6. Physics 1 – ฟิสกส์ 1
ิ 6
t2 = 1s
t1 = 0s
( 21m −1m )
v = = 20( m / s )
(1s − 0s )
4. ความเร็วที่ t = 0 s คือความเร็วขณะใดขณะหนึ่งจะได้
v =
(
dy d 1 + 25t − 5t 2 m
)
=
dt dt s
= 25 −10t ( m / s )
เมื่อ t = 0 s
v = 25 −10( 0 )( m / s )
= 25( m / s )
ข้อ สัง เกต จากตัวอย่างข้างต้นสังเกตได้ว่าในขณะที่ช่วงเวลาสั้นลงความเร็วเฉลี่ยจะมี
ค่าใกล้กับความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง
คำา จำา กัดความของอัต ราเร็วคือขนาดของความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง อัตราเร็วจะมีค่า
เป็นบวกเสมอ ในขณะที่ความเร็วมีได้ทั้งค่าบวกและค่าลบ ข้อแตกต่างระหว่างอัต ราเร็วและ
ความเร็วจะสังเกตเห็นได้ง่ายขึ้น เมื่อความเร็วคิดอยู่ในรูปของเวกเตอร์ซึ่งจะศึกษาไปในการ
เคลื่อนที่ 2 มิติ
1.4 คำา จำา กัด ความของความเร่ง เฉลี่ย และความเร่ง ขณะใดขณะหนึ่ง
ในหั ว ข้ อ นี้ จ ะอธิ บ ายถึ ง การเปลี่ ย นแปลงความเร็ ว ซึ่ ง เรี ย กว่ า ความเร่ ง ข้ อ แตกต่ า ง
ระหว่างความเร็วและความเร่งคือ ความเร็วบอกถึงการเปลี่ยนแปลงตำาแหน่ง ส่วนความเร่งบอก
ถึงการเปลี่ยนแปลงความเร็วนั่นคือความเร่งคืออัตราการเปลียนแปลงความเร็ว
่
เมื่อเขียนอยู่ในรูปสมการทางคณิตศาสตร์จะได้นิยามของความเร่งเฉลียคือ
่
∆v v 2 − v1
a = =
∆t t −t 2 1
คำาจำากัดความของความเร่งขณะใดขณะหนึ่ง
dv
a = dt
ตั ว อ ย่ า ง ที่ 1.4 รถยนต์ คั น หนึ่ ง สามารถเร่ ง ความเร็ ว จาก 0m / s จนกระทั่ ง มี ค วามเร็ ว
26.8m / s ภายในเวลา 6 s จงหาความเร่งเฉลี่ยของรถคันนี้
∆v v 2 − v1
วิธ ีท ำา จาก a = =
∆t t −t2 1
( 26.8m / s − 0m / s )
= ( 6s − 0s )
= 4.47( m / s 2 )
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควิชาฟิสกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยรังสิต
ิ
7. Physics 1 – ฟิสกส์ 1
ิ 7
จากกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตำาแหน่งกับเวลา ความชันของกราฟคือความเร็ว
ในทำานองเดียวกันความเร่งคือความชันของกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วกับเวลา
ตัว อย่า ง ที่ 1.5 กราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วกับเวลาของรถคันหนึ่งแสดงดัง
รูปที่ 1.6 จากกราฟอธิบายว่าเมื่อ
1. ช่วงแรกรถมีความหน่วง (decelerating)
2. รถมีความเร่ง (accelerating)
3. ความเร่งเป็นศูนย์
4. รถมีความเร็วลดลง
รูปที่ 1.6
dv
