1. GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
I. Định nghĩa:
Bất phương trình vô tỷ là bất phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức.
II. Các phương pháp giải:
_ Nhìn chung các phương pháp giải bất phương trình vô tỷ cũng tương tự như phương
trình vô tỷ. Tuy nhiên, trong một số trường hợp cũng có điểm khác biệt.
_ Giải bất phương trình vô tỷ là một trong những bài toán không có công thức giải
tổng quát, không có qui trình mang tính chất thuật toán.
_ Việc phân ra thành các phương pháp giải riêng biệt chỉ mang tính chất tương đối,
tùy quan điểm từng người làm toán.
_ Mỗi bất phương trình có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau nên người làm
toán cần cân nhắc nên giải theo phương pháp nào cho hiệu quả. Mặt khác, có những bất
phương trình không phải phương pháp nào cũng giải được, nó có những nét đặc thù riêng
nên người làm toán cần phải linh hoạt trong việc tìm ra phương pháp giải.
1. Biến đổi tương đương:
_ Nâng lên lũy thừa, đưa về bất phương trình hoặc hệ bất phương trình đại số hữu tỉ.
Dạng 1. n f (x) < g(x) (*) (Chỉ xét n chẵn)
(*) 








n f (x) [g(x)]
g(x) 0
f (x) 0
Dạng 2. n f (x)  g(x) (*) (n chẵn)
(*) 







  


  


n f (x) [g(x)]
g(x) 0
g(x) 0
f (x) 0
Ví dụ 1. Giải bất phương trình
x 5x 14 2   > x – 5
Giải.
bpt 







  
   
 
  
 
  
2 2
2
x 5x 14 (x 5)
x 5 0
x 5 0
x 5x 14 0



























 
15
39
x
x 5
x 5
x 2
x 7
 

 

x 7
x 2

2. GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
Ví dụ 2. Giải bất phương trình
x
1 1 4x2  
< 3
Giải.
_ Nếu x > 0: bpt  2 1 4x > – 3x + 1
_ Nếu x < 0: bpt  2 1 4x < 1 – 3x
Ví dụ 3. Giải và biện luận bất phương trình
x 4 2   m(x – 2) (*)
Giải.
Xét các trường hợp của tham số m:
+) m = 0:
(*)  x 4 2   0  2 x – 4  0  x  ( ; – 2]  [2;  )
+) m > 0:
(*) 







  
   
 
  
 
 
x 4 m (x 4x 4)
m(x 2) 0
m(x 2) 0
x 4 0
2 2 2
2






  
    

 
(1 m )x 4m x 4(m 1) 0
x 2
x 2
2 2 2 2
sau đó xét tiếp 0 < m  1 hoặc m > 1
+) m < 0: xét tương tự m > 0
Kết luận nghiệm theo các trường hợp của m.
Chú ý. Trong trường hợp bất phương trình cần giải chứa nhiều dấu căn ta cần biến đổi
đưa về dạng (I) hoặc (II).
Ví dụ 4. Giải bất phương trình
x 1 + x  2 < x  3 (*)
Giải.
điều kiện: x  2
Với điều kiện đó (*)  x + 1 + x – 2 + 2 (x 1)(x  2) < x + 3
 (x 1)(x  2) <
2
1
(– x + 4)
Nhận xét. Phương pháp này ngắn gọn nhưng trong nhiều trường hợp phép nâng lũy
thừa sẽ dẫn đến những bất phương trình đại số bậc cao không giải được. Khi đó ta phải áp
dụng phương pháp khác.
Bài tập áp dụng:
1) Giải các bất phương trình:
a) x  3 – x 1 < x  2

3. GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
b)
 2
2
3 9 2x
2x
 
< 21 + x
2) Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a) 2x m  x
b) 2x 3 2  < x – m
c) x m – x  2m > x  3m
2. Đặt ẩn phụ (hữu tỉ hóa, lượng giác hóa):
Ví dụ 1. Giải bất phương trình
2 x + 2 x 3x 11 2    3x + 4 (*)
Giải.
(*)  2 x – 3x + 11 + 2 x 3x 11 2   – 15  0
Đặt t = x 3x 11 2   ...
Ví dụ 2. Giải bất phương trình
x + 2 1 x < x 2 1 x (1) trong đoạn [0; 1]
Giải.
Trong đoạn [0; 1], cả hai vế không âm nên:
(1)  1 + 2x 2 1 x < 2 x (1 – 2 x ) (2)
Đặt t = x 2 1 x , 0  t 
2
1
(2) trở thành: 2 t – 2t – 1 > 0 




