1. 第一章向量
§1−1 有 向 線 段 與 向 量
(甲)向量的引入
~1−1−1~

2. (1)以「位移」為例：某甲從 A 點出發，朝西北方前進，走了 10 公里到達 B 地。
某 乙 從 A 點 出 發 ， 朝 北 走 了 10 公 里 到 達 C 點 ， 我 們 考 慮 從 A 點 到 B 點
與 C 點 雖 然 路 徑 相 同 ， 但 方 向 卻 不 一 樣 。 有 向 線 段 AB 的 始 點 A 其 方 向
為西 北方，其長度 10 公里。同樣的有向線段 AC 的始點 A 其方向為北方，
長 度 為 10 公 里 。
(2)以「力」為例：甲、乙兩人拔河，甲用大小 2F 的水平力向右邊拉，乙用大
小 F 的水平力向左邊拉，我們亦可用有向線段來表示這兩個力，其始點
為施力點，方向分別是兩力的方向，而長度分別是兩力的大小。
像位移、力、速度、加速度等，這些物理量包含大小與方向雙重觀念，我們引進
「向量」的觀念，將這些物理觀念(朝西北移動 10 公里、向右 2F 的水平拉力)看成有
向線段，而引入向量，物理觀念經數學化之後，便於物理觀念的溝通與物理量的
計 算 。
(3) 向 量 的 概 念 ：
(a) 以 A 為 始 點 ， B 為 終 點 的 有 向 線 段 ， 我 們 稱 之 為 向 量 ， 符 號 ： ， 它 的 方
向 是 由 A 指 向 B ， 大 小 為 ， 記 為 || ， 即 ||= 。 當 A=B 時 ， 為 零
向 量 ， 記 為 = ； 與 長 度 相 等 ， 但 方 向 相 反 ， 記 為 ： =− 。
注 意 ： 的 大 小 為 0 ， 但 沒 有 方 向 。
(b) 兩 個 向 量 若 大 小 相 等 ， 方 向 相 同 ， 則 稱 兩 個 向 量 相 等 。
= ⇔ , 且 ||=|| 方 向 相 同 D
B
根 據 這 個 結 果 可 知 ， 向 量 可 以 自 由 的 平 行 移 動 。
C
B
(c) 給 定 一 個 向 量 ， 則 過 任 一 點 A 都 可 作 一 個 向 量 與 同 向 並 等 長 ，
A 
a， 可 用 另 一 個 向 量 來 代 表 ， 只 要 與 代 表 
記 為 = 。 同 樣 地 A
a
同 一 個 向 量 ， 即 兩 者 的 大 小 相 等 ， 方 向 相 同 。
~1−1−2~

3. 1. 正六邊形 ABCDEF 的邊長為 2，設＝，＝，由此正六邊形的頂點為
始點或終點，可決定多少不同的向量？（不包含零向量）
(A) 6 (B) 12 (C) 18 (D) 36 (E) 30 。 Ans ： (E)
(乙)向量的加減法
(1) 向 量 的 加 法 ： 給 定 二 個 向 量 , 如 何 定 義 + 呢 ？
(a) 三 角 形 法 ： 由 向 量 的 意 義 ， 可 設 = ， = ，
則定義+= (可以用位移為例)
B
A B C A C B
C
A C A C
A
(b) 平 行 四 邊 形 法 ： 由 三 角 形 法 ， 如 果 = ， = ， 則 += ，
C D
ABDC 為 平 行 四 邊 形 。 ( 可 以 用 合 力 為 例 )
[說明]：因為=，所以+=+= A B
D
[ 討 論 ] ： 如 右 圖 ， +++= ？
C
B
E
(2) 向 量 的 減 法 ： 給 定 兩 個 向 量 , ， 如 何A 定 義 ， 呢 ？
C
[說明]：設=,=，我們定義，=+(−)
A
B
D E
~1−1−3~