วิธ ีท ำา ก. ; ข. ; ค. จากคำาจำากัดความของความเร่งขณะใดขณะหนึง a = dt ซึ่งสามารถหา
่
ได้จากความชันของกราฟ
ง. ช่วงที่รถมีความเร็วลดลงมีอยู่ 2 ช่วงคือช่วงเวลา t = 0 s ถึง t = 0.5s และช่วง
เวลา t = 2.8s ถึง t = 3.5s
1.5 การเคลื่อ นที่เ มื่อ ความเร่ง คงที่
ถ้ า เรารู้ ว่ า วั ต ถุ เ ริ่ ม ต้ น เคลื่ อ นที่ จ ากตำา แหน่ ง ไหน ความเร็ ว ต้ น เท่ า ใดและมี ค วามเร่ ง
เท่าใด เราจะสามารถบอกได้ว่าช่วงต่อไปวัตถุจะอยู่ที่ไหน ปัญหาที่เกิดขึ้นนี้สามารถอธิบายได้
โดยใช้ สมการทางคณิต ศาสตร์ เมื่อ กำา หนดให้ตำา แหน่ งเริ่ ม ต้น คื อ x 0 ; ความเร็ว ต้น คื อ v 0 ;
ความเร่งคือ a ความเร่งเมื่อเป็นฟังก์ชั่นของเวลาคือ a t ; ความเร็วเมื่อเป็นฟังก์ชั่นของเวลาคือ
vt ; ตำาแหน่งเมื่อเป็นฟังก์ชั่นของเวลาคือ x t ; ความเร่งเมื่อเป็นฟังก์ชั่นของตำาแหน่งคือ a x ;
และความเร็วเมื่อเป็นฟังก์ชั่นของตำาแหน่งคือ v x ซึ่งสามารถเขียนอยู่ในรูปสมการการเคลื่อนที่
ในกรณีที่วัต ถุเคลื่อนที่ด้วยความเร่งคงที่สมการการเคลื่อนที่กรณีนี้ เราเรียกว่าสมการจล
ศาสตร์ ให้ at = a ; a x = a ; เมื่อ a คือความเร่งคงที่
สมการความเร็วเมื่อเป็นฟังก์ชั่นของเวลาพิจารณาได้จากนิยามความเร่งเฉลี่ย
∆ v
a = ∆ t
vt − v 0
a =
t −0
vt = v 0 + at
เป็นสมการความเร็วเมื่อเป็นฟังก์ชั่นของเวลา
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควิชาฟิสกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยรังสิต
ิ
8. Physics 1 – ฟิสกส์ 1
ิ 8
สมการตำาแหน่งเมื่อเป็นฟังก์ชั่นของเวลาพิจารณาได้จากนิยามความเร็วเฉลี่ย ( v )
∆ x
v = ∆ t
1 xt − x 0
( v + v0 ) =
2 t −0
1
xt − x 0 = ( v + v0 )t
2
แทน v ด้วย vt จากสมการข้างบนซึ่งเป็นสมการความเร็วเมื่อฟังก์ชั่นของเวลาจะได้
1
xt − x 0 = ( v0 + at + v0 )t
2
1 2
= v0 t + at
2
1
xt = x 0 + v 0 t + at 2
2
เป็นสมการตำาแหน่งเมื่อเป็นฟังก์ชั่นของเวลา
ในทำานองเดียวกันความเร็วเมื่อเป็นฟังก์ชั่นของตำาแหน่ง สามารถหาได้โดยหาเวลาจาก
สมการความเร็วที่เป็นฟังก์ชั่นของเวลา จากนั้นนำาเวลาที่ได้แทนลงในสมการตำาแหน่งเมื่อเป็น
ฟังก์ชั่นของเวลาดังนี้
vt = v 0 + at
v − v0
t =
a
1 2
จาก x = x0 + v 0 t + at
2
2
v − v0 1 v − v0
= x0 + v 0 + a
a 2 a
vv0 − v0 v 2 − 2vv0 + v0
2 2
= x0 + +
a 2a
2vv0 − 2v0 + v − 2vv0 + v 0
2 2 2
= x0 +
2a
v − v0
2 2
= x0 +
2a
v2 = v 0 + 2a ( x − x 0 )
2
จากสมการจะเห็นว่าเมื่อ a คงที่ความเร็วจะเป็นฟังก์ชั่นของระยะทางเขียนใหม่ได้เป็น