 
 
t 1 2
t 1 2
so sánh với điều kiện 0  t 
2
1
ta thấy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 3. Giải bất phương trình
( 3 x + 1) + ( 2 x + 1) + 3x x 1 > 0 (1)
Giải.
TXĐ: x  – 1
_ nếu x  0: VT  2 > 0  bất phương trình nghiệm đúng  x  0
_ nếu – 1  x < 0: (1) trở thành ( 3 x + 2 x ) – 3 3 2 x  x + 2 > 0
Đặt t = 3 2 x  x , ta được:
2 t – 3t + 2 > 0  



t 2
t 1
Nhận xét x  [– 1; 0)  t < 1
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là – 1  x

4. GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
Ví dụ 4. Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm
a  x + a  x  2
Giải.
_ nếu a < 0: bất phương trình vô nghiệm
_ nếu a = 0: bất phương trình có nghiệm x = 0
_ nếu a > 0:
điều kiện





x a
x 0
 0 
a
x
 1
Đặt
a
x
= cosy, y  [0;
2

]. Ta được:
a(1 cos y) + a(1 cos y)  – 2  2a + 2asiny  4 
 siny 
2a
4  2a
(*)
để (*) có nghiệm y  [0;
2

] ta phải có 4 – 2a  0  0 < a  2
Kết luận: điều kiện của a là 0  a  2
Bài tập áp dụng:
1) Giải các bất phương trình:
a) 1 3 x 3 x 8 2 4      + 1 3 x 2   > 5
b)
2
1
x  +
4
x 1
<
8
(x 1)
2x 1
2 
 
c) 1 x + 1 x  2 –
4
x 2
2) Tìm a để bất phương trình sau đúng với  x  [– 2; 4]:
– 4 (4  x)(x  2)  2 x – 2x + a – 18
3. Phương pháp đánh giá (dùng đạo hàm):
Nhận xét.
Xét hàm số f(x), x  D.
Đặt M = max f
D
, m = min f
D
. f(x)   có nghiệm x  D    M
. f(x)   đúng với  x  D    m
. f(x)   có nghiệm x  D    m
. f(x)   đúng với  x  D    M
Ví dụ 1. Giải bất phương trình: x  5 + 2x  3 < 9
Giải.

5. GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
Xét f(x) = x  5 + 2x  3 – 9, x 
2
3
f ’(x) =
2 x 5
1

+
2x 3
1

> 0, x >
2
3
f(11) = 0, 




2
3
f < 0
 f(x) < 0 
2
3
  x < 11
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là
2
3
  x < 11.
Ví dụ 2. Tim m để bất phương trình 3  x + 6  x – (3 x)(6  x) (*) có
nghiệm.
Giải.
đk: – 3  x  6
Đặt u = 3  x + 6  x , u  [3; 3 2 ]
(*) trở thành:
2
u2
 + u +
2
9
 m
Xét f(u) =
2
u2
 + u +
2
9
, u  [3; 3 2 ]
min f (u)
u[3;3 2]
= f(3 2 ) =
2
6 2  9
Vậy để bất phương trình đã cho có nghiệm ta phải có m 
2
6 2  9
.
Chú ý. Ngoài ra ta có thể dùng bất đẳng thức để đánh giá.
Ví dụ 3. Giải bất phương trình
x 3x 2 2   + x 4x 3 2    2 x 5x 4 2   (*)
Giải.
đk: 



x 4
x 1
. nếu x < 1: (*)  2  x + 3  x  2 4  x đúng.
. nếu x = 1: (*) đúng.
. nếu x = 4: (*) đúng.
. nếu x > 4: (*)  x  2 + x  3  2 x  4 vô nghiệm.
Vậy nghiệm của (*) là x  ( ; 1]  {4}.
Ví dụ 4. Giải bất phương trình
x 1 + (x – 3)  2(x 3) 2x 2 2   
Giải.

6. GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
đk: x  1
Nhận xét: x 1 + (x – 3)  x 1 + x  3  2 2(x 1)  2(x  3) , x  1
(Bunhia)
Do đó x 1 + (x – 3)  2(x 3) 2x 2 2    



    
 
x 1 x 3 x 5
x 3 0
Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.
Bài tập áp dụng:
1) Giải bất phương trình
3x  2 + x 1 < 4x – 9 + 2 3x 5x 2 2  
2) Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm:
a) mx – x  3  m + 1
b) x – m x 1 > m + 1
3) Giải và biện luận theo a > 0 bất phương trình
n x – n x  a  n 2a – n a
4) Tìm a để bất phương trình x – x 1  m vô nghiệm.
4. Phương pháp đồ thị:
_ Giả sử phải tìm x thỏa mãn: f(x) < g(x) ta làm như sau:
+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) trên cùng một hệ trục tọa độ
+ Tìm phần đồ thị y = f(x) nằm dưới đồ thị y = g(x), chiếu lên trục Ox ta được tập
nghiệm.
Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x 1 – 4  x > m
Giải.
Đặt u = x 1  0, v = 4  x  0
Ta được:





 
 
 
u v 5
u v m
u 0, v 0
2 2

7. GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
Nhìn trên đồ thị ta thấy điều kiện của m là m < 5 .
Ví dụ 2. Cho bất phương trình: x(6  x)  2 x – 6x + m + 2
Tìm m để tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn với độ dài l thỏa mãn: 2  l
 4.
Giải.
Xét đồ thị hàm số y = x(6  x) , y  0. Ta có:
  
  

y (x 3) 9
y 0
2 2
có đồ thị là nửa đường tròn nằm phía trên trục hoành với tâm tại (3; 0), bán kính bằng
3. Còn đồ thị hàm y = 2 x – 6x + m + 2 là parabol có đỉnh nằm trên đường thẳng x = 3
Độ dài đoạn nghiệm l = 2  parabol đi qua điểm (2; 2 2 )
 2 2 = 4 – 12 + m + 2  m = 2 2 + 6

8. GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
Độ dài đoạn nghiệm l = 4  parabol đi qua điểm (1; 5 )
 5 = 1 – 6 + m + 2  m = 3 + 5
Vậy điều kiện của m là 3 + 5  m  6 + 2 2
Bài tập áp dụng:
1) Tìm m để bất phương trình sau đúng  x  [– 4; 6]:
*************************mờ quá không đọc được**************
2) Cho bất phương trình x(2  x) m 3  2 x – 2x + 5
a) Tìm m để bất phương trình vô nghiệm.
b) Tìm m để tập nghiệm là một đoạn với độ dài là 2.
5. Phương pháp điều kiện cần và đủ:
Phương pháp này thường áp dụng để tìm điều kiện của tham số sao cho tập nghiệm
của bất phương trình thỏa mãn một tính chất T nào đấy. Gồm 2 bước:
b1: Nếu tập nghiệm thỏa mãn tính chất T thì tham số phải thuộc tập TS D nào đó (đk
cần).
b2: Loại những giá trị của tham số trong TS D làm cho nghiệm của bất phương trình
không thỏa mãn tính chất T (đk đủ).
Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình (x  4)(6  x)  2 x – 2x + m (*) nghiệm đúng
 x  [– 4; 6].
Giải.
+) đk cần: (*) nghiệm đúng  x  [– 4; 6]  (*) nghiệm đúng với x = 1  m  6.
+) đk đủ: m  6 ta có
VT  5,  x  [– 4; 6]
VP  5,  x  [– 4; 6]
Vậy điều kiện cần và đủ của m là m  6
Bài tập áp dụng:
1) Tìm a để bất phương trình x + x 2ax 2  > 1 nghiệm đúng  x  [
4
1
; 1]
III. Luyện tập:
1) Giải bất phương trình: 2x 3x 6x 16 3 2    > 2 3 + 4  x
Giải.
đk: – 2  x  4
Xét f(x) = 2x 3x 6x 16 3 2    – 4  x – 2 3
f ’(x)  0,  x  (– 2; 4)
f(1) = 0  f(x) > 0  4  x > 1
2) Giải bất phương trình:

9. GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh
Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt
2
2
(1 1 2x)
4x
 
< 2x + 9
Giải.
đk:
  
 
 
2x 1 1
2x 1 0







 
x 0
2
1
x
(1)
Với điều kiện đó ta có:
2
1 1 2x
2x






 
=  2
1 2x 1 = 2x + 2 + 1 2x
Vậy bất phương trình đã cho có thể viết thành 1 2x <
2
7
hay x <
8
45
Kết hợp với (1) ta được tập nghiệm là:
[
2
1
 ;
8
45
) {0}
Bài tập áp dụng:
1) Giải các bất phương trình
a) 2x  4 – 2 2  x >
9x 16
12x 8
2 

b) x +
x 1
x
2 
>
2
35