLICA
TERRITORIAL BAYACA - CASANARE
CETAP SOGAMOSO
ÁREA DE FUNDAMENTACION
ASIGNATURA MATEMÁTICA. TEMA: CONJUNTO DE NUMEROS REALES
Estudiante ___________________________________FECHA:____________
CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.
Un aterrizaje de un avión proporciona una visión intuitiva del concepto de límite de
una función. El avión sobrevuela a lo largo de la pista (variable x), mientras que su
altura (variable y) va disminuyendo hasta hacerse 0. La pista es en este caso
asíntota horizontal de la trayectoria del avión.
Dada una función ƒ, la pregunta que hacemos es: Si los valores de x se aproximan
hacia un número a, ¿a qué número se aproximan los valores de ƒ(x)?.
Analicemos las siguientes gráficas y completemos las expresiones:

2. En la parte visible de la gráfica se puede
intuir que:
1. Es una función:
En la parte visible de la gráfica se puede
intuir que:
1. Es una función:
En la parte visible de la gráfica se
puede intuir que:
1. Es una función:

3. En la parte visible de la gráfica se
puede intuir que:
1. Es una función:
2. =
)
x
(
f
lim
x 
→
3. =
)
x
(
f
lim
2
x +
→
4. =
)
x
(
f
lim
2
x -
→
5. =
)
x
(
f
lim
0
x →
En la parte visible de la gráfica se
puede intuir que:
1. Es una función:
2. =
)
x
(
f
lim
4
x +
→
3. =
)
x
(
f
lim
4
x -
→
4. =
)
x
(
f
lim
0
x →
5. 

→
=
f(x)
lim
x
6. 

→
-
=
f(x)
lim
-
x
En la parte visible de la gráfica se
puede intuir que:
1. Es una función:
2.
3.
4.
5.
6

4. En la parte visible de la gráfica se
puede intuir que:
1. Es una función:
2.
3.
4.
5
En la parte visible de la gráfica se
puede intuir que:
1. Es una función:
2.
3.
4.
5
En la parte visible de la gráfica se
puede intuir que:
1. Es una función:
2.
3.
4.
5

5. Introducción
Alguna vez ha estado Ud. en una competencia de atletismo donde participan
“estudiantes”, en la cual dos de ellos llegaron a la menta prácticamente “juntos”, ¿pero
uno de ellos ganó el premio? Esta noción de estar cada vez más cerca de algo, pero
sin tocarlo, es muy importante en matemáticas y en la cual está involucrada el
concepto de límite, en el que descansa el fundamento del cálculo
NOCIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Puede resultar importante para un estudiante de matemáticas el llegar a la definición
de límite, por ello se estudia la definición. Pero para los efectos de estudiar las ciencias
sociales, nos es suficiente con la comprensión del concepto, ya que la definición nos
implica representaciones simbólicas suficientemente complejas para quien no está
familiarizado con el estudio de sucesiones, y desigualdades
La notación L
f
a
=
(x)
lim
x →
se lee: “el límite de la función efe de equis cuando equis
tiende al valor a es L”. En este caso se considera que la tendencia es tanto por la
izquierda como por la derecha.
La notación L
f =
(x)
lim
x 
−
→
se lee: “el límite de la función efe de equis cuando equis
tiende al valor menos infinito es L”
La notación L
f
a
=
(x)
lim
x −
→
se lee: “el límite de la función efe de equis cuando equis
tiende al valor a por la izquierda es L”. Es decir, x se acerca mucho al valor a,
tomando valores menores que a.
La notación L
f
a
=
(x)
lim
x +
→
se lee: “el límite de la función efe de equis cuando equis
tiende al valor a por la derecha es L”. Es decir, x se acerca mucho al valor a,
tomando valores mayores que a.
CALCULO DE LOS LIMITES
Los límites pueden ser calculados por distintos medios: aproximaciones laterales
sucesivas, método gráfico y operaciones algebraicas. En este apartado nos
dedicaremos especialmente al cálculo algebraico de los límites, sin embargo, en la
medida de lo posible nos apoyaremos en los otros dos métodos.
Ejemplos
Calcular los siguientes limites
1. lim
𝑥→3
2𝑥 + 4