vt2 = v 0 + 2a ( x − x 0 )
2
จากสมการที่ ไ ด้ กำา หนดให้ x 0 คื อ ตำา แหน่ ง เริ่ ม ต้ น ; v 0 คื อ ความเร็ ว ต้ น ; a คื อ
ความเร่งเป็นค่าคงที่ เราสามารถใช้สมการเหล่านี้หาความเร่ง ความเร็ว และตำาแหน่งของวัตถุ
ที่เวลาใด ๆได้และยังสามารถหาความเร่งและความเร็วของวัตถุที่ตำาแหน่งใด ๆ ได้
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควิชาฟิสกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยรังสิต
ิ
9. Physics 1 – ฟิสกส์ 1
ิ 9
สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุเมื่อความเร่งคงที่สามารถเขียนได้ดังนี้
at = a
vt = v 0 + at
1 2
xt = x0 + v 0 t + at
2
at = a
vt2 = v 0 + 2a ( x − x 0 )
2
บางกรณีในสมการจลศาสตร์เราไม่ทราบตำา แหน่งเริ่มต้น ความเร็วต้น หรือค่าต่าง ๆ
เพื่อความสะดวกในการใช้เราสมารถนำามาเขียนเพื่อแสดงค่าที่ไม่ปรากฎได้ดังนี้
สมการจลศาสตร์ ค่าที่ไม่ปรากฏ
v = v 0 + at x − x0
1 v
x = x 0 + v 0 t + at 2
2
v 2 = v 0 + 2a ( x − x 0 )
2 t
1 a
x − x0 = ( v + v0 )t
2
1 v0
x = x 0 + vt − at 2
2
จากห้าสมการที่ได้จะสังเกตได้ว่าแต่ละสมการจะมีค่าที่ไม่ปรากฏในแต่ล ะสมการอยู่ 1
ค่า จากเงื่อนไขดังกล่าวเราสมารถยุบสมการต่าง ๆ ดังกล่าวให้เหลือเพียง 2 หรือ 3 สมการได้
จากนั้นก็ให้แทนค่าที่ไม่ต้องการให้ปรากฏลงในสมการนันได้ดังนี้
่
กรณียุบให้เหลือเพียง 2 สมการคือ
v = v 0 + at
1 2
x = x0 + v 0 t + at
2
v − v0
เมื่อ ไม่ต้ องการให้ มีค่ า t ปรากฏในสมการก็ ใ ห้ แ ทนค่ า t = ลงในสมการ
a
1 2
x = x0 + v0 t + at จะได้
2
2
v − v0 1 v − v0
x − x0 = v0 + a
a 2 a
v0 v − v02
1
= + ( v − v0 ) 2
a 2a
v0 v − v 0
2
=
a
+
1 2
2a
(
v − 2v 0 v + v 0
2
)
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควิชาฟิสกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยรังสิต
ิ
10. Physics 1 – ฟิสกส์ 1
ิ 10
v 0 v − v 0 v 2 − 2v 0 v + v 0
2 2
x − x0 = +
a 2a
2v0 v − 2v0 + v − 2v0 v + v0
2 2 2
=
2a
v − v0
2 2
=
2a
v 2 − v0
2
= 2a ( x − x 0 )
v 2
= v 0 + 2a ( x − x 0 )
2
ห มา ย เ ห ตุ x − x 0 นับเป็นค่า เดียวได้เนื่องจากเราสามารถเลือก x หรือ x 0 ได้
จากระบบพิกัดแกนมุมฉาก
ตัว อย่า ง ที่ 1.6 รถยนต์คันหนึ่งเร่งความเร็วจาก 0m / s เป็น 26.8m / s ภายในเวลา 6 s
ดังรูปที่ 1.7 จงหา
ก .
ความเร่ง
ข. ระยะทางที่รถวิ่งได้ภายในเวลา 6 s.