4. 根 據 右 圖 可 知 =− ， ADEB 為 平 行 四 邊 形 ，
−=+(−)=+==
即 即 = 。
[ 結 論 ] ：
(a) 任 何 一 個 向 量 ， 我 們 都 可 以 把 它 拆 解 為 + 兩 向 量 的 和 ， 其 中
A 為 任 一 點 。 即 =+ 。 ( 可 以 以 位 移 為 例 )
(b) 任 何 一 個 向 量 ， 我 們 都 可 以 把 它 拆 解 為 – 兩 向 量 的 差 ， 其 中 A 點 為
任 一 點 。 即 =– 。 ( 可 以 相 對 運 動 為 例 )
(3) 向 量 加 法 的 性 質 ：
(a) 交 換 性 ： +=+
(b) 結 合 性 ： (+)+=+(+)
(c) 零 向 量 ： +=+ ， 表 示 起 點 與 終 點 重 合 的 向 量 ， 稱 為 零 向 量 。
(d) 可 逆 性 ： 對 於 任 一 向 量 ， 若 以 表 示 ， 則 所 表 示 的 向 量 以 可 表 示 ，
由於+==，故+(−)= −+=
1. 在正六邊形 ABCDEF 中，令=,=，試以和表示下列諸向量：(1) (2) (3) (4)
(5)。
Ans：(1)+ (2) (3)− (4)−+ (5)−
2. 正六邊形 ABCDEF，＝，＝，則 ＝2－2 ＝2－ ＝－2 ＝2－
＝－2。Ans：(A)(B)(C)
~1−1−4~

5. 3. 如圖所示，設四邊形 ABCD、EFCH、DCGH、ABFE、ADHE 和 BCGF
都 是 平 行 四 邊 形 ， =,=,= ， 試 以 ,, 表 示 和 。
H
Ans ： ： + ，E ， ++
F G
D
A
B C
(乙)向量的係數積
(1) 向 量 的 係 數 積
設是一個向量，r 是一個實數，則 r 仍是一個向量，定義如下：
長 度 ： | r|=|r|||
例 ： |5|=_____ ； |–100|=___________
方 向 ： 若 r>0 ， 則 r 與 同 向 ；
若 r<0 ， 則 r 與 反 向
若 r=0 或 = ， 則 r=
注 意 ：
(a)0⋅ 、 r⋅ 均 為 零 向 量 ， 而 不 是 0 。
(b) 利 用 係 數 積 可 使 向 量 在 同 向 (r>0) 或 反 向 (r<0) ， 伸 縮 向 量 的 長 度 。
(2) 向 量 平 行 與 係 數 積 ：
當 兩 向 量 同 向 或 反 向 時 ， 稱 此 兩 向 量 平 行 。
為 了 方 便 起 見 ， 我 們 規 定 零 向 量 與 任 何 向 量 平 行 。
向 量 平 行 可 找 到 實 數 t ， 使 得 =t 。
例 如 ： 設 A,B,C 為 一 直 線 上 的 三 點 ， 且 ： =3 ： 2 ，
則=3，=。
(3) 係 數 積 的 基 本 性 質
設 r,s ∈R ， 與 為 二 任 意 向 量 ， 則 ：
(a) 分 配 律 一 ： r(+)=r+r
(b) 分 配 律 二 ： (r+s) =r+s
(c) 結 合 律 ： r(s)=(rs)
~1−1−5~

6. (4) 由 方 向 與 長 度 由 決 定 向 量 的 係 數 積
實 例 ： 設 相 異 三 點 A,B,C 共 線
若 C 為 線 段 之 中 點 ， 則 =________ ， =________
若 C 在線段上，且= ，則=_______，=________
(5) 線 性 組 合 ：
r+s 之 形 式 稱 為 和 的 線 性 組 合 。
若和不平行，則在和所決定的平面上每一個向量不但都可以寫成和 :的線性組合
而 且 這 種 寫 法 是 唯 一 的 。
[ 證 明 ] ：
2. 如右圖，試求：
(1)以，表示＝___________。
(2)若＝x＋y，
則數對(x，y)＝_____________。
Ans：(1) ＋ (2) (，)
4. 已 知 3(−)+(2−5+)+4= ， 請 用 、 、 表 示 。
Ans ： =−−
~1−1−6~