6. Solución
lim
𝑥→3
2𝑥 + 4 lim
𝑥→3
2𝑥 + 4 = 2 ∗ 3 + 4
= 6+4
=10
Luego 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟑
𝟐𝒙 + 𝟒 =10
2. lim
𝑥→2
2𝑥3
+ 4𝑥2
+ 5𝑥 − 40
Solución
lim
𝑥→2
2𝑥3
+ 4𝑥2
+ 5𝑥 − 40 lim
𝑥→2
2𝑥3
+ 4𝑥2
+ 5𝑥 − 40 = 2*23
+4*22
+ 5*2 - 40
= 2*8 +4*4 + 5*2 – 40
= 16 + 16 + 10 – 40
= 2
Luego 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟐
𝟐𝒙𝟑
+ 𝟒𝒙𝟐
+ 𝟓𝒙 − 𝟒𝟎 = 𝟐
3. lim
𝑥→0
2𝑥4+3𝑥2+ 5𝑥+10
4𝑥3−5𝑥+2
Solución
lim
𝑥→0
2𝑥4+3𝑥2+ 5𝑥+10
4𝑥3−5𝑥+2
= lim
𝑥→0
2𝑥4+3𝑥2+ 5𝑥+10
4𝑥3−5𝑥+2
=
2∗04+3∗02+ 5∗0+10
4∗03−5∗0+2
=
0 +0 + 0+10
0−0+2
= 5
Luego 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝟐𝒙𝟒+𝟑𝒙𝟐+ 𝟓𝒙+𝟏𝟎
𝟒𝒙𝟑−𝟓𝒙+𝟐
= 𝟓
Ejercicios calcular los siguientes limites:
a. x]
5
+
x
[3
lim
2
x →
= b. x]
4
-
x
[7
lim
3
x →
= c. x]
3
x
[2
lim
4
x
•
→
=
d. x]
[2
lim
5
x →
=
e.
5
x+
2
x
3
lim
7
x →
f. ]
x
[3 4
2
x
lim
→
=
g. 4
2
x
x
3
lim
→
= h. 2
x
3
1
x
lim
→
= i. ]
x
[20
log
lim
5
x →
=
𝐽. lim
𝑥→2
𝑥3
− 1
𝑥3
K. lim
𝑥→2,5
2𝑥3
+ 4𝑥2
+ 5𝑥 − 40 𝐿. lim
𝑥→10
5𝑥3
+ 7𝑥2
+ 5𝑥 − 40
𝑚. lim
𝑥→2
𝑥5
− 1
𝑥3
lim
𝑥→0
𝑥4
+ 10𝑥2
+ 5𝑥 + 10
4𝑥3 − 5𝑥 + 70
lim
𝑥→3
2𝑥4
+ 3𝑥2
+ 5𝑥 + 10
4𝑥3 − 5𝑥 + 2

7. Regla para el cálculo de límites
Las propiedades anteriores nos permiten enunciar la siguiente regla: Para calcular el
límite de una función en un punto x=a, se sustituye la variable independiente x por a y
se realizan las operaciones indicadas cuando las funciones son continuas. En
apariencia se reduciría a calcular un valor numérico. Pero pueden ocurrir al realizar
este cálculo casos extremos, cuando las funciones son discontinuas, llamados de
indeterminación: 





0
k
, 







, (-), (0), (1
), (00
), (0
) , para resolverlas es necesario
aplicar concepto elementales como la factorización o la racionalización aprendidas en
los grados octavo y noveno.
Ejemplos
Calcular los siguientes limites
1. lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
Solución
lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
=
12−1
1−1
=
0
0
es una indeterminación por lo tanto se
debe evitar factorizando el numerador
lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
= lim
𝑥→1
(𝑥+1)(𝑥−1)
𝑥 −1
se cancela x-1
=lim
𝑥→1
(𝑥 + 1)
=2
Luego lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
= 2 la función es discontinua por lo tanto La recta x=1 es una
asíntota vertical
2. Ejercicios calcular los siguientes limites:
a.
10
x+
7
-
x
6
x+
5
-
x
2
2
2
x
lim
→ b.
( )( )
( )( )
=
3
5
3
9
3
15
x+
8
-
x
27
-
x
2
3
x
2
3
3
x
lim
lim −
−
−
+
+
=
→
→ x
x
x
x
x c. lim
𝑥→1
𝑥3−27
𝑥2−1
d.
( )( )
1
-
x
1
-
x
1
x
=
1
-
x
1
-
x
2
2
2
1
x
2
4
1
x
lim
lim =
+
→
→
e.
( )( )
1
-
1
1
=
1
-
1
- 2
1
x
3
1
x
lim
lim =
−
+
+
→
→ x
x
x
x
x
x
f.
4
x-
16
x+
8
-
x
2
4
x
lim
→