วิ ธ ี ท ำาก. จากโจทย์ ค่ า ที่ ไ ม่ ป รากฏคื อ ตำา แหน่ ง
สุ ด ท้ า ย ( x ) เ มื่ อ x0 = 0 ; x = ? ; v 0 = 0 ;
v = 26.8m / s ; a = ? ; t = 6 s
จากสมการ
v = v 0 + at
v 26.8m / s
a = =
t 6s
รูปที่ 1.7 = 4.47( m / s 2 )
ข. เมื่อค่าที่ไม่ปรากฏคือความเร่ง ( a )
1
x − x0 = ( v + v0 )t
2
เริ่มต้น t = s ; x 0 = 0 ; v 0 = 0
1
x = vt
2
1
= ( 26.8m / s )( 6 s )
2
= 80.4m
1.6 การตกอิส ระของวัต ถุ
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควิชาฟิสกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยรังสิต
ิ
11. Physics 1 – ฟิสกส์ 1
ิ 11
วัตถุเมื่อตกอย่างอิสระจะมีความเร่ง g = 9.8m / s เมื่อไม่คดแรงต้านของอากาศ
2
ิ
ห ลัก ก า ร คำา น ว ณ ใช้สมการจลศาสตร์ดังกล่าวจากข้างต้นเมื่อแทนค่า a ด้วยค่า g การ
พิจารณาทิศให้พิจารณาตามความเร็วต้น
ตัว อ ย่ า ง ที่ 1.7 ขว้า งลูก บอลขึ้ น ไปในอากาศด้ วยความเร็วต้ น 15 (m/s) ดังรู ปที่ 1.8 จง
คำานวณหา
ก. ระยะทางสูงสุดที่ลูกบอลเคลื่อนที่ได้
ข. เวลาทีตำาแหน่งสูงสุด
่
วิธ ีท ำา
ก. จากโจทย์ เ มื่ อ ไม่ ท ราบเวลา ( t ) เมื่ อ y 0 = 0 ; y = ? v 0 = 15m / s ; v = 0 ;
a y = −g = −9.8m / s 2 ; t = ? จากสมการ
v2 = v0 + 2a y ( y − y 0 )
2
เริ่มต้น y 0 = 0
ที่ตำาแหน่งสูงสุด v = 0
0 = v 0 + 2a y y
2
2
v0 − v02
y = − =
2a y 2( − g )
− (15m / s )
2
2( − 9.8m / s 2 )
=
= 11.5m
รูปที่ 1.8
ข. จากโจทย์เมื่อไม่ทราบตำาแหน่งสุดท้าย
v = v 0 + at
ที่ตำาแหน่งสูงสุด v = 0
v0 − 15m / s
t = − =
ay − 9.8m / s 2
= 1.53s
ตัว อย่า งที่ 1.8 ขว้างลูกบอลขึ้นไปในอากาศด้วยความเร็วต้น u ดังรูปที่ 1.9
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควิชาฟิสกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยรังสิต
ิ
12. Physics 1 – ฟิสกส์ 1
ิ 12
ก.จงแสดงให้เห็น ว่า เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ ถึง ตำา แหน่ง สูง สุด มีค่าเท่ากับเวลาที่ใ ช้
เคลื่อนที่กลับสู่ตำาแหน่งเดิม
ข. ความเร็วปลายเมื่อเคลื่อนที่กลับสู่ตำาแหน่งเดิม
วิธ ีท ำา
ก. จากโจทย์ เ มื่ อ ไม่ ท ราบตำา แหน่ ง สุ ด ท้ า ย เมื่ อ y 0 = 0 ; y = ?
v0 = u ; v = 0 ; a y = −g = −9.8m / s 2 ; t = ?
v = v0 + a y t
0 = u − gt
u
t up = g
หาระยะที่วัตถุขึ้นไปได้สูงสุด เมื่อไม่ทราบเวลา t = ?
v2 = v0 + 2a y ( y − y 0 )
2
0 = u 2 − 2 gy
y u2
= 2g
เมื่ อตำา แหน่ง สู ง สุ ด คื อ ระยะเริ่ ม ต้ น เมื่ อ ลู ก บอลเริ่ ม ตก
และ
ความเร็ว ณ. ตำาแหน่งนี้คือความเร็วต้นมีค่าเท่ากับศูนย์ จากโจทย์เมื่อ
u2
ไม่ทราบความเร็วสุดท้าย เมื่อ y0 = y = 0 ; v0 = 0 ; v = ? ;
2g ;
a y = −g = −9.8m / s 2 ; t = ?