7. 5. 如圖 A，B，C，D，E，F 共線，且 AB ＝ BC ＝ CD ＝ DE ＝ EF ，則下
列 敘 述 何 者 正 確 ？
(A)=(B)=(C)=(D)+2=3
(E)–=。Ans：(A)(B)(C)(D)(E)
6. 設 正 六 邊 形 ABCDEF 中 ， =,= ， =x+y ， 求 x,y 之 值 。
Ans：x=2,y=2
(丙)向量的內積
物理學告訴我們：一個物體在定力 f 作用下，若在力 f 的方向上有一位移 d，則該
力對物體所作的 W=f⋅d；但當力的方向與位移的方向有一夾角時，所作的功就不
再 單 純 的 只 是 力 與 位 移 的 乘 積 ， 而 與 夾 角 有 關 。
例 子 ： 如 右 圖 ， 對 一 個 重 物 施 以 與 水 平 方 向 成 例 角
大 小 5 牛 頓 的 力 f 使 得 重 物 沿 水 平 方 向
5 牛頓 動 10 公 尺 ， 試 求 所 作 的 功 = ？
移
θ
10 公尺
[ 解 答 ] ： 因 為 f 的 水 平 分 力 為 5cosθ ，
因 此 所 作 的 功 W=(5cosθ )⋅10( 焦 耳 )
[數學化]：現在將力 f 視為向量，位移視為向量，因為力與水平方向夾角為視，
則 可 視 為 與 的 夾 角 為 則 ， 所 作 的 功
W=(5cosθ )⋅10=(||cosθ )⋅||=| |||cosθ ，其中， 為與的夾角，這樣的概念數學化之後，
就 稱 為 向 量 與 的 內 積 。
(1) 向 量 的 夾 角 ：
,為平面上的兩個向量，根據向量的意義，我們可以將兩個向量平行移動，使得與
的起點重合(如圖)，即=，=我們定義兩向量的夾角我為為AOB。
~1−1−7~

8. 0<θ< < θ<π θ=
B
B
B
A
θ A θ A
O O
O θ=0 θ=π
O A B A O B
(2) 向 量 的 內 積 ：
定 義 ： 設 與 為 兩 向 量 ， 定 為 其 夾 角 ， 定 義 與 的 內 積 為 ||||cosθ
， 符 號 記 為 ： ， =||||cosθ ， "⋅ " 念 成 dot 。
請 注意 ：請 是 一 個 實 數 而 非 向 量 ， 就 好 像 功 是 一 個 純 量 ， 而 沒 有 方 向 。
例 ： 設 正 三 角 形 ABC 之 邊 長 為 1 ， 求 (1)⋅ 之 值 ； (2)⋅ 之 值 。
A
B C
(4)內積與投影量
C
令=,=，， 為與的夾角
θ
A D B
~1−1−8~