8. Ahora veamos Límites con radicales irregulares: 





0
0
.
Ejemplo
Calcular los siguientes limites
1.
( )
( )( )
x
-
1
1
x
-
1
-
1
x
-
1
1
x
x
-
1
-
1
x
lim
lim 0
x
0
x +
+
=
→
→
Solución:
( )
( )( )
x
-
1
1
x
-
1
-
1
x
-
1
1
x
x
-
1
-
1
x
lim
lim 0
x
0
x +
+
=
→
→
( )
( )( )
x
-
1
1
x
-
1
-
1
x
-
1
1
x
x
-
1
-
1
x
lim
lim 0
x
0
x +
+
=
→
→
lim
𝑥→0
0
1−√1−0
=
0
0
es una indeterminación
por lo tanto se debe evitar racionalizando el denominador
( )
( )( )
x
-
1
1
x
-
1
-
1
x
-
1
1
x
x
-
1
-
1
x
lim
lim 0
x
0
x +
+
=
→
→
( )
( )( )
x
-
1
1
x
-
1
-
1
x
-
1
1
x
x
-
1
-
1
x
lim
lim 0
x
0
x +
+
=
→
→
Racionalizando
=
( )
( )
( )
( ) ( 1
1
x
x
-
1
1
x
=
x
-
1
-
1
x
-
1
1
x
lim
lim
lim 0
x
0
x
2
2
0
x
+
=
+
+
→
→
→
diferencia de
cuadrados
=
( )
( )
( )
( ) ( ) 2
x
-
1
1
x
x
-
1
1
x
=
x
-
1
-
1
x
-
1
1
x
lim
lim
lim 0
x
0
x
2
2
0
x
=
+
=
+
+
→
→
→
=
( )
( )
( )
( ) ( ) 2
x
-
1
1
x
x
-
1
1
x
=
x
-
1
-
1
x
-
1
1
x
lim
lim
lim 0
x
0
x
2
2
0
x
=
+
=
+
+
→
→
→
= 2
Luego la función ( )
( )( )
x
-
1
1
x
-
1
-
1
x
-
1
1
x
x
-
1
-
1
x
lim
lim 0
x
0
x +
+
=
→
→
2 es discontinua por lo tanto La
recta x=0 es una asíntota vertical

9. Ejemplo
Calcular los siguientes limites
2.
( )( )
( )( )
2
1
x+
3
x-
2
1
x+
2
-
1
x+
3
x-
2
-
1
x+
lim
lim 3
x
3
x +
+
=
→
→
Solución
( )( )
( )( )
2
1
x+
3
x-
2
1
x+
2
-
1
x+
3
x-
2
-
1
x+
lim
lim 3
x
3
x +
+
=
→
→
( )( )
( )( )
2
1
x+
3
x-
2
1
x+
2
-
1
x+
3
x-
2
-
1
x+
lim
lim 3
x
3
x +
+
=
→
→
=
√3+1−21
3−3
=
0
0
es una indeterminación por
lo tanto se debe evitar racionalizando el numerador.
( )( )
( )( )
2
1
x+
3
x-
2
1
x+
2
-
1
x+
3
x-
2
-
1
x+
lim
lim 3
x
3
x +
+
=
→
→
( )( )
( )( )
2
1
x+
3
x-
2
1
x+
2
-
1
x+
3
x-
2
-
1
x+
lim
lim 3
x
3
x +
+
=
→
→
=
( )( )
( )( )
2
1
x+
3
x-
2
1
x+
2
-
1
x+
3
x-
2
-
1
x+
lim
lim 3
x
3
x +
+
=
→
→
=
( )
( )( )
( )
( )( 2
1
x+
3
x-
3
2
1
x+
3
x-
2
-
1
x+
lim
lim 3
x
2
2
3
x +
−
=
+ →
→
x
=
( )
( )( )
( )
( )( ) 4
1
2
1
x+
3
x-
3
2
1
x+
3
x-
2
-
1
x+
lim
lim 3
x
2
2
3
x
=
+
−
=
+ →
→
x
=
1
4
Luego la función
( )( )
( )( )
2
1
x+
3
x-
2
1
x+
2
-
1
x+
3
x-
2
-
1
x+
lim
lim 3
x
3
x +
+
=
→
→
=
1
4
es discontinua por lo tanto La recta x=3 es una
asíntota vertical
Ejercicios calcular los siguientes limites:
a. b. c.
d.
e. lim
𝑥→7
𝑥−7
√𝑥−4−√3
f.