y 1
= y 0 + v0 t + a yt 2
2
u2 1
0 = + 0 − gt 2
2g 2
1 u2
รูปที่ 1.9 gt 2 =
2 2g
u
t down =
g
นั่นคือ t up = t down
ข. จากโจทย์เมื่อไม่ทราบความเร็วสุดท้าย
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควิชาฟิสกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยรังสิต
ิ
13. Physics 1 – ฟิสกส์ 1
ิ 13
v = v0 + a y t
u
= 0 − g
g
= −u
นั่นคือความเร็วของลูกบอลขณะกลับสู่ตำาแหน่งเดิมจะมีความเร็วเท่ากันแต่ทิศตรงกันข้าม
1.7 สมการจลศาสตร์แ ละการคำา นวณ
บางครั้งการเคลื่อนที่ของวัตถุถูกกำาหนดโดยคำาจำากัดความ ของความเร็วและความเร่ง
dx
v = dt
dv
และ a = dt
จากสมการข้างต้นเราสามารถใช้แคลลูลัสสร้างสมการจลศาสตร์เมื่อมีความเร่งคงที่ได้
dv
a = dt
dv = a ( dt )
v t
∫dv =
v0
∫a( dt )
0
ให้ a คงที่
v t
∫dv =
v0
a ∫dt
0
v − v0 = a(t − 0)
v = v 0 + at
จากสมการที่ได้จะสังเกตุเห็นได้ว่า ความเร็วขึ้นกับเวลา เขียนใหม่ได้เป็น vt = v0 + at
ก็คือสมการจลศาสตร์เมื่อความเร็วเป็นฟังก์ชั่นของเวลาในทำานองเดียวกัน
dx = v ( dt )
แต่ v = v 0 + at
dx = ( v0 + at ) dt
= v 0 ( dt ) + at ( dt )
x t t
∫dx =
x0
∫ v0 dt + ∫ at ( dt )
0 0
แต่ความเร่ง และความเร็วต้นไม่เปลียนแปลงตามเวลา
่
x t t
∫dx =
x0
v 0 ∫ dt + a ∫ tdt
0 0
1 2
x − x0 = v0 t + at
2
เป็นสมการจลศาสตร์เมื่อตำาแหน่งเป็นฟังก์ชั่นของเวลา
การหาสมการการเคลื่ อ นที่ ข องวั ต ถุ ดั ง กล่ า วข้ า งต้ น โดยวิ ธี ก ารหาอนุ พั น ธ์ หรื อ
การอินทิเกรต ใช้สำาหรับการหาสมการเมื่อความเร่งไม่คงที่
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควิชาฟิสกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยรังสิต
ิ
14. Physics 1 – ฟิสกส์ 1
ิ 14
สรุป
ในบทนี้ สามารถอธิบ ายการเคลื่อนที่ใ นรู ปของตำา แหน่ง การกระจั ด ความเร็ว และ
ความเร่ง ในกรณีที่ความเร่งคงที่เราสามารถใช้เงื่อนไขต่าง ๆ สร้างสมการจลศาสตร์ได้ และ
สามารถใช้คำาจำากัดความเบื้องต้นเพื่อหาสมการการเคลื่อนที่เมื่อความเร่งไม่คงที่ได้
ตำาแหน่ง : x
การกระจัด : ∆x = x 2 − x1
∆x x 2 − x1
ความเร็วเฉลี่ย : v = ∆t = t − t
2 1
dx
ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง : v = dt
∆v v 2 − v1
ความเร่งเฉลี่ย : a = ∆t = t − t
2 1
dv
ความเร่งขณะใดขณะหนึ่ง : a = dt
สมการจลศาสตร์ ค่าที่ไม่ปรากฏ
v = v 0 + at x − x0
1 v
x = x 0 + v 0 t + at 2
2
v 2 = v 0 + 2a ( x − x 0 )
2 t
1 a
x − x0 = ( v + v0 )t
2
1 v0
x = x 0 + vt − at 2
2
ใช้ในกรณีเมื่อความเร่ง ( a ) คงที่
ผศ. เสมา สอนประสม ภาควิชาฟิสกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยรังสิต
ิ