9. (a) 當 0<θ <π
如 圖 ， ||cosθ =||cosθ =
⇒⋅=||||cosθ=⋅ >0
C
(b) 當 <θ <π
如 圖 ， ||cosθ =||cosθ = −
⇒⋅=||||cosθ= − ⋅ <0
(c) 當 當 = θ ⊥ ⇔⋅=0
如 圖 ，
D A ||cosθ B =0
C ⇒⋅=||||cosθ=0
根 據 前 面 的 說 明 ， 我 們 稱 ||cosθ 為 在 方 向 上 的 投 影 量 ( 不 一 定 為 正 ) ，
向 量 為 在 方 向 上 的 投 影 ( 或
A(D) 正 射 B 影 ) 。
因 為 因 =||||cosθ =||cosθ ⋅|| ， 故 ， 是 在 方 向 上 的 投 影 量 乘 以 的 長 度 。
[ 討 論 ] ： (a)⋅ 可 以 解 釋 成 在 方 向 上 的 投 影 量 乘 以 的 長 度 嗎 ？
(b)⋅ 會 等 於 會 嗎 ？
(4) 垂 直 的 向 量
當 與 之 夾 角 為 直 角 時 ， 我 們 稱 與 垂 直 ， 記 為 ， 。
因為一向量與之夾角可視為任意角，為了方便起見，我 們 將 任 何 向 量 與
零 向 量 都 視 為 垂 直 ，於是，表示=或.=或或=，但不管是那一種情形，，=0 所以
規 定 ： 規 定 =0 。
(5)向量的性質：
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10. 設 ,, 為 任 意 三 向 量 ， r 為 任 意 實 數 ， 則
(a)⋅=⋅ ( 交 換 性 )
(b)⋅(+)=⋅+⋅ ( 分 配 性 )
(c)r(⋅)=(r)⋅=⋅(r)
(d)⋅=0 ( 注 意 ： 注 =0 而 非 零 向 量 )
(e)|| 2 =⋅≥0 ， || 2 =0 ⇔ =
注 意 ： || 2 =⋅
這個性質可以讓我們在內積與長度之間轉換，是一個簡單但重要的性質。
(f)|±| 2 =(±)⋅(±)=|| 2 ±2⋅+|| 2
[ 討 論 ] ： 利 用 圖 解 法 去 說 明 (b)(f) 的 性 質 。
(b) 令 = ， = ， =
C
C
B B
O B/ C/ A O C/ B/ A
(f) 令 = ， =
B
B
C
O
O A
A
~1−1−10~

11. 3. 如右圖，ABCDEF 為一正六邊形，則下列向量內積中，何者最大？
(A)． (B)． (C)．
(D)． (E)．。Ans：(B)
4. ∆ABC 之三邊長為=4，=5，=6，
則求(1)⋅=？ (2)⋅=？ Ans：(1) (2)
5. 二向量,，若||=3，||=4，且|+|=，
則(1)與之夾角為何？ (2)|3+2|=？ Ans：(1) (2)73
~1−1−11~

12. 6. 在四邊形 ABCD 中，中A=120°，=1、=2，且=3⋅+2⋅，
則的長度為何？ Ans：
7. 設∣∣＝3，∣∣＝5，∣∣＝7，且＋＋＝，試求：
(1)．＋．＋．＝________。
(2)．＝________。(3)與之夾角為________。
Ans：(1)(2)(3)
7. △ ABC 中 ， ＝ 5 ， ＝ 6 ， ＝ 7 ， 試 求 ：
(1)．＝______。(2)．＝________。Ans：(1)19(2)–6
8. 設 ⊥ ， 且 ∣ ∣ ＝ 3 ， || ＝ 1 ，
若＋(t 2 ＋5)與－＋t 互相垂直，則實數 t＝_______。Ans：t=2
9. 正 三 角 形 ABC 的 邊 長 為 2 ， M 為 的 中 點 ， 試 求
(1)(+) ． = ？ (2)(−) ． (+)= ？
Ans：(1)5 (2)−8
~1−1−12~

13. 10. 一 稜 長 為 a 之 正 四 面 體 ABCD ， 之 中 點 為 M ， 則 ． = ？
Ans：
11. 設 ＝ 2 ， ＝ 3 ， 與 之 夾 角 為 60° ， 試 求 ：
(1) ． ＝ _______ 。
(2) ∣ 2 ＋ ∣ ＝ _________ 。
(3)∣ － 2∣ ＝ _________ 。
(4)∣ ＋ ∣ 2
＋ ∣ － ∣ 2
＝ ________ 。
Ans：(1)3(2)(3)2(4)26
12. 設 三 向 量 ,, ， 已 知 +2+3= ， ， =2 ， ， =−3 ，
則||=？ Ans： (考慮考(+2+3))
綜合練習
(1) 由正五邊形的邊，可決定 個不同的向量。
(2) 有一正立方體，其邊長為 1，如果向量的起點與終點都是此正立方體的頂點，
且||=1，則共有多少個不相等的向量？
(A)3 (B) 6 (C)12 (D)24 (E)28 。 (86 學科)
(3) 如右圖，傳說船駛達百慕達三角洲時，須遵循下列兩個怪異磁場，的方向；
否則會神奇失蹤。
今一艘救援艇已開到此海域 A 處，
準備前往 B 處尋找一艘載滿黃金的船。
若欲完成任務，它應遵循圖示，的方向，
走了 x＋y，x，y 是實數，則(A) x＝2，y＝－1 (B) x＝－2，y＝1
(C) x＝－2，y＝0 (D) x＝－1，y＝1 (E) x＝－1，y＝－2。 A
(4) 如圖，正四面體 ABCD，每邊長為 a，M 為之中點，
H 為為BCD 的重心，則下列敘述何者是正確的？
(A)⋅= (B)⋅=⋅ (C)⋅=0 D
B
(D)⋅= (E) ⋅=。 M
H
C
~1−1−13~

14. (5) 如右圖所示，O 為正方形 ABCD 對角線的交點，且 E、F、G、H 分別為線段
OA，OB，OC，OD 的中點。試問下列何者為真？ A D
(A)+=++ + (B)=2 E H
(C)−= (D)++ = (E)⋅=0 O
(86 社) F G
(6) 若||=2||≠0，且(+)⊥(−)，則與之夾角為何？ B C
(7) 設正五邊形 ABCDE 之每一邊長均為 1，則(a)⋅=？ (b)⋅=？
(8) 設 ABCD 是平行四邊形，=2，=3，則，=？
(9) 三向量,,，若++=，且||=2，||=3，||=4，則
(1)⋅+⋅+⋅=？ (2)求與之夾角求，cosθ=？
(10) 圓外切等腰梯形 ABCD，＝2，＝6， // ，
則．＝_________。
(11) 一單位圓之內接一ABC，圓心 O，若 4+5+6=，
則(a)⋅=？ (b)=？
(12) 空間中有 A,B,C,D 四點。已知=1，=2，=3，，ABC=∠BCD=120°而與之夾角為
60°，則之長為何？ (86 自)
進階問題
(13) △ABC 中，＝，＝，＝，＋＋＝，
．＝－1，．＝－2，．＝－3，則：
(a)∣2＋3＋4∣＝__________。(b)△ABC 之面積為_________。
(14) 若||=||≠0， 且|+|−|−|=||，求，之夾角。
(15) 坐標平面上，A、B、C 三點不共線，若++=，||=1，||=2，||=，求(a)與之夾角與
的正弦值， (b)∆ABC 的面積。
(c)|+2−|=？
綜合練習解答
~1−1−14~

15. (1) 10 (2) (B) (3) (E) (4) (A)(B)(C)(D) (5) (全) (6) 60 ° (7) (a) (b) (8) 5
[提示：提=(+)⋅(+)=(+)(−)]
(9) (1) (2) (10) –4 (11) (a) (b) [提示：||=||=||=1]
(12) 5 [提示：=++，再利用|| 2 =|++| 2 求||]
(13) (a)(b) [提示：(a)⋅(++)=|| 2 +⋅+⋅=0 ⇒||=2
同理可以求得||=，||=，再求|2＋3＋4| 2 的值。(b)∆ABC=∆OAB+∆OBC+∆OCA]
(14) [提示：可令,之夾角之，因為||=||，所以|+|=2||cos.，
|−|=||sin](15) (a) (b) (c)22
~1−1−15~